3.4第1课时基本不等式PPT课件

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2020版高中数学第3章不等式3.4基本不等式第1课时基本不等式课件新人教A版必修5

『规律总结』在基本不等式应用过程中要注意“一正、二定、三相等”．
一正，a，b均为正数；二定，不等式一边为定值；三相等，不等式中的等号能取到，即a＝b有解．
〔跟踪练习 1〕下列结论中正确的是( C ) A．若 a>0，则(a＋1)(1a＋1)≥2 B．若 x>0，则 lnx＋ln1x≥2 C．若 a＋b＝1，则 a2＋b2≥12 D．若 a＋b＝1，则 a2＋b2≤12
新课标导学
数学
必修⑤ ·人教A版
第三章
不等式
3.4 基本不等式 ab≤a＋2 b
第1课时基本不等式
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
自主预习学案
如图是第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民的热情好客．那么你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？
〔跟踪练习 2〕
(1)已知 a>0，b>0，则1a＋1b＋2 ab的最小值是( C )
A．2
B．2 2
C．4
D．5
(2)已知 f(x)＝x＋1x－2(x<0)，则 f(x)有( C )
A．最大值为 0
B．最小值为 0
C．最大值为－4
D．最小值为－4
[解析] (1)因为 a>0，b>0，
所以1a＋1b＋2 ab≥2 a1b＋2 ab≥4
[解析] (1)∵m，n>0 且 m＋n＝16，所以由基本不等式可得 mn≤(m＋2 n)2＝(126)2＝64，当且仅当 m＝n＝8 时，mn 取到最大值 64.∴12mn 的最大值为 32. (2)∵x>2，∴x－2>0， ∴x＋x－4 2＝x－2＋x－4 2＋2≥2 x－2·x－4 2＋2＝6，当且仅当 x－2＝x－4 2，即 x＝4 时，等号成立．所以 x＋x－4 2的最小值为 6.

高中数学第三章不等式3.4.1基本不等式的证明课件苏教版必修5

≤
a＋2 b(当且仅当 a＝b 称为基本不等式．
时取“＝”)，我们把
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意 a，b∈R，都有 a＋b≥2 ab成立．( ) (2)不等式 a2＋4≥4a 成立的条件是 a＝2.( )
【答案】 (1)× (2)√
[小组合作型] 用基本不等式证明不等式
已知 a，b，c 为不全相等的正数． (1)求证：a＋b＋c≥ ab＋ bc＋ ca； (2)求证：ab2＋件要求： (1)利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”或“积” 式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果． (2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到．
[再练一题] 1．已知 a，b，c∈(0，＋∞)，且 a＋b＋c＝1. 求证：1a＋1b＋1c≥9.
[探究共研型] 应用基本不等式应注意的问题
探究 1 不等式“x＋1x≥2 x·1x＝2”成立吗？为什么？【提示】不成立．如当 x<0 时，x＋1x<0，显然不成立．
1．基本不等式使用的条件为“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可．在解题过程中，为了达到使用基本不等式的条件，往往需要通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设一个应用基本不等式的情境．
阶
阶
段
段
一
3．4 基本不等式 ab≤a＋2 b(a≥0，b≥0)
三
3．4.1 基本不等式的证明
学
阶段二
业分层测
评
1．理解基本不等式的内容及证明．(重点) 2．能运用基本不等式证明简单的不等式．(重点) 3．能用基本不等式求解简单的最大(小)值问题．(难点)
[基础·初探] 教材整理 1 算术平均数与几何平均数阅读教材 P96，完成下列问a题＋．b 对于正数 a，b，我们把 2 称为 a，b 的算术平均数， ab 称为 a，b 的几何平均数．

基本不等式PPT优秀课件

问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短篱笆是多少？（2）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？
03.02.2020
江西省赣州一中刘利剑整理 heishu800101@
例4、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为4800立方米，深为3米，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
成立的条件.
x
(2) 已知 ab0,寻找 ab与2的大小关系, ba
并说明理由.
(3) 已知 ab 0, a b 能得到什么结论? 请说明理由. b a
03.02.2020
江西省赣州一中刘利剑整理 heishu800101@
பைடு நூலகம் 练习1：设a>0，b>0，给出下列不等式
(1)a 1 2 (2)(a1)(b1)4
当且仅当a=b时，等号成立。
03.02.2020
江西省赣州一中刘利剑整理 heishu800101@
基本不等式2：
abab(a0,b0) 2
当且仅当a=b时，等号成立。

高中数学 3.4.1《基本不等式-均值不等式》课件新人教A版

。
下面几道题的解答可能有错，如果错了，那么错在哪里？ 1 １．已知函数 f ( x) x ，求函数的 x 最小值和此时x的取值．
运用均值不等式的过程中，忽略了“正数” 这个条件．
3 ( x 2) ，２．已知函数 f ( x) x x2 求函数的最小值．
用均值不等式求最值，必须满足“定值”这个条件．
4 3 求函数y sin 其中（0， ] sin 2 的最小值。 4 4 解：y sin 2 sin sin sin 4,函数的最小值为4。
用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条件. 如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.
2 2
1．定理适用范围： 2．强调取“=”的条件：
a, b R
ab
均值定理：如果a,
b∈R+，那么
（当且仅当a=b 时，式中等号成立）
2 2 证明： ( a ) ( b ) 2 a b ∵
ab ab 2
∴a b 2 ab
ab ab 即： 2
ab ab 当且仅当a=b时 2
在（2）中，矩形的长与宽的和的2倍是一个常数，求长与宽的乘积的最大值。
规律：
两个正数的积为常数时，它们的和有
最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有
最大值。
2 x 2 x 3 例3．求函数 f ( x) ( x 0) x
的最大
值，及此时x的值。
3 解： f ( x) 1 (2 x ) ，因为x>0， x
2 2
的最小值．
3 2 2
课堂小结
比较两个重要不等式的联系和区别：
a b 2ab ;

高中数学基本不等式 PPT课件图文

2. 一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
谢谢！学妹给我打电话，说她又换工作了，这次是销售。电话里，她絮絮叨叨说着一年多来工作上的不如意，她说工作一点都不开心，找不到半点成就感。末了，她问我：学姐，为什么想找一份自己热爱的工作这么难呢？我问她上一份工作干了多久，她说不到三个月，做的还是行政助理的工作，工作内容枯燥乏味不说，还特别容易得罪人，实在不是自己的理想型。我又问了她前几份工作辞职的原因，结果都是大同小异，不是因为工作乏味，就是同事不好相处，再者就是薪水太低，发展前景堪忧。粗略估计，这姑娘毕业不到一年，工作却已经换了四五份，还跨了三个行业。但即使如此频繁的跳槽，她也仍然没有找不到自己满意的工作。 2 我问她，心目中理想型的工作是什么样子的。她说，姐，你知道苏明玉吗？就是《都挺好》电视剧里的女老大，我就喜欢她样子的工作，有挑战有成就感，有钱有权，生活自由，如果给我那样的工作，我会投入我全部的热情。听她说完，我尴尬的笑了笑。其实每一个人都向往这样的成功，但这姑娘却本末倒置了，并不是有了钱有了权有了成就以后才全力以赴的工作，而是全力以赴工作，投入了自己的全部以后，才有了地位名望钱财。你要先投入，才会有收获，当你真正投入做一件事后，会明白两件事：首先你会明白，把一件事认认真真做好，所获得的收益远大于同时做很多事；你会明白，有人风风火火做各种事仍未有回报，是因为他们从未投入过。从“做了”到 “做” ，正如 “知道 ”到“ 懂得” 的距离。 3 之前

数学必修五人Appt：3.4.1 基本不等式

【类题·通】
1.基本不等式的变形式ab≤ ( a b )2 可用来求乘积式的
2
最大值;
2.重要不等式a2+b2≥2ab可视为a2+b2≥2|ab|,
另外变形式 a2 b2 ( a b )2 可以用在与平方相关的最
2
2
值问题.
2
D, y＝x2 4 1 x2 4 1 2，但是 x2 4 1 ，
x2 4
x2 4
x2 4
得x2+4=1不成立,故错误.
类型二利用基本不等式求最值
【典例】1.(2019·镇江高二检测)已知x>-1,则x+ 4
x 1
的最小值是 ( )
A.1
B.3
C.4
D.5
【解析】1.选B.x>-1,即x+1>0,
则x+ 4 =(x+1)+ 4 -1
x 1
x 1
2 (x 1)g 4 1＝3， x 1
当且仅当x=1时,取得等号.可得最小值为3.
2.因为x<0,所以-x>0,
所以f(x)=12x+3 = ( 12x 3 )
x
x
2 12xg 3 12， x
x
2
答案: 1
2
类型一对基本不等式的理解【典例】下列四个推导过程,正确的是______ .
①对于x≠0,都有 x 2 2 x g2 2
2 x 2x
②因为 x2 2 1 2 x2 2g 1 2，故最小值
x2 2
x2 2
为2
③因为7x+7-x≥ 2 7x 7x 2，故最小值为2 ④若ab>0,则 b a 2 bga 2 故最小值为2

人教版高中数学必修五基本不等式课件PPT

第三章不等式
1.两个不等式
不等式
内容
等号成立条件
重要不等式
a2 b2 2ab(a, b R)“a=b”时取“=”
基本不等式
ab
a b (a＞0,b＞0) 2
“a=b”时取“=”
第三章不等式
第三章不等式
在艰苦奋斗的环境中锻炼出来的文人，总比生长在温暖逸乐的环境中的人要坚强伟大。
——郁达夫
1.你能在这个图案中找出一些相等关系
第三章不等式
D
提示: 设AE=a,BE=b,
GF HE A
则正方形ABCD的面积 C 是__a_2_+_b_2__，
这4个直角三角形的面积之和是___2_a_b____，
B
S> 正方形ABCD
4S直角三角形，
即a2 b2 2ab.
第三章不等式
【提升总结】基本不等式：注意：（1）a,b均为正数；（2）当且仅当a=b时取等号.
第三章不等式
D
如图,AB是圆的直径，C
是AB上任一点，
AC=a,CB=b,过点C作垂
A
C
B
直于AB的弦DE，连接
AD,BD,
E
则CD=＿＿,
半径为＿＿.
第三章不等式
CD小于或等于圆的半径. 用不等式表示为上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a=b 时，等号成立. 几何意义：半径不小于半弦.
∴1x＋1y≥2 x1y＝ 2xy≥4 2则是错误的，因为此时等号取不到：前一个不等式成立的条件是 x＝2y＝12，后一个不等式则是在 x＝y 时成立．
(2)也可以直接将1x＋1y的分子 1 代换为 x＋2y，和乘以“1” 是相同的．

高中数学必修五课件：3.4-1《基本不等式》(人教A版必修5)

D
y
x
C
当且仅当 x=2y 时，等号成立即x=12，y=6
因花此园解，面x这积x个最2y矩大2y2形，4，的最可长大得为面积1xy2是m162、72宽m为2 6m时，
18
变式：如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？
-1
=1,
当且仅当 x+1= x1+1, 即 x=0 时, 取“=”号.
∴当 x=0 时, 函数 f(x) 的最小值是 1.
26
2.
若
0<x<
1 2
,
求函数
y=x(1-2x)
的最大值.
分析:2 x+(1-2x) 不=1是为常数.
配凑系数
解:
∵0<x<
1 2
,
∴1-2x>0.
∴y=x(1-2x)=
a2 b2≥2ab
当且仅当a=b时，等号成立适用范围： a,b∈R 文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍.
如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a,b, 可得到什么结论？
8
如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a,b, 可得到什么结论？
替换后得到： ( a )2 ( b )2≥2 a b 即： a b≥2 ab 即： a b≥ ab (a 0,b 0) 2
适用范围： a>0,b>0
在数学中，我们把
a
b 2
叫做正数a，b的算术平均数，
ab 叫做正数a，b的几何平均数；
文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

人教高中数学-必修五-3.4-基本不等式(第一课时)赛课一等奖(共14张PPT)

正数负数
其实这样的相等关系和不相等关系还有很多，今天，让我们一起去探索两个非常重要的不等式。
探索新知
正方形ABCD
四个直角三角形
结论交给你，解释靠自己！动手吧！回答问题！
探索新知
证明：
“作差法”
把已有的知识进行变形，是我们数学研究中推陈出新的重要方法
探索新知
快快动手吧！
探索新知
剖析新知
比对分析、加深理解基本不等式1：基本不等式2：相同点：
不同点：两个不等式适用的范围不同
学以致用，小试牛刀
例：请判断下列表述的正误。
（基本不等式的灵活使用）（基本不等式的适用范围）（基本不等式的取等条件）
× ×
学以致用，小试牛刀
强调环证境明：
取等条件
温习回顾
今天你学到了什么？
3. 教材 98页习题3 再来欣赏另一种利用几何图形来证明定理2的方法吧！
数无形不直观形无数难入微
—华罗庚
剖析新知
我们把这个基本不等式也经常称作均值不等式
不等式说明：
多角度理解不等式：
1.从平均数的角度：两正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数 2.从数列的角度：两正数的等差中项大于或等于它们的等比中项
生活背景、引入新课
10元钱吃早饭，你会怎么选？
A.两个肉松面包 + 一杯牛奶（8元） B.一份米粉（6元） C.麦当劳的一份早餐套餐（10元）
比较：价钱谁贵谁便宜？营养谁多谁少？
同学们：比较事物间的相等关系和不相等关系是我们一种天生的非常重要的逻辑思维能力，在我们的数学中存在许许多多的相等关系和不相等的关系，例如：
1.两个非常重要的基本不等式

3.4基本不等式(第1课时)课件

a2+b2
2ab
能得到什么结论? a + b ≥ 2a ⋅ b 中的 a, b,能得到什么结论?
1.思考: 1.思考:如果思考 2 2
a > 0, b > 0 用
a, b
去替换请写出来。请写出来。
a+b ab ≤ (a > 0, b > 0) 2
（当且仅当a=b时，等号成立）当且仅当时等号成立）
四、巩固
1.若正数m, n满足m + n = 6, 则mn有最大值 9 , 此时m = 3 , n = 3 . 2.若正数m, n满足mn = 6, 则m + 3n有最小值 6 2 , 此时m = 3 2 , n = 2 .
发现运算结构,应用不等式发现运算结构应用不等式 • 变式1．试判断 b a 与2 + (a > 0, b > 0) 的 a b 大小关系？ • 在结论成立的基础上，条件“a>0,b>0” 可以变化吗？
3.4 基本不等式
第一课时
请尝试用四个全等的直角三角形拼成一个 “风车”图案？风车”图案？
赵爽弦图
一、基本不等式的几何背景
D H E A G C
a
b
F B
c = a 2 + b2
上图是在北京召开的第２４届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的＂弦图＂设计的．你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？
1 变式:已知的最大值. 变式已知 0 < x < ,求函数 y = x (1 − 2 x ) 的最大值求函数 2
结论1 两个正数积为定值，结论1：两个正数积为定值，则和有最小值结论2 两个正数和为定值，结论2：两个正数和为定值，则积有最大值

高中数学第三章不等式3.4.1基本不等式课件新人教A版必修5

一二三
二、基本不等式
【问题思考】 1.填空: (1)基本不等式
①当 a>0,b>0 时,有��+2�� ≥ ��,当且仅当 a=b 时,等号成立;
②对于正数 a,b,常把��+2��叫做 a,b 的算术平均数,把 ��叫做 a,b 的几
解(1)由题意知 x>0,由基本不等式得 f(x)=3x+1��2≥2 3��·1��2=2 36=12. 当且仅当 3x=1��2,即 x=2 时,f(x)取得最小值 12.故 f(x)的最小值是 12. (2)由 lg a+lg b=2,得 lg ab=2,即 ab=100,且 a>0,b>0, 因此由基本不等式可得 a+b≥2 ��=2 100=20, 当且仅当 a=b=10 时,a+b 取到最小值 20.故 a+b 的最小值是 20. (3)由于 x,y 是实数,所以 2x>0,2y>0,于是
提示填表略,(1)当 x+y 是定值时,xy 有最大值,且最大值等于
��+�� 2
2
;(2)当 xy 是定值时,x+y 有最小值,且最小值等于 2
��.
2.填空: 基本不等式与最值已知x,y都是正数. (1)若x+y=s(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值. (2)若xy=p(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值.
变式训练 2(1)已知 a,b,c,d 都是正数,求证:(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.

基本不等式课件(共43张PPT)

重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有
立
a2 b2≥2ab 当且仅当a=b时，等号成
适用范围： a,b∈R
文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍.
如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a,b, 可得到什么结论？
即： a b≥ ab (a 0,b 0) 2
通常我们把上式写作： ab≤ a b (a 0,b 0) 2
课堂练习：已知 a，b，c∈{正实数}，且 a＋b＋c＝1.
求证：1a＋1b＋1c≥9.
解：证明：1a＋1b＋
1c ＝ a＋ab＋c ＋ a＋bb＋c ＋
a＋b＋c c
＝3＋
(ba＋ab)＋(ac＋ac)＋(bc＋bc)
≥3＋2＋2＋2＝9.
当且仅当a＝b＝c＝13时取等号．
小结基本不等式 ab a b (a 0,b 0)
第三章不等式
§3.4 基本不等式
这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
D
a2 b2
b
G
F
A
a HE
探究１：
1、正方形ABCD的
面积S=＿a＿＿2 ＿＿b2
C ２、四个直角三角形的
例1.(1) 已知 x 0, 求证x 1 2, 并指出等号
成立的条件.
x
(2) 已知 ab 0, 寻找 a b 与2的大小关系, ba
并说明理由.
(3) 已知 ab 0, a b 能得到什么结论? 请说明理由. b a
[例 2] 若 a>b>1，P＝ lga·lgb，Q＝lga＋2 lgb，R＝lg(a＋2 b)，试比较 P、Q、R 的大小．

1 第1课时　基本不等式(共42张PPT)

解析：因为 a＞0，且 2x＋ax≥2 当且仅当 2x＝ax，
2x·ax＝2 2a，
即 x＝ 22a时，2x＋ax取得最小值，所以 22a＝3，解得 a＝18. 答案：18
5．已知 x，y 为正实数，且 x＋y＝4，求1x＋3y的最小值．解：因为 x，y 为正实数，所以(x＋y)1x＋3y ＝4＋xy＋3yx≥4＋2 3. 当且仅当xy＝3yx，
(1)若 a＋b＝S(和为定值)，当 a＝b 时，积 ab 有最大值S42，可以用基本不等式 ab≤a＋2 b求得． (2)若 ab＝P(积为定值)，则当 a＝b 时，和 a＋b 有最小值 2 P，可以用基本不等式 a＋b≥2 ab求得．不论哪种情况都要注意取得等号的条件是否成立．
1．已知 x＞0，y＞0，且 x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为
【解析】对于选项 A，当 x<0 时，4x＋x≥4 显然不成立；对于选项 B，符合应用基本不等式的三个基本条件“一正，二定，三相等”；对于选项 C，忽视了验证等号成立的条件，即 x＝1x，则 x＝±1，均不满足 x≥2；对于选项 D，x－1x在 0<x≤2 的范围内单调递增，有最大值 2－12＝32. 【答案】 B
A．7
B．8
C．9
D．10
()
解析：选 C.因为 a，b 都是正数，所以1＋ba1＋4ba＝5＋ba＋4ba≥5＋2 ＝9，当且仅当 b＝2a 时取等号．
ab·4ba
探究点 3 利用基本不等式求最值 (1)已知 x>2，则 y＝x＋x－4 2的最小值为________．
(2)若 0<x<12，则函数 y＝12x(1－2x)的最大值是________． (3)若 x，y∈(0，＋∞)，且 x＋4y＝1，则1x＋1y的最小值为________．

高中数学必修五3.4.1 基本不等式的证明教学课件共18张PPT

C
S=ab
c=2(a+b)
积
和
物品放天平左边称砝码显示重量为a
物品放天平右边称砝码显示重量为b
2．主动引导激发需求
物品放天平左边称砝码显示重量为a，放右边
称砝码显示重量为b，那么这个物品的实际重量是多少？ M | l1 | l2 |
M
| l1 | l2 |
3．合作活动提炼建模
活动 1 如图 5，请同学们先将一个正方形纸片沿它们的对角线对折，然后用剪刀沿纸片对角线剪开，分成两个全等的等腰直角三角形纸片．（课前请同学们预先准备）
3．合作活动提炼建模
活动 2 完成活动 1 后，请同桌两位同学各取一个等
a b 腰直角三角形纸片（纸片的面积分别为，），按如图 2 2 a +b 6 所示拼接成面积为的多边形纸片． 2
3．合作活动提炼建模
活动 3 完成活动 2 后，再请同桌两位同学合作，将
a +b 拼接成面积为的多边形纸片按图 7 中虚线裁剪，去 2
普通高中课程标准实验教科书数学（必修 5）
3.4 基本不等式的证明
1．自主阅读提出问题
【阅读材料】五世纪，欧洲大地上贵族发起大规模的圈地运动，其中有一种观点认为 “所圈矩形形状的地的周长越长，则所圈地面积越大”．你认同此观点吗？能从此观点中抽象出什么数学问题吗？
A
a
D
b
b
B
a
ab ≥ ab ． a b ≥ 2 ab ， 2 ab 所以，如果 a， b 是正数，那么 ab ≤ （当 2
且仅当 a＝b 时取“＝”）．当 a ≥ 0 ，b ≥ 0 时，这个不等式仍然成立．

3.4基本不等式课件(共43张PPT)

A
a
2ab 面积和S’ =＿＿
３、S与S’有什么
样的不等关系？
B
> S′ S____
问：那么它们有相等的情况吗？
D b G A H F E
D
a 2 b2
a a
C
A
E(FGH)
b
C
B
B
重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，我们有
a b 2ab
2 2
当且仅当a=b时，等号成立。
思考：你能给出不等式 a 2Hale Waihona Puke §3.4 基本不等式（3）
ab ab 2
2 2 1、重要不等式 a + b ≥ 2ab（当且仅当a = b时，等号成立）
2、基本不等式； a b 2 a＋b 3、均值不等式： ab≤ 2
ab
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当
a＝b
时取等号．
[证明]
∵a，b，c∈{正实数}，a＋b＋c＝1，
1－a b＋c b c 2 bc 1 ∴a－1＝ a ＝ a ＝a＋a≥ a ， 1 2 ac 1 2 ab 同理b－1≥ b ，c －1≥ c . 由上述三个不等式两边均为正，分别相乘， 1 1 1 2 bc 2 ac 2 ab ∴( －1)( －1)( －1)≥ · · ＝8. a b c a b c 1 当且仅当 a＝b＝c＝3时取等号．
a2＋b2 a＋b2 (4) ≥ (a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号． 2 2 a＋b 2 (5)ab≤ 2 (a，b∈R)，当且仅当
a＝b 时取等号．
5：用均值不等式求最值：已知和x

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ab a b 2
宁乡一中
动动手：请尝试用四个全等的直角三角形组成一个平面“风车”图案。
赵爽弦图
2002年国际数学家大会会标
会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．
根据图像思考以下问题：
（1）S正方形ABCD与4S直角三角形之间的大小关系？
（2）
可能相等吗？
（3）设直角三角形的两直角边分别为 a,b ，试用
表示
（4）由(1)、(2)、（3）我们可以得到什么结论？试证明。
Dห้องสมุดไป่ตู้
D
G
F
A
HE
C A
C EFGH
B
B
函数的方法证明：
证明：记f (x) x2 2bx b2，则f (x) (x b)2 f (x) 0恒成立，当且仅当x b时取等号 f (a) 0恒成立，当且仅当a b时取等号即a2 2ab b2 0恒成立，当且仅当a b时取等号即a2 b2 2ab恒成立，当且仅当a b时取等号
重要不等式：
a2 b2 2ab; (a,b R) 当且仅当a b时取等号。
重要不等式：
a2 b2 2ab; (a,b R) 当且仅当a b时取等号。
基本不等式：
例1、轻松判断：
(1)当x 0时，不等式x 1 2恒成立。 x
（√）
(2)对任意a 0,b 0，不等式 a b 2恒成立。（×） ba