专题12函数与导数(2)-2010-2019学年高考新课标全国I卷数学(文)真题分类汇编(解析版)
十年真题(2010-2019)高考数学(文)分类汇编专题03函数概念与基本初等函数 (新课标Ⅰ卷)(解析版)
专题03函数概念与基本初等函数历年考题细目表历年高考真题汇编1．【2019年新课标1文科03】已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a【解答】解：a＝log20.2＜log21＝0，b＝20.2＞20＝1，∵0＜0.20.3＜0.20＝1，∴c＝0.20.3∈（0，1），∴a＜c＜b，故选：B．2．【2018年新课标1文科12】设函数f（），则满足f（+1）＜f（2）的的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1] B．（0，+∞）C．（﹣1，0）D．（﹣∞，0）【解答】解：函数f（），的图象如图：满足f（+1）＜f（2），可得：2＜0＜+1或2＜+1≤0，解得∈（﹣∞，0）．故选：D．3．【2016年新课标1文科08】若a＞b＞0，0＜c＜1，则（）A．log a c＜log b c B．log c a＜log c bC．a c＜b c D．c a＞c b【解答】解：∵a＞b＞0，0＜c＜1，∴log c a＜log c b，故B正确；∴当a＞b＞1时，0＞log a c＞log b c，故A错误；a c＞b c，故C错误；c a＜c b，故D错误；故选：B．4．【2015年新课标1文科10】已知函数f（），且f（a）＝﹣3，则f（6﹣a）＝（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，a≤1时，2α﹣1﹣2＝﹣3，无解；a＞1时，﹣log2（a+1）＝﹣3，∴α＝7，∴f（6﹣a）＝f（﹣1）＝2﹣1﹣1﹣2．故选：A．5．【2015年新课标1文科12】设函数y＝f（）的图象与y＝2+a的图象关于y＝﹣对称，且f（﹣2）+f（﹣4）＝1，则a＝（）A．﹣1 B．1 C．2 D．4【解答】解：∵与y＝2+a的图象关于y＝对称的图象是y＝2+a的反函数，y＝log2﹣a（＞0），即g（）＝log2﹣a，（＞0）．∵函数y＝f（）的图象与y＝2+a的图象关于y＝﹣对称，∴f（）＝﹣g（﹣）＝﹣log2（﹣）+a，＜0，∵f（﹣2）+f（﹣4）＝1，∴﹣log22+a﹣log24+a＝1，解得，a＝2，故选：C．6．【2014年新课标1文科05】设函数f（），g（）的定义域都为R，且f（）是奇函数，g（）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（）•g（）是偶函数B．|f（）|•g（）是奇函数C．f（）•|g（）|是奇函数D．|f（）•g（）|是奇函数【解答】解：∵f（）是奇函数，g（）是偶函数，∴f（﹣）＝﹣f（），g（﹣）＝g（），f（﹣）•g（﹣）＝﹣f（）•g（），故函数是奇函数，故A错误，|f（﹣）|•g（﹣）＝|f（）|•g（）为偶函数，故B错误，f（﹣）•|g（﹣）|＝﹣f（）•|g（）|是奇函数，故C正确．|f（﹣）•g（﹣）|＝|f（）•g（）|为偶函数，故D错误，故选：C．7．【2013年新课标1文科12】已知函数f（），若|f（）|≥a，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C．[﹣2，1] D．[﹣2，0]【解答】解：由题意可作出函数y＝|f（）|的图象，和函数y＝a的图象，由图象可知：函数y＝a的图象为过原点的直线，当直线介于l和轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y＝|f（）|在第二象限的部分解析式为y＝2﹣2，求其导数可得y′＝2﹣2，因为≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2，故只需直线y＝a的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0]故选：D．8．【2012年新课标1文科11】当0＜时，4＜log a，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）【解答】解：∵0＜时，1＜4≤2要使4＜log a，由对数函数的性质可得0＜a＜1，数形结合可知只需2＜log a，∴即对0＜时恒成立∴解得a＜1故选：B．9．【2011年新课标1文科10】在下列区间中，函数f（）＝e+4﹣3的零点所在的区间为（）A．（，）B．（，0）C．（0，）D．（，）【解答】解：∵函数f（）＝e+4﹣3∴f′（）＝e+4当＞0时，f′（）＝e+4＞0∴函数f（）＝e+4﹣3在（﹣∞，+∞）上为f（0）＝e0﹣3＝﹣2＜0f（）1＞0f（）20∵f（）•f（）＜0，∴函数f（）＝e+4﹣3的零点所在的区间为（，）故选：A．10．【2011年新课标1文科12】已知函数y＝f（）的周期为2，当∈[﹣1，1]时f（）＝2，那么函数y＝f（）的图象与函数y＝|lg|的图象的交点共有（）A．10个B．9个C．8个D．1个【解答】解：作出两个函数的图象如上∵函数y＝f（）的周期为2，在[﹣1，0]上为减函数，在[0，1]上为增函数∴函数y＝f（）在区间[0，10]上有5次周期性变化，在[0，1]、[2，3]、[4，5]、[6，7]、[8，9]上为增函数，在[1，2]、[3，4]、[5，6]、[7，8]、[9，10]上为减函数，且函数在每个单调区间的取值都为[0，1]，再看函数y＝|lg|，在区间（0，1]上为减函数，在区间[1，+∞）上为增函数，且当＝1时y＝0；＝10时y＝1，再结合两个函数的草图，可得两图象的交点一共有10个，故选：A．11．【2011年新课标1文科03】下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y＝23B．y＝||+1 C．y＝﹣2+4 D．y＝2﹣||【解答】解：对于A．y＝23，由f（﹣）＝﹣23＝﹣f（），为奇函数，故排除A；对于B．y＝||+1，由f（﹣）＝|﹣|+1＝f（），为偶函数，当＞0时，y＝+1，是增函数，故B正确；对于C．y＝﹣2+4，有f（﹣）＝f（），是偶函数，但＞0时为减函数，故排除C；对于D．y＝2﹣||，有f（﹣）＝f（），是偶函数，当＞0时，y＝2﹣，为减函数，故排除D．故选：B．12．【2010年新课标1文科06】如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，），角速度为1，那么点P到轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：通过分析可知当t＝0时，点P到轴距离d为，于是可以排除答案A，D，再根据当时，可知点P在轴上此时点P到轴距离d为0，排除答案B，故选：C．13．【2010年新课标1文科09】设偶函数f（）满足f（）＝2﹣4（≥0），则{|f（﹣2）＞0}＝（）A．{|＜﹣2或＞4} B．{|＜0或＞4} C．{|＜0或＞6} D．{|＜﹣2或＞2}【解答】解：由偶函数f（）满足f（）＝2﹣4（≥0），可得f（）＝f（||）＝2||﹣4，则f（﹣2）＝f（|﹣2|）＝2|﹣2|﹣4，要使f（|﹣2|）＞0，只需2|﹣2|﹣4＞0，|﹣2|＞2解得＞4，或＜0．应选：B．14．【2010年新课标1文科12】已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）＝f （b）＝f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）【解答】解：作出函数f（）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则ab＝1，则abc＝c∈（10，12）．故选：C．15．【2018年新课标1文科13】已知函数f（）＝log2（2+a），若f（3）＝1，则a＝．【解答】解：函数f（）＝log2（2+a），若f（3）＝1，可得：log2（9+a）＝1，可得a＝﹣7．故答案为：﹣7．16．【2014年新课标1文科15】设函数f（），则使得f（）≤2成立的的取值范围是．【解答】解：＜1时，e﹣1≤2，∴≤ln2+1，∴＜1；≥1时，2，∴≤8，∴1≤≤8，综上，使得f（）≤2成立的的取值范围是≤8．故答案为：≤8．17．【2012年新课标1文科16】设函数f（）的最大值为M ，最小值为m ，则M +m ＝ ．【解答】解：函数可化为f （），令，则为奇函数，∴的最大值与最小值的和为0．∴函数f （）的最大值与最小值的和为1+1+0＝2．即M +m ＝2． 故答案为：2． 考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：函数，函数的单调性与最值，函数的奇偶性与周期性，幂函数与二次函数，指数函数，对数函数，分段函数，函数的图象，函数与方程等.历年考题主要以选择填空题型出现，重点考查的知识点为：函数的单调性与最值，函数的奇偶性与周期性，指数函数，对数函数，分段函数，函数的图象，函数与方程等.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点函数的单调性与最值，函数的奇偶性与周期性，指数函数，对数函数，分段函数，函数的图象，函数与方程等为重点较佳.最新高考模拟试题1．已知()21f x ax bx =-+是定义域为[a ，a +1]的偶函数，则2b a a -＝（ ）A ．0B ．34C 2D ．4【答案】B 【解析】∵f （）在[a ，a +1]上是偶函数， ∴﹣a ＝a +1⇒a 12=-， 所以f （）的定义域为[12-，12]， 故：f （）12=-2﹣b +1， ∵f （）在区间[12-，12]上是偶函数，有f （12-）＝f （12），代入解析式可解得：b ＝0；∴2b a a -13144=-=．故选：B ．2．已知函数()y f x =的定义域为R ,)1(+x f 为偶函数,且对121x x ∀<≤,满足()()01212<--x x x f x f .若(3)1f =,则不等式()2log 1f x <的解集为（ ）A ．1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．)8,1(C ．10,(8,)2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．(,1)(8,)-∞⋃+∞【答案】A 【解析】因为对121x x ∀<≤,满足()()01212<--x x x f x f ，所以()y f x =当1≤x 时，是单调递减函数，又因为)1(+x f 为偶函数，所以()y f x =关于1x =对称，所以函数()y f x =当1>x 时，是增函数，又因为(3)1f =，所以有1)1(=-f ，当2log 1x ≤时，即当02x <≤时，()()222log 1log (11log 2221)1f x f x x x x f <⇒<-⇒>-⇒>∴<≤当2log 1x >时，即当2x >时，()()222log 1log (3)log 3828x x f x f x f x <⇒<⇒∴<<⇒<<，综上所述：不等式()2log 1f x <的解集为1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭，故本题选A.3．函数22()log (34)f x x x =--的单调减区间为（ ）A ．(,1)-∞-B ．3(,)2-∞-C ．3(,)2+∞D ．(4,)+∞【答案】A 【解析】函数()()22log 34f x x x =--,所以 2340(4)(1)04x x x x x -->⇒-+>⇒>或1x <-，所以函数()f x 的定义域为4x >或1x <-，234y x x =--当3(,)2-∞时，函数是单调递减，而1x <-，所以函数()()22log 34f x x x =--的单调减区间为(),1-∞-，故本题选A 。
专题12函数与方程--2022年(新高考)数学高频考点+重点题型(解析版)
专题12函数与方程--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型一、关键能力学生应掌握函数的零点、方程的解、图象交点（横坐标）三者之间的灵活转化，以实现快速解决问题．二、教学建议从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点，尤其是函数零点(方程的根)个数的判断及由零点存在性定理判断零点是否存。
常常以基本初等函数为载体，结合函数的图象，判断方程根的存在性及根的个数，或利用函数零点确定参数的取值范围等．也可与导数结合考查.题目的难度起伏较大.三、自主梳理1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x) (x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x) (x∈D)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系（☆☆☆）(x0)，(x0)(x0)无交点四、高频考点+重点题型考点一、求解函数零点例1-1（直接求解函数零点）(2019·全国卷⇔)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0,2π]所有零点之和为【答案】3π【解析】由f(x)＝2sin x－sin 2x＝2sin x－2sin x cos x＝2sin x·(1－cos x)＝0得sin x＝0或cos x ＝1，⇔x＝kπ，k⇔Z，又⇔x⇔[0,2π]，⇔x＝0，π，2π，即零点有3个.例1-2（二分法求零点）用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解为________(精确到0.01)【答案】1.56【解析】注意到f(1.5562)＝－0.029和f(1.5625)＝0.003，显然f(1.5562)f(1.5625)＜0，故区间的端点四舍五入可得1.56.对点训练1.（天津高考真题）已知函数,函数,则函数的所有零点之和为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】当x<0时2−x>2,所以f(x)=2−|x|=2+x,f(2−x)=x2,此时函数f(x)−g(x)=f(x)+f(2−x)−3=x2+x−1的小于零的零点为x=−1+√5;当0≤x≤2时f(x)=2−2|x|=2−x,f(2−x)=2−|2−x|=x,函数f(x)−g(x)=2−x+x−3=−1无零点;当x>2时,f(x)=(x−2)2,f(2−x)=2−|2−x|=4−x,函数f(x)−g(x)=(x−2)2+4−x−3=x2−5x+5大于2的零点为x=5+√5,综上可得.故选A.2对点训练2.（2020·郸城县实验高中高一月考）如图是函数f(x)的图象，它与x轴有4个不同的公共点.给出的下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区间是（ ）A ．[－2.1，－1]B ．[4.1，5]C ．[1.9，2.3]D ．[5，6.1]【答案】C 【解析】结合图象可得：ABD 选项每个区间的两个端点函数值异号，可以用二分法求出零点， C 选项区间两个端点函数值同号，不能用二分法求零点. 故选：C对点训练3．用二分法求函数()y f x =在区间()2,4上的近似解，验证()()240f f <，给定精度为0.1，需将区间等分__________次. 【答案】5 【解析】因为区间()2,4的长度为2，所以第一次等分后区间长度为1，第二次等分后区间长度为0.5，……第四次等分后区间长度为0.125<0.2，第五次等分区间后区间长度为0.0625<0.1，所以需要将区间等分5次. 故答案为5.考点二、判断函数零点个数 例2-1（直接求解零点）（2020·江苏省高三其他）设表示不超过实数的最大整数(如，)，则函数的零点个数为_______.[]t t [ 1.3]2-=-[2.6]2=[]()21f x x x =--【答案】2 【解析】函数的零点即方程的根，函数的零点个数，即方程的根的个数..当时，. 当时，或或（舍）. 当时，，方程无解. 综上，方程的根为，1. 所以方程有2个根，即函数有2个零点. 故答案为：2.例2-2（零点存在定理+单调性）（2021·北京清华附中高三其他模拟）函数()ln 6f x x x =+-的零点一定位于区间（ ） A ．()2,3 B ．()3,4C ．()4,5D ．()5,6【答案】C 【解析】根据零点存在性定理，若在区间(,)a b 有零点，则()()0f a f b ⋅<，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】由题意得()ln 6f x x x =+-为连续函数，且在(0,)+∞单调递增，(2)ln 240,(3)ln330f f =-<=-<，2(4)ln 42ln 20f e =-<-=，(5)ln 51ln 10f e =->-=，根据零点存在性定理，(4)(5)0f f ⋅<，[]()21f x x x =--[]21x x -=∴()f x []21x x -=[]210,0,0x x x -≥∴≥∴≥01x ≤<[]10,210,2x x x =∴-=∴=1x =[]1,211,211x x x =∴-=∴-=211,1x x -=-∴=0x =1x >[]2121x x x x -=->≥∴[]21x x -=[]21x x -=12[]21x x -=[]()21f x x x =--所以零点一定位于区间()4,5. 故选：C例2-3（2021·山东烟台市·高三二模）已知函数()f x 是定义在区间()(),00,-∞+∞上的偶函数，且当()0,x ∈+∞时，()()12,0221,2x x f x f x x -⎧<≤⎪=⎨-->⎪⎩，则方程()2128f x x +=根的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】D 【解析】将问题转化为()f x 与228xy =-的交点个数，由解析式画出在(0,)+∞上的图象，再结合偶函数的对称性即可知定义域上的交点个数. 【详解】要求方程()2128f x x +=根的个数，即为求()f x 与228xy =-的交点个数，由题设知，在(0,)+∞上的图象如下图示，∴由图知：有3个交点，又由()f x 在()(),00,-∞+∞上是偶函数，∴在,0上也有3个交点，故一共有6个交点.故选：D.对点训练1.（2020·开原市第二高级中学高三）函数21()f x x x=+，(0,)x ∈+∞的零点个数是（ ）. A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】A 【解析】根据函数定义域，结合零点定义，即可容易判断和求解. 【详解】 由于20x >，10x>， 因此不存在(0,)x ∈+∞使得21()0f x x x=+=， 因此函数没有零点. 故选：A .对点训练2-1.（2020·海丰县彭湃中学高一期末）函数的零点所在的大致区间为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】D 【解析】因为函数在R 上单调递减, ,,所以零点所在的大致区间为 故选:D对点训练2-2【多选题】（2021·湖北荆州市·荆州中学高三其他模拟）在下列区间中，函数()43x f x e x =--一定存在零点的区间为（ ）A ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．(,3)e -C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭31()102f x x x =--+(1,0)-(0,1)(1,2)(2,3)31()102f x x x =--+(2)10f =>(3)0f <(2,3)【答案】ABD 【解析】本题首先可通过求导得出函数()f x 在()ln 4,+∞上是增函数、在(),ln 4-∞上是减函数以及()ln 40f <，然后通过函数()f x 的单调性以及零点存在性定理对四个选项依次进行判断，即可得出结果. 【详解】()43x f x e x =--，()4x f x e '=-，当()0f x '>时，ln 4x >，函数()f x 在()ln 4,+∞上是增函数； 当()0f x '<时，ln 4x <，函数()f x 在(),ln 4-∞上是减函数，()ln4ln 44ln 4314ln 40f e =--=-<，A 项：()1114310f e e--=-=+>+，1211435022f e ⎛⎫=-⨯-=< ⎪⎝⎭，因为()1102f f ⎛⎫-⨯< ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭内存在零点，A 正确；B 项：()430ef e e e -+-=->，()333123150f e e =--=>-，因为ln 43e，()ln 40f <，所以函数()f x 在(,3)e -内存在零点，B 正确；C 项：()00320f e =-=-<，102f ⎛⎫<⎪⎝⎭，()1002f f ⎛⎫⨯> ⎪⎝⎭， 因为1ln 42，所以函数()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭内不存在零点，C 错误； D 项：()10f ->，11430e f e e e ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，()110f f e ⎛⎫-⨯< ⎪⎝⎭， 则函数()f x 在11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭内存在零点，D 正确， 故选：ABD.对点训练3.(2018·全国卷⇔)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x ＞0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)【答案】C【解析】令h (x )＝－x －a ，则g (x )＝f (x )－h (x )．在同一坐标系中画出y ＝f (x )，y ＝h (x )的示意图，如图所示．若g (x )存在2个零点，则y ＝f (x )的图象与y ＝h (x )的图象有2个交点，平移y ＝h (x )的图象，可知当直线y ＝－x －a 过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a ，a ＝－1.当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1上方，即a ＜－1时，仅有1个交点，不符合题意．当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1下方，即a ＞－1时，有2个交点，符合题意．综上，a 的取值范围为[－1，＋∞)．故选C.考点三、已知零点求参 例3-1（已知零点个数求参）（2021·广东茂名市·高三二模）已知函数()()12log 1,0,(1),0,x x f x f x x ⎧+≥⎪=⎨⎪+<⎩若函数()()g x f x x a =--有且只有两个不同的零点，则实数a 的取值可以是（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．2【答案】B 【解析】作出函数()f x 的图象如下图所示，将原问题转化为函数()f x 的图象与直线+y =x a 有两个不同的交点，根据图示可得实数a 的取值范围. 【详解】作出函数()f x 的图象如下图所示，令()()0g x f x x a =--=，即()+f x x a =， 所以要使函数()()g x f x x a =--有且只有两个不同的零点，则需函数()f x 的图象与直线+y =x a 有两个不同的交点，根据图示可得实数a 的取值范围为(]10-，，故选：B.例3-2（已知零点所在区间求参）函数f (x )＝2x－2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)【答案】C【解析】因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则由题意得f (1)·f (2)＝(0－a )(3－a )＜0，解得0＜a ＜3，故选C 。
专题12、函数与导数大题-冲刺高考最后一个月之2019高考数学(文)名师押题高端精品
（一）命题特点和预测：分析近8年的全国新课标1的函数与导数大题，发现8年8考，每年1题，第1小题主要考查函数的切线、函数的单调性、极值、最值，第2小题主要考查零点个数、方程解得个数、切线的条数、极值点个数、不等式的证明、函数能成立与恒成立问题、范围问题，考查分类整合思想与分析解决问题的能力，第1小题是基础题，第2小题是压轴题，为难题.2019年函数与导数大题仍为压轴题，主要考查导数的几何意义、常见函数的导数及导数的运算法则、利用导数研究函数的图象与性质，进而研究零点个数、方程解得个数、切线的条数、极值点个数、不等式的证明、函数能成立与恒成立问题、范围问题，考查分类整合思想与分析解决问题的能力，难度为难题.（二）历年试题比较： 年份 题目2020年【2018新课标1，文21】已知函数．（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；（2）证明：当时，．2020年【2017新课标1，文21】已知函数. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x …，求a 的取值范围． 2020年【2016新课标1，文21】已知函数.（I ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.2020年【2015高考新课标1，文21】（本小题满分12分）设函数.（I ）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数； （II ）证明：当0a >时.2020年【2014全国1，文21】设函数，曲线处的切线斜率为0（1）求b;（2）若存在01,x ≥使得，求a 的取值范围。
2013年【2013课标全国Ⅰ，文20】(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4. (1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．2012年【2012新课标全国1，文21】设函数f (x )= e x －ax －2 (Ⅰ)求f (x )的单调区间；(Ⅱ)若a =1，k 为整数，且当x >0时，(x －k ) f´(x )+x +1>0，求k 的最大值2011年【2011新课标全国1，文21】已知函数()f x =ln 1a x bx x++，曲线y =()f x 在点（1，(1)f ）处的切线方程为.（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）证明：当x ＞0，且x ≠1时，()f x ＞ln 1xx -. （2020年）【解析】（1）f （x ）的定义域为，f ′（x ）=a e x –．由题设知，f ′（2）=0，所以a =．从而f （x ）=，f ′（x ）=．当0<x <2时，f ′（x ）<0；当x >2时，f ′（x ）>0．所以f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增． （2）当a ≥时，f （x ）≥．设g （x ）=，则当0<x <1时，g′（x ）<0；当x >1时，g′（x ）>0．所以x =1是g （x ）的最小值点． 故当x >0时，g （x ）≥g （1）=0． 因此，当时，．（2020年）【解析】（1），①当0a =时，恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；②当0a >时，2e 0x a +>恒成立，令()0f x '>，则e 0x a ->，故ln x a >，所以()f x 在()ln ,a +∞上单调递增，同理在(),ln a -∞上单调递减． ③当0a <时，e 0x a ->恒成立，令()0f x '>，则2e 0x a +>，即，所以，所以()f x 在上单调递增，同理在上单调递减．（2）①当0a =时，恒成立，符合题意；②当0a >时，，故，即01a <…；③当0a <时，，从而，故34e 2a -…，所以34e 20a -<…．综上所述：a 的取值范围为34e ,12-⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【名师点睛】本题主要考查导数两大方面的应用：（1）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出()f x '，由()f x '的正负，得出函数()f x 的单调区间；（2）函数的最值（极值）的求法：由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数()f x 的极值或最值．（2020年）【解析】 (I)(i)设0a ≥，则当(),1x ∈-∞时，()'0f x <；当()1,x ∈+∞时，()'0f x >. 所以在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增. (ii)设0a <，由()'0f x =得x=1或x=ln(-2a). ①若2ea =-，则，所以()f x 在(),-∞+∞单调递增.②若2ea >-，则ln(-2a)<1,故当时，()'0f x >；当时，()'0f x <，所以()f x 在单调递增，在单调递减. ③若2ea <-，则()21ln a ->，故当时，()'0f x >，当时，()'0f x <，所以()f x 在单调递增，在()()1,ln 2a -单调递减.(II)(i)设0a >，则由(I)知，()f x 在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增.又，取b 满足b <0且ln 22b a <， 则，所以()f x 有两个零点.(ii)设a =0，则所以()f x 有一个零点.(iii)设a <0，若2ea ≥-，则由(I)知，()f x 在()1,+∞单调递增. 又当1x ≤时，()f x <0，故()f x 不存在两个零点；若2ea <-，则由(I)知，()f x 在()()1,ln 2a -单调递减，在单调递增.又当1x ≤时()f x <0，故()f x 不存在两个零点.综上，a 的取值范围为()0,+∞.【名师点睛】本题第(I)问是用导数研究函数单调性,对含有参数的函数单调性的确定,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第(II)问是求参数取值范围,由于这类问题常涉及导数、函数、不等式等知识,越来越受到高考命题者的青睐,解决此类问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.（2020年）【解析】（I ）()f x 的定义域为()0+¥，，.当0a £时,()0f x ¢>，()f x ¢没有零点； 当0a >时，因为2x e 单调递增，ax-单调递增，所以()f x ¢在()0+¥，单调递增.又()0f a ¢>,当b 满足04a b <<且14b <时，(b)0f ¢<,故当0a >时，()f x ¢存在唯一零点. （II ）由（I ），可设()f x ¢在()0+¥，的唯一零点为0x，当()00x x Î，时，()0f x ¢<;当时，()0f x ¢>. 故()f x 在()00x ，单调递减，在()0+x ¥，单调递增，所以当0x x=时，()f x 取得最小值，最小值为0()f x . 由于，所以.故当0a >时，.（2020年）【解析】（1）∵()f x '=，由题设知，(1)f '=1b -=0，∴b =1.……4分（2）()f x 的定义域为（0，+∞），由（I ）知，()f x =，∴()f x '===，①当a ＜12时，1a -＞0，1a a-＜1，当 x ＞1时，()f x '＞0，则()f x 在（1，+∞）是增函数，当要使存在01x ≥使得，则(1)f =112a --＜1aa -，解得12--＜a ＜12-+；②当a =12时，()f x '=2(1)2x x-≥0，故()f x 在（1，+∞）是增函数，存在01x ≥使得，则(1)f =112a --=34-＜1aa -=1，适合； ③当12＜a ＜1时，1a -＞0，1a a -＞1，当x ＞1a a -时，()f x '＞0，则()f x 在（1a a-，+∞）是增函数，当1＜x ＜1a a -时，()f x '＜0，则()f x 在（1，1aa-）上是减函数，要使存在01x ≥使得，则()1af a -＜1a a -，而()1a f a -=＞1aa -，∴不合题意 ④当a ＞1时，1a -＜0，1aa-＜1，当x ＞1时，()f x '＜0，则()f x 在（1，+∞）是减函数，∵(1)f =112a --=12a +-＜0＜1a a -，适合； 综上所述，a 的取值范围为（12--，（2013年）【解析】（1）()f x '=.由已知得(0)f =4，(0)f '=4，故4b =，a b +=8，从而a =4，4b =； （2）由（Ⅰ）知，()f x =，()f x '==，令()f x '=0得，x =ln 2-或x =-2， ∴当时，()f x '＞0，当x ∈（-2，ln 2-）时，()f x '＜0，∴()f x 在（-∞，-2），（ln 2-，+∞）单调递增，在（-2，ln 2-）上单调递减. 当x =-2时，函数()f x 取得极大值，极大值为.（2012年）【解析】(Ⅰ)()f x 的定义域为(),-∞+∞，.若0a ≤,则()0f x '>,所以()f x 的增区间为(),-∞+∞,无减区间； 若0a >,则当时，()0f x '<; 当时，()0f x '>,所以在减区间为(),ln a -∞,增区间为()ln ,a +∞. (Ⅱ)由于a =1，所以.故当0x >时，(x －k ) f´(x )+x +1>0等价于 ()0x >，令，则.由(Ⅰ)知，函数在()0,+∞上单调递增，而，所以()h x 在()0,+∞上存在唯一的零点，故()g x '在()0,+∞上存在唯一零点.设此零点为α，则()1,2α∈.当()0,x α∈时，()0g x '<；当(),x α∈+∞时，()0g x '>.所以()g x 在()0,+∞上的最小值为()g α.又由()g α'，可得2e αα=+，所以.由于()0x >等价于()k g α<，故整数k 的最大值为2.（2011年）【解析】（Ⅰ）由于直线的斜率为12-，且过点(1,1)，故即解得1a =，1b =。
新高考数学(理)函数与导数 专题12 导数的概念及运算(解析版)
2020年高考数学（理）函数与导数12 导数及其应用 导数的概念及运算一、具体目标：1.导数概念及其几何意义：(1）了解导数概念的实际背景；（2）理解导数的几何意义.2.导数的运算：（1）根据导数定义，求函数y c y x ==，，2y x =，1y x=的导数； (2)能利用下面给出的基本初等函数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 【考点透析】 【备考重点】(1) 熟练掌握基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则； (2) 熟练掌握直线的倾斜角、斜率及直线方程的点斜式. 二、知识概述： 1．由0()()'()limx f x x f x f x x∆→+∆-=∆可以知道，函数的导数是函数的瞬时变化率，函数的瞬时变化率是平均变化率的极限.2.基本初等函数的导数公式及导数的运算法则原函数导函数 f (x )＝c (c 为常数)f ′(x )＝0()()Q n x x f n ∈= ()1-='n nx x f()x x f sin = ()x x f cos =' ()x x f cos =()x x f sin -=' ()x a x f =()a a x f x ln ='()x e x f = ()x e x f ='()x x f a log =()ax x f ln 1=' 【考点讲解】1）基本初等函数的导数公式2）导数的运算法则（1） [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；（和或差的导数是导数的和与差）（2） [f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；（积的导数是，前导后不导加上后导前不导） （3）2()'()()'()()'()()f x f x g x g x f x g x g x ⎡⎤⋅-⋅=⎢⎥⎣⎦(g (x )≠0)．（商的导数是上导下不导减去上不导下导与分母平方的商）(4) 复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．3．函数()y f x =在0x x =处的导数几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．【温馨提示】1.求函数()f x 图象上点00(,())P x f x 处的切线方程的关键在于确定该点切线处的斜率k ，由导数的几何意义知0'()k f x =，故当0'()f x 存在时，切线方程为000()'()()y f x f x x x -=-.()x x f ln =()xx f 1='2.可以利用导数求曲线的切线方程，由于函数()y f x =在0x x =处的导数表示曲线在点00(,())P x f x 处切线的斜率，因此，曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线方程，可按如下方式求得：第一，求出函数()y f x =在0x x =处的导数，即曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处切线的斜率； 第二，在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程000'()()y y f x x x =+-；如果曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线平行于y 轴(此时导数不存在)时，由切线的定义可知，切线的方程为0x x =. 【提示】解导数的几何意义问题时一定要抓住切点的三重作用：①切点在曲线上；②切点在切线上；③切点处的导数值等于切线的斜率．1. 【2019年高考全国Ⅲ卷】已知曲线e ln xy a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则（ ） A ．e 1a b ==-，B ．a=e ，b =1C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-【解析】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a ，b 的等式，从而求解，属于常考题型.∵e ln 1,xy a x '=++∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=，将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-.故选D ． 【答案】D2.【2019年高考全国Ⅱ卷】曲线y =2sin x +cos x 在点(π，-1)处的切线方程为（ ）A ．10x y --π-=B ．2210x y --π-=C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+=【解析】本题要注意已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．【真题分析】2cos sin ,y x x '=-Q π2cos πsin π2,x y =∴=-=-'则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=．故选C ．【答案】C3.【2018年高考全国Ⅰ卷】设函数32()(1)f x x a x ax =+-+.若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为（ ）A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x = 【解析】因为函数是奇函数，所以，解得，所以，，所以，所以曲线在点处的切线方程为，化简可得.故选D. 【答案】D4.【2017年高考浙江】函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数y=f (x )的图象可能是（ ）【解析】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x 轴的交点为0x ，且图象在0x 两侧附近连续分布于x 轴上下方，则0x 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数()f x '的正负，得出原函数()f x 的单调区间．原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内，因此选D ． 【答案】D5.【2019年高考全国Ⅰ卷】曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________．【解析】223(21)e 3()e 3(31)e ,x x xy x x x x x '=+++=++所以切线的斜率0|3x k y ='==，则曲线23()e xy x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=． 【答案】30x y -=6.【变式】【2018年理数全国卷II 】曲线()1ln 2+=x y在点()00，处的切线方程为__________． 【解析】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程.由题中条件可得：12+='x y ，所以切线的斜率为2102=+=k ，切线方程为()020-=-x y ，即x y 2=.【答案】x y 2=7.【2019年高考天津文数】曲线cos 2xy x =-在点(0,1)处的切线方程为__________. 【解析】∵1sin 2y x '=--，∴01|sin 0212x y ='=---=，故所求的切线方程为112y x -=-，即220x y +-=. 【答案】220x y +-=8．【2018年高考天津文数】已知函数f (x )=e x ln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′（1）的值为__________． 【解析】由函数的解析式可得，则.即的值为e.【答案】e9.【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 .【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标.设点()00,A x y ， 则00ln y x =.又1y x'=，当0x x =时，01y x '=，则曲线ln y x =在点A 处的切线为0001()y y x x x -=-，即00ln 1x y x x -=-，将点()e,1--代入，得00e 1ln 1x x ---=-，即00ln e x x =， 考察函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >，且()ln 1H x x '=+， 当1x >时，()()0,H x H x '>单调递增，注意到()e e H =，故00ln e x x =存在唯一的实数根0e x =， 此时01y =，故点A 的坐标为()e,1. 【答案】(e, 1)10.【2018年全国卷Ⅲ理】曲线()()x e ax x f 1+=在点()10，处的切线的斜率为2-，则=a ________．【解析】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，并利用导数的几何意义求参数的值.由题意可知：()()x x e ax ae x f 1++='，则()210-=+='a f ，所以3-=a ，故答案为-3.【答案】3-【变式】已知函数错误!未找到引用源。
2019年高考新课标(全国卷1)文数 真题(word版,含解析)
2019年高考新课标全国1卷（文科数学）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1．设3i12iz -=+，则z =A ．2B CD ．12．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则C U B AA ．{}1,6B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,73．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是 A ．165 cm B ．175 cmC ．185 cmD ．190cm5．函数f (x )=2sin cos x xx x++在[—π，π]的图像大致为 A ．B ．C ．D ．6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生7．tan255°=A ．－2B ．－C ．2D ．8．已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π69．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A +B ．A =12A +C ．A =112A +D ．A =112A+10．双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为 A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒11. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则b c=A ．6B ．5C ．4D ．312．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年高考全国卷I数学(文)试题及参考答案-9页精选文档
希望同学们在学习和做题过程中有何问题时，能够和我及时沟通，我将尽力为大家解决课程中所遇到的问题，我的邮箱地址：guowx@一、考核形式本课程的考核形式为形成性考核和期末考试相结合的方式。
考核成绩由形成性考核成绩和期末考试成绩两部分组成，考核成绩满分为100分，60分为及格。
其中形成性考核成绩占考核成绩的30%，期末考试成绩占考核成绩的70%。
形成性考核的内容及成绩的评定按《中央广播电视大学人才培养模式改革与开放教育试点高等数学基础形成性考核册》的规定执行。
期末考试采用闭卷笔试形式，卷面满分为100分，考试时间为90分钟。
二、试题类型填空题：每小题4分，共20分；单选题：每小题4分，共20分；计算题：每小题11分，共44分；应用题：16分。
三、复习要求（一）函数、极限与连续1．理解函数的概念，了解分段函数．能熟练地求函数的定义域和函数值；2．了解函数的奇偶性；3．掌握极限的四则运算法则.掌握求极限的一些方法；4．了解无穷小量的概念，了解无穷小量的运算性质；5．了解函数的连续性和间断点的概念。
（二）一元函数微分学1.理解导数与微分概念，会求曲线的切线方程，知道可导与连续的关系；2.熟记导数与微分的基本公式，熟练掌握导数与微分的四则运算法则；3.熟练掌握复合函数的求导法则；4.掌握求显函数的二阶导数的方法；5.掌握用一阶导数求函数单调区间与极值点的方法，了解可导函数极值存在的必要条件，知道极值点与驻点的区别与联系；6.掌握求解一些简单的实际问题中最大值和最小值的方法，以几何问题为主。
（三）一元函数积分学1. 理解原函数与不定积分概念，了解不定积分的性质以及积分与导数(微分)的关系；2. 熟记积分基本公式，熟练掌握第一换元积分法和分部积分法；3. 掌握定积分的换元积分法和分部积分法；4. 会计算较简单的无穷积分。
四、综合练习（一）单项选择题1. 下列各函数对中，（ ）中的两个函数相等．2(A)()()(B) ()()f x g x xf xg x x ====34(C) ()ln ()3ln (D) ()ln ()4ln f x x g x xf x xg x x ====答案C2．设函数f(x)的定义域是整个x 轴，则f(x)-f(-x)的图形关于（ ）对称.(A) (B) 0 (C) 0 (D) y xx y ===坐标原点答案D3. 当0→x 时，变量（ ）是无穷小量．231sin (A)(B)(C) e 1(D) xx x xxx-答案C4. 设()f x 在x=0处可导，则0(2)(0)limh f h f h→--=（ ）． (A) (0)(B)(0)(C) 2(0)(D)2(0) f f f f ''''--答案D5. 下列等式不成立的是（ ）．(A) ()(B)sin (cos )x x e dx d e xdx d x =-=1(D) ln ()d xdx d x==答案D6. 函数322-+=x x y 在区间)4,2(内满足（ ）． (A) 先单调上升再单调下降 (B) 单调上升 (C) 先单调下降再单调上升 (D) 单调下降 答案B (220y x '=+>Q )()cos ()d (A) sin (B) cos (C) sin (D) cos f x x f x x x c x c x c x c'==++-+-+⎰若，则（）7. ．答案B8. 若)(x f 的一个原函数是x1，则=')(x f （ ）． 32211(A) ln (B) (C) (D) x x x x-答案B （211()()()f x x x -''''==Q ）9. =+-⎰-x x x x d )22cos (2π2π7（ ）．π(A) 0(B) π(C)(D) 2π2答案D10.下列无穷积分收敛的是（ ）．30111(A) cos d (B) e d (C) (D) d x x xxx x x+∞+∞+∞+∞-⎰⎰⎰⎰答案B （二）填空题 1.函数ln()(0,0)y x a a b =+>>的定义域是 ． 答案 a x b -<<2. 若函数2(1)2f x x x a +=++，则()f x = ．答案 2()1f x x a =-+ （22(1)211(1)1f x x x a x a +=++-+=+-+Q ） 3. 若函数sin ()1xf x x=-，当x → 时()f x 是无穷小量． 答案 04. 函数210sin 0x x y x x ⎧+>=⎨≤⎩的间断点是 ．答案0=x5. 若1(1)0()20x x x f x x kx ⎧⎪+<=⎨⎪+≥⎩，在0=x 处连续，则=k ．答案e6. 若2()ln f x x =，则[(2)]f '= . 答案 07. 曲线2)(+=x x f 在)2,2(处的切线斜率是 ． 答案41（1()(2)4f x f ''===Q ）8．函数22y x =+的单调增加区间是 ． 答案 (0,)+∞ 9.=⎰x xx d e d d 2． 答案 2e x 10. 11d px x +∞⎰当p 时收敛． 答案 1p >11． 3121d (4)x x x -=+⎰ ． 答案 0（三)计算题1. 计算极限0tan limsin x xxa b →．解 利用重要极限1sin lim0=→x xx ，及极限的运算法则得 000sin tan sin 1cos lim lim lim sin sin sin cos x x x x x x a a a a b b b x x x x ax →→→==⋅0sin 1lim sin cos x a a a xx b x b x x b a →=⋅⋅a b=2. 计算极限5456lim 221--++-→x x x x x ．解 221165(1)(5)42lim lim 45(1)(5)63x x x x x x x x x x →-→-++++===---+-- 3. 计算极限2sin()lim()x ax a x a b x ab→--++． 解 利用重要极限1sin lim0=→xxx ，及极限的运算法则得2sin()sin()11limlim ()()()()x ax a x a x a x a b x ab x a x b a b →→--=⋅=-++---4. 设22sin x y x =，求．解 由导数四则运算法则和复合函数求导法则得2222(2)sin 2(sin )(2ln 2)sin 2(cos 2)x x x x y x x x x x '''=+=+⋅222(ln 2sin 2cos )x x x x =+5. 设ln cos a y x x =+，求y d ．解 由微分的公式、导数的四则运算法则和复合函数求导法则得11d d [ln cos ][cos (sin )]a a y y x x x dx a x x dx x-''==+=+-11[cos sin ]a a x x dx x -=-⋅6. 设sin cos x x y e e =-，求y d ．解 由微分的公式、导数的四则运算法则和复合函数求导法则得sin sin (cos )(sin cos )x x x x x dy e e dx e e e x dx '=-=-⋅-⋅sin (sin cos )x x x e e e x dx =-+7. 计算积分ln d xx x⎰． 解 由换元积分法得 ln 1d ln d ln d(ln )x x x x x x x x=⋅=⎰⎰⎰2ln 2x c =+ 8. 计算积分⎰x xxd e21．解 由换元积分法得 ⎰⎰-=)1(d e d e 121x x xx xc x +-=1e9.计算积分x 解 由换元积分法得22d 2x x x c '====-⎰⎰10． 计算定积分10e d ax x x ⎰．解 由分部积分法得 设 ,e ,axu x v '== 得到e ,axv a=1111100000e e e e 1e d d()|d e d ax ax ax a axaxx x x x x x a a a a a ==-=-⎰⎰⎰⎰11022220e 1e e e e 1e d()|a a ax a a axax a aa a a a a =-=-=-+⎰11. 计算积分 1ln d (1)e a x x x a ≠-⎰．解 由分部积分法得 设 ln ,,au x v x '== 得到1,1a x v a +=+ 11111111ln ln d ln d()|d(ln )111eee e x x x x x x x x x ααααααα+++==-+++⎰⎰⎰11111d 11e e x x x αααα++=-⋅++⎰ 111d 11e e x x αααα+=-++⎰ 111112221|1(1)1(1)(1)e e x e e ααααααααα++++=-=-++++++ 由此可得1ln d (0)ex xa =⎰1ln d (1)ex x xa =⎰11()2ex a -=⎰21ln d (2)e x xa x =-⎰（四）应用题1. 用钢板焊接一个容积为43m 、底为正方形的长方体无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？解：设水箱的底边长为x ，高为h ，表面积为S ，且有24xh = 所以,164)(22x x xh x x S +=+= 2162)(xx x S -=' 令0)(='x S ，得2=x ，由于S '经过驻点x=2时，符号是由负变正，所以该驻点是实际问题的最小值点。
十年真题(2010-2019)高考数学(文)分类汇编专题03函数概念与基本初等函数 (新课标Ⅰ卷)(原卷版)
专题03函数概念与基本初等函数历年考题细目表历年高考真题汇编1．【2019年新课标1文科03】已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a2．【2018年新课标1文科12】设函数f（），则满足f（+1）＜f（2）的的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1] B．（0，+∞）C．（﹣1，0）D．（﹣∞，0）3．【2016年新课标1文科08】若a＞b＞0，0＜c＜1，则（）A．log a c＜log b c B．log c a＜log c bC．a c＜b c D．c a＞c b4．【2015年新课标1文科10】已知函数f（），且f（a）＝﹣3，则f（6﹣a）＝（）A．B．C．D．5．【2015年新课标1文科12】设函数y＝f（）的图象与y＝2+a的图象关于y＝﹣对称，且f（﹣2）+f（﹣4）＝1，则a＝（）A．﹣1 B．1 C．2 D．46．【2014年新课标1文科05】设函数f（），g（）的定义域都为R，且f（）是奇函数，g（）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（）•g（）是偶函数B．|f（）|•g（）是奇函数C．f（）•|g（）|是奇函数D．|f（）•g（）|是奇函数7．【2013年新课标1文科12】已知函数f（），若|f（）|≥a，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C．[﹣2，1] D．[﹣2，0]8．【2012年新课标1文科11】当0＜时，4＜log a，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）9．【2011年新课标1文科10】在下列区间中，函数f（）＝e+4﹣3的零点所在的区间为（）A．（，）B．（，0）C．（0，）D．（，）10．【2011年新课标1文科12】已知函数y＝f（）的周期为2，当∈[﹣1，1]时f（）＝2，那么函数y＝f（）的图象与函数y＝|lg|的图象的交点共有（）A．10个B．9个C．8个D．1个11．【2011年新课标1文科03】下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y＝23B．y＝||+1 C．y＝﹣2+4 D．y＝2﹣||12．【2010年新课标1文科06】如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，），角速度为1，那么点P到轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．13．【2010年新课标1文科09】设偶函数f （）满足f （）＝2﹣4（≥0），则{|f （﹣2）＞0}＝（ ） A ．{|＜﹣2或＞4}B ．{|＜0或＞4}C ．{|＜0或＞6}D ．{|＜﹣2或＞2}14．【2010年新课标1文科12】已知函数，若a ，b ，c 互不相等，且f （a ）＝f（b ）＝f （c ），则abc 的取值范围是（ ） A ．（1，10）B ．（5，6）C ．（10，12）D ．（20，24）15．【2018年新课标1文科13】已知函数f （）＝log 2（2+a ），若f （3）＝1，则a ＝ ． 16．【2014年新课标1文科15】设函数f （），则使得f （）≤2成立的的取值范围是 ．17．【2012年新课标1文科16】设函数f （）的最大值为M ，最小值为m ，则M +m ＝ ．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：函数，函数的单调性与最值，函数的奇偶性与周期性，幂函数与二次函数，指数函数，对数函数，分段函数，函数的图象，函数与方程等.历年考题主要以选择填空题型出现，重点考查的知识点为：函数的单调性与最值，函数的奇偶性与周期性，指数函数，对数函数，分段函数，函数的图象，函数与方程等.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点函数的单调性与最值，函数的奇偶性与周期性，指数函数，对数函数，分段函数，函数的图象，函数与方程等为重点较佳.最新高考模拟试题1．已知()21f x ax bx =-+是定义域为[a ，a +1]的偶函数，则2b a a -＝（ ）A ．0B ．34C 2D ．42．已知函数()y f x =的定义域为R ,)1(+x f 为偶函数,且对121x x ∀<≤,满足()()01212<--x x x f x f .若(3)1f =,则不等式()2log 1f x <的解集为（ ）A ．1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．)8,1(C ．10,(8,)2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．(,1)(8,)-∞⋃+∞3．函数22()log (34)f x x x =--的单调减区间为（ ）A ．(,1)-∞-B ．3(,)2-∞-C ．3(,)2+∞D ．(4,)+∞4．已如定义在R 上的函数()f x 的周期为6．且()[]()()11,3,02,0,3xx x f x f x x ⎧⎛⎫-+∈-⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-∈⎩，则()()78f f -+=（ ） A ．11B ．134C ．7D ．1145．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（ ） A ．3y x =B ．y x 1=-C ．y x 1=-D ．x y 2=6．设函数2,,()=,.x e x a f x x x a x a ⎧≤⎨-+>⎩则下列结论中正确的是( )A ．对任意实数a ，函数()f x 的最小值为14a -B ．对任意实数a ，函数()f x 的最小值都不是14a - C ．当且仅当12a ≤时，函数()f x 的最小值为14a -D ．当且仅当14a ≤时，函数()f x 的最小值为14a -7．已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(]2-∞，上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是（ ） A ．2()(2)3-∞+∞，，U B ．2(2)3， C ．22()33-，D ．22()()33-∞-+∞，，U 8．设函数1212,2()3log (2),2x x f x x x -⎧+≥=⎨+-<⎩，则((0))f f =( )A ．5B ．8C ．9D ．179．已知函数()ln ln()f x x a x =+-的图象关于直线1x =对称，则函数()f x 的值域为( ) A ．(0,2)B ．[0,)+∞C ．(2]-∞D ．(,0]-∞10．已知函数()f x 是R 上的偶函数，且对任意的x R ∈有(3)()f x f x +=-，当(3,0)x ∈- 时，()25f x x =-，则(8)f =（ ）A ．11B ．5C ．-9D ．-111．已知函数122,0()2,()()2,0x acosx x f x g x a R x a x -+≥⎧==∈⎨+<⎩，若对任意11)[x ∈+∞，，总存在2x R ∈，使12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭ C ．1,[1,2]2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭U D ．371,,224⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦U12．已知函数()22(1),0log ,0x x f x x x ⎧+⎪=⎨>⎪⎩…，若方程f （）＝a 有四个不同的解1，2，3，4，且1＜2＜3＜4，则()3122341x x x x x ++的取值范围为（ ） A ．（﹣1，+∞）B ．（﹣1，1]C ．（﹣∞，1）D ．[﹣1，1）13．已知定义在实数集R 上的函数()f x 的图象经过点(1,2)--，且满足()()f x f x -=，当0≤<a b 时不等式()()0f b f a b a->-恒成立，则不等式(1)20f x -+<的解集为（ ）A ．(0,2)B ．(2,0)-C ．(,0)(2,)-∞+∞UD ．(,2)(0,)-∞-+∞U14．已知()lg(10)lg(10)f x x x =++-，则()f x 是（ ） A ．偶函数，且在(0,10)是增函数 B ．奇函数，且在(0,10)是增函数 C ．偶函数，且在(0,10)是减函数D ．奇函数，且在(0,10)是减函数15．已知()f x 与函数sin y a x =-关于点(12，0)对称，()g x 与函数xy e =关于直线y x =对称，若对任意(]10,1x ∈，存在2[,2]2x π∈使112()()g x x f x -≤成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(,]sin1-∞ B ．1[,)sin1+∞ C ．1(,]cos1-∞ D ．1[,)cos1+∞ 16．函数()(),f x g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，设()()()11h x f x g x =+++，则下列结论中正确的是（ ） A ．()h x 的图象关于(1,0)对称 B ．()h x 的图象关于(1,0)-对称 C ．()h x 的图象关于1x =对称D ．()h x 的图象关于1x =-对称17．偶函数()f x 在[]0,2上递增，且()1a f =，121log 4b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log c f ⎛= ⎝⎭大小为（ ） A ．c a b >> B ．a c b >> C ．b a c >>D ．a b c >>18．设函数2,1(),12x x f x x x -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则满足()()2f f a f a =⎡⎤⎣⎦的a 的取值范围是（ ）A ．(],0-∞B ．[]0,2C ．[)2,+∞D ．(][),02,-∞⋃+∞19．设函数2()x x f x e e x -=++，则使()()21f x f x >+成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．(1,)+∞C ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,(1,)3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭20．已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对于定义域内任意x ，[]2()log 3f f x x -=，则函数()()7g x f x x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)21．已知函数()f x 是奇函数，当0x >时，()lg f x x =，则1100f f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为 ______22．设函数ln(2),1()24,1x x f x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩，若()1f a =-，则a =_______．23．函数()32351f x x x x =-+-图象的对称中心为_____24．已知函数()()2log ,011,1x x f x f x x <≤⎧=⎨->⎩，则20192f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________．25．已知f()是定义在R 上的偶函数，且(4)(2)f x f x +=-.若当[3,0]x ∈- 时，()6x f x -=，则()919f =__________26．已知直线l 与曲线31y x x =-+有三个不同的交点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，且||||AB AC =，则()31iii x y =+=∑__________.27．已知实数a ，b R ∆(0，2)，且满足2244242ab a b b --=--，则a ＋b 的值为_______． 28．设函数2,,()1,.x e x x a f x ax x a ⎧-<=⎨-≥⎩ 若1a =，则()f x 的最小值为__________； 若()f x 有最小值，则实数a 的取值范围是_______．29．在平面直角坐标系xoy 中，对于点(),A a b ，若函数()y f x =满足：[]1,1x a a ∀∈-+，都有[]1,1y b b ∈-+，就称这个函数是点A 的“限定函数”．以下函数：①12y x =，②221y x =+，③sin y x =，④()ln 2y x =+，其中是原点O 的“限定函数”的序号是______．已知点(),A a b 在函数2xy =的图象上，若函数2xy =是点A 的“限定函数”，则a 的取值范围是______．30．函数()211log 1axf x x x+=+-为奇函数，则实数a =__________．。
方法技巧专题12 函数单调性、极值、最值与导数问题(解析版)
方法技巧专题12 函数单调性、极值、最值与导数问题解析篇【一】判断函数单调性1.例题【例1】已知函数()xf x ax e =-判断函数()f x 的单调性。
【解析】由题意可求，()´xf x a e =-1.当0a ≤时，()()´0,f x f x <在R 上为减函数；2.当0a >时，令()´0f x >，解得x lna <, 令()´0f x <，解得x lna > 于是()f x 在(,ln ]a -∞为增函数，在[ln ,)a +∞为减函数；【例2】已知函数2()ln 1a f x x x +=++，其中a ∈R ，讨论并求出f (x )在其定义域内的单调区间． 【解析】()222121()1(1)(1)a f x x ax x x x x +'=-=-+++，设g (x )＝x 2－ax ＋1， ∵x ＞0，∴①当a ＜0时，g (x )＞0，f ′(x )＞0在x ∈(0，＋∞)上恒成立， 此时函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增；②当a ＞0时，222()1124a a g x x ax x ⎛⎫=-+=-+-⎪⎝⎭. 当1－24a ≥0，即0＜a ≤2时，g (x )＞0，f ′(x )＞0在x ∈(0，＋∞)上恒成立，此时函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增；当a ＞2时，方程g (x )＝0的两根分别为12,22a a x x +==，且0＜x 1＜x 2， ∴当x ∈(0，x 1)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，故函数f (x )在(0，x 1)上单调递增； 当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，故函数f (x )在(x 1，x 2)上单调递减； 当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，故函数f (x )在(x 2，＋∞)上单调递增． 综上所述，当a ≤2时，函数f (x )的单调增区间为(0)∞，＋，没有减区间；当a ＞2时，函数f (x )的减区间为12()x x ，；增区间为(0，x 1)，(x 2，＋∞)．2.巩固提升综合练习【练习1】已知函数()xf x e =，()()210g x ax x a =++>.设()()()g x F x f x =，讨论函数()F x 的单调性；【解析】因为2()1()()xg x ax x F x f x e++==， 所以221(21)'()xx a ax x ax a x a F x e e -⎛⎫-- ⎪-+-⎝⎭==， ①若12a =，2'()0xax F x e-=≤.∴()F x 在R 上单调递减. ②若12a >，则210a a->， 当0x <，或21a x a ->时，'()0F x <，当210a x a-<<时，'()0F x >，∴()F x 在(,0)-∞，21,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在210,a a -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.③若102a <<，则210a a-<， 当21a x a -<，或0x >时，'()0F x <，当210a x a-<<时，'()0F x >. ∴()F x 在21,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，(0,)+∞上单调递减，在21,0a a -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增. 【练习2】已知x ax x x ax x f +--=2221ln )()(，求)(x f 单调区间. 【解析】该函数定义域为），（∞+0（第一步：对数真数大于0求定义域）令x ax x f ln 12)('）（-=，解得121,12x x a==（第二步，令导数等于0，解出两根21,x x ） （1）当0≤a 时，'(0,1),()0,()x f x f x ∈>单调增，'(1,),()0,()x f x f x ∈+∞<单调减 （第三步，1x 在不在进行分类，当其不存在得到0≤a ；第四步数轴穿根或图像判断正负）（2）当121=a 时即21=a '(0,),()0,()x f x f x ∈+∞>单调增， （第五步，x 1在区间时，进行比较大小，当21x x =得到21=a 第四步图像判断正负）①当1210<<a 时，即21>a'1(0,),(1,)()0,()2x x f x f x a ∈∈+∞>单调增，'1[,1],()0,()2x f x f x a∈<单调减（当21x x <得到21>a ；第四步图像判断正负）②当121>a 时，即210<<a'1(0,1),(,)()0,()2x x f x f x a ∈∈+∞>单调增，'1[1,],()0,()2x f x f x a∈<单调减（21x x >得到210<<a ；第四步图像判断正负）综上可知：0≤a ，'(0,1),()0,()x f x f x ∈>单调增，'(1,),()0,()x f x f x ∈+∞<单调减；21=a ，'(0,),()0,()x f x f x ∈+∞>单调增 21>a '1(0,),(1,)()0,()2x x f x f x a ∈∈+∞>单调增，'1[,1],()0,()2x f x f x a ∈<单调减210<<a ，'1(0,1),(,)()0,()2x x f x f x a ∈∈+∞>单调增，'1[1,],()0,()2x f x f x a ∈< 单调减【二】根据单调性求参数 1.例题【例1】（1）若函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是 . （2）函数()()2244xf x exx =--在区间()1,1k k -+上不单调，实数k 的范围是（ ）（3）若函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+内单调递增，则实数m 的取值范围为 .（4）若函数()2ln f x ax x x =+-存在增区间，则实数a 的取值范围为 .【解析】（1）因为函数2()2(1)2f x x a x =+-+的单调减区间为(],1a -∞-，又函数()f x 在区间(],4-∞上是减函数，则(],4-∞⊆(],1a -∞-，则14a -≥，解得：3a ≤-， （2）()()2244xf x exx =--，()()228x f x e x '∴=-，令()0f x '=，得2x =±. 当2x <-或2x >时，()0f x '>；当22x -<<时，()0f x '<. 所以，函数()y f x =的极大值点为2-，极小值点为2.由题意可得121k k -<-<+或121k k -<<+，解得31k -<<-或13k <<. （3）由2450x x -++>，即2450x x --<，解得15x -<<. 二次函数245y x x =-++的对称轴为2x =.由复合函数单调性可得函数()()212log 45f x x x =-++的单调递增区间为()2,5．要使函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+内单调递增， 则()()32,22,5m m -+⊆，即32225322m m m m -≥⎧⎪+≤⎨⎪-<+⎩，解得423m ≤<.（4）若函数()f x 不存在增区间，则函数()f x 单调递减， 此时()1210f x ax x'=+-≤在区间()0,∞+恒成立， 可得2112a x x ≤-，则22111111244x x x ⎛⎫-=--≥- ⎪⎝⎭，可得18a ≤-，故函数存在增区间时实数a 的取值范围为1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．【例2】已知函数32()3()f x ax x x x =+-∈R 恰有三个单调区间，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()3,-+∞ B ．()()3,00,-+∞C ．()(),00,3-∞ D ．[)3,-+∞【解析】（1）2'()361f x ax x =+-，∴()f x 有三个单调区间，∴036120a a ≠⎧⎨∆=+>⎩，解得3a >-且0a ≠．故选B ．2.巩固提升综合练习 【练习1】函数321()3f x ax x a =-+在[1,2]上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a > B ．1a ≥C ．2a >D ．2a ≥【答案】D【解析】由题意得：()22f x ax x '=-()f x 在[]1,2上单调递增等价于：()0f x '≥在[]1,2上恒成立即：220ax x -≥ 222x a x x∴≥=当[]1,2x ∈时，22x≤ 2a ∴≥本题正确选项：D【练习2】已知函数f(x)=x 3+ax 2+x +1（a ∈R ）在(−23,−13)内存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,√3] B ．(−∞,√3] C ．(√3,+∞) D ．(√3,3)【答案】C【解析】f ′(x )=3x 2+2ax +1 假设f(x) 在(−23,−13)内不存在单调递减区间，而f(x)又不存在常函数情况，所以f(x) 在(−23,−13)内递增，即有x ∈ (−23,−13)时不等式f ′(x )=3x 2+2ax +1≥0恒成立，即x ∈ (−23,−13)时，a ≤−32x −12x =−32(x +13x)恒成立，解得a ≤√3，所以函数f(x) 在(−23,−13)内存在单调递减区间，实数a 的取值范围是(√3,+∞)故选C【练习3】若函数2()ln f x x x x=++在区间[],2t t +上是单调函数，则t 的取值范围是（ ） A ．[1,2] B ．[1,)+∞C ．[2,)+∞D ．(1,)+∞【答案】B【解析】22222122(2)(1)()ln '()1(0)x x x x f x x x f x x x x x x x+-+-=++⇒=+-==> 1x ≥单调递增，01x <<单调递减.函数2()ln f x x x x=++在区间[],2t t +上是单调函数 区间[],2t t +上是单调递减不满足只能区间[],2t t +上是单调递增. 故1t ≥故答案选B【三】函数的极值问题1.例题【例1】(1)函数3()12f x x x =-的极大值点是_______，极大值是________。
2019年全国统一高考数学试卷(文科)以及答案解析(全国1卷)
绝密★启用前2019年高考普通高等学校招生全国统一考试（全国1卷）文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设z＝，则|z|＝（）A．2B．C．D．12．（5分）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩∁U A＝（）A．{1，6}B．{1，7}C．{6，7}D．{1，6，7} 3．（5分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a4．（5分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm5．（5分）函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（）A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生7．（5分）tan255°＝（）A．﹣2﹣B．﹣2+C．2﹣D．2+8．（5分）已知非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．9．（5分）如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（）A．A＝B．A＝2+C．A＝D．A＝1+10．（5分）双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为（）A．2sin40°B．2cos40°C．D．11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a sin A﹣b sin B＝4c sin C，cos A ＝﹣，则＝（）A．6B．5C．4D．312．（5分）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．+y2＝1B．+＝1C．+＝1D．+＝1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2010-2019全国卷I文科函数与导数(解析版)
专题16 函数与导数（2）1．（2019年）已知函数f （x ）＝2sin x ﹣x cos x ﹣x ， f ′（x ）为f （x ）的导数． （1）证明：f ′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围． 【解析】（1）∵f （x ）＝2sin x ﹣x cos x ﹣x ，∴f ′（x ）＝2cos x ﹣cos x +x sin x ﹣1＝cos x +x sin x ﹣1，令g （x ）＝cos x +x sin x ﹣1，则g ′（x ）＝﹣sin x +sin x +x cos x ＝x cos x ， 当x ∈（0，2π）时，x cos x ＞0，当x ∈（2π，π）时，x cos x ＜0， ∴当x ＝2π时，极大值为g （2π）＝12π-＞0，又g （0）＝0，g （π）＝﹣2，∴g （x ）在（0，π）上有唯一零点， 即f ′（x ）在（0，π）上有唯一零点；（2）由（1）知，f ′（x ）在（0，π）上有唯一零点x 0，使得f ′（x 0）＝0， 且f ′（x ）在（0，x 0）为正，在（x 0，π）为负， ∴f （x ）在[0，x 0]递增，在[x 0，π]递减，结合f （0）＝0，f （π）＝0，可知f （x ）在[0，π]上非负， 令h （x ）＝ax ，作出图象，如图所示：∵f （x ）≥h （x ）， ∴a ≤0，∴a 的取值范围是（﹣∞，0]．2．（2018年）已知函数f （x ）＝ae x ﹣lnx ﹣1．（1）设x ＝2是f （x ）的极值点，求a ，并求f （x ）的单调区间；（2）证明：当a ≥1e时，f （x ）≥0． 【解析】（1）∵函数f （x ）＝ae x ﹣lnx ﹣1．∴x ＞0，f ′（x ）＝ae x ﹣1x，∵x ＝2是f （x ）的极值点， ∴f ′（2）＝ae 2﹣12＝0，解得a ＝212e， ∴f （x ）＝212e e x ﹣lnx ﹣1，∴f ′（x ）＝2112x e e x-， 当0＜x ＜2时，f ′（x ）＜0，当x ＞2时，f ′（x ）＞0，∴f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．（2）证明：当a ≥1e时，f （x ）≥x e e ﹣lnx ﹣1，设g （x ）＝x e e ﹣lnx ﹣1，则()1x e g x e x '=-，由()1x e g x e x'=-＝0，得x ＝1，当0＜x ＜1时，g ′（x ）＜0，当x ＞1时，g ′（x ）＞0，∴x ＝1是g （x ）的最小值点，故当x ＞0时，g （x ）≥g （1）＝0，∴当a ≥1e时，f （x ）≥0．3．（2017年）已知函数f （x ）＝e x （e x ﹣a ）﹣a 2x ． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）若f （x ）≥0，求a 的取值范围．【解析】（1）f （x ）＝e x （e x ﹣a ）﹣a 2x ＝e 2x ﹣e x a ﹣a 2x ， ∴f ′（x ）＝2e 2x ﹣ae x ﹣a 2＝（2e x +a ）（e x ﹣a ），①当a ＝0时，f ′（x ）＞0恒成立，∴f （x ）在R 上单调递增， ②当a ＞0时，2e x +a ＞0，令f ′（x ）＝0，解得x ＝lna ， 当x ＜lna 时，f ′（x ）＜0，函数f （x ）单调递减， 当x ＞lna 时，f ′（x ）＞0，函数f （x ）单调递增，③当a ＜0时，e x ﹣a ＞0，令f ′（x ）＝0，解得x ＝ln （﹣2a）， 当x ＜ln （﹣2a）时，f ′（x ）＜0，函数f （x ）单调递减， 当x ＞ln （﹣2a）时，f ′（x ）＞0，函数f （x ）单调递增，综上所述，当a ＝0时，f （x ）在R 上单调递增，当a ＞0时，f （x ）在（﹣∞，lna ）上单调递减，在（lna ，+∞）上单调递增，当a ＜0时，f （x ）在（﹣∞，ln （﹣2a ））上单调递减，在（ln （﹣2a），+∞）上单调递增．（2）①当a ＝0时，f （x ）＝e 2x ＞0恒成立，②当a ＞0时，由（1）可得f （x ）min ＝f （lna ）＝﹣a 2lna ≥0，∴lna ≤0， ∴0＜a ≤1，③当a ＜0时，由（1）可得：f （x ）min ＝f （ln （﹣2a））＝234a ﹣a 2ln （﹣2a）≥0，∴ln （﹣2a ）≤34，∴342e -≤a ＜0，综上所述，a 的取值范围为[342e -，1]．4．（2016年）已知函数f （x ）＝（x ﹣2）e x +a （x ﹣1）2． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）若f （x ）有两个零点，求a 的取值范围．【解析】（1）由f （x ）＝（x ﹣2）e x +a （x ﹣1）2， 可得f ′（x ）＝（x ﹣1）e x +2a （x ﹣1）＝（x ﹣1）（e x +2a ），①当a ≥0时，由f ′（x ）＞0，可得x ＞1；由f ′（x ）＜0，可得x ＜1， 即有f （x ）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增；②当a ＜0时，若a ＝﹣2e，则f ′（x ）≥0恒成立，即有f （x ）在R 上递增； 若a ＜﹣2e时，由f ′（x ）＞0，可得x ＜1或x ＞ln （﹣2a ）；由f ′（x ）＜0，可得1＜x ＜ln （﹣2a ）． 即有f （x ）在（﹣∞，1），（ln （﹣2a ），+∞）递增；在（1，ln （﹣2a ））递减；若﹣2e＜a ＜0，由f ′（x ）＞0，可得x ＜ln （﹣2a ）或x ＞1；由f ′（x ）＜0，可得ln （﹣2a ）＜x ＜1． 即有f （x ）在（﹣∞，ln （﹣2a ）），（1，+∞）递增；在（ln （﹣2a ），1）递减； （2）①由（1）可得当a ＞0时，f （x ）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增，且f （1）＝﹣e ＜0，x →+∞，f （x ）→+∞；当x →﹣∞时f （x ）＞0或找到一个x ＜1使得f （x ）＞0对于a ＞0恒成立，f （x ）有两个零点；②当a ＝0时，f （x ）＝（x ﹣2）e x ，所以f （x ）只有一个零点x ＝2；③当a ＜0时，若a ＜﹣2e时，f （x ）在（1，ln （﹣2a ））递减，在（﹣∞，1），（ln （﹣2a ），+∞）递增，又当x ≤1时，f （x ）＜0，所以f （x ）不存在两个零点；当a ≥﹣2e时，在（﹣∞，ln （﹣2a ））单调增，在（1，+∞）单调增，在（1n （﹣2a ），1）单调减，只有f （ln （﹣2a ））等于0才有两个零点， 而当x ≤1时，f （x ）＜0，所以只有一个零点不符题意． 综上可得，f （x ）有两个零点时，a 的取值范围为（0，+∞）．5．（2015年）设函数f （x ）＝e 2x ﹣alnx ．（1）讨论f （x ）的导函数f ′（x ）零点的个数；（2）证明：当a ＞0时，f （x ）≥2a +aln 2a ．【解析】（1）f （x ）＝e 2x ﹣alnx 的定义域为（0，+∞）， ∴f ′（x ）＝2e 2x ﹣ax．当a ≤0时，f ′（x ）＞0恒成立，故f ′（x ）没有零点， 当a ＞0时，∵y ＝e 2x 为单调递增，y ＝﹣单调递增， ∴f ′（x ）在（0，+∞）单调递增， 又f ′（a ）＞0，假设存在b 满足0＜b ＜ln 2a 时，且b ＜14，f ′（b ）＜0，故当a ＞0时，导函数f ′（x ）存在唯一的零点，（2）由（1）知，可设导函数f ′（x ）在（0，+∞）上的唯一零点为x 0， 当x ∈（0，x 0）时，f ′（x ）＜0， 当x ∈（x 0+∞）时，f ′（x ）＞0，故f （x ）在（0，x 0）单调递减，在（x 0+∞）单调递增， 所欲当x ＝x 0时，f （x ）取得最小值，最小值为f （x 0）， 由于022x e ﹣a x ＝0，所以f （x 0）＝02a x +2ax 0+aln 2a ≥2a +aln 2a．故当a ＞0时，f （x ）≥2a +aln 2a．6．（2014年）设函数f （x ）＝alnx +12a -x 2﹣bx （a ≠1），曲线y ＝f（x ）在点（1，f （1））处的切线斜率为0， （1）求b ；（2）若存在x 0≥1，使得f （x 0）＜1aa -，求a 的取值范围．【解析】（1）f ′（x ）＝()1a a x b x+--（x ＞0），∵曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线斜率为0， ∴f ′（1）＝a +（1﹣a ）×1﹣b ＝0，解得b ＝1．（2）函数f （x ）的定义域为（0，+∞），由（1）可知：f （x ）＝alnx +212a x x --，∴()()11af x a x x'=+--＝()111a a x x x a -⎛⎫-- ⎪-⎝⎭． ①当a 12≤时，则11aa≤-，则当x ＞1时，f ′（x ）＞0，∴函数f （x ）在（1，+∞）单调递增，∴存在x 0≥1，使得f （x 0）＜1a a -的充要条件是()11af a <-，即1121a aa --<-，解得11a <<； ②当12<a ＜1时，则11a a>-，则当x ∈（1，1a a -）时，f ′（x ）＜0，函数f （x ）在（1，1aa -）上单调递减；当x ∈（1a a -，+∞）时，f ′（x ）＞0，函数f （x ）在（1aa-，+∞）上单调递增．∴存在x 0≥1，使得f （x 0）＜1aa -的充要条件是11a a f a a ⎛⎫< ⎪--⎝⎭， 而()2ln 112111a a a a af a a a a a a ⎛⎫=++> ⎪-----⎝⎭，不符合题意，应舍去． ③若a ＞1时，f （1）＝1112a a a----=<，成立． 综上可得：a 的取值范围是（11）U （1，+∞）．7．（2013年）已知函数f（x）＝e x（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y＝f （x）在点（0，f（0））处切线方程为y＝4x+4．（1）求a，b的值；（2）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．【解析】（1）∵f（x）＝e x（ax+b）﹣x2﹣4x，∴f′（x）＝e x（ax+a+b）﹣2x﹣4，∵曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y＝4x+4，∴f（0）＝4，f′（0）＝4，∴b＝4，a+b＝8，∴a＝4，b＝4．（2）由（1）知，f（x）＝4e x（x+1）﹣x2﹣4x，f′（x）＝4e x（x+2）﹣2x﹣4＝4（x+2）（e x﹣1），2令f′（x）＝0，得x＝﹣ln2或x＝﹣2∴x∈（﹣∞，﹣2）或（﹣ln2，+∞）时，f′（x）＞0；x∈（﹣2，﹣ln2）时，f′（x）＜0．∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣2），（﹣ln2，+∞），单调减区间是（﹣2，﹣ln2），当x＝﹣2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（﹣2）＝4（1﹣e﹣2）．8．（2012年）设函数f （x ）＝e x ﹣ax ﹣2． （1）求f （x ）的单调区间；（2）若a ＝1，k 为整数，且当x ＞0时，（x ﹣k ）f ′（x ）+x +1＞0，求k 的最大值．【解析】（1）函数f （x ）＝e x ﹣ax ﹣2的定义域是R ，f ′（x ）＝e x ﹣a ，若a ≤0，则f ′（x ）＝e x ﹣a ≥0，所以函数f （x ）＝e x ﹣ax ﹣2在（﹣∞，+∞）上单调递增．若a ＞0，则当x ∈（﹣∞，lna ）时，f ′（x ）＝e x ﹣a ＜0； 当x ∈（lna ，+∞）时，f ′（x ）＝e x ﹣a ＞0；所以，f （x ）在（﹣∞，lna ）单调递减，在（lna ，+∞）上单调递增． （2）由于a ＝1，所以，（x ﹣k ） f ′（x ）+x +1＝（x ﹣k ） （e x ﹣1）+x +1， 故当x ＞0时，（x ﹣k ） f ′（x ）+x +1＞0等价于k ＜11xx x e ++-（x ＞0）①， 令g （x ）＝11x x x e ++-，则g ′（x ）＝()()()2221111x x x xxe e x xe ee----+=--，由（1）知，当a ＝1时，函数h （x ）＝e x ﹣x ﹣2在（0，+∞）上单调递增， 而h （1）＜0，h （2）＞0，所以h （x ）＝e x ﹣x ﹣2在（0，+∞）上存在唯一的零点，故g ′（x ）在（0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为α，则有α∈（1，2） 当x ∈（0，α）时，g ′（x ）＜0；当x ∈（α，+∞）时，g ′（x ）＞0； 所以g （x ）在（0，+∞）上的最小值为g （α）．又由g ′（α）＝0，可得e α＝α+2所以g （α）＝α+1∈（2，3） 由于①式等价于k ＜g （α），故整数k 的最大值为2．9．（2011年）已知函数f （x ）＝ln 1a x x ++b x，曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为x +2y ﹣3＝0． （1）求a 、b 的值；（2）证明：当x ＞0，且x ≠1时，f （x ）＞ln 1x x -．【解析】（1）()()221ln 1x a x b x f x x x +⎛⎫- ⎪⎝⎭'=-+．由于直线x +2y ﹣3＝0的斜率为12-，且过点（1，1），所以1122b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩， 解得a ＝1，b ＝1．（2）由（1）知f （x ）＝ln 11x x x++，所以()22ln 112ln 11x x f x x x x x ⎛⎫--=- ⎪--⎝⎭，考虑函数()212ln x h x x x -=-（0x >），则()()()222222112x x x h x x x x ---'=-=-，所以当x ≠1时，h ′（x ）＜0而h （1）＝0， 当x ∈（0，1）时，h （x ）＞0，可得()2101h x x >-； 当()1,x ∈+∞时，()0h x <，可得()2101h x x >-． 从而当x ＞0且x ≠1时，()ln 01x f x x ->-，即f （x ）＞ln 1xx -．10．（2010年）设函数f（x）＝x（e x﹣1）﹣ax2．（1）若a＝12，求f（x）的单调区间；（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．【解析】（1）a＝12时，f（x）＝x（e x﹣1）﹣12x2，∴()1x xf x e xe x'=-+-＝（e x﹣1）（x+1），令f′（x）＞0，可得x＜﹣1或x＞0；令f′（x）＜0，可得﹣1＜x＜0．∴函数()f x的单调增区间是（﹣∞，﹣1），（0，+∞）；单调减区间为（﹣1，0）．（2）f（x）＝x（e x﹣1﹣ax）．令g（x）＝e x﹣1﹣ax，则g'（x）＝e x﹣a．若a≤1，则当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）为增函数，而g（0）＝0，从而当x≥0时g（x）≥0，即f（x）≥0．若a＞1，则当x∈（0，lna）时，g'（x）＜0，g（x）为减函数，而g（0）＝0，从而当x∈（0，lna）时，g（x）＜0，即f（x）＜0．综合得a的取值范围为（﹣∞，1]．。
2019普通高等高等学校统一招生(新课标I)(文数)(含详细答案及解析)(全国1卷高考数学真题)
绝密★启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设3i12iz -=+，则z = A ．2B ．3C ．2D ．12．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则A ．{}1,6B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,73．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-（512-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm5．函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[-π，π]的图像大致为A ．B ．C ．D ．6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生7．tan255°=A ．-2-3B ．-2+3C ．2-3D ．2+38．已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a -b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π69．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A+ B ．A =12A+C ．A =112A+D ．A =112A+10．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A -b sin B =4c sin C ，cos A =-14，则b c=A ．6B ．5C ．4D ．312．已知椭圆C 的焦点为12(1,0),(1,0)F F -，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C的方程为A ．2212x y += B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
十年真题(2010-2019)高考数学(文)分类汇编专题04 导数及其应用(新课标Ⅰ卷)(原卷版)
专题04导数及其应用历年考题细目表5解答题2014 导数综合问题2014年新课标1文科21解答题2013 导数综合问题2013年新课标1文科20解答题2012 导数综合问题2012年新课标1文科21解答题2011 导数综合问题2011年新课标1文科21解答题2010 导数综合问题2010年新课标1文科21历年高考真题汇编1．【2019年新课标1文科05】函数f（）在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．2．【2018年新课标1文科06】设函数f（）＝3+（a﹣1）2+a．若f（）为奇函数，则曲线y＝f（）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y＝﹣2 B．y＝﹣C．y＝2 D．y＝3．【2017年新课标1文科08】函数y的部分图象大致为（）A．B．C．D．4．【2017年新课标1文科09】已知函数f（）＝ln+ln（2﹣），则（）A．f（）在（0，2）单调递增B．f（）在（0，2）单调递减C．y＝f（）的图象关于直线＝1对称D．y＝f（）的图象关于点（1，0）对称5．【2016年新课标1文科09】函数y＝22﹣e||在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．6．【2016年新课标1文科12】若函数f（）＝sin2+a sin在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．[﹣1，] C．[，] D．[﹣1，]7．【2014年新课标1文科12】已知函数f（）＝a3﹣32+1，若f（）存在唯一的零点0，且0＞0，则实数a 的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2）8．【2013年新课标1文科09】函数f（）＝（1﹣cos）sin在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．9．【2010年新课标1文科04】曲线y＝3﹣2+1在点（1，0）处的切线方程为（）A．y＝﹣1 B．y＝﹣+1 C．y＝2﹣2 D．y＝﹣2+210．【2019年新课标1文科13】曲线y＝3（2+）e在点（0，0）处的切线方程为．11．【2017年新课标1文科14】曲线y＝2在点（1，2）处的切线方程为．12．【2015年新课标1文科14】已知函数f（）＝a3++1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a＝．13．【2012年新课标1文科13】曲线y＝（3ln+1）在点（1，1）处的切线方程为．14．【2019年新课标1文科20】已知函数f（）＝2sin﹣cos﹣，f′（）为f（）的导数．（1）证明：f′（）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若∈[0，π]时，f（）≥a，求a的取值范围．15．【2018年新课标1文科21】已知函数f（）＝ae﹣ln﹣1．（1）设＝2是f（）的极值点，求a，并求f（）的单调区间；（2）证明：当a时，f（）≥0．16．【2017年新课标1文科21】已知函数f（）＝e（e﹣a）﹣a2．（1）讨论f（）的单调性；（2）若f（）≥0，求a的取值范围．17．【2016年新课标1文科21】已知函数f（）＝（﹣2）e+a（﹣1）2．（Ⅰ）讨论f（）的单调性；（Ⅱ）若f（）有两个零点，求a的取值范围．18．【2015年新课标1文科21】设函数f（）＝e2﹣aln．（Ⅰ）讨论f（）的导函数f′（）零点的个数；（Ⅱ）证明：当a＞0时，f（）≥2a+aln．19．【2014年新课标1文科21】设函数f（）＝aln2﹣b（a≠1），曲线y＝f（）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，（1）求b；（2）若存在0≥1，使得f（0），求a的取值范围．20．【2013年新课标1文科20】已知函数f（）＝e（a+b）﹣2﹣4，曲线y＝f（）在点（0，f（0））处切线方程为y＝4+4．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论f（）的单调性，并求f（）的极大值．21．【2012年新课标1文科21】设函数f（）＝e﹣a﹣2．（Ⅰ）求f（）的单调区间；（Ⅱ）若a＝1，为整数，且当＞0时，（﹣）f′（）++1＞0，求的最大值．22．【2011年新课标1文科21】已知函数f（），曲线y＝f（）在点（1，f（1））处的切线方程为+2y﹣3＝0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）证明：当＞0，且≠1时，f（）．23．【2010年新课标1文科21】设函数f（）＝（e﹣1）﹣a2（Ⅰ）若a，求f（）的单调区间；（Ⅱ）若当≥0时f（）≥0，求a的取值范围．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：导数的概念及运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：导数的运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题，预测明年本考点题目会比较稳定.备考方向以知识点导数的运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题，为重点较佳.最新高考模拟试题1．已知函数10()ln ,0x xf x x x x⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，＜＞，若()()F x f x kx =-有3个零点，则k 的取值范围为( )A ．(21e -，0) B ．(12e-，0) C ．(0，12e) D ．(0，21e) 2．已知,(0,)2παβ∈，sin sin 0βααβ->，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．2παβ+<B ．2παβ+=C ．αβ<D ．αβ>3．已知函数()ln 2f x a x x =-+（a 为大于1的整数），若()y f x =与(())y f f x =的值域相同，则a 的最小值是（ ）（参考数据：ln20.6931≈，ln3 1.0986≈，ln5 1.6094≈） A ．5B ．6C ．7D ．84．已知实数a ，b ，c ，d 满足ln 12113a cb d +-==+-，则22()()ac bd -+-的最小值为（ ） A ．8 B ．4C ．2D5．若函数()ln f x x a x =在区间()1,+∞上存在零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,2e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,∞+D ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭6．已知函数1()2x a f x e ax x x⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，若对任意(0,)x ∈+∞，都有()()f x xf x '≥-成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3,2e ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦ B ．(,-?C ．3,2e 轹÷-+?ê÷ê滕 D ．)é-+?êë7．已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x >时，有()()22f x xf x x '>+，则不等式()()()22018+2018420x f x f +-<＋的解集为( ) A ．(),2016-∞-B ．()2016,2012--C ．(),2018-∞-D ．()2016,0-8．已知函数35791131()135791113x x x x x x f x x =+-+-+-+，则使不等式(1)0f x ->成立的x 的最小整数为（ ） A ．-3B ．-2C ．-1D ．09．直线y ax =是曲线1ln y x =+的切线，则实数a =____．10．函数()2xf x ae x =-与()21g x x x =--的图象上存在关于x 轴的对称点，则实数a 的取值范围为_________．11．已知函数()1xf x e =-，若存在实数,()a b a b <使得()()f a f b =，则2+a b 的最大值为________.12．已知实数a ，b ，c 满足2121a c b c e a b e +--+++≤（e 为自然对数的底数），则22a b +的最小值是_______．13．已知直线x t =与曲线()()()ln 1,xf x xg x e =+=分别交于,M N 两点，则MN 的最小值为________14．曲线cos y a x =在6x π=处的切线l 的斜率为12，则切线l 的方程为_____． 15．已知函数22,0,(),0,x x x f x e x ⎧≤=⎨>⎩若方程2[()]f x a =恰有两个不同的实数根12,x x ，则12x x +的最大值是______．16．已知函数31,0()2,0ax x f x x ax x x -≤⎧=⎨-+->⎩的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围______.17．已知函数()||ln (0)f x x a x a =-->. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）比较222222ln 2ln 3ln 23n n++⋯+ 与(1)(21)2(1)n n n -++的大小(n N +∈且)2n >，并证明你的结论.18．已知函数()()21ln 2f x x x ax a =++∈R ． （1）讨论()f x 的单调性； （2）若12,x x 为()f x 的两个极值点，证明：()()21212+44282f x f x a a x x f +++⎛⎫-> ⎪⎝⎭. 19．已知函数()ln(1)1(1)f x ax x a =+-+…. （Ⅰ）当1a =时，求()f x 的最大值； （Ⅱ）若1()e f x e +…对1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的取值范围. 20．对于函数()y f x =的定义域D ，如果存在区间[],m n D ⊆，同时满足下列条件：①()f x 在()()f x g x +上是单调函数；②当[],x m n ∈时，()f x 的值域为[]2,2m n ，则称区间()()f x g x +是函数()f x 的“单调倍区间”．已知函数()ln 2,0()02,0a x x x f x a a x ->⎧⎪=>≤ （1）若2a =，求()f x 在点()(),e f e 处的切线方程； （2）若函数()f x 存在“单调倍区间”，求a 的取值范围． 21．已知函数2()(0)4x x a f x e a x ++=⋅≥+. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当[0,1)b ∈时，设函数22(3)()(2)(2)x e b x g x x x +-+=>-+有最小值()h b ，求()h b 的值域. 22．已知函数1()x f x xe alnx -=-（无理数 2.718e =…）． （1）若()f x 在(1,)+∞单调递增，求实数a 的取值范围： （2）当0a =时，设2()()eg x f x x x x=⋅--，证明：当0x >时，ln 2ln 2()122g x ⎛⎫>-- ⎪⎝⎭．。
2010-2019学年高考新课标全国I卷数学(文)真题分类汇编专题15 函数与导数(1)(解析版)
专题15 函数与导数（1）函数与导数小题：10年30考，平均每年3个，可见其重要性！主要考查基本初等函数的图象和性质，包括定义域、最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性、平移、导数、切线、零点等，分段函数是重要载体！绝对值函数也是重要载体！函数与导数已经不是值得学生“恐惧”的了吧？ 1．（2019年）已知a ＝log 20.2，b ＝20.2，c ＝0.20.3，则（ ） A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a【答案】B【解析】a ＝log 20.2＜log 21＝0，b ＝20.2＞20＝1，∵0＜0.20.3＜0.20＝1，∴c ＝0.20.3∈（0，1），∴a ＜c ＜b ，故选B ．2．（2019年）函数f （x ）＝2sin cos x xx x ++在[﹣π，π]的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】∵f （x ）＝2sin cos x x x x ++，x ∈[﹣π，π]，∴f （﹣x ）＝2sin cos x x x x --+＝﹣2sin cos x xx x++＝﹣f （x ），∴f （x ）为[﹣π，π]上的奇函数，因此排除A ；又f （π）＝22sin 0cos 1ππππππ+=>+-+，因此排除B ，C ；故选D ． 3．（2019年）曲线y ＝3（x 2+x ）e x 在点（0，0）处的切线方程为 ． 【答案】y ＝3x【解析】∵y ＝3（x 2+x ）e x ，∴y '＝3e x （x 2+3x +1），∴当x ＝0时，y '＝3，∴y ＝3（x 2+x ）e x 在点（0，0）处的切线斜率k ＝3，∴切线方程为y ＝3x ．4．（2018年）设函数f （x ）＝x 3+（a ﹣1）x 2+ax ．若f （x ）为奇函数，则曲线y ＝f （x ）在点（0，0）处的切线方程为（ ） A ．y ＝﹣2xB ．y ＝﹣xC ．y ＝2xD ．y ＝x【答案】D【解析】函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax，若f（x）为奇函数，f（﹣x）＝﹣f（x），﹣x3+（a﹣1）x2﹣ax＝﹣（x3+（a﹣1）x2+ax）＝﹣x3﹣（a﹣1）x2﹣ax．所以（a﹣1）x2＝﹣（a﹣1）x2，可得a＝1，所以函数f （x）＝x3+x，可得f′（x）＝3x2+1，曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为1，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为y＝x．故选D．5．（2018年）设函数f（x）＝2,01,0x xx-⎧≤⎨>⎩，则满足f（x+1）<f（2x）的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1] B．（0，+∞）C．（﹣1，0）D．（﹣∞，0）【答案】D【解析】函数f（x）＝2,01,0x xx-⎧≤⎨>⎩，的图象如图，满足f（x+1）＜f（2x），可得2x＜0＜x+1或2x＜x+1≤0，解得x∈（﹣∞，0）．故选D．6．（2018年）已知函数f（x）＝log2（x2+a），若f（3）＝1，则a＝．【答案】﹣7【解析】函数f（x）＝log2（x2+a），若f（3）＝1，可得log2（9+a）＝1，可得a＝﹣7．7．（2017年）函数y＝sin21cosxx-的部分图象大致为（）A．B．C ．D ．【答案】C【解析】函数y＝sin21cosxx-是奇函数，排除选项B；当x＝3π时，f（3π）＝32112-3A；x＝π时，f（π）＝0，排除D．故选C．8．（2017年）已知函数f（x）＝lnx+ln（2﹣x），则（）A．f（x）在（0，2）单调递增B．f（x）在（0，2）单调递减C．y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称D．y＝f（x）的图象关于点（1，0）对称【答案】C【解析】∵函数f（x）＝lnx+ln（2﹣x），∴f（2﹣x）＝ln（2﹣x）+lnx，即f（x）＝f（2﹣x），即y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，故选C．9．（2017年）曲线y＝x2+1x在点（1，2）处的切线方程为．【答案】x﹣y+1＝0【解析】曲线y＝x2+1x，可得y′＝2x﹣21x，切线的斜率为k＝2﹣1＝1．切线方程为y﹣2＝x﹣1，即x﹣y+1＝0．10．（2016年）若a＞b＞0，0＜c＜1，则（）A．log a c＜log b c B．log c a＜log c bC．a c＜b c D．c a＞c b【答案】B【解析】∵a＞b＞0，0＜c＜1，∴log c a＜log c b，故B正确；∴当a＞b＞1时，0＞log a c＞log b c，故A错误；a c＞b c，故C错误；c a＜c b，故D错误；故选B．11．（2016年）函数y＝2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】∵f （x ）＝y ＝2x 2﹣e |x |，∴f （﹣x ）＝2（﹣x ）2﹣e |﹣x |＝2x 2﹣e |x |，故函数f （x ）为偶函数， 当x ＝±2时，y ＝8﹣e 2∈（0，1），故排除A ，B ；当x ∈[0，2]时，f （x ）＝y ＝2x 2﹣e x ，∴f ′（x ）＝4x ﹣e x ＝0有解，故函数y ＝2x 2﹣e |x |在[0，2]不是单调的，故排除C ，故选D ． 12．（2016年）若函数f （x ）＝x ﹣13sin2x +a sin x 在（﹣∞，+∞）单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．[﹣1，1] B ．[﹣1，13] C ．[﹣13，13] D ．[﹣1，﹣13]【答案】C【解析】函数f （x ）＝x ﹣13sin2x +a sin x 的导数为f ′（x ）＝1﹣23cos2x +a cos x ，由题意可得f ′（x ）≥0恒成立，即为1﹣23cos2x +a cos x ≥0，即有53﹣43cos 2x +a cos x ≥0，设t ＝cos x （﹣1≤t ≤1），即有5﹣4t 2+3at ≥0，当t ＝0时，不等式显然成立；当0＜t ≤1时，3a ≥4t ﹣5t ，由4t ﹣5t在（0，1]上递增，可得t ＝1时，取得最大值﹣1，可得3a ≥﹣1，即a ≥﹣13；当﹣1≤t ＜0时，3a ≤4t ﹣5t ，由4t ﹣5t在[﹣1，0）上递增，可得t ＝﹣1时，取得最小值1，可得3a ≤1，即a ≤13．综上可得a 的范围是[﹣13，13]．故选C ．13．（2015年）已知函数f （x ）＝()1222,1log 1,1x x x x -⎧-≤⎪⎨-+>⎪⎩，且f （a ）＝﹣3，则f （6﹣a ）＝（ ）A ．﹣74B ．﹣54C ．﹣34D ．﹣14【答案】A【解析】由题意，a ≤1时，12a -﹣2＝﹣3，无解；a ＞1时，﹣log 2（a +1）＝﹣3，∴a ＝7，∴f （6﹣a ）＝f（﹣1）＝2﹣1﹣1﹣2＝﹣74．故选A．14．（2015年）设函数y＝f（x）的图象与y＝2x+a的图象关于y＝﹣x对称，且f（﹣2）+f（﹣4）＝1，则a ＝（）A．﹣1 B．1 C．2 D．4【答案】C【解析】∵与y＝2x+a的图象关于y＝x对称的图象是y＝2x+a的反函数，y＝log2x﹣a（x＞0），即g（x）＝log2x ﹣a，（x＞0）．∵函数y＝f（x）的图象与y＝2x+a的图象关于y＝﹣x对称，∴f（x）＝﹣g（﹣x）＝﹣log2（﹣x）+a，x＜0，∵f（﹣2）+f（﹣4）＝1，∴﹣log22+a﹣log24+a＝1，解得：a＝2，故选C．15．（2015年）已知函数f（x）＝ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a＝．【答案】1【解析】函数f（x）＝ax3+x+1的导数为f′（x）＝3ax2+1，f′（1）＝3a+1，而f（1）＝a+2，切线方程为y ﹣a﹣2＝（3a+1）（x﹣1），因为切线方程经过（2，7），所以7﹣a﹣2＝（3a+1）（2﹣1），解得a＝1．16．（2014年）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数【答案】C【解析】∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），f（﹣x）•g（﹣x）＝﹣f（x）•g（x）为奇函数，故A错误，|f（﹣x）|•g（﹣x）＝|f（x）|•g（x）为偶函数，故B错误，f（﹣x）•|g（﹣x）|＝﹣f（x）•|g（x）|为奇函数，故C正确，|f（﹣x）•g（﹣x）|＝|f（x）•g（x）|为偶函数，故D 错误．故选C．17．（2014年）已知函数f（x）＝ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）【答案】D【解析】∵f（x）＝ax3﹣3x2+1，∴f′（x）＝3ax2﹣6x＝3x（ax﹣2），f（0）＝1；①当a＝0时，f（x）＝﹣3x2+1有两个零点，不成立；②当a＞0时，f（x）＝ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；③当a ＜0时，f（x）＝ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；故f（x）＝ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；而当x ＝2a 时，f （x ）＝ax 3﹣3x 2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；故f （2a ）＝28a ﹣324a⨯+1＞0；故a ＜﹣2；综上所述，实数a 的取值范围是（﹣∞，﹣2），故选D ．18．（2014年）设函数f （x ）＝113,1,1x e x x x -⎧<⎪⎨⎪≥⎩，则使得f （x ）≤2成立的x 的取值范围是 ．【答案】(],8-∞ 【解析】x ＜1时，ex ﹣1≤2，∴x ≤ln 2+1，∴x ＜1；x ≥1时，13x ≤2，∴x ≤8，∴1≤x ≤8，综上，使得f （x ）≤2成立的x 的取值范围是(],8-∞．19．（2013年）函数f （x ）＝（1﹣cos x ）sin x 在[﹣π，π]的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意可知：f （﹣x ）＝（1﹣cos x ）sin （﹣x ）＝﹣f （x ），故函数f （x ）为奇函数，故可排除B ，又因为当x ∈（0，π）时，1﹣cos x ＞0，sin x ＞0，故f （x ）＞0，可排除A ，又f ′（x ）＝（1﹣cos x ）′sin x +（1﹣cos x ）（sin x ）′＝sin 2x +cos x ﹣cos 2x ＝cos x ﹣cos2x ，故可得f ′（0）＝0，可排除D ，故选C ．20．（2013年）已知函数f （x ）＝()22,0ln 1,0x x x x x ⎧-+≤⎪⎨+>⎪⎩，若|f （x ）|≥ax ，则a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，0]B ．（﹣∞，1]C ．[﹣2，1]D ．[﹣2，0]【答案】D【解析】由题意可作出函数y ＝|f （x ）|的图象和函数y ＝ax 的图象，如图所示．由图象可知：函数y＝ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y＝|f（x）|在第二象限的部分解析式为y＝x2﹣2x，求其导数可得y′＝2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2，故只需直线y＝ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0]，故选D．21．（2012年）当0＜x≤12时，4x＜log a x，则a的取值范围是（）A．（0，22）B．（22，1）C．（1，2）D．（2，2）【答案】B【解析】∵0＜x≤12时，1＜4x≤2，要使4x＜log a x，由对数函数的性质可得0＜a＜1，数形结合可知只需2＜log a x，∴201log loga aaa x<<⎧⎨<⎩，即201aa x<<⎧⎨>⎩对0＜x≤12时恒成立，∴20112aa<<⎧⎪⎨>⎪⎩，解得22＜a＜1，故选B．22．（2012年）曲线y＝x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为．【答案】y ＝4x ﹣3【解析】求导函数，可得y ′＝3lnx +4，当x ＝1时，y ′＝4，∴曲线y ＝x （3lnx +1）在点（1，1）处的切线方程为y ﹣1＝4（x ﹣1），即y ＝4x ﹣3．23．（2012年）设函数f （x ）＝()221sin 1x xx +++的最大值为M ，最小值为m ，则M +m ＝ ． 【答案】2【解析】f （x ）＝()221sin 1x x x +++＝22sin 11x x x +++，令()22sin 1x x g x x +=+，则()22sin 1x xg x x +=+为奇函数，∴()22sin 1x xg x x +=+的最大值与最小值的和为0．∴函数f （x ）＝()221sin 1x x x +++的最大值与最小值的和为1+1+0＝2．即M +m ＝2．24．（2011年）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（ ） A ．y ＝2x 3 B ．y ＝|x |+1 C ．y ＝﹣x 2+4 D ．y ＝2﹣|x |【答案】B【解析】对于A ．y ＝2x 3，由f （﹣x ）＝﹣2x 3＝﹣f （x ），为奇函数，故排除A ；对于B ．y ＝|x |+1，由f （﹣x ）＝|﹣x |+1＝f （x ），为偶函数，当x ＞0时，y ＝x +1，是增函数，故B 正确；对于C ．y ＝﹣x 2+4，有f （﹣x ）＝f （x ），是偶函数，但x ＞0时为减函数，故排除C ；对于D ．y ＝2﹣|x |，有f （﹣x ）＝f （x ），是偶函数，当x ＞0时，y ＝2﹣x ，为减函数，故排除D ．故选B ．25．（2011年）在下列区间中，函数f （x ）＝e x +4x ﹣3的零点所在的区间为（ ） A ．（14，12） B ．（﹣14，0） C ．（0，14） D ．（12，34） 【答案】A【解析】∵f （x ）＝e x +4x ﹣3，∴f ′（x ）＝e x +4，当x ＞0时，f ′（x ）＝e x +4＞0，∴函数f （x ）＝e x +4x ﹣3在（﹣∞，+∞）上为f （0）＝e 0﹣3＝﹣2＜0，f （12﹣1＞0，f （1420，∵f （12）f （14）＜0，∴函数f （x ）＝e x +4x ﹣3的零点所在的区间为（14，12），故选A ．26．（2011年）已知函数y ＝f （x ）的周期为2，当x ∈[﹣1，1]时 f （x ）＝x 2，那么函数y ＝f （x ）的图象与函数y ＝|lgx |的图象的交点共有（ ） A ．10个 B ．9个C ．8个D ．1个【答案】A【解析】作出两个函数的图象如图所示，∵函数y＝f（x）的周期为2，在[﹣1，0]上为减函数，在[0，1]上为增函数∴函数y＝f（x）在区间[0，10]上有5次周期性变化，在[0，1]、[2，3]、[4，5]、[6，7]、[8，9]上为增函数，在[1，2]、[3，4]、[5，6]、[7，8]、[9，10]上为减函数，且函数在每个单调区间的取值都为[0，1]，再看函数y＝|lgx|，在区间（0，1]上为减函数，在区间[1，+∞）上为增函数，且当x＝1时y＝0；x＝10时y＝1，再结合两个函数的草图，可得两图象的交点一共有10个，故选A．27．（2010年）曲线y＝x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为（）A．y＝x﹣1 B．y＝﹣x+1 C．y＝2x﹣2 D．y＝﹣2x+2【答案】A【解析】验证知，点（1，0）在曲线上，∵y＝x3﹣2x+1，y′＝3x2﹣2，所以k＝y′|x=1＝1，得切线的斜率为1，所以k＝1；所以曲线y＝f（x）在点（1，0）处的切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），即y＝x﹣1．故选A．28．（2010年）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（2，﹣2），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】通过分析可知当t ＝0时，点P 到x 轴距离d 为2，于是可以排除答案A ，D ，再根据当4t π=时，可知点P 在x 轴上此时点P 到x 轴距离d 为0，排除答案B ，故选C ．29．（2010年）设偶函数f （x ）满足f （x ）＝2x ﹣4（x ≥0），则{x |f （x ﹣2）＞0}＝（ ） A ．{x |x ＜﹣2或x ＞4} B ．{x |x ＜0或x ＞4} C ．{x |x ＜0或x ＞6} D ．{x |x ＜﹣2或x ＞2}【答案】B【解析】由偶函数f （x ）满足f （x ）＝2x ﹣4（x ≥0），可得f （x ）＝f （|x |）＝2|x |﹣4，则f （x ﹣2）＝f （|x ﹣2|）＝2|x ﹣2|﹣4，要使f （|x ﹣2|）＞0，只需2|x ﹣2|﹣4＞0，|x ﹣2|＞2，解得x ＞4，或x ＜0．故选B ．30．（2010年）已知函数()lg ,01016,102x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若a ，b ，c 互不相等，且f （a ）＝f （b ）＝f （c ），则abc 的取值范围是（ ） A ．（1，10） B ．（5，6）C ．（10，12）D ．（20，24）【答案】C【解析】作出函数f （x ）的图象如图，不妨设a ＜b ＜c ，则()1lg lg 60,12a b c -==-+∈，ab ＝1，10612c <-+<，则abc ＝c ∈（10，12）．故选C ．。
专题11 函数与导数(1)-2010-2019学年高考新课标全国I卷数学(文)真题分类汇编(原卷版)
专题11 函数与导数（1）函数与导数小题：10年30考，平均每年3个，可见其重要性！主要考查基本初等函数的图象和性质，包括定义域、最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性、平移、导数、切线、零点等，分段函数是重要载体！绝对值函数也是重要载体！函数与导数已经不是值得学生“恐惧”的了吧？1．（2019年）已知a ＝log 20.2，b ＝20.2，c ＝0.20.3，则（ ）A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a 2．（2019年）函数f （x ）＝2sin cos x x x x ++在[﹣π，π]的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．3．（2019年）曲线y ＝3（x 2+x ）e x 在点（0，0）处的切线方程为 ．4．（2018年）设函数f （x ）＝x 3+（a ﹣1）x 2+ax ．若f （x ）为奇函数，则曲线y ＝f （x ）在点（0，0）处的切线方程为（ ）A ．y ＝﹣2xB ．y ＝﹣xC ．y ＝2xD ．y ＝x 5．（2018年）设函数f （x ）＝2,01,0x x x -⎧≤⎨>⎩，则满足f （x +1）<f （2x ）的x 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣1]B ．（0，+∞）C ．（﹣1，0）D ．（﹣∞，0） 6．（2018年）已知函数f （x ）＝log 2（x 2+a ），若f （3）＝1，则a ＝ ．7．（2017年）函数y ＝sin 21cos x x-的部分图象大致为（ ）A．B．C．D．8．（2017年）已知函数f（x）＝lnx+ln（2﹣x），则（）A．f（x）在（0，2）单调递增B．f（x）在（0，2）单调递减C．y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称D．y＝f（x）的图象关于点（1，0）对称9．（2017年）曲线y＝x2+1x在点（1，2）处的切线方程为．10．（2016年）若a＞b＞0，0＜c＜1，则（）A．log a c＜log b c B．log c a＜log c b C．a c＜b c D．c a＞c b 11．（2016年）函数y＝2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．12．（2016年）若函数f （x ）＝x ﹣13sin2x +a sin x 在（﹣∞，+∞）单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．[﹣1，1] B ．[﹣1，13] C ．[﹣13，13] D ．[﹣1，﹣13] 13．（2015年）已知函数f （x ）＝()1222,1log 1,1x x x x -⎧-≤⎪⎨-+>⎪⎩，且f （a ）＝﹣3，则f （6﹣a ）＝（ ）A ．﹣74B ．﹣54C ．﹣34D ．﹣1414．（2015年）设函数y ＝f （x ）的图象与y ＝2x +a 的图象关于y ＝﹣x 对称，且f （﹣2）+f （﹣4）＝1，则a ＝（ ）A ．﹣1B ．1C ．2D ．415．（2015年）已知函数f （x ）＝ax 3+x +1的图象在点（1，f （1））处的切线过点（2，7），则a ＝ ．16．（2014年）设函数f （x ），g （x ）的定义域都为R ，且f （x ）是奇函数，g （x ）是偶函数，则下列结论正确的是（ ）A ．f （x ）•g （x ）是偶函数B ．|f （x ）|•g （x ）是奇函数C ．f （x ）•|g （x ）|是奇函数D ．|f （x ）•g （x ）|是奇函数17．（2014年）已知函数f （x ）＝ax 3﹣3x 2+1，若f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（1，+∞）B ．（2，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）D ．（﹣∞，﹣2）18．（2014年）设函数f （x ）＝113,1,1x e x x x -⎧<⎪⎨⎪≥⎩，则使得f （x ）≤2成立的x 的取值范围是 ．19．（2013年）函数f （x ）＝（1﹣cos x ）sin x 在[﹣π，π]的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．20．（2013年）已知函数f （x ）＝()22,0ln 1,0x x x x x ⎧-+≤⎪⎨+>⎪⎩，若|f （x ）|≥ax ，则a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，0]B ．（﹣∞，1]C ．[﹣2，1]D ．[﹣2，0] 21．（2012年）当0＜x ≤12时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是（ ）A ．（0）B ．，1）C ．（1）D ．，2）22．（2012年）曲线y ＝x （3lnx +1）在点（1，1）处的切线方程为 ．23．（2012年）设函数f （x ）＝()221sin 1x x x +++的最大值为M ，最小值为m ，则M +m ＝ ． 24．（2011年）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（ ）A ．y ＝2x 3B ．y ＝|x |+1C ．y ＝﹣x 2+4D ．y ＝2﹣|x |25．（2011年）在下列区间中，函数f （x ）＝e x +4x ﹣3的零点所在的区间为（ ）A ．（14，12）B ．（﹣14，0）C ．（0，14）D ．（12，34） 26．（2011年）已知函数y ＝f （x ）的周期为2，当x ∈[﹣1，1]时 f （x ）＝x 2，那么函数y ＝f （x ）的图象与函数y ＝|lgx |的图象的交点共有（ ）A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个27．（2010年）曲线y ＝x 3﹣2x +1在点（1，0）处的切线方程为（ ）A ．y ＝x ﹣1B ．y ＝﹣x +1C ．y ＝2x ﹣2D ．y ＝﹣2x +228．（2010年）如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0），角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．29．（2010年）设偶函数f （x ）满足f （x ）＝2x ﹣4（x ≥0），则{x |f （x ﹣2）＞0}＝（ ）A ．{x |x ＜﹣2或x ＞4}B ．{x |x ＜0或x ＞4}C ．{x |x ＜0或x ＞6}D ．{x |x ＜﹣2或x ＞2}30．（2010年）已知函数()lg ,01016,102x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若a ，b ，c 互不相等，且f （a ）＝f （b ）＝f （c ），则abc 的取值范围是（ ）A ．（1，10）B ．（5，6）C ．（10，12）D ．（20，24）。
2010-2019学年高考新课标全国I卷数学(文)真题分类汇编专题14 解析几何(2)(解析版)
专题12 解析几何（2）解析几何大题：10年10考，每年1题．命题的特点：2011-2015年和2019年的载体都是圆，利用圆作为载体，更利于考查数形结合，圆承担的使命就是“形”，尽量不要对圆像椭圆一样运算，2016-2018年的载体连续3年都是抛物线，2010年的载体是椭圆．1．（2019年）已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x+2＝0相切．（1）若A在直线x+y＝0上，求⊙M的半径；（2）是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值？并说明理由．【解析】（1）∵⊙M过点A，B且A在直线x+y＝0上，∴点M在线段AB的中垂线x﹣y＝0上，设⊙M的方程为：（x﹣a）2+（y﹣a）2＝R2（R＞0），则圆心M（a，a）到直线x+y＝0的距离d又|AB|＝4，∴在Rt△OMB中，d2+（12|AB|）2＝R2，即224R+=①又∵⊙M与x＝﹣2相切，∴|a+2|＝R②由①②解得R2a=⎧⎨=⎩或4R6a=⎧⎨=⎩，∴⊙M的半径为2或6；（2）∵线段AB为⊙M的一条弦O是弦AB的中点，∴圆心M在线段AB的中垂线上，设点M的坐标为（x，y），则|OM|2+|OA|2＝|MA|2，∵⊙M与直线x+2＝0相切，∴|MA|＝|x+2|，∴|x+2|2＝|OM|2+|OA|2＝x2+y2+4，∴y2＝4x，∴M的轨迹是以F（1，0）为焦点x＝﹣1为准线的抛物线，∴|MA|﹣|MP|＝|x+2|﹣|MP|＝|x+1|﹣|MP|+1＝|MF|﹣|MP|+1，∴当|MA|﹣|MP|为定值时，则点P与点F重合，即P的坐标为（1，0），∴存在定点P（1，0）使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值．2．（2018年）设抛物线C：y2＝2x，点A（2，0），B（﹣2，0），过点A的直线l与C交于M，N两点．（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；（2）证明：∠ABM＝∠ABN．【解析】（1）当l与x轴垂直时，x＝2，代入抛物线解得y＝±2，∴M（2，2）或M（2，﹣2），直线BM的方程：y＝12x+1，或：y＝﹣12x﹣1．（2）证明：设直线l的方程为l：x＝ty+2，M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线l与抛物线方程得222y xx ty⎧=⎨=+⎩，消x得y2﹣2ty﹣4＝0，即y1+y2＝2t，y1y2＝﹣4，则有k BN+k BM＝112y x++222yx+＝()()()222112121222222y yy y y yx x⎛⎫⨯+⨯++⎪⎝⎭++＝()()()1212122222y yy yx x⎛⎫++⎪⎝⎭++＝0，∴直线BN与BM的倾斜角互补，∴∠ABM＝∠ABN．3．（2017年）设A，B为曲线C：y＝24x上两点，A与B的横坐标之和为4．（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．【解析】（1）设A（x1，214x），B（x2，224x）为曲线C：y＝24x上两点，则直线AB的斜率为k＝22121244x xx x--＝14（x1+x2）＝14×4＝1；（2）设直线AB的方程为y＝x+t，代入曲线C：y＝24x，可得x2﹣4x﹣4t＝0，即有x1+x2＝4，x1x2＝﹣4t，再由y＝24x的导数为y′＝12x，设M （m ，24m ），可得M 处切线的斜率为12m ， 由C 在M 处的切线与直线AB 平行，可得12m ＝1， 解得m ＝2，即M （2，1），由AM ⊥BM 可得，k AM •k BM ＝﹣1， 即为221212114422x x x x --⋅--＝﹣1， 化为x 1x 2+2（x 1+x 2）+20＝0，即为﹣4t +8+20＝0，解得t ＝7．则直线AB 的方程为y ＝x +7．4．（2016年）在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t （t ≠0）交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H ．（1）求OHON ；（2）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由．【解析】（1）将直线l 与抛物线方程联立，解得P （22t p，t ）， ∵M 关于点P 的对称点为N ， ∴2x x N M +＝22t p ，2y y N M +＝t ， ∴N （2t p，t ）， ∴ON 的方程为y ＝p tx ， 与抛物线方程联立，解得H （22t p，2t ） ∴OHON ＝y y HN ＝2；（2）由（1）知k MH ＝2p t， ∴直线MH 的方程为y ＝2p t x +t ，与抛物线方程联立，消去x 可得y 2﹣4ty +4t 2＝0， ∴△＝16t 2﹣4×4t 2＝0，∴直线MH 与C 除点H 外没有其它公共点．5．（2015年）已知过点A （0，1）且斜率为k 的直线l 与圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1交于点M 、N 两点．（1）求k 的取值范围；（2）若OM ⋅ON u u u u r u u u r ＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |．【解析】（1）由题意可得，直线l 的斜率存在，设过点A （0，1）的直线方程为y ＝kx +1，即kx ﹣y +1＝0．由已知可得圆C 的圆心C 的坐标（2，3），半径R ＝1．1，kA （0，1）的直线与圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1相交于M ，N 两点． （2）设M （x 1，y 1）；N （x 2，y 2），由题意可得，经过点M 、N 、A 的直线方程为y ＝kx +1，代入圆C 的方程（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1， 可得 （1+k 2）x 2﹣4（k +1）x +7＝0，∴x 1+x 2＝()2411k k ++，x 1•x 2＝271k +， ∴y 1•y 2＝（kx 1+1）（kx 2+1）＝k 2x 1x 2+k （x 1+x 2）+1＝271k +•k 2+k •()2411k k +++1＝2212411k k k +++， 由OM ⋅ON u u u u r u u u r ＝x 1•x 2+y 1•y 2＝2212481k k k+++＝12，解得 k ＝1， 故直线l 的方程为 y ＝x +1，即 x ﹣y +1＝0．圆心C 在直线l 上，MN 长即为圆的直径．所以|MN |＝2．6．（2014年）已知点P （2，2），圆C ：x 2+y 2﹣8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．（1）求M 的轨迹方程；（2）当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．【解析】（1）由圆C ：x 2+y 2﹣8y ＝0，得x 2+（y ﹣4）2＝16，∴圆C 的圆心坐标为（0，4），半径为4．设M （x ，y ），则()C ,4x y M =-u u u u r ，()2,2x y MP =--u u u r ．由题意可得：C 0M ⋅MP =u u u u r u u u r ．即x （2﹣x ）+（y ﹣4）（2﹣y ）＝0．整理得：（x ﹣1）2+（y ﹣3）2＝2．∴M 的轨迹方程是（x ﹣1）2+（y ﹣3）2＝2．（2）由（1）知M 的轨迹是以点N （1，3为半径的圆，由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM ．∵k ON ＝3，∴直线l 的斜率为﹣13． ∴直线PM 的方程为()1223y x -=--，即x +3y ﹣8＝0． 则O 到直线l= 又N 到l5= ∴|PM |＝=．∴1162555S ∆POM =⨯=． 7．（2013年）已知圆M ：（x +1）2+y 2＝1，圆N ：（x ﹣1）2+y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程；（2）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |．【解析】（1）由圆M ：（x +1）2+y 2＝1，可知圆心M （﹣1，0）；圆N ：（x ﹣1）2+y 2＝9，圆心N （1，0），半径3．设动圆的半径为R ，∵动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，∴|PM |+|PN |＝R +1+（3﹣R ）＝4，而|NM |＝2，由椭圆的定义可知：动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，4为长轴长的椭圆，∴a ＝2，c ＝1，b 2＝a 2﹣c 2＝3．∴曲线C 的方程为22143x y +=（x ≠﹣2）． （2）设曲线C 上任意一点P （x ，y ），由于|PM |﹣|PN |＝2R ﹣2≤3﹣1＝2，所以R ≤2，当且仅当⊙P 的圆心为（2，0），R ＝2时，其半径最大，其方程为（x ﹣2）2+y 2＝4．①l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝②若l 的倾斜角不为90°，由于⊙M 的半径1≠R ，可知l 与x 轴不平行，设l 与x 轴的交点为Q ，则1Q R Q r P =M ，可得Q （﹣4，0），所以可设l ：y ＝k （x +4）， 由l 于M1=，解得4k =±．当4k =时，联立224143y x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得到7x 2+8x ﹣8＝0． ∴1287x x +=-，1287x x =-． ∴|AB |21x -187=，由于对称性可知：当k =时，也有|AB |＝187． 综上可知：|AB |＝187．8．（2012年）设抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，F A为半径的圆F交l于B，D两点．（1）若∠BFD＝90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n 距离的比值．【解析】（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|＝2p点A到准线l的距离F Fd=A=B=，∵△ABD的面积S△ABD＝∴11D222d p⨯B⨯=⨯=，解得p＝2，所以F坐标为（0，1），∴圆F的方程为x2+（y﹣1）2＝8．（2）由题设2,2xxp⎛⎫A ⎪⎝⎭（x>），则F0,2p⎛⎫⎪⎝⎭，∵A，B，F三点在同一直线m上，又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．由点A，B关于点F对称得：2,2xx pp⎛⎫B--⎪⎝⎭222x ppp⇒-=-223x p⇒=，得：3,2p⎫A⎪⎭，直线m：32p ppy-=+0x⇒+=，22x py=22xyp⇒=xyp'⇒==x⇒=⇒切点,36p⎛⎫P ⎪⎪⎝⎭，直线n：633py x⎛⎫-=-⎪⎪⎝⎭x p⇒-=，坐标原点到m，n距离的比值为2：36=．9．（2011年）在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．（1）求圆C的方程；（2）若圆C 与直线x ﹣y +a ＝0交与A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．【解析】（1）法一：曲线y ＝x 2﹣6x +1与y 轴的交点为（0，1），与x 轴的交点为（，0），（3﹣，0）．可知圆心在直线x ＝3上，故可设该圆的圆心C 为（3，t ），则有32+（t ﹣1）2＝（）2+t 2，解得t ＝1，故圆C3=，所以圆C 的方程为（x ﹣3）2+（y ﹣1）2＝9． 法二：圆x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0，x ＝0，y ＝1有1+E +F ＝0，y ＝0，x 2 ﹣6x +1＝0与x 2+Dx +F ＝0是同一方程，故有D ＝﹣6，F ＝1，E ＝﹣2，即圆方程为x 2+y 2﹣6x ﹣2y +1＝0．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），其坐标满足方程组()()220319x y a x y -+=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，消去y ，得到方程2x 2+（2a ﹣8）x +a 2﹣2a +1＝0，由已知可得判别式△＝56﹣16a ﹣4a 2＞0．在此条件下利用根与系数的关系得到x 1+x 2＝4﹣a ，x 1x 2＝2212a a -+①， 由于OA ⊥OB 可得x 1x 2+y 1y 2＝0，又y 1＝x 1+a ，y 2＝x 2+a ，所以可得2x 1x 2+a （x 1+x 2）+a 2＝0②由①②可得a ＝﹣1，满足△＝56﹣16a ﹣4a 2＞0．故a ＝﹣1．10．（2010年）设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2+22y b ＝1（0＜b ＜1）的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．（1）求|AB |；（2）若直线l 的斜率为1，求b 的值．【解析】（1）由椭圆定义知|AF 2|+|AB |+|BF 2|＝4，又2|AB |＝|AF 2|+|BF 2|，得43AB =． （2）l 的方程式为y ＝x +c ，其中c =设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则A ，B 两点坐标满足方程组2221y x c y x b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得（1+b 2）x 2+2cx +1﹣2b 2＝0．则12221c x x b -+=+，2122121b x x b -=+． 因为直线AB 的斜率为1，所以21x AB =-，即2143x =-． 则()()()()()2242121222222414128849111b b b x x x x b b b --=+-=-=+++．解得2b =．。
最新2019年高考新课标(全国卷1)文数-真题(word版-含解析)
2019年高考新课标全国1卷（文科数学）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1．设3i12iz -=+，则z = A ．2B ．3C ．2D ．12．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则C U B AA ．{}1,6B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,73．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是51-（51-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是 A ．165 cm B ．175 cmC ．185 cmD ．190cm5．函数f (x )=2sin cos x xx x++在[—π，π]的图像大致为 A ．B ．C ．D ．6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生7．tan255°= A ．－23B ．－3C ．23D ．38．已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π69．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A +B ．A =12A +C ．A =112A +D ．A =112A+10．双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为 A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒11. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则b c=A ．6B ．5C ．4D ．312．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2010-2019学年高考新课标全国I卷数学(文)真题分类汇编专题17 坐标系与参数方程(原卷版)
专题17 坐标系与参数方程坐标系与参数方程大题：10年10考，而且是作为2个选做题之一出现的，主要考查两个方面：一是极坐标方程与普通方程的转化，二是极坐标方程与参数方程的简单应用，难度较小．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）求C 上的点到l 距离的最小值．2．（2018年）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |+2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3＝0．（1）求C 2的直角坐标方程；（2）若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．3．（2017年）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为41x a t y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）． （1）若a ＝﹣1，求C 与l 的交点坐标；4．（2016年）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a t y a t=⎧⎨=+⎩（t 为参数，a ＞0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cosθ．（1）说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（2）直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a ．5．（2015年）在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝﹣2，圆C 2：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求C 1，C 2的极坐标方程；（1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．7．（2013年）已知曲线C 1的参数方程为45cos 55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．（1）把C 1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C 1与C 2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．8．（2012年）已知曲线C 1的参数方程是2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（φ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 2的坐标系方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针（1）求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；（2）设P 为C 1上任意一点，求|P A |2+|PB |2+|PC |2+|PD |2的取值范围．9．（2011年）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）M 是C 1上的动点，P 点满足2OP =OM u u u r u u u u r ，P 点的轨迹为曲线C 2．（1）求C 2的方程；的异于极点的交点为B ，求|AB |．10．（2010年）已知直线C 1：1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），C 2：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．（2）过坐标原点O 做C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．。
十年真题(2010-2019)高考数学(文)分类汇编专题04 导数及其应用(新课标Ⅰ卷)(解析版)
专题04导数及其应用历年考题细目表5解答题2014 导数综合问题2014年新课标1文科21解答题2013 导数综合问题2013年新课标1文科20解答题2012 导数综合问题2012年新课标1文科21解答题2011 导数综合问题2011年新课标1文科21解答题2010 导数综合问题2010年新课标1文科21历年高考真题汇编1．【2019年新课标1文科05】函数f（）在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（），∈[﹣π，π]，∴f（﹣）f（），∴f（）为[﹣π，π]上的奇函数，因此排除A；又f（），因此排除B，C；故选：D．2．【2018年新课标1文科06】设函数f（）＝3+（a﹣1）2+a．若f（）为奇函数，则曲线y＝f（）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y＝﹣2 B．y＝﹣C．y＝2 D．y＝【解答】解：函数f（）＝3+（a﹣1）2+a，若f（）为奇函数，可得a＝1，所以函数f（）＝3+，可得f′（）＝32+1，曲线y＝f（）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，则曲线y＝f（）在点（0，0）处的切线方程为：y＝．故选：D．3．【2017年新课标1文科08】函数y的部分图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：函数y，可知函数是奇函数，排除选项B，当时，f（），排除A，＝π时，f（π）＝0，排除D．故选：C．4．【2017年新课标1文科09】已知函数f（）＝ln+ln（2﹣），则（）A．f（）在（0，2）单调递增B．f（）在（0，2）单调递减C．y＝f（）的图象关于直线＝1对称D．y＝f（）的图象关于点（1，0）对称【解答】解：∵函数f（）＝ln+ln（2﹣），∴f（2﹣）＝ln（2﹣）+ln，即f（）＝f（2﹣），即y＝f（）的图象关于直线＝1对称，故选：C．5．【2016年新课标1文科09】函数y＝22﹣e||在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（）＝y＝22﹣e||，∴f（﹣）＝2（﹣）2﹣e|﹣|＝22﹣e||，故函数为偶函数，当＝±2时，y＝8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当∈[0，2]时，f（）＝y＝22﹣e，∴f′（）＝4﹣e＝0有解，故函数y＝22﹣e||在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D．6．【2016年新课标1文科12】若函数f（）＝sin2+a sin在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．[﹣1，] C．[，] D．[﹣1，]【解答】解：函数f（）＝sin2+a sin的导数为f′（）＝1cos2+a cos，由题意可得f′（）≥0恒成立，即为1cos2+a cos≥0，即有cos2+a cos≥0，设t＝cos（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，当t＝0时，不等式显然成立；当0＜t≤1时，3a≥4t，由4t在（0，1]递增，可得t＝1时，取得最大值﹣1，可得3a≥﹣1，即a；当﹣1≤t＜0时，3a≤4t，由4t在[﹣1，0）递增，可得t＝﹣1时，取得最小值1，可得3a≤1，即a．综上可得a的范围是[，]．另解：设t＝cos（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，由题意可得5﹣4+3a≥0，且5﹣4﹣3a≥0，解得a的范围是[，]．故选：C．7．【2014年新课标1文科12】已知函数f（）＝a3﹣32+1，若f（）存在唯一的零点0，且0＞0，则实数a 的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）【解答】解：∵f（）＝a3﹣32+1，∴f′（）＝3a2﹣6＝3（a﹣2），f（0）＝1；①当a＝0时，f（）＝﹣32+1有两个零点，不成立；②当a＞0时，f（）＝a3﹣32+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；③当a＜0时，f（）＝a3﹣32+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；故f（）＝a3﹣32+1在（﹣∞，0）上没有零点；而当时，f（）＝a3﹣32+1在（﹣∞，0）上取得最小值；故f（）3•1＞0；故a＜﹣2；综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；故选：D．8．【2013年新课标1文科09】函数f（）＝（1﹣cos）sin在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知：f（﹣）＝（1﹣cos）sin（﹣）＝﹣f（），故函数f（）为奇函数，故可排除B，又因为当∈（0，π）时，1﹣cos＞0，sin＞0，故f（）＞0，可排除A，又f′（）＝（1﹣cos）′sin+（1﹣cos）（sin）′＝sin2+cos﹣cos2＝cos﹣cos2，故可得f′（0）＝0，可排除D，故选：C．9．【2010年新课标1文科04】曲线y＝3﹣2+1在点（1，0）处的切线方程为（）A．y＝﹣1 B．y＝﹣+1 C．y＝2﹣2 D．y＝﹣2+2【解答】解：验证知，点（1，0）在曲线上∵y＝3﹣2+1，y′＝32﹣2，所以＝y′|﹣1＝1，得切线的斜率为1，所以＝1；所以曲线y＝f（）在点（1，0）处的切线方程为：y﹣0＝1×（﹣1），即y＝﹣1．故选：A．10．【2019年新课标1文科13】曲线y＝3（2+）e在点（0，0）处的切线方程为．【解答】解：∵y＝3（2+）e，∴y'＝3e（2+3+1），∴当＝0时，y'＝3，∴y＝3（2+）e在点（0，0）处的切线斜率＝3，∴切线方程为：y＝3．故答案为：y＝3．11．【2017年新课标1文科14】曲线y＝2在点（1，2）处的切线方程为．【解答】解：曲线y＝2，可得y′＝2，切线的斜率为：＝2﹣1＝1．切线方程为：y﹣2＝﹣1，即：﹣y+1＝0．故答案为：﹣y+1＝0．12．【2015年新课标1文科14】已知函数f（）＝a3++1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a＝．【解答】解：函数f（）＝a3++1的导数为：f′（）＝3a2+1，f′（1）＝3a+1，而f（1）＝a+2，切线方程为：y﹣a﹣2＝（3a+1）（﹣1），因为切线方程经过（2，7），所以7﹣a﹣2＝（3a+1）（2﹣1），解得a＝1．故答案为：1．13．【2012年新课标1文科13】曲线y＝（3ln+1）在点（1，1）处的切线方程为．【解答】解：求导函数，可得y′＝3ln+4，当＝1时，y′＝4，∴曲线y＝（3ln+1）在点（1，1）处的切线方程为y﹣1＝4（﹣1），即y＝4﹣3．故答案为：y＝4﹣3．14．【2019年新课标1文科20】已知函数f（）＝2sin﹣cos﹣，f′（）为f（）的导数．（1）证明：f′（）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若∈[0，π]时，f（）≥a，求a的取值范围．【解答】解：（1）证明：∵f（）＝2sin﹣cos﹣，∴f′（）＝2cos﹣cos+sin﹣1＝cos+sin﹣1，令g（）＝cos+sin﹣1，则g′（）＝﹣sin+sin+cos＝cos，当∈（0，）时，cos＞0，当时，cos＜0，∴当时，极大值为g（）0，又g（0）＝0，g（π）＝﹣2，∴g（）在（0，π）上有唯一零点，即f′（）在（0，π）上有唯一零点；（2）由（1）知，f′（）在（0，π）上有唯一零点0，使得f′（0）＝0，且f′（）在（0，0）为正，在（0，π）为负，∴f（）在[0，0]递增，在[0，π]递减，结合f（0）＝0，f（π）＝0，可知f（）在[0，π]上非负，令h（）＝a，作出图示，∵f（）≥h（），a≤0，∴a的取值范围是（﹣∞，0]．15．【2018年新课标1文科21】已知函数f（）＝ae﹣ln﹣1．（1）设＝2是f（）的极值点，求a，并求f（）的单调区间；（2）证明：当a时，f（）≥0．【解答】解：（1）∵函数f（）＝ae﹣ln﹣1．∴＞0，f′（）＝ae，∵＝2是f（）的极值点，∴f′（2）＝ae20，解得a，∴f（）e﹣ln﹣1，∴f′（），当0＜＜2时，f′（）＜0，当＞2时，f′（）＞0，∴f（）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．（2）证明：当a时，f（）ln﹣1，设g（）ln﹣1，则，由0，得＝1，当0＜＜1时，g′（）＜0，当＞1时，g′（）＞0，∴＝1是g（）的最小值点，故当＞0时，g（）≥g（1）＝0，∴当a时，f（）≥0．16．【2017年新课标1文科21】已知函数f（）＝e（e﹣a）﹣a2．（1）讨论f（）的单调性；（2）若f（）≥0，求a的取值范围．【解答】解：（1）f（）＝e（e﹣a）﹣a2＝e2﹣ea﹣a2，∴f′（）＝2e2﹣ae﹣a2＝（2e+a）（e﹣a），①当a＝0时，f′（）＞0恒成立，∴f（）在R上单调递增，②当a＞0时，2e+a＞0，令f′（）＝0，解得＝lna，当＜lna时，f′（）＜0，函数f（）单调递减，当＞lna时，f′（）＞0，函数f（）单调递增，③当a＜0时，e﹣a＞0，令f′（）＝0，解得＝ln（），当＜ln（）时，f′（）＜0，函数f（）单调递减，当＞ln（）时，f′（）＞0，函数f（）单调递增，综上所述，当a＝0时，f（）在R上单调递增，当a＞0时，f（）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，当a＜0时，f（）在（﹣∞，ln（））上单调递减，在（ln（），+∞）上单调递增，（2）①当a＝0时，f（）＝e2＞0恒成立，②当a＞0时，由（1）可得f（）min＝f（lna）＝﹣a2lna≥0，∴lna≤0，∴0＜a≤1，③当a＜0时，由（1）可得：f（）min＝f（ln（））a2ln（）≥0，∴ln（），∴﹣2a＜0，综上所述a的取值范围为[﹣2，1]17．【2016年新课标1文科21】已知函数f（）＝（﹣2）e+a（﹣1）2．（Ⅰ）讨论f（）的单调性；（Ⅱ）若f（）有两个零点，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由f（）＝（﹣2）e+a（﹣1）2，可得f′（）＝（﹣1）e+2a（﹣1）＝（﹣1）（e+2a），①当a≥0时，由f′（）＞0，可得＞1；由f′（）＜0，可得＜1，即有f（）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增（如右上图）；②当a＜0时，（如右下图）若a，则f′（）≥0恒成立，即有f（）在R上递增；若a时，由f′（）＞0，可得＜1或＞ln（﹣2a）；由f′（）＜0，可得1＜＜ln（﹣2a）．即有f（）在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增；在（1，ln（﹣2a））递减；若a＜0，由f′（）＞0，可得＜ln（﹣2a）或＞1；由f′（）＜0，可得ln（﹣2a）＜＜1．即有f（）在（﹣∞，ln（﹣2a）），（1，+∞）递增；在（ln（﹣2a），1）递减；（Ⅱ）①由（Ⅰ）可得当a＞0时，f（）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增，且f（1）＝﹣e＜0，→+∞，f（）→+∞；当→﹣∞时f（）＞0或找到一个＜1使得f（）＞0对于a＞0恒成立，f（）有两个零点；②当a＝0时，f（）＝（﹣2）e，所以f（）只有一个零点＝2；③当a＜0时，若a时，f（）在（1，ln（﹣2a））递减，在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增，又当≤1时，f（）＜0，所以f（）不存在两个零点；当a时，在（﹣∞，ln（﹣2a））单调增，在（1，+∞）单调增，在（1n（﹣2a），1）单调减，只有f（ln（﹣2a））等于0才有两个零点，而当≤1时，f（）＜0，所以只有一个零点不符题意．综上可得，f（）有两个零点时，a的取值范围为（0，+∞）．18．【2015年新课标1文科21】设函数f（）＝e2﹣aln．（Ⅰ）讨论f（）的导函数f′（）零点的个数；（Ⅱ）证明：当a＞0时，f（）≥2a+aln．【解答】解：（Ⅰ）f（）＝e2﹣aln的定义域为（0，+∞），∴f′（）＝2e2．当a≤0时，f′（）＞0恒成立，故f′（）没有零点，当a＞0时，∵y＝e2为单调递增，y单调递增，∴f′（）在（0，+∞）单调递增，又f′（a）＞0，假设存在b满足0＜b＜ln时，且b，f′（b）＜0，故当a＞0时，导函数f′（）存在唯一的零点，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，可设导函数f′（）在（0，+∞）上的唯一零点为0，当∈（0，0）时，f′（）＜0，当∈（0，+∞）时，f′（）＞0，故f（）在（0，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增，所欲当＝0时，f（）取得最小值，最小值为f（0），由于0，所以f（0）2a0+aln2a+aln．故当a＞0时，f（）≥2a+aln．19．【2014年新课标1文科21】设函数f（）＝aln2﹣b（a≠1），曲线y＝f（）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，（1）求b；（2）若存在0≥1，使得f（0），求a的取值范围．【解答】解：（1）f′（）（＞0），∵曲线y＝f（）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，∴f′（1）＝a+（1﹣a）×1﹣b＝0，解得b＝1．（2）函数f（）的定义域为（0，+∞），由（1）可知：f（）＝aln，∴．①当a时，则，则当＞1时，f′（）＞0，∴函数f（）在（1，+∞）单调递增，∴存在0≥1，使得f（0）的充要条件是，即，解得；②当a＜1时，则，则当∈时，f′（）＜0，函数f（）在上单调递减；当∈时，f′（）＞0，函数f（）在上单调递增．∴存在0≥1，使得f（0）的充要条件是，而，不符合题意，应舍去．③若a＞1时，f（1），成立．综上可得：a的取值范围是．20．【2013年新课标1文科20】已知函数f（）＝e（a+b）﹣2﹣4，曲线y＝f（）在点（0，f（0））处切线方程为y＝4+4．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论f（）的单调性，并求f（）的极大值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（）＝e（a+b）﹣2﹣4，∴f′（）＝e（a+a+b）﹣2﹣4，∵曲线y＝f（）在点（0，f（0））处切线方程为y＝4+4∴f（0）＝4，f′（0）＝4∴b＝4，a+b＝8∴a＝4，b＝4；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（）＝4e（+1）﹣2﹣4，f′（）＝4e（+2）﹣2﹣4＝4（+2）（e），令f′（）＝0，得＝﹣ln2或＝﹣2∴∈（﹣∞，﹣2）或（﹣ln2，+∞）时，f′（）＞0；∈（﹣2，﹣ln2）时，f′（）＜0∴f（）的单调增区间是（﹣∞，﹣2），（﹣ln2，+∞），单调减区间是（﹣2，﹣ln2）当＝﹣2时，函数f（）取得极大值，极大值为f（﹣2）＝4（1﹣e﹣2）．21．【2012年新课标1文科21】设函数f（）＝e﹣a﹣2．（Ⅰ）求f（）的单调区间；（Ⅱ）若a＝1，为整数，且当＞0时，（﹣）f′（）++1＞0，求的最大值．【解答】解：（I）函数f（）＝e﹣a﹣2的定义域是R，f′（）＝e﹣a，若a≤0，则f′（）＝e﹣a≥0，所以函数f（）＝e﹣a﹣2在（﹣∞，+∞）上单调递增．若a＞0，则当∈（﹣∞，lna）时，f′（）＝e﹣a＜0；当∈（lna，+∞）时，f′（）＝e﹣a＞0；所以，f（）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．（II）由于a＝1，所以，（﹣）f′（）++1＝（﹣）（e﹣1）++1故当＞0时，（﹣）f′（）++1＞0等价于（＞0）①令g（），则g′（）由（I）知，当a＝1时，函数h（）＝e﹣﹣2在（0，+∞）上单调递增，而h（1）＜0，h（2）＞0，所以h（）＝e﹣﹣2在（0，+∞）上存在唯一的零点，故g′（）在（0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为α，则有α∈（1，2）当∈（0，α）时，g′（）＜0；当∈（α，+∞）时，g′（）＞0；所以g（）在（0，+∞）上的最小值为g（α）．又由g′（α）＝0，可得eα＝α+2所以g（α）＝α+1∈（2，3）由于①式等价于＜g（α），故整数的最大值为2．22．【2011年新课标1文科21】已知函数f（），曲线y＝f（）在点（1，f（1））处的切线方程为+2y﹣3＝0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）证明：当＞0，且≠1时，f（）．【解答】解：（I）．由于直线+2y﹣3＝0的斜率为，且过点（1，1）所以解得a＝1，b＝1（II）由（I）知f（）所以考虑函数，则所以当≠1时，h′（）＜0而h（1）＝0，当∈（0，1）时，h（）＞0可得；当从而当＞0且≠1时，23．【2010年新课标1文科21】设函数f（）＝（e﹣1）﹣a2（Ⅰ）若a，求f（）的单调区间；（Ⅱ）若当≥0时f（）≥0，求a的取值范围．【解答】解：（I）a时，f（）＝（e﹣1）2，（e﹣1）（+1）令f′（）＞0，可得＜﹣1或＞0；令f′（）＜0，可得﹣1＜＜0；∴函数的单调增区间是（﹣∞，﹣1），（0，+∞）；单调减区间为（﹣1，0）；（II）f（）＝（e﹣1﹣a）．令g（）＝e﹣1﹣a，则g'（）＝e﹣a．若a≤1，则当∈（0，+∞）时，g'（）＞0，g（）为增函数，而g（0）＝0，从而当≥0时g（）≥0，即f（）≥0．若a＞1，则当∈（0，lna）时，g'（）＜0，g（）为减函数，而g （0）＝0，从而当∈（0，lna ）时，g （）＜0，即f （）＜0．综合得a 的取值范围为（﹣∞，1]．另解：当＝0时，f （）＝0成立；当＞0，可得e ﹣1﹣a ≥0，即有a的最小值，由y ＝e ﹣﹣1的导数为y ′＝e ﹣1，当＞0时，函数y 递增；＜0时，函数递减，可得函数y 取得最小值0，即e ﹣﹣1≥0， ＞0时，可得1，则a ≤1． 考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：导数的概念及运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：导数的运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题，预测明年本考点题目会比较稳定.备考方向以知识点导数的运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题，为重点较佳.最新高考模拟试题1．已知函数10()ln ,0x x f x x x x⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，＜＞，若()()F x f x kx =-有3个零点，则k 的取值范围为( )A ．(21e -，0)B ．(12e -，0)C ．(0，12e )D ．(0，21e ) 【答案】C【解析】 由题意，函数10()ln ,0x x f x xx x ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，，要使得函数()()F x f x kx =-在R 上有3个零点，当0x >时，令()()0F x f x kx =-=，可得2ln xk x =，要使得()0F x =有两个实数解，即y k =和()2ln xg x x =有两个交点，又由()312ln xg x x -'=，令12ln 0x -=，可得x =当x ∈时，()0g x '>，则()g x 单调递增；当)x ∈+∞时，()0g x '<，则()g x 单调递减，所以当x =()max 12g x e =，若直线y k =和()2ln xg x x =有两个交点，则1(0,)2k e ∈，当0x <时，y k =和()1g x x =有一个交点，则0k >，综上可得，实数k 的取值范围是1(0,)2e ，故选C.2．已知,(0,)2παβ∈，sin sin 0βααβ->，则下列不等式一定成立的是（） A ．2παβ+< B ．2παβ+= C ．αβ< D ．αβ> 【答案】C【解析】由题意，sin sin βααβ>，sin sin αβαβ∴>，设()sin ,0,2x f x x x π⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，()2cos sin ',0,2x x x f x x x π-⎛⎫∴=∈ ⎪⎝⎭，设()cos sin ,0,2g x x x x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭， ()'cos sin cos sin 0g x x x x x x x ∴=--=-<，()g x ∴在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，且()()00g x g <=， ()'0f x ∴<,所以()sin x f x x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭递减， ()()sin sin ,f f αβαβαβ>⇔>Qαβ∴<，故选C.3．已知函数()ln 2f x a x x =-+（a 为大于1的整数），若()y f x =与(())y f f x =的值域相同，则a 的最小值是（ ）（参考数据：ln20.6931≈，ln3 1.0986≈，ln5 1.6094≈）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】A【解析】 '()ln 2()=1a a x f x a x x f x x x-=-+⇒-=，当x a >时，'()0f x <，函数()f x 单调递减，当0x a <<时，'()0f x >，函数()f x 单调递增，故max ()()ln 2f x f a a a a ==-+，又当0,()x f x →→-∞，所以函数()f x 的值域为(,ln 2]a a a -∞-+，令'()ln 2()ln 11ln ,t a a a a t a a a =-+⇒=+-= '1,()0a a Z t a >∈∴>Q 因此()t a 是单调递增函数，因此当2,a a Z ≥∈时，()(2)2ln 20t a t ≥=>，令()ln 2f x a x x n =-+=由上可知：ln 2n a a a ≤-+，(())()y f f x f n ==，由上可知函数(n)f 在0x a <<时，单调递增，在x a >时，单调递减，要想(())()y f f x f n ==的值域为(,ln 2]a a a -∞-+，只需ln 2a a a a ≤-+，即ln 220a a a -+≥，设()ln 22g a a a a =-+，2,a a Z ≥∈，'()ln 1g a a =-，所以当3,a a Z ≥∈时，函数()g a 单调递增，(2)2ln 240,(3)3ln 340g g =-<=-<，(4)4ln 460,(5)5ln 580g g =-<=->，所以a 的最小值是5，故本题选A.4．已知实数a ，b ，c ，d 满足ln 12113a cb d +-==+-，则22()()ac bd -+-的最小值为（ ）A ．8B ．4C ．2 D【答案】D【解析】 Q ln 12113a c b d +-==+-ln 11ln 1a b a b +∴=⇒=+，2113c d c d -=⇒=+-可以看成()ln f x x =和()1g x x =+之间的最小值'1()f x x =Q 当111x x =⇒=时，即点()1,0到直线()1g x x =+的距离最小d ==5．若函数()ln f x x a x =在区间()1,+∞上存在零点，则实数a 的取值范围为( )A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．()0,∞+ D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】因为函数()ln f x x a x =，所以()1a f x x '==令()22g x x a =-，因为()2g x '==当(1,)x ∈+∞ 时，10,0>>，所以()0g x '>所以()g x 在(1,)+∞上为增函数，则()(1)12g x g a >=-，当120a -≥时，()0g x >，所以()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞上为增函数，则()(1)0f x f >=，所以()f x 在(1,)+∞上没有零点.当120a -<时，即12a >，因为()g x 在(1,)+∞上为增函数，则存在唯一的0(1,)x ∈+∞，使得0()0g x =，且当0(1,)x x ∈时，()0g x <，当0(,)x x ∈+∞时，()0g x >；所以当0(1,)x x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数，当0(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数，当0x x =时，min 0()()f x f x =，因为0()(1)0f x f <=，当x 趋于+∞时，()f x 趋于+∞，所以在0(,)x x ∈+∞内，()f x 一定存在一个零点. 所以1(,)2a ∈+∞，故答案选D.6．已知函数1()2x a f x e ax x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，若对任意(0,)x ∈+∞，都有()()f x xf x '≥-成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．(,-?C ．3,2e 轹÷-+?ê÷ê滕 D ．)é-+?êë【答案】D【解析】令2()()(21)x g x xf x x e ax a ==-+-，则()()()g x f x xf x ''=+， 因为对任意(0,)x ∈+∞，都有()()f x xf x '≥-成立，所以()()()0g x f x xf x ''=+≥在(0,)x ∈+∞上恒成立；即()(21)20xg x x e ax '=++≥在(0,)x ∈+∞上恒成立； 即(21)122x x x e a e x x +⎛⎫-≤=+ ⎪⎝⎭在(0,)x ∈+∞上恒成立； 令1()2x h x e x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，(0,)x ∈+∞， 则22211(21)()2x x x x x h x e e e x x x +-⎛⎫'=-++= ⎪⎝⎭， 由()0h x '=得2210x x +-=，解得1x =-（舍）或12x =， 所以，当102x <<时，22(21)()0x x x h x e x+-'=<，1()2x h x e x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递减； 当12x >时，22(21)()0x x x h x e x+-'=<，1()2x h x e x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增；所以min 1()2h x h ⎛⎫== ⎪⎝⎭因为(21)122x x x e a e x x +⎛⎫-≤=+ ⎪⎝⎭在(0,)x ∈+∞上恒成立，所以只需2a -≤a ≥-故选D7．已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x >时，有()()22f x xf x x '>+，则不等式()()()22018+2018420x f x f +-<＋的解集为( )A ．(),2016-∞-B ．()2016,2012--C ．(),2018-∞-D ．()2016,0-【答案】A【解析】设()()2g x x f x =， 因为()f x 为R 上奇函数，所以()()()()22g x x f x x f x -=--=-，即()g x 为R 上奇函数对()g x 求导，得()()()2f g f x x x x x '=+'⎡⎤⎣⎦，而当0x >时，有()()220f x xf x x '>+≥ 故0x >时，()0g x '>，即()g x 单调递增，所以()g x 在R 上单调递增不等式()()()22018+2018420x f x f +-<＋ ()()()22018+201842x f x f +<--， ()()()22018+201842x f x f +< 即()()20182g x g +<所以20182x +<，解得2016x <-故选A 项.8．已知函数35791131()135791113x x x x x x f x x =+-+-+-+，则使不等式(1)0f x ->成立的x 的最小整数为（ ）A ．-3B ．-2C ．-1D ．0【答案】D【解析】 根据题意，函数35791131()135791113x x x x x x f x x =+-+-+-+，其导数24681012()1f x x x x x x x '=-+-+-+，0x ≠时，()f x '可以看成是1为首项，2x -为公比的等比数列，则有24681012()1f x x x x x x x '=-+-+-+142101x x +=>+， 函数()f x 在R 上为增函数， 又由111111(1)1(1)()()()035791113f -=+-+-+-+->，35791113222222(2)1(2)035791113f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+-+-+-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则函数()f x 在(2,1)--上存在唯一的零点，设其零点为t ，(1)011f x x t x t ->⇒->⇒>+，又由21t -<<-，则110t -<+<，故不等式(1)0f x ->成立的x 的最小整数为0；故选：D ．9．直线y ax =是曲线1ln y x =+的切线，则实数a =____．【答案】1【解析】解：∵1ln y x =+，∴1y x'= 设切点为(,1ln )m m +，得切线的斜率为1m ， 所以曲线在点(),1ln m m +处的切线方程为：1ln 1()y m x m m--=⨯-． 即：1ln y m x m-= 它过原点，∴ln 0m -=，∴1m =， ∴11a m==． 故答案为：1．10．函数()2x f x ae x =-与()21g x x x =--的图象上存在关于x 轴的对称点，则实数a 的取值范围为_________．【答案】1a …【解析】()21g x x x =--关于x 轴对称的函数为()21h x x x =-++，因为函数()2x f x ae x =-与()21g x x x =--的图象上存在关于x 轴的对称点， 所以()2x f x ae x =-与()21h x x x =-++的图象有交点， 方程221x ae x x x -=-++有解，即1x ae x =+有解，0a =时符合题意，0a ≠时转化为()11x e x a=+有解， 即()1,1x y e y x a==+的图象有交点， ()11y x a =+是过定点()1,0-的直线，其斜率为1a， 设()1,1x y e y x a==+相切时，切点的坐标为(),m m e ， 则111m m e m a e a ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩，解得1a =，切线斜率为11a =， 由图可知，当11a ≥，即1a ≤且0a ≠时，()1,1x y e y x a==+的图象有交点， 此时，()2x f x ae x =-与()21h x x x =-++的图象有交点，函数()2x f x ae x =-与()21g x x x =--的图象上存在关于x 轴的对称点，综上可得，实数a 的取值范围为1a ≤，故答案为1a ≤.11．已知函数()1x f x e =-，若存在实数,()a b a b <使得()()f a f b =，则2+a b 的最大值为________. 【答案】32ln27【解析】作出函数()1xf x e =-图像如下：由题意，令,a b 为方程()f x m =的两个根，由图像易得01m <<；由1x e m -=得1x e m =±，解得ln(1)x m =+或ln(1)x m =-，因为a b <，所以ln(1)b m =+，ln(1)a m =-，因此22ln(1)2ln(1)ln(1)(1)a b m m m m +=-++=-+，令232()(1)(1)1g m m m m m m =-+=--++，01m <<，则2()321(31)(1)g m m m m m '=--+=--+，因为01m <<，所以由()0g m '>得103m <<；由()0g m '<得113m <<， 即函数()g m 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； 所以2max 11132()1133327g m g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因此2+a b 的最大值为32ln27. 故答案为32ln 2712．已知实数a ，b ，c 满足2121a c b c e a b e +--+++≤（e 为自然对数的底数），则22a b +的最小值是_______．【答案】15【解析】设()(1)x u x e x =-+，则()1x u x e '=-，所以函数u()的增区间为（0，+），减区间为(-,0),所以()(0)0u x u ≥=，即e 1x x ≥+；可知21121121a c b c e a c b a e c b +--++++--+=++≥，当且仅当210a c b c +=--=时取等；因为2121a c b c e a b e +--+++≤所以2121a c b c e a b e +--+=++，210a c b c +=--=． 所以1,2c a c b +=-=， 解得22222(1)51144245c c a b c c ++=+=++≥，当且仅当15c =时，取等号． 故答案为：1513．已知直线x t =与曲线()()()ln 1,x f x x g x e =+=分别交于,M N 两点，则MN 的最小值为________ 【答案】1.【解析】令()()()ln(1)th t g t f t e t =-=-+， 1'()()()1t h t g t f t e t =-=-+，显然为增函数，且'(0)0h = 所以当(1,0)t ∈-时，'()0,()h t h t <单调递减；当(1,)t ∈+∞时，'()0,()h t h t >单调递增.所以min ()(0)1h t h ==.故答案为1.14．曲线cos y a x =在6x π=处的切线l 的斜率为12，则切线l 的方程为_____．【答案】206x y π-=【解析】解：曲线cos y a x =，可得'sin y a x =-，曲线cos y a x =在6x π=处的切线l 的斜率为12， 可得1sin 62a π-=， 所以1a =-.所以切点坐标为：3(,)62π-， 则切线l 的方程为：3126y x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. 即：2306x y π---=．故答案为：2306x y π---=．15．已知函数22,0,(),0,x x x f x e x ⎧≤=⎨>⎩若方程2[()]f x a =恰有两个不同的实数根12,x x ，则12x x +的最大值是______．【答案】3ln 22-【解析】作出()f x 的函数图象如图所示， 由()2f x a =⎡⎤⎣⎦，可得(),1f x a a =>， 即1a >， 不妨设12x x < ，则2212x x e a ==(1)a t t =>，则12,ln 2t x x t =-=， 12ln 2t x x t ∴+=()ln 2t g t t =-42'()t g t -=，当 18t <<时，()'0g t >，()g t 在()1,8上递增； 当8t >时，()'0g t <，()g t 在()8,+∞上递减； 当8t =时，()g t 取得最大值g(8)=ln82=3ln22--, 故答案为3ln 22-.16．已知函数31,0()2,0ax x f x x ax x x -≤⎧=⎨-+->⎩的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围______.【答案】0a <或2a > 【解析】（1）当0a <时，()f x 在(,0]-∞上单调递减，又(0)1f =-，所以函数()f x 的图象经过第二、三象限，当0x >时，33(1)2,2()(1)2,02x a x x f x x a x x ⎧---=⎨-++<<⎩…，所以223(1),2()3(1),,02x a x f x x a x ⎧--=⎨-+<<⎩'…， ①若1a -„时，()0f x '>恒成立，又当0x +→时，()2f x →，所以函数()f x 图象在0x >时，经过第一象限，符合题意；②若10a -<<时，()0f x '>在[2,)+∞上恒成立，当02x <<时，令()0f x '=，解13x =，所以()f x在⎛ ⎝上单调递减，在2⎫⎪⎪⎭上单调递增，又(2210f a ⎛=+=-> ⎝所以函数()f x 图象在0x >时，经过第一象限，符合题意；（2）当0a =时，()f x 的图象在(,0)-∞上，只经过第三象限，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 的图象在(0,)+∞上，只经过第一象限，故不符合题意；（3）当0a >时，()f x 在(,0)-∞上单调递增，故()f x 的图象在(,0)-∞上只经过第三象限，所以()f x 在(0,)+∞上的最小值min ()0f x <，当02x <<时，令()0f x '=，解得x =2<时，即11a <时，()f x 在(0,)+∞上的最小值为21f ⎛= ⎝，令2102211f a a ⎛=<⇒>∴<< ⎝.211a ≥⇒≥时，则()f x 在02x <<时，单调递减，当2x ≥时，令()0f x '=，解得x =21113a <⇒≤<，()f x 在(2,)+∞上单调递增，故()f x 在(0,)+∞上的最小值为(2)82f a =-，令8204a a -<⇒>，所以1113a ≤<；213a ≥⇒≥，()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，故()f x 在(0,)+∞上的最小值为2f =，显然20-<，故13a ≥；结上所述：0a <或2a >.17．已知函数()||ln (0)f x x a x a =-->. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）比较222222ln 2ln 3ln 23n n++⋯+ 与(1)(21)2(1)n n n -++的大小(n N +∈且)2n >，并证明你的结论.【答案】（I ）见解析；（II ）见解析 【解析】（Ⅰ）函数()f x 可化为ln ,()ln ,0x x a x af x a x x x a--≥⎧=⎨--<<⎩，当0x a <<时，1()10f x x'=--<，从而()f x 在(0,)a 上总是递减的， 当x a ≥时，11()1x f x x x-=-='，此时要考虑a 与1的大小. 若1a ≥，则()0f x '≥，故()f x 在[,)a +∞上递增，若01a <<，则当1a x ≤<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，故()f x 在[,1)a 上递减， 在(1,)+∞上递增，而()f x 在x a =处连续，所以 当1a ≥时，()f x 在(0,)a 上递减，在[,)a +∞上递增； 当01a <<时，()f x 在(0,1)上递减，在[1,)+∞上递增.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当1a =，1x >时，1ln 0x x -->，即ln 1x x >-，所以ln 11x x x<-.所以 222222ln 2ln 3ln 23n nL +++22211111123n <-+-+-L 222111123n n ⎛⎫=--+++ ⎪⎝⎭L 11112334(1)n n n ⎛⎫<--+++ ⎪⨯⨯+⎝⎭L 11121n n ⎛⎫=--- ⎪+⎝⎭1(1)2(1)n n n -=--+ 2221(1)(21)2(1)2(1)n n n n n n --+-+==++. 18．已知函数()()21ln 2f x x x ax a =++∈R ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若12,x x 为()f x 的两个极值点，证明：()()21212+44282f x f x a a x x f +++⎛⎫-> ⎪⎝⎭.【答案】（1）当2a <-时，()f x 在0,2a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭为增函数，,22a a ⎛⎫--+⎪ ⎪⎝⎭减函数，⎫+∞⎪⎪⎝⎭为增函数；当2a ≥-时，()f x 在()0,∞+为增函数．（2）证明见解析．【解析】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()()210x ax f x x x'++=>，对于函数21y x ax =++，①当240a ∆=-≤时，即22a -≤≤时，210x ax ++≥在0x >恒成立．()210x ax f x x++'∴=≥在()0,∞+恒成立，()f x ∴在()0,∞+为增函数；②当∆>0，即2a <-或2a >时，当2a <-时，由()0f x '>，得x <x >，0<<， ()f x ∴在0,2a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭为增函数，22a a ⎛⎫---+⎪ ⎪⎝⎭减函数，⎫+∞⎪⎪⎝⎭为增函数， 当2a >时，由()210x ax f x x++'=>在()0,∞+恒成立，()f x ∴在()0,∞+为增函数．综上，当2a <-时，()f x在⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为增函数，⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭减函数，⎫+∞⎪⎪⎝⎭为增函数； 当2a ≥-时，()f x 在()0,∞+为增函数．（2）由（1）知2a <-，且1212,1x x a x x +=-=， 故()()121222f x f x x x f ++⎛⎫- ⎪⎝⎭()()21222111222121211ln ln 222ln 2222x x x x ax x x ax x x x x a +⎛⎫+++++ ⎪++⎛⎫⎛⎫⎝⎭=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21ln +228a a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭故只需证明ln 1022a a⎛⎫----> ⎪⎝⎭，令2at =-，故1t >，原不等式等价于ln 1t t <-对1t >成立， 令1()ln (1),'()0tg t t t g t t-=--=<，所以()ln (1)g t t t =--单调递减，有()ln (1)(1)0g t t t g =--<= 得证.19．已知函数()ln(1)1(1)f x ax x a =+-+…. （Ⅰ）当1a =时，求()f x 的最大值； （Ⅱ）若1()e f x e +„对1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）[1,e] 【解析】（Ⅰ）当1a =时，()ln(1)1f x x x =+-+，定义域为(1,)-+∞. 1()111xf x x x -'=-=++. 令()0f x '=，得0x =.当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当(0,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减. 所以max ()(0)1f x f ==. （Ⅱ）()11a f x ax '=-+11ax a ax -+-=+，1x a >-.令()0f x '=，得1a x a-=. 当11,a x a a -⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1,a x a -⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以max 11()ln a f x f a a a -⎛⎫==+⎪⎝⎭. 依题意有11ln e a a e ++„，设1()ln (1)g a a a a=+…， 则22111()0a g a a a a-'=-=…，所以()g a 在[1,)a ∈+∞上单调递增. 又1e 1(e)ln e e e g +=+=，故1e 1ln ea a ++„()(e)g a g ⇔„1e a ⇒剟，即实数a 的取值范围为[1,e].20．对于函数()y f x =的定义域D ，如果存在区间[],m n D ⊆，同时满足下列条件：①()f x 在()()f x g x +上是单调函数；②当[],x m n ∈时，()f x 的值域为[]2,2m n ，则称区间()()f x g x +是函数()f x 的“单调倍区间”．已知函数()ln 2,0()02,0a x x x f x a a x ->⎧⎪=>≤ （1）若2a =，求()f x 在点()(),e f e 处的切线方程； （2）若函数()f x 存在“单调倍区间”，求a 的取值范围． 【答案】（1）22y x e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）(231,4,2164e e ⎛⎤⎤ ⎦⎥⎝⎦U 【解析】（1）当2a =时，()()2ln 20f x x x x =-> 当0x >时，()22f x x '=-，则：()22f e e'=-，又()22f e e =- ()f x ∴在()(),e f e 处的切线方程为：()()2222y e x e e⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭即：22y x e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）()ln 2,0()02,0a x x x f x a a x ->⎧⎪=>≤Q ()()2,000ax x f x a x ⎧->⎪⎪∴=>⎨≤' 列表如下：设函数()f x 存在“单调倍区间”是()()f x g x +①当0m n <≤时，由()f x 在(),0-∞上单调递减，则有2222a na m==()2n m =-2=12=，代入2222a n a m ==得：12221222a n a m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩要使此关于,m n 的方程组在0m n <≤时有解，则使得2y a =与()21202y x x x =-+≥的图象有两个公共点 当14x =时，min 38y =，当0x =时，12y =结合两函数图象，则31282a <≤，即：31164a <≤ 即此时满足()f x 存在“单调倍区间”的a 的取值范围是31,164⎛⎤⎥⎝⎦②当02a m n <<≤时，由()f x 在0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则有 ln 22ln 22a m m m a n n n -=⎧⎨-=⎩即：1ln 41ln 4ma mn a n⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩设()ln 4x g x x =，则()21ln 4xg x x -'= 当()0,x e ∈时，()0g x '>，()g x 为增函数 当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，()g x 为减函数要使方程1ln 4x a x =有两解，则1y a =与()ln 4x g x x =的图象在0,2a ⎛⎤ ⎥⎝⎦有两个交点 结合两函数图象，则()212a e a g g e a⎧>⎪⎪⎨⎛⎫⎪≤< ⎪⎪⎝⎭⎩，即：2ln 122114ae a a a a e ⎧>⎪⎪⎪⎪≤⎨⎪⎪<⎪⎪⎩解得：242e a e <≤即此时满足()f x 存在“在单调倍区间”的a 的取值范围是(24,2e e ⎤⎦③当2a m n <<时，由()f x 在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，则有ln 22ln 22a m m n a n n m -=⎧⎨-=⎩两式相减得：()ln ln 0a m n -=，此式不成立，即此时()f x 不存在“单调倍区间” 综上，函数()f x 存在“单调倍区间”的a 的取值范围是(231,4,2164e e ⎛⎤⎤ ⎦⎥⎝⎦U 21．已知函数2()(0)4x x a f x e a x ++=⋅≥+. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当[0,1)b ∈时，设函数22(3)()(2)(2)x e b x g x x x +-+=>-+有最小值()h b ，求()h b 的值域. 【答案】(1)见解析；(2) 21(),24e h b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【解析】解：（1）()f x 定义域为(,4)(4,)-∞--+∞U ，224(4)4x a x a e x x +⎛⎫-+=+ ⎪++⎝⎭222(4)34(4)x x a x a ex +++++=⋅+. 令2(4)340x a x a ++++=，①22(4)4(34)4a a a a ∆=+-+=-，1︒当04a ≤≤时，0∆≤，2(4)340x a x a ++++≥，即'()0f x ≥且不恒为零，故()f x 单调递增区间为(,4)-∞-，(4,)-+∞，2︒当4a >时，∆>0，方程①两根为142a x --=，242a x --+=，由于1(4)0x --=<，2(4)0x --=>.故124x x <-<，因此当1(,)x x ∈-∞时，'()0f x >，()f x 单调递增，1(,4)x x ∈-，'()0f x <，()f x 单调递减， 2(4,)x x ∈-，'()0f x <，()f x 单调递减， 2(,)x x ∈+∞，'()0f x >，()f x 单调递增，综上，当04a ≤≤时，()f x 在(,4)-∞-单调递增，(4,)-+∞单调递增，当4a >时，()f x在(-∞单调递增，4)-，(-单调递减；在4()2a --++∞单调递增.（2）23(4)'()(2)x xe b x g x x +++=+23(4)4(2)x x x e b x x +⎛⎫+⋅+⎪+⎝⎭=+，设2()(2)4x x k x e b x x +=+>-+， 由（1）知，0a =时，2()4x x f x e x +=+在(2,)-+∞单调递增， 由于(0)0k b =≥，(2)10k b -=-+<， 故在(2,0]-存在唯一0x ，使0()0k x =，02004x x b e x +-=+， 又当0(2,)x x ∈-，()0k x <，即'()0g x <，()g x 单调递减，0(,)x x ∈+∞，()0k x >，即'()0g x >，()g x 单调递增，故(2,)x ∈-+∞时，()()0200203()2x e bx bh b g x x +--==+()()002200020342x x x e e x x x +++++=+0204x e x +=+，0(2,0]x ∈-. 又设2()4x e m x x +=+，(2,0]x ∈-，22222(4)(3)'()0(4)(4)x x x e x e e x m x x x ++++-+==>++，故()m x 单调递增，故()((2),(0)]m x m m ∈-，即21(),24e m x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，即21(),24e h b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.22．已知函数1()x f x xe alnx -=-（无理数 2.718e =…）． （1）若()f x 在(1,)+∞单调递增，求实数a 的取值范围： （2）当0a =时，设2()()eg x f x x x x=⋅--， 证明：当0x >时，ln 2ln 2()122g x ⎛⎫>-- ⎪⎝⎭．【答案】（1）2]-∞（，； （2）见解析.【解析】（1）解：由题意可得()211()(1)0x x x x e a a f x x e x x -'-+-=+-=≥在1（，）+∞上恒成立． ∴21x a x x e -≤+（），令21())(x h x x x e -=+，则21130x h x x x e -'=++（）（）＞，∴函数21())(x h x x x e-=+在1（，）+∞上单调递增． ∴12a h ≤=（）． ∴实数a 的取值范围是2]-∞（，． （2）证明：当0a =时，22()()x e g x f x x x e x x x=⋅--=--． ()21x g x e x '=--，令()()21x u x g x e x '==--，则2x u x e '=-（），可得2x ln =时，函数u x （）取得极小值，221220g ln u ln ln '==-（）（）＜． ∵00g '=（），又11ln 2211'1ln 221ln 213ln 2022g e +⎛⎫⎛⎫+=-+-=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ∴存在012122x ln ln ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，，使得()00000210,21x x g x e x e x '=--==+． 由单调性可得：0x x =时，函数()g x 取得极小值，即最小值，∴()0222200000000015()21124x g x g x e x x x x x x x x ⎛⎫≥=--=+--=-++=--+ ⎪⎝⎭． 由012122x ln ln ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，，可得函数0y g x =（）单调递减，故()20115())1ln 2224g x g x ⎛⎫≥>-+-+ ⎪⎝⎭2ln 2ln 2122⎛⎫>-- ⎪⎝⎭． ∴当0x >时，2ln 2ln 2()122g x ⎛⎫>-- ⎪⎝⎭．。
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专题12 函数与导数（2）
函数与导数大题：10年10考，每年1题．函数的载体上：对数函数很受“器重”，指数函数也较多出现，两种函数也会同时出现（2015年）．第2小题：2019年不等式恒成立问题，2018年证明不等式，2017年不等式恒成立问题，2016年函数的零点问题，2015年证明不等式，2014年不等式有解问题（存在性），2013年单调性与极值，2012年不等式恒成立问题，2011年证明不等式，2010年不等式恒成立问题．
1．（2019年）已知函数f（x）＝2sinx﹣xcosx﹣x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π］时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
【解析】（1）∵f（x）＝2sinx﹣xcosx﹣x，∴f′（x）＝2cosx﹣cosx+xsin x﹣1＝cosx+xsinx﹣1，
令g（x）＝cosx+xsin x﹣1，则g′（x）＝﹣sinx+sin x+xcosx＝xcosx，
当x∈（0，
2）时，xcosx＞0，当x∈（
2
，）时，xcosx＜0，
∴当x＝
2时，极大值为g（
2
）＝1
2
＞0，
又g（0）＝0，g（π）＝﹣2，
∴g（x）在（0，π）上有唯一零点，
即f′（x）在（0，π）上有唯一零点；
（2）由（1）知，f′（x）在（0，π）上有唯一零点x0，使得f′（x0）＝0，且f′（x）在（0，x0）为正，在（x0，π）为负，
∴f（x）在[0，x0]递增，在[x0，π］递减，
结合f（0）＝0，f（π）＝0，可知f（x）在[0，π］上非负，
令h（x）＝ax，
作出图象，如图所示：
∵f （x ）≥h （x ），
∴a ≤０，
∴a 的取值范围是（﹣
∞，0]．2．（2018年）已知函数f （x ）＝ae x ﹣lnx ﹣1．
（1）设x ＝2是f （x ）的极值点，求
a ，并求f （x ）的单调区间；（2）证明：当a ≥1
e
时，f （x ）≥０．【解析】（1）∵函数f （x ）＝ae x ﹣lnx ﹣1．
∴x ＞0，f ′（x ）＝ae x ﹣1
x ，
∵x ＝2是f （x ）的极值点，
∴f ′（2）＝ae 2﹣
12＝0，解得a ＝212e ，∴f （x ）＝21
2e e x ﹣lnx ﹣1，∴f ′（x ）＝21
12x e e x ，
当0＜x ＜2时，f ′（x ）＜0，当x ＞2时，f ′（x ）＞0，
∴f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．
（2）证明：当a ≥1e 时，f （x ）≥x
e
e ﹣lnx ﹣1，
设g （x ）＝x
e e
﹣lnx ﹣1，则1x e g x e x ，
由1
x e g x e x ＝0，得x ＝1，
当0＜x ＜1时，g ′（x ）＜0，
当x ＞1时，g ′（x ）＞0，
∴x ＝1是g （x ）的最小值点，
故当x ＞0时，g （x ）≥g （1）＝0，
∴当a ≥1
e
时，f （x ）≥０．3．（2017年）已知函数f （x ）＝e x （e x ﹣a ）﹣a 2
x ．（1）讨论f （x ）的单调性；
（2）若f （x ）≥０，求a 的取值范围．
【解析】（1）f （x ）＝e x （e x ﹣a ）﹣a 2x ＝e 2x ﹣e x a ﹣a 2x ，
∴f ′（x ）＝2e 2x ﹣ae x ﹣a 2＝（2e x +a ）（e x ﹣a ），
①当a ＝0时，f ′（x ）＞0恒成立，
∴f （x ）在R 上单调递增，
②当a ＞0时，2e x +a ＞0，令f ′（x ）＝0，解得x ＝lna ，
当x ＜lna 时，f ′（x ）＜0，函数f （x ）单调递减，
当x ＞lna 时，f ′（x ）＞0，函数f （x ）单调递增，
③当a ＜0时，e x ﹣a ＞0，令f ′（x ）＝0，解得x ＝ln （﹣2a
），
当x ＜ln （﹣2a
）时，f ′（x ）＜0，函数f （x ）单调递减，
当x ＞ln （﹣2a
）时，f ′（x ）＞0，函数f （x ）单调递增，
综上所述，当a ＝0时，f （x ）在R 上单调递增，
当a ＞0时，f （x ）在（﹣∞，lna ）上单调递减，在（lna ，+∞）上单调递增，当a ＜0时，f （x ）在（﹣∞，ln （﹣2a
））上单调递减，在（ln （﹣2a
），+∞）上单调递增．
（2）①当a ＝0时，f （x ）＝e 2x ＞0恒成立，
②当a ＞0时，由（1）可得f （x ）min ＝f （lna ）＝﹣a 2lna ≥０，
∴lna ≤０，∴0＜a ≤１，
③当a ＜0时，由（1）可得：
f （x ）min ＝f （ln （﹣2a
））＝2
34a ﹣a 2ln （﹣2a
）≥０，
∴ln （﹣2a ）≤3
4，
∴3
42e ≤a ＜0，
综上所述，a 的取值范围为[3
42e ，1]．
4．（2016年）已知函数f （x ）＝（x ﹣2）e x +a （x ﹣1）2．
（1）讨论f （x ）的单调性；
（2）若f （x ）有两个零点，求a 的取值范围．
【解析】（1）由f （x ）＝（x ﹣2）e x +a （x ﹣1）2，
可得f ′（x ）＝（x ﹣1）e x +2a （x ﹣1）＝（x ﹣1）（e x +2a ），。