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北京市上学期初中八年级期末考试数学试卷(含答案解析)

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2022-2023学年北京市海淀区八年级(上)期末数学试卷及答案解析

2022-2023学年北京市海淀区八年级(上)期末数学试卷及答案解析

2022-2023学年北京市海淀区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共24分，每小题3分）1．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，1），则点A关于y轴的对称点的坐标是（）A．（1，3）B．（﹣3，1）C．（3，﹣1）D．（﹣3，﹣1）2．（3分）数学中有许多精美的曲线，以下是“笛卡尔叶形线”“阿基米德螺线”“三叶玫瑰线”和“星形线”．其中一定不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）地球是人与自然共同生存的家园，在这个家园中，还住着许多常常被人们忽略的微小生命．在冰岛海岸的黄铁矿粘液池中的古菌身上，科学家发现了基因片段，并提取出了最小的生命体，它的直径仅为0.000 000 2米．将数字0.000 000 2用科学记数法表示为（）A．2×10﹣7B．2×10﹣8C．2×10﹣9D．20×10﹣84．（3分）在下列运算中，正确的是（）A．a2•a3＝a5B．（3a）2＝6a2C．（a2）3＝a5D．a3﹣a2＝a 5．（3分）下列式子从左到右变形正确的是（）A．B．C．D．6．（3分）将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，若DE∥AC，则图中的∠1度数是（）A．60°B．75°C．90°D．105°7．（3分）如图，四个等腰直角三角形拼成一个正方形，则阴影部分的面积为（）A．a2+b2B．a2﹣b2C．2ab D．4ab8．（3分）对于分式（m，n为常数），若当x≥0时，该分式总有意义；当x＝0时，该分式的值为负数．则m，n与0的大小关系正确的是（）A．m＜0＜n B．0＜m＜n C．n＜0＜m D．0＜n＜m二、填空题（本大题共18分，每小题3分）9．（3分）分解因式：ab2﹣9a＝．10．（3分）如果等腰三角形的两边长分别是2cm和6cm，则该等腰三角形周长是cm．11．（3分）当x＝时，分式的值为0．12．（3分）如图，点P在正五边形的边BC上运动（不与点B，C重合），若∠BAP＝x°，则x的取值范围是．13．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，AB＝BC，点D，E分别在边AB、AC上，若沿直线DE折叠，点A恰好与点B重合，且CE＝6，则∠EBC＝°，AC＝．14．（3分）甲乙两位同学进行一种数学游戏．游戏规则是：两人轮流对△ABC及△A′B′C′对应的边或角添加等量条件（点A′，B'，C′分别是点A，B，C的对应点）．某轮添加条件后，若能判定△ABC与△A′B′C′全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜．轮次行动者添加条件1甲AB＝A′B′＝2cm2乙BC＝B′C′＝4cm3甲..．上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是（填写所有正确结论的序号）．①若第3轮甲添加AC＝A′C′＝5cm，则乙获胜；②若甲想获胜，第3轮可以添加条件∠C＝∠C′＝30°；③若乙想获胜，可修改第2轮添加条件为∠A＝∠A′＝90°．三、解答题（本大题共58分，第15〜18题，每题4分，19〜22题，每题5分，23题4分，24题5分，25题6分，26题7分）15．（4分）计算：（﹣1）2+2﹣2﹣（2023﹣π）0．16．（4分）计算：x（x+4y）﹣2x•3y．17．（4分）化简：．18．（4分）如图，两车从路段AB的两端同时出发，沿平行路线以相同的速度行驶，相同时间后分别到达C，D两地．C，D两地到路段AB的距离相等吗？为什么？19．（5分）已知a2﹣2a﹣1＝0，求代数式（2a+1）（2a﹣1）+（a﹣5）2的值．20．（5分）如图，已知线段AB与直线平行．（1）作∠CAB的角平分线AE交直线CD于点E（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，若AE的中点为F，连接BF并延长交直线CD于点G，请用等式表示线段AB，AC，CG之间的数量关系：．21．（5分）随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如下的宣传：根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量．22．（5分）我们知道，代数式的运算和多项式因式分解都属于不改变代数式值的恒等变形．探究下列关于x的代数式，并解决问题．（1）若计算x（x+a）的结果为x2+7x，则a＝；（2）若多项式x2+bx﹣3分解因式的结果为（x+3）（x﹣c），则c＝，b＝；（3）若计算（dx+1）（x﹣d）的结果为dx2+mx﹣2，求m的值．23．（4分）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，点A，B，C 的坐标分别为（2，5），（1，2），（5，4），AB＝AC．（1）∠BAC＝°；（2）若点D为整点，且满足△ABD≌△ACD，直接写出点D的坐标（写出两个即可）．24．（5分）已知A＝x+y，B＝x2﹣y2，C＝x2﹣2xy+y2．（1）若，求C的值；（2）在（1）的条件下，且为整数，求整数x的值．25．（6分）已知在△ABC中，AB＝AC，且∠BAC＝α．作△ACD，使得AC＝CD．（1）如图1，若∠ACD与∠BAC互余，则∠DCB＝（用含α的代数式表示）；（2）如图2，若∠ACD与∠BAC互补，过点C作CH⊥AD于点H，求证：CH＝BC；（3）若△ABC与△ACD的面积相等，则∠ACD与∠BAC满足什么关系？请直接写出你的结论．26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，点P，Q分别在线段OA，OB上．如果存在点M使得MP＝MQ，∠MPQ＝∠AOB（点M，P，Q逆时针排列），则称点M是线段PQ的“关联点”．如图1，点M是线段PQ的“关联点”．（1）如图2，已知点A（4，4），B（8，0），点P与点A重合．①当点Q是线段OB中点时，在M1（4，2），M2（6，2）中，其中是线段PQ的“关联点”的是；②已知点M（8，4）是线段PQ的“关联点”，则点Q的坐标是．（2）如图3，已知OA＝OB＝4，∠AOB＝60°．①当点P与点A重合，点Q在线段OB上运动时（点Q不与点O重合），若点M是线段PQ的“关联点”，求证：BM∥OA；②当点P，Q分别在线段OA，OB上运动时，直接写出线段PQ的“关联点”M形成的区域的周长．2022-2023学年北京市海淀区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共24分，每小题3分）1．【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标相等，可得答案．【解答】解：点A（3，1）关于y轴对称的点的坐标为（﹣3，1），故选：B．【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．2．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A，C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；故选：B．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：0.0000002＝2×10﹣7．故选：A．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．【分析】利用合并同类项的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．【解答】解：A、a2•a3＝a5，故A符合题意；B、（3a）2＝9a2，故B不符合题意；C、（a2）3＝a6，故C不符合题意；D、a3与﹣a2不属于同类项，不能合并，故D不符合题意；故选：A．【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．5．【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．【解答】解：A、≠，故A不符合题意．B、＝，故B符合题意．C、＝+，故C不符合题意．D、≠5，故D不符合题意．故选：B．【点评】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．6．【分析】先根据DE∥AC求出∠2的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∵DE∥AC，∴∠2＝∠A＝30°，∴∠1＝∠2+∠E＝30°+45°＝75°．故选：B．【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解题的关键．7．【分析】用代数式表示整体正方形的面积与四个等腰直角三角形的面积，进而用代数式表示阴影部分的面积即可．【解答】解：整体是边长为a+b的正方形，因此面积为（a+b）2，四个等腰直角三角形的面积和为a2+b2，所以阴影部分的面积为（a+b）2﹣a2﹣b2＝2ab，故选：C．【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．8．【分析】利用分式成立的条件判断﹣m有可能为正，则m＜0，再根据x＝0时，分式值为负，可判断m、n异号．【解答】解：∵当x≥0时，该分式总有意义，∴说明当x＜0时，分母x﹣m有可能为0，∴﹣m为正数，即m＜0，又∵x＝0时，该分式的值为负数，∴＜0，即＜0，∴n、m异号，∴m＜0＜n，只有A选项正确，故选：A．【点评】本题考查了分式的值，分式成立的条件，解题的关键是掌握分式的值，分式成立的条件．二、填空题（本大题共18分，每小题3分）9．【分析】根据提公因式，平方差公式，可得答案．【解答】解：原式＝a（b2﹣9）＝a（b+3）（b﹣3），故答案为：a（b+3）（b﹣3）．【点评】本题考查了因式分解，一提，二套，三检查，分解要彻底．10．【分析】题中没有指明哪个是底哪个腰，则应该分两种情况进行分析．【解答】解：当腰长为2cm时，则三边分别为2cm，2cm，6cm，因为2+2＜6，所以不能构成直角三角形；当腰长为6cm时，三边长分别为2cm，6cm，6cm，符合三角形三边关系，此时其周长＝2+6+6＝14cm．故答案为：14．【点评】本题考查等腰三角形的概念，要注意三角形“两边之和大于第三边”这一定理．掌握分类思想是解题的关键．11．【分析】根据分式为零的条件列出关于x的不等式，求出x的值即可．【解答】解：∵分式的值为0，∴2x﹣4＝0且x﹣3≠0，∴x＝2．故答案为：2．【点评】本题考查的是分式的值为零的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．12．【分析】根据正多边形与圆的性质进行计算即可．【解答】解：当点P与点B重合时，此时x＝0°，当点P与C重合时，此时x＝＝90°﹣∠B＝90°﹣×＝36°，∴点P在正五边形的边BC上运动（不与点B，C重合），∠BAP＝x°，则x的取值范围为0≤x≤36，故答案为：0≤x≤36．【点评】本题考查正多边形与圆，掌握正多边形与圆的有关计算是正确解答的前提．13．【分析】根据等腰三角形性质得到∠C＝30°，再根据三角形内角和是180°得到∠ABC ＝120°，然后由折叠可知∠EBA＝∠A＝30°，AE＝BE，最后利用直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半解答即可．【解答】解：∵AB＝BC，∴∠A＝∠C＝30°．∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣30°﹣30°＝120°．由折叠可知，∠EBA＝∠A＝30°，AE＝BE，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝120°﹣30°＝90°，∴CE＝2BE，∴BE＝＝3，∴AE＝3．AC＝AE+CE＝3+6＝9．故答案为：90，9．【点评】本题考查了翻折问题，熟练运用等腰三角形与含30度角直角三角形的性质是解题的关键．14．【分析】根据全等三角形的判定定理逐一判断即可．【解答】解：①若第3轮甲添加AC＝A′C′＝5cm，根据SSS即可判定△ABC≌△A′B′C′，则甲失败，乙获胜，故说法正确，符合题意；②若第3轮甲添加条件∠C＝∠C′＝30°，满足SSA，不能判定△ABC≌△A′B′C′，则乙失败，甲获胜，故说法正确，符合题意；③若乙第2轮添加条件为∠A＝∠A′＝90°，则第3轮甲无论添加任何对应的边或角的等量条件，都能判定△ABC≌△A′B′C′，则甲失败，乙获胜，故说法正确，符合题意；故答案为：①②③．【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．三、解答题（本大题共58分，第15〜18题，每题4分，19〜22题，每题5分，23题4分，24题5分，25题6分，26题7分）15．【分析】直接利用零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．【解答】解：原式＝1+﹣1＝．【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．16．【分析】利用单项式乘多项式的法则及单项式乘单项式的法则进行运算，再合并同类项即可．【解答】解：x（x+4y）﹣2x•3y＝x2+4xy﹣6xy＝x2﹣2xy．【点评】本题主要考查单项式乘多项式，单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．17．【分析】原式先算括号中的减法运算，再利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解答】解：原式＝÷＝•＝x．【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．【分析】根据题意可得∠AEC＝∠BFD＝90°，AC＝BD，再根据平行线的性质可得∠A ＝∠B，然后再利用AAS判定△AEC≌△BFD，进而可得CE＝DF．【解答】解：C，D两地到路段AB的距离相等，理由：由题意可知AC＝BD，∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴∠AEC＝∠BFD＝90°，∵AC∥BD，∴∠A＝∠B，在△AEC和△BFD中，，∴△AEC≌△BFD（AAS），∴CE＝DF，∴C，D两地到路段AB的距离相等．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确理解题意，找出证明三角形全等的条件．19．【分析】根据平方差公式以及完全平方公式进行化简，然后将a2﹣2a＝1代入原式即可求出答案．【解答】解：原式＝4a2﹣1+a2﹣10a+25＝5a2﹣10a+24，当a2﹣2a﹣1＝0时，a2﹣2a＝1，原式＝5（a2﹣2a）+24＝5×1+24＝5+24＝29．【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用完全平方公式以及平方差公式，本题属于基础题型．20．【分析】（1）利用尺规作图作出角的平分线；（2）利用等腰三角形的判定和性质先说明AC＝CE，再利用“ASA”说明△GFE≌△BF A，最后利用线段的和差及全等三角形的性质得结论．【解答】解：（1）AE就是∠CAB的角平分线；（2）∵AE是∠CAB的角平分线，∴∠CAE＝∠EAB．∵AB∥CD，∴∠CEA＝∠EAB．∴∠CAE＝∠CEA．∴AC＝CE．∵AE的中点为F，∴AF＝FE．在△GFE和△BF A中，，∴△GFE≌△BF A（ASA）．∴GE＝AB．∴CG+CE＝CG+AC＝AB．【点评】本题主要考查了平行线的性质，掌握等腰三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定是解决本题的关键．21．【分析】设新型机器人每天搬运的货物量为x吨，则旧型机器人每天搬运的货物量为（x ﹣20）吨，由题意：每台新型机器人搬运960吨货物的时间和每台旧型机器人搬运720吨货物的时间相同，列出分式方程，解方程即可．【解答】解：设每台新型机器人每天搬运的货物量为x吨，则每台旧型机器人每天搬运的货物量为（x﹣20）吨，由题意得：＝，解得：x＝80，经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意，答：新型机器人每天搬运的货物量为80吨．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．22．【分析】（1）根据单项式乘多项式法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加即可求解；（2）根据多项式乘多项式的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加即可求解；（3）根据多项式乘多项式的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加即可求解．【解答】解：（1）x（x+a）＝x2+ax，∵x（x+a）的结果为x2+7x，∴x2+ax＝x2+7x，∴a＝7，故答案为：7；（2）（x+3）（x﹣c）＝x2﹣cx+3x﹣3c＝x2+（3﹣c）x﹣3c，∵多项式x2+bx﹣3分解因式的结果为（x+3）（x﹣c），∴x2+bx﹣3＝x2+（3﹣c）x﹣3c，∴3﹣c＝b，3c＝3，解得c＝1，b＝2，故答案为：1，2；（3）（dx+1）（x﹣d）＝dx2﹣d2x+x﹣d＝dx2+（1﹣d）x﹣d，∵（dx+1）（x﹣d）的结果为dx2+mx﹣2，∴dx2+（1﹣d）x﹣d＝dx2+mx﹣2，∴1﹣d＝m，d＝2，∴m＝﹣1．【点评】本题主要考查了单项式乘多项式，多项式乘多项式以及因式分解，掌握单项式乘多项式的法则，多项式乘多项式法则以及因式分解的方法是解题的关键．23．【分析】（1）连接BC，证明△ABC是等腰直角三角形，得出∠BAC＝45°；（2）根据条件得出点D在BC的垂直平分线上，再根据点D为整点，即可确定点D的坐标．【解答】解：（1）如图，连接BC．∵点A，B，C的坐标分别为（2，5），（1，2），（5，4），AB＝AC，∴AB2＝AC2＝12+32＝10，BC2＝22+42＝20，∴AB2+AC2＝BC2，AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°．故答案为：45；（2）∵△ABD≌△ACD，△ABC是等腰直角三角形，∴点D可以在BC的垂直平分线上，∵点D为整点，∴点D的坐标可以是（3，3），（4，1）（答案不唯一）．【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明△ABC是等腰直角三角形是解题的关键．24．【分析】（1）把代数式A＝x+y，B＝x2﹣y2代入＝，求出x﹣y的值，再整理化简C代数式，整体代入即可求解；（2）把代数式B＝x2﹣y2，C＝x2﹣2xy+y2代入，再根据为整数即可求解．【解答】解：（1）∵将A＝x+y，B＝x2﹣y2代入＝得：＝，∴＝，∴＝，∴x﹣y＝5，∴C＝x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2＝52＝25；（2）将B＝x2﹣y2，C＝x2﹣2xy+y2代入中得：＝＝＝＝＝1+，∵x﹣y＝5，∴y＝x﹣5，∴原式＝1+＝1+＝1+1+，∵为整数，∴也是整数，∴①2x﹣5＝﹣5，则x＝0，②2x﹣5＝﹣1，则x＝2，③2x﹣5＝1，则x＝3，④2x﹣5＝5，则x＝5，∴整数x的值为：0或2或3或5．【点评】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式化简求值的方法是解题的关键，应用了整体代入得数学思想．25．【分析】（1）由等腰三角形的性质，两角互余的概念，即可求解；（2）作AE⊥BC于E，由两角互补的概念，可以证明△ACH≌△ACH（AAS），即可解决问题；（3）分两种情况，作DM⊥AC于M，BN⊥AC于N，作CF⊥AB于F，DG⊥AC交AC 延长线于G，应用三角形全等，可以解决问题．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∵∠ACD与∠BAC互余，∴∠ACD＝90°﹣α，∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣α﹣（90°﹣α）＝α，故答案为α；（2）证明：作AE⊥BC于E，∵AB＝AC，AC＝AD，∴∠EAC＝∠BAC，∠ACH＝∠ACD，CE＝BC，∴∠EAC+∠ACH＝（∠BAC+∠ACD），∵∠ACD与∠BAC互补，∴∠EAC+∠ACH＝×180＝90°，∵∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠ACE＝∠ACH，∵∠AHC＝∠AEC＝90°，AC＝AC，∴△ACH≌△ACE（AAS），∴CH＝EC＝BC；（3）∠ACD＝∠BAC或∠ACD与∠BAC互补；理由如下：如图1，作DM⊥AC于M，BN⊥AC于N，∵△ABC与△ACD的面积相等，∴AC×BN＝AC×DM，∴BN＝DM，∵DC＝AB，∴Rt△DMC≌Rt△BNA（HL），∴∠ACD＝∠BAC；如图2，作CF⊥AB于F，DG⊥AC交AC延长线于G，∵△ABC与△ACD的面积相等，∴AC×DG＝AB×CF，∴DG＝CF，∵AC＝CD，∴Rt△ACF≌Rt△CDG（HL），∴∠BAC＝∠DCG，∵∠DCG+∠ACD＝180°，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴∠BAC与∠ACD互补．【点评】本题考查等腰三角形的性质，互余，互补的概念，关键是通过辅助线构造全等三角形．26．【分析】（1）①画出图形，利用图象法解决问题；②画出图形发现点Q与点B重合时满足条件；（2）①证明△OAQ≌△BAM（SAS），推出∠AOQ＝∠ABM＝60°，可得结论；②如图，当点Q与B重合时，得到△ABM′，△ABM′是边长为4的等边三角形，当点P，Q分别在线段OA，OB上运动时，线段PQ的“关联点”M形成的区域是菱形OAM′B．【解答】解：（1）解：①如图2中，观察图形可知，点M2是线段PQ的“关联点”．故答案为：M2；②∵△AMB是等腰直角三角形，∴∠ABM＝45°，MA＝MB，∴当点Q与B重合时，满足条件，此时Q（8，0）．故答案为：（8，0）；（2）①证明：如图3中，∵AO＝OB＝4，∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∵MA＝MQ，∠AQM＝60°，∴△AQM是等边三角形，∴AO＝AB，AQ＝AM，∠OAB＝∠QAM＝60°，∴∠OAQ＝∠BAM，∴△OAQ≌△BAM（SAS），∴∠AOQ＝∠ABM＝60°，∴∠OAB＝∠ABM＝60°，∴BM∥OA；②解：如图，当点Q与B重合时，得到△ABM′，△ABM′是边长为4的等边三角形，观察图形可知，当点P，Q分别在线段OA，OB上运动时，线段PQ的“关联点”M形成的区域是菱形OAM′B，周长为16．【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．。

2022-2023学年北京市西城区八年级上学期期末考数学试卷含答案

2022-2023学年北京市西城区八年级上学期期末考数学试卷含答案

北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷 八年级数学 第1页（共7页）北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷八年级数学 2023.1第一部分 选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．以下是用电脑字体库中的一种篆体写出的“诚信友善”四字，若把它们抽象为几何图形，从整体观察（个别细微之处的细节可以忽略不计），其中大致是轴对称图形的是（A ）（B ）（C ）（D ）2．地处北京怀柔科学城的“北京光源”（HEPS ）是我国第一台高能同步辐射光源，在施工时严格执行“防微振动控制”的要求，控制精度级别达到纳米（nm ）级． 1nm 0.000 000 001m ．将0.000 000 001用科学记数法表示应为（A ）8110 （B ）9110 （C ）101010（D ）80.1103．下列运算正确的是（A ）22a a a（B ）325()a a（C ）555()ab a b（D ）33(3)9a a4．下列长度的三条线段能组成三角形的是（A ）5，5，5 （B ）5，5，10 （C ）5，6，12 （D ）3，4，7注意事项1．本试卷共7页，共两部分，四道大题，26道小题。

其中第一大题至第三大题为必做题，满分100分。

第四大题为选做题，满分10分，计入总分，但卷面总分不超过100分。

考试时间100分钟。

2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号。

3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5．考试结束，请将考试材料一并交回。

北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷 八年级数学 第2页（共7页）5．在右图中，∠1=∠2，AB ∥CD ，AB=AC=AE=CD ．有下列结论：①把△ABC 沿直线AC 翻折180°，可得到△AEC ；②把△ADC 沿线段AC 的垂直平分线翻折180°，可得到△AEC ； ③把△ADC 沿射线DC 方向平移与DC 相等的长度，可得到△ABC ． 其中所有正确结论的序号是 （A ）①②（B ）①③（C ）②③（D ）①②③6．下列各式从左到右的变形正确的是（A ）623a a a b b（B ）33a cc a（C ）23193a a a（D ）2293693a a a a a7．图1所示的是一把木工台锯时使用的六角尺，它能提供常用的几种测量角度．在图2的六角尺示意图中，x 的值为（A ）135（B ）120 （C ）112.5（D ）1128．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠B 的度数为α．点P 在边BC 上（点P 不与点B ，点C 重合），作PD ⊥AB 于点D ，连接P A ，取P A 上一点E ，使得在连接ED ，CE 并延长CE 交AB 于点F 之后，有EC =ED =EA=EP ． 若记∠APC 的度数为x ，则下列关于∠DEF 的表达式 正确的是（A ）23DEF x （B ）2DEF （C ）2DEF x（D ）1803DEF第二部分 非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9． 计算：（1）23 = ；（2）0(6) = ． 10．若分式15x 有意义，则字母x 满足的条件是 ． 11．分解因式：3312m m = ．12．在平面直角坐标系xOy 中，(4,3)A 关于x 轴对称的点的坐标为 ．图1 图2北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷 八年级数学 第3页（共7页）13．如图，在四边形ABDC 中，60ABD ，90D ，BC 平分ABD ，AB=3，BC= 4．（1）画出△ABC 的高CE ； （2）△ABC 的面积等于 ．14．小王读到关于京唐城际铁路的新闻报道后，搜集该线路的相关信息制作了下表，表中两个区间段（线路的一部分）运行时相应所用的时间1t 比2t 约少0.09 h ，那么可列出 关于v 的方程为 ．15．三个长方形纸片如图1所示无缝隙地拼接在一起，它们的边长分别标记在图1中．现将拼接后的纸片用图2所示方式重新分割成三个长方形A ，B ，C ．根据图2与图1的关系写出一个等式： （用含a ，b ，c ，d ，e ，f 的式子表示）．16．如图，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=50°，AD ⊥BC于点D ，MC ⊥BC 于点C ，MC =BC ．点E ，点F 分别在线段AD ，AC 上，CF=AE ，连接MF ，BF ，CE ． （1）图中与MF 相等的线段是 ； （2）当BF CE 取最小值时∠AFB= °．三、解答题（共68分，第17题9分，第18题7分，第19-21题，每题8分，第22题9分，第23题10分，第24题9分）17．计算：（1）24(2)x x y ； （2）(31)(2)x x ； （3）232(1612)4a bc a a ．18．已知12a，求代数式22+1+1(+a a a a a的值． 图1 图2北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷 八年级数学 第4页（共7页）19．解方程：2 + 1 =1x x x ． 20．如图，A ，D 两点在BC 所在直线同侧，AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，垂足分别为A ，D ．AC ，BD 的交点为E ，AB =DC ． 求证：BE=CE ．21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC ，(2,6)A ，(5,1)B ，(3,1)C ．点B 与点C关于直线l 对称，直线l 与BC ，AC 的交点分别为点D ，E ．（1）求点A 到BC 的距离；（2）连接BE ，补全图形并求△ABE 的面积； （3）若位于x 轴上方的点P 在直线l 上，∠BPC =90°，直接写出点P 的坐标． 22．（1）设计作平行线的尺规作图方案：已知：直线AB 及直线AB 外一点P ． 求作：经过点P 的直线CD ，使得CD ∥AB ． 分析：如图1所示，之前我们学过“推”三角尺画平行线，这种画法的实物操作图可以启发我们预设目标示意图，分析尺规作图思路．①请参考以上内容完成尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法；②在①中用到的判定CD ∥AB 的依据是 ． （2）已知：如图，在△ABD 中，∠BAD=90°，AB=AD．求作：凸四边形ABCD ，使得BC=AB ，且△ACD为等腰三角形．请完成尺规作图并写出所求作的四边形，保留作图 痕迹，不必写作法．作图思路分析： 利用平行线的判定可将作平行线转化为作一个角等于已知角.为简化作图，我们让截线EF 经过点P ，即过点P 任意作一条直线EF 交直线AB 于点G ，目标：作∠EGB 的同位角∠EPD .现已有该角的顶点P ，角的一边PE ，再作出角的另一边PD ，即可得到∠EPD 从而得到平行线.目标示意图： 实物操作图： 图1 图2北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷 八年级数学 第5页（共7页）23．在△ABC 中，AB=AC （AB <BC ），在BC 上截取BD=AB ，连接AD ．在△ABC 的外部作∠ABE=∠DAC ，且BE 交DA 的延长线于点E ． （1）作图与探究：①小明画出图1并猜想AE=AC ．同学小亮说“要让你这个结论成立，需要增加条件：∠ABC= °．” 请写出小亮所说的条件；②小明重新画出图2并猜想△ABE ≌△DAC ．他证明的简要过程如下：请你判断小明的证明是否正确并说明理由；（2）证明与拓展：①借助小明画出的图2证明BE=DE ；②延长AD 到F ，使DF=AE ，连结BF ，CF ．补全图形，猜想∠BFE 与∠AFC 的数量关系并加以证明．小明的证明：在△ABE 与△DAC 中，,,,ABE DAC AB AC BAE ADC可得△ABE ≌△DAC ．(ASA)图1 图2 备用图北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷 八年级数学 第6页（共7页）24．在单位长度为1的正方形网格中，如果一个凸多边形的顶点都是网格线交点，我们称其为格点凸多边形，并记该格点多边形的面积为S ，多边形内部的格点数为N ，多边形边上的格点数为L ．（1）对于图中的五个凸多边形，补全以下表格：（2）借助以上表格猜想格点凸多边形的面积公式： S 与2LN的数量关系可用等式表示为 ；（3）已知格点长方形ABCD ，设其边长AB=m ，BC=n ，其中m ，n 为正整数．请以格点长方形ABCD 为例，尝试证明（2）中的格点凸多边形的面积公式．温馨提示：选做题在背面第7页北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷 八年级数学 第7页（共7页）四、选做题（共10分，每题5分） 25．阅读两位同学的探究交流活动过程：a .小明在做分式运算时发现如下一个等式，并对它进行了证明.+2+1113223x x x x x x ；① b .小明尝试写出了符合这个特征的其他几个等式：+3+2114334x x x x x x ；② +4+3115445x x x x x x ；③ +5+4116556x x x x x x ；④ ……c .小明邀请同学小亮根据上述规律写出第⑤个等式和第n 个等式（用含n 的式子表示，n 为正整数）；d .小亮对第n 个等式进行了证明. 解答下列问题：（1）第⑤个等式是 ； （2）第n 个等式是 ； （3）请你证明第n 个等式成立．26．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P ，点M 给出如下定义：如果点P 与原点O 的距离为a ，点M 与点P 的距离是a 的k 倍（k 为整数），那么称点M 为点P 的“k 倍关联点” ．（1）当1(1.50)P ，时， ① 如果点1P 的2倍关联点M 在x 轴上，那么点M 的坐标为 ；② 如果点()M x y ，是点1P 的k 倍关联点，且满足 1.5x ，35y ≤≤，那么 整数k 的最大值为 ；（2）已知在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，(,0)A b ，(1,0)B b ．若2(1,0)P ，且在△ABC 的边上存在点2P 的2倍关联点Q ，求b 的取值范围．北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷 八年级数学答案及评分参考 第1页（共5页）北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷八年级数学答案及评分参考 2023.1一、选择题（共16分，每题2分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DBCAADCB二、填空题（共16分，每题2分）9． （1）19；（2）1 10．5x ≠ 11．3(2)(2)m m m +- 12．(4,3)-13．（1）画图见图1；（2）3 14．47.8870.0967v v += 15．()()()()a d e a b e f a b c f ad be cf -++-+++=++16．（1）三、解答题（共68分，第17题9分，第18题7分，第19-21题，每题8分，第22题9分，第23题10分，第24题9分）17．解：（1）234(2)=8x x y x y ⋅--；…………………………………………………………3分（2）22(31)(2)=362352x x x x x x x -++--=+-； ……………………………6分 （3）232(1612)4=43a bc a a bc a -÷-．…………………………………………… 9分18．解： 22+1+1(+)a a a a a÷ 22+21+1a a a a a +=⨯…………………………………………………………………2分 22(+1)+1a a a a =⨯(+1)a a =．………………………………………………………………………… 5分北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷 八年级数学答案及评分参考 第2页（共5页）当12a =-时， 原式11(+1)22=-⨯- ………………………………………………………………6分111=224-⨯=-．……………………………………………………………7分 19．2 + 1 =1xx x -．解：方程两边乘 (1)x x -，得 22(1)+(1)=x x x x --．…………………………………… 4分解得 2x =．…………………………………………………………………………… 6分 检验：当2x =时，(1)0x x -≠．所以，原分式方程的解为 2x =． …………………………………………………… 8分 20．证明：如图3．∵ AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，垂足分别为A ，D ，∴ ∠A =90°，∠D =90°．∴ ∠A=∠D ． ……………………………………2分 在△ABE 和△DCE 中，,,,A D AEB DEC AB DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩……………………………5分 ∴ △ABE ≌△DCE ．…………………………… 6分 ∴ BE=CE ．……………………………………… 8分21．解：（1）作AF ⊥BC 于点F ，则∠AFC=90由 (2,6)A -，(5,1)B -，(3,1)C ， 可得 5A C AF yy =-=． ∴ 点A 到BC 的距离为5．……………………… 2分（2）补全图形见图4．……………… 3分由(2,6)A -，(5,1)B -，(3,1)C ， 可得8BC =，5C A CF x x =-=． ∴ AF CF =．…………………4分∴ ∠C=∠CAF ． ∴ 在Rt △ACF 中，180452AFCC ︒-∠∠==︒．…………………………………………… 5分由题意可知，直线l 是线段BC 的垂直平分线，DE ⊥BC 于点D ，BD=CD ．北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷 八年级数学答案及评分参考 第3页（共5页）∴ (1,1)D -，BE=CE ． ∴ 180290BEC C ∠=︒-∠=︒． ∴ △BCE 为等腰直角三角形，=452BECDEC ∠∠=︒． ∴ DEC C ∠=∠． ∴ 42BCDE DC ===． ∴ 11422ABE ABC BEC S S S BC AF BC DE =-=⨯⨯-⨯⨯= ．…………… 7分 （3）(1,5)-．……………………………………………………………………… 8分22．解：（1）①作图见图5．……………………………………………………………… 3分②同位角相等，两直线平行．……………………………………………… 5分 （2）作图见图6．23．解：（1）①36．……………………………………………………………………………1分②小明的证明不正确．他证明时所使用的△DAC 中的三个条件“∠DAC ，AC ， ∠ADC ”不是“两角和它们的夹边”的关系，不能使用“ASA ”来证明．…………………………………………………………………………3分（2）①证明：如图7．∵ AB=AC ， ∴ ∠3=∠C ．∵ 13DBE ∠=∠+∠，42C ∠=∠+∠，∠1=∠2， ∴ ∠DBE =∠4．∴ BE =DE ．………………………………………………………… 5分北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷 八年级数学答案及评分参考 第4页（共5页）②补全图形见图8．…………………………………………………………… 6分 ∠BFE =∠AFC ．………………………………………………………………7分 证明：作BG ⊥EF 于点G ，如图9．∵ AE = DF ，∴ AE AD DF AD +=+，即DE=AF ． ∵ BE=DE ，∴ BE= AF ．在△ABE 与△CAF 中，,12,,BE AF BA AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ABE ≌△CAF ． ∴ ∠E =∠5．①∵ BA=BD ，BG ⊥EF 于点G ， ∴ DG=AG ． ∵ DF = AE ，∴ DG DF AG AE +=+，即FG=EG ． 又∵ BG ⊥EF 于点G ， ∴ BE=BF ． ∴ ∠6=∠E ．②由①②得∠6=∠5，即∠BFE =∠AFC ．……………………………10分24．解：（1）补全表格如下：…………………………4分北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷 八年级数学答案及评分参考 第5页（共5页）（2）12LS N =+-．…………………………………………………………………6分 （3）证明：格点长方形ABCD 内部的格点数(1)(1)N m n =--，………………7分边上的格点数2(1)2(1)2()L m n m n =++-=+． ………………… 8分 2()1(1)(1)122L m n N m n ++-=--+- []()1()1mn m n m n mn =-++++-=．∵ 格点长方形ABCD 的面积S mn =， ∴ 格点长方形ABCD 的面积12LS N =+-．…………………… 9分 四、选做题（共10分，每题5分）25．解：（1）65117667x x x x x x ++-=-++++．…………………………………………………1分 （2）1112112x n x n x n x n x n x n +++-=-++++++++．…………………………………3分 （3）证明： 1(2)1(1)12121x n x n x n x n x n x n x n x n +++++-++--=-++++++++ 1111(1)(12112x n x n x n x n =---=-++++++++． 所以 1112112x n x n x n x n x n x n +++-=-++++++++．……………………5分 26．解：（1）①( 4.5,0)-，(1.5,0)．……………………………………………………… 2分 ② 3．………………………………………………………………………… 3分 （2）∵ (,0)A b ，(1,0)B b +，∴ AB=1．∵ 点Q 为点2P 的2倍关联点，2(1,0)P -， ∴ 2222QP OP ==．∴ b 的取值范围是4-≤b ≤3-或1-≤b ≤1．…………………………… 5分。

北京市大兴区亦庄实验中学2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷(含解析)

北京市大兴区亦庄实验中学2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷(含解析)

北京市大兴区亦庄实验中学2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷（解析版）一、选择题（共8个小题，每小题3分）1．某种病毒近似于球体，它的半径约为0.0000000005米，用科学记数法表示为（）A．0.5×10﹣9B．5×10﹣8C．5×10﹣9D．5×10﹣102．下列运算正确的是（）A．（x+2）2＝x2+4B．a2+a2＝a4C．2x+3x＝5x2D．（﹣2x3）2＝4x63．如图1，将边长为a的正方形纸片，剪去一个边长为b的小正方形纸片．再沿着图1中的虚线剪开，把剪成的两部分（1）和（2）拼成如图2的平行四边形，这两个图能解释下列哪个等式（）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．a2+b2＝（a+b）（a﹣b）D．（a+b）2＝a2+2ab+b24．若把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（）A．扩大为原来的2倍B．不变C．缩小为原来的D．缩小为原来的5．若x2﹣mx﹣10＝（x﹣5）（x+n），则n m的值为（）A．﹣6B．8C．D．6．如图所示，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM ＝PN，若MN＝1，则OM的长为（）A．4B．4.5C．5D．5.57．某公司为员工购买甲、乙两种型号的水杯，用700元购买甲种水杯的数量和用500元购买乙种水杯的数量相同，已知甲种水杯的单价比乙种水杯的单价多10元．设甲种水杯的单价为x元，则列出方程正确的是（）A．B．C．D．8．在日常生活中，如取款、上网等都需要密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如：对于多项式x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x ＝9，y＝9时，则各个因式的值是：（x﹣y）＝0，（x+y）＝18，（x2+y2）＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式x3﹣9xy2，取x＝10，y＝1时，用上述方法生成的密码可以是（）A．101001B．1307C．1370D．10137二、填空题（共8个小题，每小题3分）9．使分式有意义的条件为．10．已知x+y＝5，xy＝﹣2，则x2+y2＝．11．若x2+mx+16是一个完全平方式，那么常数m应为．12．若x+m与x2+2x﹣1的乘积中不含x的二次项，则实数m的值为．13．关于x的分式方程有增根x＝2，那么k＝．14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，斜边AB的垂直平分线交AC于点E，交AB于点D，AE＝8cm，则BC＝cm．15．如图，大正方形的边长均为a，图（1）中白色小正方形的边长为b，图（2）中白色长方形的宽为b，设（a＞b＞0），则m的取值范围为．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，边AC的垂直平分线MN分别交AB，AC于点M，N，点D是边BC的中点，点P是MN上任意一点，连接PD，PC，若∠A＝α，∠CPD＝β，当△PCD周长取到最小值时，α，β之间的数量关系是．三、解答题17．（9分）计算：（1）（﹣2x2）3•x﹣x3•x4+（﹣x）7；（2）；（3）先化简，再求值：，其中a＝3．18．（6分）解分式方程：（1）；（2）．19．（9分）因式分解：（1）3a2+18ab+27b2；（2）（a2+1）2﹣4a2；（3）x2﹣5x﹣6．20．（6分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC上一点，BC＝DC，过点D作AC 的垂线交AB于点，求证：CE垂直平分BD．21．（7分）定义：对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“迥异数”．将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为f（a）．例如：a＝12，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为21+12＝33，和与11的商为33÷11＝3，所以f（12）＝3．根据以上定义，回答下列问题：（1）填空：①下列两位数：30，32，33中，“迥异数”为；②计算：f（34）＝．（2）如果一个“迥异数”b的十位数字是k，个位数字是2（k+1），且f（b）＝8，请求出“迥异数”b．（3）如果一个“迥异数”c，满足c﹣5f（c）＞30，则c＝．（请写出满足条件的一个c的值即可．）22．（8分）已知：等边△ABC，过点B作AC的平行线l．点Q为线段AB上一个动点（不与点A，B重合），将射线QC绕点Q顺时针旋转60°交直线l于点D．如图1，依题意补全图形．（1）求证：∠BDQ＝∠QCB；（2）用等式表示线段BC，BD，BQ之间的数量关系，并证明．23．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的线段MN及点Q，给出如下定义：若点Q满足QM＝QN，则称点Q为线段MN的“中垂点”；当QM＝QN＝MN时，称点Q为线段MN的“完美中垂点”．（1）如图1，A（4，0），下列各点中，线段OA的中垂点是．Q1（1，4），Q2（4，），Q3（2，﹣2）（2）如图2，点A为x轴上一点，若Q（1，）为线段OA的“完美中垂点”，∠QOA ＝60°写出线段OQ的两个“完美中垂点”是和．（3）如图3，若点A为x轴正半轴上一点，点Q为线段OA的“完美中垂点”，点P（0，m）在y轴负半轴上，在线段P A上方画出线段AP的“完美中垂点”M，直接写出MQ ＝．（用含m的式子表示）．并求出∠MQA．参考答案与试题解析一、选择题（共8个小题，每小题3分）1．某种病毒近似于球体，它的半径约为0.0000000005米，用科学记数法表示为（）A．0.5×10﹣9B．5×10﹣8C．5×10﹣9D．5×10﹣10【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：由科学记数法可知：0.0000000005＝5×10﹣10．故选：D．【点评】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，掌握形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10是关键．2．下列运算正确的是（）A．（x+2）2＝x2+4B．a2+a2＝a4C．2x+3x＝5x2D．（﹣2x3）2＝4x6【分析】根据完全平方公式及合并同类项、积的乘方运算依次判断即可．【解答】解：A、（x+2）2＝x2+4x+4，计算错误，不符合题意；B、a2+a2＝2a2，计算错误，不符合题意；C、2x+3x＝5x，计算错误，不符合题意；D、（﹣2x3）2＝4x6，计算正确，符合题意；故选：D．【点评】本题考查了完全平方公式及合并同类项、积的乘方运算，掌握运算法则是解题关键．3．如图1，将边长为a的正方形纸片，剪去一个边长为b的小正方形纸片．再沿着图1中的虚线剪开，把剪成的两部分（1）和（2）拼成如图2的平行四边形，这两个图能解释下列哪个等式（）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．a2+b2＝（a+b）（a﹣b）D．（a+b）2＝a2+2ab+b2【分析】用代数式分别表示各个部分的面积，再根据拼图前后面积之间的关系可得结论．【解答】解：图1中（1）（2）两部分的面积和可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，图2是由（1）（2）两部分拼成的底为a+b，高为a﹣b的平行四边形，因此面积为（a+b）（a﹣b），因此有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：A．【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，掌握用代数式分别表示图1、图2的面积是关键．4．若把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（）A．扩大为原来的2倍B．不变C．缩小为原来的D．缩小为原来的【分析】x，y都扩大2倍就是分别变成原来的2倍，变成2x和2y．用2x和2y代替式子中的x和y，分析得到的式子与原来的式子的关系即可．【解答】解：把x和y都扩大为原来的2倍，即用2x和2y代替式子中的x和y，可得：，∴分式的值缩小成原来的．故选：C．【点评】本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是关键．5．若x2﹣mx﹣10＝（x﹣5）（x+n），则n m的值为（）A．﹣6B．8C．D．【分析】根据多项式乘以多项式展开（x﹣5）（x+n），再通过比较系数建立方程组，解方程组可得m、n的值，然后代入计算即可．【解答】解：∵（x﹣5）（x+n）＝x2+（n﹣5）x﹣5n，又∵x2﹣mx﹣10＝（x﹣5）（x+n），∴可得：，解得：，∴n m＝23＝8．故选：B．【点评】本题考查了多项式乘多项式、二元一次方程组的应用、有理数的乘方，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解本题的关键．6．如图所示，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM ＝PN，若MN＝1，则OM的长为（）A．4B．4.5C．5D．5.5【分析】首先过点P作PD⊥OB于点D，利用直角三角形中30°所对边等于斜边的一半得出DO的长，再利用等腰三角形的性质求出OM的长．【解答】解：过点P作PD⊥OB于点D，∵∠AOB＝60°，PD⊥OB，OP＝12，∴∠OPD＝30°，∴，∵PM＝PN，MN＝1，PD⊥OB，∴MD＝ND＝0.5，∴MO＝DO﹣MD＝6﹣0.5＝5.5．故选：D．【点评】此题主要考查了直角三角形中30°所对边等于斜边的一半及等腰三角形的性质，根据此性质得出DO的长是解题关键．7．某公司为员工购买甲、乙两种型号的水杯，用700元购买甲种水杯的数量和用500元购买乙种水杯的数量相同，已知甲种水杯的单价比乙种水杯的单价多10元．设甲种水杯的单价为x元，则列出方程正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据甲种水杯的单价为x元，可知乙种水杯的单价为（x﹣10）元，再根据700元购买甲种水杯的数量和用500元购买乙种水杯的数量相同，即可列出相应的分式方程．【解答】解：设甲种水杯的单价为x元，则乙种水杯的单价为（x﹣10）元，由题意可得：，故选：B．【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．8．在日常生活中，如取款、上网等都需要密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如：对于多项式x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x ＝9，y＝9时，则各个因式的值是：（x﹣y）＝0，（x+y）＝18，（x2+y2）＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式x3﹣9xy2，取x＝10，y＝1时，用上述方法生成的密码可以是（）A．101001B．1307C．1370D．10137【分析】首先对多项式提公因式，再利用平方差公式分解因式，然后把数值代入计算，即可确定出密码．【解答】解：x3﹣9xy2＝x（x2﹣9y2）＝x（x+3y）（x﹣3y），当x＝10，y＝1时，x＝10，x+3y＝10+3＝13，x﹣3y＝10﹣3＝7，∴上述方法生成的密码可以是10137．故选：D．【点评】本题考查了因式分解的应用，涉及分解因式的方法有：提公因式法，以及平方差公式法，属于阅读型的新定义题，其中根据阅读材料得出产生密码的方法是解本题的关键．二、填空题（共8个小题，每小题3分）9．使分式有意义的条件为x≠﹣2．【分析】要使分式有意义，则分母不为零即可．【解答】解：∵要使分式有意义，∴x+2≠0，∴x≠﹣2．故答案为：x≠﹣2．【点评】本题考查了分式有意义的条件，掌握使分式有意义，则分母不为零是解题关键．10．已知x+y＝5，xy＝﹣2，则x2+y2＝29．【分析】将x2+y2变形为（x+y）2﹣2xy，然后将x+y＝5，xy＝2代入求解即可．【解答】解：∵x+y＝5，xy＝﹣2，∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝52﹣2×（﹣2）＝25+4＝29．故答案为：29．【点评】本题考查了完全平方公式，解答本题的关键在于熟练掌握完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．11．若x2+mx+16是一个完全平方式，那么常数m应为±8．【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项，即可确定m的值．【解答】解：x2+mx+16是一个完全平方式，∴x2+mx+16＝x2+mx+42，∴mx＝±2×x×4＝±8x，∴m＝±8．故答案为：±8．【点评】本题考查了完全平方式，掌握根据平方项确定出二倍项系数是关键．12．若x+m与x2+2x﹣1的乘积中不含x的二次项，则实数m的值为﹣2．【分析】利用多项式与多项式相乘，展开后合并同类项，再令含x的二次项系数为0，求解即可．【解答】解：（x+m）（x2+2x﹣1）＝x3+2x2﹣x+mx2+2mx﹣m＝x3+（2+m）x2﹣（1﹣2m）x﹣m，∵x+m与x2+2x﹣1的乘积中不含x的二次项，∴2+m＝0，解得：m＝﹣2，∴实数m的值为﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了多项式与多项式的乘积，掌握多项式与多项式的乘法法则与合并同类项是关键．13．关于x的分式方程有增根x＝2，那么k＝﹣1．【分析】首先把分式方程化为整式方程，把增根代入化为整式方程的方程，解出即可求出k的值．【解答】解：方程两边同乘以（x+2）（x﹣2），可得：（x﹣2）﹣k（x+2）＝4，∵关于x的分式方程有增根x＝2，∴把x＝2代入（x﹣2）﹣k（x+2）＝4，可得：﹣4k＝4，解得：k＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，斜边AB的垂直平分线交AC于点E，交AB于点D，AE＝8cm，则BC＝4cm．【分析】连接BE，根据线段垂直平分线的性质可得AE＝BE＝8cm，从而可得∠ABE＝15°，然后利用三角形的外角可得∠CEB＝30°，最后在Rt△CEB中，进行计算即可解答．【解答】解：如图，连接BE，∵DE是AB的垂直平分线，∵AE＝BE＝8cm，∴∠A＝∠ABE＝15°，∴∠CEB＝∠A+∠ABE＝30°，∵∠C＝90°，∴，故答案为：4．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形的外角的性质、含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解本题的关键．15．如图，大正方形的边长均为a，图（1）中白色小正方形的边长为b，图（2）中白色长方形的宽为b，设（a＞b＞0），则m的取值范围为1＜m＜2．【分析】分别表示出图（1）和图（2）中的阴影部分的面积，再进行分析即可．【解答】解：图（1）的阴影部分的面积为：a2﹣b2，图（2）的阴影部分的面积为：a2﹣ab，∴＝＝＝，∵a＞b＞0，∴1＜m＜2．故答案为：1＜m＜2．【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，掌握平方差公式与相应的阴影部分的面积是关键．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，边AC的垂直平分线MN分别交AB，AC于点M，N，点D是边BC的中点，点P是MN上任意一点，连接PD，PC，若∠A＝α，∠CPD＝β，当△PCD周长取到最小值时，α，β之间的数量关系是α＝β．【分析】如图，连接AP．根据MN垂直平分AC，推出P A＝PC，∠P AC＝∠PCA，所以PC+PD＝P A+PD，当A、P、D在同一直线上时，P A+PD最小，最小值为AD．据此解答即可．【解答】解：如图，连接AP．∵MN垂直平分AC，∴P A＝PC，∠P AC＝∠PCA，∴PC+PD＝P A+PD，当A、P、D在同一直线上时，P A+PD最小，最小值为AD．∴△PCD周长最小值＝PC+PD+CD＝AD+CD．∵AB＝AC，点D是边BC的中点，∴∠BAC＝2∠CAD，∵∠CPD＝∠P AC+∠PCA＝2∠CAD，∴∠BAC＝∠CPD，即α＝β．故答案为：α＝β，【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，熟练运用垂直平分线的性质是解题的关键．三、解答题17．（9分）计算：（1）（﹣2x2）3•x﹣x3•x4+（﹣x）7；（2）；（3）先化简，再求值：，其中a＝3．【分析】（1）根据积的乘方和同底数幂的乘法法则计算，然后合并即可；（2）根据有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂的运算法则计算即可；（3）首先计算括号里面的减法，然后把除法转化为乘法，再约分即可．【解答】解：（1）（﹣2x2）3⋅x﹣x3⋅x4+（﹣x）7＝（﹣2）3x6⋅x﹣x3⋅x4+（﹣x）7＝﹣8x7﹣x7﹣x7＝（﹣8﹣1﹣1）x7＝﹣10x7；（2）＝9+（﹣3）﹣1＝5；（3）＝＝＝＝＝，当a＝3时，原式＝．【点评】本题考查了积的乘方、同底数幂的乘法、有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂、分式的化简求值，掌握相关的运算法则是关键．18．（6分）解分式方程：（1）；（2）．【分析】（1）先把分式方程化为整式方程求解，然后检验即可；（2）先把分式方程化为整式方程求解，然后检验即可．【解答】解：（1），方程两边同乘以（x﹣2）（3x+2），可得：3x+2＝5（x﹣2），去括号，可得：3x+2＝5x﹣10，移项、合并同类项，可得：﹣2x＝﹣12，系数化为1，可得：x＝6，检验：当x＝6时，（x﹣2）（3x+2）≠0，∴原分式方程的解为x＝6；（2），方程两边同乘以（1+x）（1﹣x），得：4＝﹣（x+1）2﹣（1+x）（1﹣x），去括号，可得：4＝﹣x2﹣2x﹣1﹣1+x2，移项、合并同类项，可得：﹣2x＝6，系数化为1，可得：x＝﹣3，检验：当x＝﹣3时，（1+x）（1﹣x）≠0，∴原分式方程的解为x＝﹣3．【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解本题的关键．19．（9分）因式分解：（1）3a2+18ab+27b2；（2）（a2+1）2﹣4a2；（3）x2﹣5x﹣6．【分析】（1）先提取公因式，然后利用完全平方公式分解因式即可；（2）直接利用平方差公式进行因式分解，然后再由完全平方公式因式分解即可；（3）直接利用十字相乘法因式分解即可．【解答】解：（1）3a2+18ab+27b2＝3（a2+6ab+9b2）＝3（a+3b）2；（2）（a2+1）2﹣4a2＝（a2+1）2﹣（2a）2＝（a2+2a+1）（a2﹣2a+1）＝（a+1）2（a﹣1）2；（3）x2﹣5x﹣6＝（x﹣6）（x+1）．【点评】题目主要考查利用提公因式法及完全平方公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．20．（6分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC上一点，BC＝DC，过点D作AC 的垂线交AB于点，求证：CE垂直平分BD．【分析】首先根据HL证明Rt△ECB≌Rt△ECD，得出∠ECB＝∠ECD，然后根据等腰三角形底边上的高与顶角的平分线重合即可证．【解答】证明：∵ED⊥AC，∴∠EDC＝∠EBC＝90°，在Rt△ECB和Rt△ECD中，，∴Rt△ECB≌Rt△ECD（HL），∴∠ECB＝∠ECD，又∵BC＝DC，∴CF⊥BD，∴BF＝DF，∴CE垂直平分BD．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定定理，正确理解题意是解题的关键．21．（7分）定义：对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“迥异数”．将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为f（a）．例如：a＝12，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为21+12＝33，和与11的商为33÷11＝3，所以f（12）＝3．根据以上定义，回答下列问题：（1）填空：①下列两位数：30，32，33中，“迥异数”为32；②计算：f（34）＝7．（2）如果一个“迥异数”b的十位数字是k，个位数字是2（k+1），且f（b）＝8，请求出“迥异数”b．（3）如果一个“迥异数”c，满足c﹣5f（c）＞30，则c＝71．（请写出满足条件的一个c的值即可．）【分析】（1）①由“迥异数”的定义求解即可；②根据“迥异数”的定义，代入数据并运算，即可求得f（34）的值；（2）根据“迥异数”的定义，代入得出f（b）的值为3k+2＝8，可求得k＝2，再把k＝2代入，计算即可得出b的值；（3）设这个“迥异数”c的个位为n，十位为m，则m≠n，且m，n均为大于1小于10的正整数，可以代入求得f（c）的值为m+n，再根据c﹣5f（c）＞30，可求得关于m和n的不等式，解出后，再对m、n进行讨论就可以求得c的值．【解答】解：（1）①根据“迥异数”的定义，可得：在两位数：30，32，33中，“迥异数”为32；故答案为：32；②∵a＝34，对调个位数字与十位数字得到新两位数43，新两位数与原两位数的和为34+43＝77，和与11的商为77÷11＝7，∴f（34）＝7，故答案为：7；（2）∵一个“迥异数”b的十位数字是k，个位数字是2（k+1），∴b＝10k+2（k+1）＝12k+2，将这个数的个位和十位调换后为：10×2（k+1）+k＝21k+20，∴f（b）＝（12k+2+21k+20）÷11＝3k+2，又∵f（b）＝8，∴3k+2＝8，解得：k＝2，∴这个“迥异数”b＝12k+2＝12×2+2＝26；（3）设这个“迥异数”c的个位为n，十位为m，则m≠n，且m，n均为大于1小于10的正整数．则c＝10m+n，调换个位和十位后为：10n+m，故f（c）＝（10m+n+10n+m）÷11＝m+n，∵c﹣5f（c）＞30，∴10m+n﹣5（m+n）＞30．整理得：5m﹣4n＞30，∴，又∵m≤9，∴，∴，解得：n＜3.75，又∵n为正整数，∴n＝1或2或3，当n＝1时，可得：，m＝7或8或9，此时c＝71或81或91；当n＝2时，可得：，m＝8或9，此时c＝82或92；当n＝3时，可得：，m＝9，此时c＝93；故所有满足条件的c有：71或81或82或91或92或93．故答案为：71（答案不唯一）．【点评】本题考查了对新定义的理解和运用，还考查了列代数式、解一元一次方程和解不等式的知识，最后一问需要讨论不等式的整数解，是本题的难点．22．（8分）已知：等边△ABC，过点B作AC的平行线l．点Q为线段AB上一个动点（不与点A，B重合），将射线QC绕点Q顺时针旋转60°交直线l于点D．如图1，依题意补全图形．（1）求证：∠BDQ＝∠QCB；（2）用等式表示线段BC，BD，BQ之间的数量关系，并证明．【分析】（1）根据题意补全图形即可；根据等边三角形的性质、平行线的性质及旋转的性质得出∠DBE＝∠CQE＝60°，进而可得结论；（2）在BC上取一点P使得BQ＝BP，连接PQ，证明△PBQ是等边三角形，再证明△QBD≌△QPC，即可得出结果．【解答】（1）证明：补全图形如图所示，设QD交BC于点E，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵将射线QC绕点Q顺时针旋转60°，∴∠DQC＝60°，∵l∥AC，∴∠DBE＝∠ACB＝60°，∴∠DBE＝∠CQE＝60°，∵∠BED＝∠QEC，∴∠BDQ＝∠QCB；（2）解：在BC上取一点P使得BQ＝BP，连接PQ，∵∠ABC＝60°，∴△PBQ是等边三角形，∴QB＝PQ，∠BQP＝60°，∴∠BQE＝∠CQP，∵∠BDQ＝∠QCB，∴△QBD≌△QPC，∴BD＝PC，∵BC＝BP+PC，∴BC＝BD+BQ．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，熟练掌握等边三角形的判定和性质及全等三角形的判定与性质是解本题的关键．23．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的线段MN及点Q，给出如下定义：若点Q满足QM＝QN，则称点Q为线段MN的“中垂点”；当QM＝QN＝MN时，称点Q为线段MN的“完美中垂点”．（1）如图1，A（4，0），下列各点中，线段OA的中垂点是Q3（2，﹣2）．Q1（1，4），Q2（4，），Q3（2，﹣2）（2）如图2，点A为x轴上一点，若Q（1，）为线段OA的“完美中垂点”，∠QOA ＝60°写出线段OQ的两个“完美中垂点”是（2，0）和（﹣1，）．（3）如图3，若点A为x轴正半轴上一点，点Q为线段OA的“完美中垂点”，点P（0，m）在y轴负半轴上，在线段P A上方画出线段AP的“完美中垂点”M，直接写出MQ ＝﹣m．（用含m的式子表示）．并求出∠MQA．【分析】（1）由“中垂点”定义即可求解；（2）画出图形，根据等边三角形的性质求解即可；（3）分别以A，P为圆心，以AP的长为半径画弧，二者的交点即为M；证明△OAP≌△QAM，根据全等三角形的性质即可得解．【解答】解：（1）∵A（4，0），∴线段OA的垂直平分线为直线x＝2，∵Q是线段OA的中垂点，∴点Q在线段OA的垂直平分线上，即点Q在直线x＝2上，∴点Q的横坐标为2，∴只有Q2（2，﹣2）是线段OA的中垂点，故答案为：Q3（2，﹣2）；（2）∵，∴，∵Q为线段OA的“完美中垂点”，∴OA＝QA＝OQ＝2，即A（2，0）为线段OQ的一个“完美中垂点”，设线段OQ的另外一个“完美中垂点”为L，如下图所示，∴OL＝QL＝OA＝QA＝OQ＝2，∴△LOQ和AOQ都是等边三角形，∴∠LQO＝∠AOQ＝60°，∴LQ∥OA，∴．故答案为：（2，0），（﹣1，）；（3）如图，分别以A、P为圆心，以AP的长为半径画弧，二者的交点在线段P A上方即为M；∵M是AP的“完美中垂点”，点Q为线段OA的“完美中垂点”∴P A＝PM＝AM，OQ＝QA＝OA，∴△OQA和△AMP都为等边三角形，∴∠OAQ＝∠P AM，AQ＝AO，P A＝MA，∴∠OAP＝∠QAM，∴△OAP≌△QAM（SAS），∵P（O，m）．∴MQ＝0P＝﹣m，∠MQA＝∠POA＝90°．【点评】本题考查等边三角形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线性质，坐标与图形，全等三角形的性质和判定．本题属于新定义的类型题，能结合定义画出对应图形是解题关键．。

北京市朝阳区2020-2021学年八年级上学期期末数学试题(含答案解析)

北京市朝阳区2020-2021学年八年级上学期期末数学试题(含答案解析)

北京市朝阳区2020-2021学年八年级上学期期末数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．新版《北京市生活垃圾管理条例》于2020年5月1日实施，条例规定生活垃圾应按照厨余垃圾、可回收物、有害垃圾、其他垃圾的分类，分别投入相应标识的收集容器．下图为某小区分类垃圾桶上的标识，其图标部分可以看作轴对称图形的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．下列计算正确的是（ ）A ．235a a a ⋅=B ．325()a a =C ．2336(2)6ab a b =D ．223344a a a ÷= 3．一个多边形的内角和等于外角和的两倍，那么这个多边形是（ ）A ．三边形B ．四边形C ．五边形D ．六边形 4．下列因式分解变形正确的是（ ）A ．22242(2)a a a a -=-B ．2221(1)a a a -+=-C ．24(2)(2)a a a -+=+-D ．256(2)(3)a a a a --=-- 5．把分式方程11122x x x--=--化为整式方程正确的是（ ） A ．1(1)1x --= B ．1(1)1x +-=C ．1(1)2x x --=-D ．1(1)2x x +-=- 6．如图，要测量池塘两岸相对的两点A ，B 的距离，可以在池塘外取AB 的垂线BF 上的两点C ，D ，使BC =CD ，再画出BF 的垂线DE ，使E 与A ，C 在一条直线上，可得△ABC ≌△EDC ，这时测得DE 的长就是AB 的长．判定△ABC ≌△EDC 最直接的依据是（ ）A ．HLB ．SASC ．ASAD ．SSS7．如图，在3×3的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC 为格点三角形，在图中最多能画出（ ）个格点三角形与△ABC 成轴对称．A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个8．n m ，1m n +，1n 都有意义，下列等式①22n n m m=；②111m n m n =++；③22n n m m =；④22n n m m +=+中一定不成立．．．．．的是（ ） A ．②④B ．①④C ．①②③④D ．②二、填空题9．分解因式：328x x -=______．10．若分式21x +有意义，则x 的取值范围是_________. 11．若20a b -=，且0b ≠，则分式a b a b +-的值为______． 12．如图，两个阴影图形都是正方形，用两种方式表示这两个正方形的面积和，可以得到的等式为______．13．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕O 转动，C 点固定，OC=CD=DE,点D 、E 可在槽中滑动．若∠BDE=75°,则∠CDE 的度数是__________14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为（2，0），若点A 在第一象限内，且AB =OB ，∠A =60°，则点A 到y 轴的距离为______．15．对于一个四边形的四个内角，下面四个结论中，①可以四个角都是锐角；②至少有两个角是锐角；③至少有一个角是钝角；④最多有三个角是钝角；所有正确结论的序号是______．16．一个三角形的三条高的长都是整数，若其中两条高的长分别为4和12，则第三条高的长为_____．三、解答题17．计算：3232()a a a a ⋅+-÷．18．解分式方程：22111x x x =--． 19．解分式方程：31(1)(2)1x x x x +=-+-. 20．已知2277x x -=，求代数式2(23)(3)(21)x x x ---+的值．21．如图，在△ABC 中，AB ＞AC ＞BC ，P 为BC 上一点（不与B ，C 重合）．在AB 上找一点M ，在AC 上找一点N ，使得△AMN 与△PMN 全等，以下是甲、乙两位同学的作法．甲：连接AP ，作线段AP 的垂直平分线，分别交AB ，AC 于M ，N 两点，则M ，N 两点即为所求；乙：过点P 作PM ∥AC ，交AB 于点M ，过点P 作PN ∥AB ，交AC 于点N ，则M ，N 两点即为所求．（1）对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是 ；A ．两人都正确B ．甲正确，乙错误C ．甲错误，乙正确（2）选择一种你认为正确的作法，补全图形并证明．22．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD 于点D ，过点D 作DE ∥AC 交AB 于点E ．求证：E 为AB 的中点．23．2020年12月17日，中国研制的嫦娥五号返回器成功携带月球样品着陆地球，在接近大气层时，它的飞行速度接近第二宇宙速度，约为某列高铁全速行驶速度的112倍．如果以第二宇宙速度飞行560千米所用时间比该列高铁全速行驶10千米所用时间少50秒，那么第二宇宙速度是每秒多少千米？24．已知22a m n =+，2b m =，c mn =，且m >n >0．（1）比较a ，b ，c 的大小；（2）请说明以a ，b ，c 为边长的三角形一定存在．25．在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC =2，直线BC 上有一点P ，M ，N 分别为点P 关于直线AB ，AC 的对称点，连接AM ，AN ，BM ．（1）如图1，当点P 在线段BC 上时，求∠MAN 和∠MBC 的度数；（2）如图2，当点P 在线段BC 的延长线上时，①依题意补全图2；②探究是否存在点P ，使得3BM BN=，若存在，直接写出满足条件时CP 的长度；若不26．在学习了“等边对等角”定理后，某数学兴趣小组的同学继续探究了同一个三角形中边与角的数量关系，得到了一个正确的结论：“在同一个三角形中，较长的边所对的角较大”，简称：“在同一个三角形中，大边对大角”．即，如图：当AB＞AC时，∠C ＞∠B．该兴趣小组的同学在此基础上对等腰三角形“三线合一”性质的一般情况，继续进行了深入的探究，请你补充完整：（1）在△ABC中，AD是BC边上的高线．①如图1，若AB=AC，则∠BAD=∠CAD；②如图2，若AB≠AC，当AB＞AC时，∠BAD∠CAD．（填“>”，“<”，“=”）证明：∵AD是BC边上的高线，∴∠ADB=∠ADC=90°．∴∠BAD=90°-∠B，∠CAD=90°-∠C．∵AB＞AC，∴（在同一个三角形中，大边对大角）．∴∠BAD∠CAD．（2）在△ABC中，AD是BC边上的中线．①如图1，若AB=AC，则∠BAD=∠CAD；②如图3，若AB≠AC，当AB＞AC时，∠BAD∠CAD．（填“>”，“<”，“=”）证明：参考答案1．B【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．【详解】解：厨余垃圾是轴对称图形；可回收物不是轴对称图形，注意箭头；有害垃圾是轴对称图形；其他垃圾不是轴对称图形，注意箭头．所以是轴对称图形的有2个．故选：B ．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．2．A【分析】根据幂的运算法则和整式的除法法则对各选项进行计算，即可作出判断．【详解】A 、232+35=a a a a ⋅=，故本选项正确；B 、32236=()a a a ⨯=，故本选项错误；C 、23336368()2=2ab a b a b =，故本选项错误；D 、223344a a ÷=，故本选项错误； 故选：A【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，整式的除法，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．D【分析】根据多边形的外角和为360°得到内角和的度数，再利用多边形内角和公式求解即可.【详解】解：设多边形的边数为x ，∵多边形的内角和等于外角和的两倍，∴多边形的内角和为360°×2=720°，∴180°（n ﹣2）=720°，解得n=6.故选D.【点睛】本题主要考查多边形的内角和与外角和，n 边形的内角的和等于： （n － 2）×180°(n 大于等于3且n 为整数）；多边形的外角和为360°.4．B【分析】根据提公因式分解因式可得出A 错误；根据完全平方公式可得B 正确；根据平方差公式可得C 错误；根据十字相乘法可判断D 错误．【详解】A 、2242(2)a a a a -=-，故此选项错误；B 、2221(1)a a a -+=-，故此选项正确；C 、24(2)(2)a a a -+=+-，故此选项错误；D 、256(6)(+1)a a a a --=-，故此选项错误．故选：B【点睛】本题主要考查了因式分解，要灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要提取公因式，再考虑运用公式法分解．5．D【分析】两边同时乘以最简公分母2x -即可化为整式方程，再依次判断即可．【详解】解：两边同时乘以2x -得1(1)2+-=-，x x故选：D．【点睛】本题考查解分式方程．注意去分母两边同时乘以最简公分母时两边都要乘，每一项都要乘．6．C【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，再根据已知选择判断方法．【详解】解：根据题意，∠ABC=∠EDC，BC=CD，∠ACB=∠ECD，∴能证明△ABC≌△EDC最直接的依据是ASA．故选：C．【点睛】本题考查证明三角形全等．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．7．A【分析】把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.【详解】解：如图，可以画6个.【点睛】本题考查了轴对称变换，能确定对称轴的位置是解题关键.8．D【分析】根据题意，判断出0m ≠，0n ≠，+0m n ≠，根据分式的性质逐个判断即可．【详解】解：∵ n m ，1m n +，1n都有意义， ∴ 0m ≠，0n ≠，+0m n ≠， ①222=n n n m mm ⎛⎫= ⎪⎝⎭，仅需10n n m m ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即=1n m 时成立； ②111=m n m n++，不成立； ③22n n m m=，（右侧分子分母同时除以2），因此成立； ④22n n m m +=+，()()2=2n m m n ++即2=2n m ，当=n m 时成立； 故仅有②一定不成立，故选D【点睛】本题综合考查了分式的基本性质，解题关键是根据题意得出m 、n 和+m n 的范围． 9．()()222+-x x x【分析】原式提取2x ，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：328x x -22(4)x x =-2(2)(2)x x x =+-，故答案为：()()222+-x x x ．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．【解析】 ∵分式21x +有意义， ∴10x +≠，解得1x ≠-.故答案为1x ≠-.11．3-【分析】由已知2a−b ＝0，可知b ＝2a ；将所得结果代入所求的式子中，经过约分、化简即可得到所求的值．【详解】解：∵2a−b ＝0，∴b ＝2a ； ∴23=32a b a a a a b a a a++==----． 故答案为−3．【点睛】正确对式子进行变形，化简求值是解决本题的关键．在解题过程中要注意思考已知条件的作用．12．（a+b ）2-2ab = a 2+b 2【分析】利用各图形的面积求解即可．【详解】解：两个阴影图形的面积和可表示为：a 2+b 2或 （a+b ）2-2ab ，故可得： （a+b ）2-2ab = a 2+b 2故答案为：（a+b ）2-2ab = a 2+b 2【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是明确四块图形的面积．13．80°【分析】根据OC=CD=DE ，可得∠O=∠ODC ，∠DCE=∠DEC ，根据三角形的外角性质可知∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC 据三角形的外角性质即可求出∠ODC 数，进而求出∠CDE 的【详解】∵OC CD DE ==，∴O ODC ∠=∠，DCE DEC ∠=∠，设O ODC x ∠=∠=，∴2DCE DEC x ∠=∠=，∴180CDE DCE DEC ∠=︒-∠-∠1804x =︒-，∵75BDE ∠=︒，∴180ODC CDE BDE ∠+∠+∠=︒，即180475180x x +-+=︒︒︒，解得：25x =︒，180480CDE x ︒∠=-=︒.【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．14．1【分析】过A 作AC ⊥OB ，首先证明△AOB 是等边三角形，再求出OC 的长即可．【详解】解，过A 作AC ⊥OB 于点C ，∵AB=OB ，∠A=60°∴∠AOB=60°且△AOB 是等边三角形，∵点B 的坐标为（2，0）∴OB=2∵AC ⊥OB∴112122OC OB ==⨯= 故答案为：1．【点睛】此题主要考查了坐标与图形的性质，掌握等边三角形的性质是解答此题的关键．15．④【分析】四边形的内角和是360︒，根据四边形内角的性质选出正确选项．【详解】解：①错误，如果四个角都是锐角，那么内角和就会小于360︒；②错误，可以是四个直角；③错误，可以是四个直角；④正确．故选：④．【点睛】本题考查四边形内角的性质，解题的关键是掌握四边形内角的性质．16．5或4．【分析】先设长度为4、12的高分别是a ，b 边上的，边c 上的高为h ，△ABC 的面积是S ，根据三角形面积公式，可求222,,412S S S a b c h ===，结合三角形三边的不等关系，可得关于h 的不等式组，解即可．【详解】解：设长度为4、12的高分别是a ，b 边上的，边c 上的高为h ，△ABC 的面积是S ，那么 222,,412S S S a b c h===， 又∵a-b ＜c ＜a+b ， ∴2222412412S S S S c -<<+， 即2233S S S h <<， 解得3＜h ＜6，∴h=4或h=5，故答案为：5或4．【点睛】本题考查了三角形面积、三角形三边之间的关系、解不等式组．求出整数值后，能根据三边关系列出不等式组是解题关键．17．0．【分析】原式先计算积的乘方，再计算同底数幂的乘除法即可．【详解】解：3232()a a a a ⋅+-÷=462a a a -÷=44a a -=0．【点睛】此题主要考查了积的乘方和同底数幂的乘除法，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 18．方程无解．【分析】先两边同乘以(1)(1)x x +-将分式方程化为整式方程，再按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得．【详解】 22111x x x =--，即211(1)(1)x x x x =-+-， 方程两边同乘以(1)(1)x x +-化成整式方程，得12x x +=，移项，得21x x -=-，合并同类项，得1x -=-，系数化为1，得1x =，经检验，1x =时，原分式方程的分母等于0，即1x =不是原方程的解，故方程无解．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题关键．19．方程无解【分析】去分母将分式方程化为整式方程，求解并验证根即可．【详解】解：去分母得：3(1)(2)(2)x x x x +-+=+，去括号得：22322x x x x ++-=+，移项合并得：1x -=-，解得：1x =．经检验1x =是该方程的增根，即方程无解．【点睛】本题考查解分式方程．解分式方程的思路就是去分母两边乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程求解．解分式方程一定不要忘了验根．20．19【分析】先通过整式的运算法则将代数式化简成22712x x -+，再整体代入求值．【详解】解：原式()()224129263x x x x x =-+-+-- 224129253x x x x =-+-++22712x x =-+∵2277x x -=，∴2277x x -=，∴原式71219=+=．【点睛】本题考查整式的化简求值，解题的关键是掌握整体代入的思想求值．21．A ．【分析】(1)如图1，根据线段垂直平分线的性质得到MA=MP，NA=NP，则根据“SSS”可判断△AMN≌△PMN，则可对甲进行判断；如图2，根据平行四边形的判定方法先证明四边形AMPN为平行四边形，则根据平行四边形的性质得到MA=PN，MP=AN，则根据“SSS”可判断△AMN≌△PNM，则可对乙进行判断．(2)根据（1）即可得出证明过程【详解】（1）解：如图1，∵MN垂直平分AP，∴MA=MP，NA=NP，而MN=MN，∴△AMN≌△PMN（SSS），所以甲正确；如图2，∵MN∥AN，PN∥AM，∴四边形AMPN为平行四边形，∴MA=PN，MP=AN，而MN=MN，∴△AMN≌△PNM（SSS），所以乙正确．故选：A．（2）正确做法的证明同（1）【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定与性质和三角形全等的判定．22．见解析【分析】证明AE=DE，EB=DE即可解决问题【详解】证明：∵AD平分∠BAC∴∠CAD=∠EAD，∵DE∥AC，∴∠CAD=∠ADE，∴∠EAD=∠ADE，∴DE=AE，∵BD⊥AD，∴∠ADB=90°，∴∠ADE+∠BDE=90°，∠EAD+∠ABD=90°，∵∠EAD=∠ADE，∴∠BDE=∠ABD，∴BE=DE，∴AE=BE，∴E是AB的中点．【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．23．第二宇宙速度是每秒11.2千米．【分析】设第二宇宙速度是每秒xkm，则高铁全速行驶的速度是每秒1112x km，根据第二宇宙速度飞行560千米所用时间+50=该列高铁全速行驶10千米所用时间，列出方程求解即可．【详解】解：设第二宇宙速度是每秒xkm ，则高铁全速行驶的速度是每秒1112x km ， 根据题意， 11125601050x x+=， 解得11.2x =，经检验11.2x =是该方程的解．所以，第二宇宙速度是每秒11.2千米．【点睛】本题考查分式方程的应用．能结合题意找出等量关系列出方程是解题关键．不要忘记验根哦． 24．（1）a ＞b ＞c ；（2）见解析【分析】（1）a 、b 、c 两两作差可得出a 、b 、c 之间的大小关系；（2）对于任意一个三角形的三边a ，b ，c ，满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．【详解】（1）∵a -b =m 2+n 2-m 2=n 2＞0；a -c =m 2+n 2-mn =（m -n ）2+mn ＞0；b -c = m 2-mn =m （m -n ）＞0∴a ＞b ＞c ；（2）由（1）a ＞b ＞c 可得，a +b ＞c∵a -b = m 2+n 2-m 2=n 2＜mn∴a -b ＜c∴以a 、b 、c 为边长的三角形一定存在．【点睛】本题主要考查了利用差比法比较代数式的大小和用三角形三边关系证明三角形的存在． 25．（1）∠MAN =90°，∠MBC =90°；（2）补全图形见解析；（3）存在，CP=1．【分析】（1）连接CN ，AP ，MP ，根据轴对称的性质和等腰三角形三线合一可得∠NAC=∠CAP ，∠PAB=∠MAB ，∠ABC=∠ABM ，再根据等腰直角三角形的性质即可求得∠MAN 和∠MBC ；（2）①依据轴对称图形对应点的连线被对称轴垂直平分补全图即可；②根据垂直平分线的性质可得PB=BM ，PC=CN ，再设BN 长为x ，利用3BM BN和线段的和差列出方程求解即可．【详解】解：（1）如图，连接CN ，AP ，MP ，∵N 、P 关于AC 对称，∴C 为PN 的中点，且AC 为NP 的中垂线，∴AN=AP ，∴△ANP 为等腰三角形，∴∠NAC=∠CAP （三线合一），同理可证∠PAB=∠MAB ，∠ABC=∠ABM ，∵AC=BC=2，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠ABC=45°，∴∠MAN=∠NAC+∠CAP+∠PAB+∠BAM=2∠CAB=90°，∠MBC=∠ABC+∠ABM=2∠ABC=90°；（2）①补全图2如下，②由（1）知B 在PM 的中垂线上，A 在PN 的中垂线上，∴PB=BM ，PC=CN ，设BN 长为x ，则BM 的长为3x ，CN 长为2-x ，∴PC=CN=2-x ，∵PB=BM=PC+BC,∴322x x =-+，解得x=1，∴满足条件的P 点存在，且CP=2-1=1．【点睛】本题考查轴对称的性质，作轴对称图形，等腰三角形三线合一，垂直平分线的性质等．理解轴对称图形对应点连线被对称轴垂直平分是解题关键．26．（1）①见解析，②∠B<∠C ，>；（2）①见解析；②＜【分析】（1）①由HL 证明Rt △ABD ≌Rt △ACD 可得结论；②由AB ＞AC 得∠C ＞∠B 即可得出结论；（2）①由SSS 证明△ABD ≌△ACD 可得结论；②作辅助线证明△BDE CDA ≅∆，得BE CA =，∠BED CAD =∠，证得∠BAD BED <∠，即可得到结论．【详解】解：（1）①证明：∵AD 是BC 边上的高线∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt △ADB 和Rt △ADC 中AB AC AD AD =⎧⎨=⎩∴Rt △ABD ≌Rt △ACD∴∠BAD =∠CAD ；②证明：∵ AD 是BC 边上的高线，∴∠ADB =∠ADC =90°．∴ ∠BAD =90°-∠B ，∠CAD =90°-∠C ． ∵AB ＞AC ，∴ ∠B<∠C （在同一个三角形中，大边对大角）．∴∠BAD > ∠CAD ．故答案为：∠B<∠C ，>；（2）①证明：∵AD 是BC 边上的中线∴BD=CD在△ABD 和△ACD 中AB AC AD AD BD CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACD∴∠BAD=∠CAD②如图，延长AD 至点E ，使AD=ED ，连接BE ，∵AD 是△ABC 的BC 边上的中线，∴BD CD =在△BDE 和△CDA 中，BD CD BDE CDA ED AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE CDA ≅∆∴BE CA =，∠BED CAD =∠，又AB AC >，则AB BE >∴∠BAD BED <∠∴∠BAD CAD <∠．故答案为：＜．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造全等三角形是解答此题的关键．。

2023-2024学年北京市房山区八年级(上)期末数学试卷(含解析)

2023-2024学年北京市房山区八年级(上)期末数学试卷(含解析)

2023-2024学年北京市房山区八年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列式子为最简二次根式的是( )A. 3B. 4C. 8D. 122.下面的四个图案分别是“向左转弯”、“直行”、“直行和向右转弯”和“环岛行驶”的交通标志，其中可以看作是轴对称图形的是( )A. B. C. D.3.如果分式2x−3x+2的值为0，那么x的值是( )A. x=2B. x=−2C. x=23D. x=324.如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为( )A. 5B. 25C. 27D. 525.下列事件中，属于随机事件的是( )A. 用长度分别是1cm，2cm，3cm的细木条首尾顺次相连可组成一个三角形B. 用长度分别是3cm，4cm，5cm的细木条首尾顺次相连可组成一个直角三角形C. 如果一个三角形有两个角相等，那么两个角所对的边也相等D. 有两组对应边和一组对应角分别相等的两个三角形全等6.如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳)，卡钳交叉点O为AA′，BB′的中点，只要量出A′B′的长度，就可以知道该零件内径AB的长度.依据是( )A. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等B. 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等C. 三边分别相等的两个三角形全等D. 两点之间线段最短7.如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙的两侧，已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的宽度DF相等，则这两个滑梯与墙面的夹角∠ACB与∠DEF的度数和为( )A. 60°B. 75°C. 90°D. 120°8.如图，在等边△ABC外作射线AD，使得AD和AC在直线AB的两侧，∠BAD=α(0°<α<180°)，点B关于直线AD的对称点为P，连接PB，PC.则∠BPC的度数是( )C. 30°D. 30°+αA. 60°−αB. 45°−α2二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。

2019-2020学年北京市海淀区八年级上学期期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年北京市海淀区八年级上学期期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年北京市海淀区八年级（上）期末数学试卷一、选择题1．斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．2019年被称为“5G元年”．据媒体报道，5G网络的理论下载速度为1.25GB/s，这就意味着我们下载一张2.5M的照片只需要0.002s，将0.002用科学记数法表示为（）A．2×10﹣2B．2×10﹣3C．0.2×10﹣2D．0.2×10﹣33．下列运算结果为a6的是（）A．a3•a2B．a9﹣a3C．（a2）3D．a18÷a34．在下列因式分解的过程中，分解因式正确的是（）A．x2+2x+4＝（x+2）2B．x2﹣4＝（x+4）（x﹣4）C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2D．x2+4＝（x+2）25．如图，经过直线AB外一点C作这条直线的垂线，作法如下：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁．（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．（3）分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F．（4）作直线CF．则直线CF就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为（）A．△CDF B．△CDK C．△CDE D．△DEF6．有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示．右边场地为长方形，长为2（a+b），则宽为（）A．B．1C．D．a+b7．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的动点（点D与B，C不重合），△ABD 和△ACD的面积分别表示为S1和S2，下列条件不能说明AD是△ABC角平分线的是（）A．BD＝CD B．∠ADB＝∠ADC C．S1＝S2D．AD＝BC 8．如图，左边为参加2019年国庆70周年阅兵的武警摩托车礼宾护卫队，如果将每位队员看成一个点，队形可近似看成由右边所示的若干个正方形拼成的图形，其中与△ABC全等的三角形是（）A．△AEG B．△ADF C．△DFG D．△CEG9．若ab＝﹣4，其中a＞b，以下分式中一定比大的是（）A．B．C．D．10．已知长方形ABCD可以按图示方式分成九部分，在a，b变化的过程中，下面说法正确的有（）①图中存在三部分的周长之和恰好等于长方形ABCD的周长②长方形ABCD的长宽之比可能为2③当长方形ABCD为正方形时，九部分都为正方形④当长方形ABCD的周长为60时，它的面积可能为100．A．①②B．①③C．②③④D．①③④二、填空题（本大题共16分，每小题2分）11．请写出一个只含有字母x的分式，当x＝3时分式的值为0，你写的分式是．12．计算：（2a）3•（﹣a）4÷a2＝．13．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上．若想知道两点A，B的距离，只需要测量出线段即可．14．如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最大值是．15．平面直角坐标系xOy中，点A（4，3），点B（3，0），点C（5，3），点E在x轴上．当CE＝AB时，点E的坐标为．16．北京大兴国际机场于2019年9月25日正式投入运营．小贝和小京分别从草桥和北京站出发赶往机场乘坐飞机，出行方式及所经过的站点与路程如下表所示：出行方式途径站点路程地铁草桥﹣大兴新城﹣大兴机场全程约43公里公交北京站﹣蒲黄榆﹣榴乡桥﹣大兴机全程约54公里场由于地面交通拥堵，地铁的平均速度约为公交平均速度的两倍，于是小贝比小京少用了半小时到达机场．若设公交的平均速度为x公里/时，根据题意可列方程：．17．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，若∠ABC与∠ACD互补，CD＝5，则BC的长为．18．如图，已知∠MON，在边ON上顺次取点P1，P3，P5…，在边OM上顺次取点P2，P4，P6…，使得OP1＝P1P2＝P2P3＝P3P4＝P4P5…，得到等腰△OP1P2，△P1P2P3，△P2P3P4，△P3P4P5…（1）若∠MON＝30°，可以得到的最后一个等腰三角形是；（2）若按照上述方式操作，得到的最后一个等腰三角形是△P3P4P5，则∠MON的度数α的取值范围是．三、解答题（本大题共54分，第19题8分，20～22题每题5分，第23～26每题6分，第27题7分）19．（1）计算：（3﹣π）0﹣38÷36+（）﹣1；（2）因式分解：3x2﹣12y2．20．如图，已知AB＝AC，E为AB上一点，ED∥AC，ED＝AE．求证：BD＝CD．21．已知a2﹣2ab+b2＝0，求代数式a（4a﹣b）﹣（2a+b）（2a﹣b）的值．22．如图，AB⊥AC，AB＝AC，过点B，C分别向射线AD作垂线，垂足分别为E，F．（1）依题意补全图形；（2）求证：BE＝EF+FC．23．已知x＝a+b﹣2，y﹣2ab＝a2+b2（1）用x表示y；（2）求代数式（x﹣）•+的值．24．如图所示，将两个含30°角的三角尺摆放在一起，可以证得△ABD是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．交换命题的条件和结论，得到下面的命题：在直角△ABC中，∠ACB＝90°，如果CB＝AB，那么∠BAC＝30°．请判断此命题的真假，若为真命题，请给出证明；若为假命题，请说明理由．25．对于代数式，不同的表达形式能表现出它的不同性质．例如代数式A＝x2﹣4x+5，若将其写成A＝（x﹣2）2+1的形式，就能看出不论字母x取何值，它都表示正数；若将它写成A＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+2的形式，就能与代数式B＝x2﹣2x+2建立联系．下面我们改变x的值，研究一下A，B两个代数式取值的规律：x﹣2﹣10123 B＝x2﹣2x+2105215 A＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+217105（1）完成上表；（2）观察表格可以发现：若x＝m时，B＝x2﹣2x+2＝n，则x＝m+1时，A＝x2﹣4x+5＝n．我们把这种现象称为代数式A参照代数式B取值延后，此时延后值为1．①若代数式D参照代数式B取值延后，相应的延后值为2，求代数式D；②已知代数式ax2﹣10x+b参照代数式3x2﹣4x+c取值延后，请直接写出b﹣c的值：．26．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是边BC上的动点，连接AD，点C关于直线AD的对称点为点E，射线BE与射线AD交于点F．（1）在图中，依题意补全图形；（2）记∠DAC＝α（α＜45°），求∠ABF的大小；（用含α的式子表示）（3）若△ACE是等边三角形，猜想EF和BC的数量关系，并证明．27．在平面直角坐标系xOy中，直线l为一、三象限角平分线．点P关于y轴的对称点称为P的一次反射点，记作P1；P1关于直线l的对称点称为点P的二次反射点，记作P2．例如，点（﹣2，5）的一次反射点为（2，5），二次反射点为（5，2）．根据定义，回答下列问题：（1）点（2，5）的一次反射点为，二次反射点为；（2）当点A在第一象限时，点M（3，1），N（3，﹣1）Q（﹣1，﹣3）中可以是点A 的二次反射点的是；（3）若点A在第二象限，点A1，A2分别是点A的一次、二次反射点，△OA1A2为等边三角形，求射线OA与x轴所夹锐角的度数．附加问题：若点A在y轴左侧，点A1，A2分别是点A的一次、二次反射点，△AA1A2是等腰直角三角形，请直接写出点A在平面直角坐标系xOy中的位置．参考答案一、选择题（本大题符合题意的选项均只有一个，请将你的答案填写在下面的表格中．共30分，每小题3分）1．斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．解：A、是轴对称图形，故本选项正确；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：A．2．2019年被称为“5G元年”．据媒体报道，5G网络的理论下载速度为1.25GB/s，这就意味着我们下载一张2.5M的照片只需要0.002s，将0.002用科学记数法表示为（）A．2×10﹣2B．2×10﹣3C．0.2×10﹣2D．0.2×10﹣3【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解：用科学记数法表示0.002＝2×10﹣3．故选：B．3．下列运算结果为a6的是（）A．a3•a2B．a9﹣a3C．（a2）3D．a18÷a3【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．解：A．a3•a2＝a5，故本选项不合题意；B．a9与﹣a3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；C．（a2）3＝a6，故本选项符合题意；D．a18÷a3＝a15，故本选项不合题意．故选：C．4．在下列因式分解的过程中，分解因式正确的是（）A．x2+2x+4＝（x+2）2B．x2﹣4＝（x+4）（x﹣4）C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2D．x2+4＝（x+2）2【分析】各项分解得到结果，即可作出判断．解：A、原式不能分解，不符合题意；B、原式＝（x+2）（x﹣2），不符合题意；C、原式＝（x﹣2）2，符合题意；D、原式不能分解，不符合题意，故选：C．5．如图，经过直线AB外一点C作这条直线的垂线，作法如下：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁．（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．（3）分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F．（4）作直线CF．则直线CF就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为（）A．△CDF B．△CDK C．△CDE D．△DEF【分析】依据尺规作图，即可得到CD＝CK，CD＝CE，DF＝EF，进而得出△CDK，△CDE，△DEF都是等腰三角形．解：由作图可得，CD，DF，CF不一定相等，故△CDF不一定是等腰三角形；而CD＝CK，CD＝CE，DF＝EF，故△CDK，△CDE，△DEF都是等腰三角形；故选：A．6．有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示．右边场地为长方形，长为2（a+b），则宽为（）A．B．1C．D．a+b【分析】求出左边场地的面积为a2+b2+2ab，由题意可求右边场地的宽＝（a2+b2+2ab）÷2（a+b）＝（a+b）2÷2（a+b）＝．解：左边场地面积＝a2+b2+2ab，∵左边场地的面积与右边场地的面积相等，∴宽＝（a2+b2+2ab）÷2（a+b）＝（a+b）2÷2（a+b）＝，故选：C．7．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的动点（点D与B，C不重合），△ABD 和△ACD的面积分别表示为S1和S2，下列条件不能说明AD是△ABC角平分线的是（）A．BD＝CD B．∠ADB＝∠ADC C．S1＝S2D．AD＝BC【分析】由全等三角形的判定和等腰三角形的性质，依次进行推理判断即可求解．解：若BD＝CD，AB＝AC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD（SSS）∴∠BAD＝∠CAD，∴AD是△ABC角平分线；故A选项不符合题意；若∠ADB＝∠ADC，且∠ADB+∠ADC＝180°，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，且AB＝AC，∴AD是△ABC角平分线；故B选项不符合题意；若S1＝S2，∴BD＝CD，且AB＝AC，∴AD是△ABC角平分线；故C选项不符合题意；若AD＝BC，无法证明AD是△ABC角平分线；故选：D．8．如图，左边为参加2019年国庆70周年阅兵的武警摩托车礼宾护卫队，如果将每位队员看成一个点，队形可近似看成由右边所示的若干个正方形拼成的图形，其中与△ABC全等的三角形是（）A．△AEG B．△ADF C．△DFG D．△CEG【分析】根据勾股定理和线段的和可得△ABC和△DFG三边分别相等，从而得结论．解：设小正方形的边长为1，如图，则AB＝DF＝3，BC＝DG＝，AC＝FG＝＝，∴△ABC≌△FDG（SSS），故选：C．9．若ab＝﹣4，其中a＞b，以下分式中一定比大的是（）A．B．C．D．【分析】根据分式的约分和减法进行分析即可．解：A、＝，故此选项不合题意；B、∵ab＝﹣4＜0，∴﹣＝＜0，故此选项不合题意；C、﹣﹣＝﹣，∵，∴﹣＜，故此选项不合题意；D、，故此选项符合题意；故选：D．10．已知长方形ABCD可以按图示方式分成九部分，在a，b变化的过程中，下面说法正确的有（）①图中存在三部分的周长之和恰好等于长方形ABCD的周长②长方形ABCD的长宽之比可能为2③当长方形ABCD为正方形时，九部分都为正方形④当长方形ABCD的周长为60时，它的面积可能为100．A．①②B．①③C．②③④D．①③④【分析】根据正方形定义和长方形的周长公式判断①③，假设长方形的长宽比是2，推到出与已知的矛盾，排除②，根据长方形的周长为60，推到出该长方形的面积大于100，从而说明④错误．解：①四边形AEFG、FHKM、SKWC的周长之和等于长方形ABCD的周长；②长方形的长为a+2b，宽为2a+b，若该长方形的长宽之比为2，则a+2b＝2（2a+b）解得a＝0．这与题意不符，故②的说法不正确；③当长方形ABCD为正方形时，2a+b＝a+2b所以a＝b，所以九部分都为正方形，故③的说法正确；④当长方形ABCD的周长为60时，即2（2a+b+a+2b）＝60整理，得a+b＝10所以四边形GHWD的面积为100．故当长方形ABCD的周长为60时，它的面积不可能为100，故④的说法不正确．综上正确的是①③．故选：B．二、填空题（本大题共16分，每小题2分）11．请写出一个只含有字母x的分式，当x＝3时分式的值为0，你写的分式是（答案不唯一）．【分析】根据题意可得分子为x﹣3，再确定分母即可．解：由题意得：，故答案为：．12．计算：（2a）3•（﹣a）4÷a2＝8a5．【分析】原式利用积的乘方与幂的乘方运算法则，以及单项式乘除单项式法则计算即可求出值．解：原式＝8a3•a4÷a2＝8a5，故答案为：8a513．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上．若想知道两点A，B的距离，只需要测量出线段DE即可．【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．解：利用CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD，即两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法，可以证明△ABC≌△EDC，故想知道两点A，B的距离，只需要测量出线段DE即可．故答案为：DE．14．如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最大值是a+b．【分析】根据：三角形的任意两边的长度之和大于第三边，可得：只有空间站A与星球B、飞船C在同一直线上时，S取到最大值，据此求解即可．解：空间站A与星球B、飞船C在同一直线上时，S取到最大值a+b．故答案为：a+b．15．平面直角坐标系xOy中，点A（4，3），点B（3，0），点C（5，3），点E在x轴上．当CE＝AB时，点E的坐标为（4，0）或（6，0）．【分析】根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．解：∵点A（4，3），点C（5，3），∴AC∥x轴，AC＝1，连接AC，过C作CE∥AB交x轴于E，∴AB＝CE，BE＝AC＝1，∵点B（3，0），∴E（4，0），以C为圆心，CE为半径画弧交x轴于E′，则CE＝CE′＝AB，过C作CD⊥x轴于D，∴DE＝DE′＝1，∴E′（6，0），∴当CE＝AB时，点E的坐标为（4，0）或（6，0），故答案为：（4，0）或（6，0）．16．北京大兴国际机场于2019年9月25日正式投入运营．小贝和小京分别从草桥和北京站出发赶往机场乘坐飞机，出行方式及所经过的站点与路程如下表所示：出行方式途径站点路程地铁草桥﹣大兴新城﹣大兴机场全程约43公里全程约54公里公交北京站﹣蒲黄榆﹣榴乡桥﹣大兴机场由于地面交通拥堵，地铁的平均速度约为公交平均速度的两倍，于是小贝比小京少用了半小时到达机场．若设公交的平均速度为x公里/时，根据题意可列方程：．【分析】若设公交的平均速度为x公里/时，则地铁的平均速度为2x公里/时，根据“小贝比小京少用了半小时到达机场”列出方程即可．解：若设公交的平均速度为x公里/时，根据题意可列方程：．故答案是：．17．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，若∠ABC与∠ACD互补，CD＝5，则BC的长为10．【分析】延长AB、CD交于点E，证明△ADE≌△ADC（ASA），得出ED＝CD＝5，∠E＝∠ACD，证出∠E＝∠ACD＝∠CBE，得出BC＝CE＝2CD＝10即可．解：延长AB、CD交于点E，如图：∵AD平分∠BAC，CD⊥AD，∴∠EAD＝∠CAD，∠ADE＝∠ADC＝90°，在△ADE和△ADC中，，∴△ADE≌△ADC（ASA），∴ED＝CD＝5，∠E＝∠ACD，∵∠ABC与∠ACD互补，∠ABC与∠CBE互补，∴∠E＝∠ACD＝∠CBE，∴BC＝CE＝2CD＝10，故答案为：10．18．如图，已知∠MON，在边ON上顺次取点P1，P3，P5…，在边OM上顺次取点P2，P4，P6…，使得OP1＝P1P2＝P2P3＝P3P4＝P4P5…，得到等腰△OP1P2，△P1P2P3，△P2P3P4，△P3P4P5…（1）若∠MON＝30°，可以得到的最后一个等腰三角形是△P1P2P3；（2）若按照上述方式操作，得到的最后一个等腰三角形是△P3P4P5，则∠MON的度数α的取值范围是18°≤α＜22.5°．【分析】（1）利用等腰三角形的性质求出∠OP2P3即可判断．（2）由题意要使得得到的最后一个等腰三角形是△P3P4P5，需要满足：∠P4P3P5＝4α＜90°且∠MP4P5＝5α≥90°，解不等式即可解决问题．解：（1）∵OP1＝P1P2＝P2P3，∴∠OP2P1＝∠O＝30°，∠P2P1P3＝∠P2P3P1＝60°，∴∠OP2P3＝90°，∴△P2P3P4不存在，∴以得到的最后一个等腰三角形是△P1P2P3．故答案为△P1P2P3．（2）由题意要使得得到的最后一个等腰三角形是△P3P4P5，需要满足：∠P4P3P5＝4α＜90°且∠MP4P5＝5α≥90°，∴18°≤α＜22.5°，故答案为18°≤α＜22.5°．三、解答题（本大题共54分，第19题8分，20～22题每题5分，第23～26每题6分，第27题7分）19．（1）计算：（3﹣π）0﹣38÷36+（）﹣1；（2）因式分解：3x2﹣12y2．【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及同底数幂的除法法则计算即（2）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．解：（1）原式＝1﹣32+3＝1﹣9+3＝﹣5；（2）原式＝3（x2﹣4y2）＝3（x+2y）（x﹣2y）．20．如图，已知AB＝AC，E为AB上一点，ED∥AC，ED＝AE．求证：BD＝CD．【分析】由平行线的性质和等腰三角形的性质可得∠EAD＝∠DAC，由“SAS”可证△ADB≌△ADC，可得BD＝CD．【解答】证明：∵ED∥AC，∴∠EDA＝∠DAC，∵ED＝AE，∴∠EAD＝∠EDA，∴∠EAD＝∠DAC，在△ADB和△ADC中，∴△ADB≌△ADC（SAS），∴BD＝CD．21．已知a2﹣2ab+b2＝0，求代数式a（4a﹣b）﹣（2a+b）（2a﹣b）的值．【分析】根据完全平方公式求出a＝b，再根据单项式乘以多项式和平方差公式算乘法，合并同类项，代入求出即可．解：∵a2﹣2ab+b2＝0，∴（a﹣b）2＝0，∴a＝b，a（4a﹣b）﹣（2a+b）（2a﹣b）＝4a2﹣ab﹣4a2+b2＝﹣a2+a2＝0．22．如图，AB⊥AC，AB＝AC，过点B，C分别向射线AD作垂线，垂足分别为E，F．（1）依题意补全图形；（2）求证：BE＝EF+FC．【分析】（1）依题意补全图形即可；（2）证明△ABE≌△CAF（AAS）．得出BE＝AF，AE＝CF．即可得出结论．【解答】（1）解：依题意补全图形：（2）证明：∵AB⊥AC，BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BAE+∠CAF＝90°，∠BAE+∠B＝90°，∠CFA＝∠AEB＝90°．∴∠CAF＝∠B．在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（AAS）．∴BE＝AF，AE＝CF．∵AF＝AE+EF，∴BE＝EF+CF．23．已知x＝a+b﹣2，y﹣2ab＝a2+b2（1）用x表示y；（2）求代数式（x﹣）•+的值．【分析】（1）先由已知条件得到a+b＝x+2，y＝a2+2ab+b2＝（a+b）2，然后利用整体代入的方法可用x表示y；（2）先把y＝（x+2）2代入得到关于x的代数式，再把括号内通分，约分后进行同分母的加法运算即可．解：（1）∵x＝a+b﹣2，y﹣2ab＝a2+b2，∴a+b＝x+2，y＝a2+2ab+b2＝（a+b）2．∴y＝（x+2）2；（2）原式＝•+＝+＝+＝＝1．24．如图所示，将两个含30°角的三角尺摆放在一起，可以证得△ABD是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．交换命题的条件和结论，得到下面的命题：在直角△ABC中，∠ACB＝90°，如果CB＝AB，那么∠BAC＝30°．请判断此命题的真假，若为真命题，请给出证明；若为假命题，请说明理由．【分析】延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD，证明△ABD是等边三角形，得到∠BAD＝60°，根据等腰三角形的三线合一证明即可．解：此命题是真命题，理由如下：延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD，∵∠ACB＝90°，CD＝BC，∴AC是线段BD的垂直平分线，∴AB＝AD，∵CB＝AB，∴BD＝AB，∴△ABD是等边三角形，∴∠BAD＝60°，∵AC⊥BD，∴∠BAC＝∠BAD＝30°．25．对于代数式，不同的表达形式能表现出它的不同性质．例如代数式A＝x2﹣4x+5，若将其写成A＝（x﹣2）2+1的形式，就能看出不论字母x取何值，它都表示正数；若将它写成A＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+2的形式，就能与代数式B＝x2﹣2x+2建立联系．下面我们改变x的值，研究一下A，B两个代数式取值的规律：x﹣2﹣10123 B＝x2﹣2x+21052125 A＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+217105212（1）完成上表；（2）观察表格可以发现：若x＝m时，B＝x2﹣2x+2＝n，则x＝m+1时，A＝x2﹣4x+5＝n．我们把这种现象称为代数式A参照代数式B取值延后，此时延后值为1．①若代数式D参照代数式B取值延后，相应的延后值为2，求代数式D；②已知代数式ax2﹣10x+b参照代数式3x2﹣4x+c取值延后，请直接写出b﹣c的值：7．【分析】（1）分别将x代入即可求得；（2）①D＝（x﹣2）2﹣2（x﹣2）+2＝x2﹣6x+10；②由①可得a＝3，3x2﹣4x+c＝3（x﹣m）x2﹣10（x﹣m）+b，则﹣6m﹣10＝﹣4，c＝b+3m2﹣10，则可求b﹣c＝7．解：（1）将x＝2代入B＝x2﹣2x+2中，得B＝4﹣4+2＝2；将x＝1代入A＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+2得，A＝2，将x＝2代入A＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+2得，A＝1，将x＝3代入A＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+2得，A＝2，故答案为2，2，1，2；（2）①∵代数式D参照代数式B取值延后，相应的延后值为2，∴D＝（x﹣2）2﹣2（x﹣2）+2＝x2﹣6x+10；②由①可得a＝3，3x2﹣4x+c＝3（x﹣m）2﹣10（x﹣m）+b，∴﹣6m﹣10＝﹣4，∴m＝﹣1，∵c＝b+3﹣10，∴b﹣c＝7，故答案为7．26．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是边BC上的动点，连接AD，点C关于直线AD的对称点为点E，射线BE与射线AD交于点F．（1）在图中，依题意补全图形；（2）记∠DAC＝α（α＜45°），求∠ABF的大小；（用含α的式子表示）（3）若△ACE是等边三角形，猜想EF和BC的数量关系，并证明．【分析】（1）根据轴对称即可得出结论；（2）先判断出AE＝AC，再表示出∠BAE，即可得出结论；（3）先判断出△BCF是直角三角形，结合△ACE是等边三角形，即可得出结论．解：（1）如图1所示；（2）如图2，连接AE，由题意可知，∠EAD＝∠CAD＝α，AC＝AE，∴∠BAE＝90°﹣2α，∵AB＝AC，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∴；（3），证明：如备用图，连接AE，CF，由（2）可知，∠AEB＝∠ABF＝45°+α，∵AB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴∠CBF＝α，∵点C关于直线AD的对称点为点E，∴∠ACF＝∠AEF＝135°﹣α，∴∠BCF＝90°﹣α，∵∠CBF+∠BCF＝90°，∴△BCF是直角三角形．∵△ACE是等边三角形，∴α＝30°．∴∠CBF＝30°∴．27．在平面直角坐标系xOy中，直线l为一、三象限角平分线．点P关于y轴的对称点称为P的一次反射点，记作P1；P1关于直线l的对称点称为点P的二次反射点，记作P2．例如，点（﹣2，5）的一次反射点为（2，5），二次反射点为（5，2）．根据定义，回答下列问题：（1）点（2，5）的一次反射点为（﹣2，5），二次反射点为（5，﹣2）；（2）当点A在第一象限时，点M（3，1），N（3，﹣1）Q（﹣1，﹣3）中可以是点A 的二次反射点的是N点；（3）若点A在第二象限，点A1，A2分别是点A的一次、二次反射点，△OA1A2为等边三角形，求射线OA与x轴所夹锐角的度数．附加问题：若点A在y轴左侧，点A1，A2分别是点A的一次、二次反射点，△AA1A2是等腰直角三角形，请直接写出点A在平面直角坐标系xOy中的位置．【分析】（1）根据一次反射点，二次反射点的定义解决问题即可．（2）根据一次反射点，二次反射点的定义解决问题即可．（3）由题意点A在第二象限，推出点A1，A2均在第一象限．由△OA1A2为等边三角形，A1，A2关于OB对称，推出∠A1OB＝∠A2OB＝30°，分两种情形分别求解即可解决问题．解：（1）由题意：点（2，5）的一次反射点为（﹣2，5），二次反射点为（5，﹣2）．故答案为（﹣2，5），（5，﹣2）．（2）由题意点A的二次反射点在第四象限，故答案为N点．（3）∵点A在第二象限，∴点A1，A2均在第一象限．∵△OA1A2为等边三角形，A1，A2关于OB对称，∴∠A1OB＝∠A2OB＝30°分类讨论：①若点A1位于直线l的上方，如图1所示，此时∠AOC＝∠A1OC＝15°，因此射线OA 与x轴所夹锐角为75°．②若点A1位于直线l的上下方，如图2所示，此时∠AOC＝∠A1OC＝75°，因此射线OA与x轴所夹锐角为15°．综上所述，射线OA与x轴所夹锐角为75°或15°．附加题：若点A在y轴左侧，点A1，A2分别是点A的一次、二次反射点，△AA1A2是等腰直角三角形，则点A在平面直角坐标系xOy中的位置：x轴负半轴或第三象限的角平分线．。

2023届北京市西城区北京师范大附属中学八年级数学第一学期期末考试试题含解析

2023届北京市西城区北京师范大附属中学八年级数学第一学期期末考试试题含解析

2022-2023学年八上数学期末模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，在△ABC 中，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN 分别交BC ，AC 于点D ，E ，若AE=3cm ，△ABD 的周长为13cm ，则△ABC 的周长为（ ）A ．16cmB ．19cmC ．22cmD ．25cm2．下列计算，正确的是（ ）A ．a 2﹣a=aB ．a 2•a 3=a 6C ．a 9÷a 3=a 3D ．（a 3）2=a 63．长度分别为2，7，x 的三条线段能组成一个三角形，的值可以是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．94．下列计算正确的是 （ ）.A ．()236a a =B ．22a a a •=C ．326a a a +=D ．()3339a a = 5．如图，点E 是等腰三角形△ABD 底边上的中点，点C 是AE 延长线上任一点，连接BC 、DC ，则下列结论中：①BC=AD ；②AC 平分∠BCD ；③AC=AB ；④∠ABC=∠ADC ．一定成立的是（ ）A ．②④B ．②③C ．①③D ．①② 6．已知23a =+，23b =-a 与b 的大小关系为（ ）A ．a b =B ．a b <C ．a b >D ．不能确定7．若分式211x x -+的值为0，则x 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．﹣1 D ．±18．下列垃圾分类的图标中，轴对称图形是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知一组数据3，a ，4，5的众数为4，则这组数据的平均数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．610．若a 、b 、c 为三角形三边，则下列各项中不能构成直角三角形的是（ ） A ．a ＝7，b ＝24，c ＝25B ．a ＝5，b ＝13，c ＝12C ．a ＝1，b ＝2，c ＝3D ．a ＝30，b ＝40，c ＝5011．叶绿体是植物进行光合作用的场所，叶绿体DNA 最早发现于衣藻叶绿体，长约0.00005米．其中，0.00005用科学记数法表示为（ ）A ．0.5×10﹣4B ．5×10﹣4C ．5×10﹣5D ．50×10﹣312．如图，A 和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN ，使从A 到B 的路径AMNB 最短的是（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）（ ） A ． B ． C ．D ．二、填空题（每题4分，共24分）13．如图所示，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，点D 在线段BE 上．若125∠=︒，230∠=︒，则3∠=______．14．如图，△ABC 的两条高BD 、CE 相交于点O 且OB ＝OC ．则下列结论： ①△BEC ≌△CDB ；②△ABC 是等腰三角形；③AE ＝AD ；④点O 在∠BAC 的平分线上，其中正确的有_____．（填序号）15．若式子()()2x 1x 1x 2--+的值为零，则x 的值为______． 16．已知4a x =，3b x =，则2a b x -= _________ .17．小强从镜子中看到的电子表的读数是15：01，则电子表的实际读数是______．18．因式分解：29x -=_____．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，AD 平分CAB ∠，延长AC 至E ，使CE AC =，连接DE ．求证：BAD ∆≌EAD ∆20．（8分）如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，点D 为边AC 上一点，DE AB ⊥于点E ，点M 为BD 中点，CM 的延长线交AB 于点F ．（1）求证：CM=EM ；（2）若50BAC ∠=，求EMF ∠的大小；21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点A(0,3)与点B 关于x 轴对称，点C(n,0)为x 轴的正半轴上一动点．以AC 为边作等腰直角三角形ACD ，∠ACD=90°，点D 在第一象限内．连接BD ，交x 轴于点F ．(1)如果∠OAC=38°,求∠DCF 的度数；(2)用含n 的式子表示点D 的坐标；(3)在点C 运动的过程中，判断OF 的长是否发生变化？若不变求出其值，若变化请说明理由．22．（10分）如图，AB ∥CD ，直线EF 分别交直线AB 、CD 于点M 、N ，MG 平分∠EMB ，MH 平分∠CNF ，求证：MG ∥NH ．23．（10分）如图，把长方形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA OC ，分别落在x y ，轴的的正半轴上，连接AC ，且45AC =2AO CO =．（1）求点A C ，的坐标；（2）将纸片OABC 折叠，使点A 与点C 重合（折痕为EF ），求折叠后纸片重叠部分CEF ∆的面积；（3）求EF 所在直线的函数表达式，并求出对角线AC 与折痕EF 交点D 的坐标．24．（10分）如图，在ABC 中，AB AC =，D 在边AC 上，且BD DA BC ==． ()1如图1，填空A ∠=______，C ∠=______.()2如图2，若M 为线段AC 上的点，过M 作直线MH BD ⊥于H ，分别交直线AB 、BC 与点N 、E ．①求证：BNE 是等腰三角形；②试写出线段AN 、CE 、CD 之间的数量关系，并加以证明．25．（12分）解下列方程组：38526x y x y -=⎧⎨-=⎩，． 26．每到春夏交替时节，雄性杨树会以漫天飞絮的方式来传播下一代，漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等，给人们造成困扰．为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况，某课题小组随机调查了部分市民（问卷调查表如图所示），并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图．根据以上统计图，解答下列问题：（1）本次接受调查的市民公有__________人；（2）请补全条形统计图；（3）扇形统计图中请求出扇形E的圆心角度数．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【分析】根据作法可知MN是AC的垂直平分线，利用垂直平分线的性质进行求解即可得答案.【详解】解：根据作法可知MN是AC的垂直平分线，∴DE垂直平分线段AC，∴DA=DC，AE=EC=6cm，∵AB+AD+BD=13cm，∴AB+BD+DC=13cm，∴△ABC的周长=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm，故选B．【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质．2、D【解析】A、a2-a，不能合并，故A错误；B 、a 2•a 3=a 5，故B 错误；C 、a 9÷a 3=a 6，故C 错误；D 、（a 3）2=a 6，故D 正确，故选D ．3、C【分析】根据三角形的三边关系可判断x 的取值范围，进而可得答案.【详解】解：由三角形三边关系定理得7－2＜x ＜7+2，即5＜x ＜1．因此，本题的第三边应满足5＜x ＜1，把各项代入不等式符合的即为答案． 4，5，1都不符合不等式5＜x ＜1，只有6符合不等式，故选C ．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，属于基础题型，掌握三角形的三边关系是解题的关键. 4、A【解析】请在此填写本题解析!A. ∵ ()236a a =, 故正确；B. ∵ 23•a a a =, 故不正确；C. ∵a 3与a 2不是同类项，不能合并 ,故不正确；D. ∵ ()33327a a = , 故不正确；故选A.5、A【解析】根据全等三角形的判定和性质得出结论进而判断即可．【详解】∵点E 是等腰三角形△ABD 底边上的中点，∴BE ＝DE ，∠AEB ＝∠AED ＝90°，∴∠BEC ＝∠DEC ＝90°． 在△BEC 与△DEC 中，∵BE DE BEC DEC EC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEC ≌△DEC （SAS ）∴BC ＝CD ，∠BCE ＝∠DCE ，∴∠ABC ＝∠ADC ，∴④∠ABC ＝∠ADC ；②AC 平分∠BC D 正确．故选A ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，关键是根据SAS 证明△BEC ≌△DEC ．6、A进行化简，进而比较大小，即可得到答案．【详解】∵a =2=，2b = ∴a b =．故选A ．【点睛】 本题主要考查二次根式的化简，掌握二次根式的分母有理化，是解题的关键． 7、B【解析】根据分式值为0的条件，分子为0分母不为0列式进行计算即可得. 【详解】∵分式2x 1x 1-+的值为零， ∴21010x x -=⎧⎨+≠⎩， 解得：x=1，故选B ．【点睛】本题考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0分母不为0是解题的关键.8、D【分析】根据轴对称图形的定义即可判断．【详解】解：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．故选：D ．【点睛】本题考查了轴对称图形，只要掌握基本知识点，再认真审题，看清题目要求，细心做答本题就很容易完成．9、B【解析】试题分析：要求平均数只要求出数据之和再除以总的个数即可；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．依此先求出a ，再求这组数据的平均数．数据3，a ，1，5的众数为1，即1次数最多；即a=1．则其平均数为（3+1+1+5）÷1=1．故选B．考点：1.算术平均数；2.众数．10、C【解析】试题分析：要组成直角三角形，三条线段满足较小的平方和等于较大的平方即可．A、72+242=252，B、52+122=132，D、302+402=502，能构成直角三角形，不符合题意；C、12+22≠32，本选项符合题意．考点：本题考查勾股定理的逆定理点评：解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理：两边的平方和等于第三边的平方，那么这样的三角形是直角三角形．11、C【解析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，0.00005＝5⨯，510-故选C.12、D【分析】过A作河岸的垂线AH，在直线AH上取点I，使AI等于河宽，连接BI即可得出N，作出MN⊥a即可得到M，连接AM即可．【详解】解：根据河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直可知，只要AM＋BN最短就符合题意，即过A作河岸a的垂线AH，垂足为H，在直线AH上取点I，使AI等于河宽．连结IB交河岸b于N，作MN垂直于河岸交河岸a于M点，连接AM．故选D．【点睛】本题考查了最短路线问题以及三角形三边关系定理的应用，关键是找出M、N的位置．二、填空题（每题4分，共24分）13、55°【分析】先证明△ABD ≌△ACE （SAS ）；再利用全等三角形的性质：对应角相等，求得∠2=∠ABE ；最后根据三角形内角与外角的性质即可求出答案．【详解】∵BAC DAE ∠=∠，∴∠1+∠CAD=∠CAE+∠CAD ，∴∠1=∠CAE ；在△ABD 与△ACE 中，1AD AE CAE AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACE （SAS ）；∴∠2=∠ABE ；∵∠3=∠ABE+∠1=∠1+∠2，∠1=25°，∠2=30°，∴∠3=55°．故答案为：55°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形的外角性质；将所求的角与已知角通过全等及内角、外角之间的关系联系起来是解答此题的关键．14、①②③④【分析】由三角形内角和定理可得∠ABC ＝∠ACB ，可得AB ＝AC ；由AAS 可证△BEC ≌△CDB ；可得BE ＝CD ，可得AD ＝AE ；通过证明△AOB ≌△AOC ，可证点O 在∠BAC 的平分线上．即可求解．【详解】解：∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ，∵锐角△ABC 的两条高BD 、CE 相交于点O ，∴∠BEC ＝∠CDB ＝90°，∵∠BEC +∠BCE +∠ABC ＝∠CDB +∠DBC +∠ACB ＝180°，∴180°﹣∠BEC ﹣∠BCE ＝180°﹣∠CDB ﹣∠CBD ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∴AB ＝AC ，∴△ABC 是等腰三角形，故②符合题意；∵∠OBC ＝∠OCB ，∠BDC ＝∠BEC ＝90°，且BC ＝BC ，∴△BEC ≌△CDB （AAS ），故①符合题意，∴BE ＝CD ，且AB ＝AC ，∴AD ＝AE ，故③符合题意；连接AO 并延长交BC 于F ，在△AOB 和△AOC 中，AB AC OB OC OA OA =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△AOB ≌△AOC （SSS ）．∴∠BAF ＝∠CAF ，∴点O 在∠BAC 的角平分线上，故④符合题意，故正确的答案为：①②③④．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是：灵活运用全等三角形的判定和性质．15、﹣1【分析】直接利用分式的值为零则分子为零分母不等于零，进而得出答案．【详解】∵式子()()2112x x x --+的值为零， ∴x 2﹣1＝0，（x ﹣1）（x+2）≠0，解得：x ＝﹣1．故答案为﹣1．【点睛】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握相关性质是解题关键．16、49【解析】分析：根据同底数幂的除法及乘法进行计算即可．详解：x a ﹣2b =x a ÷（x b •x b ）=4÷（3×3）=49． 故答案为：49． 点睛：本题考查的是同底数幂的除法及乘法，解答此题的关键是逆用同底数幂的除法及乘法的运算法则进行计算．17、10：51【解析】由镜面对称的特点可知：该电子表的实际读数是：10：51.故答案为10：51.18、()()33x x +-【分析】根据公式法进行因式分解即可．【详解】解：()()2229333x x x x -=-=+-， 故答案为：()()33x x +-．【点睛】本题考查用公式法因式分解，熟练掌握公式法并灵活应用是解题的关键．三、解答题（共78分）19、见解析【分析】根据已知条件可得AE= 2AC ，然后根据30°所对的直角边是斜边的一半可得AB=2AC ，从而得出AB=AE ，然后根据角平分线的定义可得∠BAD=∠EAD ，最后利用SAS 即可证出结论．【详解】证明：∵CE AC =∴AE=CE ＋AC=2AC在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒∴AB=2AC∴AB=AE∵AD 平分CAB ∠，∴∠BAD=∠EAD在BAD ∆和EAD ∆中AB AE BAD EAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BAD ∆≌EAD ∆（SAS ）【点睛】此题考查的是全等三角形的判定和直角三角形的性质，掌握利用SAS判定两个三角形全等和30°所对的直角边是斜边的一半是解决此题的关键．20、（1）见解析；（2）100°【分析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质定理即可证明；（2）先根据题意，得出∠ABC的度数；再根据等边对等角及三角形外角得出∠CMD=2∠CBM及∠DME=2∠EBM，从而求出∠CME的度数后即可得出答案．【详解】解：（1）DE AB⊥90DEB DCB∴∠=∠=︒∵M为BD中点，∴在Rt△DCB中，MC=12 BD，在Rt△DEB中，EM=12 BD，∴MC=ME；（2）∵∠BAC=50°，∠ACB=90°，∴∠ABC=90°-50°=40°，∵CM=MB，∴∠MCB=∠CBM，∴∠CMD=∠MCB+∠CBM=2∠CBM，同理，∠DME=2∠EBM，∴∠CME=2∠CBA=80°，∴∠EMF=180°-80°=100°．【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线、三角形外角，等腰三角形等边对等角等知识，熟练掌握性质定理是解题的关键．21、（1）18°；（2）点D的坐标（n+1，n）；（1）OF的长不会变化，值为1．【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠DCF =∠OAC，进而可得结果；（2）作DH⊥x轴于点H，如图1，则可根据AAS证明△AOC≌△CHD，于是可得OC=DH，AO=CH，进而可得结果；（1）方法一：由轴对称的性质可得AC=BC，于是可得AC=BC=DC，进一步即得∠BAC =∠ABC，∠CBD =∠CDB，而∠ACB+∠DCB =270°，则可根据三角形的内角和定理推出∠ABC+∠CBD =45°，进一步即得△OBF是等腰直角三角形，于是可得OB=OF，进而可得结论；方法2：如图2，连接AF交CD于点M，由轴对称的性质可得AC=BC，AF=BF，进一步即可根据等腰三角形的性质以及角的和差得出∠CAF=∠CBF，易得BC=DC，则有∠CBF=∠CDF，可得∠CAF=∠CDF，然后根据三角形的内角和定理可得∠AFD=∠ACD=90°，即得△AFB是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可推出OF=OA，问题即得解决．【详解】解：(1)∵∠AOC=90°，∴∠OAC+∠ACO =90°．∵∠ACD=90°，∴∠DCF+∠ACO =90°，∴∠DCF =∠OAC，∵∠OAC=18°，∴∠DCF=18°；(2)过点D作DH⊥x轴于点H，如图1，则∠AOC =∠CHD=90°，∵△ACD是等腰直角三角形，∠ACD=90°，∴AC=CD，又∵∠OAC=∠DCF ，∴△AOC≌△CHD(AAS)，∴OC=DH=n，AO=CH=1，∴点D的坐标为（n+1，n）；(1)不会变化．方法一：∵点A(0，1)与点B关于x轴对称，∴AO=BO=1，AC=BC，∴∠BAC =∠ABC，又∵AC=CD，∴BC=CD，∴∠CBD =∠CDB，∵∠ACD=90°，∴∠ACB+∠DCB =270°，∴∠BAC +∠ABC+∠CBD +∠CDB=90°，∴∠ABC+∠CBD =45°，∵∠BOF=90°，∴∠OFB=45°，∴∠OBF =∠OFB=45°，∴OB=OF=1，即OF的长不会变化；方法2：如图2，连接AF交CD于点M，∵点A与点B关于x轴对称，∴AC=BC，AF=BF，∴∠OAC=∠OBC，∠OAF=∠OBF，∴∠OAF−∠OAC=∠OBF−∠OBC，即∠CAF=∠CBF，∵AC=CD，AC=BC，∴BC=CD，∴∠CBF=∠CDF，∴∠CAF=∠CDF，又∵∠AMC=∠DMF，∴∠AFD=∠ACD=90°，∴∠AFB=90°，∴∠AFO=∠OFB=45°，∴∠AFO=∠OAF=45°，∴OF=OA=1，即OF的长不会变化．【点睛】本题以直角坐标系为载体，主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、轴对称的性质和等腰三角形的性质等知识，涉及的知识点多，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．22、详见解析．【分析】依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠CNH＝∠BMG，再根据平行线的性质即可得到∠CNM＝∠BMN，依据∠HNM＝∠GMN，即可得到MG∥NH．【详解】证明：∵MG平分∠EMB，MH平分∠CNF，∴∠CNH＝12∠CNF，∠BMG＝12∠BME＝12∠AMN，∵AB∥CD，∴∠CNF ＝∠AMN ，∴∠CNH ＝∠BMG ，∵AB ∥CD ，∴∠CNM ＝∠BMN ，∴∠CNF +∠CNM ＝∠BMG +∠BMN ，即∠HNM ＝∠GMN ，∴MG ∥NH ．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．23、（1）A （8，0），C （0，4）；（2）10；（3）y=2x-6，（4，2）【分析】（1）设OC=a ，则OA=2a ，在直角△AOC 中，利用勾股定理即可求得a 的值，则A 和C 的坐标即可求得；（2）重叠部分是△CEF ，利用勾股定理求得AE 的长，然后利用三角形的面积公式即可求解；（3）根据（1）求得AC 的表达式，再由（2）求得E 、F 的坐标，利用待定系数法即可求得直线EF 的函数解析式，联立可得点D 坐标.【详解】解：（1）∵2AO CO =，∴设OC=a ，则OA=2a ，又∵AC =a 2+（2a ）2=80，解得：a=4，则A 的坐标是（8，0），C 的坐标是（0，4）；（2）设AE=x ，则OE=8-x ，如图，由折叠的性质可得：AE=CE=x ，∵C 的坐标是（0，4），∴OC=4，在直角△OCE 中，42+（8-x ）2=x 2，解得：x=5，∴CF=AE=5，则重叠部分CEF ∆的面积是：12×5×4=10；（3）设直线EF的解析式是y=mx+n，由（2）可知OE=3，CF=5，∴E（3，0），F（5，4），∴30 54 m nm n+=⎧⎨+=⎩，解得：26 mn=⎧⎨=-⎩，∴直线EF的解析式为y=2x-6，∵A（8，0），C（0，4），设AC的解析式是：y=px+q，代入得：804p qq+=⎧⎨=⎩，解得124pq⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴AC的解析式是：1=42y x-+，联立EF和AC的解析式：=261=42y xy x-⎧⎪⎨-+⎪⎩，解得：=4=2 xy⎧⎨⎩，∴点D的坐标为（4，2）.【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及矩形的性质、待定系数法、勾股定理及方程思想等知识．在（1）中求得A、C的坐标是解题的关键，在（2）中求得CF的长是解题的关键，在（3）中确定出E、F的坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难24、（1）36，72；（2）①证明见解析；②CD=AN+CE ，证明见解析.【分析】（1）根据题意可得△ABC ，△BCD ，△ABD 都是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得∠A=∠DBA=∠DBC=12∠ABC=12∠C ，然后利用三角形的内角和即可得解；（2）①通过“角边角”证明△BNH ≌△BEH ，可得BN=BE ，即可得证； ②根据题意可得AN=AB ﹣BN=AC ﹣BE ，CE=BE ﹣BC ，CD=AC ﹣AD=AC ﹣BD=AC ﹣BC ，则可得CD=AN+CE.【详解】解：（1）∵BD=BC ，∴∠BDC=∠C ，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C ，∴∠A=∠DBC ，∵AD=BD ，∴∠A=∠DBA ，∴∠A=∠DBA=∠DBC=12∠ABC=12∠C ， ∵∠A+∠ABC+∠C=5∠A=180°，∴∠A=36°，∠C=72°；故答案为36，72；（2）①∵∠A=∠ABD=36°，∠B=∠C=72°，∴∠ABD=∠CBD=36°，∵BH ⊥EN ，∴∠BHN=∠EHB=90°，在△BNH 与△BEH 中，BHN BHE BH BHHBN HBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△BNH ≌△BEH （ASA ），∴BN=BE ，∴△BNE 是等腰三角形；②CD=AN+CE ，理由：由①知，BN=BE ，∴AN=AB ﹣BN=AC ﹣BE ，∵CE=BE ﹣BC ，∴AN+CE=AC ﹣BC ，∵CD=AC ﹣AD=AC ﹣BD=AC ﹣BC ，∴CD=AN+CE.【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质.解此题的关键在于熟练掌握其知识点.25、1,5.x y =⎧⎨=-⎩【分析】将②变形得526x y =+③，然后将③代入①可求得y 的值，最后把y 的值代入方程③即可求得x 的值，进而得到方程组的解．【详解】解：（1）38,526x y x y -=⎧⎨-=⎩①；② 由②，得 526x y =+，③将③带入①，得3(526)8y y +-=，5.y =-将5y =-代入③，得()55261x =⨯-+=所以原方程组的解为1,5.x y =⎧⎨=-⎩【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法，正确掌握解题方法是解题的关键．26、（1）2000；（2）详见解析；（3）1．8°【分析】（1）根据扇形统计图和条形统计图，利用A 类的数据求出总调查人数； （2）调查的总人数乘以D 所占的比例，即可求出D 的人数，从而补全条形统计图； （3）先求出E 所占的百分比，利用圆心角公式求解即可．【详解】(1) 根据扇形统计图和条形统计图可知，选A 的有300人，占总人数的15% 30015%=2000÷ （人）本次接受调查的市民公有2000人(2) D对应人数为：2000×25%＝500补全条形统计图如下图所示(3)扇形E所在的百分比为：1－15%－12%－40%－25%＝8%∴扇形E的圆心角度数为8 36028.8100︒⨯=︒【点睛】本题考查了统计的问题，掌握扇形图和条形图的性质、圆心角的公式是解题的关键．。

2023-2024学年北京市西城区八年级(上)期末数学试卷+答案解析

2023-2024学年北京市西城区八年级(上)期末数学试卷+答案解析

2023-2024学年北京市西城区八年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.火纹是一种常见的装饰图案，多用于建筑、家具设计等.下列火纹图案中，可以看成处轴对称图形的是( )A. B.C. D.2.下列运算中，正确的是( )A. B. C. D.3.在平面直角坐标系xOy中，点关于x轴的对称点坐标是( )A. B. C. D.4.下列各式从左到右变形一定正确的是( )A. B. C. D.5.如图，在中，，，BD是的角平分线.若点D到BC的距离为3，则AC的长为( )A. 12B.C. 9D. 66.如果，那么代数式的值为( )A. B. C. 6 D. 137.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，，且，则点C的横坐标为( )A. B. C. D.8.如图，在中，，，点D，E是边AB上的两个定点，点M，N分别是边AC，BC上的两个动点.当四边形DEMN的周长最小时，的大小是( )A. B. C. D.二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。

9.计算：______；______.10.若分式有意义，则x的取值范围是______.11.计算：______.12.如图，为等腰三角形，，，连接BD，只需添加一个条件即可证明≌，这个条件可以是______写出一个即可13.如图，有甲、乙、丙三种正方形和长方形纸片，用1张甲种纸片、4张乙种纸片和4张丙种纸片恰好拼成无重叠、无缝隙一个大正方形，则拼成的大正方形的边长为______用含a，b的式子表示14.甲、乙两名同学作为志愿者帮助图书馆清点一批图书，甲3h清点完这批图书的，乙加入清点剩余的图书，两人合作清点完剩余的图书.如果乙单独清点这批图书需要几小时？若设乙单独清点这批图书需要xh，则根据题意可列方程为______.15.在正三角形纸片ABC上按如图方式画一个正五边形DEFGH，其中点F，G在边BC上，点E，H分别在边AB，AC上，则的大小是______16.如图，动点C与线段AB构成，其边长满足，，点D在的平分线上，且，则a的取值范围是______，的面积的最大值为______.三、解答题：本题共10小题，共84分。

北京市石景山区2020-2021学年八年级上期期末试卷数学(含解析)

北京市石景山区2020-2021学年八年级上期期末试卷数学(含解析)

石景山区2020—2021学年第一学期初二期末试卷数学一、选择题1. 3的算术平方根是（）A. 3B.C.D. 92. 下列医院logo设计的图案中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.3. 下列事件中，为必然事件的是（）A. 明天早晨，大家能看到太阳从东方冉冉升起B. 成绩一直优秀的小华后天的测试成绩也一定优秀C. 从能被2整除的数中，随机抽取一个数能被8整除D. 从10本图书中随机抽取一本是小说4. ）A.12x>- B. 12x≠- C.12x<- D.21x≥-5. 如图所示在ABC∆中，AB边上的高线画法正确的是( ) A. B.C. D.6. 下列式子的变形正确的是（）A.22b ba a= B.22+++a ba ba b=C. 2422x y x yx x--= D.22m nnm-=-7. 下列说法正确的是（）A. 无理数是开方开不尽的数B. 一个实数的绝对值总是正数C. 不存在绝对值最小的实数D. 实数与数轴上的点一一对应8. 剪纸是我国传统的民间艺术．如图①，②将一张纸片进行两次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（）A. B. C. D.二、填空题9. 一个均匀的正方体，6个面中有1个面是黄色的、2个面是红色的、3个面是绿色的．任意掷一次该正方体，则绿色面朝上的可能性是____．10. 如果三角形的三边长分别为5，8，a，那么a的取值范围为__．11. 如图，将一副直角三角尺按图③放置，使三角尺①的长直角边与三角尺②的某直角边在同一条直线上，则图③中的∠1=______°．12. 将分式42326xyx y约分可得____，依据为_____．13. 若[x]表示实数x的整数部分，例如：[3.5]=3，则___．14. 如图，D，E分别是AB，AC上的点，AD=AE，请添加一个条件，使得ABE≌ACD．这个条件可以为_____（只填一个条件即可）．15. 我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少？”示意图如图所示，设绳索AC的长为x尺，木柱AB的长用含x的代数式表示为__尺，根据题意，可列方程为___．16. 有效的垃圾分类，可以减少污染、保护地球上的资源．为了更好地开展垃圾分类工作，某社区居委会对本社区居民掌握垃圾分类知识的情况进行调查．从中随机抽取部分居民进行垃圾分类知识测试，并把测试成绩分为A，B，C，D四个等次，绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．下面有四个推断：①本次的调查方式是抽样调查，样本容量是40；②扇形统计图中，表示C等次的扇形的圆心角的度数为72°；③测试成绩为D等次的居民人数占参测总人数的10%；④测试成绩为A或B等次的居民人数共30人．所有合理推断的序号是______．三、解答题17. 下面是小石设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l及直线l上一点P．求作：直线PQ，使得PQ⊥l．作法：如图2：⊥以点P为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点A，B；⊥分别以点A，B为圆心，以大于12AB的同样长为半径作弧，两弧在直线l上方交于点Q；⊥作直线PQ ．所以直线PQ 就是所求作的直线．根据小石设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接QA ，QB ．⊥QA ＝ ，P A ＝ ，⊥PQ ⊥l （ ）（填推理的依据）．18. ()01-π．19. 计算：20. 解方程：26139x x x =++-．21. 如图，ABC 是等边三角形，D ，E 分别是BA ，CB 延长线上的点，且AD=BE ．求证：AE = CD ．22. 在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，请在图中画出2个形状不同的等腰三角形，使，且顶点都在格点上，则满足条件的形状不同的等腰三角形共 个．23. 已知21a a +=，求代数式221312442a a a a a a a +---÷++++的值．24. 关于x 的分式方程321x m x -=+的解是负数，求满足条件的整数m 的最大值．25.创建文明城市，携手共建幸福美好．某地为美化环境，计划种植树木4800棵，由于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划多20%，结果提前4天完成任务．求原计划每天植树的棵数．26. 某区为了了解本区内八年级男生的体能情况，从中随机抽取了40名八年级男生进行“引体向上”个数测试，将测试结果绘制成表格如下：请根据以上表格信息，解答如下问题：（1）分析数据，补全表格信息（2）在平均数、中位数和众数中，选择一个你认为比较合适的统计量作为该区八年级男生“引体向上”项目测试的“合格标准”，并说明选择的理由．（3）如果该区现有8000名八年级男生，根据（2）中选定的“合格标准”，估计该区八年级男生“引体向上”项目测试的合格人数．27. 如图，ABC中，AC=2AB=6，BC=AC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．（1）求BE的长；（2）延长DE交AB的延长线于点F，连接CF．若M是DF上一动点，N是CF上一动点，请直接写出CM+MN的最小值为．28. 如图，射线AP∥BQ，分别作∠PAB，∠ABQ的角平分线，这两条射线交于点O，过点O作一条直线分别与射线AP，直线BQ交于点C，D（不与点A，B重合）．（1）当CD⊥AP时，①补全图形；②若AC=a，BD=b，则AB的长为(用含a，b的式子表示)．（2）当CD与AP不垂直时，在备用图中补全图形，探索线段AB，AC，BD之间的数量关系，并证明．参考答案与解析一、1~5：BBADB 6~8：CDB二、 9.12 10.3<a<13 11.105 12.(1). 3y x(2). 分式的分子和分母同时除以一个不为0的整式，分式的值不变 13.4 14.∠B=∠C （或∠ADC=∠AEB 或AB=AC ）15.(1). ()3x - (2). ()22238x x -+= 16.①②④ 三、17.【详解】解：（1）补全的图形如图2所示：（2）证明：连接QA ，QB ．⊥QA ＝QB ，P A ＝PB ，⊥PQ ⊥l （等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合）．故答案为：QB ；PB ；等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合．18.()01-π =3-4+1=0．19.【详解】解：====20.【详解】解：26139x x x =++- 方程两边同时乘以29x -可得：()2396x x x -=-+，整理得：33x -=-，解得1x =，经检验，1x =是分式方程的解．21.【详解】解：⊥ABC 是等边三角形，D ，E 分别是BA ，CB 延长线上的点，∴AB CA =，120ABE CAD ∠=∠=︒，在ABE △和CAD 中，AB CA ABE CAD BE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABE △≌CAD ，∴AE CD =．22.【详解】解：如图，OAB 和OBC的等腰三角形，作图如下：，可画出满足条件的形状不同的等腰三角形有OAB 、OAE △、OAD △、OBC 、OBD 共5种．23.【详解】解：原式()22132212a a a a a a +-+=-⋅+-+ ()()213221a a a a a +-=-++- ()()()()22132121a a a a a a --=-+-+-222a a =+-， ∵21a a +=，⊥原式2212==--． 24.【详解】解：321x m x -=+ 3x-m=2（x+1）3x-m=2x+2x=2+m ，∵方程的解是负数，且10x +≠，∴2+m<0且210m ++≠，解得m<-2且m ≠-3．∴满足条件的整数m 的最大值-4．25.【详解】解：设原计划每天植树x 棵，则实际每天植树()120x +%棵， 根据题意可得：()480048004120x x -=+%， 解得200x =，经检验得200x =是分式方程的解，答：原计划每天植树200棵．26.【详解】解：（1）由统计表可知做5个的人数最多，故众数为5；第20和第21个人做的个数都为5，所以中位数为5；（2）选择中位数5个比较合适，因为大部分学生都能达到；（3）11413238000480040++⨯+⨯⨯=（人）， ∴估计该区八年级男生“引体向上”项目测试的合格人数为4800人．27.【详解】解：（1）连接AE ，，⊥26AC AB ==，BC =⊥222AC AB BC =+， ⊥ABC 是直角三角形，90B ∠=︒，⊥DE 垂直平分AC ，⊥AE CE =，在Rt ABE △中，222AE AB BE =+，即222CE AB BE =+，⊥()2223BE BE =+，解得BE =（2）∵DE 垂直平分AC ，M 是DF 上一动点，∴AM CM =，∴CM MN AM MN +=+，若使CM MN +的值最小，则A ，M ，N 共线，且AN CF ⊥，如图，，在ABC 和CNA 中，B ANCACB CAN AC AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ⊥ABC ≌CNA ，⊥AN BC ==．28.【详解】解：（1）①补全图形如下：；②过点O 作OE AB ⊥，，⊥AO 平分PAB ∠，CD AP ⊥，OE AB ⊥，⊥OAC OAE ∠=∠，OC OE =，又⊥AO 为公共边，⊥OAE △≌OAC ，⊥AE AC a ==，同理可得BE BD b ==，⊥AB AE BE a b =+=+；（2）如图，过点O 作EF AP ⊥，，由（1）可知OE OF =，AB AE BF =+，又⊥90CEO DFO ∠=∠=︒，COE DOF ∠=∠， ⊥COE ≌DOF △，⊥CE DF =，⊥AB AE BF AE BD DF AE CE BD AC BD =+=++=++=+．。

2023-2024学年北京市东城区八年级(上)期末数学试卷及答案解析

2023-2024学年北京市东城区八年级(上)期末数学试卷及答案解析

2023-2024学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（3分）若三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的第三边长可以是（）A．3B．6C．9D．122．（3分）在2023年中国国际智能汽车展览会上，吉利控股集团正式宣布中国首款7纳米车规级SoC芯片“龙鹰一号”的量产和供货.7纳米＝0.000000007米，0.000000007用科学记数法表示应为（）A．7×10﹣9B．7×109C．7×10﹣8D．7×1083．（3分）下列计算正确的是（）A．a3•a＝2a4B．（a3）3＝a9C．（ab）3＝a3b D．a8÷a2＝a4 4．（3分）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．（3分）一个多边形的内角和等于外角和的两倍，那么这个多边形是（）A．三边形B．四边形C．五边形D．六边形6．（3分）观察图，用等式表示图中图形面积的运算为（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2C．a（a+b）＝a2+ab D．（a+b）2＝a2+2ab+b27．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝4cm，则BC＝（）A．8B．10C．12D．148．（3分）东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图所示，△ABC 是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路AB、AC的＝S△BCH，则凉亭H是（）距离相等，且使得S△ABHA．∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点B．∠BAC的角平分线与AB边上中线的交点C．∠ABC的角平分线与AC边上中线的交点D．∠ABC的角平分线与BC边上中线的交点9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，在BC的延长线上取点E，连接AE，若∠BAD＝32°，∠BAE＝84°，则∠CAE为（）A．20°B．32°C．38°D．42°10．（3分）如图，∠MAN＝30°，点B是射线AN上的定点，点P是直线AM上的动点，要使△PAB为等腰三角形，则满足条件的点P共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：（本题共16分，每小题2分）11．（2分）如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是．12．（2分）若分式有意义，则实数x的取值范围是．13．（2分）分解因式：x2y﹣4xy2+4y3＝．14．（2分）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，∠B＝∠DEF，AB＝DE，请补充条件：（写出一个即可），使△ABC≌△DEF．15．（2分）如图，在△ABC中，∠B＝39°，点D是AB的垂直平分线与BC的交点，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE的度数是．16．（2分）某“数学乐园”展厅的WIFI密码被设计成如图所示的数学问题．小明在参观时认真思索，输入密码后成功地连接到网络．他输入的密码是．17．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD是∠BAC 的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值为．18．（2分）“回文诗”，是能够回还往复，正读倒读皆成章句的诗篇，是我国古典文学作品中的一种有趣的特殊体裁．如“遥望四边云接水，碧峰千点数鸿轻”，倒过来读，便是“轻鸿数点千峰碧，水接云边四望遥”．在数学中也有这样一类正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”．例如11，343等．（1）在所有三位数中，“回文数”共有个；（2）任意一个四位数的“回文数”一定是的倍数（1除外）．三、解答题（本题共54分，19题4分，20-25题每题5分，26题6分，27-28题每题7分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤19．（4分）尺规作图“三等分角”是在公元前五世纪由古希腊人提出来的难题，该命题已经被数学家证明是不可能的．热爱数学的小明同学设计了一个用尺规三等分90°角的方案，老师认为他的想法是正确的．请你根据小明的做法补全图形，并帮助小明完善证明过程．已知：∠AOB＝90°．求作：射线OC、OD，使得∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝30°．作法：①在射线OB上取一点M，分别以点O、点M为圆心，OM长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C，连接CM，画射线OC；②作∠COM的平分线OD．射线OC、OD为所求作射线．证明：∵，∴△MOC为等边三角形．∴∠＝60°．∵∠AOB＝90°，∴∠AOC＝30°．∵OD平分∠COM，∴∠COD＝∠DOB＝30°．∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝30°．20．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点A坐标为（﹣3，3），顶点B坐标为（﹣5，1），顶点C坐标为（﹣2，1）．（1）作△ABC关于y轴的对称图形△A'B'C'（其中A，B，C的对称点分别是A'，B'，C'）并写出点B'的坐标；（2）画出两个与△ABC全等且有公共顶点C的三角形．（要求：三角形顶点的横、纵坐标都是整数）21．（5分）如图，点D在AB上，点E在AC上，且AD＝AE，BD＝EC，求证：∠B＝∠C．22．（5分）先化简，再求值：，其中x＝﹣1．23．（5分）解分式方程：．24．（5分）已知x2+2x﹣2＝0，求代数式（x﹣3）（x+5）+（x+1）2的值．25．（5分）2023年5月15日，辽宁男篮取得第三次CBA总冠军，辽篮运动员的拼搏精神感染了众多球迷．某校篮球社团人数迅增，急需购进A，B两种品牌篮球，已知A品牌篮球单价比B品牌篮球单价的2倍少48元，采购相同数量的A，B两种品牌篮球分别需要花费9600元和7200元．求A，B两种品牌篮球的单价分别是多少．26．（6分）利用整式的乘法运算法则推导得出：（ax+b）（cx+d）＝acx2+（ad+bc）x+bd．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得acx2+（ad+bc）x+bd ＝（ax+b）（cx+d）．通过观察可把acx2+（ad+bc）x+bd看作以x为未知数，a、b、c、d 为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数ac与常数项bd分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式2x2+11x+12的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则2x2+11x+12＝（x+4）（2x+3）．根据阅读材料解决下列问题：（1）用十字相乘法分解因式：x2+6x﹣27；（2）用十字相乘法分解因式：6x2﹣7x﹣3；（3）结合本题知识，分解因式：20（x+y）2+7（x+y）﹣6．27．（7分）如图1，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝α，点D在AC上，连接BD，在BD的上方作∠BDE＝α，且BD＝ED，连接BE．作点A关于BC的对称点F，连接EF，交BC 于点M．（1）补全图形，连接CF并写出∠BCF＝（用含α的式子表示）；（2）当α＝60°时，如图2，①求证：EM＝FM；②直接写出BM与AD的数量关系：．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和点A，若存在点Q，使得∠PAQ＝90°，且AQ＝AP，则称点Q为点P关于点A的“链垂点”．（1）如图1，①若点A的坐标为（2，1），则点A关于点O的“链垂点”坐标为；②若点B（5，3）为点O关于点C的“链垂点”，且点C位于x轴上方，试求点C的坐标；（2）如图2，图形G是端点为（1，0）和（2，1）的线段，图形H是以点O为中心，各边分别与坐标轴平行且边长为6的正方形，点D为图形G上的动点，对于点E（0，t）（t＜0），存在点D，使得点D关于点E的“链垂点”恰好在图形H上，请直接写出t 的取值范围．2023-2024学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（3分）若三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的第三边长可以是（）A．3B．6C．9D．12【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边”，求得第三边的取值范围，即可得出结果．【解答】解：根据三角形的三边关系，得第三边应大于6﹣3＝3，而小于6+3＝9，故第三边的长度3＜x＜9，这个三角形的第三边长可以是6．故选：B．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式，确定取值范围即可．2．（3分）在2023年中国国际智能汽车展览会上，吉利控股集团正式宣布中国首款7纳米车规级SoC芯片“龙鹰一号”的量产和供货.7纳米＝0.000000007米，0.000000007用科学记数法表示应为（）A．7×10﹣9B．7×109C．7×10﹣8D．7×108【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂．【解答】解：0.000000007＝7×10﹣9．故选：A．【点评】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．（3分）下列计算正确的是（）A．a3•a＝2a4B．（a3）3＝a9C．（ab）3＝a3b D．a8÷a2＝a4【分析】利用同底数幂乘法及除法法则，幂的乘方及积的乘方法则将各式计算后进行判断即可．【解答】解：a3•a＝a4，则A不符合题意；（a3）3＝a9，则B符合题意；（ab）3＝a3b3，则C不符合题意；a8÷a2＝a6，则D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查同底数幂乘法及除法，幂的乘方及积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．4．（3分）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．【解答】解：B，C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；A选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；故选：A．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．5．（3分）一个多边形的内角和等于外角和的两倍，那么这个多边形是（）A．三边形B．四边形C．五边形D．六边形【分析】设这个多边形的边数为n，然后根据多边形的内角和与外角和可得：（n﹣2）•180°＝360°×2，进行计算即可解答．【解答】解：设这个多边形的边数为n，由题意得：（n﹣2）•180°＝360°×2，n﹣2＝4，n＝6，故选：D．【点评】本题考查了多边形的内角和外角，熟练掌握多边形的内角和与外角和是解题的关键．6．（3分）观察图，用等式表示图中图形面积的运算为（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2C．a（a+b）＝a2+ab D．（a+b）2＝a2+2ab+b2【分析】根据长方形和正方形的面积公式，进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：图1的面积＝（a+b）（a﹣b），图2的面积＝a2﹣b2，∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故选：B．【点评】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握长方形和正方形的面积公式是解题的关键．7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝4cm，则BC＝（）A．8B．10C．12D．14【分析】根据等腰三角形的性质求出∠B＝∠C＝30°，根据三角形内角和定理求出∠BAC，求出∠DAC＝∠C，根据等腰三角形的判定得出AD＝DC＝4cm，根据含30°角的直角三角形的性质得出BD＝2AD＝8cm，再求出答案即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝30°，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝120°，∵AB⊥AD，∴∠BAD＝90°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝120°﹣90°＝30°＝∠C，∴AD＝DC，∵AD＝4cm，∴DC＝4cm，在Rt△BAD中，∠B＝30°，∴BD＝2AD＝8cm，∴BC＝BD+DC＝8+4＝12（cm），故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能求出∠B和∠DAC的度数是解此题的关键．8．（3分）东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图所示，△ABC 是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路AB、AC的＝S△BCH，则凉亭H是（）距离相等，且使得S△ABHA．∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点B．∠BAC的角平分线与AB边上中线的交点C．∠ABC的角平分线与AC边上中线的交点D．∠ABC的角平分线与BC边上中线的交点【分析】根据角平分线的性质定理可得点H在∠BAC的角平分线上，再根据三角形的中线性质可得△ABE的面积＝△BCE的面积，△AHE的面积＝△CHE的面积，然后利用等式的性质可得△ABH的面积＝△CBH的面积，即可解答．【解答】解：如图：∵AD平分∠BAC，点H在AD上，∴点H到AB、AC的距离相等，∵BE是AC边上的中线，∴△ABE的面积＝△BCE的面积，△AHE的面积＝△CHE的面积，∴△ABE的面积﹣△AHE的面积＝△BCE的面积﹣△CHE的面积，∴△ABH的面积＝△CBH的面积，∴凉亭H是∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点，故选：A．【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握三角形的角平分线和中线的性质是解题的关键．9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，在BC的延长线上取点E，连接AE，若∠BAD＝32°，∠BAE＝84°，则∠CAE为（）A．20°B．32°C．38°D．42°【分析】先利用角的和差关系可得∠DAE＝52°，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得∠BAD＝∠CAD＝32°，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：∵∠BAD＝32°，∠BAE＝84°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝52°，∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠BAD＝∠CAD＝32°，∴∠CAE＝∠DAE﹣∠CAD＝52°﹣32°＝20°，故选：A．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质是解题的关键．10．（3分）如图，∠MAN＝30°，点B是射线AN上的定点，点P是直线AM上的动点，要使△PAB为等腰三角形，则满足条件的点P共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】有两个角相等的三角形叫做等腰三角形，根据此条件可找出符合条件的点P，根据角的不同应该能够找到三个点构成等腰三角形．【解答】解：如图所示，满足条件的点P共有4个．故选：D．【点评】本题考查等腰三角形的判定，有两个角相等的三角形是等腰三角形，根据此判定定理可找符合条件的P点．二、填空题：（本题共16分，每小题2分）11．（2分）如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是三角形具有稳定性．【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．【解答】解：这样做的数学依据是三角形具有稳定性，故答案为：三角形具有稳定性．【点评】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．12．（2分）若分式有意义，则实数x的取值范围是x≠﹣1．【分析】根据分式有意义的条件得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：根据题意，得x+1≠0，解得x≠﹣1；故答案为：x≠﹣1．【点评】本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．13．（2分）分解因式：x2y﹣4xy2+4y3＝y（x﹣2y）2．【分析】原式提取y，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝y（x2﹣4xy+4y2）＝y（x﹣2y）2，故答案为：y（x﹣2y）2【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14．（2分）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，∠B＝∠DEF，AB＝DE，请补充条件：∠A＝∠D（或∠ACB＝∠DFE或BC＝EF或BE＝CF）（写出一个即可），使△ABC≌△DEF．【分析】在已知条件中有一对角相等和一组边相等，根据全等三角形的判定方法可以补充∠B和∠DEF的另一边相等，也可补充另一组角相等．【解答】解：∵∠B＝∠DEF，AB＝DE，∴可再补充∠A＝∠D，利用ASA可以判定△ABC≌△DEF，也可以补充∠ACB＝∠DFE，利用AAS；也可补充BC＝EF，利用SAS；也可补充BE＝CF，从而可得到BC＝EF，利用SAS，故答案为：∠A＝∠D（或∠ACB＝∠DFE或BC＝EF或BE＝CF）．【点评】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法SSS、SAS、ASA、AAS和HL是解题的关键．15．（2分）如图，在△ABC中，∠B＝39°，点D是AB的垂直平分线与BC的交点，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE的度数是24°．【分析】由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到∠BAD＝39°，由三角形外角的性质和三角形内角和定理求得∠ADC＝78°，∠ADB＝102°，根据翻折的性质求得∠ADE＝102°，进而求得∠CDE的度数．【解答】解：∵点D是AB的垂直平分线与BC的交点，∴DA＝DB，∴∠BAD＝∠B＝39°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝78°，∠ADB＝180°﹣∠ADC＝102°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，∴∠ADE＝∠ADB＝102°，∴∠CDE＝∠ADE﹣∠ADC＝102°﹣78°＝24°．故答案为：24°．【点评】此题考查翻折的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理和外角的性质，解题的关键是掌握翻折的性质和线段垂直平分线的性质．16．（2分）某“数学乐园”展厅的WIFI密码被设计成如图所示的数学问题．小明在参观时认真思索，输入密码后成功地连接到网络．他输入的密码是2024．【分析】将方括号内的代数式进行化简即可解决问题．【解答】解：由题知，[x15y2z3]＝1523，[x2y2z•x3y]＝[x5y3z]＝531，所以等号右边的数字依次为等号左边方括号内最简代数式中x，y，z的指数；又因为（x5）6y4z5÷x10y2z＝x20y2z4，所以[（x5）6y4z5÷x10y2z]＝2024．故答案为：2024．【点评】本题考查数字变化的规律，能通过化简代数式发现等号左边的数字与左边括号内代数式指数之间的关系是解题的关键．17．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD是∠BAC 的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值为 2.4．【分析】如图，作点Q关于AD的对称点Q′，连接PQ′，过点C作CH⊥AB于点H．利用垂线段最短解决问题即可．【解答】解：如图，作点Q关于AD的对称点Q′，连接PQ′，CQ′，过点C作CH ⊥AB于点H．∵AD是△ABC的角平分线，Q与Q'关于AD对称，∴点Q′在AB上，PC+PQ＝PC+PQ′≥CH，∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，•AC•BC＝•AB•CH，∴CH＝2.4，∴CP+PQ≥2.4，∴PC+PQ的最小值为2.4．故答案为：2.4．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握角平分线的性质，找到C点关于AD的对称点，再由垂线段最短是求解的关键．18．（2分）“回文诗”，是能够回还往复，正读倒读皆成章句的诗篇，是我国古典文学作品中的一种有趣的特殊体裁．如“遥望四边云接水，碧峰千点数鸿轻”，倒过来读，便是“轻鸿数点千峰碧，水接云边四望遥”．在数学中也有这样一类正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”．例如11，343等．（1）在所有三位数中，“回文数”共有90个；（2）任意一个四位数的“回文数”一定是11的倍数（1除外）．【分析】（1）百位数字和个位数字相同时，三位数是回文数，据此可得答案；（2）设四位数的回文数为，由1000a+100b+10b+a＝1001a+110b＝11（91a+10b），可知四位数的回文数是11的倍数．【解答】解：（1）当百位数字和个位数字相同时，三位数是回文数，当百位数字为1时，有10个回文数，同理百位数字为2时，有10个回文数…，∴三位数的回文数共有90个；故答案为：90；（2）证明：设四位数的回文数为，∵1000a+100b+10b+a＝1001a+110b＝11（91a+10b），∴1000a+100b+10b+a是11的倍数，即四位数的回文数是11的倍数，故答案为：11．【点评】本题考查整式的加减，涉及新定义，解题的关键是理解回文数的概念．三、解答题（本题共54分，19题4分，20-25题每题5分，26题6分，27-28题每题7分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤19．（4分）尺规作图“三等分角”是在公元前五世纪由古希腊人提出来的难题，该命题已经被数学家证明是不可能的．热爱数学的小明同学设计了一个用尺规三等分90°角的方案，老师认为他的想法是正确的．请你根据小明的做法补全图形，并帮助小明完善证明过程．已知：∠AOB＝90°．求作：射线OC、OD，使得∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝30°．作法：①在射线OB上取一点M，分别以点O、点M为圆心，OM长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C，连接CM，画射线OC；②作∠COM的平分线OD．射线OC、OD为所求作射线．证明：∵OM＝OC＝CM，∴△MOC为等边三角形．∴∠COB＝60°．∵∠AOB＝90°，∴∠AOC＝30°．∵OD平分∠COM，∴∠COD＝∠DOB＝30°．∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝30°．【分析】（1）根据要求作出图形；（2）证明△COM是等边三角形，可得结论．【解答】（1）解：图形如图所示：（2）证明：∵OM＝OC＝CM，∴△MOC为等边三角形．∴∠COB＝60°．∵∠AOB＝90°，∴∠AOC＝30°．∵OD平分∠COM，∴∠COD＝∠DOB＝30°．∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝30°．故答案为：OM＝OC＝CM，∠COB．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．20．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点A坐标为（﹣3，3），顶点B坐标为（﹣5，1），顶点C坐标为（﹣2，1）．（1）作△ABC关于y轴的对称图形△A'B'C'（其中A，B，C的对称点分别是A'，B'，C'）并写出点B'的坐标；（2）画出两个与△ABC全等且有公共顶点C的三角形．（要求：三角形顶点的横、纵坐标都是整数）【分析】（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案．（2）根据全等三角形的判定画图即可．【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求．点B'的坐标为（5，1）．（2）如图，△DBC和△DEC即为所求（答案不唯一）．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、全等三角形的判定，熟练掌握轴对称的性质、全等三角形的判定是解答本题的关键．21．（5分）如图，点D在AB上，点E在AC上，且AD＝AE，BD＝EC，求证：∠B＝∠C．【分析】证△ABE≌△ACD（SAS），再由全等三角形的性质即可得出结论．【解答】证明：∵AD＝AE，BD＝EC，∴AD+BD＝AE+EC，即AB＝AC，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠B＝∠C．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．22．（5分）先化简，再求值：，其中x＝﹣1．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可．【解答】解：原式＝[﹣]÷＝•＝，当x＝﹣1时，原式＝＝﹣．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．23．（5分）解分式方程：．【分析】利用解分式方程的步骤解方程即可．【解答】解：原方程去分母得：x＝2x﹣1+3，移项，合并同类项得：﹣x＝2，系数化为1得：x＝﹣2，检验：将x＝﹣2代入（2x﹣1）得﹣4﹣1＝﹣5≠0，故原方程的解为x＝﹣2．【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．24．（5分）已知x2+2x﹣2＝0，求代数式（x﹣3）（x+5）+（x+1）2的值．【分析】先利用完全平方公式，多项式乘多项式的法则进行计算，然后把x2+2x＝2代入化简后的式子进行计算，即可解答．【解答】解：（x﹣3）（x+5）+（x+1）2＝x2+5x﹣3x﹣15+x2+2x+1＝2x2+4x﹣14，∵x2+2x﹣2＝0，∴x2+2x＝2，∴当x2+2x＝2时，原式＝2（x2+2x）﹣14＝2×2﹣14＝4﹣14＝﹣10．【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．25．（5分）2023年5月15日，辽宁男篮取得第三次CBA总冠军，辽篮运动员的拼搏精神感染了众多球迷．某校篮球社团人数迅增，急需购进A，B两种品牌篮球，已知A品牌篮球单价比B品牌篮球单价的2倍少48元，采购相同数量的A，B两种品牌篮球分别需要花费9600元和7200元．求A，B两种品牌篮球的单价分别是多少．【分析】设B品牌篮球单价为x元，由题意可得A品牌篮球单价为（2x﹣48）元，根据“采购相同数量的A，B两种品牌篮球分别需要花费9600元和7200元”，列出相应的方程，解答即可．【解答】解：设B品牌篮球单价为x元，则A品牌篮球单价为（2x﹣48）元，由题意，可得：，解得：x＝72，经检验，x＝72是所原方程的解，所以A品牌篮球的单价为：2×72﹣48＝96（元）．答：A品牌篮球单价为96元，B品牌篮球单价为72元．【点评】本题主要考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．26．（6分）利用整式的乘法运算法则推导得出：（ax+b）（cx+d）＝acx2+（ad+bc）x+bd．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得acx2+（ad+bc）x+bd ＝（ax+b）（cx+d）．通过观察可把acx2+（ad+bc）x+bd看作以x为未知数，a、b、c、d 为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数ac与常数项bd分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式2x2+11x+12的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则2x2+11x+12＝（x+4）（2x+3）．根据阅读材料解决下列问题：（1）用十字相乘法分解因式：x2+6x﹣27；（2）用十字相乘法分解因式：6x2﹣7x﹣3；（3）结合本题知识，分解因式：20（x+y）2+7（x+y）﹣6．【分析】（1）（2）（3）仿照题例，找到满足条件的a、b、c、d，分解即可．【解答】解：（1）x2+6x﹣27＝（x+9）（x﹣3）；（2）6x2﹣7x﹣3＝（3x+1）（2x﹣3）；（3）20（x+y）2+7（x+y）﹣6＝[4（x+y）+3][5（x+y）﹣2]＝（4x+4y+3）（5x+5y﹣2）．【点评】本题考查了整式的因式分解，看懂题例掌握“十字相乘法”是解决本题的关键．27．（7分）如图1，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝α，点D在AC上，连接BD，在BD的上方作∠BDE＝α，且BD＝ED，连接BE．作点A关于BC的对称点F，连接EF，交BC 于点M．（1）补全图形，连接CF并写出∠BCF＝90°﹣（用含α的式子表示）；（2）当α＝60°时，如图2，①求证：EM＝FM；②直接写出BM与AD的数量关系：AD＝2BM．【分析】（1）根据题意补全图形，由AB＝BC，∠ABC＝α，可得∠ACB＝∠BAC＝90°﹣，而A，F关于BC对称，故∠BCF＝∠ACB＝90°﹣；（2）①连接AE，AM，AF，设AF交BC于H，由α＝60°，AB＝BC，BD＝ED，知△ABC和△BDE是等边三角形，即可证明△AEB≌△CDB（SAS），得∠EAB＝∠DCB＝60°，从而∠EAC+∠ACB＝180°，AE∥BC，由A，F关于BC对称，有AF⊥BC，AM＝FM，即可得∠AEM＝90°﹣∠MFA＝90°﹣∠MAF＝∠EAM，知EM＝AM＝FM；②在MC上取点N，使MN＝BM，连接FN，证明△BME≌△NMF（SAS），可得BE＝NF，∠EBM＝∠FNM，即得BD＝BE＝NF，而∠EBM＝∠EBA+∠ABC＝∠EBA+60°，∠FNM＝∠NFC+∠BCF＝∠NFC+60°，有∠EBA＝∠NFC，∠DBC＝∠NFC，可证△NCF≌△DCB（ASA），得CN＝CD，有BN＝AD，从而得AD＝2BM．【解答】（1）解：补全图形如下：∵AB＝BC，∠ABC＝α，∴∠ACB＝∠BAC＝（180°﹣α）÷2＝90°﹣，∵A，F关于BC对称，∴∠BCF＝∠ACB＝90°﹣；故答案为：90°﹣；（2）①证明：连接AE，AM，AF，设AF交BC于H，如图：∵α＝60°，AB＝BC，BD＝ED，∴△ABC和△BDE是等边三角形，∴BD＝BE，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝∠EBD＝60°，∴∠ABC﹣∠ABD＝∠EBD﹣∠ABD，即∠DBC＝∠EBA，在△AEB和△CDB中，，∴△AEB≌△CDB（SAS），∴∠EAB＝∠DCB＝60°，∴∠EAC＝∠EAB+∠BAC＝120°，∴∠EAC+∠ACB＝180°，∴AE∥BC，∵A，F关于BC对称，∴AF⊥BC，AM＝FM，∴AF⊥AE，∠MAF＝∠MFA，∴∠AEM＝90°﹣∠MFA＝90°﹣∠MAF＝∠EAM，∴EM＝AM，∴EM＝FM；②解：AD＝2BM，理由如下：在MC上取点N，使MN＝BM，连接FN，如图：由①知，EM＝FM，∠EBA＝∠DBC，∵∠BME＝∠NMF，∴△BME≌△NMF（SAS），∴BE＝NF，∠EBM＝∠FNM，∵△BDE是等边三角形，∴BD＝BE＝NF，∵∠EBM＝∠EBA+∠ABC＝∠EBA+60°，∠FNM＝∠NFC+∠BCF＝∠NFC+60°，∴∠EBA＝∠NFC，∴∠DBC＝∠NFC，∵A，F关于BC对称，∴CF＝AC＝BC，∠NCF＝∠DCB，∴△NCF≌△DCB（ASA），∴CN＝CD，∵BC＝AC，∴BC﹣CN＝AC﹣CD，即BN＝AD，∵MN＝BM，∴BN＝2BM，∴AD＝2BM．【点评】本题考查几何变换综合应用，设计全等三角形判定与性质，等边三角形判定与性质，平行线的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和点A，若存在点Q，使得∠PAQ＝90°，且AQ＝AP，则称点Q为点P关于点A的“链垂点”．（1）如图1，①若点A的坐标为（2，1），则点A关于点O的“链垂点”坐标为（1，﹣2）或（﹣1，2）；②若点B（5，3）为点O关于点C的“链垂点”，且点C位于x轴上方，试求点C的坐标；（2）如图2，图形G是端点为（1，0）和（2，1）的线段，图形H是以点O为中心，各边分别与坐标轴平行且边长为6的正方形，点D为图形G上的动点，对于点E（0，t）（t＜0），存在点D，使得点D关于点E的“链垂点”恰好在图形H上，请直接写出t 的取值范围．【分析】（1）利用“链垂点”的定义，画出图形，再利用直角三角形的性质和全等三角形的性质解答即可；（2）设点C的坐标为（x，y），利用“链垂点”的定义和直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质列出关于x，y的方程组解答即可；（3）利用待定系数法求得端点为（1，0）和（2，1）的线段所在直线的解析式，设得到点D的坐标为（m，m﹣1），则1≤m≤2，利用（2）中的方法求得t与m的关系式，进而得到关于t的不等式，解不等式即可得出结论．【解答】解：（1）由题意：点E，F为点A关于点O的“链垂点”，如图，∵点A的坐标为（2，1），∴OG＝2，AG＝1．∵点E，F为点A关于点O的“链垂点”，∴∠AOE＝∠AOF＝90°，OE＝OF＝OA，∴将OA顺时针转90°得到OE，将OA逆时针转90°得到OF，∴△AOG≌△EOK≌△FOH，∴OG＝OK＝OH＝2，AG＝EK＝FH＝1，∴E（1，﹣2），F（﹣1，2）．故答案为：（1，﹣2）或（﹣1，2）；（2）点B（5，3）为点O关于点C的“链垂点”，且点C位于x轴上方，如图，。

北京市朝阳区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)

北京市朝阳区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)

北京市朝阳区2023~2024学年度第一学期期末检测八年级数学试卷（选用）2024.1（考试时间90分钟 满分100分）学校______班级______姓名______考号______考生须知1.本试卷共6页，共三道大题，26道小题.2.在试卷和答题卡上认真填写学校、班级、姓名、考号.3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4.在答题卡上，选择题，作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.5.考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.一、选择题（共24分，每题3分）下面1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1.下列图形中，不是轴对称图形的是（A ）（B ）（C ）（D ）2.下列计算正确的是（A ）（B ）（C ）（D ）3.2023年5月20日是第24个世界计量日，在湖北省武汉市举办了世界计量日中国主场活动，会上发布了四个国际单位制新词头的中文名称：容、柔，昆、亏.容表示的数值为，柔表示的数值为，昆表示的数值为，亏表示的数值为.一个电子的质量约为克，可以表示为（A ）91柔克（B ）0.91柔克（C ）91亏克（D ）0.091亏克4.在多项式，，，中，完全平方式有（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个5.右图中的两个三角形全等，则等于（A ）58°（B ）72°（C ）40°（D ）50°2861x x x ÷=33a a a ⋅=()326abab =221a a-+=27102710-30103010-289.110-⨯244a a -+214a +2441b b +-22a ab b ++1∠6.如图，点P 在的内部，点C ，D 分别在，上，且，只添加一个条件即可证明和全等，这个条件不可以是（A ）（B ）平分（C ）平分（D ）7.在平面直角坐标系中，点经过某些运动得到点，对于点A 的运动描述正确的是（A ）向下平移7个单位长度（B ）向右平移5个单位长度（C ）先向上平移7个单位长度，再关于x 轴作轴对称（D ）先关于x 轴作轴对称，再向下平移5个单位长度8.已知的三边长分别为a ，b ，c ，且，以下列各式的值为边长，其中不一定能形成三角形的是（A ），，（B ），，（C ），，（D），，二、填空题（共24分，每题3分）9.分解因式：_______.10.当_______时，分式的值为0.11.图中x 的值为_______.12.如图，在四边形中，，，，若平分，则四边形的面积为_______.13.如图，在平面直角坐标系中，的斜边在x 轴上，，若点A 的横坐标为1，则点B 的坐标为_______.14.若分式的值为整数，则x 的整数值为_______.15.在一张凸n 边形纸片上剪去一个三角形纸片，得到一个内角和为720°的凸多边形纸片，则n 的值为_______.AOB ∠OA OB OC OD =OPC △OPD △PC PD =OP AOB ∠PO CPD∠90OCP ODP ∠=∠=︒xOy ()5,6A --()5,1A '--ABC △a b c <<1a +1b +1c +2a 2b 2c2a 2b 2c1a b -+1b c -+1c a -+3ab ab -=x =11x x +-ABCD 90B ∠=︒4AD BC ==6AB =AC BAD ∠ABCD xOy Rt OAB △OB 30ABO ∠=︒421x +16.在中，，D ，E 是边上的两点，且，有下列四个推断：①若是的高，则可能是的中线；②若是的中线，则不可能是的高；③若是的角平分线，则可能是的中线；④若是的高，则不可能是的角平分线.上述推断中，所有正确结论的序号是_______.三、解答题（共52分，第17-23题，每题5分，第24题4分，第25题6分，第26题7分）17.计算：.18.计算：.19.解分式方程：.20.化简：，并选择一个适当的t 的值代入求值.21.已知：如图，是等边三角形，D 是上一点，，.求证：是等边三角形.22.如图，在锐角三角形中，D 为边上一点，，在上求作一点P ，使得.（1）通过尺规作图确定点P 的位置（保留作图痕迹）；（2）证明满足此作图的点P 即为所求.23.某项研究表明在智能手机上输入短信或其他文字信息时，使用语音输入的速度约为键盘输入速度的3倍，该研究的测试者在手机上输入300个单词，使用语音输入比键盘输入平均快2.5分钟，求测试者使用语音输入平均每分钟输入多少个单词.24.下面是一些方程和它们的解.的解为，；ABC △AB AC <BC BD BE <AD ABC △AE ABC △AD ABC △AE ABC △AD ABC △AE ABC △AD ABC △AE ABC △()32347a a aa ⋅+-÷()()()22222x y x y x y y -----221111x x x x --=--2222421112t t t t t t t++-÷+--+ABC △AC ABD ACE ∠=∠AE BC ∥ADE △ABC BC B BAD CAD ∠=∠=∠AD APC ADB ∠=∠1122x x +=+12x =212x =的解为，；的解为，；……根据上面的方程和它们的解所反映的规律，解答下面问题：（1）的解为_______；（2）关于x 的方程的解为_______；（3）关于x 的方程的解为_______.25.如图，在中，D 是上一点（不与点B ，C 重合），将沿直线翻折得到，将平移得到（点B 与点E 为对应点），连接.（1）求证：；（2）连接，若在点D 的运动过程中，始终有，写出需要满足的条件，并证明.26.通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量.某小组研究了如何用清水漂洗衣服效果更好，部分内容如下，请补充完整：实验研究：先准备几件相同的洗过一次并拧干（存留一些污水）的衣服，把每件衣服分别用一定量的清水浸泡，经过充分搓洗，使清水与衣服上存留的污水混合均匀，然后拧干，视为一次漂洗.称重、记录每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例，如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的.在多次实验后，通过对收集的数据进行分析，该小组决定使用20斤清水，采用三种不同的方案，对每件衣服分别进行漂洗，并假设每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水.数据计算：对三种漂洗方案进行计算、比较.方案一：采用一次漂洗的方式.将20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原来的______；1133x x +=+13x =213x =1144x x +=+14x =214x =1155x x +=+11x n x n+=+21111x x a x a -+=+--ABC △BC DA BC DE BD EF DF ADB DEF ≌△△CF AD CF =ABC △111方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同.如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的______；方案三：采用两次漂洗的方式，且两次用水量相同.每次用10斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的______.实验结论：对比可知，在这三种方案中，方案______的漂洗效果最好（填“一”“二”或“三”）.推广证明：将脏衣服用洗衣液清洗后，再用清水进行漂洗，假设每次拧干后还存留斤污水.现用斤清水漂洗（方案二中第一次用水量为x 斤），证明上面实验中得到的结论.()0a a >()0m m >北京市朝阳区2023~2024学年度第一学期期末检测八年级数学试卷参考答案及评分标准2024.1一、选择题（共24分，每题3分）题号12345678答案DABADCCC二、填空题（共24分，每题3分）题号9101112答案6020题号13141516答案0或5或6或7①②③三、解答题（共52分，第17-23题，每题5分，第24题4分，第25题6分，第26题7分）17.解：18.解：.19.解：去分母，得.解得.经检验，是原分式方程的解.所以原分式方程的解是20.解：()()11ab b b +-1-()4,01-()32347a a aa ⋅+-÷()5127a a a =+-÷55a a =-0=()()()22222x y x y x y y -----()2222244322x xy y x xy y y =-+--+-2222244322x xy y x xy y y =-+-+--xy =-()()21211x x x x +--=-2x =2x =2x =2222421112t t t t t t t ++-÷+--+()()()()222121112t t tt t t t +-=-⋅++-+.答案不唯一.如：当时，原式=2.21.证明：是等边三角形，，.，..，..是等边三角形.22.法一：（1）如图所示.（2）证明：由作图可知..，.，，.点P 即为所求.法二：（1）如图所示.（2）证明：由作图可知.()21211t t t t -=-++21t =+0t = ABC △∴AB AC =60BAC ACB ∠=∠=︒ AE BC ∥∴60CAE ACB ∠=∠=︒∴BAD CAE ∠=∠ ABD ACE ∠=∠∴ABD ACE ≌△△∴AD AE =∴ADE △AP CP =∴PAC PCA ∠=∠ B BAD CAD ∠=∠=∠∴B BAD CAD PCA ∠=∠=∠=∠ 180APC CAD PCA ∠+∠+∠=︒180ADB B BAD ∠+∠+∠=︒∴APC ADB ∠=∠∴CP CD =.，，.点P 即为所求.23.解：设测试者使用键盘输入平均每分钟输入x 个单词，则使用语音输入平均每分钟输入个单词.由题意，得.解得.经检验，是原分式方程的解，且符合题意.所以.答：测试者使用语音输入平均每分钟输入240个单词.24.解：（1），；（2），；（3），.25.（1）证明：将沿直线翻折得到，，.将平移得到（点B 与点E 为对应点），，....（2）需要满足的条件为.证明：此时图形如图所示.由（1）可知，.，，.∴CPD CDP ∠=∠ 180APC CPD ∠+∠=︒180ADB CDP ∠+∠=︒∴APC ADB ∠=∠∴3x 3003002.53x x-=80x =80x =3240x =15x =215x =1x n =21x n =1x a =21a x a =- DA BC DE ∴AD ED =ADB EDB ∠=∠ BD EF ∴BD EF =BD EF ∥∴E EDB ∠=∠∴ADB E ∠=∠∴ADB DEF ≌△△ABC △AB AC =ADB DEF≌△△∴AB DF =B DFE ∠=∠ AB AC =∴AC DF =B ACB ∠=∠，....26.数据计算：；；.实验结论：三.推广证明：依题意可得，选择方案一进行一次漂洗后，衣服中存有的污物是原来的，可化为；选择方案二进行两次漂洗后，衣服中存有的污物是原来的，整理得；选择方案三进行两次漂洗后，衣服中存有的污物是原来的，整理得；因为三个分式的分子，分母都是正数，且分子相同，所以要判断三个分式值的大小，只需比较分母的大小.因为，且，，所以.所以.所以.即方案二比方案一的漂洗效果好.因为，且，所以.所以.BD EF ∥∴DFE FDC ∠=∠∴ACB FDC ∠=∠∴ACD FDC ≌△△∴AD CF =12111171121a a m +22a a am+()a a a x a m x ⋅++-222a a am mx x ++-222a m a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2224a ma am ++()()2222a am mx x a am mx x x m x ++--+=-=-m x >0x >()0x m x ->222a am mx x a am ++->+222a a a m a am mx x >+++-()2222222442m m m a am a am mx x mx x x ⎛⎫++-++-=-+=- ⎪⎝⎭2m x ≠202m x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭22224m a am a am mx x ++>++-所以.即方案三比方案二的漂洗效果好.综上，在这三种方案中，方案三的漂洗效果最好.2222224a a m a am mx xa am >++-++。

2022-2023学年北京市顺义区八年级(上)期末数学试卷及答案解析

2022-2023学年北京市顺义区八年级(上)期末数学试卷及答案解析

2022-2023学年北京市顺义区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.1．（2分）4的算术平方根是（）A．2B．±2C．D．162．（2分）利用直角三角板，作△ABC的高线，下列作法正确的是（）A．B．C．D．3．（2分）下列各数中，无理数是（）A．0B．C．D．4．（2分）下列事件中，属于随机事件的是（）A．太阳从西边升起来了B．张叔叔申请了北京市小客车购买指标，在申请后的第一次“摇号”时就中签C．任意投掷一枚骰子，面朝上的点数是7D．用长度分别是2cm，4cm，5cm的三条线段首尾顺次相接可组成一个三角形5．（2分）甲骨文是中国的一种古代文字，是汉字的早期形式，有时候也被认为是汉字的书体之一，也是现存中国王朝时期最古老的一种成熟文字．如图为甲骨文对照表中的四个字，若把这四个甲骨文的文字抽象为几何图形，其中最接近轴对称图形的是（）A．B．C．D．6．（2分）如果把分式中的m，n都扩大为原来的2倍，那么分式的值（）A．扩大为原来的2倍B．缩小为原来的C．扩大为原来的4倍D．不变7．（2分）解方程，去分母后正确的是（）A．3（x+1）＝1﹣x（x﹣1）B．3（x+1）＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x﹣1）C．3（x+1）＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x+1）D．3（x﹣1）＝1﹣x（x+1）8．（2分）如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）9．（2分）若分式值为0，则x的值为．10．（2分）如果是二次根式，那么x的取值范围是．11．（2分）计算：＝．12．（2分）如图，AC与BD相交于点O，OA＝OC，那么要得到△AOD≌△COB，可以添加一个条件是（填一个即可）．13．（2分）居家上网课期间，小燕在学习之余与妈妈要玩一次转盘游戏，选项与所占比例如图所示，则她不看电视的可能性为．14．（2分）如图是某路口处草坪的一角，当行走路线是A→C→B时，有人为了抄近道而避开路的拐角∠ACB（∠ACB＝90°），于是在草坪内走出了一条不该有的捷径路AB．某学习实践小组通过测量可知，AC的长约为6米，BC的长约为8米，为了提醒居民爱护草坪，他们想在A，B处设立“踏破青白可惜，多行数步无妨”的提示牌．则提示牌上的“多行数步”是指多行米．15．（2分）对于两个非零的实数a，b，定义新运算a※b＝﹣．例如：4※3＝﹣＝．则2※（﹣2）＝；若2※（2x﹣1）＝1，则x的值为．16．（2分）如图，，∠AOP＝45°，点B在射线OP上，若△AOB为钝角三角形，则线段OB长的取值范围是．三、解答题（共14道小题，17，18，19，25每小题4分，20-24，26，28，29每小题4分，27，30每小题4分，共68分）17．（4分）计算：（1）；（2）．18．（4分）计算：（1）；（2）．19．（4分）计算：．20．（5分）计算：．21．（5分）计算：．22．（5分）已知：如图，AB＝DE，BC＝EF，AD＝CF．求证：∠B＝∠E．23．（5分）先化简，再求值：，其中．24．（5分）下面是晓东设计的“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线l的垂线，使其经过点P．作法：如图，①任取一点Q，使点Q与点P在直线l两侧；②以P为圆心，PQ长为半径作弧交直线l于A，B两点；③分别以A，B为圆心，AP长为半径作弧，两弧在直线l下方交于点C；④作直线PC．所以直线PC为所求作的垂线．根据晓东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接PA，PB，AC，BC，∵PA＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上（）（填推理的依据）．∵，∴点C在线段AB的垂直平分线上．∴直线PC为线段AB的垂直平分线．即PC⊥l．25．（4分）如图所示，有两个质地均匀且可以转动的转盘，转盘一被分成6个全等的扇形区域，转盘二被分成8个全等的扇形区域．在转盘的适当地方涂上灰色，末涂色部分为白色．用力转动转盘，请你通过计算判断，当转盘停止后哪一个转盘指针指向灰色的可能性大．26．（5分）一些数按某种规律排列如下：（1）根据排列的规律，写出第5行从左数第4个数；（2）写出第n（n是正整数）行，从左数第n+1个数（用含n的代数式表示）．27．（6分）数学课上，同学们兴致勃勃地探讨着利用不同画图工具画角的平分线的方法．小惠说：如图，我用两把完全相同的直尺可以作出角的平分线．画法如下：（1）第一把直尺按图1所示放置，使一条边和射线OB对齐；（2）第二把直尺按图2所示放置，使一条边和射线OA对齐；（3）如图3，两把直尺的另一条边相交于点P，作射线OP．射线OP是∠AOB的平分线．小旭说：我用两个直角三角板可以画角的平分线．小宇说：只用一把刻度尺就可以画角的平分线．…请你也参与探讨，解决以下问题：（1）小惠的做法正确吗？如果正确，请说明依据，如果不正确，请说明理由；（2）请你参考小旭或小宇的思路，或根据自己的思路，画出图4中∠CDE的平分线，并简述画图的过程．28．（5分）某中学为配合开展“垃圾分类进校园”活动，新购买了一批不同型号的垃圾桶，学校先用2400元购买了一批给班级使用的小号垃圾桶，再用3200元购买了一批放在户外使用的大号垃圾桶，已知一个大号垃圾桶的价格是小号垃圾桶的4倍．且大号垃圾桶购买的数量比小号垃圾桶少50个，求一个小号垃圾桶的价格．29．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥AB交BC于点E，DF⊥AB，垂足为点F．（1）求证：BE＝DE；（2）若DE＝2，，求BD的长．30．（6分）如图，△ABC为等边三角形，在∠BAC内作射线AP（∠BAP＜30°），点B关于射线AP的对称点为点D，连接AD，作射线CD交AP于点E，连接BE．（1）依题意补全图形；（2）设∠BAP＝α，求∠BCE的大小（用含α的代数式表示）；（3）用等式表示EA，EB，EC之间的数量关系，并证明．2022-2023学年北京市顺义区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.1．【分析】直接根据算术平方根的定义即可得出结论．【解答】解：22＝4，∴4的算术平方根是2．故选：A．【点评】本题考查的是算术平方根，熟知一个正数正的平方根叫算术平方根是解题的关键．2．【分析】根据高线的定义即可得出结论．【解答】解：A、B、D均不是高线．故选：C．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．3．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．据此解答即可．【解答】解：A．0是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；B．是无理数，故此选项符合题意；C．是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；D．＝3，3是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查了无理数的定义，掌握带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数是关键．4．【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答．【解答】解：A、太阳从西边升起来了，是不可能事件，故A不符合题意；B、张叔叔申请了北京市小客车购买指标，在申请后的第一次“摇号”时就中签，是随机事件，故B符合题意；C、任意投掷一枚骰子，面朝上的点数是7，是不可能事件，故C不符合题意；D、用长度分别是2cm，4cm，5cm的三条线段首尾顺次相接可组成一个三角形，是必然事件，故D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．5．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：A．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．6．【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．【解答】解：＝，故选：D．【点评】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．7．【分析】分式方程左右两边同乘（x+1）（x﹣1）去分母得到结果，即可作出判断．【解答】解：去分母得：3（x+1）＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x﹣1）．故选：B．【点评】此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．8．【分析】分AB为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数．【解答】解：当AB为腰时，点C的个数有2个；当AB为底时，点C的个数有1个，故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题．二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）9．【分析】直接利用分式的值为零则分子为零进而得出答案．【解答】解：若分式值为0，则x+1＝0且x≠0，解得：x＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握分式的值为零则分子为零是解题关键．10．【分析】二次根式要求被开方数是非负数，即x﹣3≥0，从而解得x的取值范围．【解答】解：∵是二次根式，∴x﹣3≥0，∴x≥3．故答案为：x≥3．【点评】本题考查二次根式，解题的关键是掌握二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，要特别注意a≥0这个条件．11．【分析】根据分式的乘除运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝•（﹣）＝，故答案为：．【点评】本题考查分式的乘除运算，解题的关键是熟练运用分式的乘除运算法则，本题属于基础题型．12．【分析】本题根据题目条件，图形条件可知，OA＝OC，∠AOD＝∠COB，只需要添加一组对应边相等（即OD＝OB），或者对应角相等即可．【解答】解：OD＝OB，OA＝OC，∠AOD＝∠COB，∴△AOD≌△COB（SAS）．故答案为：OD＝OB．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．13．【分析】根据各项百分比之和为1可得不看电视的可能性大小．【解答】解：由图知，她不看电视的可能性为1﹣15%＝85%，故答案为：85%．【点评】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握随机事件发生的可能性（概率）的计算方法．14．【分析】由勾股定理求出AB＝10米，即可解决问题．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6米，BC＝8米，∴AB＝＝＝10（米），∴AC+BC﹣AB＝6+8﹣10＝4（米），∴他们只为少走4米的路，故答案为：4．【点评】本题主要考查勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题的关键．15．【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值；已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值．【解答】解：根据题中的新定义得：2※（﹣2）＝﹣﹣＝﹣1；2※（2x﹣1）＝1化简得：﹣＝1，区分得：2﹣2x+1＝4x﹣2，解得：x＝，检验：把x＝代入得：2（2x﹣1）≠0，∴x＝是分式方程的解．故答案为：﹣1；．【点评】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．16．【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短解答即可．【解答】解：如图：过点A作AC⊥OP，∵OA＝2，∠AOP＝45°，∴点B在射线OP上，△AOB为钝角三角形，线段OB长的取值范围是0＜OB＜2．故答案为：0＜OB＜2．【点评】本题考查了垂线段的性质，解题的关键是掌握垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．三、解答题（共14道小题，17，18，19，25每小题4分，20-24，26，28，29每小题4分，27，30每小题4分，共68分）17．【分析】（1）根据分式的乘法计算即可；（2）先通分，然后再根据同分母分式计算即可．【解答】解：（1）＝＝；（2）＝＝．【点评】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．18．【分析】（1）直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案；（2）直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案．【解答】解：（1）原式＝2+＝3；（2）原式＝＝．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．19．【分析】先通分括号内的式子，然后计算括号外的乘法即可．【解答】解：＝•＝•＝•＝．【点评】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．20．【分析】利用立方根的定义，绝对值的定义，二次根的化简，计算即可．【解答】解：＝3+﹣＝3+﹣＝3．【点评】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握立方根的定义，绝对值的定义，二次根式的分母有理化．21．【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则以及完全平方公式化简，进而得出答案．【解答】解：原式＝6+3﹣2﹣4+1＝6+3﹣6﹣4+1＝6﹣6．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．22．【分析】根据SSS即可判断△ABC≌△DEF，再利用全等三角形的性质证明即可．【解答】证明：∵AD＝CF，∴AC＝DF，在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠B＝∠E．【点评】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．23．【分析】原式第一项利用除法法则变形，约分后与第二项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝•﹣＝﹣＝＝＝，当x＝﹣2时，原式＝＝＝．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．24．【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形即可；（2）根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可判断点P、点C都在线段AB的垂直平分线上，则PC垂直平分AB，所以PC⊥l．【解答】（1）解：如图，PC为所作；（2）证明：连接PA，PB，AC，BC．如图，∵PA＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上（到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．∵CA＝CB，∴点C在线段AB的垂直平分线上．∴PC垂直平分AB，∴PC⊥l．故答案为：到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；CA＝CB．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．25．【分析】由概率公式分别求出两个转盘指针指向灰色的概率，再比较即可．【解答】解：转盘一：转盘指针指向灰色的概率为＝，转盘二：转盘指针指向灰色的概率为，∵＝，＝，＞，∴当转盘停止后转盘一指针指向灰色的可能性大．【点评】本题考查了概率公式，熟记概率公式是解题的关键．26．【分析】（1）由所给的数可得第n行最后一个数是，据此可求解；（2）结合（1）进行总结即可．【解答】解：（1）∵，，，…，∴第n行最后一个数为：，∴第5行从左数第4个数是：；（2）由（1）得第（n﹣1）行的最后一个数为：，∴第n（n是正整数）行，从左数第（n+1）个数是：．【点评】本题主要考查数字的变化规律，列代数式，解答的关键是得到第n行最后一个数为．27．【分析】（1）利用角平分线定理的逆定理可判定小明作图正确，然后利用全等三角形的性质可画出∠AOB的平分线；（2）用两个直角三角板画角的平分线即可．【解答】解：（1）小惠的做法正确，理由如下：如图3，过点P作PH⊥OB于H，∵PG⊥OA，PG＝PH，∴OP平分∠AOB，（2）如图4，借用两把完全相同的直角三角板就可以作出一个角的平分线，作法如图4：先在边DC，DE上分别量取DM＝DN，然后如图移动放置两块三角板，使两块三角板的直角顶点分别与M、N重合，两块三角板的一条直角边分别与DC、DEB边重合，另一直角边相交于角的内部一点G．过点G作射线DG即可．【点评】本题考查了角平分线定义和全等三角形的判定和性质的应用，主要考查学生的理解能力和动手操作能力，题目比较好，难度适中．28．【分析】设一个小号垃圾桶的价格是x元，则每个大号垃圾桶的价格是4x元，由题意：学校先用2400元购买了一批给班级使用的小号垃圾桶，再用3200元购买了一批放在户外使用的大号垃圾桶，且大号垃圾桶购买的数量比小号垃圾桶少50个，列出分式方程，解方程即可．【解答】解：设一个小号垃圾桶的价格是x元，则每个大号垃圾桶的价格是4x元，依题意，得：﹣＝50，解得：x＝32，经检验，x＝432是原方程的解，且符合题意．答：一个小号垃圾桶的价格是32元．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．29．【分析】（1）利用角平分线的性质和平行线的性质先说明∠CBD＝∠EDB，再利用等腰三角形的判定得结论；（2）利用角平分线的性质先得到CD＝DF，再在Rt△CDE中利用勾股定理求出CE的长，最后在Rt△CDB中利用勾股定理求出BD的长．【解答】（1）证明：∵BD分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD．∵DE∥AB，∴∠EDB＝∠ABD．∴∠CBD＝∠EDB．∴DE＝EB．（2）解：∵∠C＝90°，∴DC⊥BC．又∵BD分∠ABC交AC于点D，DF⊥AB，∴CD＝DF＝．在Rt△CDE中，CE＝＝1．∵DE＝EB＝2，∴BC＝CE+EB＝3．在Rt△CDB中，BD＝＝＝2．【点评】本题主要考查了角平分线和等腰三角形，掌握角平分线的性质和等腰三角形的判定、勾股定理是解决本题的关键．30．【分析】（1）依题意补全图形；（2）先得出∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，再得出∠BAP＝∠DAP＝α，AB＝AD，进而得出∠CAD＝60°﹣2α，AD＝AC，得出∠ACD＝60°+α，即可得出结论；（3）如图2，在EA上取一点F，使EF＝EB，先判断出△BEF是等边三角形，得出BF ＝BE，∠EBF＝60°，再判断出△ABF≌△CBE（ASA），得出AF＝CE，即可得出结论．【解答】解：（1）补全图形如图1所示，（2）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，∵点B关于射线AP的对称点为点D，∴∠BAP＝∠DAP＝α，AB＝AD，∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAP﹣∠DAP＝60°﹣2α，AD＝AC，∴∠ACD＝（180°﹣∠CAD）＝[180°﹣（60°﹣2α）]＝60°+α，∴∠BCE＝∠ACD﹣∠ACB＝α；（3）EA＝EB+EC，证明：如图2，在EA上取一点F，使EF＝EB，由（2）知，∠ACD＝60°+∠BAP，∵∠CAE＝60°﹣∠BAP，∴∠ACD+∠CAE＝120°，∴∠AEC＝60°，由折叠知，∠AEB＝∠AEC＝60°，∴△BEF是等边三角形，∴BF＝BE，∠EBF＝60°，∵∠ABC＝60°，∴∠ABC＝∠EBF＝60°，∴∠ABF＝∠CBE，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝CB，由（2）知，∠BAP＝∠BCE，∴△ABF≌△CBE（ASA），∴AF＝CE，∴EA＝EF+AF＝EB+CE．【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了对称性，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解（3）的关键．。

2022-2023学年北京市石景山区八年级(上)期末数学试卷及答案解析

2022-2023学年北京市石景山区八年级(上)期末数学试卷及答案解析

2022-2023学年北京市石景山区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．（2分）5的算术平方根是（）A．±5B．25C．D．2．（2分）勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，现发现约有400多种证明方法．下面四个图形是证明勾股定理的图形，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（2分）使得分式值为零的m的值是（）A．m＝0B．m＝2C．m≠﹣3D．m≠34．（2分）用直角三角板作△ABC的高，下列作法正确的是（）A．B．C．D．5．（2分）在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝2，则底边上的高为（）A．12B．C．D．186．（2分）如图，数轴上M，N，P，Q四点中，与对应的点距离最近的是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q7．（2分）下列各式中，运算正确的是（）A．B．C．D．8．（2分）如图1所示的“三等分角仪”能三等分任意一个角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O点转动．C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动．如图2，若∠BDE＝84°，则∠CDE的度数是（）A．65°B．68°C．66°D．70°二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）要使式子有意义，则x可取的一个数是．10．（2分）下面是大山同学计算的过程：＝ (1)＝ (2)＝ (3)＝ (4)（1）运算步骤[2]为通分，其依据是；（2）运算结果的分子m应是代数式．11．（2分）如果等腰三角形的一个内角为80°，那么其它两个角的度数为．12．（2分）若|x﹣5|+＝0，则x+y＝．13．（2分）依据下列给出的事件，请将其对应的序号填写在横线上．①在只含有4件次品的若干件产品中随机抽出5件，至少有一件是合格品；②五人排成一行照相，甲、乙正好相邻；③同时掷5枚硬币，正面朝上与反面朝上的个数相等；④小明打开电视，正在播放广告；必然事件；不可能事件；随机事件．14．（2分）下面是代号分别为A，B，C，D的转盘，它们分别被分成2个、4个、6个、8个面积相等的扇形．（1）用力转动转盘（填写转盘代号），当转盘停止后，指针落在阴影区域的可能性与落在白色区域的可能性相等；（2）用力转动转盘（填写转盘代号），当转盘停止后，指针落在阴影区域的可能性大小是．15．（2分）如图，在△ABC中，AB⊥AC，∠C＝55°，点E为BA延长线上一点，点F为BC边上一点，若∠E＝30°，则∠CFE的度数为．16．（2分）如图，△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE⊥BC于E，若AB＝6，BC＝9，则DE的长为．三、解答题（本题共68分，第17-21题每题5分，第22-27题每题6分，第28题7分）17．（5分）计算：．18．（5分）计算：．19．（5分）解方程：．20．（5分）已知x＝3y，求代数式的值．21．（5分）已知：△ABC．求作：点P，使得点P在AC上，且P A＝PB．作法：①分别以A，B为圆心，大于AB的同样长为半径作弧，两弧分别交于M，N；②作直线MN，与AC交于P点．点P为所求作的点．根据上述作图过程（1）请利用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接AM，BM，AN，BN．∵AM＝，AN＝BN，∴M，N在线段AB的垂直平分线上．即MN是线段AB的垂直平分线．∵点P在直线MN上，∴P A＝PB（）（填写推理的依据）．22．（6分）已知：如图，点B是线段AC上一点，AD∥BE，AB＝BE，∠D＝∠C．求证：BD＝EC．23．（6分）如图，将线段CD放在单位长为1的小正方形网格内，点A，B均落在格点上．（1）按下列要求画图（保留必要的画图痕迹，不必写画法）：①请在线段CD上画出点P，使得P A+AB的和最小；②请在线段CD上画出点Q，使得QA+QB的和最小；（2）请观察、测量或计算按（1）中要求所画的图形．①P A+AB的和最小的依据是；②QA+QB＝（直接写出答案）．24．（6分）学校为了丰富学生体育活动，计划购进一批同种型号的篮球和同种型号的排球，每个篮球的价格比每个的排球价格多4元，已知学校用2000元购买篮球的个数与用1800元购买排球的个数相等．求每个篮球、每个排球的价格．25．（6分）若关于x的分式方程的解为正数，求正整数a的值．26．（6分）已知：如图，A，B，D三点在同一直线上，△ABC和△CDE为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°．（1）求证：BE＝AD，BE⊥AD；（2）已知BD＝2AB，CE＝，求AB的长．27．（6分）将分式的分母因式分解后，可以把一个分式表示成两个分式的和或差．观察下列各式，解答下面问题：…（1）；（2）计算：．28．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点B关于AC边的对称点为D，连接CD，过点A作AE∥CD且AE＝CD，连接CE，DE．（1）依题意补全图形；（2）判断AB和DE的数量关系并证明；（3）平面内有一点M，使得DM＝DC，EM＝EB，求∠CDM的度数．2022-2023学年北京市石景山区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．【分析】根据算术平方根的含义和求法，可得：数5的算术平方根为，据此解答即可．【解答】解：数5的算术平方根为．故选：D．【点评】此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．2．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项不合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项不合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形．故本选项符合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项不合题意．故选：C．【点评】本题考查勾股定理的证明方法和中心对称图形与轴对称图形的概念，正确记忆中心对称图形与轴对称图形的概念是解题关键．3．【分析】根据分式的值为0的条件求出m的值即可．【解答】解：∵分式值为零，∴m＝0且m+3≠0，∴m＝0．故选：A．【点评】本题考查的是分式的值为零的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．4．【分析】根据高线的定义即可得出结论．【解答】解：A、B、D均不是高线．故选：C．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．5．【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据等腰三角形的性质得出BD＝CD＝，再根据勾股定理求出AD的长即可求解．【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∴BD＝CD＝，在Rt△ABD中，由勾股定理得，AD＝＝＝2，即底边上的高为2，故选：B．【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．6．【分析】先估算出2﹣的取值范围，进而可得出结论．【解答】解：∵4＜5＜9，∴2＜＜3，∴﹣2＞﹣＞﹣3，∴﹣1＜2﹣＜0，∴点N距离此点最近．故选：B．【点评】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．7．【分析】利用分式的加减法，分式的乘除法对各项进行运算即可．【解答】解：A、，故A不符合题意；B、＝＝，故B不符合题意；C、，故C符合题意；D、＝＝，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．8．【分析】由等腰三角形的性质可得∠COD＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，由外角的性质可求∠COD的度数，即可求解．【解答】解：∵OC＝CD＝DE，∴∠COD＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，∵∠DCE＝∠CDO+∠COD＝2∠COD，∴∠DEC＝2∠COD，∵∠COD+∠DEC＝∠BDE，∴3∠COD＝84°，∴∠COD＝28°，∴∠DEC＝∠DCE＝56°，∴∠CDE＝68°，故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，外角的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．【分析】根据二次根式有意义的条件得出2x﹣3≥0，再求出不等式的解集，最后求出答案即可．【解答】解：要使式子有意义，必须2x﹣3≥0，解得：x≥，所以x可取的一个数是4，故答案为：4（答案不唯一）．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件和解一元一次不等式，注意：式子中a≥0．10．【分析】（1）根据通分是运用分式的基本性质进行求解；（2）通过分子去括号、合并同类项进行计算求解．【解答】解：（1）分式的通分是运用分式的基本性质，故答案为：分式的基本性质；（2）通过运算得，＝＝，故答案为：3x．【点评】此题考查了分式加减运算的能力，关键是能准确理解运算的知识依据，并能进行正确地计算．11．【分析】先分情况讨论：80°是等腰三角形的底角或80°是等腰三角形的顶角，再根据三角形的内角和定理进行计算．【解答】解：当80°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是80°；当80°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°﹣80°×2＝20°．故答案为：80°或20°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．12．【分析】根据非负数的性质，可得x﹣5＝0，y+3＝0，即可解答．【解答】解：∵|x﹣5|+＝0，∴x﹣5＝0，y+3＝0，解得：x＝5，y＝﹣3，x+y＝5﹣3＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了非负数的性质，解决本题的关键是熟记非负数的性质．13．【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．【解答】解：①在只含有4件次品的若干件产品中随机抽出5件，至少有一件是合格品，是必然事件；②五人排成一行照相，甲、乙正好相邻，是随机事件；③同时掷5枚硬币，正面朝上与反面朝上的个数相等，是不可能事件；④小明打开电视，正在播放广告，是随机事件；则必然事件是①；可能是近是③；随机事件是②④，故答案为：①；③；②④．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．14．【分析】（1）指针落在阴影区域的可能性与落在白色区域的可能性相等，可得阴影区域的面积等于白色区域的面积；（2）指针落在阴影区域的可能性＝×转盘的面积，可得阴影区域的面积所占大小．【解答】解：（1）用力转动转盘A（填写转盘代号），当转盘停止后，指针落在阴影区域的可能性与落在白色区域的可能性相等．故答案为：A；（2）6×＝2．故用力转动转盘C（填写转盘代号），当转盘停止后，指针落在阴影区域的可能性大小是．故答案为：C．【点评】此题考查了几何概率，用到的知识点是可能性等于所求情况数与总情况数之比，关键是熟练掌握几何概率公式．15．【分析】根据直角三角形的性质求出∠B，再根据三角形的外角性质求出∠CFE．【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝55°，则∠B＝90°﹣∠C＝35°，∵∠CFE是△BEF的外角，∴∠CFE＝∠B+∠E＝35°+30°＝65°，故答案为：65°．【点评】本题考查的是直角三角形的性质、三角形的外角性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．16．【分析】由角平分线的性质得出DE＝DA，再根据HL证明Rt△ABD≌Rt△EBD得出BE 的长，根据勾股定理求出AC的长，设DE＝x，则CD＝3﹣x，再根据勾股定理得出方程求解即可．【解答】解：∵AC⊥AB，DE⊥BC，BD平分∠ABC，∴DE＝DA，在Rt△ABD与Rt△EBD中，，∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL），∴BE＝AB＝6，∵BC＝9，∴CE＝3，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC＝＝＝3，设DE＝x，则CD＝3﹣x，在Rt△CDE中，由勾股定理得，CD2＝ED2+CE2，即（3）2＝x2+32，解得x＝，即DE的长为，故答案为：．【点评】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．三、解答题（本题共68分，第17-21题每题5分，第22-27题每题6分，第28题7分）17．【分析】先算除法，再合并同类二次根式即可．【解答】解：原式＝3﹣2﹣＝．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．18．【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝•＝＝＝x+2．【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．19．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x+x﹣3＝x﹣2，解得：x＝1，检验：把x＝1代入得：x﹣2≠0，∴分式方程的解为x＝1．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．20．【分析】直接把x＝3y代入分式，化简求值即可．【解答】解：∵x＝3y，∴＝（﹣）•＝（3﹣）×＝×＝．【点评】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的乘除运算，整体代入求21．【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）利用线段的垂直平分线的性质判断即可．【解答】（1）解：如图，点P即为所求；（2）证明：连接AM，BM，AN，BN．∵AM＝BM，AN＝BN，∴M，N在线段AB的垂直平分线上．即MN是线段AB的垂直平分线．∵点P在直线MN上，∴P A＝PB（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等）．故答案为：BM，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．22．【分析】由平行线的性质可得∠A＝∠EBC，由“AAS”可证△ABD≌△BEC，可得BD ＝EC．【解答】证明：∵AD∥BE∴∠A＝∠EBC在△ABD和△BEC中，，∴△ABD≌△BEC（AAS），∴BD＝EC．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关23．【分析】（1）根据轴对称的性质作出图形；①作点B关于CD的对称点B′，连接AB′，交CD于点P，使得P A+PB的和最小，点P就是所求的点；②作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，交CD于点Q，使得QA+QB的和最小，点Q就是所求的点；（2）①根据两点之间线段最短解答；②根据勾股定理计算即可．【解答】解：（1）如图所示：（2）①根据轴对称的性质可知：P A+PB的和最小的依据是两点之间，线段最短；故答案为：两点之间，线段最短；②根据轴对称的性质可知：QA＝QA′，∴QA+QB＝QA′+QB＝A′B＝＝＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了作图—应用与设计作图，轴对称的性质﹣最短路径问题，掌握轴对称的性质、勾股定理等知识是解题的关键．24．【分析】设每个篮球的价格为x元，则每个排球的价格为（x﹣4）元，由题意：学校用2000元购买篮球的个数与用1800元购买排球的个数相等．列出分式方程，解方程即可．【解答】解：设每个篮球的价格为x元，则每个排球的价格为（x﹣4）元，由题意得：＝，解得：x＝40，经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，则x﹣4＝40﹣4＝36，答：每个篮球的价格为40元，每个排球的价格为36元．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．25．【分析】解分式方程，可得出x＝3﹣a，结合原分式方程的解为正数，可得出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，由x﹣1≠0，可得出a≠2，进而可得出正整数a的值．【解答】解：原方程可化为：2x+a+x﹣5＝2（x﹣1），∴x＝3﹣a．∵原方程的解为正数，∴3﹣a＞0，∴a＜3，∵x﹣1≠0，∴x≠1，∴3﹣a≠1，∴a≠2，∴正整数a的值为1．【点评】本题考查分式方程的解以及解一元一次不等式，正确表示分式方程的解，注意分母不等于0是求解本题的关键．26．【分析】（1）利用SAS证明△ACD≌△BCE，得AD＝BE，∠BEC＝∠ADC，即可证明结论；（2）设AB＝x，则BD＝2x，在Rt△BDE中，由勾股定理得，（2x）2+（3x）2＝（）2，解方程即可．【解答】（1）证明：∵△ABC和△CDE为等腰直角三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∵∠ACB＝∠DCE＝90°．∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠BEC＝∠ADC，∴∠DBE＝∠DCE＝90°，∴BE⊥AD；（2）解：∵DE＝CE＝，设AB＝x，则BD＝2x，∴BE＝AD＝3x，在Rt△BDE中，由勾股定理得，（2x）2+（3x）2＝（）2，解得x＝（负值舍去），∴AB＝．【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明△ACD≌△BCE是解题的关键．27．【分析】读懂题意，利用分式的基本性质变形，计算即可．【解答】解：（1）＝﹣；（2）＝++＝（﹣）+（﹣）+（﹣）＝（﹣+﹣+﹣）＝（﹣）＝．【点评】本题考查了分式的加减运算，分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的基本性质．28．【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）结论：AB＝DE，证明四边形ACDE是平行四边形，推出AC＝DE，可得结论；（3）分两种情形：如图2中，当∠CDM是钝角．证明△ABE≌△DEM（SSS），推出∠BAE＝∠EDM＝135°，即可解决问题，如图3中，当∠CDM′是锐角时，同法可得∠ADM′＝∠BAE＝135°解决问题．【解答】解：（1）图形如图1所示：（2）结论：AB＝DE．理由：∵AE＝CD，AE∥CD，∴四边形ACDE是平行四边形，∴AC＝DE，∵AB＝AC，∴AB＝DE；（3）如图2中，当∠CDM是钝角．∵AE＝CD，CD＝DM，∴AE＝DM，∵AB＝DE，BE＝EM，∴△ABE≌△DEM（SSS），∴∠BAE＝∠EDM，∵AB＝AC，∠BAC＝30°，B，D关于AC对称，∴∠CAD＝∠CAB＝30°，AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝75°，∵AE∥CD，∴∠EAD＝∠ADC＝75°，∴∠BAE＝30°+30°+75°＝135°，∴∠EDB＝∠BAE＝135°，∴∠CDM＝360°﹣75°﹣﹣30°﹣135°＝120°．如图3中，当∠CDM′是锐角时，同法可得∠ADM′＝∠BAE＝135°，∴∠CDM′＝135°﹣75°﹣30°＝30°，综上所述，∠CDM的值为120°或30°．【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．。

2023-2024学年北京市海淀区八年级(上)期末数学试卷及答案解析

2023-2024学年北京市海淀区八年级(上)期末数学试卷及答案解析

2023-2024学年北京市海淀区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．（3分）榫卯是中国建筑的智慧结晶，仅靠木头之间的相互作用力就可以让建筑或家具牢固、美观．下列榫卯拼接截面示意图中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）杭州亚运会主火炬以零碳甲醇作为燃料，在亚运史上首次实现废碳再生、循环内零碳排放．甲醇的密度很小，1cm3甲醇的质量约为0.00079kg，将0.00079用科学记数法表示应为（）A．79×10﹣4B．7.9×10﹣4C．79×10﹣5D．0.79×10﹣3 3．（3分）下列运算中，正确的是（）A．（a2）3＝a8B．（﹣3a）2＝6a2C．a2•a3＝a5D．a9÷a3＝a34．（3分）如图，点E，C，F，B在一条直线上，AB∥ED，∠A＝∠D，添加下列条件不能判定△ABC≌△DEF的是（）A．AC∥DF B．AB＝DE C．EC＝BF D．AC＝DF 5．（3分）正多边形的一个外角的度数为72°，则这个正多边形的边数为（）A．4B．5C．6D．76．（3分）如图是折叠凳及其侧面示意图，若AC＝BC＝18cm，则折叠凳的宽AB可能为（）A．70cm B．55cm C．40cm D．25cm7．（3分）下列各式从左到右变形正确的是（）A．B．C．D．8．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，P是△ABC内一点，点D，E，F分别是点P 关于直线AC，AB，BC的对称点，给出下面三个结论：①AE＝AD；②∠DPE＝90°；③∠ADC+∠BFC+∠BEA＝270°．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是．10．（2分）分解因式：a3﹣ab2＝．11．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，﹣1）关于x轴的对称点A′的坐标为．12．（2分）计算：（6a3﹣9a2）÷3a2＝．13．（2分）已知一个等腰三角形的一个内角为40°，则它的顶角等于．14．（2分）如图，在△ABC中，DE是BC边的垂直平分线．若AB＝8，AC＝13，则△ABD 的周长为．15．（2分）把一张长方形纸片沿对角线折叠，使折叠后的图形如图所示．若∠BAC＝35°，则∠CBD＝°．16．（2分）请阅读关于“乐数”的知识卡片，并回答问题：乐数我们将同时满足下列条件的分数称为“乐数”a．分子和分母均为正整数；b．分子小于分母；c．分子、分母均为两位数，且分子的个位数字与分母的十位数字相同；d．去掉分子的个位数字与分母的十位数字后，得到的分数与原来的分数相等．例如：去掉相同的数字6之后，得到的分数恰好与原来的分数相等，则是一个“乐数“．（1）判断：（填“是”或“不是”）“乐数”；（2）写出一个分子的个位数字与分母的十位数字同为9的“乐数”．三、解答题（本题共60分，第17题5分，第18题10分，第19-23题每题5分，第24题6分，第25、26题每题7分）17．（5分）计算：．18．（10分）（1）已知x2+2x﹣2＝0，求代数式x（x﹣2）+（x+3）2的值．（2）计算：．19．（5分）小明用自制工具测量花瓶内底的宽．他将两根木条AC，BD的中点连在一起（即AO＝CO，BO＝DO），如图所示放入花瓶内底．此时，只需测量点与点之间的距离，即为该花瓶内底的宽，请证明你的结论．20．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．在线段AC上求作一点D．使得．小明发现作∠ABC的平分线交AC于点D，点D即为所求．（1）使用直尺和圆规，依小明的思路作出点D（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵∠A＝30°，∠C＝90°，∴∠ABC＝°．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝，∴∠ABD＝∠A．∴AD＝．在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，∴（）（填推理依据）．∴．21．（5分）如图所示的4×4网格是正方形网格，顶点是网格线交点的三角形称为格点三角形．如图1，△ABC为格点三角形．（1）∠ABC＝°；（2）在图2和图3中分别画出一个以点C1，C2为顶点，与△ABC全等，且位置互不相同的格点三角形．22．（5分）列方程解应用题：无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？23．（5分）如图，四边形ABCD 中，AB ＝AC ，∠D ＝90°，BE ⊥AC 于点F ，交CD 于点E ，连接EA ，EA 平分∠DEF ．（1）求证：AF ＝AD ；（2）若BF ＝7，DE ＝3，求CE 的长．24．（6分）小明设计了一个净水装置，将杂质含量为n 的水用m 单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为．利用此净水装置，小明进行了进一步的探究：现有杂质含量为1的水．（1）用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为；（2）小明共准备了6a 单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案A 是将6a 单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案B 和方案C 均为将6a 单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤．三种方案的具体操作及相关数据如下表所示：方案编号第一次过滤用净水材料的单位量水中杂质含量第二次过滤用净水材料的单位量第二次过滤后水中杂质含量A 6a //B 5a a C4a2a①请将表格中方案C 的数据填写完整；②通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？（3）当净水材料总量为6a 单位量不变时，为了使两次过滤后水中的杂质含量最少，小明应将第一次净水材料用量定为（用含a 的式子表示）．25．（7分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，作直线AP，使得45°＜∠PAC ＜90°．过点B作BD⊥AP于D，在DA的延长线上取点E，使DE＝BD．连接BE，CE．（1）依题意补全图形；（2）若∠ABD＝α，求∠CBE（用含α的式子表示）；（3）用等式表示线段AE，CE，DE之间的数量关系，并证明．26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，直线l过原点且经过第三、第一象限，l与x轴所夹锐角为n°．对于点P和x轴上的两点M，N，给出如下定义：记点P关于直线l的对称点为Q，若点Q的纵坐标为正数，且△MNQ为等边三角形，则称点P为M，N的n°点．（1）如图1，若点M（2，0），N（4，0），点P为M，N的45°点，连接OP，OQ．①∠POQ＝°；②求点P的纵坐标；（2）已知点M（m，0），N（m+t，0）．①当t＝2时，点P为M，N的60°点，且点P的横坐标为﹣2，则m＝；②当m＝﹣2时，点P为M，N的30°点，且点P的横坐标为2，则t＝．2023-2024学年北京市海淀区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．（3分）榫卯是中国建筑的智慧结晶，仅靠木头之间的相互作用力就可以让建筑或家具牢固、美观．下列榫卯拼接截面示意图中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．故选：C．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合是解题的关键．2．（3分）杭州亚运会主火炬以零碳甲醇作为燃料，在亚运史上首次实现废碳再生、循环内零碳排放．甲醇的密度很小，1cm3甲醇的质量约为0.00079kg，将0.00079用科学记数法表示应为（）A．79×10﹣4B．7.9×10﹣4C．79×10﹣5D．0.79×10﹣3【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.00079＝7.9×10﹣4．故选：B．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．（3分）下列运算中，正确的是（）A．（a2）3＝a8B．（﹣3a）2＝6a2C．a2•a3＝a5D．a9÷a3＝a3【分析】根据幂的乘方法则，积的乘方法则，同底数幂的乘法和除法法则逐项计算，即可判断．【解答】解：（a2）3＝a6，故A计算错误，不符合题意；（﹣3a）2＝9a2，故B计算错误，不符合题意；a2•a3＝a5，故C计算正确，符合题意；a9÷a3＝a6，故D计算错误，不符合题意．故选：C．【点评】本题考查幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法和除法．熟练掌握各运算法则是解题关键．4．（3分）如图，点E，C，F，B在一条直线上，AB∥ED，∠A＝∠D，添加下列条件不能判定△ABC≌△DEF的是（）A．AC∥DF B．AB＝DE C．EC＝BF D．AC＝DF【分析】利用平行线的性质可得∠E＝∠B，然后利用全等三角形的判定方法，逐一判断即可解答．【解答】解：∵AB∥ED，∴∠E＝∠B，A、∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE，∵∠A＝∠D，∠E＝∠B，∴△ABC和△DEF不一定全等，故A符合题意；B、∵∠A＝∠D，AB＝DE，∠E＝∠B，∴△ABC≌△DEF（ASA），故B不符合题意；C、∵EC＝BF，∴EC+CF＝BF+CF，∴EF＝BC，∵∠A＝∠D，∠E＝∠B，∴△ABC≌△DEF（AAS），故C不符合题意；D、∵∠A＝∠D，∠E＝∠B，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF（AAS），故D不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．5．（3分）正多边形的一个外角的度数为72°，则这个正多边形的边数为（）A．4B．5C．6D．7【分析】正多边形的外角和是360°，这个正多边形的每个外角相等，因而用360°除以外角的度数，就得到外角和中外角的个数，外角的个数就是多边形的边数．【解答】解：∵正多边形的外角和是360°，∴360÷72＝5，那么它的边数是5．故选：B．【点评】本题考查了多边形的内角与外角．根据正多边形的外角和求多边形的边数是常用的一种方法，需要熟记．6．（3分）如图是折叠凳及其侧面示意图，若AC＝BC＝18cm，则折叠凳的宽AB可能为（）A．70cm B．55cm C．40cm D．25cm【分析】根据三角形的三边关系即可得到结论．【解答】解：∵AC＝BC＝18cm，∴0＜AB＜36，∴折叠凳的宽AB可能为25cm，故选：D．【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．7．（3分）下列各式从左到右变形正确的是（）A．B．C．D．【分析】利用分式的性质逐项判断即可．【解答】解：＝，则A不符合题意；与不一定相等，则B不符合题意；＝＝，则C符合题意；＝，则D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查分式的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．8．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，P是△ABC内一点，点D，E，F分别是点P 关于直线AC，AB，BC的对称点，给出下面三个结论：①AE＝AD；②∠DPE＝90°；③∠ADC+∠BFC+∠BEA＝270°．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】连接AP，CP，BP，根据轴对称的性质得AC，AB，BC分别为PD，PE，PF的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质得AD＝AP，AE＝AP，CD＝CP，即可判断①③，根据∠BAC＝90°，可得四边形AMPN为矩形，即可判断②．【解答】解：如图，连接AP，CP，BP，∵点D，E，F分别是点P关于直线AC，AB，BC的对称点，∴AC，AB，BC分别为PD，PE，PF的垂直平分线，∴AD＝AP，AE＝AP，∴AE＝AD，故①正确；∵AC，AB分别为PD，PE的垂直平分线，∠BAC＝90°，∴四边形AMPN为矩形，∴∠DPE＝90°，故②正确；∵AC为PD的垂直平分线，∴AD＝AP，CD＝CP，∴∠ADP＝∠APD，∠CDP＝∠CPD，∴∠ADC＝∠APC，同理得∠BFC＝∠BPC，∠BEA＝∠APB，∵∠APC+∠BPC+∠APB＝360°，∴∠ADC+∠BFC+∠BEA＝360°，故③错误；故选：A．【点评】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是关键．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是x≠1．【分析】根据分母不为零的条件进行解题即可．【解答】解：∵代数式有意义，∴x﹣1≠0，解得x≠1．故答案为：x≠1．【点评】本题考查分式有意义的条件，掌握分母不为零的条件是解题的关键．10．（2分）分解因式：a3﹣ab2＝a（a+b）（a﹣b）．【分析】首先提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：a3﹣ab2＝a（a2﹣b2）＝a（a+b）（a﹣b）．故答案为：a（a+b）（a﹣b）．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．11．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，﹣1）关于x轴的对称点A′的坐标为（﹣1，1）．【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可以直接得到答案．【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，﹣1）关于x轴的对称点A′的坐标为（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握坐标的变化规律：（1）关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变；（3）关于原点对称点的坐标特点：横、纵坐标均互为相反数．12．（2分）计算：（6a3﹣9a2）÷3a2＝2a﹣3．【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．【解答】解：（6a3﹣9a2）÷3a2＝2a﹣3．故答案为：2a﹣3．【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．13．（2分）已知一个等腰三角形的一个内角为40°，则它的顶角等于40°或100°．【分析】分两种情况：当40°的内角为顶角时；当40°的角为底角时，利用三角形的内角和结合等腰三角形的性质可计算求解．【解答】解：当40°的内角为顶角时，这个等腰三角形的顶角为40°；当40°的角为底角时，则该等腰三角形的另一底角为40°，∴顶角为：180°﹣40°﹣40°＝100°，故答案为40°或100°．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，注意分类讨论．14．（2分）如图，在△ABC中，DE是BC边的垂直平分线．若AB＝8，AC＝13，则△ABD 的周长为21．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：∵DE是BC边的垂直平分线，∴DB＝DC，∴△ABD的周长＝AB+AD+DB＝AB+AD+DC＝AB+AC，∵AB＝8，AC＝13，∴△ABD的周长＝8+13＝21，故答案为：21．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．15．（2分）把一张长方形纸片沿对角线折叠，使折叠后的图形如图所示．若∠BAC＝35°，则∠CBD＝20°．【分析】由折叠可知∠BAE＝∠BAC＝35°，∠C＝∠E＝90°，由长方形形的性质可得FB∥AE，再利用平行线的性质可得∠FBA＝∠BAE，利用直角三角形两锐角互余可求出∠CBA的度数，进而求出∠CBD的度数．【解答】解：如图，由折叠可知∠BAE＝∠BAC＝35°，∠C＝∠E＝90°，∴∠CBA＝90°﹣∠BAC＝90°﹣35°＝55°，又∵BF∥AE，∴∠DBA＝∠BAE＝35°，∴∠CBD＝∠CBA﹣∠DBA＝55°﹣∠35°＝20°．故答案为：20．【点评】此题主要考查的是折叠角的问题以及平行线的性质，解决此题的关键折叠时折痕是角平分线，同时正确利用平行线的性质．16．（2分）请阅读关于“乐数”的知识卡片，并回答问题：乐数我们将同时满足下列条件的分数称为“乐数”a．分子和分母均为正整数；b．分子小于分母；c．分子、分母均为两位数，且分子的个位数字与分母的十位数字相同；d．去掉分子的个位数字与分母的十位数字后，得到的分数与原来的分数相等．例如：去掉相同的数字6之后，得到的分数恰好与原来的分数相等，则是一个“乐数“．（1）判断：不是（填“是”或“不是”）“乐数”；（2）写出一个分子的个位数字与分母的十位数字同为9的“乐数”．【分析】（1）依据“乐数”的定义进行判断即可．（2）按题意写出符合要求的“乐数”即可．【解答】解：（1）由题知，去掉分数的分子和分母中的3，所得到的分数为，而，且，所以不是“乐数”．故答案为：不是．（2）因为分数的分子的个位数字与分母的十位数字同为9，则当分子为19时，因为分母的十位数字为9，所以19×5＝95，且．而把分数的分子和分母中的9去掉后，得到的分数为，符合要求．故答案为：．【点评】本题考查整式的加减，理解“乐数”的定义是解题的关键．三、解答题（本题共60分，第17题5分，第18题10分，第19-23题每题5分，第24题6分，第25、26题每题7分）17．（5分）计算：．【分析】先根据有理数乘方的法则、绝对值的性质、零指数幂及负整数指数幂的运算法则分别计算出各数，再根据有理数的加减法则进行计算即可．【解答】解：＝9﹣1+2+2＝12．【点评】本题考查的是负整数指数幂、有理数乘方的法则、绝对值的性质、零指数幂的运算法则，熟知以上知识是解题的关键．18．（10分）（1）已知x2+2x﹣2＝0，求代数式x（x﹣2）+（x+3）2的值．（2）计算：．【分析】（1）由x2+2x﹣2＝0，得x2+2x＝2，把所求式子化简后再代入即可；（2）先算括号内的，把除化为乘，再约分即可．【解答】解：（1）∵x2+2x﹣2＝0，∴x2+2x＝2，∴x（x﹣2）+（x+3）2＝x2﹣2x+x2+6x+9＝2（x2+2x）+9＝2×2+9＝4+9＝13；（2）原式＝•＝•＝．【点评】本题考查整式化简求值和分式的化简，解题的关键是掌握整式，分式的相关运算法则．19．（5分）小明用自制工具测量花瓶内底的宽．他将两根木条AC，BD的中点连在一起（即AO＝CO，BO＝DO），如图所示放入花瓶内底．此时，只需测量点D与点C之间的距离，即为该花瓶内底的宽，请证明你的结论．【分析】首先根据题意可得AO＝CO，DO＝BO，再加上对顶角相等可得△DCO≌△BAO，根据全等三角形的性质可得AB＝CD．【解答】解：在△DCO和△BAO中，，∴△DCO≌△BAO（SAS），∴AB＝CD，故只需测量点D与点C之间的距离，即为该花瓶内底的宽．故答案为：D，C．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形对应边相等．20．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．在线段AC上求作一点D．使得．小明发现作∠ABC的平分线交AC于点D，点D即为所求．（1）使用直尺和圆规，依小明的思路作出点D（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵∠A＝30°，∠C＝90°，∴∠ABC＝60°．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝，∴∠ABD＝∠A．∴AD＝BD．在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，∴（30度所对的直角边是斜边的一半）（填推理依据）．∴．【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可．（2）根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质填空即可．【解答】（1）解：如图，点D即为所求．（2）证明：∵∠A＝30°，∠C＝90°，∴∠ABC＝60°．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝，∴∠ABD＝∠A．∴AD＝BD．在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，∴（30度所对的直角边是斜边的一半）．∴．故答案为：60；BD；30度所对的直角边是斜边的一半．【点评】本题考查作图—复杂作图、含30度角的直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．21．（5分）如图所示的4×4网格是正方形网格，顶点是网格线交点的三角形称为格点三角形．如图1，△ABC为格点三角形．（1）∠ABC＝90°；（2）在图2和图3中分别画出一个以点C1，C2为顶点，与△ABC全等，且位置互不相同的格点三角形．【分析】（1）由勾股定理逆定理即可判断△ABC是直角三角形，从而得到答案；（2）按照条件作出三角形即可．【解答】解：（1）由图可知，AB2＝12+22＝5，BC2＝12+22＝5，AC2＝12+32＝10，∴AB2+BC2＝AC2，∴∠ABC＝90°；故答案为：90；（2）如图：△A1B1C1，△A2B2C2即为所求．【点评】本题考查作图﹣应用与涉及作图，解题的关键是掌握勾股定理逆定理和全等三角形判定定理．22．（5分）列方程解应用题：无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？【分析】设1名快递员平均每天可配送包裹x件，则1辆无人配送车平均每天可配送包裹5x件，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合“要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天”，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．【解答】解：设1名快递员平均每天可配送包裹x件，则1辆无人配送车平均每天可配送包裹5x件，根据题意得：﹣＝2，解得：x＝150，经检验，x＝150是所列方程的解，且符合题意．答：1名快递员平均每天可配送包裹150件．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．23．（5分）如图，四边形ABCD中，AB＝AC，∠D＝90°，BE⊥AC于点F，交CD于点E，连接EA，EA平分∠DEF．（1）求证：AF＝AD；（2）若BF＝7，DE＝3，求CE的长．【分析】（1）证出∠AED＝∠AEF，由角平分线的性质可得出结论；（2）证明Rt △ABF ≌△RtACD （HL ），由全等三角形的性质可得出BF ＝CD ＝7，则可得出答案．【解答】（1）证明：∵∠D ＝90°，∴AD ⊥DE ，∵EA 平分∠DEF ，∴∠EAD ＝∠EAF ，∴∠AED ＝∠AEF ，又∵AF ⊥EF ，∴AF ＝AD ；（2）解：在Rt △ABF 和△RtACD中，，∴Rt △ABF ≌△RtACD （HL ），∴BF ＝CD ＝7，∵DE ＝3，∴CE ＝CD ﹣DE ＝7﹣3＝4．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．24．（6分）小明设计了一个净水装置，将杂质含量为n 的水用m 单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为．利用此净水装置，小明进行了进一步的探究：现有杂质含量为1的水．（1）用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为；（2）小明共准备了6a 单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案A 是将6a 单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案B 和方案C 均为将6a 单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤．三种方案的具体操作及相关数据如下表所示：方案编号第一次过滤用净水材料的单位量水中杂质含量第二次过滤用净水材料的单位量第二次过滤后水中杂质含量A 6a //B5a aC4a2a①请将表格中方案C的数据填写完整；②通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？（3）当净水材料总量为6a单位量不变时，为了使两次过滤后水中的杂质含量最少，小明应将第一次净水材料用量定为3a（用含a的式子表示）．【分析】（1）根据水中的杂质含量即可求解；（2）①同样根据水中的杂质含量即可求解；②当第一次净水材料用量定为6a、5a、4a时，用三次最终过滤后的水中杂质含量相比较即可；（3）将第一次净水材料用量定为6a、5a、4a时，4a的最终过滤效果最好，因此在将第一次净水材料用量定为6a、5a、4a、3a、2a、a时，发现将第一次净水材料用量定为5a 与a、4a与2a时的过滤效果一样，因此将第一次净水材料用量定为3a与4a的过滤效果进行比较，可得3a的最终过滤效果最好．【解答】解：（1）水中的杂质含量为，∴现有杂质含量为1的水，用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为＝，故答案为：．（2）①方案C水中杂质含量：，第二次过滤后水中杂质含量：；②﹣＝，∵a＞0，∴5a2＞0，（1+6a）（1+5a）（1+a）＞0∴＞，同理可得：＞，∴＜＜，∴方案C的最终过滤效果最好；（3）将第一次净水材料用量定为3a时，第二次过滤后水中杂质含量为；将第一次净水材料用量定为2a时，第二次过滤后水中杂质含量为，结果与将第一次净水材料用量定为4a时相同；将第一次净水材料用量定为a时，第二次过滤后水中杂质含量为，结果与将第一次净水材料用量定为5a时相同；∵在将第一次净水材料用量定为6a、5a、4a时，4a的最终过滤效果最好，同理，可得﹣＜0，∴将第一次净水材料用量定为3a时，其最终过滤效果最好，∴为了使两次过滤后水中的杂质含量最少，小明应将第一次净水材料用量定为3a．故答案为：3a．【点评】本题考查的是代数式的相关知识，解题的关键是正确运用代数式的减法、乘法与加法运算．25．（7分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，作直线AP，使得45°＜∠PAC ＜90°．过点B作BD⊥AP于D，在DA的延长线上取点E，使DE＝BD．连接BE，CE．（1）依题意补全图形；（2）若∠ABD＝α，求∠CBE（用含α的式子表示）；（3）用等式表示线段AE，CE，DE之间的数量关系，并证明．【分析】（1）由题意画出图形即可；（2）证出∠DBE＝∠DEB＝45°，由直角三角形的性质可得出答案；（3）在AD延长线上取点F，使DF＝AD，连接BF，证明△BEF≌△BEC（SAS），由全等三角形的性质得出FE＝CE，则可得出结论．【解答】解：（1）依题意补全图形如下：（2）∵BD⊥AP于D，∴∠BDE＝90°，∵BD＝DE，∴∠DBE＝∠DEB＝45°，∵∠ABD＝α，∴∠ABE＝∠DBE﹣∠ABD＝45°﹣α．∵∠ABC＝90°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝45°+α；（3）AE+CE＝2DE．证明：如图，在AD延长线上取点F，使DF＝AD，连接BF，∵BD⊥AP，AD＝DF，∴BA＝BF．∴∠FBD＝∠ABD＝α，∵∠DBE＝45°，∴∠EBF＝∠DBE+∠DBF＝45°+α，∴∠EBF＝∠CBE，∵AB＝BC，∴BF＝BC，∵BE＝BE，∴△BEF≌△BEC（SAS），∴FE＝CE，∵AE＝DE﹣AD，CE＝FE＝DE+DF，AD＝DF，∴AE+CE＝2DE．【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，直线l过原点且经过第三、第一象限，l与x轴所夹锐角为n°．对于点P和x轴上的两点M，N，给出如下定义：记点P关于直线l的对称点为Q，若点Q的纵坐标为正数，且△MNQ为等边三角形，则称点P为M，N的n°点．（1）如图1，若点M（2，0），N（4，0），点P为M，N的45°点，连接OP，OQ．①∠POQ＝30°；②求点P的纵坐标；（2）已知点M（m，0），N（m+t，0）．①当t＝2时，点P为M，N的60°点，且点P的横坐标为﹣2，则m＝6；②当m＝﹣2时，点P为M，N的30°点，且点P的横坐标为2，则t＝3或﹣6．【分析】（1）①如图1，过点Q作QE⊥x轴于E，过点P作PF⊥y轴于F，根据定义：记点P关于直线l的对称点为Q，若点Q的纵坐标为正数，且△MNQ为等边三角形，则称点P为M，N的n°点．可知△MNQ为等边三角形，l与x轴所夹锐角为45°，则QM ＝MN＝2，ME＝MN＝1，∠QMN＝60°，即可求得答案；②先证明△POF≌△QOE（AAS），根据全等三角形的性质即可求得答案；（2）①过点Q作QE⊥x轴于E，过点P作PF⊥y轴于F，作PK∥y轴交直线l于K，交x轴于T，连接KQ交x轴于W，连接PQ交直线l于L，根据定义可得QE＝，OE ＝m+1，OP＝OQ，∠KOT＝∠LOM＝60°，P、Q关于直线l对称，再由勾股定理即可求得答案；②分两种情况：t＞0或t＜0，分别画出图象，结合定义即可求得答案．【解答】解：（1）①如图1，过点Q作QE⊥x轴于E，过点P作PF⊥y轴于F，∵M（2，0），N（4，0），∴MN＝2，OM＝2，∵△MNQ为等边三角形，QE⊥MN，∴QM＝MN＝2，ME＝MN＝1，∠QMN＝60°，∴QE＝＝＝，OE＝OM+ME＝2+1＝3，∵OM＝QM，∴∠QOM＝∠OQM＝30°，∵点P为M，N的45°点，∴l与x轴所夹锐角为45°，∵点P关于直线l的对称点为Q，∴∠POQ＝2×（45°﹣30°）＝30°，OP＝OQ，∠POF＝∠QOE＝30°，故答案为：30．②在△POF和△QOE中，，∴△POF≌△QOE（AAS），∴OF＝OE＝3，PF＝QE＝，∴P（，3）；（2）①∵M（m，0），N（m+t，0），∴MN＝m+t﹣m＝t，∴当t＝2时，MN＝2，如图2，过点Q作QE⊥x轴于E，过点P作PF⊥y轴于F，作PK∥y轴交直线l于K，交x轴于T，连接KQ交x轴于W，连接PQ交直线l于L，∵点P为M，N的60°点，∴QE＝，OE＝m+1，OP＝OQ，∠KOT＝∠LOM＝60°，∴∠PKO＝30°，∵P、Q关于直线l对称，∴PQ⊥l，PK＝QK，∠QKL＝∠PKL＝30°，。

2021-2022学年北京市海淀区八年级(上)期末数学试卷及答案解析

2021-2022学年北京市海淀区八年级(上)期末数学试卷及答案解析

2021-2022学年海淀区初二第一学期期末数学试卷一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1. 下列冰雪运动项目的图标中，是轴对称图形的是ABCD2. 2021年10月16日，我国神舟十三号载人飞船与天和核心舱首次成功实现 “径向对接”，对接过程的控制信息通过微波传递. 微波理论上可以在0.000 003秒内接收到相距约1千 米的信息. 将数字0.000 003用科学记数法表示应为 A ．33010-⨯B ．6310-⨯C ．5310-⨯D ．40.310-⨯3. 下列变形是因式分解的是A ．2(1)x x x x +=+B ．2264(3)5x x x ++=+-C ．23()3x xy x x y +-=+-D ．2221(1)x x x ++=+4. 下列计算正确的是A ．326(3)9a a =B ．3252a a a +=C ． 326a a a ⋅=D ．824a a a ÷=5. 如图，△ABC 是等边三角形，D 是BC 边上一点，DE ⊥AC 于点E . 若EC = 3，则DC 的长为 A ．4 B ．5 C ．6D ．76. 下列变形正确的是A ．3=3y y x x ++B ．=y y x x --C ．22=y y x xD ．=y x x y7. 如图，△ABC ≌△DEC ，点E 在线段AB 上，∠B =75°，则∠ACD 的度数为A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°8. 某中学开展“筑梦冰雪，相约冬奥”的学科活动，设计几何图形作品表达 对冬奥会的祝福. 小冬以长方形ABCD 的四条边为边向外作四个正方 形，设计出“中”字图案，如图所示. 若四个正方形的周长之和为24， 面积之和为12，则长方形ABCD 的面积为 A ．1B ．32C ．2D ．83二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 若分式12x -有意义，则x 的取值范围是____________. 10. 在平面直角坐标系xOy 中，点A （2，4）与点B 关于y 轴对称，则点B 的坐标是____________. 11. 分解因式：2312a -=____________. 12. 若4x =是关于x 的方程233x mx -=-的解，则m 的值为____________. 13. 若等腰三角形有一个角为40°，则它的顶角度数为____________.14. 在处填入一个整式，使关于x 的多项式2+x +1可以因式分解，则可以为___________.（写出一个即可）15. 如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线， CE ⊥AB 于点E ，AD与CE 交于点F ，连接BF . 若BF 平分∠ABC ，EF =2，BC =8，则 △CDF 的面积为____________.16. 如图，在△ABC 中，AC =BC ，以点A 为圆心，AB 长为半径作弧交BC 于点D ，交AC 于点E . 再分别以点C ，D 为圆心，大于12CD 的长为半径作弧，两弧相交于F ，G 两点. 作直线FG . 若直线FG 经 过点E ，则∠AEG 的度数为 °.三、解答题（本题共60分，第17、18、19、21、22题每题4分，第20、23、24、25题每题5分，第26题6分，第27题7分，第28题7分） 17. 计算：01861(π)()223--+-÷.18. 化简：2(2)(3)(1)x x x -+++.19. 化简：2(3)(3)9x y x y x y ⎡⎤+--÷⎣⎦.20. 解方程：153x x =+ .21. 如图，已知线段AB 及线段AB 外一点C ，过点C 作直线CD ，使得CD ⊥AB .小欣的作法如下：① 以点B 为圆心，BC 长为半径作弧；② 以点A 为圆心，AC 长为半径作弧，两弧交于点D ； ③ 作直线CD . 则直线CD 即为所求.（1）根据小欣的作图过程补全图形； （2）完成下面的证明. 证明：连接AC ，AD ，BC ，BD . ∵ BC =BD ，∴ 点B 在线段CD 的垂直平分线上.（ ）（填推理的依据） ∵ AC = ，∴ 点A 在线段CD 的垂直平分线上. ∴ 直线AB 为线段CD 的垂直平分线. ∴ CD ⊥AB .22. 在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形.图中△ABC是一个格点三角形. 请在图1和图2中各画出一个与△ABC成轴对称的格点三角形，并画出对称轴.图1 图223. 如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D，E在BC边上，AD=AE. 求证：CD=BE.24. 已知2210a a+-=，求代数式222111211aa a a a a⎛⎫--÷⎪-+--⎝⎭的值．25. 某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每天生产多少台机器？26．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点A (-4，0)，B (4，0)，C (0，4)，给出如下定义：若P 为△ABC 内(不含边界)一点，且AP 与△BCP 的一条边相等，则称P 为△ABC 的友爱点．（1）在P 1(0，3)，P 2(-1，1)，P 3(-2，1)中，△ABC 的友爱点是 ； （2）如图2，若P 为△ABC 内一点，且15PAB PCB ∠=∠=︒, 求证：P 为△ABC 的友爱点；（3） 直线l 为过点(0)M m ，且与x 轴平行的直线，若直线l 上存在△ABC 的三个友爱点， 直接写出m 的取值范围 ．图1 图227. 在分式NM中，若M ，N 为整式，分母M 的次数为a ，分子N 的次数为b (当N 为常数时， 0b =)，则称分式N M为()a b -次分式. 例如，431x x x+-为三次分式.（1）请写出一个只含有字母x 的二次分式__________； （2）已知23mx A x +=-，239nx B x +=-（其中m ，n 为常数）. ① 若0m =，5n =-，则A B ⋅，A B +，A B -，2A 中，化简后是二次分式的为 _________________；② 若A 与B 的和化简后是一次分式，且分母的次数为1，求2m n +的值.28．在△ABC 中，∠B =90°，D 为BC 延长线上一点，点E 为线段AC ，CD 的垂直平分线的交点，连接EA ，EC ，ED ．（1） 如图1，当∠BAC =50°时，则∠AED = °； （2） 当∠BAC =60°时，①如图2，连接AD，判断△AED的形状，并证明；②如图3，直线CF与ED交于点F，满足∠CFD=∠CAE．P为直线CF上一动点．当PE PD的值最大时，用等式表示PE，PD与AB之间的数量关系为_________，并证明．图1 图2 图32021-2022学年海淀区初二第一学期期末数学试卷参考答案一、选择题（本题共24分，每小题3分）二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 2x ≠； 10.（2-，4）； 11. 3(2)(2)a a +-； 12. 5； 13. 40°或100°； 14. 2x （答案不唯一）； 15. 4； 16. 126.三、解答题（本题共60分，第17、18、19、21、22题每题4分，第20、23、24、25题每题5分，第26题6分，第27题7分，第28题7分）17. 01861(π)()223--+-÷.解：原式=134+- ----------------------3分 =0. ----------------------4分 18. 化简：2(2)(3)(1)x x x -+++.解：原式=224443x x x x -++++ ----------------------2分=227x +. ----------------------4分 19. 化简：2(3)(3)9x y x y x y ⎡⎤+--÷⎣⎦.解：原式=()22299x y x y --÷----------------------2分 =299y y-÷----------------------3分=y -. ----------------------4分20. 解方程：153x x =+.解：方程两边同乘(3)x x +，得 ----------------------1分35x x +=. ----------------------3分解得34x =. ----------------------4分检验：当34x =时，(3)0x x +≠. ∴ 原分式方程的解为34x =. ----------------------5分21. （1）---------------------2分（2）与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；----------------------3分AD . ----------------------4分 22. 如图（答案不唯一）.---------------------2分---------------------4分23. 证明：∵ AD =AE ，∴ ∠AEB =∠ADC . ----------------------1分 在△CAD 与△BAE 中，C B ADC AEB AD AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴ △CAD ≌△BAE . ----------------------4分 ∴ CD BE =. ----------------------5分 24. 解：∵ 2210a a +-=，∴ 221a a +=． ----------------------1分 原式=()()()()21111111a a a a a a ⎡⎤+-+÷⎢⎥---⎢⎥⎣⎦=()11111a a a a a +⎛⎫+⋅- ⎪--⎝⎭=()211a a a a +⋅-- ----------------------3分 =22a a + ----------------------4分 =1． ----------------------5分25. 解：设原计划平均每天生产x 台机器，则现在平均每天生产()50x +台机器．---------1分依题意，得60045050x x=+． ----------------------2分 解得 150x =． ----------------------3分经检验，150x =是原分式方程的解且符合实际． ----------------------4分 ∴50200x +=．答：现在平均每天生产200台机器． ----------------------5分 26．（1）P 1，P 2； ----------------------2分 （2）证明：∵ 点A (-4，0)，B (4，0)，C (0，4)，∴ AO =CO =BO ． ∵ ∠AOC =∠BOC =90°，∴ ∠CAO =∠ACO =∠BCO =∠ABC =45°．∴ AC ＝BC ，∠ACB =∠ACO +∠BCO =90°． ----------------------3分∵ ∠PAB =∠PCB =15°，∴ ∠CAP =∠CAO -∠PAB =30°，∠ACP =∠ACB -∠PCB =75°． ∴ ∠APC =180°-∠ACP -∠CAP =75°． ∴ ∠APC=∠ACP ．∴ AP =AC ． ∴ AP =BC ．∴ 点P 为△ABC 的友爱点． ----------------------4分 （3）0＜m ＜2． ----------------------6分 27. （1）21x ，答案不唯一． ----------------------1分 （2）①A B ⋅，2A ； ----------------------3分 ② ∵ 223,39mx nx A B x x ++==--，∴2223(32)939(3)(3)mx nx mx m n xA Bx x x x+++++++=+=--+-．∵A与B的和是一次分式，∴m=0．----------------------4分∴(2)9(3)(3)n xA Bx x+++=+-．∵A与B的和化简后是一次分式，且分母的次数为1，∴(2)93(3)n x x++=+或(2)93(3)n x x++=--．∴1n=或5n=-．----------------------6分∴21m n+=或25m n+=-．----------------------7分28.（1）80；----------------------1分（2）①△AED是等边三角形．----------------------2分证明：90B∠=︒，60BAC∠=︒，∴150ACD B BAC∠=∠+∠=︒．线段AC, CD的垂直平分线交于点E，∴EA=EC=ED．----------------------3分∴∠EAC=∠ACE，∠EDC=∠DCE．在四边形EACD中，360360260AED EAC ACD EDC ACD∠=︒-∠-∠-∠=︒-∠=︒．EA=ED，∴△AED是等边三角形．----------------------4分②数量关系：PE-PD＝2AB. ----------------------5分证明：作点D关于CF的对称点G，直线EG交CF于点P，此时PE－PD最大.连接AD，GC，GD.∵∠CFD＝∠CAE，∠CFD＋∠CFE＝180°，∴ ∠CAE＋∠CFE＝180°.∵∠AEF＝60°，∴ ∠ACF＝360°-(∠CAE＋∠CFE＋∠AEF)＝120°.∵∠ACD＝150°，∴ ∠DCP＝∠ACD-∠ACF＝30°. ----------------------6分∵点D与点G关于CF对称，∴∠GCD＝2∠DCP＝60°，GC＝CD，GP＝PD.∴ △GCD为等边三角形 .∵∠CDG＝∠ADE＝60°，DG＝DC，DE＝DA，∴ ∠1＝∠2.∴ △ACD ≌△EGD（SAS）.∴ AC＝EG.∴ PE-PD＝EG＝AC.在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝30°，∴ AC=2AB.∴ PE-PD＝2AB.----------------------7分。

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北京市上学期初中八年级期末考试数学试卷试卷满分：100分，考试时间：100分钟一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1. 2017年6月北京国际设计周面向社会公开征集“二十四节气”标识系统设计，以期通过现代设计的手段，尝试推动我国非物质文化遗产创新传承与发展．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是( )．2．科学家可以使用冷冻显微术以高分辨率测定溶液中的生物分子结构，使用此技术测定细菌蛋白结构的分辨率达到0.22纳米，也就是0.000 000 000 22米．将0.000 000 000 22用科学记数法表示为( )．A. 0.22×10-9B. 2.2×10-10C. 22×10-11D. 0.22×10-83．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是( )． A.x 2-2x-2 B.x 2+1 C.x 2-4x+4 D.x 2+4x+1 4．化简分式277()a ba b ++的结果是( )． A.7a b + B. 7a b + C. 7a b - D. 7a b- 5．在平面直角坐标系xOy 中，点M ，N ，P ，Q 的位置如图所示．若直线y=kx 经过第一、三象限，则直线y=kx-2可能经过的点是( )．A．点M B．点N C．点P D．点Q6．已知12xy=，则3x yy+的值为( )．A．7 B. 17C.52D.257．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为22，BE=4，则△ABD的周长为( )．A．14 B．18C．20 D．268．如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A，B，C，D，以其中一个点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点可能是( )．A．点A B．点BC．点C D．点D9．某中学为了创建“最美校园图书屋”，新购买了一批图书，其中科普类图书平均每本书的价格是文学类图书平均每本书价格的1.2倍．已知学校用12000元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多100本，那么学校购买文学类图书平均每本书的价格是多少元？设学校购买文学类图书平均每本书的价格是x元，则下面所列方程中正确的是( )．A ．1200012000100 1.2x x =+ B ．12000120001001.2x x =+ C ．1200012000100 1.2x x =- D ．12000120001001.2x x=- 10.如图，已知正比例函数y 1=ax 与一次函数212y x b =+的图象交于点P ．下面有四个结论：①a<0；②b<0；③当x>0时，y 1>0；④当x<-2时，y 1>y 2．其中正确的是( )．A ．①②B ．②③C ．①③D ．①④二、填空题（本题共25分，第13题4分，其余每小题3分） 11．要使分式21x -有意义，则x 的取值范围是_________________. 12.点P(3，4)关于y 轴的对称点P'的坐标是______________.13.计算：(1) 223b a ⎛⎫⎪⎝⎭=_________________.(2)21054ab ac c÷=___________________. 14.如图，点B ，E ，C ，F 在同一条直线上，AB=DE ，∠B=∠DEF.要使△ABC ≌△DEF ，则需要再添加的一个条件是________________．（写出一个即可）15.如图，△ABC是等边三角形，AB =6，AD是BC边上的中线．点E在AC边上，且∠EDA=30°，则直线ED与AB的位置关系是_________________，ED的长为_______________.16.写出一个一次函数，使得它同时满足下列两个条件：①y随x的增大而减小；②图象经过点（1，-4）．答：____________________．17.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°.(1)作出∠BAC的平分线AM;（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）(2)若∠BAC的平分线AM与BC交于点D，且BD=3，AC=10，则△DAC的面积为_____________________．18.小芸家与学校之间是一条笔直的公路，小芸从家步行前往学校的途中发现忘记带阅读分享要用的U盘，便停下给妈妈打电话，妈妈接到电话后，带上U盘马上赶往学校，同时小芸沿原路返回，两人相遇后，小芸立即赶往学校，妈妈沿原路返回家，并且小芸到达学校比妈妈到家多用了5分钟.若小芸步行的速度始终是每分钟100米，小芸和妈妈之间的距离y与小芸打完．．后．步行．．电话的时间x之间的函数关系如图所示，则妈妈从家出发__________分钟后与小芸相遇，相遇后妈妈回家的平均速度是每分钟________________米，小芸家离学校的距离为_________________米．三、解答题（本题共27分，第19、23题每小题6分，其余每小题5分） 19.分解因式：(1) 5a 2+10ab; (2)mx 2－12mx+36m. 解： 解：20.老师所留的作业中有这样一个分式的计算题：22511x x x +++-，甲、乙两位同学完成的过程分别如下：老师发现这两位同学的解答都有错误．请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正． (1)我选择________同学的解答过程进行分析．（填“甲”或“乙”）该同学的解答从第____________步开始出现错误，错误的原因是____________________ _________________________________________________________________________； (2)请重新写出完成此题的正确解答过程．22511x x x +++- 解：21.如图，在△ABC 中，点D 在AC 边上，AE ∥BC ，连接ED 并延长交BC 于点F ．若AD=CD ，求证：ED=FD.证明： 22.解分式方程：2521393x x x +=+--. 解：23.已知一次函数y=kx+b ，当x=2时y 的值为1，当x=-1时y 的值为-5． (1)在所给坐标系中画出一次函数y=kx+b 的图象； (2)求k ，b 的值；(3)将一次函数y=kx+b 的图象向上平移4个单位长度，求所得到新的函数图象与x 轴，y 轴的交点坐标．解：(2)(3)四、解答题（本题共18分，第24题5分，第25题6分，第26题7分）24.阅读材料：课堂上，老师设计了一个活动：将一个4 4的正方形网格沿着网格线划分成两部分（分别用阴影和空白表示），使得这两部分图形是全等的，请同学们尝试给出划分的方法．约定：如果两位同学的划分结果经过旋转、翻折后能够重合，那么就认为他们的划分方法相同．小方、小易和小红分别对网格进行了划分，结果如图1、图2、图3所示.小方说：“我们三个人的划分方法都是正确的．但是将小红的整个图形（图3）逆时针旋转90°后得到的划分方法与我的划分方法（图1）是一样的，应该认为是同一种方法，而小易的划分方法与我的不同．”老师说：“小方说得对．”完成下列问题：(1)图4的划分方法是否正确？答：____________________________.(2)判断图5的划分方法与图2小易的划分方法是否相同，并说明你的理由；答：____________________________________________________________________.(3)请你再想出一种与已有方法不同的划分方法，使之满足上述条件，并在图6中画出来．25.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1:y=3x+l与y轴交于点A．直线l2：y=kx+b 与直线y=-x平行，且与直线l1交于点B(1，m)，与y轴交于点C．(1)求m的值，以及直线l2的表达式；(2)点P在直线l2：y=kx+b上，且PA=PC，求点P的坐标；(3)点D在直线l1上，且点D的横坐标为a，点E在直线l2上，且DE∥y轴．若DE =6，求a的值．解：(1)(2)(3)26.在△ABC中，∠A=60°，BD，CE是△ABC的两条角平分线，且BD，CE交于点F．(1)如图1，用等式表示BE，BC，CD这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论；小东通过观察、实验，提出猜想：BE+CD=BC.他发现先在BC上截取BM，使BM=BE，连接FM，再利用三角形全等的判定和性质证明CM=CD即可.①下面是小东证明该猜想的部分思路，请补充完整：i)在BC上截取BM，使BM=BE，连接FM，则可以证明△BEF与_________________全等，判定它们全等的依据是______________；ii)由∠A= 60°，BD，CE是△ABC的两条角平分线，可以得出∠EFB=__________°；……②请直接利用．．．．i），ii）已得到的结论，完成证明猜想BE+CD=BC的过程．证明：(2)如图2，若∠ABC=40°，求证：BF=CA.证明：附加题试卷满分：20分一、解答题（本题共12分，每小题6分）1．基础代谢是维持机体生命活动最基本的能量消耗，在身高、年龄、性别相同的前提下（不考虑其他因素的影响），可以利用某基础代谢估算公式，根据体重x（单位：kg）计算得到人体每日所需基础代谢的能量消耗y（单位：Kcal），且y是x的函数．已知六名身高约为170cm的15岁男同学的体重，以及计算得到的他们每日所需基础代谢的能量消耗，如下表所示：学生编号 A B C D E F体重x（kg）54 56 60 63 67 70每日所需基础代谢的能量消耗y( Kcal) 1596 1631 1701 1753.5 1823.5 1876请根据上表中的数据回答下列问题：(1)随着体重的增加，人体每日所需基础代谢的能量消耗______________；（填“增大”、“减小”或“不变”）(2)若一个身高约为170cm 的15岁男同学，通过计算得到他每日所需基础代谢的能量消耗为1792Kcal ，则估计他的体重最接近于( )；A. 59kgB.62kgC.65kgD.68kg(3)当54≤x ≤70时，下列四个y 与x 的函数中，符合表中数据的函数是( )． A.y=x 2B.y=-10.5x+1071C.y=10x+1101D.y=17.5x+6512．我们把正n 边形(n ≥3)的各边三等分，分别以居中的那条线段为一边向外作正n 边形，并去掉居中的那条线段，得到一个新的图形叫做正n 边形的“扩展图形”，并将它的边数记为a n ．如图1，将正三角形进行上述操作后得到其“扩展图形”，且a 3=12.图3、图4分别是正五边形、正六边形的“扩展图形”．(1)如图2，在5×5的正方形网格中用较粗的虚线画有一个正方形，请在图2中用实线画出此正方形的“扩展图形”；(2)已知a 3=12，a 4=20，a 5=30，则图4中a 6=_______________，根据以上规律，正n 边形的“扩展图形”中a n =___________________；（用含n 的式子表示）(3)已知345111111111,,,344556a a a =-=-=-……且345111197300n a a a a ++++=，则n=___________.二、解答题（本题8分）3．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：12y x b =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且点C 的坐标为（4，-4）．(1)点A 的坐标为___________，点B 的坐标为______________；（用含b 的式子表示） (2)当b=4时，如图1所示，连接AC ，BC ，判断△ABC 的形状，并证明你的结论； (3)过点C 作平行于y 轴的直线l 2，点P 在直线l 2上，当-5<b<4时，在直线l 1平移的过程中，若存在点P 使得△ABP 是以AB 为直角边的等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点P的纵坐标．解：(2)△ABC的形状是____________________.证明：(3)点P的纵坐标为：__________________.参考答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C B A C A D B D二、填空题（本题共25分，第13题4分，其余每小题3分）11. x≠1 12. ( - 3,4) 13. (1)429ba；(2)8bc（各2分）14．答案不唯一．如：∠A=∠D. 15.平行，3．（第一个空1分，第二个空2分）16.答案不唯一．如：y=-4x.17．(1)如图所示；（2分）(2)15（1分）18. 8，60，2100（各1分）三、解答题（本题共27分，第19、23题每小题6分，其余每小题5分）19.解：(1) 5a2+ 10ab= 5a（a+2b）；……………3分(2)mx2－12mx+36m= m(x2－12x+36) …………………………………………4分=m(x－6)2………………………………………………6分20．解：(1)选甲：一，理由合理即可，如：第—个分式的变形不符合分式的基本性质，分子漏乘x-1；………………………………………2分选乙：二，理由合理即可，如：与等式性质混淆，丢掉了分母；………………………………………2分 （2）22511x x x +++- 2(1)5(1)(1)(1)(1)x x x x x x -+=++-+-……………………3分225(1)(1)x x x x -++=+-33(1)(1)x x x +=+-……………………………………4分31x -………………………………5分 21．证明：如图， ∵AE ∥BC ， ∴∠1=∠C ，∠E=∠2．…………………………………………2分在△AED 和△CFD 中， ∠1 =∠C, ∠E =∠2, AD=CD,∴△AED ≌△CFD.………………………………………………4分 ∴ED=FD.………………………………5分22.解：方程两边同乘（x+3）（x-3），得5（x-3）+2=x+3．…………………………2分 整理，得5x-15+2=x+3．……………………………………………3分 解得x=4．……………………………………………………4分经检验x=4是原分式方程的解．……………………………………………………5分 所以，原分式方程的解为x=4．23.解：(1)图象如图所示；……………………………………1分(2)∵当x=2时y的值为1，当x=-1时y的值为-5，∴ 2k +b=1，．…………………………3分解得k=2，……………………4分b=-3．(3)∵一次函数y=2x-3的图象向上平移4个单位长度后得到的新函数为y=2x+1，∴令y=0，12x=-；令x=0，y=1．∴新函数的图象与x轴，y轴的交点坐标分别为1(,0),(0,1)2-.……………………………6分四、解答题（本题共18分，第24题5分，第25题6分，第26题7分）24．解：(1)不正确；…………………………………………1分(2)相同，……………………………………………………2分理由合理即可，如：因为将图5沿直线翻折后得到的划分方法与图2的划分方法相同；……………………………………………………………………3分(3)答案不唯一，如：…………………………………………………………………………5分25.解：(1)∵点B(1，m,)在直线l1上，∴m=3×1+1=4.………………………………………………………………1分∵直线l2:y=kx+b与直线y=-x平行，∴k=-1．∵点B(1，4)在直线l2上，∴-1+b=4，解得b=5．∴直线l2的表达式为y=－x+5．………………………………2分(2)∵直线l1：y=3x+1与y轴交于点A，∴点A的坐标为(0，1).∵直线l2与y轴交于点C，∴点C的坐标为(0，5).∵PA=PC．∴点P在线段AC的垂直平分线上，∴点P的纵坐标为1+512=3．……………………………3分∵点P在直线l2上，∴-x+5=3，解得x=2．∴点P的坐标为(2，3)．…………………………4分(3)∵点D在直线l1：y=3x+1上，且点D的横坐标为a，∴点D的坐标为（a，3a+1）．∵点E在直线l2:y=kx+b上，且DE∥y轴，∴点E的坐标为（a，-a+5）．∵DE=6．∴|3a+1-（-a+5）|=6．∴52a=或12-.………6分26.解：(1)①△BMF，边角边，60；……………………………………3分②证明：如图1．∵由i）知△BEF≌△BMF,∴∠2=∠1．∵由ii）知∠1=60°,︒=∠=∠︒=∠∴6013,602∴∠4=180°- ∠1 -∠2=60°.∴∠3=∠4．……………………4分∵CE是△ABC的角平分线，∴∠5=∠6．在△CDF和△CMF中，∠3 =∠4CF=CF,∠5=∠6.∴△CDF≌△CMF.∴CD=CM.∴BE+CD=BM+CM=BC.……………………5分(2)证明：作∠ACE的角平分线CN交AB于点N，如图2．∵∠A=60°,∠ABC=40°,∴∠ACB=180°-∠A -∠ABC=80°. ∵BD,CE分别是△ABC的角平分线，∴∠1=∠2=12∠ABC=20°,∠3 =∠ACE =12∠ACB = 40°.∵CN平分∠ACE,∴∠4=12∠ACE=20°.∴∠1=∠4.∵∠5 =∠2 +∠3 = 60°,∴∠5=∠A.∵∠6 = ∠1 +∠5,∠7 = ∠4 +∠A, ∴∠6=∠7.∴CE=CN.∵∠EBC=∠3 =40°,∴BE=CE.∴BE=CN.在△BEF和△CNA中 ,∠5=∠A∠1=∠4,BE=CN,∴△BEF≌△CNA.∴BF=CA.………………………………7分附加题一、解答题（本题共12分，每小题6分）1．解：(1)增大；……………………………………2分(2)C;……………………………………4分(3)D．…………………………6分2．解：(1)如图所示；……………………………………2分(2)42，n(n+1)；…………………………………………4分(3)99．………………………………………………6分二、解答题（本题8分）3．解：(1)（-2b，0），(0，b)；………………………………………………2分(2)等腰直角三角形；……………………………………………………3分证明：过点C作CD⊥y轴于点D，如图，则∠BDC=∠AOB=90°.∵点C的坐标为（4，-4），∴点D的坐标为（0，-4），CD=4．∵当b=4时，点A，B的坐标分别为（-8，0），(0，4)，∴AO=8，BO=4，BD=8．∴AO=BD．BO=CD.在△AOB和△BDC中，AO=BD,∠AOB=∠BDC,BO=CD,∴△AOB≌△BDC. …………………………………4分∴∠1=∠2，AB=BC.∵∠1+∠3=90°,∴∠2+∠3=90°,即∠ABC=90°.∴△ABC是等腰直角三角形．…………………………5分(3) -12，83，8………………………………8分。

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