浙江省杭州市高考数学第一次教学质量检测试题 理 新人教A版
2025版高考数学复习第七单元专题集训五球与几何体的切接问题练习理新人教A版
专题集训五球与几何体的切接问题1.[2024·辽宁凌源模拟]过长方体的一个顶点的三条棱长分别为3,2,x,其顶点都在表面积为18π的球的球面上,则x=()A.√6B.√5C.2D.√32.[2024·山西康杰中学月考]将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球,则这个球的表面积为()A.2πB.4πC.8πD.16π3.[2024·福建泉州质检]如图Z5-1,在正方形网格纸上,实线画出的是某多面体的三视图.若该多面体的顶点在同一球面上,则该球的表面积等于 ()图Z5-1A.8πB.18πC.24πD.8√6π4.[2024·山东烟台一模]已知一个正方体的全部顶点都在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为.5.[2024·浙江金华东阳中学月考]已知正三棱锥的高为1,底面边长为2√3,内有一个球与四个面都相切,则该球的半径为.6.[2024·安徽马鞍山一模]已知一个圆锥的侧面绽开图是半径为2的半圆,则该圆锥的外接球的表面积是()B.4πA.4π3C.16πD.16π37.[2024·黑龙江双鸭山模拟]如图Z5-2,已知球O是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球,则平面ACD1截球O的截面面积为()图Z5-2A .√66π B .π3 C .π6D .√33π8.[2024·云南玉溪一中月考] 《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥P-ABC 为鳖臑,PA ⊥平面ABC ,PA=AB=2,AC=4,三棱锥P-ABC 的四个顶点都在球O 的球面上,则球O 的表面积为 ( ) A .8π B .12π C .20π D .24π9.[2024·哈尔滨六中模拟] 已知四面体S-ABC 中,SA=SB=2,且SA ⊥SB ,BC=√5,AC=√3,则该四面体的外接球的表面积为 .10.已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的顶点都在同一个球面上,且该正三棱柱的体积为√32,底面三角形ABC 的周长为3,则这个球的体积为 .11.[2024·山东青州三模] 在三棱锥A-BCD 中,底面BCD 为直角三角形,且BC ⊥CD ,斜边BD 上的高为1,三棱锥A-BCD 的外接球的直径是AB ,若该外接球的表面积为16π,则三棱锥A-BCD 的体积的最大值为 .12.[2024·河北衡水武邑中学月考] 一个倒放的圆锥形容器,它的轴截面是正三角形,在容器内注入水,并放入一个半径为r 的铁球,这时水面恰好和球面相切.问将球从圆锥内取出后,圆锥内水平面的高度是多少?13.[2024·成都树德中学月考] 如图Z5-3所示,在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切. (1)求两球半径之和;(2)球的半径为多少时,两球体积之和最小.图Z5-314.[2024·成都七中三诊] 四棱锥S-ABCD 中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧面SAD 是以SD 为斜边的等腰直角三角形,若四棱锥S-ABCD 的体积的取值范围为4√33,83,则该四棱锥外接球表面积的取值范围是 .15.[2024·广东汕头潮南区模拟] 已知三棱锥A-BCD 中,AB=3,AD=1,BC=4,BD=2√2,当三棱锥A-BCD 的体积最大时,其外接球的体积为 .专题集训(五)1.B [解析] 由题意,设球的半径为R ,则4πR 2=18π,则4R 2=18,又长方体的体对角线长等于球的直径,所以(2R )2=9+4+x 2,即9+4+x 2=18,得x=√5,故选B .2.B [解析] 体积最大的球是正方体的内切球,即球的半径为1,所以球的表面积S=4π×12=4π.3.C [解析] 设球的半径为R.易知该多面体是两个正四棱锥的组合体(底面重合),两顶点之间的距离为2R ,底面是边长为√2R 的正方形,由R 2+√2R 22=32,得R 2=6,故该球的表面积S=4πR 2=24π.4.9π2[解析] 设正方体的棱长为a ,因为这个正方体的表面积为18,所以6a 2=18,解得a=√3,又该正方体全部的顶点都在一个球面上,所以该正方体的体对角线长等于球的直径.设球的半径为R ,则√3a=2R ,即2R=√3×√3,解得R=32,则球的体积V=43πR 3=43π×323=9π2.5.√2-1 [解析] 如图,在正三棱锥P-ABC 中,过点P 作PD ⊥平面ABC 于点D ,连接AD 并延长,交BC 于点E ,连接PE ,∵△ABC 是正三角形,∴AE 是BC 边上的高和中线,D 为△ABC 的中心.∵AB=2√3,∴R △RRR =3√3,DE=1,又PD=1,∴PE=√2,∴三棱锥P-ABC 的表面积S=3×12×2√3×√2+3√3=3√6+3√3.易知三棱锥的体积V=13×3√3×1=√3.设球的半径为r ,以球心O 为顶点,三棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小三棱锥,由等体积法可得r=√33√6+3√3=√2-1.6.C [解析] 设圆锥的底面半径为r ,则2πr=2π,r=1,∴圆锥的轴截面是边长为2的正三角形,∴圆锥的外接球球心是正三角形的中心,外接球半径等于正三角形外接圆的半径,为√33×2=2√33,∴外接球的表面积为4π×(2√33)2=16π3.故选C .7.C [解析] 平面ACD 1截球O 的截面为△ACD 1的内切圆.因为正方体的棱长为1,所以AC=CD 1=AD 1=√2,所以内切圆的半径r=√22×tan30°=√66,所以截面面积S=πr 2=π×16=16π.8.C [解析] 由题意可画出如图所示的空间几何体,则三棱锥P-ABC 的外接球半径即为长方体的外接球半径,因为PC=√22+42=2√5,所以外接球半径R=√5,所以外接球的表面积S=4πR 2=20π,故选C .9.8π[解析]∵SA=SB=2,且SA ⊥SB ,∴AB=√RR 2+RR 2=2√2,又∵BC=√5,AC=√3,∴AC 2+BC 2=AB 2,即AC ⊥BC.取AB 的中点O ,连接SO ,OC ,依据直角三角形的性质,可得OA=OB=OC=OS ,即O 为该四面体的外接球的球心,则该四面体的外接球的半径R=12AB=√2,故该四面体的外接球的表面积S=4πR 2=8π.10.32√3π27[解析] 设正三棱柱的高为h ,由题可知S △ABC =√34,R 三棱柱RRR -R 1R 1R 1=√34×h=√32,解得h=2.正三棱柱外接球的球心在上、下底面中心连线的中点处,则外接球的半径R=√12+(√12-(12)2×23) 2=√43,所以外接球的体积为43πR 3=43π×√433=32√3π27.11.43 [解析] 如图所示,由外接球的表面积为16π,可得外接球的半径为2,则AB=4.设AD=x (0<x<4),则BD=√16-R 2,S △ABD =12AD ·BD=12x ·√16-R 2=12√-R 4+16R 2,故当x 2=8时,S △ABD取得最大值,最大值为4.过C 作CH ⊥BD ,交BD 于点H ,则CH=1,易知当CH ⊥平面ABD ,且AD=BD=2√2时,三棱锥A-BCD 的体积最大,此时体积V=13×4=43.12.解:如图,作轴截面,设球未取出时,水面高PC=h ,球取出后,水面高PH=x.∵AC=√3r ,PC=3r ,∴以AB 为底面直径的圆锥的体积V 圆锥=13π·AC 2·PC=13π·(√3r )2·3r=3πr 3,铁球的体积V 球=43πr 3.球取出后,水面下降到EF ,水的体积V 水=13π·EH 2·PH=13π·(PH ·tan30°)2·PH=19πx 3.又V 水=V 圆锥-V 球,∴19πx 3=3πr 3-43πr 3,解得x=√153r.13.解:(1)如图,球心O 1和O 2在AC 上,过O 1,O 2分别作AD ,BC 的垂线,垂足分别为E ,F.设球O 1的半径为r ,球O 2的半径为R ,则由AB=1,AC=√3得AO 1=√3r ,CO 2=√3R ,∴r+R+√3(r+R )=√3,∴R+r=√3√3+1=3-√32.(2)设两球体积之和为V ,则V=43π(R 3+r 3)=43π(r+R )(R 2-Rr+r 2)=43π×3-√32[(R+r )2-3rR ]=43π×3-√323-√322-3R3-√32-R=43π×3-√323R 2-3(3-√3)2R+3-√322,当R=3-√34时,V 有最小值,∴当R=r=3-√34时,两球体积之和最小.14.28π3,20π [解析] 四棱锥S-ABCD 中,因为AD ⊥SA ,AD ⊥AB ,SA ∩AB=A ,所以AD ⊥平面SAB ,又AD ⊂平面ABCD ,所以平面SAB ⊥平面ABCD ,过S 作SO ⊥AB ,交BA 或BA 延长线于点O ,则SO ⊥平面ABCD.设∠SAB=θ,则V 四棱锥S-ABCD =13S 正方形ABCD ·SO=83sin θ,所以sin θ∈√32,1,所以θ∈π3,2π3,所以-12≤cos θ≤12.在△SAB 中,SA=AB=2,则有SB=2√2√1-cos R ,所以△SAB的外接圆半径r=RR 2sin R=√2·√1-cos Rsin R .将该四棱锥补成一个以△SAB 为一个底面的直三棱柱,得外接球的半径R=√R 2+1,所以外接球的表面积S=4πR 2=4π21+cos R+1,所以S ∈28π3,20π.15.1256π [解析]∵AB=3,AD=1,BC=4,DB=2√2,∴BD 2+AD 2=AB 2,∴△ABD 为直角三角形,∴当BC⊥平面ABD 时,三棱锥的体积最大时,此时三棱锥A-BCD 的外接球就是以AD ,BD ,BC 为棱的长方体的外接球,长方体的体对角线为外接球的直径.设外接球的半径为r ,则(2r )2=42+(2√2)2+12,得r=52,∴外接球的体积V=43πr 3=125π6.。
高中数学 模块1 高考真题(含解析)新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学试题
模块1高考真题对应学生用书P81剖析解读高考全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷都是由教育部按照普通高考考试大纲统一命题，适用于不同省份的考生．但在难度上会有一些差异，但在试卷结构、命题方向上基本上都是相同的．“稳定”是高考的主旋律．在今年的高考试卷中，试题分布和考核内容没有太大的变动，三角、数列、立体几何、圆锥曲线、函数与导数等都是历年考查的重点．每套试卷都注重了对数学通性通法的考查，淡化特殊技巧，都是运用基本概念分析问题，基本公式运算求解、基本定理推理论证、基本数学思想方法分析和解决问题，这有利于引导中学数学教学回归基础．试卷难度结构合理，由易到难，循序渐进，具有一定的梯度．今年数学试题与去年相比整体难度有所降低．“创新”是高考的生命线．与历年试卷对比，Ⅰ、Ⅱ卷解答题顺序有变，这也体现了对于套路性解题的变革，单纯地通过模仿老师的解题步骤而不用心去理解归纳，是难以拿到高分的．在数据处理能力以及应用意识和创新意识上的考查有所提升，也符合当前社会的大数据处理热潮和青少年创新性的趋势．全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷对必修1集合与函数知识的考查，相对来说比较常规，难度不大，变化小，综合性低，属于基础类必得分试题，主要考查集合的概念及运算，函数的图象及定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期、最值等基本性质．做题时若能熟练应用概念及性质，掌握转化的技巧和方法，基本不会丢分。
若综合其他省市自主命题卷研究，必修1的知识又能与命题、不等式、导数、分段函数等知识综合，强化了数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归的数学思想的运用，提高了试题的难度，所以作为高一学生来说，从必修1就应该打好牢固的基础，培养最基本的能力．下面列出了2018年全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷及其他自主命题省市试卷必修1所考查的全部试题，请同学们根据所学必修1的知识，测试自己的能力，寻找自己的差距，把握高考的方向，认清命题的趋势！(说明：有些试题带有综合性，是与以后要学习内容的小综合试题，同学们可根据目前所学内容，有选择性地试做！)穿越自测一、选择题1．(2018·全国卷Ⅰ，文1)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝( ) A．{0,2} B．{1,2}C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}答案A解析根据集合交集中元素的特征，可以求得A∩B＝{0,2}，故选A.2．(2018·全国卷Ⅱ，文2)已知集合A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,5}，则A∩B＝( ) A．{3} B．{5}C．{3,5} D．{1,2,3,4,5,7}答案C解析∵A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,5}，∴A∩B＝{3,5}，故选C.3．(2018·某某卷，1)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，则∁U A＝( )A．∅B．{1,3}C．{2,4,5} D．{1,2,3,4,5}答案C解析因为全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，所以根据补集的定义得，∁U A＝{2,4,5}，故选C.4．(2018·全国卷Ⅲ，文1)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝( ) A．{0} B．{1} C．{1,2} D．{0,1,2}答案C解析由集合A＝{x∈R|x≥1}，所以A∩B＝{1,2}，故选C.5．(2018·某某卷，文1)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1，0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x<2}，则(A∪B)∩C＝( )A．{－1,1} B．{0,1}C．{－1,0,1} D．{2,3,4}答案 C解析由并集的定义可得，A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}，结合交集的定义可知，(A∪B)∩C ＝{－1,0,1}．故选C.6．(2018·某某卷，理1)设全集为R，集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁R B)＝( )A．{x|0<x≤1} B．{x|0<x<1}C．{x|1≤x<2} D．{x|0<x<2}答案 B解析由题意可得，∁R B＝{x|x<1}，结合交集的定义可得，A∩(∁R B)＝{x|0<x<1}．故选B.7．(2018·卷，文1)已知集合A ＝{x ||x |<2}，B ＝{－2,0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0,1} B ．{－1,0,1} C ．{－2,0,1,2} D ．{－1,0,1,2} 答案 A解析 A ＝{x ||x |<2}＝{x |－2<x <2}，B ＝{－2,0,1,2}，∴A ∩B ＝{0,1}．故选A. 8．(2018·全国卷Ⅰ，理2)已知集合A ＝{x |x 2－x －2>0}，则∁R A ＝( ) A ．{x |－1<x <2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x <－1}∪{x |x >2} D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2} 答案 B解析 解不等式x 2－x －2>0，得x <－1或x >2，所以A ＝{x |x <－1或x >2}，于是∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}，故选B.9．(2018·全国卷Ⅲ，文7)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( )A ．y ＝ln (1－x )B ．y ＝ln (2－x )C ．y ＝ln (1＋x )D ．y ＝ln (2＋x ) 答案 B解析 函数y ＝ln x 过定点(1,0)，(1,0)关于x ＝1对称的点还是(1,0)，只有y ＝ln (2－x )过此点．故B 正确．10．(2018·某某卷，理5)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b 答案 D解析 由题意结合对数函数的性质可知，a ＝log 2e>1，b ＝ln 2＝1log 2e ∈(0,1)，c ＝log1213＝log 23>log 2e ，据此可得，c >a >b .故选D.11．(2018·全国卷Ⅱ，文3)函数f (x )＝e x －e－xx2的图象大致为( )答案 B解析 ∵x ≠0，f (－x )＝e －x－e xx2＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数，排除A ，∵f (1)＝e －e －1>0，∴排除D ；∵f (2)＝e 2－e －24＝4e 2－4e 216；f (4)＝e 4－e－416＝e 2·e 2－1e 416，∴f (2)<f (4)，排除C.因此选B.12．(2018·全国卷Ⅰ，理9)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值X 围是( )A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) 答案 C解析 画出函数f (x )的图象，再画出直线y ＝－x ，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图象有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图象有两个交点，即方程f (x )＝－x －a 有两个解，也就是函数g (x )有两个零点，此时满足－a ≤1，即a ≥－1，故选C.13．(2018·全国卷Ⅰ，文12)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值X 围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0) 答案 D解析 将函数f (x )的图象画出来，观察图象可知⎩⎪⎨⎪⎧2x <0，2x <x ＋1，解得x <0，所以满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值X 围是(－∞，0)，故选D.14．(2018·全国卷Ⅲ，理12)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A ．a ＋b <ab <0 B ．ab <a ＋b <0 C ．a ＋b <0<ab D ．ab <0<a ＋b 答案 B解析 ∵a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，∴1a ＝log 0.30.2，1b ＝log 0.32，∴1a ＋1b＝log 0.30.4，∴0<1a ＋1b <1，即0<a ＋b ab<1.又∵a >0，b <0，∴ab <0，即ab <a ＋b <0，故选B.二、填空题15．(2018·某某卷，1)已知集合A ＝{0,1,2,8}，B ＝{－1，1,6,8}，那么A ∩B ＝________. 答案 {1,8}解析 由题设和交集的定义可知，A ∩B ＝{1,8}．16．(2018·某某卷，5)函数f (x )＝log 2x －1的定义域为________． 答案 [2，＋∞)解析 要使函数f (x )有意义，则log 2x －1≥0，解得x ≥2，即函数f (x )的定义域为[2，＋∞)．17．(2018·全国卷Ⅰ，文13)已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a )，若f (3)＝1，则a ＝________. 答案 －7解析 根据题意有f (3)＝log 2(9＋a )＝1，可得9＋a ＝2，所以a ＝－7.18．(2018·全国卷Ⅲ，文16)已知函数f (x )＝ln (1＋x 2－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝________.答案 －2解析 f (x )＋f (－x )＝ln (1＋x 2－x )＋1＋ln (1＋x 2＋x )＋1＝ln (1＋x 2－x 2)＋2＝2，∴f (a )＋f (－a )＝2，则f (－a )＝－2.19．(2018·卷，理13)能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，则f (x )在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________．答案 y ＝sin x (答案不唯一)解析 令f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ＝0，4－x ，x ∈0，2]，则f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，但f (x )在[0,2]上不是增函数．又如，令f (x )＝sin x ，则f (0)＝0，f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，但f (x )在[0,2]上不是增函数．20．(2018·某某卷，9)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0<x ≤2，x ＋12，－2<x ≤0，则f [f (15)]的值为________．答案22解析 由f (x ＋4)＝f (x )得函数f (x )的周期为4，所以f (15)＝f (16－1)＝f (－1)＝－1＋12＝12，因此f [f (15)]＝f 12＝cos π4＝22. 21．(2018·某某卷，15)已知λ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ，当λ＝2时，不等式f (x )<0的解集是________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值X 围是________．答案 (1,4) (1,3]∪(4，＋∞)解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －4<0或⎩⎪⎨⎪⎧x <2，x 2－4x ＋3<0，所以2≤x <4或1<x <2，即1<x <4，不等式f (x )<0的解集是(1,4)，当λ>4时，f (x )＝x －4>0，此时f (x )＝x 2－4x ＋3＝0，x ＝1,3，即在(－∞，λ)上有两个零点；当λ≤4时，f (x )＝x －4＝0，x ＝4，由f (x )＝x 2－4x ＋3在(－∞，λ)上只能有一个零点，得1<λ≤3.综上，λ的取值X 围为(1,3]∪(4，＋∞)．22．(2018·某某卷，理14)已知a >0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ＋a ，x ≤0，－x 2＋2ax －2a ，x >0.若关于x的方程f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解，则a 的取值X 围是________．答案 (4,8)解析 当x ≤0时，方程f (x )＝ax ，即x 2＋2ax ＋a ＝ax ，整理可得，x 2＝－a (x ＋1)，很明显x ＝－1不是方程的实数解，则a ＝－x 2x ＋1，当x >0时，方程f (x )＝ax ，即－x 2＋2ax －2a ＝ax ，整理可得，x 2＝a (x －2)，很明显x ＝2不是方程的实数解，则a ＝x 2x －2，令g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2x ＋1，x ≤0，x 2x －2，x >0，其中－x 2x ＋1＝－x ＋1＋1x ＋1－2，x 2x －2＝x －2＋4x －2＋4，原问题等价于函数g (x )与函数y ＝a 有两个不同的交点，求a 的取值X 围．结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数g (x )的图象，同时绘制函数y ＝a 的图象如图所示，考查临界条件，结合a >0观察可得，实数a 的取值X 围是(4,8)．。
2022版新教材高考数学一轮复习课时质量评价60事件的独立性条件概率与全概率公式含解析新人教A版20
课时质量评价(六十)(建议用时：45分钟) A 组 全考点巩固练1．某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁．已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( )A ．110 B ．15 C ．25 D ．12C 解析：设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A ，“第二次闭合后出现红灯”为事件B ．由题意可得P (A )＝12，P (AB )＝15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1512＝25.2．(2020·某某二中高三教学质量检测)据统计，连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0.055，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为0.19.现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为( )A ．67B ．335C ．1135D ．0.19A 解析：设“连续熬夜48小时未诱发心脏病”记为事件A ，“继续连续熬夜24小时未诱发心脏病”记为事件B ．由题意得，P (A )＝1－0.055＝0.945，P (AB )＝1－0.19＝0.81，所以他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.810.945＝67.故选A ．3．(2020·某某市第四中学高三一模)两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为56，34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )A ．12B ．13C ．512D ．16B 解析：记“两个零件中恰有一个一等品”的事件为A ，“仅第一个实习生加工一等品”为事件A 1，“仅第二个实习生加工一等品”为事件A 2，则P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＝56×14＋16×34＝13.故选B ．4．(2020·某某市高三三模)甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制(不考虑平局，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束)．根据前期的统计分析，得到甲在和乙的第一场比赛中，取胜的概率为0.5.受心理方面的影响，前一场的比赛结果会对甲的下一场比赛产生影响．如果甲在某一场比赛中取胜，则下一场取胜率提高0.1，反之，降低0.1，则甲以3∶1取得胜利的概率为( )A ．0.162B ．0.18C ．0.168D ．0.174D 解析：设“甲在第一、二、三、四局比赛中获胜”分别为事件A 1，A 2，A 3，A 4. 由题意得，甲要以3∶1取得胜利可能是A 1A 2A 3A 4，A 1A 2A 3A 4，A 1A 2A 3A 4， 所以甲以3∶1取得胜利的概率p ＝P (A 1A 2A 3A 4)＋P (A 1A 2A 3A 4)＋P (A 1A 2A 3A 4)＝0.5×0.6×0.3×0.6＋0.5×0.4×0.5×0.6＋0.5×0.4×0.5×0.6＝0.174.故选D ． 5．首届中国国际进口博览会期间，甲、乙、丙三家中国企业都有意向购买同一种型号的机床设备．他们购买该机床设备的概率分别为12，13，14，且三家企业的购买结果相互之间没有影响，则三家企业中恰有一家购买该机床设备的概率是( )A ．2324B ．524C ．1124D ．124C 解析：设“甲企业购买该机床设备”为事件A ，“乙企业购买该机床设备”为事件B ，“丙企业购买该机床设备”为事件C ，则P (A )＝12，P (B )＝13，P (C )＝14，则P (A )＝1－P (A )＝1－12＝12，P (B )＝1－P (B )＝1－13＝23，P (C )＝1－P (C )＝1－14＝34.设“三家企业中恰有一家购买该机床设备”为事件D ，则P (D )＝P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝12×23×34＋12×13×34＋12×23×14＝1124.6．(2020·某某市高三月考)某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关，第一关与第二关的过关率分别为23，34.只有通过前一关才能进入下一关，每一关都有两次闯关机会，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手能进入第三关的概率为( )A ．12B ．23C ．56D ．112C 解析：设A i ＝“第i 次通过第一关”，B i ＝“第i 次通过第二关”，其中i ＝1,2. 由题意知选手能进入第三关的事件为A 1B 1＋A 1A 2B 1＋A 1B 1B 2＋A 1A 2B 1B 2， 所以选手能进入第三关的概率P (A 1B 1＋A 1A 2B 1＋A 1B 1B 2＋A 1A 2B 1B 2)＝23×34＋13×23×34＋23×14×34＋13×23×14×34＝56.故选C ． 7．(2020·某某市高三模拟)概率论起源于博弈游戏.17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定，各出赌金48枚金币，先赢3局者可获得全部赌金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局．问这96枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是( )A ．甲48枚，乙48枚B ．甲64枚，乙32枚C ．甲72枚，乙24枚D ．甲80枚，乙16枚 C 解析：根据题意，甲、乙两人每局获胜的概率均为12，假设两人继续进行比赛，甲获取96枚金币的概率p 1＝12＋12×12＝34，乙获取96枚金币的概率p 2＝12×12＝14，则甲应该获得96×34＝72(枚)金币；乙应该获得96×14＝24(枚)金币．故选C ．8．已知事件A ，B ，C 相互独立，如果P (AB )＝16，P (B C )＝18，P (AB C )＝18，则P (B )＝________，P (A B )＝________.1213解析：由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧P (A )·P (B )＝16，①P (B )·P (C )＝18，②P (A )·P (B )·P (C )＝18.③由③÷①得P (C )＝34，所以P (C )＝1－P (C )＝1－34＝14.将P (C )＝14代入②得P (B )＝12，所以P (B )＝1－P (B )＝12.由①可得P (A )＝13，所以P (A B )＝P (A )·P (B )＝23×12＝13.9．甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4,0.5,0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而击落的概率为0.6.若三人都击中，飞机必定被击落．求飞机被击落的概率．解：设B ＝{飞机被击落}，A i ＝{飞机被i 个人击中}，i ＝1,2,3，则B ＝A 1B ＋A 2B ＋A 3B ． 依题意得，P (B |A 1)＝0.2，P (B |A 2)＝0.6， P (B |A 3)＝1.由全概率公式P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)·P (B |A 2)＋P (A 3)P (B |A 3)．为求P (A i )，设H 甲＝{飞机被甲击中}，H 乙＝{飞机被乙击中}，H 丙＝{飞机被丙击中}． 可求得P (A 1)＝P (H 甲H乙H 丙＋H 甲H 乙H 丙＋H甲H 乙H 丙)，P (A 2)＝P (H 甲H 乙H 丙＋H 甲H 乙H 丙＋H 甲H 乙H 丙)，P (A 3)＝P (H 甲H 乙H 丙)．将数据代入计算得P (A 1)＝0.36，P (A 2)＝0.41，P (A 3)＝0.14.于是P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)·P (B |A 2)＋P (A 3)P (B |A 3)＝0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1＝0.458.即飞机被击落的概率为0.458.B 组 新高考培优练10．(2020·某某五中高三月考)在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A 叶上，则跳三次之后停在A 叶上的概率是( )A ．13B ．29C ．49D ．827A 解析：若顺时针方向跳的概率为p ，则逆时针方向跳的概率为2p ，可得p ＋2p ＝3p＝1，解得p ＝13，即顺时针方向跳的概率为13，逆时针方向跳的概率为23.若青蛙在A 叶上，则跳3次之后停在A 叶上，满足3次逆时针或者3次顺时针．①若先按逆时针开始，即A →B →C →A ，则对应的概率为23×23×23＝827；②若先按顺时针开始，即A →C →B →A ，则对应的概率为13×13×13＝127.所以，所求概率为827＋127＝13.故选A ．11．(多选题)下列各对事件中，M ，N 是相互独立事件的有( )A ．掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M ＝“出现的点数为奇数”，事件N ＝“出现的点数为偶数”B ．袋中有5个红球、5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件M ＝“第一次摸到红球”，事件N ＝“第二次摸到红球”C ．分别抛掷2枚相同的硬币，事件M ＝“第一枚为正面”，事件N ＝“两枚结果相同”D ．一枚硬币掷两次，事件M ＝“第一次为正面”，事件N ＝“第二次为反面” CD 解析：在选项A 中，P (MN )＝0，所以M ，N 不相互独立．在选项B 中，M ，N 可能同时发生，不是相互独立事件．在选项C 中，P (M )＝12，P (N )＝12，P (MN )＝14，P (MN )＝P (M )·P (N )，因此M ，N 是相互独立事件．在选项D 中，第一次是否为正面对第二次的结果不影响，因此M ，N 是相互独立事件．故选CD ．12．(多选题)(2020·某某市华侨学校模拟)甲箱中有5个红球、2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球、3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以A 1，A 2，A 3表示由甲箱中取出的是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是( )A ．P (B )＝25B ．P (B |A 1)＝511C ．事件B 与事件A 1相互独立D ．A 1，A 2，A 3两两互斥BD 解析：因为每次取一球，所以A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件，故D 正确； 因为P (A 1)＝510，P (A 2)＝210，P (A 3)＝310，所以P (B |A 1)＝P (BA 1)P (A 1)＝510×511510＝511，故B 正确； 同理，P (B |A 2)＝P (BA 2)P (A 2)＝210×411210＝411， P (B |A 3)＝P (BA 3)P (A 3)＝310×411310＝411， 所以P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2)＋P (A 3)P (B |A 3)＝510×511＋210×411＋310×411＝922，故A ，C 错误． 故选BD ．13．(多选题)从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12.从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是( )A ．2个球都是红球的概率为16B ．2个球不都是红球的概率为13C ．至少有1个红球的概率为23D ．2个球中恰有1个红球的概率为12ACD 解析：设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A 1，“从乙袋中摸出一个红球”为事件A 2，则P (A 1)＝13，P (A 2)＝12，且A 1，A 2独立；在选项A 中，2个球都是红球为A 1A 2，其概率为13×12＝16，A 正确；在选项B 中，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为56，B错误；在选项C 中，2个球中至少有1个红球的概率为1－P (A )P (B )＝1－23×12＝23，C 正确；在选项D 中，2个球中恰有1个红球的概率为13×12＋23×12＝12，D 正确．故选ACD ．14．(2020·百师联盟练习五某某卷)某学校装有两套相互独立的安全系统A ，B ．若系统A 和B 至少有一套能正常运行，则认为校园处于安全防卫状态．已知系统A ，B 在任意时刻发生故障的概率分别是19，m ，要求校园在任意时刻处在安全防卫状态下的概率不小于8990，则m的最大值是( )A ．18B ．19C ．110D ．111C 解析：因为系统A ，B 在任意时刻发生故障的概率分别为19，m ，所以校园处在安全防卫状态的概率为1－19m ，则有1－19m ≥8990，得m ≤110.故选C ．15．质检部门对某工厂甲车间生产的8个零件质量进行检测，零件质量(单位：克)分布的茎叶图如图所示，零件质量不超过20克的为合格．质检部门从中随机抽取4件进行检测，若至少2件合格，检测即可通过；若至少3 件合格，检测即为良好，则甲车间在这次检测通过的条件下，获得检测良好的概率为( ) A．1753B．5370C．1105D．3140A解析：设事件A表示“2件合格，2件不合格”；事件B表示“3件合格，1件不合格”；事件C表示“4件全合格”，事件D表示“检测通过”，事件E表示“检测良好”，则P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝C24C24C48＋C34C14C48＋C44C48＝5370.所以P(E|D)＝P(ED)P(D)＝P(B)＋P(C)P(D)＝C34C14C48＋C44C485370＝1753.16．某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的单打资格选拔赛，本次选拔赛只有出线和未出线两种情况．规定一名运动员出线记1分，未出线记0分．假设甲、乙、丙出线的概率分别为23，34，35，他们出线与未出线是相互独立的．(1)求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率；(2)记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员的得分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列．解：(1)记“甲出线”为事件A，“乙出线”为事件B，“丙出线”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名出线”为事件D，则P(D)＝1－P(A B C)＝1－13×14×25＝2930.(2)由题意可得，ξ的所有可能取值为0,1,2,3， 则P (ξ＝0)＝P (A B C )＝13×14×25＝130；P (ξ＝1)＝P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝23×14×25＋13×34×25＋13×14×35＝1360； P (ξ＝2)＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )＝23×34×25＋23×14×35＋13×34×35＝920； P (ξ＝3)＝P (ABC )＝23×34×35＝310.所以ξ的分布列为。
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习试题：6.4基本不等式Word版含答案
1．基本不等式(1)了解基本不等式的证明过程．(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 2．不等式的综合应用会运用不等式性质解决比较大小、值域、参数范围问题．知识点 基本不等式 1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时等号成立．(3)其中a ＋b2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数．2．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且xy ＝P (定值)．那么当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2P .(简记：“积定和最小”) (2)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝S (定值)．那么当x ＝y 时，xy 有最大值S 24.(简记：“和定积最大”)易误提醒 (1)求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件．(2)多次使用基本不等式时，易忽视取等号的条件的一致性．必记结论 活用几个重要的不等式： (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )． (5)a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a >0，b >0，当且仅当a ＝b 时取等号)．[自测练习]1．下列不等式中正确的是( ) A ．若a ∈R ，则a 2＋9>6a B ．若a ，b ∈R ，则a ＋bab≥2C ．若a ，b >0，则2lg a ＋b2≥lg a ＋lg bD ．若x ∈R ，则x 2＋1x 2＋1>1解析：∵a >0，b >0，∴a ＋b2≥ab .∴2lg a ＋b 2≥2lg ab ＝lg (ab )＝lg a ＋lgB.答案：C2．已知f (x )＝x ＋1x －2(x <0)，则f (x )有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4解析：∵x <0，∴－x >0，∴x ＋1x －2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－x )＋1(－x )－2≤－2(－x )·1(－x )－2＝－4，当且仅当－x ＝－1x，即x ＝－1时等号成立．答案：C3．下列函数中，最小值为4的是( ) A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x (0<x <π)C ．y ＝e x ＋4e －xD ．y ＝x 2＋1＋2x 2＋1解析：∵y ＝x ＋4x 中x 可取负值，∴其最小值不可能为4； 由于0<x <π，∴0<sin x ≤1， ∴y ＝sin x ＋4sin x>2sin x ·4sin x＝4，其最小值大于4；由于e x >0，∴y ＝e x ＋4e －x ≥2e x ·4e －x ＝4，当且仅当e x ＝2时取等号， ∴其最小值为4；∵x 2＋1≥1，∴y ＝x 2＋1＋2x 2＋1≥22，当且仅当x ＝±1时取等号，∴其最小值为22，故选C. 答案：C4．已知x >1，则x ＋4x －1的最小值为________．解析：∵x >1，∴x －1>0，∴x ＋4x －1＝(x －1)＋4x －1＋1≥4＋1＝5，当且仅当x －1＝4x －1即x ＝3时等号成立．答案：5考点一 利用基本不等式证明简单不等式|(1)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1， 求证：⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9. (2)设a ，b 均为正实数，求证：1a 2＋1b 2＋ab ≥2 2.[证明] (1)法一：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1， ∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a .同理，1＋1b ＝2＋ab.∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时取“＝”． ∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立． 法二：⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ＝1＋a ＋b ab ＋1ab ＝1＋2ab ，∵a ，b 为正数，a ＋b ＝1， ∴ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，当且仅当a ＝b ＝12时取“＝”．于是1ab ≥4，2ab ≥8，当且仅当a ＝b ＝12时取“＝”．∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥1＋8＝9， 当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．(2)由于a ，b 均为正实数， 所以1a 2＋1b2≥21a 2·1b 2＝2ab， 当且仅当1a 2＝1b 2，即a ＝b 时等号成立，又因为2ab＋ab ≥22ab·ab ＝22， 当且仅当2ab ＝ab 时等号成立，所以1a 2＋1b 2＋ab ≥2ab＋ab ≥22，当且仅当⎩⎨⎧1a 2＝1b 2，2ab ＝ab ，即a ＝b ＝42时取等号．利用基本不等式证明不等式的方法技巧利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．考点二 利用基本不等式求最值|(1)已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是( )A ．2B ．2 3C ．2 2D ．4(2)(2015·高考重庆卷)设a ，b >0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________．[解析] (1)由lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2得，2x ×23y ＝2x ＋3y ＝2，即x ＋3y ＝1，1x ＋13y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋13y ×(x ＋3y )＝2＋3y x ＋x3y≥2＋23y x ×x3y＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧3yx ＝x3y ，x ＋3y ＝1，x >0，y >0，即最小值为4.故选D.(2)(a ＋1＋b ＋3)2＝a ＋b ＋4＋2a ＋1·b ＋3≤9＋2·(a ＋1)2＋(b ＋3)22＝9＋a ＋b ＋4＝18，所以a ＋1＋b ＋3≤32，当且仅当a ＋1＝b ＋3且a ＋b ＝5，即a ＝72，b ＝32时等号成立．所以a ＋1＋b ＋3的最大值为3 2.[答案] (1)D (2)3 2条件最值的求解通常有两种方法一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．1．(2016·长春调研)若两个正实数x ，y 满足2x ＋1y ＝1，并且x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)C ．(－2,4)D ．(－4,2)解析：x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝2＋4y x ＋x y ＋2≥8，当且仅当4y x ＝xy ，即4y 2＝x 2时等号成立．由x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，可知m 2＋2m <8，m 2＋2m －8<0，解得－4<m <2，故选D.答案：D2．(2016·洛阳统考)若正实数x ，y ，z 满足x 2＋4y 2＝z ＋3xy ，则当xy z 取最大值时，1x ＋12y －1z 的最大值为( )A ．2B.32C ．1D.12解析：∵z ＝x 2＋4y 2－3xy ，x ，y ，z ∈(0，＋∞)，∴xy z ＝xy x 2＋4y 2－3xy ＝1x y ＋4yx －3≤1(当且仅当x ＝2y 时等号成立)，此时1x ＋12y －1z ＝1y －12y 2，令1y ＝t >0，则1x ＋12y －1z ＝t －12t 2≤12(当且仅当t ＝1时等号成立)．故选D.答案：D考点三 基本不等式的实际应用|某化工企业2015年年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x 年的年平均污水处理费用为y (单位：万元)．(1)用x 表示y ；(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．[解] (1)由题意得，y ＝100＋0.5x ＋(2＋4＋6＋…＋2x )x ，即y ＝x ＋100x ＋1.5(x ∈N *)．(2)由基本不等式得： y ＝x ＋100x＋1.5≥2x ·100x＋1.5＝21.5， 当且仅当x ＝100x，即x ＝10时取等号．故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备．利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．3.某制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，如图所示，长方形ABCD 的周长为4，沿AC 将△ABC 翻折，使点B 落到点B ′的位置，AB ′交DC 于点P .研究发现当△ADP 的面积最大时最节能，则最节能时△ADP 的面积为( )A ．22－2B ．3－2 2C ．2－ 2D ．2解析：设AB ＝x ，DP ＝y ，则BC ＝2－x ，PC ＝x －y .因为x >2－x ，故1<x <2.因为△ADP ≌△CB ′P ，故P A ＝PC ＝x －y .由P A 2＝AD 2＋DP 2，得(x －y )2＝(2－x )2＋y 2，即y ＝2⎝⎛⎭⎫1－1x ，1<x <2.记△ADP 的面积为S ，则S ＝⎝⎛⎭⎫1－1x (2－x )＝3－⎝⎛⎭⎫x ＋2x ≤3－22，当且仅当x ＝2x ，即x ＝2时，S 取得最大值3－2 2.答案：B11.忽视等号成立条件致误【典例】 (1)已知x >0，y >0，且1x ＋2y ＝1，则x ＋y 的最小值是________．(2)函数y ＝1－2x －3x (x <0)的最小值为________．[解析] (1)∵x >0，y >0，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋2y ＝3＋y x ＋2xy ≥3＋22(当且仅当y ＝2x 时取等号) ∴当x ＝2＋1，y ＝2＋2时，(x ＋y )min ＝3＋2 2. (2)∵x <0，∴y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x )＋⎝⎛⎭⎫－3x ≥1＋2(－2x )·3－x＝1＋26，当且仅当x ＝－62时取等号，故y 的最小值为1＋2 6.[答案] (1)3＋22 (2)1＋2 6[易误点评] (1)多次使用基本不等式，忽略等号成立的条件．如：1＝1x ＋2y ≥22xy， ∴xy ≥22，∴x ＋y ≥2xy ≥42，得(x ＋y )min ＝4 2. (2)没有注意到x <0这个条件误用基本不等式得2x ＋3x≥2 6.[防范措施] (1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件．(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致．[跟踪练习] 已知x ，y 为正实数，且满足4x ＋3y ＝12，则xy 的最大值为________． 解析：∵12＝4x ＋3y ≥24x ×3y ，∴xy ≤3.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝3y ，4x ＋3y ＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝2时xy 取得最大值3. 答案：3A 组 考点能力演练1．(2016·汉中一模)“a ≥0，b ≥0”是“a ＋b 2≥ab ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由a ≥0，b ≥0可得a ＋b 2≥ab ，当且仅当a ＝b 时取等号．反之，若a ＋b2≥ab ，则ab ≥0，可得a ≥0，b ≥0，故选C.答案：C2．(2016·杭州一模)设a >0，b >0.若a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值是( )A ．2 B.14 C ．4D ．8解析：由题意1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ×a b ＝4.当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时取等号，所以最小值为4.答案：C3．若a >0，b >0且a ＋b ＝7，则4a ＋1b ＋2的最小值为( )A.89 B ．1 C.98D.10277解析：本题考查利用基本不等式求最值．因为b ＝7－a ，所以4a ＋1b ＋2＝4a ＋19－a ＝19(a ＋9－a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋19－a ＝19⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋1＋4(9－a )a ＋a 9－a ≥19(4＋1＋4)＝1，当且仅当4(9－a )a ＝a9－a 时取得等号，故选B.答案：B4．设x ，y ∈R ，a >1，b >1.若a x ＝b y ＝2，a 2＋b ＝4，则2x ＋1y 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由a x ＝b y ＝2得x ＝log a 2＝1log 2 a ，y ＝log b 2＝1log 2 b ，2x ＋1y＝2log 2 a ＋log 2 b ＝log 2 (a 2·b )≤log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 22＝2(当且仅当a 2＝b ＝2时取等号)．答案：B5．若直线ax ＋by －1＝0(a >0，b >0)过曲线y ＝1＋sin πx (0<x <2)的对称中心，则1a ＋2b 的最小值为( )A.2＋1 B ．4 2 C ．3＋2 2D ．6解析：本题考查三角函数的性质与基本不等式．注意到曲线y ＝1＋sin πx (0<x <2)的对称中心是点(1,1)，于是有a ＋b ＝1，1a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ·(a ＋b )＝3＋b a ＋2a b ≥3＋22，当且仅当b a ＝2ab ，即b ＝2a＝2(2－1)时取等号，因此1a ＋2b的最小值是3＋22，故选C.答案：C6．(2016·济南一模)若实数x ，y 满足4x ＋4y ＝2x ＋1＋2y ＋1，则t ＝2x ＋2y 的取值范围是________．解析：设a ＝2x ，b ＝2y ，则a >0，b >0，由条件得a 2＋b 2＝2(a ＋b )，∵(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≤2(a 2＋b 2)，当且仅当a ＝b 时取等号，∴(a ＋b )2≤4(a ＋b )，∴a ＋b ≤4，又(a ＋b )2－2(a ＋b )＝2ab >0.∴a ＋b >2，∴2<a ＋b ≤4，即2<t ≤4.答案：(2,4]7．(2015·郑州二模)已知a ，b 均为正数，且2是2a ，b 的等差中项，则1ab的最小值为________．解析：由于2是2a ，b 的等差中项，故2a ＋b ＝4，又a ，b 均为正数，故2ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b 22＝4，当且仅当2a ＝b ＝2，即a ＝1，b ＝2时取等号，所以1ab 的最小值为12. 答案：128．已知函数y ＝log a x ＋1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线x m ＋yn －4＝0(m >0，n >0)上，则m ＋n 的最小值为________．解析：由题意可知函数y ＝log a x ＋1的图象恒过定点A (1,1)，∵点A 在直线x m ＋y n －4＝0上，∴1m ＋1n ＝4，∵m >0，n >0，∴m ＋n ＝14(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ＝14⎝⎛⎭⎫2＋n m ＋m n ≥14⎝⎛⎭⎫2＋2n m ·m n ＝1，当且仅当m ＝n ＝12时等号成立，∴m ＋n 的最小值为1. 答案：19．已知x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1x －1⎝⎛⎭⎫1y －1⎝⎛⎭⎫1z －1>8. 证明：因为x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1，所以1x －1＝1－x x ＝y ＋z x >2yz x ，①1y －1＝1－y y ＝x ＋z y >2xz y ，② 1z －1＝1－z z ＝x ＋y z >2xy z，③ 又x ，y ，z 为正数，由①×②×③，得⎝⎛⎭⎫1x －1⎝⎛⎭⎫1y －1⎝⎛⎭⎫1z －1>8.10．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由形状为长方形A 1B 1C 1D 1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)．(1)若设休闲区的长和宽的比|A 1B 1||B 1C 1|＝x (x >1)，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数S (x )的解析式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？ 解：(1)设休闲区的宽为a 米，则长为ax 米，由a 2x ＝4 000，得a ＝2010x .则S (x )＝(a ＋8)(ax ＋20)＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160＝4 000＋(8x ＋20)·2010x＋160＝8010⎝⎛⎭⎫2x ＋5x ＋4 160(x >1)． (2)8010⎝⎛⎭⎫2x ＋5x ＋4 160≥8010×22x ×5x ＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760，当且仅当2x ＝5x，即x ＝2.5时，等号成立，此时a ＝40，ax ＝100. 所以要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1应设计为长100米，宽40米．B 组 高考题型专练1．(2015·高考湖南卷)若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( ) A. 2B ．2C ．2 2D ．4解析：由已知得1a ＋2b ＝b ＋2a ab＝ab ，且a >0，b >0， ∴ab ab ＝b ＋2a ≥22ab ，∴ab ≥2 2.答案：C2．(2014·高考重庆卷)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( )A ．6＋2 3B ．7＋2 3C ．6＋4 3D ．7＋4 3解析：由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，得12log 2(3a ＋4b )＝12log 2(ab )，所以3a ＋4b ＝ab ，即3b ＋4a＝1. 所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫3b ＋4a ＝3a b ＋4b a ＋7≥43＋7，当且仅当3a b ＝4b a，即a ＝23＋4，b ＝3＋23时取等号，故选D.答案：D3．(2015·高考陕西卷)设f (x )＝ln x,0<a <b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r <pB ．p ＝r <qC ．q ＝r >pD ．p ＝r >p 解析：∵0<a <b ，∴a ＋b 2>ab ，又f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，故f (ab )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，即q >p ，∵r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝f (ab )＝p ，∴p ＝r <q .故选B. 答案：B4．(2015·高考山东卷)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy(x ，y ∈R ，xy ≠0)．当x >0，y >0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．解析：因为x >0，y >0，所以x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22xy ＝x 2＋2y 22xy ＝12⎝⎛⎭⎫x y ＋2y x ≥2，当且仅当x y ＝2y x，即x ＝2y 时取等号．故x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为 2. 答案： 2。
高考数学(人教a版,理科)题库：二项分布与正态分布(含答案).
第8讲二项分布与正态分布一、选择题1．甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报的纪录知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，两市同时下雨占12%.则甲市为雨天，乙市也为雨天的概率为( )A．0.6 B．0.7C．0.8 D．0.66解析甲市为雨天记为事件A，乙市为雨天记为事件B，则P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，∴P(B|A)＝P ABP A＝0.120.2＝0.6.答案 A2．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是( )A.512B.12C.712D.34解析本题涉及古典概型概率的计算．本知识点在考纲中为B级要求．由题意得P(A)＝12，P(B)＝16，则事件A，B至少有一件发生的概率是1－P(A)·P(B)＝1－12×56＝712.答案 C3．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是()．A．[0.4,1] B．(0,0.4]C．(0,0.6] D．[0.6,1]解析设事件A发生的概率为p，则C14p(1－p)3≤C24p2(1－p)2，解得p≥0.4，故选A.答案 A4．设随机变量X 服从正态分布N (2,9)，若P (X >c ＋1)＝P (X <c －1)，则c 等于( )． A ．1B ．2C ．3D ．4解析 ∵μ＝2，由正态分布的定义，知其函数图象关于x ＝2对称，于是c ＋1＋c －12＝2，∴c ＝2. 答案 B5．在正态分布N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，19中，数值前在(－∞，－1)∪(1，＋∞)内的概率为( )．A ．0.097B ．0.046C ．0.03D ．0.0026 解析 ∵μ＝0，σ＝13∴P (X ＜1或x ＞1)＝1－P (－1≤x ≤1)＝1－P (μ－3σ≤X ≤μ＋3σ)＝1－0.997 4＝0.002 6. 答案 D6．已知三个正态分布密度函数φi (x )＝12πσi·e －(x －μi )22σ2i (x ∈R ，i ＝1,2,3)的图象如图所示，则 ( )．A ．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3B ．μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3C ．μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3D ．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3解析 正态分布密度函数φ2(x )和φ3(x )的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x )的对称轴的横坐标值比φ1(x )的对称轴的横坐标值大，故有μ1＜μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x )和φ2(x )的图象一样“瘦高”，φ3(x )明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2＜σ3. 答案 D 二、填空题7．三支球队中，甲队胜乙队的概率为0.4，乙队胜丙队的概率为0.5，丙队胜甲队的概率为0.6，比赛顺序是：第一局是甲队对乙队，第二局是第一局的胜者对丙队，第三局是第二局胜者对第一局的败者，第四局是第三局胜者对第二局败者，则乙队连胜四局的概率为________．解析设乙队连胜四局为事件A，有下列情况：第一局中乙胜甲(A1)，其概率为1－0.4＝0.6；第二局中乙胜丙(A2)，其概率为0.5；第三局中乙胜甲(A3)，其概率为0.6；第四局中乙胜丙(A4)，其概率为0.50，因各局比赛中的事件相互独立，故乙队连胜四局的概率为：P(A)＝P(A1A2A3A4)＝0.62×0.52＝0.09.答案 0.098．设随机变量X服从正态分布N(0,1)，如果P(X≤1)＝0.8413，则P(－1<X<0)＝________.解析∵P(X≤1)＝0.841 3，∴P(X>1)＝1－P(X≤1)＝1－0.841 3＝0.158 7.∵X～N(0,1)，∴μ＝0.∴P(X<－1)＝P(X>1)＝0.158 7，∴P(－1<X<1)＝1－P(X<－1)－P(X>1)＝0.682 6.∴P(－1<X<0)＝12P(－1<X<1)＝0.341 3.答案0.341 39．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，记Ф(x)＝P(ξ＜x)，给出下列结论：①Φ(0)＝0.5；②Φ(x)＝1－Φ(－x)；③P(|ξ|＜2)＝2Φ(2)－1.则正确结论的序号是________．答案①②③10．商场经营的某种包装大米的质量(单位：kg)服从正态分布X～N(10,0.12)，任选一袋这种大米，质量在9.8～10.2 kg的概率是________．解析P(9.8<X<10.2)＝P(10－0.2<X<10＋0.2)＝0.954 4.答案0.954 4三、解答题11．设在一次数学考试中，某班学生的分数X～N(110,202)，且知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数．解由题意得μ＝110，σ＝20，P(X≥90)＝P(X－110≥－20)＝P(X－μ≥－σ)，∵P(X－μ<－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ>σ)＝2P(X－μ<－σ)＋0.682 6＝1，∴P(X－μ<－σ)＝0.158 7，∴P(X≥90)＝1－P(X－μ<－σ)＝1－0.158 7＝0.841 3.∴54×0.841 3≈45(人)，即及格人数约为45人．∵P(X≥130)＝P(X－110≥20)＝P(X－μ≥σ)，∴P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ>σ)＝0.682 6＋2P(X－μ≥σ)＝1，∴P(X－μ≥σ)＝0.158 7.∴54×0.158 7≈9(人)，即130分以上的人数约为9人．12．在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N(60,100)，已知成绩在90分以上的学生有13人．(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生的分数线是多少？解设学生的得分情况为随机变量X，X～N(60,100)．则μ＝60，σ＝10.(1)P(30＜X≤90)＝P(60－3×10＜X≤60＋3×10)＝0.997 4.∴P(X＞90)＝12[1－P(30＜X≤90)]＝0.001 3∴学生总数为：130.001 3＝10 000(人)．(2)成绩排在前228名的学生数占总数的0.022 8. 设分数线为x.则P(X≥x0)＝0.022 8.∴P(120－x0＜x＜x0)＝1－2×0.022 8＝0.954 4. 又知P(60－2×10＜x＜60＋2×10)＝0.954 4.∴x0＝60＋2×10＝80(分)．13．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.(1)确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；(2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．(注：将频率视为概率)解(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得P(X＝1)＝15100＝320，P(X＝1.5)＝30100＝310，P(X＝2)＝25100＝14，P(X＝2.5)＝20100＝15，P(X＝3)＝10100＝110.X的分布列为X的数学期望为E(X)＝1×320＋1.5×310＋2×14＋2.5×15＋3×110＝1.9.(2)记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，X i(i＝1,2)为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则P(A)＝P(X1＝1且X2＝1)＋P(X1＝1且X2＝1.5)＋P(X1＝1.5且X2＝1)．由于各顾客的结算相互独立，且X1，X2的分布列都与X的分布列相同，所以P(A)＝P(X1＝1)×P(X2＝1)＋P(X1＝1)×P(X2＝1.5)＋P(X1＝1.5)×P(X2＝1)＝320×320＋320×310＋310×320＝980.故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为980.14．现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．(1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X 的分布列及数学期望E (X )．解 (1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A ，“该射手射击甲靶命中”为事件B ，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C ，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D .由题意，知P (B )＝34，P (C )＝P (D )＝23， 由于A ＝B C － D －＋B －C D －＋B － C －D ， 根据事件的独立性和互斥性，得 P (A )＝P (B C － D －＋B －C D －＋B － C －D ) ＝P (B C － D －)＋P (B －C D －)＋P (B － C －D )＝P (B )P (C －)P (D －)＋P (B －)P (C )P (D －)＋P (B －)P (C －)P (D )＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝736.(2)根据题意，知X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.根据事件的独立性和互斥性，得P (X ＝0)＝P (B － C － D －) ＝[1－P (B )][1－P (C )][1－P (D )] ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝136； P (X ＝1)＝P (B C － D －)＝P (B )P (C －)P (D －)＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝112；P (X ＝2)＝P (B － C D －＋B － C － D )＝P (B － C D －)＋P (B － C －D ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝19； P (X ＝3)＝P (BC D －＋B C －D )＝P (BC D －)＋P (B C －D ) ＝34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝13；P (X ＝4)＝P (B －CD )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×23＝19，P (X ＝5)＝P (BCD )＝34×23×23＝13. 故X 的分布列为所以E (X )＝0×136＋1×112＋2×19＋3×13＋4×19＋5×13＝4112.。
浙江省杭州市高三数学第一次高考科目教学质量检测试题 文(含解析)新人教A版
2013年浙江省杭州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•杭州一模）若复数z=2+，其中i是虚数单位，则复平面上，复数z=2．（5分）（2009•辽宁）平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（）∴|a+2b|=3．（5分）（2013•杭州一模）设a∈R，则“a=4”是“直线l1：ax+2y﹣3=0与直线l2：2x+y|x|）＜）（﹣（﹣）（﹣（＞）＞（﹣n n7186．（5分）（2013•杭州一模）若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k的值是（）7．（5分）（2013•杭州一模）设α是第三象限角，且tanα=2，则=（），化简要求的式子为==cos，8．（5分）（2013•杭州一模）设函数f（x）=|log a x|（0＜a＜1）的定义域为[m，n]（m＜n），值域为[0，1]，若n﹣m的最小值为，则实数a的值为（）或或或或n=，∴a=，∴，及a=9．（5分）（2013•杭州一模）已知F1，F2分别是双曲线C：的左右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线C在第二象限的交点为P，若双曲线的离心率为5，则cos∠PF2F1等于（）=5，运算求得结果．②．再由==，10．（5分）（2013•杭州一模）已知函数，则y=图象交点的个数，y=二、填空题：本大题有7小题，每小题4分，共28分.请将答案填在答题卷的横线上. 11．（4分）（2013•杭州一模）在等比数列{a n}中，若a2=1，a5=﹣8则a8= 64 ．=8=8×8=64．=a12．（4分）（2013•杭州一模）若sinx+cosx=1，则= ±1．=13．（4分）（2013•杭州一模）若正数x，y满足x+y=1，则的最小值为9 ．++）=4+1+≥5+2x=，y=14．（4分）（2013•杭州一模）无穷数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5…的首项是1，随后两项都是2，接下来3项都是3，再接下来4项都是4，…，以此类推．记该数列为{a n}，若a n﹣1=7，a n=8，则n= 29 ．==2815．（4分）（2013•杭州一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2+b2=，则直线ax﹣by+c=0被圆x2+y2=9所截得的弦长为2．d==d=2=216．（4分）（2013•杭州一模）若实数x，y满足不等式组，则2x+y的最大值为．时，目标函数解：作出不等式组，）时，目标函数，）=2×+=故答案为：17．（4分）（2013•杭州一模）设Q为圆C：x2+y2+6x+8y+21=0上任意一点，抛物线y2=8x的准线为l．若抛物线上任意一点P到直线l的距离为m，则m+|PQ|的最小值为﹣2 ．r=﹣三、解答题：本大题有5小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤．18．（14分）（2013•杭州一模）设f（x）=6cos2x﹣sin2x（x∈R）．（Ⅰ）求f（x）的最大值及最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，锐角A满足f（A）=3，B=，求的值．）+3=得cos2A+22A+），得＜2A++=A=，∴C===2cosC=019．（14分）（2013•杭州一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（1，λsinA），=（sinA，1+cosA），且∥（Ⅰ）若λ=2，求角A的大小；（Ⅱ）若sinB+sinC=sinA，求实数λ的取值范围．∥，得cosA=或．（Ⅱ）∵sinB+sinC=b+c=∥，得cosA=cosA==，需要满足．20．（14分）（2013•杭州一模）设在等差数列{a n}和等比数列{b n}中，a1=1，b1=2，b n＞0（n∈N*），且b1，a2，b2成等差数列，a2，b2，a3+2成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，数列{c n}的前n项和为S n，若恒成立，求实数t的取值范围．，解得．=3b=21．（15分）（2013•杭州一模）设函数f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx，（其中a＞0）（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极小值；（Ⅱ）当a=4时，给出直线l1：5x+2y=m=0和l2：3x﹣y+n=0，其中m，n为常数，判断直线l1或l2中，是否存在函数f（x）的图象的切线，若存在，求出相应的m或n的值，若不存在，说明理由．代入可得导数≥=；当6+﹣6≥﹣，或时，可得22．（15分）（2013•杭州一模）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）和⊙M：x2+y2+8x﹣12=0，过抛物线C上一点P（x0，y0）（y0≥0）作两条直线与⊙M相切与A、B两点，圆心M到抛物线准线的距离为．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）当P点坐标为（2，2）时，求直线AB的方程；（Ⅲ）设切线PA与PB的斜率分别为k1，k2，且k1•k2=，求点P（x0，y0）的坐标．由题意知：整理得到：，即坐标为。
高考数学一轮复习第6章数列第4节数列求和课件理新人教A版
(2)由(1)得 bn＝3n＋2n－1，
所以
Sn
＝
(3
＋
32
＋
33
＋
…
＋
3n)
＋
(1
＋
3
＋
5
＋
…
＋
2n
－
1)
＝
3（1－3n） 1－3
＋
n（1＋2n－1） 2
＝32(3n－1)＋n2
＝3n2＋1＋n2－32.
考点二 裂项相消法求和问题 【例 2】 (2020 届合肥调研)已知在等差数列{an}中，a2＝12，a5＝24，数列{bn}满 足 b1＝4，bn＋1－bn＝an(n∈N*)． (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)求使得b11＋b12＋b13＋…＋b1n＞187成立的最小正整数 n 的值．
(2)由(1)得b1n＝2n2＋1 2n＝2n（n1＋1）＝121n－n＋1 1， ∴b11＋b12＋b13＋…＋b1n＝121－12＋12－13＋…＋1n－n＋1 1＝121－n＋1 1＝2（nn＋1），即 2（nn＋1）＞187，解得 n＞16， ∴满足条件的最小正整数 n 的值为 17.
►名师点津 利用裂项相消法求和的注意事项
|跟踪训练| 2．(2019 届安徽模拟)已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝2an＋1. (1)证明：{an＋1}是等比数列，并求{an}的通项公式； (2)求证：aa1＋1a21＋aa2＋2a31＋…＋aanna＋n＋11<1._________
证明：(1)由 an＋1＝2an＋1，得 an＋1＋1＝2(an＋1)． 又 a1＋1＝2，所以{an＋1}是首项为 2，公比为 2 的等比数列． 所以 an＋1＝2n，因此{an}的通项公式为 an＝2n－1. (2)由(1)知aanna＋n＋11＝（2n－1）2（n 2n＋1－1）＝2n－1 1－2n＋11－1，于是aa1＋1a21＋aa2＋2a31＋…＋ aanna＋n＋11＝21－1 1－22－1 1＋22－1 1－23－1 1＋…＋2n－1 1－2n＋11－1＝1－2n＋11－1，所以aa1＋1a21＋ aa2＋2a31＋…＋aanna＋n＋11<1.
高中数学 高考模拟测试卷一课一练(含解析)新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学试题
新20版练B1数学人教A 版高考模拟测试卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设全集U ={x ∈N|x ≤8},集合A ={1,3,7},B ={2,3,8},则(∁U A )∩(∁U B )=()。
A.{1,2,7,8}B.{4,5,6} C.{0,4,5,6} D.{0,3,4,5,6} 答案:C解析:∵U ={x ∈N|x ≤8}={0,1,2,3,4,5,6,7,8},又A ∪B ={1,2,3,7,8},∴(∁U A )∩(∁U B )=∁U (A ∪B )={0,4,5,6},故选C 。
2.(2019·黄冈调考)已知函数f (x )=a x(a ∈R),则“0<a ≤14”是“对任意x 1≠x 2,都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0”成立的()。
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案:A解析:“对任意x 1≠x 2,都有f (x 1)-f (x 2)x 1−x 2<0”等价于“函数f (x )=a x(a ∈R)在R 上为减函数”,即0<a <1,显然“0<a ≤14”是“对任意x 1≠x 2,都有f (f 1)-f (f 2)f 1−f 2<0成立”的充分不必要条件,故选A 项。
3.(2019·某某调考)命题p :∀x ∈[0,+∞),(log 32)x≤1,则()。
A.p 是假命题,p 的否定:∃x 0∈[0,+∞),(log 32)x 0>1 B.p 是假命题,p 的否定:∀x ∈[0,+∞),(log 32)x≥1 C.p 是真命题,p 的否定:∃x 0∈[0,+∞),(log 32)x 0>1 D.p 是真命题,p 的否定:∀x ∈[0,+∞),(log 32)x ≥1 答案:C解析:因为0<log 32<1,所以∀x ∈[0,+∞),(log 32)x≤1,p 是真命题,f p :∃x 0∈[0,+∞),(log 32)x0>1。
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习试题：8.1直线的倾斜角与斜率、直线方程Word版含答案
直线及其方程(1)在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素． (2)理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．(3)掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．知识点一 直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫作直线l 的倾斜角．(2)规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. (3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π)． 2．直线的斜率(1)定义：当直线l 的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tan α叫作这条斜线的斜率，斜率通常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α.(2)斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.易误提醒 任意一条直线都有倾斜角，但只有与x 轴不垂直的直线才有斜率(当直线与x 轴垂直，即倾斜角为π2时，斜率不存在)[自测练习]1．若经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y 等于( )A ．－1B ．－3C ．0D ．2解析：由k ＝－3－2y －12－4＝tan 3π4＝－1.得－4－2y ＝2.∴y ＝－3.答案：B2．如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( ) A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2解析：由题图可知k 1<0，k 2>0，k 3>0，且k 2>k 3，∴k 1<k 3<k 2. 答案：D知识点二 直线方程易误提醒 (1)利用两点式计算斜率时易忽视x 1＝x 2时斜率k 不存在的情况．(2)用直线的点斜式求方程时，在斜率k 不明确的情况下，注意分k 存在与不存在讨论，否则会造成失误．(3)直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式．(4)由一般式Ax ＋By ＋C ＝0确定斜率k 时易忽视判断B 是否为0，当B ＝0时，k 不存在；当B ≠0时，k ＝－A B.[自测练习]3．过点(－1,2)且倾斜角为30°的直线方程为( ) A.3x －3y －6＋3＝0 B.3x －3y ＋6＋3＝0 C.3x ＋3y ＋6＋3＝0 D.3x ＋3y －6＋3＝0 解析：直线斜率k ＝tan 30°＝33，直线的点斜式方程为y －2＝33(x ＋1)， 整理得3x －3y ＋3＋6＝0，故选B. 答案：B4．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1D ．－2或1解析：由题意可知a ≠0.当x ＝0时，y ＝a ＋2. 当y ＝0时，x ＝a ＋2a.∴a ＋2a ＝a ＋2，解得a ＝－2或a ＝1. 答案：D考点一 直线的倾斜角与斜率|1．直线x ＋3y ＋m ＝0(m ∈R )的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．150°D ．120°解析：∵直线的斜率k ＝－33，∴tan α＝－33. 又0≤α<180°，∴α＝150°.故选C. 答案：C2．直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，则a 的取值范围是________．解析：当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合要求：当a ≠－1时，直线l 的斜率为－aa ＋1，则有－a a ＋1>1或－aa ＋1<0，解得－1<a <－12或a <－1或a >0.综上可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(0，＋∞)．答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(0，＋∞)3．(2016·太原模拟)已知点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段AB 有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围为________．解析：如图，k P A ＝1＋31－2＝－4，k PB ＝1＋21＋3＝34.要使直线l 与线段AB 有交点，则有k ≥34或k ≤－4.答案：(－∞，－4]∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞求倾斜角α的取值范围的一般步骤(1)求出tan α的取值范围；(2)利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围． 注意已知倾斜角θ的范围，求斜率k 的范围时注意下列图象的应用： 当k ＝tan α，α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，π时的图象如图：考点二 直线的方程|根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12.[解] (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sin α＝1010(0<α<π)， 从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)，即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a ＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件． (2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用．求直线过点(5,10)且到原点的距离为5的直线方程．解：当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0，适合题意，当斜率存在时，设斜率为k ， 则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋(10－5k )＝0.由点到直线的距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.考点三 直线方程的综合应用|直线方程的综合应用是高考常考内容之一，它经常与不等式、导数、平面向量、数列等有关知识进行交汇，考查学生综合运用直线知识解决问题的能力．归纳起来常见的命题探究角度有： 1．与最值相结合问题．2．与导数的几何意义相结合问题． 3．与平面向量相结合问题． 4．与数列相结合问题． 探究一 与最值相结合问题1．(2015·高考福建卷)若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：法一：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，所以1a ＋1b ＝1，所以1＝1a ＋1b≥21a ·1b＝2ab(当且仅当a ＝b ＝2时取等号)，所以ab ≥2.又a ＋b ≥2ab (当且仅当a ＝b ＝2时取等号)，所以a ＋b ≥4(当且仅当a ＝b ＝2时取等号)，故选C.法二：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，所以1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋ba≥2＋2a b ·ba＝4(当且仅当a ＝b ＝2时取等号)，故选C. 答案：C探究二 与导数的几何意义相结合问题2．已知函数f (x )＝x －4ln x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为________．解析：由f ′(x )＝1－4x ，则k ＝f ′(1)＝－3，又f (1)＝1，故切线方程为y －1＝－3(x －1)，即3x ＋y －4＝0.答案：3x ＋y －4＝0探究三 与平面向量相结合问题3．在平面直角坐标平面上，OA →＝(1,4)，OB →＝(－3,1)，且OA →与OB →在直线的方向向量上的投影的长度相等，则直线l 的斜率为( )A ．－14B.25 C.25或－43D.52解析：直线l 的一个方向向量可设为h ＝(1，k )，由题⎪⎪⎪⎪⎪⎪OA →·h |h |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪OB →·h |h |⇒|1＋4k |＝|－3＋k |，解得k ＝25或k ＝－43，故选C.答案：C探究四 与数列相结合问题4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n (n ＋1)(n ∈N *)，其前n 项和S n ＝910，则直线x n ＋1＋y n ＝1与坐标轴所围成三角形的面积为( )A ．36B ．45C ．50D ．55解析：由a n ＝1n (n ＋1)可知a n ＝1n －1n ＋1，∴S n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1， 又知S n ＝910，∴1－1n ＋1＝910，∴n ＝9.∴直线方程为x 10＋y9＝1，且与坐标轴的交点为(10,0)和(0,9)，∴直线与坐标轴所围成的三角形的面积为12×10×9＝45，故选B.答案：B(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中的x ，y 的关系，将问题转化为关于x (或y )的某函数，借助函数的性质解决．(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决．17.忽视零截距致误【典例】 设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．[解] (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零．∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0. 当直线不经过原点时，截距存在且均不为0， ∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1， ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.综上，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －(a ＋1)>0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0.∴a ≤－1. 综上可知a 的取值范围是a ≤－1.[易误点评] 本题易错点求直线方程时，漏掉直线过原点的情况．[防范措施] (1)在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解．(2)常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形，注意分类讨论思想的运用．[跟踪练习] 若直线过点P (2,1)且在两坐标轴上的截距相等，则这样的直线的条数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．以上都有可能解析：当截距均为零时，显然有一条；当截距不为零时，设直线方程为x ＋y ＝a ，则a ＝2＋1＝3，有一条．综上知，直线过点P (2,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线有两条，故选B.答案：BA 组 考点能力演练1．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33B. 3 C ．－ 3D ．－33解析：设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.答案：A2．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)解析：因为AO ＝AB ，所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，所以k AB ＝－k OA ＝－3，所以直线AB 的点斜式方程为：y －3＝－3(x －1)．答案：D3．直线2x －my ＋1－3m ＝0，当m 变动时，所有直线都通过定点( )A.⎝⎛⎭⎫－12，3 B.⎝⎛⎭⎫12，3 C.⎝⎛⎭⎫12，－3 D.⎝⎛⎭⎫－12，－3 解析：∵(2x ＋1)－m (y ＋3)＝0恒成立，∴2x ＋1＝0，y ＋3＝0，∴x ＝－12，y ＝－3.∴定点为⎝⎛⎭⎫－12，－3. 答案：D4．(2016·海淀一模)已知点A (－1,0)，B (cos α，sin α)，且|AB |＝3，则直线AB 的方程为( ) A ．y ＝3x ＋3或y ＝－3x － 3 B ．y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33C ．y ＝x ＋1或y ＝－x －1D ．y ＝2x ＋2或y ＝－2x － 2 解析：|AB |＝ (cos α＋1)2＋sin 2α＝2＋2cos α＝3，所以cos α＝12，sin α＝±32，所以k AB ＝±33，即直线AB 的方程为y ＝±33(x ＋1)，所以直线AB 的方程为y ＝33x ＋33或y＝－33x －33，选B. 答案：B5．(2016·贵阳模拟)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( )A ．－1<k <15B ．k >1或k <12C ．k >15或k <1D ．k >12或k <－1解析：设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k ，令－3<1－2k<3，解不等式可得．也可以利用数形结合．选D. 答案：D6．(2016·温州模拟)直线3x －4y ＋k ＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k ＝________. 解析：令x ＝0，得y ＝k 4；令y ＝0，得x ＝－k 3.则有k 4－k3＝2，所以k ＝－24.答案：－247．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b过点A (－1,0)和点B (1，0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]． 答案：[－2,2]8．一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________________________________________________________________________．解析：设直线的斜率为k (k ≠0)， 则直线方程为y －2＝k (x ＋2)， 由x ＝0知y ＝2k ＋2. 由y ＝0知x ＝－2k －2k.由12|2k ＋2|⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2k －2k ＝1. 得k ＝－12或k ＝－2.故直线方程为x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0. 答案：x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝09．已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．解：法一：设直线方程为x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)，点P (3,2)代入得3a ＋2b ＝1≥26ab， 得ab ≥24，从而S △ABO ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b 时等号成立，这时k ＝－b a ＝－23，从而所求直线方程为2x ＋3y －12＝0.法二：依题意知，直线l 的斜率k 存在且k <0. 则直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)， 且有A ⎝⎛⎭⎫3－2k ，0，B (0,2－3k )， ∴S △ABO ＝12(2－3k )⎝⎛⎭⎫3－2k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋(－9k )＋4(－k ) ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2(－9k )·4(－k )＝12×(12＋12)＝12.当且仅当－9k ＝4－k ，即k ＝－23时，等号成立，即△ABO 的面积的最小值为12. 故所求直线的方程为2x ＋3y －12＝0.10．已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2，1)，C (－2,3)，求： (1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 的方程．解：(1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2， 即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 边的中点D 的坐标为(x ，y )， 则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 边的中线AD 过点A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12，则直线BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2. 由(2)知，点D 的坐标为(0,2)．由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0.B 组 高考题型专练1．(2014·高考安徽卷)过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π6B.⎝⎛⎦⎤0，π3 C.⎣⎡⎦⎤0，π6 D.⎣⎡⎦⎤0，π3解析：法一：如图，过点P 作圆的切线P A ，PB ，切点为A ，B .由题意知OP ＝2，OA ＝1，则sin α＝12，所以α＝30°，∠BP A ＝60°.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π3.选D. 法二：设过点P 的直线方程为y ＝k (x ＋3)－1，则由直线和圆有公共点知|3k －1|1＋k 2≤1.解得0≤k ≤ 3.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π3. 答案：D2．(2014·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．解析：∵y ＝ax 2＋b x ，∴y ′＝2ax －bx2，由题意可得⎩⎨⎧4a ＋b2＝－5，4a －b 4＝－72解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.∴a ＋b ＝－3. 答案：－33．(2014·高考四川卷)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________．解析：易知A (0,0)，B (1,3)，且P A ⊥PB ，∴|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，∴|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |22＝5(当且仅当|P A |＝|PB |时取“＝”)．答案：5。
高考理科数学杭州市第一次教学质量检测.doc
高考理科数学杭州市第一次教学质量检测试题卷（）考生须知:1. 本卷满分150分, 考试时间120分钟.2. 答题前, 在答题卷密封区内填写学校、班级和姓名.3. 所有答案必须写在答题卷上, 写在试题卷上无效.4. 考试结束, 只需上交答题卷. 参考公式如果事件B A ,互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+; 如果事件B A ,相互独立，那么 )()()(B P A P B A P ⋅=⋅;如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()(.一. 选择题 : 本大题共10小题, 每小题5分, 共50分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的 .1. 若集合{|1}X x x =>-，则下列关系成立的是（ 宗 ） (A)0X ⊆ (B) {}0X ⊆ (C)X φ∈ (D) {}0X ∈2. 已知复数z = (2 + 3i)( 1 – 4i ) , 则z 在复平面上对应的点Z 位于（ ） (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限3．数据123,,,...,n a a a a 的方差为2σ，则数据12,,12,1221---n a a a 的方差为（ ）(A)22σ(B)22σ－1 (C) )24σ(D)24σ －14. 如图，已知单位圆O 与y 轴相交于A 、B 两点.角θ的顶点为原点，始边在x 轴的正半轴上，终边在射线OC 上. 过点A 作直线AC 垂直于y 轴且与角θ的终边交于点C ，则有向线段AC 的函数值是（ ）(A)sinθ (B) cosθ (C) tanθ (D) cotθ5. 在锐角△ABC 中，若lg (1＋sinA) = m , 且lgA sin 11-= n ，则lgcosA 等于（ ）（A ）21(m －n) （B ）m －n （C ）21( m ＋n 1) （D ）m ＋n16. 从1到10十个数中，任意选取4个数，其中，第二大的数是7的情况共有 ( )（A ）18 种 （B ）30种 （C ）45种 （D ）84种 7．若,a b R ∈,使1a b +>成立的一个充分不必要条件是 ( )(A)1a b +≥ (B)1a ≥ (C)0.5,0.5a b ≥≥且 (D)1b <- 8. 在等差数列{}n a 中，2700...,200...10052515021=+++=+++a a a a a a ， 则1a 为（ ）（A ）20-（B ）20.5- （C ）21.5- （D ）22.5-9．已知函数 f ( x) = (x 2 – 3x + 2) g ( x ) + 3x – 4 , 其中g ( x )是定义域为R 的连续函数，则方程f ( x) = 0在下面哪个范围内必有实数根 （ ）(A) ( 0, 1 ) (B) (1, 2 ) (C) ( 2 , 3 ) (D) ( 2, 4 )10. 已知偶函数f (x )满足条件：当x ∈R 时，恒有 f ( x + 2 ) = f (x ) , 且0 ≤ x ≤ 1时，有f ` ( x ) >0，则)(f ,)(f ,)(f 15104171011998的大小关系是 （ B ） (A) )(f )(f )(f 17101151041998>> (B) )17101()1998()15104(f f f >> (C) )15104()1998()17101(f f f >> (D) )(f )(f )(f 19981710115104>> 二．填空题: 本大题有 7小题, 每小题4分, 共28分. 把答案填在答题卷的相应位置上.11. 函数y =的定义域是_ ____12. 22lim 232--→x x x x = .13. 化简)()270()90(180)(36022θsin cos cos )(tan θcos )cos(-⋅+︒+︒--︒⋅-︒-θθθθ= 。
杭州市第一次高考科目教学质量检测.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2016年杭州市第一次高考科目教学质量检测高三数学检测试卷(理科)考试须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷密封区内填写学校、班级和姓名.3.所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效.4.考试结束，只需上交答题卷.选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.设集合{}{}21|,02|2≤<-=≥-=x x B x x x A ，则()=B A C RA. {}01|≤≤-x xB. {}20|<<x xC. {}01|<<-x xD. {}01|≤<-x x 2.若5cos 2sin =-x x ，则=x tan A. 21- B. 21 C.2 D. 2-3.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的侧面PAB 的面积是 A. 3 B. 2 C. 5 D. 74.命题：“01,200>+∈∃x R x 或00sin x x >”的否定是A. R x ∈∀，012≤+x 且x x sin ≤B. R x ∈∀，012≤+x 或x x sin ≤C. R x ∈∃0，010≤+x 且00sin x x >D. R x ∈∃0，010≤+x 或00sin x x ≤5.设x x f x 21log 2)(-=，满足)0(0)()()(c b a c f b f a f <<<<，若函数)(x f 存在零点0x ，则A. a x <0B. a x >0C. c x <0D. c x >06.设点P 为有公共焦点21,F F 的椭圆M 和双曲线T 的一个交点，且53cos 21=∠PF F ，椭圆M 的离心率为1e ，双曲线T 的离心率为2e ，若122e e =，则=1e A. 57 B. 47 C. 510 D. 410 7.在直角△ABC 中，C ∠是直角，CA=4，CB=3，△ABC 的内切圆交CA ，CB 于点D ，E ，点P 是图中阴影区域内的一点（不包含边界）.若CE y CD x CP +=，则y x +的值可以使A. 1B. 2C. 4D. 88.记n S 是各项均为正数的等差数列{}n a 的前n 项和，若11≥a ，则A. n m n m n m n m S S S S S S ++≤≥222222ln ln ln ,B. n m n m n m n m S S S S S S ++≤≤222222ln ln ln ,C. n m n m n m n m S S S S S S ++≥≥222222ln ln ln ,D. n m n m n m n m S S S S S S ++≥≤222222ln ln ln ,非选择题部分（共110分）二、填空题：本题7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.9.设b a ==3ln ,2ln ，则=+b a e e ______________.（其中e 为自然对数的底数）10.设函数()()()()⎩⎨⎧<≥=+--=0)(0;1ln )(2x x f x x x g x x f ，则()=-2g ___________；函数()1+=x g y 的零点是___________.11.设实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤01y y x x y ，若y x z +=2，则z 的最大值等于_______,z 的最小值等于____________.12.设直线()()()R m y m x m l ∈=---+0831:1，则直线1l 恒过定点____________；若过原点作直线2l ∥1l ，则当直线1l 与2l 的距离最大时，直线2l 的方程为__________________.13.如图，△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ，︒=∠90BCD ，且33==CD BC ，将△ABC 沿BC 的边翻折，设点A 在平面BCD 上的射影为点M ，若点M 在△BCD 内部（含边界），则点M 的轨迹的最大长度等于____________；在翻折过程中，当点M 位于线段BD 上时，直线AB 和CD 所成的角的余弦值等于______________.14.设0,0>>y x ，且x y y x 1612=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-，则当y x 1+取最小值时，=+221y x ______. 15.已知OB OA ,是非零不共线的向量，设OB r r OA r OC 111+++=，定义点集⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅=⋅=KB KC KB KA KC KA K M ，当M K K ∈21,时，若对于任意的2≥r ，不等式AB c K K ≤21恒成立，则实数c 的最小值为_______________.三、解答题：本题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本题15分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别记为c b a ,,，若()b c A 231,6=+=π. （1）求C ； （2）若31+=⋅CA CB ，求c b a ,,.17.(本题15分）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，⊥1AA 平面ABC ，平面⊥BC A 1平面11ABB A .（1）求证：BC AB ⊥；（2）设直线AC 与平面BC A 1所成的角为θ，二面角A BC A --1的大小为ϕ，试比较θ和ϕ的大小关系，并证明你的结论.18.(本题满分15分）设数列{}n a 满足()*2111,21N n a a a a n n n ∈++==+. （1）证明：31≥+nn a a ； （2）设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前n 项和为n S ，证明：3<n S .19.（本题满分15分）设点A ，B 分别是y x ,轴上两个动点，AB=1，若()0>=λλBA AC .（1）求点C 的轨迹Γ；（2）过点D 作轨迹Γ的两条切线，切点分别为P ，Q ，过点D 作直线m 交轨迹Γ于不同的两点E ，F ，交PQ 于点K ，问是否存在实数t ，使得||||1||1DK t DF DE =+恒成立，并说明理由.20.(本题满分14分)设二次函数()()a b c c bx ax x f >>++=22，其图像过点()0,1，且与直线a y -=有交点.（1）求证：10<≤ab ； （2）若直线a y -=与函数()||x f y =的图像从左到右依次交于A ，B ，C ，D 四点，若线段AB ，BC ，CD 能构成钝角三角形，求ab 的取值范围.。
数学理卷·2011届浙江省杭州市高三第一次高考科目教学质量检测(2011.01)
杭州市2011年高三第一次高考科目教学质量检测数学试题（理科）考生须知: 1．本卷满分150分, 考试时间120分钟． 2．答题前, 在答题卷密封区内填写学校、班级和姓名． 3．所有答案必须写在答题卷上, 写在试题卷上无效． 4．考试结束, 只需上交答题卷．参考公式 如果事件A ，B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+； 如果事件A ，B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P ⋅=⋅；如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率kn k kn n P P C k P --=)1()(（k = 0,1,…,n ）．一、选择题 : 本大题共10小题, 每小题5分, 共50分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的． 1．已知α∈R ，则cos()2π+α=（ ）A ．sin αB ．cos αC ．sin -αD ．cos -α 2．已知a R ∈，则“1a >1a >”的（ ）A ．既不充分也不必要条件B ． 充要条件C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件 3．设z=1+i （i 是虚数单位），则22z z+=（ ）A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +4．如图，是某篮球运动员在一个赛季的30场比赛中得分的茎叶图，则得分的中位数与众数分别为 （ ） A ． 3与3 B ．23与3 C ．3与23 D ．23与23 5．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知4n a =，39n S =，则55S a -= （ ） （第4题）第6题A ．14B ． 19C ． 28D ．606．已知函数()f x 的图像如图所示，则()f x 的解析式 可能是（ ）A ．2()2ln f x x x =-B ． 2()ln f x x x =-C ． ()||2ln f x x x =-D ．()||ln f x x x =-7．某程序框图如同所示，则该程序框图运行后输出的n 的值为（ ）A ．2B ． 3C ．4D ．108．由a ，b ，c ，d ，e 这5个字母排成一排，a ，b 都 不与c 相邻的排法个数为 （ ） A ．36 B ．32 C ．28 D ．24 9．已知函数7(13)10()x a x f x a--+⎧=⎨⎩66x x ≤> 若数列{}n a 满足*()()n a f n n N =∈，且{}n a 是递减数列，则实数a 的取值 范围是（ ）A ．1(,1)3B ． 11(,)32C ．15(,)38D ． 5(,1)810．已知集合{(,),}U x y x R y R =∈∈，{(,)}M x y x y a =+<，{(,)()}P x y y f x ==，现给出下列函数：①xy a =②log a y x =③sin()y x a =+④cos y ax =，若01a <<时，恒有U P C M P ⋂=，则()f x 所有可取的函数的编号是 （ ）A ． ①②③④B ．①②④C ．①②D ．④ 二、填空题: （本大题有7小题, 每小题4分,共28分） 11．等比数列12，14-，18，…的第8项是 ． 12．已知a ，b 是平面内的两个单位向量，设向量c=λb ，且|c|≠1，a ⋅（b-c ）=0，则实数λ的取值范围是 ． 13．设n 为正整数，111()123f n n =++++L ，计算得3(2)2f =，(4)2f >，5(8)2f >，(16)3f >，观察上述结果，可推测一般的结论为 ．14．已知多项式4234(1)(1)25x x x ax bx x +++=++++，则a-b= ．15．某初一年级有500名同学，将他们的身高（单位：cm ）数据绘制成频率分布直方图（如图），若要从身高在[)120,130，[)130,140，[]140,150三组内的学生中，用分层抽样的方法选取30人参加一项活动，则从身高在[)130,140内的学生中选取的人数为 ．16．已知函数3`22()()3f x x f x x =+-，则函数()f x 的图像在22(,())33f 处的切线方程是 ． 17．在ABC ∆中，角A,B,C 所对应的边分别是a ，b ，c ，已知():():()4:5:6b c c a a b +++=，给出下列结论①ABC ∆的边长可以组成等差数列0AC AB ⋅<u u u r u u u r②753A B C==③④若b+c=8，则ABC ∆的面积是4其中正确的结论序号是 ．三、解答题: （本大题有5小题, 共72分）18．（本题满分14分）已知函数2()cos 12sin ,f x x x x x R =+-∈．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）将函数()y f x =的图像上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12，把所得到的图像再向左平移6π单位，得到的函数()y g x =的图像，求函数()y g x =在区间0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值． 19．（本题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4n n S a p =-，其中p 是不为零的常数．（1）证明：数列{}n a 是等比数列；（2）当p=3时，若数列{}n b 满足*1()n n n b b a n N +=+∈，12b =，求数列{}n b 的通项100 110 120 130 140 150 身高公式．20．（本题满分14分）已知向量a=(1,2)，b=(cos ,)sin αα，设m=a+tb （t 为实数）． （1）若4πα=，求当|m|取最小值时实数t 的值；（2）若a ⊥b ，问：是否存在实数t ，使得向量a-b 和向量m 的夹角为4π，若存在，请求出t ；若不存在，请说明理由．21．（本题满分15分）一次数学考试共有10道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的．设计试卷时，安排前n 道题使考生都能得出正确答案，安排8-n 道题，每题得出正确答案的概率为12，安排最后两道题，每题得出正确答案的概率为14，且每题答对与否相互独立，同时规定：每题选对得5分，不选或选错得0分． （1）当n=6时，①分别求考生10道题全答对的概率和答对8道题的概率； ②问：考生答对几道题的概率最大，并求出最大值； （2）要使考生所得分数的期望不小于40分，求n 的最小值． 22．（本题满分15分）已知函数2()ln ()f x ax x a R =+∈． （1）当12a =时，求()f x 在区间[]1,e 上的最大值和最小值； （2）如果函数()g x ，1()f x ，2()f x ，在公共定义域D 上，满足12()()()f x g x f x <<，那么就称为()g x 为12(),()f x f x 的“活动函数”． 已知函数2211()()2(1)ln 2f x a x ax a x =-++-，221()22f x x ax =+． ①若在区间()1,+∞上，函数()f x 是1()f x ，2()f x 的“活动函数”，求a 的取值范围； ②当23a =时，求证：在区间()1,+∞上，函数1()f x ，2()f x 的“活动函数”有无穷多个．参考答案一、选择题 : 本大题共10小题, 每小题5分, 共50分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的 ．二、填空题: （本大题有7小题, 每小题4分, 共28分）11．2561- 12．（– 1，1） 13．22)2(+≥n f n （n ∈N *） 14．2 15．10 16．27x + 27y +4 = 0 17．①②④ 三、解答题: （本大题有5小题, 共72分） 18．（本题满分14分）解：（1）因为2()cos 12sin 2cos 2f x x x x x x =+-=+=)62sin(2π+x , 4分函数f （x ）的最小正周期为T =π． 由≤+≤-6222πππx k 22ππ+k ，Z k ∈，得f （x ）的单调递增区间为]6,3[ππππ+-k k ， Z k ∈． 9分（2）根据条件得)(x g =)654sin(2π+x ，当∈x ]80[π，时，654π+x ∈]34,65[ππ，所以当x = 8π时，min ()g x =- 14分19．（本题满分14分）（1）证：因为S n =4a n – p （n ∈N *）,则S n – 1 = 4a n – 1 – p （n ∈N *，n ≥2）,所以当n ≥2时，1144n n n n n a S S a a --=-=-，整理得143n n a a -=． 5分由S n =4a n – p ，令1n =，得114a a a =-，解得31p a =．所以{}n a 是首项为3p，公比为43的等比数列． 7分 （2）解：因为a 1=1，则14()3n n a -=，由1(1,2,)n n n b a b n +=+=L ，得114()3n n n b b -+-= ， 9分当n ≥2时，由累加得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b Λ＝1)34(3341)34(1211-=--+--n n ，当n = 1时，上式也成立． 14分 20．（本题满分14分）解：（1）因为α=4π，b =（2222，），223=⋅→→b a ，则|m=5232++t t =21)223(2++t所以当2t =-时，||m取到最小值，最小值为2． 7分 （2）由条件得cos45ο||||)((b t a b a b t a b a +-||b a -==6,||b t a +=25t +,t b t a b a -=+⋅-→→→→5)()(，则有2565t t +-=22，且5t <，整理得2550t t +-=，所以存在t =2535±-满足条件． 14分 21．（本题满分15分）解：（1） ①当n = 6时，10道题全答对，即后四道题全答对的相互独立事件同时发生，10道题题全答对的概率为64141412121=⨯⨯⨯． 2分 答对8道题的概率为43432121⋅⋅⋅+41412121⋅⋅⋅+ 4·43412121⋅⋅⋅=6422＝3211． 5分②答对题的个数X 的可能值为6，7，8，9，10，其概率分别为： P （X = 6） =43432121⋅⋅⋅=649; P （X = 7） = 2·43432121⋅⋅⋅+2·43412121⋅⋅⋅ =6424＝83;P （X = 8） =6422＝3211; 又P （X ≥ 9） =1－64226423649--＝649;所以：答对7道题的概率最大为83． 10分 （2） 当n = 6时，分布列为：得E ξ= 30⨯649+35⨯6424+ 40⨯6422+ 45⨯648+50⨯641= 642400=37．5 ， 当n =7时，E ξ =40 ． 所以n 的最小值为7． 15分另解：5n + 528⨯-n +542⨯=5（292+n ）≥ 40, 所以n 的最小值为7．22．（本题满分15分）解：（1）当21a =时，x ln x 21)x (f 2+=，x1x x 1x )x (f 2+=+='；对于∈x [1, e]，有0)x (f >'，∴)x (f 在区间[1, e]上为增函数，∴2e 1)e (f )x (f 2max +==，21)1(f )x (f min ==． 3 分（2）①在区间（1，+∞）上，函数)x (f 是)x (f ),x (f 21的“活动函数”，则)x (f )x (f )x (f 21<<令x ax x a x f x f x p ln 2)21()()()(22+--=-=<0，对∈x （1，+∞）恒成立，且h （x ）=f 1（x ） – f （x ）=x ln a ax 2x 2122-+-<0对∈x （1，+∞）恒成立， 5分 ∵xx a x x ax x a x a x a x p ]1)12)[(1(12)12(12)12()`(2---=+--=+--= （*）1）若21a >，令0)`(=x p ，得极值点1x 1=，1a 21x 2-=， 当1x x 12=>，即1a 21<<时，在（2x ，+∞）上有0)`(>x p ，此时)(x p 在区间（2x ，+∞）上是增函数，并且在该区间上有)(x p ∈（)(2x p ，+∞），不合题意；当1x x 12=<，即1a ≥时，同理可知，)(x p 在区间（1，+∞）上，有)(x p ∈（)1(p ，+∞），也不合题意； 7分2） 若21a ≤，则有01a 2≤-，此时在区间（1，+∞）上恒有0)`(<x p ，从而)(x p 在区间（1，+∞）上是减函数；要使0)(<x p 在此区间上恒成立，只须满足021)1(≤--=a p 21a -≥⇒，所以21-≤a ≤21． 9分又因为h /（x ）= –x+2a –xa 2= x )a x (x a ax 2x 222--=-+-<0, h （x ）在（1, +∞）上为减函数，h （x ）<h （1）= 21-+2a ≤0， 所以a ≤41 综合可知a 的范围是[21-,41]． 12分 另解：（接在（*）号后） 先考虑h （x ）,h`（x ） = – x + 2a x a 2-=0)(2<--xa x , h （x ）在（1,+∞）递减，只要h （1） ≤ 0, 得0221≤+-a ，解得41≤a ． 8分 而p `（x ）=x x a x ]1)12)[(1(---对x ∈（1,+∞） 且41≤a 有p `（x ） <0．只要p （1） ≤ 0, 0221≤--a a ，解得21-≥a ,所以．4121≤≤-a ． 12分②当32a =时，x 34x 21)x (f ,x ln 95x 34x 61)x (f 2221+=++=则y=f 2（x ） –f 1（x ）=31x 2 –95lnx, x ∈（1，+∞）．因为y /=xx x x 95695322-=->0，y=f 2（x ） –f 1（x ）在 （1，+∞）为增函数， 所以f 2（x ） –f 1（x ）> f 2（1） –f 1（1）=31．设R （x ）=f 1（x ）+λ31（0<λ<1）, 则 f 1（x ）<R （x ）<f 2（x ）,所以在区间（1，+∞）上，函数)x (f ),x (f 21的“活动函数”有无穷多个．其他如R （x ）=λf 1（x ）+μf 2（x ）（ 0<λ,μ<1,且λ+μ=1）等也可以． 15分。
浙江省杭州市高考数学第一次教学质量检测试题-理-新人教A版
一、选择题：．若复数221z i i=++，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为☎ ✆ ．设a ∈ ，则“4a =”是“直线1:230l ax y +-=与直线2:20l x y a +-=平行”的☎ ✆✌ 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件 ．设函数()2xf x =，则下列结论中正确的是☎ ✆✌ (1)(2)(f f f -<< ((1)(2)f f f <-< (2)((1)f f f <<- (1)((2)f f f -<<．设等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，若11m m a a a +-<<-☎m ∈☠✉ 且2m ≥✆，则必定有☎ ✆✌ 0m S >，且10m S +< 0m S <，且10m S +> 0m S >，且10m S +> 0m S <，且10m S +<．若程序框图如图所示 则该程序运行后输出k 的值是☎ ✆✌ 4 5 6 7．设函数()log (01)a f x x a =<<的定义域为[,](m n m <)n 值域为[0,1] 若n m -的最小值为13则实数♋的值为☎ ✆ ✌14 14或23 2323或34．设双曲线22143x y -=的左 右焦点分别为12,F F 过1F 的直线l 交双曲线左支于,A B 两点 则22BF AF +的最小值为☎ ✆ ✌192 11 12 ．已知集合{}(,)(1)(1)A x y x x y y r =-+-≤，集合{}222(,)B x y x y r =+≤，若B A ⊂，则实数r 可以取的一个值是☎ ✆1 2 1+No.:0000000000000711．设函数11,(,2)()1(2),[2,)2x x f x f x x ⎧--∈-∞⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，则函数()()1F x xf x =-的零点的个数为☎ ✆✌ ．设等差数列{}n a 满足：22222233363645sin cos cos cos sin sin 1sin()a a a a a a a a -+-=+，公差(1,0)d ∈- 若当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是☎ ✆ ✌ 74,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭ 43,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭ 74,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 43,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 二、填空题：．二项式521x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第四项的系数为 ．．从3,2,1,0中任取三个数字，组成无重复数字的三位数中，偶数的个数是 ☎用数字回答✆．．无穷数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,的首项是1，随后两项都是2，接下来3项都是3，再接下来4项都是4，…，以此类推 记该数列为{}n a ，若120n a -=，21n a =，则n = ．．若正数,x y 满足230x y +-=，则2x yxy+的最小值为 ．．在 ✌中 角✌ 的对边分别♋ ♌ ♍ 若22212a b c += 则直线0ax by c -+=被圆2x +29y =所截得的弦长为．．若整数．．,x y 满足不等式组0700y x x y x -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则2x y +的最大值为 ．．如图 在扇形 ✌中 60AOB ︒∠= 为弧✌上的一个动点 若OC-→xOA y OB-→-→=+，则3x y +的取值范围是． 三、解答题： ．☎本题满分分✆设2()6cos 2().f x x x x R =∈☎Ⅰ✆求()f x 的最大值及最小正周期；☎第 ☎Ⅱ✆在 ✌中 角✌ 的对边分别为♋ ♌ ♍ 锐角✌满足()3f A =- 12B =，求c的值．☎本题满分 分✆已知甲箱中只放有⌧个红球与⍓个白球(,0,x y ≥且6)x y +=，乙箱中只放有 个红球、 个白球与 个黑球☎球除颜色外，无其它区别✆ 若甲箱从中任取 个球， 从乙箱中任取 个球☎Ⅰ✆记取出的 个球的颜色全不相同的概率为 ，求当 取得最大值时,x y 的值；☎Ⅱ✆当2x =时，求取出的 个球中红球个数ξ的期望()E ξ ．☎本题满分 分✆已知数列{}n a 满足1111,14n na a a +==- 其中n ∈☠✉ ☎Ⅰ✆设221n n b a =-，求证：数列{}n b 是等差数列，并求出{}n a 的通项公式n a ；☎Ⅱ✆设41nn a c n =+，数列{}2n n c c +的前n 项和为n T 是否存在正整数m 使得11n m m T c c +<对于n ∈☠✉恒成立，若存在，求出m 的最小值，若不存在，请说明理由．☎本题满分 分✆已知椭圆 ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，右焦点到直线1:3l x + 40y =的距离为35☎Ⅰ✆求椭圆 的方程；☎Ⅱ✆若直线2:(0)l y kx m km =+≠ 与椭圆 交于✌、 两点，且线段✌中点恰好在直线1l 上，求△ ✌的面积 的最大值 ☎其中 为坐标原点✆．☎本题满分 分✆已知函数2()(2)ln .f x x a x a x =-++ ☎Ⅰ✆当1a =时，求函数()f x 的极小值；☎Ⅱ✆当1a =-时，过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线，设切点为(,)P m n ，求实数m 的值； ☎Ⅲ✆设定义在D 上的函数()y g x =在点00(,)P x y 处的切线方程为:(),l y h x =当0x x ≠时，若()()0g x h x x x ->-在D 内恒成立，则称P 为函数()y g x =的“转点”．当8a =时，试问函数()y f x =是否存在“转点” 若存在 请求出“转点”的横坐标 若不存在 请说明理由．【参考答案】【解析】由题意，得：22(1)2211(1)(1)i z i i i i i i -=+=+=-++- 复数z的模z = 【解析】由题意，1122:42304//:240l x y a l l l x y +-=⎧=⇒⇒⎨+-=⎩，即充分。
《精编》浙江省杭州市高考数学第一次教学质量检测试题 文 新人教A版.doc
浙江省杭州市2021届高三第一次高考教学质量检测数 学 试 题〔文〕考生须知：1．本卷总分值100分，考试时间100分钟。
2．答题前，在答题卷密封区内填写、班级和姓名。
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效。
4．考试结束，只需上交答题卷。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 P (A +B )=P (A )+P (B )一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1．设{|0{|1A x x B x x =<<=≤<，那么A C B =〔 〕A ．{|0x x ≤<B ．{|01}x x <<C ．{|0x x <<D ．{|01}x x ≤<2．设复数(13)(2)z i i =-+〔其中i 是虚数单位〕，那么复数z 在复平面上所对应的点位于〔 〕 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．设数列{}n a 是等差数列，1780,0a a a <⋅<。
假设数列{}n a 的前n 项和n S 取得最小值，那么n 的值为〔 〕A ．4B ．7C ．8D ．15 4．在ABC ∆中，“0AB BC ⋅>〞是“ABC ∆为钝角三角形〞的〔 〕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，假设60,1,2B a b =︒==，那么sin A 的值为〔 〕A B ．14 C D ．126．设函数21()9ln 2f x x x =-在区间[1,1]a a -+上单调递减，那么实数a 的取值范围是 〔 〕A ．12a <≤B ．4a ≥C ．2a ≤D ．03a <≤7．假设某程序框图如以下列图，那么输出的S 的值是〔 〕A ．51B ．57C ．71D ．958．假设等比数列{}n a 的公比q=2，且前12项的积为122，那么 36912a a a a 的值为〔 〕A ．24B ．26C ．28D ．212 9．设函数()|sin |cos 2f x x x =+。
2022版新教材高考数学一轮复习课时质量评价17导数与函数的极值最值含解析新人教A版
课时质量评价(十七)(建议用时：45分钟) A 组 全考点巩固练1．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，则( ) A ．a <－1 B ．a >－1 C ．a >－1eD ．a <－1eA 解析：因为y ＝e x ＋ax ，所以y ′＝e x ＋a . 又函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点， 所以方程y ′＝e x ＋a ＝0有大于零的解， 当x >0时，－e x <－1，所以a ＝－e x <－1.2．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象如图所示，则x 21＋x 22等于( )A ．89B ．109C ．169D ．289C 解析：因为函数 f (x )的图象过原点，所以d ＝0.又 f (－1)＝0且 f (2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋b －c ＝0，8＋4b ＋2c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝－2.所以函数f (x )＝x 3－x 2－2x .所以f ′(x )＝3x 2－2x －2.由题意知x 1，x 2是函数的极值点，所以x 1，x 2是f ′(x )＝0的两个根，所以x 1＋x 2＝23，x 1x 2＝－23，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝49＋43＝169. 3．已知函数f (x )＝2e f ′(e)ln x －xe (e 是自然对数的底数)，则f (x )的极大值为( )A ．2e －1B ．－1eC ．1D ．2ln 2D 解析：由题意知f ′(x )＝2e f ′(e )x －1e. 所以f ′(e)＝2f ′(e)－1e ，则f ′(e)＝1e.因此f ′(x )＝2x －1e.令f ′(x )＝0，得x ＝2e.所以f (x )在(0,2e)上单调递增，在(2e ，＋∞)上单调递减． 所以f (x )在x ＝2e 处取极大值f (2e)＝2ln(2e)－2＝2ln 2. 4．已知x ＝1e 是函数f (x )＝x ln(ax )＋1的极值点，则a ＝( )A ．12B ．1C ．1eD ．2B 解析：由函数f (x )＝x ln(ax )＋1，可得f ′(x )＝ln(ax )＋1.由x ＝1e 是函数f (x )的极值点，可得ln ⎝⎛⎭⎫a ·1e ＋1＝0，解得a ＝1.经验证，a ＝1时，x ＝1e是函数f (x )的极值点．故选B ． 5．(多选题)(2020·山东百师联盟测试五)常数a ≠0，下列有关方程x 3＋x 2－x －a ＝0的根的说法正确的是( )A ．可以有三个负根B ．可以有两个负根和一个正根C ．可以有两个正根和一个负根D ．可以有三个正根BC 解析：方程x 3＋x 2－x －a ＝0可化为x 3＋x 2－x ＝a .令函数f (x )＝x 3＋x 2－x ，则f ′(x )＝3x 2＋2x －1＝(3x －1)(x ＋1)．当x <－1或x >13时，f ′(x )>0.当－1<x <13时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，－1)，⎝⎛⎭⎫13，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－1，13上单调递减，且f (－1)>0，f ⎝⎛⎭⎫13<0.作出f (x )的图象如图，从而方程x 3＋x 2－x －a ＝0可以有两个正根和一个负根，也可以有两个负根和一个正根，但不会有三个负根，也不会有三个正根．故选BC ．6．函数f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是________． 2 解析：由题意知f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)． 令f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝2(舍)．当－1<x <0时，f ′(x )>0； 当0<x <1时，f ′(x )<0，所以当x ＝0时，函数取得极大值，即最大值． 所以f (x )的最大值为f (0)＝2.7．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值．若m ∈[－1,1]，则f (m )的最小值是________．－4 解析：由题意知f ′(x )＝－3x 2＋2ax .由f (x )在x ＝2处取得极值，知f ′(2)＝0， 即－3×4＋2a ×2＝0，故a ＝3. 由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4.f ′(x )＝－3x 2＋6x ＝－3x (x －2)，由此可得f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增， 所以当m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4.8．(2020·广东六校联盟第三次联考)已知函数f (x )＝a sin 2x －13sin 3x (a 为常数)在x ＝π3处取得极值，则a 的值为________．1 解析：f ′(x )＝2a cos 2x －cos 3x .由函数f (x )在x ＝π3处取得极值，可得f ′⎝⎛⎭⎫π3＝0，即2a cos 2π3－cos ⎝⎛⎭⎫3×π3＝－a ＋1＝0，解得a ＝1. 9．已知函数f (x )＝ax 2－b ln x 在点A (1，f (1))处的切线方程为y ＝1. (1)求实数a ，b 的值； (2)求函数f (x )的极值．解：(1)f (x )的定义域是(0，＋∞)， 所以f ′(x )＝2ax －b x，f (1)＝a ＝1.所以f ′(1)＝2a －b ＝0.将a ＝1代入2a －b ＝0，解得b ＝2.故a ＝1，b ＝2. (2)由(1)得f (x )＝x 2－2ln x (x >0)，f ′(x )＝2x －2x ＝2x 2－2x.令f ′(x )>0，解得x >1；令f ′(x )<0，解得0<x <1.所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． 所以f (x )极小值＝f (1)＝1，无极大值． 10．已知函数f (x )＝e x cos x －x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 解：(1)因为f (x )＝e x cos x －x ，所以f (0)＝1， f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，所以f ′(0)＝0， 所以y ＝f (x )在(0，f (0))处的切线方程为y ＝1. (2)由(1)知f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，令g (x )＝f ′(x )，则g ′(x )＝－2e x ·sin x ≤0在⎣⎡⎦⎤0，π2上恒成立，且仅在x ＝0处等号成立， 所以g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减， 所以g (x )≤g (0)＝0，所以f ′(x )≤0且仅在x ＝0处等号成立， 所以f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减， 所以f (x )max ＝f (0)＝1，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫π2＝－π2. B 组 新高考培优练11．若函数y ＝f (x )存在n －1(n ∈N *)个极值点，则称y ＝f (x )为n 折函数，例如f (x )＝x 2为2折函数．已知函数f (x )＝(x ＋1)e x －x (x ＋2)2，则f (x )为( )A ．2折函数B ．3折函数C ．4折函数D ．5折函数C 解析：由题意知f ′(x )＝(x ＋2)e x －(x ＋2)·(3x ＋2)＝(x ＋2)(e x －3x －2)． 令f ′(x )＝0，得x ＝－2或e x ＝3x ＋2. 易知x ＝－2是f (x )的一个极值点， 又e x ＝3x ＋2，结合函数图象(图略)， y ＝e x 与y ＝3x ＋2有两个交点． 又e －2≠3×(－2)＋2＝－4，所以函数y ＝f (x )有3个极值点，则f (x )为4折函数．12．(多选题)(2020·海南调研)已知函数f (x )＝x ＋sin x －x cos x 的定义域为[－2π，2π)，则( )A ．f (x )为奇函数B ．f (x )在[0，π)上单调递增C ．f (x )恰有4个极大值点D ．f (x )有且仅有4个极值点BD 解析：对于选项A ，因为f (x )的定义域为[－2π，2π)，不关于原点对称，所以f (x )为非奇非偶函数，故A 错误．对于选项B ，f ′(x )＝1＋cos x －(cos x －x sin x )＝1＋x sin x ．当x ∈[0，π)时，f ′(x )>0，则f (x )在[0，π)上单调递增，故B 正确．对于选项C 和D ，f ′(0)≠0，令f ′(x )＝0，得sin x ＝－1x .在同一坐标系内分别作出y ＝sin x 和y ＝－1x 在区间[－2π，2π)上的图象，如图．由图可知，这两个函数的图象在区间[－2π，2π)上共有4个公共点，且两图象在这些公共点处都不相切，故f (x )在区间[－2π，2π)上的极值点的个数为4，且f (x )只有2个极大值点，故C 错误，D 正确．故选BD ．13．若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是________．[－3,0) 解析：由题意，得f ′(x )＝x 2＋2x ＝x (x ＋2)．故f (x )在(－∞，－2)，(0，＋∞)上单调递增，在(－2,0)上单调递减．故f (0)＝－23为f (x )的极小值．作出其图象如图所示．令13x 3＋x 2－23＝－23得，x ＝0或x ＝－3.结合图象可知⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a <0，a ＋5>0，解得a ∈[－3,0)． 14．已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )≥0，求a 的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)． f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a )．①若a ＝0，则f (x )＝e 2x ，在(－∞，＋∞)上单调递增． ②若a >0，由f ′(x )＝0得x ＝ln a . 当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0. 故f (x )在(－∞，ln a )上单调递减， 在(ln a ，＋∞)上单调递增． ③若a <0，由f ′(x )＝0得x ＝ln ⎝⎛⎭⎫－a2. 当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，ln ⎝⎛⎭⎫－a 2时，f ′(x )<0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－a 2，＋∞时，f ′(x )>0. 故f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，ln ⎝⎛⎭⎫－a 2上单调递减，在⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－a 2，＋∞上单调递增． (2)①若a ＝0，则f (x )＝e 2x ，所以f (x )≥0.②若a >0，则由(1)得，当x ＝ln a 时，f (x )取得最小值，最小值为f (ln a )＝－a 2ln a ．从而当且仅当－a 2ln a ≥0，即a ≤1时，f (x )≥0.故0<a ≤1.③若a <0，则由(1)得，当x ＝ln ⎝⎛⎭⎫－a 2时，f (x )取得最小值，最小值为 f ⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－a2＝a 2⎣⎡⎦⎤34－ln ⎝⎛⎭⎫－a 2. 从而当且仅当a 2⎣⎡⎦⎤34－ln ⎝⎛⎭⎫－a 2≥0，即a ≥－2e 34时，f (x )≥0.故－2e 34≤a <0.综上，a 的取值范围是[－2e 34，1]． 15．已知函数f (x )＝x －1x －ln x .(1)求f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最大值和最小值．解：(1)f (x )＝x －1x －ln x ＝1－1x －ln x ，f (x )的定义域为(0，＋∞)．所以f ′(x )＝1x 2－1x ＝1－xx2.令f ′(x )＞0，得0＜x ＜1；令f ′(x )＜0，得x ＞1.所以f (x )＝x －1x －ln x 在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．(2)由(1)得f (x )在⎣⎡⎭⎫1e ，1上单调递增，在[1，e]上单调递减， 所以f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最大值为f (1)＝1－1－ln 1＝0.又f ⎝⎛⎭⎫1e ＝1－e －ln 1e ＝2－e ，f (e)＝1－1e －ln e ＝－1e ，即f ⎝⎛⎭⎫1e ＜f (e)， 所以f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫1e ＝2－e. 综上，f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最大值为0，最小值为2－e.。
浙江省杭州市高三数学上学期第一次高考科目教学质检(理)新人教版
2010年浙江省杭州市第一次高考科目教学质量检测数学理科卷2010.2.4考生须知:1. 本卷满分150分, 考试时间120分钟.2. 答题前, 在答题卷密封区内填写学校、班级和姓名.3. 所有答案必须写在答题卷上, 写在试题卷上无效.4. 考试结束, 只需上交答题卷. 参考公式如果事件B A ,互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+； 如果事件B A ,相互独立，那么 )()()(B P A P B A P ⋅=⋅；如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率kn kk n n P P C k P --=)1()((k = 0,1,…,n).一． 选择题 : 本大题共10小题, 每小题5分, 共50分． 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的 ．1．设集合则},2,1,2{},2,1{},2,1,0,1,2{--==--=B A U A ∪(C U B ）=（ ）(A){1} (B){1，2} (C) {2} (D){0，1，2} 2．复数)31(i i z -=的虚部是 （ ）(A) －1 (B) 1 (C)i (D)3 3. 函数y =( )（A ）(1,2)（B ）(2,)+∞ （C ）(1,)+∞ （D ）[2,)+∞4．向量a = (1,2)，b = (x ,1)，c = 2a + b ，d = 2a －b ，若c //d ，则实数x 的值等于（ ）.(A)12 (B)12- (C)16 (D)16- 5执行如图的程序框图，如果输入5p =，则输出的=S （ ）(A) 1516 (B) 3116 (C) 3132 (D) 6332（第5题）6．设不等式组0,022x y x y ≥≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩所表示的区域为A ,现在区域A 中任意丢进一个粒子,则该粒子落在直线12y x =下方的概率为 ( ) (A) 13 (B) 14 (C) 12 (D) 347．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则670a a +>是93S S ≥的（ ）（A ）充分但不必要条件 （B ）必要但不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件8．已知1021001210(1)(1)(1)(1),x a a x a x a x +=+-+-++-则8a =（ ） （A ）–180 （B ）180 （C ）45 （D) –459. 下列命题中正确的是 ( )(A) 设f (x) = sin(2x+3π), 则∀x ∈,36ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，必有f(x) < f (x + 0.1) (B) ∃x 0∈R 。
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一、选择题： 1．若复数221z i i=++，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为( )A.2D. 2 2．设a ∈R ，则“4a =”是“直线1:230l ax y +-=与直线2:20l x y a +-=平行”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3．设函数()2xf x =，则下列结论中正确的是( )A. (1)(2)(f f f -<<B. ((1)(2)f f f <-<C. (2)((1)f f f <<-D. (1)((2)f f f -<<4．设等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，若11m m a a a +-<<-(m ∈N *,且2m ≥)，则必定有( )A. 0m S >，且10m S +<B. 0m S <，且10m S +>C. 0m S >，且10m S +>D. 0m S <，且10m S +<5．若程序框图如图所示,则该程序运行后输出k 的值是( ) A. 4 B. 5C. 6D. 76．设函数()log (01)a f x x a =<<的定义域为[,](m n m <)n ,值域为[0,1],若n m -的最小值为13,则实数a 的值为( )A. 14B. 14或23C. 23D. 23或347．设双曲线22143x y -=的左,右焦点分别为12,F F ,过1F 的直线l交双曲线左支于,A B 两点,则22BF AF +的最小值为( ) A.192B. 11C. 12D. 168．已知集合{}(,)(1)(1)A x y x x y y r =-+-≤，集合{}222(,)B x y x y r =+≤，若B A ⊂，则实数r 可以取的一个值是( )1C. 2D. 19．设函数11,(,2)()1(2),[2,)2x x f x f x x ⎧--∈-∞⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，则函数()()1F x xf x =-的零点的个数为( )A. 4B. 5C. 6D. 710．设等差数列{}n a 满足：22222233363645sin cos cos cos sin sin 1sin()a a a a a a a a -+-=+，公差(1,0)d ∈-. 若当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是( ) A. 74,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭B. 43,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭C. 74,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 43,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 二、填空题：11．二项式521x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第四项的系数为 ．12．从3,2,1,0中任取三个数字，组成无重复数字的三位数中，偶数的个数是 (用数字回答)．13．无穷数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,的首项是1，随后两项都是2，接下来3项都是3，再接下来4项都是4，…，以此类推.记该数列为{}n a ，若120n a -=，21n a =，则n = ．14．若正数,x y 满足230x y +-=，则2x yxy+的最小值为 ． 15．在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别a ,b ,c ,若22212a b c +=.则直线0ax by c -+=被圆2x + 29y =所截得的弦长为 ．16．若整数．．,x y 满足不等式组0700y x x y x -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩, 则2x y +的最大值为 ．17．如图,在扇形OAB 中,60AOB ︒∠=,C 为弧AB 上的一个动点.若OC -→xOA y OB -→-→=+，则3x y +的取值范围是 ．三、解答题：18．(本题满分14分)设2()6cos 2().f x x x x R =∈.(Ⅰ)求()f x 的最大值及最小正周期；(Ⅱ)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,锐角A 满足()3f A =-12B π=，求ac的值. 19．(本题满分14分)已知甲箱中只放有x 个红球与y 个白球(,0,x y ≥且6)x y +=，乙箱(第17题)中只放有2个红球、1个白球与1个黑球(球除颜色外，无其它区别). 若甲箱从中任取2个球， 从乙箱中任取1个球.(Ⅰ)记取出的3个球的颜色全不相同的概率为P ，求当P 取得最大值时,x y 的值； (Ⅱ)当2x =时，求取出的3个球中红球个数ξ的期望()E ξ. 20．(本题满分14分)已知数列{}n a 满足1111,14n na a a +==-,其中n ∈N *. (Ⅰ)设221n n b a =-，求证：数列{}n b 是等差数列，并求出{}n a 的通项公式n a ；(Ⅱ)设41nn a c n =+，数列{}2n n c c +的前n 项和为n T ,是否存在正整数m ,使得11n m m T c c +<对于n ∈N *恒成立，若存在，求出m 的最小值，若不存在，请说明理由.21．(本题满分15分)已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，右焦点到直线1:3l x + 40y =的距离为35.(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若直线2:(0)l y kx m km =+≠ 与椭圆C 交于A 、B 两点，且线段AB 中点恰好在直线1l 上，求△OAB 的面积S 的最大值.(其中O 为坐标原点).22．(本题满分15分)已知函数2()(2)ln .f x x a x a x =-++ (Ⅰ)当1a =时，求函数()f x 的极小值；(Ⅱ)当1a =-时，过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线，设切点为(,)P m n ，求实数m 的值；(Ⅲ)设定义在D 上的函数()y g x =在点00(,)P x y 处的切线方程为:(),l y h x =当0x x ≠时，若()()0g x h x x x ->-在D 内恒成立，则称P 为函数()y g x =的“转点”．当8a =时，试问函数()y f x =是否存在“转点”.若存在,请求出“转点”的横坐标,若不存在,请说明理由．【参考答案】1.B 【解析】由题意，得：22(1)2211(1)(1)i z i i i i i i -=+=+=-++- 复数z的模z ==2.C 【解析】由题意，1122:42304//:240l x y a l l l x y +-=⎧=⇒⇒⎨+-=⎩，即充分。
又121221//04l l A B A B a ⇒-=⇒=，注意到此时12,l l 不重合，即必要。
3.D 【解析】由题意，()22()xxf x f x -===-，即()f x 为偶函数。
故(1)(1)(2)(2)(f f f f f f ⎧-=⎪-=⎨⎪=⎩. 显然0()2x x f x ≥=时，单调递增。
所以(1)(1)((2)(2)f f f f f f -=<=<-= 4.C 【解析】由题意，得：11111+0m m m m a a a a a a a ++>⎧-<<-⇔⎨+<⎩。
显然，易得102m m a a S m +=⋅>，111(1)02m m a aS m +++=⋅+< 5.B 【解析】由题意，得：5,016,18,24,32,41,5n k n k n k n k n k n k ==⇒==⇒==⇒==⇒==⇒==⇒终止当2n =时，执行最后一次循环；当1n =时，循环终止，这是关键。
输出5k =。
6.D 【解析】由题意，分1n =或1m =两种情况：（1）1n =时，23m =，此时()f x 在[,]m n 上单调递减 故2()log 13a f m m a ==⇒=（2）1m =时，43n =，此时()f x 在[,]m n 上单调递增故3()log 14a f n n a ==⇒=7.B 【解析】由题意，得：21221121248824AF AF a BF AF AF BF AB BF BF a ⎧-==⎪⇒+=++=+⎨-==⎪⎩显然，AB 最短即通径，2min 23b AB a=⋅=，故()22min 11BF AF +=8.A 【解析】22111(,)()()222A x y x y r ⎧⎫=-+-≤+⎨⎬⎩⎭、{}222(,)B x y x y r =+≤不难分析，A 、B 分别表示两个圆，要满足B A ⊂，即两圆内切或内含。
故圆心距12122O O r r =≤-，即：221122221010112102r r r r r r r r r r r ≤⇔-⋅+≥⎛⎫⇔-≥⇔-≥⇔+≥ ⎪ ⎪⎝⎭+⇔--≥⇔≥显然，122r +≥>，故只有(A)项满足。
9.C 【解析】由题意，()()1F x xf x =-的零点，即1()f x x与的交点。
易绘(,2)x ∈-∞的函数图象，且131(0)(2)0,(1)1,()()222f f f f f ===== 当[2,)x ∈+∞时，11(4)(2)0,(6)(4)0,22f f f f ==== 依次类推，易得(4)(6)(8)(2)0f f f f n =====又11(3)(1)22f f ==, 同理11(5)(3)24f f ==，11(7)(5)28f f ==不难绘出[2,)x ∈+∞的函数图象如右，显然零点共6个，其中左边1个，右边5个。
10.B 【解析】先化简：22222233633645223636453636453636(sin sin sin )(cos cos cos )=1sin()(sin cos )(cos sin )=1sin()sin()sin()=1sin()sin()136a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a d a a d π---=+-=++-=+⇒-=⎫⇒=-⎬-=-⎭又当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，即：91910110180430,09032a a d a a a a a d ππ=+>⎧><⇔⇒<<⎨=+<⎩ 11. 80-【解析】第四项33345280T C x x -⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭，系数为80-12.10【解析】考虑三位数“没0”和“有0”两种情况。
【1】没0：2必填个位，22A 种填法；【2】有0：0填个位，23A 种填法；0填十位，2必填个位，12A 种填法； 所以，偶数的个数一共有22A +23A +12A =10种填法。