幂的运算

幂的运算

第一部分:知识归纳，要点总结

（什么是——幂？）

n a

1、 同底数幂的乘法（重点） 法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 公式表示：m n m n a a a += （m 、n 都是正整数）。

推导过程：()()m n m n a a a a a a a a a +== 。

关键：找准底数。

注意：①底数必须相同；②相乘时，底数没有变化；③指数相加的和作为最终结果幂的指数。

例：计算351010⨯= ，3m m ⨯= ，()()32

b b --= ，21n n b b += 。 推广及逆用（难点）

同底数幂的乘法可推广到三个或三个以上同底数幂的情况，即：m n p m n p a a a a ++= （m 、n 、p 都为正整数），

m n p m n p a a a a +++= （m 、n ，…，p 都为正整数）。

反之，m n m n a a a += （m 、n 为正整数）亦成立。

2、 幂的乘方与积的乘方

⑴幂的乘方

意义：指几个相同的幂相乘。如：()n m a

是n 个m a 相乘，读作a 的m 次幂的n 次方。 推导过程：。

法则（重点）：()n m mn a

a =（m 、n 都是正整数）。

⑵积的乘方

意义：是指底数是乘积形式的乘方。如：()3ab ，()n ab 。

推导过程：()()()()()()n n n ab ab ab ab a a a b b b a b === 。

法则（重点）：()n

n n ab a b =（n 为正整数）。 3、 同底数幂的除法

法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。

公式表示：m n m n a a a -÷=（0a ≠，m 、n 为正整数，且m>n ）。

例：62x x ÷= ，()5

3a a -÷= ，41n n a a ++÷= ，()()3211a a +÷+= 。 零指数幂与负整数指数幂的意义（重、难点）

（1）零指数幂

()010a a =≠，

即任何不等于0的数的0次幂都等于1。

（2）负整数指数幂

1p p a a

-=（0a ≠，p 是正整数） 即任何不等于零的数的-p （p 是正整数）次幂，等于这个数的P 次幂的倒数。

第二部分:考点精析，方法指导

【典型例题1】已知23x =，求32

x +的值。

【典型例题2】计算3534x x x x x +=

【典型例题3】若236m m x

x x -= ，求2112m m -+的值。

【典型例题4】若2m =-，求()()3

24m m m --- 的值。

【典型例题5】计算()()342,2xy ab

--。

第三部分：应用（综合训练）

【典型例题1】（2008南京中考题）计算()32ab 的结果是（ ）。

（2009湖北天门模拟题）计算()323x -的结果是（

）

。

【典型例题2】(2009江西训练题)计算:

(1) ()54x -;(2) ()67x ⎡⎤-⎣⎦;(3) ()24x ⎡⎤-⎣⎦;(4) ()3

3

a b +-.

【典型例题3】（2009湖北襄樊训练题）计算：

（1）44()x ；（2）()()2332x x -- ；（3）()()23221n a a -+ ；

（4）()()34

23x y x y ⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦ ；（5）3

212ab ⎛⎫

- ⎪⎝⎭；

（6）()()()43341024422225x x x x x -+-+ .

【典型例题4】比较5553

，4444，3335。

【典型例题5】（2009湖北十堰训练题）（1）若21,34m m x y =+=+，用x 的代数式表示y.

（2）已知212

448x x ++=，求x 的值。

【典型例题6】（2009河南模拟题）计算200820091003000.25

480.5⨯-⨯。

【典型例题7】（2009湖北黄冈三科联赛）试确定20083的个位数字是几。

基础演练

1、下列运算正确的是（ ）。

A 、22x x x =

B 、()22xy xy =

C 、()326x x =

D 、224x x x +=

2、化简()32m m 4的结果等于（ ）。

3、计算3212a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭

的结果是（ ）。 4、如果()3915n m a b b a b = ，那么m 、n 的值为（ ）。

A 、m=9,n=-4

B 、m=3,n=4

C 、m=4,n=3

D 、m=9,n=6

5、填空：（1）()2310=（ ），()32a

-=（ ），3

223xy ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）； （2）()43210⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

（ ），()()225333-⨯-⨯=（ ），()21m m x +=（ ）1m +。

6、计算：（1）()4

423a b c -；（2）()3322x x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ；（3）()()()()224252232a a a a - ；

（4）()()()()3223213m n n m b b b b b -- ；（5）()4

45240.125⨯⨯-。 提升突破

1、已知554433222,3,5,6a b c d ====，则a 、b 、c 、d 的大小关系是（ ）

A 、a

B 、a

C 、b

D 、a

2、填空：

（1）若3698x a b =-，则x=( )。

（2）若436482x ⨯=，则x=（ ）。