2019届黑龙江省哈尔滨市高三下学期开学考试文科数学试卷【含答案及解析】
黑龙江省哈尔滨2019届高三第一次月考文科数学试卷(含答案)
2018-2019年度高三学年上学期第一次月考数学试题(文科)考试时间：120分钟试卷满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.5sin3π=1.2A -1.2B .2C-2D 2.已知集合{}1A x x =<，{}31x B x =<，则.A {|0}A B x x =< .B A B =R .C {|1}A B x x => .D A B =∅ 3.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则52S S =.11A .5B .11C -.8D -4.下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是.A y x =.2x B y =.lg C y x=.D y =5.已知1sin 23α=，则2cos ()4πα-=1.3A 4.9B 2.3C 8.9D 6.函数2()ln(43)f x x x =-+的单调递增区间是.(,1)A -∞.(,2)B -∞.(2,)C +∞.(3,)D +∞7.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a .12A -.10B -.10C .12D 8.已知03x π=是函数()sin(2)f x x =+ϕ的一个极大值点，则()f x 的一个单调递减区间是2.(,)63A ππ5.(,)36B ππ.(,)2C ππ2.(,)3D ππ9.已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=.7A .5B .5C -.7D -10.将函数sin(2)6y x π=-的图象向左平移4π个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是.12A x π=.6B x π=.3C x π=.12D x π=-11.已知函数(),2x x e e f x x R --=∈，若对(0,]2π∀θ∈，都有(sin )(1)0f f m θ+->成立，则实数m 的取值范围是.(0,1)A .(0,2)B .(,1)C -∞.(,1]D -∞12.已知()ln xf x x x ae =-（e 为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a 的取值范围是1.(0,)A e .(0,)B e 1.(,)C e e.(,)D e -∞二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知数列{}n a 满足111n n a a +=-，112a =，则2019a =_________14.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则n a =_________15.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,abc ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b =______16.已知函数()2cos sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是________三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本题满分12分)在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin sin sin sin c A B b a A C+=-+.(1)求角B 的大小；(2)若b =，3a c +=，求ABC 的面积.18.（本题满分12分）已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π．(1)求ω的值；(2)求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎣⎦，上的取值范围．19.(本题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)n S n n N n *∈均在函数2y x =+的图像上.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设11n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m .20.(本题满分12分)已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 经过点221(，M ，其离心率为22，设直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于B A 、两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线l 与圆3222=+y x 相切，求证：OB OA ⊥（O 为坐标原点）．21.（本题满分12分）已知函数()()ln R f x ax x a =-∈.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 有两个零点12,x x ，证明：12112ln ln x x +>.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.22.(本题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为312()12x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=-．(1)求圆C 的圆心到直线l 的距离；(2)已知(1,0)P ，若直线l 与圆C 交于,A B 两点，求11PA PB+的值．23.(本题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数()22f x x =-+，()()g x m x m R =∈．（1）解关于x 的不等式()5f x >；（2）若不等式()()f x g x ≥对任意x R ∈恒成立，求m 的取值范围．2018-2019年度高三学年上学期第一次月考数学试卷(文科)答案一．选择题1-6CACDCD7-12BBDADA 二．填空题13.1-14.12n --15.211316.三．解答题17.（1）c a b b a a c+=-+ 2222cos a c b ac ac B ∴+-=-=1cos 2B ∴=-120B ∴=︒（2）22222cos ()22cos b a c ac B a c ac ac B =+-=+-- 1ac ∴=1sin 24S ac B ∴==18.（Ⅰ）1cos2()sin 222x f x x ωω-=+11sin 2cos2222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>，所以2ππ2ω=，解得1ω=．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为2π03x ≤≤，所以ππ7π2666x --≤≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤，因此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．19.2n S n n=+ 22n S n n ∴=+1(1)2,21n n n n a S S n -≥=-=+1(2)1,3n a ==，适合上式21n a n ∴=+1111(2)((21)(23)22123n b n n n n ==-++++11111111111((23557212323236n T n n n ∴=-+-++-=-<+++ 1102063m m ∴≥∴≥m Z ∈ min 4m ∴=20.（1）因为22c e a == ，222a b c =+222a b ∴=∴椭圆方程为222212x y b b∴+=2(1,2在椭圆上221,2b a ∴==∴椭圆方程为2212x y +=（2）因为直线l 与圆2223x y +=3=即223220m k --=由22,22y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得222(12)4220k x kmx m +++-=．设点A 、B 的坐标分别为11(,)A x y 、22(,)B x y ，则122412km x x k +=-+，21222212m x x k -=+，()()()2222121212122212m k y y kx m kx m k x x km x x m k -∴⋅=++=+++=+2222212122222223220121212m m k m k OA OB x x y y k k k ----∴⋅=+=+==+++ OA OB∴⊥21．（1）()()110ax f x a x x x-=-=>'当0a ≤时，()0f x '<，所以()f x 在()0,+∞上单调递减；当0a >时，()0f x '=，得1x a =10,x a ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭都有()0f x '<，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；1,x a ⎛⎫∀∈+∞ ⎪⎝⎭都有()0f x '>，()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.综上：当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递减，无单调递增区间；当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.（2）函数()f x 有两个零点分别为12,x x ，不妨设12x x <则11ln 0x ax -=，22ln 0x ax -=，()2121ln ln x x a x x -=-要证：12112ln ln x x +>只需证：12112a x x +>只需证：12122x x a x x +>只需证：12211221ln ln 2x x x x x x x x +->-只需证：22212121ln 2x x x x x x ->只需证：2211121ln 2x x x x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭令211x t x =>，即证11ln 2t t t ⎛⎫<- ⎪⎝⎭设()11ln 2t t t t φ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()222102t t t t φ'--=<，即函数()t φ在()1,+∞单调递减，则()()10t φφ<=，即得12112ln ln x x +>22.解：(1)由直线l的参数方程为12()12x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数消去参数t ，可得：10x -=圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=-，即24cos ρρθ=-.所以圆C 的普通坐标方程为2240x y x ++=则(2,0)C -．所以圆心(2,0)C -到直线l 的距离21322d --==(2)已知(1,0)P ，点P 在直线l 上，直线l 与圆C 交于,A B 两点，将312()12x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数代入圆C 的普通坐标方程2240x y x ++=得：250t ++=设,A B 对应参数为12,t t，则12t t +=-，125t t =因为120t t >，12,t t 是同号．所以1212121111335t t PA PB t t t t ++=+==．23.（1）由()5f x >，得23x ->,即23x -<-或23x ->,1x ∴<-或5x >.故原不等式的解集为{}15x x x <->或（2）由()()f x g x ≥，得2+2≥-x m x 对任意x R ∈恒成立,当0x =时，不等式2+2≥-x m x 成立,当0x ≠时，问题等价于22x m x -+≤对任意非零实数恒成立,22221 , 1x x m x x -+-+=∴ ≥≤，即m 的取值范围是( , 1]-∞.。
黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第一次模拟考试(内考)数学(文)试题(精品解析)
文科数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求.1.已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由图象可知阴影部分对应的集合为，然后根据集合的基本运算求解即可【详解】由Venn图可知阴影部分对应的集合为，或，0，1，，，即，故选：D．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用图象先确定集合关系是解决本题的关键，比较基础．2.设复数，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】,故选C.3.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）正视图侧视图俯视图A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由三视图可判断该几何体为三棱锥，结合三棱锥的体积公式即可求出结果.【详解】由三视图可知该几何体为三棱锥，且底面为直角三角形，直角边分别为1和2，三棱锥的高为2，所以该三棱锥的体积为.故选A【点睛】本题主要考查根据几何体的三视图求几何体体积问题，首先由三视图还原几何体，再由体积公式求解即可，属于常考题型.4.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，，所以，故选A．【技巧点拨】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及对数，则联系对数的单调性来解决．5.已知数列的前项和，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，且，∴，即∴，当时，，∴，即，∴∴∴故选：C6.已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A. 若，垂直于同一平面，则与平行B. 若，平行于同一平面，则与平行C. 若，不平行，则在内不存在与平行的直线D. 若，不平行，则与不可能垂直于同一平面【答案】D【解析】由，若，垂直于同一平面，则，可以相交、平行，故不正确；由，若，平行于同一平面，则，可以平行、重合、相交、异面，故不正确；由，若，不平行，但平面内会存在平行于的直线，如平面中平行于，交线的直线；由项，其逆否命题为“若与垂直于同一平面，则，平行”是真命题，故项正确.所以选D.考点：1.直线、平面的垂直、平行判定定理以及性质定理的应用.7.函数的图象恒过点，下列函数中图象不经过点的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函数过定点为,代入选项验证可知A选项不过点,故选A.8.已知函数的最小正周期为，直线是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先由函数的最小正周期为求出，再由是其图象的一条对称轴，即可得出结果.【详解】因为函数的最小正周期为，所以，所以，所以，故排除B、D选项；又因为直线是其图象的一条对称轴，，，所以符合条件的解析式为.故选A【点睛】本题主考查三角函数的图像和性质，熟记正弦函数的性质即可求解，属于基础题型.9.阅读如图所示的程序框图，若运行相应的程序输出的结果为，则判断框中的条件不可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】前6步的执行结果如下：；；；；；；观察可知，的值以3为周期循环出现，所以判断条件为？时，，输出的结果不为0．故选A.10.已知双曲线的右焦点到渐近线的距离为，且在双曲线上到的距离为的点有且仅有个，则这个点到双曲线的左焦点的距离为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】双曲线焦点到渐近线的距离为,所以.双曲线上到的距离为2的点有且仅有1个,即双曲线右顶点到右焦点的距离为,故,由于,解得,右顶点到左焦点的距离为,故选D.11.已知，在这两个实数，之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据这五个数构成等差数列，可用，表示出后三项，再由，令，代入后三项的和，即可求出结果.【详解】因为在实数，之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，所以设中间三项为，由等差数列的性质可得，所以，同理可得，所以后三项的和为，又因为，所以可令，所以.故选D【点睛】本题主要考查等差数列的性质，熟记等差数列的性质和三角函数的性质，即可求解，属于常考题型.12.函数，方程有个不相等实根，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据题意画出函数图像：设有两个根，每个t值对应两个x值，故情况为当属于情况一时，将0代入方程得到m=1,此时二次方程的根是确定的一个为0，一个为2，不符合题意；当属于情况二时，故答案为：C.点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题．研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最值、函数的变化趋势等，根据题目要求，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现。
2019-2020年高三下学期开学数学试卷(文科)含解析
2019-2020年高三下学期开学数学试卷(文科) 含解析一•选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)集合A={x| — 1 < x W 2} , B={x| x v 1}，贝U A AB=({x| x v 1} B . {x| —1 W x w 2}2i2 )=( )1 - i1.A.2.A.3.为了解某地区中小学生的视力情况，事先已经了解到该地区小学、初中、—2i B. —4i C. 2i D. 4iC. {x| —1 < x< 1})D . {x| —1 < x v 1}力情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( A .简单的随机抽样C.按学段分层抽样4 .命题?A. ? x o€ C. ? x o€ 5.A ABC cosB=(拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视)B .按性别分层抽样D .系统抽样x €( 0, +8), lnx 丰 x —(0, +8), lnX0=x0- 1(0, +8), lnx°=x0 —11”的否定是(B. ? X0? (0,D. ? x0? (0,)+m), lnx o=x o —1+8), Inx°=x o —1的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等比数列，且c=2a，则)6.已知实数C D4 (Qoy满足七丫I 2D . 0输出则z=4x+y的最大值为(C. 2A . 10B .7.执行如图所示的程序框图, s的值为(结束A JB 匚C -&某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（1++ i1\__9.以点(3,- 1 )为圆心且与直线3x+4y=0相切的圆的方程是( )2 2 2 2 2 2A. (x- 3) + (y+1) =1B. (x+3) + (y- 1) =1C. (x+3) + (y- 1) =2D.(x -2 23) + (y+1) =2 10•如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（1, 0）.且点C与点D在函数x+1,垃Ao_丄討］疋<0的图象上.若在矩形ABCDA .( - s, 0] B.(-汽1] C . [ - 2, 1] D . [ - 2, 0]二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13 .若向量五=（1, - 3）, |茨| =|，饭？逗=0，则|运| =.14. 在等差数列｛ a n｝中，已知a3+a3=10,则3a5+a7=_侧观图14T C.16f (x)= 内随机取一点，则该点取自空白部分11•设|AB| =F为抛物线_( )V30A .B . 612C：y =3x的焦点，过F且倾斜角为30 °勺直线交于C于A , B两点，则12.已知函数C. 12D. 7 二(x) ln(x+l)t.，若|f (x)| > ax,则a的取值范围是（15. 已知函数f (x ) =axl nx , x €( 0, +^),其中a 为实数，f'(x )为f (x )的导函数，若 f (1) =3，则a 的值为_.2 216. 已知抛物线y 2=4x 与双曲线r - ' =1 (a >0, b >0)有相同的焦点F ，点A 是两曲/ b 2 线的一个交点，且 AF 丄x 轴，则双曲线的离心率为三、解答题(本大题共 5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .)2 2 217. 在△ A BC 中，角 A . B . C 所对的边分别为 a. b. c ,已知 sin B+sin C=sin A+sin BsinC . (1)求角A 的大小；18. 某商场举行有奖促销活动， 顾客购买一定金额的商品后即可抽奖， 抽奖方法是：从装有 2个红球A 1, A 2和1个白球B 的甲箱与装有2个红球纳，a 2和2个白球b 1, b ?的乙箱中， 各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖.(I)用球的标号列出所有可能的摸出结果；(n)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为 正确吗？请说明理由.19. 在三棱锥P -ABC 中.侧梭长均为4.底边AC=4 . AB=2 , BC=2二，D . E 分别为PC . BC 的中点.〔I )求证：平面 PAC 丄平面 ABC .(n)求三棱锥 P -ABC 的体积；(川)求二面角 C - AD - E 的余弦值.2 220. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆C 1：' (a >b >0)的左焦点为F 1 (- 1,a b0),且点 P (0, 1)在 C 1 上. (1) 求椭圆C 1的方程；2(2) 设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2： y =4x 相切，求直线I 的方程. 21. 已知函数f (x ) =ax 3+x 2 ( a € R )在x=-［处取得极值. (1) 确定a 的值；(2) 讨论函数g (x ) =f (x ) ?e x 的单调性. ［选修4-1 :几何证明选讲］(2)若 cosB^ —,a=3,求c 值.22. 如图，AB是的O O直径，CB与O O相切于B , E为线段CB上一点，连接AC、AE 分别交O O于D、G两点，连接DG交CB于点F.(I)求证：C、D、G、E四点共圆.(n)若F为EB的三等分点且靠近E, EG=1 , GA=3，求线段CE的长.［选修4-4 :坐标系与参数方程］t COS G23. 在直角坐标系xOy中，曲线C1：. (t为参数，t z0),其中O w a n,在以y=tsindO为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：P=2si n0, C3 :p=2 cos 0.(1 )求C2与C3交点的直角坐标；(2 )若C i与C2相交于点A , C i与C3相交于点B，求| AB|的最大值.［选修4-5 :不等式选讲］24. 已知函数f (x) =| x+a|+| x - 2|(1 )当a=- 3时，求不等式f (x)> 3的解集；(2)若f (x)w | x-4|的解集包含［1，2］，求a的取值范围.2015-2016学年贵州省黔南州凯里一中高三(下)开学数学试卷(文科)参考答案与试题解析一.选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的•)1 集合A={x| - 1 < x w 2} , B={x| x v 1}，则A nB=( )A . {x|x v 1}B . {x| - 1 w x< 2} C. {x| - 1 w x w 1} D . {x| - 1 w x v 1}【考点】交集及其运算.【分析】利用交集和数轴即可求出A nB.【解答】解：A AB={ x| - 1 w x w 2} A(x|x v 1}={x| - 1 w x w 2,且x v 1} ={x| — 1 w x v 1}. 故选D .2i 22. ^—7)=( )A. - 2i B . - 4i C . 2i D . 4i【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】利用复数的运算法则即可得出.【解答】解：(亠^)2=—■< 一= - 2i .1 _ 1 - 21 1 1 • 1故选：A .3. 为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A .简单的随机抽样B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样 D .系统抽样【考点】分层抽样方法.【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样.【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大.了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理.故选：C .4. 命题? x €( 0, +8), I nx丰x -1”的否定是( )A . ? x o€( 0, +m), Inx o=x o- 1B . ? x o? (0, +m), Inx o=x o- 1C . ? x o€( 0, +8), Inx o=x o-1D . ? x o? (0, +8), Inx o=x o-1【考点】命题的否定.【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可.【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题? X €( 0, +8), I nx 丰 x- 1”的否定是？ X o€( 0, +8), I nx o=x o- 1;故选：A.5. A ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=( )A. --B.丄C.D.』4 4 4 3【考点】余弦定理；等比数列.【分析】根据等比数列的性质，可得b=二a,将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案.2【解答】解：△ ABC中，a、b、c成等比数列，则b2=ac,由c=2a，贝U b=©a,a2 + c2 _b2J「2a2 3COsB=―药~，故选B .6. 已知实数x, y满足* y〉0 ，则z=4x+y的最大值为( ),K+y<2A. 10B. 8C. 2D. 0【考点】简单线性规划.【分析】画出足约束条件y>0的平面区域，再将平面区域的各角点坐标代入进行判断，即可求出4x+y的最大值.【解答】解：已知实数x、y满足y>0 ,x+y<2在坐标系中画出可行域，如图中阴影三角形，三个顶点分别是 A ( 0, 0), B (0, 2), C (2, 0),由图可知，当x=2 , y=0时，4x+y的最大值是8.故选：B.}计算并输出S 的值为.•【解答】解：模拟执行程序框图，可得 k=1 k=2不满足条件k > 4, k=3 不满足条件k > 4, k=4 不满足条件k > 4, k=5只兀 1满足条件k >4, S=sin —,6 2-77 •执行如图所示的程序框图，输出s 的值为（）Vi【考点】程序框图.【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k 的值，当k=5时满足条件 k > 4,Et+lA •输出S 的值为. 2故选：D .8某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是(D 14B —— .棱柱、棱锥、棱台的体积.由题意直接利用三视图的数据求解棱台的体积即可. 解：几何体是四棱台，下底面是边长为 2的正方形，上底面是边长为 1的正方形,故选B . 9•以点(3,- 1 )为圆心且与直线 3x+4y=0相切的圆的方程是()22 2 2 2 2A . (x - 3) + (y+1) =1B . (x+3) + (y - 1) =1C . (x+3) + (y - 1) =2D .(x -2 23) + (y+1) =2 【考点】圆的标准方程.【分析】根据题意，求出点(3,- 1)与直线3x+4y=0的距离，即为所求圆的半径，结合 圆的标准方程形式即可得到本题答案.【解答】 解：设圆的方程是(x - 3) 2+ (y+1) 2=r 2 •••直线3x+4y=0相与圆相切|9・4丨.•.圆的半径r==1因此，所求圆的方程为(x - 3) 2+ ( y+1) 2=1侧视图俯视厦1C .【考点】 【分析】 【解答】 棱台的高为2，并且棱台的两个侧面与底面垂直，四楼台的体积为 V=丄-;;j ：■ ：/ ;十 工X 广"=丄.故选：A.2，2， 10.如图，矩形 ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1, 0).且点C 与点D 在函数Ix>01 _ / 的图象上.若在矩形 ABCD 内随机取一点，则该点取自空白部分-yx+l, X<01 3 •••矩形的面积S=3 x 2=6，阴影三角形的面积 S= _ x 3x 仁一，•••所求概率P=1 -=.423【解答】解：由y 2=3x 得其焦点F (才，0),准线方程为2则过抛物线y =3x 的焦点F 且倾斜角为30°的直线方程为 代入抛物线方程，消去 y ，得16x 2- 168x+9=0 . 设 A (X 1, y 1), B (X 2, y 2)nt[ 163 21 则 X 1+X 2=33 3 3 21所以 |AB|=X 1+ .+X 2+ . = .+?+=12f (x)=[【考点】【分析】几何概型.由题意易得矩形和三角形顶点的坐标，进而可得面积，由几何概型可得.解：由题意可得 B (1, 0),把x=1代入y=x + 1可得y=2，即 3个定点为(0, 把x=0代入y=x + 1可得y=1，即图中阴影三角形的第 令-.x+1=2 可解得 x= - 2，即 D (- 2, 2),C (1, 2), 1), 2C ： y =3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交于11.设F 为抛物线 |AB|=( )A .警B . 6【考点】抛物线的简单性质.【分析】求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程, 关系，由弦长公式求得|AB|.C 于A , B 两点，则C . 12D . 7-利用根与系数的3x= -.y=ta n30 ° (x -订)半 (x -.).故选：CA • ( - s, 0]B . ( - s, 1]C . [ - 2, 1]D • [ - 2, 0]【考点】其他不等式的解法.【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数 y=|f (x ) |的图象，和函数y=ax 的图象，由导数求切线斜率可得I 的斜率，进而数形结合可得a 的范围.【解答】 解：由题意可作出函数 y=|f (x ) |的图象，和函数 y=ax 的图象，由图象可知：函数 y=ax 的图象为过原点的直线，当直线介于 I 和x 轴之间符合题意，直线I为曲线的切线，且此时函数 y=|f (x ) |在第二象限的部分解析式为y=x 2-2x ,求其导数可得y=2x - 2,因为x w 0,故y'w- 2,故直线I 的斜率为-2, 故只需直线y=ax 的斜率a 介于-2与0之间即可，即a € [ - 2, 0] 故选：D 二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13•若向量乔=(1, - 3), |=|，乔？丽=0，则|忑| = ___________________ • 【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.【分析】利用向量模的计算公式、向量垂直与数量积的关系即可得出. 【解答】解：设丽=(x , y ), •••向量o?= (1,- 3), |齐| =|忑|，忑？廷=0,-=〔：］L :?= (2, 4)或(-4, 2)•• | J |= 「一: '■• 故答案为：匚14. 在等差数列｛a n ｝中，已知a 3+a 8=10，则3a 5+a 7= 【考点】 等差数列的通项公式. 【分析】根据等差数列性质可得： 3a 5+a 7=2 (a 5+a 6)=2 (Os+a g ). 【解答】解：由等差数列的性质得：3a 5+a 7=2a 5+ (a 5+a 7)=2a 5+ (2a 6)=2 (a 5+a 6)=2 (a 3+a g ) =20,12•已知函数 (x):-x +2x, ln(x+l) t' ，若|f (x ) | >ax ,则a 的取值范围是( x>0I ；■= (3, 1), (— 3,- 1) •故答案为：20.15. 已知函数f (x) =axl nx , x €( 0, +^),其中a为实数，f'(x)为f (x )的导函数，若f (1) =3，则a的值为_.【考点】导数的运算.【分析】根据导数的运算法则求导，再代入值计算即可.【解答】解：I f' (x) =a (1+lnx ), f' (1) =3,••• a (1+ln1) =3,解得a=3,故答案为：3.2 216. 已知抛物线y2=4x与双曲线’--」=1 (a> 0, b>0)有相同的焦点F，点A是两曲a2线的一个交点，且AF丄x轴，则双曲线的离心率为 ______ .【考点】双曲线的简单性质.【分析】根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得c,根据AF丄x轴，可判断出|AF|的值和A的坐标，代入双曲线方程，求得离心率e.【解答】解：•••抛物线y2=4x的焦点(1, 0)和双曲线的焦点相同，• c=1 ,•/ A是它们的一个公共点，且AF垂直于x轴，设A点的纵坐标大于0,•••|AF|=2,••• A (1, 2),•••点A在双曲线上，1 4 .••一 .一 ,a b•/ c=1 , b2=c2- a2,a= - 1,••• e=：=1+ ",故答案为：1+ 一.三、解答题(本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)2 2 217. 在△ A BC 中，角A . B . C 所对的边分别为a. b. c,已知sin B+sin C=sin A+sin BsinC .(1)求角A的大小；(2 )若cosB= =, a=3,求 c 值.【考点】余弦定理；正弦定理.【分析】(1)利用余弦定理表示出cosA，已知等式利用正弦定理化简，代入计算求出cosA 的值，即可确定出A的度数；(2)由cosB 的值求出sinB 的值，再由cosA 与sinA 的值，利用两角和与差的正弦函数公 式化简sin (A+B ),把各自的值代入求出 sin (A+B )的值，即为sinC 的值，利用正弦定理求出c 的值即可.2 2 2【解答】 解：(1)由正弦定理可得 b 2+c 2=a 2+bc .T A €( 0, n) , . A = —3 ； (2 )由(1)可知，si nA=^Z2••• cosB= , B 为三角形的内角,3.sin B=\36.3X V3+2V2由正弦定理 一^=^_,得c=—"'---sinA sinCsinA18•某商场举行有奖促销活动， 顾客购买一定金额的商品后即可抽奖， 抽奖方法是：从装有 2个红球A i , A 2和1个白球B 的甲箱与装有2个红球a i , a ?和2个白球b i , b ?的乙箱中, 各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖.(I)用球的标号列出所有可能的摸出结果；(n)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为 正确吗？请说明理由.【考点】 相互独立事件的概率乘法公式.【分析】(I)中奖利用枚举法列出所有可能的摸出结果；(n)在(I)中求出摸出的2个球都是红球的结果数，然后利用古典概型概率计算公式求 得概率，并说明中奖的概率大于不中奖的概率是错误的. 【解答】解：(I)所有可能的摸出的结果是：{ A 1, a 1} , { A 1, a 2} , { A 1, b 1} , { A 1, b 2} , { A 2, a 1} , {A 2, a 2},{A 2 , b 1}, {A 2 , b 2} , {B , a 1} , {B , a 2} , { B , b 〔}, { B , b 2}；(n)不正确.理由如下：由(I)知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为：{ A 1 , a 1} , { A 1 , a 2} , { A 2 , a 1} , { A 2 , a 2},共 4 种,41••冲奖的概率为厂一不中奖的概率为：1 - 丁 _故这种说法不正确.19. 在三棱锥 P -ABC 中.侧梭长均为 4.底边AC=4 . AB=2 , BC=2二，D . E 分别为PC. BC 的中点. 〔I ）求证：平面 PAC 丄平面 ABC .由余弦定理:cosA=b 2+c 2- 2bcsinC=sin (A+B ) =sinAcosB +cosAsinB= •匚'匚二（H ）求三棱锥 P -ABC 的体积；（川）求二面角 C - AD - E 的余弦值.B【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；二面角的平面角及求法. 【分析】（I ）禾U 用等腰三角形的性质即可得到 0P 丄AC ,再利用勾股定理的逆定理即可得到 0P 丄0B ,禾U 用线面垂直的判定定理即可证明；（II ）由（1）可知0P 丄平面ABC ，故0P 为三棱锥P -ABC 的高，且0P= 二直角三角 形ABC 的面积S=】f 汇，再利用-即可得出.（III ）过点E 作EH 丄AC 于H ，过点H 作HM 丄AD 于M ，连接ME ，由平面PAC 丄平面 ABC , EH 丄AC , EH?平面ABC ，可得EH 丄平面PAC ,于是ME 丄AD （三垂线定理），可 得/ EMH 即为所求的二面角的平面角.利用直角三角形的边角关系求出即可. 【解答】证明：（I ）： PA=PB=PC=AC=4 , 取AC 的中点0,连接0P , 0B ，可得：0P 丄AC ,— ■ 八h —汀— [ .,••• AC 2=AB 2+BC 2,.・.A ABC 为 Rt △. •••0B=0C=2 , PB 2=OB 2+0P 2,.・.0P 丄 0B .又• AC AB0=0 且 AC 、0B?面 ABC , • 0P 丄平面 ABC , 又••• 0P?平面PAC ,•平面 PAC 丄平面 ABC .）（□）由（I ）可知：0P 丄平面ABC ,••• 0P 为三棱锥P -ABC 的高，且0P=- 一. 直角三角形ABC 的面积S =g 「M 「叮碍】• V p -ABC =+心莎C =-.-1（川）方法一：过点 E 作EH 丄AC 于H ,过点H 作HM 丄AD 于M ,连接 ME ，•平面PAC 丄平面 ABC ,平面PAC 门平面 ABC=AC , EH 丄AC , EH?平面 ABC , ••• EH 丄平面PAC ,「. ME 丄AD （三垂线定理）， •••/ EMH 即为所求的二面角的平面角. ••• E , D 分别为中点，EH 丄AC , •••在 RT A HEC 中：匚，.,5在RT A HMA 中；在RT A HME中，"_ J，「亠45_—卡二=2 220. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C i：一’ - (a>b>0)的左焦点为F i (- 1,a L0),且点P (0, 1)在C i上.(1)求椭圆C i的方程；2(2)设直线I同时与椭圆C i和抛物线C2：y =4x相切，求直线I的方程.【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程.2 2【分析】(1 )因为椭圆C i的左焦点为F i(- 1,0),所以c=1，点P( 0,1 )代入椭圆~+^=1, 得b=1，由此能求出椭圆C i的方程.(2)设直线I 的方程为y=kx+m，由~2~ + y=\得(1+2k2) x2+4kmx+2m2-2=0 .因为2 2 2 2直线I与椭圆C i相切，所以△ =16k2m2- 4 ( 1+2k2) (2m2-2) =0.由此能求出直线I的方程.【解答】解：(1)因为椭圆C i的左焦点为F i (- 1, 0),所以c=1 ,2 2 1点P ( 0, 1)代入椭圆- •，得=一，即b=1 ,异A所以a2=b2+c2=22所以椭圆C 1的方程为■.--2(2)直线I 的斜率显然存在， 设直线I 的方程为y=kx+m ,2/ -卜--,消去 y 并整理得(1+2k 2) x 2+4kmx+2m 2- 2=0 , 尸 kx+m因为直线I 与椭圆C 1相切，所以△ =16k 2m 2 - 4 (1+2k 2) (2m 2- 2) =0 整理得2 k 2 - m 2+仁0①2_ Y，消去 y 并整理得 k 2x 2+ ( 2km - 4) x+m 2=0因为直线l 与抛物线C 2相切，所以△ = (2km - 4) 2 - 4k 2m 2=0 整理得km=1②综合①②，解得*所以直线1的方程为丁 ■一 _,： ■ ' ■.或■. 乙£3 2421. 已知函数f (x ) =ax +x ( a € R )在x= 处取得极值.(1) 确定a 的值；(2) 讨论函数g (x ) =f (x ) ?e x 的单调性.【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性. 求导数，利用f (x ) =ax 3+x 2 ( a € R )在x=-二处取得极值，可得f ' ( - ^)=ax 3+x 2 ( a € R )在x=- 处取得极值， J)=0，••• 3a? ] +2? (-〕)=0,1• a =；(2)由(1)得 g (x ) = C. x 3+x 2) e x ,••• g' (x ) = (_!X 2+2X ) e x + (一x 3+x 2) e x = x (x+1) (x+4) e x ,由* 【分析】(1) =0,即可确定(2 )由 (1) 【解答】 解:a 的值；得g (x ) = (=X 3+X 2) e x ，利用导数的正负可得 g (x )的单调性.(1)对 f (x )求导得 f ' (x ) =3ax 2+2x . ••• f (x) •-f'(—2 2 2令g' (x) =0 ,解得x=0 , x= - 1 或x= - 4,当x v- 4时，g' (x)v 0,故g ( x)为减函数；当-4v x v- 1时，g' (x)> 0，故g (x)为增函数；当-1 v x v 0时，g'( x) v 0，故g (x)为减函数；当x>0时，g ' (x)> 0，故g (x)为增函数；综上知g (x)在(-a,- 4 )和(-1, 0)内为减函数，在(-4，- 1)和(0, +8)为增函数.［选修4-1 :几何证明选讲］22•如图，AB是的O O直径，CB与O O相切于B , E为线段CB上一点，连接AC、AE 分别交O O于D、G两点，连接DG交CB于点F.(I)求证：C、D、G、E四点共圆.(H)若F为EB的三等分点且靠近E, EG=1 , GA=3，求线段CE的长.【考点】与圆有关的比例线段.【分析】(I)连接BD，由题设条件结合圆的性质能求出/ C= / AGD，从而得到/ C+ZDGE=180 °由此能证明C, E, G, D四点共圆.(H)由切割线定理推导出EB=2，由此能求出CE的长.【解答】(I)证明：连接BD，则/ AGD= / ABD ,•••/ ABD +/ DAB=90 ° / C+Z CAB=90 °•••/ C=Z AGD ,•Z C+Z DGE=180 °• C, E, G, D四点共圆.…(n)解：••• EG?EA=EB2,EG=1,GA=3 ,• EB=2,又••• F为EB的三等分点且靠近E,2 4•二，二，又••• FG?FD=FE?FC=FB2,o•FC，CE=2 …2_ 2 2P ¥代入可得直角坐标方 尸 P sin 。
2019届黑龙江省哈尔滨市三中高三第二次模拟数学(文)试卷及答案
2019届黑龙江省哈尔滨市三中高三第二次模拟考试数学（文）试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知{}{}1|B 3,2,1,0,1-A >==x x ，，则A B 的元素个数为 A ．0 B ．2 C ．3 D ．52．复数)()2(2为虚数单位i ii z -=,则=||zA ．5B ．5C ． 25D ．41 3．函数1cos 22sin )(2+-=x x x f 的最小正周期为 A. πB. 2πC. 3πD. 4π4. 已知向量＝(－1,2)，＝(3,1)，）（4,x c =，若⊥-)(，则x ＝ A ．1 B ．2 C ．3D ．45．若双曲线12222=-by a x 的一条渐近线方程为x y 2=,则其离心率为A ．2B ．3C ．2D ．3 6．已知一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示， 则该几何体的体积是A ．1 B. 32 C.2 D.37．若x 、y满足约束条件的最小值为，则y x z y y x y x 3400203-=⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≤-+A ．0B ．-1C ．-2D ．-38．函数)43(log )(22--=x x x f 的单调减区间为A ．），（1-∞- B. ），（23-∞- C. ），（∞+23D. ），（∞+49．在数学解题中，常会碰到形如“xyyx -+1”的结构，这时可类比正切的和角公式． 如：设b a ,是非零实数，且满足158tan 5sin5cos 5cos5sin π=π-ππ+πb a b a ，则a b ＝ A ．4 B ．15 C ．2 D ．310．我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截 取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图 所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的 长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是 A ．i i ,iS S ,i 2120=-=< B ．i i ,iS S ,i 2120=-=≤C ．1220+==<i i ,SS ,i D ．1220+==≤i i ,SS ,i 11．从分别写有数字1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是 A ．101B ．103C ．53 D ．5212. 已知点A (0,2)，抛物线C 1：)0(2>=a ax y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ,若|FM |∶|MN |＝1∶5，则a 的值为 A ．14 B ．12 C ．1D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知函数x x x f sin 2)(-=，当[]1,0∈x 时，函数)(x f y =的最大值为_________. 14．已知函数)x (f 是奇函数，当))(f (f ,x lg )x (f x 10010则时，=>的值为_________. 15．已知直三棱柱111C B A ABC -的6个顶点都在球O 的球面上，若AB=6，AC=10，AC AB ⊥,,521=AA 则球O 的表面积为 .16．在△ABC 中，已知 (a ＋b )∶(c ＋a )∶(b ＋c )＝6∶5∶4，给出下列结论：①由已知条件，这个三角形被唯一确定； ②△ABC 一定是钝角三角形； ③sin A ∶sin B ∶sin C ＝7∶5∶3； ④若b ＋c ＝8，则△ABC 的面积是1532. 其中正确结论的序号是 .三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：(共60分) 17．(12分)已知等差数列{}n a 中，1673-=a a ，064=+a a （1）求{}n a 的通项公式n a ； （2）求{}n a 的前n 项和n S .18．(12分)如图所示，四棱锥S-ABCD 中，SA ⊥底面ABCD ，CD AB //,,3===AB AC AD ,4==CD SA P 为线段AB 上一点，,2PB AP = SQ=QC . （1）证明：PQ//平面SAD ; （2）求四面体C-DPQ 的体积. 19．(12分)随着社会的发展，终身学习成为必要，工人知识要更新，学习培训必不可少，现某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训(称为A 类工人)，另外750名工人参加过长期培训(称为B 类工人)，从该工厂的工人中共抽查了100名工人，调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件数)得到A 类工人生产能力的茎叶图(图1)，B 类工人生产能力的频率分布直方图(图2)．(1)问A 类、B 类工人各抽查了多少工人，并求出直方图中的x ；(2)求A 类工人生产能力的中位数，并估计B 类工人生产能力的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)若规定生产能力在[130,150]内为能力优秀，由以上统计数据在答题卡上完成下面的2×2列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为生产能力与培训时间长短有关．能力与培训时间列联表参考公式：)d b )(c a )(d c )(b a (bc ad n K 2++++-=，其中d c b a n +++=.20．(12分)已知椭圆14522=+y x 的右焦点为F ，设直线l ：5=x 与x 轴的交点为E ，过点F 且斜率为k 的直线1l 与椭圆交于A ，B 两点，M 为线段EF 的中点．(1)若直线1l 的倾斜角为π4，求|AB |的值； (2)设直线AM 交直线l 于点N ，证明：直线BN ⊥l . 21．(12分)已知函数).1ln()(+-=x a x x f （1）当a =2时,求()f x 的单调区间;（2）当a =1时，关于x 的不等式)(2x f kx ≥在），∞+0[上恒成立，求k 的取值范围.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做,则按所做的第一题记分.22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正方向为极轴，已知曲线1C 的方程为1)1(22=+-y x ，2C 的方程为3=+y x ，3C 是一条经过原点且斜率大于0的直线.（1）求1C 与2C 的极坐标方程；（2）若1C 与3C 的一个公共点为A （异于点O ），2C 与3C 的一个公共点为B ，求OBOA 3-的取值范围.23．[选修4－5：不等式选讲](10分)（1）,,,1,a b c a b c ++=已知均为正实数且证明；9111≥++cba（2）,,,1,a b c abc =已知均为正实数且证明cb ac b a 111++≤++.2019届黑龙江省哈尔滨市三中高三第二次模拟考试数学（文）参考答案一.选择题：13．2－sin1 14．2lg - 15． 16 ②③17解：设{a n }的公差为d ，则1111(2)(6)16,350,a d a d a d a d ++=-⎧⎨+++=⎩1212181216,4.a da d a d ⎧++=-⎪⎨=-⎪⎩即118,8,2 2.a a d d =-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩解得或 （1）a n = 2n-10， a n= －2n +10.（2）S n ＝－8n ＋n (n －1)＝n (n －9)，或S n ＝8n －n (n －1)＝－n (n －9). 18 解析：(1)证明: 由已知得AP ＝23AB ＝2.如图，取DS 的中点T ，连接AT ，TQ ，由N 为PC 中点知TQ ∥DC ，TQ ＝12DC ＝2.又AB ∥DC ，故TQ ||=AP ，,,//SAD AT AT MN 平面又⊂∴从而证得PQ//平面SAD ;(2)因为SA ⊥平面ABCD ，Q 为SC 的中点，所以Q 到平面ABCD 的距离为12SA .如图，取DC 的中点E ，连接AE .由AD ＝AC ＝3得AE ⊥DC ，则AE ＝ 5.故S △DCP ＝12×4×5＝2 5.S 球＝4πR 2＝36π.所以四面体C-DPQ 的体积V C-DPQ＝45 3.19解(1)由茎叶图知A类工人中抽查人数为25名，∴B类工人中应抽查100－25＝75(名)．由频率分布直方图得(0.008＋0.02＋0.048＋x)×10＝1，得x＝0.024.(2)由茎叶图知A类工人生产能力的中位数为122.由(1)及频率分布直方图，估计B类工人生产能力的平均数为x－B＝115×0.008×10＋125×0.020×10＋135×0.048×10＋145×0.024×10＝133.8.(3)由(1)及所给数据得能力与培训的2×2列联表，由上表得K2＝25×75×38×62＝100×750225×75×38×62≈12.733>10.828.因此，可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为生产能力与培训时间长短有关．椭圆中的综合问题20．由题意知，F(1,0)，E(5,0)，M(3,0)．(1)∵直线l1的倾斜角为π4，∴斜率k＝1.∴直线l1的方程为y＝x－1.代入椭圆方程，可得9x2－10x－15＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝109，x1x2＝－53.∴|AB |＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1092＋4×53＝1659.(2)证明：设直线l 1的方程为y ＝k (x －1)． 代入椭圆方程，得(4＋5k 2)x 2－10k 2x ＋5k 2－20＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝10k 24＋5k 2，x 1x 2＝5k 2－204＋5k 2.设N (5，y 0)，∵A ，M ，N 三点共线， ∴－y 13－x 1＝y 02，∴y 0＝2y 1x 1－3. 而y 0－y 2＝2y 1x 1－3－y 2＝2k (x 1－1)x 1－3－k (x 2－1)＝3k (x 1＋x 2)－kx 1x 2－5kx 1－3＝3k ·10k 24＋5k 2－k ·5k 2－204＋5k 2－5kx 1－3＝0.∴直线BN ∥x 轴，即BN ⊥l .21.（1）当2=a 时，)0(ln 21)(>--=x x x x f ，xx f 21)(-='，令2,0)(>>'x x f ，令20,0)(<<<'x x f ∴)(x f 的递增区间为[)+∞,2，递减区间为)2,0(（2）当1=a 时，)()1(2x f x k ≥-在[)+∞,1恒成立，即0ln 1)12(2≥++++-x k x k kx ，令x k x k kx x g ln 1)12()(2++++-=，()xkx x x g )12(1)(--='①当0≤k 时，121<k，)(x g 在[)+∞,1单调递减，0)1()(=≤g x g ，不合题意，舍 ②当210<<k 时，121>k ，)(x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡k 21,1单调递减，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21k 单调递增，其中0)1(=g ，∴)(x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡k 21,1为负，不合题意舍③当21≥k 时，121<k，)(x g 在[)+∞,1单调递增，0)1()(=≥g x g ，合题意综上，21≥k22.解：（1）曲线1C 的方程为1)1(22=+-y x ，1C 的极坐标方程为θρcos 2=2C 的方程为3=+y x ，其极坐标方程为θθρsin cos 3+=（2）3C 是一条过原点且斜率为正值的直线，3C 的极坐标方程为⎪⎭⎫⎝⎛∈=20πααθ，，联立1C 与3C 的极坐标方程⎩⎨⎧==αθθρcos 2，得αρcos 2=，即αcos 2=OA联立1C 与2C 的极坐标方程⎪⎩⎪⎨⎧α=θθ+θ=ρsin cos 3，得α+α=ρsin cos 3，即α+α=sin cos OB 3所以⎪⎭⎫ ⎝⎛π+α=α-α-α=-4223cos sin cos cos OB OA又⎪⎭⎫⎝⎛π∈α20，，所以),(OB OA 113-∈-23. 证明： （1）因为=++++++++=++ccb a bc b a a c b a cba111=++++++++111c bc a b c b a a c a b时等号成立，当c b a a cc a b c c b b a a b ==≥++++++93（2）因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⨯≥⎪⎭⎫⎝⎛+++++=++bc ac ab c b c a b a c b a 1212122111111121111 又因为,abc 1=所以c ab =1，bac =1，a bc =1()ab c cb a ++≥++∴111当c b a ==时等号成立，即原不等式成立2019届黑龙江省哈尔滨市三中高三第二次模拟考试数学（文）试卷。
2019届黑龙江省哈尔滨市高三12月月考文科数学试卷【含答案及解析】
2019届黑龙江省哈尔滨市高三12月月考文科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 若复数满足，则的共轭复数的虚部是（）A ．____________________________B ．____________________________________ C ．_______________________________ D ．2. 设，，若，则实数的取值范围是（）A ．_____________________________________B ．______________C ．____________________________D ．3. 下列四种说法中，正确的个数有（）① 命题“ 均有” 的否定是：“ 使得” ；② “命题为真”是“命题为真”的必要不充分条件；③ ，使是幂函数，且在上是单调递增；④ 不过原点（ 0，0 ）的直线方程都可以表示成；A ． 3个_______________________B ． 2个_________________________________C ． 1个___________________________________D ． 0个4. 如图是底面积为，体积为的正三棱锥的主视图（等腰三角形）和左视图，此正三棱锥的左视图的面积为（）A ．_______________________________________B ． 3__________________________________________C ．____________________________________ D ．5. 设，其中实数，满足，若的最大值为，则的最小值为（）A ．__________________________________________B ．______________________________________ C ．_______________________________________ D ．6. 将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，所得函数图象的一个对称中心是（）A ．________ _________B ．____________________________C ．_______________________D ．7. 若数列，，，…，是首项为1，公比为的等比数列，则等于（）A ．____________________________B ．____________________________ C ．____________________________D ．8. 数列满足，对任意的都有，则（）A ．____________________________B ．_______________________C ．____________________________D ．9. 定义在R上的奇函数满足，当时，，则在区间内是（）A ．减函数且__________________________________________B ．减函数且C ．增函数且__________________________________________D ．增函数且10. 若函数的最小值为，则实数a的取值范围是（）A ．_______________________B ．______________________C ．_______________________D ．11. 在中，分别为角的对边，若，则的形状为（）A ．正三角形___________________________________B ．直角三角形C ．等腰三角形_________________________________D ．等腰三角形或直角三角形12. 给出以下命题，其中正确的命题的个数是（）① 存在两个不等实数，使得等式成立；② 若数列是等差数列，且，则；③ 若是等比数列的前n项和，则成等比数列；④ 若是等比数列的前n项和，且，则；⑤ 已知的三个内角所对的边分别为，若，则一定是锐角三角形；A ． 1个_____________________________B ． 2个__________________________________ C ． 3个________________________________ D ． 4个二、填空题13. 对某同学的6次物理测试成绩（满分100分）进行统计，作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学物理成绩的以下说法：① 中位数为84；② 众数为85；③ 平均数为85；④ 极差为12 ；其中，正确说法的序号是____________ ．14. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是__________ ．15. 的外接圆圆心为，半径为，，则在方向上的投影为___________ ．16. 已知正三角形的三个顶点都在半径为的球面上，球心到平面的距离为，点是线段的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是_________ ．三、解答题17. 已知向量且A、B、C分别为△ ABC的三边a、b、c所对的角．（1）求角C的大小；（2）若成等差数列，且，求c边的长．18. 甲乙两个学校高三年级分别有1200人，1000人，为了了解两个学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：甲校：p19. ly:宋体; font-size:10.5pt">分组 [70,80） [80,90） [90,100） [100,110）频数 3 4 8 15 分组 [110,120） [120,130） [130,140） [140,150] 频数 15 x 3 2乙校：p20. ly:宋体; font-size:10.5pt">分组 [70,80 ） [80,90 ） [90,100 ） [100,110 ）频数 1 2 8 9 分组 [110,120 ） [120,130 ） [130,140 ） [140,150] 频数 10 10 y 3 （ 1 ）计算x，y的值．（ 2 ）若规定考试成绩在[120,150]内为优秀，请分别估计两个学校数学成绩的优秀率；（ 3 ）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为两个学校的数学成绩有差异．p21. ly:Calibri; font-size:10.5pt"> 甲校乙校总计优秀非优秀总计参考公式：临界值表p22. ly:宋体; font-size:10.5pt">P （K≥k 0 ） 0 ． 10 0 ． 05 0 ． 010 k 0 2 ． 706 3 ． 841 6 ． 63523. 如图，已知棱柱的底面是菱形，且面ABCD，为棱的中点，为线段的中点．（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥的体积．24. 已知椭圆（）的离心率为，且短轴长为2 ．（1）求椭圆的方程；（2）若与两坐标轴都不垂直的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，且，，求直线的方程．25. 已知函数的图像在点处的切线为．（1）求函数的解析式；（2）当时，求证：；（3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围；26. 选修4一1：几何证明选讲如图，在中，，以为直径的圆交于，过点作圆的切线交于，交圆于点．（1）证明：是的中点；（2）证明：．27. 选修4一4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同；曲线的方程是，直线的参数方程为（为参数，），设，直线与曲线交于两点．（1）当时，求的长度；（2）求的取值范围．28. 选修4一5：不等式选讲已知函数，．（1）解关于的不等式（）；（2）若函数的图象恒在函数图象的上方，求的取值范围．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。
2019年黑龙江省哈尔滨市中实学校高三数学文下学期期末试题含解析
2019年黑龙江省哈尔滨市中实学校高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．8 D．参考答案：D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个正方体内挖去一个同底等高的四棱锥，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个正方体内挖去一个同底等高的四棱锥，故体积V=（1﹣）×4×4×4=，故选：D2. 若的内角所对的边满足,且,则的值为（）A． B． 1 C． D．参考答案：C由余弦定理知：3. 已知＜＜，且，则（）A． B． C．D．参考答案：A4. 某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，根据所提供的数据可求出正方体、锥体的体积，从而得到答案．【解答】解：由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，该四棱锥的底为正方体的上底，高为1，如图所示：所以该几何体的体积为23﹣×22×1=．故选A．【点评】本题考查三视图，考查柱体、锥体的体积计算，解决该类问题的关键是由三视图还原得到原几何体，画三视图的要求为：“长对正，高平齐，宽相等”．5. 若是的对称轴，则的初相是（）A. B. C.D.参考答案：C略6. 已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m,n的比值＝A.1B.C.D.参考答案：C解析：根据茎叶图，得乙的中位数是33，∴甲的中位数也是33，即m=3；甲的平均数是=（27+39+33）=33，乙的平均数是=（20+n+32+34+38）=33，∴n=8；∴=．故选：C．【思路点拨】根据茎叶图，利用中位数相等，求出m的值，再利用平均数相等，求出n的值即可.7. 若，则下列不等式恒成立的是(A)(B)(C) (D)参考答案：C8. 下图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于（）A．B．C．D．参考答案：A略9. 下列函数中既是偶函数又在（0，+∞）上是增函数的是（）A. B. C. D.参考答案：B略10. 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)( A＞0，ω＞0,)的部分图象如图所示，则f(0)的值是（）A. B. C. D.参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则A∩B=．参考答案：{3}【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】直接利用集合的交集的求法，求出交集即可．【解答】解：因为集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，所以A∩B={3}故答案为：{3}．【点评】本题考查交集的求法，考查计算能力，送分题．12. 若圆与圆相交于，则公共弦的长为________.参考答案：公共弦所在的直线方程为，圆的圆心到公共弦的距离为，所以公共弦的长为。
黑龙江省哈尔滨市第十六中学2019年高三数学文下学期期末试卷含解析
黑龙江省哈尔滨市第十六中学2019年高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 是“曲线关于轴对称”的充分而不必要条件必要而不充分条件充分必要条件既不充分也不必要条件参考答案：A试题分析：由得函数其图象关于y轴对称；反之，当曲线关于轴对称时，有成立，所以，故知不一定有，所以是“曲线关于轴对称”的充分而不必要条件.故选A.考点：1.充要条件；2.三角函数的对称性.2. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，若，且，则的值是（）A．8 B．10 C．4 D．4或10参考答案：A由题意得，解得；，解得．∴等差数列的公差，∴．选A．3. 数列的前n项和为S n，若，则当S n取得最小值时n的值为Ａ．4或5 Ｂ．5或6 Ｃ．4 Ｄ．5参考答案：C略4. 已知，则A、2B、C、0D、参考答案：B由，故选Ｂ．5. 在同一坐标系内作出的两个函数图像图1所示，则这两个函数为（）A、和B、和C、和D、和参考答案：【知识点】指数函数与对数函数的概念与图像；B6，B7【答案解析】D解析：解:由指数函数的概念与对数函数的概念可知两个函数的图像应该为和所以D选项正确【思路点拨】根据指数函数的定义与对数函数的定义可以直接找到正确结果.6. 一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南，在B处观察灯塔，其方向是北偏东，那么B、C两点间的距离是（）A、10海里B、10海里C、20里 D、20海里参考答案：A试题分析：如下图所示，由题意可知，，，，所以，由正弦定理得，所以，故选A.考点：正弦定理.7. 已知向量＝（4，2），＝（6，），且∥，则等于（）A．3 B．C．12 D．参考答案：A略8. 函数f（x）= 2sin（x+ψ）的部分图象如图所示，设是图象的最高点，是图象与轴的交点，则 ( )A． B． C．1 D．0参考答案：C9. 设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则参考答案：C10. 设x，y满足约束条件，若目标函数的最大值为12，则ab的取值范围是A. B．C． D.参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知,,，且，则．参考答案：略12. 如图，PB为△ABC外接圆O的切线，BD平分∠PBC，交圆O于D，C，D，P共线．若AB⊥BD，PC⊥PB，PD=1，则圆O的半径是．参考答案：2【考点】与圆有关的比例线段．【分析】连结AD，由PB为圆O的切线，得∠PBD=∠BCP=∠BAD，结合BD为∠PBC的平分线，可得∠PDB=2∠PBD=60°，在Rt△BPD中，由PD=1，得BD=2，由Rt△ABD与Rt△BPD 的内角关系得AD的长度，即得圆O的半径．【解答】解：如右图所示，连结AD，∵PB为圆O的切线，∴∠PBD=∠BCD=∠BAD，∵BD为∠PBC的平分线，∴∠PBD=∠CBD，∴∠PDB=∠CBD+∠BCD=∠PBD+∠PBD=2∠PBD，又∵PC⊥PB，∴∠PBD=∠BCD=∠CBD=∠BAD=30°，∠PDB=60°．由PD=1，得BD=2PD=2．在△ABD中，∵AB⊥BD，∴AD是圆O的直径，且直径AD=2BD=4，∴圆O的半径为2．故答案为：2．13. 若数列{a n}满足，，则a n=_____．参考答案：【分析】根据，用累加法求解，即可得出结果.【详解】因为数列满足，，所以，，，……，以上各式相加得，所以.【点睛】本题主要考查求数列的通项公式，熟记累加法即可，属于常考题型.14. 已知垂直，则的值为_________．参考答案：由题知，即.15. 以点(1，2)为圆心，与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是________________. 参考答案：答案：16. 目标函数z＝2x＋y在约束条件下取得的最大值是＿＿＿＿＿参考答案：617. 如图所示，在平面直角坐标系，角α的终边与单位圆交于点A，已知点A 的纵坐标为，则= 。
2019年黑龙江省哈尔滨市五家高级中学高三数学文联考试卷含解析
2019年黑龙江省哈尔滨市五家高级中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若圆C:关于直线对称，则由点向圆所作的切线长的最小值是（）A. 2B. 4C.3 D.6参考答案：B2. 已知函数,则下列结论中正确的是（）A．的最小正周期是B．在上单调递增C．的图像关于对称D．的图像关于点对称参考答案：B3. 函数的图象为C.命题p:图象C关于直线对称；命题q:由的图象向右平移个单位长度可以得到图象C. 则下列命题为真命题的是（）（A）（B）（C）（D）参考答案：B∵时,所以图象C关于直线对称；命题由的图象向右平移个单位长度可以得到,所以命题p为假,所以为真，选B4. 函数则函数是（）（A）奇函数但不是偶函数（B）偶函数但不是奇函数（C）既是奇函数又是偶函数（D）既不是奇函数又不是偶函数参考答案：A5. 若关于x的方程有四个不同的实数解，则实数m的取值范围是（）A．B．C． D．参考答案：C6. ，则的值为( )A. B . C. D. －参考答案：A7. 设{a n}是等差数列，若log2a7=3，则a6+a8等于（）A．6 B．8 C．9 D．16参考答案：D【考点】等差数列的性质．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】根据a6+a8=2a7，即可得出结论．【解答】解：由题意，log2a7=3，∴a7=8，∵{a n}是等差数列，∴a6+a8=2a7=16，故选：D．【点评】本题主要考查了等差数列中的等差中项的性质，比较基础．8. 命题“?x∈[﹣2，+∞），x+3≥1”的否定为（）A．?x0∈[﹣2，+∞），x0+3＜1 B．?x0∈[﹣2，+∞），x0+3≥1C．?0∈[﹣2，+∞），x0+3＜1 D．?x0∈（﹣∞，﹣2），x0+3≥1参考答案：A【考点】命题的否定．【分析】全称命题的否定是特称命题，直接写出结果即可．【解答】解：∵全称命题的否定是特称命题，∴命题“?x∈[﹣2，+∞），x+3≥1”的否定是?x0∈[﹣2，+∞），x0+3＜1，故选：A．9. 二项式的展开式中，常数项的值是（）A． B． C． D．参考答案：试题分析：二项式展开式的通项为，令得，所以常数项为，选.考点：二项式定理.10. 若全集，集合，，则A．{2} B．{1，2} C．{1，2，4} D．{1，3，4，5}参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，且，则的最小值是 .参考答案：略12. 椭圆（）的离心率，右焦点，方程的两个根分别为，，则点与圆的位置关系是参考答案：点在圆内13. 在(ax–)8的展开式中含x2项的系数为70，则实数a的值是_________.参考答案：±114. 用数学归纳法证明：（）时，从“”时，左边应增添的代数式为_______________.参考答案：2（2k+1）【知识点】数学归纳法M3首先写出当n=k时和n=k+1时等式左边的式子，当n=k时，左边等于（k+1）（k+2）…（k+k）=（k+1）（k+2）…（2k），①当n=k+1时，左边等于（k+2）（k+3）…（k+k）（2k+1）（2k+2），②故从n=k到n=k+1的证明，左边需增添的代数式是由得到 =2（2k+1），【思路点拨】分别写出n=k时左边的式子和n=k+1时左边的式子，用n=k+1时左边的式子，除以n=k时左边的式子，得到的代数式即为所求．15. 设函数f (x)＝x5－5x4＋10x3－10x2＋5x－1，则f (x)的反函数 f－1 (x)＝___________参考答案：答案:16. 若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则．参考答案：4略17. 命题“?x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命题，则a的取值范围是．参考答案：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）【考点】特称命题．【分析】若命题“?x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命题，则函数y=x2﹣ax+1的图象与x轴有两个交点，故△=a2﹣4＞0，解不等式可得答案．【解答】解：若命题“?x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命题，则函数y=x2﹣ax+1的图象与x轴有两个交点，故△=a2﹣4＞0，解得：a∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨三中高三(下)月考数学试卷(文科)(三)
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨三中高三（下）月考数学试卷（文科）（三）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 设集合A={x|y=√x+1}，集合B＝{y|yx2, x∈R}，则A∩B＝（）A.ϕB.[0, +∞)C.[1, +∞)D.[−1, +∞)【答案】B【考点】交集及其运算【解析】通过函数的定义域求出集合A，函数的值域求出集合B，然后求出它们的交集．【解答】集合A={x|y=√x+1}={x|x≥−1}；集合B＝{y|yx2, x∈R}＝{y|y≥0}，所以A∩B＝(−1, +∞)∩[0, +∞)＝[0, +∞)．2. 已知a>0，函数f(x)=ax2+bx+c，若x0满足关于x的方程2ax+b=0，则下列选项的命题中为假命题的是（）A.∃x∈R，f(x)≤f(x0)B.∃x∈R，f(x)≥f(x0)C.∀x∈R，f(x)≤f(x0)D.∀x∈R，f(x)≥f(x0)【答案】C【考点】命题的真假判断与应用四种命题的真假关系【解析】由x0满足关于x的方程2ax+b=0得出x=x0是二次函数的对称轴，由a>0可知二次函数有最小值．【解答】解：∵x0满足关于x的方程2ax+b=0，∴x0=−b2a∵a>0，∴函数f(x)在x=x0处取到最小值是f(−b)=f(x0)2a等价于∀x∈R，f(x)≥f(x0)，所以命题C错误．答案：C．3. 公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米．当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟．按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10−2米时，乌龟爬行的总距离为（）A.104−190B.105−1900C.105−990D.104−9900【答案】 B【考点】等比数列的前n 项和 数列的函数特性 【解析】由题意知乌龟每次爬行的距离构成等比数列{a n }，写出a 1、q 和a n ，由此求出乌龟爬行的总距离S n ． 【解答】解：由题意知，乌龟每次爬行的距离构成等比数列{a n }， 且a 1=100，q =110，a n =10−2； ∴ 乌龟爬行的总距离为 S n =a 1−a n q 1−q=100−10−2×1101−110=105−1900．故选B .4. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的外接球的体积为（ ）A.√33πB.πC.263πD.32√327π【答案】 D【考点】由三视图求体积 【解析】设外接球半径为r ，则有(√3−r)2+1=r 2，解出利用体积计算公式即可得出． 【解答】设外接球半径为r ，则有(√3−r)2+1=r 2， 所以r =2√33，所以V =43πr 3=32√327π．5. 如图给出的是计算12+14+16+⋯+120的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）A.i >8B.i >9C.i >10D.i >11【答案】 C【考点】 程序框图 【解析】模拟程序框图知，程序运行后要求12+14+16+⋯+120的和， 由i ＝1时S =12，i ＝2时S =12+14，依此类推共有10项，“i >10”． 【解答】根据题意，模拟程序框图知：程序运行后要求12+14+16+⋯+120的和， 且当i ＝1时，S =12， 当i ＝2时，S =12+14， 依此类推，一共有10项， 因而判断框中应填“i >10”．6. 将函数f(x)=3sin(2x +π3)向右至少平移多少个单位，才能得到一个偶函数（ ） A.π6B.5π12C.π12D.π2【答案】 B【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】利用函数的平移原则，使得平移后的函数的初相为±π2，函数化为余弦函数即可． 【解答】将函数f(x)=3sin(2x +π3)向右至少平移a(a >0)个单位，得到函数f(x)=3sin(2x −2a +π3)，要使函数是偶函数，必有：−2a +π3=−π2，a =5π12，才能得到一个偶函数．7. 椭圆x 216+y 24=1，过右焦点F 且斜率为k(k >0)的直线与椭圆交于A ，B 两点，若AF →=3FB →，则k ＝（ ） A.1 B.√2 C.√3D.2【答案】 B【考点】直线与椭圆结合的最值问题 【解析】由椭圆的标准方程即可得到椭圆的右焦点F(2√3,0)，过右焦点F 且斜率为k(k >O)的直线为my =x −2√3，其中m =1k ．与椭圆的方程联立消去x 得到关于y 的一元二次方程，利用根与系数的关系及若AF →=3FB →，即可得到m ，进而得到k ． 【解答】∵ c 2＝a 2−b 2＝16−4＝12，∴ c =2√3． ∴ 椭圆的右焦点F(2√3,0)．∴ 过右焦点F 且斜率为k(k >O)的直线为my =x −2√3，其中m =1k ． 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)．联立{my =x −2√3x 216+y 24=1 消去x 得到(4+m 2)y 2+4√3my −4=0． ∴ y 1+y 2=−4√34+m 2，y 1y 2=−44+m 2．∵ AF →=3FB →，∴ −y 1＝3y 2，把以上三式联立消去y 1，y 2，得到m 2=12，∴ (1k )2=12，即k 2＝2．又∵ k >0，∴ k =√2．8. 向一个边长为4√3的正三角形内随机投一点P ，则点P 到三边的距离都不小于1的概率为（ ） A.12B.13C.14D.19【答案】 C【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型） 【解析】在正三角形的内侧作三条平行线分别与三边平行，且距离等于1，可得到个小正三角形，可知落在小正三角形区域的点满足条件，所求概率即为小正三角形面积与大正三角形面积之比． 【解答】在正三角形的内侧作三条平行线分别与三边平行，且距离等于1，可得到个小正三角形，可知落在小正三角形区域的点满足条件，所求概率即为小正三角形面积与大正三角形面积之比∵ 大正三角形的边长为4√3，∴ 大正三角形高为6，小正三角形高3，相似比为1:2， ∴ 两个三角形的面积比为(12)2=14．9. “仁义礼智信”为儒家“五常”，由孔子提出“仁、义、礼”，孟子延生为“仁、义、礼、智”，董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”，将“仁义礼智信”排成一排，“仁”排在第一位，且“智信”相邻的概率为（ ） A.110B.15C.310D.25【答案】 A【考点】古典概型及其概率计算公式 【解析】基本事件总数n =A 55=120，“仁”排在第一位，且“智信”相邻包含的基本事件个数m =A 22A22A31=12，由此能求出“仁”排在第一位，且“智信”相邻的概率． 【解答】将“仁义礼智信”排成一排， 基本事件总数n =A 55=120，“仁”排在第一位，且“智信”相邻包含的基本事件个数m =A 22A22A31=12， ∴ “仁”排在第一位，且“智信”相邻的概率为p =m n=12120=110．10. 如图，在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是CC 1、AD 的中点，那么异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值等于（ ）A.√105B.√155C.45D.23【答案】 B【考点】异面直线及其所成的角 【解析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可． 【解答】取BC 的中点G ．连接GC 1 // FD 1，再取GC 的中点H ，连接HE 、OH ，则∠OEH 为异面直线所成的角．在△OEH 中，OE =√3，HE =√52，OH =√52．由余弦定理，可得cos∠OEH =√155．11. 若函数f(x)=2x 2−lnx 在其定义域的一个子区间(k −1, k +1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是（ ） A.k >32B.k <−12C.−12<k <32D.1≤k <32【答案】 D【考点】函数的单调性与导数的关系 【解析】先求导函数，再进行分类讨论，同时将函数f(x)=2x 2−lnx 在其定义域的一个子区间(k −1, k +1)内不是单调函数，转化为f′(x)在其定义域的一个子区间(k −1, k +1)内有正也有负，从而可求实数k 的取值范围. 【解答】解：求导函数，f′(x)=4x −1x当k =1时，(k −1, k +1)为(0, 2)，函数在(0,12)上单调减，在(12,2)上单调增，满足题意；当k ≠1时，∵ 函数f(x)=2x 2−lnx 在其定义域的一个子区间(k −1, k +1)内不是单调函数,∴ f′(x)在其定义域的一个子区间(k −1, k +1)内有正也有负, ∴ f′(k −1)f′(k +1)<0,∴ (4k −4−1k−1)(4k +4−1k+1)<0, ∴ 4k 2−8k+3k−1×4k 2+8k+3k+1<0, ∴(2k−3)(2k−1)(2k+3)(2k+1)(k−1)(k+1)<0,∵ k −1>0,∴ k >1，k +1>0，2k +1>0，2k +3>0， ∴ (2k −3)(2k −1)<0，解得1<k <32. 综上可知，1≤k <32. 故选D ．12. 已知点P 是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)左支上的一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，∠PF 1F 2＝α，∠PF 2F 1＝β，双曲线离心率为e ，则tanα2tanβ2=( )A.e−1e+1 B.e+1e−1C.e 2+1e 2−1D.e 2−1e 2+1【答案】 B【考点】 双曲线的离心率 【解析】利用正弦定理与双曲线的定义及和差化积公式的综合应用即可求得答案． 【解答】依题意，在△PF 1F 2中，由正弦定理得：|PF 2|sinα=|PF 1|sinβ=|F 2F 1|sin[180−(α+β)]与合比定理得：|F 2F 1|sin[180−(α+β)]=−|PF 2|−|PF 1|sinβ−sinα，即2c sin(α+β)=2asinα−sinβ， ∴ e =c a =sin(α+β)sinα−sinβ=2sinα+β2cos α+β22cos α+β2sinα−β2=sinα+β2sinα−β2=sin α2cos β2+cos α2sinβ2sin α2cos β2−cos α2sin β2=tan α2+tanβ2tan α2−tanβ2，∴ tan α2=e+1e−1⋅tan β2， ∴tanα2tanβ2=e+1e−1．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上.）已知i 为虚数单位，则复数3+4i 2+i的虚部是________．【答案】 1【考点】 复数的运算 【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】 ∵ 3+4i2+i =(3+4i)(2−i)(2+i)(2−i)=10+5i 5=2+i ，∴ 复数3+4i 2+i的虚部是1．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 且支出在[20, 60)元的样本，其频率分布直方图如图所示，根据此图估计学生在课外读物方面的支出费用的中位数为________元．【答案】4009【考点】用样本的数字特征估计总体的数字特征 频率分布直方图 【解析】根据中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于Y 轴的直线横坐标进行解题即可． 【解答】第一个矩形的面积是0.10，第二个矩形的面积是0.24，第三个矩形的面积是0.36，第四个矩形的面积是1−0.70＝0.30．前面二个矩形的面积和是0.34，故将第三个矩形分成4:5即可， ∴ 中位数是40+49×10=4009．△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，P 为BC 边上一动点，则|PA →+2PC →|的最小值为________． 【答案】125【考点】数量积表示两个向量的夹角 【解析】利用已知条件判断三角形的形状，建立直角坐标系，设出P 的坐标，求出有关向量，求出模，然后求解最小值． 【解答】因为△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，所以三角形是直角三角形，以A 为顶点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为 y 轴， 设P(a, 3−3a 4)，a ∈(0, 4)，B(4, 0)，C(0, 3)，所以PA →=(−a, 3a 4−3)，2PC →=(−2a,3a 2)，所以|PA →+2PC →|=|−3a,9a 4−3|=√9a 2+(9a 4−3)2=3√2516a 2−32a +1，当a =322×2516=1225时，模取得最小值，最小值为：3×√2516×(1225)2−32×1225+1=125．对于函数y ＝f(x)，若存在区间[a, b]，当x ∈[a, b]时，f(x)的值域为[ka, kb](k >0)，则称y ＝f(x)为k 倍值函数．下列函数为2倍值函数的是________（填上所有正确的序号）．①f(x)＝x 2②f(x)＝x 3+2x 2+2x ③f(x)＝x +lnx ④f(x)=xe x【答案】 ①②④ 【考点】函数的值域及其求法 【解析】根据已知可得若函数f(x)存在“2倍值区间”，则函数f(x)＝2x ，在定义域至少存在两个不相等的根，逐一判断四个函数，可得结论．【解答】若函数f(x)存在“2倍值区间”，则函数f(x)＝2x，在定义域至少存在两个不相等的根，对于①，f(x)＝x2＝2x(x∈R)，解得x＝0，或x＝2，函数存在“2倍值区间”；对于②，令f(x)＝x3+2x2+2x＝2x，解得x＝0，或x＝−2，函数存在“2倍值区间”；对于③，令f(x)＝x+lnx＝2x，无解．故函数不存在“2倍值区间”；对于④，令f(x)=xe x=2x，即x＝0或x＝ln0.5，故函数存在“2倍值区间”；三、解答题（本大题共7小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）已知函数f(x)=sinωxsin(ωx+π3)+cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π．(Ⅰ)求ω的值；(Ⅱ)求函数f(x)在区间[−π6,7π12]的取值范围．【答案】（1）函数f(x)=sinωxsin(ωx+π3)+cos2ωx=12sin2ωx+√32sinωxcosωx+cos2ωx=12sin(2ωx+π6)+34．因为函数的周期是π，所以ω＝1．（2）由（1）可知f(x)=12sin(2ωx+π6)+34．x∈[−π6,7π12]，2x+π6∈[−π6,4π3]，所以sin(2ωx+π6)∈[−√32,1]，所以f(x)∈[3−√34,54 ]．【考点】三角函数中的恒等变换应用复合三角函数的单调性【解析】（1）通过两角和的正弦函数化简函数表达式为一个角的一个三角函数的形式，通过函数的周期直接求ω的值；(II )通过x的区间[−π6,7π12]，求出相位的范围，利用正弦函数的值域求出函数的取值范围．【解答】（1）函数f(x)=sinωxsin(ωx+π3)+cos2ωx=1sin 2ωx +√3sinωxcosωx +cos 2ωx =12sin(2ωx +π6)+34．因为函数的周期是π，所以ω＝1．（2）由（1）可知f(x)=12sin(2ωx +π6)+34．x ∈[−π6,7π12]， 2x +π6∈[−π6,4π3]，所以sin(2ωx +π6)∈[−√32,1]，所以f(x)∈[3−√34,54]．某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔1小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据的茎叶图如图．（1）根据样品数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对较稳定；（2）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取的两件样品的重量之差不超过2克的概率． 【答案】x =16(107+111+111+113+114+122)=113x =16(108+109+110+112+115+124)=113，S 2=16[(107−113)2+(111−113)2+(111−113)2+(113−113)2+(114−113)2+(122−113)2] ＝21， S 2=16[(108−113)2+(109−113)2+(110−113)2+(112−113)2+(115−113)2+(124−113)2] =883，∵ x =x ，S 甲2<S 乙2，∴ 甲车间的产品的重量相对较稳定．从乙车间6件样品中随机抽取两件，共有15种不同的取法：(108, 109)， (108, 110)，(108, 112)，(108, 115)，(108, 124)，(109, 110)， (109, 112)，(109, 115)，(109, 124)，(110, 112)，(110, 115)，(110, 124)，(112, 115)，(112, 124)，(115, 124)．设A 表示随机事件“所抽取的两件样品的重量之差不超过2克”，则A 的基本事件有4种：(108, 109)，(108, 110)，(109, 110)，(110, 112)． 故所求概率为P(A)=415．【考点】古典概型及其概率计算公式 极差、方差与标准差 茎叶图 【解析】（1）根据茎叶图所给的两组数据，分别做出这两组数据的平均数，再作出这两组数据的方差，得到甲车间的产品的重量相对较稳定．（2）由题意知本题是一个古典概型的概率，试验发生包含的事件数，可以通过列举得到共有15种结果，而满足条件的事件数也通过列举得到，两个做比值得到概率． 【解答】x =16(107+111+111+113+114+122)=113x =16(108+109+110+112+115+124)=113，S 2=16[(107−113)2+(111−113)2+(111−113)2+(113−113)2+(114−113)2+(122−113)2] ＝21， S 2=16[(108−113)2+(109−113)2+(110−113)2+(112−113)2+(115−113)2+(124−113)2] =883，∵ x =x ，S 甲2<S 乙2，∴ 甲车间的产品的重量相对较稳定．从乙车间6件样品中随机抽取两件，共有15种不同的取法：(108, 109)， (108, 110)，(108, 112)，(108, 115)，(108, 124)，(109, 110)， (109, 112)，(109, 115)，(109, 124)，(110, 112)，(110, 115)， (110, 124)，(112, 115)，(112, 124)，(115, 124)．设A 表示随机事件“所抽取的两件样品的重量之差不超过2克”，则A 的基本事件有4种：(108, 109)，(108, 110)，(109, 110)，(110, 112)． 故所求概率为P(A)=415．如图，已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，AA 1＝AB ＝AC ＝l ，AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，N 是BC 的中点，K 是AC 中点，点P 在直线A 1B 1上，且满足A 1P →=λA 1B 1→(Ⅰ)求证：PN ⊥AM ；(Ⅱ)求三棱锥P −MNK 的体积．【答案】（1）因为AC中点为K，则N，K，A1，P四点在一个平面内，由于AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥AB，又AB⊥AC，所以AB⊥平面ACC1A1，所以AB⊥AM，所以AB⊥AM，又AB // NK，所以AM⊥NK，在正方形中，利用相似可知AM⊥A1K，故AM⊥平面A1KNP，所以PN⊥AM；（2）因为K是AC的中点，所以AB // NK，所以A1B1 // NK，则P到平面MNK的距离是定值，等于A1到MNK的距离，三棱锥P−MNK的体积与三棱锥N−MA1K的体积相等．有（1）知AB⊥平面ACC1A1，N到平面ACC1A1，的距离为12AB=12，MA1K的面积为：1−2×12×1×12−12×12×12=38，所以三棱锥N−MA1K的体积为：13×38×12=116，所求棱锥的体积为：116．【考点】数量积表示两个向量的夹角【解析】(Ⅰ)通过证明AB⊥平面ACC1A1，说明AB⊥AM，证明AM⊥NK，然后证明AM⊥平面A1KNP，即可求证：PN⊥AM；(Ⅱ)通过AB // NK，所以A1B1 // NK，则P到平面MNK的距离是定值，利用四面体体积不变，转化顶点是方法，采用等体积求三棱锥P−MNK的体积．【解答】（1）因为AC中点为K，则N，K，A1，P四点在一个平面内，由于AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥AB，又AB⊥AC，所以AB⊥平面ACC1A1，所以AB⊥AM，所以AB⊥AM，又AB // NK，所以AM⊥NK，在正方形中，利用相似可知AM⊥A1K，故AM⊥平面A1KNP，所以PN⊥AM；（2）因为K是AC的中点，所以AB // NK，所以A1B1 // NK，则P到平面MNK的距离是定值，等于A1到MNK的距离，三棱锥P−MNK的体积与三棱锥N−MA1K的体积相等．有（1）知AB⊥平面ACC1A1，N到平面ACC1A1，的距离为12AB=12，MA1K的面积为：1−2×12×1×12−12×12×12=38，所以三棱锥N−MA1K的体积为：13×38×12=116，所求棱锥的体积为：116．已知函数f(x)=a+blnxx+1在点（1, f(1)）处的切线方程为x+y＝2．(Ⅰ)求a，b的值；(Ⅱ)对函数f(x)定义域内的任一个实数x，f(x)<mx恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）∵f(x)=a+blnxx+1，∴f′(x)=bx(x+1)−(a+blnx)(x+1)2∵点（1, f(1)）在直线x+y＝2上，∴f(1)＝1，∵直线x+y＝2的斜率为−1，∴f′(1)＝−1∴有{a2=12b−a4=−1，∴{a=2b=−1（2）由(Ⅰ)得f(x)=2−lnxx+1(x>0)由f(x)<mx 及x>0，可得2x−xlnxx+1<m令g(x)=2x−xlnxx+1，∴g′(x)=1−x−lnx(x+1)2，令ℎ(x)＝1−x−lnx，∴ℎ(x)=−1−1x<0(x>0)，故ℎ(x)在区间(0, +∞)上是减函数，故当0<x<1时，ℎ(x)>ℎ(1)＝0，当x>1时，ℎ(x)<ℎ(1)＝0从而当0<x<1时，g′(x)>0，当x>1时，g′(x)<0∴g(x)在(0, 1)是增函数，在(1, +∞)是减函数，故g(x)max＝g(1)＝1要使2x−xlnxx+1<m成立，只需m>1故m的取值范围是(1, +∞)．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的最值【解析】（I）求导函数，利用函数在点（1, f(1)）处的切线方程为x+y＝2，建立方程组，即可求a，b的值；(II)对函数f(x)定义域内的任一个实数x，f(x)<mx 恒成立，等价于2x−xlnxx+1<m恒成立，求出函数的最值，即可求实数m的取值范围．【解答】（1）∵f(x)=a+blnxx+1，∴f′(x)=bx(x+1)−(a+blnx)(x+1)2∵点（1, f(1)）在直线x+y＝2上，∴f(1)＝1，∵直线x+y＝2的斜率为−1，∴f′(1)＝−1∴有{a2=12b−a4=−1，∴ {a =2b =−1（2）由(Ⅰ)得f(x)=2−lnx x+1(x >0)由f(x)<mx 及x >0，可得2x−xlnx x+1<m令g(x)=2x−xlnx x+1，∴ g ′(x)=1−x−lnx (x+1)2，令ℎ(x)＝1−x −lnx ，∴ ℎ(x)=−1−1x <0(x >0)，故ℎ(x)在区间(0, +∞)上是减函数，故当0<x <1时，ℎ(x)>ℎ(1)＝0，当x >1时，ℎ(x)<ℎ(1)＝0 从而当0<x <1时，g′(x)>0，当x >1时，g′(x)<0∴ g(x)在(0, 1)是增函数，在(1, +∞)是减函数，故g(x)max ＝g(1)＝1 要使2x−xlnx x+1<m 成立，只需m >1故m 的取值范围是(1, +∞)．如图，已知椭圆C:x 2a+y 2b =1(a >b >0)的离心率为12，右准线方程为x ＝4，A ，B 分别是椭圆C 的左，右顶点，过右焦点F 且斜率为k(k >0)的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）记△AFM ，△BFN 的面积分别为S 1，S 2，若S 1S 2=32，求k 的值；（3）设线段MN 的中点为D ，直线OD 与右准线相交于点E ，记直线AM ，BN ，FE 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，求k 2⋅(k 1−k 3)的值． 【答案】设椭圆的焦距为2c(c >0)． 依题意，ca =12，且a 2c=4，解得a ＝2，c ＝1．故b 2＝a 2−c 2＝3． 所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．设点M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)．据题意，S 1S 2=32，即12×|AF|×|y 1|12×|BF|×|y 2|=32，整理可得|y 1||y 2|=12，所以NF →=2FM →．代入坐标，可得{1−x 2=2(x 1−1)−y 2=2y 1，即{x 2=3−2x 1y 2=−2y 1 又点M ，N 在椭圆C 上，所以{x 124+y 123=1(3−2x 1)24+(−2y 1)23=1，解得{x 1=74y 1=3√58 所以直线l 的斜率k =3√5874−1=√52． 法一：依题意，直线l 的方程为y ＝k(x −1)．联立方程组{y =k(x −1)x 24+y 23=1 整理得(4k 2+3)x 2−8k 2x +4k 2−12＝0， 所以x 1+x 2=8k 24k 2+3，x 1x 2=4k 2−124k 2+3．故x D =x 1+x 22=4k 24k 2+3，y D =k(x D −1)=−3k4k 2+3，所以直线OD 的方程为y =−34k x ，令x ＝4，得y E =−3k ，即E(4,−3k )．所以k 3=−3k4−1=−1k． 所以k 2⋅(k 1−k 3)=k 2⋅(k 1+1k )=y 2x 2−2⋅(y 1x 1+2+1k)， =k(x 2−1)x 2−2⋅[k(x 1−1)x 1+2+1k]=k 2(x 1−1)(x 2−1)+(x 2−1)(x 1+2)(x 1+2)(x 2−2)，=k 2[x 1x 2−(x 1+x 2)+1]+x 1x 2−x 1+2x 2−2x 1x 2−2x 1+2x 2−4，=k 2[x 1x 2−(x 1+x 2)+1]+x 1x 2−(x 1+x 2)−2+3x 2x 1x 2−2(x 1+x 2)−4+4x 2=，k 2[4k 2−124k 2+3−8k 24k 2+3+1]+4k 2−124k 2+3−8k 24k 2+3−2+3x 24k 2−124k 2+3−2×8k 24k 2+3−4+4x 2，=3x 2−21k 2+184k 2+34x 2−28k 2+244k 2+3=3(x 2−7k 2+64k 2+3)4(x 2−7k 2+64k 2+3)=34．法二：依题意，直线l 的方程为y ＝k(x −1)，即x =1k y +1，记m =1k ， 则直线l 的方程为x ＝my +1，与椭圆C 联立方程组{x =my +1x 24+y 23=1整理得(4+3m 2)y 2+6my −9＝0， 所以y 1+y 2=−6m4+3m 2，y 1y 2=−94+3m 2． 故y D =y 1+y 22=−3m 4+3m 2，x D =my D +1=44+3m 2，所以直线OD 的方程为y =−3m 4x ，令x ＝4，得y E ＝−3m ，即E(4, −3m)．所以k 3=−3m 4−1=−m ．所以k 2⋅(k 1−k 3)=k 2⋅(k 1+1k )=y 2x 2−2⋅(y 1x 1+2+m)=y 1y 2+my 2(x 1+2)(x 1+2)(x 2−2)，=y 1y 2+my 2(my 1+3)(my 1+3)(my 2−1)=(m 2+1)y 1y 2+3my 2m 2y 1y 2−my 1+3my 2−3，=(m 2+1)y 1y 2+3my 2m 2y1y 2−m(y 1+y 2)−3+4my 2=−9(m 2+1)4+3m 2+3my 2−9m 24+3m 2+6m24+3m 2−3+4my 2，=−9(m 2+1)4+3m 2+3my 2−12(m 2+1)4+3m 2+4my 2=34．法三：依题意，点M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)在椭圆C 上，所以{x 124+y 123=1x 224+y 223=1两式相减，得x 22−x 124+y 22−y 123=0，即y 2+y 1x2+x 1⋅y 2−y 1x 2−x 1=−34，所以k OD ⋅k =−34，即k OD =−34k，所以直线OD 的方程为y =−34k x ，令x ＝4，得y E =−3k ，即E(4,−3k )，所以k 3=−3k4−1=−1k． 又直线AM 的方程为y ＝k 1(x +2)，与椭圆C 联立方程组{y =k 1(x +2)x 24+y 23=1 整理得(4k 12+3)x 2+16k 12x +16k 12−12=0， 所以−2⋅x 1=16k 12−124k 12+3，得x 1=6−8k 124k 12+3，y 1=k 1(x 1+2)=12k 14k 12+3．所以点M 的坐标为(6−8k 124k12+3,12k 14k12+3)．同理，点N 的坐标为(8k 22−64k 22+3,−12k 24k 22+3)．又点M ，N ，F 三点共线， 所以k =12k 14k 12+36−8k 124k 12+3−1=−12k 24k 22+38k 22−64k 22+3−1，整理得(4k 1k 2+3)(3k 1−k 2)＝0，依题意，k 1>0，k 2>0，故k 2＝3k 1． 由k =12k 14k 12+36−8k 124k 12+3−1=4k11−4k 12可得，1k =1−4k 124k 1=14k1−k 1，即1k +k 1=14k 1． 所以k 2⋅(k 1−k 3)=3k 1⋅(k 1+1k )=3k 1⋅14k 1=34．【考点】直线与椭圆的位置关系 椭圆的应用 【解析】（1）根据椭圆的性质和离心率公式即可求出a ，c 的值，即可求出b ，椭圆方程可得，（2）设点M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，根据三角形面积，即可求出NF →=2FM →，再根据点在椭圆上，即可求出点M 的坐标，即可求出直线的斜率，（3）法一：依题意，直线l 的方程为y ＝k(x −1)，根据韦达定理，直线方程，直线的斜率，化简整理即可求出，法二：设直线l 的方程为x ＝my +1，根据韦达定理，直线方程，直线的斜率，化简整理即可求出，法三：依题意，点M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)在椭圆C 上，根据点差法，三点共线，直线方程，斜率公式，化简整理即可 【解答】设椭圆的焦距为2c(c >0)． 依题意，ca =12，且a 2c=4，解得a ＝2，c ＝1．故b 2＝a 2−c 2＝3． 所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．设点M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)． 据题意，S 1S 2=32，即12×|AF|×|y 1|12×|BF|×|y 2|=32，整理可得|y 1||y 2|=12，所以NF →=2FM →．代入坐标，可得{1−x 2=2(x 1−1)−y 2=2y 1，即{x 2=3−2x 1y 2=−2y 1 又点M ，N 在椭圆C 上，所以{x 124+y 123=1(3−2x 1)24+(−2y 1)23=1，解得{x 1=74y 1=3√58 所以直线l 的斜率k =3√5874−1=√52． 法一：依题意，直线l 的方程为y ＝k(x −1)．联立方程组{y =k(x −1)x 24+y 23=1整理得(4k 2+3)x 2−8k 2x +4k 2−12＝0， 所以x 1+x 2=8k 24k 2+3，x 1x 2=4k 2−124k 2+3．故x D =x 1+x 22=4k 24k 2+3，y D =k(x D −1)=−3k4k 2+3，所以直线OD 的方程为y =−34k x ，令x ＝4，得y E =−3k ，即E(4,−3k )． 所以k 3=−3k 4−1=−1k．所以k 2⋅(k 1−k 3)=k 2⋅(k 1+1k )=y 2x 2−2⋅(y 1x 1+2+1k)，=k(x 2−1)x 2−2⋅[k(x 1−1)x 1+2+1k ]=k 2(x 1−1)(x 2−1)+(x 2−1)(x 1+2)(x 1+2)(x 2−2)，=k 2[x 1x 2−(x 1+x 2)+1]+x 1x 2−x 1+2x 2−2x 1x 2−2x 1+2x 2−4，=k 2[x 1x 2−(x 1+x 2)+1]+x 1x 2−(x 1+x 2)−2+3x 2x 1x 2−2(x 1+x 2)−4+4x 2=，k 2[4k 2−124k 2+3−8k 24k 2+3+1]+4k 2−124k 2+3−8k 24k 2+3−2+3x 24k 2−124k 2+3−2×8k24k 2+3−4+4x 2，=3x 2−21k 2+184k 2+34x 2−28k 2+244k 2+3=3(x 2−7k 2+64k 2+3)4(x 2−7k 2+64k 2+3)=34．法二：依题意，直线l 的方程为y ＝k(x −1)，即x =1k y +1，记m =1k ， 则直线l 的方程为x ＝my +1，与椭圆C 联立方程组{x =my +1x 24+y 23=1 整理得(4+3m 2)y 2+6my −9＝0， 所以y 1+y 2=−6m4+3m 2，y 1y 2=−94+3m 2． 故y D =y 1+y 22=−3m 4+3m 2，x D =my D +1=44+3m 2，所以直线OD 的方程为y =−3m 4x ，令x ＝4，得y E ＝−3m ，即E(4, −3m)．所以k 3=−3m 4−1=−m ．所以k 2⋅(k 1−k 3)=k 2⋅(k 1+1k )=y 2x 2−2⋅(y 1x1+2+m)=y 1y 2+my 2(x 1+2)(x 1+2)(x 2−2)，=y 1y 2+my 2(my 1+3)(my 1+3)(my 2−1)=(m 2+1)y 1y 2+3my 2m 2y1y 2−my 1+3my 2−3，=(m 2+1)y 1y 2+3my 2m 2y1y 2−m(y 1+y 2)−3+4my 2=−9(m 2+1)4+3m 2+3my 2−9m 24+3m 2+6m 24+3m 2−3+4my 2，=−9(m 2+1)4+3m 2+3my 2−12(m 2+1)4+3m 2+4my 2=34．法三：依题意，点M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)在椭圆C 上，所以{x 124+y 123=1x 224+y 223=1两式相减，得x 22−x 124+y 22−y 123=0，即y 2+y 1x2+x 1⋅y 2−y 1x 2−x 1=−34，所以k OD ⋅k =−34，即k OD =−34k，所以直线OD 的方程为y =−34k x ，令x ＝4，得y E =−3k ，即E(4,−3k )，所以k 3=−3k4−1=−1k． 又直线AM 的方程为y ＝k 1(x +2)，与椭圆C 联立方程组{y =k 1(x +2)x 24+y 23=1 整理得(4k 12+3)x 2+16k 12x +16k 12−12=0， 所以−2⋅x 1=16k 12−124k 12+3，得x 1=6−8k 124k 12+3，y 1=k 1(x 1+2)=12k 14k 12+3．所以点M 的坐标为(6−8k 124k12+3,12k 14k12+3)．同理，点N 的坐标为(8k 22−64k22+3,−12k 24k 22+3)．又点M ，N ，F 三点共线， 所以k =12k 14k 12+36−8k 124k 12+3−1=−12k 24k 22+38k 22−64k 22+3−1，整理得(4k 1k 2+3)(3k 1−k 2)＝0，依题意，k 1>0，k 2>0，故k 2＝3k 1． 由k =12k 14k 12+36−8k 124k 12+3−1=4k 11−4k 12可得，1k =1−4k 124k 1=14k 1−k 1，即1k +k 1=14k 1．所以k 2⋅(k 1−k 3)=3k 1⋅(k 1+1k )=3k 1⋅14k 1=34．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ若曲线C 2与曲线C 1关于直线y ＝x 对称(Ⅰ)求曲线C 2的直角坐标方程；(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB|． 【答案】（I ）设P(x, y)，则由条件知M( y, x)．由于M 点在C 1上， 所以 {y =2+2cosθx =2sinθ（θ为参数），化成直角坐标方程为：x 2+(y −2)2＝4；（2）曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sinθ． 射线θ=π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4cos π3， 射线θ=π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝4sin π3．所以|AB|＝|ρ2−ρ1|＝2 √3−2． 【考点】直线与圆的位置关系参数方程与普通方程的互化 【解析】（I ）先设出曲线C 2上任一点P 的坐标，然后根据曲线C 2与曲线C 1关于直线y ＝x 对称得到点P 满足的条件代入曲线C 1的方程即可求出曲线C 2的方程；(II)根据(I)将求出曲线C 1的极坐标方程，分别求出射线θ=π3与C 1的交点A 的极径为ρ1，以及射线θ=π3与C 2的交点B 的极径为ρ2，最后根据|AB|＝|ρ2−ρ1|求出所求． 【解答】（I ）设P(x, y)，则由条件知M( y, x)．由于M 点在C 1上， 所以 {y =2+2cosθx =2sinθ（θ为参数），化成直角坐标方程为：x 2+(y −2)2＝4；（2）曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sinθ．射线θ=π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4cos π3， 射线θ=π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝4sin π3．所以|AB|＝|ρ2−ρ1|＝2 √3−2．设函数f(x)＝|x −1|+|2x −3|−a ． (Ⅰ)当a ＝2时，求不等式f(x)≥0的解集； (Ⅱ)若f(x)≥0恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（I ）当a ＝2时，求不等式f(x)≥0 即|x −1|+|2x −3|≥2，∴ ①{x <11−x +3−2x ≥2 ，或②{1≤x <32x −1+3−2x ≥2 ，或 ③{x ≥32x −1+2x −3≥2 ．解①得 x ≤23，解②得x ∈⌀，解③得x ≥2， 故不等式的解集为{x|x ≤23, 或x ≥2}．(II )若f(x)≥0恒成立，则f(x)的最小值大于或等于零．由于函数 f(x)={4−3x −a,x <12−x −a,1≤x <323x −4−a,x ≥32 ，显然函数在(−∞, 32]上是减函数， 故函数的最小值为 f(32)=12−a ≥0，解得 a ≤12， 故a 的取值范围为(−∞, 12]． 【考点】绝对值不等式的解法与证明 函数恒成立问题 【解析】（I ）当a ＝2时，由不等式可得 ①{x <11−x +3−2x ≥2 ，或②{1≤x <32x −1+3−2x ≥2 ，或 ③{x ≥32x −1+2x −3≥2．分别求得①、②、③的解集，再取并集，即得所求． (II )由题意可得，f(x)的最小值大于或等于零，根据函数的解析式可得函数的最小值为 f(32)=12−a ，从而求得a 的取值范围．【解答】（I ）当a ＝2时，求不等式f(x)≥0 即|x −1|+|2x −3|≥2，∴ ①{x <11−x +3−2x ≥2 ，或②{1≤x <32x −1+3−2x ≥2 ，或 ③{x ≥32x −1+2x −3≥2 ．解①得 x ≤23，解②得x ∈⌀，解③得x ≥2， 故不等式的解集为{x|x ≤23, 或x ≥2}．(II )若f(x)≥0恒成立，则f(x)的最小值大于或等于零．试卷第21页，总21页 由于函数 f(x)={4−3x −a,x <12−x −a,1≤x <323x −4−a,x ≥32，显然函数在(−∞, 32]上是减函数， 故函数的最小值为 f(32)=12−a ≥0，解得 a ≤12， 故a 的取值范围为(−∞, 12]．。
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市第十九中学高三数学文联考试卷含解析
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市第十九中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 《张邱建算经》有一道题：今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布（）A．110尺B．90尺C．60尺D．30尺参考答案：B【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的前n项和求解．【解答】解：由题意知等差数列{a n}中，a1=5，a30=1，∴=90（尺）．故选：B．2. 若复数z满足，其中为虚数单位，则（）A．2 B．C．D．3参考答案：C3. 某地实行阶梯电价，以日历年（每年1月1日至12月31日）为周期执行居民阶梯电价，即：一户居民用户全年不超过2800度（1度=千瓦时）的电量，执行第一档电价标准，每度电0.4883元；全年超过2880度至4800度之间的电量，执行第二档电价标准，每度电0.5383元；全年超过4800度以上的电量，执行第三档电价标准，每度电0.7883元，下面是关于阶梯电价的图形表示，其中正确的有（）参考数据：0.4883元/度2880度=1406.30元，0.538元/度（4800-2880）度+1406.30元=2439.84元A．①② B．②③C．①③ D．①②③参考答案：B考点：1、阅读理解能力及数学建模能力和化归思想；2、数形结合的思想及分段函数的解析式.【思路点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想、数形结合的思想及分段函数的解析式，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是：正确理解三个图象的意义以及阶梯电价的实际含义.4. 把函数y=sin2x+cos2x图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，所得的图象解析式为( )A．y=2sin（4x+） B．y=2sin（4x+）C．y=2sin（x+）D．y=2sin（x+）参考答案：A考点：两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：化简可得y=2sin（2x+），由函数图象的周期变换可得．解答：解：化简可得y=sin2x+cos2x=2sin（2x+），图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变得到y=2sin（2?2x+）=2sin（4x+）的图象，故选：A点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及函数图象的变换，属基础题．5. 在中，角、、所对的边分别为、、，若，则为（）A. B.C. D.参考答案：B6. 如果复数的实部和虚部互为相反数，则的值等于A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：A略7. 已知直线的倾斜角为，则=（）A、B、C、D、]参考答案：B略8. 已知函数f（x）=x2+bsinx，其中b为常数．那么“b=0”是“f（x）为偶函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由题意可知函数的对称轴=0可求b的值．【解答】解：若f（x）=x2+bsinx为偶函数，则f（﹣x）=（﹣x）2+bsin（﹣x）=x2﹣bsinx=f（x）=x2+bsinx，∴b=0故选：C．9. “”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A略10. 已知函数若有则的取值范围为A． B． C． D．参考答案：【知识点】函数的零点与方程根的关系．B9【答案解析】B 解析：∵f（a）=g（b），∴e a﹣1=﹣b2+4b﹣3∴﹣b2+4b﹣2=e a＞0即b2﹣4b+2＜0，求得2﹣＜b＜2+，故选B【思路点拨】利用f（a）=g（b），整理等式，利用指数函数的性质建立不等式求解即可．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知△ABC的三个顶点均在抛物线x2=y上，边AC的中线BM∥y轴，|BM|=2，则△ABC的面积为．参考答案：2【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A，B和C点坐标，利用中点坐标公式求得M点坐标，由又BM∥y轴，则b=，由|BM|=2，即可求得a﹣c=2，由三角形的面积公式可知S△ABC=2S△ABM，代入即可求得△ABC的面积．【解答】解：根据题意设A（a，a2），B（b，b2），C（c，c2），不妨设a＞c，∵M为边AC的中点，∴M（，），又BM∥y轴，则b=，故丨BM丨=丨﹣丨==2，∴（a﹣c）2=8，即a﹣c=2，作AH⊥BM交BM的延长线于H．∴S△ABC=2S△ABM=2××丨BM丨丨AH丨=2丨a﹣b丨=2丨a﹣丨=a﹣c=2，△ABC的面积2．故答案为：2．12. 绍兴一中2011年元旦文艺汇演中，七位评委为高二某班的节目打出的分数如右茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为参考答案：，略13. 若对任意，，（、）有唯一确定的与之对应，称为关于、的二元函数. 现定义满足下列性质的二元函数为关于实数、的广义“距离”:（1）非负性:，当且仅当时取等号；（2）对称性:；（3）三角形不等式:对任意的实数z均成立.今给出四个二元函数:①；②③；④.则能够成为关于的、的广义“距离”的函数的所有序号是 .参考答案：①14. 若非零向量满足,则夹角的余弦值为_______.参考答案：15. 若函数f（x）=xln（x+）为偶函数，则a= ．参考答案：1考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得，f（﹣x）=f（x），代入根据对数的运算性质即可求解．解答：解：∵f（x）=xln（x+）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴（﹣x）ln（﹣x+）=xln（x+），∴﹣ln（﹣x+）=ln（x+），∴ln（﹣x+）+ln（x+）=0，∴ln（+x）（﹣x）=0，∴lna=0，∴a=1．故答案为：1．点评：本题主要考查了偶函数的定义及对数的运算性质的简单应用，属于基础试题．16. 设等比数列的各项均为正数，其前项和为．若，，，则_____．参考答案：617. 满足的实数x的取值范围是．参考答案：【考点】三角函数的化简求值；三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用行列式展开表达式，求解三角方程即可．【解答】解：，即，∴．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
黑龙江省哈尔滨市第十九中学2019年高三数学文下学期期末试卷含解析
黑龙江省哈尔滨市第十九中学2019年高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数f（x）=+3的最大值、最小值分别为M、n，则M+n=（）A．0 B．3 C．6 D．9参考答案：C【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】令g（x）=，得到g（x）为奇函数，得到g（x）max+g（x）min=0，相加可得答案．【解答】解：∵f（x）=+3，设g（x）=，∴g（﹣x）==﹣g（x），∴g（x）为奇函数，∴g（x）max+g（x）min=0∵M=3+g（x）max，n=3+g（x）min，∴M+n=3+3+0=6，故选：C．【点评】本题主要考查了利用函数的奇偶性求函数的最大值与最小值，属于中档题．2. 函数的一段图象是（）．C．D．B3. 等比数列{a n}中各项均为正数，S n是其前n项和，且满足2S3=8a1+3a2，a4=16，则S4=（）A．9 B．15 C．18 D．30参考答案：D【考点】等比数列的前n项和．【分析】设等比数列{a n}的公比为q＞0，由2S3=8a1+3a2，可得2（a1+a2+a3）=8a1+3a2，化为：2q2﹣q﹣6=0，解得q，进而得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q＞0，∵2S3=8a1+3a2，∴2（a1+a2+a3）=8a1+3a2，化为：2a3=6a1+a2，可得=6a1+a1q，化为：2q2﹣q﹣6=0，解得q=2．又a4=16，可得a1×23=16，解得a1=2．则S4==30．故选：D．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4. 已知集合，集合，，那么集合（A）（B）（C）（D）参考答案：A考点：集合的运算，所以，故选A5. 已知函数f(x)＝e x－1，g(x)＝－x2＋4x－3.若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为( )参考答案：B略6. 已知函数f（x）=，则f（f（2））等于（）A．B．2 C．﹣1 D．1参考答案：A【考点】对数的运算性质；函数的值．【分析】先由解析式求得f（2），再求f（f（2））．【解答】解：f（2）=，f（﹣1）=2﹣1=，所以f（f（2））=f（﹣1）=，故选A．7. 已知向量，，，若与的夹角为60°，且，则实数的值为（）A． B． C． 6 D． 4参考答案：B,8. 若?x0∈（0，+∞），不等式ax﹣lnx＜0成立，则a的取值范围是（）A．B．（﹣∞，e] C．D．（﹣∞，e）参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【分析】若?x0∈（0，+∞），不等式ax﹣lnx＜0成立，则?x0∈（0，+∞），不等式a＜成立，令f（x）=，则a＜f（x）max，利用导数法，求出函数的最大值，可得答案．【解答】解：若?x0∈（0，+∞），不等式ax﹣lnx＜0成立，则?x0∈（0，+∞），不等式a＜成立，令f（x）=，则a＜f（x）max，∵f′（x）=，则x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）=为增函数，x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）=为减函数，故x=e时，f（x）max=，故a的取值范围是，故选：C9. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体A.外接球的半径为B.体积为C.表面积为D.外接球的表面积为参考答案：D10. 若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积为（）A．B．C．D．参考答案：由三视图知该几何体是高为的三棱柱截去同底且高为的三棱锥所得几何体，体积等于，选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若曲线在与处的切线互相垂直，则正数的值为．参考答案：12. 若定义在上的奇函数对一切均有，则_________.参考答案：13. 如图,在直角梯形ABCD中,,.若M,N分别是边AD、BC上的动点,满足，，其中,若,则的值为.参考答案：14. 课题组进行城市农空气质量调查，按地域把24个城市分成甲．乙．丙三组，对应城市数分别为．．。
2019年黑龙江省哈尔滨市现代中学高三数学文联考试卷含解析
2019年黑龙江省哈尔滨市现代中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数y=|log3x|的图象与直线l1：y=m从左至右分别交于点A，B，与直线从左至右分别交于点C，D．记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b，则的最小值为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】函数与方程的综合运用．【分析】依题意可求得A，B，C，D的横坐标值，得==，利用基本不等式可求最小值．【解答】解：在同一坐标系中作出y=m，y=（m＞0），y=|log3x|的图象，如图，设A （x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），由|log3x|=m，得x1=3﹣m，x2=3m，由log3x|=，得x3=，x4=．依照题意得==，又m＞0，∴m+=（2m+1）+﹣≥，当且仅当（2m+1）=，即m=时取“=”号，∴的最小值为27，故选B．2. 对任意实数a，b，c给出下列命题:①“a=b”是“ac=bc”充要条件; ②" a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件; ③“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件; ④“a＜5”是“a＜3”的必要条件.其中真命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4参考答案：B3. 已知二项式的展开式中x3的系数为，则dx的值为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项式展开式的通项公式，令展开式中x的指数为3求出r的值，写出x3的系数，求得a的值，计算dx的值．【解答】解：二项式展开式的通项公式为：T r+1=?x9﹣r?=??x9﹣2r，令9﹣2r=3，解得r=3；所以展开式中x3的系数为：?=，解得a=﹣1；所以dx=（x﹣）dx=（x2﹣lnx）=（e2﹣1）﹣（﹣0）=．故选：B．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．4. 的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确的是 ( )参考答案：D5. 下列命题是真命题的是（ )A．的充要条件 B．的充分条件C． D．若为真命题，则为真参考答案：B略6. .函数的部分图象如图所示，则的解析式可以是（）A. B.C. D.参考答案：C【分析】先由函数图像，确定函数奇偶性，排除D，再由特殊值法排除A，B，即可得出结果. 【详解】由图像可得，该函数关于原点对称，为奇函数，D选项中，，所以，不是奇函数，所以D排除；又由函数图像可得，所以可排除A，B；故选C【点睛】本题主要考查由函数图像确定函数解析式的问题，熟记函数的性质，以及特殊值法的应用即可，属于常考题型.7. 若z是复数，z=．则z?=（）A．B．C．1 D．参考答案：D【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】由复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出，然后代入z?计算得答案．【解答】解：由z==，得，则z?=．故选：D．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．8. 若将函数的图象向右平移个单位，得到的图象关于y轴对称，则的最小值是（▲）A．B． C．D．参考答案：A9. 命题“x∈R,2x＋x2≤1”的否定是( )．x∈R,2x＋x2>1，假命题．x∈R,2x＋x2>1，真命题．x∈R,2x＋x2>1，假命题．x∈R,2x＋x2>1，真命题参考答案：A10. 设集合，，则（）A. B. C.D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知P，Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四象限，且P点的纵坐标为，Q点的横坐标为，则cos∠POQ=．参考答案：﹣【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由条件利用直角三角形中的边角关系求得sin∠xOP和cos∠xOQ的值，利用同角三角函数的基本关系求得cos∠xOP 和sin∠xOQ，再利用两角和的余弦公式求得cos∠POQ=cos（∠xOP+∠xOQ ）的值．【解答】解：由题意可得，sin∠xOP=，∴cos∠xOP=；再根据cos∠xOQ=，可得sin∠xOQ=．∴cos∠POQ=cos（∠xOP+∠xOQ）=cos∠xOP?cos∠xOQ﹣sin∠xOP?sin∠xOQ==﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查直角三角形中的边角关系，同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式的应用，属于基础题．12. 执行如图所示的程序框图，若输入___参考答案：略13. 实数满足若恒成立，则实数的最大值是．参考答案：14. 已知函数的定义域为，若对任意，都有，则实数c的取值范围是．参考答案：15. 定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣2）=﹣f（x），且在[0，1]上是增函数，则f（），f（﹣），f（）的大小关系是．参考答案：＜＜【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】根据题意，分析可得f（）=﹣f（﹣2）=﹣f（﹣）=f（），又由函数在[0，1]上是增函数，结合函数的奇偶性可得f（x）在[﹣1，0]上也是增函数，则有f（﹣）＜f（0）＜f（）＜f（）=f（），即可得答案．【解答】解：根据题意，对于函数f（x），有f（x﹣2）=﹣f（x），即f（x）=﹣f（x﹣2），则有f（）=﹣f（﹣2）=﹣f（﹣），又由函数f（x）为奇函数，则有f（﹣x）=﹣f（x），f（﹣）=﹣f（），即﹣f（﹣）=f（），综合有f（）=f（），又由函数f（x）在[0，1]上是增函数，则其在[﹣1，0]上也是增函数，则有f（﹣）＜f（0）＜f（）＜f（）=f（），即＜＜故答案为：＜＜．16. 已知以双曲线的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角的范围是，则双曲线离心率的范围是▲．参考答案：＜e＜17. 若实数满足，则的最大值为.参考答案：5三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2019-2020学年黑龙江省实验中学高三第二学期开学数学试卷(文科) 含解析
2019-2020学年高三第二学期开学数学试卷（文科）一、选择题1．若集合A＝{2，3，4}，B＝{x|1+x＞3}，则A∩B＝（）A．{4}B．{2}C．{3，4}D．{2，3}2．已知复数，则复数z在复平面内对应的点的坐标为（）A．（0，﹣1）B．（0，1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，0）3．命题“∀x∈[0，+∞），e x≥1+sin x”的否定是（）A．∀x∈[0，+∞），e x＜1+sin x B．∀x∉[0，+∞），e x≥1+sin xC．∃x∈[0，+∞），e x＜1+sin x D．∃x∉[0，+∞），e x＜1+sin x4．若a＝log23，b＝log48，c＝log58，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a5．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的离心率为e，若e＝，则该双曲线的渐近线方程为（）A．2x±3y＝0B．3x±2y＝0C．4x±3y＝0D．3x±4y＝0 6．已知圆x2+y2﹣2x+2y+a＝0截直线x+y﹣4＝0所得弦的长度小于6，则实数a的取值范围为（）A．B．C．（﹣15，+∞）D．（﹣15，2）7．函数f（x）＝+1的大致图象为（）A．B．C．D．8．在等差数列{a n}中，a10＜0，a11＞0，且a11＞|a10|，记{a n}的前n项和为S n，当S n＜0时，n的最大值为（）A．17B．18C．19D．209．已知一个简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为24π+48，则r＝（）A．2B．4C．1D．310．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC＝CC1＝1，∠AB1D＝，则直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．11．若函数f（x）＝e x（x3﹣3ax﹣a）有3个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．（）C．（0，）D．（）12．设max{p，q}表示p，q两者中较大的一个，已知定义在[0，2π]的函数f（x）＝max{2sin x，2cos x}，满足关于x的方程f2（x）+（1﹣2m）f（x）+m2﹣m＝0有6个不同的解，则m 的取值范围为（）A．（﹣1，）B．（1，1+）C．（，2）D．（1+，2）二、填空题13．设函数f（x）＝，则f（f（））＝．14．设x，y满足约束条件，则2x﹣y的最小值是．15．已知函数f（x）＝e x﹣alnx在[1，2]上单调递增，则a的取值范围是．16．已知三棱锥A﹣BCD的四个顶点都在球O的球面上，且AC＝，BD＝2，AB＝BC＝CD＝AD＝，则球O的表面积为．三、解答题：共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{a n}中，a3＝3，a2+2，a4，a6﹣2顺次成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，{b n}的前n项和S n，求S2n．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝，PA⊥BD，AB＝2，PA＝PD＝CD＝BC＝1．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（Ⅱ）求点C到平面PBD的距离．19．某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）平均每天锻炼的时间/分钟[0，10）[10，20）[20，30）[30，40）[40，50）[50，60）总人数203644504010将学生日均体育锻炼时间在[40，60）的学生评价为“锻炼达标”．（Ⅰ）请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表；锻炼不达标锻炼达标合计男女20110合计并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？（Ⅱ）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽取5人，进行体育锻炼体会交流，再从这5人中选出2人作重点发言，求作重点发言的2人中，至少有1人是女生的概率．参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d临界值表P（K2≥k0）0.100.050.0250.010k0 2.706 3.841 5.024 6.63520．已知椭圆过点P（2，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求其离心率；（Ⅱ）过点P作x轴的垂线l，设点A为第四象限内一点且在椭圆C上（点A不在直线l上），点A关于l的对称点为A'，直线A'P与C交于另一点B．设O为原点，判断直线AB与直线OP的位置关系，并说明理由．21．已知函数f（x）＝e x+ax+b的图象在点（0，f（0））处的切线方程为2x﹣y+1＝0．（1）求f（x）的表达式；（2）当x＞0时，f（x）≥x2+mx+1恒成立，求实数m的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ（cosθ﹣sinθ）＝1．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）已知直线l与y轴交于点M，且与曲线C交于A，B两点，求||的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+2a|+|x﹣a|（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）≥4﹣|x+2|的解集；（Ⅱ）设a＞0，b＞0，且f（x）的最小值是t．若t+3b＝3，求的最小值．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A＝{2，3，4}，B＝{x|1+x＞3}，则A∩B＝（）A．{4}B．{2}C．{3，4}D．{2，3}【分析】可求出集合B，然后进行交集的运算即可．解：B＝{x|x＞2}；∴A∩B＝{3，4}．故选：C．2．已知复数，则复数z在复平面内对应的点的坐标为（）A．（0，﹣1）B．（0，1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，0）【分析】化简复数为a+bi的形式，即可推出复数对应点的坐标．解：复数＝＝＝﹣i，复数的对应点（0，﹣1）．故选：A．3．命题“∀x∈[0，+∞），e x≥1+sin x”的否定是（）A．∀x∈[0，+∞），e x＜1+sin x B．∀x∉[0，+∞），e x≥1+sin xC．∃x∈[0，+∞），e x＜1+sin x D．∃x∉[0，+∞），e x＜1+sin x【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x∈[0，+∞），e x＜1+sin x，故选：C．4．若a＝log23，b＝log48，c＝log58，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a【分析】换底得出，而，从而得出a＞b，再换底得出，容易得出，即得出b＞c，从而得出a＞b＞c．解：∵，；∴a＞b；又，，且log85＞log84＞0；∴；∴b＞c；∴a＞b＞c．故选：A．5．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的离心率为e，若e＝，则该双曲线的渐近线方程为（）A．2x±3y＝0B．3x±2y＝0C．4x±3y＝0D．3x±4y＝0【分析】求出双曲线的离心率，利用已知条件列出方程求解a，b比值美如画求解渐近线方程．解：双曲线＝1（a＞0，b＞0）的离心率为e，可得e＝＝，可得：a2+b2＝9a2﹣6ab+b2，化简可得＝，则该双曲线的渐近线方程为：4x±3y＝0．故选：C．6．已知圆x2+y2﹣2x+2y+a＝0截直线x+y﹣4＝0所得弦的长度小于6，则实数a的取值范围为（）A．B．C．（﹣15，+∞）D．（﹣15，2）【分析】把圆的方程化为标准形式，求出弦心距，再由条件根据弦长公式求得a的值．解：圆x2+y2﹣2x+2y+a＝0即（x﹣1）2+（y+1）2＝2﹣a，故弦心距d＝＝2．再由弦长公式可得0＜2﹣a＜8+9，∴2＞a＞﹣15；故选：D．7．函数f（x）＝+1的大致图象为（）A．B．C．D．【分析】先判断函数为偶函数，再求出当0＜x＜1时，f（x）＞1，故排除A，B，C 解：∵f（﹣x）＝f（x），∴函数为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除B，C，当0＜x＜1时，log2x8＜0，x2﹣4＜0，∴f（x）＞1，故排除A，故选：D．8．在等差数列{a n}中，a10＜0，a11＞0，且a11＞|a10|，记{a n}的前n项和为S n，当S n＜0时，n的最大值为（）A．17B．18C．19D．20【分析】由已知中在等差数列{a n}中，a10＜0，a11＞0，且a11＞|a10|，我们可得a10＜0，a11＞0，a11+a10＞0，根据等差数列的性质判断S19＝19•a10，S20＝10•（a10+a11）的符号，即可得到结论．解：∵在等差数列{a n}中，a10＜0，a11＞0，又∵a11＞|a10|，∴a11+a10＞0则S19＝19•a10＜0S20＝10•（a10+a11）＞0故S n＜0时，n的最大值为19故选：C．9．已知一个简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为24π+48，则r＝（）A．2B．4C．1D．3【分析】由题意，直观图为圆锥与三棱锥的组合体，利用几何体的体积求出r即可．解：由题意，直观图为圆锥与三棱锥的组合体，该几何体的体积为×π×9r2×4r+×3r×3r×4r＝24π+48，∴r＝2．故选：A．10．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC＝CC1＝1，∠AB1D＝，则直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB1与BC1所成角的余弦值．解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝a，则A（1，0，0），D（0，0，0），B1（1，a，1），＝（﹣1，﹣a，﹣1），＝（0，﹣a，﹣1），∵∠AB1D＝，∴cos＝＝，解得a＝，B1（1，，1），B（1，0），C1（0，，1），＝（0，），＝（﹣1，0，1），设直线AB1与BC1所成角为θ，则cosθ＝＝＝．∴直线AB1与BC1所成角的余弦值为．故选：D．11．若函数f（x）＝e x（x3﹣3ax﹣a）有3个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．（）C．（0，）D．（）【分析】令g（x）＝x3﹣3ax﹣a，求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到关于a的不等式，求出a的范围即可．解：令g（x）＝x3﹣3ax﹣a，若f（x）＝e x g（x）有3个零点，即g（x）有3个零点，g′（x）＝3x2﹣3a，当a≤0时，g′（x）≥0，g（x）递增，至多1个零点，当a＞0时，g′（x）＝0，x＝±，由题意知g（﹣）＞0，g（）＜0，故a＞，故选：D．12．设max{p，q}表示p，q两者中较大的一个，已知定义在[0，2π]的函数f（x）＝max{2sin x，2cos x}，满足关于x的方程f2（x）+（1﹣2m）f（x）+m2﹣m＝0有6个不同的解，则m 的取值范围为（）A．（﹣1，）B．（1，1+）C．（，2）D．（1+，2）【分析】由“取大函数”的图象的定义可作出函数的图象，再结合方程的根的个数与函数图象的交点个数的关系即关于x的方程f2（x）+（1﹣2m）f（x）+m2﹣m＝0有6个不同的解等价于函数t＝f（x）的图象与直线t＝t1、t＝t2的交点个数之和为6个，再由二次方程区间根问题可得：设g（t）＝t2+（1﹣2m）t+m2﹣m，则有，即，解得：，得解．解：设t＝f（x），则方程f2（x）+（1﹣2m）f（x）+m2﹣m＝0可转化为：t2+（1﹣2m）t+m2﹣m＝0，不妨设t1、t2为关于t的方程t2+（1﹣2m）t+m2﹣m＝0的两根，关于x的方程f2（x）+（1﹣2m）f（x）+m2﹣m＝0有6个不同的解等价于函数t＝f（x）的图象与直线t＝t1、t＝t2的交点个数之和为6个，由图可得：当函数t＝f（x）的图象与直线t＝t1、t＝t2的交点个数之和为6个时，有﹣＜t2，＜2，设g（t）＝t2+（1﹣2m）t+m2﹣m，由二次方程区间根问题可得：，即，解得：，故选：C．二、填空题：共4小题，每小题5分．13．设函数f（x）＝，则f（f（））＝﹣．【分析】根据题意，由函数的解析式求出f（）的值，进而计算可得答案．解：根据题意，f（x）＝，则f（）＝log2＝﹣1，则f（f（））＝f（﹣1）＝4﹣1﹣1＝﹣1＝﹣；故答案为：﹣．14．设x，y满足约束条件，则2x﹣y的最小值是﹣3．【分析】先画出线性约束条件对应的可行域，再将目标函数赋予几何意义，数形结合即可得目标函数的最小值．解：画出x，y满足约束条件，可行域如图阴影区域：目标函数z＝2x﹣y可化为y＝2x﹣z，即斜率为2，截距为﹣z的动直线，数形结合可知，当动直线过点A时，z最小由得A（﹣1，1）∴目标函数z＝2x﹣y的最小值为z＝﹣2×1﹣1＝﹣3．故答案为：﹣3．15．已知函数f（x）＝e x﹣alnx在[1，2]上单调递增，则a的取值范围是（﹣∞，e]．【分析】求出函数的导数，问题转化为a≤xe x在[1，2]恒成立，令h（x）＝xe x，x∈[1，2]，根据函数的单调性求出a的范围即可．解：f′（x）＝e x﹣，若f（x）在[1，2]递增，则f′（x）≥0在[1，2]恒成立，即a≤xe x在[1，2]恒成立，令h（x）＝xe x，x∈[1，2]，则h′（x）＝（x+1）e x＞0，h（x）在[1，2]递增，故h（x）min＝h（1）＝e，故a≤e，故答案为：（﹣∞，e]．16．已知三棱锥A﹣BCD的四个顶点都在球O的球面上，且AC＝，BD＝2，AB＝BC ＝CD＝AD＝，则球O的表面积为4π．【分析】由题意画出图形，结合已知可得BD中点O为外接球的球心，求出半径，则答案可求．解：如图，取BD中点O，连接OA，OC，由BD＝2，AB＝BC＝CD＝AD＝，得OA＝OB＝OC＝OD＝1，则球的半径为1．∴球O的表面积为4π×12＝4π．故答案为：4π．三、解答题：共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{a n}中，a3＝3，a2+2，a4，a6﹣2顺次成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，{b n}的前n项和S n，求S2n．【分析】（1）利用等比数列的通项公式列出方程求出数列的公差，然后求解通项公式．（2）化简通项公式，利用并项求和求解数列的和即可．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，因为a3＝3，a2+2，a4，a6﹣2顺次成等比数列，所以，所以（3+d）2＝（5﹣d）（1+3d），化简得d2﹣2d+1＝0，解得d＝1．所以a1＝a3﹣2d＝1，所以a n＝a1+（n﹣1）d＝1+（n﹣1）×1＝n．（2）由（1）得＝，所以S2n＝b1+b2+b3+…+b2n＝＝．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝，PA⊥BD，AB＝2，PA＝PD＝CD＝BC＝1．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（Ⅱ）求点C到平面PBD的距离．【分析】（Ⅰ）推导出AD⊥BD，PA⊥BD，从而BD⊥平面PAD，由此能证明平面PAD ⊥平面ABCD．（Ⅱ）取AD中点O，连结PO，则PO⊥AD，且PO＝，由V P﹣BCD＝V C﹣PBD，能求出点C到平面PBD的距离．【解答】证明：（Ⅰ）∵AB∥CD，∠BCD＝，PA＝PD＝CD＝BC＝1，∴BD＝，，，∴，∵AB＝2，∴AD＝，∴AB2＝AD2+BD2，∴AD⊥BD，∵PA⊥BD，PA∩AD＝A，∴BD⊥平面PAD，∵BD⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD．解：（Ⅱ）取AD中点O，连结PO，则PO⊥AD，且PO＝，由平面PAD⊥平面ABCD，知PO⊥平面ABCD，由BD⊥平面PAD，得BD⊥PD，又PD＝1，BD＝，∴△PBD的面积为，又△BCD的面积为，V P﹣BCD＝V C﹣PBD，设点C到平面PBD的距离为d，则，解得d＝，∴点C到平面PBD的距离为．19．某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）平均每天锻炼的时间/分钟[0，10）[10，20）[20，30）[30，40）[40，50）[50，60）总人数203644504010将学生日均体育锻炼时间在[40，60）的学生评价为“锻炼达标”．（Ⅰ）请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表；锻炼不达标锻炼达标合计男女20110合计并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？（Ⅱ）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽取5人，进行体育锻炼体会交流，再从这5人中选出2人作重点发言，求作重点发言的2人中，至少有1人是女生的概率．参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d临界值表P（K2≥k0）0.100.050.0250.010k0 2.706 3.841 5.024 6.635【分析】（Ⅰ）计算得K2，结合临界值表可得；（Ⅱ）“锻炼达标“的学生有50人，男女生人数比为3：2，故用分层抽样方法抽取5人，有3人是男生，记为a，b，c，有2人是女生，记为d，e，用列举法以及古典概型概率公式可得．解：（Ⅰ）列联表如下：锻炼不达标锻炼达标合计男603090女9020110合计15050200 K2＝＝≈6.061》5.024，所以能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关．（Ⅱ）”锻炼达标“的学生有50人，男女生人数比为3：2，故用分层抽样方法抽取5人，有3人是男生，记为a，b，c，有2人是女生，记为d，e，则从这5人中选出2人，选法有：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10种，设事件A表示“作重点发言的2人中，至少有1人是女生”，则事件A发生的情况为：ad，bd，cd，ae，be，ce，de共7种，所以所求概率为．20．已知椭圆过点P（2，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求其离心率；（Ⅱ）过点P作x轴的垂线l，设点A为第四象限内一点且在椭圆C上（点A不在直线l上），点A关于l的对称点为A'，直线A'P与C交于另一点B．设O为原点，判断直线AB与直线OP的位置关系，并说明理由．【分析】（Ⅰ）将点P代入椭圆方程，求出a，结合离心率公式即可求得椭圆的离心率；（Ⅱ）设直线PA：y﹣1＝k（x﹣2），PB：y﹣1＝﹣k（x﹣2），设点A的坐标为（x1，y1），B（x2，y2），分别求出x1﹣x2，y1﹣y2，根据斜率公式，以及两直线的位置关系与斜率的关系解：（Ⅰ）由椭圆方程椭圆过点P（2，1），可得a2＝8．所以c2＝a2﹣2＝8﹣2＝6，所以椭圆C的方程为+＝1，离心率e＝＝，（Ⅱ）直线AB与直线OP平行．证明如下：设直线PA：y﹣1＝k（x﹣2），PB：y﹣1＝﹣k（x﹣2），设点A的坐标为（x1，y1），B（x2，y2），由得（4k2+1）x2+8k（1﹣2k）x+16k2﹣16k﹣4＝0，∴2x1＝，∴x1＝同理x2＝，所以x1﹣x2＝﹣，由y1＝kx1﹣2k+1，y2＝﹣kx1+2k+1有y1﹣y2＝k（x1+x2）﹣4k＝﹣，因为A在第四象限，所以k≠0，且A不在直线OP上．∴k AB＝＝，又k OP＝，故k AB＝k OP，所以直线AB与直线OP平行．21．已知函数f（x）＝e x+ax+b的图象在点（0，f（0））处的切线方程为2x﹣y+1＝0．（1）求f（x）的表达式；（2）当x＞0时，f（x）≥x2+mx+1恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）求出原函数的导函数，由f′（0）＝1+a＝2解得a值，再由f（0）＝1+b ＝1解得b，则函数解析式可求；（2）把x＞0时，e x+x≥x2+mx+1转化为m≤，令h（x）＝（x ＞0），利用导数求其最小值即可得到实数m的取值范围．解：（1）由f（x）＝e x+ax+b，得f′（x）＝e x+a，由f′（0）＝1+a＝2，解得a＝1．由f（0）＝1+b＝1，解得b＝0．∴f（x）＝e x+x；（2）当x＞0时，e x+x≥x2+mx+1，即m≤．令h（x）＝（x＞0），则h′（x）＝．令t（x）＝e x﹣x﹣1（x＞0），则t′（x）＝e x﹣1＞0．当x∈（0，+∞）时，t（x）单调递增，t（x）＞t（0）＝0．则当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．∴h（x）min＝h（1）＝e﹣1，∴实数m的取值范围是（﹣∞，e﹣1]．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ（cosθ﹣sinθ）＝1．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）已知直线l与y轴交于点M，且与曲线C交于A，B两点，求||的值．【分析】（1）直接利用转换关系把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．解：（1）直线l的极坐标方程为ρ（cosθ﹣sinθ）＝1．转换为直角坐标方程为：x﹣y﹣1＝0．曲线C的参数方程为，（θ为参数）．转换为直角坐标方程为：x2+y2＝9．（2）点M（0，﹣1），故直线的参数方程为：（t为参数），代入圆的方程转换为：，（t1和t2为A、B对应的参数），所以：．故：．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+2a|+|x﹣a|（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）≥4﹣|x+2|的解集；（Ⅱ）设a＞0，b＞0，且f（x）的最小值是t．若t+3b＝3，求的最小值．【分析】（Ⅰ）将a＝1代入f（x）中，然后利用零点分段法解不等式f（x）≥4﹣|x+2|即可；（Ⅱ）先利用绝对值三角不等式求出f（x）的最小值，再利用基本不等式求出的最小值．解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝|x+2|+|x﹣1|，∵f（x）≥4﹣|x+2|，∴2|x+2|+|x﹣1|≥4①，当x≤﹣2时，不等式①可化为﹣2x﹣4﹣x+1≥4，∴；当﹣2＜x＜1时，不等式①可化为2x+4﹣x+1≥4，∴﹣1≤x＜1；当x≥1时，不等式①可化为2x+4+x﹣1≥4，∴x≥1，综上，不等式的解集为．（Ⅱ）f（x）＝|x+2a|+|x﹣a|≥（x+2a）﹣（x﹣a）＝3a，∴t＝3a，∴3a+3b＝3，即a+b＝1，∴，当且仅当，即时等号成立，∴的最小值为．。
黑龙江省哈尔滨市第十九中学2019-2020学年高三数学文测试题含解析
黑龙江省哈尔滨市第十九中学2019-2020学年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 的展开式中，常数项为15，则n的值可以为( )A．3 B．4C．5 D．6参考答案：D2. 若向量，，，则实数的值为A． B． C．2 D．6参考答案：A试题分析：，，得，故答案为A.考点：平面向量平行的应用.3. 设集合M={﹣1，1}，N={x|＜2}，则下列结论正确的是（）A．N?M B．M?N C．M∩N=N D．M∩N={1}参考答案：B【分析】化简集合N，即可得出结论．【解答】解：∵M={﹣1，1}，N={x|＜2}={x|x＜0或x＞}，∴M?N，故选B．4. 已知，是两个不同的平面，直线，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A由线面垂直的判定定理可知，时，能推出，而不能推出，故“”是“”的充分不必要条件，故选A.5. 已知函数在上仅有1个最值，且为最大值，则实数的值不可能为（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】化简，根据在上仅有个最值，且为最大值，得到，解得或，对比选项得到答案.【详解】，因在上仅有个最值，且为最大值，故，解得，故，或故选：C．【点睛】本题考查了根据三角函数最值求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.6. 等差数列前17项和，则A. 3B. 6C. 17D. 51参考答案：A略7. 函数的最小值和最大值分别为（）A B C D参考答案：C略8. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：的一条渐近线与圆相切，则C的离心率为A．B．C．D．参考答案：B9. 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若△ABC的面为S，且，则（）A. 1B.C. D.参考答案：D【分析】根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出的值，然后利用两角和差的正弦公式进行求解即可．【详解】解：由，得，∵，∴，即即，则，∵，∴，∴，即，则，故选：D．【点睛】本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出的值以及利用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键．10. 在中，点D在线段BC的延长线上，且，点O在线段CD上（与点C,D不重合）若则x的取值范围（）A．B．C．D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 甲、乙、丙三位教师分别在哈尔滨、长春、沈阳的三所中学里教不同的学科A、B、C，已知：①甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；②在哈尔滨工作的教师不教C学科；③在长春工作的教师教A学科；④乙不教B学科.可以判断乙教的学科是______________.参考答案：C由乙不在长春工作，而在长春工作的教师教A学科，则乙不教A学科；又乙不教B学科，所以乙教C学科，而在哈尔滨工作的教师不教C学科，故乙在沈阳教C学科.故填C.12. 下列命题：①偶函数的图像一定与轴相交；②定义在上的奇函数必满足；③既不是奇函数又不是偶函数；④，则为的映射；⑤在上是减函数.其中真命题的序号是（把你认为正确的命题的序号都填上）参考答案：略13. 已知，则．参考答案：14. 已知直线l：y=k（x+1）+与圆x2+y2=4交于A、B两点，过A、B分别做l的垂线与x轴交于C、D两点，若|AB|=4，则|CD|= ．参考答案：8【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据直线与圆相交，圆x2+y2=4可知：圆心为（0，0），半径r=2，弦长为|AB|=4=2r，说明直线l过圆心O所以可以得到直线AB的倾斜角，求出|OC|，即可得到|CD|的长度．【解答】解：由圆的方程x2+y2=4可知：圆心为（0，0），半径r=2．∵弦长为|AB|=4=2r，∴可以得知直线l经过圆心O．∴0=k（0+1）+，解得k=﹣，∴直线AB的方程为：y=﹣x，设直线AB的倾斜角为θ，则tanθ=﹣，∴θ=120°，∴在Rt△AOC中：|CO|==4，那么：|CD|=2|OC|=8，故答案为：8．15. 给定双曲线，若直线过的中心，且与交于两点，为曲线上任意一点，若直线的斜率均存在且分别记为，则.参考答案：试题分析：设直线的方程为，，，则由得，,所以有，，故应填.考点：1.双曲线的标准方程与几何性质；2.直线与双曲线的位置关系；3.斜率公式.16. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若，则的取值范围是.参考答案：17. 已知函数在区间（-1，1）上恰有一个极值点，则实数a的取值范围是。
黑龙江省哈尔滨三中2019届高三二模考试数学(文)试题 含解析
2019年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷（文科）一、选择题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】可求出集合B，然后进行交集的运算即可．【详解】解：；．故选：C．【点睛】本题考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算．2.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】．故选B．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.若函数是奇函数，则（）A. ﹣1B.C.D. 1【答案】B【解析】【分析】首先根据奇函数的定义，求得参数，从而得到，求得结果.【详解】由得，∴，∴，故选B.【点睛】该题考查函数的奇偶性及函数求值等基础知识，属于基础题目，考查考生的运算求解能力.4.若x ，y 满足不等式组，则的最小值为（ ） A. ﹣2 B. ﹣3C. ﹣4D. ﹣5【答案】D 【解析】 【分析】画出不等式组表示的平面区域，平移目标函数，找出最优解，求出z 的最小值． 【详解】画出x ，y 满足不等式组表示的平面区域，如图所示：平移目标函数z ＝2x ﹣3y 知，A （2，3），B （1，0），C （0，1） 当目标函数过点A 时，z 取得最小值， ∴z 的最小值为2×2﹣3×3＝﹣5． 故选：D ．【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，是基本知识的考查．5.已知双曲线（，）的离心率为e，若，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先根据条件，可得，整理得，结合双曲线中之间的关系，整理求得，进而得到双曲线的渐近线的方程.【详解】，，，，所以该双曲线的渐近线方程为，即，故选C.【点睛】该题考查的是有关双曲线的渐近线的方程，在解题的过程中，涉及到的知识点有双曲线的离心率，双曲线中之间的关系，属于简单题目.6.随着计算机的出现，图标被赋予了新的含义，又有了新的用武之地．在计算机应用领域，图标成了具有明确指代含义的计算机图形．如图所示的图标是一种被称之为“黑白太阳”的图标，该图标共分为3部分．第一部分为外部的八个全等的矩形，每一个矩形的长为3、宽为1；第二部分为圆环部分，大圆半径为3，小圆半径为2；第三部分为圆环内部的白色区域．在整个“黑白太阳”图标中随机取一点，此点取自图标第三部分的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】以面积为测度，根据几何概型的概率公式即可得到结论．【详解】图标第一部分的面积为8×3×1＝24，图标第二部分的面积和第三部分的面积为π×32＝9π，图标第三部分的面积为π×22＝4π，故此点取自图标第三部分的概率为，故选：B．【点睛】本题考查几何概型的计算，关键是正确计算出阴影部分的面积，属于基础题．7.在公比为整数的等比数列中，，，则的前4项和为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由，，可先用首项及公比表示可得，联立方程可求得，，然后代入等比数列的前项和公式可求答案.【详解】设等比数列的首项为，公比为，因为，，所以，两式相除可得，，由公比为整数可得，，，故选A.【点睛】该题考查是有关等比数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的通项公式，等比数列的前项和公式，属于简单题目.8.运行如图程序，则输出的S的值为（）A. 0B. 1C. 2018D. 2017【答案】D【解析】依次运行程序框图给出的程序可得第一次：，不满足条件；第二次：，不满足条件；第三次：，不满足条件；第四次：，不满足条件；第五次：，不满足条件；第六次：，满足条件，退出循环。
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2019届黑龙江省哈尔滨市高三下学期开学考试文科数
学试卷【含答案及解析】
姓名___________ 班级____________ 分数__________
一、选择题
1. 已知集合，，则（）
A ．______________
B ．______________
C ．______________
D ．
2. 已知，则（）
A ．___________________________________
B ．
___________________________________ C ．___________________________________ D ．
3. 若，则（）
A ．______________
B ． 0____________________
C ．
____________________________ D ． 1
4. 已知向量，向量，则的最大值，
最小值分别是（）
A ． 4 ， 0____________________________
B ．， 4
C ．， 0______________
D ． 16 ， 0
5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）
A ． _________
B ．
C ．______________
D ．
6. 已知满足约束条件，则下列目标函数中，在点处取得最
小值的是（）
A ．______________
B ．
C ．_________
D ．
7. 执行右边的程序框图，若，则输出的为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
8. 柜子里有3双不同的鞋，随机地取出2只，则取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对的概率为（）
A ．___________
B ．________________________
C ．
________________________ D ．
9. 已知函数，若的图像的一条切线经过点，则这条切线与
直线及轴所围成的三角形面积为（）
A ．____________________________
B ． 1____________________
________ C ． 2___________________________________ D ．
10. 如图，在斜三棱柱ABC－A 1 B 1 C 1 中，∠ BAC＝90° ，BC 1 ⊥ AC ，
则C 1 在底面ABC上的射影H必在（）
A ．直线AB上 ____________________
B ．直线BC上
C ．直线AC上 ____________________________
D ．△ ABC内部
11. 过双曲线的右顶点作轴的垂线与C的一条渐近线相
交于点A ，若以的右焦点F为圆心，半径为4的圆经过A ， O两点（ O为原点），则双曲线的方程为（）
A． B．______________
C ．______________
D ．
12. 已知函数对定义域内的任意都有，且当时
导函数满足，若，则（）
A．________________________
B ．
C．________________________
D ．
二、填空题
13. 已知函数在内是增函数，则的取值范围是
___________________________________ ．
14. 已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线
与抛物线在第一、
四象限分别交于两点，则______________________________ ．
15. 给出下列4个函数：① ；② ；③ ；④
，则满足对定义域D内的，，使成立的函
数序号为．
16. 正三角形的边长为2 ，分别在三边上，为
的中点，，且，则
___________________________________ ．
三、解答题
17. 已知单调递增的等比数列满足：且是
的等差中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，其前项和为，求．
18. 某气象站观测点记录的连续4天里， AQI指数M与当天的空气水平可见度
（单位cm ）的情况如下表1：p
19. ly:宋体; font-size:10.5pt">M 900 700 300 100 0 ． 5 3 ． 5 6 ． 5 9 ． 5 哈尔滨市某月AQI指数频数分布如下表2：p
20. ly:宋体; font-size:10.5pt">M
频数 3 6 12 6 3
（1）设，根据表1的数据，求出关于的回归方程；
（参考公式：；其中，）
（ 2 ）小张开了一家洗车店，经统计，当M不高于200时，洗车店平均每天亏损约2000元；当M在200至
400时，洗车店平均每天收入约4000元；当M大于400时，洗车店平均每天收入约7000元；根据表2估
计小张的洗车店该月份平均每天的收入．
21. 如图，在四棱锥中，为菱形，平面，
，是棱上的动点，面积的最小值是3 ．
（1）求证：；
（2）求四棱锥的体积．
22. 已知分别是椭圆的左右焦点，是椭圆的上顶点，的延长线交椭圆于点，过点垂直于轴的直线交椭圆于点．（1）若点C坐标为，且，求椭圆的方程；
（2）若，求椭圆的离心率．
23. 已知函数．
（ 1 ）证明：；
（2）当时，，求的取值范围．
24. 选修4—1：几何证明选讲
如图所示，已知圆外有一点，作圆的切线，为切点，过
的中点，作割线，交圆于、两点，连接并延长，
交圆于点，连接交圆于点，若．
（1）求证：△ ∽△ ；
（2）求证：四边形是平行四边形．
25. 选修4—4：坐标系与参数方程
极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以坐标原点为极点，以轴
的正半轴为极轴，已知曲线的参数方程为为参数）， M为曲线
C上任一点，过点M作轴的垂线段MN ，垂足为N ， MN中点P的轨迹方程为．（1）求曲线的参数方程；
（2）已知曲线上的两点，求面积的
最小值及此时的值．
26. 选修4—5；不等式选讲．
对于任意实数和，不等式恒
成立，试求实数的取值范围．
参考答案及解析
第1题【答案】
第2题【答案】
第3题【答案】
第4题【答案】
第5题【答案】
第6题【答案】
第7题【答案】
第8题【答案】
第9题【答案】
第10题【答案】
第11题【答案】
第12题【答案】
第13题【答案】
第14题【答案】
第15题【答案】
第16题【答案】
第17题【答案】
第18题【答案】
第19题【答案】
第20题【答案】
第21题【答案】
第22题【答案】
第23题【答案】
第24题【答案】。