实际问题与一元二次方程增长率问题
实际问题与一元二次方程(增长率问题)
审、设、列、解、验、答． 2．假设平均增长(降低)率为x，增长(或降低)前的基准数
是a，增长(或降低)n次后的量是b，那么有： a(1±x)n＝b(常见n＝2)．
3．成本下降额较大的药品，它的下降率不一定也较大，成 本下降额较小的药品，它的下降率不一定也较小．
作业布置 1.课堂作业:课本P22： 习题21.3第4、7题； 2.家庭作业：《名师测控》P15---16页。
2.如果第n年后的总产量为M，那么有下面等
式：
a(1±x)n-1 ＝M.
.
[问题1]某企业2013年盈利1500万元，2015年实 现盈利2160万元.从2013年到2015年，如果该 企业每年盈利的年增长率相同，求：
〔1〕该企业平均每年的增长率. 〔2〕假设该企业盈利的年增长率继续保持不变，
预计2016年盈利多少万元？ 解(1)设年平均增长率为 x，那么 2014年盈利 1500(1+x)万元；2015年盈利
实际问题与一元二次方程
增长率问题
选择适当的方法解以下方程：
〔1〕1500(1+x)2=2160
〔2〕10+10(1+x)+10(1+x)2=33.1
九年级数学上册21一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程第一课时增长率与单循环赛类问题
11．一个容器中盛满12 L纯药液，倒出纯药液后，用水加满，再倒 出等量液体，再用水加满，此时容器中药液与水之比为1∶3，问每 次倒出液体多少升．
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12．(济宁)某地年为做好“精准扶贫”，投入资金1 280万元用于异 地安置，并规划投入资金逐年增加，年在年基础上增加投 入资金1 600万元． (1)从年到年，该地投入异地安置资金年平均增加率为多少？
【解】 设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励， 依据题意，得1 000×8×400＋(a－1 000)×5×400≥5 000 000， 解得a≥1 900， 答：今年该地最少有1 900户享受到优先搬迁租房奖励．
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(2)若该县教育经费投入还将保持相同年平均增加率，请你预算 年该县投入教育经费多少万元． 【解】 因为年该县投入教育经费为8 640万元，且增加率为20%， 所以预算年该县投入教育经费为：y＝8 640×(1＋20%)＝10 368(万元)，
答：预算年该县投入教育经费10 368万元．
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．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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*8.某省农作物秸秆资源巨大，但合理利用量十分有限，年利 用率只有30%，大部分秸秆被直接焚烧了，假定该省每年产出农作物秸秆总量不 变，且合理利用量增加率相同，要使年利用率提升到60%，则每年增 长率为____4_1_%_____.（取 2≈1.41） 9．为深入发展基础教育，自年以来，某县加大了教育经费投入，年该县投入教 育经费6 000万元.年投入教育经费8 640万元．假设该县这两年投入教育经费年平均 增加率相同． (1)求这两年该县投入教育经费年平均增加率； 【解】 设该县投入教育经费年平均增加率为x，依据题意得 ：6 000(1＋x)2＝8 640， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)， 答：该县投入教育经费年平均增加率为20%.
实际问题与一元二次方程大全
22.3 实际问题与一元二次方程(1)增长率问题问题1.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为12万元,求该校这两年在实验器材投资上的平均增长率是多少?[命题意图]本题主要考查平均增长率问题.[解析]本例属于平均增长率问题,若设平均增长率为x,则今年的投资额为2(x+1)万元,明年的投资额为2(x+1)2万元,由今明两年的投资总额为12万元可列方程.解:设这两年在实验器材投资上的平均增长率为x,根据题意可列方程:2(1+x)+2(1+x)2=12化简整理得:x2+3x-4=0 解这个方程得:x1=1,x2=-4(负值不合题意,应舍去)答:该校这两年在实验器材投资上的平均增长率为100%.[思路探究]在本例中,12万元是两年的投资总额,不是最后一年的投资额,不能错误地列出方程2(1+x)2=12;另外在解这个方程时,还可把(1+x)当作一个整体,用换元法解.问题2：某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？老师点评分析：直接假设二月份、三月份生产电视机平均增长率为x．•因为一月份是1万台，那么二月份应是（1+x）台，三月份应是在二月份的基础上以二月份比一月份增长的同样“倍数”增长，即（1+x）+（1+x）x=（1+x）2，那么就很容易从第一季度总台数列出等式．解：设二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率为x，则1+（1+x）+（1+x）2•=3.31 去括号：1+1+x+1+2x+x2=3.31整理，得：x2+3x-0.31=0解得：x=10%答：（略）以上这一道题与我们以前所学的一元一次、二元一次方程（组）、分式方程等为背景建立数学模型是一样的，而我们借助的是一元二次方程为背景建立数学模型来分析实际问题和解决问题的类型．问题3：电脑公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、•二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．分析：设这个增长率为x，由一月份的营业额就可列出用x表示的二、三月份的营业额，又由三月份的总营业额列出等量关系．解：设平均增长率为x则200+200（1+x）+200（1+x）2=950整理，得：x2+3x-1.75=0解得：x=50%答：所求的增长率为50%．三、巩固练习（1）某林场现有木材a立方米，预计在今后两年年平均增长p%，那么两年后该林场有木材多少立方米?（2）某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为x，可列出方程为__________．四、应用拓展例2．某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．分析：设这种存款方式的年利率为x ，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000+2000x ·80%；第二次存，本金就变为1000+2000x ·80%，其它依此类推． 解：设这种存款方式的年利率为x则：1000+2000x ·80%+（1000+2000x ·8%）x ·80%=1320整理，得：1280x 2+800x+1600x=320，即8x 2+15x-2=0解得：x 1=-2（不符，舍去），x 2=18=0.125=12.5% 答：所求的年利率是12．5%．例4.(2012,,10分,限时10分钟)某农户1988年承包荒山若干亩,投资7800元改造后种果树2000棵,其成活率为90%,在2001年夏季全部结果时,随意摘下10棵果树的水果,称得重量如下(单位:千克):8,9,12,13,8,9,10,11,12,8(1)根据样本平均数估计该农户2001年水果的总产量是多少?(2)此水果在市场出售每千克售1.3元,在果园每千克售1.1元,该农户用农用车将水果拉到市场出售,平均每天出售1000千克,需8人帮助,每人每天付工资25元,若两种出售方式都在相同的时间售完全部水果,选择哪 种出售方式合理?为什么?(3)该农户加强果园管理,力争到2003年三年合计纯收入达57000元,求2002年,2003年平均每年增长率是多少?[命题意图]本例考查平均数意义及应用,方案的选择,平均增长率等知识.[解析](1)中由样本平均数估计出总体平均数,进而估计出2001年水果的总产量,(2)通过计算,比较哪种销售方式所获收入多,(3)根据2001,2002,2003年纯收入的和为57000元,列方程求解.解(1)10100101)812111098131298(101_=⨯=+++++++++=x (千克) ∴2001年水果总产量为2000×90%×10=18000(千克)(2)在果园出售时收入为1.1×18000=19800元送到市场销售收入为23400元,用人工费为3600元,实际收入19800元,因市场销售还有运输费等费用,故在果园出售合理.(3)设平均每年的增长率为x,根据题意可列方程:(19800-7800)[1+(1+x)+(1+x)2]=57000解得:x 1=-3.5(不合题意,应舍去)x 2=0.5=50%答(1)2001年的水果总产量为18000千克.(2)在果园销售合算.(3)年平均增长率为50%.作业设计一、选择题1．2005年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、•三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x ，依题意列出的方程是（ ）．A ．100（1+x ）2=250B ．100（1+x ）+100（1+x ）2=250C ．100（1-x ）2=250D ．100（1+x ）22．一台电视机成本价为a 元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，•所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为（ ）．A ．（1+25%）（1+70%）a 元B ．70%（1+25%）a 元C ．（1+25%）（1-70%）a 元D ．（1+25%+70%）a 元3．某商场的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，•售价的折扣（即降低的百分数）不得超过d%，则d 可用p 表示为（ ）．A ．100p p +B ．pC ．1001000p p -D ．100100p p+ 5.市政府为迎接2008年奥运会,决定改善城市面貌,绿化环境,计划经过两年时间,绿地面积增加44%,则这两年平均每年绿地面积的增长率是A.19%B.20%C.21%D.25%1.某超市一月份的营业额为200万元,一,二,三月份的营业额为1000万元,设平均每月的营业额为增长率为x,则由题意列方程为A.200+200×2x=1000B.200(1+x)2=1000C.200+200×3x=1000D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000二、填空题1．某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x ，第一年的产量为6万kg ，•第二年的产量为_______kg ，第三年的产量为_______，三年总产量为_______．2．某糖厂2002年食糖产量为at ，如果在以后两年平均增长的百分率为x ，•那么预计2004年的产量将是________．3．•我国政府为了解决老百姓看病难的问题，•决定下调药品价格，•某种药品在1999年涨价30%•后，•2001•年降价70%•至a•元，•则这种药品在1999•年涨价前价格是__________．三、综合提高题1．为了响应国家“退耕还林”，改变我省水土流失的严重现状，2000年我省某地退耕还林1600亩，计划到2002年一年退耕还林1936亩，问这两年平均每年退耕还林的平均增长率2．红拖拉机厂一月份生产甲、乙两种新型拖拉机，其中乙型16台，•从二月份起，甲型每月增产10台，乙型每月按相同的增长率逐年递增，又知二月份甲、乙两型的产量之比是3：2，三月份甲、乙两型产量之和为65台，•求乙型拖拉机每月的增长率及甲型拖拉机一月份的产量．3．某商场于第一年初投入50万元进行商品经营，•以后每年年终将当年获得的利润与当年年初投入的资金相加所得的总资金，作为下一年年初投入的资金继续进行经营．（1）如果第一年的年获利率为p ，那么第一年年终的总资金是多少万元?（•用代数式来表示）（注：年获利率=年利润年初投入资金×100%） （2）如果第二年的年获利率多10个百分点（即第二年的年获利率是第一年的年获利率与10%的和），第二年年终的总资金为66万元，求第一年的年获利率．9.某网络公司2000年各项经营收入中,经营电脑配件收入600万元,占全部经营总收入的40%,该公司预计2002年经营总收入达到2160万元,且计划从2000到2002年每年经营总收入的年增长率相同,问2001年的预计经营总收入为多少万元?问题1：某工程队在我市承包了一项拆迁工程，原计划每天拆迁1250m 2,因为准备工作不足，第一天少拆了20%。
人教版九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程--增长率问题专题练习(Word版,含答案)
人教版九年级上册数学21.3 实际问题与一元二次方程--增长率问题专题练习一、单选题1．2021年9月份，全国新冠疫苗当月接种量约为1.4亿剂次，11月份新冠疫苗当月接种量达到2.3亿剂次，若设平均每月的增长率为x ，则下列方程中符合题意的是（ ）A ．1.4x 2 =2.3B ．1.4（1+x 2）=2.3C ．1.4（1+x ）2 =2.3D ．1.4（1+2x ）=2.3 2．某中学连续三年开展植树活动．已知2020年植树500棵，2022年植树720棵，假设该校这两年植树棵树的年平均增长率为x ，根据题意可以列方程为( ) A ．()25001720x +=B ．()25001%720x +=C ．()50012720x +=D ．()()250050015001720x x ++++= 3．某厂一月份的总产量为500吨，三月份的总产量达到为720吨．若平均每月增率是x ，则可以列方程 （ ）A ．500(12)720x +=B ．2500(1)720x +=C ．2720(1)500x +=D ．2500(1)720x +=4．新冠疫情给各地经济带来很大影响． 为了尽快恢复经济，某企业加大生产力度，四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个． 若该企业五、六月份平均每月的增长率为x ，则下列方程中正确的是（ ）A ．()2501182x +=B ．()()505015012182x x ++++=C ．()25012182x +=D ． ()()250501501182x x ++++= 5．2022年受国际原油大涨影响，国内95#汽油从一月份7.85元/升上涨到三月份9元/升，如果平均每月汽油的增长率相同，设这个增长率为x ，则可列方程得（ ）． A ．7.85(12)9x ⨯+= B ．27.85(1)9x ⨯+=C ．()27.8519x ⨯+=D ．7.85(1)9x ⨯+=6．疫情期间，某快递公司推出无接触配送服务，4月份第1周接到1.5万件订单，前3周共接到4.8万件订单，设第1周到第3周订单的周平均增长率为x ，则可列方程为（ ）A ．1.5(12) 4.8x +=B ．1.52(1) 4.8x ⨯+=C ．21.5(1) 4.8x +=D ．21.5 1.5(1) 1.5(1) 4.8x x ++++= 7．科学研究表明，接种新冠疫苗是阻断新冠病毒传播的最有效途径.2021年我国居民接种疫苗迎来高峰期，据统计2021年4月份全国新冠疫苗当月接种量约为1.4亿剂次，6月份新冠疫苗当月接种量达到5.6亿剂次，若设平均每月的增长率为x ，则下列方程正确的是（ ）A ．21.4 5.6x =B ．()21.41 5.6x +=C ．()21.41 5.6x +=D ．()1.412 5.6x += 8．疫情形势下，我国坚持“动态清零”的防控措施，使很多地区疫情蔓延形势得以有效控制，并逐步恢复生产．某商店今年1月份的销售额仅2万元，3月份的销售额已达到4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是（ ） A ．50%B ．62.5%C ．20%D ．25% 二、填空题9．某海洋养殖场每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖场第一年的可变成本为2.6万元，第三年的养殖成本为7.146万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x ，则可列方程为_____． 10．某商场销售额4月份为25万元，6月份为36万元，该商场5、6两个月销售额的平均增长率是 _____%．11．新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱．2020年某款新能源汽车销售量为15万辆，销售量逐年增加，2022年预估当年销售量为21.6万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率是多少？可设年平均增长率为x ，根据题意可列方程_______． 12．受益于电子商务的发展以及法治环境的改善等多重因素，“快递业”成为我国经济的一匹“黑马”．2018年我国快递业务量为500亿件，2020年快递量预计将达到740亿件，若设快递量平均每年增长率为x ，则所列方程为_________．13．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由225元降至144元，则平均每次降价的百分率为______________．14．某学区房房价连续两次上涨，由原来的每平方米10000元涨至每平方米12100元，设每次涨价的百分率相同，则涨价的百分率为______．15．某种型号的电脑，原售价7200元/台，经连续两次降价后，现售价为4608元/台，则平均每次降价的百分率为________．16．汽车产业的发展有效促进我国现代化建设，某汽车销售公司2009年盈利1500万元，到2011年盈利2160万元，且从2009年到2011年，每年盈利的年增产率相同．若该公司的盈利年增产率继续保持不变，预计2012年盈利________万元？三、解答题17．某学校去年年底的绿化面积为2500平方米，预计到明年年底增加到3600平方米，若这两年的平均增长率相同，求这两年的平均增长率．18．疫情期间居民为了减少外出，更愿意选择线上购物，某购物平台今年二月份注册用户50万人，四月份达到了72万人，假设二月份至四月份的月平均增长率为x．(1)求x的值．(2)若保持这个增长率不变，五月份注册用户能否达到85万人？为什么？19．某口罩生产厂生产的口罩7月份平均日产量为30000个，7月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，厂决定从8月份起扩大产量，9月份平均日产量达到36300个．(1)求口罩日产量的月平均增长率；(2)按照这个增长率，预计10月份平均日产量为多少？20．为进一步提高某届学生的阅读量，学校积极开展课外阅读活动，目标将该届学生人均阅读量从刚上七年级的80万字增加到八年级结束时的115.2万字．(1)求该届学生人均阅读量这两年中每年的平均增长率；(2)若按这两年中每年的平均增长率增长，学校能否实现九年级结束时该届学生人均阅读量达到140万字的目标，请计算说明．参考答案：1．C2．A3．D4．D5．B6．D7．B8．A9．2+=-2.6(1)7.1464x10．2011．15（1+x）2=21.6或15（x+1）2=21.612．2x+=500(1)74013．20%14．10%15．20%16．259217．20%18．(1)20%(2)五月份注册用户能达到85万人19．(1)口罩日产量的月平均增长率为10%(2)39930个20．(1)20%(2)学校的目标不能实现。
实际问题与一元二次方程增长率问题
小结与反思
1.平均增长（降低）率公式
a(1 x) b
2
2.我们学了几种类型题？
3.注意： （1）1与x的位置不要调换 （2）解这类问题列出的方程一般 用 直接开平方法
质点运动问题
有关“动点”的运动问题”
1)关键—— 以静代动 把动的点进行转换,变为线段的长度, 2)方法—— 时间变路程
Ｅ Ａ
Ｄ
Ｃ F
Ｂ
B
Q
C P A
2 在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P 从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B移 动,点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边 向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出发， 几秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2？
解：设x秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2
1 根据题意，得 2 x (6 x) 8 2 2
A R P
解这个方程得：x1 x2 4 答：当AP 4cm时，四边形面积为16cm 2=BC=12cm，点D从点A开 始以2cm/s的速度沿AB边向点B Ｆ 移动,过点D做DE平行于 BC,DF 平行于AC,点E.F分别在AC,BC 上,问：点D出发几秒后四边形 DFCE的面积为20cm2？
求“动点的运动时间”可以转化为求“动点 的运动路程”，也是求线段的长度; 3）常找的数量关系——面积，勾股定理等；
由此,学会把动点的问题转化为静点的问题, 是解这类问题的关键.
1： 在△ABC中, AC=50cm, CB=40cm, ∠C=90°,点P从点A开始沿AC边向点C 以2cm/s的速度移动, 同时另一点Q由C 点以3cm/s的速度沿着CB边移动,几秒钟 后, PCQ的面积等于450cm2?
实际问题与一元二 次方程
人教版数学九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程 分类练习 增长率问题 (word版无答案)
实际问题与一元二次方程增长率问题一、选择题1.某种植基地2021年蔬菜产量为80吨，预计2023年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为( )A．80(1+x)2=100B．100(1−x)2=80C．80(1+2x)=100D．80(1+x2)=1002.共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一季度投放1万辆单车，计划第三季度投放单车的数量比第一季度多4400辆，设该公司第二、三季度投放单车数量的平均增长率均为x，则所列方程正确的是( )A．(1+x)2=4400B．(1+x)2=1.44C．10000(1+x)2=4400D．10000(1+2x)=144003.某种品牌手机经过二、三月份两次降价，每部售价由1000元降到810元，则平均每月降价的百分率为( )A．20%B．11%C．10%D．9.5%二、填空题4.某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为．5.某厂今年3月的产值为50万元，5月上升到72万元，若设这两个月平均每月增长的百分率为x，则可得方程．6.2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动．据了解，某展览中心3月份的参观人数为10万人，5月份的参观人数增加到12.1万人．设参观人数的月平均增长率为x，则可列方程为．7.某工厂去年10月份机器产量为500台，12月份的机器产量达到720台，设11，12月份平均每月机器产量增长的百分率为x，则根据题意可列方程．三、解答题8.振华贸易公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生成本是324万元．假设该公司2，3，4月每个月生产成本的下降率都相同．(1) 求每个月生产成本的下降率；(2) 请你预测4月份该公司的生产成本是多少．9.习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读的号召，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．(1) 求进馆人次的月平均增长率；(2) 因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次？并说明理由．10.2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．据统计，该店2021年10月的销量为3万件，2021年12月的销量为3.63万件．(1) 求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；(2) 假设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率保持不变，则2022年1月“冰墩墩”的销量有没有超过4万件？请利用计算说明．11.某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．(1) 若该商品售价连续两次下调相同的百分率后降至每件32.4元，求每次下降的百分率；(2) 经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获利510元的利润且尽快减少库存，每样应降价多少元？12.“一路一带”倡议6岁了！到目前为止，中国已与126个国家和29个国际组织签署174份合作文件，共建“一路一带”国家已由亚欧延伸至非洲、拉美、南太等区域．截止2019年一季度末，人民币海外基金业务规模约3000亿元，其投资范围覆盖交通运输、电力能源、金融业和制造业等重要行业，投资行业统计图如图所示．(1) 求投资制造业的基金约为多少亿元？(2) 按照规划，中国将继续对“一路一带”基金增加投入，到2019年三季度末，共增加投入630亿元，假设平均每季度的增长率相等，求平均每季度的增长率是多少？13.去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．(1) 求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；(2) 去年，该商店7月份的营业额为350万元，8，9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等，求该商店去年8，9月份营业额的月增长率．14.某工厂在第一季度的生产中，一月份的产值是250万元，二、三月份产值的月增长率相同．已知第一季度的总产值是843.6万元，求二、三月份的月增长率．15.现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递总件数的月平均增长率相同．(1) 求该快递公司投递总件数的月平均增长率；(2) 如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递业务员能否完成今年六月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？。
九年级数学： 21.3实际问题与一元二次方程-平均增长率问题练习
21.3 实际问题与一元二次方程平均增长率问题一、列一元二次方程解应用题的一般步骤：与列一元一次方程解应用题的步骤类似，列一元二次方程方程解实际问题的一般步骤也可归纳为：“审、找、设、列、解、验、答”七个步骤。
（1）设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；（2）找：找出等量关系；（3）列：列出一元二次方程；（4）解：求出所列方程的解；（5）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意；（6）答：作答。
二、典型题型平均增长率问题增长率问题经常用公式，a 为基数， b 为增长或下降后的数，x 为平均增长率或降低率，“n ”表示 n 次增长或下降。
例题1、某中学连续三年开展植树活动．已知第一年植树500棵，第三年植树720棵，假设该校这两年植树棵数的年平均増长率相同．（1）求这两年该校植树棵数的年平均增长率；（2）按照（1）的年平均增长率，预计该校第四年植树多少棵？【分析】（1）设这两年该校植树棵数的年平均增长率为x ，根据第一年及第三年的植树棵数，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据第四年植树的棵数=第三年植树的棵数×（1+增长率），即可求出结论．【解答】解：（1）设这两年该校植树棵数的年平均增长率为x ，根据题意得：500（1+x ）2=720，解得：x 1=0.2=20%，x 2=﹣2.2（不合题意，舍去）．答：这两年该校植树棵数的年平均增长率为20%．（2）720×（1+20%）=864（棵）．答：该校第四年植树864棵．(1)n a x b +=【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．例题2、某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．【解答】解：（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据题意得：400（1﹣x）2=361，解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）．答：每个月生产成本的下降率为5%．（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元）．答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．例题3、某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1600万元．（1）从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？（2）在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天奖励5元，按租房400天计算，求2017年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励．【分析】（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据2015年及2017年该地投入异地安置资金，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设2017年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据投入的总资金=前1000户奖励的资金+超出1000户奖励的资金结合该地投入的奖励资金不低于500万元，即可得出关于a 的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．【解答】解：（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意得：1280（1+x）2=1280+1600，解得：x1=0.5=50%，x2=﹣2.5（舍去）．答：从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%．（2）设2017年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意得：8×1000×400+5×400（a﹣1000）≥5000000，解得：a≥1900．答：2017年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，列出关于a的一元一次不等式．三、综合练习一．选择题（共15小题）1．某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（）A．2%B．4.4%C．20%D．44%2．我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（）A．8%B．9%C．10%D．11%3．某县为解决大班额问题，对学校进行扩建，计划用三年时间对全县学校进行扩建和改造，2016年县政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计2018年投资7.2亿元人民币，那么每年投资的增长率为（）A．20%、﹣220%B．40%C．﹣220%D．20%4．近年来某市不断加大对城市绿化的经济收入，使全市绿地面积不断增加，从2015年底到2017年底的城市绿化面积变化如图所示，则这两年绿地面积的年平均增长率是（）A．10%B．15%C．20%D．25%5．某商场3月份的销售额为160 万元，5月份为250万元，则该商场这两个月销售额的平均增长率为（）A．20%B．25%C．30%D．35%6．某种药品经过两次降价后，价格下降了19%，则该药品平均每次降价的百分比为（）A．10%B．15%C．20%D．25%7．某工厂一月份生产零件100万个，若二、三月份平均每月的增长率为20%，则该工厂第一季度共生产零件（）A．300万个B．320万个C．340万个D．364万个8．某种童鞋原价为100元，由于店面转让要清仓，经过连续两次降价处理，现以64元销售，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（）A．19%B．20%C．21%D．22%9．某文具10月份销售铅笔100支，11、12两个月销售量连续增长，若月平均增长率为x，则该文具店12月份销售铅笔的支数是（）A．100（1+x）B．100（1+x）2C．100（1+x2）D．100（1+2x）10．2017年海南房价不断攀升，某楼盘年初的均价是1万/m2，经过两次调价后，年底均价为1.69万/m2，则平均每次提价的百分率是（）A．10%B．20%C．30%D．40%11．为保护森林，中华铅笔厂准备生产一种新型环保铅笔．随着技术的成熟，由刚开始每月生产625万支新型铅笔，经两次技术革新后，上升至每月生产900万支新型铅笔，则每次技术革新的平均增长率是（）A．22%B．20%C．15%D．10%12．某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到l210辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为（）A．12.1%B．20%C．21%D．10%13．某城市2014年底已有绿化面积500公顷，经过努力，绿化面积以相同的增长率逐年增加，到2016年底增加到605公顷．若按照这样的绿化速度，则该市2017年底绿化面积能达到（）A．657.5公顷B．665.5公顷C．673.5公顷D．681.5公顷14．某种衬衫的价格经过连续两次的降价后，由每件150元降到96元，则平均每次降价的百分率是（）A．10%B．15%C．20%D．30%15．临工集团某机械制造厂制造某种产品，原来每件产品的成本是20000元，由于提高生产技术，所以连续两次降低成本，两次降低后的成本是16200元．则平均每次降低成本的百分率是（）A．8%B．9%C．8.1%D．10%二．解答题（共7小题）16．“在线教育”指的是通过应用信息科技和互联网技术进行内容传播和快速学习的方法．”互联网+”时代，中国的在线教育得到迅猛发展．根据中国产业信息网数据统计分析，2015年中国在线教育市场产值约为1600亿元，2017年中国在线教育市场产值在2015年的基础上增加了900亿元．（1）求2015年到2017年中国在线教育市场产值的年平均增长率；（2）若增长率保持不变，预计2018年中国在线教育市场产值约为多少亿元？17．2017年5月14日﹣﹣﹣5月15日．“一带一路”国际合作高峰论坛在北京成功举办，高峰论坛期间及前夕，各国政府、地方、企业等达成一系列合作共识、重要举措及务实成果．中方对其中具有代表性的一些成果进行了梳理和汇总，形成高峰论坛成果清单．清单主要涵盖政策沟通、设施联通、贸易畅通、资金融通、民心相通5大类，共76大项、270多项具体成果．我市新能源产业受这一利好因素，某企业的利润逐月提高．据统计，2017年第一季度的利润为2000万元，第三季度的利润为2880万元．（1）求该企业从第一季度到第三季度利润的平均增长率；（2）若第四季度保持前两季度利润的平均增长率不变，该企业2017年的年利润总和能否突破1亿元？18．李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2400元，4月份的盈利达到3456元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同．（1）求每月盈利的平均增长率；（2）按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到多少元？19．某初级中学对毕业班学生三年来参加市级以上各项活动获奖情况进行统计，七年级时有48人次获奖，之后逐年增加，到九年级毕业时累计共有183人次获奖，求这两年中获奖人次的平均年增长率．20．淮北市某中学七年级一位同学不幸得了重病，牵动了全校师生的心，该校开展了“献爱心”捐款活动．第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元．（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；（2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该校能收到多少捐款？21．随着阿里巴巴、淘宝网、京东、小米等互联网巨头的崛起，催生了快递行业的高速发展．据调查，杭州市某家小型快递公司，今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年4月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？22．某楼盘2018年2月份准备以每平方米7500元的均价对外销售，由于国家有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格连续两个月进行下调，4 月份下调到每平方米6075元的均价开盘销售．（1）求3、4两月平均每月下调的百分率；（2）小颖家现在准备以每平方米6075元的开盘均价，购买一套100平方米的房子，因为她家一次性付清购房款，开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元，小颖家选择哪种方案更优惠？（3）如果房价继续回落，按此平均下调的百分率，请你预测到6月份该楼盘商品房成交均价是否会跌破4800元/平方米，请说明理由．参考答案一．选择题（共15小题）1．C．2．C．3．D．4．A．5．B．6．A．7．D．8．B．9．B．10．C．11．B．12．D．13．B．14．C．15．D．二．解答题（共7小题）16．解：（1）设2015年到2017年中国在线教育市场产值的年平均增长率为x，根据题意得：1600（1+x）2=1600+900，解得：x1=0.25=25%，x2=﹣2.25（舍去）．答：2015年到2017年中国在线教育市场产值的年平均增长率为25%．（2）（1600+900）×（1+25%）=3125（亿元）．答：预计2018年中国在线教育市场产值约为3125亿元．17．解：（1）设该企业从第一季度到第三季度利润的平均增长率为x，根据题意得：2000（1+x）2=2880，解得：x=0.2=20%或x=﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该企业从第一季度到第三季度利润的平均增长率为20%．（2）2000+2000×（1+20%）+2880+2880×（1+20%）=10736（万元），10736万元＞1亿元．答：该企业2017年的年利润总和突破1亿元．18．解：（1）设该商店的每月盈利的平均增长率为x，根据题意得：2400（1+x）2=3456，解得：x1=20%，x2=﹣2.2（舍去）．（2）由（1）知，该商店的每月盈利的平均增长率为20%，则5月份盈利为：3456×（1+20%）=4147.2（元）．答：（1）该商店的每月盈利的平均增长率为20%．（2）5月份盈利为4147.2元．19．解：设这两年中获奖人次的平均年增长率为x，根据题意得：48+48（1+x）+48（1+x）2=183，解得：x1==25%，x2=﹣（不符合题意，舍去）．答：这两年中获奖人次的年平均年增长率为25%．20．解：（1）捐款增长率为x，根据题意得：10000（1+x）2=12100，解得：x1=0.1，x2=﹣2.1（舍去）．则x=0.1=10%．答：捐款的增长率为10%．21．（1）解：设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，由题意，得10×（1+x）2=12.1，解得：x1=10%，x2=﹣210%．答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为10%．（2）4月：12.1×1.1=13.31（万件）21×0.6=12.6＜13.31，∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年4月份的快递投递任务．∵22＜＜23，∴至少还需增加2名业务员．22．解：（1）设3、4两月平均每月下调的百分率为x，由题意得：7500（1﹣x）2=6075，解得：x1=0.1=10%，x2=1.9（舍），答：3、4两月平均每月下调的百分率是10%；（2）方案一：6075×100×0.98=595350（元），方案二：6075×100﹣100×1.5×24=603900（元），∵595350＜603900，∴方案一更优惠，小颖选择方案一：打9.8折购买；（3）不会跌破4800元/平方米因为由（1）知：平均每月下调的百分率是10%，所以：6075（1﹣10%）2=4920.75（元/平方米），∵4920.75＞4800，∴6月份该楼盘商品房成交均价不会跌破4800元/平方米．。
一元二次方程与实际问题题型归纳
一元二次方程与实际问题题型归纳在我们的数学学习中，一元二次方程是一个非常重要的知识点，它不仅在理论上有着重要的地位，而且在解决实际问题中也有着广泛的应用。
接下来，让我们一起来归纳一下一元二次方程在实际问题中的常见题型。
一、增长率问题增长率问题是一元二次方程在实际生活中常见的应用之一。
例如，某公司去年的利润为 100 万元，今年的利润比去年增长了 20%，明年预计在今年的基础上再增长 10%，求明年的利润。
设明年的利润为 x 万元，今年的利润为 100×（1 ＋ 20%）＝ 120 万元，明年的利润为 120×（1 ＋ 10%）＝ x 万元，整理可得方程：＼＼begin{align}120×（1 ＋ 10%）＆＝x\＼120×11&＝x\＼132&＝x＼end{align}＼在这类问题中，通常设原来的量为 a，平均增长率为 x，增长后的量为 b，经过 n 次增长后的公式为：＼（b ＝ a(1 ＋ x)＾n\）；若为平均降低率，则公式为：＼（b ＝ a(1 x)＾n\）。
二、面积问题面积问题也是常见的题型之一。
比如，要在一块长方形的土地上建造一个花园，已知长方形的长比宽多 10 米，面积为 2400 平方米，求长方形的长和宽。
设长方形的宽为 x 米，则长为(x ＋ 10)米，根据长方形面积公式可得方程：＼＼begin{align}x(x ＋ 10)＆＝2400\＼x^2 ＋ 10x 2400&＝0\＼（x 40)（x ＋ 60)＆＝0＼end{align}＼解得＼（x ＝ 40\）或＼（x ＝－60\）（舍去），所以长方形的宽为 40 米，长为 50 米。
解决面积问题时，关键是要根据图形的形状和面积公式，找出等量关系，列出方程。
三、销售利润问题销售利润问题常常涉及到商品的进价、售价、销售量和利润等因素。
例如，某商品的进价为每件 20 元，售价为每件 30 元，每天可卖出 100 件。
中考数学实际问题与一元二次方程的几种题型(传播问题,销售问题和增长率)
一元二次方程应用题（增长率）（1）一、知识回顾：1、列方程解应用题有哪几步？关键是什么？2、某工厂一月份生产零件1000个，二月份生产零件1200个，那么二月份比一月份增产个？ 增长率是。
二、例题精讲：例： 某钢铁厂去年1月某种钢的产量为5000吨,3月上升到7200吨,这两个月平均每月增长的百分率是多少?经检验： 答：[总结]：如果某个量原来的值是a,每次增长的百分率是x,则增长1次后的值是a(1+x),增长2次后的值是a(1+x)2,……增长n 次后的值是a(1+x)n ,这就是重要的增长率公式.同样,若原来的量的值是a,每次降低的百分率是x,则n 次降低后的值是a(1-x)n ,这就是降低率公式.三、 巩固练习：1、某农场的粮食产量在两年内从3000吨增加到3630吨,平均每年增产的百分率是多少?2、制造一种产品，原来每件的成本是300元，经过两次降低成本，现在的成本是147元.平均每次降低成本百分之几?检测题1、某商场销售商品的收入款，3月份为25万元，5月份为36万元，该商场这两个月销售商品收入款的平均每月增长率是多少？2、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。
某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率。
3、某地区开展“科技下乡”活动三年来，接受科技培训的人员累计达95万人次，其中第一年培训了20万人次。
求每年接受科技培训的人次的平均增长率。
实际问题与一元二次方程（探究案）（传播问题）（2）1、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？（分析：1、设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了_______人，第一轮后共有______人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了_______人，第二轮后共有_______人患了流感。
解：【合作探究】问题1、某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌？【题型练习】2、某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支？问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。
21.3.2 实际问题与一元二次方程(二)平均增长率问题
21.3.2 实际问题与一元二次方程（二）平均增长率问题【自主导学】某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x ，第一年的产量为m 千克，第二年的产量为 千克，第三年的产量为 千克，三年总产量为 千克．注意：增长率公式：a(±x)n =b ，其中a 为基础量，n 为增长（或降低）的次数．x 为增长（或降低）的百分数．b 为a 增长（或降低）n 次的结果．【易错点睛】某区今年1月份工业生产值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，问2月、3月平均每月的增长率是多少？设平均每月增长的百分率为x ，根据题意得方程为 .A 夯实基础知识点一 增长率问题1.某文具店三月份销售铅笔100支，四、五两个月销售量连续增长，若月平均增长率为x ，则该文具店五月份销售铅笔的支数是（ ）A ．100(1)x +B ．2100(1)x +C ．2100(1)x +D ．100(12)x +2. （2016随州）随州市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万20万人次，2016年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x ，则下列方程中正确的是（ ）A ．20(12)28.8x +=B ．228.8(1)20x +=C ．220(1)28.8x +=D ．22020(1)20(1)28.8x x ++++=3. （2016十堰）某种药品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是 .4. （2016巴中）随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每次降价的百分率。
知识点二 销售利润问题5．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利碱少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x 株，则可以列出的方程是( )A. (3+x )(4-0.5x)=15B.(x +3) (4+0. 5x ) =15C. (x +4)(3-0.5x )=15D.(x +l) (4-0. 5x )=156．某服装店进价为30元的内衣，以50元售出，平均每月能售出300件，经试销发现每件内衣每涨价10元，其月销售量就减少10件，为实现每月利润8700元，设定价为x 元，则可得方程( )A. 300(x -30)=8700B. x (x -50)=8700C. (x -30)[300-(x -50)]=8700D. (x -30)(300-x )=8700B 综合运用7．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，求平均每次降价的百分率。
22.3实际问题与一元二次方程(增长率问题)
a(1 x) b
2
练习:
雪融超市今年的营业额为280万元，计划后 年的营业额为403.2万元，求平均每年增长 的百分率？
练习卷第15题
设平均每年增长的百分率为x，依题意得：
280(1+x)2=403.2
探究:
政府要降低药品价格,某针剂单价由100元经过
两次降价,降至64元,设平均每次下降的百分率
问题:
某校去年对实验器材的投资为2万元, (1)若设该校今年在实验器材投资上的平均增长 率是x,则今年的投资总额是 2+2x 即=2(1+x) ； (2)该校明年在实验器材投资上的平均增长率也 是x,则明年的投资总额是 2(1+x)+2(1+x)x ， =2(1+x)(1+x)=2(1+x)2 即 ； 复习:1、因式分解：
(1)2+2x
(2)2(1+x)+2(1+x)x
2、解方程:
2 （1） 100(1 x) 64
复习:
3、2万元增长10%是 2+2×10%=2+0.2=2.2万元 。
4、列一元二次方程解应用题的步骤？
①审题， ②设未知数，
③找等量关系， ④列方程，
⑤解方程， ⑥检验，⑦写答.
3000(1+x)+ 2 3000(1+x) 3000(1+x)x
解:设这两个月的平均增长率为x,依题意有
3000(1+x)2=3630
归纳:
1、增长率问题：设基数为a，平均增长
率为x，则一次增长后的值为 a(1 x) ，
二次增长后的值为
a(1 x) ．
一元二次方程-增长率
实际问题与一元二次方程增长率问题平均增长（降低）率问题：1.增长率问题a(1+x)2=b，其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量.2.降低率问题a(1-x)2=b，其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.平均变化率问题1．某化肥厂第一季度生产化肥50万吨，第二、第三季度平均增产的百分率是x，则二、三季度的总产量为（）万吨A．50（1+x）2B．[50+50（1+x）]C．[50（1+x）2+50（1+x）]D．[50+50（1+x）+50（1+x）2] 2．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件9元，设该商品平均每次降价的百分率为x（x＞0），则（）A．9（1﹣x）2＝25 B．25（1﹣x）2＝9 C．9（1+x）2＝25 D．25（1+x）2＝9 3．2022年2月4日至20日，第24届冬奥会在北京和张家口举办，这是中国历史上第一次举办冬奥会，吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱．某厂家1月份生产10万个“冰墩墩”，1月底因市场对“冰墩墩“需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份开始扩大产量，3月份产量达到12.1万个．已知2月份和3月份产量的月平均增长率相同．（1）求“冰墩墩”产量的月平均增长率；（2）按照（1）中的月平均增长率，预计4月份的产量为多少个？4、随着国内新冠疫情逐步得到控制，人们的口罩储备逐渐充足，市场的口罩需求量在逐渐减少，某口罩厂六月份的口罩产量为100万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到81万只，则该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为．5、某养殖场为了响应党中央的扶贫政策，今年起采用“场内+农户”养殖模式，同时加强对蛋鸡的科学管理，蛋鸡的产蛋率不断提高，三月份和五月份的产蛋量分别是2.5万kg与3.6万kg，现假定该养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率相同．（1）求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率；（2）假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去，且每个销售点每月平均销售量最多为0.32万kg．如果要完成六月份的鸡蛋销售任务，那么该养殖场在五月份已有的销售点的基础上至少再增加多少个销售点？。
九年级数学 实际问题与一元二次方程--增长率
720吨,平均每月增长率是x,列方程( B
)
A.500(1+2x)=720
B.500(1+x)2=720
C.500(1+x2)=720
D.720(1+x)2=500
2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年
的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投
资上的平均增长率是x,则可列方程
为
.
练习：塔城地区开展“科技下乡”活动三年
___2_0_0_0______年；
两年19绿98地199面9 积20的00 年20平01
（2）为满足城市发展的需要，计划 均增长率为10%．
到2003年底使城区绿地面积达到72.6
公顷，试求2002年,2003年两年绿地
面积的年平均增长率。
课堂作业
一、P26 10 二、P22 7（只列式，不计算）
2、注意： （1）1与x的位置不要调换 （2）解这类问题列出的方程一般
用 直接开平方法
1、青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200千克 ，2003年平均每公顷产8712千克，求水稻每公 顷产量的年平均增长率。
解：设水稻每公顷产量的平均增长率为x,
根据题意的， 7200 (1 x)2 8712
系数化为1得， (1 x)2 1.21
直接开平方得， 1 x 1.1;1 x 1.1 则答：x水1 稻 每0.公1顷产量x2 的 年2平.1(均不增合长题率意为舍1去 0%）。
2.某公司2009年的各项经营中，一月份的营业额为200万元
，一月、 二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营
业额的增长率相同，求这个增长率． 分析：设这个增长率为x;则 二月份营业额为：_____2_0_0_(1_+_x_)_______
人教版九年级上册数学教案：21.3实际问题与一元二次方程-增长率问题
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《实际问题与一元二次方程-增长率问题》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过价格每年上涨或人口每年增长的情况？”这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索增长率的奥秘。
其次，在新课讲授环节，我发现有些学生对一元二次方程的求解方法还不够熟练。针对这个问题，我考虑在接下来的课程中增加一些针对性练习，巩固学生对求解一元二次方程方法的掌握。同时，我也会强调在解决增长率问题时，要关注增长率可能为负数的情况，即减少率。
在实践活动环节，学生们分组讨论和实验操作的表现让我感到欣慰。但我注意到，有些小组在讨论过程中，成员之间的交流并不充分。为了提高学生的合作能力，我打算在之后的课程中加强对小组讨论的引导，鼓励学生们多发表自己的观点，学会倾听他人的意见。
-难点二：在将实际问题转化为方程时，学生可能会对如何选择变量、如何列出等式感到困难。例如，在人口增长问题中，学生需要明确人口增长的初始值、增长率以及增长后的值之间的关系。
-难点三：求解一元二次方程时，学生需要根据方程的特点选择合适的解法，如对于ax^2+bx+c=0，何时使用因式分解，何时使用配方法或公式法。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“增长率在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
21.3.2实际问题与一元二次方程------增长率问题(优秀经典公开课比赛课件)
总结反思： （1）为计算简便、直接求得，可以直接设增长的百
分率为． （2）认真审题，弄清基数，增长了，增长到、总共
季度总和 等词语的关系． （3）用直接开平方法做简单，不要将括号打开．
元，则原价是（ ）
A．
m 1.2 2
元
B．1.2 m 元
C．
m 0.82
元
D．0.82 m 元
3.一工厂计划 2007 年的成本比 2005 年的成本降 低 15%，如果每一年比上一年降低的百分率为 x， 那么求平均每一年比上一年降低的百分率的方程是( )
A．(1-x)2=15% B．(1+x)2=1+15% B．C．(1-x)2=1+15% D．(1-x)2=1-15% 4.某林场第一年造林 200 亩，第一年到第三年共造 林 728 亩，若设每年增长率为 x，则应列出的方程 是________________________．
5.某市 2013 年比 2012 年增长了 8%，由于受到金融
危机的影响，预计 2014 年比 2013 年增长 7%，设
这两年年平均增长率为 x%，则所列方程为（ ）
A．8%+7%=x%
B ．（1+8%）（1+7%）=2(1+x%)
C． 8%+7%=2x% D．（1+8%）(1+7%)=(1+x%)2
2．（2010 兰州中考）上海世博会的某种纪念品
原价是 168 元，连续两次降价 x%后售价为 128 元．
下列所列方程中正确的是（ ）
A．168（1+x）2=128
B．168（1-x）2=128
C．128（1+ x%）2=168 D．128（1- x%）2=168
21.3.2实际问题与一元二次方程_增长率问题
随堂检测
解：（1）设平均每次下调的百分率为x，由题意，得 5(1－x)2=3.2，
21.3.2实际问题与一元二次方程（增长率）
情境导入
小明学习非常认真，学习成绩直线上升， 第一次月考数学成绩是80分，第二次月考增 长了10%，第三次月考又增长了10%，问他 第三次数学成绩是多少？
本节目标
1.掌握建立数学模型以解决增长率与降低 率问题 2.正确分析问题中的数量关系并建立一元 二次方程模型.
随堂检测
1.某厂今年一月份的总产量为500吨,三月份的总产量为720吨,
平均每月增长率是x,列方程( B )
A.500x)2=720
C.500(1+x2)=720
D.720(1+x)2=500
2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总
额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率
答：这个增长率为50%. 注意 增长率不可为负，但可以超过1.
本课小结
增长率问题
a(1+x)2=b,其中a为增长前 的量，x为增长率，2为增长 次数，b为增长后的量.
平均变化率问题
降低率问题
a(1-x)2=b,其中a为降低前的 量，x为降低率，2为降低次 数，b为降低后的量.注意1 与x位置不可调换.
是x,则可列方程为 2（1+x)+2(1+x)2=8
.
随堂检测
3.青山村种的水稻2013年平均每公顷产7200千克，2015 年平均每公顷产8712千克，求水稻每公顷产量的年平均 增长率.
实际问题与一元二次方程-增长率
实际问题与一元二次方程-增长率预习归纳1．某厂今年1月的总产量为500吨，三月的总产量为720吨，若平均每月增长率是x ，根据题意，可列方程_____________________．知识点一：下降率问题1．黄陂区近年来大力发展芦笋产业，某芦笋生产企业在两年内的销售额从20万元增加到80万元．设这两年的销售额的年平均增长率为x ，根据题意可列方程为（ ）A ．()201280x +=B ．()220180x ⨯+=C ．()220180x += D ．()220180x += 2．某种药厂原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是___________．3．2018年某新建小区一月份的新房均价为每平方米10000元，三月份此新房均价降为每平方米8100元，求二、三月份此新房均价的平均月下降率．知识点二：增长率问题4．某文具店三月份销售铅笔100支，四、五两个月的销售量连续增长．若月平均增长率为x ，则该文具店五月份销售铅笔的支数是（ ）A ． ()1001x +B ．()21001x +C ． ()21001x +D ．()10012x + 5．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，设该厂八、九月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（ ）A ．()2501196x +=B ． ()250501196x ++=C ．()()250501501196x x ++++=D ．()()505015012196x x ++++=6．某城市居民最低生活保障在2009年是240元，经过连续两年的增长，到2011年提高到345.6元，则该城市两年来最低生活保障的平均年增长率是_________．7．某县大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造，2016年县政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计2018年投资7.2亿元人民币，求每年投资的增长率．能力提升8．某市2017年生产总值（GDP ）比2016年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计2018年比2017年增长7%，若这两年GDP 的年平均增长率为x %，则x %满足的关系是（ ）A ．12%7%%x +=B ．()()()112%17%21%x ++=+C ．12%7%2%x +=⋅D ． ()()()2112%17%1%x ++=+ 9．2017年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，为落实十九大“加强保障性住房建设和管理，满足困难家庭基本需求”，市政府打算明后两年在2017年的基础上再投资7.5亿人民币建设廉租房，若这两年平均每年投资的增长率相同，求每年市政府投资的增长率．10．某地区2014年投入教育经费2900万元，2016年投入教育经费3509万元．（1）求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率；（2）按照义务教育法规定，教育经费的投入不低于国民生产总值的百分之四，结合该地区国民生产总值的增长情况，该地区到2018年需投入教育经费4250万元，如果按（1）中教育经费投入的增长率，到2018年该地区投入的教育经费是否能达到4250万元？请说明理由．1.1= 1.2 1.3= 1.4)=综合拓展1．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场每天可多售出2件，设每件商品降低x元据此规律，请回答：（1）商场日销售量增加件，每件商品盈利元（用含x的代数式表示）（2）在上述条件不变，销售正常的情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？。
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a (1 x) b
n
其中增长取+,降低取－
练习:
1.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产
量为720吨,平均每月增长率是x,列方程( B A.500(1+2x)=720 C.500(1+x2)=720 B.500(1+x)2=720 D.720(1+x)2=500 )
2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明 两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在 实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程
1+x+x(1+x)=121 解方程,得 10 -12 (不合题意,舍去) _____, 2 ______ . 1
x
x
10 答:平均一个人传染了________个人.
如果按照这样的传染速度, 三轮传染后有多少人患流感?
121+121×10 =1331人
你能快 速写出 吗?
列一元二次方程解应用题的步骤与 列一元一次方程解应用题的步骤类 似，即审、设、找、列、解、 答．这里要特别注意．在列一元二 次方程解应用题时，由于所得的根 一般有两个，所以要检验这两个根 是否符合实际问题的要求．
经过计算,你能得出什么结论?成本下降额 较大的药品,它的成本下降率一定也较大 吗 ?应怎样全面地比较对象的变化状况?
经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本 下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.
小结 类似地 这种增长率的问题在实际
生活普遍存在,有一定的模式
若平均增长(或降低)百分率为x,增长 (或降低)前的是a,增长(或降低)n次后 的量是b,则它们的数量关系可表示为
探究2
两年前生产 1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨 乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步, 现在生产 1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙 种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均 下降率较大? 分析:甲种药品成本的年平均下降额为 (5000-3000)÷2=1000(元) 乙种药品成本的年平均下降额为 (6000-3600)÷2=1200(元) 乙种药品成本的年平均下降额较大.但是,年平 均下降额(元)不等同于年平均下降率(百分数)
新的认识吗? 分 第二轮传染后 第一轮传染 1+x 1+x+x(1+x) 后 析 1 解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 开始有一人患了流感,第一轮的传染源就是这个人,他传 (x+1) 染了x个人,用代数式表示,第一轮后共有_____人患了流 感;第二轮传染中,这些人中的每个人又传染了x个人, 1+x+x(1+x) 用代数式表示,第二轮后共有____________人患了流感.
根据题意，得2000(1 x) 1000 (1 x) 1155 整理，得： 2
x，
3 3.2 ∴x 4 ∴ x1 0.05 5%
∵b 4ac 3 4 2 0.155 10.24 3.2
2 2
Hale Waihona Puke 2 x 3x 0.155 0
2
x2 1.55
解：设平均每月降价的百分数为 ， 又设两个月前的价格为 a 元，则现在的价格为 a(1 36%) 元， 2 根据题意，得 a(1 x ) a (1 36%) ∵ a 0 ，
x
∴(1 x )2 1 36% ∴1 x 0.8
∴ x1 0.2 x2 1.8
． 答：平均每月降价 20％ ．
为
.
3. 商店里某种商品在两个月里降价两次，现在该商品每件 的价格比两个月前下降了36％，问平均每月降价百分之几？ 4. 某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有256个细 菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌？
3. 商店里某种商品在两个月里降价两次，现在该商品每 件的价格比两个月前下降了36％，问平均每月降价百分 之几？
（舍）
答：这种存款方式的年利率为5％．
1、平均增长（降低）率公式
a(1 x) b
2
2、注意： （1）1与x的位置不要调换 （2）解这类问题列出的方程一般 用 直接开平方法
再
见
x2 1.8 不合题意舍去． ∴ x 0.2 20%
例1. 某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000 元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银 行，若银行存款的利率不变，到期后得本金和利息共1155元，求 这种存款方式的年利率． 解：设这种存款方式的年利率为
一元二次方程的应用(1)
复习回顾: 1.解一元二次方程有哪些方法？
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．
2.列一元一次方程解应用题的步骤？
①审题，②设出未知数. ③找等量关系 ④列方程， ⑤解方程， ⑥答.
有一人患了流感,经过两轮传染后 通过对这个问题的 共有121人患了流感,每轮传染中平均一 探究,你对类似的传播 个人传染了几个人? 问题中的数量关系有
解:设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后
甲种药品成本为5000(1-x)元,两年后甲种药品成本 为 5000(1-x)2 元,依题意得
5000(1x) 3000
2
解方程,得
x 0.225, x 1.775(不合题意, 舍去)
1 2
答:甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
算一算:乙种药品成本的年平均下降率是多少? 22.5% 比较:两种药品成本的年平均下降率 (相同)