高考数学平面向量知识点及相关题型精修订
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⑵性质：设 和 都是非零向量
①
②当 与 同向时， ；当 与 反向时， ； 或
③ ．
两向量夹角的范围为 ，求夹角时一定要注意两向量夹角的范围
[练习]若非零向量a,b满足 ，则a与b的夹角为
⑶运算律：① ；② ；③ ．
⑷坐标运算：设两个非零向量 ， ，则 ．
若 ，则 ，或 ． 设 ， ，则 ．
设 、 都是非零向量， ， ， 是 与 的夹角，则 ．
① ， ， ；
② ， ， ；③ ；
（3）正弦定理的应用：
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边
[练习] 在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于()．
A．5 B．10 D．5
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
【注意】
在 中，已知a,b和A，利用正弦定理解三角形时，会出现解不确定的情况，一般可根据三角形中“大边对大角，三角形内角和定理”来取舍，具体情况如下
[练习]
1、平面向量 ，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m=
A,-2 B,-1 C,1 D,2
2、在平行四边形ABCD中，AD=1，角BAD=60度，E为CD的重点，若 ，则AB的长为
解三角形
1、（1）正弦定理：在 中， 、 、 分别为角 、 、 的对边，，则有
( 为 的外接圆的半径)
（2）正弦定理的变形公式：
⑶三角形不等式： ．
⑷运算性质：
①交换律： ；
②结合律： ；③ ．
⑸坐标运算（坐标加减）：设 ， ，
则 ．
5、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
⑵坐标运算：设 ， ，则 ．
设 、 两点的坐标分别为 ， ，则 ．
6、向量数乘运算：
⑴实数 与向量 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作 ．
8、平面向量基本定理：如果 、 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 ，有且只有一对实数 、 ，使 ．（不共线的向量 、 作为这一平面内所有向量的一组基底）
[练习]在下列向量组中，可以把向量a=（3,2）表示出来的是
A，e1=（0,0），e2=（1,2）B,e1=（-1,2），e2=（5,-2）C,e1=（3,5），e2=（6,10）D,e1=（2,-3），e2=（-2,3）
① ；
②当 时， 的方向与 的方向相同；当 时， 的方向与 的方向相反；当 时， ．
⑵运算律：① ；② ；③ ．
⑶坐标运算：设 ，则 ．
【向量相等，坐标相同；向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关】
7、向量共线定理：向量 与 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使 ．
9、分点坐标公式：设点 是线段 上的一点， 、 的坐标分别是 ， ，当 时，点 的坐标是 ．（当
10、平面向量的数量积：
⑴ ．零向量与任一向量的数量积为 ．
的几何意义： 等于 的长度 与 在 的方向上的投影 的乘积
[练习]已知点A(-1，1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量 方向上的投影为
A．30° B．45° C．60° D．75°
5、三角形中常用结论
在 中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，常见的结论有
（1）A+B+C=π
（2）在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞Ba＞bsin A＞sin B.
（3）常用三角恒等式：sin（A+B）=sin（C）；cos（A+B）=-cos（C）；tan(A+B)=-tan(C)
设 ， ，其中 ，则当且仅当 时，向量 、 共线．
[练习]设a,b是两个不共线的向量， ，若A,B,D三点共线，则实数p的值是
对于 ( 均为实数)，若A,B,C三点共线，则 ，反之仍然成立。
[练习]如图所示，在 中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若 ,则m+n的值为
零向量：长度为 的向量．
单位向量：长度等于 个单位的向量．
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．
相等向量：长度相等且方向相同的向量．
3、向量既有代数特征又有几何特征，可以起到数形结合的作用。
4、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连．
⑵平行四边形法则的特点：共起点．
【解题】
用已知向量表示另外一些向量，除了利用向量加减法和数乘运算外，还充分利用平面几何的一些定理。
在求向量时要尽可能的转化到平行四边形或三角形中。
常要用到相似三角形对应边成比例，三角形中位线等平面几何的性质。
[练习]
1、在 中，点M,N满足 ,则x= ，y=
2、如图，已知平面内有三个向量 ,其中 的夹角为120度， 的夹角为30度，且 ,则 的值为
高考数学平面向量知识点及相关题型
平面向量
1、向量：既有大小，又有方向的量。向量不能比较大小，只可以判断是否相等，向量的模可以比较大小。
数量：只有大小，没有方向的量。数量可以比较大小，也可以判断是否相等。
2、有向线段的三要素：起点、方向、长度．起点的选择是任意的，对于模相等且方向相同的两个向量，无论他们的起点在哪里，都认为这两个向量相等。
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＜bsinA
a＝bsinA
bsinA＜a＜b
a≥b
a百度文库b
a≤b
解的
个数
无解
一解
两解
一解
一解
无解
3、三角形面积公式： ．
4、余弦定理：在 中，有
推论：
应用：已知三边，求各角
已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角
[练习]在△ABC中，a＝3，b＝1，c＝2，则A等于( )．
[练习]
1、 的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c
（1）若a,b,c成等差数列，证明sinA+sinC=2sin(A+C)
（2）若a,b,c成等比数列，求cosB的最小值
6、三角形形状的判定，利用正余弦定理把已知条件转化为三角形的三角函数关系或者边边关系再进行下一步求解
[练习]
1、在 中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若直线bx+ycosA+cosB=0与ax+ycosB+cosA=0平行，则 一定是（）
A,锐角三角形 B,等腰三角形 C,直角三角形 D，等腰或者直角三角形
2、在△ABC中，若 ＝ ＝ ；则△ABC是()．
A．直角三角形B．等边三角形
C．钝角三角形D．等腰直角三角形
7、三角形的面积公式的选择
①
②当 与 同向时， ；当 与 反向时， ； 或
③ ．
两向量夹角的范围为 ，求夹角时一定要注意两向量夹角的范围
[练习]若非零向量a,b满足 ，则a与b的夹角为
⑶运算律：① ；② ；③ ．
⑷坐标运算：设两个非零向量 ， ，则 ．
若 ，则 ，或 ． 设 ， ，则 ．
设 、 都是非零向量， ， ， 是 与 的夹角，则 ．
① ， ， ；
② ， ， ；③ ；
（3）正弦定理的应用：
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边
[练习] 在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于()．
A．5 B．10 D．5
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
【注意】
在 中，已知a,b和A，利用正弦定理解三角形时，会出现解不确定的情况，一般可根据三角形中“大边对大角，三角形内角和定理”来取舍，具体情况如下
[练习]
1、平面向量 ，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m=
A,-2 B,-1 C,1 D,2
2、在平行四边形ABCD中，AD=1，角BAD=60度，E为CD的重点，若 ，则AB的长为
解三角形
1、（1）正弦定理：在 中， 、 、 分别为角 、 、 的对边，，则有
( 为 的外接圆的半径)
（2）正弦定理的变形公式：
⑶三角形不等式： ．
⑷运算性质：
①交换律： ；
②结合律： ；③ ．
⑸坐标运算（坐标加减）：设 ， ，
则 ．
5、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
⑵坐标运算：设 ， ，则 ．
设 、 两点的坐标分别为 ， ，则 ．
6、向量数乘运算：
⑴实数 与向量 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作 ．
8、平面向量基本定理：如果 、 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 ，有且只有一对实数 、 ，使 ．（不共线的向量 、 作为这一平面内所有向量的一组基底）
[练习]在下列向量组中，可以把向量a=（3,2）表示出来的是
A，e1=（0,0），e2=（1,2）B,e1=（-1,2），e2=（5,-2）C,e1=（3,5），e2=（6,10）D,e1=（2,-3），e2=（-2,3）
① ；
②当 时， 的方向与 的方向相同；当 时， 的方向与 的方向相反；当 时， ．
⑵运算律：① ；② ；③ ．
⑶坐标运算：设 ，则 ．
【向量相等，坐标相同；向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关】
7、向量共线定理：向量 与 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使 ．
9、分点坐标公式：设点 是线段 上的一点， 、 的坐标分别是 ， ，当 时，点 的坐标是 ．（当
10、平面向量的数量积：
⑴ ．零向量与任一向量的数量积为 ．
的几何意义： 等于 的长度 与 在 的方向上的投影 的乘积
[练习]已知点A(-1，1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量 方向上的投影为
A．30° B．45° C．60° D．75°
5、三角形中常用结论
在 中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，常见的结论有
（1）A+B+C=π
（2）在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞Ba＞bsin A＞sin B.
（3）常用三角恒等式：sin（A+B）=sin（C）；cos（A+B）=-cos（C）；tan(A+B)=-tan(C)
设 ， ，其中 ，则当且仅当 时，向量 、 共线．
[练习]设a,b是两个不共线的向量， ，若A,B,D三点共线，则实数p的值是
对于 ( 均为实数)，若A,B,C三点共线，则 ，反之仍然成立。
[练习]如图所示，在 中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若 ,则m+n的值为
零向量：长度为 的向量．
单位向量：长度等于 个单位的向量．
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．
相等向量：长度相等且方向相同的向量．
3、向量既有代数特征又有几何特征，可以起到数形结合的作用。
4、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连．
⑵平行四边形法则的特点：共起点．
【解题】
用已知向量表示另外一些向量，除了利用向量加减法和数乘运算外，还充分利用平面几何的一些定理。
在求向量时要尽可能的转化到平行四边形或三角形中。
常要用到相似三角形对应边成比例，三角形中位线等平面几何的性质。
[练习]
1、在 中，点M,N满足 ,则x= ，y=
2、如图，已知平面内有三个向量 ,其中 的夹角为120度， 的夹角为30度，且 ,则 的值为
高考数学平面向量知识点及相关题型
平面向量
1、向量：既有大小，又有方向的量。向量不能比较大小，只可以判断是否相等，向量的模可以比较大小。
数量：只有大小，没有方向的量。数量可以比较大小，也可以判断是否相等。
2、有向线段的三要素：起点、方向、长度．起点的选择是任意的，对于模相等且方向相同的两个向量，无论他们的起点在哪里，都认为这两个向量相等。
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＜bsinA
a＝bsinA
bsinA＜a＜b
a≥b
a百度文库b
a≤b
解的
个数
无解
一解
两解
一解
一解
无解
3、三角形面积公式： ．
4、余弦定理：在 中，有
推论：
应用：已知三边，求各角
已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角
[练习]在△ABC中，a＝3，b＝1，c＝2，则A等于( )．
[练习]
1、 的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c
（1）若a,b,c成等差数列，证明sinA+sinC=2sin(A+C)
（2）若a,b,c成等比数列，求cosB的最小值
6、三角形形状的判定，利用正余弦定理把已知条件转化为三角形的三角函数关系或者边边关系再进行下一步求解
[练习]
1、在 中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若直线bx+ycosA+cosB=0与ax+ycosB+cosA=0平行，则 一定是（）
A,锐角三角形 B,等腰三角形 C,直角三角形 D，等腰或者直角三角形
2、在△ABC中，若 ＝ ＝ ；则△ABC是()．
A．直角三角形B．等边三角形
C．钝角三角形D．等腰直角三角形
7、三角形的面积公式的选择