高等几何模拟试题
高等几何试卷及答案
《高等几何》考试试题A 卷(120分钟)一、填空题(2分⨯12=24分)1平行四边形 ;2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为: (5,-1,0)3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -24、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为: 0231=-x x5、方程065222121=+-u u u u 表示的图形坐标 (1,2,0) (1,3,0) 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-=x x x ,则原点的对应点 -317、求点)0,1,1(-关于二阶曲线054753323121232221=+++++x x x x x x x x x 的极线方程063321=++x x x8、ABCD 为平行四边形,过A 引AE 与对角线BD 平行,则),(DE BC A = -19、一点列到自身的两射影变换a):21→,32→,43→; b):10→,32→,01→ 其中为对合的就是: b10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件就是 底的交点自对应12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ,)1,5,2(B ,)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1 二、求二阶曲线的方程,它就是由下列两个射影线束所决定的:130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。
解:射影对应式为'2'10λλλλ-++=。
由两线束的方程有:1233,'x xx x λλ==。
将它们代入射影对应式并化简得,2122313320x x x x x x x +-+=此即为所求二阶曲线的方程。
三、证明:如果两个三点形内接于同一条二次曲线,则它们也同时外切于一条二次曲线。
(10分)证明:三点形ABC 与三点形C B A '''内接于二次曲线(C),设 AB I C B ''=D AB I C A ''=E B A ''I BC=D ' B A ''I AC=E ',则),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''所以,),E ,D ,(B A ∧),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''∧)D ,,,E (''''A B 即),E ,D ,(B A ∧)D ,,,E (''''A B这两个点列对应点的连线AC,B C '',A C '',BC 连同这两个点列的底AB,B A ''属于同一条二级曲线(C '),亦即三点形ABC 与三点形C B A '''的边外切一条二次曲线。
高等考试数学立体几何大题30题
立体几何大题1．如下图，一个等腰直角三角形的硬纸片ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4cm ，CD 是斜边上的高沿CD 把△ABC 折成直二面角．（1）如果你手中只有一把能度量长度的直尺，应该如何确定A ，B 的位置，使二面角A －CD －B 是直二面角？证明你的结论．（2）试在平面ABC 上确定一个P ，使DP 与平面ABC 内任意一条直线都垂直，证明你的结论．（3）如果在折成的三棱锥内有一个小球，求出小球半径的最大值．解：（1）用直尺度量折后的AB 长，若AB ＝4cm ，则二面角A －CD －B 为直二面角．∵ △ABC 是等腰直角三角形，(),cm 22DB AD ==∴又∵ AD ⊥DC ，BD ⊥DC ．∴ ∠ADC 是二面角A －CD －B 的平面角．ABC第1题图ABCD第1题图有时当,cm 4AB ,22DB AD === Θ.90ADB .AB DB AD 222︒=∠∴=+（2）取△ABC 的中心P ，连DP ，则DP 满足条件 ∵ △ABC 为正三角形，且 AD ＝BD ＝CD ．∴ 三棱锥D －ABC 是正三棱锥，由P 为△ABC 的中心，知DP ⊥平面ABC ， ∴ DP 与平面内任意一条直线都垂直．（3）当小球半径最大时，此小球与三棱锥的4个面都相切，设小球球心为0，半径为r ，连结OA ，OB ，OC ，OD ，三棱锥被分为4个小三棱锥，且每个小三棱锥中有一个面上的高都为r ，故有ABC O ABD O ADC O BCD O BCD A V V V V V -----+++=代入得3623r -=，即半径最大的小球半径为3623-．2．如图，已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面边长为3，侧棱长为4，连结A 1B ，过A 作AF ⊥A 1B 垂足为F ，且AF 的延长线交B 1B 于E 。
（Ⅰ）求证：D 1B ⊥平面AEC ； （Ⅱ）求三棱锥B —AEC 的体积； （Ⅲ）求二面角B —AE —C 的大小. 证（Ⅰ）∵ABCD —A 1B 1C 1D 1是正四棱柱，∴D 1D ⊥ABCD .连AC ，又底面ABCD 是正方形， ∴AC ⊥BD ，.由三垂线定理知 D 1B ⊥AC . 同理，D 1B ⊥AE ，AE ∩AC = A ， ∴D 1B ⊥平面AEC .解（Ⅱ）V B －AEC = V E －ABC . ∵EB ⊥平面ABC ，∴EB 的长为E 点到平面ABC 的距离. ∵Rt △ABE ~ Rt △A 1AB ，∴EB =.4912=A A AB∴V B －AEC = V E －ABC =31S △ABC ·EB =31×21×3×3×49=.827 （10分）解（Ⅲ）连CF ，∵CB ⊥平面A 1B 1BA ，又BF ⊥AE ，由三垂线定理知，CF ⊥AE .于是，∠BFC 为二面角B —AE —C 的平面角， 在Rt △ABE 中，BF =59=⋅AE BE BA ， 在Rt △CBF 中，tg ∠BFC =35， ∴∠BFC = arctg 35..即二面角B —AE —C 的大小为arctg 35.3．如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为1，点 M 在BC 上，△AMC 1是以M 为直角顶点的等腰直角三角形.（I ）求证：点M 为BC 的中点； （Ⅱ）求点B 到平面AMC 1的距离；（Ⅲ）求二面角M —AC 1—B 的正切值.答案：（I ）证明：∵△AMC 1是以点M 为直角 顶点的等腰直角三角形， ∴AM ⊥MC 1且AM=MC 1 ∵在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， 有CC 1⊥底面ABC.∴C 1M 在底面内的射影为CM ， 由三垂线逆定理，得AM ⊥CM. ∵底面ABC 是边长为1的正三角形，∴点M 为BC 中点. （II ）解法（一）过点B 作BH ⊥C 1M 交其延长线于H. 由（I ）知AM ⊥C 1M ，AM ⊥CB ， ∴AM ⊥平面C 1CBB 1.∴AM ⊥BH. ∴BH ⊥平面AMC 1. ∴BH 为点B 到平面AMC 1的距离. ∵△BHM ∽△C 1CM.ABCA 1B 1C 1M第3题图AM=C 1M=,23 在Rt △CC 1M 中，可求出CC 1.22 .6623212211=⇒=⇒=∴BH BH M C BM CC BH 解法（二）设点B 到平面AMC 1的距离为h. 则11BMC A AMC B V V --=由（I ）知 AM ⊥C 1M ，AM ⊥CB ， ∴AM ⊥平面C 1CBB 1 ∵AB=1，BM=.22,23,2111===CC MC AM 可求出 AM S h S MB C AMC ⋅=⋅∆∆113131 232221213123232131⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯h 66=h （III ）过点B 作BI ⊥AC 1于I ，连结HI.∵BH ⊥平面C 1AM ，HI 为BI 在平面C 1AM 内的射影. ∴HI ⊥AC 1，∠BIH 为二面角M —AC 1—B 的平面角. 在Rt △BHM 中，,21,66==BM BH ∵△AMC 1为等腰直角三角形，∠AC 1M=45°. ∴△C 1IH 也是等腰直角三角形.由C 1M=.332,63,23122==-=H C BH BM HM 有 ∴.36=HI .21==∠∴HI BH BIH tg 4．如图，已知多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，三角形ACD 是正三角形，且AD=DE=2，AB=1，F 是CD 的中点．（Ⅰ）求证：AF ∥平面BCE ； （Ⅱ）求多面体ABCDE 的体积； （Ⅲ）求二面角C-BE-D 的正切值．证：（Ⅰ）取CE 中点M ，连结FM ，BM ，则有AB DE FM //21//．∴四边形AFMB 是平行四边形． ∴AF//BM ， ∵⊂BM 平面BCE ，⊄AF 平面BCE ，∴AF//平面BCE ．（Ⅱ）由于DE ⊥平面ACD ， 则DE ⊥AF ．又△ACD 是等边三角形，则AF ⊥CD ．而CD ∩DE=D ，因此AF ⊥平面CDE ．又BM//AF ，则BM ⊥平面CDE ．BM AB V V V CDE B ACD B ABCDE ⋅⋅⋅⋅+⋅⋅=+=--22213124331232233233=⋅⋅+=． （Ⅲ）设G 为AD 中点，连结CG ，则CG ⊥AD ． 由DE ⊥平面ACD ，⊂CG 平面ACD ， 则DE ⊥CG ，又AD ∩DE=D ， ∴CG ⊥平面ADEB ．作GH ⊥BE 于H ，连结CH ，则CH ⊥BE ． ∴∠CHG 为二面角C-BE-D 的平面角． 由已知AB=1，DE=AD=2，则3=CG ，∴23122111212)21(21=⨯⨯-⨯⨯-⋅+=∆GBE S ．不难算出5=BE ．∴23521=⋅⋅=∆GH S GBE ，∴53=GH ． ∴315==∠GH CG CHG tg ． 5．已知：ABCD 是矩形，设PA=a ，PA ⊥平面ABCD.M 、N 分别是AB 、PC 的中点.（Ⅰ）求证：MN ⊥AB ；（Ⅱ）若PD=AB ，且平面MND ⊥平面PCD ，求二面角P —CD —A 的大小； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求三棱锥D —AMN 的体积. （Ⅰ）连结AC ，AN. 由BC ⊥AB ，AB 是PB 在底面ABCD 上的射影. 则有BC ⊥PB. 又BN 是Rt △PBC 斜边PC 的中线， 即PC BN 21=. 由PA ⊥底面ABCD ，有PA ⊥AC ，则AN 是Rt △PAC 斜边PC 的中线，即PC AN 21=BN AN =∴又∵M 是AB 的中点，AB MN ⊥∴（也可由三垂线定理证明）（Ⅱ）由PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥DC ，有PD ⊥DC.则∠PDA 为平面PCD 与平面ABCD 所成二面角的平面角由PA=a ，设AD=BC=b ，CD=AB=c ， 又由AB=PD=DC ，N 是PC 中点，则有DN ⊥PC又∵平面MND ⊥平面PCD 于ND ， ∴PC ⊥平面MND ∴PC ⊥MN ，而N 是PC 中点，则必有PM=MC.b ac b c a =∴+=+∴.41412222 此时4,1π=∠=∠PDA PDA tg .即二面角P —CD —A 的大小为4π（Ⅲ）AMD N AMN D V V --=，连结BD 交AC 于O ，连结NO ，则NO 21PA. 且NO ⊥平面AMD ，由PA=a324231a NO S V AMD AMD N =⋅=∴∆-. 6．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 、M 、N 分别为棱DD 1、AB 、BC 的中点。
高考必刷小题 立体几何
11.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是平面ADD1A1的中心，M， N，F分别是B1C1，CC1，AB的中点，则下列说法正确的是 A.MN＝12EF
√B.MN≠12EF √C.MN与EF异面
D.MN与EF平行
1 A.4
dm2
C.
3 4
dm2
√B.
2 4
dm2
D.34 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
根据题意，在平面VAC内，过点P作EF∥AC分别交VA，VC于点F，E， 在平面VBC内，过点E作EQ∥VB交BC于点Q， 在平面VAB内，过点F作FD∥VB交AB于点D，连接DQ，如图所示， 因为EF∥AC， 所以△VEF∽△VCA，设其相似比为k， 则VVAF＝VVCE＝AECF＝k，0<k<1， 因为 VA＝VB＝VC＝1，且两两垂直，所以 AC＝ 2，
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
因为EF⊂平面VAC， 所以FD⊥EF， 所以四边形 FEQD 是矩形，即 S 矩形 FEQD＝
FD·EF＝(1－k)· 2k＝－ 2k－122＋ 42，
所以当
k＝12时，S
矩形 FEQD
有最大值
2 4.
故该截面面积的最大值是
对于A，如图(1)，α∩β＝l，m⊥l，n∥l，则满足m∥α，n∥β，m⊥n， 平面α与β不一定垂直，故A错误； 对于B，如图(2)，α∩β＝l，n∥l，m⊥α，则满足n∥β，m⊥n，平面 α与β不一定垂直，故B错误；
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
高等几何 试卷
嘉应学院成人高等教育《高等几何》试卷一、填空题（2分⨯12=24分）1.平行四边形的仿射对应图形为：。
2.直线0521=+x x 上无穷远点坐标为：。
3.已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l =),(4231l l l l 。
4.过点A(1,i -,2)的实直线的齐次方程为：。
5.方程065222121=+-u u u u 表示的图形坐标。
6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-=x x x ，则原点的对应点。
7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线054753323121232221=+++++x x x x x x x x x 的极线方程。
8、ABCD 为平行四边形，过A 引AE 与对角线BD 平行，则),(DE BC A =。
9、一点列到自身的两射影变换a）：21→，32→，43→；b）：10→，32→，01→其中为对合的是：。
10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数。
11、两个线束点列成透视的充要条件是。
12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ，)1,5,2(B ，)0,2,1(C 的单比)(ABC =。
二、计算、证明题（第1-4题每题10分，第5-7题每题12分，共76分）1、求二阶曲线的方程，它是由下列两个射影线束所决定的：（10分）130x x λ-=与23'0x x λ-=且'2'10λλλλ-++=。
2、证明：如果两个三点形内接于同一条二次曲线，则它们也同时外切于一条二次曲线。
（10分）题号一二三四五六七总分得分评卷人3、已知四直线1l ,2l ,3l ,4l 的方程顺次为12x -2x +3x =0，13x +2x -32x =0,17x -2x =0，15x -3x =0,求证四直线共点，并求（1l 2l ,3l 4l ）的值。
（10分）4、求两对对应元素，其参数为121→，0→2，所确定的对合对合方程。
高等几何_习题集(含答案)
《高等几何》课程习题集一、计算题11. 设点A （3，1，2），B （3，-1，0）的联线与圆x 2+y 2－5x －7y ＋6=0相交于两点C 和D ，求交点C ，D 及交比（AB ，CD ）。
2. 将一维笛氏坐标与射影坐标的关系：,0(1)x x αβλαδγβγδ+=-≠+以齐次坐标表达。
3. 求射影变换11221231234,63,(1)x x x x x x x x x x ρρρ'=-⎧⎪'=-⎨⎪'=--⎩的二重元素。
4. 试求四直线2x －y+1=0,3x+y －2=0, 7x －y=0,5x －1=0顺这次序的交比。
5. 已知线束中的三直线a ，b ，c 求作直线d 使（ab ，cd ）=－1。
6. （i ）求变换：x'=21x x -，y'=21yx -的二重点。
（ii ）设O 为原点，P 为直线x=1上任一点，m'为直线OP 上一点M 的对应点， 求交比（OP ，MM'）；（iii ）从这个交比得出什么结论？解出逆变换式以验证这结论。
7. 设P 1，P 2，P 4三点的坐标为（1，1，1）,（1，－1，1）,（1，0，1）且（P 1P 2, P 3P 4）=2，求点P 3的坐标。
8. 在直线上取笛氏坐标为 2，0，1的三点作为射影坐标系的A 1,A 2, E (i)求此直线上任一点P 的笛氏坐标x 与射影坐标λ的关系；（ii ）问有没有一点，它的两种坐标相等？9. 直线上顺序四点A 、B 、C 、D 相邻两点距离相等，计算这四点形成的六个交比的值。
10. 设点列上以数x 为笛氏坐标的点叫做x ，试求一射影对应，使点列上的三点1,2,3对应于点列上三点0,3,2；11. 从变换式112321233123,,(1)x x x x x x x x x x x x ρρρ'=-++⎧⎪'=-+⎨⎪'=+-⎩求出每一坐标三角形的三边在另一坐标系下的方程 12. 求四点(2，1，－1),(1，－1，1),(1，0，0),(1，5，－5)顺这次序的交比。
高等几何考试卷
1．在仿射变换之下不变的是（ ）A ．线段的长度 B.三角形的面积 C ．梯形的两底的比 D.角度的大小2．射影平面上无穷远直线与普通直线（ ）.A.有一个交点B.没有交点C.有无数个交点D.无法判定 3．直线0423321=++x x x 与021=-x x 的交点为（ ）.A.()5,4,4-B.()1,1,0-C.()2,1,2-D.()1,2,3.4．无穷远点关于二次曲线的极线为二次曲线的（）。
A.切线B.渐近线C.直径D.无切点线5．已知直线上互异的四点A,B,C,D ， 且C,D 在A,B 之内， 则这共线四点的交比值（A ，B ；C ，D ）（ ）。
A. 无穷大B. 小于零C. 等于零D. 大于零6．二次曲线的内接简单六点形BADCFE 的三对对边是（ ） A ．AB 与CD ，EF 与AD ，AC 与BF B. AB 与CF ，AD 与EF ，CD 与BE C ．AB 与EF ，AD 与CF ，CD 与BE D. AB 与DF ，AC 与DE ，AD 与BC一、写出下列命题的对偶命题1. 直线上至少有三点。
2. 射影平面上至少存在四条直线，其中任何三条直线不共点。
3. A 、B 、C 、M 为无任何三点共线的四个点，AM 交BC 于,0A MB 交AC 于,0B CM 交AB 于,0C 连接,00B A ,00C B 00A C 得一个三点形。
二、作图题已知直线ξ到它自身的双型射影的两个二重点v ，w 和一对对应点x ，x '，求作任一点y 的对应点y '.作法：通过v 和w 分别作直线η和ζ，在直线ζ上取适当的点s ，作0()x s x η=⨯⨯，0()s x x ζ''=⨯⨯，再作0()y s y η=⨯⨯，则0()y s y ξ''=⨯⨯，y '即为所求的y 的对应点。
三、 计算题1、求仿射变换式使直线x ＋2y －1＝0上的每个点都不变，且使点（1，-1） 变为（-1，2）。
高三数学精选立体几何多选题综合模拟测评学能测试试题
高三数学精选立体几何多选题综合模拟测评学能测试试题一、立体几何多选题1．在三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆是边长为23的等边三角形，侧棱长为43，则（ ）A ．直线1A C 与直线1BB 之间距离的最大值为3B ．若1A 在底面ABC 上的投影恰为ABC ∆的中心，则直线1AA 与底面所成角为60︒ C ．若三棱柱的侧棱垂直于底面，则异面直线AB 与1A C 所成的角为30D ．若三棱柱的侧棱垂直于底面，则其外接球表面积为64π 【答案】AD 【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求解. 【详解】如图示，以A 为原点，AC 为y 轴正方向，Ax 为x 轴正方向，过A 点垂直于面ABC 的向上方向为z 轴正方向建系，则()()()0,0,0,3,0,0,23,0,A B C 设()()()100010001000,,,3,3,,,23,,A x y z B x y z C x y z ++所以()()()1000100011,23,,,,,3,3,0,AC x y z BB x y z A B =---== 对于A:设n 为直线1A C 与直线1BB 的公垂线的方向向量，则有：11·0·0AC n BB n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即()()0000002300x x y y zz x x y y zz ⎧-+-=⎪⎨++=⎪⎩解得：()00,0n z x =- 设直线1A C 与直线1BB 之间距离为d ，则22011222200009||||z A B nd d x z n x z ===++ 22009x d ≥∴≤，即3d ≤，故A 正确；对于B ：若1A 在底面ABC 上的投影恰为ABC ∆的中心，则()11,3,211A 底面法向量()()10,0,1,1,3,211m AA ==，设直线 1AA 与底面所成角为θ，则：121133sin |cos ,|6143AA n θ===⨯，故B 错误； 对于C ： 三棱柱的侧棱垂直于底面时，则()()()1110,0,43,3,3,43,0,23,43,A B C则()()13,3,0,0,23,43,AB AC ==-设异面直线AB 与1A C 所成的角为θ，则1115cos |cos ,|||||||23215AB AC AB AC AB AC θ====⨯,故C 错误；对于D ：若三棱柱的侧棱垂直于底面时，外接球的球心O 为上下底面中心DD 1连线的中点,所以外接球的半径()222324R =+=，所以2464S R ππ==.故D 正确故选：AD 【点睛】向量法解决立体几何问题的关键： (1)建立合适的坐标系； (2)把要用到的向量正确表示； (3)利用向量法证明或计算.2．如图，直三棱柱11,ABC A B C -，ABC 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，且12AC AA ==，E ，F 分别是AC ，11A C 的中点，D ，M 分别是1AA ，1BB 上的两个动点，则（ ）A ．FM 与BD 一定是异面直线B ．三棱锥D MEF -的体积为定值14C ．直线11B C 与BD 所成角为2π D ．若D 为1AA 中点，则四棱锥1D BB FE -55【答案】CD 【分析】A 当特殊情况M 与B 重合有FM 与BD 相交且共面；B 根据线面垂直、面面垂直判定可证面1BEFB ⊥面11ACC A ，可知EMFS、D 到面1BEFB 的距离，可求D EMF V -；C 根据线面垂直的判定及性质即可确定11B C 与BD 所成角；D 由面面垂直、勾股、矩形性质等确定外接球半径，进而求体积，即可判断各项的正误. 【详解】A ：当M 与B 重合时，FM 与BD 相交且共面，错误； B ：由题意知：BE AC ⊥，AC EF ⊥且BEEF E =，则AC ⊥面1BEFB ，又AC ⊂面11ACC A ，面1BEFB ⋂面11ACC A EF =，所以面1BEFB ⊥面11ACC A ，又1121122EMFSEF BE =⋅⋅=⨯⨯=，D 到面1BEFB 的距离为1h =，所以1133D EMF EMFV h S-=⋅⋅=，错误； C ：由AB BC ⊥，1BC B B ⊥，1B BAB B =，所以BC ⊥面11ABB A ，又11//BC B C ，即11B C ⊥面11ABB A ，而BD ⊂面11ABB A ，则11BD B C ⊥，正确；D ：由B 中，面1BEFB ⊥面11ACC A ，即面DEF ⊥面1BEFB ，则D 到面1BEFB 的距离为1h =，又D 为1AA 中点，若1,BF EB 交点为O ，G 为EF 中点，连接,,OG GD OD ，则OG GD ⊥，故2252OD OG GD =+=，由矩形的性质知：15OB OE OF OB ====令四棱锥1D BB FE -的外接球半径为R ，则52R =，所以四棱锥1D BB FE -的外接球体积为35435V R ππ==，正确. 故选：CD. 【点睛】关键点点睛：利用线面、面面关系确定几何体的高，结合棱锥体积公式求体积，根据线面垂直、勾股定理及矩形性质确定外接球半径，结合球体体积公式求体积.3．如图，矩形ABCD 中，M 为BC 的中点，将ABM 沿直线AM 翻折成1AB M ，连结1B D ，N 为1B D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（ ）A ．存在某个位置，使得1CN AB ⊥ B ．翻折过程中，CN 的长是定值C ．若AB BM =，则1AM BD ⊥D ．若1AB BM ==，当三棱锥1B AMD -的体积最大时，三棱锥1B AMD -外接球的体积是43π 【答案】BD 【分析】对于A ，取AD 中点E ，连接EC 交MD 与F ，可得到EN NF ⊥，又EN CN ⊥，且三线,,NE NF NC 共面共点，不可能；对于B ，可得由1NEC MAB ∠=∠（定值），112NE AB =（定值），AM EC =（定值），由余弦定理可得NC 是定值．对于C ，取AM 中点O ，连接1,B O DO ，假设1AM B D ⊥，易得AM ⊥面1ODB ，即可得OD AM ⊥，从而AD MD =，显然不一定成立．对于D ，当平面B 1AM ⊥平面AMD 时，三棱锥B 1﹣AMD 的体积最大，可得球半径为1，体积是43π． 【详解】对于A 选项：如图1，取AD 中点E ，连接EC 交MD 与F ， 则11////NE AB NF MB ，，又11AB MB ⊥，所以EN NF ⊥， 如果1CN AB ⊥，可得EN CN ⊥，且三线,,NE NF NC 共面共点， 不可能，故A 选项不正确；对于B 选项：如图1，由A 选项可得1AMB EFN ≈△△，故1NEC MAB ∠=∠（定值），112NE AB =（定值），AM EC =（定值）， 故在NEC 中，由余弦定理得222cos CN CE NE NE CE NEC =+-⋅⋅∠，整理得222212422AB AB AB CN AM AM BC AB AM =+-⋅⋅=+ 故CN 为定值，故B 选项正确．对于C 选项：如图，取AM 中点O ，连接1,B O DO ， 由AB BM =，得1B O AM ⊥，假设1AM B D ⊥，111B D B O B =，所以AM ⊥面1ODB ，所以OD AM ⊥，从而AD MD =，显然不恒成立，所以假设不成立，可得C 选项不正确．对于D 选项：由题易知当平面1AB M 与平面AMD 垂直时，三棱锥1B AMD -的体积最大，此时1B O ⊥平面AMD ，则1B O OE ⊥，由1AB BM ==，易求得12BO =2DM =22221122122B E OB OE ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此1EB EA ED EM ===，E 为三棱锥1B AMD -的外接球球心，此外接球半径为1，体积是43π．故D 选项正确． 故答案为：BD ． 【点睛】本题主要考查了线面、面面平行与垂直的判定和性质定理，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于难题.本题C 选项的解题的关键在于采用反证法证明，进而推出矛盾解题，D 选项求解的关键在于把握平面1AB M 与平面AMD 垂直时，三棱锥1B AMD -的体积最大.4．已知四面体ABCD 的所有棱长均为2，则下列结论正确的是（ ） A ．异面直线AC 与BD 所成角为60︒ B ．点A 到平面BCD 的距离为263C ．四面体ABCD 6πD ．动点P 在平面BCD 上，且AP 与AC 所成角为60︒，则点P 的轨迹是椭圆 【答案】BC 【分析】在正四面体中通过线面垂直可证得AC ⊥BD ，通过计算可验证BC,通过轨迹法可求得P的轨迹为双曲线方程即可得D 错误. 【详解】取BD 中点E ,连接,AE CE ,可得BD ⊥面ACE ,则AC ⊥BD ,故A 错误；在四面体ABCD 中，过点A 作AF ⊥面BCD 于点F ,则F 为为底面正三角形BCD 的重心，因为所有棱长均为2,22263AF AB BF =-=,即点A 到平面BCD 的距离为263,故B 正确；设O 为正四面体的中心则OF 为内切球的半径，OA 我外接球的半径， 因为11433A BCD BCD BCD V S AF S OF -=⋅=⨯⋅△△，所以4AF OF =，即62=66OF AO =，, 所以四面体ABCD 的外接球体积3344633V R OA πππ===,故C 正确； 建系如图：26230,0,,0,,0A C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,设(,,0)P x y ，则262326,,0,,333AP x y AC →→⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为cos 60AP AC AP AC →→→→⋅=，所以22232481224193972y x y +=++⨯+⨯， 即222388=33y x y +++，平方化简可得：2232340039y x y ----，可知点P 的轨迹为双曲线,故D 错误. 故选：BC ．【点睛】方法点睛：立体几何中动点轨迹的求解问题，解决此类问题可采用空间向量法，利用空间向量法表示出已知的角度或距离的等量关系，从而得到轨迹方程.5．正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 在侧面11CDD C 上运动，且满足1//B F 平面1A BE .以下命题正确的有（ ）A ．侧面11CDD C 上存在点F ，使得11B F CD ⊥ B ．直线1B F 与直线BC 所成角可能为30︒C ．平面1A BE 与平面11CDD C 所成锐二面角的正切值为2D ．设正方体棱长为1，则过点E ，F ，A 5 【答案】AC 【分析】取11C D 中点M ，1CC 中点N ，连接11,,B M B N MN ，易证得平面1//B MN 平面1A BE ，可得点F 的运动轨迹为线段MN ．取MN 的中点F ，根据等腰三角形的性质得1B F MN ⊥，即有11B F CD ⊥，A 正确；当点F 与点M 或点N 重合时，直线1B F 与直线BC 所成角最大，可判断B 错误；根据平面1//B MN 平面1A BE ，11B FC ∠即为平面1B MN 与平面11CDD C 所成的锐二面角，计算可知C 正确；【详解】取11C D 中点M ，1CC 中点N ，连接11,,B M B N MN ，则易证得11//B N A E ，1//MN A B ，从而平面1//B MN 平面1A BE ，所以点F 的运动轨迹为线段MN ．取MN 的中点F ，因为1B MN △是等腰三角形，所以1B F MN ⊥，又因为1//MN CD ，所以11B F CD ⊥，故A 正确；设正方体的棱长为a ，当点F 与点M 或点N 重合时，直线1B F 与直线BC 所成角最大，此时11tan C B F ∠=1tan 3023︒<=，所以B 错误； 平面1//B MN 平面1A BE ，取F 为MN 的中点，则1MN C F ⊥，1MN B F ⊥，∴11B FC ∠即为平面1B MN 与平面11CDD C 所成的锐二面角，11111tan B C B FC C F ∠==22，所以C 正确；因为当F 为1C E 与MN 的交点时，截面为菱形1AGC E （G 为1BB 的交点），面积为62，故D 错误. 故选：AC.【点睛】本题主要考查线面角，二面角，截面面积的求解，空间几何中的轨迹问题，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，综合性较强，属于较难题．6．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点O 为11A D 的中点，若以O 6为半径的球面与正方体1111ABCD A B C D -的棱有四个交点E ，F ，G ，H ，则下列结论正确的是（ ）A ．11//A D 平面EFGHB ．1AC ⊥平面EFGHC ．11A B 与平面EFGH 所成的角的大小为45°D ．平面EFGH 将正方体1111ABCD A B C D -分成两部分的体积的比为1:7 【答案】ACD 【分析】如图，计算可得,,,E F G H 分别为所在棱的中点，利用空间中点线面的位置关系的判断方法可判断A 、B 的正确与否，计算出直线AB 与平面EFGH 所成的角为45︒后可得C 正确，而几何体BHE CGF -为三棱柱，利用公式可求其体积，从而可判断D 正确与否. 【详解】如图，连接OA ，则2115OA AA =+=，故棱1111,,,A A A D D D AD 与球面没有交点.同理，棱111111,,A B B C C D 与球面没有交点. 因为棱11A D 与棱BC 之间的距离为26>BC 与球面没有交点.因为正方体的棱长为2，而26<球面与正方体1111ABCD A B C D -的棱有四个交点E ，F ，G ，H ， 所以棱11,,,AB CD C C B B 与球面各有一个交点， 如图各记为,,,E F G H .因为OAE △为直角三角形，故22651AE OE OA -=-=，故E 为棱AB 的中点. 同理,,F G H 分别为棱11,,CD C C B B 的中点.由正方形ABCD 、,E F 为所在棱的中点可得//EF BC ， 同理//GH BC ，故//EF GH ，故,,,E F G H 共面. 由正方体1111ABCD A B C D -可得11//A D BC ，故11//A D EF因为11A D ⊄平面EFGH ，EF ⊂平面EFGH ，故11//A D 平面EFGH ，故A 正确. 因为在直角三角1BA C 中，122A B =2BC = ，190A BC ∠=︒， 1A C 与BC 不垂直，故1A C 与GH 不垂直，故1A C ⊥平面EFGH 不成立，故B 错误.由正方体1111ABCD A B C D -可得BC ⊥平面11AA B B ，而1A B ⊂平面11AA B B ， 所以1BC A B ⊥，所以1EF A B ⊥在正方形11AA B B 中，因为,E H 分别为1,AB BB 的中点，故1EH A B ⊥， 因为EFEH E =，故1A B ⊥平面EFGH ，所以BEH ∠为直线AB 与平面EFGH 所成的角，而45BEH ∠=︒， 故直线AB 与平面EFGH 所成的角为45︒，因为11//AB A B ，故11A B 与平面EFGH 所成的角的大小为45°.故C 正确. 因为,,,E F G H 分别为所在棱的中点，故几何体BHE CGF -为三棱柱， 其体积为111212⨯⨯⨯=，而正方体的体积为8，故平面EFGH 将正方体1111ABCD A B C D -分成两部分的体积的比为1:7，故D 正确. 故选：ACD.【点睛】本题考查空间中线面位置的判断、空间角的计算和体积的计算，注意根据球的半径确定哪些棱与球面有交点，本题属于中档题.7．已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，如图，M 为1CC 上的动点，AM ⊥平面α.下面说法正确的是（）A ．直线AB 与平面α所成角的正弦值范围为3232⎣⎦B ．点M 与点1C 重合时，平面α截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大 C ．点M 为1CC 的中点时，若平面α经过点B ，则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形D ．已知N 为1DD 中点，当AM MN +的和最小时，M 为1CC 的中点【答案】AC【分析】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，利用空间向量法可判断A 选项的正误；证明出1AC ⊥平面1A BD ，分别取棱11A D 、11A B 、1BB 、BC 、CD 、1DD 的中点E 、F 、Q 、N 、G 、H ，比较1A BD 和六边形EFQNGH 的周长和面积的大小，可判断B 选项的正误；利用空间向量法找出平面α与棱11A D 、11A B 的交点E 、F ，判断四边形BDEF 的形状可判断C 选项的正误；将矩形11ACC A 与矩形11CC D D 延展为一个平面，利用A 、M 、N 三点共线得知AM MN +最短，利用平行线分线段成比例定理求得MC ，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则点()2,0,0A 、()2,2,0B 、设点()()0,2,02M a a ≤≤，AM ⊥平面α，则AM 为平面α的一个法向量，且()2,2,AM a =-，()0,2,0AB =，2232cos ,,32288AB AM AB AM AB AM a a ⋅<>===⎢⋅⨯++⎣⎦， 所以，直线AB 与平面α所成角的正弦值范围为322⎣⎦，A 选项正确； 对于B 选项，当M 与1CC 重合时，连接1A D 、BD 、1A B 、AC ，在正方体1111ABCD A B C D -中，1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，1BD CC ∴⊥，四边形ABCD 是正方形，则BD AC ⊥，1CC AC C =，BD ∴⊥平面1ACC ， 1AC ⊂平面1ACC ，1AC BD ∴⊥，同理可证11AC A D ⊥，1A D BD D ⋂=，1AC ∴⊥平面1A BD ，易知1A BD 是边长为22(1232223A BD S ==△为22362=.设E 、F 、Q 、N 、G 、H 分别为棱11A D 、11A B 、1BB 、BC 、CD 、1DD 的中点，易知六边形EFQNGH 是边长为2的正六边形，且平面//EFQNGH 平面1A BD ， 正六边形EFQNGH 的周长为62，面积为()236233⨯⨯=，则1A BD 的面积小于正六边形EFQNGH 的面积，它们的周长相等，B 选项错误； 对于C 选项，设平面α交棱11A D 于点(),0,2E b ，点()0,2,1M ，()2,2,1AM =-，AM ⊥平面α，DE ⊂平面α，AM DE ∴⊥，即220AM DE b ⋅=-+=，得1b =，()1,0,2E ∴，所以，点E 为棱11A D 的中点，同理可知，点F 为棱11A B 的中点，则()2,1,2F ，()1,1,0EF =，而()2,2,0DB =，12EF DB ∴=，//EF DB ∴且EF DB ≠， 由空间中两点间的距离公式可得2222015DE =++=()()()2222212205BF =-+-+-=，DE BF ∴=，所以，四边形BDEF 为等腰梯形，C 选项正确；对于D 选项，将矩形11ACC A 与矩形11CC D D 延展为一个平面，如下图所示：若AM MN +最短，则A 、M 、N 三点共线，11//CC DD ，2222222MC AC DN AD ∴===+， 11222MC CC =≠，所以，点M 不是棱1CC 的中点，D 选项错误. 故选：AC.【点睛】本题考查线面角正弦值的取值范围，同时也考查了平面截正方体的截面问题以及折线段长的最小值问题，考查空间想象能力与计算能力，属于难题.8．已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -，过对角线1BD 作平面α交棱1AA 于点E ，交棱1CC 于点F ，以下结论正确的是（ ）A ．四边形1BFD E 不一定是平行四边形B ．平面α分正方体所得两部分的体积相等C ．平面α与平面1DBB 不可能垂直D ．四边形1BFDE 2【答案】BD【分析】由平行平面的性质可判断A 错误;利用正方体的对称性可判断B 正确;当E ､F 为棱中点时,通过线面垂直可得面面垂直,可判断C 错误;当E 与A 重合,F 与1C 重合时,四边形1BFD E 的面积最大,2,可判断D 正确.【详解】如图所示,对于选项A,因为平面1111//ABB A CC D D ,平面1BFD E平面11ABB A BE =,平面1BFD E 平面111CC D D D F =, 所以1//BE D F ,同理可证1//D E BF ,所以四边形1BFD E 是平行四边形,故A 错误;对于选项B,由正方体的对称性可知,平面α分正方体所得两部分的体积相等,故B 正确; 对于选项C,在正方体1111ABCD A B C D -中,有1,AC BD AC BB ⊥⊥,又1BD BB B ⋂=,所以AC ⊥平面1BB D ,当E ､F 分别为棱11,AA CC 的中点时,有//AC EF ,则EF ⊥平面1BB D ,又因为EF ⊂平面1BFD E ,所以平面1BFD E ⊥平面1BB D ,故C 错误;对于选项D,四边形1BFD E 在平面ABCD 内的投影是正方形ABCD ,当E 与A 重合,F 与1C 重合时,四边形1BFD E 的面积有最大值, 此时1212S D E BE =⋅=,故D 正确;故选:BD.【点睛】本题考查了正方体的几何性质与应用问题,也考查了点线面的位置关系应用问题,属于中档题.。
高等几何试题
高等几何试题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.菱形的仿射对应图形是( ) A.菱形 B.平行四边形 C.矩形 D.正方形 2.在拓广平面上，直线2x -y +1=0上的无穷远点的齐次坐标为( )A.(1,2,0)B.(2,1,0)C.(1,-2,0)D.(2,-1,0)3.仿射几何的基本不变量是( ) A.简比 B.交比 C.距离 D.角度4.两个一维基本形F 与F ′的任意四对对应元素的交比相等是F ∧F ′的( )A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5.二次曲线按射影分类总共可分为( )A.4类B.5类C.6类D.7类 二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6.仿射变换将正方形变为____________.7.经过A(-3，2，2)，B(3，1，-1)两点的直线方程是____________. 8.两射影点列成透视的充要条件是____________.9.在仿射平面上，若无穷远直线关于二次曲线Г的极点为有限点，则此点叫做Г的____________.10.常态无心二次曲线是____________.三、计算题(本大题共6小题，每小题6分，共36分) 11.求仿射变换⎩⎨⎧-=+-=y x y y x x 24'43'的自对应点和自对应直线.12.求直线(1-i ,2+i ,3i )上的实点.13.求对合方程,两对对应点的参数各为2与2,1与4,并确定该对合所属类型. 14.求一射影变换,它使点(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1)分别变为(0,0,1),(0,1,1),(1,0,1),使直线(1,1,1)变为直线(0,0,1).15.求点(1,-1,0)关于二阶曲线054753323121232221=+++++x x x x x x x x x 的极线.16.求二次曲线xy +x +y =0的渐近线方程.四、作图题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)（写出作法）17.给定共线四点A ，B ，C ，D,共线三点A ′,B ′,D ′求作点C ′,使得(A,B,C,D)∧ (A ′,B ′,C ′,D ′).题17图18.已知椭圆及其外一点P,求作它的两条切线.题18图五、证明题(本大题共3小题，第19小题和第20小题各10分，第21小题8分，共28分)19.设三角形ABC 的顶点A,B,C 分别在共点的三直线α,β,γ上移动,且直线AB 和BC 分别通过定点P 和Q,求证CA 也通过PQ 上的一个定点.20.证明巴卜斯定理：设A 1,B 1,C 1三点在一直线上,A 2,B 2,C 2三点在另一直线上,B 1C 2与B 2C 1的交点为L,C 1A 2与C 2A 1的交点为M,A 1B 2与A 2B 1的交点为N,证明:L,M,N 三点共线.21.设三点形ABC 三边BC,CA,AB 分别与二阶曲线切于P,Q,R ，QR 与BC 交于点X ，求证(BC,XP)=-1.题21图。
高中几何体试题及答案大全
高中几何体试题及答案大全试题一：直线与平面的关系题目：在空间直角坐标系中，直线l过点A(1, 2, 3)且与向量(2, -1, 0)平行。
求证：直线l与平面x - 2y + z = 6平行。
答案：首先，直线l的参数方程可以表示为：\[ x = 1 + 2t, \quad y = 2 - t, \quad z = 3 \]其中\( t \)为参数。
接下来，将直线l的参数方程代入平面方程x - 2y + z = 6，得到：\[ (1 + 2t) - 2(2 - t) + 3 = 6 \]\[ 1 + 2t - 4 + 2t + 3 = 6 \]\[ 4t = 6 \]\[ t = \frac{3}{2} \]由于直线l的参数方程中，参数\( t \)可以取任意实数，而代入平面方程后，\( t \)有唯一解，这表明直线l与平面x - 2y + z = 6平行。
试题二：立体几何体积计算题目：一个正方体的边长为a，求其外接球的体积。
答案：正方体的外接球的直径等于正方体的对角线长度，即：\[ 2R = a\sqrt{3} \]其中\( R \)为外接球的半径。
由此可得外接球的半径为：\[ R = \frac{a\sqrt{3}}{2} \]球的体积公式为：\[ V = \frac{4}{3}\pi R^3 \]代入\( R \)的值，得到正方体外接球的体积为：\[ V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^3 =\frac{\pi a^3\sqrt{3}}{2} \]试题三：圆锥曲线问题题目：已知椭圆的方程为\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =1 \)，其中a > b > 0。
求椭圆的焦点坐标。
答案：椭圆的焦点位于主轴上，根据椭圆的性质，焦点到椭圆中心的距离为c，满足以下关系：\[ c^2 = a^2 - b^2 \]假设焦点位于x轴上，焦点的坐标为\( (c, 0) \)和\( (-c, 0) \)。
立体几何大题训练—— 高三数学一轮复习
因为 ， ，所 ，
故 ， ，从而 ．
以点 为原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系 如图所示，
则 、 、 、 ，
， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，解得 ，令 ，得 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，解得 ，令 ，得 ，
（1）证明： ；
（2）求直线 与平面 所成角的余弦值.
4(2021·全国乙卷理科) 如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面ABCD， ，M为BC中点，且 ．
求BC；
求二面角 的正弦值．
5(2020全国乙卷理科)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径， 是底面的内接正三角形，P为DO上一点， ．
所以 ，
由图可知，二面角 为锐角，所以二面角 的余弦值为
2.解：（1）因为 底面 ，所以 ，又 ，
所以 ，又 ， 为平面 内的两条相交直线，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ；
（2）解法一由（1）可知， 为二面角 的平面角，所以 ，
又 ， ， ，所以 ，
过点 作 于 ，则 平面 且 为 中点，连接 ，
6.（2021泰安一模19）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AB＝2AD＝2，PA⊥平面ABCD，E为PD中点．
（1）若PA＝1，求证：AE⊥平面PCD；
（2）当直线PC与平面ACE所成角最大时，求三棱锥E﹣ABC的体积．
二，高考实战。
1.（2021全国甲卷理科19）已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ，E，F分别为 和 的中点，D为棱 上的点．
则有 ，即 ，
令 ，则 ，故 ，
所以 ，
高等几何试题及答案
试卷类型： A高等几何使用专业年级 考试方式：开卷（ ）闭卷（ √ ） 共 6 页题号 一 二 三 四 五 六 合计 得分一、 填空题（每小题4 分，共 20 分） 1、设 P 1 (1)， 2P (-1)， 3P ( )为共线三点，则 ( 1P 2P 3P ) 。
2、写出德萨格定理的对偶命题：。
3、若共点四直线 a,b,c,d 的交比为(ab,cd)=-1，则交比(ad,bc)=______。
4、平面上 4 个变换群，射影群，仿射群，相似群，正交群的大小关系为：。
5、二次曲线的点坐标方程为 4xx x 2 0，则其线坐标方程为是 。
二、 选择题 （每小题 2 分，共 10 分）1.下列哪个图形是仿射不变图形？ ( )A.圆B.直角三角形C.矩形D.平行四边形2. u 12 2u 1u 2 8u 22表示( ) A.以-1/4 为方向的无穷远点和以 1/2 为方向的无穷远点名姓 号学 班 业专 系1 3 2┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ 线┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ 封┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ 密┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉B. 以-4 为方向的无穷远点和以 2 为方向的无穷远点C. 以4 为方向的无穷远点和以-2 为方向的无穷远点D. 以 1/4 为方向的无穷远点和以-1/2 为方向的无穷远点3.两个不共底且不成透视的射影点列至少可以由几次透视对应组成？ ( )A.一次B.两次C.三次D.四次4.下面的名称或定理分别不属于仿射几何学有 ( )：A. 三角形的垂心B. 梯形C.在平面内无三线共点的四条直线有六个交点D.椭圆5.二次曲线按射影分类总共可分为( )A.4 类B.5 类C.6 类D.8 类三、判断题（每小题 2 分，共 10 分）1.仿射对应不一定保持二直线的平行性。
（）2.两直线能把射影平面分成两个区域。
（）3.当正负号任意选取时，齐次坐标(1,1,1)表示两个相异的点。
高等几何试题及答案
高等几何试题及答案试题一：已知三角形ABC中，AB = AC，D为BC边中点，AD的延长线交BC于点E，且DE = DC。
证明：∠ABC = ∠ACD。
解析：首先，根据已知条件可得到以下几个等式：AB = ACDE = DC我们需要证明∠ABC = ∠ACD。
为了证明这个等式，我们可以利用三角形的相似性。
设∠ABC = α，∠ACD = β。
根据三角形ABC中的角度和为180°，我们可以得到∠BAC = 180°- 2α。
同样地，根据三角形ACD中的角度和为180°，我们可以得到∠CAD = 180° - 2β。
接下来，我们分别观察三角形ABD和三角形ACD。
在三角形ABD中，根据角度和的性质可得∠BAD = 180° - ∠BDA - ∠ABD = 180° - (180° - 2α) - α = α。
同时根据三角形ABD中的角度和为180°，我们可以得到∠ADB = 180° - ∠ABD - ∠BAD = α。
在三角形ACD中，根据角度和的性质可得∠CAD = 180° - ∠CDA - ∠ACD = 180° - (180° - 2β) - β = β。
同时根据三角形ACD中的角度和为180°，我们可以得到∠ACD = 180° - ∠ACD - ∠ACD = β。
由于 DE = DC，根据等腰三角形的性质可知三角形ACD和三角形CDE相似。
因此，我们可以得到以下等式：AC/CD = CD/DEAC/BC = BC/DC将已知条件代入上述等式，得到：AB/BC = BC/DCAB = AC由于 AB = AC，且 BC = BC，根据全等三角形的性质可知三角形ABC和三角形ACD全等。
因此，我们可以得到∠ABC = ∠ACD。
综上所述，已证明∠ABC = ∠ACD。
华中师大《高等几何》练习题库及答案
华中师大《高等几何》练习题库及答案《高等几何》练习题库及答案一、填空题1．欧几里得的《几何原本》一书共计卷，其中存有条公理，条公设。
2．用公理法建立的几何学演绎体系是由原始概念的列举、、、等四个方面组成的。
3．绝对几何学的公理体系就是由四组，，条公理形成的。
4．罗巴切夫斯基函数(x)当平行矩x时，其对应的平行角?连续递减。
5．罗氏平面上直线的相互位置有三种可能，即、、。
6．斜率为k的直线上的无穷远点的齐次坐标是。
7．两个射影点列成透视对应的充要条件是。
8．欧氏平面上添加了后，成为仿射平面。
9．共线4点a,b,c,d，若满足用户，则表示点对a,b与点对c,d能斯脱调和共轭。
10．平面内两点i(1,i,0),j(1,?i,0)称作平面内的。
11．希尔伯特提出几何公理系统的三个基本问题是、、。
12．罗巴切夫斯基函数(x)当平行矩x连续递增时，其对应的平行角?。
13．球面三角形的三角和常小于而大于。
球面三角形中两角和减去第三角常小于。
14．射影转换t就是闭集的充要条件就是。
15．射影转换的基本不变量就是。
16．共线4点a,b,c,d，若满足(ab,cd)??1，则称点对a,b与点对c,d互成。
17．平面内两点、称为平面内的圆点。
18．几何学公理法从开始到形成，大体经历了阶段。
19．《几何原本》被认为是用建立的几何学。
20．欧几里得第五公设描述为：21．希尔伯特于1899年刊登了知名的著作《》，这部书被看做就是几何基础研究的经典著作。
22．《几何原本》被指出就是用古典公理法创建的几何学，这本书的作者就是。
23．罗巴切夫斯基平面几何的平行公理描述为24．罗氏平面上三角形内角和二直角。
25．球面三角形的内角和大于，小于。
26．布里安香定理描述为。
27．欧氏直线上嵌入了后，沦为向量丛直线。
28．射影平面上一点的射影坐标与另一种射影坐标的变换是。
29．通过圆点的任意虚直线称为。
30．《几何原本》被认为是用古典公理法建立的几何学，这本书的作者是.131．两共轭虚直线的交点为，两共轭虚点的连线为。
高考模拟立体几何汇总(45题)
俯视图左视图主视图aa aD CB A立体几何1．给定下列四个命题：①分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是 .2.如图，四棱柱ABCD —A ′B ′C ′D ′中，底面ABCD 为正方形，侧棱AA ′⊥底面ABCD ，AB=32，AA ′=6，以D 为圆心，DC ′为半径在侧面BCC ′B ′上画弧，当半径的端点完整地划过C ′E 时，半径扫过的轨迹形成的曲面面积为3.已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积最大时，其高的值为 .4.已知E ，F ，G ，H 是空间四点，命题甲：E ，F ，G ，H 四点不共面，命题乙：直线EF 和GH 不相交，则甲是乙的 条件5.已知某几何体的三视图如下，则该几何体的表面积是 .6.四棱锥P ABCD -的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是A ，其三视图如右图所示,根据图中的信息，在四棱锥P ABCD -的任两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线对数为7.如图,矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE //CF ，BC ⊥CF ,3AD =,EF =2，BE =3，CF =4.(Ⅰ)求证：EF ⊥平面DCE ；(Ⅱ)当AB 的长为何值时,二面角A-EF-C 的大小为60°．正视图侧视图俯视图44 3 A B EFCH8.如图棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，平面11AAC C ⊥平面ABCD ． （Ⅰ）求证：1BD AA ⊥；（Ⅱ）设AB a =，30BAC ∠=，四边形11AA C C 的面积为23a，求棱柱1111ABCD A B C D -的体积．332V a =9.如图5，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，90BAC ACD ∠=∠=︒，60EAC ∠=︒，AB AC AE ==．（1）在直线BC 上是否存在一点P ，使得//DP 平面EAB ？请证明你的结论； （2）求平面EBD 与平面ABC 所成的锐二面角θ的余弦值。
高等几何模拟考试试题
《高等几何》试题（A）填空题（每题3分共15分）1、_____ 是仿射不变量，是射影不变量2、直线3x+ y=0上的无穷远点坐标为3、过点（1,i,0 ）的实直线方程为______4、二重元素参数为2与3的对合方程为5、二次曲线6x2-y2+11y-24=0过点P（1,2）的切线方程判断题（每题2分共10分）1、两全等三角形经仿射对应后得两全等三角形2、射影对应保持交比不变，也保持单比不变3、一个角的内外角平分线调和分离角的两边4、欧氏几何是射影几何的子几何，所以对应内容是射影几何对应内容的子集5、共线点的极线必共点，共点线的极点必共线( ( ( ( (）））））三、（7分）求一仿射变换，它使直线x+2y-1=0上的每个点都不变，且使点（1,-1）变为（-1，2）四、（8 分）求证：点A（12—1）,B（—1,1,2）,C（3,0,5）三点共线，并求t,sC =ta i +sb，(i=1,2,3), 3x+2五、（10分）设一直线上的点的射影变换是x，二3^二证明变换有两个自对应点，且这两自X +4对应点与任一对对应点的交比为常数。
六、（10分）求证：两直线所成角度是相似群的不变量。
七、（10分）(1)求点(5, 1, 7)关于二阶曲线2x,2+3X22+%2-6x,X2—2X)X3—4X2X3 =0 的极线（2）已知二阶曲线外一点P求作其极线。
（写出作法，并画图）八、（10分）叙述并证明德萨格定理的逆定理九、（10分）求通过两直线a[1,3,1],b[1,5, -1]交点且属于二级曲线4u12+出2-2 u2 =0勺直线十、（10分）已知A, B, P,Q,R是共线不同点,如果(PAQB) = —1,(QR, AB) = —1,求(PR, AB)《高等几何》试题（B ）填空题（每题3分共15 分）< /1、仿射变换/x-7x-y +1的不变点为［y =4x+2y+42、 两点决定一条直线的对偶命题为3、 直线［i ,2,1-i ］上的实点为 _经过A （-3,2）和B （6,1）的直线AB 与直线x+3y-6 = 0相交于P ，求（ABP ）（8分）试证：欧氏平面上的所有平移变换的集合构成一个变换群（10 分）已知直线 L 1, L 2,L 3,L 4的方程分别-y +1 =0,3x + y-2 =0,7x -y = 0,5x —1 = 0 求证四直线共点，并求 (L i L 2,L 3L 4)4、若交比（AB,CD ）=2则(AD,BC)=5、二次曲线中的配极原则 ______________________ 判断题（每题 2分共10分） 1、 不变直线上的点都是不变点 2、 在一复直线上有唯一一个实点3、 两点列的底只要相交构成的射影对应就是透视对应4、 射影群n 仿射群二正交群5、 二阶曲线上任一点向曲线上四定点作直线，四直线的交比为常数( ( ( ( ( ） ） ） ） ）四、 2x（10 分）六、利用德萨格定理证明：任意四边形各对对边中点的连线与二对角线中点的连线相交于一点七、（10分）求（1）二阶曲线皆_2%22+3X32 -x^ =0过点P（2,J|,1）的切线方程（2）二级曲线q2+U22-17U32 =0在直线L[1 , 4, 1]上的切点方程八、（10分）叙述并证明德萨格定理定理（可用代数法）九、（10 分）已知二阶曲线（C）：2xj+4x,X2+6X,X3+%2=0（1）求点P（1,2,1）关于曲线的极线（2）求直线3x, — X2 +6X3 =0关于曲线的极点十、（10分）试证：圆上任一点与圆内接正方形各顶点连线构成一个调和线束《高等几何》试题（C一、填空题（每题 3分共15分）2 2 2二级曲线* +U 2 -17u 3 =0在直线上［1,4,1］的切点方程判断题（每题2分共10分） 1、 仿射变换保持平行性不变2、 射影对应保持交比不变，也保持单比不变3、 线段中点与无穷远点调和分离两端点4、如果P 点的极线过Q 点，则Q 点的极线也过P 点5、不共线五点可以确定一条二阶曲线, 2x三、（7分）已知OX 轴上的射影变换，求坐标原点，无穷远点的对应点X +3四、（8分）已知直线 a,c, d 的方程分别为 2为+X 2-X 3 = O,x 1—X 2 +X 3 =0,为=0（ab,cd ） = —2求直线b 的方程。
高等几何模拟试题
⾼等⼏何模拟试题⾼等⼏何模拟试题（⼆）⼀、填空题：1、仿射变换的基本不变性与不变量有：；2、⽆穷远线的奇次坐标为：；3、过点A(1, ,2)的实直线的齐次⽅程为：；4、直线上⽆穷远点坐标为：；5、直线上的三点A(1,3,1)、B(2,5,1)、C（1，2，0）的简⽐(ABC)为：；6、表⽰两个点，它们的⽅程是（齐次）：；7、在射影坐标系下，直线的齐次坐标⽅程为：；8、若（ =4，则（ = ；（ = ；（ = ；9、直线上的点变换是射影变换的条件是；是对合对应时满⾜；10、在完全四点形中，通过每⼀对⾓点有⼀组调和线束，即；⼆、作图题：1、叙述下列图形中的点线结合关系及其对偶命题，并画出对偶图形。
2、已知⼀直线上三点A、B、C、D ，求作第四点D，使交⽐（AB，CD）= （要求：写出作法并予以证明）三、解答题：1、求将点O（0，0）、A（1，0）、B（0，1）分别变成（1，1）、（3，1）、（3，2）的仿射变换。
2、设点（1，1，1）、（1，，1）、（1，0，1），且（ =2，求的坐标。
3、求通过两直线[1，1，1]、[2，1，3]的交点与点的直线的坐标。
4、求射影变换的不变元素。
5、若A、B、C、D为共线四点，且（AB，CD）= ，CD中点为O，求证：6、设ABC的三条⾼线为AD、BE、CF，设BC、EF交于X；CA、FD交于Y；AB、DE 交于Z，试证：X、Y、Z三点共线。
7、求由两个⼆重点1、2所确定的对合的⽅程。
⾼等⼏何模拟试题（三）⼀、填空题：( )1、直线3x+4y=0齐次线坐标是__________。
2、两全等的平⾏四边形的仿射对应图形是__________。
3、⽆穷远线的⽅程为：。
4、若，则点偶_______调和分割点偶。
5、表⽰两点，它们的齐次坐标为_______。
6、直线上的⽆穷远点的齐次坐标为：。
7、⼆维射影坐标系下顶点与单位点的联线的齐次射影⽅程分别为，，。
⼆、作图题：1、在平⾯上有两条已知直线a,b以及不在a,b上的⼀定点p，如果不先定出a,b的交点，如何⽤直尺作⼀直线通过点p及该交点？2、已知A，B，C三点，求作点D，使。
陕西高考模拟考试试题立体几何部分
陕西高考模拟考试试题（立体几何部分）. 一个几何体的三视图如图所示（单位长度：），则几何体的体积是（ ） . 32243cm . 3cm . 396cm . 3224cm．已知几何体的三视图如图所示，可得这个几何体的体积是（ ）．43 ．83 ． ．.若三棱锥的三视图如右图所示,则该三棱锥的体积为【 】..80 .40.380.340．（本题满分分）如图，四边形为正方形，⊥平面，∥，121QA AB PD ===． （Ⅰ）证明：平面⊥平面； （Ⅱ）求二面角——的余弦值．主视图．解：（）依题意有（，，），（，，），（，，）. 则(1,1,0),(0,0,1),(1,1,0).DQ DC PQ ===- 所以0,0.PQ DQ PQ DC ⋅=⋅= 即⊥，⊥.故⊥平面.又⊂平面，所以平面⊥平面. （）依题意有（，，）， (1,0,0),(1,2,1).CB BP ==--设(,,)n x y z =是平面的法向量，则0,0,20.0,n CB x x y z n BP ⎧⋅==⎧⎪⎨⎨-+-=⋅=⎩⎪⎩即 因此可取(0,1,2).n =--设是平面的法向量，则0,0.m BP m PQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 可取15(1,1,1).cos ,.m m n =<>=-所以故二面角——的余弦值为15.-．(本小题满分分) 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是BC 的中点，平面1B ED 交A D 11于F(Ⅰ)指出F 在A D 11上的位置，并证明；(Ⅱ)求直线A C 1与平面1B ED 所成角的余弦值．．(本小题满分分)．（）F 是中点（）以A 为原点，AB 为x 轴、AD 为y 轴、1AA 为z 轴建立空间直角坐标系.设棱长为，则()110,1,2,(2,2,2)B E B D =-=--，设面1B ED 的法向量(,,)n x y z =，则202220y z x y z -=⎧⎨-+-=⎩得(1,2,1)n =. 又1(2,2,2)AC =-，设1AC 与面1B ED 成角为θ，则213sin cos ,ACn θ=<>=∴73cos θ=.(本题分)如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,11,2,AD AA AB ===点E 在棱AB 上.()求异面直线1D E 与1A D 所成的角；()若二面角1D EC D --的大小为45︒,求点B 到面1D EC 的距离. .(本题分)解法一:()连结1AD .由11AA D D 是正方形知11AD A D ⊥. ∵AB ⊥平面11AA D D ,∴1AD 是1D E 在平面11AA D D 内的射影.根据三垂线定理得11AD D E ⊥,则异面直线1D E 与1A D 所成的角为90︒.…………分 ()作DF CE ⊥,垂足为F ,连结1D F ,则1CE D F ⊥.所以1DFD ∠为二面角1D EC D --的平面角,145DFD ∠=︒. 于是111,2DF DD D F ===,易得Rt Rt BCE CDF∆≅∆,所以2CE CD ==,又1BC =,所以3BE =.设点B 到平面1D EC 的距离为h ,则由于1,B CED D BCE V V --=即1111113232CE D F h BE BC DD ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅, 因此有11CE D F h BE BC DD ⋅⋅=⋅⋅,即223h =,∴64h =.…………分 解法二:如图,分别以1,,DD DC DA 为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系. ()由1(1,0,1)A ,得1(1,0,1)DA =,设(1,,0)E a ,又1(0,0,1)D ,则1(1,,1)D E a =-.∵111010DA D E ⋅=+-=∴11DA D E ⊥,则异面直线1D E 与1A D 所成的角为90︒.……………………分()(0,0,1)=m 为面DEC 的法向量,设(,,)x y z =n 为面1CED 的法向量,则(,,)x y z =n 222||||2|cos ,|cos 45||||2z x y z ⋅<>===︒=++m n m n m n ,∴222z x y =+. ①由(0,2,0)C ,得1(0,2,1)D C =-,则1D C ⊥n ,即10D C ⋅=n ,∴20y z -= ②由①、②,可取(3,1,2)=n ,又(1,0,0)CB =,所以点B 到平面1D EC 的距离||36422CB d ⋅===n |n |.……………分 .（本小题满分分）已知直三棱柱111ABC A B C -中，5AB =，4AC =，3BC =，14AA =，点在上.（Ⅰ）若是中点，求证：1AC ∥平面1B CD ；（Ⅱ）当5AB BD =时，求面和面1B CD 夹角的余弦 . （本小题满分分）（Ⅰ）证明：连结，交1C 于，连结． ∵ 直三棱柱1C ，是中点，∴侧面 1C 1C 为矩形，为△的中位线，∴ ．∵⊂平面， ⊄平面1C ，∴∥平面． 分（Ⅱ） ∵ ⊥，∴如图，以为原点建立空间直角坐标系， 则(, , )， (, , )， (, , )， (, , )，设 (, , )（0a >，0b >），CBA1B1A1C∵点在线段上，且15BD AB =， 即15BD BA =． ∴124,55a b ==． ∴1(3,0,4)B C =--，(3,4,0)BA =-，124(,,0)55CD =．平面的法向量为()0,0,1n = 设平面 的法向量为2n （）由 120B C n ⋅=，20CD n ⋅=， 得 340124055x z x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 令,得4,43x y =-=，24(,4,1)3n =-．设面ABC 和面1B CD 夹角为θ， 则→→→→=12.cos n n n n θ133所以面ABC 和面1B CD 夹角的余弦值为313． 分 、（本小题满分分）如图，四棱锥－的底是矩形，⊥平面，＝，＝，，分别是，的中点在轴上 （）求证：⊥；（）在上找一点，使得∥平面；（）若与平面所成的角为°，求二面角－－的余弦值。
高考立体几何模拟题
高考立体几何题训练毛建雄1．（本小题满分15分）在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，面ABCD 为等腰梯形，AB //CD ，BC AB 2=，60ABC ︒∠=，AC FB ⊥．（Ⅰ）求证：⊥AC 平面FBC ；（Ⅱ）求BC 与平面EAC 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段ED 上是否存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ？ 证明你的结论．2.（本小题满分15分）在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ， ABCD 为直角梯形，BC //AD ，90ADC ∠=︒，112BC CD AD ===，PA PD =，E F ,为AD PC ,的中点． （Ⅰ）求证：P A //平面BEF ；（Ⅱ）若PC 与AB 所成角为45︒，求PE 的长；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角F-BE-A 的余弦值．3.（本小题共15分）如图，已知ACDE 是直角梯形，且//ED AC ，平面A C D ⊥平面ABC ，90BAC ACD ∠=∠=︒，DFECBAPAB AC AE ==2=，12ED AB =， P 是BC 的中点． （Ⅰ）求证：//DP 平面EAB ； （Ⅱ）求平面EBD 与平面ABC 所成锐二面角 大小的余弦值．4．（本小题满分15分） 如图。
在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB=BC=2AA 1，∠ABC=90°，M 是BC 中点。
（I ）求证：A 1B ∥平面AMC 1；（II ）求直线CC 1与平面AMC 1所成角的正弦值； （Ⅲ）试问：在棱A 1B 1上是否存在点N ，使AN 与MC 1成角60°？若存在，确定点N位置；若不存在，请说明理由。
5.（本小题满分15分）如图所示，四棱锥P ABCD -的底面为等腰梯形，//AB CD 且1AB BC DA ===，2CD =，其侧棱长均为2， M 为棱PA 的中点.(1)设CD 的中点为O ，连PO ，证明PO ⊥平面ABCD ； (2)求二面角A DM B --的余弦值.6.（本小题满分15分）已知几何体A —BCED 的三视图如图所示， 其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角 三角形，正视图为直角梯形． （Ⅰ）求此几何体的体积V 的大小;（Ⅱ）求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值； （Ⅲ）试探究在棱DE 上是否存在点Q ，使得P MA B CD O(第17题图) 侧视图俯视图 正视图图4AB CA 1C 1B 1DE AQ ⊥BQ ，若存在，求出DQ 的长，不存在说明理由.7．（本小题满分15分）如图。
高等几何复习题
《高等几何》练习题一 、判断题（ ）1、两个三角形的面积之比是仿射不变量。
（ ）2、变换群越大，它所对应的几何内容越丰富。
（ ）3、无穷远直线与二阶曲线没有交点。
（ ）4、一点的极线是其所有调和共轭点的轨迹。
（ ）5、三角形的三中线共点是仿射性质。
（ ）6、一直线的齐次线坐标唯一。
（ ）7、仿射变换把单位向量仍变为单位向量。
（ ）8、交比是射影不变量。
（ ）9、透视对应必是射影对应。
（ ）10、平面内不共线三点可以确定一条二阶曲线。
（ ）11、渐近线是二次曲线的自共轭直径。
二、填空题1、 梯形的仿射图形是 。
2、 等边三角形的仿射图形是 。
3、 “点”与“ ”叫做平面上的对偶元素。
4、 设)8,1(),21,21(),2,1(C B A ---为共线三点，则=)(ABC 。
5、 已知点)1,0,1(),1,1,1(),1,1,1(=-==D B A 且2),(=CD AB ，则=C _________。
6、 四点)1,0,1(),3,1,3(),1,1,1(),1,1,1(4321P P P P --在同一直线上，则=),(4321P P P P _________。
7、 无穷远直线的齐次方程为________________________________。
8、 012=++y x 上的无穷远点的坐标是 。
9、 直线]1,2,[i i -上的实点坐标为 。
10、 一点),,(321x x x x ≡在一直线],,[321u u u u ≡上的充要条件是_________________。
11、 已知点A 的坐标)1,1,2(-及点P 的方程032321=++u u u ，则直线AP 的方程为 。
12、 设二直线]3,1,2[],1,1,1[交点为A ，点P 的线坐标方程为032321=++u u u ，则直线AP 方程为 。
13、 方程03=x 在射影坐标系下表示坐标三点形的第三边，而在仿射坐标系下它表示___________________________。
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《高等几何》试题（A ）一、 填空题（每题3分共15分）1、 是仿射不变量， 是射影不变量2、 直线30x y +=上的无穷远点坐标为3、 过点（1,i,0）的实直线方程为4、 二重元素参数为2与3的对合方程为5、 二次曲线22611240x y y -+-=过点(1,2)P 的切线方程二、 判断题（每题2分共10分）1、两全等三角形经仿射对应后得两全等三角形 （ ）2、射影对应保持交比不变，也保持单比不变 （ ）3、一个角的内外角平分线调和分离角的两边 （ ）4、欧氏几何是射影几何的子几何，所以对应内容是射影几何对应内容的子集 （ ）5、共线点的极线必共点，共点线的极点必共线 （ ）三、(7分)求一仿射变换，它使直线210x y +-=上的每个点都不变，且使点（1,-1）变为（-1，2）四、（8分）求证:点(1,2,1),(1,1,2),(3,0,5)A B C --三点共线，并求,t s 使,(1,2,3)i i i c ta sb i =+=五、(10分)设一直线上的点的射影变换是/324x x x +=+证明变换有两个自对应点，且这两自对应点与任一对对应点的交比为常数。
六、（10分）求证：两直线所成角度是相似群的不变量。
七、（10分）（1）求点（5，1，7）关于二阶曲线222123121323236240x x x x x x x x x ++---=的极线（2）已知二阶曲线外一点P 求作其极线。
（写出作法，并画图）八、（10分）叙述并证明德萨格定理的逆定理九、（10分）求通过两直线[1,3,1],[1,5,1]a b -交点且属于二级曲线222123420u u u +-=的直线十、（10分）已知,,,,A B P Q R 是共线不同点，如果(,)1,(,)1,(,)PA QB QR AB PR AB =-=-求《高等几何》试题（B ）一、 填空题（每题3分共15分）1、 仿射变换//71424x x y y x y ⎧=-+⎨=++⎩的不变点为 2、 两点决定一条直线的对偶命题为3、 直线[i ,2,1-i] 上的实点为4、 若交比(,)2AB CD = 则(,)AD BC =5、 二次曲线中的配极原则二、判断题（每题2分共10分）1、不变直线上的点都是不变点 （ ）2、在一复直线上有唯一一个实点 （ ）3、两点列的底只要相交构成的射影对应就是透视对应 （ ）4、射影群⊃仿射群⊃正交群 （ ）5、二阶曲线上任一点向曲线上四定点作直线，四直线的交比为常数 （ ）三、(7分)经过(3,2)(6,1)A B -和的直线AB 与直线360x y +-=相交于P ，求 ()ABP四、（8分）试证：欧氏平面上的所有平移变换的集合构成一个变换群五、（10分）已知直线1234,,,L L L L 的方程分别为：210,320,70,510x y x y x y x -+=+-=-=-=求证四直线共点，并求1234(,)L L L L六、(10分)利用德萨格定理证明：任意四边形各对对边中点的连线与二对角线中点的连线相交于一点七、（10分）求（1）二阶曲线22212313230x x x x x -+-=过点的切线方程 （2）二级曲线222123170u u u +-=在直线L[1，4，1] 上的切点方程八、（10分）叙述并证明德萨格定理定理（可用代数法）九、（10分）已知二阶曲线（C ）：221121332460x x x x x x +++=（1） 求点(1,2,1)P 关于曲线的极线（2） 求直线123360x x x -+=关于曲线的极点十、（10分）试证：圆上任一点与圆内接正方形各顶点连线构成一个调和线束《高等几何》试题（C ）一、填空题（每题3分共15分）6、 直线20x y +-=在仿射变换//213x x y y x y ⎧=+-⎨=-+⎩下的像直线 7、 X 轴Y 轴上的无穷远点坐标分别为8、 过点（1,-i ,2）的实直线方程为9、 射影变换'230λλλ--=自对应元素的参数为10、 二级曲线222123170u u u +-=在直线上[1,4,1]的切点方程 三、 判断题（每题2分共10分）1、仿射变换保持平行性不变 （ ）2、射影对应保持交比不变，也保持单比不变 （ ）3、线段中点与无穷远点调和分离两端点 （ ）4、 如果P 点的极线过Q 点，则Q 点的极线也过P 点 （ ）5、不共线五点可以确定一条二阶曲线 （ ）三、(7分)已知OX 轴上的射影变换'213x x x -=+，求坐标原点，无穷远点的对应点四、（8分）已知直线,,a c d 的方程分别为123123120,00x x x x x x x +-=-+==， 且2(,)3ab cd =-求直线b 的方程。
五、（10 分）已知同一直线上的三点,,A B C 求一射影变换使此三点顺次变为,,B C A 并判断变换的类型，六、（10分）求证：两直线所成角度是相似群的不变量。
七、（10分）求射影变换'112'22'33x x x x x x x ρρρ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩的不变点坐标八、（10分）叙述并证明帕斯卡定理九、（10分）求通过两直线[1,3,1],[1,5,1]a b -交点且属于二级曲线222123420u u u +-=的直线十、（10分）试证:双曲型对合的任何一对对应元素 'P P →,与其两个二重元素E,F 调和共轭即(',PP EF )=-1高等几何标准答案（A ）一、 填空题：（每空3分共15分）1、单比，交比2、（1,-3,0）3、30x =4、''25()120λλλλ-++=5、123127260x x x +-=二、判断题（每题2分共10分）1、错，2、错，3、对，4、错，5、对三、解：在直线210x y +-=上任取两点(1,0),(1,1)A B - 2分由(1,0)(1,0),(1,1)(1,1),(1,1)(1,2)A A B B →-→--→- 设仿射变换为'111213'212223x a x a y a y a x a y a ⎧=++⎨=++⎩ 将点的坐标代入可解得 ''22133222x x y y x y ⎧=+-⎪⎨=--+⎪⎩ 7分 四、证明：因为1211120305--=- 所以三点共线 4分 由：3,20,25t s t s t s -=+=-+=- 解得 1,2t s ==-所以 12,(1,2,3)i i c a b i =-= 8分 五、证明：令''232204x x x x x x x +==+-=+由得 解得121,2x x ==- 即有两个 自对应点 4分设k 与'324k k k +=+ 对应，有'5((1)(2),)2kk -=为常数 10分 注：结果 有25也对，不过顺序有别。
六、证明：设两直线为：1122:,:a y k x b b y k x b =+=+相似变换为：''''x a x by c y bx ay d⎧=++⎨=-++⎩ 220a b +≠ 将变换代入直线a 的方程得：''121212k a b k a b k k a k b a k b++==--同理可得 5分''2121''212111k k k k k k k k --∴=++ 即''tan ,tan ,a b a b <>=<> 即两直线的夹角是相似群的不变量 10分七、解：（1）设（5，1，7）为P 点坐标， 二阶曲线矩阵为A=231332121--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭所以点P 的极线为S P =0 即 123231(5,1,7)3320121P x S x x --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=--= ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭得 x 2=0 （2）略 八（在后边）九、解：通过直线[1,3,1],[1,5,a b -的交点的直线的线坐标为[1,35,1]k k k ++- 若此直线属于二阶曲线则有 2224(1)(35)2(1)0k k k +++--= 即22742110k k ++= 解得111,39k k =-=- 10分 十、解：设123,,P A k B Q A k B R A k B =+=+=+1122(,)1,(,)1(,)(,)(,)2,2PA QB PA QB PQ AB k AB PQ PQ AB k k k =-=-====得 2323(,)1,(,)1k qr ab AB QR k k k =-==-⇒=-得所以13(,)(,)2k P R A B A B P R k ===- 10分八、德萨格定理的逆定理：如果两个三点形的对应边的交点共线，则对应顶点的连线共点。
4分证明; 如图三点形ABC 与A 1B 1C 1的三对应边交点L,M,N 共线，证明对应顶点连线共点,考虑三点形BLB 1与CMC 1则有对应顶点连线共点N ，故对应边的交点A,A 1,0共线O A B C L M NB1A1C1高等几何标准答案（B ）一、 填空题：（每题3分共15分）1、1(,2)2--, 2、两条直线确定一个交点，3、(2,-1,2) 4、125、如果P 点的极线过点Q 则Q 点的极线也过P 点。
二、 判断题：（每题2分共10分）1、错，2，对， 3、错， 4、对 ， 5、对三、解：过,A B 的直线方程为：9150x y +-= 2分直线AB 与360x y +-=的交点为33(,)22P 4分所以 ()1ABP =- 7分 四、 证明：设平移变换的表达式为 T: ''x x a y y b⎧=+⎨=+⎩ 设任意两个平移变换为： ''12121221''1212,:x x a x x a x x a a T T T T y y b b y y b y y b ⎧⎧=+=+⎧=++⎪⎪⎨⎨⎨=++=+=+⎪⎪⎩⎩⎩则 仍为一个平移变换 4分 又对任意变换T:''1'':x x a x x a T y y b y y b-⎧⎧=+=-⎨⎨=+=-⎩⎩则 也是一个平移变换 所以平移变换的集合关于变换的乘法构成群。
8分五、 解：方程转化为齐次坐标形式：123123121320,320,70,50x x x x x x x x x x -+=+-=-=-= 2分 21131231207100710501---=-=--且 所以四直线共点。