3第三章 水文统计
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频率与频率之 间的关系
例 （1）抛硬币，（2）抽奖
随机变量
随机事件的试验结果可用一个数X来表示， X随 试验结果的不同而取得不同的数值，它是带有随 机性的，则将这种随机试验结果X称为随机变量
分为：离散型随机变量和连续型随机变量
随机变量表示：
用大写字母X表示 可能的取值：x1，x2 ，……，xn：叫系列
现一次； b、大于等于这样的洪水平均100年可能出现
一次； c、小于等于这样的洪水正好每隔100年出现
一次； d、小于等于这样的洪水平均100年可能出现
一次；
2)研究枯水流量、枯水位等最小值问题时， 为了保证灌溉、发电、给水等用水需要， 一般设计频率P>50％．
例如，某枯水位Hi的频率为P(H≥Hi)=95％．那 么此枯水位的重现期T=20年，则称平均20年中有 一年的水位低于枯水位Hi或称为20年一遇。
例：某桥位处测得40年最高水位资料，如表，求水 位H≥25m的累积频率。（按照频率分段的定义思想，
见书47）
计算 H>=25的频率？？ 解：当水位H＝25m时，W=25%
P=25+5=30% 表明：若水位为25m时对桥梁会有威胁，则高于25m的 水位对桥梁都会有威胁，其发生的可能性应为P=30％。
水文频率分布线型
皮尔逊III型曲线 对数皮尔逊III型曲线 耿贝尔型曲线 克里茨基一闵凯里曲线
Βιβλιοθήκη Baidu
皮尔逊Ⅲ型曲线
是一条一端有限一端无限的不对称单峰、 正偏曲线（见图4-4-3），数学上常称伽玛 分布，其概率密度函数为:
经验频率曲线
由实测资料绘制而成的, 它是水文频率计 算的基础, 具有一定的实用性
步骤：具体实例在后边适线法再讲 （1）按从大到小的顺序排列 （2）用经验频率公式计算系列中各项的频率
（3）以水文变量x为纵坐标，以经验频率 为横 坐标，点绘经验频率点据，根据点群趋势绘出 一条平滑的曲线，称为经验频率曲线 （4）在曲线上求得指定频率P 的水文变量值xi
F(x)=P(X≥x) 称为随机变量x的分布函数
分布密度 分布函数 可以近似的用累积频率代替概率
频率密度
累积频率曲线
第三节 统计参数
均值 均方差 变差系数 偏态系数
均值
均方差： 均方差是反映系列中各变量集中或离散的程度
变差系数 系列的相对离散程度
偏态系数
衡量系列不对称程度的参数 CS＞0，正偏； CS＜0，负偏； Cs=0，对称系列，正态分布
正态分布的应用
抽样误差的分布 人体身高分布 学生成绩分布 是其他分布函数的基础：t分布，F分布，误
差函数，余误差函数
第四节 频率与重现期
频率曲线绘制后，就可在频率曲线上求 出指定频率p的设计值xp。由于"频率"较 为抽象，水文上常用"重现期"来代替"频 率"。所谓重现期是指某随机变量的取值 在长时期内平均多少年出现一次，又称 多少年一遇。
第三章 水文统计基本原理与方法
第一节 概述
1、 水文现象的两重性 : 必然性，偶然性
偶然现象也称随机现象；偶然现象仍 然是有规律的，一般称为统计规律
2、水文统计的任务 : 研究和分析水文随机现象的统计变
化特性
3、水文统计的基本方法和内容:
(1)根据已有的资料（样本），进行频率计算，
推求指定频率的水文特征值； (2)研究水文现象之间的统计关系，应用这种 关系延长、插补水文特征值和作水文预报； (3) 根据误差理论，估计水文计算中的随机误 差范围。
(1)μ是正态分布的位置参数，描述正态分布的集中
趋势位置。正态分布以X=μ为对称轴，左右完全对称。
正态分布的均数、中位数、众数相同，均等于μ。
(2)σ描述正态分布资料数据分布的离散程度，σ越
大，数据分布越分散，σ越小，数据分布越集中。 也称
为是正态分布的形状参数，σ越大，曲线越扁平，反之，
σ越小，曲线越瘦高。
I)研究洪峰流量、洪水位、暴雨等最大值问题时
例如，某洪峰流量Qi的频率为P(Q≥Qi)=l％,那么此 洪峰流量的重现期为100年，则称为平均100年出现一 次大干或等于该洪峰流量Qi的事件.或称为百年一遇。
思考题
百年一遇洪水，是指 [________]。 a、大于等于这样的洪水每隔100年必然会出
正态分布
密度函数分 布曲线
频数表资料所绘 制的直方图
直方图顶端的连线就会逐渐形成一条 高峰位于中央（均数所在处），两侧 逐渐降低且左右对称，不与横轴相交 的光滑曲线图（3）。这条曲线称为频 数曲线或频率曲线 ，近似于数学上的 正态分布（normal distribution）。
正态概率密 度函数为
离散型随机变量的概率分布一般以分布列 表示，如表
X
x1
P(X= xi)
p1
x2 …… xi p2 …… pi
…… ……
连续型随机变量的概率分布用函数表示：
无法研究个别值的概率，只能研究某个区间的概率， 或是研究事件X≥x的概率，以及事件X ≤x 的概率，后 面二者可以相互转换，水文统计中常用X≥x 的概率及 其分布。
经验频率曲线
海森概率格纸
在概率格纸上绘制则有利于可适当外延 曲线。
第五节 理论频率曲线
经验频率曲线存在的问题 ：
经验频率曲线计算工作量小，绘制简单，查用 方便，但受实测资料所限,往往难以满足设计 上的需要。 徒手对曲线两端外延是一种方法，但随意性 很大
数理统计中，常选择比较符合水文现象频率分布 规律的密度函数f(x)，借以求解累积频率曲线， －－－－称为理论频率曲线
第二节 概率与频率
事件 :对随机现象的观测叫做随机试验, 随机试
验的结果称为事件。事件可以分为必然事件、不 可能事件和随机事件三种 .
概率 :
k― 有利于随机事件A的结果数 ； n― 在试验中所有可能出现的结果。
频率（统计概率） 事件A在n次试验中出现了k次
为事件A在n次试验中出现的频率。
记作：N(μ，σ2 )。
若已知的密度函数（频率曲线）为正态函数（曲线）则称已知 曲线服从正态分布，记号 ～ 。其中μ、σ2 是两个不确定常数， 是正态分布的参数，不同的μ、不同的σ2对应不同的正态分布。
正态分布的特征
正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称，曲线 与横轴间的面积总等于1。
服从正态分布的变量的频数分布由μ、σ完全决定。
例 （1）抛硬币，（2）抽奖
随机变量
随机事件的试验结果可用一个数X来表示， X随 试验结果的不同而取得不同的数值，它是带有随 机性的，则将这种随机试验结果X称为随机变量
分为：离散型随机变量和连续型随机变量
随机变量表示：
用大写字母X表示 可能的取值：x1，x2 ，……，xn：叫系列
现一次； b、大于等于这样的洪水平均100年可能出现
一次； c、小于等于这样的洪水正好每隔100年出现
一次； d、小于等于这样的洪水平均100年可能出现
一次；
2)研究枯水流量、枯水位等最小值问题时， 为了保证灌溉、发电、给水等用水需要， 一般设计频率P>50％．
例如，某枯水位Hi的频率为P(H≥Hi)=95％．那 么此枯水位的重现期T=20年，则称平均20年中有 一年的水位低于枯水位Hi或称为20年一遇。
例：某桥位处测得40年最高水位资料，如表，求水 位H≥25m的累积频率。（按照频率分段的定义思想，
见书47）
计算 H>=25的频率？？ 解：当水位H＝25m时，W=25%
P=25+5=30% 表明：若水位为25m时对桥梁会有威胁，则高于25m的 水位对桥梁都会有威胁，其发生的可能性应为P=30％。
水文频率分布线型
皮尔逊III型曲线 对数皮尔逊III型曲线 耿贝尔型曲线 克里茨基一闵凯里曲线
Βιβλιοθήκη Baidu
皮尔逊Ⅲ型曲线
是一条一端有限一端无限的不对称单峰、 正偏曲线（见图4-4-3），数学上常称伽玛 分布，其概率密度函数为:
经验频率曲线
由实测资料绘制而成的, 它是水文频率计 算的基础, 具有一定的实用性
步骤：具体实例在后边适线法再讲 （1）按从大到小的顺序排列 （2）用经验频率公式计算系列中各项的频率
（3）以水文变量x为纵坐标，以经验频率 为横 坐标，点绘经验频率点据，根据点群趋势绘出 一条平滑的曲线，称为经验频率曲线 （4）在曲线上求得指定频率P 的水文变量值xi
F(x)=P(X≥x) 称为随机变量x的分布函数
分布密度 分布函数 可以近似的用累积频率代替概率
频率密度
累积频率曲线
第三节 统计参数
均值 均方差 变差系数 偏态系数
均值
均方差： 均方差是反映系列中各变量集中或离散的程度
变差系数 系列的相对离散程度
偏态系数
衡量系列不对称程度的参数 CS＞0，正偏； CS＜0，负偏； Cs=0，对称系列，正态分布
正态分布的应用
抽样误差的分布 人体身高分布 学生成绩分布 是其他分布函数的基础：t分布，F分布，误
差函数，余误差函数
第四节 频率与重现期
频率曲线绘制后，就可在频率曲线上求 出指定频率p的设计值xp。由于"频率"较 为抽象，水文上常用"重现期"来代替"频 率"。所谓重现期是指某随机变量的取值 在长时期内平均多少年出现一次，又称 多少年一遇。
第三章 水文统计基本原理与方法
第一节 概述
1、 水文现象的两重性 : 必然性，偶然性
偶然现象也称随机现象；偶然现象仍 然是有规律的，一般称为统计规律
2、水文统计的任务 : 研究和分析水文随机现象的统计变
化特性
3、水文统计的基本方法和内容:
(1)根据已有的资料（样本），进行频率计算，
推求指定频率的水文特征值； (2)研究水文现象之间的统计关系，应用这种 关系延长、插补水文特征值和作水文预报； (3) 根据误差理论，估计水文计算中的随机误 差范围。
(1)μ是正态分布的位置参数，描述正态分布的集中
趋势位置。正态分布以X=μ为对称轴，左右完全对称。
正态分布的均数、中位数、众数相同，均等于μ。
(2)σ描述正态分布资料数据分布的离散程度，σ越
大，数据分布越分散，σ越小，数据分布越集中。 也称
为是正态分布的形状参数，σ越大，曲线越扁平，反之，
σ越小，曲线越瘦高。
I)研究洪峰流量、洪水位、暴雨等最大值问题时
例如，某洪峰流量Qi的频率为P(Q≥Qi)=l％,那么此 洪峰流量的重现期为100年，则称为平均100年出现一 次大干或等于该洪峰流量Qi的事件.或称为百年一遇。
思考题
百年一遇洪水，是指 [________]。 a、大于等于这样的洪水每隔100年必然会出
正态分布
密度函数分 布曲线
频数表资料所绘 制的直方图
直方图顶端的连线就会逐渐形成一条 高峰位于中央（均数所在处），两侧 逐渐降低且左右对称，不与横轴相交 的光滑曲线图（3）。这条曲线称为频 数曲线或频率曲线 ，近似于数学上的 正态分布（normal distribution）。
正态概率密 度函数为
离散型随机变量的概率分布一般以分布列 表示，如表
X
x1
P(X= xi)
p1
x2 …… xi p2 …… pi
…… ……
连续型随机变量的概率分布用函数表示：
无法研究个别值的概率，只能研究某个区间的概率， 或是研究事件X≥x的概率，以及事件X ≤x 的概率，后 面二者可以相互转换，水文统计中常用X≥x 的概率及 其分布。
经验频率曲线
海森概率格纸
在概率格纸上绘制则有利于可适当外延 曲线。
第五节 理论频率曲线
经验频率曲线存在的问题 ：
经验频率曲线计算工作量小，绘制简单，查用 方便，但受实测资料所限,往往难以满足设计 上的需要。 徒手对曲线两端外延是一种方法，但随意性 很大
数理统计中，常选择比较符合水文现象频率分布 规律的密度函数f(x)，借以求解累积频率曲线， －－－－称为理论频率曲线
第二节 概率与频率
事件 :对随机现象的观测叫做随机试验, 随机试
验的结果称为事件。事件可以分为必然事件、不 可能事件和随机事件三种 .
概率 :
k― 有利于随机事件A的结果数 ； n― 在试验中所有可能出现的结果。
频率（统计概率） 事件A在n次试验中出现了k次
为事件A在n次试验中出现的频率。
记作：N(μ，σ2 )。
若已知的密度函数（频率曲线）为正态函数（曲线）则称已知 曲线服从正态分布，记号 ～ 。其中μ、σ2 是两个不确定常数， 是正态分布的参数，不同的μ、不同的σ2对应不同的正态分布。
正态分布的特征
正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称，曲线 与横轴间的面积总等于1。
服从正态分布的变量的频数分布由μ、σ完全决定。