2014届高考数学理一轮复习(人教A版)滚动基础训练卷5(附详细解析)

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2014高考数学一轮汇总训练《数列的综合问题-》理-新人教A版

第五节数列的综合问题[备考方向要明了]考什么怎么考能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题.1.以递推为背景，考查数列的通项公式与前n项和公式，如2012年新课标全国T16等．2.等差数列、等比数列综合考查数列的基本计算，如2012年T16，T18等．3.考查数列与函数、不等式、解析几何的综合问题，且以解答题的形式出现，如2012年T19等.[归纳·知识整合]1．数列综合应用题的解题步骤(1)审题——弄清题意，分析涉及哪些数学容，在每个数学容中，各是什么问题．(2)分解——把整个大题分解成几个小题或几个“步骤”，每个小题或每个“步骤”分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等．(3)求解——分别求解这些小题或这些“步骤”，从而得到整个问题的解答．具体解题步骤如下框图：2．常见的数列模型(1)等差数列模型：通过读题分析，由题意抽象出等差数列，利用等差数列有关知识解决问题．(2)等比数列模型：通过读题分析，由题意抽象出等比数列，利用等比数列有关知识解决问题．(3)递推公式模型：通过读题分析，由题意把所给条件用数列递推式表达出来，然后通过分析递推关系式求解．[探究] 银行储蓄单利公式及复利公式分别是什么模型？提示：单利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和a n＝a(1＋rn)，属于等差数列模型．复利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和a n＝a(1＋r)n，属于等比数列模型．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2的值为( )A．－4 B．－6C．－8 D．－10解析：选B 由题意知：a23＝a1a4.则(a2＋2)2＝(a2－2)(a2＋4)，解得a2＝－6.2．已知log2x，log2y,2成等差数列，则M(x，y)的轨迹的图象为( )解析：选A 由于log2x，log2y,2成等差数列，则有2log2y＝log2x＋2，所以y2＝4x.又y＞0，x＞0，故M的轨迹图象为A.3.在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一行成等差数列，每一列成等比数列，那么x＋y＋z的值为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选C 由题意知，第三列各数成等比数列，故x＝1；第一行第五个数为6，第二行第五个数为3，故z＝34；第一行第四个数为5，第二行第四个数为52，故y＝54，从而x＋y＋z＝3.4．等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，且4a1,2a2，a3成等差数列，则S4＝________.解析：设数列{a n}的公比为q，∵4a2＝4a1＋a3，∴4a1q＝4a1＋a1q2，即q2－4q＋4＝0，解得q＝2.∴S4＝1－241－2＝15.答案：152 41 2x yz5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *都有S n ＝23a n －13，若1＜S k ＜9(k ∈N *)，则k 的值为________．解析：由S n ＝23a n －13得当n ≥2时，S n ＝23(S n －S n －1)－13，即S n ＝－2S n －1－1. 令S n ＋p ＝－2(S n －1＋p )得S n ＝－2S n －1－3p ，可知p ＝13.故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋13是以－23为首项，以－2为公比的等比数列．则S n ＋13＝－23×(－2)n －1，即S n ＝－23×(－2)n －1－13.由1＜－23×(－2)k －1－13＜9，k ∈N *得k ＝4.答案：4等差数列、等比数列的综合问题[例1] 在等比数列{a n }(n ∈N *)中，a 1>1，公比q >0，设b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5＝6，b 1b 3b 5＝0.(1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求{b n }的前n 项和S n 及{a n }的通项a n . [自主解答] (1)证明：∵b n ＝log 2a n ， ∴b n ＋1－b n ＝log 2a n ＋1a n＝log 2q 为常数， ∴数列{b n }为等差数列且公差d ＝log 2q . (2)∵b 1＋b 3＋b 5＝6，∴b 3＝2. ∵a 1>1，∴b 1＝log 2a 1>0. ∵b 1b 3b 5＝0，∴b 5＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝2，b 1＋4d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝4，d ＝－1.∴S n ＝4n ＋n n －12×(－1)＝9n －n 22.∵⎩⎪⎨⎪⎧log 2q ＝－1，log 2a 1＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝16.∴a n ＝25－n(n ∈N *)．在本例(2)的条件下，试比较a n 与S n 的大小．解：显然a n ＝25－n>0，当n ≥9时，S n ＝n 9－n2≤0，∴n ≥9时，a n >S n .∵a 1＝16，a 2＝8，a 3＝4，a 4＝2，a 5＝1，a 6＝12，a 7＝14，a 8＝18，S 1＝4，S 2＝7，S 3＝9，S 4＝10，S 5＝10，S 6＝9，S 7＝7， S 8＝4，∴当n ＝3，4，5，6，7，8时，a n <S n ；当n ＝1，2或n ≥9时，a n >S n . ——————————————————— 解答数列综合问题的注意事项(1)要重视审题，善于联系，将等差、等比数列与函数、不等式、方程、应用性问题等联系起来．(2)对于等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列的通项，前n 项和以及等差、等比数列项之间的关系，往往用到转化与化归的思想方法．1．(2013·模拟)已知等差数列{a n }的公差大于零，且a 2，a 4是方程x 2－18x ＋65＝0的两个根；各项均为正数的等比数列{b n }的前n 项和为S n ，且满足b 3＝a 3，S 3＝13.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若数列{c n }满足c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n ≤5，b n ，n >5，求数列{c n }的前n 项和T n .解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q .由x 2－18x ＋65＝0，解得x ＝5或x ＝13. 因为d >0，所以a 2<a 4，则a 2＝5，a 4＝13，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝5，a 1＋3d ＝13，解得a 1＝1，d ＝4.所以a n ＝1＋4(n －1)＝4n －3.因为⎩⎪⎨⎪⎧b 3＝b 1q 2＝9，b 1＋b 1q ＋b 1q 2＝13，又q >0，解得b 1＝1，q ＝3. 所以b n ＝3n －1.(2)当n ≤5时，T n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝n ＋n n －12×4＝2n 2－n ；当n >5时，T n ＝T 5＋(b 6＋b 7＋b 8＋…b n ) ＝(2×52－5)＋351－3n －51－3＝3n－1532.所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n 2－n ，n ≤5，3n－1532，n >5.数列与函数的综合应用[例2] (2012·高考)设函数f (x )＝x2＋sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{}x n .(1)求数列{}x n 的通项公式；(2)设{}x n 的前n 项和为S n ，求sin S n .[自主解答] (1)令f ′(x )＝12＋cos x ＝0，即cos x ＝－12，解得x ＝2k π±23π(k ∈Z )．由x n 是f (x )的第n 个正极小值点知，x n ＝2n π－23π(n ∈N *)．(2)由(1)可知，S n ＝2π(1＋2＋…＋n )－23n π＝n (n ＋1)π－2n π3，所以sin S n ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤nn ＋1π－2n π3. 因为n (n ＋1)表示两个连续正整数的乘积，n (n ＋1)一定为偶数，所以sin S n＝－sin2nπ3.当n ＝3m －2(m∈N*)时，sin S n＝－sin⎝⎛⎭⎪⎫2mπ－43π＝－32；当n＝3m－1(m∈N*)时，sin S n＝－sin⎝⎛⎭⎪⎫2mπ－23π＝32；当n＝3m(m∈N*)时，sin S n＝－sin 2mπ＝0.综上所述，sin S n＝⎩⎪⎨⎪⎧－32，n＝3m－2m∈N*，32，n＝3m－1m∈N*，0，n＝3m m∈N*.———————————————————解决函数与数列的综合问题应该注意的事项(1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化．2．已知函数f(x)＝x2＋x－1，α，β是方程f(x)＝0的两个根(α>β)，f′(x)是f(x)的导数，设a1＝1，a n＋1＝a n－f a nf′a n(n＝1,2，…)．(1)求α，β的值；(2)已知对任意的正整数n，都有a n>α，记b n＝lna n－βa n－α(n＝1,2，…)，求数列{b n}的前n项和S n.解：(1)由方程x2＋x－1＝0解得方程的根为x1＝－1＋52，x2＝－1－52，又∵α，β是方程的两个实根，且α>β，∴α＝－1＋52，β＝－1－52.(2)∵f ′(x )＝2x ＋1，∴a n ＋1＝a n －f a n f ′a n ＝a n －a 2n ＋a n －12a n ＋1＝a 2n ＋12a n ＋1.∵a n >α>β(n ＝1,2,3，…)，且a 1＝1， ∴b 1＝ln 1－β1－α＝ln β2α2＝4ln 5＋12.或b 1＝ln 1－β1－α＝ln1－－1－521－－1＋52＝ln3＋524＝2ln3＋52＝2ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋522＝4ln5＋12b n ＋1＝ln a n ＋1－βa n ＋1－α＝ln a 2n －2βαn －β＋1a 2n －2αa n －α＋1＝lna n －β2－β2－β＋1a n －α2－α2－α＋1＝ln a n －β2a n －α2＝2lna n －βa n －α＝2b n . 即{b n }是以b 1为首项，2为公比的等比数列．故数列{b n }的前n 项和S n ＝b 11－2n1－2＝(2n－1)·4ln 5＋12＝(2n ＋2－4)ln5＋12. 数列与不等式的综合应用[例3] (2012·高考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N *，且a 1，a 2＋5，a 3成等差数列．(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.[自主解答] (1)当n ＝1时，2a 1＝a 2－4＋1＝a 2－3， ① 当n ＝2时，2(a 1＋a 2)＝a 3－8＋1＝a 3－7， ② 又a 1，a 2＋5，a 3成等差数列，所以a 1＋a 3＝2(a 2＋5)， ③ 由①②③解得a 1＝1.(2)由题设条件可知n≥2时，2S n＝a n＋1－2n＋1＋1，④2S n－1＝a n－2n＋1.⑤④－⑤得2a n＝a n＋1－a n－2n＋1＋2n，即a n＋1＝3a n＋2n，整理得a n＋1＋2n＋1＝3(a n＋2n)，则{a n＋2n}是以3为首项，3为公比的等比数列．所以a n＋2n＝(a1＋2)·3n－1＝3n，即a n＝3n－2n(n>1)．又a1＝1满足上式，故a n＝3n－2n.(3)证明：∵1a n＝13n－2n＝13n·11－⎝⎛⎭⎪⎫23n≤13n·11－23＝3·13n，∴1a1＋1a2＋…＋1a n≤3⎝⎛⎭⎪⎫13＋132＋…＋13n＝3×13⎝⎛⎭⎪⎫1－13n1－13＝32⎝⎛⎭⎪⎫1－13n<32.———————————————————数列与不等式相结合问题的处理方法解决数列与不等式的综合问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法，穿根法等．总之这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了．3．等比数列{a n}为递增数列，且a4＝23，a3＋a5＝209，数列b n＝log3a n2(n∈N*)．(1)求数列{b n}的前n项和S n；(2)T n＝b1＋b2＋b22＋…＋b2n－1，求使T n>0成立的最小值n.解：(1)∵{a n}是等比数列，设其公比为q，∴⎩⎪⎨⎪⎧a1q3＝23，a1q2＋a1q4＝209，两式相除得，q 1＋q 2＝310，q ＝3或q ＝13， ∵{a n }为递增数列，∴q ＝3，a 1＝281.∴a n ＝a 1qn －1＝281·3n －1＝2·3n －5， ∴b n ＝log 3a n2＝n －5，数列{b n }的前n 项和S n ＝n －4＋n －52＝12(n 2－9n )． (2)T n ＝b 1＋b 2＋b 22＋…b 2n －1＝(1－5)＋(2－5)＋(22－5)＋…＋(2n －1－5)＝1－2n1－2－5n >0，即2n>5n ＋1.∵24<5×4＋1,25>5×5＋1，∴n min ＝5(只要给出正确结果，不要求严格证明).数列的实际应用[例4] (2012·高考)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n 万元．(1)用d 表示a 1，a 2，并写出a n ＋1与a n 的关系式；(2)若公司希望经过m (m ≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d 的值(用m 表示)．[自主解答] (1)由题意得a 1＝2 000(1＋50%)－d ＝3 000－d ，a 2＝a 1(1＋50%)－d ＝32a 1－d ＝4 500－52d . a n ＋1＝a n (1＋50%)－d ＝32a n －d .(2)由(1)得a n ＝32a n －1－d＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫32a n －2－d －d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322a n －2－32d －d…＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1a 1－d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2. 整理得a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1(3 000－d )－2d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1(3 000－3d )＋2d . 由题意，a m ＝4 000，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32m －1(3 000－3d )＋2d ＝4 000.解得d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32m －2×1 000⎝ ⎛⎭⎪⎫32m －1＝1 0003m －2m ＋13m －2m. 故该企业每年上缴资金d 的值为1 0003m －2m ＋13m －2m时，经过m (m ≥3)年企业的剩余资金为4 000万元．——————————————————— 解决数列实际应用问题的方法解等差数列、等比数列应用题时，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差数列、等比数列问题，使关系明朗化、标准化，然后用等差数列、等比数列知识求解．这其中体现了把实际问题数学化的能力，即数学建模能力．4．某市2010年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底，(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2010年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比较首次大于85%？(参考数据：1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59)解：(1)设中低价房面积形成数列{a n }，由题意可知{a n }是等差数列，其中a 1＝250，d ＝50，则S n ＝250n ＋n n －12×50＝25n 2＋225n .令25n 2＋225n ≥4 750，即n 2＋9n －190≥0，而n 是正整数，解得n ≥10.故到2019年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米．(2)设新建住房面积形成数列{b n}，由题意可知{b n}是等比数列，其中b1＝400，q＝1.08，则b n＝400×(1.08)n－1.由题意可知a n>0.85b n，有250＋(n－1)×50>400×(1.08)n－1×0.85.当n＝5时，a5<0.85b5，当n＝6时，a6>0.85b6，即满足上述不等式的最小正整数n为6.故到2015年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.1个问题——分期付款问题等比数列中处理分期付款问题的注意事项：(1)准确计算出在贷款全部付清时，各期所付款额及利息(最后一次付款没有利息)．(2)明确各期所付的款以及各期所付款到最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和，只有掌握了这一点，才可顺利建立等量关系．3个注意——递推、放缩与函数思想的考查(1)数列与解析几何结合时注意递推．(2)数列与不等式相结合时注意对不等式进行放缩．(3)数列与函数相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性).创新交汇——数列的新定义问题1．数列题目中有时定义一个新数列，然后根据定义的新数列所具备的性质解决有关问题．2．解决新情境、新定义数列问题，首先要根据新情境、新定义进行推理，从而明确考查的是哪些数列知识，然后熟练运用归纳、构造、正难则反、分类与整合等方法进行解题．[典例] (2011·高考)若数列A n：a1，a2，…，a n(n≥2)满足|a k＋1－a k|＝1(k＝1,2，…，n－1)，则称A n为E数列．记S(A n)＝a1＋a2＋…＋a n.(1)写出一个满足a1＝a5＝0，且S(A5)>0的E数列A5；(2)若a1＝12，n＝2 000.证明：E数列A n是递增数列的充要条件是a n＝2 011；(3)对任意给定的整数n(n≥2), 是否存在首项为0的E数列A n，使得S(A n)＝0？如果存在，写出一个满足条件的E数列A n；如果不存在，说明理由．[解] (1)0,1,2,1,0是一个满足条件的E 数列A 5. (答案不唯一，0,1,0,1,0也是一个满足条件的E 数列A 5) (2)必要性：因为E 数列A n 是递增数列，所以a k ＋1－a k ＝1(k ＝1,2，…，1 999)．所以A n 是首项为12，公差为1的等差数列．所以a 2 000＝12＋(2000－1)×1＝2 011. 充分性：由于a 2 000－a 1 999≤1，a 1 999－a 1 998≤1，…a 2－a 1≤1，所以a 2 000－a 1≤1 999，即a 2 000≤a 1＋1 999. 又因为a 1＝12，a 2 000＝2 011，所以a 2 000＝a 1＋1 999.故a k ＋1－a k ＝1＞0(k ＝1,2，…，1 999)，即A n 是递增数列．综上，结论得证．(3)令c k ＝a k ＋1－a k (k ＝1,2，…，n －1)，则c k ＝±1. 因为a 2＝a 1＋c 1，a 3＝a 1＋c 1＋c 2，…a n ＝a 1＋c 1＋c 2＋…＋c n －1，所以S (A n )＝na 1＋(n －1)c 1＋(n －2)c 2＋(n －3)c 3＋…＋c n －1＝(n －1)＋(n －2)＋…＋1－[(1－c 1)(n －1)＋(1－c 2)(n －2)＋…＋(1－c n －1)]＝n n －12－[(1－c 1)(n －1)＋(1－c 2)(n －2)＋…＋(1－c n －1)]．因为c k ＝±1，所以1－c k 为偶数(k ＝1，…，n －1)．所以(1－c 1)(n －1)＋(1－c 2)(n －2)＋…＋(1－c n －1)为偶数，所以要使S (A n )＝0，必须使n n －12为偶数，即4整除n (n －1)，亦即n ＝4m 或n ＝4m ＋1(m ∈N *)．当n ＝4m (m ∈N *)时，E 数列A n 的项满足a 4k －1＝a 4k －3＝0，a 4k －2＝－1，a 4k ＝1(k ＝1,2，…，m )时，有a 1＝0，S (A n )＝0；当n ＝4m ＋1(m ∈N *)时，E 数列A n 的项满足a 4k －1＝a 4k －3＝0，a 4k －2＝－1，a 4k ＝1(k ＝1,2，…，m )，a 4m ＋1＝0时，有a 1＝0，S (A n )＝0；当n ＝4m ＋2或n ＝4m ＋3(m ∈N *)时，n (n －1)不能被4整除，此时不存在E 数列A n ，使得a1＝0，S(A n)＝0.[名师点评]1．本题具有以下创新点：(1)本题为新定义问题，命题背景新颖．(2)命题方式创新，既有证明题，也有探究性问题，同一个题目中多种方式相结合．2．解决本题要注意以下几个问题：对于此类压轴型新定义数列题，首先要有抢分意识，得一分是一分，多尝试解答，仔细分析，认真翻译；其次，要有运用数学思想方法的意识，如构造、分类等．第(1)问中E数列A5的首尾都是0，则必须先增后减或先减后增，或者摆动；第(2)问条件在后边，因此，前推后是证明条件的必要性，不可颠倒，前推后比较容易，应该先证明；第(3)问和第(1)问相呼应，所以在推理时要善于前后联系，善于发现矛盾，从而找到解决问题的突破口．[变式训练]1．已知数列{a n}：a1，a2，a3，…，a n，如果数列{b n}：b1，b2，b3，…b n满足b1＝a n，b k ＝a k－1＋a k－b k－1，其中k＝2,3，…，n，则称{b n}为{a n}的“衍生数列”．若数列{a n}：a1，a2，a3，a4的“衍生数列”是5，－2,7,2，则{a n}为______；若n为偶数，且{a n}的“衍生数列”是{b n}，则{b n}的“衍生数列”是______．解析：由b1＝a n，b k＝a k－1＋a k－b k－1，k＝2,3，…，n可得，a4＝5,2＝a3＋a4－7，解得a3＝4.又7＝a2＋a3－(－2)，解得a2＝1.由－2＝a1＋a2－5，解得a1＝2，所以数列{a n}为2,1,4,5.由已知，b1＝a1－(a1－a n)，b2＝a1＋a2－b1＝a2＋(a1－a n)，….因为n是偶数，所以b n ＝a n＋(－1)n(a1－a n)＝a1.设{b n}的“衍生数列”为{c n}，则c i＝b i＋(－1)i(b1－b n)＝a i＋(－1)i·(a1－a n)＋(－1)i(b1－b n)＝a i＋(－1)i(a1－a n)＋(－1)i·(a n－a1)＝a i，其中i＝1,2,3，…，n.则{b n}的“衍生数列”是{a n}．答案：2,1,4,5 {a n}2．(2012·高考改编)对于项数为m的有穷数列{a n}，记b k＝max{a1，a2，…，a k}(k＝1,2，…，m)，即b k为a1，a2，…，a k中的最大值，并称数列{b n}是{a n}的控制数列．如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.(1)若各项均为正整数的数列{a n}的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的{a n}；(2)设{b n}是{a n}的控制数列，满足a k＋b m－k＋1＝C(C为常数，k＝1,2，…，m)．求证：b k＝a k(k＝1,2，…，m)．解：(1)数列{a n}为：2,3,4,5,1；2,3,4,5,2；2,3,4,5,3；2,3,4,5,4；2,3,4,5,5.(2)证明：因为b k＝max{a1，a2，…，a k}，b k＋1＝max{a1，a2，…，a k，a k＋1}，所以b k＋1≥b k.因为a k ＋b m －k ＋1＝C ，a k ＋1＋b m －k ＝C ，所以a k ＋1－a k ＝b m －k ＋1－b m －k ≥0，即a k ＋1≥a k . 因此，b k ＝a k .一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1. 等差数列{a n }中，a 3＋a 11＝8，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6·b 8的值( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．16解析：选D ∵{a n }为等差数列，∴a 7＝a 3＋a 112＝4＝b 7.又{b n }为等比数列，∴b 6·b 8＝b 27＝16.2．数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }中连续的三项，则数列{b n }的公比为( )A. 2 B ．4 C ．2D.12解析：选C 设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由a 23＝a 1a 7得(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，解得a 1＝2d ，故数列{b n }的公比q ＝a 3a 1＝a 1＋2d a 1＝2a 1a 1＝2.3．(2013·模拟)满足a 1＝1，log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，则满足S n >1 025的最小n 值是( )A ．9B ．10C ．11D ．12解析：选C 因为a 1＝1，log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1(n ∈N *)，所以a n ＋1＝2a n ，a n ＝2n －1，S n ＝2n －1，则满足S n >1 025的最小n 值是11.4．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月累积的需求量S n (万件)近似地满足关系式S n ＝n90(21n －n 2－5)(n ＝1,2，…，12)，按此预测，在本年度，需求量超过1.5万件的月份是( )A ．5、6月B ．6、7月C ．7、8月D ．8、9月解析：选C 由S n 解出a n ＝130(－n 2＋15n －9)，再解不等式130(－n 2＋15n －9)>1.5，得6<n <9.5．数列{a n }的通项a n ＝n 2⎝⎛⎭⎪⎫cos 2n π3－sin2n π3，其前n 项和为S n ，则S 30为( )A ．470B ．490C ．495D ．510解析：选A 注意到a n ＝n 2cos 2n π3，且函数y ＝cos 2πx 3的最小正周期是3，因此当n是正整数时，a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝－12n 2－12(n ＋1)2＋(n ＋2)2＝3n ＋72，其中n ＝1,4，7…，S 30＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5＋a 6)＋…＋(a 28＋a 29＋a 30)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3×1＋72＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3×4＋72＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3×28＋72＝3×10×1＋282＋72×10＝470.6．(2013·模拟)在数列{a n }中，对任意n ∈N *，都有a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k (k 为常数)，则称{a n }为“等差比数列”．下面对“等差比数列”的判断：①k 不可能为0；②等差数列一定是等差比数列； ③等比数列一定是等差比数列；④通项公式为a n ＝a ·b n＋c (a ≠0，b ≠0,1)的数列一定是等差比数列．其中正确的判断为( ) A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④解析：选D 若k ＝0时，则a n ＋2－a n ＋1＝0，因为a n ＋2－a n ＋1可能为分母，故无意义，故k 不可能为0，①正确；若等差、等比数列为常数列，则②③错误；由定义知④正确．二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．(2013·模拟)设关于x 的不等式x 2－x <2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________．解析：由x 2－x <2nx (n ∈N *)，得0<x <2n ＋1，因此知a n ＝2n . 故S 100＝1002＋2002＝10 100.答案：10 1008．函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1，k 为正整数，a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5＝________.解析：依题意得，函数y ＝x 2(x >0)的图象在点( a k ，a 2k )处的切线方程是y －a 2k ＝2a k (x－a k )．令y ＝0得x ＝12a k ，即a k ＋1＝12a k ，因此数列{a k }是以16为首项，12为公比的等比数列，所以a k ＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k －1＝25－k，a 1＋a 3＋a 5＝16＋4＋1＝21.答案：219．气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为n ＋4910(n ∈N *)元，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少)，一共使用了________天．解析：由第n 天的维修保养费为n ＋4910(n ∈N *)元，可以得出观测仪的整个耗资费用，由平均费用最少而求得最小值成立时的相应n 的值．由题意知使用n 天的平均耗资为3.2×104＋⎝⎛⎭⎪⎫5＋n ＋4910n 2n＝3.2×104n＋n20＋9920，当且仅当3.2×104n ＝n20时取得最小值，此时n ＝800. 答案：800三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．设同时满足条件：①b n ＋b n ＋22≥b n ＋1；②b n ≤M (n ∈N *，M 是常数)的无穷数列{b n }叫“嘉文”数列．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝aa －1(a n －1)(a 为常数，且a ≠0，a ≠1)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2S na n＋1，若数列{b n }为等比数列，求a 的值，并证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为“嘉文”数列．解：(1)因为S 1＝aa －1(a 1－1)＝a 1，所以a 1＝a .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a a －1(a n －a n －1)，整理得a na n －1＝a ，即数列{a n }是以a 为首项，a 为公比的等比数列．所以a n ＝a · a n －1＝a n .(2)由(1)知，b n ＝2×aa －1a n －1a n ＋1＝3a －1a n －2aa －1a n，(*)由数列{b n }是等比数列，则b 22＝b 1·b 3，故⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋2a 2＝3·3a 2＋2a ＋2a 2，解得a ＝13，再将a ＝13代入(*)式得b n ＝3n，故数列{b n }为等比数列，所以a ＝13.由于1b n ＋1b n ＋22＝13n ＋13n ＋22>213n ·13n ＋22＝13n ＋1＝1b n ＋1，满足条件①；由于1b n ＝13n ≤13，故存在M ≥13满足条件②.故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为“嘉文”数列．11．已知正项数列{a n }，{b n }满足：a 1＝3，a 2＝6，{b n }是等差数列，且对任意正整数n ，都有b n ，a n ，b n ＋1成等比数列．(1)求数列{b n }的通项公式；(2)设S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n ，试比较2S n 与2－b 2n ＋1a n ＋1的大小．解：(1)∵对任意正整数n ，都有b n ，a n ，b n ＋1成等比数列，且数列{a n }，{b n }均为正项数列，∴a n ＝b n b n ＋1(n ∈N *)．由a 1＝3，a 2＝6得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1b 2＝3，a 2＝b 2b 3＝6，又{b n }为等差数列，即有b 1＋b 3＝2b 2，解得b 1＝2，b 2＝322，∴数列{b n }是首项为2，公差为22的等差数列． ∴数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ＋12(n ∈N *)．(2)由(1)得，对任意n ∈N *，a n ＝b n b n ＋1＝n ＋1n ＋22，从而有1a n＝2n ＋1n ＋2＝2⎝⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2，∴S n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＝1－2n ＋2. ∴2S n ＝2－4n ＋2.又2－b 2n ＋1a n ＋1＝2－n ＋2n ＋3，∴2S n －⎝ ⎛⎭⎪⎫2－b 2n ＋1a n ＋1＝n ＋2n ＋3－4n ＋2＝n 2－8n ＋2n ＋3. ∴当n ＝1，n ＝2时，2S n <2－b 2n ＋1a n ＋1；当n ≥3时，2S n >2－b 2n ＋1a n ＋1.12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对一切正整数n ，点P n (n ，S n )都在函数f (x )＝x 2＋2x 的图象上，且过点P n (n ，S n )的切线的斜率为k n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2kn a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ；(3)设Q ＝{x |x ＝k n ，n ∈N *}，R ＝{x |x ＝2a n ，n ∈N *}，等差数列{c n }的任一项c n ∈Q ∩R ，其中c 1是Q ∩R 中的最小数，110<c 10<115，求{c n }的通项公式．解：(1)∵点P n (n ，S n )都在函数f (x )＝x 2＋2x 的图象上， ∴S n ＝n 2＋2n (n ∈N *)．当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3满足上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由f (x )＝x 2＋2x 求导可得f ′(x )＝2x ＋2. ∵过点P n (n ，S n )的切线的斜率为k n ， ∴k n ＝2n ＋2.∴b n ＝2k n a n ＝4·(2n ＋1)·4n.∴ T n ＝4×3×41＋4×5×42＋4×7×43＋…＋4×(2n ＋1)×4n.① 由①×4，得4T n ＝4×3×42＋4×5×43＋4×7×44＋…＋4×(2n ＋1)×4n ＋1.②①－②得－3T n ＝4[3×4＋2×(42＋43＋…＋4n )－(2n ＋1)×4n ＋1]＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤3×4＋2×421－4n －11－4－()2n ＋1×4n ＋1， ∴T n ＝6n ＋19·4n ＋2－169.(3)∵Q ＝{x |x ＝2n ＋2，n ∈N *}，R ＝{x |x ＝4n ＋2，n ∈N *}，∴Q ∩R ＝R . 又∵c n ∈Q ∩R ，其中c 1是Q ∩R 中的最小数，∴c 1＝6. ∵{c n }的公差是4的倍数，∴c 10＝4m ＋6(m ∈N *)．又∵110<c 10<115，∴⎩⎪⎨⎪⎧110<4m ＋6<115，m ∈N *，解得m ＝27.∴c 10＝114. 设等差数列的公差为d ，则d ＝c 10－c 110－1＝114－69＝12，∴c n＝6＋(n－1)×12＝12n－6.∴{c n}的通项公式为c n＝12n－6.1．已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a(a∈R)．设数列的前n项和为S n，且1a1，1a2，1a4成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式及S n；(2)设A n＝1S1＋1S2＋1S3＋…＋1S n，B n＝1a1＋1a2＋1a22＋…＋1a2n－1.当n≥2时，试比较A n与B n 的大小．解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，由⎝⎛⎭⎪⎫1a22＝1a1·1a4，得(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)．因为d≠0，所以d＝a1＝a.所以a n＝na，S n＝an n＋12.(2)因为1S n＝2a⎝⎛⎭⎪⎫1n－1n＋1，所以A n＝1S1＋1S2＋1S3＋…＋1S n＝2a⎝⎛⎭⎪⎫1－1n＋1.因为a2n－1＝2n－1a，所以B n＝1a1＋1a2＋1a22＋…＋1a2n－1＝1a·1－⎝⎛⎭⎪⎫12n1－12＝2a⎝⎛⎭⎪⎫1－12n.当n≥2时，2n＝C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n>n＋1，即1－1n＋1<1－12n，所以，当a>0时，A n<B n；当a<0时，A n>B n.2．已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a(单位：m2)，其中有部分旧住房需要拆除．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b(单位：m2)的旧住房．(1)分别写出第1年末和第2年末的实际住房面积的表达式；(2)如果第5年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？(计算时取1.15≈1.6)解：(1)第1年末的住房面积为a ·1110－b ＝1.1a －b (m 2)，第2年末的住房面积为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·1110－b ·1110－b ＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫11102－b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1110＝1.21a －2.1b (m 2)． (2)第3年末的住房面积为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫11102－b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1110·1110－b ＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫11103－b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11102(m 2)，第4年末的住房面积为a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫11104－b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11102＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11103(m 2)，第5年末的住房面积为a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫11105－b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11102＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11103＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11104＝1.15a －1－1.151－1.1b ≈1.6a －6b (m 2)．依题意可知，1.6a －6b ＝1.3a ，解得b ＝a 20，所以每年拆除的旧住房面积为a20 m 2.3．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＋1＝kS n ＋2(n ∈N *)，且a 1＝2，a 2＝1. (1)求k 的值和S n 的表达式； (2)是否存在正整数m ，n ，使得S n －m S n ＋1－m <12成立？若存在，求出这样的正整数；若不存在，请说明理由．解：(1)由条件S n ＋1＝kS n ＋2(n ∈N *)，得S 2＝kS 1＋2，即a 1＋a 2＝ka 1＋2，∵a 1＝2，a 2＝1，∴2＋1＝2k ＋2，得k ＝12.于是，S n ＋1＝12S n ＋2，设S n ＋1＋x ＝12(S n ＋x )，即S n ＋1＝12S n －12x ，令－12x ＝2，得x ＝－4，∴S n ＋1－4＝12(S n －4)，即数列{S n －4}是首项为－2，公比为12的等比数列．∴S n －4＝(－2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，即S n ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n (n ∈N *)．(2)由不等式S n －m S n ＋1－m <12，得4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －m 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1－m <12，即2n4－m －42n4－m －2<12.令t ＝2n(4－m )，则不等式变为t －4t －2<12，解得2<t <6，即2<2n(4－m )<6.假设存在正整数m ，n ，使得上面的不等式成立，由于2n为偶数，4－m 为整数，则只能是2n(4－m )＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧2n＝2，4－m ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧2n＝4，4－m ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝2.于是，存在正整数m ＝2，n ＝1或m ＝3，n ＝2，使得S n －m S n ＋1－m <12成立．由递推公式求通项的7种方法及破解数列中的4类探索性问题一、由递推公式求通项的7种方法 1．a n ＋1＝a n ＋f (n )型把原递推公式转化为a n ＋1－a n ＝f (n )，再利用累加法(逐差相加法)求解，即a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a 1＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (n －1)．[例1] 已知数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝a n ＋1n 2＋n ，求a n .[解] 由条件，知a n ＋1－a n ＝1n 2＋n ＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1，则(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ，所以a n －a 1＝1－1n.因为a 1＝12，所以a n ＝12＋1－1n ＝32－1n .2．a n ＋1＝f (n )a n 型把原递推公式转化为a n ＋1a n ＝f (n )，再利用累乘法(逐商相乘法)求解，即由a 2a 1＝f (1)，a 3a 2＝f (2)，…，a n a n －1＝f (n －1)，累乘可得a na 1＝f (1)f (2)…f (n －1)． [例2] 已知数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝n n ＋1·a n ，求a n .[解] 由a n ＋1＝n n ＋1·a n ，得a n ＋1a n ＝nn ＋1，故a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝n －1n ×n －2n －1×…×12×23＝23n .即a n ＝23n. 3．a n ＋1＝pa n ＋q (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)型对于此类问题，通常采用换元法进行转化，假设将递推公式改写为a n ＋1＋t ＝p (a n ＋t )，比较系数可知t ＝qp －1，可令a n ＋1＋t ＝b n ＋1换元即可转化为等比数列来解决．[例3] 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，求a n .[解] 设递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转化为a n ＋1－t ＝2(a n －t )，即a n ＋1＝2a n －t ，则t ＝－3.故递推公式为a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)．令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝4，且b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2. 所以{b n }是以b 1＝4为首项，2为公比的等比数列．所以b n ＝4×2n －1＝2n ＋1，即a n ＝2n ＋1－3.4．a n ＋1＝pa n ＋q n(其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)型 (1)一般地，要先在递推公式两边同除以qn ＋1，得a n ＋1q n ＋1＝p q ·a n q n ＋1q，引入辅助数列{b n }⎝ ⎛⎭⎪⎫其中b n ＝a n qn ，得b n ＋1＝p q ·b n ＋1q，再用待定系数法解决； (2)也可以在原递推公式两边同除以pn ＋1，得a n ＋1p n ＋1＝a n p n ＋1p ·⎝ ⎛⎭⎪⎫q p n，引入辅助数列{b n }⎝ ⎛⎭⎪⎫其中b n ＝a n p n ，得b n ＋1－b n ＝1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫q pn ，再利用叠加法(逐差相加法)求解． [例4] 已知数列{a n }中，a 1＝56，a n ＋1＝13a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，求a n .[解] 法一：在a n ＋1＝13a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1两边乘以2n ＋1，得2n ＋1·a n ＋1＝23(2n ·a n )＋1.令b n ＝2n·a n ，则b n ＋1＝23b n ＋1，根据待定系数法，得b n ＋1－3＝23(b n －3)．所以数列{b n －3}是以b 1－3＝2×56－3＝－43为首项，以23为公比的等比数列．所以b n －3＝－43·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，即b n ＝3－2⎝ ⎛⎭⎪⎫23n.于是，a n ＝b n 2n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2⎝ ⎛⎭⎪⎫13n.法二：在a n ＋1＝13a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1两边乘以3n ＋1，得3n ＋1a n ＋1＝3n a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋1. 令b n ＝3n·a n ，则b n ＋1＝b n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋1.所以b n －b n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ，b n －1－b n －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1，…，b 2－b 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322. 将以上各式叠加，得b n －b 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n.又b 1＝3a 1＝3×56＝52＝1＋32，所以b n ＝1＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n＝1·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋11－32＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋1－2，即b n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋1－2.故a n ＝b n 3n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2⎝ ⎛⎭⎪⎫13n.5．a n ＋1＝pa n ＋an ＋b (p ≠1，p ≠0，a ≠0)型这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令a n ＋1＋x (n ＋1)＋y ＝p (a n ＋xn ＋y )，与已知递推式比较，解出x ，y ，从而转化为{a n ＋xn ＋y }是公比为p 的等比数列．[例5] 设数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝3a n －1＋2n －1(n ≥2)，求a n . [解] 设递推公式可以转化为a n ＋An ＋B ＝3[a n －1＋A (n －1)＋B ]，化简后与原递推式比较，得⎩⎪⎨⎪⎧2A ＝2，2B －3A ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝1，B ＝1.令b n ＝a n ＋n ＋1.(*)则b n ＝3b n －1，又b 1＝6，故b n ＝6·3n －1＝2·3n，代入(*)式，得a n ＝2·3n－n －1. 6．a n ＋1＝pa rn (p >0，a n >0)型这种类型一般是等式两边取对数后转化为a n ＋1＝pa n ＋q 型数列，再利用待定系数法求解．[例6] 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝1a·a 2n (a >0)，求数列{a n }的通项公式．[解] 对a n ＋1＝1a·a 2n 的两边取对数，得lg a n ＋1＝2lg a n ＋lg 1a.令b n ＝lg a n ，则b n ＋1＝2b n ＋lg 1a.由此得b n ＋1＋lg 1a＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b n ＋lg 1a ，记c n ＝b n ＋lg 1a，则c n ＋1＝2c n ，所以数列{c n }是以c 1＝b 1＋lg 1a ＝lg 1a为首项，2为公比的等比数列．所以c n ＝2n －1·lg 1a.所以b n ＝c n －lg 1a ＝2n －1·lg 1a －lg 1a＝lg ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a2n －1＝lg a 1－2n，即lg a n ＝lg a 1－2n，所以a n ＝a1－2n.7．a n ＋1＝Aa nBa n ＋C(A ，B ，C 为常数)型对于此类递推数列，可通过两边同时取倒数的方法得出关系式[例7] 已知数列{a n }的首项a 1＝35，a n ＋1＝3a n2a n ＋1，n ＝1,2,3，…，求{a n }的通项公式．[解] ∵a n ＋1＝3a n 2a n ＋1，∴1a n ＋1＝23＋13a n，∴1a n ＋1－1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1.又1a 1－1＝23， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是以23为首项，13为公比的等比数列，∴1a n －1＝23·13n －1＝23n ， ∴a n ＝3n3n ＋2.二、破解数列中的4类探索性问题 1．条件探索性问题此类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探求，或条件增删需确定，或条件正误需判定，解决此类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件，在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意．[例1] 已知数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝3，其前n 项和S n 满足S n ＋2＋S n ＝2S n ＋1＋1(n ∈N *)；数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＋1＝4b n ＋6(n ∈N *)．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝b n ＋2＋(－1)n －1λ·2a n (λ为非零整数，n ∈N *)，试确定λ的值，使得对任意n ∈N *，都有c n ＋1>c n 成立．[解] (1)由已知得S n ＋2－S n ＋1－(S n ＋1－S n )＝1，所以a n ＋2－a n ＋1＝1(n ≥1)．又a 2－a 1＝1，所以数列{a n }是以a 1＝2为首项，1为公差的等差数列．所以a n ＝n ＋1.因为b n ＋1＝4b n ＋6，即b n ＋1＋2＝4(b n ＋2)，又b 1＋2＝a 1＋2＝4，所以数列{b 2＋2}是以4为公比，4为首项的等比数列．所以b n ＝4n－2.(2)因为a n ＝n ＋1，b n ＝4n－2，所以c n ＝4n＋(－1)n －1λ·2n ＋1.要使c n ＋1>c n 成立，需c n ＋1－c n ＝4n ＋1－4n＋(－1)nλ·2n ＋2－(－1)n －1λ·2n ＋1>0恒成立，化简得3·4n －3λ(－1)n －12n ＋1>0恒成立，即(－1)n －1λ<2n －1恒成立，①当n 为奇数时，即λ<2n －1恒成立，当且仅当n ＝1时，2n －1有最小值1，所以λ<1；②当n 为偶数时，即λ>－2n －1恒成立，当且仅当n ＝2时，－2n －1有最大值－2，所以λ>－2，即－2<λ<1.又λ为非零整数，则λ＝－1.综上所述，存在λ＝－1，使得对任意n ∈N *，都有c n ＋1>c n 成立．[点评] 对于数列问题，一般要先求出数列的通项，不是等差数列和等比数列的要转化为等差数列或等比数列．遇到S n 要注意利用S n 与a n 的关系将其转化为a n ，再研究其具体性质．遇到(－1)n型的问题要注意分n 为奇数与偶数两种情况进行讨论，本题易忘掉对n 的奇偶性的讨论而致误．2．结论探索性问题此类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定．解决此类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论，在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论．[例2] 已知各项均为正数的数列{a n }满足：a 2n ＋1＝2a 2n ＋a n a n ＋1，且a 2＋a 4＝2a 3＋4，其中n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设数列{b n }满足：b n ＝na n2n ＋12n ，是否存在正整数m ，n (1<m <n )，使得b 1，b m ，b n成等比数列？若存在，求出所有的m ，n 的值，若不存在，请说明理由；(3)令c n ＝1＋n a n，记数列{c n }的前n 项积为T n ，其中n ∈N *，试比较T n 与9的大小，并加以证明．[解] (1)因为a 2n ＋1＝2a 2n ＋a n a n ＋1，即(a n ＋a n ＋1)(2a n －a n ＋1)＝0.又a n >0，所以2a n －a n ＋1＝0，即2a n ＝a n ＋1. 所以数列{a n }是公比为2的等比数列．由a 2＋a 4＝2a 3＋4，得2a 1＋8a 1＝8a 1＋4，解得a 1＝2. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n(n ∈N *)． (2)因为b n ＝na n2n ＋12n＝n2n ＋1，所以b 1＝13，b m ＝m 2m ＋1，b n ＝n2n ＋1.若b 1，b m ，b n 成等比数列，则⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m ＋12＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2n ＋1，即m 24m 2＋4m ＋1＝n6n ＋3.。

2014高考数学一轮复习精品试题附详解阶段滚动检测(二)(人教A版·文)

阶段滚动检测(二)(第一～四章) (120分钟 150分) 第I 卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(滚动单独考查)已知命题p:对任意的x ∈R ，有sinx ≤1，则﹁p 是( )(A)存在x ∈R ，有sinx ≥1 (B)对任意的x ∈R ，有sinx ≥1 (C)存在x ∈R ，有sinx ＞1 (D)对任意的x ∈R ，有sinx ＞1 2.(2011·四川高考)复数-i+1i=( )(A)-2i (B)12i (C)0 (D)2i 3.若AB =(1,1),AC =(3,8),AD =(0,1),BC +CD =(a,b),则a+b=( )(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2 4.过原点和复数1-i 在复平面内对应点P 的直线OP 的倾斜角为( )(A)4π- (B)4π (C)34π (D)23π5.已知tan α=12-，则sin 2cos 4cos 4sin α+αα-α的值是( )(A)52 (B)52- (C)14 (D)14-6.(滚动单独考查)已知1x f 1x -+（）=221x 1x -+，则f(x)的解析式为( ) (A)f(x)=2x1x+ (B)f(x)=22x 1x -+ (C)f(x)=22x1x + (D)f(x)=2x 1x -+ 7.(2012·青岛模拟)已知非零向量a 、b 满足|a +b |=|a -b |且23a =2b ，则a 与b - a 的夹角为( )(A)23π (B)3π (C)56π (D)6π8.函数y=sin(2x+3π)图象的对称轴方程可能是( )(A)x=6π- (B)x=12π- (C)x=6π (D)x=12π9.(滚动单独考查)y=x xx x e e e e--+-的图象大致为( )10.(2012·杭州模拟)若点H 是△ABC 的垂心，且OH =OA OB OC ++，则点O 是 △ABC 的( )(A)垂心 (B)内心 (C)外心 (D)重心第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分.请把正确答案填在题中横线上)11.给定两个向量a =(3,4)，b=(2,1)，若(a +x b)⊥(a -b)，则x的值等于____.12.如图所示，在平面四边形ABCD中，若AC=3,BD=2，则(AB DC+)=__________.+)·(AC BD13.(2012·衢州模拟)在△ABC中，D在线段BC上，BD=2DC,AD=m AB+n AC，则m=______.n14.在200 m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°，则塔高为_____m.15.已知α∈(0,π)，sinα+cosα=1-，则sinα-cosα=_______.516.给出下列4个命题:①非零向量a，b满足| a|=|b|=|-a b |，则a与a+b的夹角为30°;②“a·b＞0”是“a，b的夹角为锐角”的充要条件;③将函数y=|x+1|的图象按向量a=(-1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为y=|x+2|;④在△ABC中，若(AB+AC)·(AB-AC)=0,则△ABC为等腰三角形. 其中正确的命题是________.(注：把你认为正确的命题的序号都填上)17.已知函数f(x)=cos2x+sinxcosx (x∈R).则f(x)的单调递增区间是_________.三、解答题(本大题共5小题，共65分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)18.(12分)(2012·哈尔滨模拟)在四边形ABCD中，|AD|=12,|CD|=5,|AB|=10,|DA +DC|=|AC|,AB在AC方向上的投影为8.(1)求∠BAD的正弦值;(2)求△BCD的面积.19.(12分)(2012·郑州模拟)在锐角△ABC中，已知内角A、B、C所-1)=.对的边分别为a、b、c，且满足2sinB(2B2cos2(1)求B的大小;(2)如果b=2，求△ABC的面积S△ABC的最大值.20.(13分)如图所示，P是△ABC内一点，且满足AP+2BP+3CP=0，设Q为CP延长线与AB的交点，求证：CQ =2CP.21.(14分)如图所示，设抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F，经过点F 的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，证明:直线AC 经过原点O.(用向量方法证明)22.(14分)(2012·大庆模拟)已知函数f(x)=31x 3+2bx -3a 2x(a ≠0)在x=a 处取得极值. (1)求ba;(2)设函数g(x)=2x 3-3af ′(x)-6a 3，如果g(x)在开区间(0,1)上存在极小值，求实数a 的取值范围；(3)f(x)是否为R 上的单调函数，如果是，求出此时的a 的范围；如果不是，请说明理由.答案解析1.【解析】选C.“任意”的否定为“存在”；“≤”的否定为“＞”，故选C.2.【解析】选A.-i+1i=-i+2ii-- =-i-i=-2i.故选A. 3.【解析】选A.∵BC +CD =BD =AD -AB =(-1,0), ∴a=-1,b=0,∴a+b=-1.4.【解析】选C.设倾斜角为α，如图所示,易知α＝34π. 5.【解析】选C.∵tan α=12-,∴sin 2cos 4cos 4sin α+αα-α=tan 244tan α+-α=122144()2-+-⨯-=3126⨯=1.46.【解析】选C.(特殊值法):对于f 1x ()1x -+=221x 1x -+,令x=0，代入其中有f(1)=1. 经检验只有选项C 满足f(1)=1. 【一题多解】(换元法):选C.令t=1x 1x -+，由此得x=1t1t -+, 所以f(t)=221t 1()1t 1t 1()1t--+-++=22t 1t +,从而f(x)的解析式为f(x)=22x1x +.7.【解析】选A.∵|a +b |=| a -b |, ∴2a +2a ·b +2b =2a -2a ·b +2b ,∴a ·b =0, ∴a ·(b - a )= a ·b -2a =2-a =2||-a , |b - aa |,设a 与-b a 的夹角为θ，则cos θ=()||||--a b a a b a =2||||2||-a a a =12-,又θ∈［0,π］,∴θ=23π. 8.【解析】选D.令2x+3π=k π+2π(k ∈Z)，得x=k 212ππ+(k ∈Z)，令k=0得该函数的一条对称轴为x=12π.本题也可用代入验证法来解. 9.【解析】选A.函数有意义，需使e x -e -x ≠0，其定义域为{x|x ≠0}.又因为y=x x x x e e e e --+-=2x 2x e 1e 1+-=1+2x 2e 1-，所以当x ＞0时函数为减函数，故选A.10.【解析】选C.OH =OA +OB +OC ⇒AH =OB OC +, 取BC 的中点D ，则OB OC +=2OD ,∴AH =2OD .又∵AH ⊥BC ，∴OD ⊥BC,∴点O 在BC 的中垂线上. 同理点O 在CA 、AB 的中垂线上，所以点O 是△ABC 的外心.11.【解析】依题意(a +x b )·(-a b )=0, 即2a +(x-1) a ·b -2x b =0, 又a =(3,4), b =(2,1), 则25+10(x-1)-5x=0, 解得x=-3. 答案：-312.【解题指南】用已知模的向量AC 、BD 表示目标向量AB 、DC . 【解析】由于AB =AC +CB ,DC =DB +BC , 所以AB +DC =AC +CB +DB +BC =AC -BD .(AB +DC )·(AC +BD )=(AC -BD )·(AC +BD )=2AC -2BD =9-4=5. 答案：513.【解析】由题意AD =m AB +n AC , 又AD =AB +BD =AB +2BC 3=AB +2(AC AB)3-=12AB AC 33+∴m AB +nAC =12AB AC 33+，∴m=13,n=23,∴m n =12.答案：1214.【解析】如图所示，设塔高为h m. 由题意及图可知:(200-h)·tan60°=200tan60︒. 解得:h=4003(m). 答案：400315.【解析】∵(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=125, ∴2sin αcos α=2425-,又α∈(0,π),∴sin α＞0， ∴cos α＜0，sin α-cos α＞0,又(sin α-cos α)2=(sin α+cos α)2-4sin αcos α=125-2×(2425-)=4925.∴sin α-cos α=75.答案：7516.【解析】①考虑向量和、差的平行四边形法则，不难判断结论正确；②当a ，b 的夹角为0°时，a b ＞0也成立，结论错误；③由两个函数图象容易判断结论正确；④可得2AB =2AC ,即AB=AC,正确.所以①③④正确. 答案：①③④ 17.【解析】f(x)=1cos2x 1sin2x 22++=111sin2x cos2x 222++=1(sin2x cos2x)2222++=1sin(2x )242π++, 令2k π-2π≤2x+4π≤2k π+2π,k ∈Z,∴2k π-34π≤2x ≤2k π+4π,k ∈Z,即k π-38π≤x ≤k π+8π(k ∈Z)时，f(x)单调递增.∴f(x)的单调递增区间为［k π-38π,k π+8π］(k ∈Z).答案：［k π-38π,k π+8π］(k ∈Z) 【方法技巧】解三角函数问题的变形技巧(1)变角：对角的拆分要尽可能化成同名、同角、特殊角； (2)变名：尽可能减少函数名称；(3)变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形. 18.【解析】(1)∵|DA DC +|=|AC |， ∴∠ADC=90°，在Rt △ADC 中，|AD |=12，|CD |=5, ∴|AC |=13,cos ∠DAC=1213,sin ∠DAC=513. ∵AB 在AC 方向上的投影为8，∴|AB |cos ∠CAB=8,|AB |=10,∴cos ∠CAB=45, ∵∠CAB ∈(0,π),∴sin ∠CAB=35, ∴sin ∠BAD=sin(∠DAC+∠CAB)=5665. (2)S △ABC =12|AB |·|AC |·sin ∠BAC=39,S △ACD =12|AD |·|CD |=30,S △ABD =12|AB |·|AD |·sin ∠BAD=67213,∴S △BCD =S △ABC +S △ACD -S △ABD =22513.19.【解析】(1)2sinB(2cos 2B2-1)=⇒2sinBcosB=⇒tan2B=∵0＜B ＜2π,∴0＜2B ＜π,∴2B=23π,∴B=3π.(2)由(1)知B=3π∵b=2，由余弦定理，得:4=a 2+c 2-ac ≥2ac-ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立),∵△ABC 的面积S △ABC =1acsinB 2=ac 4∴△ABC 20.【证明】∵AP =AQ QP +,BP =BQ QP +,∴(AQ QP 2(BQ QP)3CP ++++）=0, ∴AQ 3QP 2BQ 3CP +++=0,又∵A ，B ，Q 三点共线,C ，P ，Q 三点共线,故可设AQ =BQ λ,CP =μQ P , ∴BQ 3QP 2BQ 3QP λ+++μ=0,∴(2)BQ (33)QP λ+++μ=0.而BQ ，QP 为不共线向量,∴20330λ+=⎧⎨+μ=⎩.∴λ=-2,μ=-1. ∴CP =QP -=PQ .故CQ =CP PQ +=2CP .21.【解题指南】先由FA ∥FB 建立点A ，B 坐标之间的关系，再证OA ∥OC 即可.【证明】设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2),又F(p 2,0)，则C(p 2-,y 2),则FA =(x 1-p 2,y 1),FB =(x 2-p 2,y 2),∵FA 与FB 共线,∴(x 1-p2)y 2-(x 2-p 2)y 1=0,即11p x 2y -=22p x 2y -，代入x 1=21y 2p ,x 2=22y 2p 整理得，y 1·y 2=2p -. ∵OA =(x 1,y 1),OC =(p2-,y 2),x 1y 2+1p y 2 =21y 2p ·21p ()y -+1p y 2=0, ∴OA 与OC 共线，即A 、O 、C 三点共线，也就是说直线AC 经过原点O.【方法技巧】利用向量法解决解析几何问题(1)利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段看成向量，求得向量坐标从而进行运算.(2)平面向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述.它主要强调向量的坐标运算，将向量问题转化为坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答.22.【解析】(1)f ′(x)=-x 2+2bx-3a 2(a ≠0),由题意知f ′(a)=-a 2+2ba-3a 2=0⇒b=2a,∴b a=2.(2)由已知可得g(x)=2x 3+3ax 2-12a 2x+3a 3,则g ′(x)=6x 2+6ax-12a 2=6(x-a)(x+2a);令g ′(x)=0，得x=a 或x=-2a.①若a ＞0，则当x ＜-2a 或x ＞a 时，g ′(x)＞0,当-2a ＜x ＜a 时，g ′(x)＜0,所以当x=a 时，g(x)有极小值.∴0＜a ＜1.②若a ＜0，则当x ＜a 或x ＞-2a 时,g ′(x)＞0;当a＜x＜-2a时，g′(x)＜0,所以当x=-2a时，g(x)有极小值.∴0＜-2a＜1,∴1-＜a＜0.2所以当1-＜a＜0或0＜a＜1时，2g(x)在开区间(0,1)上存在极小值.(3)由(1)得b=2a,∴f′(x)=-x2+4ax-3a2(a≠0)为开口向下的二次函数, 若f(x)为单调函数,则f′(x)≤0对x∈R恒成立,∴Δ=16a2-12a2=4a2≤0, ∵a≠0,∴a∈Ø，即a不存在,所以f(x)在R上不是单调函数.。

智慧测评新高考人教A版理科数学一轮总复习课时训练5.2等差数列(含答案详析)

第五篇第2节一、选择题1．(2014唐山二模)在等差数列{a n }中，2a 4＋a 7＝3，则数列{a n }的前9项和等于( )A ．9B ．6C ．3D ．12解析：设等差数列{a n }公差为d ，∵2a 4＋a 7＝3，∴2(a 1＋3d )＋a 1＋6d ＝3，整理得a 1＋4d ＝1，即a 5＝1.∴S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝9.故选A. 答案：A2．(2012年高考福建卷)等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：∵a 1＋a 5＝2a 3＝10，∴a 3＝5，又∵a 4＝7，∴d ＝a 4－a 3＝2，故选B.答案：B3．(2014云南省昆明一中测试)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 3＝3，S 9－S 6＝27，则该数列的首项a 1等于( )A ．－65B ．－35 C.65 D.35 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝3，9a 1＋36d －(6a 1＋15d )＝27，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝3，a 1＋7d ＝9，解得a 1＝35.故选D. 答案：D4．(2014山东省烟台市莱州一中质量检测)已知各项均不为零的数列{a n }，定义向量c n＝(a n ，a n ＋1)，b n ＝(n ，n ＋1)，n ∈N *.下列命题中真命题是( )A ．若∀n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等比数列B ．若∀n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等比数列C ．若∀n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等差数列D ．若∀n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等差数列解析：由c n ∥b n 得，na n ＋1＝(n ＋1)a n ，即a n ＋1n ＋1＝a n n，所以数列a n n是常数列，所以a n ＝na 1，故数列{a n }是等差数列，故选D.答案：D5．(2014云南师大附中高考适应性训练)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝－9，a 3＋a 7＝－6，则当S n 取得最小值时，n ＝( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析：∵a 3＋a 7＝2a 5＝－6，∴a 5＝－3，∴d ＝2，∴a 6＝－1，a 7＝1，∴S 6最小．故选D.答案：D6．(2014云南省玉溪一中第四次月考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 15>0，S 16<0，则S 1a 1，S 2a 2，…，S 15a 15中最大的项为( ) A.S 6a 6B.S 7a 7C.S 9a 9D.S 8a 8解析：由S 15＝15(a 1＋a 15)2＝15a 8>0，得a 8>0. 由S 16＝16(a 1＋a 16)2＝16(a 9＋a 8)2<0，得a 9＋a 8<0，所以a 9<0，且d <0.所以数列{a n }为递减数列且a 1，…，a 8为正，a 9，…，a n 为负，且S 1，…，S 15>0，则S 6a 6>0，S 7a 7>0，S 8a 8>0，S 9a 9<0，又S 8>S 7>S 6，a 8<a 7<a 6，则S 6a 6<S 7a 7<S 8a 8，所以最大的项为S 8a 8，故选D. 答案：D二、填空题7．(2014吉林高三期末)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝n 2＋2n ，则a 4＋a 5＋a 6＝________.解析：法一当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，n ＝1，a 1＝3也符合公式．所以数列{a n }是等差数列．所以a 4＋a 5＋a 6＝3a 5＝3×11＝33.法二 a 4＋a 5＋a 6＝S 6－S 3＝33.答案：338．(2014黑龙江省哈师大附中高考模拟)等差数列{a n }满足a 3＝3，a 6＝－3，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为________．解析：法一由a 3＝3，a 6＝－3得，⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝3，a 1＋5d ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝7，d ＝－2. ∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－n 2＋8n ＝－(n －4)2＋16. ∴当n ＝4时S n 有最大值16. 法二由a 3＝3，a 6＝－3得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝3，a 1＋5d ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝7，d ＝－2，所以a n ＝9－2n . 则n ≤4时，a n >0，当n ≥5时，a n <0，故前4项和最大且S 4＝4×7＋4×32×(－2)＝16. 答案：169．由正数组成的等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，且a n b n ＝2n －13n －1，则S 5T 5＝________.解析：由S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3， T 5＝5(b 1＋b 5)2＝5b 3，得S 5T 5＝a 3b 3＝2×3－13×3－1＝58. 答案：5810．(2014浙江模拟)数列{a n }中，a 1＝5，a n ＝2a n －1＋2n －1(n ∈N *，n ≥2)，若数列a n ＋λ2n 为等差数列，则λ＝________.解析：n ≥2时，a n ＋λ2n －a n －1＋λ2n －1＝a n －2a n －1－λ2n ， ∵a n ＝2a n －1＋2n －1，∴a n ＋λ2n －a n －1＋λ2n －1＝2n －1－λ2n ＝1－1＋λ2n . 又∵数列a n ＋λ2n 为等差数列． ∴1－1＋λ2n 为常数．∴λ＝－1. 答案：－1三、解答题11．(2014贵州省贵阳市高三适应性检测)已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 7＝70，且a 1，a 2，a 6成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2S n ＋48n ，则数列{b n }的最小项是第几项？并求出该项的值．解：(1)设公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 1＋21d ＝70，a 22＝a 1a 6，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝10，(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋5d )，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝10，d ＝0，(舍去)．所以a n ＝3n －2.(2)数列{b n }的最小项是第4项，因为S n ＝n 2[1＋(3n －2)]＝3n 2－n 2，所以b n ＝3n 2－n ＋48n＝3n ＋48n－1≥23n ·48n －1 ＝23，当且仅当3n ＝48n，即n ＝4时取等号，故数列{b n }的最小项是第4项，该项的值为23.12．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求通项a n ；(2)求S n 的最小值；(3)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S n n ＋c，求非零常数c . 解：(1)∵数列{a n }为等差数列，∴a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22.又a 3·a 4＝117，∴a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两实根，又公差d >0，∴a 3<a 4，∴a 3＝9，a 4＝13， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝4.∴通项a n ＝4n －3.(2)由(1)知a 1＝1，d ＝4，∴S n ＝na 1＋n (n －1)2×d ＝2n 2－n＝2⎝⎛⎭⎫n －142－18. ∴当n ＝1时，S n 最小，最小值为S 1＝a 1＝1.(3)由(2)知S n ＝2n 2－n ，∴b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－n n ＋c ， ∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c . ∵数列{b n }是等差数列， ∴2b 2＝b 1＋b 3，即62＋c ×2＝11＋c ＋153＋c ， ∴2c 2＋c ＝0，∴c ＝－12或c ＝0(舍去)，故c ＝－12.。

2014届高考数学理一轮复习方案(浙江省专用)：滚动基础训练卷(91页17套)(附详细解析)

ln（x＋1），x≥0，
个零点，求实数 k 的取值范围．
1ax－2 13．[2013· 山西忻州一中月考] 已知函数 f(x)＝log (a 为常数)． 2 x－1 (1)若常数 a<2 且 a≠0，求 f(x)的定义域； (2)若 f(x)在区间(2，4)上是减函数，求 a 的取值范围．
பைடு நூலகம்
14．已知函数 f(x)＝x2，g(x)＝x－1. (1)若存在 x∈R 使 f(x)<b²g(x)，求实数 b 的取值范围； (2)设 F(x)＝f(x)－mg(x)＋1－m－m2，且|F(x)|在[0， 1]上单调递增，求实数 m 的取值范围．
＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，4.给出如下四个结论：①2 011∈[1]；②－3∈[3]；③Z＝ [0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数 a，b 属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．其中正确命题的序号是________．三、解答题(本大题共 3 小题，每小题 14 分，共 42 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 12．已知关于 x 的一元二次方程①mx2－4x＋4＝0；②x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，m∈Z，试求方程①和②的根都是整数的充要条件．
45 分钟滚动基础训练卷(一) (考查范围：第 1 讲～第 3 讲分值：100 分)
一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1． [2012· 肇庆模拟] 已知集合 M＝{0， 1， 2}，集合 N 满足 N⊆M，则集合 N 的个数是( ) A．6 B．7 C．8 D．9 2．已知集合 A＝{a，b，c}中任意两个不同元素的和的集合为{1，2，3}，则集合 A 中的任意两个不同元素的差的绝对值所组成的集合为( ) A．{1，2，3} B．{1，2} C．{0，1} D．{0，1，2} 3．设 a，b 是向量，命题“若 a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是( ) A．若 a≠－b，则|a|≠|b| B．若 a＝－b，则|a|≠|b| C．若|a|≠|b|，则 a≠－b D．若|a|＝|b|，则 a＝－b 4．[2012· 沈阳、大连联合模拟] 已知 A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|logx4＝2}，则 A∪B ＝( ) A．{－2，1，2} B．{1，2} C．{－2，2} D．{2} 5． [2012· 鹰潭一模] 关于 x 的不等式 ax2－2x＋1<0 的解集非空的一个必要不充分条件是 ( ) A．a<1 B．a≤1 C．0<a<1 D．a<0 6．[2012· 威海模拟] 设集合 A＝{－1，p，2}，B＝{2，3}，则“p＝3”是“A∩B＝B” 的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 7．已知下列各组命题，其中 p 是 q 的充分必要条件的是( ) A．p：m≤－2 或 m≥6；q：y＝x2＋mx＋m＋3 有两个不同的零点 f（－x） B．p：＝1；q：y＝f(x)是偶函数 f（x） C．p：cosα ＝cosβ ；q：tanα ＝tanβ D．p：A∩B＝A；q：A⊆U，B⊆U，∁UB⊆∁UA 8．[2011· 湖北卷] 若实数 a，b 满足 a≥0，b≥0，且 ab＝0，则称 a 与 b 互补，记 φ(a， 2 2 b)＝ a ＋b －a－b，那么 φ(a，b)＝0 是 a 与 b 互补的( ) A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二、填空题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分) 9．已知 a，b 都是实数，命题“若 a＋b>0，则 a，b 不全为 0”的逆否命题是________． 5 10．设集合 M＝(x，y)|x＝(y＋3)· |y－1|＋(y＋3)，－ ≤y≤3，若(a，b)∈M 且对 M 中的 2 其他元素(c，d)，总有 c≥a，则 a＝________． 11．在整数集 Z 中，被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]

高考数学一轮复习方案滚动基础训练卷滚动基础训练卷（5）（含解析）理新人教A版

45分钟滚动基础训练卷五考查范围：第17讲～第24讲，以第21讲～第24讲内容为主分值：100分一、选择题本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．[2022·开封模拟] 设in错误!＋θ＝错误!，则in2θ＝A．－错误! B．－错误!2．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a in A in B＋b co2A＝错误!a，则错误!＝A．2错误! B．2错误!3．若△ABC的内角A，B，C满足6in A＝4in B＝3in C，则co B＝4．[2022·长春模拟] 已知向量a＝coα，inα，b＝coβ，inβ，|a－b|＝错误!错误!则coα－β的值为5．已知inβ＝m in2α＋β，且tanα＋β＝3tanα，则实数m的值为A．2C．36．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，已知b2＝cb＋2c，若a＝错误!，co A＝错误!，则△ABC的面积等于D．37．已知函数f＝2in2错误!－错误!co2－1，∈R，若函数h＝f＋α的图象关于点错误!对称，且α∈0，π，则α＝8．将函数＝inωω>0的图象向左平移错误!个单位长度，平移后的部分图象如图G5－1所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是A．＝in错误!B．＝in错误!C．＝in错误!D．＝in错误!二、填空题本大题共3小题，每小题6分，共18分9．已知inα＝错误!＋coα，且α∈错误!，则错误!的值为________．10．在△ABC中，B＝60°，AC＝错误!，则AB＋2BC的最大值为________．11．若函数f＝2in2＋φ错误!0的图象具有相同的对称中心，则φ＝________．三、解答题本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤12．已知向量a＝错误!，b＝co，in，∈错误!1若a∥b，求in和co2的值；2若a·b＝2co错误!∈Z，求tan错误!的值．13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足c in A＝a co C1求角C的大小；2求错误!in A－co错误!的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．14．如图G5－2，A，B是海面上位于东西方向相距53＋错误! n mie的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20错误! n mie的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 n mie/h，该救援船到达D点需要多长时间45分钟滚动基础训练卷五1．A [解析] 将in错误!＋θ＝错误!展开得错误!coθ＋inθ＝错误!，两边平方得错误! 1＋in2θ＝错误!，所以in2θ＝－错误!2．D [解析] 由正弦定理，得in2A in B＋in B co2A＝错误!in A，即in B·in2A＋co2A＝错误! in A，所以in B＝错误!in A，∴错误!＝错误!＝错误!3．D [解析] 依题意，结合正弦定理得6a＝4b＝3c，设3c＝12>0，则有a＝2，b＝3，c＝4；由余弦定理得co B＝错误!＝错误!＝错误!4．C [解析] ∵|a－b|＝错误!错误!，∴a2－2a·b＋b2＝错误!，又a＝coα，inα，b＝coβ，inβ，∴a2＝b2＝1，a·b＝coαcoβ＋inαinβ＝coα－β．∴coα－β＝错误!＝错误!5．B [解析] 因为inβ＝m in2α＋β，所以in[α＋β－α]＝m in[α＋β＋α]，即inα＋βcoα－coα＋βinα＝m[inα＋βcoα＋coα＋βinα]，也即1－m inα＋βcoα＝1＋m·coα＋βinα，所以错误!＝错误!＝3，所以m＝错误!6．C [解析] ∵b2＝cb＋2c，∴b2－bc－2c2＝0即b＋c·b－2c＝0∴b＝2c又a＝错误!，co A＝错误!＝错误!，解得c＝2，b＝4∴S△ABC＝错误!bc in A＝错误!×4×2×错误!ie，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－45°＋30°＝105°在△DAB中，由正弦定理得错误!＝错误!，∴DB＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝10错误!n mie．又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋90°－60°＝60°，BC＝20错误!n mie，在△DBC中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·co∠DBC＝300＋1 200－2×10错误!×20错误!×错误!＝900，∴CD＝30n mie，则需要的时间t＝错误!＝1h．答：救援船到达D点需要1 h。

2014高考数学一轮复习精品试题附详解阶段滚动检测(三)(人教A版·理)

阶段滚动检测（三）（第一～六章）（120分钟 150分）第I 卷(选择题共40分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(2012·临沂模拟)设A ＝{x|x 2－2x －3＞0}，B ＝{x|x 2＋ax ＋b ≤0}，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3,4］，则a ＋b 等于( ) (A)7 (B)-1 (C)1 (D)-72.(滚动单独考查)已知复数a ＝3＋2i ，b ＝4＋xi(其中i 为虚数单位)，若复数a b∈R ，则实数x 的值为( ) (A)-6 (B)6 (C)83(D)83-3．(滚动单独考查)设向量()(1x 1)x 1,3=-=+，，a b ，则“x=2”是“a b ”的( )(A)充分但不必要条件 (B)必要但不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件4.(滚动单独考查)下列判断错误的是( ) (A)“am 2<bm 2”是“a<b ”的充分不必要条件(B)命题“∀x ∈R,x 3-x 2-1≤0”的否定是“∃x 0∈R,3200x x 10-->” (C)若p ∧q 为假命题,则p,q 均为假命题(D)若,≠，且，a b b c b 0则a c5.在正项等比数列{a n }中，a 1和a 19为方程x 2-10x+16=0的两根，则a 8·a 10·a 12等于( )(A)16 (B)32 (C)64 (D)2566.(滚动交汇考查)等比数列{a n }中，a 3=6，前三项和S 3=304xdx ⎰，则公比q 的值为( )()()()()1A 1B 211C 1 D 122----或或7.(滚动单独考查)设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<2π)的最小正周期为π，且f(-x)=f(x)，则( )(A)f(x)在(0, 2π)上单调递减(B)f(x)在(3,44ππ)上单调递减(C)f(x)在(0, 2π)上单调递增(D)f(x)在(3,44ππ)上单调递增8.(2012·安徽师大附中模拟)已知x,y 满足x 3y 70x 1,y 1+-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩则z=|y-x|的最大值为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分.请把正确答案填在题中横线上)9.(2012·宿州模拟)函数A，关于x的)2x>2-a-x(a∈R)的解集为B，若A∩B=B,则实数a的取值范围不等式(12为_______.10.如图，在半径为30 cm的半圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中，点A，B在直径上，点C，D在圆周上.设BC=x cm,则ABCD面积最大时，x的值为_________.11.(滚动单独考查)(2012·抚顺模拟)已知O为正三角形ABC内一点，且满足OA+λOB+(1+λ)OC =0，若△OAB的面积与△OAC的面积比值为3，则λ的值为___________.12.(滚动单独考查)(2012·娄底模拟)已知向量a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y)，若a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，M(x，y)，N(y， x)，则向量MN的模为___________．13.(滚动交汇考查)已知数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，a7－a5＝4，a11＝21，S k＝9，则k＝__________.14.(2012·淄博模拟)设实数x,y 满足不等式组y x 1y x 1y 0+≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则x y 1+的取值范围是__________．15.已知真命题：若A 为⊙O 内一定点，B 为⊙O 上一动点，线段AB 的垂直平分线交直线OB 于点P ，则点P 的轨迹是以O 、A 为焦点,OB 长为长轴长的椭圆．类比此命题，写出另一个真命题：若A 为⊙O 外一定点，B 为⊙O 上一动点，线段AB 的垂直平分线交直线OB 于点P ，则点P 的轨迹是__________．三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)(滚动交汇考查)已知函数f(x)=2-sin(2x+6π)-2sin 2x,x ∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)记△ABC 的内角A,B,C 的对边长分别为a,b,c ，若f(B2)=1，,求a 的值.17.(12分)(2012·西安模拟)已知数列()()1111,1335572n 12n 1⋯⨯⨯⨯-+，，，，其前n 项和为S n . (1)求出S 1,S 2,S 3,S 4; (2)猜想前n 项和S n 并证明.18．(12分)某大学食堂定期从某粮店以每吨3 000元的价格买大米，每次购进大米需支付运输劳务费100元，已知食堂每天需用大米1 t ，贮存大米的费用为每吨每天2元，假定食堂每次均在用完大米的当天购买．(1)该食堂每隔多少天购买一次大米，能使平均每天所支付的费用最少？(2)粮店提出价格优惠条件：一次购买量不少于20 t 时，大米价格可享受九五折优惠(即是原价的95%)，问食堂可否接受此优惠条件？请说明理由．19.(13分)(滚动交汇考查)(2012·德州模拟)已知函数f(x)=ax 2+bx(a ≠0)的导函数f ′(x)=2x-2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点P n (n,S n )均在函数y=f(x)的图象上. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b 1=1,b n+1=b n +a n+2(n ∈N *),求b n ； (3)记*n c N ),=∈试证c 1+c 2+…+c 2 011<89. 20.(13分)(滚动交汇考查)已知函数()()a x 1f x lnx .x 1-=-+ (1)若函数f(x)在(0,+∞)上为单调增函数，求a 的取值范围；(2)利用(1)的结论比较m 2(1)m n ln m n 1n-+与 (m,n 为正实数，m>n)的大小.21.(13分)(滚动单独考查)已知函数()()21f x x 1lnx ax a 2=-+-+．(1)若a=32，求函数f(x)的极值；(2)若对任意的x ∈(1,3)，都有f(x)>0成立，求a 的取值范围．答案解析1.【解析】选D.A ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，∵A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3,4］，则B ＝［－1,4］，∴a ＝－(－1＋4)＝－3，b ＝－1×4＝－4，∴a ＋b ＝－7.2.【解析】选C.由于2a 32i (32i)(4xi)122x (83x)ib4xi (4xi)(4xi)16x ＋＋－＋＋－＝＝＝＋＋－＋∈R ，则8－3x ＝0，∴x ＝83.3.【解析】选A.当x=2时，a =(1,1),b =(3,3)，∴a ∥b ；当a ∥b 时，x 2-1=3，∴x=±2.4.【解析】选C.p ∧q 为假命题，只能说明p ，q 中至少一个是假命题.5.【解题指南】利用根与系数的关系及等比数列性质可求.【解析】选C.由已知得a 1·a 19=16，又a 1·a 19=a 210，∴正项等比数列中，a 10=4.∴a 8·a 10·a 12=a 310=64.6.【解析】选C.S 3=304xdx 18=⎰，∴266618,q q ++=解得q=1或1q 2=-.【变式备选】由曲线y=x-2及y 轴所围成的图形的面积为( )()()()()1016A B 4C D 633【解析】选C.用定积分求解)34242002116S x 2dx=(x x 2x)|.323=+-+=⎰7.【解题指南】先两角和公式逆用，化为一个角的三角函数，再利用周期及偶函数得解析式，从而可解.【解析】选sin(ωx+φ+4π),∵最小正周期为π,所以ω=2，又f(x)为偶函数，∴φ+4π=2π+k π，k ∈Z,得φ=4π+k π,k ∈Z ，又|φ|<2π,∴φ=4π,∴f(x)= 2πcos2x,由函数单调性选A.8.【解析】选C.作出可行域如图阴影区域.可知A(1，2)，B(4，1)，由z=|y-x|=()y x(y x).x y y x -≥⎧⎪⎨-<⎪⎩(1)当z=y-x 时，目标函数过A(1，2)时，z max =2-1=1. (2)当z=x-y 时，目标函数过B(4，1)时z max =4-1=3. 由(1)(2)可得，z max =3,故选C. 9.【解析】由2xx 1+-≥0且x-1≠0解得x ≤-2或x>1, 于是A= (-∞，-2］∪(1，+∞).2x a x 2x a x 111()2()()222--+>⇔>⇔2x<a+x ⇔x<a, 所以B=(-∞，a).因为A ∩B=B ，所以B ⊆A ，所以a ≤-2. 即a 的取值范围是(-∞，-2］. 答案：(-∞，-2］10.【解析】由BC=x ，则所以x 2+(900-x 2)=900.当且仅当x 2=900-x 2,即x= S 取最大值为900 cm 2.答案：11.【解题指南】将已知条件转化可知O 点在三角形中位线上，根据S △OAB 与S △OAC 之比可得结果.【解析】设AC 、BC 边的中点为E 、F,则由OA OB (1)OC +λ++λ=0得OE OF +λ=0,∴点O 在中位线EF 上.∵△OAB 的面积与△OAC 的面积比值为3，∴点O 为EF 的靠近E 的三等分点，∴λ=12. 答案：1212.【解析】∵a ∥b ，∴x ＝4， ∴b ＝(4，－2)，∴a ＋b ＝(6，－3)，b －c＝(1，－2－y)．∵(a ＋b )⊥(b －c )，∴(a ＋b )·( b －c )＝0，即6－3×(－2－y)＝0，∴y ＝－4，∴M(4，－4)，N(－4,4)．故向量MN ＝(－8,8)，|MN |＝答案：13.【解析】设公差为d,a 7－a 5＝2d ＝4，d ＝2，a 1＝a 11－10d ＝21－20＝1， S k ＝ka 1 +()k k 1d 2- =k+k(k-1)=9,解得：k=3. 答案：314.【解析】不等式组表示的区域是以点(-1,0)，(1,0)，(0,1)为顶点的三角形(及内部)，xy 1+可看作区域内的点与点(0，-1)连线的斜率的倒数.连线的斜率的取值范围是(-∞，-1］∪［1，+∞)，∴xy 1+的取值范围是［-1,1］. 答案：［-1,1］15.【解析】由题意，PO 与PA 的差的绝对值是常数，即圆的半径，所以点P 的轨迹是以O 、A 为焦点，OB 长为实轴长的双曲线. 答案：以O 、A 为焦点，OB 长为实轴长的双曲线 16.【解析】(1)f(x)=2-sin(2x+6π)-2sin 2x =2-(sin2xcos 6π+cos2xsin 6π)-(1-cos2x)12cos2x)=12=cos(2x+3π)+1,所以函数f(x)的最小正周期为π.(2)由f(B2)=1得cos(B+3π)+1=1,即cos(B+3π)=0,又因为0<B<π,所以3π<B+3π<43π,所以B+3π=2π,即B=6π.因为,所以由正弦定理得b c sinB sinC =,得sinC=2，故C=3π或23π，当C=3π时，A=2π,从而a 2=,当C=23π时，A=6π,又B=6π,从而a=b=1,故a 的值为1或2.17.【解析】(1)由已知得：111S ;133==⨯ 2112S ;13355=+=⨯⨯31113S ;1335577=++=⨯⨯⨯411114S .133557799=+++=⨯⨯⨯⨯(2)由(1)可归纳猜想得n nS ,2n 1=+证明：∵()()1111()2n 12n 122n 12n 1=--+-+ ∴()()n 1111S 1335572n 12n 1=+++⋯+⨯⨯⨯-+ =11111111(1)()()232352n 12n 1-+-+⋯+--+２=111111(1)23352n 12n 1-+-+⋯+--+ 1112n n (1).22n 122n 12n 1=-=⨯=+++ 18.【解析】设该食堂每隔x 天购买一次大米，则每次购买x t ，设平均每天所支付的费用为y 元，则(1)y ＝1x ［3 000x ＋100＋2(1＋2＋…＋x)］＝x ＋100x＋3 001≥3 021，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时取等号．故该食堂每隔10天购买一次大米，能使平均每天所支付的费用最少．(2)当x ≥20时y ＝1x［3 000x ·0.95＋100＋2(1＋2＋…＋x)］＝x ＋100x＋2 851，函数y 在［20，＋∞)上为增函数，∴y ≥20＋10020＋2 851＝2 876.而2 876＜3 021，故该食堂可接受粮店的优惠条件．19.【解析】(1)∵f ′(x)=2ax+b=2x-2,∴a=1,b=-2.∴f(x)=x 2-2x,故S n =n 2-2n, 当n ≥2时，a n =S n -S n-1=2n-3,a 1=S 1=-1适合上式，因此a n =2n-3(n ∈N *).(2)由b 1=1,b n+1=b n +a n+2(n ∈N *)得b n+1-b n =a n+2=2n+1(n ∈N *)，故b n =b 1+(b 2-b 1)+(b 3-b 2)+…+(b n -b n-1) =1+3+5+…+(2n-1)=n 2,∴b n =n 2,n ∈N *. (3)由(2)知n 1c 1====<= (n ∈N *,n ≥2) ∴c 1+c 2+…+c 2 011<11)+++…+12451=<⨯-=89.20.【解析】(1)f ′(x)=()()()2a x 1a x 11x x 1+---+ =()()()2222x 12ax x (22a)x 1.x x 1x x 1+-+-+=++因为f(x)在(0,+∞)上为单调增函数，所以f ′(x)≥0在(0，+∞)上恒成立.即x 2+(2-2a)x+1≥0在(0,+∞)上恒成立.当x ∈(0,+∞)时，由x 2+(2-2a)x+1≥0,得2a-2≤x+1x.设g(x)=x+1x,x ∈(0,+∞).g(x)=x+1x≥xx=2. 所以当且仅当x=1x,即x=1时，g(x)有最小值2. 所以2a-2≤2.所以a ≤2.即a 的取值范围为(-∞,2］. (2)构造函数：设h(x)=()2x 1lnx x 1--+.由(1)知h(x)在(1,+∞)上是单调增函数，又m n >1，所以h(m n )>h(1)=0.即ln m n-m2(1)n m 1n-+0>成立.从而ln m n >m 2(1)n m 1n-+.【方法技巧】函数与不等式综合应用问题的解题技巧函数与不等式综合应用题是高考中常见题型，多与单调性结合利用函数单调性证明不等式，本题中先利用导数及单调性转化为恒成立问题，利用参数分离法，及基本不等式求参数的范围，而后利用分析法结合(1)的结论设出函数利用单调性证明，题目立意新颖，考查知识点较多，是很好的一道典型题.21.【解析】(1)由题知f(x)定义域为(0，+∞),当a=32时，f ′(x)=2152x 5x 2x x 22x -++-=，令f ′(x)=0,得x=12或x=2，列表：函数f(x)在x=2处取得极大值f(2)=8-ln2，函数f(x)在x=2处取得极小值f(2)=ln2-1；(2)方法一：f ′(x)=()1x 1a x+-+,x ∈(1,3)时，110x (2,),x3+∈①当1+a ≤2，即a ≤1时，x ∈(1,3)时，f ′(x)>0，函数f(x)在(1,3)上是增函数，∀x ∈(1,3),f(x)>f(1)=0恒成立； ②当1+a ≥103，即a ≥73时，x ∈(1,3)时,f ′(x)<0,函数f(x)在(1，3)上是减函数，∀x ∈(1,3)，f(x)<f(1)=0恒成立，不合题意. ③当2<1+a<103，即1<a<73时，x ∈(1,3)时，f ′(x)先取负，再取零，最后取正，函数f(x)在(1，3)上先递减，再递增，而f(1)=0，∴∀x ∈(1,3), f(x)>f(1)=0不能恒成立；综上，a 的取值范围是a ≤1. 方法二：∵1x x2,xx +≥=∴f ′(x)=x+1x-1-a ≥1-a. ①当a ≤1时，f ′(x)≥1-a ≥0，而f ′(x)=x+1x-1-a 不恒为0，∴函数f(x)在(1，3)上是单调递增函数，∀x ∈(1,3)，f(x)>f(1)=0恒成立；②当a>1时，令f ′(x)=()2x a 1x 1x-++，设x 2-(a+1)x+1=0的两根是x 1,x 2(x 1<x 2)，∵x 1+x 2=a+1>2，x 1x 2=1，∴0<x 1<1<x 2.当x ∈(x 1,x 2)时，f ′(x)<0，f(x)是减函数，∴f(x 1)>f(1)>f(x 2)，而f(1)=0，∴f(x 1)>0>f(x 2)若x 2≤3，∵∀x ∈(1,3)，f(x)>0，∴f(x 2)>f(1)=0，不可能，若x 2>3，函数f(x)在(1,3)上是减函数，f(3)<f(1)=0，也不可能，综上，a的取值范围是a≤1.。

2014高考数学一轮复习精品试题附详解阶段滚动检测(六)(人教A版·理)

阶段滚动检测（六）（第一～十一章）（120分钟 150分）第I 卷(选择题共40分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.(滚动交汇考查)设全集U=R ，集合A={x|2x(x-2)<1},B={x|y=ln(1-x)}，则图中阴影部分表示的集合为( )(A){x|x ≥1} (B){x|x ≤1} (C){x|0<x ≤1} (D){x|1≤x<2} 2.(滚动单独考查)(2012·哈尔滨模拟)已知复数32iz 1i-=+，则z 对应的点所在的象限是 ( )(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限3.(滚动交汇考查)(2012·广州模拟)下列说法错误的是( ) (A)命题：“已知f(x)是R 上的增函数，若a ＋b ≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”的逆否命题为真命题 (B)“x ＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件(C)若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题(D)命题p ：“∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1＜0”，则⌝p ：“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”4.(滚动单独考查)已知()1x23,x 0f x x 4x 3,x 0-⎧≥⎪=⎨++<⎪⎩，则方程f(x)=2的实数根的个数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)35.(滚动单独考查)定义在R 上的偶函数f(x)在［0，＋∞)上单调递减，且f(12)＝0，则满足f(14log x )＜0的x 的集合为( )(A)(－∞，12)∪(2，＋∞) (B)(12，1)∪(1,2) (C)(12，1)∪(2，＋∞) (D)(0，12)∪(2，＋∞) 6.(滚动单独考查)(2012·杭州模拟)一个空间几何体的三视图及其尺寸如下图所示，则该空间几何体的体积是( )(A)73(B)143(C)7 (D)14 7.(滚动单独考查)给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x ＝3π对称．则下列四个函数中，同时具有性质①②的是 ( ) (A)y=sin(x 2＋6π) (B)y ＝sin(2x ＋6π)(C)y=sin|x| (D)y ＝sin(2x －6π)8.(滚动交汇考查)设0<a<2,0<b<1，则双曲线2222x y 1a b－＝的离心率的概率是( )()()()()1111A B C D 5678第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分.请把正确答案填在题中横线上)9.(滚动单独考查)(2012·福州模拟)若过点A(0，-1)的直线l 与曲线x 2+(y-3)2=12有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是_________.10.(滚动单独考查)(2012·合肥模拟)已知OA 1OB 3OA OB 0===，，，点C 在∠AOB 内，且∠AOC=30°，设OC mOA nOB =+ (m,n ∈R)，则mn等于_________.11.(滚动单独考查)已知函数f(x)＝9x -m ·3x +m+1对x ∈(0，+∞)的图象恒在x 轴上方，则m 的取值范围是_____________.12.(滚动单独考查)已知函数f(x)＝3x 2＋2x ＋1，若()11f x d x ⎰－＝2f(a)成立，则a ＝__________.13.(2012·南京模拟)如图是一个算法的程序框图，最后输出的W ＝_________.14.为了了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长(单位：cm).根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图)，那么在这100株树木中，底部周长小于110 cm 的株数是_________.15.下面给出一个“直角三角形数阵”：1411243334816，，，满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i 行第j 列的数为a ij (i ≥j ，i ，j ∈N *)，则a 83＝_________.三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)(滚动交汇考查)(2012·长沙模拟)已知a =(cosx+sinx,sinx),b =(cosx-sinx,2cosx)，设f(x)= a ·b . (1)求函数f(x)的单调增区间；(2)设三角形ABC 的三个角A 、B 、C 所对边分别是a,b,c ，且满足A ,3π==10,求边c. 17.(12分)(滚动单独考查)已知矩形ABCD 与正三角形AED 所在的平面互相垂直，M 、N 分别为棱BE 、AD 的中点，AB=1,AD=2，(1)证明：直线AM ∥平面NEC ； (2)求二面角N —CE —D 的余弦值．18.(12分)(2012·济南模拟)某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响.已知学生小张只选修甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率为0.12，至少选修一门的概率为0.88，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积. (1)求学生小张选修甲的概率；(2)记“函数f(x)=x 2+ξx 为R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率;(3)求ξ的分布列和数学期望.19.(13分)(滚动单独考查)(2012·东城模拟)已知数列{a n }满足a 1=14, a n =()n 1nn 1a 1a 2----(n ≥2,n ∈N).(1)试判断数列{n1a +(-1)n }是否为等比数列，并说明理由; (2)设c n =a n sin ()2n 12-π,数列{c n}的前n 项和为T n.求证：对任意的n∈N *，T n <23.20.(13分)(滚动交汇考查)已知椭圆C 1、抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心和C 2的顶点均为原点O ，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：(1)求C 1、C 2的标准方程；(2)请问是否存在直线l 满足条件：①过C 2的焦点F ；②与C 1交于不同的两点M 、N ，且满足OM ON ⊥？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．21.(13分)(滚动单独考查)已知函数f(x)=e x +2x 2-ax.(1)函数f(x)在区间［0,1］上存在唯一的极值点，求a 的取值范围. (2)若a=3，当x ≥12时，关于x 的不等式f(x)≥52x 2+(b-3)x+1恒成立，试求实数b 的取值范围.答案解析1.【解析】选D.由2x(x －2)＜1得x(x －2)＜0，故集合A ＝{x|0＜x ＜2}，由1－x ＞0得x ＜1，故B ＝{x|x ＜1}，所以A ∩B ＝{x|0＜x ＜1}，所以ðA (A ∩B)＝{x|1≤x ＜2}，即图中阴影部分表示的集合为{x|1≤x ＜2}.2.【解析】选D.()()()()32i 1i 32i 15i 15z i,1i 1i 1i 222----====-++- ∴z 对应的点(1522-，)所在的象限是第四象限. 3.【解析】选C.A 中,∵a+b ≥0,∴a ≥-b. 又函数f(x)是R 上的增函数，∴f(a)≥f(-b),① 同理可得，f(b)≥f(-a)，②由①＋②，得f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，即原命题为真命题.又原命题与其逆否命题是等价命题，∴逆否命题为真.B 中若x>1，则|x|>1成立；若|x|>1，则x>1或x<-1，故B 正确.若p 且q 为假命题，则p 、q 中至少有一个是假命题，所以C 错误.D 正确.4.【解析】选D.令31－x ＝2，∴1－x ＝log 32.∴x ＝1－log 32.又∵log 32<log 33＝1，∴x ＝1－log 32>0.∴这个实根符合题意.令x 2＋4x＋3＝2，则x 2＋4x ＋1＝0.解得两根x 1＝－2，x 2＝－2，x 1和x 2均小于0，符合题意.5.【解题指南】f(x)是偶函数，则有f(x)=f(|x|)，列不等式求解. 【解析】选D.∵函数f(x)为偶函数，且在［0，＋∞)上单调递减，f(12)＝0，∴14log x ＞12或14log x ＜－12，∴0＜x ＜12或x ＞2.6.【解题指南】三视图复原几何体是四棱台，一条侧棱垂直底面，底面是正方形，根据三视图数据，求出几何体的体积.【解析】选B.三视图复原几何体是四棱台，下底面是边长为2的正方形，一条侧棱长为2，并且垂直底面，上底面是正方形，边长为1. 它的体积是：221142(21.33⨯⨯+=故选B. 7.【解题指南】由题知周期易验证，再根据正弦函数与余弦函数在对称轴处取得最值，验证性质②即可. 【解析】选D.∵T ＝2πω＝π，∴ω＝2.对于选项D ，又2×3π－62ππ＝，所以x ＝3π为对称轴．8.【解析】选D.由22c 5a>，即222a b 5a >＋，∴b>2a ，在直角坐标系aOb 内作出符合题意的区域如图中阴影部分所示，则阴影部分的面积为12×1×12＝14，图中矩形的面积为2，∴由几何概型概率公式计算得所求的概率为18.9.【解析】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x=0，符合题意，此时倾斜角为2π，当直线l 的斜率存在时，设过点A(0，-1)的直线l 方程为：y+1=kx,即kx-y-1=0，当直线l 与圆相切时，=k=数形结合，得直线l 的倾斜角的取值范围是［6π,2π)∪(2π,56π］,综上得，直线l 的倾斜角的取值范围是［6π,56π］. 答案：［6π,56π］10.【解析】|OA |=1，OB 3OA OB 0==，，∴OA ⊥OB ，且∠OBA=30°，又∵∠AOC=30°，∴OC AB ⊥， ∴()()mOA nOB OB OA 0,+-= ∴22mOA nOB 0-+=,∴3n-m=0，则m=3n,∴mn=3. 答案：311.【解题指南】令t ＝3x ，转化为关于t 的二次函数的图象恒在t 轴的上方处理.或分离参数m ，利用最值处理恒成立问题.【解析】方法一：令t=3x ,则问题转化为函数f(t)=t 2-mt+m+1对t ∈(1,+∞)的图象恒在t 轴的上方，即Δ=(-m)2-4(m+1)<0或0m121m 1m 0∆≥⎧⎪⎪<⎨⎪-++≥⎪⎩，解得m<2+. 方法二：令t=3x ,问题转化为m<2t 1t 1+-,t ∈(1,+∞)，即m 比函数y=2t 1t 1+-,t∈(1,+∞)的最小值还小，又y=2t 1t 1+-=t-1+2t 1-+2≥22=+所以答案：【方法技巧】不等式恒成立的三种解法(1)转化为求函数的最值.若函数f(x)在区间I 上有最大值和最小值. 则不等式f(x)>a 在区间I 上恒成立⇔f(x)min >a.不等式f(x)≥a 在区间I 上恒成立⇔f(x)min ≥a.不等式f(x)<a 在区间I 上恒成立⇔f(x)max <a.不等式f(x)≤a 在区间I 上恒成立⇔f(x)max ≤a.(2)分离变量——在同一个等式或不等式中，将主元和辅元分离(常用的运算技巧).(3)数形结合——凡是能与六种基本函数联系起来的相关问题，都可考虑该法.12.【解析】1232111(3x 2x 1)dx (x x x)|4 －－＋＋＝＋＋＝，所以2(3a 2＋2a ＋1)＝4，即3a 2＋2a －1＝0，解得a ＝－1或a ＝13. 答案：－1或1313.【解析】第一次：T ＝1，S ＝12－0＝1；第二次：T ＝3，S ＝32－1＝8；第三次：T ＝5，S ＝52－8＝17，此时满足S ≥10.所以W ＝S ＋T ＝17＋5＝22. 答案：2214.【解析】底部周长小于110 cm 的频率: 10×0.01+10×0.02+10×0.04=0.7.∴底部周长小于110 cm 的株数为：100×0.7=70. 答案：7015.【解题指南】先根据第1列成等差数列求出第8行第1个数，再根据第8行成等比数列求出a 83.【解析】由题意知，a 83位于第8行第3列，且第1列的公差等于14，每一行的公比都等于12.由等差数列的通项公式知，第8行第1个数为14＋(8－1)×14＝2，a 83＝2×(12)2＝12. 答案：12 【变式备选】把正整数按下表排列：(1)求200在表中的位置(在第几行第几列)；(2)试求从上到下的第m行，从左至右的第n列上的数( 其中m≥n )；(3)求主对角线上的数列：1、3、7、13、21、…的通项公式 .【解析】把表中的各数按下列方式分组：( 1 )，( 2, 3，4 )，(5, 6，7, 8，9 )，…，(1)由于第n组含有2n-1个数，所以第n组最后一个数是1+3+5+…+(2n-1)=n2.因为不等式n2≥200的最小整数解为n=15 ,这就是说，200在第15组中，由于142=196 ，所以第15组中的第一个数是197，这样200就是第15组中的第4个数，所以200在表中从上至下的第4行，从左至右的第15列上.(2)因为m≥n ，所以第m行上的数从左至右排成的数列是以-1为公差的等差数列，这个数列的首项是第m行的第1个数，即分组数列的第m组最后一个数为1+3+5+…+(2m-1)=m2.即从上至下的第m 行，从左至右的第n列的数为a mn=m2+(n-1)(-1)=m2-n+1.(3)设主对角线上的数列为{a n}，则易知a n为表中从上至下的第n行，从左至右的第n列的数,故a n=a nn=n2+(n-1)(-1)=n2-n+1.16.【解析】(1)∵f(x)=a·b=(cosx+sinx)·(cosx-sinx)+sinx·2cosx =cos2x-sin2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x2(22+cos2x cos sin2x)44).4ππ=+π=+由f(x)递增得-2π+2kπ≤2x+4π≤2π+2kπ,即3k x k,88ππ-+π≤≤+πk∈Z.∴f(x)的单调递增区间是［3k8π-+π,k8π+π］,k∈Z.(2)由f(B)=1⇒sin(2B+4π)=2及0<B<π得B=4π,设a b c k,sinA sinB sinC===510k10k 4.342ππ+=⇒=⇒=所以c=ksinC=4sin(A+B)=4(sin cos cos sin)3434ππππ+=17.【解析】以N为坐标原点，NE，ND所在直线分别为x,y轴，建立空间右手直角坐标系，所以A(0，-1，0)，B(0，-1，1)，D(0，1，0)，N(0，0，0)，E(0，0)，C(0，1，1)，M(2，-12，12). (1)设平面NEC的一个法向量为n=(x,y,1)，因为NC=(0，1，1)，NE，0，0)，所以NCn=y+1=0，NE 3x=n=0；所以n=(0,-1,1)，因为311AM ()22=，，，AM n =0，所以AM ⊥n ，因为AM ⊄平面NEC ，所以直线AM ∥平面NEC.(2)设平面DEC 的一个法向量为m =(1,y,z), 因为DC =(0,0,1),()DE 3,1,0=- , 所以DC z 0,DE 3y 0===-=；m m 所以()=m.cos ,||||-===〈〉n m n m n m 因为二面角N —CE —D 的大小为锐角，所以二面角N —CE —D 18.【解析】(1)设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为x,y,z ；依题意得()()()()()()x 1y 1z 0.08,xy 1z 0.12,11x 1y 1z 0.88,--=⎧⎪-=⎨⎪----=⎩解得x 0.4y 0.6,z 0.5=⎧⎪=⎨⎪=⎩所以学生小张选修甲的概率为0.4.(2)若函数f(x)=x 2+ξx 为R 上的偶函数，则ξ=0， ∴P(A)=P(ξ=0)=xyz+(1-x)(1-y)(1-z)=0.4×0.6×0.5+(1-0.4)(1-0.6)(1-0.5)=0.24,∴事件A 的概率为0.24. (3)依题意知ξ=0，2，则ξ的分布列为∴ξ的数学期望为E(ξ)=0×0.24+2×0.76=1.52. 19.【解析】(1)由已知()n 1n nn 1a a 1a 2--=--得()()nnn 1n n 1n 11a 2121,a a a -----==-- ()()n nn n 112121a a -+-=-- =-2［()n 1n 111a --+-］.又11a -1=3≠0, 故{n1a +(-1)n }为公比为-2的等比数列. (2)由(1)得n1a +(-1)n =3·(-2)n-1，所以n1a =3·(-2)n-1-(-1)n , ()()n n 1n1a ,321-=---()n n 2n 1c a sin2-π=()()()n 1n 1nn 1n 11111,32132321----=-=<+--- 所以n n n 111()21232T 1().132312-<=-<-［］［］20.【解题指南】(1)先设出抛物线方程，代入已知点检验，求出C 2的方程，再利用待定系数法求出椭圆的方程；(2)设直线l 的方程为x-1=my ，再根据OM ON ⊥构造含有m 的方程，最后转化为方程解的问题.【解析】(1)设抛物线C 2:y 2=2px(p ≠0),则有2y 2p x=(x ≠0)，据此验证4个点知(3，-、(4，-4)在抛物线上，易求C 2的标准方程为y 2=4x,设C 1：2222x y 1a b+= (a>b>0),把点(-2,0)，2)代入得： 22241a 211a 2b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得22a 4,b 1⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴C 1的标准方程为2x 4+y 2=1.(2)假设存在这样的直线l ，过抛物线焦点F(1,0)，设直线l 的方程为x-1=my ，两交点坐标为M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)，由22x 1myx y 14-=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x,得 (m 2+4)y 2+2my-3=0, ∴y 1+y 2=22m m 4-+,y 1y 2=23,m 4-+ ① x 1x 2=(1+my 1)(1+my 2)=1+m(y 1+y 2)+m 2y 1y 2, ② 由OM ON,⊥得OM ON 0=，即x 1x 2+y 1y 2=0(*)将①②代入(*)式，得22244m 30,m 4m 4--+=++解得m=±12. 所以假设成立，即存在直线l 满足条件，且l 的方程为y=2x-2或y=-2x+2.21.【解题指南】(1)函数f(x)在区间［0,1］上存在唯一的极值点，即方程f ′(x)=0在区间［0,1］上存在唯一的根；(2)分离参数b ，利用最值处理恒成立.【解析】(1)f ′(x)=e x +4x-a, ∵f ′(0)=1-a,f ′(1)=e+4-a,又∵函数f(x)在区间［0，1］上存在唯一的极值点， ∴f ′(0)·f ′(1)<0, ∴1<a<e+4.(2)由f(x)≥()25x b 3x 12+-+, 得e x +2x 2-3x ≥()25x b 3x 12+-+, 即bx ≤e x -12x 2-1,∵x ≥12,∴b ≤x 21e x 12,x-- 令g(x)= x 21e x 12,x--, 则g ′(x)=()x 221e x 1x 12.x --+ 令φ(x)=e x (x-1)- 12x 2+1,则φ′(x)=x(e x -1).∵x≥12,∴φ′(x)>0,∴φ(x)在［12，+ ∞)上单调递增，∴φ(x)≥φ(12)=70, 8>因此g′(x)>0，故g(x)在［12,+∞)上单调递增，则g(x)≥g(12)=121e198,142--=∴b的取值范围是b≤94.。

2014高考数学一轮复习精品试题附详解阶段滚动检测(四)(人教A版·理)

阶段滚动检测（四）（第一～七章）（120分钟 150分）第I 卷(选择题共40分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.(滚动单独考查)设复数z=1-i,则222zz +等于( ) (A)-1+i (B)1+i (C)-1+2i (D)1+2i2.已知E 、F 、G 、H 是空间内四个点，条件甲：E 、F 、G 、H 四点不共面，条件乙：直线EF 和GH 不相交，则甲是乙成立的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件3.(滚动单独考查)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM=1，点P 在AM 上且满足AP 2PM =，则()PA PB PC +=( )()()()()4444A B C D 9339-- 4.(滚动交汇考查)(2012·辽源模拟)设奇函数f(x)的定义域为R ，最小正周期T=3，若f(1)≥1,f(2)=2a 3a 1-+,则a 的取值范围是( ) (A)a<-1或a ≥23(B)a<-1 (C)-1<a ≤23(D)a ≤235.(2012·哈尔滨模拟)某品牌香水瓶的三视图如图(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )(A)(95-2π) cm 2 (B)(94-2π) cm 2(C)(94+2π) cm 2 (D)(95+2π) cm 26.若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l ，P ∈α，P ∉l ，则下列命题中的假命题为( )(A)过点P 垂直于平面α的直线平行于平面β(B)过点P 在平面α内作垂直于l 的直线必垂直于平面β (C)过点P 垂直于平面β的直线在平面α内 (D)过点P 垂直于直线l 的直线在平面α内7.(2012·广州模拟)过平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB 1D 1平行的直线共有( ) (A)4条 (B)6条 (C)12条 (D)8条8.(滚动单独考查)已知等差数列{a n }满足a 2=3，S n -S n-3=51(n>3)，S n =100，则n 的值为( )(A)8 (B)9 (C)10 (D)11第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分.请把正确答案填在题中横线上)9.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为_________.10.(2012·黄山模拟)已知函数f(x)=cosxsinx(x ∈R),给出下列五个命题：①若f(x 1)=-f(x 2),则x 1=-x 2; ②f(x)的最小正周期是2π;③f(x)在区间［44ππ-，］上是增函数； ④f(x)的图象关于直线x=34π对称； ⑤当x ∈［,63ππ-］时，f(x)的值域为［. 其中正确的命题为______________.11.(2012·西宁模拟)已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积最大(柱体体积=底面积×高)时，其高的值为_________.12.母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于43π，则该圆锥的体积为 ________．13.(滚动单独考查)(2012·安阳模拟)已知点M(x,y)满足x 1x y 102x y 20.≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，，若z=ax+y(a>0)的最小值为3，则a 的值为__________.14.已知m，n是不重合的直线，α，β是不重合的平面，有下列命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若m∥n，m⊥α，则n⊥α；③若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β．其中真命题有__________．(写出所有真命题的序号)15.(滚动单独考查)对于等差数列{a n}有如下命题：“若{a n}是等差数列，a1=0，s,t 是互不相等的正整数，则有(s-1)a t-(t-1)a s=0”.类比此命题，给出等比数列{b n}相应的一个正确命题是____________.三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)(2012·太原模拟)如图甲，在平面四边形ABCD中，已知∠A=45°，∠C=90°，∠ADC=105°，AB=BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC(如图乙)，设点E、F分别为棱AC、AD的中点．(1)求证：DC⊥平面ABC；(2)设CD=a,求三棱锥A-BFE的体积.17.(12分)如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD=DE=2AB ，F 为CD 的中点．(1)求证：AF ∥平面BCE ； (2)求证：平面BCE ⊥平面CDE ；(3)在DE 上是否存在一点P ，使直线BP 和平面BCE 所成的角为30°? 18.(12分)(滚动单独考查)设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n =λa n -1(λ为常数，n=1,2,3,…). (1)若a 3=a 22,求λ的值；(2)是否存在实数λ,使得数列{a n }是等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.(3)当λ=2时，若数列{b n }满足b n+1=a n +b n (n=1,2,3,…),且b 1=32,令c n =()nn na ,a 1b +求数列{c n }的前n 项和T n .19.(13分)(2011·安徽高考)如图，ABEDFC 为多面体，平面ABED 与平面ACFD 垂直，点O 在线段AD 上，OA=1，OD=2，△OAB ，△OAC ，△ODE ，△ODF 都是正三角形.(1)证明直线BC∥EF；(2)求棱锥F-OBED的体积.20.(13分)一个多面体的三视图及直观图如图所示：(1)求异面直线AB1与DD1所成角的余弦值；(2)试在平面ADD1A1中确定一个点F，使得FB1⊥平面BCC1B1；(3)在(2)的条件下，求二面角F―CC1―B的余弦值.21.(13分) (2012·长春模拟)如图所示，正方形AA1D1D与矩形ABCD 所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB的中点.(1)求证：BD1∥平面A1DE；(2)求证：D1E⊥A1D；(3)在线段AB 上是否存在点M ，使二面角D 1-MC-D 的大小为6π?若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由.答案解析1.【解析】选D.()22222211i 1i i 12i.zz 1i i1i +=+=++=++=+--- 2.【解析】选A.点E 、F 、G 、H 四点不共面可以推出直线EF 和GH 不相交；但由直线EF 和GH 不相交不一定能推出E 、F 、G 、H 四点不共面，例如：EF 和GH 平行，这也是直线EF 和GH 不相交的一种情况，但E 、F 、G 、H 四点共面．故甲是乙成立的充分不必要条件．3.【解题指南】根据数量积的定义确定向量的长度和夹角即可. 【解析】选A.214PA (PB PC)PA 2PM 2cos180.339+==⨯⨯⨯︒=- 4.【解析】选C.由条件知f(2)=f(3-1)=f(-1)=-f(1),故2a 31a 1-≤-+,解得-1<a ≤23.5.【解析】选C.由三视图知该几何体上层为底面是边长为3的正方形，高为1的长方体，其表面积为2(3×1+3×3+3×1)=30;中间为底面圆半径为12，高为1的圆柱，其侧面积为2π×12×1=π；底层为底面是边长为4的正方形，高为2的长方体，其表面积为2(4×2+4×4+4×2)=64.故所求几何体的表面积为30+π+64-2×π×(12)2=94+2π. 【误区警示】本题中容易忽视去掉圆柱的两个底面面积. 6.【解题指南】根据线面关系逐一判断即可.【解析】选D.根据面面垂直的性质定理知，选项B 、C 正确．对于A ，由于过点P 垂直于平面α的直线必平行于β内垂直于交线的直线，因此平行于平面β,因此A 正确．7.【解析】选C.如图，P 、E 、F 、H 分别为AD 、AB 、 A 1B 1、A 1D 1的中点，则平面PEFH ∥平面DBB 1D 1，所以四边形PEFH 的任意两顶点的连线都平行于平面DBB 1D 1，共6条，同理在平面DBB 1D 1的另一侧也有6条，共12条． 8.【解析】选C.()()()1n 2n 1n 1n n a a n a a n 3a S 100222--+++====,又S n -S n-3=a n +a n-1+a n-2=3a n-1=51,∴a n-1=17,故n=10.9.【解析】选B.由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，设O 、O 1分别为下、上底面中心，且球心O 2为O 1O 的中点，又AD ，AO a ，OO 2＝a2，设球的半径为R ，则R 2＝AO 22＝222117a a a 3412＋＝.∴S 球＝4πR 2＝22774a a .123π⨯π＝答案：27a 3π10.【解析】f(x)=cosxsinx=12sin2x.①中，若f(x 1)=-f(x 2),即12sin2x 1=()2211sin2x sin 2x ,22-=-则2x 1=-2x 2+2k π(k ∈Z)或2x 1=π+2x 2+2k π(k ∈Z),故①不正确；②中最小正周期为π，故不正确；③中，由x ∈［,44ππ-］时，2x ∈［,22ππ-］,故f(x)为增函数,故③正确；④中，当x=34π时，f(34π)131sin ,222π==-故x=34π为对称轴，故④正确；⑤中，当x ∈［,63ππ-］时，2x ∈［2,33ππ-］,此时()1f x 42-≤≤，故不正确.综上③④正确.答案：③④11.【解题指南】根据正六棱柱和球的对称性，球心O 必然是正六棱柱上下底面中心连线的中点，作出轴截面即可得到正六棱柱的底面边长、高和球的半径的关系，在这个关系下求函数取得最值的条件即可求出所要求的量.【解析】以正六棱柱的最大对角面作截面,如图.设球心为O,正六棱柱的上下底面中心分别为O 1,O 2,则O 是线段O 1O 2的中点.设正六棱柱的底面边长为a,高为2h,则a 2+h 2=9.正六棱柱的体积为2V 6a 2h ,4=⨯⨯即)2V 9h h =-,则)2V 93h '=-,得极值点,不难知道这个极值点是极大值点，也是最大值点.故当正六棱柱的体积最大时，其高为答案：12.【解析】圆锥的侧面展开图中扇形的弧长，即底面圆的周长为44133ππ＝，于是设底面圆的半径为r ，则有42r 3ππ＝，所以r ＝23，于是圆锥的高为h 3＝，故圆锥的体积为V.答案：81π 13.【解析】画出不等式组表示的平面区域如图所示，易知A(3，4)，B(1，0)，当a>0时，由线性规划知，当直线y=-ax+z 过点B(1，0)时，z 有最小值，则 z min =a=3. 答案：314.【解析】①若m ⊂α，n ∥α，则m ，n 不一定平行，假命题； ②若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α，真命题；③若m ⊥α，m ⊂β，则α⊥β，真命题；④若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β，真命题. 答案：②③④15.【解析】从等差数列到等比数列的类比，等差数列中+、-、×、÷类比到等比数列经常是×，÷，( )n0类比1.故若{b n }是等比数列，b 1=1，s 、t 是互不相等的正整数，则s 1t 1s 1t 1t 1s 1t 1s 1b (b q )b (b q )------==1. 答案：若{b n }是等比数列，b 1=1，s 、t 是互不相等的正整数，则有s 1t t 1sb 1b --=16.【解析】(1)在图甲中，∵AB=BD 且∠A=45°,∴∠ADB=45°,∠ABD=90°,即AB ⊥BD ，在图乙中，∵平面ABD ⊥平面BDC ，且平面ABD ∩平面BDC=BD ，∴AB ⊥底面BDC ，∴AB ⊥CD.又∠DCB=90°，∴DC ⊥BC ，且AB ∩BC=B ，∴DC ⊥平面ABC.(2)∵E 、F 分别为AC 、AD 的中点，∴EF ∥CD ，又由(1)知，DC ⊥平面ABC ，∴EF ⊥平面ABC ，∴A B F E F A E B A E B 1V V S FE 3--==在图甲中，∵∠ADC=105°， ∴∠BDC=60°，∠DBC=30°.由CD=a得BD=2a,BC=a,EF=12CD=12a,∴2ABC11SAB BC 2a 22==⨯=，∴2AEB S =，∴23A BFE 11V a a 32212-=⨯⨯=. 17.【解析】设AD=DE=2AB=2a ，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A(0,0,0)，B(0,0,a)，C(2a,0,0)，,0)，,2a)，∵F 为CD 的中点，∴F(32)．(1)AF =(32)，BE = BC (2a,0,a).=-∵()1AF BE BC 2=+，AF ⊄平面BCE ，∴AF ∥平面BCE ．(2)∵3AF (2=， CD (=- ED (0,0,2a).=-∴AF CD 0=， AF ED 0=，∴AF CD AF ED ⊥⊥，．又CD ∩DE=D ，∴AF ⊥平面CDE ，又AF ∥平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE ．(3)存在.设平面BCE 的一个法向量为n =(x,y,z)，由BE 0=n ，BC 0=n 可得：+z=0,2x-z=0,取n=(1,,2)．设存在,ta)满足题意，则()BP t 1a)=- (0≤t ≤2), 设BP和平面BCE所成的角为θ，则a 3a 2a t 1BP 1sin ,2||BP8-+-θ===n n解得：t=3，又∵t ∈［0,2］,故取.∴存在，使直线BP 和平面BCE 所成的角为30°．【变式备选】如图，在四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC 与BD 的交点为O ，E 为侧棱SC 上一点.(1)当E 为侧棱SC 的中点时，求证：SA ∥平面BDE ； (2)求证：平面BDE ⊥平面SAC ；(3)当二面角E-BD-C 的大小为45°时，试判断点E 在SC 上的位置，并说明理由.【解析】(1)连接OE ，由条件可得SA ∥OE.因为SA ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以 SA ∥平面BDE. (2)由题意知SO ⊥平面ABCD ，AC ⊥BD.故建立如图所示的空间直角坐标系.设四棱锥S-ABCD的底面边长为2，则),,0)，,0,0)，,0).所以AC，0，0)，BD=(0，，0).设CE=a(0<a<2)，由已知可求得∠ECO=45°.所以E(22BE(a,a).22=设平面BDE的一个法向量为n=(x,y,z)，则BD0BE0⎧=⎪⎨=⎪⎩nn,即y0,.(022=⎧⎪⎨+=⎪⎩令z=1，得a(,0,1).2a=-n易知()BD0,=-是平面SAC的一个法向量.因为()aBD(0,1)0,22,00,2a=-=-，n所以n⊥BD，所以平面BDE⊥平面SAC.(3)由(2)可知，平面BDE的一个法向量为a(,0,1).2a=-n因为SO⊥底面ABCD，所以OS)是平面BDC的一个法向量.由已知二面角E-BD-C的大小为45°.所以|cos〈OS，n〉|=cos45°=22=，解得a=1.所以点E 是SC 的中点.18.【解析】(1)因为S n =λa n -1,所以a 1=λa 1-1,a 2+a 1=λa 2-1,a 3+a 2+a 1=λa 3-1.由a 1=λa 1-1可知：λ≠1.所以2123231a ,a ,a .1(1)(1)λλ===λ-λ-λ-因为a 3=a 22, 所以2234.(1)(1)λλ=λ-λ-所以λ=0或λ=2. (2)假设存在实数λ，使得数列{a n }是等差数列，则2a 2=a 1+a 3.由(1)可得：22321.(1)1(1)λλ=+λ-λ-λ-所以2232221(1)(1)λλ-λ+=λ-λ-，即1=0,矛盾. 所以不存在实数λ，使得数列{a n }是等差数列. (3)当λ=2时，S n =2a n -1, 所以S n-1=2a n-1-1(n ≥2),且a 1=1. 所以a n =2a n -2a n-1,即a n =2a n-1(n ≥2). 所以a n ≠0(n ∈N *),且nn 1a a -=2(n ≥2). 所以，数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列. ∴a n =2n-1,又b n+1=a n +b n , ∴b n+1-b n =2n-1, ∴b 2-b 1=20 b 3-b 2=2 b 4-b 3=22 ……b n -b n-1=2n-2 各式相加，得b n -b 1=1+2+22+…+2n-2=2n-1-1 ∵b 1=32,∴b n =2n-1+12=n 21,2+ 所以n 1n nn 12c 21(21)2--=++⨯n 1n 1n22.(21)(21)--⨯=++因为n 1n 1n n 1n211(21)(21)2121---=-++++，所以T n =c 1+c 2+…+c n 2n 1n 1111112()22121212121-=-+-+⋯+-+++++n nn 2211.2121-=-=++ 【方法技巧】求数列通项的方法(1)公式法：当已知数列类型时，可利用公式求数列的通项； (2)已知S n 或已知S n 和a n 的关系时，可利用a n =()1n n 1S n 1S -S (n 2)-⎧=⎪⎨≥⎪⎩求通项；(3)已知a n+1=pa n +q(p ≠1,q ≠0)时，可根据构造法，通过构造等比数列求通项；(4)已知a n+1=a n +f(n)时，可通过累加的方法求通项； (5)已知()n 1n a a f n +=时，可利用累乘法求通项.19.【解析】(1)设G 是线段DA 延长线与线段EB 延长线的交点，由于△OAB 与△ODE 都是正三角形，且OA=1，OD=2，所以OB12DE ，OG=OD=2.同理，设G ′是线段DA 延长线与线段FC 延长线的交点，有OC 12DF ，OG ′=OD=2.又由于G 和G ′都在线段DA 的延长线上，所以G 与G ′重合.在△GED 和△GFD 中，由OB12DE 和OC 12DF ，可知B ，C 分别是GE 和GF 的中点，所以BC 是△GEF 的中位线，故BC ∥EF.(2)由OB=1，OE=2，∠EOB=60°，知S △EOB ，而△OED 是边长为2的正三角形，故S △OED S 四边形OBED =S △EOB +S △OED 过点F 作FQ ⊥AD ，交AD 于点Q ，由平面ABED ⊥平面ACFD 知，FQ 就是四棱锥F-OBED 的高，且FQ=，所以F O B E DO BE D13V FQ S .32-==四边形 20.【解析】依题意知，该多面体为底面是正方形的四棱台，且D 1D ⊥底面ABCD.AB=2A 1B 1=2DD 1=2a.以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(2a ，0， 0)，B 1(a ，a ，a)，D 1(0，0，a)，B(2a ，2a ，0)，C(0，2a ，0)，C 1(0，a ，a).(1)∵()1AB a,a,a ,=- ()1DD 0,0,a =，∴211112211AB DD cos AB ,DD AB DD 3aa ===〈〉即异面直线AB 1与DD 1所成角的余弦值为3(2)设F(x ，0，z)，∵1BB =(-a,-a,a),BC =(-2a,0,0)，1FB =(a-x,a,a-z)，由FB 1⊥平面BCC 1B 1得111FB BB 0FB BC 0⎧=⎪⎨=⎪⎩，即()()()2a a x a a a z 02a a x 0⎧---+-=⎪⎨--=⎪⎩，得x az 0=⎧⎨=⎩， ∴F(a,0,0)，即F 为DA 的中点.(3)由(2)知1FB 为平面BCC 1B 1的一个法向量.设n =(x 1,y 1,z 1)为平面FCC 1的一个法向量. ∵1CC =(0,-a,a),FC =(-a,2a,0)，由1n CC 0n FC 0⎧=⎪⎨=⎪⎩，即1111ay az 0ax 2ay 0-+=⎧⎨-+=⎩，令y 1=1得x1=2，z 1=1，∴n =(2,1,1),111n FB cos n,FB |n|FB 6===⨯〈〉即二面角F ―CC 1―B 的余弦值为3【方法技巧】高考中立体几何解答题的常见题型(1)线面平行、垂直的证明.解题时主要利用相关的判定定理进行解题即可，但要注意表达的规范性，即要把相关定理的内容完全表示为符号语言.(2)空间角的求法.一般以二面角的求法为主，解题时可根据所给几何体的特征建立坐标系，利用向量的运算来解题.21.【解析】(1)连接AD1，四边形ADD1A1为正方形，O是AD1的中点，点E为AB的中点，连接OE.∴EO为△ABD1的中位线，∴EO∥BD1，又∵BD1 平面A1DE，OE⊂平面A1DE，∴BD1∥平面A1DE.(2)正方形ADD1A1中，A1D⊥AD1，由已知可得：AB⊥平面ADD1A1，A1D⊂平面ADD1A1∴AB⊥A1D，AB∩AD1=A，∴A1D⊥平面AD1E，D1E ⊂平面AD1E，∴A1D⊥D1E.(3)存在.由题意可得：D1D⊥平面ABCD，以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，C(0，2，0)，A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，设M(1，y0，0)(0≤y0≤2)，∵MC=(-1，2-y0，0)，D C=(0，2,-1)1设平面D 1MC 的法向量为n 1=(x,y,z)则111MC 0D C 0⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 得()0x y 2y 02y z 0-+-=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 取平面D 1MC 的一个法向量10(2y ,12),=-，n 而平面MCD 的一个法向量为2n =(0，0，1),二面角D 1-MC-D 的大小为6π，则12cos|cos ,|6π=〈〉n n 1212||||||=n n n n2==解得：0y 2=-(0≤y 0≤2),当时，二面角D 1-MC-D 的大小为6π.。

2014届高考人教A版数学(理)一轮复习单元训练基本初等函数

基本初等函数(时间：40分钟满分：75分)一、选择题(每小题5分，共50分)1．幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14的值为( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析设f (x )＝x n ，∴f (4)＝12，即4n ＝12，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＝4－n ＝2.答案 B2．(2013·湖南长郡中学一模)设函数f (x )＝⎩⎨⎧(x ＋1)2，x ≤－1，2x ＋2，x >－1，若f (x )>1成立，则实数x 的取值范围是 ( )．A ．(－∞，－2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12 D ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞解析当x ≤－1时，由(x ＋1)2>1，得x <－2，当x >－1时，由2x ＋2>1，得x >－12，故选D. 答案 D3．(2013·银川一模)设函数f (x )是奇函数，并且在R 上为增函数，若0≤θ≤π2时，f (m sin θ)＋f (1－m )>0恒成立，则实数m 的取值范围是( )．A ．(0,1)B ．(－∞，0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12D ．(－∞，1)解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (m sin θ)>－f (1－m )＝f (m －1)．又f (x )在R 上是增函数，∴m sin θ>m －1，即m (1－sin θ)<1.当θ＝π2时，m ∈R ；当0≤θ<π2时，m <11－sin θ.∵0<1－sin θ ≤1，∴11－sin θ≥1.∴m <1.故选D.答案 D4．(2013·济南模拟)已知函数f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 124＝－3，则a 的值为( )．A. 3B ．3C ．9D.32解析 ∵f (log 124)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 214＝f (－2)＝－f (2)＝－a 2＝－3，∴a 2＝3，解得a ＝±3，又a >0，∴a ＝ 3. 答案 A5．(2013·福州质检)已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则( )．A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．b >c >a解析由0.2<0.6,0.4<1，并结合指数函数的图象可知0.40.2>0.40.6，即b >c ；因为a ＝20.2>1，b ＝0.40.2<1，所以a >b .综上，a >b >c . 答案 A6．(2013·广州调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≤0，a x ，x >0，若f (1)＝f (－1)，则实数a 的值等于( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析根据题意，由f (1)＝f (－1)可得a ＝1－(－1)＝2，故选B. 答案 B7．设a >1，且m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a －1)，p ＝log a (2a )，则m ，n ，p 的大小关系为( )．A ．n >m >pB ．m >p >nC ．m >n >pD ．p >m >n解析取a ＝2，则m ＝log 25，n ＝log 21＝0，p ＝log 24，∴m >p >n . 答案 B8．(2013·北京东城区综合练习)设a ＝log 123，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3，c ＝ln π，则 ( )．A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．b <a <c解析 a ＝log 123<log 121＝0,0<b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3<⎝ ⎛⎭⎪⎫130＝1，c ＝ln π>ln e ＝1，故a <b <c .答案 A9．(2013·安徽名校模拟)设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( )．A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2)D ．f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13解析由f (2－x )＝f (x )，得f (1－x )＝f (x ＋1)，即函数f (x )的对称轴为x ＝1，结合图形可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (0)＝f (2)，故选C.答案 C10．设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数：f K (x )＝⎩⎨⎧f (x )，f (x )≤K ，K ，f (x )>K .取函数f (x )＝a －|x |(a >1)．当K ＝1a 时，函数f K (x )在下列区间上单调递减的是( )．A ．(－∞，0)B ．(－a ，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)解析函数f (x )＝a －|x |(a >1)的图象为右图中实线部分，y ＝K ＝1a 的图象为右图中虚线部分，由图象知f K (x )在(1，＋∞)上为减函数，故选D. 答案 D二、填空题(每小题5分，共25分)11．(2012·西安质检)若函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x <3，3x －m ，x ≥3，且f (f (2))>7，则实数m 的取值范围是________．解析 ∵f (2)＝4，∴f (f (2))＝f (4)＝12－m >7，∴m <5. 答案 (－∞，5)12．(2013·福州质检)函数y ＝log 12(3x －a )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞，则a ＝________.解析由3x －a >0，得x >a 3，又因函数y 的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞，所以a 3＝23，a＝2. 答案 213．若f (x )＝1＋lg x ，g (x )＝x 2，那么使2f [g (x )]＝g [f (x )]的x 的值是________．解析 ∵2f [g (x )]＝g [f (x )]，∴2(1＋lg x 2)＝(1＋lg x )2，∴(lg x )2－2lg x －1＝0，∴lg x ＝1±2，x ＝101±2. 答案 101±214．已知函数f (x )＝|log 2x |，正实数m ，n 满足m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，则m ＋n ＝________.解析由已知条件可得m <1<n ，且f (m )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＝f (n )，即1m ＝n ，∴m 2<m <1，函数f (x )在[m 2，n ]上的最大值为f (m 2)＝2f (m )＝2f (n )＝2log 2n ＝2，解得n ＝2，m ＝12，∴m ＋n ＝52. 答案 5215．(2012·杭州高中月考)关于函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0)，有下列命题： ①其图象关于y 轴对称；②当x >0时，f (x )是增函数；当x <0时，f (x )是减函数； ③f (x )的最小值是lg 2；④f (x )在区间(－1,0)，(2，＋∞)上是增函数； ⑤f (x )无最大值，也无最小值．其中所有正确结论的序号是________．解析 f (x )＝lg x 2＋1|x |为偶函数，故①正确；又令u (x )＝x 2＋1|x |，则当x >0时，u (x )＝x ＋1x 在(0,1)上递减，[1，＋∞)上递增，∴②错误，③④正确；⑤错误．答案 ①③④。

(课程标准卷)2014届高考数学一轮复习方案滚动基础训练卷(2)(含解析) 理新人教A版

45分钟滚动基础训练卷(二)(考查X 围：第4讲～第12讲分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2012·某某师大附中] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x ≤0，a x ，x >0.若f (1)＝f (－1)，则实数a的值等于( )A ．1B ．2C ．3D ．42．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －4，x ≤1，x 2－4x ＋3，x >1.函数h (x )＝f (x )－log 2x 零点的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．13．[2012·某某黄冈] 设n ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，2，3，则使得f (x )＝x n为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减的n 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．a 是f (x )＝2x－log 12x 的零点，若0<x 0<a ，则f (x 0)的值满足( )A ．f (x 0)＝0B ．f (x 0)<0C ．f (x 0)>0D ．f (x 0)的符号不确定5．设函数y ＝f (x )是定义在R 上以1为周期的函数，若g (x )＝f (x )－2x 在区间[2，3]上的值域为[－2，6]，则函数g (x )在[－12，12]上的值域为( )A ．[－2，6]B ．[－20，34]C ．[－22，32]D ．[－24，28]6．[2012·某某质检] 定义在(－1，1)上的函数f (x )－f (y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 1－xy ；当x ∈(－1，0)时f (x )>0.若P ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111，Q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，R ＝f (0)，则P ，Q ，R 的大小关系为( ) A ．R >Q >P B ．R >P >Q C ．P >R >Q D ．Q >P >R7．[2012·某某教学质检] 设集合A ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12（x ∈A ），2（1－x ）（x ∈B ），x 0∈A ，且f [f (x 0)]∈A ，则x 0的取值X 围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤14，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，388．[2012·哈三中等四校三模] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋1，x ≤0，ln x ，x >0.则下列关于函数y ＝f [f (x )]＋1的零点个数的判断正确的是( )A ．当k >0时，有3个零点；当k <0时，有2个零点B ．当k >0时，有4个零点；当k <0时，有1个零点C ．无论k 为何值，均有2个零点D ．无论k 为何值，均有4个零点二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．如果实数x 满足方程9x －6·3x－7＝0，则x ＝________．10．已知函数y ＝f (x )为奇函数，若f (3)－f (2)＝1，则f (－2)－f (－3)＝________．11．若函数f (x )＝a x－x －a (a >0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值X 围是________．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．[2012·某某四校联考] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋12x ，x <0，ln （x ＋1），x ≥0，若函数y ＝f (x )－kx有三个零点，某某数k 的取值X 围．13．[2013·某某某某一中月考] 已知函数f (x )＝log 12ax －2x －1(a 为常数)．(1)若常数a <2且a ≠0，求f (x )的定义域；(2)若f (x )在区间(2，4)上是减函数，求a 的取值X 围．14．[2012·某某德化一中模拟] 某公司有价值a 万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，从而提高产品附加值，改造需要投入，假设附加值y (万元)与技术改造投入x (万元)之间的关系满足：①y 与a －x 和x 的乘积成正比；②x ＝a2时，y＝a 2；③0≤x2（a －x ）≤t ，其中t 为常数，且t ∈[0，1]．(1)设y ＝f (x )，求f (x )的表达式，并求y ＝f (x )的定义域； (2)求出附加值y 的最大值，并求出此时的技术改造投入．45分钟滚动基础训练卷(二)1．B [解析] ∵f (1)＝a ，f (－1)＝1－(－1)＝2，∴a ＝2.2．B [解析] 结合函数y ＝f (x )，y ＝log 2x 的图象可知，两个函数图象有三个公共点．3．A [解析] 设n ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，2，3，则使得f (x )＝x n为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减的函数是y ＝x －1.4．B [解析] 函数f (x )＝2x＋log 2x 在(0，＋∞)上是单调递增的，这个函数有零点，这个零点是唯一的，根据函数的单调递增性，在(0，a )上这个函数的函数值小于零，即f (x 0)<0.在定义域上单调的函数如果有零点，则只能有唯一的零点，并且以这个零点为分界点把定义域分成两个区间，在其中一个区间内函数值都大于零，在另一个区间内函数值都小于零．5．B [解析] 由题意可设g (x )min ＝f (a )－2a ＝－2，g (x )max ＝f (b )－2b ＝6，a ，b ∈[2，3]．由周期性可知，x ∈[－12，－11]，a －14∈[－12，－11]，g (x )∈[26，34]，同理x ∈[－11，－10]，a －13∈[－11，－10]，g (x )∈[24，32]，…，x ∈[11，12]，a ＋9∈[11，12]，g (x )∈[－20，－12]，故函数g (x )在[－12，12]上的值域为[－20，34]．6．B [解析] 令x ＝y ＝0，则可得f (0)＝0，令x ＝0，则－f (y )＝f (－y )，即f (x )为奇函数，令1>x >y >0，则x －y 1－xy >0，所以f (x )－f (y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 1－xy <0，即x ∈(0，1)时f (x )递减，又P ＝f 15＋f 111＝f 15－f －111＝f 15＋1111＋15×111＝f 27，因为27<12，所以f 27>f 12，即0>P >Q ，故选B.7．B [解析] x 0∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12⇒x 0＋12∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1，f (x 0)＝x 0＋12， f [f (x 0)]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋12＝(1－2x 0)∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12⇒x 0∈14，12. 8．B [解析] 当k >0时，若f (x )＝－1时，得x ＝－2k 或x ＝1e，故f [f (x )]＝－1时，f (x )＝－2k 或f (x )＝1e .若f (x )＝－2k ，则x ＝－2＋k k 2，或者x ＝e －2k ；若f (x )＝1e ，则x ＝1－e k e ，或者x ＝e 1e .在k >0时，－2＋k k 2＝1－e k e 关于k 无解；e －2k ＝e 1e关于k 无解．所以此时函数y ＝f [f (x )]＋1有四个零点．当k <0时，f (x )＝－1，在x ≤0时无解，在x >0时的解为x ＝1e，所以f [f (x )]＝－1时，只有f (x )＝1e ，此时当x ≤0时，x ＝1－e k e >0，此时无解，当x >0时，解得x ＝e 1e.故在k <0时，函数y ＝f [f (x )]＋1只有一个零点．9．log 37 [解析] (3x )2－6·3x －7＝0⇒3x ＝7或3x＝－1(舍去)，∴x ＝log 37. 10．1 [解析] 由函数y ＝f (x )为奇函数得f (－2)－f (－3)＝f (3)－f (2)＝1.11．(1，＋∞)(或{a |a >1}) [解析] 设函数y 1＝a x(a >0，且a ≠1)和函数y 2＝x ＋a (a >0且a ≠1)，则函数f (x )＝a x －x －a (a >0且a ≠1)有两个零点，就是函数y 1＝a x(a >0，且a ≠1}与函数y 2＝x ＋a 有两个交点，由图象可知当0<a <1时两函数只有一个交点，不符合，当a >1时，因为函数y ＝a x(a >1)的图象过点(0，1)，而直线y ＝x ＋a 所过的点一定在点(0，1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数a 的取值X 围是{a |a >1}．12．解：(1)显然x ＝0是函数y ＝f (x )－kx 的一个零点，当k >0、x 逐渐增大时，y ＝kx 与y ＝ln(x ＋1)的图象在(0，＋∞)内只有一个交点，直线y ＝kx 与曲线y ＝ln(x ＋1)相切，y ′＝1x ＋1在x ＝0时恰好等于1，所以直线y ＝x 与曲线y ＝ln(x ＋1)恰好相切于坐标原点，故只有当0<k <1时，y ＝kx 与y ＝ln(x ＋1)的图象在(0，＋∞)内只有一个交点．(2)由于y ＝－x 2＋12x 中，y ′＝－2x ＋12，当x ＝0时，y ′＝12，即直线y ＝12x 与曲线y ＝－x 2＋12x 在坐标原点相切，结合函数图象可知，只有k >12时，函数y ＝kx 与函数y ＝－x 2＋12x的图象在(－∞，0)内才存在交点．要想使y ＝f (x )－kx 有三个零点，其k 值为上述两个方面k 值的公共部分，故12<k <1.13．解：(1)由ax －2x －1>0，当0<a <2时，解得x <1或x >2a，当a <0时，解得2a<x <1.故当0<a <2时，f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <1或x >2a ；当a <0时，f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2a <x <1.(2)令u ＝ax －2x －1，因为f (x )＝log 12u 为减函数，故要使f (x )在(2，4)上是减函数， u ＝ax －2x －1＝a ＋a －2x －1在(2，4)上为增函数且为正值．故有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，u min >u （2）＝2a －22－1≥0⇒1≤a <2.故a ∈[1，2)．14．解：(1)设y ＝k (a －x )x ，当x ＝a2时，y ＝a 2，可得k ＝4，∴y ＝4(a －x )x .由0≤x2（a －x ）≤t 得⎩⎪⎨⎪⎧x 2（a －x ）≥0，①x2（a －x ）≤t ，②又x ≥0所以由①得a －x >0，即0≤x <a ，所以②可化为x ≤2(a －x )t ，∴x ≤2at1＋2t，因为t ∈[0，1]，所以2at1＋2t<a ，综上可得，函数f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2at 1＋2t ，其中t 为常数，且t ∈[0，1]． (2)y ＝4(a －x )x ＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋a 2. 当2at 1＋2t ≥a 2时，即12≤t ≤1，x ＝a 2时，y max ＝a 2；当2at 1＋2t <a 2，即0≤t <12，y ＝4(a －x )x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2at 1＋2t 上为增函数，∴当x ＝2at 1＋2t 时，y max ＝8a 2t（1＋2t ）2.综上所述，当12≤t ≤1，投入x ＝a 2时，附加值y 最大，为a 2万元；当0≤t <12，投入x ＝2at 1＋2t 时，附加值y 最大，为8a 2t（1＋2t ）2万元．。

山东省2014届高考数学一轮复习试题选编1 集合理新人教A版.pdf

山东省2014届理科数学一轮复习试题选编1：集合一、选择题．（2009高考(山东理)）集合,,若,则的值为（） A．0B．1C．2D．4 【答案】,,∴∴,故选D．答案:D ．（2013山东高考数学（理））已知集合={0,1,2},则集合中元素的个数是1B．3C．5D．9 【答案】C【解析】因为,所以,即,有5个元素,选C．．（山东省临沂市2013届高三第三次模拟考试理科数学）已知集合则B．C．D．【答案】A ．（山东省2013届高三高考模拟卷（一）理科数学）已知集合,集合,则（） A．B． C．D．【答案】D【解析】由题意得集合或,故,又集合,所以. ．（山东省曲阜市2013届高三11月月考数学（理）试题）已知集合,,则下列结论成立的是B．C．D．【答案】D ．（山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知全集,集合,则B．C．D．【答案】D ．（山东省莱芜市第一中学2013届高三12月阶段性测试数学（理）试题）已知集合,则等于（） A．B．C．D．【答案】D．．（山东师大附中2013届级高三12月第三次模拟检测理科数学）若全集为实数集,集合==（） A．B．C．D．【答案】D【解析】, 所以,即,选D．．（山东师大附中2013届高三第四次模拟测试1月理科数学）设全集,则右图中阴影部分表示的集合为（） A．B． C．D．【答案】B【解析】, ,图中阴影部分为集合,所以,所以,选B．．（山东省兖州市2013高三9月入学诊断检测数学(理)试题）设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=AB,则集合中的元素共有（） A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】（） A．．（山东省烟台市莱州一中2013届高三第二次质量检测数学(理)试题）已知全集,集合<2,则（） A．>B．>C．<<D．< 【答案】D【解析】,,所以,所以,选D．．（山东省烟台市2013届高三上学期期中考试数学试题(理科)）已知函数的定义域为,函数的定义域为,则（） A．B．C．D．【答案】A【解析】,故选（） A．．（山东省潍坊市四县一校2013届高三11月期中联考(数学理)）设集合,则（） A．{0,1}B．{-1,0,1}C．{0,1,2}D．{-1,0,1,2} 【答案】A【解析】因为,,所以,选（） A．．（山东省日照市2013届高三12月份阶段训练数学(理)试题）已知集合,则集合等于（） A．B．C．D．【答案】C【解析】,所以,选C．．（山东省德州市乐陵一中2013届高三十月月考数学(理)试题）已知全集,集合,则（） A．B．C．D．【答案】A 【解析】集合,所以,,选（） A．．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）集合,则=B．C．D．【答案】B ,所以,选B．．（山东省临沂市2013届高三5月高考模拟理科数学）集合若,则M∪N=B．C．D．【答案】D 因为,所以,即,所以,即,所以,选D．．（山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试理科数学）集合.则下列关系正确的是B．C．D．【答案】D,,所以,,所以,选D．．（2013年山东临沂市高三教学质量检测考试理科数学）已知集合A={},B={},则=（） A．{-1,0}B．{0,1}C．{0}D．{1} 【答案】B,,所以,选B ．（山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试数学（理）试题）已知全集为{4}B．C．{0,2,4}D．{1,3} 【答案】A,所以,选（） A．．（山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学理试题）若集合M={x∈N*| x<6},N=,则M=（） A．(-∞,-1)B．C．(3,6)D．{4,5} 【答案】D,,所以．（山东省济南市2013届高三3月高考模拟理科数学）已知全集,集合,,则（） A．B．C．D．【答案】C ,,所以,选C．．（山东省潍坊市2013届高三第一次模拟考试理科数学）设集合,集合B为函数的定义域,则B．C．[1,2)D．(1,2] 【答案】D ,由得,即,所以,所以选D．．（山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试理科数学）设全集,集合,,则（） A．B．C．D．【答案】B ,所以,所以,选B．．（山东省滨州市2013届高三第一次（3月）模拟考试数学（理）试题）已知全集,集合,则B．C．D．【答案】B因为,所以,即,选B．．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学）已知为全集,,则B．C．D．【答案】C 因为,所以,选C．．（山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学理）已知集合,集合,则如图所示的韦恩图中阴影部分所表示的集合为B．C．D．【答案】C【解析】,,则阴影部分为,,所以,即阴影部分为,即,选C．．（山东省枣庄市2013届高三4月（二模）模拟考试数学(理)试题）集合,则集合中元素的数为0B．1C．2D．无穷个【答案】C ．（山东省文登市2013届高三3月二轮模拟考试数学（理））已知集合,,若,则所有实数组成的集合是B．C．D．【答案】A ．（山东省莱芜市莱芜十七中2013届高三4月模拟数学（理）试题）已知集合,则等于（） A．B． C．D．【答案】A ．（山东省济南市2013届高三4月巩固性训练数学（理）试题）已知集合,则B．C．D．【答案】C ．（山东省菏泽市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知集合,,且,那么的值可以是 B．C．D．【答案】D ．（山东省凤城高中2013届高三4月模拟检测数学理试题）集合,,则（） A．B．C．D．【答案】A ．（2013届山东省高考压轴卷理科数学）,则（） A．B．C．D．或【答案】A【解析】．（2010年高考（山东理））已知全集U=R,集合M={x||x-1|2},则{x|-1<x<3}B．{x|-1x3}C．{x|x3}D．{x|x-1或x3} 【答案】C【解析】因为集合,全集,所以,故选C．【命题意图】本题考查集合的补集运算,属容易题. 二、解答题．（山东省曲阜市2013届高三11月月考数学（理）试题）,. (1)若,求实数的值;(2)设全集为,若,求实数的取值范围.【答案】:(1)由∴, 由,可得, ∵,∴∴ (2)∵ 又∵,∴ ∴ ．（山东省寿光市2013届高三10月阶段性检测数学（理）试题）已知(Ⅰ)若a=1,求;(Ⅱ)若,求实数a的取值范围.【答案】解:(Ⅰ)当a=1时,∴ (Ⅱ) 且实数a的取值范围是(1,3) ．（山东省潍坊市四县一校2013届高三11月期中联考(数学理)）已知集合,若,求实数的取值范围. 【答案】解:由已知得, 又 ①当即时,集合. 要使成立,只需,解得 ②当即时, ,显然有,所以符合 ③当即时,集合. 要使成立,只需,解得综上所述,所以的取值范围是[-2,2] ．（山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理科数学）已知二次函数,若对任意,恒有成立,不等式的解集为(Ⅰ)求集合;(Ⅱ)设集合,若集合是集合的子集,求的取值范围【答案】解:(Ⅰ)对任意,有要使上式恒成立,所以由是二次函数知故由所以不等式的解集为 (Ⅱ)解得, 解得。

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45分钟滚动基础训练卷(五)(考查范围：第17讲～第24讲，以第21讲～第24讲内容为主分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2013·开封模拟] 设sin π4＋θ＝13，则sin2θ＝( ) A ．－79 B ．－19C.19D.792．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则b a＝( ) A ．2 3 B ．2 2 C. 3 D. 23．若△ABC 的内角A ，B ，C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B ＝( )A.154B.34C.31516D.11164．[2013·长春模拟] 已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255.则cos(α－β)的值为( )A.13B.23C.35D.455．已知sin β＝m sin(2α＋β)，且tan(α＋β)＝3tan α，则实数m 的值为( )A ．2 B.12C ．3 D.136．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，已知b 2＝c (b ＋2c )，若a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积等于( )A.17B.15C.152D ．3 7．已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos2x －1，x ∈R ，若函数h (x )＝f (x ＋α)的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π3，0对称，且α∈(0，π)，则α＝( )A.π3B.π4C.π2D.π68．将函数y ＝sin ωx (ω>0)的图象向左平移π6个单位长度，平移后的部分图象如图G5－1所示，则平移后的图象图G5－1所对应函数的解析式是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4的值为________． 10．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．11．若函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2与函数g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω>0)的图象具有相同的对称中心，则φ＝________．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫12，32，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若a ∥b ，求sin x 和cos2x 的值；(2)若a ·b ＝2cos ⎝⎛⎭⎫12k π＋13π6＋x (k ∈Z )，求tan ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12的值．13．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝a cos C .(1)求角C 的大小；(2)求3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小．14．如图G5－2，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3) n mile 的两个观测点．现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距20 3 n mile 的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 n mile/h ，该救援船到达D 点需要多长时间？图G5－245分钟滚动基础训练卷(五)1．A [解析] 将sin π4＋θ＝13展开得22(cos θ＋sin θ)＝13，两边平方得12(1＋sin2θ)＝19，所以sin2θ＝－79. 2．D [解析] 由正弦定理，得sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B ·(sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A ，所以sin B ＝2sin A ，∴b a ＝sin B sin A＝ 2. 3．D [解析] 依题意，结合正弦定理得6a ＝4b ＝3c ，设3c ＝12k (k >0)，则有a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ；由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝（2k ）2＋（4k ）2－（3k ）22×2k ×4k＝1116. 4．C [解析] ∵|a －b |＝255，∴a 2－2a ·b ＋b 2＝45，又a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，∴a 2＝b 2＝1，a ·b ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)．∴cos(α－β)＝2－452＝35. 5．B [解析] 因为sin β＝m sin(2α＋β)，所以sin[(α＋β)－α]＝m sin[(α＋β)＋α]，即sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝m [sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α]，也即(1－m )sin(α＋β)cos α＝(1＋m )·cos(α＋β)sin α，所以tan （α＋β）tan α＝1＋m 1－m＝3，所以m ＝12. 6．C [解析] ∵b 2＝c (b ＋2c )，∴b 2－bc －2c 2＝0.即(b ＋c )·(b －2c )＝0.∴b ＝2c .又a ＝6，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝78，解得c ＝2，b ＝4.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×2×1－⎝⎛⎭⎫782＝152. 7．C [解析] ∵f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， ∴h (x )＝f (x ＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2α－π3. 因为函数h (x )的图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π3，0， ∴－2π3＋2α－π3＝k π，k ∈Z . ∴α＝（k ＋1）π2.又α∈(0，π)．∴α＝π2.8．C [解析] 将函数y ＝sin ωx (ω>0)的图象向左平移π6个单位长度，平移后的图象所对应的解析式为y ＝sin ω⎝⎛⎭⎫x ＋π6，由图象知，ω⎝⎛⎭⎫7π12＋π6＝3π2，所以ω＝2. 9．－142 [解析] 依题意得sin α－cos α＝12，又(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，即(sin α＋cos α)2＋⎝⎛⎭⎫122＝2，故(sin α＋cos α)2＝74；又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，因此有sin α＋cos α＝72，所以cos2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22（sin α－cos α）＝－2(sin α＋cos α)＝－142. 10．27 [解析] 在△ABC 中，根据AB sin C ＝AC sin B ＝BC sin A ，得AB ＝AC sin B ·sin C ＝332sin C ＝2sin C ，同理BC ＝2sin A ，因此AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin A ＝2sin C ＋4sin ⎝⎛⎭⎫23π－C ＝4sin C ＋23cos C ＝27sin(C ＋φ)⎝⎛⎭⎫tan φ＝32，因此AB ＋2BC 的最大值为27. 11.π3[解析] ∵两函数具有相同的对称中心，则它们的周期相同，∴ω＝2. 函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象可由函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象平移得到，cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫2x －π6＝sin2x ＋π3，∴φ＝π3. 12．解：(1)∵a ∥b ，∴12sin x ＝32cos x . 于是sin x ＝3cos x ，又∵sin 2x ＋cos 2x ＝1，∴cos 2x ＝14，又∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin x ＝1－cos 2x ＝1－14＝32. cos2x ＝2cos 2x －1＝12－1＝－12. (2)∵a·b ＝12cos x ＋32sin x ＝cos π6sin x ＋sin π6cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，而2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋12k π＋13π6＝2cos ⎝⎛⎭⎫2k π＋x ＋π6＋2π＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6(k ∈Z )，于是sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，即tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝2. ∴tan ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π4 ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π6·tan π4＝2＋11－2×1＝－3. 13．解：(1)由正弦定理得sin C sin A ＝sin A cos C .因为0＜A ＜π，所以sin A ＞0，从而sin C ＝cos C .又cos C ≠0，所以tan C ＝1，则C ＝π4. (2)由(1)知，B ＝3π4－A .于是3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝3sin A －cos(π－A ) ＝3sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6. 因为0＜A ＜3π4，所以π6＜A ＋π6＜11π12. 从而当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6取最大值2. 综上所述，3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值为2，此时A ＝π3，B ＝5π12. 14．解：由题意知AB ＝5(3＋3) n mile ，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB 中，由正弦定理得DB sin ∠DAB ＝AB sin ∠ADB ，∴DB ＝AB ·sin ∠DAB sin ∠ADB＝5（3＋3）·sin45°sin105°＝5（3＋3）·sin45°sin45°cos60°＋cos45°sin60° ＝53（3＋1）3＋12＝103(n mile)．又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°， BC ＝203(n mile)，在△DBC 中，由余弦定理得CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC＝300＋1 200－2×103×203×12＝900， ∴CD ＝30(n mile)，则需要的时间t ＝3030＝1(h)．答：救援船到达D 点需要1 h.。