关于罗尔(Rolle)中值定理条件的研究
同济版高等数学 在利用罗尔定理证明拉格朗日中值定理问题
同济版高等数学在利用罗尔定理证明拉格朗日中值定理问题拉格朗日中值定理（LagrangeMeanValueTheorem）是一个重要的数学定理，它可以有效地帮助我们解决微分方程和积分方程等问题，并且在多个领域有广泛的应用，尤其是在计算机科学领域。
在拉格朗日中值定理的证明中，利用罗尔定理（Rolle Theorem）是一种有效的方法。
因此，利用同济版高等数学证明拉格朗日中值定理成为一个重要的研究课题。
首先，我们介绍一下拉格朗日中值定理。
拉格朗日中值定理定义了一个函数在某段区间上的行为，它认为：如果一个函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，并且在$a,b$点上可导，那么在$(a,b)$内一定存在一个点$c$，使得$frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{}(c)$，即拉格朗日中值定理成立。
然后，我们介绍一下罗尔定理。
罗尔定理的定义为：如果一个函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，并且在$a,b$点上可导，那么在区间$(a,b)$内一定存在一个点$c$，使得$f^{}(c)=0$。
罗尔定理可以用来证明拉格朗日中值定理。
将罗尔定理和拉格朗日中值定理联系起来，可以得到证明拉格朗日中值定理的结论：设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，并且在$a,b$处可导，那么一定存在一个点$c$，使得$f^{}(c) =frac{f(b)-f(a)}{b-a}$，即拉格朗日中值定理成立。
接下来，我们来看看如何利用同济版高等数学进行拉格朗日中值定理的证明。
首先，我们需要用罗尔定理证明函数$f(x)$在$[a,b]$上连续、可导，存在一个点$c$使得$f^{}(c)=0$，即：函数$f(x)$在$[a,c]$上单调递增，在$[c,b]$上单调递减。
在此基础上，我们继续做出下列的假设：设$f^{}(x)$在$[a,b]$上连续可积，当$f^{}(x)$在$[a,c]$上单调递增时，$f(x)$的积分是一单调递增函数，当$f^{}(x)$在$[c,b]$上单调递减时，$f(x)$的积分是一单调递减函数。
罗尔中值定理的内容及证明方法
罗尔中值定理的内容及证明方法罗尔中值定理（Rolle’s theorem）是微积分中的一个基本定理，它是拉格朗日中值定理（Lagrange mean value theorem）的特殊情况之一、罗尔中值定理描述了在一些条件下，函数在区间两个端点对应的函数值相等时，在这个区间内必然存在至少一点使函数的导数为零。
定义：假设函数$$f(x)$$满足以下条件：1.在区间$$[a,b]$$内连续2.在开区间$$(a,b)$$内可导3.在区间端点点$$x=a$$和$$x=b$$处的函数值相等，即$$f(a)=f(b)$$。
则在区间$$(a,b)$$内至少存在一个点$$c$$，使得$$f'(c)=0$$。
下面我们来证明罗尔中值定理：首先，根据条件，函数$$f(x)$$在区间$$[a,b]$$上连续，且在开区间内可导。
根据罗尔中值定理的定义，我们需要找到一个点$$c$$，使得函数$$f'(c)=0$$，也就是找到这个点的横坐标。
我们可以进行以下思路：由于函数$$f(x)$$在开区间内可导，根据导数的定义，$$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$。
由于函数在区间端点处的函数值相等，即$$f(a)=f(b)$$，我们可以将$$x=a$$代入上式，得到$$f'(a)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$。
由于函数是在开区间可导的，所以$$f'(a)$$存在。
同样的，我们可以将$$x=b$$代入$$f'(x)$$的定义式，得到$$f'(b)=\lim_{h \to 0}\frac{f(b+h)-f(b)}{h}$$。
同样地，由于函数是在开区间可导的，所以$$f'(b)$$存在。
根据函数连续的性质，我们可以知道函数在区间$$[a,b]$$上连续，那么函数在开区间$$(a,b)$$内也连续。
罗尔定理内容及证明
罗尔定理内容及证明罗尔定理（RolleTheorem）是求解单变量函数微分方程的一个基本定理，它最初是由法国数学家特朗罗尔在1691年提出来的。
罗尔定理它说明了在满足某些特定条件的情况下，某一个函数的一阶导数存在且满足某一条件，它是实变函数微分方程的理论和应用的一个基础性定理。
一、罗尔定理的内容罗尔定理是指，设在[a,b]上已知f(a) = f(b),且f(x)在区间[a,b]上连续可导，则存在某个c∈(a,b)，使得f(c)= 0。
它概括地说明了，在函数f(x)在区间[a,b]上有f(a)=f(b)，并且f(x)在区间[a,b]上连续可导的情况下，那么函数f一定存在极值点，也就是一阶导数f(x)在某一点存在且为零，也就是f(c)=0。
二、罗尔定理的证明设f(x)在区间[a,b]上连续可导，f(a)=f(b)（设f(a)≠f(b)，不妨设f(a)>f(b)），证明f(c)=0。
我们假定c∈(a,b)，如果f(a)>f(b)，那么说明f在[a,b]上是连续的凸函数，其一阶导数f(x)也是连续的，存在一点c∈(a,b),使得f(c)=0。
由此，根据函数微分的定义，可知$$f(c)=lim_{xrightarrowc}frac{f(x)-f(c)}{x-c}=frac{f(b)-f(c)}{b-c}+frac{f(c)-f(a)}{c-a}=frac{f(b)-f(a)}{b-c} +frac{f(a)-f(a)}{c-a}=frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$由于f(a)=f(b),以f(c)=0,即c为f(x)的极值点。
综上所述，罗尔定理说明了在满足某些特定条件的情况下，一个函数f一定存在一个极值点，其一阶导数f(x)在某一点存在且为零，由此可以应用在解决实变函数微分方程的应用中，成为实变函数微分方程的理论和应用的一个基础性定理。
详细的推导过程在本文中已经完全说明，罗尔定理在实际中不断发挥着重要作用。
罗尔Rolle中值定理
[ f ( x) sin x ] x 0 解题关键
证明至少存在一点 ( 0 ,
2
), 使
f ( ) cos 0.
容易验证: g( x ) 在 [ 0, ] 上满足罗尔定理条件. 2 由罗尔定理得: 至少存在一点 ( 0, ), 使得 2 g( ) 0
即
f ( ) cos 0.
证明: 设 g( x ) f ( x ) sin x
0
1
x
例2 f ( x ) x , x [1,1];
y
(1) f ( x ) C[1,1]; ( 2) f ( x ) D( 1,1); ( 3) f ( 1) f (1).
1
0
1 x
不存在 ( 1,1), 使 f ( ) 0.
例3 f ( x ) x , x [0,1];
罗尔（Rolle）中值定理
主讲：潘 洁
安徽理工大学
微分中值定理
罗尔中值定理
泰勒中值定理
拉格朗日中值定理
柯西中值定理
问题的引出：
y
C
T 与x轴
这样的 可能有多个
a
1
2
b
x
一、罗尔(Rolle)中值定理
y
D
若函数 f ( x ) 满足：
(1) 在 [a , b] 上连续；
f ( x )在 [a , b] 上 连续， f ( x)在 [a, b] 上必有最大值 M 和最小值 m.
(1)若 M m.则 f ( x) M . 由此得 f ( x ) 0, x (a, b). (a, b),都有 f ( ) 0.
f (a ) f (b), (2)若 M m. 最值不可能同时在端点处取得. 不妨设 M f (a ),
拉格朗日中值定理
⨍`(ξ) ⨍ −⨍()
则 存在ξ ∈(a,b)，使得
=
g`(ξ) −()
取g(x)=x，即为拉格朗日中值定理
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符号计算在非线性系统和信息论中的应用
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x
证明：当x＞0时，1+ ＜ln(1+x)＜x，
证 设f(x)=ln（1+x），
f(x)在[0,x]上满足拉氏定理的条件，
4
二、拉格朗日（Lagrange）中值定理
若函数⨍满足如下条件：
（1） ⨍在闭区间[a，b]上连续
（2） ⨍在开区间（a，b）内可导
则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得⨍`(ξ)=
等价形式： ⨍(a)- ⨍(b)= ⨍`(ξ )(b-a)，a＜ξ＜b
几何意义：在满足定理条件的曲线y= ⨍(x)上至少存在一点P(ξ ， ⨍(ξ )）,
=
−
−
F(b)= ⨍(b)b=
F(a)=F(b),且F在[a,b]上满足罗尔定理的另外两个条件，故存在ξ ∈(a,b)，使得
F`(ξ)=⨍`(ξ)=0，即⨍`(ξ)=
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符号计算在非线性系统和信息论中的应用
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证明2：作辅助函数F(x)= ⨍ (x)-⨍(a)-
(x-a)
F(a)=F(b)=0
则在曲线弧内，曲线至少有一条切线平行于曲线两端点的连线。
证明：做辅助函数（不唯一），运用罗尔定理
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符号计算在非线性系统和信息论中的应用
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小结：罗尔定理、拉格朗日中值定理之间的关系
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符号计算在非线性系统和信息论中的应用
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试讲罗尔中值定理
注意:
1) 定理条件不全具备, 结论不一定成立. 例如：
缺条件(1)闭区间上连续.
y
缺条件(2)开区间内可导.
o 1x
y
缺条件(3) 端点处函数值相等.
1 o 1 x
y
o
2) 罗尔定理的三个条件是充分非必要的.
1x
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例1：设 f 为 上可导函数，证明：若方程
使 f ( ) 0.
几何解பைடு நூலகம்:
y
在每一点都可导的连续 曲线上，如果曲线的两 端点高度相等，则至少 存在一条水平切线。
yf(x)
A
B
Oa 1
2 bx
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证明： f(x)在区间 [a , b] 上连续,必有最大值M和最小值m
(1) 若 m=M , 因m f (x) M. 即, M f (x) M, 所以f (x)=M.
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谢谢！
数学分析
罗尔中值定理
一.预备定理——费马(Fermat)定理
(或 )
y
o x0 x
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二.罗尔(Rolle)定理
满足:
(1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b )
在( a , b ) 内至少存在一点
没有实根，则方程
至多只有一个实根。
证明：这可反证如下，倘若
有两个实根
和 （设 ），则函数 f 在闭区间
上满足罗尔定理三个条件，从而存在
使得
，这与
什么是“罗尔定理”？他有什么用？
什么是“罗尔定理”？他有什么⽤？1.罗尔定理的定义以法国数学家⽶歇尔·罗尔命名的罗尔中值定理（英语：Rolle's theorem）是微分学中⼀条重要的定理，是三⼤微分中值定理之⼀，叙述如下：如果函数 f(x)满⾜（1）在闭区间 [a,b]上连续；（2）在开区间 (a,b)内可导；（3）在区间端点处的函数值相等，即 f(a)=f(b)，那么在 (a,b)内⾄少有⼀点ε（a<ε<b）使得2.⼏何理解下⾯是⼏何图解罗尔定理。
函数y=f(x)在 [a,b]上连续，(a,b)内可导，并且f(a)=f(b)，那么f(x)曲线⾄少存在⼀点，其斜率为0.（下图显⽰有2个点斜率为0）3.通俗解释你站在地上，垂直向天空抛出⼀⼩球，⼩球⼜落在地上，那么在⼩球运动过程中，⼀定有⼀个时刻t，在t时刻速度是0.(在这个t时刻之前，速度是向上的，过了这个时刻t，速度向下，⽽在这个t，就是物体运动的最⾼点，速度是0）4.注意罗尔定理要求的条件如果函数在区间内的某个点不可导，则罗尔定理的结论不⼀定成⽴。
对于某个a > 0，考虑绝对值函数：f(x)=|x| x取值在[-a,a]，其图形如下：虽然f(−a) = f(a)，但−a和a之间不存在导数为零的点。
这是因为，函数虽然是连续的，但它在点x = 0不可导。
因此就不存在 f'(ε)=04.罗尔定理有什么⽤呢？罗尔定理最常⽤的是来判断⽅程有没有解。
求下列⽅程，在(0,1)内⾄少有⼀个根。
解：原⽅程相当于求解f'(x)=ax^2 +2bx-(a+b) 在(0,1)内⾄少有⼀个根，所以，我们要先构造f('x)的原型。
根据微分公式，很容易构造f'(x)的原型为：⼜， F(x) 在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导，F(0)=F（1），所以⾄少存在⼀个点F'(ε)=0，既ax^2 +2bx-(a+b) =0 ⾄少有⼀个根。
5.中值定理
f ( x)在[0, x]上满足拉氏定理的条件 ,
f ( x) f (0) f ()(x 0), (0 x)
f (0) 0, f ( x) 1 , 由上式得 1 x
ln(1 x) x , 1
又0 x 1 1 1 x
1 1 1,
f()
lim
x 0
f
(
x) x
f
()
0;
f ()存在,
f() f(). 只有 f () 0.
注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 结论可能不成立.
例如, y x , x [2,2]; 在[2,2]上除f (0)不存在外,满足罗尔定理的 一切条件, 但在内找不到一点能使f ( x) 0.
水平的.
o a 1
物理解释:
y f (x)
2 b x
变速直线运动在 折返点处,瞬时速 度等于零.
点击图片任意处播放\暂停
证 f ( x) 在 [a,b] 连续, 必有最大值 M 和最小值 m.
(1) 若 M m. 则 f ( x) M . 由此得 f ( x) 0. (a, b), 都有 f () 0. (2) 若 M m. f (a) f (b), 最值不可能同时在端点取得. 设 M f (a),
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理 (1)如果函数 f(x)在 闭区间[a, b]上连续(,2在) 开区间(a, b) 内可导,那末在 (a, b)内至少有一点(a b)，使等式
f (b) f (a) f ' ()(b a) 成立.
注意 : 与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a) f (b). 结论亦可写成 f (b) f (a) f (). ba
关于高等数学常见中值定理证明及应用
关于高等数学常见中值定理证明及应用中值定理是微积分中的重要定理之一，它包括了拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理。
这些定理在数学中有广泛的应用，尤其在求解函数的零点、证明不等式等问题上起到了重要的作用。
下面我将详细介绍这些中值定理的证明及应用。
1. 拉格朗日中值定理（Lagrange's Mean Value Theorem）：拉格朗日中值定理是微积分中最基本的中值定理之一、设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则存在xi∈(a, b)，使得f'(xi) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
换句话说，函数在开区间内其中一点的导数等于函数在闭区间两端的函数值之差与区间长度的比值。
证明：我们可以通过引入辅助函数g(x)=f(x)-kx来证明，其中k是一个常数，使得g(a)=g(b)。
然后根据罗尔中值定理，我们得到存在一个ξ∈(a, b)，使得g'(ξ)=0。
进而，我们得到f'(ξ)-k=0，即f'(ξ)=k。
由于k=(f(b)-f(a))/(b-a)，得到f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
应用：拉格朗日中值定理常用来证明不等式、求解方程和不定积分等问题。
例如，若函数在区间[a, b]上连续且处处大于零，则存在一个ξ∈(a, b)，使得f(ξ)>(1/(b-a))∫[a,b]f(x)dx。
这可以直接利用拉格朗日中值定理证明。
2. 柯西中值定理（Cauchy's Mean Value Theorem）：柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，它描述的是两个函数之间的关系。
设函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且g'(x)≠0，则存在xi∈(a, b)，使得(f'(xi)/g'(xi))=(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))。
罗尔中值定理和拉格朗日中值定理
罗尔中值定理和拉格朗日中值定理罗尔中值定理和拉格朗日中值定理是非常有用的数学定理，一般用于证明某些数学结论。
罗尔中值定理和拉格朗日中值定理都是几何学的重要组成部分，具有广泛的应用前景。
本文将从数学历史的角度研究这两个定理的演变，并介绍它们的使用以及它们在数学理论中的作用。
罗尔中值定理（Rolle Theorem）是由法国数学家保罗罗尔（Pierre de Fermat）在17世纪发现的。
罗尔中值定理的定义是：设函数y=f（x）在[a,b]上具有连续的导数，并且在边界点a处取值为f（a），在边界点b处取值为f（b），那么在[a,b]之间存在一个c，使得f（c）=0。
也就是说，一个连续函数在[a,b]范围内至少产生一次零点。
拉格朗日中值定理（Lagrange Mean Value Theorem）又被称为拉格朗日定理或拉格朗日中值定理，是法国数学家Joseph Louis Lagrange在1797年发现的。
这一定理明确说明：若函数y=f（x）在[a,b]上具有连续的二阶导数，则存在c∈（a,b），使得f （c）=[f（b）-f（a）] / [b-a]也就是说，拉格朗日中值定理认为函数在[a,b]范围内一定存在一个零点，而这个零点肯定处于[a,b]范围内的某个位置上（当然，这个点可能是a或b）。
罗尔中值定理和拉格朗日中值定理都在几何学和微积分中起着非常重要的作用。
在几何学中，它们可以帮助数学家从几何方面确定几何问题的解决方案，从而帮助人们解决实际的几何问题。
在微积分中，它们可以用来证明某些抽象数学结论，例如求解极限问题，求解微分方程等。
此外，罗尔中值定理和拉格朗日中值定理还有许多应用，尤其是在应用数学和专业硕士论文中，经常会用到这两个定理。
例如，下列句子中使用了罗尔中值定理：若f（x）是在区间[a,b]上具有连续的导数的函数，则在区间[a,b]内至少存在一个零点。
在专业硕士论文中，笔者经常使用拉格朗日中值定理来证明某些抽象的数学结论，例如证明极限的存在性，证明微分方程的解存在性等。
4.1.1罗尔定理
第四章 中值定理及导数的应用第1节中值定理罗尔定理罗尔定理一、定理及证明罗尔（Rolle）定理 如果函数)(x f 在闭区间 ],[b a 上连续,在开区间),(b a 内可导,且在区间端点的函数值相等，即)()(b f a f =,那末在),(b a 内至少有一点)(b a <ξ<ξ,使得函数)(x f 在该点的导数等于零， 即0)('=ξf )1()2()3(例如,32)(2--=x x x f ).1)(3(+-=x x ,]3,1[上连续在-,)3,1(上可导在-,0)3()1(==-f f 且))3,1(1(,1-∈=ξ取.0)(=ξ'f ),1(2)(-='x x f几何解释:a b 1ξ2ξxy o )(x f y =,.AB C 在曲线弧上至少有一点在该点处的切线是水平的C).0)((0)(,0,0),0(0,)(lim 00<><-<><>=→x f x f x x A A A x f x x 或时使得当则存在常数或且若δδ复习 (函数极限的局部保号性)).0(0),0)((0)(,),(,0,)(lim 000≤≥≤≥∈>∃=→A A x f x f x U x A x f x x 或则或时当且若δδ推论证.)1(m M =若,],[)(连续在b a x f .m M 和最小值必有最大值.)(M x f =则.0)(='x f 由此得),,(b a ∈ξ∀.0)(=ξ'f 都有.)2(m M ≠若),()(b f a f = .取得最值不可能同时在端点∴),(a f M ≠设.)(),(M f b a =ξξ使内至少存在一点则在),()(ξ≤∆+ξf x f ,0)()(≤ξ-∆+ξ∴f x f,0>∆x 若;0)()(≤∆ξ-∆+ξxf x f 则有,0<∆x 若;0)()(≥∆ξ-∆+ξxf x f 则有;0)()(lim )(0≥∆ξ-∆+ξ=ξ'∴-→∆-xf x f f x ;0)()(lim )(0≤∆ξ-∆+ξ=ξ'+→∆+xf x f f x ,)(存在ξ'f ).()(ξ'=ξ'∴+-f f .0)(=ξ'∴f 只有注 罗尔定理的三个条件缺少其中任何一个,定理的结论将不一定成立.例如,];2,2[,-∈=x x y ,,)0(]2,2[的一切条件满足罗尔定理不存在外上除在f '-.0)(2][-2='x f 使内找不到一点能，但在区间;0,0]1,0(,1⎩⎨⎧=∈-=x x x y ].1,0[,∈=x x y 又例如,罗尔定理二、罗尔定理的应用例1.10155的正实根有且仅有一个小于证明方程=+-x x 证:,15)(5+-=x x x f 设,]1,0[)(连续在则x f .3)1(,1)0(-==f f 且由介值定理.0)(),1,0(00=∈∃x f x 使即为方程的小于1的正实根.,),1,0(011x x x ≠∈设另有.0)(1=x f 使,,)(10件之间满足罗尔定理的条在x x x f 使得之间在至少存在一个),,(10x x ξ∴.0)(=ξ'f )1(5)(4-='x x f 但))1,0((,0∈<x 矛盾,.0为唯一实根x x =∴例2()(1)(2)(3)(4)()0.f x x x x x f x =----'不用求出函数的导数，说明方程＝有几个实根，并指出他们所在的区间解:[][][]()()1122(1)(2)(3)(4)0,()1223,34120;230;f f f f f x f f ξξξξ===='='=因为而在，，，，上分别满足罗尔定理条件，故在（，）存在，使得在（，）存在，使得()()()123=0=0.f x f x f x ξξξ'''又是三次多项式，至多只有三个实根，即，，为的三个不同实根()().0;04332133的三个不同实根为，，即，使得）存在，在（='='x f f ξξξξξ思考题()[]()()()()()00000.f x a a f a a f f ξξξξ'∈+设在区间，上连续，在，内可导，且＝，试证存在，，使＝思考题解答()().可证设x xf x F =例3()[]()()()()()()()()0101010111112220 1.f x f f f f f f ηηηλξηξλξξ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'⎡⎤∈--=⎣⎦设在区间，上连续，在，内可导，且＝＝，＝，试证：存在，，使＝；（）对任意实数，必存在，，使证:1(1)()()()[1]21111(1)(1)110,()()0,2222F x f x x F x F f F f =--<->令，显然在，连续，且＝＝－＝＝由连续函数的介值定理得，；＝，使，存在ηηη)()121(f ∈例3()[]()()()()()()()()0101010111112220 1.f x f f f f f f ηηηλξηξλξξ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'⎡⎤∈--=⎣⎦设在区间，上连续，在，内可导，且＝＝，＝，试证：存在，，使＝；（）对任意实数，必存在，，使证:(2)()(())(0)0,()0,xF x f x x eF F λη-=-令＝＝由罗尔定理得，()()()()00,1.F f f ξηξξλξξ'∈='⎡⎤--=⎣⎦必存在，，使即THANK YOU。
罗尔定理内容及证明
罗尔定理内容及证明罗尔定理（RolleTheorem）是函数微积分学中一个重要的理论，它具有重要的理论意义和应用价值。
罗尔定理的基本思想是：在连续函数的定义域上，如果满足某些条件，函数至少在一处具有偏导数；而且，在满足一定条件的情况下，此处的偏导数等于零。
简而言之，罗尔定理指出：如果一个函数在一个闭区间上是连续的，且其在这个闭区间的端点处取得极值，那么在这个闭区间内至少存在一处，使得这个函数的一阶导数为0。
罗尔定理把函数极值问题转化为了求解一元函数极值问题，为微积分学理论和应用贡献了重要的研究成果。
下面，我将简要介绍罗尔定理以及其证明。
一、罗尔定理定理：设函数f（x）在闭区间[a,b]内连续，且在a和b两点处取得极值，那么在（a，b）上至少存在一处使f(x) = 0。
二、罗尔定理证明证明：首先，我们假设定理不成立，即f(x)不存在任何使它等于0的x值，即f(x)>0或<0。
接着，我们令f(x)由小到大排列为{x1,x2,x3,...,xn},它们都是f(x)>0的。
考虑第一个极值点a。
f(a)是极值点，即f(a) = 0，但我们假设不存在f(x) = 0，因此f(a)>0，即f(x1)>0。
考虑极值点b，因为f(b)也是极值点，所以f(b)>f(x1)>f(x2)>…>f(xn)，但根据第一步的结论，x1<a<b<xn，因此f(b)>f(xn)，即f(xn)<0。
由于我们假设f(x)所有的x值都大于零或小于零，而此时我们得到f(x1)>0且f(xn)<0，这就违背了我们的假设。
所以，f函数至少存在一处使f(x)=0。
综上所述，我们证明了罗尔定理：设函数f（x）在闭区间[a,b]内连续，且在a和b两点处取得极值，那么在（a，b）上至少存在一处使f(x) = 0。
罗尔定理的证明不仅有助于我们深入理解这个定理，而且还为我们求解函数极值问题提供了有用的工具。
罗尔中值定理推论
罗尔中值定理及其推论：原理、应用与影响一、引言罗尔中值定理（Rolle's Theorem）是微积分学中的一个基本定理，它建立了函数在某区间上的导数与该函数在该区间端点取值之间的关系。
本文将对罗尔中值定理及其推论进行详细探讨，包括其定义、证明、应用以及对数学和科学领域的影响。
二、罗尔中值定理的定义与证明罗尔中值定理的内容为：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，且f(a)=f(b)，则至少存在一个ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0。
证明：根据拉格朗日中值定理（Lagrange's Mean Value Theorem），若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，则至少存在一个ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
由于f(a)=f(b)，因此(f(b)-f(a))/(b-a)=0，即f'(ξ)=0。
三、罗尔中值定理的推论及其证明1. 第一推论：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，且f'(x)在(a,b)内不变号（即恒为正或恒为负），则f(x)在[a,b]上至多只有一个零点。
证明：假设f(x)在[a,b]上有两个零点α和β（α<β）。
根据罗尔中值定理，存在ξ∈(α,β)，使得f'(ξ)=0。
然而，由于f'(x)在(α,β)内不变号，因此f'(ξ)≠0，与假设矛盾。
所以，f(x)在[a,b]上至多只有一个零点。
2. 第二推论：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，且f'(x)在(a,b)内有界，则f(x)在[a,b]上有界。
证明：由于f'(x)在(a,b)内有界，因此存在一个正数M，使得|f'(x)|≤M对任意x∈(a,b)成立。
对于任意两点x1和x2（x1<x2）在[a,b]上，根据拉格朗日中值定理，存在ξ∈(x1,x2)，使得f'(ξ)=(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)。
罗尔中值定理的函数形式
罗尔中值定理的函数形式罗尔中值定理是微分学中的一个重要定理，它是基于导数连续的函数理论而来的。
定理的全名是罗尔中值定理(Rolle's Theorem)，它是法国数学家米歇尔·罗尔于1691年提出。
在介绍罗尔中值定理之前，我们先来了解一下连续函数和导数连续的概念。
连续函数是指在一个区间上的函数，在该区间的每一点上都有定义，并且在该区间上连续。
导数连续则是指函数在给定区间上的每一点都有导数，并且导数在该区间上连续。
接下来，我们来看一下罗尔中值定理的函数形式。
假设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，并且f(a)=f(b)，那么在(a, b)内至少存在一个点c，使得f'(c) = 0。
换句话说，如果一个函数在一个闭区间上连续，并且在这个闭区间的内部可导，且函数在该闭区间的两个端点的函数值相等，那么在闭区间内至少会有一个点，它的导数为零。
为什么会有这样的结论呢？我们可以通过画图来解释。
假设在闭区间[a, b]上有一个连续函数f(x)，并且在开区间(a, b)内可导。
如果f(a)=f(b)，那么函数f(x)在点a和点b上的函数值相等，这意味着函数图像在点a和点b上具有相同的纵坐标。
根据函数的连续性，函数图像在闭区间[a, b]上应该是连续的。
由于f(x)在(a, b)内可导，所以在(a, b)内的每一点上都有切线。
而根据中值定理，函数图像在闭区间[a, b]上存在一点c，使得过点a和点b的直线的斜率等于函数图像在点c处的导数。
因为函数图像在点a和点b上具有相同的纵坐标，所以这个直线的斜率为零。
因此，可以找到一个点c，使得f'(c) = 0。
这就是罗尔中值定理的结论。
罗尔中值定理的几何意义是存在一条平行于x轴的直线，与曲线f(x)在闭区间[a, b]的两个端点相切。
这个直线的斜率为零，也就是说曲线在某个点处的切线是水平的。
罗尔中值定理常常被用于证明其他定理，或者作为其他数学问题的引理。
《罗尔定理》PPT课件
ξ (x0 , x1 ),使得 f () 0.
但 f ( x) 5( x4 1) 0, ( x (0,1))
x 为f(x) 0唯一正实根, 矛盾。
0 15
习题布置： P 126 1、3、5
16
f ( x)在该点的导数等于零，即
f '() 0
3
几何解释:
y
C
y f (x)
o a 1
在曲线弧AB上至少有一 点C , 在该点处的切线是 水平的.
2 b x
4
引例：
f ( x) x 2 2x 3 ( x 3)( x 1). 在[1,3]上连续, 在(1,3)上可导, 且 f (1) f (3) 0, f ( x) 2( x 1), 取 1, (1 (1,3)) f () 0.
14
例2 证明方程 x5 5x 1 0 有且仅有一个小于 1 的正实根.
证 设 f ( x) x5 5x 1, 则 f ( x)在[0,1]连续,
且 f (0) 1, f (1) 3. 由介值定理
x0 (0,1),使 f ( x0 ) 0. 即为方程的小于1的正实根.
设另有 x1 (0,1), x1 x0 , 使 f ( x1 ) 0.
(3) f (0) f (1).
不 ,使f ( ) 0.
0
1x
10
例2 f ( x) x , x [1,1];
y
(1) f ( x) C[1,1];
(2) f ( x) D(1,1);
(3) f (1) f (1).
1 0
不 ,使f ( ) 0.
例3 f ( x) x, x [0,1]; y (1) f ( x) C[0,1];
什么是罗尔中值定理
什么是罗尔中值定理
罗尔中值定理如下，如果函数满足：
1.在[a,b]上连续；
2.在(a,b)内可导；
3.a点的函数值等于b点的函数值。
则，在a,b之间至少存在一点x使得x点的导数为零。
罗尔生于下奥弗涅的昂贝尔，仅受过初等教育，依靠自学精通了代数与丢番图分析理论。
1675年他从昂贝尔搬往巴黎，1682年因为解决了数学家雅克·奥扎南提出的一个数论难题而获得盛誉，得到了巴蒂斯特·科尔贝的津贴资助。
1685年获选进法兰西皇家科学院，1699年成为科学院的员工。
罗尔是微积分的早期批评者，认为它不准确，建基于不稳固的推论。
他后来改变立场。
1719年11月，罗尔在巴黎去世。
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第２ ８卷 第 ５期
２０ ０ ７年 １ Ｏ月
河 南 科 技 大 学 学 报 ：自 然 科 学 版
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＨｅ ａ ｉ ｅｓｔ ｆＳ ｉｎ ｅ ａ ｄ Ｔ ｃ ｎ ｌｇ Ｎａｕ ａ ｃ ｅ ｃ ｏ ｒ ａ ｎ ｎ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ ｏ ｃｅ ｃ ｎ ｅ ｈ ｏｏ ｙ： ｔｒ ｌＳ ｉｎ ｅ ｏ ｙ
中图 分 类 号 ： １ ２ １ ０７． 文 献 标 识 码 ： Ａ
Ｕ
刖 舌
罗尔 中值定 理是 微分 学 的重 要 基 本定 理 之一 ， 内容 为 若 函数 厂 ） 足 如 下 条 件 ： ｉ 在 闭 区 间 其 （ 满 （）
［ ，］ 口 ｂ 上连 续 ； ｉ 在 开 区间 （ ， ） （ｉ ） 口 ｂ 内可导 ； ｉ） （ ）＝ （ ） （ｉ 厂 口 厂 ｂ 。 ｉ 则在 （ ， ） 口 ｂ 内至少 存在 一点 ， 得 厂 （ 使 ）＝０ ３。 ¨－］
（。 ： ， ）内某 点 达 到 ， 时 点必为 极 小值 点 ， 此 故有 厂 （ ＝０ 因此 在 （ ， ）内 至少存 在 一点 ， 得 ） 。 口ｂ 使
如 函数 厂 ） ＝ 丁 （
ｌ 一 Ｊ
，在 区 间 （ ， ） 内 可 导 ，且 ｌ ｆ ） ＝ ｌ ｆ ） ＝＋ ｏ ０１ ｉ （ ｍ ｉ （ ｍ 。，而 厂（ ＝ ）
（） ｉ在开 区间 （ ， ） 口 ｂ 内可 导 ；
（ｉ ｉ （ ｉ ｍ厂 ）＝ｌ （ ）ｌ ｉ ）＝＋ｏ （ 一ｏ ） 则在 （ ， ） 至少 存在 一点 ， 得 厂 （ ｍ厂 。或 。 ， 口ｂ 内 使 ）＝ 。 ０
证明 下面仅 证 “＋ｏ ” 的情形 ， 对 “一ｏ ” 的情 形 ， 。 时 而 。 时 同样 可 证 。
Ｖｏ ． Ｎｏ． １２８ ５
２ ０ ） ５—０ ９ ０ １ ７ ６ ７ （０ ７ ０ ０ ６— ２
关 于 罗 尔 （ ｏｌ） Ｒ ｌ 中值 定 理 条 件 的研 究 ｅ
齐 春 玲 李 晓 培 ，
（ ． 门 峡 职 业 技 术 学 院 ， 南 三 门 峡 ４ ２ ０ ；． 国 一 拖 集 团公 司 拖 拉 机 学 院 ， 南 洛 阳 ４ １０ ） １三 河 ７００２ 中 河 ７ ０ ３
罗尔 中值定理 要 求 函数在 闭 区间上 连续 、 区 间 内可导 ， 且文 献 ［ ］ 出 ， 罗尔 中值定 理 中 ， 开 而 １指 在 若 三个 条件 中有一个 不 成立 ， 则定 理 的结论 就 可能 不成 立 。但 是 ， 我们 知道 这 三个条 件仅是 结 论成 立 的充 分条件， 而非 必要 条件 。本 文将 对罗 尔 中值定 理 的条 件做 进 一 步探讨 ， 究在 区 间的端点 处 不连 续 的 函 研 数 以及 无穷 区间上 的 可导 函数 的相关 问题 。下面 是本 文 的一 些重 要 结论 ， 以定 理 的形 式 给 出 。
ｔ（ ｆ ）
∈ （ ，） 口 ｂ
显然 函数 Ｆ ）在 区间 ［ ， ］上 满 足 罗 尔 中值 定 理 的 条 件 ， 在 （ ，）内至 少 存 在 一 点 ， 得 （ 口ｂ 则 口ｂ 使 Ｆ （ ＝０ 而 当 ∈ （ ，）时 ， ） ＝厂（ ， 有 厂（ ＝０ ） ， 口ｂ Ｆ（ ） 故 ） 。 定理 ２ 设 函数 厂 ） 足 ： （ 满
摘 要 ： 尔 中 值 定 理 指 出 ， 函数 ） 足 三 个 特 定 条 件 时 ， 区 间 内部 至 少 存 在 一 点 ， 得厂 （ 罗 当 满 在 使 ）＝０ 本 文 ， 针 对 在 区 间 ［ ，］端 点 处 不 连 续 的 函数 以 及无 穷 区 间 上 的可 导 函 数 的 相 关 问 题 作 了进 一 步 研 究 ， 得 结 论 推 ｏｂ 所 广 和 完 善 了文 献 中 相 应 的定 理 。 关 键 词 ： 尔 中值 定 理 ； 连 续 ； 穷 区 间 罗 不 无
证 明 设 ｌ （ ｉ ）＝ｌ 厂 ）＝Ａ， ｍ厂 ｉ （ ｍ 由函数 厂 ）在 开 区间 （ ， ）内可 导知 ，（ （ 口ｂ 厂 ）在开 区 间 （ ，）内连 口ｂ
续 ， 对 函数 厂 ）在 区间 ［ ， ］上作 连续 开 拓 ， 再 （ 口ｂ 令
Ｆ（ ） ： Ａ 口或 ６
・９ ・ ７
令 厂 ）＝ｏ， 得 解
，
１
。
上 述两个 定 理告诉 我们 ， 函数 ， ） 闭 区 间［ ， ］ 两端 点 。与 ｂ 既使 不连 续 ， （ 在 ｏｂ 的 处 只要 在两 端点 处
取 ∈（ ，） 因 ｌ （ 口 ｂ ， ｉ ）＝ｌ （ ｍ厂 ｉ ）＝＋ｏ 则 由极 限定义 知 ， ｍ厂 。， 存在 。∈ （ ， ） 口 ‰ ，：∈ （ ， ） 使 得 ｂ， 厂 。 （ ）＞厂 ） （
厂（ ）＝０ 。
１
： ）＞
） 而 函数 厂 ） ［ 。 ： ， （ 在 ， ］上连 续 ， 而存 在最 小值 ， 从 显然 最 小值 只能 在 区间
０ ， ｌ 一
作 者 简 介 ： 春玲 （ ９３一）， ， 南 陕 县 人 ， 齐 １６ 女 河 副教 授
收 稿 日期 ：０ ６—１ ２０ ２一ｌ Ｏ
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第 ５期
齐 春 玲 ： 于 罗 尔 （ ｏ ｅ 中 值 定 理 条 件 的研 究 关 Ｒｌ ） ｌ
１ 区 间端 点处 不 连续 的 情 形
定 理 １ 若 函数 厂 ） （ 满足 ： ｉ在开 区间 （ ， ） （） 口 ｂ 内可 导 ； ｉ ｌ 厂 ）＝ｌ （ 。 （ｉ ｉ （ ）ｒ ａ ｉ 厂 ） ａ ｒ
… ， ＋ — ６一
则在 （ ， ）内至少存 在一 点 ， 得 厂 （ ＝０ 口ｂ 使 ） 。