数值计算方法数值积分共77页文档
数值积分方法
的值大.
二、Simpson公式
n=2时的求积公式
将 [a, b] 二 等分，等分节点 x0 = a ，x1 = (a +b)/2， x2 = b 作为积分节点，构造二次Lagrange插值多 项式 L2(x)：2 b
a
f ( x )dx Ak f ( xk ) A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 ) A2 f ( x2 )
f ( x ) 在节 a x0 x1
xn b
f ( x0 ), f ( x1 ),
, f ( xn )
作n次Lagrange插值多项式: Ln ( x )
l
k 0
n
k
( x ) f ( xk )
b a
f ( x )dx Ln ( x )dx
a
b
b a
f ( x )dx Ln ( x )dx
b]上的积分公式，这种方法称为复合求积法。
5.2.1 复化梯形积分 将[a, b]分成若干小区间，在每个区间[xi, xi+1]上用 梯形积分公式，再将这些小区间上的数值积分累加 起来，就得到区间[a, b]上的数值积分。这种方法称 为复化梯形积分。 ★ 计算公式
将[a, b] n等分, h = xi+1- xi= (b -a)/n, xi = a + ih, i = 0,1,2,…,n,
其中
4
M 4 max f
a xb
( 4)
( x)
本题
M 4 的求法： 1 sin x cos txdt f ( x) 0 x
1 1 0 0
1 M4 5
f ( x ) t sin txdt t cos( tx
数值分析课件第八章-数值积分
数值积分在金融学中用于计算金融工具的定价和风险管理。
计算机图形学
数值积分在计算机图形学中用于渲染算法，如光线跟踪和体积渲染。
数值积分的实际案例分析
我们将通过一些实际案例来展示数值积分的应用。从计算物体的表面积和体 积，到求解定积分的数值解，数值积分在各个领域都发挥着重要的作用。
数值积分的优缺点
数值分析课件第八章-数 值积分
欢迎来到数值分析课件第八章的演示！今天我们将学习数值积分，探讨其定 义、基本方法、误差分析、应用领域，以及优缺点。让我们一起深入了解这 个有趣而重要的主题吧！
数值积分的定义和概念
数值积分是一种计算数学中广泛应用的技术，通过离散化连续函数来估计曲线下的面积。它通过将曲线 划分为小矩形、小梯形或小区间，并计算其面积来实现。
数值积分的基本方法
1
矩形法
矩形法是最简单的数值积分方法之一，将曲线划分为多个小矩形，并计算每个小 矩形的面积后累加。
2
梯形法
梯形法将曲线划分为多个小梯形，并计算每个小梯形的面积后累加。它比矩形法 更精确，但仍然是一种近似方法。
3
辛普森法
辛普森法通过将曲线划分为多个小区间，并使用二次多项式拟合每个小区间的曲 线来计算积分。它比矩形法和梯形法更准确。
1 优点：快速准确
数值积分可以快速计算曲线下的面积，并提供较准确的结果。
2 缺点：近似误差
由于离散化和近似计算的原因，数值积分结果可能存在一定的误差。
总结和展望
通过本次课程，我们深入了解了数值积分的定义、基本方法、误差分析、应 用领域和优缺点。希望这些知识能够帮助您更好地理解和应用数值积分技术。
数值积分的误差分析
1 截断误差
数值积分的截断误差是由将连续函数离散化为小区间所引入的误差。它可以通过控制小 区间的大小来减小。
数值积分-计算方法
(k=0,1,…,n) 作代换x=a+th带入上式，变为： 其中：
(k=0,1,…,n) （1-1） 这个积分是有理多项式积分，它与被积函数f(x)和区间[a,b]无关。
只要确定n就能计算出系数
。 于是得到称为Newton—Cotes公式的求积公式： （1-2） 其中
称为Newton—Cotes系数。如表1所示。 表1 Newton—Cotes系数
§3.1计算n阶求积公式
若有m次代数精度，对(k=0,1,…)应有
而。
§3.2 Gauss求积公式的基本原理
更一般形式： （2-1） 为权函数，设>0，且在[a,b]上可积，构造n阶求积公式：
（2-2） 积分点使得（2-2）式达到2n+1次代数精度，则积分点称为Gauss 点，（2-2）式称为Gauss求积公式。
§2Newton—Cotes公式 §2.1Newton—Cotes公式的推导
当§1.1插值求积公式的插值节点为等距节点时，就得到Newton— Cotes公式。
将区间[a,b]n等分，，n+1个节点为 xk=a+kh (k=0,1,…,n)
在节点上对f(x)的Lagrange插值多项式是：
用Pn(x)代替f(x)构造求积公式： 记
y=(1-1/2*(sin(x)).^2).^(1/2); 在Matlab工作窗口中调用函数：
y2=gauss2('gaussf',0,pi/2) 运行结果为：
y2= 1.3508
第5章 结论
通过以上变成和计算，得到所求的两组积分：
应用Newton—Cotes积分公式所求的结果分别是 y1=1.5078，y2 = 1.3506，而应用Gauss-Legendre方法所求得的结果分别是y1=1.5705 和 y2= 1.3508。单从结果上看，我们也能看出，Newton—Cotes积分公式 和Gauss-Legendre积分公式在精度上的确存在着差异（两者n的取值不 同）。而结果上的差异来源很明显是插值积分在近似替代时产生的，结 合第1章理论依据的内容，Newton-Cotes积分公式的精度最高可达n+1 次，Gauss-Legendre积分公式的精度为2n+1次，由此可知，当n相同 时， Gauss -Legendre积分公式比Newton—Cotes积分公式具有更高的 代数精度。而就本题而言Gauss -Legendre积分公式具有5次代数精度， Newton—Cotes积分公式也具有5次代数精度。因此二者所求积分只存在 微小的差异，结果都比较准确。
数值积分方法求解积分方程
数值积分方法求解积分方程
数值积分方法是通过对被积函数进行离散化，将积分方程转化为求和问题，从而利用数值求和的方法进行求解。
常用的数值积分方法包括梯形法则(Trapezoidal rule)、中点法
则(Midpoint rule)、辛普森法则(Simpson's rule)等。
以梯形法则为例进行说明：
梯形法则是将积分区间分成若干个小区间，每个小区间都近似看做一个梯形，然后对所有梯形的面积进行求和。
具体步骤如下：
1. 将积分区间 [a,b] 平均分成 n 个子区间，每个子区间长度为
h=(b-a)/n。
2. 在每个子区间中，用梯形近似替代被积函数。
假设第 i 个子
区间为[xi, xi+1]，则梯形的面积为(f(xi)+f(xi+1))*(xi+1-xi)/2，其中 f(x) 是被积函数。
3. 对所有子区间的梯形面积进行求和，即 S = (h/2) * [f(a) +
2*f(x1) + 2*f(x2) + ... + 2*f(xn-1) + f(b)]。
通过上述步骤，就可以利用梯形法则对积分方程进行数值求解。
需要注意的是，选择合适的子区间个数 n 以及采用更高阶的数
值积分方法，可以提高求解的精度。
此外，对于某些特殊形式的积分方程，可能需要采用特定的数值积分方法进行求解。
数值积分
W(x) W(x 0) W(x 1) W(x2 ) W' (x 1) 0, x xi, i 0,1,2.
类似于上面对插值误差的讨论，在区间内至少有一点，使
(4)
W
整理上式，得到
0
(x x 0)(x x 1) 2 (x x 2) (4) f(x) G 3(x) f ( ), x 0 x 2. 4!
于是，由式(1.8)得到
(x x 0)(x x 1) 2 (x x 2) (4) E 2 [f(x) N 3(x)] dx f (ξ ) dx x0 x0 4!
x2 x2
因子(xx0)(xx1)2(xx2)在区间[x0,x2]内不会变号，故可以应用广 义中值定理，即在[x0,x2]内存在，使
(1.11)
所以，辛卜生公式的误差项为 1 5 (4) E2 h f ( ), x0 x2 90
(1.12)
Newton-Cotes公式的代数精度
定理： 由(n+1)个相异节点x0 、x1 、…x n构造的求积公式的代
数精度至少为n。
证明：记Ln(x)为x0,x1,x2...xn的Lagrange 插值多项式,即Ln ( x ) 因为 f ( x ) L ( x ) n
x
x3
0
3h P 3(x) (f 0 3 f 1 3 f 2 f 3) 8
(1.4)
当n=2时，为抛物线公式
b
a
ba ab f ( x)dx ( f (a) 4 f ( ) f (b)) 6 2
y
y=P2(x) y=f(x)
0
x0
x1
数值计算方法数值积分共77页文档
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
数值计算方法数值积分
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46、寓形宇内复几时，曷不委心任去 留。
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47、采菊东篱下，悠然见南山。
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48、啸傲东轩下，聊复得此生。
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49、勤学如春起之苗，不然，不蔽风日；短褐穿结 ，箪瓢 屡空， 晏如也 。
谢谢你的阅读
数值计算数值积分
数值计算数值积分
数值积分是求解定积分的一种数值方法，它通过将定积分区间分割为若干小区间，在每个小区间上选用一个代表点，然后通过求出每个小区间上的面积之和来逼近定积分的值。
常见数值积分方法
矩形法
矩形法是一种最基本的数值积分方法，它将定积分区间分割为若干个相等的小区间，然后在每个小区间的左端点、右端点或中点上求出函数的函数值，最后将这些函数值相加乘以区间长度，即为定积分逼近值。
梯形法
梯形法比矩形法在逼近定积分时更加精确，它将每一小块区间都近似看作平行四边形，通过求出每个小区间上的梯形面积之和来逼近定积分值。
辛普森法
辛普森法是一种更高精度的数值积分方法，它将定积分区间分割为若干个相等的小区间，在每个小区间的两端和中点处分别求出函数的函数值，然后按照一定的公式将这些函数值组合起来求解定积分近似值。
总结
数值积分方法在数学、工程学等领域应用广泛，本文介绍了数值积分的三种常见方法，分别是矩形法、梯形法和辛普森法。
实际应用中可以根据不同的场景选择使用不同的数值积分方法，以更加准确地达到目标求解效果。
数值积分简介
f ( xi , y j )} hk ci , j f ( xi , y j )
系数，在积分区域的四个角点为1/4，4个边界为1/2，内部节点为1
a
b
d
c
d f ( x, y )dy dx d b f ( x, y)dx dy f ( x, y)dydx c a a c
b
首先来看看复化梯形公式的二重推广
重积分的计算
二重积分的复化梯形公式
做等距节点，x轴，y轴分别有： 先计算
数值积分简介
数值积分简介
• 内容提要
– 定积分的数值计算方法 – 重积分的数值计算方法
资料来源：中国科技大学课程：数值计算方法。
定积分的数值计算方法
关于积分，有Newton-Leibniz x)dx F (b) F (a)
但是，在很多情况下，还是要数值积分：
1、函数有离散数据组成
重积分的计算
f ( x, y )dx
a j 1 j j 1 n 1
b n 1
n 1
b
a
f ( x, y j )dx
m 1 1 1 h f ( x0 , y j ) f ( xi , y j ) f ( xm , y j ) 2 j 1 2 i 1 n 1 n 1 m 1 1 1 h f ( x0 , y j ) f ( xm , y j ) h f ( xi , y j ) 2 j 1 2 j 1 i 1
n 1 1 1 n 1 h3 h f (a) f ( xi ) f (b) f ' ' (i ) 2 i 1 2 i 0 12
积分数值求解方法总结
插值型求积公式、Newton-Cotes 型求积公式、复化求积公式、Romberg 求积、Guass 求积公式总结 一、 本章知识梳理1、代数精度的概念如果某个求积公式对于次数不超过m 的多项式均准确地成立，但对于1m +次多项式就不准确成立，则称该求积公式具有m 次代数精度。
2、插值型的求积公式 设[,]a b 上有1n +个互异节点01,,,n x x x ，()f x 的n 次Lagrange 插值多项式为∑==nk k k n x f x l x L 0)()()(其中∏=--=nj ik ix x x x x Lk 0)(，插值型求积公式为()()()nbn k k ak I f L x dx A f x =≈=∑⎰ (1.1) 其中(), 0,1,,bk k aA l x dx k n==⎰。
可看出，{}k A 仅由积分区间[,]a b 与插值节点{}k x 确定，与被积函数()f x 的形式无关。
求积公式(1.1)的截断误差为(1)1[]()()()()(1)!b bn aan bn aR f f x dx L x dxf x dxn ξω++=-=+⎰⎰⎰(1.2)3、.Newton-Cotes 型求积公式被积函数在积分区间内变化平缓，可用等距节点插值公式近似。
将积分区间[,]a b 划分为n 等分，步长b a h n -=，等距节点k x a kh =+，0,1,k =,n 。
此时求积公式(1.4)中的系数可得到简化00()()nnbbbjk k a a aj j k j j kj kx x x a jhA l x dx dx dxx x k j h==≠≠---===--∏∏⎰⎰⎰作变换xa th =+，则有000000()(1)()()!()!(1)()()!()!n k nnnn k j j j kj kn k nn j j kt j h h A hdt t j dt k j hk n k b a t j dt k n k n -==≠≠-=≠--==-----=--∏∏⎰⎰∏⎰令()00(1)()!()!n kn n n k j j kC t j dt k n k n -=≠-=--∏⎰则()()n kk A b a C =-，求积公式(1.1)可简化为 ()0()()()nn k k k I f b a C f x =≈-∑ (1.3)称为n 阶Newton-Cotes 公式，简记为N-C 公式，{}()n k C 称为Cotes 系数。
数值分析——第4章 数值积分与微分法(“公式”相关文档)共76张
n
a Pm1( x)dx Ak Pm1( xk ).
k0
则称求积公式具有m次代数精度.
注①求积公式具有m次代数精度 0 i m有
b xidx a
n
Ak x i .
但
b xm1dx
a
n
Ak x m1 .
k0
k0
§1 Newton—cotes公式
1.1 插值型求积公式与科茨系数（cotes系数）
§1 Newton—cotes公式
n
In Ak f (xk )
1.1 插值型求积公式与科茨系数（cotesk系0 数）
1. 插值型求积公式
将[a, b]n等分：h b a 为步长，节点为等分点： n
xk a kh.(k 0,1,2,..., n) .
取I≈In.余项记为：
b
Rn (In ) a Rn ( x)dx
同理可得复合型Simpson公式：
b a
n1
n1
Sn
6n
[ f (a) 2 f (xk )
k 1
f (b) 4
k0
f
(
x
k
1
)].
2
复合Cotes公式：
b a
n1
n1
n1
Cn
[7 f (a) 14
90n
k 1
f ( xk ) 7 f (b) 12
k0
f
(
x
k
1 2
)
32
式，再将结果求和. 设x=a+th. (k=0,1,2,…,n), h b a
b
h
n1
a
f ( x)dx
[ f (a) 2
数值计算方法 数值积分基本公式 - 数值积分基本公式
求
积 公 式
? 存在的问题
1.插值型求积公式的求积系数当节点不等 距时很难求得；
2.误差表达式中的不确定点的处理有难度
4
设 将 积 分 区 间a , b n等 分 , 记 步 长h b a ,
n
牛
选 取 等 距 节 点xk a kh
顿 － 柯 特 斯
将xk
a
kh, h
b
a n
,
x
a
th代 入 求 积 公 式 得 ：
当 n 2时 , 这 时 柯 特 斯 系 数 为
C
2
0
1 4
2 t 1t 2dt 1 ,
0
6
C
1
2
1 2
2 tt 2dt 4 ,
0
6
C
2
2
1 4
2 tt 1dt 1 .
0
6
这时的求积公式为：
S
ba 6
f
a
4
f
a
2
b
f
b
辛普森公式的误差
取 H 3(a) f (a), H 3(b) f (b),
H
3
(
a
2
b
)
f
(
a
2
b
),
H
3
(
a
2
b
)
f ( a b ) 2
误差估计
根 据H ermite 插 值 余 项 ：
b
b
nb
a f ( x )dx a Ln ( x )dx a lk ( x)dx f ( xk )
k0
求 积 公
注意到：Ak
b
a lk ( x)dx
计算方法 数值积分
"<<setw(7)<<intervals[i]+1<<" "<<setw(20)<<area1-2<<"
"<<setw(6)<<e<<endl;
❖}
3
2.5 辛普森积分法
2
1.5 1
0.5
0.5
1
1.5
x0 x0+x x0+2x
-0.5
原理介绍:
把区间[x0,x1]分为2n等分，n个
区间，在长度为2x 的区间上
❖ 对大多数f(x)而言，找原函 数困难，即使存在原函数也 不能用初等函数表示
ex2,sinx, 1x3...... x
❖ 原函数表达式过于复杂
x2 2x2 3 3
❖ 被积函数由表格给出，没有 解析形式，也无法使用 Newton-Leibniz公式来求 积分
数值积分
❖ 为了避免上述积分过程中存在的问题，我们可以采用 数值积分的方法来求解，这样就避免了原函数的求解 过程，同时对于由测量或计算得到的数据表表示的 f(x)也可以求解
❖
e[i]=value_integ[i]-2;
❖
cout.precision(15);
❖
for(j=0;j<20;j++)
❖
cout<<value_integ[j]<<" "<<" "<<e[j]<<" "<<e[j+1]/e[j]<<endl;
计算机方法-数值积分
14
算例: 试确定下面积分公式中的参数使其代数精确度尽量高.
I
h 0
h f ( x )dx [ f (0) f ( h)] ah2 [ f (0) f ( h)] I 2
0
解:
f ( x) x
I
h
0
x 0dx h
I2 h
f ( x ) x1 f ( x) x 2
有 特别地：当 x
x1 x0
f ( x)dx
x1 x0
L2 ( x)dx
1 ( x0 x1 ) ,于是， 2
x1 x0
( x1 x0 ) x0 x1 f ( x )dx f ( x0 ) 4 f ( ) f ( x1 ) 6 2
Simpson公式
n
Ak
Ak
b a
k j
( x x j ) ( xk x j )
dx
由 节点决定， 与 f (x) 无关。
19
§5.1.4 插值求积法 - 余项
误差:
R[ f ] f ( x)dx Ak f ( xk )
b a k 0
n
[ f ( x) Ln ( x)]dx Rn ( x)dx
a f ( x)dx F (b) F (a)
其中 F(x) 是 f (x) 的原函数之一，可用不定积分求得.
b
问题
被积函数 f (x) 是用函数表格提供; f(x) 极为复杂，求不出原函数; 大量函数的原函数不容易或根本无法求出.
0 e
1
x2
dx
sin x 0 x dx
1
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数值计算方法数值积分
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ于情 理。— —托·富 勒
45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利