天津市红桥区重点中学八校2017届高三4月联考数学试题(文)含答案

高三年级八校联考 文科数学 试卷（2017.04）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、复数ii215+的虚部是（ ） A. i B. i - C. 1 D. 1- 2、R x ∈，则2>x 的一个必要不充分条件是（ ）A. 3>xB. 3<xC. 1<xD. 1>x 3.将一枚骰子先后抛掷2次，则向上的点数之和是5的概率为（ ） A.361 B. 91 C. 367 D. 1214、函数)sin(2)(ϕω+=x x f ，（0ω>，22ππϕ-<<）的部分图象如图所示，则ω，ϕ的值分别是（ ） A. 2，3π- B. 2，6π-C. 4，6π-D. 4，3π5、阅读右边的程序框图，运行相应的程序， 则输出i 的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 56、若直线022=+-by ax （0a >，0b >），经过圆014222=+-++y x y x 的圆心，则ba 11+的最小值是（ ） A. 21 B. 4 C. 41D. 27、设2log 31=a ，31log 21=b ，3.0)21(=c ，则（ ）A. c b a <<B. c a b <<C. a c b <<D. b c a <<8、已知函数)(x f y =的周期为2,当[02]x ∈，时,,)1()(2-=x x f 如果|1|log )()(5--=x x f x g ，则函数的所有零点之和为（ ）A. 8B. 6C. 4D. 10 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9、已知集合2{|160}|A x x =-<，2{|430}B x x x =-+>，则=⋂B A ________； 10、已知某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积等于_______________；11、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7813=S ，10127=+a a ，则=17a _______；12、已知函数4)(23-+-=ax x x f 在2=x 处取得极值，若[11]m n ∈-，，， 则()()f m f n '+的最小值是________________；13、已知F 是双曲线112422=-y x 的左焦点，定点(14)A ，，P 是双曲线右支上的动点，则||||PF PA +的最小值是_____________；14、边长为1的菱形ABCD 中，060=∠DAB ，=，2=，则AM ______________；三、解答题：第15～18题每小题13分，19～20小题每小题14分，共80分。

15、咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料分别用奶粉9g 、咖啡4g 、糖3g 。

乙种饮料分别用奶粉4g 、咖啡5g 、糖10g 。

已知每天使用原料限额为奶粉3600g 、咖啡2000g 、糖3000g 。

如果甲种饮料每杯能获利0.7元，乙种饮料每杯能获利1.2元。

每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大?16、在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且3cos cos (tan tan 1)1A C A C ⋅⋅⋅-=.（1）求5sin (2)6B π-的值； （2）若233=+c a ，3=b ，求ABC ∆的面积。

17、如图：ABCD 是平行四边行，AP ⊥平面ABCD , BE //AP ,2AB AP ==，1BE BC ==，60CBA ∠= 。

（1）求证：EC //平面PAD ； （2）求证：平面PAC ⊥平面EBC ；（3）求直线PC 与平面PABE 所成角的正弦值.18、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2(2)n n S n a -=-, （n N *∈）（1）证明：数列{}1n a -为等比数列。

（2）若2log (1)n n n b a a =⋅-，数列{}n b 的前项和为n T ，求n T 。

19、已知椭圆C 的中心在原点，离心率等于21，它的一个短轴端点恰好是抛物线y x 382=的焦点。

（1）求 椭圆C 的方程；（2）已知(23)P ，、(23)Q -，是椭圆上的两点，A ，B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点.①若直线AB 的斜率为21，求四边形APBQ 面积的最大值； ②当A ，B 运动时，满足BPQ APQ ∠=∠,试问 直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由。

20、已知函数322()()3f x x f x x c '=+-+，（其中2()3f '为)(x f 在点32=x 处的导数，c 为常数).（1）求2()3f '的值；（2）求函数)(x f 的单调区间；（3）设函数3()[()]xg x f x x e =-⋅，若函数)(x g 在区间[32]-，上单调递增，求实数c 的取值范围。

高三年级八校联考 文科数学 答案（2017.04）一、选择题：二、填空题：9、{|4134}A B x x x =-<<<< 或 10、π 11、2 12、13- 13、9 14、1312三、解答题：15、【解】：设每天配制甲种饮料x 杯，乙种饮料y 杯，咖啡馆每天获利z 元，则x 、y 满足约束条件。

………1分943600452000310300000.x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩，，，， ………4分目标函数0.7 1.2z x y =+ ………5分在平面直角坐标系内作出可行域，如图： ………9分作直线l ：0.7 1.20x y +=，把直线l 向右上方平移至1l 的位置时，直线经过可行域上的A 点，且与原点距离最大，此时0.7 1.2z x y =+取最大值。

………11分解方程组4520003103000x y x y +=⎧⎨+=⎩，得A 点坐标(200240)，。

………12分答：每天应配制甲种饮料200杯，乙种饮料240杯，能使该咖啡馆获利最大。

………13分16、【解】（1）3cos cos (tan tan 1)1A C A C ⋅⋅⋅-=sin sin 3cos cos (1)1cos cos A CA C A C⋅⋅⋅-=⋅ ………1分∴1cos cos 3sin sin 3=⋅-⋅C A C A 1)cos(3=+-C A ………3分∵π=++C B A ∴31cos =B 322sin =B 971cos 22cos 2-=-=B B , 924cos sin 22sin =⋅=B B B ………5分∴555sin(2)sin 2cos cos 2sin 666B B B πππ-=⋅-⋅=………7分（2）22222cos ()22cos b a c ac B a c ac ac B =+-⋅=+--⋅ ………9分∵a c +=………10分 ∴31224273⨯--=ac ac ∴3245=ac ………12分∴1sin 2ABC S ac B ∆==………13分 17、【证明】:（1）取PA 的中点N ，连DN ，EN 。

由已知BE //AP ，2AP =，1BE =，则CEND 为平行四边形，所以EC //DN ………2分 又DN ⊂平面PAD ，EC ⊄平面PAD ， 所以EC //平面PAD ………4分 （2）ABC ∆中，2AB =，1BC =所以360cos 1221402=⨯⨯⨯-+=AC∴222AC BC AB += ∴BC AC ⊥ ………5分∵AP ⊥平面ABCD BC ⊂平面ABCD∴AP BC ⊥ 又∵AC AP A = ∴BC ⊥平面PAC ………7分 又BC ⊂平面EBC ∴平面PAC ⊥平面EBC ………8分 （3）作CM AB ⊥于M ，连PM ，可证CM ⊥平面PABECPM ∠为PC 与平面PABE 所成角 ………10分2CM =，32AM =，52PM =，PC =sin14CM CPM PC ∠===。

………12分答: 直线PC 与平面PABE 所成角的正弦值为1421。

………13分 18、【解】（1） )2(2-=-n n a n S 2≥n 时)2(2)1(11-=----n n a n S两式相减 1221--=-n n n a a a∴12-=n n a a ∴)1(211-=--n n a a ………1分 ∴2111=---n n a a （常数） ………3分又1n =时，)2(2111-=-a a 得 31=a ，211=-a ………4分 所以数列{}1n a -是以2为首项，2为公比的等比数列。

………5分 （2）由（1）n n n a 22211=⨯=-- ∴12+=n n a ………6分又 )1(log 2-⋅=n n n a a b ∴)12(+=n n n b ………7分 ∴123n n T b b b b =++++23(1222322)(123)nn n =⨯+⨯+⨯++⨯+++++ ………8分设231122232(1)22n n n A n n -=⨯+⨯+⨯+-⨯+⨯ 23121222(1)22n n n A n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯ ………9分两式相减23112(12)22222212n nn n n A n n ++--=++++-⨯=-⨯-∴22)1(1+⋅-=+n n n A ………11分又 2)1(321+=++++n n n ………12分 ∴2)1(22)1(1+++⋅-=+n n n T n n ………13分19、【解】（1）y x 382=∴(0)F ………1分∴32=b 21==a c e 又 222cb a += ∴162=a 122=b ∴ 椭圆方程为1121622=+y x ………3分 （2）①设 11()A x y ，，22()B x y ，设AB 方程 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=112162122y x t x y 代入化简 01222=-++t tx x ………4分 224(12)0t t ∆=-->，44t -<< ………5分⎩⎨⎧-=⋅-=+1222121t x x tx x 又(23)P ，、(23)Q -， ………6分1216||2APBQ S x x =⨯⨯-=当0t =时，S 最大为312 ………7分 ②当BPQ APQ ∠=∠时，PA 、PB 斜率之和为0.设PA 斜率为k ，则PB 斜率为k - ………8分设PA 方程⎩⎨⎧=+-=-4843)2(322y x x k y ………9分 代入化简048)1294(4)23(8)43(2222=--++-++k k x k k x k ………10分(23)P ， 2143)32(82k k k x +-=+ ………11分 同理 2243)32(82k k k x ++=+ ………12分2221431216k k x x +-=+，2214348k kx x +-=- ………13分∴214)(21211212=--+=--=x x k x x k x x y y k AB直线AB 的斜率为定值21。