2012高数3A卷 最后
历年考研数学三真题及答案解析
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）曲线221x xyx+=-渐近线的条数为（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3（2）设函数2()(1)(2)x x nxf x e e e n=--…（-），其中n为正整数，则(0)f'=（）（A）1(1)(1)!n n---（B）(1)(1)!n n--（C）1(1)!n n--（D）(1)!n n-（3）设函数()f t连续，则二次积分22202cos()d f r rdrπθθ⎰⎰=（）（A）222() dx x y dy+⎰（B）222() dx f x y dy+⎰（C）2221() dx x y dy+⎰⎰（D）2221() dx x y dy+⎰⎰（4）已知级数11(1)inα∞=-∑绝对收敛，21(1)ninα∞-=-∑条件收敛，则α范围为（）（A）0<α12≤（B）12< α≤1（C）1<α≤32（D）32<α<2（5）设1234123400110,1,1,1c c c c αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中1234c c c c ，，，为任意常数，则下列向量组线性相关的是（） （A ）123ααα，， （B ）124ααα，，（C ）134ααα，，（D ）234ααα，，（6）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且P-1AP=112⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 123=P ααα（，，），1223=Q αααα（+，，）则1=Q AQ -（）（A ）121⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（B ）112⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （C ）212⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（D ）221⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （7）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，则+P X Y ≤22｛1｝（ ）（A ）14（B ）12（C ）8π（D ）4π（8）设1234X X X X ，，，为来自总体N σσ>2（1，）（0）的简单随机样本，则统计量1234|+-2|X X X X -的分布（）（A ）N （0，1）（B ）(1)t（C ）2(1)χ （D ）(1,1)F二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）1cos sin 4lim(tan )x xx x π-→（10）设函数ln 1(),(()),21,1x dy x f x y f f x dx x x =⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩求___________.（11）函数(,)z f x y =满足010,x y →→=则(0,1)dz =_______.（12）由曲线4y x =和直线y x =及4y x =在第一象限中所围图形的面积为_______.（13）设A 为3阶矩阵，|A|=3，A*为A 的伴随矩阵，若交换A 的第一行与第二行得到矩阵B ，则|BA*|=________.（14）设A,B,C 是随机事件，A,C 互不相容，11(),(),23P AB P C ==则C P AB （）=_________.解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）计算222cos 40lim x xx e e x -→-（16）（本题满分10分）计算二重积分xD e xydxdy⎰⎰，其中D为由曲线y y ==所围区域.（17）（本题满分10分）某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000（万元），设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x(件)和y(件)，且固定两种产品的边际成本分别为20+2x（万元/件）与6+y （万元/件）.1）求生产甲乙两种产品的总成本函数(,)C x y （万元）2）当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本. 3）求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义.（18）（本题满分10分）证明：21ln cos1,1 1.12x xx x xx++≥+-<< -（19）（本题满分10分）已知函数()f x满足方程()()2()0f x f x f x"'+-=及()()2x f x f x e '+=1）求表达式() f x2）求曲线的拐点22()()xy f x f t dt =-⎰（20）（本题满分10分）设1001010100100010aaA baa⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（I）求|A|（II）已知线性方程组Ax b=有无穷多解，求a，并求Ax b=的通解.(21)（本题满分10分）已知1010111001Aaa⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦，二次型123(,,)()f x x x x xT T=A A的秩为2，求实数a的值；求正交变换x=Qy将f化为标准型.（22）（本题满分10分）已知随机变量X,Y 以及XY 的分布律如下表所示：求（1）P(X=2Y); （2）cov(,)XY X Y Y -ρ与.（23）（本题满分10分） 设随机变量X和Y相互独立，且均服从参数为1的指数分布，min(,),=max(,).V X Y U X Y =求（1）随机变量V 的概率密度； （2）()E U V +.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。
2012年考研数学三真题与答案解析
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)曲线221x x y x +=-渐近线的条数为( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2)设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =--- ，其中n 为正整数，则'(0)f =( ) (A)1(1)(1)!n n --- (B)(1)(1)!n n -- (C)1(1)!n n -- (D)(1)!n n -(3)设函数()ft 连续，则二次积分22202cos d ()d f r r r πθθ=⎰⎰( )(A)2220d ()d x x y y +⎰ (B)2220d ()d x f x y y +⎰(C)222d ()d y x y x +⎰(D)22201d ()d y f x y x +⎰(4)已知级数11(1)n n α∞=-∑绝对收敛，级数21(1)n a n n∞-=-∑条件收敛，则( )(A)102a <≤(B)112a <≤ (C)312a <≤ (D)322a << (5)设1100C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2201C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,3311C α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,4411C α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,其中1234,,,C C C C 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )(A)123,,ααα (B)124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(6) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若P=（123,,ααα），1223(,,)ααααα=+，则1Q AQ -=( )(A)100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B)100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C)200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(7)设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间（0.1）上的均匀分布，则{}221P X Y +≤=( )(A)14 (B)12 (C)8π (D)4π (8)设1234,,,X X X X 为来自总体2(1,)N σ（σ>0）的简单随机样本，则统计量1234|2|X X X X -+-的分布为( )(A)N （0,1） (B)t(1) (C)2(1)χ (D)F(1,1)二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)()1cos sin 4lim tan x xx x π-→=(10)设函数()ln ,121,1x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，()()y f f x =，则x edy dx ==(11)设连续函数(,)z f x y =满足0x y →→=则()0,1d |z =(12)由曲线4y x=和直线y x =及4y x =在第一象限中围成的平面图形的面积为 (13)设A 为3阶矩阵，3A =，*A 为A 的伴随矩阵。
广州大学2012-2013高等数学Ⅲ(A)解析版
广州大学2012-2013学年第一学期考试卷高等数学Ⅲ（A 卷）参考解答与评分标准一、判断题（每小题2分，共10分；对的“√”，错的“×”）1．（ √ ）有限个连续函数的复合函数是连续函数.2．（ × ）若()f x 在(),a b 内连续，则()f x 在(),a b 内有最大值.3．（ × ）若()f x 在[],a b 上不连续，则()f x 在[],a b 上不可积. 4．（ × ）若a 是()f x 的极小值点，则()0f a '=.5．（ √ ）()ln 13x +与tan x 是0x →时的同阶无穷小量.二、填空题（每空3分，共15分）1．0sin3lim2x x x →=（ 32 ）. 2．29991002(99sin 99)d x x x x x -++=⎰（ 0 ）.3．2lim 1xx x x →∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭（ 2e - ）. 4．()0dsin d d x t e t tx=⎰（ sin xe x ）. 5．sin3lim 2x x x →+∞=（ 0 ）.三、求导数或微分（每小题6分，共18分）1．设()2ln 1y x x =++，求d y . 解：221(1)1y x x x x ''=++++------2分 221(1)11x x x x =++++------4分211x =+------5分211dy y dx dx x '==+------6分2．2sin ln 0yx x y -+=，求d d y x. 解：两边关于x 求导 22cos 0y y x yx x y''+-+=------4分 222cos 0yy x y x y x y ''+-+= 22cos 21dy y x y x y dx yx -'==+------6分3．设2(arccos )y x =，求y '. 解：2arccos (arccos )y x x '=⋅------2分 212arccos ()1()x x x '=-⋅-------4分 2arccos xx x =--------6分四、求极限（每小题6分，共12分）1．0lim xx x +→. 解：令x y x =，两边取对数得 ln ln y x x =------2分000ln lim ln lim ln lim 1x x x x y x x x+++→→→==0021lim lim()01x x x x x ++→→==-=-------5分000lim lim 1x x x y x e ++→→===------6分2．()lim 3x x x →+∞+-. 解：原式(3)(3)lim 3x x x x x x x→+∞+-++=++------2分 3lim 3x x x→+∞=++------4分 0=------6分五、求积分（每小题6分，共18分）1．21d 1x x-⎰. 解：211111()1(1)(1)211x x x x x==+--+-+------2分 21111()1211dx dx dx x x x=+--+⎰⎰⎰ 1[ln(1)ln(1)]2x x C =+--+------5分 11ln 21x C x+=+-------6分2．2204d x x -⎰.解：令2sin x t =，[0,]2t π∈，2cos dx tdt =------2分 22220044cos x dx tdt π-=⎰⎰------4分 202(1cos 2)t dt π=+⎰------5分[]202sin 2t t π=+π=------6分3．d x xe x -⎰.解：x xe dx -⎰x xde -=-⎰()x x xe e dx --=--⎰------3分()x x xe e d x --=---⎰------5分x x xe e C --=--+------6分六、证明题（6分）证明：函数()||2f x x =+在0x =处连续，但不可导. 证明：因为00lim ()lim 22(0)x x f x x f →→=+== 所以()f x 在0x =处连续------1分因为 00()(0)22(0)lim lim 10x x f x f x f x x+++→→-+-'===-------3分00()(0)22(0)lim lim 10x x f x f x f x x---→→--+-'===--------5分 于是(0)(0)f f +-''≠，所以()f x 在0x =处不可导------6分七、应用题（每小题7分，共21分）1．某小车租赁公司有40部小车要出租，当租金定为每小时30元时，小车可全部租出去. 当租金每小时每增加1元时，就有一部小车租不出去. 试问租金定为多少时，可以获得最大收入？解：设小车每小时的租金为30x +元（0,1,2,x =），租出去的小车数为40x -部，公司每小时的收入为y . 于是(30)(40)y x x =+-212010x x =+-，------4分102y x '=-，令0y '=得5x =，稳定点为5x =.------6分由于函数只有一个稳定点5x =，依题意知：当租金为每小时35元时，公司可获得最大的收入.------7分2．求22y x x=-的单调区间与极值. 解：333414x y x x -+'=+=------1分 稳定点为34x =-，不可导点为0x =------3分3(,4)x ∈-∞-，0y '>，y 递增------4分3(4,0)x ∈-，0y '<，y 递减------5分(0,)x ∈+∞，0y '>，y 递增------6分 极大值2113333333223(4)4223224y ---=--=--=-⋅=-------7分3．求正弦曲线sin y x =与直线14x π=，32x π=，0y =所围成的平面图形的面积.解：324sin d sin d S x x x x ππππ=-⎰⎰------4分324(cos )cos x x ππππ=-+------5分 2(1)[0(1)]2=++--222=+------7分。
2012级高等数学3(a卷)
东华大学2012~ 2013学年第二学期试卷 (A 卷)踏实学习，弘扬正气；诚信做人，诚实考试；作弊可耻，后果自负。
课程名称 高等数学（3） 使用专业 2012级全校卓越班 教师 班号_______姓名___________学号 考试教室一．填空、选择题（每小题 3分，总计 36分 ） 1.将函数1()f x x=展开成(2)x -的幂级数 。
2. 当1x =-时幂级数1(1)nn n a x ∞=-∑条件收敛，则级数1nn a∞=∑ 。
(A) 条件收敛； (B) 绝对收敛； (C) 发散； (D) 收敛性不能确定。
3. 设()21,0,1,0,x f x x x ππ--<≤⎧=⎨+<≤⎩则该函数以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛到 ，在0x =时收敛到。
4.设有以下命题: (1)若1nn a∞=∑收敛，则部分和数列{}n S 有界；（2）若lim 0n n a →∞=，则1nn a∞=∑收敛；(3)设0n a >，若1n n a ∞=∑收敛，则1lim 1n n na a ρ+→∞=<；(4) 1cos )n n π∞=-收敛。
则以上命题中正确的是 。
（多选题）5.设,(3,5,8),(1,1,)a b a b a b z +=-=-=-，则z = 。
6. 物体在恒力367F i j k =-+作用下沿直线从点(2,1,3)移动到点(9,4,6)，则力F 所作的功为 。
7.母线平行于x 轴且通过曲线222222216x y z x y z ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩的柱面方程为 。
8. 直线1158:121x y z l --+==-与26,:2=3,x y l y+z -=⎧⎨⎩的夹角为 。
9.曲线22,21x y z x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在点(1,1,1)处的切线对于y 轴的倾角是 。
10.已知函数f 有连续的二阶偏导数，222,3,f fx y ax y x y∂∂=+=+∂∂则a = 。
2012年考研数学(三)真题
2
，
X3
X4 2
2 2
~
x2
1
，
X1
X2 2
X3
X4 2
2
2
1 X1 X 2 ~ t 1
X3 X4 2
。
二、填空题 9．
【答案】 e 2
【解析】
1
lim(tan x)cos xsin x
1
lim[1 (tan x 1)]cos xsin x
lim tan x1
ex cos xsin x 4
(y) 6y 1 y2 C
C(x, y) 20x x2 6 y 1 y2 C
6． 【答案】B
1 0 0
1 0 0
1 0 0
1 0 0
Q
【解析】
P
1 0
1 0
0 1
Q
1
1 0
1 0
0 1
P
1
，可得
Q
1
AQ
1 0
1 0
0 1
P
1
AP
1 0
1 0
0 1
1 0 01 0 01 0 0 1 0 01 0 0 1 0 0
Q 1 AQ
1 0
1 0
0 1
0 0
1 0
0 2
1 0
1 0
f (x 2 y 2 )dy
（B） 0
2x x2
2
4x2
dx
x 2 y 2 f (x 2 y 2 )dy
（C） 0
1 2 x x2
2
4x2
dx
f (x 2 y 2 )dy
（D） 0
1 2 x x2
(1) n
4．已知级数 i1
2012考研数三真题及解析
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、选择题：1～8 小题，每小题4 分，共32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.x 2 x（1）曲线y2渐近线的条数为（）x 1（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【答案】：Cx 2 xlim1 x 21 ，所以x 1为垂直的【解析】：xx 2 xli m21，所以y 1为水平的，没有斜渐近线故两条选C x x 1（2）设函数f x ( ) (e x 1)(e 2x 2) (e nx n ) ，其中n 为正整数，则f ' (0) （A ） ( 1)n 1(n 1)! （B ） ( 1) (n n 1)! （C ） ( 1)n 1n ! （D ） ( 1)n n ! 【答案】：C （ A ） yfx x dx dyy xxx ) ( 2242 2 2 2 0 22（ B ） dx fx y dyxxx) (224 2 20 22（ C ）dyx yfx y dx xxx ( ) 224 1 2 2220 22【解析】：f ' (x ) e e x ( 2x 2) (e nx n ) (e x 1)(2e 2x 2) (e nx n ) (e x 1)(e 2x2) (ne nx n ) 所以f ' (0) ( 1)n 1n !2数f t ( ) 连续，则二次积分2df r ( 2 )rdr =（）（3）设函2 cos 2dx y 2 )dy（D ）【答案】：（B ）【解析】：由x y 解得y 的下界为2x x 2 ，由x 2 y 2 2 解得y 的上界为4 x 2 .故排除答案（C ）（D ）. 将极坐标系下的二重积分化为X 型区域的二重积分得到被积函数为f x ( 2y 2 ) ，故选（B ）.n1 绝对收敛， ( 1)n条件收敛，则 范围为（）（4）已知级数( 1)n sin2i 1ni 1n（A ）0 （B ） 1 （C ）1 （D ） 2【答案】：（D ）n1 【解析】：考察的知识点是绝对收敛和条件收敛的定义及常见的p 级数的收敛性结论.( 1)n si nfxx xx ( 24 1 2 2222xi 1 n3 ( 1)n绝对收敛可知 ； 条件收敛可知 2，故答案为（D）22 i 1 n0 0 1 1（5）设 1, 21, 31, 41其中c c cc1, 2 , 3 , 4 为任意常数，则下列向量组线性相关c1 c2的是（）（A） 1, 2 , 3（C） 1, 3 , 4【答案】：（C）【解析】：由于1, 3 , 4 0c1（6 ）设A 为3 阶矩阵，Pc3 c4（B） 1, 2 , 4（D） 2, 3 , 41 11 11 0，可知 1, 3 , 4 线性相关。
2012年考研数学三真题及答案
2012年考研数学三真题一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
）(1)曲线y=x2+xx2-1渐近线的条数为(A)0 (B)1(C)2 (D)3【答案】C。
【解析】由limx→+∞y=limx→+∞x2+xx2-1=1=limx→-∞y=limx→-∞x2+xx 2-1,得y=1是曲线的一条水平渐近线且曲线没有斜渐近线；由limx→1y=limx→1x2+xx2-1=∞得x=1是曲线的一条垂直渐近线；由limx→-1y=limx→-1x2+xx2-1=12得x=-1不是曲线的渐近线；综上所述，本题正确答案是C【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸、拐点及渐近线(2)设函数fx=(ex-1)(e2x-2)⋯(enx-n),其中n为正整数，则f'0=(A)-1n-1n-1! (B) -1nn-1!(C)-1n-1n! (D) -1nn!【答案】A【解析】【方法1】令gx=(e2x-2)⋯(e nx-n),则fx=(ex-1)gxf'(x)=exgx+(ex-1)g'xf'0=g0=-1-2⋯(-(n-1))=-1n-1n-1!故应选A.【方法2】由于f0=0,由导数定义知f'0=limx→0f(x)x=limx→0(ex-1)(e2x-2)⋯(enx-n)x=limx→0(ex-1)x∙limx→0(e2x-2)⋯(enx-n)=-1-2⋯-n-1=-1n-1n-1!.【方法3】排除法，令n=2,则fx=(ex-1)(e2x-2)f'x=exe2x-2+2e2x(ex-1)f'0=1-2=-1则(B)(C)(D)均不正确综上所述，本题正确答案是(A)【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念(3)设函数f(t)连续，则二次积分0π2dθ2cosθ2f(r2)rdr=(A)02dx2x-x24-x2x2+y2f(x2+y2)dy(B) 02dx2x-x24-x2f(x2+y2)dy(C) 02dy1+1-y24-y2x2+y2f(x2+y2)dx(D) 02dy1+1-y24-y2f(x2+y2)dx【答案】B。
2012研究生入学考试数三真题答案
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）【答案】：C 【解析】：221lim1x x x x →+=∞-，所以1x =为垂直的22l i m 11x x x x →∞+=-，所以1y =为水平的，没有斜渐近线 故两条选C（2）【答案】：C【解析】：'222()(2)()(1)(22)()(1)(2)()x x nx x x nx x x nx f x e e e n e e e n e e ne n =--+---+--- 所以'(0)f =1(1)!n n -- （3）【答案】：（B ） 【解析】：由22yxx +≤解得y 的下界为22xx -，由222≤+y x 解得y 的上界为24x -.故排除答案（C ）（D ）. 将极坐标系下的二重积分化为-X 型区域的二重积分得到被积函数为)(22y x f +，故选（B ）. （4）【答案】：（D ）【解析】：考察的知识点是绝对收敛和条件收敛的定义及常见的p 级数的收敛性结论.∑∞=-11sin)1(i nnn α绝对收敛可知23>α；∑∞=--12)1(i nnα条件收敛可知2≤α，故答案为（D ）（5）【答案】：（C ）【解析】：由于()13411341111,,011011c c c c ααα--=-==-，可知134,,ααα线性相关。
故选（C ）（6）【答案】：（B ） 【解析】：100110001Q P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则11100110001Q P --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，故111001001001100111011011011101001001012012Q AQ P AP --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选（B ）。
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)真题及解析
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)曲线221x xy x +=-渐近线的条数为( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2)设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---，其中n 为正整数，则'(0)f =( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B)(1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -(3)设函数()f t 连续，则二次积分22202cos d ()d f r r r πθθ=⎰⎰( )(A)222d ()d x x y y +⎰(B)2220d ()d x f x y y +⎰(C) 222d ()d y x y x +⎰(D)22201d ()d y f x y x +⎰(4)已知级数11(1)n nα∞=-∑绝对收敛，级数21(1)nn nα∞-=-∑条件收敛，则 ( )(A) 102α<≤(B) 112α<≤ (C) 312α<≤ (D)3 22α<< (5)设1100c α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2201c α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,3311c α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,4411c α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(6) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若123(,,)P ααα=，1223(,,)Q αααα=+，则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(B) 100010002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(7)设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间（0.1）上的均匀分布，则{}221P X Y +≤= ( ) (A)14 (B) 12 (C) 8π (D)4π(8)设1234,,,X X X X 为来自总体2(1,)N σ(0)σ>的简单随机样本，则统计量1234|2|X X X X -+-的分布为 ( )(A) N （0,1） (B) t(1) (C) 2(1)χ (D)(1,1F ） 二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)()1cos sin 4lim tan x xx x π-→=(10)设函数(),121,1x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩， ()()y f f x =，则x edy dx ==(11)设连续函数(,)z f x y =满足0x y →→=则()0,1d |z =(12)由曲线4y x=和直线y x =及4y x =在第一象限中围成的平面图形的面积为 (13)设A 为3阶矩阵，3A =，*A 为A 的伴随矩阵。
江苏省2012届高三最后一卷数学试题(解析版)
2012江苏高考最后一卷数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应的位．．．．．．．置上．．． 1．若函数cos()3y x πω=+(0)ω>的最小正周期是π，则ω= ▲ ．2．若复数(12)(1)i ai ++是纯虚数，则实数a 的值是 ▲ ．3．已知平面向量(1,1)a =-，(2,1)b x =-，且a b ⊥，则实数x = ▲ ．4．一个袋中有3个大小质地都相同的小球，其中红球1个，白球2个，现从袋中有放回．．．地取球，每次随机取一个，则连续取两次都是白球的概率是▲ ．5．右图是某程序的流程图，则其输出结果为 ▲ ． 6．给出下列四个命题：（1）如果平面α与平面β相交，那么平面α内所有的直线都与平面α相交（2）如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β（3）如果平面α⊥平面β，那么平面α内与它们的交线不垂直的直线与平面β也不垂直（4）如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β真命题．．．的序号是 ▲ ．（写出所有真命题的序号） 7．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦点到一条渐近线的距离等于实轴长，那么该双曲线的离心率为 ▲ ．8．已知二次函数()f x =241ax x c -++的值域是[1,)+∞，则19a c+的最小值是 ▲ ． 9．设函数3()32f x x x =-++，若不等式2(32sin )3f m m θ+<+对任意R θ∈恒成立，则实数m 的取值范围为 ▲ ．10．若动点(,)P m n 在不等式组2400x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域内部及其边界上运动，则1n mt m -=+的取值范围是 ▲ ． 11．在ABC ∆中，AB 边上的中线2CO =，若动点P 满足221sin cos 2AP AB AC θθ=⋅+⋅()R θ∈，则()PA PB PC +⋅的最小值是 ▲ ．（第5题）A BC DD 1C 1B 1A 1 12．设D 是函数()y f x =定义域内的一个区间，若存在D x ∈0，使00()f x x =-，则称0x 是()f x 的一个“次不动点”，也称()f x 在区间D 上存在次不动点．若函数25()32f x ax x a =--+在区间[1,4]上存在次不动点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．13．将所有的奇数排列如右表，其中第i 行第j 个数表示为ij a ，例如329a =．若445ij a =，则i j += ▲ ．14．若实数,,a b c 成等差数列，点(1,0)P -在动直线0ax by c ++=上的射影为M ，点(3,3)N ，则线段MN 长度的最大值是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为,,a b c ，且2cos cos cos a B c B b C =+． （1）求角B 的大小；（2）设向量(cos ,cos 2)m A A =，(12,5)n =-，求当m n ⋅取最大值时，tan(4A π-的值．16．（本小题满分14分）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是直角梯形，90BAD ADC ∠=∠=︒，2AB AD =，CD AD =．（1）求证：1B CB ∠是二面角1B AC B --的平面角；（2）在A 1B 1上是否存一点P ，使得DP 与平面BCB 1与平面ACB 1都平行？证明你的结论．17．（本小题满分14分）某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间，运输成本由燃料费用和其它费用组成，已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（比例系数为0.5），其它费用为每小时m 元，根据市场调研，得知m 的波动区间是[1000,1600]，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时．（1）请将从甲地到乙地的运输成本y （元）表示为航行速度x （海里/小时）的函数； （2）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？1 3 5 7 9 11 ……（第12题）18．（本小题满分16分）已知中心在原点O 、焦点在x 轴上的椭圆C 过点(2,1)M ．如图，平行于OM 的直线l 交椭圆C 于不同的两点,A B ．（1）当直线l 经过椭圆C 的左焦点时，求直线l 的方程； （2）证明：直线,MA MB 与x 轴总围成等腰三角形．19．（本小题满分16分）已知函数21()(21)2ln 2f x ax a x x =-++，其中常数0a >． （1）求()f x 的单调区间；（2）如果函数(),(),()f x H x g x 在公共定义域D 上，满足()()()f x H x g x <<，那么就称()H x 为()f x 与()g x 的“和谐函数”．设2()4g x x x =-，求证：当522a <<时，在区间(0,2]上，函数()f x 与()g x 的“和谐函数”有无穷多个．20．（本小题满分16分）已知无穷数列{}n a 的各项均为正整数，n S 为数列{}n a 的前n 项和．（1）若数列{}n a 是等差数列，且对任意正整数n 都有()33n n S S =成立，求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数n ，从集合12{,,,}n a a a 中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与12,,,n a a a 一起恰好是1至n S 全体正整数组成的集合．（i ）求12,a a 的值；（ii ）求数列{}n a 的通项公式．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答．题卡指定区域．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修41-：几何证明选讲如图，设AB 为⊙O 的任一条不与直线l 垂直的直径，P 是⊙O 与l 的公共点，AC ⊥l ，BD ⊥l ，垂足分别为C 、D ，且PC PD =，求证：PB 平分∠ABD ．B ．选修42-：矩阵与变换 已知矩阵122A x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征值为1-，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．C ．选修44-：坐标系与参数方程 若直线22x t y t =⎧⎨=-⎩（参数R t ∈）与圆cos sin x y aθθ=⎧⎨=+⎩（参数[0,2)θπ∈，a 为常数）相切，求a 的值．D ．选修45-：不等式选讲若对于一切实数x ，不等式|21||1||||21|x x x a -+-≥⋅+恒成立，求实数a 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）一个口袋装有5个红球，3个绿球，这些球除颜色外完全相同，某人一次从中摸出3个球，其中绿球的个数记为X ．（1）求摸出的三个球中既有红球又有绿球的概率； （2）X 的分布列及X 的数学期望．23．（本小题满分10分）已知数列{}n a 中，112a <<，21112n n na a a +=+-(*)n N ∈． （1）求证：3113(,)82a ∈；（2）求证：当3n ≥时，1|2n n a <．2012江苏高考最后一卷 试题答案与评分标准数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1．【解析】本题主要考查三角函数的周期性． 【答案】2 2．【解析】本题主要考查复数的概念和运算． 【答案】123．【解析】本题主要考查平面向量的垂直． 【答案】3 4．【解析】本题主要考查古典概型．【答案】495．【解析】本题主要考查流程图．【答案】201120126．【解析】本题主要考查立体几何中的平行与垂直关系． 【答案】（3）（4） 7．【解析】本题主要考查圆锥曲线中离心率的计算．8．【解析】本题主要考查基本不等式． 【答案】3 9．【解析】本题主要考查函数的性质． 【答案】(,4)(1,)-∞-+∞ 10．【解析】本题主要考查线性规划． 【答案】2[,4]3- 解答如下：画出可行域（如图所示阴影部分），而1111n m n t m m -+==-++，其中11n m ++表示(,)P m n 与点(1,1)--连线的斜率k ，由图可知1[,5]3k ∈，故21[,4]3t k =-∈-11．【解析】本题主要考查平面向量的概念与数量积．【答案】2- 解答如下：因为22221sin cos sin cos 2AP AB AC AO AC θθθθ=⋅+⋅=⋅+⋅且22sin ,cos [0,1]θθ∈，所以点P 在线段OC 上，故()2P A P B P C P O P C +⋅=⋅，设||PO t =([0,2])t ∈，则2()2(2)(1)24P A P B P C t t t t +⋅=-⋅-=-，当1t =时取最小值2-12．【解析】本题主要考查函数的概念和最值． 【答案】1(,]2-∞ 解答如下：由题意，存在[1,4]x ∈，使25()()202g x f x x ax x a =+=--+=．当1x =时，使1(1)02g =≠；当1x ≠时，解得2452(1)x a x -=-．设245()2(1)x h x x -=-，则由222252'()0(1)x x h x x -+-==-，得2x =或12x =（舍去），且()h x 在(1,2)上递增，在(2,4)上递减．因此当2x =时，2451()2(1)2x g x x -==-最大，所以a 的取值范围是1(,]2-∞．13．【解析】本题主要考查数列的通项．【答案】34 解答如下：可以求得通项221ij a i i j =-+-，所以221445i i j -+-=且1j i ≤≤，从而22444446i i i i ⎧-≤⎪⎨+≥⎪⎩，解得21i =，于是13j =，故34i j += 14．【解析】本题主要考查直线与圆的方程及位置关系．【答案】5 解答如下：由题可知动直线0ax by c ++=过定点(1,2)A -．设点(,)M x y ，由M P M A ⊥可求得点M的轨迹方程为圆:Q 22(1)2x y ++=，故线段MN 长度的最大值为5QN r +=+二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．本题主要考查平面向量的数量积、边角关系的互化，考查运算求解能力． 解：（1）由题意，2sin cos sin cos cos sin A B C B C B =+ …………………………………… 2分所以2A B =+. …………………………………… 3分 因为0A p <<，所以sin 0A ¹. 所以1c o 2B =. ………………………………………………………………………………… 5分 因为0B p<<，所以3B π=. ………………………………………………………………… 6分（2）因为12cos 5cos2m n A A ⋅=- …………………………………………………………… 8分所以2234310cos 12cos 510(cos )55m n A A A ⋅=-++=--+……………………………… 10分所以当3cos 5A =时，m n ⋅取最大值此时4sin 5A =（0A p <<），于是4tan 3A = ……………………………………………12分所以ta ta 4tA A A π--=+…………………………………………………………… 14分16．本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力．证明：（1） 直棱柱1111ABCD A B C D -中，BB 1⊥平面ABCD ，∴BB 1⊥AC ．…………………… 2分又∠BAD ＝∠ADC ＝90°，22AB AD CD ==， ∴45CAB ABC ∠=∠=︒，∴BC ⊥AC ． (5)分∴AC ⊥平面1B BC ，∴AC ⊥1B C∴1B CB∠是二面角1B AC B--的平面角．………………………………………… 7分（2）存在点P ，P 为A 1B 1的中点．………………………………………………………… 8分由P 为A 1B 1的中点，有PB 1‖AB ，且PB 1＝12AB ． 又∵DC‖AB ，DC ＝12AB ，∴DC ∥PB 1，且DC ＝ PB 1， ∴DC PB 1为平行四边形，从而CB 1∥DP ． (11)分又CB 1⊂面ACB 1，DP ⊄面ACB 1，∴DP‖面ACB 1． (12)分同理，DP‖面BCB 1． …………………………………………………………………14分17．本题主要考查，考查数学建模能力、抽象概括能力和解决实际问题的能力．解：（1）由题意，每小时的燃料费用为20.5(050)x x <≤ ………………………………………1分从甲地到乙地所用的时间为300x小时 …………………………………………………… 2分则从甲地到乙地的运输成本23003000.5y x m x x=⋅+⋅，(050)x <≤ 即2150()my x x=+，(050)x <≤…………………………………………………………… 6分（2）22'150(1)my x=-…………………………………………………………………………… 8分令'0y =，得x =当x ∈时，y 关于x 单调递减当)x ∈+∞时，y 关于x 单调递增 ………………………………………………… 9分50>即12501600m <≤时，50x =时y 取最小值 ………………… 11分50≤即10001250m ≤≤时，x =y 取最小值 ……………… 13分综上所述，若10001250m ≤≤，/小时时，运输成本最少；若12501600m <≤，则当货轮航行速度为50海里/小时时，运输成本最少． …… 14分18．本题主要考查直线的方程及椭圆的标准方程，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力．解：（1）根据c e a ==，可设椭圆方程为222214x y b b+=，将(2,1)M 代入可得22b =， 所以椭圆C 的方程为22182x y +=………………………………………………………… 4分因此左焦点为(，斜率12l OM k k ==所以直线l 的方程为1(2y x =，即12y x =+………………………………… 6分（2）设直线,MA MB 的斜率分别为12,k k ，则11112y k x -=-，22212y k x -=- 12122112121211(1)(2)(1)(2)22(2)(2)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=---- 12211211(1)(2)(1)(2)22(2)(2)x m x x m x x x +--++--=--121212(2)()4(1)(2)(2)x x m x x m x x +-+--=-- （*） ……………………………………10分设1:2l y x m =+，1122(,),(,)A x y B x y 由2212182y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得222240x mx m ++-= 所以，122x x m +=-，21224x x m =-…………………………………………………… 13分代入（*）式，得2121224(2)(2)4(1)(2)(2)m m m m k k x x -+----+=--2212242444(2)(2)m m m m x x --+-+=--= 所以直线,M A M B 与x 轴总围成等腰三角形． ………………………………………… 16分19．本题主要考查导数的运算及其在研究函数性质、不等式与方程中的运用，考查探索、分析及求证能力．解：（1）22(21)2(2)(1)'()(21)ax a x x ax f x ax a x x x x-++--=-++==(0x >，常数0a >） 令'()0f x =，则12x =，21x a= ………………………………………………………2分①当102a <<时，12a>，在区间(0,2)和1(,)a +∞上，()0f x '>；在区间1(2,)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2和1(,)a+∞，单调递减区间是1(2,)a…………………… 4分 ②当12a =时，2(2)()2x f x x -'=， 故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞ …………………… 5分③当12a >时，102a <<，在区间1(0,)a 和(2,)+∞上，()0f x '>；在区间1(,2)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是1(0,)a和(2,)+∞，单调递减区间是1(,2)a………………… 7分 （2）令21()()()(1)(23)2ln 2h x g x f x a x a x x =-=-+--，(0,2]x ∈22(2)(23)2(2)[(2)1]'()(2)23a x a x x a x h x a x a x x x-+----+=-+--==令'()0h x =，则12x =，212x a =- …………………………………………………………10分因为522a <<，所以21x x >，且20a -< 从而在区间(0,2]上，'()0h x <，即()h x 在(0,2]上单调递减 ……………………………12分所以m()h x ==………………………………………………………… 13分又522a <<，所以222ln222ln20a -->->，即m in ()0h x > …………………………15分设()()(22ln 2)H x f x λ=+-（01)λ<<，则()()()f x H x g x <<所以在区间(0,2]上，函数()f x 与()g x 的“和谐函数”有无穷多个 …………………… 16分20．本题主要考查等差、等比数列的有关知识，考查分析、论证及解决问题的能力． 解：（1）设无穷等差数列{}n a 的公差为d ，则11(1)222n n n d d S na d n n a -⎡⎤⎛⎫=+=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以333122n d d S n n a ⎡⎤⎛⎫=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦且()333122n d d S n n a ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦233233211133842222d d d d d d n n a n a n a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯-+⨯-+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦因为()33n n S S =对于一切正整数n 都成立， 所以32121311,823()0,423()0,22().22d dd da d d a d d a a ⎧=⎪⎪⎪-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎪⎪-=-⎪⎩①②③④…………………………………………………… 4分因为数列{}n a 的各项均为正整数，所以0d ≥ 由①，可得0d =或2d =．当0d =时，由④得11a =，且同时满足②③． 当2d =时，由②得112da ==，且同时满足③④． 因此，共有2个无穷等差数列满足条件，通项公式为1n a =或21n a n =- ………… 6分 （2）（i ）记{12,,}n n A S =，显然111a S == ……………………………………………………7分对于21221S a a a =+=+，有22222{1,2,,}{1,,1,|1|}{1,2,3,4}A S a a a ==+-=故214a +=，所以23a = …………………………………………………………………… 9分（ii ）由题意可知，集合12{,,,}n a a a 按上述规则，共产生n S 个正整数．…………………10分而集合121{,,,,}n n a a a a +按上述规则产生的1n S +个正整数中，除1,2,,n S 这n S 个正整数外，还有111,,||n n n a a i a i ++++-(1,2,,)n i S =，共21n S +个数．所以，1(21)31n n n n S S S S +=++=+……………………………………………………… 12分又1113()22n n S S ++=+，所以111111()332222n n n S S -=+⋅-=⋅- ……………………… 14分 当2n ≥时，11111113(3)32222n n n n n n a S S ---=-=⋅--⋅-= …………………………… 15分而11a =也满足13n n a -= 所以，数列{}n a 的通项公式是13n n a -= …………………………………………………… 16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A ．选修41-：几何证明选讲本题主要考查三角形、圆的有关知识． 证明：连结OP ，因为AC ⊥l ，BD ⊥l ，所以AC //BD ……………………………………………3分又OA =OB ，PC =PD ，所以OP //BD …………………………………………………………… 6分于是∠OPB =∠DBP ………………………………………………………………………………8分又等腰△OPB 中，∠OPB =∠OBP 故PB 平分∠ABD …………………………………………………………………………………10分B ．选修42-：矩阵与变换本题主要考查矩阵的特征值与特征向量． 解：矩阵M 的特征多项式为xf ----=λλλ221)(=4))(1(---x λλ (1)分 因为11λ=-方程)(=λf 的一根，所以1=x …………………………………………………3分由4)1)(1(=---λλ得23λ=…………………………………………………………………5分设23λ=对应的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=y x α则220220x y x y -=⎧⎨-+=⎩得x y =…………………………………………………………………………8分所以矩阵M 的另一个特征值为3，对应的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦………………………………10分C ．选修44-：坐标系与参数方程本题主要考查极坐标方程与参数方程． 解：直线的普通方程是220x y +-=…………………………………………………………… 2分 圆的普通方程是22()1x y a +-=…………………………………………………………… 4分因为直线与圆相切，所以1=……………………………………………………… 7分解得，2a =±………………………………………………………………………… 10分D ．选修45-：不等式选讲本题主要考查绝对值不等式． 解：当0x =时，20≥恒成立，所以a R ∈………………………………………………………2分当0x ≠时，|21||21|||x x a x -+-+≤………………………………………………………… 4分∵|21||1||211|1||||x x x x x x -+--+-≥=……………………………………………………… 6分∴|21|1a +≤ (8)分解得10a -≤≤ ………………………………………………………………………………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．本题主要考查概率分布列的计算．解：（1）记“摸出的三球中既有红球又有绿球”为事件A ，依题意知()122153533845.56C C C C P A C +==…………………………………………………………………4分所以摸出的三个球中既有红球又有绿球的概率为45.56（2）30533810(0)56C C P X C ===……………………………………………………………………5分21533830(1)56C C P X C ===………………………………………………………………………6分12533815(2)56C C P X C ===………………………………………………………………………7分0353381(3)56C C P X C ===………………………………………………………………………8分所以的数学期望9()8E X =………………………………………………………………10分23．本题主要考查数学归纳法的原理及简单应用．解：（1）因为112a <<，所以22211111331(1)(1,)2222a a a a =+-=--+∈……………… 2分故2232221131131(1)(,)22282a a a a =+-=--+∈………………………………… 4分（2）当3n =时，3113(82a ，又11131,8828>--<，所以31188a -<<，即31|8a -<………………………………… 6分假设当(3)n k k =≥时，1|2k k a < 则当1n k =+时，11|2||2|2k k a a +=⋅-⋅……………………………… 8分111|2|222k k<⋅+112k +<…………………………………………………………10分 即1n k =+时结论成立综上所述，当3n ≥时，1|2n n a <．。
2012年考研数学三真题(完整版)
曲 线 L 在 任 一 处 ( x, y) 的 切 线 斜 率 为 dy = − sin t ， 过 该 点 ( x, y) 处 的 切 线 为 dx f ′(t)
5
2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学
Y − cos t = −sin t ( X − f (t )) 。令Y = 0 得 X = f ′(t) cot t + f ( t) 。由于曲线 L 与 x 轴和 y 轴的交点到切点的距 f ′(t)
∑ ∑ ∑ （Ⅱ）设 S(x) =
∞
4n2 + 4n + 3x2n =
∞
(2n +1)2 + 2x2n =
∞
[(2n+ 1) x2n +
2 x2n ]( x < 1)
n =0 2n +1
n =0 2n +1
n =0
2n +1
∑ ∑ 令
S1 ( x)
=
∞ n−0
(2n +1) x2n
，
S2
(x)
=
∞ n−0
4n2 + 4n + 3
= lim
⋅
2(n +1) +1
⋅x2 = x2 令
n→∞ an−1( x) n→∞ 4(n + 1)2 + 4(n + 1)+ 3⋅ x2 n+1 n→∞ 2n +1 4(n +1)2 + 4(n + 1) + 3
2(n + 1) + 1
x2 <1 ，得 −1 < x < 1，当 x = ±1 时，技术发散。所以，收敛域为 (−1,1)
2012考研数学三真题及答案解析
2012年研究生入学考试数学三真题解析（纯word ）版一、 1. 解析：C 由lim 1,1x y y →∞==得为水平渐近线 由1lim 1x y x →=∞=得为垂直渐近线由11lim ,12x y x →-=≠∞=-得非垂直渐近线，选（C ）2. 解析： A2221()(2)(2)(1)2()(1)(2)(0)1(1)(1)(1)(1)!x x nx x x nx x x nxn f x e e e e e e n e e ne f n n ''-=--+-⋅-+--∴=⨯-⨯⨯-=--选（A ） 3. 解析：B原式=2220()dx f x y dy+⎰4. 解析：D1211~,n n αα-且11(1)nn n α∞--∑绝对收敛.131.22α-α∴>>即又21(1)n n n α∞-=-∑条件收敛.02112αα∴<-≤⇒≤<322α∴<<，选D5. 解析：C343400c c αα⎛⎫⎪+= ⎪⎪+⎝⎭,34αα+ 与1α成比例.1α∴与3α+4α线性相关,134ααα∴，，线性相关，选C或134134011,,0110c c c ααα-=-=134,,ααα∴线性相关，选C6. 解析：B111100100100110110110000001001Q P Q AQ P AP , ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭100110011011100012001⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=- ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭100100100110110010002001002⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=-= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，选B.7. 解析：D1,0,1)()()0,x y x y f x y f x f y <<⎧==⎨⎩（，其他22{1}(,)4D DS P X Y f x y d D S πΩ+≤=σ==⎰⎰，选8. 解析：B212~(0,2)~(0,1)X X X X N N --σ⇒23422~(0,2)~(0,1)X X X X N N +-+-σ⇒~(1)X X t -即1234~(1),2X X t X X -+-选B二、 9.解析：e解：原式=tan 11cos sin tan 14lim (1(tan 1))x x xx x x π---→⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦=41sin cos limcos cos sin x x x x x ee π→-⋅-=10. 解析： 40[()]()(1)(0)x dyf f x f x dx dyf f dx ''''===-而1()2x f x '<=时，(1)(0) 2. 4.x dyf f dx=∴-===于是11. 解析：2x dzdx dy==-解：令ρ=则(,)220(),(0,1)1f x y x y f ρ-+-==(,)12(1)0()f x y x y ρ-=--+(0,1)(0,1)2,(0,1)1,2.x y f f dzdx dy ''==-∴=-12. 解析：4 ln2 解：12014(4)S x x dx x dxx ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭⎰⎰1324ln 24ln 222=-+-=13. 解析：-27 解：|||| 3.B A =-=-**2||||||3||27.BA B A A =⋅=-⋅=-14.解析：34解：()()()(|)1()()P ABC P AB P ABC P AB C P C P C -==- AC φ= ，ABC φ∴=.1()32(|)21()43P AB P AB C P C ∴===-.三、 15.解析：原式222cos 22cos 41lim x xx x ee x -+-→-=⋅2430022cos 2(sin )lim lim 4x x x x x x x x →→-+-==2011cos 1lim .2312x x x →-==16.解析：xDe xydxdy⎰⎰1xxe dx ydy=⎰1122001111(1)0222xx x x e dx e x e dx =-=-⎰⎰ 2111121(22)022222x e e e x x e ---=--+=-=.17.解析：1）设成本函数为(,),C x y 则(,)202,x x C x y '=+对x 积分得，2(,)20(),4x C x y x y +ϕ=+再对y 求导有，(,)()6y C x y y y'ϕ'==+，再对y 积分有，21()62y y y c ϕ=++所以，221(,)20642x C x y x y y c=++++ (0,0)10000,10000,C c =∴= 于是221(,)2061000042x C x y x y y =++++2）若50x y +=，则50(250)y x x =-≤≤，代入到成本函数得221()206(50)(50)1000042x C x x x x =++-+-+=2336115504x x -+所以，令3()360,24,26,2C x x x y '=-===得总成本最小为(24,26)11118C =3）总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本为(24,26)32,x C '=即在要求总产量为50件时，在甲产品为24件时，改变一个单位的产量，成本会发生32万元的改变。
2012数学三试题及答案
x→0
x4
( ) 【解析】 lim ex2
e − 2−2cos x
e2−2cos x = lim
e −1 x2 +2cos x−2
x2 + 2 cos x − 2
= lim
=
1
x→0
x4
x→0
x4
x→0
x4
12
(16)(本题满分 10 分)
∫∫ 计算二重积分 ex xydxdy ，其中 D 为由曲线 y = x 与 y = 1 及 y 轴为边界的无界区域
(2) 设函数 y(x) = (ex −1)(e2x − 2)⋯(enx − n), 其中 n 为正整数，则 y '(0) =
()
(A) (−1)n−1(n −1)! (B) (−1)n (n −1)! (C) (−1)n−1n!
(D) (−1)n n!
答案：(A)
【解析】因为 y '(0) = lim y(x) − y(0) = lim (ex −1)(e2x − 2)⋯(enx − n) = (−1)n−1(n −1)!
=
⎜ ⎜
0
1
0
⎟ ⎟
，
若
⎜⎝ 0 0 2⎟⎠
P = (α1,α2 ,α3 ),Q = (α1 + α2 ,α2 ,α3 ), 则 Q−1AQ =
()
⎛1 0 0⎞
(A)
⎜ ⎜
0
2
0
⎟ ⎟
⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠
⎛1 0 0⎞
(B)
⎜ ⎜
0
1
0
⎟ ⎟
⎜⎝ 0 0 2⎟⎠
⎛2 0 0⎞
(C)
⎜ ⎜
0
2012年考研数学三真题及答案
2012年考研數學三真題一、選擇題（18小題，每小題4分，共32分。
下列每題給出の四個選項中，只有一個選項是符合題目要求の。
）(1)曲線漸近線の條數為(A)0 (B)1(C)2 (D)3【答案】C。
【解析】由,得是曲線の一條水準漸近線且曲線沒有斜漸近線；由∞得是曲線の一條垂直漸近線；由得不是曲線の漸近線；綜上所述，本題正確答案是C【考點】高等數學—一元函數微分學—函數圖形の凹凸、拐點及漸近線(2)設函數,其中為正整數，則(A) (B)(C) (D)【答案】A【解析】【方法1】令,則故應選A.【方法2】由於,由導數定義知.【方法3】排除法，令,則則(B)(C)(D)均不正確綜上所述，本題正確答案是(A)【考點】高等數學—一元函數微分學—導數和微分の概念(3)設函數連續，則二次積分(A)(B)(C)(D)【答案】B。
【解析】令,則所對應の直角坐標方程為,所對應の直角坐標方程為。
由の積分區域得在直角坐標下の表示為所以綜上所述，本題正確答案是(B)。
【考點】高等數學—多元函數微積分學—二重積分の概念、基本性質和計算(4)已知級數絕對收斂，級數條件收斂，則(A) (B)(C) (D)【答案】D。
【解析】由級數絕對收斂，且當∞時，故,即由級數條件收斂，知綜上所述，本題正確答案是(D)【考點】高等數學—無窮級數—數項級數斂散性の判定(5)設,其中為任意常數，則下列向量組線性相關の為(A) (B)(C) (D)【答案】C。
【解析】個維向量相關顯然所以必線性相關綜上所述，本題正確答案是(C)。
【考點】線性代數—向量—向量組の線性相關和線性無關(6)設為3階矩陣，為3階可逆矩陣，且.若,則(A) (B)(C) (D)【答案】B。
【解析】由於經列變換(把第2列加至第1列)為，有那麼=綜上所述，本題正確答案是(B)。
【考點】線性代數—矩陣—矩陣運算、初等變換(7)設隨機變數相互獨立，且都服從區間上の均勻分佈，則(A) (B)(C) (D)【答案】D。
历考研数学三真题及详细答案解析
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）曲线221x xyx+=-渐近线的条数为（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3（2）设函数2()(1)(2)x x nxf x e e e n=--…（-），其中n为正整数，则(0)f'=（）（A）1(1)(1)!n n---（B）(1)(1)!n n--（C）1(1)!n n--（D）(1)!n n-（3）设函数()f t连续，则二次积分22202cos()d f r rdrπθθ⎰⎰=（）（A）222() dx x y dy+⎰（B）222()dx f x y dy+⎰（C）2221() dx x y dy+⎰⎰（D）2221() dx x y dy+⎰⎰（4）已知级数11(1)ninα∞=-∑绝对收敛，21(1)ninα∞-=-∑条件收敛，则α范围为（）（A）0<α12≤（B）12<α≤1（C ）1<α≤32（D ）32<α<2（5）设1234123400110,1,1,1c c c c αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中1234c c c c ，，，为任意常数，则下列向量组线性相关的是（） （A ）123ααα，， （B ）124ααα，，（C ）134ααα，，（D ）234ααα，，（6）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且P-1AP=112⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 123=P ααα（，，），1223=Q αααα（+，，）则1=Q AQ -（）（A ）121⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（B ）112⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （C ）212⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（D ）221⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （7）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，则+P X Y ≤22｛1｝（ ）（A ）14（B ）12（C ）8π（D ）4π（8）设1234X X X X ，，，为来自总体N σσ>2（1，）（0）的简单随机样本，则统计量1234|+-2|X X X X -的分布（ ）（A ）N （0，1）（B ）(1)t（C ）2(1)χ（D ）(1,1)F二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）1cos sin 4lim(tan)x x xxπ-→（10）设函数01(),(()),21,1xdyxf x y f f xdxx x=⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩求___________.（11）函数(,)z f x y=满足10,xy→→=则(0,1)dz=_______.（12）由曲线4yx=和直线y x=及4y x=在第一象限中所围图形的面积为_______.（13）设A为3阶矩阵，|A|=3，A*为A的伴随矩阵，若交换A的第一行与第二行得到矩阵B，则|BA*|=________.（14）设A,B,C是随机事件，A,C互不相容，11 (),(),23P AB P C==则CP AB（）=_________.解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）计算222cos4limx x xe ex-→-（16）（本题满分10分）计算二重积分xDe xydxdy⎰⎰，其中D为由曲线y y==所围区域.（17）（本题满分10分）某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000（万元），设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x(件)和y(件)，且固定两种产品的边际成本分别为20+2 x（万元/件）与6+y（万元/件）.1）求生产甲乙两种产品的总成本函数(,)C x y（万元）2）当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本. 3）求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义.（18）（本题满分10分）证明：21ln cos1,1 1.12x xx x xx++≥+-<< -（19）（本题满分10分）已知函数()f x满足方程()()2()0f x f x f x"'+-=及()()2x f x f x e '+=1）求表达式() f x2）求曲线的拐点22()()xy f x f t dt =-⎰（20）（本题满分10分）设1001010100100010aaA baa⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（I）求|A|（II）已知线性方程组Ax b=有无穷多解，求a，并求Ax b=的通解.(21)（本题满分10分）已知1010111001Aaa⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦，二次型123(,,)()f x x x x xT T=A A的秩为2，求实数a的值；求正交变换x=Qy将f化为标准型.（22）（本题满分10分）已知随机变量X,Y以及XY的分布律如下表所示：求（1）P(X=2Y); （2）cov(,)XY X Y Y -ρ与.（23）（本题满分10分） 设随机变量X和Y相互独立，且均服从参数为1的指数分布，min(,),=max(,).V X Y U X Y =求（1）随机变量V 的概率密度； （2）()E U V +.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。
2012高考新课标数学理真题A3
2012年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学一、选择题1．已知集合{1,2,3,4,5}A =，{(,)|,,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈，则B 中所含元素的个数为 A ．3 B ．6 C ．8 D ．102．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有A ．12种B ．10种C ．9种D ．8种 3．下面是关于复数21z i=-+的四个命题：1:||2p z =； 22:2p z i =； 3:p z 的共轭复数为1i +； 4:p z 的虚部为1-．其中的真命题为A ．23,p pB ．12,p pC ．24,p pD ．34,p p4．设12,F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b ab+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，21F P F ∆是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为 A ．12B ．23C ．34D ．455．已知{}n a 为等比数列，47562,8a a a a +==-，则110a a += A ．7 B ．5 C ．5- D ．7-6．如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,,N a a a ，输出,A B ，则A ．AB +为12,,,N a a a 的和 B ．2A B +为12,,,N a a a 的算术平均数C ．A 和B 分别是12,,,N a a a 中最大的数和最小的数D ．A 和B 分别是12,,,N a a a 中最小的数和最大的数7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为A ．6B ．9C ．12D ．188．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A ，B两点，||A B =，则C 的实轴长为A． B． C ．4 D ．89．已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ单调递减，则ω的取值范围是A ．15[,]24B ．13[,]24C ．1(0,]2D ．(0,2]10．已知函数1()ln(1)f x x x=+-，则()y f x =的图像大致为A．B．C ．D ．11．已知三棱锥S A B C -的所有顶点都在球O 的球面上，A B C ∆是边长为1的正三角形，S C 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为A．6B．6C．3D212．设点P 在曲线12xy e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则||PQ 的最小值为A ．1ln 2- Bln 2)- C ．1ln 2+ Dln 2)+ 二、填空题13．已知向量,a b 夹角为45°，且||1,|2|=-=a a b ||_____=b ． 14．设,x y 满足约束条件1300x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则2z x y =-的取值范围为_________．15．某一部件由三个电子元件按下图的方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布2(1000,50)N ，且各元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为_______．16．数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为________． 三、解答题17．已知,,a b c 分别为A B C ∆三个内角,,A B C的对边，cos sin 0a C C b c +--=．（1）求A ；（2）若2,a ABC =∆,b c ．18．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：枝，n N ∈）的函数解析式；（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列、数学期望及方差； （ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．19．如图，直三棱柱111A B C A B C -中，11,2A CBC A AD ==是棱1A A 的中点，1B C B D ⊥．（1）证明：1D C BC ⊥； （2）求二面角11A BD C --的大小．20．设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ．A 为C 上一点，已知以F 为圆心，F A 为半径的圆F 交l 于,B D 两点．（1）若90,BFD ABD ∠=︒∆的面积为，求p 的值及圆F 的方程；（2）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到,m n 距离的比值．21．已知函数()f x 满足121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+．（1）求()f x 的解析式及单调区间； （2）若21()2f x x ax b ≥++，求(1)a b +的最大值．22．选修4-1：几何证明选讲如图，,D E 分别为A B C ∆边,AB AC 的中点，直线D E 交A B C ∆的外接圆于,F G 两点．若//C F A B ，证明：（1）C D B C =； （2）B C D ∆∽G B D ∆． 23．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程是2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩，（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2ρ=．正方形A B C D 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π．（1）求点,,,A B C D 的直角坐标；（2）设P 为1C 上任意一点，求2222||||||||PA PB PC PD +++的取值范围． 24．已知函数()|||2|f x x a x =++-．（1）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若()|4|f x x ≤-的解集包含[1,2]，求a 的取值范围．。
2012年浙江省高考数学最后三卷之(3)
2012年浙江省高考数学（理科）最后三卷之（3）【终结】【6月5号—6号做，做完再归纳整理，顺祝高考前快乐-----顺利迎接高考】一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．函数()ln(21)f x x=-的定义域为【】A．R B．1(,)2-∞C．1[,)2+∞D．1(,)2+∞2、已知=-=-xx2sin,135)4sin(则π【】A．169119B．169119-C．16960D．16960-3．二项式52axx⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式各项的系数和为1，则展开式中3x项的二项式系数为【】A．80 B．-80 C．5 D．-53. 解析：由各项的系数和为1得1a=，二项式512xx⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式的3x项的二项式系数为155C=．选C.4．“220a b+=”是“函数()||f x x x a b=++是奇函数”的【】A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5．“lg,lg,lgx y z成等差数列”是“2y xz=”成立的【】A．充分非必要条件B．必要非充分条件；C．充要条件D．既非充分也非必要条件.6．设a为常数，抛物线23222,y x ax a a=+--则当a分别取032--、、时，在平面直角坐标系中图像最恰当的是（这里省略了坐标轴）【】7．如图所示为函数()()2sinf x xωϕ=+(0,2πωϕπ>≤≤)的部分图象其中,A B两点之间的距离为5,那么()1f-=( )A B．．2 D．2-8．某班要从A、B、C、D、E职务，则上届任职的A 、B 、C 三人都不连任原职务的方法种数为【 】A ．30B ．32C ．36D ． 489.设F 1、F 2是双曲线，22221(0,0)x y a b ab-=>>的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使22()0OP OF PF +⋅= （O 为坐标原点），且122||3||PF PF =，则双曲线的离心率为【 】 A ．32B．C2D10．将一圆的六个等分点分成两组相间的三点，它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星，如图所示的正六角星的中心为点O ，其中,x y分别为点O 到两个顶点的向量. 若将点O 到正六角星12个顶点的向量，都写成为a x b y +的形式，则a b +的最大值为【 】A ．6B ．5C ．4D ．3二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分．把答案填在答题卡的相应位置）11．已知程序框图如图，则运行后输出的i = .12. 一个正三棱柱的主（正）视图是长宽为2的矩形，则它的外接球的表面积 等于 .13、9、已知某随机变量ξ的概率分布列如右表，随机变量ξ的方差D ξ的范围14. 下列命题中，正确命题的序号为 . ①经过空间任意一点都可作唯一一个平面与两条已知异面直线都平行； ②已知平面α,直线a 和直线b ，且a b a a ⊥=⋂,α，则α⊥b ； ③有两个侧面都垂直于底面的四棱柱为直四棱柱；④三棱锥中若有两组对棱互相垂直，则第三组对棱也一定互相垂直； ⑤三棱锥的四个面可以都是直角三角形.3215、 若实数x,y 满足04240x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪--≥⎩，且2Z ax y =+取得最大值对应的最优解有无穷多个 ，则实数a 的范围16．已知△ABC 为锐角三角形，若B A 2=，则ba 的取值范围是17． 对于函数()y f x =，若存在区间[,]a b ，当[,]x a b ∈时的值域为[,]ka kb (0)k >，则称()y f x =为k 倍值函数．若()ln f x x x =+是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18．（本小题满分14分）已知向量)sin ,cos 2(),sin 32,(sin x x b x x a ==，定义.3)(-⋅=b a x f（1）求函数)(x f 的单调递减区间； （2）若函数)0)((πθθ<<+=x f y 为偶函数，求θ的值。
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西南大学课程考核
《 高等数学Ⅲ 》课程试题 【A 】卷
4．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=00
011)(x x x x x f , 则0=x 是)(x f 的（ ）
A 、可去间断点
B 、第二类间断点
C 、连续点
D 、跳跃间断点
5．曲线2
8
3--=x x y 的渐近线的条数是（ ）
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3 6．设3)(0-='x f ，则=--+→h
h x f h x f h )
3()(lim
000
（ ）
A 、3-
B 、6-
C 、9-
D 、12- 7．=+-⎰
dx x x 4 1
223（ ）。
A 、311 B 、629 C 、29 D 、-3
11
8．设2)(4
x dt t f x =⎰
，则=⎰40)(1dx x f x
（ ） A 、4 B 、8 C 、12 D 、16
9．下列选项正确的是（ ）
A 、[]
dx x f dx x f dx d
)()(=⎰ B 、C x f dx x f +=⎰)()(/ C 、)()()(a f x f dt t f dx d
x a -=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡⎰ D 、)()()(a f b f dx x f b a -=⎰
10．已知函数y
x z =(x>0), 则x
y z
2∂∂∂=（ ）
A 、y yx
B 、2)1(--y x y y
C 、)1ln (1+-x y x y
D 、)1ln (1--x y x y
西南大学课程考核(试题【A】卷)
——————————————
密————————————
封————————————
线——————————————二、填空题（请将答案填写在每题中的画线处，写在其它位置不给分；每题3分，共10×3＝30分）得分
1．=
-
∞
→1
2
sin
2
lim
n
n
n
x。
2．曲线
⎩
⎨
⎧
-
=
-
=
)
cos
1(
)
sin
(
t
y
t
t
x
对应于
2
π
=
t处的切线的方程为。
3．函数)
(
sin>
=x
x
y x的导数为。
4．设)
(x
f是连续函数，⎰⎰=
-
=
2
1
3
1
,2
)
(
,5
)
(dz
z
f
dx
x
f则⎰=
3
2
)
(du
u
f。
5．已知1cos
x
y tdt
-
=⎰，则=
dy。
6．.
2
,
,
1
围成的封闭图形面积为
曲线=
=
=x
x
y
x
y。
7．常徽分方程0
3
4=
+'
+''y
y
y的通解为。
8．常微分方程2
2
2x
xe
xy
y-
=
+'的通解为。
9．设)
sin(2
2y
x
z+
=，则=
z
d。
10．二重积分⎰
⎰y dx
y
x
f
dy
1
)
,(交换积分次序后为。
三．计算题（请将计算过程写在该题后面的空白处，写在其它位置不给分。
每题7分，共5×7＝35分））得分
1．计算极限
x
x
x
x3
0sin
sin
tan
lim
-
→。
《 高等数学Ⅲ 》课程试题 【A 】卷
2．已知2)(23+++=bx ax x x f 在11=x 和22=x 处取得极值，试确定a 和b 的值，并判断
11=x 和22=x 是极大值点还是极小值点。
3．计算定积分 dx x x x ⎰-+++012
2
411
33。
4．计算定积分
dx e x ⎰
10。
西南大学课程考核(试题【A】卷)
——————————————
密————————————
封————————————
线——————————————5．计算⎰⎰-
D
y dxdy
e2，其中D是由x
y=，1
=
y，0
=
x所围城的平面区域。
四．证明题得分
设函数)
(x
f在[0, 1]上可导且1
)
(
0<
<x
f，若1
)
('<
x
f，证明方程0
)
(=
-x
x
f在)1,0
(上有且只有一个根。
（5分）。