10-2高中数学核动力

第10章第2节1．(2013·山东模拟)某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有()A．36种B．42种C．48种D．54种【解析】因为丙必须排在最后一位，因此只需考虑其余五人在前五位上的排法．当甲排在第一位时，有A44＝24种排法，当甲排在第二位时，有A13·A33＝18种排法，所以共有方案24＋18＝42(种)，故选B.【答案】 B2．在大桥上有12个固定的哨位，但平时只派9人执勤，规定两端的哨位必须有人执勤，也不能让相邻哨位都空岗，则不同的排岗方法有()A．C38种B．A38种C．C38A99种D．A39种【解析】将3个空岗插入9个实岗的8个空隙之间，有C38种插法，每一种插法都对应着一种排岗方法，因此一共有C38种排岗方法．故应选A.【答案】 A3．(2012·上海高考改编)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的种数共有()A．9种B．18种C．36种D．72种【解析】若有且仅有两人选择的项目完成相同，则有C23C23C12＝18.【答案】 B4．某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，又工程丁必须在工程丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同排法种数是________(用数字作答)．【解析】可将6项工程分别用甲、乙、丙、丁、a、b表示，要求是甲在乙前，乙在丙前，并且丙丁相邻丙在丁前，可看作甲、乙、丙丁、a、b五个元素的排列，可先排a、b，再排甲、乙、丙丁共A25C33＝20种排法，也可先排甲、乙、丙丁，再排a、b，共C35A22＝20种排法．【答案】205．某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？ (2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？ (3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？ 【解】 (1)只需从其他18人中选3人即可，共有C 318＝816(种)； (2)只需从其他18人中选5人即可，共有C 518＝8568(种)；(3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有C 12C 418＋C 318＝6936(种)；(4)法一(直接法)：至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类：一内四外；二内三外；三内二外；四内一外，所以共有C 112C 48＋C 212C 38＋C 312C 28＋C 412C 18＝14656(种)．法二(间接法)：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得C 520－(C 512＋C 58)＝14656(种)．课时作业【考点排查表】1．不等式A x 8＜6A x －28的解集为( )A ．[2,8]B ．[2,6]C ．(7,12)D ．{8}【解析】 ∵8！(8－x )！＜6×8！(10－x )！，∴x 2－19x ＋84＜0，∴7＜x ＜12.又x ≤8，x －2≥0.∴7＜x ≤8，即x ＝8. 【答案】 D2．(2013·聊城模拟)某教师一天上午3个班线的课，生班一节，如果一天共9节课，上午5节，下午4节，并且教师不能连上3节课(第5和第6节不算连上)那么这位教师一天的课的所有排法有( )A ．474种B ．77种C ．462种D ．79种【解析】 首先不受限制时，从9节课中注意安排3节，有A 39＝504种排法，其中上午连排3节的有3A 33＝18种，下午连排3节的有2A 33＝12种，则这位教师一天的课程表的所有排法有504－18－12＝474种．【答案】 A3．(2012·河北衡水中学高三测试)把6张座位编号为1,2,3,4,5,6的电影票分发给4个人，每人至少1张，最多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是() A．168 B．96C．72 D．144【解析】由题意得两张票连续有如下情形：(1,2)与(3,4)，(1,2)与(4,5)，(1,2)与(5,6)，(2,3)与(4,5)，(2,3)与(5,6)，(3,4)与(5,6)，则不同的方法种类为6×A44＝144.【答案】 D4．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有()A．30种B．35种C．42种D．48种【解析】法一：分两种情况：(1)2门A,1门B有C23C14＝12种选法；(2)1门A,2门B 有C13C24＝3×6＝18种，∴N＝12＋18＝30.法二：排除法：A类3门，B类4门，共7门，选3门，A、B各至少选1门，有C37－C33－C34＝35－1－4＝30种选法．故选A.【答案】 A5．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是() A．152 B．126C．90 D．54【解析】由于五个人从事四项工作，而每项工作至少一人，那么每项工作至多两人，因为甲、乙不会开车，所以只能先安排司机，分两类：(1)先从丙、丁、戊三人中任选一人开车；再从其余四人中任选两人作为一个元素同其他两人从事其他三项工作，共有C13C24A33种．(2)先从丙、丁、戊三人中任选两人开车；其余三人从事其他三项工作，共有C23A33种．所以，不同安排方案的种数是C13C24A33＋C23A33＝126(种)．故选B.【答案】 B6．(2013·日照模拟)在小语种提前招生考试中某学校获得5个推荐名额，共中俄语2名，日语2名，西班牙语1名，并且日语和俄语都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有()A．20种B．22种C．24种D．36种【解析】三个男生每个语种各推荐一人时有A33A22种，两个男生被推荐到同一语种时有C 23A 22A 22种，故共有A 33A 22＋C 23A 22A 22＝24.【答案】 C 二、填空题7．某班一天上午有4节课，每节都需要安排一名教师去上课，现从A ，B ，C ，D ，E ，F 6名教师中安排4人分别上一节课，第一节课只能从A 、B 两人中安排一人，第四节课只能从A 、C 两人中安排一人，则不同的安排方案共有________．【解析】 由于教师A 在第一节与第四节课中都涉及，为此应分开处理较好，第一节课教师A 上，则第四节课必由教师C 上，此时有A 24＝12种，如果第一节由教师B 上，则第四节应由教师A 、C 中一人上，此时有A 12A 24＝24，故共有36种不同的排法．【答案】 368．7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种(用数字作答)．【解析】 法一：先从7人中任取6人，共有C 67种不同的取法，再把6人分成两部分，每部分3人，共有C 36C 33A 22种分法．最后排在周六和周日两天，有A 22种排法． ∴C 67×C 36C 33A 22×A 22＝140种．法二：先从7人中选取3人排在周六，共有C 37种排法，再从剩余4人中选取3人排在周日，共有C 34种排法，∴共有C 37×C 34＝140种．【答案】 1409．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个(用数字作答)【解析】 个数为24－2＝14. 【答案】 14 三、解答题10．已知甲组有2n 人，乙组有n ＋1人，设从甲组中选3人分别参加数、理、化三科竞赛(每科竞赛限1人参加)的选法种数是x ，从乙组中选出4人站成一排的站法种数是y ，若x ＝2y ，求n ，x 和y .【解】 依题意x ＝A 32n ，y ＝A 4n ＋1，由x ＝2y ，有A 32n ＝2A 4n ＋1，即2n (2n －1)(2n －2)＝2(n ＋1)n (n －1)(n －2)． ∵n ≠0，n ≠1，∴2(2n －1)＝(n ＋1)(n －2)，即n 2－5n ＝0，∴n ＝5，x ＝720，y ＝360.11．(2012·苏北四市联考)有3张都标着字母A,6张分别标着数字1,2,3,4,5,6的卡片，若任取其中5张卡片组成牌号，则可以组成的不同牌号的总数是多少？【解】若无字母A，则有A56种；若含有一个字母A，则有C46A55种；若含有两个字母A，则有C36·A35种；若含有三个字母A，则有C26·A25种，综上所述，共有A56＋C46A55＋C36·A35＋C26·A25＝4020种．12．将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4个不同盒子中的3个中，使得有1个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法共有多少种？【解】先选1空盒：C14，将4白、5黑、6红分别放入其余三个盒中，每盒1个，剩1个白球有3种放法，剩2个黑球有3＋C23＝6种放法，剩3个红球有3＋1＋A23＝10种放法，由分步乘法原理，得C14×6×3×10＝720种．四、选做题13．霓虹灯的一个部位由7个小灯泡并排组成，每个灯泡均可以亮出红色或黄色，现设计每次变换只闪亮其中的三个灯泡，且相邻的两个灯泡不同时亮，则一共可以呈现出不同的变换形式的种数为()A．20 B．30C．50 D．80【解析】按照三个灯泡同色、三个灯泡两红一黄、三个灯泡一红两黄将问题分为三类：第一类：三个灯泡同色时，可以呈现出不同的变换形式的种数为C35×2＝20种；第二类：三个灯泡两红一黄时，可以呈现出不同的变换形式的种数为C35×C23＝30种；第三类：三个灯泡一红两黄时，可以呈现出不同的变换形式的种数为C35×C23＝30种．故呈现出满足条件的不同的变换形式的种数为20＋30＋30＝80.【答案】 D。