勾股定理培优

考点•方法•破译

1 •会用勾股定理解决简单问题 •

2 •会用勾股定理的逆定理判定直角三角形

.

3 •勾股定理提示了直角三角形三边的关系，对于线段的计算，常可由勾股定理列方程

进行求解；对于涉及平方关系的等式证明，可根据勾股定理进行论证

.

经典•考题•赏析

【例1】（达州）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是 正方形，所有的三角形都是直角三角形

.若正方形A 、B 、C 、D 的边长

分别是3, 5, 2, 3,则最大正方形 E 的面积是（

） A . 13 B . 26

C. 47

D . 94

【解法指导】 观察勾股树，发现正方形 A 、B 的边长恰好是一直角三角形相邻的两直角 边.此时直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即两个较小正方形面积之和等于较 大正方形的面积，从而正方形 E 的面积等于正方形 A 、B C 、D 四个面积之和，故选 C.

【变式题组】

01.（安徽）如图，直线I 过正方形ABCD 的顶点B ，点A ，C 到直线I 的距离分别是1和2,则

02.（浙江省温州）在直线I 上的依次摆放着七个正方形 （如图所示），己知斜放置的三个正方形

的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是 S 1，S ，Ss ，S ，贝V S+ S 2

+ S 3 + S 4= ______ .

03.（浙江省丽江）如图，已知△ ABC 中，/ ABC = 90°，AB = BC,三角形的顶点在相互平行

的三条直线11、|2、|3上，且|1、|2之间的距离

为

是（）

A . 2 17

B . 2 5 C. 4 2

D . 7

【例2】（青岛）如图，长方体的底面边长分别为 1cm 和3cm ，高为 6cm.如果用一根细线从点 A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点 B,那么 所用细线最短需

要 ___________________ cm ;如果从点A 开始经过4个侧面缠绕n 圈到

达点B ，那么所用细线最短需要 ________ c m.

【解法指导】细线缠绕时绕过几个面，则将这几个面展开后在同一平面内利用线段的公 理：两点之间线段最短.画出线路，然后利用勾股定理解决，应填

10，2 9 16n 2

.

【变式题组】

01.偲施）如图，长方体的长为 15,宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁 如果要沿

着长方体的表面从点

A 爬到点

B ,需要爬行的最短距离是（ ）

第19讲勾股定理

正方形的边长是 ____________

2，12、|3之间的距离为 A

2 B I

第1题图

第2题图

3,贝U AC 的长

____ cm.（精确到个位，参考数据：J 2 = 1. 4, J3 =

B . 25

C. 10 5

5

D . 35

A . 5 21 吸管

B io

有一孔便于插吸管，吸 到上盖中与AB 相邻的

5

第2题图

管长为13cm ,

02.（荆州）如图所示

的长方体是某种饮 料的纸质包装盒，规 格为5 X 6 X 10（单 位:cm ）,在上盖中开

J 边AB 距离为1cm ,

两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的

1. 7: 5 =

2.

2) 03.（荆州）若一边长为40cm 的等边三角形硬纸板刚好能不受损地从用铁丝围成的圆形铁圈 中穿

过，则铁圈直径最小值为 __________ cm •（铁丝粗细忽略不计） 【例3】（荆州）如图，将边长为8cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处, 点A 落在F 处，折痕为NM ，则线段CN 的长是（ ） A . 3cm B . 4cm C. 5cm D . 6cm 【解法指导】对折问题即对称问题，设 CN= x , DN = NE = 8 — x.在Rt A CEN 中，（8 — x ）2 =42 + x 2

x = 5.故选 C 【变式题组】 01.在四边形 ABCD 中，/ B = 90°, AB = 4, BC = 3, CD = 13, AD = 12.求 S 四边形 ABCD 02.如图，△ ABC 中，AB = 13, AD = 6, AC = 5 , D 为 BC 边的中点.求 &ABC . D

03.如图，△

3 ABC 中，/ ACB = 90°, AD 平分/ CAB, BC = 4, CD =—.求 AC. 【例4】（四川省初二数学联赛试题 ）如图，直线OB 旦 次函数y = — 2x 的图象，点A 的坐标为（0, 2），在直线 找点C,使得△ ACO 为等腰三角形，求点 C 坐标. 【解法指导】求C 点坐标需分类讨论.

2 1 __

是 OB 上 （1） 若以O 为顶点，OA 为腰，则C 在以O 为圆心，OA 的长 为半径的圆与y = — 2x 的交点处. （2） 若以A 为顶点，AO 为腰，则C 在以A 为圆心，AO 的长 为半径的圆与y = — 2x 的交点处. ⑶若以C 为顶点，则C 在OA 的中垂线与y = — 2x 的交点处. 【解】⑴若以O 为顶点，OA 为腰，如图设 qt , — 2t ），则在 Rt A COD 中， O& = OD 2 + CD 2

4 = t 2+ (— 2t)2 5t 2

=

4

2.5 5

长为hcm ，则h 的最小值大约为