最新6年高考4年模拟分类汇编23第十四章 复数
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：复数精选全文
跟踪训练1
(1)(2023·淄博模拟)若复数z＝
2＋i a＋i
的实部与虚部相等，则实
数a的值为
√A.－3
B.－1
C.1
D.3
z＝2a＋＋ii＝((a2＋＋ii))((aa－－ii))＝2a＋1a＋2＋(a1－2)i， 因为复数 z＝2a＋ ＋ii的实部与虚部相等， 所以2a＋1＝a－2，解得a＝－3， 故实数a的值为－3.
跟踪训练2 (1)(2022·新高考全国Ⅱ)(2＋2i)(1－2i)等于
A.－2＋4i
B.－2－4i
C.6＋2i
√D.6－2i
(2＋2i)(1－2i)＝2－4i＋2i＋4＝6－2i，故选D.
(2)(2023·济宁模拟)已知复数z满足z·i3＝1－2i，则 z 的虚部为
A.1
√B.－1
C.2
D.－2
弗公式可知，复数
cos
6π＋isin
π7 6
在复平面内所对应的点位于
A.第一象限
B.第二象限
√C.第三象限
D.第四象限
由已知得cos
π6＋isin
π67＝cos
76π＋isin
76π＝cosπ＋π6＋isinπ＋π6＝
－cos π6－isin π6＝－ 23－12i，
∴复数cos
π6＋isin
(2)(2022·全国甲卷)若 z＝1＋i，则|iz＋3 z |等于
A.4 5
B.4 2
C.2 5
√D.2 2
因为 z＝1＋i，所以 iz＋3 z ＝i(1＋i)＋3(1－i)＝i－1＋3－3i＝2－2i， 所以|iz＋3 z |＝|2－2i|＝ 22＋(－2)2＝2 2.故选 D.
(3)(2022·新高考全国Ⅰ)若 i(1－z)＝1，则 z＋ z 等于
数学高考复习名师精品教案：第104-106课时：第十四章 复数-复数的有关概念
数学高考复习名师精品教案第104-106课时：第十四章复数——复数的有关概念法及复数的运算法则，复数与实数的区别和联系。
三．教学过程：（一）主要知识：1.数的概念的发展，复数的有关概念（实数、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数、模）；2.复数的代数表示与向量表示；3.复数的加法与减法，复数的乘法与除法，复数的三角形式，复数三角形式的乘法与乘方，复数三角形式的除法与开方；4.复数集中解实系数方程（包括一元二次方程、二项方程）。
复数在过去几年里是代数的重要内容之一，涉及的知识面广，对能力要求较高，是高考热点之一。
但随着新教材对复数知识的淡化，高考试题比例下降，因此考生要把握好复习的尺度。
从近几年的高考试题上看：复数部分考查的重点是基础知识题型和运算能力题型。
基础知识部分重点是复数的有关概念、复数的代数形式、三角形式、两复数相等的充要条件及其应用，复平面内复数的几何表示及复向量的运算。
主要考点为复数的模与辐角主值，共轭复数的概念和应用。
若只涉及到一、二个知识点的试题大都集中在选择题和填空题；若涉及几个知识点的试题，往往是中、高档题目，解答此类问题一般要抓住相应的概念进行正确的变换，对有些题目，往往用数形结合可获得简捷的解法。
有关复数n 次乘方、求辐角（主值）等问题，涉及到复数的三角形式，首先要将所给复数转化为三角形式后再进行变换。
复数的运算是高考中复数部分的热点问题。
主要考查复数的代数和三角形式的运算，复数模及辐角主值的求解及复向量运算等问题。
基于上述情况，我们在学习“复数”一章内容时，要注意以下几点： （1）复数的概念几乎都是解题的手段。
因此在学习复数时要在深入理解、熟练掌握复数概念上下功夫。
除去复数相等、模、辐角、共轭等外，还要注意一些重要而常不引起重视的概念。
如：若有“3 1z z + 4”。
就是说1z Rz +∈，而且很快联系到111z z z zz+=+⇔=或z R ∈，又∵1z =是不可能的，∴z R ∈。
高考数学异构异模复习第十四章数系的扩充与复数的引入14.2复数的运算课件文
有些同学在听课的过程中常碰到这样的问题，比如老师讲到一道很难的题目时，同学们听课的思路就“卡壳“了，无法再跟上老师的思路。这时候该怎么办呢？
如果“卡壳”的内容是老师讲的某一句话或某一个具体问题，同学们应马上举手提问，争取让老师解释得在透彻些、明白些。
如果“卡壳”的内容是公式、定理、定律，而接下去就要用它去解决问题，这种情况下大家应当先承认老师给出的结论（公式或定律）并非继续听下去，先把问题记 下来，到课后再慢慢弄懂它。
法运算及 i 的运算规律为命题热点．
命题法 复数的四则运算
典例
(1)下面是关于复数 z＝－12＋i的四个命题：
p1：|z|＝2，p2：z2＝2i，
p3：z 的共轭复数为 1＋i，p4：z 的虚部为－1，
其中的真命题为( )
A．p2，p3 B．p1，p2
C．p2，p4 D．p3，p4
(2)已知复数
z＝1－3＋3ii2，－z 是
5 复数的除法 运算法则：设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则zz12＝ac＋＋dbii＝ac＋＋dbiicc－－ddii＝acc2＋ ＋bdd2 ＋bcc2－ ＋add2 i(c ＋di≠0)，即分子、分母同乘以 分母的共轭复数 ，使分母实数化，以简化运算．
第十四章 数系的扩充与复数的引入
考点二 复数的运算
撬点·基础点 重难点
1 复数的加法
(1)运算法则：设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两复数，那么
z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)I
.
(2)运算律：交换律、结合律．
→→
→
→→
(3)几何意义：复数 z1＋z2 是以OZ1，知复数
复数高考题分类汇编(可编辑修改word版)
2复数高考真题分类汇编题型一 复数的概念及分类1．（ 2015· 天津卷） i 是虚数单位， 若复数 (1- 2i )(a + i ) 是纯虚数， 则 a =．2．（ 2016· 江苏卷） 复数 是．z = (1+ 2i )(3 - i ) ， i 为虚数单位， 则 z 的实部 3．（2016·上海卷）设 z = 3 + 2i，其中i 为虚数单位，则其虚部为 ．i4．（ 2017· 天津卷） 已知 a ∈ R ， i 为虚数单位， 若 a - i为实数， 则 a 的值2 + i为 ． 5．（2017·全国卷）设有下面四个命题：p :若复数满足 1∈ R ，则 z ∈ R ； 1 zp : 若复数满足 z 2 ∈ R ，则 z ∈ R ；p 3 : 若复数 z 1 、 z 2 满足 z 1 z 2 ∈ R ，则 z 1 = z 2 ； p 4 : 若复数 z ∈ R ，则 z ∈ R ； 其中真命题为（） A. p 1 ， p 3B. p 1 ， p 4C. p 2 ， p 3D. p 2 ， p 4题型二 与共轭复数、复数相等有关的问题1．（2013·山东卷）复数满足(z - 3)(2 - i ) = 5 （ i 为虚数单位），则 z 的共轭复数为（） A. 2 + iB. 2 - i C ． 5 + iD .5 5 - i2．（2013·安徽卷）设i 是虚数单位，若 z ⋅ zi + 2 = 2z ，则 z = （）A. 1+ iB. 1- iC. -1+ iD. -1- i3．（2013·福建卷）已知复数的共轭复数 z = 1+ 2i （ i 为虚数单位），则 z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．（2013·湖北卷）在复平面内，复数 z = 的点位于（ ）2i1+ i（ i 为虚数单位）的共轭复数对应A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．（2013·四川卷）如图，在复平面内，点 A 表示复数，则图中表示的共轭复数的点是6．（2013·天津卷）已知a 、b ∈ R ， i 是虚数单位，若(a + i )(1+ i ) = bi ，则a + bi = ． 7．（2014·陕西卷）原命题为“若 z 1 , z 2 互为共轭复数，则 z 1 = z 2 ”，关于逆命题， 否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）A ．真假真B ．假假真C ．真真假D ．假假假8．（2014·山东卷）已知a 、b ∈ R ， i 是虚数单位，若a - i 与2 + bi 互为共轭复数， 则(a + bi )2 = （）A ． 5 - 4iB ． 5 + 4iC ． 3 - 4iD ． 3 + 4i9．（2014·江西卷） z 是 z 的共轭复数．若 z + z = 2 ， (z - z )i = 2 ， i 为虚数单位，则 z = （ ）A. 1+ iB. -1- iC. -1+ iD. 1- i10．（2014·安徽卷）设i 是虚数单位， z 表示复数 z 的共轭复数．若 z = 1+ i ，则i3 + i）z =a 的bz+ i ⋅ z = （ ）A ． - 2B ． - 2iC ． 2D ． 2i 11．（2014·全国卷）设 z = 10i，则z 的共轭复数为（ ）A ． -1+ 3iB ． -1- 3iC ．1+ 3iD ．1- 3i 12．（2014·福建卷）复数 z = (3 - 2i )i 的共轭复数为（）A ． - 2 - 3iB ． - 2 + 3iC ． 2 - 3iD ． 2 + 3i13．（2015·广东卷）若复数 z = i (3 - 2i ) （ i 是虚数单位），则 z = （）A ． 2 - 3iB ． 2 + 3iC ． 3 + 2iD ． 3 - 2i 14．（2015·湖北卷） i 为虚数单位， i 607 的共轭复数为（） A ． iB ． - iC ．1D ． -115．（2015·全国卷Ⅱ）若a 为实数，且(2 + ai )(a - 2i ) = -4i ，则a = （）A ． -1B ． 0C ． 1D ． 216．（2015·山东卷）若复数满足 z= i ，其中i 为虚数单位，则 z = （1- iA ．1- iB ．1+ iC ． -1- iD ． -1+ i17．（ 2016· 山东卷） 若复数满足 2z + z = 3 - 2i ， 其中 i 为虚数单位， 则 （ ）A ．1+ 2iB ．1- 2iC ． -1+ 2iD ． -1- 2i 18．（2016·天津卷）已知a 、b ∈ R ， i 是虚数单位，若(1+ i )(1- bi ) = a ，则3 3 2233 2 3 2值为 ．19．（2017·山东卷）已知a ∈ R ， i 是虚数单位，若 z = a + （）3i ， z ⋅ z = 4 ，则a = A. 1或-1B.或- C. - D ．20．（2017·浙江卷）已知a 、b ∈ R ， (a + bi )2 = 3 + 4i （ i 是虚数单位），则a 2 + b 2 = ， ab =． 题型三 复数的模1．（2013·辽宁卷）复数 z =1i -1的模为（ ） A. 12B.22C.D ． 22．（2013·江苏卷）设 z = (2 - i )2 （ i 为虚数单位），则复数 z 的模为．3．（2013·陕西卷）设 z 1、z 2 是复数，则下列命题中的假命题是（）A. 若 z 1 - z 2= 0 ，则 z 1 = z 2B. 若 z 1 = z 2 ，则 z 1 = z 2C. 若 z = z，则 z ⋅ z = z ⋅ zD. 若 z = z，则 z 2 = z 212 1 1 2212124．（2013·重庆卷）已知复数 z = 5i1+ 2i（ i 是虚数单位），则 z =．5．（2015·全国卷）设复数 z 满足1+ z= i ，则 z = （ ）1- zA ．1B ．C ．D ． 26．（2015·江苏卷）设复数满足 z 2 = 3 + 4i （ i 是虚数单位），则 z 的模为．7．（2015·重庆卷）设复数a + bi （ a , b ∈ R ）的模为 ，则(a + bi )(a - bi ) =．8．（2016·全国卷）设(1+ i )x = 1+ yi ，其中 x 、y 是实数，则 x + yi = （）A ．1B ．C ．D ． 29．（2017·江苏卷）已知复数 z = (1+ i )(1+ 2i ) ，曲终i 是虚数单位，则 z 的模是．10．（2017·全国卷Ⅲ）设复数 z 满足(1+ i )z = 2i ，则 z = （）A. 122 3 3范文范例指导学习C.D．2题型四 复数的四则运算1．（2013·全国卷）设复数满足(1- i )z = 2i ，则 z = （）A. -1+ iB. -1- iC. 1+ iD. 1- i 2．（2013·浙江卷）已知i 是虚数单位，则(-1+ i )(2 - i ) = （）A ． - 3 + iB ． -1+ 3iC ． - 3 + 3iD ． -1+ i 3．（2013·广东卷）若复数满足i ⋅ z = 2 + 4i ，则在复平面内， z 对应的点的坐标是（ ）A ． (2,4)B ． (2,-4)C ． (4,-2)D ． (4,2)4．（2014·北京卷）复数(1+ i )2 =．1- i 5．（2014·江苏卷）已知复数 z = (5 - 2i )2 （ i 为虚数单位），则 z 的实部为．6．（2014·四川卷）复数 2 - 2i=．1+ i7．（2014·天津卷） i 是虚数单位，复数7 + i3 + 4i= （ ） A. 1- i B. -1+ i C ． 17 + 31 i D ． -17 + 25i8．（2014·全国卷） (1+ i )3(1- i )2= （ ）25 25 7 7A. 1+ iB. 1- iC. -1+ iD. -1- i9．（2014·辽宁卷）设复数满足(z - 2i )(2 - i ) = 5 ，则 z = （ ）A. 2 + 3iB. 2 - 3iC. 3 + 2iD. 3 - 2i10．（2014·湖北卷） i 为虚数单位，则(1- i )2 = （ ）1+ iA ． -1B ．1C ． - iD ． i11．（2014·湖南卷）满足 z + i= i （ i 是虚数单位）的复数 z = （ ）zA. 1 + 1 iB. 1 - 1 i C ． - 1 + 1 i D ． - 1 - 1 i2 2 2 2 2 2 2 2 12．（2014·广东卷）已知复数满足(3 + 4i )z = 25 ，则 z = （ ）A ． - 3 + 4iB ． - 3 - 4iC. 3 + 4iD. 3 - 4i13．（2015·北京卷）复数i (2 - i ) = （）A. 1+ 2iB. 1- 2iC ． -1+ 2iD ． -1- 2i14．（2015·福建卷）若集合 A = {i , i 2 , i 3, i 4}（ i 是虚数单位）， B = {1,-1}，则 A B = （）A ． {-1}B ． {1}C ． {-1,1}D ．Ø15．（2015·湖南卷）已知 (1- i )2z = 1+ i （ i 为虚数单位），则复数 z = （ ）A. 1+ iB. 1- iC. -1+ iD. -1- i16．（2015·四川卷）设i 是虚数单位，则复数i 3 - 2= （）iA. - iB. - 3i C ． iD ． 3i17．（2016·全国卷Ⅲ）若 z = 1+ 2i ，则 4izz -1= （ ）A ．1B ． -1C ． iD ． - i18．（ 2016· 四川卷） 设 i 为虚数单位， 则 (x + i )6 的展开式中含 x 4 的项为 （） A ． -15x 4B. 5x 4C. - 20ix 4D. 20ix 419．（2017 全国卷Ⅱ） 3 + i = （ ）1+ iA. 1+ 2iB. 1- 2iC. 2 + iD. 2 - i题型五 复数的几何意义1．（2013·湖南卷）复数 z = i (1+ i ) （ i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于 （）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（2013·福建卷）已知复数的共轭复数 z = 1+ 2i （ i 为虚数单位），则 z 在复平 面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．（2013·湖北卷）在复平面内，复数 z = 的点位于（ ）2i1+ i（ i 为虚数单位）的共轭复数对应A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．（2013·四川卷）如图，在复平面内，点 A 表示复数，则图中表示的共轭复数的点是5．（2014·全国卷Ⅱ）设复数 z 1 , z 2 在复平面内的对应点关于虚轴对称， z 1 = 2 + i ，则 z 1 z 2 = （）A．- 5 B．5 C．- 4 +i D．- 4 -i 6．（2014·重庆卷）在复平面内表示复数i(1-2i)的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．（2015·安徽卷）设i是虚数单位，则复数（）2i1-i在复平面内所对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8．（2016·北京卷）设a ∈R ，若复数(1+i)(a +i) 在复平面内对应的点位于实轴上，则a =．9．（2017·北京卷）若复数(1-i)(a +i) 在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（）A．(-∞,1) B．(-∞,-1) C．(1,+∞) D．(-1,+∞)。
第十四章 复数
1 2i 的值是_________. 3 i2 1 2i 1 2i (1 2i)(3 i) 1 7i 解析：复数 = 。 3 i3 3 i 10 10
15．(重庆卷)复数 三．解答题（共 1 题） 16． （上海春） 已知复数 w 满足 w 4 (3 2w) i ( i 为虚数单位） ，z 个以 z 为根的实系数一元二次方程. 解：[解法一] w(1 2 i) 4 3 i, w
5 | w 2 | ，求一 w
4 3i 2i， 1 2i
z
5 | i | 3 i . 2i
若实系数一元二次方程有虚根 z 3 i ，则必有共轭虚根 z 3 i . z z 6, z z 10 ，
所求的一个一元二次方程可以是 x 2 6 x 10 0 .
2006 年普通高等学校招生全国统一考试数学分类汇编 第十四章《复数》
一、选择题（共 11 题） 1． （安徽卷）复数
1 3i 等于 3 i
B． i C． 3 i D． 3 i
A． i 解：
1 3i 1 3i 1 i 故选 A 3 i i(1 3i) i 1 i 2． （北京卷）在复平面内，复数 对应的点位于 i
9． （四川卷）复数 (1 i)3 的虚部为 （A）3
3
（B）－3
（C）2
（D）－2
解析:复数 1 i = 1 3i 3 i 2 2i ,所以它的虚部为－2，选 D.
i （ ） 1 i 1 1 1 1 1 1 1 1 A． i B． i C． i D． i 2 2 2 2 2 2 2 2 i i (1 i ) 1 i ，选 A. 解析: i 是虚数单位， 1 i 2 2 2 m 1 ni ，其中 m，n是实数， i是虚数单位，则 m ni 11． （浙江卷）已知 1 i
2024年高考数学分类汇编四 复数和平面向量
2024年高考数学分类汇编四复数和平面向量一、单选题 1．（2024·全国）若1i 1zz =+−，则z =（ ） A ．1i −−B ．1i −+C ．1i −D ．1i +2．（2024·全国）已知向量(0,1),(2,)a b x ==，若(4)b b a ⊥−，则x =（ ） A ．2−B ．1−C ．1D ．23．（2024·全国）已知1i z =−−，则z =（ ）A ．0B ．1C D ．24．（2024·全国）已知向量,a b 满足1,22a a b =+=，且()2b a b −⊥，则b =（ ）A ．12B C D ．15．（2024·全国）设z =，则z z ⋅=（ ） A ．-iB ．1C ．-1D ．26．（2024·全国）设5i z =+，则()i z z +=（ ） A ．10iB ．2iC ．10D ．2−7．（2024·全国）已知向量()()1,,,2a x x b x =+=，则（ ） A ．“3x =−”是“a b ⊥”的必要条件 B ．“3x =−”是“//a b ”的必要条件C ．“0x =”是“a b ⊥”的充分条件D ．“1x =−”是“//a b ”的充分条件8．（2024·北京）已知i 1i z =−，则z =（ ）．A ．1i −B ．i −C ．1i −−D ．19．（2024·北京）已知向量a ，b ，则“()()·0a b a b +−=”是“a b =或a b =−”的（ ）条件． A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件 C ．充分且必要条件 D ．既不充分也不必要条件二、填空题10．（2024·天津）已知i 是虚数单位，复数))i 2i ⋅= ．11．（2024·天津）在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点，1,2CE DE BE BA BC ==+uur uu r uu u r λμ，则λμ+= ；若F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ⋅的最小值为 ．12．（2024·上海）已知()(),2,5,6,k a b k ∈==R ，且//a b ，则k 的值为 ． 13．（2024·上海）已知虚数z ，其实部为1，且()2z m m z+=∈R ，则实数m 为 ．答案详解1．C【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解. 【解析】因为11111i 111z z z z z −+==+=+−−−，所以111i i z =+=−.故选：C. 2．D【分析】根据向量垂直的坐标运算可求x 的值. 【解析】因为()4b b a ⊥−，所以()40b b a ⋅−=， 所以240b a b −⋅=即2440x x +−=，故2x =， 故选：D. 3．C【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.【解析】若1i z =−−，则z =故选：C. 4．B【分析】由()2b a b −⊥得22b a b =⋅，结合1,22a a b =+=，得22144164a b b b +⋅+=+=，由此即可得解.【解析】因为()2b a b −⊥，所以()20b a b −⋅=，即22b a b =⋅，又因为1,22a a b =+=， 所以22144164a b b b +⋅+=+=， 从而22=b . 故选：B. 5．D【分析】先根据共轭复数的定义写出z ，然后根据复数的乘法计算.【解析】依题意得，z =，故22i 2zz =−=. 故选：D6．A【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解. 【解析】由5i 5i,10z z z z =+⇒=−+=，则()i 10i z z +=. 故选：A 7．C【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【解析】对A ，当a b ⊥时，则0a b ⋅=，所以(1)20x x x ⋅++=，解得0x =或3−，即必要性不成立，故A 错误； 对C ，当0x =时，()()1,0,0,2a b ==，故0a b ⋅=， 所以a b ⊥，即充分性成立，故C 正确；对B ，当//a b 时，则22(1)x x +=，解得1x =B 错误；对D ，当1x =−22(1)x x +=，所以//a b 不成立，即充分性不立，故D 错误. 故选：C. 8．C【分析】直接根据复数乘法即可得到答案. 【解析】由题意得()i i 11i z =−=−−， 故选：C. 9．A【分析】根据向量数量积分析可知()()0a b a b +⋅−=等价于a b =，结合充分、必要条件分析判断.【解析】因为()()220a b a b a b +⋅−=−=，可得22a b =，即a b =，可知()()0a b a b +⋅−=等价于a b =，若a b =或a b =−，可得a b =，即()()0a b a b +⋅−=，可知必要性成立； 若()()0a b a b +⋅−=，即a b =，无法得出a b =或a b =−，例如()()1,0,0,1a b ==，满足a b =，但a b ≠且a b ≠−，可知充分性不成立； 综上所述，“()()0a b a b +⋅−=”是“a b ≠且a b ≠−”的必要不充分条件.故选：A.10．7【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.【解析】))i 2i 527⋅=−+=.故答案为：7. 11．43518−【分析】解法一：以{},BA BC 为基底向量，根据向量的线性运算求BE ，即可得λμ+，设BF BE k =uu u r uu r，求,AF DG uuu r uuu r ，结合数量积的运算律求AF DG ⋅的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求BE ，即可得λμ+，设()1,3,,03F a a a ⎡⎤−∈−⎢⎥⎣⎦，求,AF DG uuu r uuu r ，结合数量积的坐标运算求AF DG ⋅的最小值.【解析】解法一：因为12CE DE =，即23CE BA =uur uu r ，则13BE BC CE BA BC =+=+uu u r uur u uu ur r uu u r ，可得1,13λμ==，所以43λμ+=； 由题意可知：1,0BC BA BA BC ==⋅=，因为F 为线段BE 上的动点，设[]1,0,13BF k BE k BA k BC k ==+∈，则113AF AB BF AB k BE k BA k BC ⎛⎫=+=+=−+ ⎪⎝⎭，又因为G 为AF 中点，则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC ⎛⎫⎛⎫=+=−+=−+− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得11111113232AF DG k BA k BC k BA k BC ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=−+⋅−+− ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦22111563112329510k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−+−=−− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又因为[]0,1k ∈，可知：当1k =时，AF DG ⋅取到最小值518−； 解法二：以B 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则()()()()11,0,0,0,0,1,1,1,,13A B C D E ⎛⎫−−− ⎪⎝⎭，可得()()11,0,0,1,,13BA BC BE ⎛⎫=−==− ⎪⎝⎭，因为(),BE BA BC λμλμ=+=−，则131λμ⎧−=−⎪⎨⎪=⎩，所以43λμ+=； 因为点F 在线段1:3,,03BE y x x ⎡⎤=−∈−⎢⎥⎣⎦上，设()1,3,,03F a a a ⎡⎤−∈−⎢⎥⎣⎦，且G 为AF 中点，则13,22a G a −⎛⎫−⎪⎝⎭， 可得()131,3,,122a AF a a DG a +⎛⎫=+−=−−⎪⎝⎭， 则()()22132331522510a AF DG a a a +⎛⎫⎛⎫⋅=+−−−=+− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且1,03a ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦，所以当13a =−时，AF DG ⋅取到最小值为518−；故答案为：43；518−.12．15【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可. 【解析】//a b ，256k ∴=⨯，解得15k =． 故答案为：15． 13．2【分析】设1i z b =+，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案. 【解析】设1i z b =+，b ∈R 且0b ≠.则23222231i i 1i 11b b b z b m z b b b ⎛⎫⎛⎫+−+=++=+= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，m∈R，2232310 1bmbb bb⎧+=⎪⎪+∴⎨−⎪=⎪+⎩，解得2m=，故答案为：2.。
【6年高考4年模拟】高考数学 第十四章___复数精品试题
【数学精品】2013版《6年高考4年模拟》 第十四章 复数第一部分 六年高考荟萃2012年高考题1 ．（2012天津理）i 是虚数单位,复数7=3iz i-+ （ ）A ．2i +B ．2i -C ．2i -+D ．2i --【答案】B 【命题意图】本试题主要考查了复数的概念以及复数的加、减、乘、除四则运算. 【解析】7=3i z i -+=(7)(3)(3)(3)i i i i --+-=2173110i i ---=2i - 2 ．（2012新课标理）下面是关于复数21z i=-+的四个命题:其中的真命题为 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1- （ ） A ．23,p pB ．12,p pC ．,p p 24D ．,p p 34【解析】选C 22(1)11(1)(1)i z i i i i --===---+-+-- 1:p z =22:2p z i =,3:p z 的共轭复数为1i -+,4:p z 的虚部为1- 3 ．（2012浙江理）已知i 是虚数单位,则3+i1i-= （ ）A ．1-2iB ．2-iC ．2+iD ．1+2i 【解析】3+i 1i -=()()3+i 1+i 2=2+4i2=1+2i.【答案】D 4 ．（2012四川理）复数2(1)2i i-= （ ）A ．1B ．1-C ．iD ．i -[答案]B. [解析]2(1)2i i-=12212-=-+i ii [点评]突出考查知识点12-=i ,不需采用分母实数化等常规方法,分子直接展开就可以. 5 ．（2012上海理）若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根,则（ ） A ．3,2==c b . B ．3,2=-=c b .C ．1,2-=-=c b .D ．1,2-==c b .[解析] 实系数方程虚根成对,所以i 21-也是一根,所以-b =2,c =1+2=3,选B. 6 ．（2012陕西理）设,a b R ∈,i 是虚数单位,则“0ab =”是“复数ba i+为纯虚数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析:0ab =Û00a b ==或,复数ba i+为纯虚数Û0,0a b =?,故选B. 7 ．（2012山东理）若复数z 满足(2)117z i i -=+(i 为虚数单位),则z 为 （ ）A ．35i +B ．35i -C ．35i -+D ．35i --【解析】i ii i i i i i z 5352515)2)(2()2)(711(2711+=+=+-++=-+=.故选A. 8 ．（2012辽宁理）复数22ii-=+ （ ）A ．3455i - B ．3455i +C ．415i -D ．315i+【答案】A 【解析】2(2)(2)34342(2)(2)555i i i i i i i i ----===-++-,故选A 【点评】本题主要考查复数代数形式的运算,属于容易题.复数的运算要做到细心准确. 9 ．（2012湖北理）方程26130x x ++=的一个根是（ ）A ．32i -+B ．32i +C ．23i -+D ．23i +答案为A. 考点分析:本题考察复数的一元二次方程求根.解析:根据复数求根公式:x 32i ==-±,所以方程的一个根为32i -+10．（2012广东理）(复数)设i 为虚数单位,则复数56ii-= （ ）A ．65i +B ．65i -C ．65i -+D ．65i --解析:D.56i65i i-=--. 11．（2012福建理）若复数z 满足1zi i =-,则z 等于 （ ）A ．1i --B ．1i -C ．1i -+D ．1i +【答案】A 【解析】11iz i i-==--,故选A 【考点定位】本题主要考查复数的代数运算,主要掌握复数四则运算法则. 12．（2012大纲理）复数131ii -+=+ （ ）A ．2i +B ．2i -C ．12i +D ．12i -答案C 【命题意图】本试题主要考查了复数的四则运算法则.通过利用除法运算来求解. 【解析】因为13(13)(1)24121(1)(1)2i i i ii i i i -+-+-+===+++- 13．（2012北京理）设,a b R ∈, “0a =”是“复数a bi +是纯虚数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】当0a =时,如果0b =,此时0a bi +=是实数,不是纯虚数,因此不是充分条件;而如果a bi +已经是纯虚数,由定义实部为零,虚部不为零可以得到0a =,因此是必要条件,故选B.【考点定位】 本小题主要考查的是充分必要条件,但问题中汲到了复数问题,复数部分本题所考查的是纯虚数的定义.14．（2012安徽理）复数z 满足:()(2)5z i i --=;则z = （ ）A ．22i --B ．22i -+C ．i 2-2D ．i 2+2【解析】选D 55(2)()(2)5222(2)(2)i z i i z i z i i i i i +--=⇔-=⇔=+=+--+ 【考点定位】考查复数运算.15．（2012重庆理）若()()12i i ++=a+bi ,其中,,a b R i ∈为虚数单位,则a b +=__________________;【答案】4【解析】(1)(2)131,34i i i a bi a b a b ++=+=+⇒==⇒+=.【考点定位】本题主要考查复数的乘法运算与复数相等的充要条件,此题属于基础题,只要认真计算即可得分.16．（2012上海理）计算:ii+-13=_______(i 为虚数单位).[解析] i i i i i i i i 212413)1)(1()1)(3(13-=--=-+--=+-.17．（2012上海春）若复数z 满足||z i i -≤为虚数单位),则z 在复平面内所对应的图形的面积为____.2π18．（2012上海春）若复数z 满足1(iz i i =+为虚数单位),则z =_______.1i -19．（2012江苏）设a b ∈R ，,117ii 12ia b -+=-(i 为虚数单位),则a b +的值为____. 【答案】8. 【考点】复数的运算和复数的概念. 【分析】由117ii 12ia b -+=-得()()()()117i 12i 117i 1115i 14i ===53i 12i 12i 12i 14a b -+-+++=+--++,所以=5=3a b ，,=8a b + .20．（2012湖南理）已知复数2(3)z i =+ (i 为虚数单位),则|z|=_____.【答案】10 【解析】2(3)z i =+=29686i i i ++=+,10z ==.【点评】本题考查复数的运算、复数的模.把复数化成标准的(,)a bi a b R +∈形式,利用z =.2011年高考题1．（重庆理1）复数2341i i i i ++=-A ．1122i --B ．1122i-+C ．1122i -D ．1122i + 【答案】C2．（浙江理）把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位，若1,(1)z i z z =++⋅则=A ．3-iB ．3+iC ．1+3iD ．3 【答案】A3．（天津理1）i 是虚数单位，复数131ii --= A ．2i + B ．2i -C ．12i -+D ．12i --【答案】B4.（四川理2）复数1i i -+= A ．2i - B ．12iC ．0D ．2i【答案】A【解析】12i i i ii -+=--=-5.（山东理2）复数z=22ii -+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D6.（全国新课标理1）（1）复数212ii +=-（A ）35i- （B ） 35i （C ）i - （D ）i【答案】C7.（全国大纲理1）复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= A ．2i -B ．i -C ．iD ．2i【答案】B8.（辽宁理1）a 为正实数，i 为虚数单位，2=+i ia ，则=a（A ）2 （B（C（D ）1【答案】B9.（江西理1）若iz i 1+2=，则复数z =A ． i -2-B ． i -2+C ． i 2-D ． i 2+【答案】D10.（湖南理1）若,a b R ∈，i 为虚数单位，且()a i i b i +=+则A ．1a =，1b =B ．1,1a b =-=C ．1,1a b =-=-D ．1,1a b ==-【答案】D11.（湖北理1）i 为虚数单位，则201111i i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭=A ．- iB ．-1C ．iD ．1【答案】A12.（福建理1）i 是虚数单位，若集合S=}{1.0.1-，则A ．i S ∈B ．2i S ∈ C ． 3i S ∈ D ．2S i ∈【答案】B13.（广东理1）设复数z 满足()12i z +=，其中i 为虚数单位，则z =A ．1i +B ．1i -C ．22i +D ．22i -【答案】B14.（北京理2）复数212i i -=+A ．iB ．-iC ．4355i --D ．4355i-+【答案】A15.（安徽理1）设 i 是虚数单位，复数aii 1+2-为纯虚数，则实数a 为（A ）2 （B ） -2 （C ） 1-2（D ） 12【答案】A16.（江苏3）设复数ｚ满足i z i 23)1(+-=+（i 是虚数单位），则z 的实部是_________ 【答案】117.（上海理19）已知复数1z 满足1(2)(1)1z i i -+=-（i 为虚数单位），复数2z 的虚部为2，12z z ⋅是实数，求2z 。
年高考数学试题分类汇编：复数
普通高等学校招生全国统一考试数学分类汇编第十四章《复数》一、选择题（共11题）1．（安徽卷）复数133i i +-等于 A ．i B ．i - C ．3i + D ．3i -2．（北京卷）在复平面内，复数1i i+对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限解：1i i +111i i i （＋）＝＝－－故选D 3．（福建卷）设a 、b 、c 、d ∈R ，则复数(a +b i)(c +d i)为实数的充要条件是A.ad －bc =0B.ac －bd =0C. ac +bd =0D.ad +bc =0解析：,,,a b c R ∈复数()()a bi c di ++=()()ac bd ad bc i -++为实数，∴0ad bc +=，选D.A.22±B. 22-C. 22i -D. 22i ±解析：由i z i z z 2220232±=⇒±=⇒=+，故选D.5．（江西卷）已知复数z 满足（3＋3i ）z ＝3i ，则z ＝（ ）A ．3322i － B. 3344i － C. 3322i ＋ D.3344i ＋ 解：3333312433i i i z i（－）＋＝＝＝＋故选D 。
6．（全国卷I ）如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m =解析：复数2()(1)m i mi ++=(m 2－m)+(1+m 3)i 是实数，∴ 1+m 3=0，m=－1，选B.7．（全国II ）3(1－i )2＝ （A ）32i （B ）－32i （C ）i （D ）－i 解析:2233333(1)2222i i i i i i ====--- 故选A8．(陕西卷)复数(1+i)21－i 等于( ) A.1－i B.1+i C.－1+ i D.－1－i 解析: 复数(1+i)21－i =2(1)11i i i i i=+=-+-，选C ． 9．（四川卷）复数3(1)i -的虚部为（A ）3 （B ）－3 （C ）2 （D ）－2解析:复数()31i -=13322i i i --+=--,所以它的虚部为－2，选D. 10．（天津卷）i 是虚数单位，=+ii 1（ ） A ．i 2121+ B ．i 2121+- C ．i 2121- D ．i 2121-- 解析:i 是虚数单位，=+i i 1(1)1222i i i -=+，选A. 11．（浙江卷）已知=+-=+ni m i n m ni i m 是虚数单位，则是实数，，，其中11 (A)1+2i (B) 1-2i (C)2+i (D)2- i【考点分析】本题考查复数的运算及性质，基础题。
高考模拟复习试卷试题模拟卷第十四章 复数
高考模拟复习试卷试题模拟卷第十四章 复数一．基础题组1.（北京市东城区高三5月综合练习（二）文2）若复数2()i m m m -+为纯虚数，则实数m 的值为（ ）（A ）1- （B ）0（C ）1 （D ）22.（北京市朝阳区高三第二次综合练习文9）设i 为虚数单位，则i(1i)．3.（北京市朝阳区高三第一次综合练习文9）i 为虚数单位，计算1i1i+-=． 4.（北京市丰台区度第二学期统一练习（一）文9）复数312ii++=． 5.（北京市西城区高三二模文9）复数=+ii310________. 二．能力题组1.（北京市昌平区高三二模文1）4||1i-等于（ ） A.1B. 2C. 2D. 222.（北京市丰台区高三5月统一练习（二）文1）复数()1i i ⋅-对应的点在（ ）(A)第一象限(B) 第二象限(C) 第三象限(D) 第四象限3.（北京市西城区高三一模考试文2）复数z 满足i 3i z ⋅=-，则在复平面内，复数z 对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限4.（北京市延庆县—度高二第二学期期末考试文2）在复平面内，复数1312iz i-=+对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C.第三象限 D ．第四象限5.（北京市房山区高三第一次模拟文9）若复数(1)(2)z m m i =-+-，（m ∈R ）是纯虚数，复数z 在复平面内对应的点的坐标为_____．6.（北京市海淀区高三下学期期中练习（一模）文10）若复数iia z +=，且z ∈R ,则实数a =______． 7.（北京市延庆县高三3月模拟文9）复数(1)(1)2i i z i+-=在复平面上对应的点的坐标为.高考模拟复习试卷试题模拟卷高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则AB =（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）(31)-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--，（3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m= （A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-（B ）34-（C ）3（D ）2（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则评议后图象的对称轴为（A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π12 (k ∈Z)（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)=35，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，nx ，1y ，2y ，…，ny ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n（11）已知F1，F2是双曲线E 22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=,则E 的离心率为（AB ）32（CD ）2 （12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。
高考数学压轴专题人教版备战高考《复数》全集汇编附答案解析
数学《复数》高考复习知识点一、选择题1．已知两非零复数12,z z ，若12R z z ∈，则一定成立的是A ．12R z z ∈B ．12R z z ∈C ．12R z z +∈D ．12R z z ∈ 【答案】D【解析】利用排除法：当121,1z i z i =+=-时，12z z ∈R ，而()21212z z i i R =+=∉，选项A 错误， 1211z i i R z i+==∉-，选项B 错误， 当121,22z i z i =+=-时，12z z ∈R ，而123z z i R +=-∉，选项C 错误， 本题选择D 选项.2．若1z i =+，则31i zz =+（ ） A ．i -B ．iC ．1-D ．1 【答案】B【解析】因为1z i =+，所以1z i =- ，()()3112,1i zz i i i zz =+-==+，故选B.3．在复平面内，若复数z 满足|z ＋1|＝|1＋i z |，则z 在复平面内对应点的轨迹是( ) A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线【答案】A【解析】【分析】设()z x yi x y R =+∈、，代入11z iz +=+，求模后整理得z 在复平面内对应点的轨迹是直线．【详解】设()z x yi x y R =+∈、，1x yi ++=，()11iz i x yi +=++=y x =-，所以复数z x yi =+对应点的轨迹为直线，故选A.【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，动点的轨迹问题，是基础题．4．已知i 是虚数单位，则31i i +-=（ ） A ．1-2iB ．2-iC ．2+iD ．1+2i 【答案】D【解析】试题分析：根据题意，由于33124121112i i i i i i i i ++++=⨯==+--+，故可知选D. 考点：复数的运算点评：主要是考查了复数的除法运算，属于基础题．5．已知复数z 满足()1z i i =-，(i 为虚数单位)，则z =( )A ．2B ．3C ．2D ．3【答案】A【解析】 ()11z i i i =-=+，故2z =，故选A.6．设i 是虚数单位，若复数()103a a R i -∈-是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．-3B ．-1C ．1D ．3【答案】D【解析】【分析】【详解】因, 故由题设, 故,故选D ． 考点：复数的概念与运算.7．已知复数z 23(13)i -，则|z |＝( )A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】B【解析】【分析】【详解】解：因为===，因此|z |＝128．已知复数12z =-，则z z +=（ ）A ．12--B ．12-+C ．12+D ．12- 【答案】C【解析】分析：首先根据题中所给的复数z ，可以求得其共轭复数，并且可以求出复数的模，代入求得12z z +=+，从而求得结果.详解：根据12z =-，可得12z =-+，且1z ==，所以有11122z z +=-++=+，故选C. 点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的共轭复数、复数的模、以及复数的加法运算，属于基础题目.9．已知z 是复数，则“2z 为纯虚数”是“z 的实部和虚部相等”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】D【解析】【分析】设z a bi =+，2z 为纯虚数得到0a b =±≠，得到答案.【详解】设z a bi =+，,a b ∈R ，则()2222z a b abi =-+，2z 为纯虚数220020a b a b ab ⎧-=⇔⇔=±≠⎨≠⎩，z 的实部和虚部相等a b ⇔=.【点睛】本题考查了既不充分也不必要条件，意在考查学生的推断能力.10．已知复数z 满足11212i i z+=+（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．4 B ．4i C ．4- D ．4i -【答案】C 【解析】112i 11420i 34i 12i 5z ++-===-+ ,所以z 的虚部为4-,选C.11．设(1)1i x yi -=+，其中,x y 是实数，则x yi +在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【解析】由()11i x yi -=+，其中,x y 是实数，得：11,1x x x y y ==⎧⎧∴⎨⎨-==-⎩⎩，所以x yi +在复平面内所对应的点位于第四象限.本题选择D 选项.12．若202031i i z i+=+，则z 在复平面内对应点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】【分析】化简得到2z i =+，得到答案.【详解】 ()()()()202013131342211112i i i i i i z i i i i i +-+++=====++++-，对应的点在第一象限. 故选：A .【点睛】本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力.13．设3i z i +=，i 是虚数单位，则z 的虚部为（ ） A ．1B ．-1C ．3D ．-3【答案】D因为z=3i i+13i =-∴z 的虚部为-3，选D.14．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式，若将2i e π表示的复数记为z ，则(12)z i +的值为（ ）A ．2i -+B ．2i --C ．2i +D ．2i -【答案】A【解析】【分析】 根据欧拉公式求出2cossin 22i z e i i πππ==+=，再计算(12)z i +的值.【详解】 ∵2cos sin 22i z e i i πππ==+=，∴(12)(12)2z i i i i +=+=-+.故选：A.【点睛】此题考查复数的基本运算，关键在于根据题意求出z .15．已知复数z 满足21zi z i +=-，则z =A ．12i +B ．12i -C ．1i +D ．1i -【答案】C【解析】【分析】设出复数z ，根据复数相等求得结果.【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-， 故()()()()22221zi z a bi i a bi b a a b i i +=++-=-++-=-， 故2121b a a b -+=⎧⎨-=-⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩. 所以1z i =+.故选：C .【点睛】本题考查复数的运算，共轭复数的求解，属综合基础题.16．在复平面内，复数21i z i =+ (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【解析】分析：首先求得复数z ，然后求解其共轭复数即可. 详解：由复数的运算法则有：()()()()2121211112i i i i i z i i i i --====+++-， 则1z i =-，其对应的点()1,1-位于第四象限.本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17．复数52i -的共轭复数是( ) A ．2i + B ．2i -C ．2i -+D ．2i -- 【答案】C【解析】【分析】 先化简复数代数形式，再根据共轭复数概念求解.【详解】 因为522i i =---，所以复数52i -的共轭复数是2i -+，选C. 【点睛】本题考查复数运算以及共轭复数概念，考查基本求解能力.18．在复平面内，复数z 满足()112z i i +=-，则z 对应的点位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】 ∵()112z i i +=-，∴()()()()221211212213131111222i i i i i i i z i i i i i -----+--=====--++--，∴1322z i =-+，故对应的点在第二象限．故选B ．19．复数321i i -（i 为虚数单位）的共轭复数是 （ ） A ．2155i -+ B ．2133i + C ．2155i -- D ．2133i - 【答案】C【解析】 试题分析：由题；3(21)22121(21)(21)555i i i i i i i i -+-===-+--+-，则共轭复数为：2155i --． 考点：复数的运算及共轭复数的概念.20．若复数z 满足()12z i i +=（i 为虚数单位），则z =（ ）A ．1B ．2CD ．【答案】C【解析】试题分析：因为(1)2z i i +=，所以22(1)1,12i i i z i i -===++因此1z i =+= 考点：复数的模。
(10)复数——2024年高考数学真题模拟试题专项汇编
（10）复数——2024年高考数学真题模拟试题专项汇编一、选择题1．[2024年新课标Ⅰ卷高考真题]若1i 1zz =+-，则z =()A.1i-- B.1i-+ C.1i- D.1i +2．[2024年新课标Ⅱ卷高考真题]已知1i z =--，则||z =()A.0B.1D.23．[2024届·河南许昌·模拟考试校考]复数i z a b =+（a ，b ∈R 且0a ≠），若()12i z +为纯虚数，则()A.2a b=- B.2a b= C.2a b= D.2a b=-4．[2024届·黑龙江齐齐哈尔·一模]已知a ∈R ，若i2i 1a z +=-为纯虚数，则a =()B.2C.1D.125．[2024届·湖北·模拟考试联考]已知复数12i z =-，且2i z az b ++=，其中a ，b 为实数，则i a b +=()D.46．[2024届·新疆乌鲁木齐·模拟考试]若(12i)(2i)i a b -+=+(a ，b ∈R ，i 是虚数单位），则a ，b 的值分别等于()A.4，-5B.4，-3C.0，-3D.0，-57．[2024届·重庆市第八中学·模拟考试]已知()1i 22i z -=+，则z =()A. B.2C.1D.128．[2024届·河北邢台·模拟考试联考]13i3i-=+()A.-1B.1C.-iD.i9．[2024届·山东临沂·二模]已知i 为虚数单位，()2131i 22z -⋅=+，则z =()A.14B.12C.24D.2210．[2024届·长沙市第一中学·二模]已知复数z 满足1z =，则34i z +-（i 为虚数单位）的最大值为()A.4B.5C.6D.711．[2024届·海南省华侨中学·二模]已知复数24i1iz +=-，其中i 为虚数单位，则z =()B.102C.105D.1010二、多项选择题13．[2024届·合肥一六八中学·模拟考试]设1z ，2z ，3z 为复数，10z ≠，则下列命题正确的是()A.若23z z =，则23z z =±B.若1213z z z z =，则23z z =C.若12,z z 互为共轭复数，则12z z 为实数D.若i 为虚数单位，n 为正整数，则43i i n +=三、填空题14．[2024届·云南曲靖·模拟考试]已知x ∈C ，若210x x ++=，则1x -+=________.15．[2024届·山西长治·一模校考]已知复数z 满足(34i)5i z +=，则其共轭复数z 的虚部为______.参考答案1．答案：C 解析：解法一：因为1i 1zz =+-，所以(1)(1i)z z =-+，即1i i z z z =-+-，即i 1i z =+，所以1i (1i)(i)1i i i(i)z ++-===--，故选C.解法二：因为1i 1z z =+-，所以111i z z -=+，即11i 111(1i)(1i)22z --==-+-，即1111ii 222z +=+=，所以z =21i 1i=-+，故选C.2．答案：C解析：|||1i |z =--==，故选C.3．答案：A解析：()12i (12i)(i)2(2)i z a b a b a b +=+-=++-，因为()12i z +为纯虚数，所以20a b +=，20a b -≠，所以2a b =-.故选：A.4．答案：B 解析：()()()()()i 2i 1221ii 2i 12i 12i 15a a a a z ++-+++===--+-，若z 为纯虚数，则20210a a -=⎧⎨+≠⎩，解得2a =.故选：B.5．答案：C解析：因为复数12i z =-，a ，b 为实数，所以()()12i 12i 122i 2i z az b a b a b a ++=-+++=+++-=，所以10222a b a ++=⎧⎨-=⎩，解得23a b =⎧⎨=-⎩，所以i 23i a b +=-==.故选：C.6．答案：B解析：7．答案：B 8．答案：C解析：()2i 3i 13i i 3i i 3i 3i 3i-+---===-+++.9．答案：B 解析：10．答案：C解析：由1z =可设：cos isin z θθ=+，()()34i cos 3sin 4i z θθ∴+-=++-，34i z ∴+-===（其中3cos 5ϕ=，4sin 5ϕ=），∴当()cos 1θϕ+=时，即34i 55z =-时，max 34i 6z +-=.故选：C.11．答案：A 解析：()()()()24i 1i 24i 22i+4i 413i 1i 1i 1i 11z ++++-====-+--++，则z ==故选：A.13．答案：BC解析：对于A 项，取21z =，3i z =，满足23z z =，但是23z z =±不成立，故A 项错误；对于B 项，当1213z z z z =时，有()1230z z z -=，又10z ≠，所以23z z =，故B 项正确；对于C 项，12i,i z a b z a b =+=-互为共轭复数，则22(i)(i)a b a b a b +-=+，即12z z 为实数，故C 项正确；对于D 项，433i i i n +==-，故D 项错误.故选：BC 14解析：2213110i 2422x x x x ⎛⎫++=⇒+=-⇒=-± ⎪⎝⎭，13i22x =-±，331i,122x x -+=-±-+==15．答案：35-/0.6-解析：依题意，5i 5i (34i)2015i 43i 34i (34i)(34i)2555z ⋅-+====+++-，因此43i 55z =-，所以z 的虚部为35-.故答案为：35-.。
高三数学《6年高考4年模拟》第十四章 复数
第十四章 复数 第一部分 六年高考荟萃2010年高考题一、选择题1.（2010湖南文）1. 复数21i-等于 A. 1+I B. 1-i C. -1+i D. -1-i 【答案】 A2.（2010浙江理）（5）对任意复数()i ,R z x y x y =+∈，i 为虚数单位，则下列结论正确的是（A ）2z z y -= （B ）222z x y =+ （C ）2z z x -≥ （D ）z x y ≤+ 【答案】 D解析：可对选项逐个检查，A 项，y z z 2≥-，故A 错，B 项，xyi y x z 2222+-=，故B 错，C 项，y z z 2≥-，故C 错，D 项正确。
本题主要考察了复数的四则运算、共轭复数及其几何意义，属中档题3.（2010全国卷2理）（1）复数231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭（A ）34i -- （B ）34i -+ （C ）34i - （D ）34i + 【答案】A【命题意图】本试题主要考查复数的运算.【解析】231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭22(3)(1)(12)342i i i i --⎡⎤=-=--⎢⎥⎣⎦.4.（2010陕西文）2.复数z =1ii+在复平面上对应的点位于 ](A)第一象限 （B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限【答案】 A解析：本题考查复数的运算及几何意义1i i +i i i 21212)1(+=-=，所以点（)21,21位于第一象限5.（2010辽宁理）(2)设a,b 为实数，若复数11+2ii a bi=++，则 （A ）31,22a b == (B) 3,1a b == (C) 13,22a b ==(D) 1,3a b == 【答案】A【命题立意】本题考查了复数相等的概念及有关运算，考查了同学们的计算能力。
【解析】由121i i a bi +=++可得12()()i a b a b i +=-++，所以12a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得32a =，12b =，故选A 。
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复数第一部分 六年高考荟萃2010年高考题一、选择题1.（2010湖南文）1. 复数21i-等于 A. 1+i B. 1-i C. -1+i D. -1-i 【答案】 A2.（2010浙江理）（5）对任意复数()i ,R z x y x y =+∈，i 为虚数单位，则下列结论正确的是（A ）2z z y -= （B ）222z x y =+ （C ）2z z x -≥ （D ）z x y ≤+ 【答案】 D解析：可对选项逐个检查，A 项，y z z 2≥-，故A 错，B 项，xyi y x z 2222+-=，故B 错，C 项，y z z 2≥-，故C 错，D 项正确。
本题主要考察了复数的四则运算、共轭复数及其几何意义，属中档题3.（2010全国卷2理）（1）复数231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭（A ）34i -- （B ）34i -+ （C ）34i - （D ）34i + 【答案】A【命题意图】本试题主要考查复数的运算.【解析】231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭22(3)(1)(12)342i i i i --⎡⎤=-=--⎢⎥⎣⎦.4.（2010陕西文）2.复数z =1ii+在复平面上对应的点位于 ](A)第一象限 （B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限【答案】 A解析：本题考查复数的运算及几何意义1i i +i i i 21212)1(+=-=，所以点（)21,21位于第一象限5.（2010辽宁理）(2)设a,b 为实数，若复数11+2ii a bi=++，则 （A ）31,22a b == (B) 3,1a b == (C) 13,22a b ==(D) 1,3a b == 【答案】A【命题立意】本题考查了复数相等的概念及有关运算，考查了同学们的计算能力。
【解析】由121i i a bi +=++可得12()()i a b a b i +=-++，所以12a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得32a =，12b =，故选A 。
6.（2010江西理）1.已知（x+i ）（1-i ）=y ，则实数x ，y 分别为（ ）A.x=-1，y=1B. x=-1，y=2C. x=1，y=1D. x=1，y=2 【答案】 D【解析】考查复数的乘法运算。
可采用展开计算的方法，得2()(1)x i x i y -+-=，没有虚部，x=1,y=2.7.（2010安徽文）(2)已知21i =-，则i(13i -)= (A)3i - (B)3i + (C)3i -- (D)3i -+ 【答案】B【解析】(13)3i i i -=+，选B.【方法总结】直接乘开，用21i =-代换即可. 8.（2010浙江文）3.设i 为虚数单位，则51ii-=+ (A)-2-3i (B)-2+3i (C)2-3i(D)2+3i【答案】C解析：本题主要考察了复数代数形式的四则运算，属容易题 9.（2010山东文）（2）已知()2,a ib i a b R i+=+∈，其中i 为虚数单位，则a b += A. 1- B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B10.（2010北京文）⑵在复平面内，复数6+5i, -2+3i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是（A ）4+8i (B)8+2i （C ）2+4i (D)4+i 【答案】 C10.（2010四川理）（1）i 是虚数单位，计算i ＋i 2＋i 3＝ （A ）－1 （B ）1 （C ）i - （D ）i 【答案】A解析：由复数性质知：i 2＝－1 故i ＋i 2＋i 3＝i ＋(－1)＋(－i )＝－1 11.（2010天津文）(1)i 是虚数单位，复数31ii+-= (A)1+2i (B)2+4i (C)-1-2i (D)2-i 【答案】A【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题。
进行复数的除法的运算需要份子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i 2改为-1.331+24121-(1-)(1+)2i i i ii i i i +++===+（）() 【温馨提示】近几年天津卷每年都有一道关于复数基本运算的小题，运算时要细心，不要失分哦。
12.（2010天津理）（1）i 是虚数单位，复数1312ii-+=+(A)1＋i (B)5＋5i (C)-5-5i (D)-1－i 【答案】A【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题。
进行复数的除法的运算需要份子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i 2改为-1.1312i i -+=+-+551(12)(12)5ii i i +==++-（13i ）(1-2i)【温馨提示】近几年天津卷每年都有一道关于复数基本运算的小题，运算时要细心，不要失分哦。
13.（2010广东理）2.若复数z 1=1+i ，z 2=3-i ，则z 1·z 2=（ ） A ．4+2 i B. 2+ i C. 2+2 i D.3 【答案】A解析 12(1)(3)1311(31)42z z i i i i ⋅=+⋅-=⨯+⨯+-=+ 14.（2010福建文）4．i 是虚数单位,41i ()1-i+等于 ( ) A ．iB ．-iC ．1D ．-1【答案】C【解析】41i ()1-i +=244(1i)[]=i =12+,故选C ． 【命题意图】本题考查复数的基本运算,考查同学们的计算能力． 15.（2010全国卷1理）(1)复数3223ii+=- (A)i (B)i - (C)12-13i (D) 12+13i16.（2010山东理）(2) 已知2(,)a i b i a b i +=+2a ib i i+=+（a,b ∈R ），其中i 为虚数单位，则a+b=(A)-1 (B)1 (C)2 (D)3 【答案】B 【解析】由a+2i=b+i i得a+2i=bi-1,所以由复数相等的意义知a=-1,b=2,所以a+b=1,故选B.【命题意图】本题考查复数相等的意义、复数的基本运算，属保分题。
17.（2010安徽理）1、i 是虚数单位，33ii=+A 、13412i - B 、13412i + C 、1326i + D 、1326i - 【答案】 B 【解析】(33)3313391241233i i i i i i-+===+++，选B.【规律总结】33ii+为分式形式的复数问题，化简时通常分子与分母同时乘以分母的共轭复数3i -，然后利用复数的代数运算，结合21i =-得结论. 18.（2010湖北理）1．若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数Z ，则表示复数1zi+的点是 A ．E B.F C.G D.H 【答案】D【解析】观察图形可知3z i =+,则3211z ii i i+==-++，即对应点H （2，－1），故D 正确. 二、填空题1.（2010上海文）4.若复数12z i =-（i 为虚数单位），则z z z ⋅+= 。
【答案】i 26-解析：考查复数基本运算z z z ⋅+=i i i i 2621)21)(21(-=-++- 2.（2010重庆理）（11）已知复数z=1+I ，则2z z-=____________. 解析：i i i i i211112-=---=--+ 3.（2010北京理）（9）在复平面内，复数21ii-对应的点的坐标为 。
【答案】 （-1,1）4.（2010江苏卷）2、设复数z 满足z(2-3i)=6+4i （其中i 为虚数单位），则z 的模为___________.解析： 考查复数运算、模的性质。
z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i 与3+2 i 的模相等，z 的模为2。
5.（2010湖北理）1．若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数Z ，则表示复数1zi+的点是 A ．E B.F C.G D.H 【答案】D【解析】观察图形可知3z i =+,则3211z ii i i+==-++，即对应点H （2，－1），故D 正确.2009年高考题一、选择题1.(2009年广东卷文)下列n 的取值中，使ni =1(i 是虚数单位）的是 （ ）A.n=2 B .n=3 C .n=4 D .n=5 【解析】因为41i =,故选C. 答案 C2. （2009广东卷理）设z 是复数，()a z 表示满足1nz =的最小正整数n ，则对虚数单位i ，()a i =（ ）A. 8B. 6C. 4D. 2 【解析】()a i =1=ni ，则最小正整数n 为4，选C. 答案 C3.（2009浙江卷理）设1z i =+（i 是虚数单位），则22z z+= ( )A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ． 1i+【解析】对于2222(1)1211z i i i i z i+=++=-+=++ 答案 D4.（2009浙江卷文）设1z i =+（i 是虚数单位），则22z z+= （ ）A ．1i + B ．1i -+ C ．1i - D ．1i --【解析】对于2222(1)1211z i i i i z i+=++=-+=++答案 D5.（2009北京卷理）在复平面内，复数(12)z i i =+对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【解析】 ∵(12)22z i i i i i =+=+=-+，∴复数z 所对应的点为()2,1-，故选B . 答案 B6.(2009山东卷理)复数31ii--等于 （ ）A ．i 21+ B.12i - C.2i + D.2i -【解析】: 223(3)(1)324221(1)(1)12i i i i i ii i i i i --++-+====+--+-,故选C.答案 C7.(2009山东卷文)复数31ii--等于 （ ）A ．i 21+ B.12i - C.2i + D.2i -【解析】: 223(3)(1)324221(1)(1)12i i i i i ii i i i i --++-+====+--+-,故选C.答案 C8.（2009全国卷Ⅰ理）已知1iZ＋=2+i,则复数z= （ ）（A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i 【解析】(1)(2)13,13z i i i z i =+⋅+=+∴=- 故选B 。
答案 B 9.（2009安徽卷理）i 是虚数单位，若17(,)2ia bi ab R i+=+∈-，则乘积ab 的值是( ) （A ）－15 （B ）－3 （C ）3 （D ）15【解析】17(17)(2)1325i i i i i +++==-+-，∴1,3,3a b ab =-==-，选B 。