上海市初三试卷2018---2019学年第一学期初三期末质量检测

2018---2019学年第一学期初三期末质量检测数学试卷（满分150分，考试时间100分钟）（2019．1）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1．下列函数是二次函数的是（ ▲ ） A ．x y = B ．x y 1=C ．22x x y +-= D ．21xy = 2．在ABC Rt ∆中，o90=∠C ，那么B ∠sin 等于（ ▲ ） A ．AB AC B ．AB BC C ．BC AC D ．ACBC3．如图，已知BD 与CE 相交于点A ，BC ED //，8=AB ，12=AC ，6=AD ，那么AE 的长等于（ ▲ ）A ．4B ．9C ．12D ．164．已知是一个单位向量，、是非零向量，那么下列等式正确的是（ ▲ ） A = B = C = D =5．已知抛物线()02≠++=a c bx ax y 如图所示，那么a 、b 、c 的取值范围是（ ▲ ）A ．0<a 、0>b 、0>cB ．0<a 、0<b 、0>cC ．0<a 、0>b 、0<cD ．0<a 、0<b 、0<c第3题图ABCDEABC第6题图6．如图，在ABC Rt ∆中，o90=∠C ，2=BC ， 60=∠B ，⊙A 的半径为3，那么下列说法正确的是（ ▲ ）A ．点B 、点C 都在⊙A 内 B ．点C 在⊙A 内，点B 在⊙A 外 C ．点B 在⊙A 内，点C 在⊙A 外D ．点B 、点C 都在⊙A 外 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请直接将结果填入答题纸的相应位置】7．已知二次函数()132+-=x x x f ，那么()=2f ▲ ． 8．已知抛物线1212-=x y ，那么抛物线在y 轴右侧部分是 ▲ （填“上升的”或“下降的”）． 9．已知25=y x ，那么=+yy x ▲ ． 10．已知α是锐角，21sin =α，那么=αcos ▲ ． 11．一个正n 边形的中心角等于18，那么=n ▲ ．12．已知点P 是线段AB 上的黄金分割点，BP AP >，4=AB ，那么=AP ▲ ． 13．如图，为了测量铁塔AB 的高度，在离铁塔底部（点B ）60米的C 处，测得塔顶A 的仰角为30，那么铁塔的高度=AB ▲ 米．14．已知⊙1O 、⊙2O 的半径分别为2和5，圆心距为d ,若⊙1O 与⊙2O 相交，那么d 的取值范围是 ▲ ．15．如图，已知O 为ABC ∆内一点，点D 、E 分别在边AB 和AC 上，且52=AB AD ，BC DE //，设=、=，那么= ▲ （用、表示）．16．如图，已知⊙1O 与⊙2O 相交于A 、B 两点，延长连心线21O O 交⊙2O 于点P ，联结PA 、PB ，若60=∠APB ,6=AP ，那么⊙2O 的半径等于 ▲ ．17．如图，在ABC ∆中，AD 、BE 分别是边BC 、AC 上的中线，5==AC AB ，54cos =∠C ，那么=GE ▲ ．ABC第13题图 BA C DEO第15题图第20题图18．如图，在ABC Rt ∆中，o90=∠C ，8=AC ，6=BC ．在边AB 上取一点O ，使BC BO =，以点O 为旋转中心，把ABC ∆逆时针旋转90，得到C B A '''∆（点A 、B 、C 的对应点分别是点A '、B '、C '），那么ABC ∆与C B A '''∆的重叠部分的面积是 ▲ ．三、解答题（19—22题，每题10分，23—24每题12分，25题14分，共78分）19．计算：30sin 45cot 60ta 60sin 230cot 45cos 22⋅-+-n ． 20．已知二次函数542--=x x y ，与y 轴的交点为P ，与x 轴交于A 、B 两点．（点B 在点A 的右侧）（1）当0=y 时，求x 的值．（2）点()m M ,6在二次函数542--=x x y 的图像上，设直线MP 与x 轴交于点C ，求MCB ∠cot 的值．21．如图，已知某水库大坝的横断面是梯形ABCD ，坝顶宽AD 是6米，坝高24米，背水坡AB 的坡度为1：3，迎水坡CD 的坡度为1：2． 求（1）背水坡AB 的长度． （2）坝底BC 的长度．22．如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 为圆上一点，D 是BC ⌒的中点，AB CH ⊥于H ，垂足为H ，联结OD 交弦BC 于E ，交CH 于F ，联结EH . （1）求证：BHE ∆∽BCO ∆．（2）若4=OC ，1=BH ，求EH 的长．P第16题第21题图ABCD1:31:2G A BCD E第17题C第18题E BAOC FHD23．如图，M 是平行四边形ABCD 的对角线上的一点，射线AM 与BC 交于点F ，与DC 的延长线交于点H ．（1）求证：MH MF AM ⋅=2．（2）若DM BD BC ⋅=2，求证：ADC AMB ∠=∠．24．已知抛物线c bx x y ++=2经过点()6,0A ，点()3,1B ，直线1l ：()0≠=k kx y ，直线2l ：2--=x y ，直线1l 经过抛物线c bx x y ++=2的顶点P ，且1l 与2l 相交于点C ，直线2l 与x 轴、y 轴分别交于点D 、E .若把抛物线上下平移，使抛物线的顶点在直线2l 上（此时抛物线的顶点记为M ），再把抛物线左右平移，使抛物线的顶点在直线1l 上（此时抛物线的顶点记为N ）． （1）求抛物线c bx x y ++=2的解析式．（2）判断以点N 为圆心，半径长为4的圆与直线2l 的位置关系，并说明理由．（3）设点F 、H 在直线1l 上（点H 在点F 的下方），当MHF ∆与OAB ∆相似时，求点F 、H 的坐标（直接写出结果）．25．已知多边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，联结AC 、FD ，点H 是射线AF 上的一个动点，联结CH ,直线CH 交射线DF 于点G ，作CH MH ⊥交CD 的延长线于点M ，设⊙O 的半径为()0>r r ．（1）求证：四边形ACDF 是矩形．（2）当CH 经过点E 时，⊙M 与⊙O 外切，求⊙M 的半径（用r 的代数式表示）．（3）设()900<<=∠ααHCD ，求点C 、M 、H 、F 构成的四边形的面积（用r 及含α的三角比的式子表示）．第24题第25题备用图ABCD HF M第23题参考答案一．选择题（每小题4分，共24分）1.C2.A3.B4.B5.D6.D . 二．填空题（每小题4分，共48分）7.1-8.上升的9.27 10.23 11.20 12.252- 13.320 14.73<<d 15.5252+-16. 32 17.217 18.25144. 三．解答题（19—22题，每题10分，23—24每题12分，25题14分，共78分）19.解：原式()211323232222⨯-+⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=； (6分) 213121-+-=； （2分）2=. （2分）20. 解：（1）把0=y 代入函数解析式得0542=--x x ， （3分）即()()015=+-x x ，解得：51=x ，12-=x . （2分）（2）把()m M ,6代入542--=x x y 得7=m ，即得()7,6M ， （1分）∵二次函数542--=x x y ，与y 轴的交点为P ，∴P 点坐标为()5,0-P . （1分）设直线MP 的解析式为b kx y +=，代入()5,0-P ，()7,6M 得576-=⎧⎨=+⎩b k b 解得=5=2-⎧⎨⎩b k ，∴52-=x y ， （1分）∴点C 坐标为⎪⎭⎫⎝⎛0,25C ， （1分） 在POC Rt ∆中21cot ==∠OP OC OCP ,又∵MCB OCP ∠=∠ ∴21cot =∠MCB . （1分） 21.解：（1）分别过点A 、D 作BC AM ⊥，BC DN ⊥垂足分别为点M 、N ，（1分） 根据题意，可知24==DN AM （米），6==AD MN （米） （1分）在ABM Rt ∆中∵31=BM AM ,∴72=BM （米）, （1分） ∵222BM AM AB +=,∴1024722422=+=AB （米）. （1分） 答：背水坡AB 的长度为1024米． （1分） （2）在DNC Rt ∆中，21=CN DN ，（1分） ∴48=CN （米）， （1分） ∴12648672=++=BC （米） （2分） 答：坝底BC 的长度为126米. （1分）22.（1）证明：∵OD 为圆的半径，D 是BC ⌒的中点， ∴BC OD ⊥,BC CE BE 21==, （1分） ∵AB CH ⊥, ∴90=∠CHB ，∴BE BC HE ==21, （1分） ∴EHB B ∠=∠, ∵OC OB =,∴OCB B ∠=∠,∴OCB EHB ∠=∠, （1分） 又∵B B ∠=∠, （1分）∴BHE ∆∽BCO ∆． （1分） （2）解：∵BHE ∆∽BCO ∆， ∴OBBEBC BH =, （1分） ∵4=OC ，1=BH ,∴4=OB 得421BE BE =， （1分） 解得2=BE ， （2分） ∴2==BE EH . （1分）23.（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC AD //，CD AB //， （2 分）∴MB DM MF AM =， （1分） AM MHMB DM =， （1分） ∴AMMH MF AM =即MH MF AM ⋅=2． （2分） （2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC AD =，又∵DM BD BC ⋅=2， （1分）∴DM BD AD ⋅=2即ADDMDB AD =， 又∵BDA ADM ∠=∠,∴ADM ∆∽BDA ∆， （1分） ∴BAD AMD ∠=∠， （1分） ∵CD AB //，∴180=∠+∠ADC BAD ， （1分） ∵ 180=∠+∠AMD AMB ，（1分） ∴ADC AMB ∠=∠. （1分）24.解：（1）把点()6,0A 、()3,1B 代入c bx x y ++=2得631=⎧⎨=++⎩c b c ， （2分）解得，46=-⎧⎨=⎩b c ，（1分） ∴抛物线的解析式为642+-=x x y .（1分）（2）由642+-=x x y 得()222+-=x y ，∴顶点P 的坐标为()2,2P ， （1分） 把()2,2P 代入1l 得k 22=解得1=k ，∴直线1l 解析式为x y =， 设点()m M ,2，代入2l 得4-=m ，∴得()42-，M ， 设点()4,-n N ，代入1l 得4-=n ，∴得()44--，N ， 由于直线2l 与x 轴、y 轴分别交于点D 、E ∴易得()0,2-D 、()20.-E , ∴()()2010122=--+--=OC ,()()2210122=+-+--=CE∴CE OC =，∵点C 在直线x y =上， ∴45=∠COE ，∴45=∠OEC ，904545180=--=∠OCE 即2l NC ⊥， （1分） ∵()()423414122>=+-++-=NC , （1分）∴以点N 为圆心，半径长为4的圆与直线2l 相离. （1分）（3）点H 、F 的坐标分别为()8,8F 、()10,10--H 或()8,8F 、()3,3H 或()5,5--F 、()10,10--H . (对1个得2分，对2个得3分，对,3个得4分) 25.（1）证明：∵多边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形， ∴AC AB =，() 120626180=-⨯=∠=∠BAF ABC , （1分）∴BCA BAC ∠=∠，∵180=∠+∠+∠ABC BCA BAC ，∴30=∠BAC ，得90=∠CAF ， （1分）同理90=∠ACD ，90=∠AFD ，（1分） ∴四边形ACDF 是矩形． （1分）（2）联结OC 、OD ，由题意得：OD OC =，606360==∠COD ， ∴OCD ∆为等边三角形，∴r OC CD ==，60=∠OCD ，作CD ON ⊥垂足为N ，即ON 为CD 弦的弦心距， ∴r CD CN 2121==，由23sin ==∠OC ON OCD 得r ON 23=,（1分） 作AC OP ⊥垂足为P ，即OP 为AC 弦的弦心距， ∴AC CP 21=，∵ 306090=-=∠OCP , ∴r OC CP 2330cos =⋅=，得r AC 3=，（1分） 当CH 经过点E 时，可知30=∠ECD , ∵四边形ACDF 是矩形，∴CD AF //，∴30=∠=∠ECD AHC ，∴在ACH Rt ∆中，r AC CH 322==， ∵CH MH ⊥， ∴23cos ==∠CM CH HCM ，得r CM 4=,∴r MN 27=,（1分）∴在MON Rt ∆中，r MN ON OM 1322=+=， ∵⊙M 与⊙O 外切，∴OM r r m o =+，即⊙M 的半径()r 113-=.（1分）（3）作CM HQ ⊥垂足为Q ，由α=∠HCD ，CH MH ⊥可得α=∠QHM , ∵CD AF //,CD AC ⊥ ∴r AC HQ 3== （1分）∴αcot 3cot ⋅=⋅∠=r HQ HCQ CQ ，（1分） αtan 3tan ⋅=⋅∠=r HQ QHM MQ （1分）即()ααcot tan 3+=r CM ，①当600<<α时，点H 在边AF 的延长线上，此时点C 、M 、H 、F 构成的四边形为梯形， ∵r r CD CQ DQ FH -⋅=-==αcot 3,∴()()23tan 3cot 622r HQ CM FH S ⋅-+=⋅+=αα. （1分）②当60=α时，点H 与点F 重合，此时点C 、M 、H 、F 构成三角形，非四边形，所以舍去. （1分）③当9060<<α时，点H 在边AF 上，此时点C 、M 、H 、F 构成的四边形为梯形， ∵αcot 3⋅-=-==r r CQ CD DQ FH ,∴()()2tan 3322r HQ CM FH S ⋅+=⋅+=α. （1分）综上所述，当()900<<=∠ααHCD 时，点C 、M 、H 、F 构成的四边形的面积为()23tan 3cot 62r S ⋅-+=αα或()2tan 332r S ⋅+=α.（备注：若求出ααcos sin 3⋅=r CM ，可得当600<<α2cos sin 2323cot 23r S ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+-=ααα，当9060<<α时2cos sin 23cot 2323r S ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+-=ααα.。