第9讲第三章条件平差-条件方程2pdf
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测量平差--第三章 条件平差(第五周+第六周)
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1 4
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162.855
d (V T PV ) 2 (KT AV )
dV
V
V
2V T P 2KT A 0
得 VTP KT A
转置得 PTV AT K
V P1AT K
图3
已知的三角点，C和D为待点，共观测了
9个水平角，ai 、bi 、ci(i=1,2,3)。 根据前方交会可知，必要观测t=4,多余
观测数r=9-4=5;因此，可以列出5个条
件方程。
§3- 2、条件方程的列立
一、图形条件
图3
（2）
二、圆周条件
对于中点多边形来说，如果仅仅满足了上述
三个图形条件，还不能保证它的几何图形能
得 VTP KT A
转置得 PTV AT K
V P1AT K
AV W 0
AP1 AT K W 0
NK W 0 (AP1AT N)
K N 1W
V P1AT K
ˆ
2 0
V T PV r
v1
v1 2ka
0
v2
2v2
2ka
2kb
0
v3
1 2
v3
2kb
0
v1 2ka v2 ka kb v3 4kb
注：在有已知水准点的水准 网中，必要观测的个数就 等于未知点的个数；
（2）
在没有已知 水
准点的水准 网呢？
处理的思路是：假定某一 点的高程（如A点），并 当作已知点，去确定其 它未知点的相对高程。
假定A点，求未知点B、C、 D、E，有很多种列法， 但必要观测数为4；
条件平差公式
条件平差公式
条件平差公式是一种用于对多个测量值进行分析和校正的数学方法。
其基本原理是，将所有测量值组成一个方程组，其中每个方程表示一个测量量与其他测量量之间的关系。
通过求解这个方程组，可以得到每个测量值的最优估计值和方差。
具体地说，条件平差公式可以分为两类：一类是基于观测方程的条件平差公式，另一类是基于误差方程的条件平差公式。
观测方程的条件平差公式是指，将所有测量值表示为观测方程的形式，然后通过最小二乘法求解得到最优估计值和方差。
观测方程通常表示为线性方程组的形式，即y=AX+e，其中y表示观测值，A表示系数矩阵，X表示未知数向量，e表示误差向量。
误差方程的条件平差公式是指，将所有误差表示为误差方程的形式，然后通过最小二乘法求解得到最优估计值和方差。
误差方程通常表示为非线性方程组的形式，即f(X)=e，其中f表示误差函数，X表示未知数向量，e表示误差向量。
无论是基于观测方程还是基于误差方程的条件平差公式，都具有很强的实用性和广泛的应用范围。
它们可以用于地理测量、航空测量、工程测量等领域，对于提高测量精度和减小误差具有重要意义。
- 1 -。
条件平差与间接平差的相互关系
条件平差与间接平差的相互关系
一、条件平差与间接平差
1、条件平差与间接平差是指：条件平差是指基础数据是现有被观
测坐标信息，假定各点位置坐标值满足一定近似关系时（即解算中假
定有约束关系或条件，以达到所求结果的平差方法）；而间接平差是指，基础数据是待测点的被观测量，包括方位量、距离量等，无任何
关系的前提条件，是一种完全无条件的平差方法。
二、条件平差
2、条件平差一般会把条件设置为两个系统中坐标值的差值最小，
这样就能够更容易地实现平差。
条件平差的典型应用是重叠法平差，
它会利用各观测值之间的内在联系，并通过设定一定的几何条件，使
其之间被观测量满足某一关系，以解决无条件方程组的平差问题。
三、间接平差
3、间接平差是指以被观测量构成的方程组，可以以各种迭代方法
求解，但是必须有一定的条件限制才能使解出的坐标值符合实际要求。
加拿大匹兹堡大学的Bloch教授认为，从下面几个原因考虑起，最好
用间接平差来解决坐标转换的问题：
（1）传统的解算序号很容易引起原点偏移和比例错误；
（2）间接平差可以很好地表示待解系统中的不确定性；
（3）使用间接平差可以很好地降低待解系统中分量精度和消隐关
系统时发生的偏差。
四、条件平差与间接平差的关系
4、条件平差与间接平差是有联系的，相互之间的联系是：可以把
条件平差看做是一种特殊的间接平差，即在无条件间接平差的基础上，再加入解算中的限制条件，以达到所求结果。
可以说，条件平差是间
接平差的分支，而间接平差是条件平差的总集合。
条件平差的基本原理
r1v1 r2v2 rnvn wr 0
v1
V
n ,1
v2
vn
wa F1L1, L2 ,, Ln
wb F2 L1, L2 ,, Ln
wr Fr L1, L2 ,, Ln
则相应方程的矩阵表达式分别为
F Lˆ 0
AV W 0 W FL
3. 基础方程
按求函数极值的拉格朗日乘数法，设乘数
5）求观测值的平差值； Lˆ L V
6）检核。 F (Lˆ) 0
7）检核。
3. 实例分析 例6-1水准网如右图：观测值及其权矩阵如下：
L 0.023 1.114 1.142 0.078 0.099 1.216 T m
P diag1 1 1 2.5 2.5 2.5
求各水准路线的最或然值。
解： 1）列出条件方程
或
v1 v2 v3 v2
0 0 v4 4 0
v1
1 0
1 1
1 0
0 1
v2 vv43
0 4
0 0
令c=1，则由定权公式
，有 pi
C Si
1 Si
P 1
1 p1
0
0
0
0
1 p2
0
0
0
0
1 p3
0
0 s1 0 0 0 2 0 0 0
0 0
0 0
1 p4
0
K
r ,1
ka
kb
kr T
，称为联系数向量。组成函数
V T PV 2K T AV W
将 φ 对V 求一阶导数，并令其为零，得
d dV
2V T P
2KT
A
0
两边转置，得
v1
V
n ,1
v2
vn
wa F1L1, L2 ,, Ln
wb F2 L1, L2 ,, Ln
wr Fr L1, L2 ,, Ln
则相应方程的矩阵表达式分别为
F Lˆ 0
AV W 0 W FL
3. 基础方程
按求函数极值的拉格朗日乘数法，设乘数
5）求观测值的平差值； Lˆ L V
6）检核。 F (Lˆ) 0
7）检核。
3. 实例分析 例6-1水准网如右图：观测值及其权矩阵如下：
L 0.023 1.114 1.142 0.078 0.099 1.216 T m
P diag1 1 1 2.5 2.5 2.5
求各水准路线的最或然值。
解： 1）列出条件方程
或
v1 v2 v3 v2
0 0 v4 4 0
v1
1 0
1 1
1 0
0 1
v2 vv43
0 4
0 0
令c=1，则由定权公式
，有 pi
C Si
1 Si
P 1
1 p1
0
0
0
0
1 p2
0
0
0
0
1 p3
0
0 s1 0 0 0 2 0 0 0
0 0
0 0
1 p4
0
K
r ,1
ka
kb
kr T
，称为联系数向量。组成函数
V T PV 2K T AV W
将 φ 对V 求一阶导数，并令其为零，得
d dV
2V T P
2KT
A
0
两边转置，得
条件平差
n ,1 n , n n , r r ,1
得法方程： AQATK-W=0 T 1 T N AQA AP A 令 aa r .r r .nn.nn.r 则有： NaaK-W=0
法方程系数阵Naa是一个r阶的满秩方阵，且可逆
N11k1 N12k 2 N1r k r W1 0 N 21k1 N 22k 2 N 2 r k r W2 0 N r1k1 N r 2 k 2 N rn k r Wr 0
目标函数：f x min n1 x a h x min F a , x f 1k 约束条件： h x 0 k 1 n1 F a, x
0 a F a, x 0 x
L2
L4 L1 L3 L2
A
B
C
§6-2 条件方程
条件方程的个数等于多余观测数r。条件方程之间 不能线性相关,在一个平差问题中，条件方程的个 数是固定不变的.
一、r的确定： r=n-t 二、条件方程的列立： 原则：足数（r个），线性无关，形式简单，易 于列立
控制网常见几何模型
水准网 三角网(测角网) 三边网(测边网) GPS基线向量网 单一附合导线
由此可得联系数K的解：
r ,1
K ( AQA ) W
T
T 1
V QA K
条件平差的 最小二乘解：
n,1
ˆ L V L
三、条件平差计算步骤：
1．根据平差问题的具体情况，列出条件方程，条 件方程的个数等于多余观测数r。 2．组成法方程式，法方程的个数等于多余观测数r 3．解法方程，求出联系数K值。 4．将K代入改正数方程式，求出V值，并求出观测 值的平差值=L+V。 5．检验平差计算的正确性（可用平差值重新列出 平差值条件方程式，看其是否满足方程）。
得法方程： AQATK-W=0 T 1 T N AQA AP A 令 aa r .r r .nn.nn.r 则有： NaaK-W=0
法方程系数阵Naa是一个r阶的满秩方阵，且可逆
N11k1 N12k 2 N1r k r W1 0 N 21k1 N 22k 2 N 2 r k r W2 0 N r1k1 N r 2 k 2 N rn k r Wr 0
目标函数：f x min n1 x a h x min F a , x f 1k 约束条件： h x 0 k 1 n1 F a, x
0 a F a, x 0 x
L2
L4 L1 L3 L2
A
B
C
§6-2 条件方程
条件方程的个数等于多余观测数r。条件方程之间 不能线性相关,在一个平差问题中，条件方程的个 数是固定不变的.
一、r的确定： r=n-t 二、条件方程的列立： 原则：足数（r个），线性无关，形式简单，易 于列立
控制网常见几何模型
水准网 三角网(测角网) 三边网(测边网) GPS基线向量网 单一附合导线
由此可得联系数K的解：
r ,1
K ( AQA ) W
T
T 1
V QA K
条件平差的 最小二乘解：
n,1
ˆ L V L
三、条件平差计算步骤：
1．根据平差问题的具体情况，列出条件方程，条 件方程的个数等于多余观测数r。 2．组成法方程式，法方程的个数等于多余观测数r 3．解法方程，求出联系数K值。 4．将K代入改正数方程式，求出V值，并求出观测 值的平差值=L+V。 5．检验平差计算的正确性（可用平差值重新列出 平差值条件方程式，看其是否满足方程）。
第三章条件平差
独立三角网
自由三角网
自由测角网
附合三角网（测角）
• 例：
∆ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
α ∆
当n=35、n=22、n=35+22时，其条件式个数各为多 少？有哪些类型？
图形条件（内角和条件）:
B
b1
a2
c1 D c2 a1 b3 c3 a3 b2 C
A
圆周条件（水平条件）:
b1
a2
c1 a1 a3 c3
c2 b2 b3
5.1.06、 5.1.07
上节内容回顾：
改正数条件式 观测值的协方差阵 法方程
AV W 0
D P Q
2 0 1 2 0
r n n n
Naa K W 0 N aa AQ AT
r r n r
改正数方程
V P A K QA K
T
1 T
wr
T
• 则条件方程可写成：
ˆA 0 AL 0
• 以及改正数条件式：
W AL A0
AV W 0
这样一来，对于一个平差问题，我们能够得到 其数学模型：
AV W 0 D P Q
2 0 1 2 0
下面要解决的问题是： 由上述的数学模型来求改正数V。
不难发现，不能求得V的唯一解！！！ 解决不唯一解的办法就是附加一个约束条件---“最小二乘估计” 即满足：
极条件（边长条件）:
b1 a2
c1
a1 b3 c3
c2 b2 a3
极条件（边长条件）就是指由不同路线推算得到 的同一边长的长度应相等。
三角网的基本图形 1） 单三角形 2）大地四边形
3）中点多边形。
第三章 条件平差
纵横坐标附合条件：从起始点推算至终点所得到的坐标 平差值应与终点的已知坐标值相等，即
xˆn1 xC 0 yˆ n1 yC 0
单一附合导线条件平差
1.方位角附合条件式
Tˆn1 T0 [ˆi ]1n1 (n 1) 180 T0 [i vi ]1n1 (n 1) 180
则方位角附合条件式可写为
v2
Lˆ n
Ln
vn
在这n个观测值中，有t个必要观测数，多余观测
数为r。
条件平差原理
可以列出r个平差值线性条件方程
a1v1 a2v2 an vn wa 0
b1v1
b2v2 bn vn wb 0
r1v1 r2v2 rn vn wr 0
程中式的式中常中，数的ai、项系b。i数、相，…应、a0的、ri（改b0i、正= …1数,2、条,…r件0…为方n各）程平为式差各值平条差件值方条程件方式
E QAT
0
N 1 QAT N 1
0
N 1 AQ QAT N 1 AQ
0
0
0
Q
QAT
N
1
AQ
QLˆL
QLˆW
QLˆK
QLˆV
QLˆLˆ
由上式可见，平差值与闭合差W、联系数K、改 正数V是不相关的统计量，又由于它们都是服 从正态分布的向量，所以与W、K、V也是相互 独立的向量。
平差值函数的协因数
单一附合导线条件平差
设AB边方位角已知值为TAB = T0，CD边方位角已知值为TCD、 计算值为Tn+1，B点坐标的已知值为(,)或者(x1, y1)，C点坐 标的已知值为(,)、计算值为(xn+1, yn+1)。三个条件中，有 一个方位角附合条件、两个坐标附合条件。
xˆn1 xC 0 yˆ n1 yC 0
单一附合导线条件平差
1.方位角附合条件式
Tˆn1 T0 [ˆi ]1n1 (n 1) 180 T0 [i vi ]1n1 (n 1) 180
则方位角附合条件式可写为
v2
Lˆ n
Ln
vn
在这n个观测值中，有t个必要观测数，多余观测
数为r。
条件平差原理
可以列出r个平差值线性条件方程
a1v1 a2v2 an vn wa 0
b1v1
b2v2 bn vn wb 0
r1v1 r2v2 rn vn wr 0
程中式的式中常中，数的ai、项系b。i数、相，…应、a0的、ri（改b0i、正= …1数,2、条,…r件0…为方n各）程平为式差各值平条差件值方条程件方式
E QAT
0
N 1 QAT N 1
0
N 1 AQ QAT N 1 AQ
0
0
0
Q
QAT
N
1
AQ
QLˆL
QLˆW
QLˆK
QLˆV
QLˆLˆ
由上式可见，平差值与闭合差W、联系数K、改 正数V是不相关的统计量，又由于它们都是服 从正态分布的向量，所以与W、K、V也是相互 独立的向量。
平差值函数的协因数
单一附合导线条件平差
设AB边方位角已知值为TAB = T0，CD边方位角已知值为TCD、 计算值为Tn+1，B点坐标的已知值为(,)或者(x1, y1)，C点坐 标的已知值为(,)、计算值为(xn+1, yn+1)。三个条件中，有 一个方位角附合条件、两个坐标附合条件。
第三章 条件平差
返回目录 返回本节
经化简即有
cv t c g v ta c gv t a c g v t a c g v t b c g v tb g b
1 a 1
2 a 2
3 a 3
1 b 1
2 b 1
33
(1
sina1 sinb1
sina2 sinb2
sina3)
sinb3
=0,
圆周条件，即
c ˆ1c ˆ2c ˆ336 o0
或
V V V W 0
c1
c2
c3
4
第三类是极条件或称边长条件。满足上述4个条件方程
的角值还不能使图3-5的几何图形完全闭合，例如，由边
长通过a2、b2、c2计算边长，通过a1、b1、c1由计算边长，
再由通过a3、b3、c3计算边长，计算的结果，其边长不会
(3-21)
这就是极条件（3-20）的线性形式。
三、测边网
和测角同一样，在测边网中也可分解为三角形，大地 四边形和中点多边形三种基本图形。对于测边三角形，决 定其形状和大小的必要观测为三条边长。所以t=3，此时 r=n-t=3-3=0，即测边三角形不存在的条件方程。对于测边 四边形，决定第一个三角形必须观测3条边长，决定第二 个三角形只需要再增加2条边长，所以确定一个四边形的 图形，必须观测5条边长，即t=5，所以r=n-t=6-5=1，存在 一个条件方程。对于中点多边形，例如中点五边形，它由 四个独立三角形组成，此t=3+2×3=9，故有r=n-t=10-9=1。
法，将上式用台劳公式展开取至次项，即可得线性形式的
极条件方程。
将 a ˆ a v,b ˆ b v,c ˆ c v代入（3-20）式，
条件平差
1
线性化，并经整理后得
[ctga1 ctg(a1 b1 )]va1 ctg(a1 b1 )vb1 ctga2va2 ctgb2vb2 ctg(a3 b3 )va3 [ctg(a3 b3 ) ctgb3 ]vb3 w 0
w (1 sin(a1 b1 ) sin b2 sin b3 )
主要内容
第一节 条件平差原理 第二节 条件方程 第三节 精度评定 第四节 水准网平差示例
第1页/共37页
第一节 条件平差原理 （ ） 介绍条件平差原理，给出计算公式
一、基础方程及其解
设有r个观测值平差值线性条件方程：
ALˆ A 0 a1Lˆ1
a2 Lˆ2
...Βιβλιοθήκη an Lˆna00
b1Lˆ1 b2 Lˆ2 ... bn Lˆn b0 0（ 4－1－5），矩阵形式为：
...
sin a1 sin a2 sin b1 sin b2
sin a3 sin b3
ctgb3
vb3
0
ctga1va1
...
ctga3va3
ctgb1vb1
... ctgb3vb3
(1 sin a1 sin a2 sin a3 ) 0
sin b1 sin b2 sin b3 第21页/共37页
..................................
0
r1Lˆ1 r2 Lˆ2 ... rn Lˆn r0
0
注意：第一个条件方程系数到最后一个条件方程系数分别 采用字母a-r,下标与观测值编号对应。r是最后一个条件方 程的编号，表示条件方程个数为r，但是r数目与r在英文字 母中序号无关。
求其一阶偏导数，并令其为0：
第03章 条件平差
zqz99@
设观测值的权阵P为n×n的对角阵，又设联系
数矩阵K＝(ka，kb，…，kr)T，则式(3-11)可用矩阵表 示为： Φ＝VTPV－2KT(AV＋W) 为求新函数Φ的极值，对上式的变量V求其一阶
偏导数，并令其为零。即
d d (V T PV ) d ( 2 K T ( AV W )) dV dV dV
zqz99@
2.1条件平差概述
在图3-1中，设HA为A点的已知高程，为了确定B、C 两点的高程，只要观测两个高差就够了，即必要观测数 为t＝2，而图中按箭头方向观测了h1、h2、h3三个高差， 则n＝3，因为有了多余观测(r＝1)，所以三个观测高差的 平差值产生了一个条件，即 ˆ h ˆ h ˆ 0 h
zqz99@
zqz99@
zqz99@
zqz99@
条 件 制约和影响事物存在、发展的
外部因素
zqz99@
第三章
1
2 3 4 5 6
条件平差
§1 条件平差原理
§2 必要观测与多余观测 §3 条件方程 §4 条件平差方程式 §5 条件平差的精度评定 §6 条件平差举例
式(3-13)称为改正数方程
vi
1 (ai ka bi kb ri kr ) pi
(3-13)
zqz99@
若多余观测为2， 即条件方程只有2个， 改正数方程为:
若多余观测为3， 即条件方程只有3个， 改正数方程为:
vi
v1
1 (ai ka bi kb ) pi
vi
v1
1 (ai ka bi kb ci kc ) pi
1 (a1ka b1kb ) p1 1 v2 (a2 ka b2 kb ) p2 1 vn (an ka bn kb ) pn
第9讲第三章条件平差-条件方程2pdf
A
1 2 3
C
4 17 21 5 6 7 8 9 19 10 11
D
S、T
14
B
15 16
22
18
G 20
E
13 12
14
F
停止
返回
例：边角网
三角形 大地四边形 中心多边形 扇形
t 2* 3 3 3
t 2*4 3 5
t 2 * 7 3 11
t 2*5 3 7
17
二、条件方程的形式
例 1：在右图所示的水准网中（箭头指 向高端） ，设观测高差为 h1 , h2 , h3 , h4 , h5 ，高 ˆ ,h ˆ ,h ˆ ,h ˆ ,h ˆ ，列出最或 差的最或然值为 h 1 2 3 4 5 然值及改正数应满足的条件关系式。
ˆ h ˆ ˆ h h 0 1 2 4 ˆ h ˆ ˆ 0 h h 2 3 5
N AP 1 AT
b1 r1 b2 r2 bn rn
a1 a 2 b b 2 1 r1 r2
1 a1 p1 an bn 1 a 2 p 2 rn 1 an pn
第二节
确定条件方程的个数
一、高程网
1. 对于有已知高程点的高程网，必要观测数等于网中待 定点的个数； 2. 在没有已知点的高程网中，必要观测数等于网中全部 点的个数减去1。
5
第二节 确定条件方程的个数
一、高程网
列条件方程的原则： 1、闭合水准路线 2、附合水准路线
包含的线路数最少为原则
6
A
h1
1 b1 p1 1 b2 p2 1 bn pn
1 2 3
C
4 17 21 5 6 7 8 9 19 10 11
D
S、T
14
B
15 16
22
18
G 20
E
13 12
14
F
停止
返回
例：边角网
三角形 大地四边形 中心多边形 扇形
t 2* 3 3 3
t 2*4 3 5
t 2 * 7 3 11
t 2*5 3 7
17
二、条件方程的形式
例 1：在右图所示的水准网中（箭头指 向高端） ，设观测高差为 h1 , h2 , h3 , h4 , h5 ，高 ˆ ,h ˆ ,h ˆ ,h ˆ ,h ˆ ，列出最或 差的最或然值为 h 1 2 3 4 5 然值及改正数应满足的条件关系式。
ˆ h ˆ ˆ h h 0 1 2 4 ˆ h ˆ ˆ 0 h h 2 3 5
N AP 1 AT
b1 r1 b2 r2 bn rn
a1 a 2 b b 2 1 r1 r2
1 a1 p1 an bn 1 a 2 p 2 rn 1 an pn
第二节
确定条件方程的个数
一、高程网
1. 对于有已知高程点的高程网，必要观测数等于网中待 定点的个数； 2. 在没有已知点的高程网中，必要观测数等于网中全部 点的个数减去1。
5
第二节 确定条件方程的个数
一、高程网
列条件方程的原则： 1、闭合水准路线 2、附合水准路线
包含的线路数最少为原则
6
A
h1
1 b1 p1 1 b2 p2 1 bn pn
条件平差
L 1 L 2 L 3 180 0
（3）根据条件方程系数、闭合差及观测值的权组成法方程
v 1 v 2 v 3 12 0
A 1 1 1
1 P 1
NK W 0
N A P1 3 1 3 3 Nhomakorabea1
A
T
3 1
1.条件平差原理
A
h3
v1 v 3 v 4 v 5
f
0
C
v1 v 2 v 3 g 0
2.水准网条件平差
课本第35页例【3-4】
必要观测数t=3 多余观测r=4
h5
A
h2
h1
P1
观测总数n=7
解： （1）确定条件方程的个数
r nt 73 4
P2
（2）列出条件方程
V P
1
A K
T
V 4
（6）计算平差值
4
4
T
L L 1 v 1 42 38 17 - 4 42 38 13 1 L 2 L 2 v 2 60 15 24 - 4 60 15 20 L 3 L 3 v 3 77 06 31 - 4 77 06 27
1.条件平差原理
4 条件平差精度评定
（1）单位权中误差的计算
0
pvv
r
V
T
PV r
1.条件平差原理
（2）平差值函数的中误差
平差值函数
f ( L1 , L 2 , , L n )
第3章条件平差原理
6
第三章 条件平差
第一节
也可以单独求:已推导得: 也可以单独求:已推导得:
0 L E A W A 0 1 N A K 1 0 L + N A Z = = 1 T 1 P A N A0 V P 1 AT N 1 A L 1 T 1 E P 1 AT N 1 A P A N A0
第三章 条件平差
第一节
条件平差的数学模型为 函数模型: 函数模型: AV W = 0
2 2 1 随机模型: D 随机模型: n,n = σ 0 Q = σ 0 P,n n n,n
条件平差原理
L1 L L = 2 n ,1 Ln
条件平差就是在满足 条件平差就是在满足r个条件方程 , , , 条件下,求解满足最小二乘法(V 条件下,求解满足最小二乘法( TPV = min)的V值,在数学中就是 min) 求函数的条件极值问题. 求函数的条件极值问题. 条件方程 一,条件平差原理
2010-5-4 8
第三章 条件平差
第一节
三,解题步骤: 解题步骤: (1)根据实际问题,确定出总观测值的个数n,必要观测值的个数t及多余观测 根据实际问题,确定出总观测值的个数n 必要观测值的个数t 个数r 个数r = n - t,列出平差值条件方程并转化为改正数条件方程
条件平差原理
AL + A0 = 0
条件平差原理
AP 1 AT K W = 0
1 T 令: N = AP A
Φ = V T PV 2 K T ( AV W )
法方程
(K T AV) dΦ (V T PV) = 2 = 2V T P 2K T A = 0 dV V V
法方程: 法方程:
NK W = 0
K = N 1W
第三章 条件平差
第一节
也可以单独求:已推导得: 也可以单独求:已推导得:
0 L E A W A 0 1 N A K 1 0 L + N A Z = = 1 T 1 P A N A0 V P 1 AT N 1 A L 1 T 1 E P 1 AT N 1 A P A N A0
第三章 条件平差
第一节
条件平差的数学模型为 函数模型: 函数模型: AV W = 0
2 2 1 随机模型: D 随机模型: n,n = σ 0 Q = σ 0 P,n n n,n
条件平差原理
L1 L L = 2 n ,1 Ln
条件平差就是在满足 条件平差就是在满足r个条件方程 , , , 条件下,求解满足最小二乘法(V 条件下,求解满足最小二乘法( TPV = min)的V值,在数学中就是 min) 求函数的条件极值问题. 求函数的条件极值问题. 条件方程 一,条件平差原理
2010-5-4 8
第三章 条件平差
第一节
三,解题步骤: 解题步骤: (1)根据实际问题,确定出总观测值的个数n,必要观测值的个数t及多余观测 根据实际问题,确定出总观测值的个数n 必要观测值的个数t 个数r 个数r = n - t,列出平差值条件方程并转化为改正数条件方程
条件平差原理
AL + A0 = 0
条件平差原理
AP 1 AT K W = 0
1 T 令: N = AP A
Φ = V T PV 2 K T ( AV W )
法方程
(K T AV) dΦ (V T PV) = 2 = 2V T P 2K T A = 0 dV V V
法方程: 法方程:
NK W = 0
K = N 1W
第三章 条件平差(第五周+第六周)
1
4
7
10
2021年5月20日星期四
F 8
12 11
E
24
§3- 2、条件方程的列立
六、坐标条件
xˆE xE 0
yˆ E yE 0
xˆE xB xˆBC xˆCE
xB SˆBC cosˆBC SˆCE cosˆCE
yˆE yB yˆBC yˆCE
yˆB SˆBC sinˆBC SˆCE sinˆCE
26
§3- 2、条件方程的列立
六、坐标条件
B
4 3
D 57
F
8 12
69
1
2
10
11
(xE xB )(cotL1v1 cotL2v2 ) (xE xC )(cotL4v4 cotL5v5 ) A
C
E
(xE xC )(cotL7v7 cotL8v8 ) (xE xC )(cotL12v12 cotL11v11)
为了使平差值满足相应几何图形的要求，必 须使由不同路线推算得到的同一条边的长 度应相等。
A
图3
B D
图5 C1 C
§3- 2、条件方程的列立
3、极条件
图3
（4）
（5）
（6）
以D点为极，列出各图形边长比的积为1，称为极条件方程
注：列极条件方程时，要记住这么一个规律：分子为起算 边所 对角度的正弦，分母为推算边所对角度的正弦！
Q
n,n
2 0
P 1
n,n
函数模型 随机模型
AV W 0
V T PV min
平差模型
按求函数极值的拉格朗日乘 数法，引入乘系数
K
r ,1
[ka
kb
条件平差原理
第3章 条件平差
§3-1 一、基础方程和它的解 数学模型 条件平差原理
AV W 0 W F ( L) 2 2 D 0 Q 0 P 1
V T PV min
r n n1
A V W 0
r 1
T T
1、求函数极值的拉格朗日乘数法，构造新的函数：
V PV 2 K ( AV W ) min
^
5、为了检查平差计算的正确性，常用平差值 L 重新列出平差值
条件方程式，看其是否满足方程。
^
K r1 [ka kb kr ]
T
2、求其一阶偏导数，并令其为0,得到改正数方程。
dΦ = T T 2V P 2 K A = 0 dV
T = PV A K
-1 T = V P A K = QA
T
K
V = QA
T
K
改正数方程
3、组建基础方程并解算，得到法方程。
AV -W = 0 r´ n n ´ 1 r´ 1 T V = QA K
T
｝
基础方程
令：N
( AQA ) rr K r1 W 0
上式也称为法方程式
r ,r
AQAT
，有：
NK W 0
4、解算法方程，得到联系数向量K。
N AQA
r ,r
T
T T
AQAT
T R N R AQA R A r r ,r
N是一个r阶对称满秩的方阵，其逆阵N 1 是存在 1W
ˆ 5、求改正数向量 V 和平差值向量 L
V QAT K ˆ L V L
。
二、条件平差的计算步骤 1、根据平差问题的具体情况，列出条件方程式，条件方程的个数
§3-1 一、基础方程和它的解 数学模型 条件平差原理
AV W 0 W F ( L) 2 2 D 0 Q 0 P 1
V T PV min
r n n1
A V W 0
r 1
T T
1、求函数极值的拉格朗日乘数法，构造新的函数：
V PV 2 K ( AV W ) min
^
5、为了检查平差计算的正确性，常用平差值 L 重新列出平差值
条件方程式，看其是否满足方程。
^
K r1 [ka kb kr ]
T
2、求其一阶偏导数，并令其为0,得到改正数方程。
dΦ = T T 2V P 2 K A = 0 dV
T = PV A K
-1 T = V P A K = QA
T
K
V = QA
T
K
改正数方程
3、组建基础方程并解算，得到法方程。
AV -W = 0 r´ n n ´ 1 r´ 1 T V = QA K
T
｝
基础方程
令：N
( AQA ) rr K r1 W 0
上式也称为法方程式
r ,r
AQAT
，有：
NK W 0
4、解算法方程，得到联系数向量K。
N AQA
r ,r
T
T T
AQAT
T R N R AQA R A r r ,r
N是一个r阶对称满秩的方阵，其逆阵N 1 是存在 1W
ˆ 5、求改正数向量 V 和平差值向量 L
V QAT K ˆ L V L
。
二、条件平差的计算步骤 1、根据平差问题的具体情况，列出条件方程式，条件方程的个数
【平差课件】第3章第3讲(三角网条件平差
（四）条件方程的列立
1、图形条件(n=15 t=8 r=7 哪7个？)
每个三角形内角平差值和等于180 Lˆ1 Lˆ2 Lˆ3 180 0
v1 v2 v3 w 0
w (L1 L2 L3 180 )
（四）条件方程的列立
2、水平条件
中点多边形中心点角度平差值之和等于360
Lˆ3 Lˆ6 Lˆ9 Lˆ12 Lˆ15 360 0
cot L1
v1
sin L1 sin L4 sin L7 sin L10 sin L13 sin L2 sin L5 sin L8 sin L11 sin L14
cot L2
v2
sin sin
L1 sin L4 sin L7 sin L10 L2 sin L5 sin L8 sin L11
sin L13 sin L14
wS
1
S EF S AB
sin L2 sin L5 sin L8 sin L11 sin L1 sin L4 sin L7 sin L10
（四）条件方程的列立
6、坐标条件
xˆE xE 0 yˆ E yE 0
xˆE xB xˆBC xˆCE xB SˆBC cosTˆBC SˆCE cosTˆCE
wx
(xE
1000
xE )
206.265(xE
xE )
( yE yB )(ctgL1v1 ctgL2v2 ) ( yE yC )(ctgL4v4 ctgL5v5 ) ( yE yC )(ctgL7v7 ctgL8v8 ) ( yE yC )(ctgL12v12 ctgL11v11 ) (xE xB )(v3 ) (xE xC )(v6 ) (xE xC )(v9 ) (xE xC )(v10 ) wy 0
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C 75 6 D 3 A 8 1 4 2 B
9
v 1 v 2 v 3 w 1 0， w 1 L1 L2 L 3 180 0 v 4 v 5 v 6 w 2 0， w 2 L4 L5 L6 180 0 v 7 v 8 v 9 w 3 0， w 3 L7 L8 L9 180 0
1
第一节 条件平差原理 第二节 确定条件方程的个数 第三节 条件方程 第四节 法方程的组成与解算 第五节 精度评定 第六节 附有参数的条件平差
2
第二节 确定条件方程的个数
按条件方程求平差值时，必须先确定条件方 程的个数。方程个数等于多余观测数r。
r n t
必要观测数t是指确定网中待定点位置而必须 观测的观测值个数。
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
B
D
t4
~
B
h8
r nt 84 4
h 6 h 5 h 7 0 h1 h 3 h 6 0 h 3 h 2 h 4 0 h 4 h8 h5 0
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
7
二、测站平差 平差目的是确定各未知方向的最或然方向值。
分析此图形的条件。
w极 (
BC sin L3 sin L6 ) BA sin L1 sin L4
26
第四节 法方程的组成与解算
一、条件方程 三、解算
AV W 0 W AL A0
二、法方程的组成
K N W V P A K
T 1
1
AP 1 AT K W 0 NK W 0 N AP A
3
第二节
确定条件方程的个数
一、高程网
平差目的是确定网中待定点的最或然高程（高程平差值） h1 D A A C h3 h1 E h6 O h3 h2 h7 G h6 h2 h5 h4 h4 h7 F h5 D B B C h8 n=7 n=8
t3
r nt 73 4
t4 r nt 84 4 4
21
C
（3）极条件（边长条件） 一般用于中点多边形和大地四边形。
ˆ sin L ˆ sin L ˆ sin L 1 4 7 DA DA ˆ ˆ ˆ sin L sin L sin L
2 5 8
75 6 D 3 A 8 1 4 2 B
9
ˆ sin L ˆ sin L ˆ sin L 1 4 7 1 0 ˆ ˆ ˆ sin L sin L sin L
28
观测值独立时
N AP 1 AT
D
S、T
14
15
22
18
B
16
G 20
E
13 12
12
F
停止
返回
例：测角网
三角形 大地四边形 中心多边形 扇形
t 2* 3 4 2
t 2*4 4 4
t 2 * 7 4 10
t 2*5 4 6
13
2.少于两个已知点的三角网
（2）测边网或边角网
若网中有K个三角点，则其必要观测数 t= 2K-3
ˆ L v 代入： 将L i i i ˆ v L ˆ v L ˆ v 180 0 0 L 1 1 2 2 3 3 ˆ v L ˆ v L ˆ v 180 0 0 L 4 4 5 5 6 6 ˆ v L ˆ v L ˆ v 180 0 0 L 7 7 8 8 9 9
22
例2： 必需观测数：2 多余观测数：6-2=4
（1）图形条件两个
如图平面三角网，其中 A、B、C 为已知点，P 为未知点，观测值为 ，观测 各内角 Li （ i 1,2, ,6 ）
v1 v 2 v3 w1 0 v 4 v5 v6 w 2 0
其中
w1 L1 L2 L3 180 w2 L4 L5 L6 180
N AP 1 AT
b1 r1 b2 r2 bn rn
a1 a 2 b b 2 1 r1 r2
1 a1 p1 an bn 1 a 2 p 2 rn 1 an pn
20
C 75
（2）圆周条件（水平条件） 圆周条件的个数等于中心点的条数。
9 3 6 D 4 2 B
ˆ L ˆ L ˆ 3600 0 L 3 6 9
A
8 1
ˆ L v 代入： 将L i i i L3 v 3 L6 v 6 L9 v 9 3600 0
v3 v6 v9 w4 0，w4 L3 L6 L9 3600
第二节
确定条件方程的个数
一、高程网
1. 对于有已知高程点的高程网，必要观测数等于网中待 定点的个数； 2. 在没有已知点的高程网中，必要观测数等于网中全部 点的个数减去1。
5
第二节 确定条件方程的个数
一、高程网
列条件方程的原最少为原则
6
A
h1
其中
w3 TBA L2 L5 TBC
ˆ ，L ˆ L v ， 值的平差值为 L i i i i
分析此图形的条件。
24
例2： （3）固定边条件一个
ˆ sin L ˆ sin L 3 6 BA BC ˆ sin L ˆ sin L
1 4
cot L1 v1 cot L3 v 3 cot L4 v 4 cot L6 v 6 w 极 0 w极 BC sin L3 sin L6 ( ) BA sin L1 sin L4
15
四、单一附合导线
观测值个数为2n+1 待定点个数为n-1, 必要观测数t=2(n-1) 则多余观测数r=(2n+1)-2(n-1)=3
βn
M
β2
Pn P2 S N Sn β n+1 B A P 3
16
β1
2
S1
第三节 条件方程
一、列条件方程的原则
1. 条件方程应足数，条件方程的个数等于多余观测数r。 2. 条件方程之间函数独立。 3. 在确保条件总数不变的前提下，有些条件可以相互替 换，因而可以选择形式简单、便于计算的条件代替那些较 为复杂的条件。
t=2
t=3
8
停止
返回
二、测站平差
1. 在有已知方向的测站上，必要观测数等于未知方向的个数； 2. 在没有已知方向的测站上，必要观测数等于全部方向数减1。
9
三、三角网
（测角网、测边网、边角网）
平差目的是确定三角点在平面坐标系中的坐标最或然值。 测角网： 4个起算数据 两已知点（4个坐标）
一个已知点（2个坐标） 一个方位（1个） 一个尺度（边长）（1个） 测边网、边角网： 3个起算数据
25
（1）图形条件两个
v1 v 2 v3 w1 0 v 4 v5 v6 w 2 0
例2：
w1 L1 L2 L3 180 w2 L4 L5 L6 180
（2）固定角条件一个
v 2 v 5 w3 0
w3 TBA L2 L5 TBC
10
三、三角网
测角网、测边网、边角网
1.有两个或两个以上已知点的三角网
不论测角网、测边网、还是边角网， 必要观测数t等于待定点个数的2倍。 假设有P个待定点，则t=2p
11
2.少于两个已知点的三角网
（1）测角网：
若网中有K个三角点，则其必要观测数 t=2K-4
A
1 2 3
C
4 17 21 5 6 7 8 9 19 10 11
17
二、条件方程的形式
例 1：在右图所示的水准网中（箭头指 向高端） ，设观测高差为 h1 , h2 , h3 , h4 , h5 ，高 ˆ ,h ˆ ,h ˆ ,h ˆ ,h ˆ ，列出最或 差的最或然值为 h 1 2 3 4 5 然值及改正数应满足的条件关系式。
ˆ h ˆ ˆ h h 0 1 2 4 ˆ h ˆ ˆ 0 h h 2 3 5
如图平面三角网，其中 A、B、C 为已知点，P 为未知点，观测值为 cotL1v1 cotL3v3 cotL4v4 cotL6v6 w极 0 ，观测 各内角 Li （ i 1,2, ,6 ）
（3）固定边条件一个
ˆ ，L ˆ L v ， 值的平差值为 L i i i i
1 b1 p1 1 b2 p2 1 bn pn
aa ab ar 1 r1 p1 p p p ab bb br 1 r2 p2 p p p 1 ar br rr rn pn p p p
C E
h6 h7 h2 h5 h3
A
h1 h6 h3
O
D
G
h4
h7
h2 h5 h4
C
F
t3 r nt 73 4
h1 h 2 h 3 ( H C H A ) 0 h1 h 6 h 7 ( H B H A ) 0 h 7 h 5 h 4 ( H D H B ) 0 h 2 h 5 h 6 0
A
1 2 3
C
4 17 21 5 6 7 8 9 19 10 11
D
S、T
14
B
15 16
22
18
G 20
E
13 12
14
F
停止
返回
例：边角网
三角形 大地四边形 中心多边形 扇形
9
v 1 v 2 v 3 w 1 0， w 1 L1 L2 L 3 180 0 v 4 v 5 v 6 w 2 0， w 2 L4 L5 L6 180 0 v 7 v 8 v 9 w 3 0， w 3 L7 L8 L9 180 0
1
第一节 条件平差原理 第二节 确定条件方程的个数 第三节 条件方程 第四节 法方程的组成与解算 第五节 精度评定 第六节 附有参数的条件平差
2
第二节 确定条件方程的个数
按条件方程求平差值时，必须先确定条件方 程的个数。方程个数等于多余观测数r。
r n t
必要观测数t是指确定网中待定点位置而必须 观测的观测值个数。
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
B
D
t4
~
B
h8
r nt 84 4
h 6 h 5 h 7 0 h1 h 3 h 6 0 h 3 h 2 h 4 0 h 4 h8 h5 0
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
7
二、测站平差 平差目的是确定各未知方向的最或然方向值。
分析此图形的条件。
w极 (
BC sin L3 sin L6 ) BA sin L1 sin L4
26
第四节 法方程的组成与解算
一、条件方程 三、解算
AV W 0 W AL A0
二、法方程的组成
K N W V P A K
T 1
1
AP 1 AT K W 0 NK W 0 N AP A
3
第二节
确定条件方程的个数
一、高程网
平差目的是确定网中待定点的最或然高程（高程平差值） h1 D A A C h3 h1 E h6 O h3 h2 h7 G h6 h2 h5 h4 h4 h7 F h5 D B B C h8 n=7 n=8
t3
r nt 73 4
t4 r nt 84 4 4
21
C
（3）极条件（边长条件） 一般用于中点多边形和大地四边形。
ˆ sin L ˆ sin L ˆ sin L 1 4 7 DA DA ˆ ˆ ˆ sin L sin L sin L
2 5 8
75 6 D 3 A 8 1 4 2 B
9
ˆ sin L ˆ sin L ˆ sin L 1 4 7 1 0 ˆ ˆ ˆ sin L sin L sin L
28
观测值独立时
N AP 1 AT
D
S、T
14
15
22
18
B
16
G 20
E
13 12
12
F
停止
返回
例：测角网
三角形 大地四边形 中心多边形 扇形
t 2* 3 4 2
t 2*4 4 4
t 2 * 7 4 10
t 2*5 4 6
13
2.少于两个已知点的三角网
（2）测边网或边角网
若网中有K个三角点，则其必要观测数 t= 2K-3
ˆ L v 代入： 将L i i i ˆ v L ˆ v L ˆ v 180 0 0 L 1 1 2 2 3 3 ˆ v L ˆ v L ˆ v 180 0 0 L 4 4 5 5 6 6 ˆ v L ˆ v L ˆ v 180 0 0 L 7 7 8 8 9 9
22
例2： 必需观测数：2 多余观测数：6-2=4
（1）图形条件两个
如图平面三角网，其中 A、B、C 为已知点，P 为未知点，观测值为 ，观测 各内角 Li （ i 1,2, ,6 ）
v1 v 2 v3 w1 0 v 4 v5 v6 w 2 0
其中
w1 L1 L2 L3 180 w2 L4 L5 L6 180
N AP 1 AT
b1 r1 b2 r2 bn rn
a1 a 2 b b 2 1 r1 r2
1 a1 p1 an bn 1 a 2 p 2 rn 1 an pn
20
C 75
（2）圆周条件（水平条件） 圆周条件的个数等于中心点的条数。
9 3 6 D 4 2 B
ˆ L ˆ L ˆ 3600 0 L 3 6 9
A
8 1
ˆ L v 代入： 将L i i i L3 v 3 L6 v 6 L9 v 9 3600 0
v3 v6 v9 w4 0，w4 L3 L6 L9 3600
第二节
确定条件方程的个数
一、高程网
1. 对于有已知高程点的高程网，必要观测数等于网中待 定点的个数； 2. 在没有已知点的高程网中，必要观测数等于网中全部 点的个数减去1。
5
第二节 确定条件方程的个数
一、高程网
列条件方程的原最少为原则
6
A
h1
其中
w3 TBA L2 L5 TBC
ˆ ，L ˆ L v ， 值的平差值为 L i i i i
分析此图形的条件。
24
例2： （3）固定边条件一个
ˆ sin L ˆ sin L 3 6 BA BC ˆ sin L ˆ sin L
1 4
cot L1 v1 cot L3 v 3 cot L4 v 4 cot L6 v 6 w 极 0 w极 BC sin L3 sin L6 ( ) BA sin L1 sin L4
15
四、单一附合导线
观测值个数为2n+1 待定点个数为n-1, 必要观测数t=2(n-1) 则多余观测数r=(2n+1)-2(n-1)=3
βn
M
β2
Pn P2 S N Sn β n+1 B A P 3
16
β1
2
S1
第三节 条件方程
一、列条件方程的原则
1. 条件方程应足数，条件方程的个数等于多余观测数r。 2. 条件方程之间函数独立。 3. 在确保条件总数不变的前提下，有些条件可以相互替 换，因而可以选择形式简单、便于计算的条件代替那些较 为复杂的条件。
t=2
t=3
8
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二、测站平差
1. 在有已知方向的测站上，必要观测数等于未知方向的个数； 2. 在没有已知方向的测站上，必要观测数等于全部方向数减1。
9
三、三角网
（测角网、测边网、边角网）
平差目的是确定三角点在平面坐标系中的坐标最或然值。 测角网： 4个起算数据 两已知点（4个坐标）
一个已知点（2个坐标） 一个方位（1个） 一个尺度（边长）（1个） 测边网、边角网： 3个起算数据
25
（1）图形条件两个
v1 v 2 v3 w1 0 v 4 v5 v6 w 2 0
例2：
w1 L1 L2 L3 180 w2 L4 L5 L6 180
（2）固定角条件一个
v 2 v 5 w3 0
w3 TBA L2 L5 TBC
10
三、三角网
测角网、测边网、边角网
1.有两个或两个以上已知点的三角网
不论测角网、测边网、还是边角网， 必要观测数t等于待定点个数的2倍。 假设有P个待定点，则t=2p
11
2.少于两个已知点的三角网
（1）测角网：
若网中有K个三角点，则其必要观测数 t=2K-4
A
1 2 3
C
4 17 21 5 6 7 8 9 19 10 11
17
二、条件方程的形式
例 1：在右图所示的水准网中（箭头指 向高端） ，设观测高差为 h1 , h2 , h3 , h4 , h5 ，高 ˆ ,h ˆ ,h ˆ ,h ˆ ,h ˆ ，列出最或 差的最或然值为 h 1 2 3 4 5 然值及改正数应满足的条件关系式。
ˆ h ˆ ˆ h h 0 1 2 4 ˆ h ˆ ˆ 0 h h 2 3 5
如图平面三角网，其中 A、B、C 为已知点，P 为未知点，观测值为 cotL1v1 cotL3v3 cotL4v4 cotL6v6 w极 0 ，观测 各内角 Li （ i 1,2, ,6 ）
（3）固定边条件一个
ˆ ，L ˆ L v ， 值的平差值为 L i i i i
1 b1 p1 1 b2 p2 1 bn pn
aa ab ar 1 r1 p1 p p p ab bb br 1 r2 p2 p p p 1 ar br rr rn pn p p p
C E
h6 h7 h2 h5 h3
A
h1 h6 h3
O
D
G
h4
h7
h2 h5 h4
C
F
t3 r nt 73 4
h1 h 2 h 3 ( H C H A ) 0 h1 h 6 h 7 ( H B H A ) 0 h 7 h 5 h 4 ( H D H B ) 0 h 2 h 5 h 6 0
A
1 2 3
C
4 17 21 5 6 7 8 9 19 10 11
D
S、T
14
B
15 16
22
18
G 20
E
13 12
14
F
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例：边角网
三角形 大地四边形 中心多边形 扇形