反证法(课件)
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反证法 课件
用反证法证明唯一性命题
求证方程 2x＝3 有且只有一个根.
[证明] ∵2x＝3，∴x＝log23，这说明方程2x＝3有根．下面用反证法证 明方程2x＝3的根是唯一的：
假设方程2x＝3至少有两个根b1，b2(b1≠b2)， 则2b1＝3,2b2＝3，
两式相除得2b1－b2＝1. 若b1－b2>0，则2 b1－b2>1，这与2 b1－b2＝1相矛盾． 若b1－b2<0，则2 b1－b2<1，这也与2 b1－b2＝1相矛盾． ∴b1－b2＝0，则b1＝b2. ∴假设不成立，从而原命题得证．
－32＜a＜12， ⇒a＞13或a＜－1，
－2＜a＜0.
⇒－32＜a＜－1，
这与已知a≥－1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程
有实数解．
母题探究：1.(变条件)将本题改为：已知下列三个方程x2＋4ax－4a＋3＝ 0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实数根，如何求实 数a的取值范围？
反设词
至少有一个
一个也没有
至多有一个
至少有两个
至少有n个
至多有n－1个
已知 a≥－1，求证三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x ＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0 中至少有一个方程有实数解.
[证明] 假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小
于0，即：
4aa－21－24－－4a42＜a＋0，3＜0， 2a2＋4×2a＜0，
数a的取值范围． [解] 假设三个方程都有实数根，则
4aa－21－24－－4a42≥a＋0，3≥0， 2a2＋4×2a≥0，
即43aa22＋ ＋42aa－ －31≥ ≤00， ， a2＋2a≥0，
反证法课件
2
2
例3、已知a1+a2+a3+a4>100,求证：a1,a2,a3,a4中
至少有一个数大于25。
例4、求证：2, 5不可能是一个等差数列中的三项。 1，
例5、如图，直线a平行于平面α，β是过直线a的平面， 平面α与β相交于直线b，求证：直线a平且a = x - 2y +
§1.3. 反证法
一.复习
1.直接证明的两种基本证法： 综合法和分析法
2.这两种基本证法的推证过程和特点：
综合法:已知条件⇒ ⇒ ⇒ 结论
由因导果 分析法: 结论 已知条件 执果索因 3、在实际解题时，两种方法如何运用？ 通常用分析法提供思路，再由综合法写过程
思考？
A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都 撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？
分析: 假设C没有撒谎, 则C真; 那么A假且B假; 由A假, 知B真. 这与B假矛盾. 则C必定是在撒谎.
由假设
推出矛盾.
那么假设“C没有撒谎”不成立; 推翻假设.
原命题成立.
反证法：(命题的否定)
假设命题结论的反面成立，经过正确的 推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而 证明原命题成立,这样的的证明方法叫反 证法。
反证法的思维方法：
正难则反
反证法：
①假设原命题不成立，
反证法的基本步骤：
②经过正确的推理,得出矛盾，
③因此说明假设错误, ④从而证明原命题成立, 这样的的证明方法叫反证法
得出矛盾的方法：
四步
（1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾。
应用反证法的情形：
(1)直接证明比较困难; (2)直接证明需分成很多类,而对立命题分类较少; （3)结论有“至少”,“至多”,“有无穷多个”之类字样 （4）结论为 “唯一”之类的命题；
反证法PPT教学课件
小考卷3
判断下列命题的真假：
细心！
1、相等的两角是对顶角。 （假）
2、若XY=0，则X=0。
（假）
3、圆的切线垂直于圆的半径。 （假）
4、等腰三角形的底角必是锐角。 （真）
5、正数与负数的和仍是负数。
（假）
6、一个数的平方必是正数。
（假）
7、一个三角形的两个角、一边和另一三角形的两个
角、一边分别相等的三角形全等。
等，那么这两个角
B 所对的边也相等。题设是：结论是：
C
添加“如果”、“那么”后，命题的 意义 不能改变，改写的句子要完整，语句 要通顺，使命题的题设和结论更明朗， 易于分辨，改写过程中，要适当增加 词语，切不可生搬硬套。
小考卷2
一、把下面的命题改写成“如果……那 么……”的形式。 1、两直线平行，同旁内角互补。 2、同圆的半径相等。 3、有两个角相等的两个三角形相似。 4、等角的补角相等。 5、圆是轴对称图形，又是中心对称图形。
几何语言表示:∵a∥b,b∥c, ∴a∥c
学以致用:
已知:如图,直线l与l1,l2,l3都相交,且
l1∥l2,l2∥l3,
l
求证:∠1=∠2
1
l1
2
l2
l3
练一练: 课本第87页,课内练习第1题.
小结: 反证法的一般步骤:
先假设命 从假设出发 题不成立
矛盾
得出假设命题不 成立是错误的
即所求证的 命题正确
等
（假）
(4)3＜2
（真）
(5)三角形的内角和等于180（0不是命题）
(6)x＞2
1、错误的命题也是命 题如。：“3〈 2”是一个命题
2、命题必须是对某种事情作 出判断，如问句，几何的作 法等就不是命题。
反证法 课件(人教版)
2.反证法可以适用的两种情形 (1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结 论的线索不够清晰. (2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从 反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形.
用反证法证明否定性命题 【技法点拨】
1.用反证法证明否定性命题的适用类型 结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命 题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具 体，适合使用反证法
【归纳】 (1)用反证法证题时，若原命题的反面不唯一时怎么 办？(2)宜用反证法证明的题型有哪些？ 提示：(1)用反证法证明命题时，若原命题的反面不唯一，这 时要把每一种情况一一否定，不能遗漏. (2)宜用反证法证明的题型有： ①易导出与已知矛盾的命题； ②“否定性”命题；
③“唯一性”命题； ④“必然性”命题； ⑤“至多”“至少”类的命题； ⑥涉及“无限”结论的命题等.
用反证法证明唯一性命题 【技法点拨】
用反证法证明唯一性命题的一般思路 证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性 和唯一性.当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存 在”等形式出现的命题时，由于假设结论易导出矛盾，所以用 反证法证其唯一性比较简单明了.
【典例训练】(建议教师以第2题为例重点讲解) 1.在用反证法证明“两条相交直线有且只有一个交点”时的反 证应分为________和___________________. 2.求证方程2x=3有且只有一个根.
【解析】1.两条直线的交点个数包括：没有交点，有且只有一 个交点和不只有一个交点.故“有且只有一个交点”的反设应为 无交点和不只有一个交点. 答案：无交点 不只有一个交点
2.因为2x=3，所以x=log23.这说明方程有一个根.下面用反证 法证明方程2x=3的根是唯一的. 假设方程2x=3有两个根x1,x2(x1≠x2)， 则 2x1 3, 2两x2 式3,相除，得 =1.2x1x2 若x1-x2＞0，则2x1x＞2 1,这与 2x=1x12 矛盾； 若x1-x2＜0，则2x1x＜2 1,这也与 2=x11x2矛盾， 因此只能x1-x2=0，这与x1≠x2矛盾. 如果方程的根多于两个，同样可推出矛盾.故2x=3只有一个根.
2.2.2-反证法-课件
∴ {cn}不是等比数列 .
栏目 导引
第二章
推理与证明
【名师点评】
(1)当结论为否定形式的命题时 ,通过反设 ,
转化为肯定性命题 .可作为条件应用进行推理 ,因此对此类 问题用反证法很方便 . (2)用反证法证明问题的一般步骤: ①假设命题的结论不成立 ,即假设结论的反面成立 ; ②从这个假设出发 ,经过推理论证 ,得出矛盾; ③从矛盾判定假设不正确 ,从而肯定命题的结论正确 .
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第二章
推理与证明
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推理与证明
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第二章
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例1 设{an},{bn}是公比不相等的两个等比数列 ,cn＝an＋bn,
证明:数列 {cn}不是等比数列 .
【证明】 假设 {cn}是等比数列 , 则当 n≥ 2 时 ,(an＋ bn)2＝ (an－1＋bn－ 1)· (an＋1＋bn＋ 1). 2 ∴ a2 ＋ 2 a b ＋ b n n n n ＝ an－ 1an＋ 1＋ an－ 1bn＋1＋bn－ 1an＋ 1＋bn－1bn＋ 1. 设 {an},{bn}的公比分别为 p,q(p≠ q).
反证法(课件)
反证法 这种证明方法叫做：
步骤：
（1）先假设结论的反面是正确的. （2）然后通过演绎推理，推出与公理、定 理、定义或已知条件相矛盾. （3）从而说明假设不成立，进而得出原结 论正确.
名家情系反证法
反证法常常是解决某些“疑难”问 题的有力工具。
牛顿说：“反证法是数学家最精当 的武器之一”。
英国数学家哈代也曾这样称赞它： “反证法是数学家最有力的一件武器， 比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的 让棋法，它还要高明。象棋对弈者不外 乎牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把 全局拱手让给对方！”
求证：l3∥l2
l1
证明：
l2
P
假设l3∥l2，即l3与l2相交，记交点为P l3
而l1∥l2,l3 ∥l1
这与“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线
平行”相矛盾，
所以假设不成立， 即l3∥l2
准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的， 下面是一些常见的关键词的否定形式.
原词语 否定词 原词语
探究1：
一个三角形的三边长为a、b、c（a≤b ≤ c）, 如果a2+b2≠c2,这个三角形是否一定不是直角三角形呢？
做一做
画出以如下各组数为边长的三角形，算算较短的两边长的 平方和是否等于最长边的平方，再观察它们的图形.
（1）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ=1 b=2.4 c=2.6 你发现了什么？
（2）a=2 b=3 c=4 （3）a=1.5 b=2.5 c=3
2:求证在同一平面内,如果一条直线和两条平
行直线中的一条相交,那么和另一条也相交.
已知: 直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3与l1相交于点P.
求证: l3与l2相交.
反证法PPT课件
矛盾
得出假设命题不 成立是错误的
2020年10月2日
即所求证的 命题正确
9
演讲完毕，谢谢观看！
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的推理方法? 2020年10月2日
2
在证明一个命题时,人们有时先假设命题不成立, 从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛 盾,或者与定义,公理,定理等矛盾,从而得出假设 命题不成立是错误的,即所求证的命题正确.这种 证明方法叫做反证法.
2020年10月2日
3
发生在身边的例子:
妈妈:小华,听说邻居小芳全家这几天下在 外出旅游.
小华:不可能,我上午还在学校碰到了她和 她妈妈呢!
上述对话中,小华要告诉妈妈的命题是什么?
小芳全家没外出旅游.
他是如何推断该命题的正确性的?
在你的日常生活中也有类似的例子吗?请举一
至两个例子. 2020年10月2日
4
求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平 行直线中的一条相交,那么和另一条也相交.
2020年10月2日
1
中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王 戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树 上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王 戎站在原地不动.有人问王戎为什么?
王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”
小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的吗?他运用了怎样
反证法(证明) ppt课件
若存在，求出其值，若不存在，请说明理由。
练习
求证：在任何三个整数中，必有这样的 两个数，他们的和是2的倍数
如果把9个苹果放在4个盒子里那么至少 有1个盒子中放了3个或者3个0 对于直线l : y kx 1 ，是否存在这样的
实数 k ，使得l 与双曲线 C : 3x2 y2 1
的交点A，B关于直线 y ax（a 是常数）对称？
例3 抛物线上任取四点4所组成的不可能是平行四边形。
练习
有一个4×4的方格表.先从中涂黑3个方格，然后再 将那些至少与两个已涂黑的方格相邻的方格也涂黑. 求证：无论最初涂黑哪3个方格，都不可能按这样的 规则涂黑所有的方格.
存在无限性命题与反证法
问题涉及存在多个符合某条件时，也使用反证法
反证法
反证法定义 方法的步骤 反证法的分类
反证法
反证法：通过证明命题的否定命题不真 实，从而肯定原命题成立的论证方式
包括归谬法和穷举法
反证法证题步骤
1、假设原命题不成立 2、从否定结论出发，逐层推理，得出与
公理、订立或者题设条件自相矛盾的结 论 3、根据排中律，肯定原命题成立
存在至多或者至少型命题
例8
若x, y, z 为实数，令 a x2 2y ，
2
b y2 2z , c z2 2x
3
6
求证：a,b, c 至少有一个不大于0。
例题
例8 把43人分成7各小组，总有一个小组 至少有7人
例9 把11个参加活动的名额分配给6个班， 每班至少分配1人，求证：不管怎么分， 至少有3个班的名额相等
否定性命题与反证法
否定型命题：结论中含有“不可 能……”“不是……”“不存在……”“不等于……” 等词句。这类命题通常用反证法证明。
练习
求证：在任何三个整数中，必有这样的 两个数，他们的和是2的倍数
如果把9个苹果放在4个盒子里那么至少 有1个盒子中放了3个或者3个0 对于直线l : y kx 1 ，是否存在这样的
实数 k ，使得l 与双曲线 C : 3x2 y2 1
的交点A，B关于直线 y ax（a 是常数）对称？
例3 抛物线上任取四点4所组成的不可能是平行四边形。
练习
有一个4×4的方格表.先从中涂黑3个方格，然后再 将那些至少与两个已涂黑的方格相邻的方格也涂黑. 求证：无论最初涂黑哪3个方格，都不可能按这样的 规则涂黑所有的方格.
存在无限性命题与反证法
问题涉及存在多个符合某条件时，也使用反证法
反证法
反证法定义 方法的步骤 反证法的分类
反证法
反证法：通过证明命题的否定命题不真 实，从而肯定原命题成立的论证方式
包括归谬法和穷举法
反证法证题步骤
1、假设原命题不成立 2、从否定结论出发，逐层推理，得出与
公理、订立或者题设条件自相矛盾的结 论 3、根据排中律，肯定原命题成立
存在至多或者至少型命题
例8
若x, y, z 为实数，令 a x2 2y ，
2
b y2 2z , c z2 2x
3
6
求证：a,b, c 至少有一个不大于0。
例题
例8 把43人分成7各小组，总有一个小组 至少有7人
例9 把11个参加活动的名额分配给6个班， 每班至少分配1人，求证：不管怎么分， 至少有3个班的名额相等
否定性命题与反证法
否定型命题：结论中含有“不可 能……”“不是……”“不存在……”“不等于……” 等词句。这类命题通常用反证法证明。
反证法课件
反证法课件
反证法
王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.
王戎回答说: 树在道边而多子,此必苦李.
小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的呢他运用了怎样的推理方法
小故事:
假设李子不是苦的,即李子是甜的,
那幺这长在人来人往的大路边的李子会不会被过路人摘去解渴呢
那幺,树上的李子还会这幺多吗
这与事实矛盾吗说明李子是甜的这个假设是错的还是对的
所以,李子是苦的
思考:
王戎的推理方法是:
假设李子不苦,
则因树在道边,李子早就被别
人采摘而没有了,
这与多子产生矛盾.
所以假设不成立,李为苦李.
在你的日常生活中也有类似的例子吗请举一个例子.
说一说
小华:不可能,我上午还在学校碰到了她和她妈妈呢!。
《初二数学反证法》课件
相较于需要一步一步证明的直接证明法，反证法 是一种更加简便的证明方法。鼠，其中有一只叫
完美的舞蹈
2
做“加一地鼠”，可以将它向右移动一 格。假设不可能找到一种稳定的方案，
600名女孩参加了一场舞蹈比赛，假
使得最后每只地鼠都获得编号10，那
设每个女孩都在同一个时刻起舞，那
著名数学家
著名数学家ToruMatsui通过反证法，成功研究射 线切割问题。
反证法总结
1 应用范围和限制
反证法不仅可以用于数 学证明，还可以用于其 他领域。但是，必须注 意限制其使用范围。
2 实际生活中的应用
反证法的思路不仅能够 解决数学问题，还可以 用于解决生活中的种种 疑惑。
3 知识点小结
反证法是一种常用的数 学证明方法，通过假设 不成立，来证明某个命 题是真的。
初二数学反证法
本课程将介绍初二数学中的反证法概念及其应用。从实际生活中的例子出发， 帮助学生了解和掌握反证法的思路和方法。
什么是反证法？
反证法是数学证明方法之一，通过采用“假定不成立”的思路，来证明某命题为真。
基本思路
如同推翻一排多米诺骨牌的第一个骨牌，通过推 翻一个假设来证明某个命题为真。
与直接证明法的比较
么“加一地鼠”的编号应该小于等于9。
么总有一个时刻，女孩们完美的呈现
舞蹈步骤。
反证法优缺点
优点
证明思路简单易懂，适用于较为复杂的问题。
缺点
可能需要耗费较长时间，需要较强的反应能力和想象力。
反证法实战
果蝇实验
通过反证法，科学家Bernard de Jouvenel和 Georgeand Marie-Louise Teissier在实验中证明 了基因对先天特征的影响。
完美的舞蹈
2
做“加一地鼠”，可以将它向右移动一 格。假设不可能找到一种稳定的方案，
600名女孩参加了一场舞蹈比赛，假
使得最后每只地鼠都获得编号10，那
设每个女孩都在同一个时刻起舞，那
著名数学家
著名数学家ToruMatsui通过反证法，成功研究射 线切割问题。
反证法总结
1 应用范围和限制
反证法不仅可以用于数 学证明，还可以用于其 他领域。但是，必须注 意限制其使用范围。
2 实际生活中的应用
反证法的思路不仅能够 解决数学问题，还可以 用于解决生活中的种种 疑惑。
3 知识点小结
反证法是一种常用的数 学证明方法，通过假设 不成立，来证明某个命 题是真的。
初二数学反证法
本课程将介绍初二数学中的反证法概念及其应用。从实际生活中的例子出发， 帮助学生了解和掌握反证法的思路和方法。
什么是反证法？
反证法是数学证明方法之一，通过采用“假定不成立”的思路，来证明某命题为真。
基本思路
如同推翻一排多米诺骨牌的第一个骨牌，通过推 翻一个假设来证明某个命题为真。
与直接证明法的比较
么“加一地鼠”的编号应该小于等于9。
么总有一个时刻，女孩们完美的呈现
舞蹈步骤。
反证法优缺点
优点
证明思路简单易懂，适用于较为复杂的问题。
缺点
可能需要耗费较长时间，需要较强的反应能力和想象力。
反证法实战
果蝇实验
通过反证法，科学家Bernard de Jouvenel和 Georgeand Marie-Louise Teissier在实验中证明 了基因对先天特征的影响。
反证法(课件)
存真——由矛盾结果，断定反设不真，从 而肯定原结论成立。
归缪矛盾： （1）与已知条件矛盾； （2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾。
例1：求证： 在一个三角形中，至少有一个内角 小于或等于60°． 已知： △ABC． 求证： △ABC中至少有一个内角小于或等于 60°． 证明： 假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°， 即∠A＞60°， ∠B＞60°， ∠C＞60°． 于是∠A＋∠B＋∠C＞60°＋60°＋60°＝ 180°， 与三角形的内角和等于180°矛盾． 所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°． 。
假设数列{bn}中存在三项 bp、 bq、 br(p、 q、 r 互不相等)成等比数列， 则 b2 q＝bpbr，(8 分) 即(q＋ 2)2＝(p＋ 2)(r＋ 2)，
人采摘而没有了, 这与“多李”产生矛盾.
所以假设不成立,李为苦李.
反证法：
假设命题结论的反面成立，经过正确的 推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而 证明原命题成立,这样的的证明方法叫反 证法。
反证法的思维方法：
正难则反
其过程包括：
反设——假设命题的结论不成立；
归谬——从假设出发，经过一系列正确的 推理，得出矛盾；
已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1， 求证：a，b，c，d中至少有一个是负数． 证明 假设a，b，c，d都是非负数，
∵a＋b＝c＋d＝1，
∴(a＋b)(c＋d)＝1. 又∵(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd， ∴ac＋bd≤1. 这与已知ac＋bd>1矛盾，
题型三
题型三
用反证法证明否定性命题
用反证法证明否定性命题
例3 】 等差数列 {an} n 项和为 SnS ， a1 ＝ 1＋ 2， S ＝9 9＋ ＋ 2. 3＝ 【例 3】 等差数列 {的前 an}的前 n 项和为 a S3 33 2. n， 1＝1＋ 2， (1)求数列 {an}{ 的通项 an 与前 n 项和 Sn (1)求数列 an}的通项 an 与前 n 项和 S； n； Sn Sn * * (N n∈ N )，求证：数列 {n b }中任意不同的三项都不 (2)设(2) bn设 ＝b ( n ∈ ) ，求证：数列 { b } n＝ n中任意不同的三项都不 n n
归缪矛盾： （1）与已知条件矛盾； （2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾。
例1：求证： 在一个三角形中，至少有一个内角 小于或等于60°． 已知： △ABC． 求证： △ABC中至少有一个内角小于或等于 60°． 证明： 假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°， 即∠A＞60°， ∠B＞60°， ∠C＞60°． 于是∠A＋∠B＋∠C＞60°＋60°＋60°＝ 180°， 与三角形的内角和等于180°矛盾． 所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°． 。
假设数列{bn}中存在三项 bp、 bq、 br(p、 q、 r 互不相等)成等比数列， 则 b2 q＝bpbr，(8 分) 即(q＋ 2)2＝(p＋ 2)(r＋ 2)，
人采摘而没有了, 这与“多李”产生矛盾.
所以假设不成立,李为苦李.
反证法：
假设命题结论的反面成立，经过正确的 推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而 证明原命题成立,这样的的证明方法叫反 证法。
反证法的思维方法：
正难则反
其过程包括：
反设——假设命题的结论不成立；
归谬——从假设出发，经过一系列正确的 推理，得出矛盾；
已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1， 求证：a，b，c，d中至少有一个是负数． 证明 假设a，b，c，d都是非负数，
∵a＋b＝c＋d＝1，
∴(a＋b)(c＋d)＝1. 又∵(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd， ∴ac＋bd≤1. 这与已知ac＋bd>1矛盾，
题型三
题型三
用反证法证明否定性命题
用反证法证明否定性命题
例3 】 等差数列 {an} n 项和为 SnS ， a1 ＝ 1＋ 2， S ＝9 9＋ ＋ 2. 3＝ 【例 3】 等差数列 {的前 an}的前 n 项和为 a S3 33 2. n， 1＝1＋ 2， (1)求数列 {an}{ 的通项 an 与前 n 项和 Sn (1)求数列 an}的通项 an 与前 n 项和 S； n； Sn Sn * * (N n∈ N )，求证：数列 {n b }中任意不同的三项都不 (2)设(2) bn设 ＝b ( n ∈ ) ，求证：数列 { b } n＝ n中任意不同的三项都不 n n
反证法 课件
a≤－2或a≥0.
即 a∈∅.
所以实数 a 的取值范围为实数 R.
3．[变条件，变设问]已知 a，b，c，d∈R，且 a＋b＝c＋d＝1， ac＋bd＞1，求证：a，b，c，d 中至少有一个是负数． 证明：假设 a≥0，b≥0，c≥0，d≥0. ∵a＋b＝c＋d＝1， ∴(a＋b)(c＋d)＝1， ∴ac＋bd＋bc＋ad＝1. 而 ac＋bd＋bc＋ad＞ac＋bd＞1，与上式矛盾， ∴假设不成立， ∴a，b，c，d 中至少有一个是负数．
1．用反证法证明否定性命题的适用类型 结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等 词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而 反面比较具体，适合使用反证法． 2．用反证法证明数学命题的步骤
[活学活用] 如果 a，b，c 是不全相等的实数，且 a，b，c 成等差数列，求证：
1a，1b，1c不成等差数列． 证明：假设1a，1b，1c成等差数列，则2b＝1a＋1c＝a＋acc.
用反证法证明“至多”“至少”等问题的两个关注点 (1)反设情况要全面，在使用反证法时，必须在假设中 罗列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都 是不完全的． (2) 常 用 题 型 ： 对 于 否 定 性 命 题 或 结 论 中 出 现 “ 至 多”“至少”“不可能”等字样时，常用反证法．
这与三角形的内角和等于180°相矛盾。
因此，假设直角三角形有两个内角是直角 是不成立的。
所以直角三角形中最多有一个直角。
反证法：
假设命题结论的反面成立，经过正确的 推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从 而证明原命题成立,这样的的证明方法叫 反证法。
反证法的思维方法：
正难则反
例 求证： 2 是无理数。
证：假设 2是有理数，
即 a∈∅.
所以实数 a 的取值范围为实数 R.
3．[变条件，变设问]已知 a，b，c，d∈R，且 a＋b＝c＋d＝1， ac＋bd＞1，求证：a，b，c，d 中至少有一个是负数． 证明：假设 a≥0，b≥0，c≥0，d≥0. ∵a＋b＝c＋d＝1， ∴(a＋b)(c＋d)＝1， ∴ac＋bd＋bc＋ad＝1. 而 ac＋bd＋bc＋ad＞ac＋bd＞1，与上式矛盾， ∴假设不成立， ∴a，b，c，d 中至少有一个是负数．
1．用反证法证明否定性命题的适用类型 结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等 词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而 反面比较具体，适合使用反证法． 2．用反证法证明数学命题的步骤
[活学活用] 如果 a，b，c 是不全相等的实数，且 a，b，c 成等差数列，求证：
1a，1b，1c不成等差数列． 证明：假设1a，1b，1c成等差数列，则2b＝1a＋1c＝a＋acc.
用反证法证明“至多”“至少”等问题的两个关注点 (1)反设情况要全面，在使用反证法时，必须在假设中 罗列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都 是不完全的． (2) 常 用 题 型 ： 对 于 否 定 性 命 题 或 结 论 中 出 现 “ 至 多”“至少”“不可能”等字样时，常用反证法．
这与三角形的内角和等于180°相矛盾。
因此，假设直角三角形有两个内角是直角 是不成立的。
所以直角三角形中最多有一个直角。
反证法：
假设命题结论的反面成立，经过正确的 推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从 而证明原命题成立,这样的的证明方法叫 反证法。
反证法的思维方法：
正难则反
例 求证： 2 是无理数。
证：假设 2是有理数，
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复习 1.直接证明的两种基本证法： 综合法和分析法 2.这两种基本证法的推证过程和特点：
综合法 已知条件 分析法
结论
结论 由因导果 已知条件 执果索因
3、在实际解题时，两种方法如何运用？ 通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程
探究2：深度挖掘——了解反证法
反证法的证题步骤： （1）假设命题的结论不成立，即假设 结论的反面成立；-（2）从这个假设出发，经过推理论证， 得出矛盾； （3）从矛盾判定假设不正确，从而肯 定命题的结论成立;
王戎回答说:“假如李子不苦的话，早被 路人摘光了，而这树上却结满了李子，所 以李子一定是苦的。”小伙伴摘取一个尝 了一下,果然是苦李.
思考？
A、B、C三个人，A说B撒谎，B说 C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定 是在撒谎，为什么？
分析:假设C没有撒谎, 则C真. - - -- -那么A假且B假; 由 A假 , 知 B真 . 这与B假矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立; 则C必定是在撒谎.
与已知a b 0矛盾 与已知a b 0矛盾 （2）若 a = b a = b，
所以假设错误，故原命题
a b
成立
注：当结论的反面不止一种情况时，该怎么办？
提升训练
探究3：生活中有运用反证法思想的例子吗?
道 旁 苦 李
王戎七岁时，爱和小朋友结伴玩耍。一 天，他们发现路边的一棵树上结满了李子， 小朋友一哄而上去摘李子，独有王戎没动。 等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！ 他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的
王戎是怎么知 道李子是苦的呢? 他运用了怎样的
推理方法?
Байду номын сангаас
例2：在同一平面内，两条直线a,b都和直线c 垂直，求证：a与b平行
解题反思： 证明该问题的难点是哪一步？
你怎么看待反证法题目中的已知条件？
3.如果a>b>0，那么 a > b
否定要全面
证明: 假设 则
a< b 或 a= b 因为 a > 0,b > 0 所以
不大于 a
b
(1)若 a < b a b
例1：已知：a是整数，2能整除a2 求证：2能整除a。 证明：假设命题的结论不成立，即“2不能整 除a”,因为a是整数，故a是奇数 不妨设a=2n+1(n是整数)
∴a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=2(2n2+2n)+1
∴a2是奇数，则2不能整除a2 ，这与已 知矛盾。∴假设不成立，故2能整除a。
综合法 已知条件 分析法
结论
结论 由因导果 已知条件 执果索因
3、在实际解题时，两种方法如何运用？ 通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程
探究2：深度挖掘——了解反证法
反证法的证题步骤： （1）假设命题的结论不成立，即假设 结论的反面成立；-（2）从这个假设出发，经过推理论证， 得出矛盾； （3）从矛盾判定假设不正确，从而肯 定命题的结论成立;
王戎回答说:“假如李子不苦的话，早被 路人摘光了，而这树上却结满了李子，所 以李子一定是苦的。”小伙伴摘取一个尝 了一下,果然是苦李.
思考？
A、B、C三个人，A说B撒谎，B说 C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定 是在撒谎，为什么？
分析:假设C没有撒谎, 则C真. - - -- -那么A假且B假; 由 A假 , 知 B真 . 这与B假矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立; 则C必定是在撒谎.
与已知a b 0矛盾 与已知a b 0矛盾 （2）若 a = b a = b，
所以假设错误，故原命题
a b
成立
注：当结论的反面不止一种情况时，该怎么办？
提升训练
探究3：生活中有运用反证法思想的例子吗?
道 旁 苦 李
王戎七岁时，爱和小朋友结伴玩耍。一 天，他们发现路边的一棵树上结满了李子， 小朋友一哄而上去摘李子，独有王戎没动。 等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！ 他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的
王戎是怎么知 道李子是苦的呢? 他运用了怎样的
推理方法?
Байду номын сангаас
例2：在同一平面内，两条直线a,b都和直线c 垂直，求证：a与b平行
解题反思： 证明该问题的难点是哪一步？
你怎么看待反证法题目中的已知条件？
3.如果a>b>0，那么 a > b
否定要全面
证明: 假设 则
a< b 或 a= b 因为 a > 0,b > 0 所以
不大于 a
b
(1)若 a < b a b
例1：已知：a是整数，2能整除a2 求证：2能整除a。 证明：假设命题的结论不成立，即“2不能整 除a”,因为a是整数，故a是奇数 不妨设a=2n+1(n是整数)
∴a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=2(2n2+2n)+1
∴a2是奇数，则2不能整除a2 ，这与已 知矛盾。∴假设不成立，故2能整除a。