直线与圆的标准方程
直线与圆的方程
第七章直线和圆的方程●知识梳理1.直线方程的五种形式2.直线的倾斜角、斜率及直线的方向向量及位置关系:（1）直线的倾斜角在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角.直线和x 轴平行或重合时，直线的倾斜角为0°,直线倾斜角取值范围0°≤α＜180°. （2）直线的斜率倾斜角α不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示，即k =tan α（α≠90°）.倾斜角是90°的直线没有斜率；倾斜角不是90°的直线都有斜率，其取值范围是（－∞，+∞）.（4）求直线斜率的方法①定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k =tan α.②公式法：已知直线过两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），且x 1≠x 2，则斜率k =1212x x y y --.平面直角坐标系内，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率. 对于直线上任意两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），当x 1=x 2时，直线斜率k 不存在，倾斜角α=90°；当x 1≠x 2时，直线斜率存在，是一实数，并且k ≥0时，α=arctan k ，k ＜0时，α=π+arctan k .（5）到角与夹角：若直线l 1, l 2的斜率分别为k 1, k 2，将l 1绕它们的交点逆时针旋转到与l 2重合所转过的最小正角叫l 1到l 2的角；l 1与l 2所成的角中不超过900的正角叫两者的夹角。
若记到角为θ，夹角为α，则tan θ=21121k k k k +-,tan α=21121k k k k +-.（6）平行与垂直：若直线l 1与l 2的斜率分别为k 1, k 2。
且两者不重合，则l 1//l 2的充要条件是k 1=k 2；l 1⊥l 2的充要条件是k 1k 2=-1。
高中数学直线与圆
高中数学直线与圆高中数学中，直线与圆是两个重要的几何概念。
直线是最简单的几何图形之一，由无数个点组成，没有宽度和长度，可以延伸到无穷远。
而圆则是一个封闭的曲线，由一条弧线和两个半径组成，具有确定的圆心和半径长度。
我们来探讨直线与圆的位置关系。
当直线与圆相交时，可能存在三种情况：直线与圆相切、直线穿过圆、直线与圆不相交。
当直线与圆相切时，直线只与圆相切于一个点，这个点既在直线上，也在圆上。
当直线穿过圆时，直线与圆相交于两个不同的点，这两个点既在直线上，也在圆上。
当直线与圆不相交时，直线与圆没有任何交点。
我们来探讨直线与圆的方程。
直线的方程可以用一般式或点斜式表示，而圆的方程可以用标准式或一般式表示。
直线的一般式方程为Ax+By+C=0，其中A、B、C为常数。
点斜式方程为y-y1=k(x-x1)，其中k为直线的斜率，(x1,y1)为直线上的一点。
圆的标准式方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心的坐标，r为半径的长度。
圆的一般式方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，其中D、E、F为常数。
接下来，我们来讨论直线与圆相交时的性质。
当直线与圆相交时，我们可以得到一些有趣的结论。
首先，直线与圆的切点与半径垂直。
这是因为，切线是与圆相切于一个点的直线，而切线与半径的夹角为90度。
其次，直线与圆的切点在直线上的投影与圆心连线垂直。
这是因为，直线上的任意一点与圆心连线为半径，而圆心连线与半径垂直。
此外，直线与圆的切点与切线上的任意一点的连线垂直于直线。
这是因为，切点与切线上的任意一点的连线为切线，而切线与半径垂直。
我们来探讨一些与直线与圆相关的解题技巧。
当我们遇到直线与圆相交的问题时，可以利用直线与圆的方程求解交点的坐标。
当我们遇到直线与圆相切的问题时，可以利用直线的斜率与圆的半径的关系求解切点的坐标。
当我们遇到直线与圆不相交的问题时，可以利用直线与圆的方程的关系判断两者的位置关系。
直线与圆的方程
直线和圆的方程 知识要点一、直线方程.1. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.特别地，当直线经过两点),0(),0,(b a ，即直线在x 轴，y 轴上的截距分别为)0,0(,≠≠b a b a 时，直线方程是：1=+bya x . 附：直线系：对于直线的斜截式方程b kx y +=，当b k ,均为确定的数时，它表示一条确定的直线，如果b k ,变化时，对应的直线也会变化.①当b 为定植，k 变化时，它们表示过定点（0，b ）的直线束.②当k 为定值，b 变化时，它们表示一组平行直线. 3. ⑴两条直线平行：1l ∥212k k l =⇔两条直线平行的条件是：①1l 和2l 是两条不重合的直线. ②在1l 和2l 的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误. 推论：如果两条直线21,l l 的倾斜角为21,αα则1l ∥212αα=⇔l . ⑵两条直线垂直：两条直线垂直的条件：①设两条直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k ，则有12121-=⇔⊥k k l l 这里的前提是21,l l 的斜率都存在. ②0121=⇔⊥k l l ，且2l 的斜率不存在或02=k ，且1l 的斜率不存在. （即01221=+B A B A 是垂直的充要条件） 4. 直线的交角：⑴直线1l 到2l 的角（方向角）；直线1l 到2l 的角，是指直线1l 绕交点依逆时针方向旋转到与2l 重合时所转动的角θ，它的范围是),0(π，当 90≠θ时21121tan k k k k +-=θ.⑵两条相交直线1l 与2l 的夹角：两条相交直线1l 与2l 的夹角，是指由1l 与2l 相交所成的四个角中最小的正角θ，又称为1l 和2l 所成的角，它的取值范围是 ⎝⎛⎥⎦⎤2,0π，当90≠θ，则有21121tan k k k k +-=θ.5. 点到直线的距离：⑴点到直线的距离公式：设点),(00y x P ，直线P C By Ax l ,0:=++到l 的距离为d ，则有2200BA C By Ax d +++=.注：1. 两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：21221221)()(||y y x x P P -+-=. 特例：点P(x,y)到原点O 的距离：22||OP x y =+ 2. 定比分点坐标分式。
直线和圆的方程知识点总结
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（2）常见题型——求过定点的切线方程
①切线条数点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无
②求切线方程的方法及注意点
i）点在圆外
-
如定点 ，圆： ，[ ]
第一步：设切线 方程
第二步：通过 ，从而得到切线方程
特别注意：以上解题步骤仅对 存在有效，当 不存在时，应补上——千万不要漏了！
直线与圆的直线方程
一、直线方程.
1. 直线的倾斜角
2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.
3. ⑴两条直线平行：
推论：如果两条直线 的倾斜角为 则 ∥ .
}
⑵两条直线垂直：
两条直线垂直的条件：①设两条直线 和 的斜率分别为 和 ，则有
4. 直线的交角：
5.过两直线 的交点的直线系方程 为参数， 不包括在内）
6.点到直线的距离：
⑴点到直线的距离公式：设点 ，直线 到 的距离为 ，则有 .
注：
1.~
2.两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式： .
3.
4.定比分点坐标分式。若点P(x,y)分有向线段 ,其中P1(x1,y1),P2(x2,y2).则
特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。
4.点和圆的位置关系：给定点 及圆 .
① 在圆 内
② 在圆 上
③ 在圆 外
5. 直线和圆的位置关系：
、
设圆圆 ： ； 直线 ： ；
圆心 到直线 的距离 .
① 时， 与 相切；
② 时， 与 相交；，有两个交点，则其公共弦方程为 .
③ 时， 与 相离.
7.圆的切线方程：
①一般方程若点(x0,y0)在圆上，则(x– a)(x0– a)+(y– b)(y0– b)=R2. 特别地，过圆 上一点 的切线方程为 .
直线与圆知识点及经典例题_含答案_
圆的方程、直线和圆的位置关系【知识要点】 一、 圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆 （一）圆的标准方程(x a)2 ( y b)2 r 2 这个方程叫做圆的标准方程。
新疆 王 新敞 学案说 明：1、若圆心在坐标原点上，这时 a b 0 ，则圆的方程就是 x2 y2 r 2 。
2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要 a, b, r 三个量确定了且 r ＞0，圆的方程就给定了。
就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件新疆确定 a, b, r ，可以根据条件，利用待定系数法来解决。
王 新敞 学案（二）圆的一般方程将圆的标准方程 (x a)2 ( y b)2 r 2 ,展开可得 x 2 y 2 2ax 2by a 2 b2 r 2 0 。
可见，任何一个圆的方程都可以写成 : x2 y2 Dx Ey F 0问题：形如 x2 y2 Dx Ey F 0 的方程的曲线是不是圆？将方程x2y2DxEyF0 左边配方得：(x D )2 2(x E )2 2D2 E2 4F 2（1）当 D 2E24F＞0时，方程（1）与标准方程比较，方程x2y2DxEyF0 表示以(D , 2E 2)为圆D2 E2 4F心，以2为半径的圆。
,（3）当 D2 E 2 4F ＜0 时，方程 x 2 y 2 Dx Ey F 0 没有实数解，因而它不表示任何图形。
圆的一般方程的定义：当 D2 E2 4F ＞0 时，方程 x2 y2 Dx Ey F 0 称为圆的一般方程.圆的一般方程的特点：（1） x2 和 y2 的系数相同，不等于零；（2）没有 xy 这样的二次项。
（三）直线与圆的位置关系1、直线与圆位置关系的种类（1）相离---求距离；(2)相切---求切线；（3）相交---求焦点弦长。
2、直线与圆的位置关系判断方法：几何方法主要步骤：（1）把直线方程化为一般式，利用圆的方程求出圆心和半径（2）利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离（3）作判断: 当 d>r 时，直线与圆相离；当 d＝r 时，直线与圆相切;当 d<r 时，直线与圆相交。
《直线和圆方程》课件
目录
• 直线方程的概述 • 圆的方程 • 直线与圆的交点求解 • 直线和圆的几何性质 • 直线和圆的方程在实际问题中的应
用
01
直线方程的概述
直线的定义
直线是由无数个点组成的几何图形，这些点沿着同一直 线排列，形成一条无限延伸的线。
在平面几何中，直线是连接两个点的最短路径，它没有 宽度和厚度。
圆的参数方程
$x = a + rcostheta, y = b + rsintheta$，其中$(a, b)$是圆心坐 标，$r$是半径，$theta$是参数。
圆的标准方程
圆的标准方程为$(x - a)^{2} + (y b)^{2} = r^{2}$，其中$(a, b)$是圆
心坐标，$r$是半径。
圆的基本性质
01 02
圆的定义
圆是一个平面图形，由所有到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的 点组成，表示为 $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$，其中 $(h, k)$ 是圆 心坐标，$r$ 是半径。
圆的半径
连接圆心到圆上任意一点的线段的长度称为半径。
03
圆的直径
通过圆心且两端点在圆周上的线段称为直径，长度是半径的两倍。
圆心和半径
直径
通过圆心且两端点在圆上的线段称为 直径。
圆心是圆的中心点，半径是从圆心到 圆上任一点的线段。
圆的方程表示
圆的一般方程
$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$，其中$(h, k)$是圆心坐标
，$r$是半径。
圆的标准方程
$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$，其中$(a, b)$是圆心坐标 ，$r$是半径。
直线与圆的方程典型例题
解析几何中，直 线与圆方程的应 用可以帮助我们 研究几何图形的 性质和特征
解析几何中，直 线与圆方程的应 用可以用于解决 实际生活中的问 题，如测量、绘 图和计算等
实际生活中的应用
交通路径规划：利用直线与圆的方程，可以计算出最短或最安全的行驶路 径。
建筑设计：在建筑设计时，可以利用直线与圆的方程来计算出最佳的设计 方案，以满足建筑的功能和美观要求。
范围。
直线的一般式 方程：通过已 知直线的一般 式方程，推导 出直线的斜截 式方程，并说 明其应用范围。
圆的方程的变形与拓展
圆的一般方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0
圆的标准方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0
圆的一般方程的变形：通过移项、合并同类项等操作，将一般方程转化为标准方程或参数方 程
圆的参数方程：通过引入参数t，将圆的方程转化为参数方程，方便进行参数化处理和求解相 关问题
直线与圆相离的 条件：圆心到直 线的距离大于圆 的半径
直线与圆交点求解的变形与拓展
变形：将直线方程代入圆方程，得到一元二次方程，解得交点坐标 拓展：利用韦达定理，求出交点坐标之间的关系，进而得到弦长、面积等几何量Leabharlann 感谢观看汇报人：XX
直线与圆的交点求解
联立方程法：通过 将直线方程与圆方 程联立，消元求解 交点坐标
几何法：利用圆心 到直线的距离等于 半径，判断交点个 数，并求解交点坐 标
参数方程法：利用 参数方程表示直线 和圆的方程，通过 消参法求解交点坐 标
代数法：通过代入 法求解交点坐标
03
直线与圆方程的应 用
几何图形中的应用
点斜式方程：知道直线上的一点 (x1, y1)和直线的斜率k，则直线 方程为y-y1=k(x-x1)
直线和圆的方程
直线和圆的方程在几何学中，直线和圆是两个基础的几何图形。
在解决几何问题时，了解直线和圆的方程是非常重要的。
本文将介绍直线和圆的方程，并提供一些示例来帮助读者更好地理解。
直线的方程一般式方程直线的一般式方程可以表示为：Ax + By + C = 0其中A、B和C是实数，并且A和B不能同时为零。
示例考虑一条过点P(x₁, y₁)和点Q(x₂, y₂)的直线。
我们可以通过计算斜率来得到直线的一般式方程。
首先，我们可以计算斜率：m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)然后，用点斜式方程来得到直线的一般式方程：y - y₁ = m(x - x₁)展开这个方程，我们得到：y - y₁ = ((y₂ - y₁) / (x₂ - x₁))(x - x₁)进一步化简得到直线的一般式方程：(y₂ - y₁)x + (x₁ - x₂)y + x₂y₁ - x₁y₂ = 0这个方程就是直线的一般式方程。
斜截式方程直线的斜截式方程可以表示为：y = mx + b其中m是斜率，b是y轴截距。
示例考虑一条通过点P(x₁, y₁)且斜率为m的直线。
我们可以用斜截式方程来表示这条直线。
直线的斜率为m，通过点P(x₁, y₁)，所以直线方程为：y - y₁ = m(x - x₁)将方程展开，我们得到：y - y₁ = mx - mx₁移项整理得到直线的斜截式方程：y = mx - mx₁ + y₁进一步整理后得到：y = mx + (y₁ - mx₁)这个方程就是直线的斜截式方程。
圆的方程标准方程圆的标准方程可以表示为：(x - h)² + (y - k)² = r²其中(h, k)是圆心的坐标，r是圆的半径。
示例考虑一个圆心为C(h, k)且半径为r的圆。
圆心C(h, k)，圆的半径为r，所以圆的方程为：(x - h)² + (y - k)² = r²这个方程就是圆的标准方程。
直线与圆的方程知识点总结
直线与圆的方程一、概念理解：1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°；③范围：0°≤α＜180° 。
2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。
3、斜率与坐标：12122121tan x x y y x x y y k --=--==α①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。
4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在）特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=•k k 。
②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。
③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程：①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可；③两点式：),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接带入即可；④截距式：1=+bya x 将已知截距坐标),0(),0,(b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。
2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可3、距离公式：①两点间距离：22122121)()(y y x x P P -+-= ②点到直线距离：2200BA C By Ax d +++=③平行直线间距离：2221BA C C d +-=4、中点、三分点坐标公式：已知两点),(),,(2211y x B y x A①AB 中点),(00y x ：)2,2(2121y y x x ++ ②AB 三分点),(),,(2211t s t s ：)32,32(2121y y x x ++ 靠近A 的三分点坐标 )32,32(2121y y x x ++ 靠近B 的三分点坐标 中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。
直线与圆的方程教学目标2.12.1
直线与圆的方程教学目标2.12.1 教学目标本文档主要介绍在数学领域中，直线与圆的方程以及相关概念和性质。
通过学习本目标，学生将能够：1.理解直线与圆的基本概念和定义；2.掌握直线的一般方程和斜率截距方程的求解方法；3.理解圆的标准方程的意义以及如何进行方程的转化；4.掌握直线与圆的相关性质以及求解问题的方法；5.运用所学知识解决与直线和圆相关的实际问题。
1. 直线的方程1.1 直线的一般方程在二维平面直角坐标系中，直线的方程表示为一般形式的线性方程：ax + by + c = 0其中a、b、c是常数，a和b不能同时为零。
直线的一般方程可以通过以下步骤进行推导：1.观察直线上的两个点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)；2.计算直线与x轴和y轴的交点，分别为P(p, 0)和Q(0, q)；3.根据两点求斜率的公式：m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)；4.将斜率带入直线斜截式方程：y - y₁ = m(x - x₁)；5.将斜截式方程进行展开并整理得到一般方程。
教师可以通过示例和实例演示，帮助学生理解一般方程的推导过程，并进行相关的练习和讨论。
1.2 直线的斜率截距方程直线的斜率截距方程是一种更简洁的表示形式，表示为：y = mx + b其中m是直线的斜率，b是直线与y轴的交点。
通过斜率截距方程，我们可以直接得到直线的斜率和截距的数值，方便进行图像的绘制和问题的求解。
教师可以通过实例演示，让学生通过观察斜率和截距的数值，理解直线在坐标系中的位置和与坐标轴的关系，并进行相关的练习和讨论。
2. 圆的方程2.1 圆的标准方程在二维平面直角坐标系中，圆的方程表示为标准形式：(x - h)² + (y - k)² = r²其中(h, k)是圆心的坐标，r是半径的长度。
通过标准方程，我们可以直接得到圆心的坐标和半径的长度，方便进行图像的绘制和问题的求解。
2.2 方程的转化有时候，我们需要将圆的方程从标准形式转化为其他形式，或将其他形式的方程转化为标准形式。
直线和圆的方程知识要点
直线和圆的方程知识要点一、直线方程.1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x 轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是)0(1800παα ≤≤.注：①当 90=α或12x x =时，直线l 垂直于x 轴，它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x 轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.特别地，当直线经过两点),0(),0,(b a ，即直线在x 轴，y 轴上的截距分别为)0,0(,≠≠b a b a 时，直线方程是：1=+b y a x . 注：若232--=x y 是一直线的方程，则这条直线的方程是232--=x y ，但若)0(232≥--=x x y 则不是这条线. 附：直线系：对于直线的斜截式方程b kx y +=，当b k ,均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果b k ,变化时，对应的直线也会变化.①当b 为定植，k 变化时，它们表示过定点（0，b ）的直线束.②当k 为定值，b 变化时，它们表示一组平行直线.3. ⑴两条直线平行：1l ∥212k k l =⇔两条直线平行的条件是：①1l 和2l 是两条不重合的直线. ②在1l 和2l 的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.（一般的结论是：对于两条直线21,l l ，它们在y 轴上的纵截距是21,b b ，则1l ∥212k k l =⇔，且21b b ≠或21,l l 的斜率均不存在，即2121A B B A =是平行的必要不充分条件，且21C C ≠） 推论：如果两条直线21,l l 的倾斜角为21,αα则1l ∥212αα=⇔l . ⑵两条直线垂直：两条直线垂直的条件：①设两条直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k ，则有12121-=⇔⊥k k l l 这里的前提是21,l l 的斜率都存在. ②0121=⇔⊥k l l ，且2l 的斜率不存在或02=k ，且1l 的斜率不存在. （即01221=+B A B A 是垂直的充要条件）4. 直线的交角：⑴直线1l 到2l 的角（方向角）；直线1l 到2l 的角，是指直线1l 绕交点依逆时针方向旋转到与2l 重合时所转动的角θ，它的范围是),0(π，当 90≠θ时21121tan k k k k +-=θ. ⑵两条相交直线1l 与2l 的夹角：两条相交直线1l 与2l 的夹角，是指由1l 与2l 相交所成的四个角中最小的正角θ，又称为1l 和2l 所成的角，它的取值范围是 ⎝⎛⎥⎦⎤2,0π，当 90≠θ，则有21121tan k k k k +-=θ. 5. 过两直线⎩⎨⎧=++=++0:0:22221111C y B x A l C y B x A l 的交点的直线系方程λλ(0)(222111=+++++C y B x A C y B x A 为参数，0222=++C y B x A 不包括在内）6. 点到直线的距离：⑴点到直线的距离公式：设点),(00y x P ，直线P C By Ax l ,0:=++到l 的距离为d ，则有2200B A CBy Ax d +++=.注：1. 两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：21221221)()(||y y x x P P -+-=.特例：点P(x,y)到原点O 的距离：||OP = 2. 定比分点坐标分式。
圆的一般方程和标准公式
圆的一般方程和标准公式圆的标准方程公式：（x-a）²+（y-b）²=R²。
圆的一般方程公式：x²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²-4F＞0）。
标准方程圆半径的长度定出圆周的大小，圆心的位置确定圆在平面上的位置。
如果已知：(1)圆半径长R；(2)中心A的坐标(a,b)，则圆的大小及其在平面上关于坐标轴的位置就已确定(如下图)。
根据图形的几何尺寸与坐标的联系可以得出圆的标准方程。
结论如下：（x-a）²+（y-b）²=R²当圆的中心A与原点重合时，即原点为中心时，即a=b=0，圆的方程为：x²+y²=R ²圆的一般方程圆的标准方程是一个关于x和y的二次方程，将它展开并按x、y的降幂排列，得：x²+y²-2ax-2by+a²+b²-R²=0设D=-2a，E=-2b，F=a²+b²-R²；则方程变成：x²+y²+Dx+Ey+F=0任意一个圆的方程都可写成上述形式。
把它和下述的一般形式的二元二次方程比较，可以看出它有这样的特点：(1)x2项和y2项的系数相等且不为0(在这里为1)；(2)没有xy的乘积项。
Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0圆的端点式：若已知两点A（a1,b1）,B（a2,b2），则以线段AB为直径的圆的方程为（x-a1）（x-a2）+（y-b1）（y-b2）=0圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。
经过圆 x²+y²=r²上一点M（a0，b0）的切线方程为 a0·x+b0·y=r²在圆（x²+y²=r²）外一点M（a0，b0）引该圆的两条切线，且两切点为A,B，则A,B两点所在直线的方程也为 a0·x+b0·y=r²。
圆直线方程
第 1 页 共 11 页直线和圆的方程考试内容：直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式和两点式．直线方程的一般式． 两条直线平行与垂直的条件．两条直线的交角．点到直线的距离． 用二元一次不等式表示平面区域．简单的线性规划问题． 曲线与方程的概念．由已知条件列出曲线方程． 圆的标准方程和一般方程．圆的参数方程． 考试要求：（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．（2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． （3）了解二元一次不等式表示平面区域． （4）了解线性规划的意义，并会简单的应用． （5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法．（6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念。
理解圆的参数方程．§07. 直线和圆的方程 知识要点一、直线方程.1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x 轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是)0(1800παα ≤≤.注：①当 90=α或12x x =时，直线l 垂直于x 轴，它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x 轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 特别地，当直线经过两点),0(),0,(b a ，即直线在x 轴，y 轴上的截距分别为)0,0(,≠≠b a b a 时，直线方程是：1=+b ya x . 注：若232--=x y 是一直线的方程，则这条直线的方程是232--=x y ，但若)0(232≥--=x x y 则不是这条线. 附：直线系：对于直线的斜截式方程b kx y +=，当b k ,均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果b k ,变化时，对应的直线也会变化.①当b 为定植，k 变化时，它们表示过定点（0，b ）的直线束.②当k 为定值，b 变化时，它们表示一组平行直线. 3. ⑴两条直线平行：1l ∥212k k l =⇔两条直线平行的条件是：①1l 和2l 是两条不重合的直线. ②在1l 和2l 的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.第 2 页 共 11 页（一般的结论是：对于两条直线21,l l ，它们在y 轴上的纵截距是21,b b ，则1l ∥212k k l =⇔，且21b b ≠或21,l l 的斜率均不存在，即2121A B B A =是平行的必要不充分条件，且21C C ≠） 推论：如果两条直线21,l l 的倾斜角为21,αα则1l ∥212αα=⇔l . ⑵两条直线垂直：两条直线垂直的条件：①设两条直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k ，则有12121-=⇔⊥k k l l 这里的前提是21,l l 的斜率都存在. ②0121=⇔⊥k l l ，且2l 的斜率不存在或02=k ，且1l 的斜率不存在. （即01221=+B A B A 是垂直的充要条件）4. 直线的交角：⑴直线1l 到2l 的角（方向角）；直线1l 到2l 的角，是指直线1l 绕交点依逆时针方向旋转到与2l 重合时所转动的角θ，它的范围是),0(π，当 90≠θ时21121tan k k k k +-=θ.⑵两条相交直线1l 与2l 的夹角：两条相交直线1l 与2l 的夹角，是指由1l 与2l 相交所成的四个角中最小的正角θ，又称为1l 和2l 所成的角，它的取值范围是 ⎝⎛⎥⎦⎤2,0π，当90≠θ，则有21121tan k k k k +-=θ.5. 过两直线⎩⎨⎧=++=++0:0:22221111C y B x A l C y B x A l 的交点的直线系方程λλ(0)(222111=+++++C y B x A C y B x A 为参数，0222=++C y B x A 不包括在内）6. 点到直线的距离：⑴点到直线的距离公式：设点),(00y x P ，直线P C By Ax l ,0:=++到l 的距离为d ，则有2200BA C By Ax d +++=.注：1. 两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：21221221)()(||y y x x P P -+-=. 特例：点P(x,y)到原点O的距离：||OP =2. 定比分点坐标分式。
直线和圆的方程公式
直线和圆的方程公式1. 直线的方程公式直线是平面几何中最基本的几何图形之一，它可以用线段扩展而成。
在平面直角坐标系中，直线可以用一般式方程、点斜式方程和斜截式方程来表示。
•一般式方程：一般式方程的一般形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C是常数且A和B不同时为 0。
这种形式的方程常用于直线的相关计算。
•点斜式方程：点斜式方程的一般形式为y - y₁ = m(x - x₁)，其中(x₁, y₁)是直线上的一点，m是直线的斜率。
该方程表达了直线上任意一点(x, y)与直线上已知点(x₁, y₁)的斜率相同。
•斜截式方程：斜截式方程的一般形式为y = mx + b，其中m是直线的斜率，b是直线在 y 轴上的截距。
该方程表达了直线上所有点(x, y)的坐标。
2. 圆的方程公式圆是平面上到一个固定点距离相等的所有点的集合。
在平面直角坐标系中，圆可以用一般式方程和标准方程来表示。
•一般式方程：一般式方程的一般形式为(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)是圆心的坐标，r是圆的半径。
•标准方程：标准方程的一般形式为x² + y² + Dx + Ey + F = 0，其中D、E、F 是常数且D和E不同时为 0。
标准方程可以通过一般式方程展开推导得到。
3. 方程示例以下是直线和圆的方程示例：•直线方程示例：–一般式方程：2x - 3y + 5 = 0–点斜式方程：y - 4 = -2(x + 1)–斜截式方程：y = 2x - 3•圆方程示例：–一般式方程：(x - 1)² + (y + 2)² = 9–标准方程：x² + y² + 4x - 6y - 12 = 0这些方程示例展示了如何根据给定的条件得到直线和圆的方程。
它们可用于解决与直线和圆相关的计算和分析问题。
通过了解直线和圆的方程，我们能够更好地理解它们在平面几何中的特性和应用。
直线与圆的公式
直线与圆的公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：直线与圆是几何中常见的图形，它们在数学中有着重要的地位。
直线是两点之间最短距离的集合，而圆是平面上所有到圆心距离相等的点的集合。
在解决几何问题时，我们经常需要用到直线与圆的公式来求解。
下面我们来详细介绍一下直线与圆的公式。
一、直线的一般方程直线的一般方程是数学中描述一条直线的基本公式。
一般方程的形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C是常数，而x、y是变量。
通过将一般方程进行变换，我们可以得到直线的其他形式方程。
1. 斜截式方程两点式方程是描述一条直线的另一种方程形式，其形式为(x -x₁)/(x₂ - x₁) = (y - y₁)/(y₂ - y₁)，其中(x₁, y₁)和(x₂, y₂)是直线上的两点。
通过两点式方程，我们可以直接得到直线的方程。
二、圆的标准方程圆的标准方程是数学中描述一个圆的基本公式。
圆的标准方程的一般形式为(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)是圆心的坐标，r是圆的半径。
通过标准方程，我们可以方便地确定圆的位置和大小。
2. 一般方程三、直线与圆的位置关系直线与圆是几何中常见的图形，它们之间有着复杂的位置关系。
在解决几何问题时，我们经常需要根据直线与圆的位置关系来求解。
1. 直线与圆的相交直线与圆的相交有三种情况：直线与圆相切、直线与圆相离、直线与圆相交。
当直线与圆相交时，我们可以根据直线的方程和圆的方程来求解交点的坐标。
四、应用举例直线与圆的公式在数学中有着广泛的应用。
我们可以通过一些举例来演示如何应用直线与圆的公式来解决实际问题。
例1：求解直线与圆的交点坐标已知直线的方程为y = 2x + 3，圆的方程为(x - 1)² + (y - 2)² = 4，求解直线与圆的交点坐标。
解：将直线的方程代入圆的方程中，得到(x - 1)² + (2x + 1)² = 4。
圆关于直线对称的圆的方程
假设已知直线方程为Ax+By+C=0（B≠0），已知圆的方程x²+y²+Dx+Ey+F=01、首先将已知的圆方程化成标准方程：(x-a)²+(y-b)²=r²，则已知圆的圆心为（a,b），半径为r。
2、因为所求圆关于直线对称，设所求圆的方程为：(x-c)²+(y-d)²=r²，则圆心坐标为（c,d）且两圆心中点坐标（(a+c)/2,(b+d)/2）在直线上。
将中点坐标带入直线可得：A(a+c)/2+B(b+d)/2+C=0，此方程中c,d为未知数，其余均已知。
3、由对称性质可知，过两圆圆心的直线与已知直线垂直，所以两直线斜率乘积为-1。
又已知直线的斜率为-A/B，过两圆心的直线斜率为(d-b)/(c-a)，两斜率相乘可得：-A/B·(d-b)/(c-a)=-1 （B≠0），此方程中c,d为未知数，其余均已知。
4、联立2，3中所得的两个关于c,d的方程，组成一个二元一次方程组，即可解出c,d的值，带入所设的圆中即为所求。
5、特殊情况：若已知直线方程与x轴垂直，即直线方程中B=0，则上述已知直线方程为x=-C/A。
此时所求圆的圆心纵坐标与已知圆相同，其方程可设为(x-c)²+(y-b)²=r²。
将两圆心中点坐标（(a+c)/2,0）带入直线方程x=-C/A即可解出c.扩展资料如何将圆的一般方程x²+y²+Dx+Ey+F=0化成标准方程：1、配方：x²+Dx+(D/2)²+y²+Ey+(E/2)²+F-(D/2)²-(E/2)²=02、移项：(x+D/2)²+(y+E/2)²=D²/4+E²/4-F其中圆心坐标为（-D/2,-E/2），半径r²=(D²+E²+F)/4。
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一、直线与方程
1、直线的倾斜角：
2、直线的斜率： （1）定义：
（2）斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212
12
1x x x x y y k ≠--=；
（3）应用：证明三点共线： AB BC k k =。
3、直线的方程：（点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式）
（1）点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线。
（2）斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线。
（3）两点式：已知直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点，则直线方程为
1
21
121x x x x y y y y --=
--，它不包括垂直于坐标轴的直线。
（4）截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,则直线方程为1=+b
y
a x ，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。
（5）一般式：任何直线均可写成0Ax By C ++=(A,B 不同时为0)的形式。
4、直线的位置关系
⑴两条直线平行： ⑵两条直线垂直：
直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=的位置关系：
（1）平行⇔12210A B A B -=（斜率）且12210B C B C -≠（在y 轴上截距）； （2）相交⇔12210A B A B -≠；（3）重合⇔12210A B A B -=且12210B C B C -=。
5、两点间的距离
（1）. 平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则两点间的距离为：
22121212||()()PP x x y y =-+-.
7、点到直线的距离及两平行线距离
（1）. 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式为002
2
||
Ax By C d A B
++=
+.
（2）. 两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式
122
2
||C C d A B
-=
+，
二、圆与方程
1、圆的定义：
2、圆的方程
标准方程()()22
2
r b y a x =-+-，圆心()b a ,，半径为r ；
3、点与圆的位置关系 涉及最值问题：
（1）圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值
min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+
（2）圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值
min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+
思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ）
4、圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x
当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭
⎫
⎝⎛--2,2
E D ，
半径为F E D r 42
12
2-+= 当0422=-+F E D 时，表示一个点； 当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。
5、直线与圆的位置关系 6、 两圆的位置关系
外离 外切 相交 内切 内含
7、 圆的切线方程
求切线方程的方法及注意点．．．
①点在圆外
如：过点()1,1P 作圆2246120x y x y +--+=的切线，求切线方程.
②点在圆上
③求切线长：
④求切点坐标：
8、直线与圆相交
（1）求弦长及弦长的应用问题 垂径定理．．．．
及勾股定理——常用 （2）弦问题：常用弦心距d ，弦长一半1
2
a 及圆的半径r 所构成的直角三角形来解：
2221
()2
r d a =+
【典型例题】
1.如果A ·C ＜0，且B ·C ＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．直线mx －y ＋2m ＋1＝0经过一定点，则该定点的坐标是( )
A ．(－2,1)
B ．(2,1)
C ．(1，－2)
D ．(1,2)
3．若方程014)()32(22=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（ ）
A ．0≠m
B ．
23
-
≠m C ．1≠m
D ．1≠m ，
23-
≠m ，0≠m 4．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，若线段AB 的中点为
(1,1)M -，则直线l 的斜率为（ ）
A ．23
B ．32
C ．32-
D ． 2
3-
5.经过两直线11x+3y －7=0和12x+y －19=0的交点，且与A （3，－2），B （－1，6）
等距离的直线的方程是 。
6.（全国Ⅰ文16）若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段
的长为22，则m 的倾斜角可以是 ①15 ②30 ③45 ④60 ⑤75 其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）
7．已知点(1,1)A ，(2,2)B ，点P 在直线x y 21=
上，求22PB PA +取得最小值时P 点
的坐标。
8、已知直线l 经过点(5,4)P --，且l 与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线l 的
方程．
9.已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点P (-1, 2)的直线l 与线段AB 始终有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围.
10、一条光线从点P （6,4）射出，与x 轴相交于点Q （2，0）经x 轴反射，求入射光线和反射光线所在的直线方程。
13、自点()33，
-A 发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，反射光线所在的直线与圆074422=+--+y x y x C ：相切
（1）求光线l 和反射光线所在的直线方程． （2）光线自A 到切点所经过的路程．
二、圆部分
1. 已知圆C 与圆(x-1)2+y2=1关于直线y=-x 对称，则圆C 的方程为( ) (A) (x+1)2+y2=1 (B) x2+y2=1 (C)x2+(y+1)2=1 (D)x2+(y-1)2=1 2．过圆C 1 ：x 2+y 2-2x+4y- 4=0内一点M （3，0）作圆的割线l ，使它被该圆截得的
线段最短，则直线l 的方程是（ ） A ．x+y-3=0 B ．x-y-3=0 C ．x+4y-3=0 D ．x-4y-3=0
3．两圆229x y +=和228690x y x y +-++=的位置关系是（ ） A ．相离 B ．相交 C ．内切 D ．外切
4．若直线2=-y x 被圆4)(22=+-y a x 所截得的弦长为22, 则实数a 的值为（ ）
A ．1-或3
B ．1或3
C ．2-或6
D ．0或4 5．圆：06422=+-+y x y x 和圆：0622=-+x y x 交于,A B 两点， 则AB 的垂直平分线的方程是（ ） A. 30x y ++= B ．250x y --= C ．390x y --= D ．4370x y -+=
6、求以(1,3)C 为圆心，并且和直线3470x y --=相切的圆的方程
8、求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．
7．（2011年高考重庆卷文科13)过原点的直线与圆222440x y x y +--+=相交所得弦的长为2，则该直线的方程为
8、已知两圆2260x y x +-=与224x y y m +-=问m 取何值时，两圆相切.
9.圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的动点Q 到直线3x ＋4y ＋8＝0距离的最小值为_________.
10. 若方程220x y x y m +-++=表示一个圆，则m 的取值范是.
11、若直线m y =与曲线24x y -=有两个公共点，求实数m 的取值范围.
12、若直线m x y +=与曲线24x y -=有且只有一个公共点，求实数m 的取值范围.
13．求过点(2,4)A 向圆422=+y x 所引的切线方程，并求切线长
14. 圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？
15．已知点(x,y)P 在圆22+-6-6+14=0x y x y 上。
（1）.求
y
x
的最大值和最小值； （2）求22y x +的最小值和最大值 （3）求y -x 的最大值和最小值；。