第十二讲 解方程 (教师版) - 杜老师奥数网
新人教版(新插图)五年级上册数学 第 12 课时 列形如ax±b=c 的方程解决实际问题教学设计
第12课时列形如ax±b=c的方程解决实际问题（教案）教学内容教材P73例7。
教学目标1. 会列方程解“已知比一个数的几倍多几（或少几）的数是多少，求这个数”的应用题。
2. 能正确找出等量关系，并列方程解答。
3. 经历列方程解决问题的过程，使学生感受数学与现实生活的联系。
教学重点能正确列出方程解决实际问题。
教学难点能找出题中的等量关系并正确列出方程。
教学方法自主探究，交流讨论。
教学准备多媒体课件。
教学过程一、课时导入课件出示：列方程解答。
艳艳家有25只鹅，比鸡多10只。
鸡有多少只？师：列方程解决实际问题有哪些步骤？学生交流汇报。
师：你能找出题目中的等量关系，列方程解答吗？学生独立完成，交流汇报。
生：解：设鸡有x只。
x+10=25x+10-10=25-10x=15答：鸡有15只。
师揭示课题：这节课我们继续学习列方程解决实际问题。
（板书课题）设计意图通过回忆列方程解决实际问题的步骤，并列方程解决实际问题，让学生熟悉用方程解决实际问题的方法，为学习新知作好铺垫。
二、探究新知探究点列形如ax±b=c的方程解决实际问题课件出示教材第73页例7。
足球上黑色的皮都是五边形的，白色的皮都是六边形的。
白色皮共有20块，比黑色皮的2倍少4块。
黑色皮共有多少块？1. 分析题意，获取信息。
师：请同学们认真读题并说说从中获取了什么信息。
学生交流汇报。
生1：已知条件是白色皮共有20块，比黑色皮的2倍少4块。
生2：所求问题是黑色皮共有多少块。
2. 找出题中的等量关系，列出方程并解答。
（1）找出题中的等量关系。
师：请同学们根据给出的已知条件与所求问题找出等量关系。
学生独立思考，并进行汇报。
生1：我找出的等量关系是黑色皮块数×2-4=白色皮块数。
生2：我找出的等量关系是黑色皮块数×2-白色皮块数=4。
生3：我找出的等量关系是黑色皮块数×2=白色皮块数+4。
师：你能画图找出等量关系吗？试一试。
五年级上册数学课件-第五单元第12课时 解方程 (共25张PPT)部编版
1
情景导学
情景导学
解方程。
4x÷3＝1.44
解： 4x÷3×3＝1.44×3 4x＝4.32
4x÷4＝4.32÷4 x＝1.08
问题：在解方程过程中你分几大步进行？每步的 目的是什么？
2
探索与发现
探索与发现
怎样解形如ax±b=c(a≠0)的方程？ 2(x－16)＝8
你打算怎样解？
我打算把(x－16)看作 一个整体。
学以致用
4x-25=51 解：4x-25+25=51+25
4x=76 x=19
(27-2x)÷3=7
解：27-2x=21 27=21+2x 6=2x x=3
学以致用
(5x-12)×8=24
(100-3x)÷2=8
解：(5x-12)×8÷8=24÷8 解：(100-3x)÷2×2=8×2
5x-12=3 5x=15
x+3x=80 解： 4x=80
4x÷4=80÷4 x=20
学以致用
3.解下列方程。 3(x-4)=18
1.6(x-2.4)=3.2
解：3(x-4)÷3=18÷3 x-4=6
x-4+4=6+4 x=10
解：1.6(x-2.4)÷1.6=3.2÷1.6 x-2.4=2
x-2.4+2.4=2+2.4 x=4.4
5
课后作业
课后作业
完成同步练习。
谢谢观看
16、不要太脾气，否则会很麻烦。如果您没有太多的能力，就不会有太多的渴望，否则您将痛苦不堪。 3、如果不是你的，不要保留它；如果让您感到不舒服，请不要停止。如果人在寒冷中行走，他的心脏会保持温暖；如果不可避免地聚集在一 起，他将独自享受世界的欣喜。不要回顾过去，不要回顾未来。这就是你应该拥有的生活。
初二人教版数学春季班(教师版)第12讲 一元二次方程及其解法 --提高班
第12讲一元二次方程及其解法知识点1 一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程一般形式：任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为ax²+bx+c=0(a≠0)的形式．称之为一元二次方程的一般形式；ax²，bx，c分别称为二次项、一次项、常数项；a，b分别称为二次项系数、一次项系数【典例】例1（2020秋•新抚区期末）下列方程中，是一元二次方程的为（）A．x2＝0B．x2﹣2y＝0C．2x﹣3＝0D．x2+1x=−3【解答】解：A、∵x2＝0是一元二次方程，∴选项A符合题意；B、∵x2﹣2y＝0含有两个未知数，∴x2﹣2y＝0不是一元二次方程，选项B不符合题意；C、∵2x﹣3＝0的未知数的最高次数是1，∴2x﹣3＝0不是一元二次方程，选项C不符合题意；D、∵x2+1x=−3不是整式方程，∴x2+1x=−3不是一元二次方程，选项D不符合题意．故选：A．【方法总结】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．例2（2020秋•铁锋区期末）若关于x的方程（a﹣1）x a2+1−7x+3＝0是一元二次方程，则a＝﹣1．【解答】解：∵关于x的方程（a﹣1）x a2+1−7x+3＝0是一元二次方程，∴a2+1＝2且a﹣1≠0，解得：a＝﹣1．故答案为：﹣1．【方法总结】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．例3 （2020秋•恩平市期中）将方程x（x﹣1）＝3x+1化为一元二次方程的一般形式x2﹣4x﹣1＝0．【解答】解：x（x﹣1）＝3x+1，去括号、移项，得x2﹣x﹣3x﹣1＝0，合并同类项，得x2﹣4x﹣1＝0．故答案是：x2﹣4x﹣1＝0．【方法总结】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．例4（2020秋•马村区月考）将关于x的一元二次方程（2x+1）2﹣（x+√5）（x−√5）＝0化为一般形式后，其二次项系数为（）A．3B．﹣3C．4D．﹣4【解答】解：由（2x+1）2﹣（x+√5）（x−√5）＝0得到：3x2+4x+6＝0，其中二次项系数是3．故选：A．【方法总结】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，去括号的过程中要注意符号的变化，以及注意不能漏乘，移项时要注意变号．注意在说明二次项，一次项，常数项时，一定要带上前面的符号．【随堂练习】1．（2020秋•松山区期末）已知关于x的方程（m﹣1）x m2+1+2x﹣3＝0是一元二次方程，则m的值为﹣1．【解答】解：由一元二次方程的定义得：m2+1＝2，且m﹣1≠0，解得：m＝﹣1．故答案为：﹣1．2．（2020秋•越秀区校级期中）若关于x的方程（m﹣2）x2﹣mx+3＝0是一元二次方程，则m的取值范围是m≠2．【解答】解：由题意，得m﹣2≠0，解得m≠2，故答案是：m≠2．3．（2020秋•青羊区校级月考）方程5x2＝21﹣9x化成一般形式后，若二次项的系数为5，则它的一次项系数是（）A．9B．﹣9C．9x D．﹣9x【解答】解：5x2＝21﹣9x，5x2+9x﹣21＝0，一次项系数是9，故选：A．4．（2020秋•东海县期中）将一元二次方程3x（x﹣1）＝2化成ax2+bx+c＝0（a＞0）的形式为3x2﹣3x﹣2＝0．【解答】解：方程3x（x﹣1）＝2，去括号得：3x2﹣3x＝2，移项得：3x2﹣3x﹣2＝0．故答案为：3x2﹣3x﹣2＝0．知识点2 一元二次方程的解法1、形如或的一元二次方程，就可用直接开平方的方法；2、用配方法解一元二次方程的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数； ①移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项； ①配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方； ①化原方程为的形式；①如果是非负数，即，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n ＜0，则原方程无解. 3、公式法又叫万能法，对于任何的一元二次方程都适用，解题时，一定要准确判断a 、b 、c 的值，熟练记忆并理解公式的推导和结论 （1）一元二次方程的根的判别式①=b 2－4ac当△＞0时，有两个不相等的实数根； 当△＝0时，有两个相等的实数根；当①＜0时，没有实数根．反过来也成立（2）一元二次方程的求根公式是4、因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为0；①将方程的左边化成两个一次因式的乘积；①令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解【典例】直接开平方法例1（2020春•浦东新区期末）解关于y 的方程：by 2﹣1＝y 2+2．)0(2≥=a a x )0()(2≥=-a a b x ()02≠=++a o c bx ax 2()x m n +=0n ≥20(0)ax bx c a ++=≠21,240)x b ac =-≥【解答】解：移项得：by 2﹣y 2＝2+1， 合并同类项得：（b ﹣1）y 2＝3， 当b ＝1时，原方程无解； 当b ＞1时，原方程的解为y ＝±√3b−3b−1； 当b ＜1时，原方程无实数解．【方法总结】此题主要考查解一元二次方程．解题的关键是掌握解一元二次方程的方法，方程两边都除以b ﹣1时注意讨论是否为0这一前提条件，是易错点． 例2（2020秋•马山县期中）解方程：1﹣8x +16x 2＝2﹣8x ． 【解答】解：1﹣8x +16x 2＝2﹣8x ， 移项、合并同类项，得16x 2＝1， 两边同时除以16，得x 2=116， 解得x ＝±14．【方法总结】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x 2＝a （a ≥0）的形式，利用数的开方直接求解．注意：（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2＝a （a ≥0）；ax 2＝b （a ，b 同号且a ≠0）；（x +a ）2＝b （b ≥0）；a （x +b ）2＝c （a ，c 同号且a ≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”． （2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．【随堂练习】1．（2020秋•孟津县期末）解方程：（y +2）2＝（3y ﹣1）2． 【解答】解：直接开平方，得y +2＝±（3y ﹣1） 即y +2＝3y ﹣1或y +2＝﹣（3y ﹣1）， 解得：y 1=32，y 2=−14．2．（2020春•金山区期中）解关于x 的方程：x 2﹣1＝1﹣ax 2（a ≠﹣1）．【解答】解：x2﹣1＝1﹣ax2（a≠﹣1）．（1+a）x2＝2，当a＜﹣1，无解，当a＞﹣1，x=±√21+a，x1=√2+2a1+a，x2=−√2+2a1+a．【典例】配方法例1 （2020秋•云县期中）将一元二次方程：x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b的形式正确的是（）A．（x+4）2＝21B．（x﹣4）2＝11C．（x﹣4）2＝21D．（x﹣8）2＝69【解答】解：∵x2﹣8x﹣5＝0，∴x2﹣8x＝5，则x2﹣8x+16＝5+16，即（x﹣4）2＝21，故选：C．【方法总结】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．例2（2020•武汉模拟）解方程：2x2﹣4x﹣1＝0（用配方法）【解答】解：2x2﹣4x﹣1＝0x2﹣2x−12=0x2﹣2x+1=12+1（x﹣1）2=3 2∴x1＝1+√62，x2＝1−√6 2．【方法总结】用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q＝0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax2+bx+c＝0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q＝0，然后配方．【随堂练习】1．（2020秋•句容市期中）若将方程x2﹣4x+1＝0化为（x+m）2＝n的形式，则m＝﹣2．【解答】解：方程x2﹣4x+1＝0，移项得：x2﹣4x＝﹣1，配方得：x2﹣4x+4＝3，即（x﹣2）2＝3，则m＝﹣2．故答案为：﹣2．2．（2020秋•喀什地区期末）用配方法解方程：2x2﹣3x+1＝0．【解答】解：x2−32x=−12，x2−32x+916=−12+916，（x−34）2=116x−34=±14，所以x1=12，x2＝1．【典例】公式法例1（2020秋•南安市期中）x=−3±√32+4×2×12×2是下列哪个一元二次方程的根（）A．2x2+3x+1＝0B．2x2﹣3x+1＝0C．2x2+3x﹣1＝0D．2x2﹣3x﹣1＝0【解答】解：A．此方程的解为x=−3±√32−4×2×12×2，不符合题意；B．此方程的解为x=3±√(−3)2−4×2×12×2，不符合题意；C．此方程的解为x=−3±√32+4×2×12×2，符合题意；D．此方程的解为x=3±√(−3)2−4×2×(−1)2×2，不符合题意；故选：C．【方法总结】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．例2（2020秋•台州月考）解方程：2x 2﹣4x ＝﹣1； 【解答】解：∵2x 2﹣4x ＝﹣1， ∴x 2﹣2x ＝﹣0.5，则x 2﹣2x +1＝1﹣0.5，即（x ﹣1）2=12， ∴x ﹣1＝±√22， ∴x 1＝1+√22，x 2＝1−√22；【方法总结】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．【随堂练习】1．（2020秋•冠县期末）解一元二次方程：（x +1）（x ﹣2）＝4． 【解答】解：（x +1）（x ﹣2）＝4， 整理得，x 2﹣x ﹣6＝0， a ＝1，b ＝﹣1，c ＝﹣6，△＝b 2﹣4ac ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣6）＝25＞0， ∴方程有两个不相等的实数根，x =−b±√b 2−4ac 2a =−(−1)±52， x 1＝3，x 2＝﹣2．【典例】因式分解法例1（2020秋•皇姑区期末）解方程：3x 2+4x ﹣4＝0． 【解答】解：方程3x 2+4x ﹣4＝0，分解因式得：（3x﹣2）（x+2）＝0，可得3x﹣2＝0或x+2＝0，解得：x1=23，x2＝﹣2．【方法总结】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．例2 （2020秋•平江县期中）已知一个等腰三角形的腰长和底边长是一元二次方程x2﹣10x+21＝0的两个根，则这个等腰三角形的周长为（）A．10B．13C．17D．13或17【解答】解：解方程x2﹣10x+21＝0，得x1＝7，x2＝3，当7为腰，3为底时，7﹣3＜7＜7+3，能构成等腰三角形，周长为7+7+3＝17；当3为腰，7为底时，3+3＜7，不能构成等腰三角形．故选：C．【方法总结】本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．【随堂练习】1．（2020秋•兰州期末）解方程：3x（2x+1）＝4x+2．【解答】解：方程整理得：3x（2x+1）﹣2（2x+1）＝0，分解因式得：（3x﹣2）（2x+1）＝0，可得3x﹣2＝0或2x+1＝0，解得：x1=23，x2=−12．2．（2020秋•莲湖区期中）已知一元二次方程x2﹣8x+12＝0的两根恰好是某等腰三角形的两边长，则该等腰三角形的底边长为（）A．2B．6C．8D．2或6【解答】解：方程x2﹣8x+12＝0，因式分解得：（x﹣2）（x﹣6）＝0，解得：x ＝2或x ＝6，若2为腰，6为底，2+2＜6，不能构成三角形； 若2为底，6为腰，此时可以构成三角形． 故选：A ．知识点3：根与系数的关系根与系数关系又称为韦达定理：(1)如果方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的两个根为x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca(2)如果方程x 2+px+q ＝0的两个根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝-p ，x 1·x 2=q (3)当方程的两个根分别为x 1、x 2，满足条件的方程为（x -x 1）（x -x 2）=0 (4)常常配合平方差公式和完全平方公式完成解题【典例】根与系数的关系应用例1（2020秋•东莞市校级月考）已知关于x 的一元二次方程x 2+（m +3）x +m +1＝0． （1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若已知方程的一个根为﹣2，求方程的另一个根以及m 的值． 【解答】（1）证明：∵△＝（m +3）2﹣4×1×（m +1） ＝m 2+6m +9﹣4m ﹣4 ＝m 2+2m +1+4 ＝（m +1）2+4＞0，∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的另外一根为a ， 根据题意，得：{a −2=−m −3−2a =m +1，解得：{a =4m =−5，所以方程的另一根为4，m 的值为﹣5．【方法总结】本题主要考查根与系数关系、根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根与△＝b 2﹣4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q ＝x1x2．例2（2020秋•伊川县期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）设方程的两根分别为x1，x2，当k为最小的正整数时，求x12+x22的值．【解答】解：（1）由题意得△＝（2k+1）2﹣4k2＞0，∴k＞−1 4；（2）∵k＞−14且为最小正整数，∴k＝1，∵方程x2+3x+1＝0，∴x1+x2＝﹣3，x1•x2＝1，∴x12+x22=(x1+x2)2+2x1x2=(−3)2−2×1=7．【方法总结】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．也考查了根的判别式．【随堂练习】1．（2020秋•农安县期末）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2＝0．（Ⅰ）证明：不论m为何值时，方程总有实数根．（Ⅱ）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．【解答】（Ⅰ）证明：△＝（m+2）2﹣8m＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2，∵不论m为何值时，（m﹣2）2≥0，∴△≥0，∴方程总有实数根；（Ⅱ）解方程得，x=m+2±(m−2)2m，x1=2m，x2＝1，∵方程有两个不相等的正整数根，∴m＝1或2，m＝2不合题意，∴m＝1．2．（2020秋•绥棱县期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足3x1﹣2x2＝5，求实数m的值．【解答】解：（1）∵方程有实数根，∴△＝25﹣4m≥0，解得，m≤25 4；（2）由一元二次方程根与系数的关系可知，x1+x2＝5，x1•x2＝m，∵3x1﹣2x2＝5，∴3x1+3x2﹣5x2＝5，∴﹣5x2＝﹣10，解得，x2＝2，把x＝2代入原方程得，m＝6．综合运用1．（2020秋•科左中旗期末）一元二次方程x（2x+3）＝5的常数项是（）A．﹣5B．2C．3D．5【解答】解：方程整理得：2x2+3x﹣5＝0，则常数项为﹣5，故选：A．2．（2020秋•洛宁县月考）用配方法解一元二次方程：x2﹣4x﹣2＝0，可将方程变形为（x ﹣2）2＝n的形式，则n的值是（）A．0B．2C．4D．6【解答】解：方程x2﹣4x﹣2＝0，移项得：x2﹣4x＝2，配方得：x2﹣4x+4＝6，即（x﹣2）2＝6，则n＝6．故选：D．3．（2020秋•荥阳市校级月考）以下是小明解关于x的方程（x+m）2＝n的过程：x+m=±√n；x=±√n−m；你认为是否正确？如果正确写“是”，如果错误写出错误原因：没有就n≥0还是n＜0讨论．【解答】解：错误，没有就n≥0还是n＜0讨论，故答案为：没有就n≥0还是n＜0讨论．4．（2020秋•乌苏市月考）已知方程（m+4）x|m|﹣2+8x+1＝0是一元二次方程，求m的值．【解答】解：∵方程（m+4）x|m|﹣2+8x+1＝0是一元二次方程，∴m+4≠0且|m|﹣2＝2，解得：m＝4．5．（2020•宿松县模拟）解方程：4（2x﹣1）2﹣36＝0．【解答】解：∵4（2x﹣1）2﹣36＝0，∴（2x﹣1）2＝9，∴2x﹣1＝±3，∴x＝2或﹣16．（2020秋•龙沙区期末）解方程：（x+1）2﹣4＝3（x+1）．【解答】解：∵（x+1）2﹣4＝3（x+1），∴（x+1）2﹣4﹣3（x+1）＝0，设t＝x+1，∴t2﹣3t﹣4＝0，∴（t﹣4）（t+1）＝0，∴t＝4或t＝﹣1∴x+1＝4或x+1＝﹣1，∴x＝3或x＝﹣2．7．（2020秋•白云区期中）已知方程x2﹣（k+1）x+k﹣1＝0是关于x的一元二次方程．（1）求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是2，求k的值及方程的另一个根．【解答】（1）证明：△＝[﹣（k+1）]2﹣4×1×（k﹣1）＝k2﹣2k+5＝（k﹣1）2+4．∵（k﹣1）2≥0，∴（k﹣1）2+4＞0，即△＞0，∴对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根；（2）将x＝2代入原方程得：22﹣2（k+1）+k﹣1＝0，解得：k＝1，∴原方程为x2﹣2x＝0．∴方程的另一个根＝2﹣2＝0．8．（2020秋•海珠区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+2（k+1）x+k2﹣1＝0．（1）用含k的代数式表示该方程根的判别式；（2）若该方程有两个实数根x1，x2，且满足x1x2＝2x1+2x2，求k的值．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2（k+1）x+k2﹣1＝0，∴△＝[2（k+1）]2﹣4×1×（k2﹣1）＝8k+8．（2）∵方程有两个实数根x1，x2，∴△＝8k+8≥0，∴k≥﹣1，由根与系数的关系可得x1+x2＝﹣2（k+1），x1x2＝k2﹣1，∵x1x2＝2x1+2x2，∴k2﹣1＝﹣4（k+1）∴k2+4k+3＝0，解得k＝﹣3或k＝﹣1，∵k≥﹣1，∴k＝﹣1．。
部编人教版五年级数学上册 第12课时 实际问题与方程 —x+bx=c的应用
3.5x－1.3x＝ 2.2x
36a－10a＝ 26a
6y－2.5y＝ 3.5y
x×x＝ x2
9x－3.5x－4.5x＝ x
9m－3m＋2m＝ 8m 16x2－8x2＝ 8x2
2．解方程。
x＋3.4x＝28.6
x－0.78x＝0.33
解：4.4x÷4.4＝28.6÷4.4 解：0.22x÷0.22＝0.33÷0.22
ax±bx＝c 解： （a±b）x＝c （a±b）x÷ （a±b） ＝c ÷（a±b）
x ＝c ÷（a±b）
探究点 1 形如ax±bx=c的方程的应用
地球的表面积为5.1亿平方千米，其中，
海洋面积约为陆地面积的2.4 倍。
这里有两个未知 数，怎样设呢？
地球上的海洋面积 和陆地面积分别是 多少亿平方千米？
音乐小组：3x＝3×9＝27 答：参加舞蹈小组的有9人，参加音乐小组的有27人。
形如ax±bx＝c的方程的解法： 可以先将方程转化为（a±b）x＝c的形式，再求 解。具体解法如下：
ax±bx＝c 解： （a±b）x＝c （a±b）x÷ （a±b） ＝c ÷（a±b）
x ＝c ÷（a±b）
已知两种数量的倍数关系，以及它们的和 或差，求这两种数量各是多少的解题方法：
小丽：2x＝2×48＝96 答：小红踢了48个，小丽踢了96个。
5．列方程解应用题。 (2)五(1)班参加音乐小组的人数是参加舞蹈小组人数的
3倍，参加音乐小组和舞蹈小组的共有36人，参加 音乐小组和舞蹈小组的各有多少人？ 解：设参加舞蹈小组的有x人，则参加音乐小组的有3x人。
x＋3x＝36 x＝9
3．填一填。 (3)学校科技组的男同学人数是女同学人数的2.5倍，设
最新西师大版数学五下 解方程 课件(推荐)
这节课你们都学会了哪些知识？
No 1.先把各数的小数点对齐（也就是把相同数位上 的数对齐）。
Image 2.再按照整数加、减法的法则进行计算。
3.最后得数对齐横线上的小数点点上小数点。
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5dm=0.5m
1.2＋0.5=1.7（m）
只有相同单位的 数才能相加。 5dm=0.5m
Image No
答：小明一共用了1.7米的绳子。
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解方程（1)
乐乐50米赛跑的成绩是8.3秒，乐乐比欢欢慢0.2 秒，欢欢50米赛跑的成绩是多少？
Image No
8.3－0.2=8.1（秒）
通过读题，找出 数量关系，计算 得出结果。
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解方程（1)
方程的解和解方程有什么区别？
使方程左右两边相等的未 知数的值，叫做方程的解。
求出方程的解的过程叫 做解方程。
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解方程（1)
试一试。
解方程 x-25=60 x-25=60
解：x-25+25=60+25 x=85
注意：先写“解”，再根据等式的性 质求未知数的值，等号要对齐。
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解方程（1)
解：设下午运来煤x吨。 1.5+x=4.3
1.5+x-1.5=4.3-1.5 x=2.8
答：下午运来煤2.8吨。
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解方程（1)
2.一艘轮船从甲港开往乙港，4小时到达终点， 已知两港之间的水路长128千米，这艘轮船每小 时行多少千米？
解：设这艘轮船每小时行x千米。
4x=128 4x÷4=128÷4
你能提出哪些 数学问题？
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解方程（1)
探究新知 No
第5单元 简易方程 12. 用形如ax±b=c的方程解决问题 (预习课件)
还可以怎样列方程解决这个问题呢？
黑色皮块数×2－白色皮块数＝4
解：设共有x块黑色皮。 2x－20=4
2x－20＋20=4＋20 2x=24
2x÷2=24÷2
先把2x看成 一个整体。
x=12 答：共有12块黑色皮。
检验：把x=12代入原方程中， 左边=2×12－20
x=（c＋b）÷a
解此类型方程时，先把ax看作一个整体，利用等式的
性质1求出ax的值，再用等式的性质2即可求出x的值。
第二步 新知引入
阅读课本74页例2。
已知条件
要求的问题 黑色皮的块数是未知数
第三步 精读教材
x块
黑色皮
2x块
白色皮
20块
4块
等量关系式：
黑色皮块数×2-4=白色皮的块数
黑色皮块数×2－白色皮块数＝4
通过预习，你有哪些收获？
列方程解应用题的一般步骤： （1）找出未知数，用字母x表示； （2）分析实际问题中的数量关系，找
出等量关系，列方程； （3）解方程； （4）检验作答。
第五步 小试牛刀
1.解下列方程。（选题源于教材P75练习十六第1题） 3x＋6＝18
解： 3x+6－6＝18－6 3x÷3＝12÷3 x＝4
RJ 五年级上册
ax±b=c的方程解决问题
课前预习
第一步 旧知回顾
回忆：形如ax ± b =c的方程的解法？它的理论依据是什么？
ax＋b =c
ax-b =c
解： ax＋b-b=c-b
解： ax-b＋b=c＋b
ax÷a=（c-b）÷a
ax÷a=（c＋b）÷a
x=（c-b）÷a
人教版(五上)数学PPT课件 简易方程 第12课时 解方程(五) - 副本 (17张)
方程左边＝x＋3x
＝20＋3×20 ＝20＋60 ＝80 ＝方程右边
所以，x＝20是方程的解。
（1）你能根据图意列出方程吗？ （2）想一想，怎样解这个方程？把过程写下来。
（3）请你检验一下x＝20是不是方程的解。
基础练习
3. 填空。
已知 那么
＋ ＋ ＝16
＋ ＝12
＝（ 4 ） ＝（ 8 ）
●
4.评庸俗化表现为概念代替文本，行 为代替 写作。 较之个 体性的 埋头创 作，不 少诗人 似乎更 喜欢混 个脸熟 ，在这 样的背 景和语 境下， 诗歌批 评基本 沦为诗 人间的 交际和 应酬。 哪怕是 纷纷攘 攘的流 派或主 义之争 ，也往 往是你 方唱罢 我登场 ，名目 噱头不 少，却 未见得 与文学 和读者 有何关 系。
预设1：
解：2（x－16）÷2＝8÷2
预设2：
解： 2 x－32＝8
x－16＝4 x－16＋16＝4＋16
x＝20
2x－32＋32＝8＋32 2x＝40
2x÷2＝40÷2 x＝20
你能说说他们的想法吗？他们分别把什么看成一个整体？ 分几步解决？运用了什么运算定律？
探究新知
（三）反思检验
2（x－16）＝8
亲爱的同学们，再见！ ●
别忘了检验！ห้องสมุดไป่ตู้
方程左边＝2（x－16）
＝2×（20－16） ＝2×4 ＝8
＝方程右边
所以，x＝20是方程的解。
x＝20是不是方程的解？请你检验一下。
基础练习
1. 解方程。
（5x－12）×8＝24
（100－3x）÷2＝8
（1）观察这两个方程有几步运算？可以先把什么看 成一个整体？
五年级数学下册 第7单元 用方程解决问题_第01讲_方程解决问题(教师版)(北师大版)
高思爱提分演示（KJ)初中语文教师辅导讲义学员姓名寒假班年级初一辅导科目初中语文学科教师李红娟上课时间2020-02-05 08:00:00-09:00:00知识图谱实际问题与方程二知识精讲1．解形如的方程时，把ax看成一个整体，先求出ax的值，再求x的值．2．解形如的方程时，把看成一个整体，先求出的值，再求x的值．3．形如的方程的解法：4．用方程法解决含有两个未知数的实际问题时，设其中的1倍量为x，另一个未知量用含有x的式子表示出来．5．画线段图分析问题中的数量关系，可以使数量间的关系更加直观、明了．典型例题（1）梨每千克2.8元，苹果每千克多少元？（2）地球的表面积为5.1亿平方千米，其中，海洋面积约为陆地面积的2.4倍．地球上的海洋面积和陆地面积是多少亿平方千米？（3）小林家和小云家相距4.5km．周日早上9:00两人分别从家骑自行车相向而行，两人何时相遇？名师学堂（1）理解题意，探究解题方法．思路一：看图可知，阿姨买了苹果和梨两种水果，共花了10.4元．由此可知题中存在的等量关系为苹果的总价＋梨的总价＝总价钱．苹果的单价未知，设苹果每千克x元，已知买苹果的数量为2kg，根据“总价＝单价×数量”可知苹果的总价为2x元．同理，梨每千克2.8元，买2kg，可知梨的总价为元．思路二：因为阿姨所买的两种水果的质量相同，所以可以根据“两种水果的单价总和×2＝总价钱”列出方程并求解．列方程解答．方法一解：设苹果每千克x元．方法二解：设苹果每千克x元．比较两个方程的异同．联系：由方程①到方程②，运用了乘法分配律．区别：解方程时，把“2x”看成一个整体；解方程时，把小括号里面的“”看成一个整体．（2）读题，理解题意．已知条件：①海洋面积约为陆地面积的2.4倍；②陆地面积＋海洋面积＝5.1亿平方千米．所求问题：地球上的海洋面积和陆地面积分别是多少亿平方千米？画线段图理解题意．根据“海洋面积约为陆地面积的2.4倍”可知，陆地面积是1倍量（即标准量）．明确解题思路．已知条件①为倍数关系，可用来设未知数．通常情况下，设1倍量的数为x；已知条件②为和差关系，可以依此来列方程．列方程．设陆地面积为x亿平方千米，那么海洋面积可以表示为2.4x亿平方千米．列方程为．探究的解法．方法分析：x表示1个x，2.4x表示2.4个x，根据乘法分配律可知是x的倍，然后按照类型的方程的解法求出x的值．解题过程．（亿平方千米）或（亿平方千米）答：地球上的海洋面积是3.6亿平方千米，陆地面积是1.5亿平方千米．检验结果是否正确．把求得的海洋面积和陆地面积分别代入题中的两个已知条件中，看与已知条件是否一致．，海洋面积是陆地面积的2.4倍．（亿平方千米），海洋面积与陆地面积的和是5.1亿平方千米．所求答案与已知条件完全一致，所以结果是正确的．（3）图文结合，收集数学信息．已知条件：小林每分钟骑250m小云每分钟骑200m，两人在相距4.5km的路上相向而行．所求问题：两人何时相遇？画线段图分析数量关系，探究解题思路．本题属于相遇问题，可以画线段图分析题中的数量关系．因为题中单位不统一，所以要先统一单位，即250m＝0.25km，200m＝0.2km．由上图可以得出等量关系：小林骑的路程＋小云骑的路程=总路程．小林骑的路程=小林的速度×相遇时间，小云骑的路程=小云的速度×相遇时间．而小林和小云的速度分别是0.25千米/分和0.2千米/分，总路程是4.5km，把两人的相遇时间设为x，就可以列出方程并解答．列方程解答．250m=0.25km，200m=0.2km解：设两人x分钟后相遇．早上9:00出发，10分钟后是早上9:10．答：两人在早上9:10相遇．三点剖析重点：理解实际问题中有关和、差、倍的数量关系．难点：选择恰当的等量关系设未知数和列方程．易错点：x是1与x的积，不是0与x的积．当两个量都是未知数，且存在倍数关系时，先设1倍量为x，再把另一个量用含有x的式子表示出来，然后列出方程．形如ax＋ab=c或a（x＋b）=c的方程的解法及应用例题例题1、列方程解决问题．华南小学买来9个同样的篮球和5个同样的足球，共付款382元．已知每个足球26元，每个篮球多少元？【答案】解：设每个篮球x元．9x+5×26=382x=28答：每个篮球28元．【解析】解：设每个篮球x元．9x+5×26=382x=28答：每个篮球28元．例题2、某工程队修一条长1675米的路，前五天每天修125米，后来为了加快进程，剩下的路只用了7天就修完了。
沪教版五上秋季班数学第12讲解方程教师版
尧旭教育个性化辅导第（十二）讲教师版学员姓名：年级：五上课时数：2学科教师：宋老师辅导科目：数学课题第十二讲解方程授课时间：教学目标1、初步理解方程的意义，会判断一个式子是否是方程；2、会按要求用方程表示出数量关系；3、培养学生观察、比较、分析概括的能力。
教学内容（此环节设计时间在10—15分钟）解简易方程（1）方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
例如：x＝3是方程15－x＝12的解。
（2）解方程的意义：求方程解得过程叫做解方程。
例如：x÷4.5＝1.2解：x＝1.2×4.5x＝5.4 解方程（3）解方程的依据：加法与减法、乘法与除法的互逆关系解答：①一个加数＝和－另一个加数；②被减数＝差＋减数：减数＝被减数－差；③一个因数＝积÷另一个因数；④被除数＝商×除数：除数＝被除数÷商（4）解方程的步骤：①根据四则运算中各部分间的相互关系，求出x;②把x的值代入原方程检验。
例题1：解方程7x＝49解：7 x＝49x＝49÷7x ＝7试一试：解方程（1）12 x＝144 （2）8 x＝96答案：（1）12；（2）12例题2：解方程14 ＋＝20.5解：14 ＋x＝20.5x＝20.5－14x＝6.5试一试：解方程（1）12.6＋x＝27.5 （2）112.6＋x＝277.9答案：（1）14.9 （2）165.3例题3：解方程x－12 ＝108解：x－12 ＝108x＝108＋12x＝120试一试: 解方程（1）x－111＝222 （2）x－12.2＝13.3 答案：（1）333；（2)25.5；（3）3×0.5＋6x＝3.3 （4）12(x＋3.7)＝144（5）5x－3×11＝42（❉）（6）15(22－x)＋2＝68x答案：（1）10；（2)20；（3）0.3；（4）8.3；（5）15；（6）4；例题9：一个数的5倍减去0.28与0.7的商，差是0.56，求这个数。
五年级数学上册第8单元方程列方程解决简单的实际问题教学全国公开课一等奖百校联赛微课赛课特等奖课
列方程处理简单 实际问题
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教学目标
1.结合详细事例, 经历找等量关系, 用方程表示 简单情境中等量关系以及应用等式性质解方程 过程。 2.能用方程表示简单情境中等量关系, 能用等式 性质解方程。 3.在分析问题、用方程表示数学问题中等量关 系过程中, 了解方程作用, 取得列方程处理问题 学习经验。
答: 王叔叔每分钟手写40个字。
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探究新知 五（1）班同学向山区儿童捐赠图书。亮亮捐 了多少本书？
亮亮说“你捐数比我捐2倍少4本”是什么意思？
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探究新知
亮亮捐书本书×2－4＝聪聪捐书本数
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探究新知 五（1）班同学向山区儿童捐赠图书。亮亮捐 了多少本书？
解: 设亮亮捐了x本书。 2x－4＝34 2x＝34＋4 2x＝38 x＝38÷2 x＝19 答: 亮亮捐了19本书。
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巩固应用 2. 地球绕太阳一周所用时间比水星绕太阳所用时 间4倍还多13天。水星绕太阳一周要用多少天？
解: 水星绕太阳一周要用x天。 4x＋13＝365
4x＋13－13＝365－13 4x＝352 答: 水星绕太阳一周要用 x＝88 88天。
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巩固应用 3. （1）世界上最大鸟是非洲鸵鸟。一只鸵鸟重 90千克，比一只鹅体重13倍少4.9千克。一只鹅 重多少千克？
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巩固应用 1. 一头大象天天能吃205千克食物，相当于一头 牛天天吃5倍。一头牛天天吃多少千克食物？
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巩固应用 1. 一头大象天天能吃205千克食物，相当于一头 牛天天吃5倍。一头牛天天吃多少千克食物？
解: 一头牛天天吃x千克食物。 5x＝205
5x÷5＝205÷5 x＝41答: 一头牛天天41千克食物。2/11
五年级上册数学教案-第五单元第12课时 解方程(5) 人教版
五年级上册数学教案-第五单元第12课时解方程(5) 人教版教学内容本课时为五年级上册数学第五单元的解方程部分，继前几个课时对方程的基本概念、等式性质及简单方程的解法进行了系统学习之后，本课时将进一步探讨和解决更复杂的方程问题。
学生将学习如何解决包含多个步骤的方程，以及如何在实际问题中应用方程求解策略。
教学目标1. 理解并掌握解多步骤方程的方法和步骤。
2. 能够独立解决实际问题中遇到的一元一次方程。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
4. 通过解决方程问题，增强学生对方程与日常生活联系的感知。
教学难点1. 对多步骤方程的解题思路的理解。
2. 学生在将实际问题转化为方程时的困难。
3. 学生在求解方程时对等式性质的灵活运用。
教具学具准备1. 教师准备PPT课件，包含典型例题和练习题。
2. 学生每人一份练习纸和文具。
教学过程1. 导入：通过回顾上一课时所学内容，引出本课时的主题——解多步骤方程。
2. 新授：讲解多步骤方程的解题步骤，通过例题演示解题过程，强调每一步的思路和用到的数学知识。
3. 实践：让学生分组讨论并解决实际问题中的方程，教师巡回指导，解答学生的疑问。
4. 练习：通过PPT展示练习题，让学生独立完成，并选几名学生上台展示解题过程。
5. 总结：总结本课时所学内容，强调重点和难点。
6. 作业布置：布置与课堂练习相关的作业，要求学生在课后独立完成。
板书设计板书将包含以下部分：1. 本课时的标题和教学目标。
2. 多步骤方程的解题步骤。
3. 典型例题及其解题过程。
4. 课堂练习题和学生解答的示例。
作业设计1. 完成练习册上与本课时相关的习题。
2. 选一道实际问题，将其转化为方程并求解。
课后反思1. 学生对多步骤方程的掌握程度。
2. 学生在实际问题中应用方程的能力。
3. 教学方法和教学内容的适用性和有效性。
4. 对教学难点的处理和学生的接受情况。
在实施教学过程中，教师应密切关注学生的学习情况，根据学生的反馈调整教学节奏和教学方法，确保每个学生都能理解并掌握解多步骤方程的技能。
五年级上册数学教案-第五单元第12课时 解方程(5) 人教版
五年级上册数学教案-第五单元第12课时解方程(5) 人教版一、教学目标1. 知识与技能：（1）使学生理解和掌握解方程的基本原理和方法。
（2）使学生能够解一元一次方程和简单的二元一次方程。
（3）使学生能够运用方程解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳，培养学生的逻辑思维能力。
（2）通过合作交流，培养学生的合作意识和团队精神。
3. 情感、态度与价值观：（1）培养学生对方程的兴趣，激发学生的学习热情。
（2）培养学生严谨、认真的学习态度。
二、教学重点与难点1. 教学重点：解一元一次方程和简单的二元一次方程。
2. 教学难点：理解方程的解的意义，掌握解方程的方法。
三、教学准备1. 教学课件或黑板、粉笔等教学工具。
2. 学生准备：课本、练习本、铅笔等学习用品。
四、教学过程1. 导入（5分钟）利用生活实例或数学故事，引导学生回顾方程的概念，为新课的学习做好铺垫。
2. 新课导入（10分钟）（1）讲解一元一次方程的解法，如移项、合并同类项等。
（2）通过示例，展示解一元一次方程的过程。
（3）引导学生总结解一元一次方程的方法。
3. 解方程的应用（15分钟）（1）出示例题，让学生尝试解一元一次方程。
（2）教师巡回指导，解答学生的疑问。
（3）针对学生的解答，进行点评和讲解。
4. 二元一次方程的解法（10分钟）（1）讲解二元一次方程的解法，如代入法、消元法等。
（2）通过示例，展示解二元一次方程的过程。
（3）引导学生总结解二元一次方程的方法。
5. 解方程的实际应用（10分钟）（1）出示实际问题，让学生尝试用方程解决。
（2）教师巡回指导，解答学生的疑问。
（3）针对学生的解答，进行点评和讲解。
6. 课堂小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调解方程的方法和注意事项。
7. 作业布置（5分钟）布置与解方程相关的练习题，巩固所学知识。
五、课后反思1. 反思本节课的教学效果，分析学生的掌握情况。
2. 思考如何改进教学方法，提高学生的学习兴趣和解题能力。
人教版小学数学五年级上册第五单元第12课时《实际问题与方程(5)》示范课教学设计
第五单元简易方程第12课时实际问题与方程（5）教材分析：本课是人教版数学五年级上册“简易方程”新增的内容，是整个单元最后一节新课。
前期学生已经学习了一系列用方程解决问题的内容，清楚了用方程解决问题的基本步骤：（1）找未知数，用字母x表示；（2）找出等量关系列方程；（3）解方程并检验。
在例3中买水果的场景中学习了有关“2x +2.8×2=10.4”类型的方程解决问题，在例4中学习了“x+2.4x=5.1”两部分都用x表示的方程解决问题。
本节课就是要运用这些学生已有的知识基础和生活经验进行相遇问题的探究，为以后学习用方程解决工作效率、图形的面积等问题打下基础。
教学目标：1. 在具体的情境中，理解相遇，会用画线段图分析数量关系并列方程来解决相遇问题。
2. 经历用方程解决实际问题的过程中，掌握用ax+bx=c的等量关系解决问题，体会数学的模型思想。
3. 体会用方程解决生活中的问题，感受数学与生活的联系，体验解决问题后的成功感，增强学习数学的自信心。
教学重点：1/ 6会用画线段图的方法来分析数量关系并列方程来解决相遇问题。
教学难点：会用画线段图的方法来分析数量关系。
教学过程：1.找等量关系。
同学们，今天我们继续学习实际问题与方程。
师：你能找出哪些等量关系。
2/ 6预设：相向而行就是两人面对面骑行。
当两人相遇时，一共骑行了4.5km。
预设：预设：相向而行就是两人面对面骑行。
两人从家面对面骑行，小林骑1分钟的同时，小云也骑1分钟。
当两人相遇时，他们的骑行时间是一样的。
预设：他们行驶的路程合起来等于总路程。
预设：预设：小林骑的路程＋小云骑的路程＝总路程解：设两人x分钟后相遇。
0.25x＋0.2x ＝4.53/ 64/ 65/ 66/ 6。