平衡方程应用6
平面一般力系的平衡方程及其应用
MB 0
W1
l 2
W
l
x
FAyl
0
得
FAy 7k N
Y 0
F T
sin
FAy
W1
W
0
得
FT 34k N
X 0 FAx FT cos 0
得
FAx FT cos 29.44k N
目录
平面力系\平面一般力系的平衡方程及其应用
4) 讨论。 本题若列出对A、B两点的力矩方程 和在x轴上的投影方程，即
F，平衡锤重WQ，已知W、F、a、b、e、l，欲使起重机满载和空载
时均不致翻倒，求WQ的范围。
目录
力系的平衡\平面力系的平衡方程及其应用 【解】 1）考虑满载时的情况 受力如图所示。 列平衡方程并求解 MB=0 WQmin（a+b）WeFl=0
得 We F l
WQmin a b
目录
平面力系\平面一般力系的平衡方程及其应用
理论力学
平面力系\平面一般力系的平衡方程及其应用
平面一般力系的平衡方程及其应用
1.1 平面一般力系的平衡方程
1. 基本形式 如果平面力系的主矢和对平面内任一点的主矩均为零，则力系
平衡。反之，若平面力系平衡，则其主矢、主矩必同时为零（假如 主矢、主矩有一个不等于零，则平面力系就可以简化为合力或合力 偶，力系就不平衡）。因此，平面力系平衡的充要条件是力系的主 矢和对任一点的主矩都等于零，即
应用平面力系的平衡方程求解平衡问题的步骤如下： 1) 取研究对象。根据问题的已知条件和待求量，选择合适的研 究对象。 2) 画受力图。画出所有作用于研究对象上的外力。 3) 列平衡方程。适当选取投影轴和矩心，列出平衡方程。 4) 解方程。 在列平衡方程时，为使计算简单，通常尽可能选取与力系中多 数未知力的作用线平行或垂直的投影轴，矩心选在两个未知力的交 点上；尽可能多的用力矩方程，并使一个方程只含一个未知数。
化学反应方程式的平衡和计算方法
实验安全问题
遵守实验室安全规则
正确处理化学废料
穿戴合适的防护设备 熟悉急救措施和应急处理方法
误差分析和数据处理
误差来源：实 验操作、仪器 精度、环境因
素等
误差分析方法： 使用标准偏差、 相对误差等统 计方法进行分
析
数据处理方法： 使用Excel、 SPSS等软件进 行数据处理和 可视化
结果验证：通 过重复实验、 对比实验等方 法验证结果的
药物相互作用： 通过化学反应方 程式分析药物之 间的相互作用
药物设计：通过 化学反应方程式 设计新的药物分 子
药物合成：通过 化学反应方程式 指导药物的合成 过程
化学反应方程式的注意事项
反应条件的控制
温度：反应温度对化学反应速率和产物分布有重要影响 压力：反应压力会影响气体的溶解度和反应速率 催化剂：催化剂可以改变反应速率和产物分布 反应时间：反应时间会影响反应的完全程度和产物的生成量
化学反应方程式的平衡和计算 方法
汇报人：XX
化学反应方程式的平衡
化学反应方程式的计算方法
化学反应方程式的应用
化学反应方程式的注意事项 化学反应方程式的发展趋势
化学反应方程式的平衡
平衡常数
定义：表示化学 反应达到平衡状 态时，反应物和 产物的浓度关系
计算公式： K=([A]^a * [B]^b) / ([C]^c * [D]^d)
反应平衡的计算
反应平衡常数 的计算：通过 实验数据，利 用公式计算反
应平衡常数
反应进度的计 算：根据反应 方程式，计算 反应物的消耗 量和产物的生
成量
反应热力学数 据的计算：利 用热力学公式， 计算反应的焓 变、熵变等热
力学数据
反应平衡的判 断：根据反应 平衡常数和反 应进度的关系， 判断反应是否 达到平衡状态
化学反应平衡方程
化学反应平衡方程化学反应平衡方程是描述化学反应过程中物质之间转化关系的重要工具。
通过平衡方程可以了解反应物和生成物的摩尔比例，以及反应的定量关系。
本文将介绍化学反应平衡方程的基本原理、平衡方程的书写规则和示例。
一、化学反应平衡的基本原理在化学反应中，物质发生分子间的重新组合，并伴随着能量的转化。
反应前的物质称为反应物，反应后的物质称为生成物。
在反应过程中，反应物与生成物的摩尔比例是固定的，即使反应物的初始量发生改变，生成物的量也会相应地发生变化。
这种反应物与生成物的量之间的关系可以通过平衡方程来描述。
二、平衡方程的书写规则1. 反应物和生成物的化学式应准确无误地写出，其中离子用方括号括起来，如H2O表示水分子，NaCl表示氯化钠离子。
2. 反应物和生成物之间用箭头“→”表示转化关系，箭头的指向表示反应方向。
3. 反应物和生成物的摩尔系数应使用最简比例写出，即它们在反应中的摩尔比例。
摩尔系数前不需要写1，比如2H2表示2个氢气分子。
4. 在方程式两侧的反应物和生成物之间用“+”号连接，表示它们是同时存在的。
5. 平衡方程中可以使用圆括号用来分组表示在反应中同时发生的反应。
6. 表示反应物有多个物种可以使用“+”连接，表示它们是一起参与反应的。
三、平衡方程的示例1. 水的生成反应：2H2(g) + O2(g) → 2H2O(g)2. 酸碱中和反应：HCl(aq) + NaOH(aq) → NaCl(aq) + H2O(l)3. 氧化还原反应：2Fe2+(aq) + Cl2(g) → 2Fe3+(aq) + 2Cl-(aq)4. 代谢反应：C6H12O6(aq) + 6O2(g) → 6CO2(g) + 6H2O(l)5. 电解反应：2H2O(l) → 2H2(g) + O2(g)四、总结化学反应平衡方程是描述化学反应过程的重要工具。
了解平衡方程的书写规则可以更好地理解反应物和生成物之间的转化关系，以及反应的定量关系。
建筑力学平面一般力系的平衡方程及其应用
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
满足平衡方程时，物体既不能移动，也不能 转动，物体就处于平衡状态。当物体在平面一般 力系的作用下平衡时，可用三个独立的平衡方程 求解三个未知量。 二、平衡方程的其它形式
1.二力矩形式的平衡方程 ∑FX= 0 ∑MA (F ) = 0 ∑MB (F ) = 0 式中x轴不可与A、B两点的连线垂直。
FAx
FNCD = 30kN (↗)
∑MD (F ) = 0
FNCD
- FAy×0.6 + 14 ×0.3 = 0
14kN 8kN
300
300 100
A 30° D B
FAy
C
FAy = 7kN (↑)
∑MC (F ) = 0
- FAx×0.6/ 3- 14 ×0.3
- 8 ×0.6 = 0 FAx = - 25.98kN (←)
5 + FAy= 0
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3kN·m 6kN
3m
6
A
B
5
5
3m
可取∑MB (F ) = 0这一未用过的方程进行校核： 3 + 5×3 - 6×3 = 0
说明计算无误。
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
例4-4 梁AB一端是固定端支座，另一端无
约束，这样的梁称为悬臂梁。它承受荷载作用如
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
在使用三力矩式计算出结果后，可用另外两 个投影方程之一进行校核。可知计算无误。
例4-6 外伸梁受荷载如图所示。已知均布荷载 集度q=20kN/m,力偶的力偶矩M=38kN·m，集中 力FP=10kN。试求支座A、B的反力。
10kN 20kN/m 38kN·m
物体系统的平衡问题
第三章 平衡方程的应用
各种力系的独立方程数
力系 名称
独立 方程数
平面任 意力系
3
平面汇 交力系
2
平面平 行力系
2
平面 力偶系
1
空间任 意力系
q = 5kN/m， = 45；求支座 A、C 的反力和中间铰 B
处的内力。
静定多跨梁一般由几个部分梁组成，组成的次序是先 固定基本部分，后加上附属部分。仅靠本身能承受荷 载并保持平衡的部分梁称为基本部分，单靠本身不能 承受荷载并保持平衡的 部分梁称为附属部分。 求解这类问题通常是先 研究附属部分，再计算 基本部分。
第三章 平衡方程的应用
解：AB 梁是基本部分， BC 梁是附属部分。
1）先取BC梁为研究 对象，列平衡方程
n
M B (Fi ) 0
i1
F 1 FC cos 2 0
FC 14.14kN
n
Fix 0
i1 n
Fiy 0
i1
FBx FC sin 0 FBy F FC cos 0
第三章 平衡方程的应用
第一节 物体系统的平衡问题
物体系统：由若干个物体通过约束联系所组成的系 统称为物体系统，简称为物系。
内力和外力：内力和外力的概念是相对的。当取整 个系统为研究对象时，系统中物体间的相互作用为 内力。但当研究物系中某一物体或某一部分的平衡 时，物系中的其它物体或其它部分对所研究物体或 部分的作用力就成为外力，必须予以考虑。
6
对于 n 个物体组成的系统，在平面任意力系作用下， 可以列出 3n 个独立平衡方程。在平面汇交力系作用 下，可以列出 2n 个独立平衡方程。
平面力系的平衡方程及应用
各力的作用线都在同一平面内且 汇交于一点的力系。
正文
力在直角坐标轴上的投影
1
Fx=F·cosa ; Fy=F·sina = F ·cosb
说明： （1）力在坐标轴上的投影为代数量； （2）力的指向与坐标轴的正向一致时，力的投影为正值，否则为负。
正文
合力投影定理
推论1：力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关；
推论2：只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。
M
M
M
力偶表示方法
正文
思考：
力偶与力的异同
共同点：单位统一，符号规定统一。 差异点：1.力矩随矩心位置不同而变化；力 偶矩对物体作用效果与矩心选取无关。 2.力偶矩可以完全描述一个力偶；力对点之矩不能完全描述一个力。
′
F
M
单 手 攻 丝
正文
平面任意力系的简化
1
平面一般力系向平面内一点简化
F3
F1
F2
O
O
O
F
R′
MO
F
1′
M1
F1 =F1
′ M1=MO(F1)
F
2′
M2
F
3′
M3
F2 =F2
′ M2=MO(F2)
F3 =F3
′ M3=MO(F3)
简化中心
O
FR=F1+F2+F3= F1+F2+F3 MO=M1+M2+M3=MO(F1)+ MO(F2) + MO(F3)
正文
平面力偶系的合成与平衡
理论力学第六章 平衡方程及其应用
第六章 平衡方程及其应用 >> 力偶系的平衡
§6-2 力偶系的平衡 一、平面力偶系的平衡方程 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的代数和 等于零，即 M i 0 . 二、空间力偶系的平衡方程
由于空间力偶系可以用一个合力偶来代替，因此，空间力偶系
平衡的必要和充分条件是：该力偶系的合力偶矩等于零，亦即
要使这个刚体平衡，需加一力偶，其力偶矩矢为 -M。
第六章 平衡方程及其应用
§6-3 一般力系的平衡 一、平面一般力系的平衡方程 1. 平面一般力系平衡方程的基本形式
0 MO 0 FR
F
x
0
F
y
0
M
O
(F ) 0
2. 平面一般力系平衡方程的其他形式
（1）二矩式平衡方程
M
FA FB
第六章 平衡方程及其应用 >> 力偶系的平衡 例题6-4 图示（a）所示的三角柱刚体是正方体的一半。在其中三个侧面 各自作用一个力偶。已知力偶（ F1，F1 ）的矩 M 1 20N m ；力偶 （ F2，F2 ）的矩 M 2 20N m ；力偶（ F ，F ）的矩 M 3 20N m 。试 3 3 求合力偶矩矢M。又问使这个刚体平衡，还需要施加怎样一个力偶。
解：根据空间力偶系合成法，先求出力偶
矩矢M。根据三个力偶在空间的作用面不 同，考虑到力偶矩矢是自由矢量，可将力
偶矩矢画在坐标轴上（图 b）。和力偶矩
矢M在三个坐标轴上的投影为
第六章 平衡方程及其应用 >> 力偶系的平衡
M x M 1x M 2 x M 3 x 0
M y M1y M 2 y M 3 y (10 30cos45)N m 11.2 N m
空间力系的平衡方程及其应用
机械设计基础
Machine Design Foundation
空间汇交力系的合成与平衡
1.1. 空间汇交力系的合成与平衡条件
将平面汇交力系的合成法则扩展到空间，可得：空间汇交 力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交 点。合力矢为
n
FR F1 F2 Fn Fi i 1
FR Xii Yi j Zik
空间汇交力系平衡的必要和充分条件为：该力系的合力
等于零，即
n
FR Fi 0 i 1
机械设计基础
Machine Design Foundation
空间汇交力系的合成与平衡
空间汇交力系平衡的必要和充分条件为：该力系中所有各 力在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。式（1-23） 称为空间汇交力系的平衡方程。
机械设计基础
Machine Design Foundation
空间一般力系的合成与平衡
1.2 空间一般力系的合成与平衡条件
空间一般力系向一点简化的结果为一主矢和一主矩矢，其平衡条件为主矢和主 矩矢同时为零，各自分解成3个代数式，可得空间一般力系的平衡方程
X 0
Y 0
Z 0
M x(F) 0
EBF 30
（图1-47b），物重P=10kN。如起 重杆的重量不计，试求起重杆所 受的压力和绳子的拉力。
机械设计基础
Machine Design Foundation
空间汇交力系平衡方程应用
解：取起重杆AB与重物为研究对象，画受力图 ， 取坐标轴如图所示。列平衡方
程
X 0, Y 0, Z 0,
又,按题意有
Fr 0.36 F
机械设计基础
Machine Design Foundation
平面任意力系的平衡方程及应用
平面任意力系的平衡方程及应用
2. 平行力系的平衡方程
对于平面平行力系， 若投影轴垂直于各力作 用线，无论力系是否平 衡，力系中的各力向该 轴的投影恒为零，因此， 平衡方程组中不应含有 向该轴的投影式子，如 图3-3所示。
图3-3
平面任意力系的平衡方程及应用
平面平行力系的平衡方程组为
（3-6） 使用式（3-6）解题时，投影轴y与力系中的各力的作用线不能 垂直。平面平行力系有两个独立的平衡方程，因此最多能求解两个 未知量。 平面平行力系的平衡方程组还有一种表达式：
平面任意力系的平衡方程及应用
平面任意力系的平衡方程还有另外两种表达形式：二矩式与三矩式。 二矩式平衡方程：
（3-4） 式（3-4）有两个力矩式子和一个投影式子，该方程组的适用条件为x轴与 A、B两点的连线不能垂直。 三矩式平衡方程：
（3-5） 式（3-5）有三个力矩式子，该方程组的适用条件为A，B，C三点不共线。
工程力学
平面任意力系的平衡方程及应用
1.1 平面任意力系的平衡方程及应用 1. 一般情况下的平衡方程
平面任意力系向一点简化可得到一个主矢R和一个主矩M，当主矢和 主矩同时为零时，力系平衡。所以平面任意力系平衡的充分必要条件是R =0，M=0，于是，力系的平衡方程为
（3-3）
式（3-3）说明：平面任意力系平衡时，力系中各力在两个坐标轴投 影的代数和均为零，力系中的各力对其作用面内任一点的力矩代数和也 为零。由于方程中含有一个力矩式子，因此这一方程组称为一矩式。
平面任意力系的平衡方程及应用
在解决实际问题时，可以先以整体为研究对象，解出一部 分未知力，再以单个物体或小系统为研究对象，求出剩下的未 知力；也可以分别以系统中的单个物体为研究对象，求解问题。 选择研究对象时，以选择已知力和未知力共同作用的物体为好， 还要尽量使计算过程简单，尽可能避免解联立方程组。另外还 应注意一点，在以整体为研究对象时，系统内各物体间的相互 作用力是内力，相互抵消，不体现出来；而若以单个物体为研 究对象时，内力则转化成外力，必须考虑。
平面力系的合成与平衡—平面一般力系的平衡方程和应用(建筑力学)
y
0
FAy FB 80 5 2 0
M F 0
A
FB 4 80 2 5 2 5 0
解上述方程，得：
FAy 37.5kN
FB 52.5kN
结果均为正，说明其实际方向与假设方向相同。
§4-4 平面一般力系的平衡方程和应用
例4.10 在图示刚架中，已知q=3kN/m，F 6 2kN ，M=10kN.m，不计刚架自重。
求固定端A处的约束力。
解：(1)取刚架为研究对象；(2)画受力图；
(3) 列平衡方程：
Fx 0
Fy 0
M A F 0
解得：
1
FAx q 4 F cos45 0
2
FAy F sin 45 0
1
1
M A q 4 4 M F sin 45 3 F cos45 4 0
M
M
i
( Fi ) 0
B ( Fi ) 0
A
不能选择与力垂直
的投影轴
A、B两点的连线
不与各力作用线
平行。
§4-4 平面一般力系的平衡方程和应用
三、平面一般力系平衡方程的应用
基本步骤：
1、根据求解的问题，恰当选取研究对象：要使所取物体上既包括已知条
件，又包含待求的未知量。
2、对选取的研究对象进行受力分析，正确地画出受力图。
§4-4 平面一般力系的平衡方程和应用
一、平面一般力系的平衡方程
平面一般力系平衡的充要条件是：
力系的主矢和对任意点的主矩都等于零
FR'=0
MO=0
因为 FR‘= （∑）2 + （∑）2
理论力学第3章力系平衡方程及应用
a
分布力(均布载荷) 合力作用线位于AB
中点。
3.1 平面力系平衡方程
a
【解】
y M=qa2 a
2qa
F3
C
FAx
A
aFAy
45
B
D
x
2a FB a
F3 2qa
MA 0
q 2 2 a q a a F B 2 a 2 q sa 4 i 3 n a 5 0
FB 2qa
Fx 0 FAx2qcao4s50 FAx qa
C
【解】 F2
构件CGB（ 图b）
F2
构件AED
（图c）
C
R
D
45
FC
FD
D
G
45
F1
E
a
F1
E
a
A
B
G 图b
FBy
图c A FAx
MA
FAy
构件CD（图a ）
3个未知量 B FBx
4个未知量
F'C
3个独立方程
3个独立方程
【基本思路】
C R
杆CGB受力图计算FCAED受力图
计算A处的反力(偶)；CGB受力图计算
3.2 平面物体系平衡问题
q
C
B
30
FC FBy
l
l
【解】 杆CB
FBx
MB 0
FCco3s0l qll/2 0
FC
3 ql 30.5kN/m 2m 0.577kN
3
3
3.2 平面物体系平衡问题
【解】整体
FAy
l
l
l
Fx 0
MA
A
FAx
初中九年级物理热平衡方程的应用
热平衡方程的应用•热平衡方程：在热传递过程中，如果没有热量损失，则高温物体放出的热量Q放等于低温物体吸收的热量Q吸，即Q放=Q吸，把这个关系叫热平衡方程。
•热平衡方程式：两个温度不同的物体放在一起，高温物体放出热量，低温物体吸收热量，当两个物体温度达到相同时，如果没有热量损失，则有Q吸=Q放，称为热平衡方程。
在热量计算题中，常采用此等式。
例1：吃早饭的时候，妈妈用热水给小雪加热如图所示的袋装牛奶。
为了使这袋牛奶的温度由 12℃升高到42℃，妈妈至少要用60℃的热水多少千克?[水的比热容为4．2×103J／(kg·℃)，设该牛奶的比热容为2．5 ×103J／(kg·℃)，不计热量损失]解析：根据热传递的条件，热水的最终温度等于牛奶的最终温度，同为42℃，由于不计热量损失，所以牛奶吸收的热量Q吸等于热水放出的热量Q放，根据Q吸=Q放即可求出。
牛奶升温时吸收的热量 Q放=c1m1(t一t0)=2．5×103J／(kg·℃)×0．25kg×(42℃-12℃)=18750J，热水由60℃降低到42℃放出的热量 Q放=c2m2(t0’一t)，Q吸=Q放，至少需要60℃的热水约0．248kg。
•一、分子动理论及其应用：•1、物质是由分子组成的。
•-10分子若看成球型，其直径以10m来度量。
•2、一切物体的分子都在不停地做无规则的运动•①扩散：不同物质在相互接触时，彼此进入对方的现象。
•②扩散现象说明：A分子之间有间隙。
B分子在做不停的无规则的运动。
•③装置下面放二氧化氮这样做的目的是：防止二氧化氮扩散被误认为是重力作用的结果。
实验现象：两瓶气体混合在一起颜色变得均匀，结论：气体分子在不停地运动。
•④固、液、气都可扩散，扩散速度与温度有关。
⑤分子运动与物体运动要区分开：扩散、蒸发等是分子运动的结果，而飞扬的灰尘，液、气体对流是物体运动的结果。
静力平衡方程知识点总结
静力平衡方程知识点总结1. 静力平衡方程的定义静力平衡方程是描述物体在静止状态下受力平衡的关系的方程。
当一个物体处于静止状态时，所有施加在它上面的力相互抵消，使得物体不会发生位移。
这种力的平衡状态可以用数学方程来描述，这就是静力平衡方程。
2. 静力平衡方程的基本原理静力平衡方程的基本原理是根据牛顿第二定律，即物体所受合外力等于物体的质量乘以加速度，且加速度为零。
在静力平衡状态下，物体不会发生加速度，因此合外力为零。
这就是静力平衡方程的基本原理。
3. 静力平衡方程的具体应用静力平衡方程在工程、建筑、力学等领域都有广泛的应用。
在工程设计中，静力平衡方程可以用来计算建筑物、桥梁、机械设备等的结构强度，以及确定各个部件所受的力的大小和方向。
在力学中，静力平衡方程可以用来研究各种物体在静止状态下所受的力的平衡关系。
4. 静力平衡方程的相关知识点静力平衡方程的相关知识点包括力的平衡条件、力的合成与分解、受力分析、静力平衡的原理和方法等内容。
力的平衡条件是指一个物体处于静止状态时，所受的力必须相互平衡，合力为零。
力的合成与分解是指将一个力分解为若干个分力的合成，或者将若干个分力合成为一个合力。
受力分析是指通过对物体所受的各个力进行分析，来确定物体所受的合力和合力的方向。
静力平衡的原理和方法是指在求解静力平衡方程时，可以利用受力平衡的原理和方法来对物体所受的力进行分析和计算。
5. 静力平衡方程的解题方法静力平衡方程的解题方法包括利用受力平衡的原理和方法，对物体所受的各个力进行分析和计算。
在解题的过程中，可以采用如下步骤：首先，对物体所受的各个力进行受力分析，确定物体所受的合力和合力的方向；然后，利用静力平衡的原理和方法，写出静力平衡方程，并通过求解方程得出物体所受的各个力的大小和方向；最后，对计算结果进行检验，确保物体所受的各个力相互平衡，合力为零。
6. 静力平衡方程的实际应用案例静力平衡方程在实际应用中有许多案例，以下是其中的一些典型案例：**（1）桥梁设计**在桥梁设计中，常常需要对桥梁的结构强度进行计算。
高中物理平衡方程讲解教案
高中物理平衡方程讲解教案
教学内容：平衡方程
教学目标：了解平衡方程的概念，掌握平衡方程的应用方法
教学重点：平衡方程的概念、平衡方程的应用方法
教学难点：运用平衡方程解决实际问题
教学准备：教案、黑板、彩色粉笔、课件
教学过程：
一、导入（5分钟）
教师简要介绍平衡方程的概念，并通过简单例子引出平衡方程的重要性和应用场景。
二、讲解平衡方程（15分钟）
1. 教师详细讲解平衡方程的定义、表示形式和应用方法，强调平衡方程在物理学中的重要
性和广泛应用。
2. 教师通过实际案例，展示如何利用平衡方程解决实际问题。
三、练习（20分钟）
1. 学生通过小组讨论，完成若干平衡方程的练习题，加深对平衡方程的理解和应用。
2. 学生上台展示解题思路，教师适时指导和纠正。
四、总结（5分钟）
1. 教师对本节课的内容进行总结，强调平衡方程的重要性和应用方法。
2. 鼓励学生多多实践，提高解决问题的能力。
五、作业布置（5分钟）
教师布置课后练习题，要求学生认真完成，便于巩固课堂所学知识。
教学反思：在教学过程中，要注重理论和实践相结合，引导学生从实际问题出发，灵活运
用平衡方程解决问题，提高解决实际问题的能力。
同时，教师要注重引导学生思考和探索，激发学生学习的热情和主动性。
平衡方程及应用
FAx 31kN
FB
FAy G1 G2 0
FAy 50kN
FAx FAy
G1 G2
平面一般力系的平衡方程及应用
例2-20 已知：F＝8kN，M＝4kN·m求A、B处的约束力。
M
解：取刚架AB为研究对象，受力如图所示。
Fx 0 F FAx 0
F
FAx F 8kN
【例 2-7】
平面力系的平衡方程及应用
4.平面力偶系的平衡方程 作用在物体同一平面内力的许多力偶，称为平面 力偶系。
平面力偶系平
衡的必要充分 条件是：力偶 系中各力偶矩 的代数和为零。
M=M1+M2+…+Mn=0
【例2-8】
平面力系的平衡方程及应用
通过以上各例可归纳出求解物体系统平衡问题的一般步骤: （1）分析题意,选取适当的研究对象
平面力系的平衡方程及应用
1.平面一般力系的平衡方程
若使刚体处于平衡，则必须满足作用于 刚体上的合力矢FR=0，合力偶矩M=0，即
FR ( Fx )2 ( Fy )2 , MO MO(Fi )
Fx Fy
0 0
M o 0
—— 平面一般力系的平衡方 程（基本形式、两影一矩式）
平衡 方程
平面力系的平衡方程及应用
1.平面一般力系实例
平面力系的平衡方程及应用
1.平面一般力系实例
y
B
M
FAy
A
FAx
C F
x
FNC
F
a b
h
G
FA
H
FB FNB
FNA
平面力系的平衡方程及应用
空间力系平衡方程及应用
空间任意力系的平衡方程组由六个方程组 成，对于受空间任意力系作用而处于平衡的物 体，运用方程组最多求出六个未知量。
根据空间任意力系的平衡方程，可以推出 空间汇交力系和空间平行力系的平衡方程。
空间 力系 的平 衡方 程及 应用
1.空间汇交力系的平衡方程
由于空间汇交力系的简化结果只有一个合力R，因 此，力系平衡的平衡条件是力系的合力R为-9所示的悬臂刚架中，若已知荷载F1=20 kN，F2=100 kN，q=10 kN/m，尺寸H=3 m，h=1.5 m，l=3 m。不考虑刚架的自重，求刚架所受的约
束反力。
空间 力系 的平 衡方 程及 应用
空间 力系 的平 衡方 程及 应用
【解】 （1）以刚架为研究对象画受力图。 因A端为固定端，阻碍被约束构件向任意方向 移动和绕任意轴转动，故其约束反力为三个相互垂 直的分力和三个作用面相互垂直的分力偶，如图39所示，刚架所受力系为空间任意力系。 （2）建立坐标系，如图3-9所示，列平衡方 程。
（3-9）
空间汇交力系的平衡方程组由三个方程组成，利 用方程组最多只能求出三个未知量。
空间 力系 的平 衡方 程及 应用
2.空间平行力系的平衡方程
当空间平行力系中的各力的作用线与三维 直角坐标系的z轴平行时，无论力系是否平衡， 力系中各力在x，y轴上的投影都是零，且各力 对z轴的力矩也是零，因此，空间平行力系的 平衡方程组为
空间力 系的平衡方
程及应用
1.1 空间任意力系的平衡方程 1.2 空间力系平衡方程的应用
由空间任意力系的平衡条件，可以得到空间任 意力系的平衡的解析表达式为
（3-8）
式（3-8）说明空间任意力系平衡时，力系中 的各力在直角坐标系中的各轴上的投影代数和为零， 对各轴之矩的代数和也为零。
平衡方程知识点
平衡方程知识点平衡方程是化学中的重要概念，用于描述化学反应中物质的摩尔比例关系。
它是化学方程的基础，能够帮助我们理解反应的定量关系和理解化学反应的机理。
一、化学方程的基本概念化学方程是用化学式和符号表示化学反应的过程。
在化学方程中，反应物以反应物的化学式表示，产物以产物的化学式表示，反应物和产物之间以符号“→”分隔。
例如，氢气与氧气反应生成水的化学方程可以表示为：2H₂(g) + O₂(g) →2H₂O(l)在这个方程中，2H₂(g)表示2个氢气分子，O₂(g)表示氧气分子，2H₂O(l)表示2个水分子。
二、平衡方程的概念平衡方程是指化学方程中反应物与产物之间的物质摩尔比例关系达到最稳定状态的方程式。
在平衡方程中，反应物和产物之间的物质摩尔比例是固定的。
例如，在下面的化学方程中：N₂(g) + 3H₂(g) → 2NH₃(g)这个方程表示氮气和氢气反应生成氨气的过程。
在平衡状态下，1个氮气分子和3个氢气分子反应生成2个氨气分子。
三、平衡方程的特点平衡方程具有以下几个特点：1.物质的摩尔比例关系固定：在平衡状态下，反应物与产物之间的物质摩尔比例是固定的，即在给定的温度和压力下，反应物与产物之间的物质摩尔比例保持不变。
2.正反应和逆反应速率相等：在平衡状态下，正向反应和逆向反应的速率是相等的。
这意味着在平衡状态下，反应物和产物之间的转化速率达到了动态平衡。
3.平衡常数：平衡方程中的平衡常数是用于描述反应物与产物之间的摩尔比例关系的数值常数。
平衡常数的数值可以通过实验测定得到。
四、平衡方程的应用平衡方程在化学分析、化学工程和环境科学等领域有着广泛的应用。
1.化学分析：平衡方程可以用于计算溶液中各种物质的浓度。
通过测定反应物和产物的摩尔比例，可以推导出溶液中各种物质的浓度。
2.化学工程：平衡方程可以用于设计和优化化学反应的工艺条件。
通过控制反应物和产物之间的摩尔比例，可以提高反应的产率和选择性。
3.环境科学：平衡方程可以用于描述大气和水体中的化学反应过程。
平面力系的平衡方程及应用分析
PART 5
平面力系平衡方程的实例分析
实际工程中的应用案例
桥梁工程：分析桥梁受力情况，确保桥梁安全稳定 建筑工程：分析建筑物受力情况，确保建筑物安全稳定 机械工程：分析机械设备受力情况，确保机械设备安全稳定 航空航天工程：分析飞机、火箭等受力情况，确保飞行器安全稳定
经典物理中的平衡问题
牛顿第二定律：物体受到的 力与其质量和加速度成正比
多重平衡问题分析
多重平衡问题：多个力系同时作用于同一物体，需要同时满足多个平衡条件 应用领域：工程设计、建筑结构、机械制造等 解决方法：利用平面力系平衡方程，分别求解各个力系的平衡条件 实例分析：桥梁设计、汽车悬挂系统设计等
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PART 3
平面力系的平衡方程
平衡方程的推导
牛顿第二定律： F=ma
力矩平衡条件： ΣM=0
平面力系的平衡 条件：ΣFx=0， ΣFy=0
平面力系的平衡 方程：ΣFx=0， ΣFy=0，ΣM=0
平衡方程的形式
平面力系的平衡方程：Fx=0，Fy=0，M=0 Fx：x轴方向的合力 Fy：y轴方向的合力 M：力矩
求解未知力的方法
利用平衡方程求解未知力
利用力偶平衡方程求解未知力
添加标题
添加标题
利用力矩平衡方程求解未知力
添加标题
添加标题
利用力系简化方法求解未知力
平衡方程的解题步骤
确定已知条件：包括力的大小、方向、作用点等 建立平衡方程：根据已知条件，列出平衡方程 求解未知量：利用平衡方程求解未知量 验证结果：检查求解结果是否满足平衡条件，如有不满足，重新求解
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平面力系的平衡方 程及应用ssibilities
具有补给气的异常高压有水凝析气藏物质平衡方程建立及应用
具有补给气的异常高压有水凝析气藏物质平衡方程建立及应用高压有水凝析气藏是一种常见的油气储藏类型。
当气压降低到一定程度时，气体中的水分会凝结成为液体水，导致气体中的水含量下降。
为了更好地了解这种气藏的特性，我们需要建立一些物质平衡方程。
首先，我们需要了解气藏系统中的各个成分。
对于一个有水凝析现象的气藏，其主要成分包括天然气、水和液态烃。
这些成分在气藏中，会因为分压的差异而分布到不同的层位上。
假设这个气藏中含有p个组分，那么我们就可以得到p个物质平衡方程。
以第i个组分为例，其物质平衡方程可以表示如下：F—— + Li(yi – xi) = 0Vi其中F是组分i的摩尔流量，L是凝析水的摩尔流量，V是气相体积，yi表示组分i在液相中的摩尔分数，xi表示组分i在气相中的摩尔分数。
这个物质平衡方程的意义是，组分i在气相和液相之间进行转移，同时凝析水带走了一部分组分i。
因此，组分i在气相中的摩尔分数会下降，而在液相中的摩尔分数会上升。
此外，还需要注意保持质量平衡。
即，在整个气藏系统中，所有组分的摩尔流量之和不变。
因此，我们也可以得到一个总质量平衡方程：∑(Fi + L) = ∑(yiVi + xiVi)利用这些物质平衡方程，我们可以计算出各个组分在气相和液相中的分布情况。
特别是对于水凝析现象，我们可以得到液相中的水含量，以及凝析水和液态烃的摩尔分数。
在实际应用中，这些物质平衡方程可以被用于优化气藏生产，计算气-液比等。
在气藏开发过程中，我们需要不断调整生产参数以最大化产量。
这就需要根据物质平衡方程，计算出气相和液相的比例。
此外，气藏中的水凝析现象还会影响气-液过渡的位置。
因此，物质平衡方程的应用也可以帮助我们确定渗透率和井距等参数。
总之，物质平衡方程在高压有水凝析气藏中的应用非常广泛。
通过这些方程的建立和应用，我们可以更好地理解和优化这类气藏的生产。
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§3—2 平衡方程及其应用
解（1）选取研究对象 ，画受力图
FAC
FCA
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§3—2 平衡方程及其应用
２、建立坐标系列出平衡方程
∑F x＝0 ， －W cos45°－FＡＣ－FＴ cos15°－FＡＢ cos75°＝0 ∑Fｙ ＝0， －W sin 45°＋FＴsin15°+ F2 平衡方程及其应用
二力矩式：
Fx 0 FAx FB cos45 0
M A 0 Fa M FB sin 45 3a 0 M B 0 FAy 3a F 2a M 0
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§3—2 平衡方程及其应用
三力矩式：
M A 0 Fa M FB sin 45 3a 0 M B 0 FAy 3a F 2a M 0 M D 0 FAx 3a Fa M 0
M A 0 W1maxa W (e b) 0 W (e b) W1 max 375 kN a
361 kN W1 375kN
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§3—2 平衡方程及其应用
(2) 取起重机为研究对象，画出受力图,取y轴 向上为正，列出平衡方程
M A 0 W1a FBb W (e b) F (l b) 0
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§3—2 平衡方程及其应用
3-2-2、平面力系的几种特殊情形 1、平面汇交力系
Σ FX=0 Σ Fy=0
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§3—2 平衡方程及其应用
例题3-3起重架可借饶过滑轮A的绳索将重 W=20KN的重物吊起，滑轮A用AB及AC两杆支承。 设两杆的自重及滑轮A的大小，自重均不计， 求杆AB，AC的受力。
三力矩形式:
Σ mA(F)=0 Σ mB(F)=0 Σ mC(F)=0 式中，矩心A、B、C三点不得在一条直线上。
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§3—2 平衡方程及其应用
例题3-2：梁AB的A端为固定铰支座，B端为活 动铰支座，梁上受集中力F与力偶M的作用。 已知F=10KN，M=2KNm，a=1m，求支座A，B处 的反力。
W (e b) F (l b) W1 a FB 1093 kN b
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§3—2 平衡方程及其应用
F
y
0,
FA FB W1 W F 0
FA W1 W F FB 27kN
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§3—2 平衡方程及其应用
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§3—2 平衡方程及其应用
3
§3—2 平衡方程及其应用
平面任意力系平衡的充要条件是：力系中 所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的 代数和分别等于零，以及各力对任一点之 矩的代数和等于零。 平面任意力系的平衡方程为： Σ FX=0 Σ Fy=0 Σ mO=0
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§3—2 平衡方程及其应用
例题3-2：梁AB的A端为固定铰支座，B端为活 动铰支座，梁上受集中力F与力偶M的作用。 已知F=10KN，M=2KNm，a=1m，求支座A，B处 的反力。
FAx＝FBcos45°＝4kN
FAy＝F－FBsin 45°=6kN
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§3—2 平衡方程及其应用
平面任意力系平衡方程除基本形式以外，还 有以下两种基本形式： 二力矩形式: Σ mA(F)=0 Σ mB(F)=0 Σ FX=0 式中，x轴不得与矩心A、B两点的连线垂直。
9
§3—2 平衡方程及其应用
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§3—2 平衡方程及其应用
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§3—2 平衡方程及其应用
解：（1）取起重机为研究对象。先考虑满 载时的情况。 列出平衡方程
W1min a b We Fl 0
W1 min We Fl 361kN ab
24
M B 0,
§3—2 平衡方程及其应用
再考虑空载（F=0）的情况。此时起重机不绕 A点翻倒。在平衡的临界状态， ，平衡锤重达 到最大值。列出平衡方程
A、B连线不能与各力平行
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§3—2 平衡方程及其应用
例题3-5 塔式起重机的机架重W=500KN， 重力作用线与右轨的距离e=1.5m。最大起 重载荷F=250KN，其作用线与右轨的距离 l=10m。轨距b=3m，平衡锤重力作用线与 左轨的距离a=6m。 1、欲使起重机在满载和空载时均不致翻倒， 求平衡锤重W1的值。 2、当平衡锤重W1=370KN时，求满载时轨道 对起重机轮子的约束力。
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§3—2 平衡方程及其应用
FＡＢ＝9.28 kN ＝－35.9 kN
FAC＝－W cos45°－FＴ cos15°－FＡＢ cos75°
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§3—2 平衡方程及其应用
2平面力偶系
M 0
例题3-4 用多轴钻床同时加工某工件上的四 个孔，钻孔时每个钻头的主切削刀组成一力偶， 各力偶距的大小均为M=15KNm l=200mm。求加 工时两个固定螺栓A，B所受的力。
例题3-6水平外伸梁上受均布载荷q，力偶M 和集中力F的作用。求支座A，B处的反力。
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§3—2 平衡方程及其应用
解：取梁为研究对象，画出受力图
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§3—2 平衡方程及其应用
建立坐标系oxy，列出平衡方程
Fx 0, FAx 0
M A 0, a FR M FB 2a F 3a 0 2 3 qa M FB F 2 4 2a
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§3—2 平衡方程及其应用
解：选工件为研究对象。 列出平衡方程
M 0, FAl 4M 0
4M FA 300 N l
FA FB 300N
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§3—2 平衡方程及其应用
3、平面平行力系 平衡条件和平衡方程
二力矩式：
Fxy 0 0 0 M MO 0 O M A 0 M B 0
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§3—2 平衡方程及其应用
Fy 0, FR FAy FB F 0
FAy F 5 M qa 2 4 2a
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§3—2 平衡方程及其应用
小结： 1、平面力系平衡 2、平面力系平衡的解题方法
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华东交通大学
职业技术学院
《工程力学》
专 业：铁工、建工 课程类型：专业基础课 主 讲：刘野林
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华东交通大学
职业技术学院
第三章 平面力系
§3-1平面力系向一点简化
§3-2平衡方程及其应用
§3-3考虑摩擦时的平衡问题
2
§3—2 平衡方程及其应用
3-2-1、平衡条件和平衡方程 平面任意力系平衡的必要与充分条件是： 力系的主矢和主矩都等于零。 FR’=0 MO=Σ MO(F)=0
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§3—2 平衡方程及其应用
解（1）选取研究对象 ，画受力图
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§3—2 平衡方程及其应用
列平衡方程 ∑Fx＝0， FAx-FBcos45°=0
∑Fy＝0， FAy-F+FBsin 45°=0 ∑MA=0, -Fa-M+FBsin 45°×3a=0
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§3—2 平衡方程及其应用
（3）解方程 FB＝＝5.66kN