「精品」高考数学一轮复习第9章平面解析几何第7讲抛物线分层演练文(1)
高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.7抛物线文
【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.7 抛物线 文1.抛物线的概念平面内到一个定点F 和一条定直线l (F 不在l 上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程与几何性质【知识拓展】1.抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离PF ＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径.2.y 2＝ax 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a4.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( × ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是(a4，0)，准线方程是x ＝－a4.( × )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( × )(4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F (p 2，0)的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长AB ＝x 1＋x 2＋p .( √ )(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( √ )1.(2015·陕西改编)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为__________. 答案 (1,0)解析 由于抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－p 2，由题意得－p2＝－1，p ＝2，焦点坐标为()1，0.2.已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，AF ＝54x 0，则x 0＝________.答案 1解析 由抛物线的定义，可得AF ＝x 0＋14，∵AF ＝54x 0，∴x 0＋14＝54x 0，∴x 0＝1.3.已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0).若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则OM ＝________. 答案 2 3解析 设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)， 则点M (2，±2p ).∵焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，点M 到该抛物线焦点的距离为3， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2－p 22＋4p ＝9，解得p ＝2(负值舍去)，故M (2，±22). ∴OM ＝4＋4×2＝2 3.4.(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________________. 答案 y 2＝－8x 或x 2＝－y解析 设抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)，或x 2＝2py (p ≠0).将P (－2，－4)代入，分别得方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y .5.已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为________. 答案 43解析 ∵A (－2,3)在抛物线y 2＝2px 的准线上， ∴－p2＝－2，∴p ＝4，∴y 2＝8x ，设直线AB 的方程为x ＝m (y －3)－2，① 将①与y2＝8x 联立，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m y －－2，y 2＝8x ，得y 2－8my ＋24m ＋16＝0，②则Δ＝(－8m )2－4(24m ＋16)＝0，即2m 2－3m －2＝0， 解得m ＝2或m ＝－12(舍去)，将m ＝2代入①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝8，即B (8,8)，又F (2,0)，∴k BF ＝8－08－2＝43.题型一 抛物线的定义及应用例1 已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求PA ＋PF 的最小值，并求出取最小值时点P 的坐标. 解 将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝± 6.∵6>2，∴A 在抛物线内部，如图.设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知PA ＋PF ＝PA ＋d ，当PA ⊥l 时，PA ＋d 最小，最小值为72，即PA ＋PF 的最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2，∴点P 的坐标为(2,2). 引申探究将本例中点A 的坐标改为(3,4)，求PA ＋PF 的最小值. 解 当P 、A 、F 共线时，PA ＋PF 最小，PA ＋PF ≥AF ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－122＋42＝ 254＋16＝892. 即PA ＋PF 的最小值为892. 思维升华 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.(1)设抛物线x 2＝12y 的焦点为F ，经过点P (2,1)的直线l 与抛物线相交于A ，B两点，又知点P 恰为AB 的中点，则AF ＋BF ＝________.(2)设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，若B (3,2)，则PB ＋PF 的最小值为________. 答案 (1)8 (2)4解析 (1)分别过点A ，B ，P 作准线的垂线，垂足分别为M ，N ，Q ，根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，得AF ＋BF ＝AM ＋BN ＝2PQ ＝8.(2)如图，过点B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于点P 1，则P 1Q ＝P 1F .则有PB ＋PF ≥P 1B ＋P 1Q ＝BQ ＝4.即PB ＋PF 的最小值为4.题型二 抛物线的标准方程和几何性质 命题点1 求抛物线的标准方程例2 已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为____________. 答案 x 2＝16y解析 ∵x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为2，∴c a ＝2，即c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4，∴b 2a 2＝3，ba＝ 3. x 2＝2py 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，x 2a 2－y2b2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±3x .由题意得p21＋32＝2，∴p ＝8.故C 2的方程为x 2＝16y .命题点2 抛物线的几何性质例3 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点.若AF ＝3，则△AOB 的面积为________. 答案322解析 由题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>0，y 2<0)，如图所示，AF ＝x 1＋1＝3，∴x 1＝2，y 1＝2 2.设AB 的方程为x －1＝ty ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x －1＝ty消去x 得y 2－4ty －4＝0.∴y 1y 2＝－4.∴y 2＝－2，x 2＝12，∴S △AOB ＝12×1×|y 1－y 2|＝322.思维升华 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.(1)(2015·陕西)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________. 答案 2 2解析 由于双曲线x 2－y 2＝1的焦点为(±2，0)，故应有p2＝2，p ＝2 2.(2)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证：①y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；②1AF ＋1BF为定值；③以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. 证明 ①由已知得抛物线焦点坐标为(p2，0).由题意可设直线方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫my ＋p 2，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*)则y 1，y 2是方程(*)的两个实数根，所以y 1y 2＝－p 2. 因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以y 21y 22＝4p 2x 1x 2，所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 44p 2＝p 24.②1AF ＋1BF ＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p2 ＝x 1＋x 2＋px 1x 2＋p 2x 1＋x 2＋p 24.因为x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝AB －p ，代入上式，得1AF ＋1BF ＝ABp4＋p2AB －p ＋p4＝2p(定值).③设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为C ，D ，过M作准线的垂线，垂足为N ，则MN ＝12(AC ＋BD )＝12(AF ＋BF )＝12AB . 所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. 题型三 直线与抛物线的综合问题 命题点1 直线与抛物线的交点问题例4 已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A 、B 两点.若MA →·MB →＝0，则k ＝________. 答案 2解析 抛物线C 的焦点为F (2,0)，则直线方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 则x 1＋x 2＝4＋8k2，x 1x 2＝4.所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16.因为MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋8＝0，将上面各个量代入，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2. 命题点2 与抛物线弦的中点有关的问题例5 (2014·浙江)如图，已知△ABP 的三个顶点都在抛物线C ：x 2＝4y 上，F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，PF →＝3FM →.(1)若PF ＝3，求点M 的坐标； (2)求△ABP 面积的最大值. 解 (1)由题意知焦点F (0,1)， 准线方程为y ＝－1. 设P (x 0，y 0)，由抛物线定义知PF ＝y 0＋1， 得到y 0＝2，所以P (22，2)或P (－22，2).由PF →＝3FM →得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，23或M ⎝ ⎛⎭⎪⎫223，23.(2)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ， 点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝4y 得x 2－4kx －4m ＝0.于是Δ＝16k 2＋16m >0，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m ， 所以AB 的中点M 的坐标为(2k,2k 2＋m )， 由PF →＝3FM →，得(－x 0,1－y 0)＝3(2k,2k 2＋m －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－6k ，y 0＝4－6k 2－3m .由x 20＝4y 0，得k 2＝－15m ＋415.由Δ>0，k 2≥0，得－13<m ≤43.又因为AB ＝41＋k 2·k 2＋m ， 点F (0,1)到直线AB 的距离为d ＝|m －1|1＋k2，所以S △ABP ＝4S △ABF ＝8|m －1|k 2＋m ＝16153m 3－5m 2＋m ＋1.记f (m )＝3m 3－5m 2＋m ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－13<m ≤43，令f ′(m )＝9m 2－10m ＋1＝0， 解得m 1＝19，m 2＝1.可得f (m )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，19上是增函数， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫19，1上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43上是增函数. 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝256243>59＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43， 所以，当m ＝19时，f (m )取到最大值256243，此时k ＝±5515.所以，△ABP 面积的最大值为2565135.思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式AB ＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.已知过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的直线l 与抛物线y 2＝2px (p >0)交于A ，B 两点，且OA →·OB →＝－3，其中O 为坐标原点. (1)求p 的值；(2)当AM ＋4BM 最小时，求直线l 的方程. 解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线l 的方程为x ＝my ＋p2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋p 2，y 2＝2px ，消去x 得y 2－2pmy －p 2＝0.∴y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2. ∵OA →·OB →＝－3，∴x 1x 2＋y 1y 2＝－3.又x 1x 2＝y 212p ·y 222p ＝p 24，∴p 24－p 2＝－3⇒p 2＝4.∵p >0，∴p ＝2. (2)由抛物线定义，得AM ＝x 1＋p2＝x 1＋1，BM ＝x 2＋p2＝x 2＋1，∴AM ＋4BM ＝x 1＋4x 2＋5≥24x 1x 2＋5＝9，当且仅当x 1＝4x 2时取等号. 将x 1＝4x 2代入x 1x 2＝p 24＝1，得x 2＝12(负值舍去).将x 2＝12代入y 2＝4x ，得y 2＝±2，即点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，±2.将点B 代入x ＝my ＋1，得m ＝±24. ∴直线l 的方程为x ＝±24y ＋1，即4x ±2y －4＝0.7.直线与圆锥曲线问题的求解策略典例 (16分)(2014·山东)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有FA ＝FD .当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形. (1)求C 的方程；(2)若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E ， ①证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；②△ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由. 规范解答解 (1)由题意知F (p2，0).设D (t,0)(t >0)，则FD 的中点为(p ＋2t4，0).因为FA ＝FD ，由抛物线的定义知3＋p 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －p 2，解得t ＝3＋p 或t ＝－3(舍去). 由p ＋2t4＝3，解得p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .[4分] (2)①由(1)知F (1,0).设A (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)，D (x D,0)(x D >0). 因为FA ＝FD ，则|x D －1|＝x 0＋1， 由x D >0得x D ＝x 0＋2，故D (x 0＋2,0)， 故直线AB 的斜率k AB ＝－y 02. 因为直线l 1和直线AB 平行， 设直线l 1的方程为y ＝－y 02x ＋b ，代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8b y 0＝0，由题意得Δ＝64y 20＋32b y 0＝0，得b ＝－2y 0.[7分]设E (x E ，y E )，则y E ＝－4y 0，x E ＝4y 20.当y 20≠4时，k AE ＝y E －y 0x E －x 0＝－4y 0－y 04y 20－y 204＝4y 0y 20－4， 可得直线AE 的方程为y －y 0＝4y 0y 20－4(x －x 0). 由y 20＝4x 0，整理可得y ＝4y 0y 20－4(x －1)， 直线AE 恒过点F (1,0).当y 20＝4时，直线AE 的方程为x ＝1，过点F (1,0)， 所以直线AE 过定点F (1,0).[10分] ②由①知直线AE 过焦点F (1,0)， 所以AE ＝AF ＋FE＝(x 0＋1)＋⎝⎛⎭⎪⎫1x＋1＝x 0＋1x 0＋2.设直线AE 的方程为x ＝my ＋1. 因为点A (x 0，y 0)在直线AE 上，故m ＝x 0－1y 0. 设B (x 1，y 1)，直线AB 的方程为y －y 0＝－y 02(x －x 0)，由于y 0≠0，可得x ＝－2y 0y ＋2＋x 0，代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8－4x 0＝0，所以y 0＋y 1＝－8y 0，可求得y 1＝－y 0－8y 0，x 1＝4x 0＋x 0＋4.所以点B 到直线AE 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0＋x 0＋4＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋8y 0－11＋m2＝x 0＋x 0＝4⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0.[14分]则△ABE 的面积S ＝12×4⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0＋2≥16， 当且仅当1x 0＝x 0，即x 0＝1时等号成立.所以△ABE 的面积的最小值为16.[16分]解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤： 第一步：联立方程，得关于x 或y 的一元二次方程； 第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范 围(或指出直线过曲线内一点)；第三步：根据题目要求列出关于x 1x 2，x 1＋x 2(或 y 1y 2，y 1＋y 2)的关系式，求得结果； 第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况.温馨提醒 (1)解决直线与圆锥曲线结合的问题，一般都采用设而不求的方法，联立方程，由根与系数的关系去找适合该问题的等量关系.(2)在解决此类问题时常用到焦半径、弦长公式，对于距离问题，往往通过定义进行转化. (3)利用“点差法”可以将曲线的二次关系转化为一次关系即直线的关系，从而求直线斜率.[方法与技巧]1.认真区分四种形式的标准方程(1)区分y ＝ax 2与y 2＝2px (p >0)，前者不是抛物线的标准方程.(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx (m ≠0)或x 2＝my (m ≠0).2.抛物线的离心率e ＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离.因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简化.抛物线上的点到焦点的距离根据定义转化为到准线的距离，即PF ＝|x |＋p 2或PF ＝|y |＋p2.[失误与防范]1.求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求出p 值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，以及是哪一种标准方程.2.注意应用抛物线的定义解决问题.3.直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式.A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与曲线x 2＋y 2－4x －5＝0相切，则p 的值为________. 答案 2解析 曲线的标准方程为(x －2)2＋y 2＝9，其表示圆心为(2,0)，半径为3的圆，又抛物线的准线方程为x ＝－p 2，∴由抛物线的准线与圆相切得2＋p2＝3，解得p ＝2.2.已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为__________. 答案 x ＝－1解析 ∵y 2＝2px 的焦点坐标为(p2，0)，∴过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p2，即x ＝y ＋p2，将其代入y 2＝2px ，得y 2＝2py ＋p 2，即y 2－2py －p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝2p ，∴y 1＋y 22＝p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.3.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2的值一定等于____________. 答案 －4解析 ①若焦点弦AB ⊥x 轴， 则x 1＝x 2＝p 2，所以x 1x 2＝p 24；∴y 1＝p ，y 2＝－p ，∴y 1y 2＝－p 2， ∴y 1y 2x 1x 2＝－4. ②若焦点弦AB 不垂直于x 轴，可设AB 的直线方程为y ＝k (x －p2)，联立y 2＝2px 得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋p 2k 24＝0，则x 1x 2＝p 24.所以y 1y 2＝－p 2.故y 1y 2x 1x 2＝－4. 4.已知抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，过抛物线上一点M (p ，2p )和抛物线的焦点F 作直线l 交抛物线于另一点N ，则NF ∶FM ＝______. 答案 1∶2解析 由题意得，直线l ：y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，解得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫p4，－22p ，∴NF ＝p 4＋p 2＝34p ，∴FM ＝p ＋p 2＝32p ，∴NF ∶FM ＝1∶2.5.(2014·课标全国Ⅱ改编)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则AB ＝________.答案 12解析 焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，方法一 直线AB 的斜率为33， 所以直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34， 即y ＝33x －34，代入y 2＝3x ，得13x 2－72x ＋316＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝212，所以AB ＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12.方法二 由抛物线焦点弦的性质可得AB ＝2p sin 2θ＝3sin 230°＝12. 6.已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A 、B 两点，若△ABF为等边三角形，则p ＝________.答案 6解析 由题意知B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 3，－p 2，代入方程x 23－y 23＝1得 p ＝6.7.如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交其准线l 于点C ，若BC ＝2BF ，且AF ＝3，则此抛物线的方程为________.答案 y 2＝3x解析 如图，分别过A 、B 作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定义知：AF ＝AA 1，BF ＝BB 1，∵BC ＝2BF ， ∴BC ＝2BB 1，∴∠BCB 1＝30°，∴∠AFx ＝60°，连结A 1F ，则△AA 1F 为等边三角形，过F 作FF 1⊥AA 1于F 1，则F 1为AA 1的中点，设l 交x 轴于K ，则KF ＝A 1F 1＝12AA 1＝12AF ，即p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x .8.已知一条过点P (2,1)的直线与抛物线y 2＝2x 交于A ，B 两点，且P 是弦AB 的中点，则直线AB 的方程为_____________________________________________________________. 答案 x －y －1＝0解析 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，两式相减得y 21－y 22＝2(x 1－x 2)，即y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2＝1，直线AB 的斜率为1，直线AB 的方程是y －1＝x －2，即x －y －1＝0.9.如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA 与OB 的长分别为1和8，求抛物线的方程.解 设直线OA 的方程为y ＝kx ，k ≠0， 则直线OB 的方程为y ＝－1kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2px ，得x ＝0或x ＝2pk2.∴A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2p k2，2p k ，同理得B 点坐标为(2pk 2，－2pk )，由OA ＝1，OB ＝8，可得⎩⎪⎨⎪⎧4p 2k 2＋1k 4＝1， ①4p 2k 2k 2＋＝64， ②②÷①得k 6＝64，即k 2＝4.则p 2＝16k2k 2＋＝45. 又p >0，则p ＝255，故所求抛物线方程为y 2＝455x .10.抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点. (1)若AF →＝2FB →，求直线AB 的斜率；(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值. 解 (1)依题意知F (1,0)，设直线AB 的方程为x ＝my ＋1. 将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.① 因为AF →＝2FB →，所以y 1＝－2y 2.② 联立①和②，消去y 1，y 2，得m ＝±24. 所以直线AB 的斜率是±2 2.(2)由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等， 所以四边形OACB 的面积等于2S △AOB .因为2S △AOB ＝2×12·OF ·|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝41＋m 2，所以当m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4.B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)11.(2015·四川改编)设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是__________. 答案 (2,4) 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，当l 的斜率不存在时，符合条件的直线l 必有两条；当直线l 的斜率k 存在时，如图x 1≠x 2，则有y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2＝2，即y 0·k ＝2， 由CM ⊥AB 得，k ·y 0－0x 0－5＝－1，y 0·k ＝5－x 0,2＝5－x 0，x 0＝3，即M 必在直线x ＝3上，将x ＝3代入y 2＝4x ，得y 2＝12，∴－23＜y 0＜23，∵点M 在圆上， ∴(x 0－5)2＋y 20＝r 2，r 2＝y 20＋4＜12＋4＝16， 又y 20＋4＞4，∴4＜r 2＜16，∴2＜r ＜4.12.已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1，则点A 的坐标为__________. 答案 (2，±22)解析 如图所示，由题意，可得OF ＝1，由抛物线的定义，得AF ＝AM ，∵△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1， ∴S △AMFS △AOF＝12×AF ×AM ×sin∠MAF 12×OF ×AF π－∠MAF＝3，∴AF ＝AM ＝3，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0， ∴y 204＋1＝3，∴y 204＝2，y 0＝±22，∴点A 的坐标是(2，±22).13.对于抛物线y 2＝4x 上任意一点Q ，点P (a,0)都满足PQ ≥|a |，则a 的取值范围是________. 答案 (－∞，2] 解析 设Q (t 24，t )，由PQ ≥|a |，得(t 24－a )2＋t 2≥a 2，t 2(t 2＋16－8a )≥0，t 2＋16－8a ≥0，t 2≥8a －16恒成立，则8a －16≤0，a ≤2.14.(2014·江西)如图，已知抛物线C ：x 2＝4y ，过点M (0,2)任作一直线与C 相交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D (O 为坐标原点).(1)证明：动点D 在定直线上；(2)作C 的任意一条切线l (不含x 轴)，与直线y ＝2相交于点N 1，与(1)中的定直线相交于点N 2，证明：MN 22－MN 21为定值，并求此定值.(1)证明 依题意可设AB 方程为y ＝kx ＋2，代入x 2＝4y ，得x 2＝4(kx ＋2)，即x 2－4kx －8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1x 2＝－8. 直线AO 的方程为y ＝y 1x 1x ；BD 的方程为x ＝x 2.解得交点D 的坐标为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2，y ＝y 1x 2x 1，注意到x 1x 2＝－8及x 21＝4y 1， 则有y ＝y 1x 1x 2x 1＝－8y 14y 1＝－2. 因此D 点在定直线y ＝－2上(x ≠0).(2)解 依题设，切线l 的斜率存在且不等于0，设切线l 的方程为y ＝ax ＋b (a ≠0)， 代入x 2＝4y 得x 2＝4(ax ＋b )，即x 2－4ax －4b ＝0. 由Δ＝0得(－4a )2＋16b ＝0，化简整理得b ＝－a 2. 故切线l 的方程可写为y ＝ax －a 2. 分别令y ＝2，y ＝－2得N 1，N 2的坐标为N 1(2a ＋a,2)，N 2(－2a＋a ，－2)，则MN 22－MN 21＝(2a －a )2＋42－(2a＋a )2＝8，即MN 22－MN 21为定值8.15.(2015·福建)已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且AF ＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切.方法一 (1)解 由抛物线的定义得AF ＝2＋p2.因为AF ＝3，即2＋p2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x . (2)证明 因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22). 由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1). 由⎩⎨⎧y ＝22x －，y 2＝4x得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1,0)，所以k GA ＝22－02－－＝223，k GB ＝－2－012－－＝－223.所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切. 方法二 (1)解 同方法一.(2)证明 设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r .因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22). 由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1). 由⎩⎨⎧y ＝22x －，y 2＝4x21 得2x 2－5x ＋2＝0.解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2.又G (－1,0)，故直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0.从而r ＝|22＋22|8＋9＝4217.又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0.所以点F 到直线GB 的距离d ＝|22＋22|8＋9＝4217＝r .这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切.。
高考数学一轮复习第九章平面解析几何第7讲抛物线教案理(含解析)新人教A版
高考数学一轮复习第九章平面解析几何第7讲抛物线教案理（含解析）新人教A版第7讲抛物线基础知识整合1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离□01相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的□02准线．其数学表达式：□03|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)．2．抛物线的标准方程与几何性质抛物线焦点弦的几个常用结论设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则： (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)．(3)以弦AB 为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p .1．抛物线y ＝2x 2的准线方程为( ) A ．y ＝－18B ．y ＝－14C ．y ＝－12D ．y ＝－1答案 A解析 由y ＝2x 2，得x 2＝12y ，故抛物线y ＝2x 2的准线方程为y ＝－18，故选A.2．(2019·黑龙江联考)若抛物线x 2＝4y 上的点P (m ，n )到其焦点的距离为5，则n ＝( )A.194 B.92C ．3D ．4 答案 D解析 抛物线x 2＝4y 的准线方程为y ＝－1.根据抛物线的定义可知5＝n ＋1，解得n ＝4.故选D.3．已知抛物线C ：y ＝x 28的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，且|AF |＝2y 0，则x 0＝( )A ．2B ．±2 C．4 D ．±4 答案 D解析 由y ＝x 28，得x 2＝8y ，∴抛物线C 的准线方程为y ＝－2，焦点为F (0,2)．由抛物线的性质及题意，得|AF |＝2y 0＝y 0＋2.解得y 0＝2，∴x 0＝±4.故选D.4．若抛物线y 2＝2px 上一点P (2，y 0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝4x B ．y 2＝6x C ．y 2＝8x D ．y 2＝10x答案 C解析 ∵抛物线y 2＝2px ，∴准线方程为x ＝－p2.∵点P (2，y 0)到其准线的距离为4.∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪－p2－2＝4.∴p ＝4，∴抛物线的标准方程为y 2＝8x .5．(2019·广东中山统测)过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点．如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |＝( )A ．6B ．8C ．9D ．10 答案 B解析 由题意知，抛物线y 2＝4x 的准线方程是x ＝－1.∵过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，∴|AB |＝x 1＋x 2＋2.又∵x 1＋x 2＝6，∴|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8.故选B.6．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4 答案 C解析 利用|PF |＝x P ＋2＝42，可得x P ＝32， ∴y P ＝±2 6.∴S △POF ＝12|OF |·|y P |＝2 3.故选C.核心考向突破考向一 抛物线的定义角度1 到焦点与到定点距离之和最小问题例1 (2019·赣州模拟)若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为( )A ．(0,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1，2) D ．(2,2)答案 D解析 过M 点作准线的垂线，垂足为N ，则|MF |＋|MA |＝|MN |＋|MA |，当A ，M ，N 三点共线时，|MF |＋|MA |取得最小值，此时M (2,2)．角度2 到点与准线的距离之和最小问题例2 (2019·邢台模拟)已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是________．答案 5解析 依题意，由点M 向抛物线x 2＝4y 的准线l ：y ＝－1引垂线，垂足为M 1，则有|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MM 1|，结合图形可知|MA |＋|MM 1|的最小值等于圆心C (－1,5)到y ＝－1的距离再减去圆C 的半径，即等于6－1＝5，因此|MA |＋|MF |的最小值是5.角度3 到定直线的距离最小问题例3 已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A.355 B ．2 C.115D ．3 答案 B解析 由题意可知l 2：x ＝－1 是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点为F (1,0)，则动点P 到l 2的距离等于|PF |，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值，即焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.触类旁通与抛物线有关的最值问题的两个转化策略(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．2将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.)即时训练 1.(2019·潍坊质检)在y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( )A ．(－2,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(－1,2) 答案 B解析 如图所示，直线l 为抛物线y ＝2x 2的准线，F 为其焦点，PN ⊥l ，AN 1⊥l ，由抛物线的定义，知|PF |＝|PN |，∴|AP |＋|PF |＝|AP |＋|PN |≥|AN 1|，即当且仅当A ，P ，N 三点共线时取等号．∴P 点的横坐标与A 点的横坐标相同即为1，则可排除A ，C ，D ，故选B.2．已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0和y 轴的距离之和的最小值是( )A. 3B. 5 C ．2 D.5－1 答案 D解析 由题意知，抛物线的焦点为F (1,0)．设点P 到直线l 的距离为d ，由抛物线的定义可知，点P 到y 轴的距离为|PF |－1，所以点P 到直线l 的距离与到y 轴的距离之和为d ＋|PF |－1.易知d ＋|PF |的最小值为点F 到直线l 的距离，故d ＋|PF |的最小值为|2＋3|22＋－12＝5，所以d ＋|PF |－1的最小值为5－1.考向二 抛物线的方程例4 (1)(2019·运城模拟)已知抛物线x 2＝ay 与直线y ＝2x －2相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为3，则此抛物线的方程为( )A ．x 2＝32yB ．x 2＝6y C ．x 2＝－3y D ．x 2＝3y答案 D解析 设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝ay ，y ＝2x －2消去y ，得x 2－2ax ＋2a ＝0，所以x 1＋x 22＝2a 2＝3，即a ＝3，因此所求的抛物线方程是x 2＝3y . (2)抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.答案 6解析 抛物线的准线方程为y ＝－p2，设A ，B 的横坐标分别为x A ，x B ，则|x A |2＝|x B |2＝3＋p 24，所以|AB |＝|2x A |.又焦点到准线的距离为p ，由等边三角形的特点，得p ＝32|AB |，即p 2＝34×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋p 24，所以p ＝6. 触类旁通求抛物线的标准方程应注意的几点(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线的标准方程属于四种类型中的哪一种． 2要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系. 3要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题. 即时训练 3.(2019·上海模拟)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝6x B ．y 2＝8x C ．y 2＝16x D ．y 2＝152x答案 B解析 设M (x ，y )，∵|OF |＝p 2，|MF |＝4|OF |，∴|MF |＝2p ，由抛物线的定义知x ＋p2＝2p ，∴x ＝32p ，∴y ＝±3p ，又△MFO 的面积为43，∴12×p2×3p ＝43，解得p ＝4(p ＝－4舍去)．∴抛物线的方程为y 2＝8x .4．动直线l 的倾斜角为60°，若直线l 与抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．答案 x 2＝3y解析 设直线l 的方程为y ＝3x ＋b ，联立⎩⎨⎧y ＝3x ＋b ，x 2＝2py ，消去y ，得x 2＝2p (3x ＋b )．即x 2－23px －2pb ＝0，∴x 1＋x 2＝23p ＝3.∴p ＝32，∴抛物线的方程为x 2＝3y .考向三 抛物线的性质例5 (1)已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝2C ．x ＝－1D ．x ＝－2 答案 C解析 抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，所以过焦点且斜率为－1的直线方程为y＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，代入抛物线方程，整理得x 2－3px ＋p 24＝0，由AB 中点的横坐标为3，得3p ＝6，解得p ＝2，故抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1.(2)(2018·北京高考)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴．若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．答案 (1,0)解析 如图，由题意可得，点P (1,2)在抛物线上，将P (1,2)代入y 2＝4ax ，解得a ＝1，∴y 2＝4x ，由抛物线方程可得，2p ＝4，p ＝2，p2＝1，∴焦点坐标为(1,0)．触类旁通1涉及抛物线上的点到焦点的距离或到准线的距离时，常可相互转化. 2应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性.即时训练 5.(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 B解析 不妨设C ：y 2＝2px (p >0)，A (x 1,22)，则x 1＝2222p＝4p，由题意可知|OA |＝|OD |，得⎝ ⎛⎭⎪⎫4p 2＋8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22＋5，解得p ＝4.故选B.6．在平面直角坐标系xOy 中有一定点A (4,2)，若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．答案 x ＝－52解析 OA 的中点的坐标为(2,1)，斜率k OA ＝12，OA 的垂直平分线的方程为y －1＝－2(x－2)，即y ＝－2x ＋5.又∵抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点在x 轴上，即y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，y ＝－2x ＋5，得抛物线的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，∴52＝p 2，∴抛物线的准线方程为x ＝－52. 考向四 直线与抛物线的位置关系例6 (2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2,0)，B (－2，0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；。
高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.7抛物线理
【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.7 抛物线 理1.抛物线的概念平面内到一个定点F 和一条定直线l (F 不在l 上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程与几何性质【知识拓展】1.抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离PF ＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径.2.y 2＝ax 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a4.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( × ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是(a4，0)，准线方程是x ＝－a4.( × )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( × )(4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F (p 2，0)的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长AB ＝x 1＋x 2＋p .( √ )(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( √ )1.(2015·陕西改编)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为__________. 答案 (1,0)解析 由于抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－p 2，由题意得－p2＝－1，p ＝2，焦点坐标为()1，0.2.已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，AF ＝54x 0，则x 0＝________.答案 1解析 由抛物线的定义，可得AF ＝x 0＋14，∵AF ＝54x 0，∴x 0＋14＝54x 0，∴x 0＝1.3.已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0).若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则OM ＝________. 答案 2 3解析 设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)， 则点M (2，±2p ).∵焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，点M 到该抛物线焦点的距离为3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2－p 22＋4p ＝9，解得p ＝2(负值舍去)， 故M (2，±22). ∴OM ＝4＋4×2＝2 3.4.(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________________. 答案 y 2＝－8x 或x 2＝－y解析 设抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)，或x 2＝2py (p ≠0).将P (－2，－4)代入，分别得方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y .5.已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为________. 答案 43解析 ∵A (－2,3)在抛物线y 2＝2px 的准线上， ∴－p2＝－2，∴p ＝4，∴y 2＝8x ，设直线AB 的方程为x ＝m (y －3)－2，① 将①与y2＝8x 联立，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m y －－2，y 2＝8x ，得y 2－8my ＋24m ＋16＝0，②则Δ＝(－8m )2－4(24m ＋16)＝0，即2m 2－3m －2＝0， 解得m ＝2或m ＝－12(舍去)，将m ＝2代入①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝8，即B (8,8)，又F (2,0)，∴k BF ＝8－08－2＝43.题型一 抛物线的定义及应用例1 已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求PA ＋PF 的最小值，并求出取最小值时点P 的坐标.解 将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝± 6.∵6>2，∴A 在抛物线内部，如图.设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知PA ＋PF ＝PA ＋d ，当PA ⊥l 时，PA ＋d 最小，最小值为72，即PA ＋PF 的最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2，∴点P 的坐标为(2,2). 引申探究将本例中点A 的坐标改为(3,4)，求PA ＋PF 的最小值. 解 当P 、A 、F 共线时，PA ＋PF 最小，PA ＋PF ≥AF ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－122＋42＝ 254＋16＝892. 即PA ＋PF 的最小值为892. 思维升华 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.(1)设抛物线x 2＝12y 的焦点为F ，经过点P (2,1)的直线l 与抛物线相交于A ，B两点，又知点P 恰为AB 的中点，则AF ＋BF ＝________.(2)设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，若B (3,2)，则PB ＋PF 的最小值为________. 答案 (1)8 (2)4解析 (1)分别过点A ，B ，P 作准线的垂线，垂足分别为M ，N ，Q ，根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，得AF ＋BF ＝AM ＋BN ＝2PQ ＝8.(2)如图，过点B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于点P 1，则P 1Q ＝P 1F .则有PB ＋PF ≥P 1B ＋P 1Q ＝BQ ＝4.即PB ＋PF 的最小值为4.题型二 抛物线的标准方程和几何性质 命题点1 求抛物线的标准方程例2 已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为____________. 答案 x 2＝16y解析 ∵x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为2，∴c a ＝2，即c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4，∴b 2a 2＝3，ba＝ 3. x 2＝2py 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，x 2a 2－y2b2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±3x .由题意得p21＋32＝2，∴p ＝8.故C 2的方程为x 2＝16y . 命题点2 抛物线的几何性质例3 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点.若AF ＝3，则△AOB 的面积为________. 答案322解析由题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>0，y 2<0)，如图所示，AF ＝x 1＋1＝3， ∴x 1＝2，y 1＝2 2.设AB 的方程为x －1＝ty ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x －1＝ty 消去x 得y 2－4ty －4＝0.∴y 1y 2＝－4.∴y 2＝－2，x 2＝12，∴S △AOB ＝12×1×|y 1－y 2|＝322.思维升华 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.(1)(2015·陕西)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________. 答案 2 2解析 由于双曲线x 2－y 2＝1的焦点为(±2，0)，故应有p2＝2，p ＝2 2.(2)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证：①y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；②1AF ＋1BF为定值；③以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. 证明 ①由已知得抛物线焦点坐标为(p2，0).由题意可设直线方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫my ＋p 2，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*)则y 1，y 2是方程(*)的两个实数根，所以y 1y 2＝－p 2. 因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以y 21y 22＝4p 2x 1x 2，所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 44p 2＝p 24.②1AF ＋1BF ＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p2 ＝x 1＋x 2＋px 1x 2＋p 2x 1＋x 2＋p 24.因为x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝AB －p ，代入上式，得1AF ＋1BF ＝ABp24＋p2AB －p ＋p24＝2p(定值).③设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则MN ＝12(AC ＋BD )＝12(AF ＋BF )＝12AB .所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. 题型三 直线与抛物线的综合问题 命题点1 直线与抛物线的交点问题例4 已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A 、B 两点.若MA →·MB →＝0，则k ＝________. 答案 2解析 抛物线C 的焦点为F (2,0)，则直线方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 则x 1＋x 2＝4＋8k，x 1x 2＝4.所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16.因为MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋8＝0，将上面各个量代入，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2. 命题点2 与抛物线弦的中点有关的问题例5 已知抛物线C ：y ＝mx 2(m >0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q .(1)求抛物线C 的焦点坐标；(2)若抛物线C 上有一点R (x R,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值；(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.解 (1)∵抛物线C ：x 2＝1m y ，∴它的焦点F (0，14m ).(2)∵RF ＝y R ＋14m ，∴2＋14m ＝3，得m ＝14.(3)存在，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx 2，2x －y ＋2＝0，消去y 得mx 2－2x －2＝0，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)>0⇒m >－12.设A (x 1，mx 21)，B (x 2，mx 22)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2m，x 1·x 2＝－2m.(*)∵P 是线段AB 的中点，∴P (x 1＋x 22，mx 21＋mx 222)，即P (1m ，y P )，∴Q (1m ，1m ).得QA →＝(x 1－1m ，mx 21－1m)，QB →＝(x 2－1m ，mx 22－1m)，若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形，则QA →·QB →＝0， 即(x 1－1m )·(x 2－1m )＋(mx 21－1m )(mx 22－1m)＝0，结合(*)化简得－4m 2－6m＋4＝0，即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12，而2∈(－12，＋∞)，－12∉(－12，＋∞).∴存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形.思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式AB ＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.(2014·大纲全国)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且QF ＝54PQ .(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M 、N 两点，且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上，求l 的方程.解 (1)设Q (x 0,4)，代入y 2＝2px 得x 0＝8p.所以PQ ＝8p ，QF ＝p 2＋x 0＝p 2＋8p.由题设得p 2＋8p ＝54×8p，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2. 所以C 的方程为y 2＝4x . (2)依题意知l 与坐标轴不垂直， 故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0). 代入y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 故AB 的中点为D (2m 2＋1,2m )，AB ＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1).又l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1my ＋2m 2＋3.将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4my －4(2m 2＋3)＝0.设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4m，y 3y 4＝－4(2m 2＋3).故MN 的中点为E (2m 2＋2m 2＋3，－2m)，MN ＝ 1＋1m2|y 3－y 4|＝m 2＋2m 2＋1m 2，由于MN 垂直平分AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于AE ＝BE ＝12MN ，从而14AB 2＋DE 2＝14MN 2，即4(m 2＋1)2＋(2m ＋2m )2＋(2m2＋2)2＝m 2＋2m 2＋m 4，化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1. 所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.7.直线与圆锥曲线问题的求解策略典例 (16分)(2014·山东)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有FA ＝FD .当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形. (1)求C 的方程；(2)若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E ， ①证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；②△ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由. 规范解答解 (1)由题意知F (p2，0).设D (t,0)(t >0)，则FD 的中点为(p ＋2t4，0).因为FA ＝FD ，由抛物线的定义知3＋p 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －p 2，解得t ＝3＋p 或t ＝－3(舍去). 由p ＋2t4＝3，解得p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x . [4分](2)①由(1)知F (1,0).设A (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)，D (x D,0)(x D >0). 因为FA ＝FD ，则|x D －1|＝x 0＋1， 由x D >0得x D ＝x 0＋2，故D (x 0＋2,0)， 故直线AB 的斜率k AB ＝－y 02. 因为直线l 1和直线AB 平行， 设直线l 1的方程为y ＝－y 02x ＋b ，代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8b y 0＝0，由题意得Δ＝64y 20＋32b y 0＝0，得b ＝－2y 0.[7分]设E (x E ，y E )，则y E ＝－4y 0，x E ＝4y 20.当y 20≠4时，k AE ＝y E －y 0x E －x 0＝－4y 0－y 04y 20－y 204＝4y 0y 20－4， 可得直线AE 的方程为y －y 0＝4y 0y 20－4(x －x 0). 由y 20＝4x 0，整理可得y ＝4y 0y 0－4(x －1)， 直线AE 恒过点F (1,0).当y 20＝4时，直线AE 的方程为x ＝1，过点F (1,0)， 所以直线AE 过定点F (1,0).[10分]②由①知直线AE 过焦点F (1,0)， 所以AE ＝AF ＋FE＝(x 0＋1)＋⎝⎛⎭⎪⎫1x＋1＝x 0＋1x 0＋2.设直线AE 的方程为x ＝my ＋1. 因为点A (x 0，y 0)在直线AE 上，故m ＝x 0－1y 0. 设B (x 1，y 1)，直线AB 的方程为y －y 0＝－y 02(x －x 0)，由于y 0≠0，可得x ＝－2y 0y ＋2＋x 0，代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8－4x 0＝0，所以y 0＋y 1＝－8y 0，可求得y 1＝－y 0－8y 0，x 1＝4x 0＋x 0＋4.所以点B 到直线AE 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0＋x 0＋4＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋8y 0－11＋m2＝x 0＋x 0＝4⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0.[14分]则△ABE 的面积S ＝12×4⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0＋2≥16， 当且仅当1x 0＝x 0，即x 0＝1时等号成立.所以△ABE 的面积的最小值为16. [16分]解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤： 第一步：联立方程，得关于x 或y 的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)； 第三步：根据题目要求列出关于x 1x 2，x 1＋x 2(或y 1y 2，y 1＋y 2)的关系式，求得结果； 第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况.温馨提醒 (1)解决直线与圆锥曲线结合的问题，一般都采用设而不求的方法，联立方程，由根与系数的关系去找适合该问题的等量关系.(2)在解决此类问题时常用到焦半径、弦长公式，对于距离问题，往往通过定义进行转化. (3)利用“点差法”可以将曲线的二次关系转化为一次关系即直线的关系，从而求直线斜率.[方法与技巧]1.认真区分四种形式的标准方程(1)区分y ＝ax 2与y 2＝2px (p >0)，前者不是抛物线的标准方程.(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx (m ≠0)或x 2＝my (m ≠0).2.抛物线的离心率e ＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离.因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简化.抛物线上的点到焦点的距离根据定义转化为到准线的距离，即PF ＝|x |＋p 2或PF ＝|y |＋p2.[失误与防范]1.求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求出p 值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，以及是哪一种标准方程.2.注意应用抛物线的定义解决问题.3.直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式.A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与曲线x 2＋y 2－4x －5＝0相切，则p 的值为________. 答案 2解析 曲线的标准方程为(x －2)2＋y 2＝9，其表示圆心为(2,0)，半径为3的圆，又抛物线的准线方程为x ＝－p 2，∴由抛物线的准线与圆相切得2＋p2＝3，解得p ＝2.2.已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为__________. 答案 x ＝－1解析 ∵y 2＝2px 的焦点坐标为(p2，0)，∴过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p2，即x ＝y ＋p2，将其代入y 2＝2px ，得y 2＝2py ＋p 2，即y 2－2py －p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝2p ，∴y 1＋y 22＝p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.3.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2的值一定等于________. 答案 －4解析 ①若焦点弦AB ⊥x 轴， 则x 1＝x 2＝p 2，所以x 1x 2＝p 24；∴y 1＝p ，y 2＝－p ，∴y 1y 2＝－p 2， ∴y 1y 2x 1x 2＝－4. ②若焦点弦AB 不垂直于x 轴， 可设AB 的直线方程为y ＝k (x －p2)，联立y 2＝2px 得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋p 2k 24＝0，则x 1x 2＝p 24.所以y 1y 2＝－p 2.故y 1y 2x 1x 2＝－4. 4.如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是________(填序号).①BF －1AF －1； ②BF 2－1AF 2－1； ③BF ＋1AF ＋1； ④BF 2＋1AF 2＋1. 答案 ① 解析由图形可知，△BCF 与△ACF 有公共的顶点F ，且A ，B ，C 三点共线，易知△BCF 与△ACF 的面积之比就等于BCAC.由抛物线方程知焦点F (1，0)，作准线l ，则l 的方程为x ＝－1. ∵点A ，B 在抛物线上，过A ，B 分别作AK ，BH 与准线垂直，垂足分别为点K ，H ，且与y 轴分别交于点N ，M .由抛物线定义，得BM ＝BF －1，AN ＝AF －1.在△CAN 中，BM ∥AN ，∴BC AC ＝BM AN＝BF －1AF －1. 5.(2014·课标全国Ⅱ改编)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则AB ＝________.答案 12解析 焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0， 方法一 直线AB 的斜率为33，所以直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34， 即y ＝33x －34，代入y 2＝3x ，得13x 2－72x ＋316＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝212，所以AB ＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12.方法二 由抛物线焦点弦的性质可得AB ＝2p sin θ＝3sin 30°＝12. 6.已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A 、B 两点，若△ABF为等边三角形，则p ＝________. 答案 6解析 由题意知B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 3，－p 2，代入方程x 23－y 23＝1得 p ＝6.7.如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交其准线l 于点C ，若BC ＝2BF ，且AF ＝3，则此抛物线的方程为________.答案 y 2＝3x 解析如图，分别过A 、B 作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定义知：AF ＝AA 1，BF ＝BB 1，∵BC ＝2BF ，∴BC ＝2BB 1，∴∠BCB 1＝30°，∴∠AFx ＝60°，连结A 1F ，则△AA 1F 为等边三角形，过F 作FF 1⊥AA 1于F 1，则F 1为AA 1的中点，设l 交x 轴于K ，则KF ＝A 1F 1＝12AA 1＝12AF ，即p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x .8.已知一条过点P (2,1)的直线与抛物线y 2＝2x 交于A ，B 两点，且P 是弦AB 的中点，则直线AB 的方程为_____________________________________________________________. 答案 x －y －1＝0解析 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，两式相减得y 21－y 22＝2(x 1－x 2)，即y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2＝1，直线AB 的斜率为1，直线AB 的方程是y －1＝x －2，即x －y －1＝0. 9.如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA 与OB 的长分别为1和8，求抛物线的方程.解 设直线OA 的方程为y ＝kx ，k ≠0， 则直线OB 的方程为y ＝－1kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2px ，得x ＝0或x ＝2pk2.∴A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2p k2，2p k ，同理得B 点坐标为(2pk 2，－2pk )，由OA ＝1，OB ＝8，可得⎩⎪⎨⎪⎧4p 2k 2＋1k 4＝1， ①4p 2k 2k 2＋＝64， ②②÷①得k 6＝64，即k 2＝4.则p 2＝16k2k 2＋＝45. 又p >0，则p ＝255，故所求抛物线方程为y 2＝455x .10.(2015·福建)已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且AF ＝3. (1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切.方法一 (1)解 由抛物线的定义得AF ＝2＋p2.因为AF ＝3，即2＋p2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x . (2)证明因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22). 由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1).由⎩⎨⎧y ＝22x －，y 2＝4x得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1,0)，所以k GA ＝22－02－－＝223，k GB ＝－2－012－－＝－223.所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切. 方法二 (1)解 同方法一.(2)证明设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r . 因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22). 由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1). 由⎩⎨⎧y ＝22x －，y 2＝4x得2x 2－5x ＋2＝0.解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1,0)，故直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0. 从而r ＝|22＋22|8＋9＝4217.又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0. 所以点F 到直线GB 的距离d ＝|22＋22|8＋9＝4217＝r .这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切.B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)11.(2015·四川改编)设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是__________. 答案 (2,4) 解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，当l 的斜率不存在时，符合条件的直线l 必有两条；当直线l 的斜率k 存在时，如图x 1≠x 2，则有y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2＝2，即y 0·k ＝2， 由CM ⊥AB 得，k ·y 0－0x 0－5＝－1，y 0·k ＝5－x 0,2＝5－x 0，x 0＝3，即M 必在直线x ＝3上，将x ＝3代入y 2＝4x ，得y 2＝12，∴－23＜y 0＜23，∵点M 在圆上， ∴(x 0－5)2＋y 20＝r 2，r 2＝y 20＋4＜12＋4＝16， 又y 20＋4＞4，∴4＜r 2＜16，∴2＜r ＜4.12.已知抛物线y 2＝x ，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是________. 答案 3 解析如图，设A (m 2，m )，B (n 2，n )，点C 为直线AB 与x 轴的交点.其中m >0，n <0，则OA →＝(m 2，m )，OB →＝(n 2，n )，OA →·OB→＝m 2n 2＋mn ＝2，解得mn ＝1(舍)或mn ＝－2. ∴l AB ：(m 2－n 2)(y －n )＝(m －n )·(x －n 2)， 即(m ＋n )(y －n )＝x －n 2，令y ＝0，解得x ＝－mn ＝2，∴C (2,0).S △AOB ＝S △AOC ＋S △BOC ＝12×2×m ＋12×2×(－n )＝m －n ，S △AOF ＝12×14×m ＝18m ，则S △AOB ＋S △AOF ＝m －n ＋18m ＝98m －n ＝98m ＋2m≥298m ·2m ＝3，当且仅当98m ＝2m ，即m ＝43时等号成立.故△ABO 与△AFO 面积之和的最小值为3.13.抛物线C ：x 2＝8y 与直线y ＝2x －2相交于A ，B 两点，点P 是抛物线C 上异于A ，B 的一点，若直线PA ，PB 分别与直线y ＝2相交于点Q ，R ，O 为坐标原点，则OR →·OQ →＝________. 答案 20解析 设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 218，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 228，P ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，x 208，Q (x 3,2)，R (x 4,2).将y ＝2x －2代入x 2＝8y 得x2－16x ＋16＝0，则x 1＋x 2＝x 1x 2＝16.直线PA 的方程为y －x 208＝x 208－x 218x 0－x 1(x －x 0)，即y －x 208＝x 0＋x 18·(x －x 0).令y ＝2，解得x 3＝x 1x 0＋16x 1＋x 0；同理可得x 4＝x 2x 0＋16x 2＋x 0.所以x 3x 4＝x 1x 0＋16x 1＋x 0×x 2x 0＋16x 2＋x 0＝x 2x 1x 20＋16x 0x 1＋x 2＋162x 2x 1＋16x 0＋x 2＝x 2x 1＋16x 0＋x 20x 2x 1＋16x 0＋x 2＝16， 所以OR →·OQ →＝x3x 4＋4＝20. 14.(2014·江西)如图，已知抛物线C ：x 2＝4y ，过点M (0,2)任作一直线与C 相交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D (O 为坐标原点). (1)证明：动点D 在定直线上；(2)作C 的任意一条切线l (不含x 轴)，与直线y ＝2相交于点N 1，与(1)中的定直线相交于点N 2，证明：MN 22－MN 21为定值，并求此定值.(1)证明 依题意可设AB 方程为y ＝kx ＋2，代入x 2＝4y ，得x 2＝4(kx ＋2)，即x 2－4kx －8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1x 2＝－8.直线AO 的方程为y ＝y 1x 1x ； BD 的方程为x ＝x 2.解得交点D 的坐标为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 2，y ＝y 1x 2x 1， 注意到x 1x 2＝－8及x 21＝4y 1，则有y ＝y 1x 1x 2x 1＝－8y 14y 1＝－2. 因此D 点在定直线y ＝－2上(x ≠0).(2)解 依题设，切线l 的斜率存在且不等于0，设切线l 的方程为y ＝ax ＋b (a ≠0)，代入x 2＝4y 得x 2＝4(ax ＋b )，即x 2－4ax －4b ＝0.由Δ＝0得(－4a )2＋16b ＝0，化简整理得b ＝－a 2.故切线l 的方程可写为y ＝ax －a 2.分别令y ＝2，y ＝－2得N 1，N 2的坐标为 N 1(2a ＋a,2)，N 2(－2a＋a ，－2)， 则MN 22－MN 21＝(2a －a )2＋42－(2a＋a )2＝8， 即MN 22－MN 21为定值8. 15.如图，已知抛物线C 的顶点为O (0,0)，焦点为F (0,1).(1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点.若直线AO ，BO 分别交直线l ：y ＝x －2于M ，N 两点，求MN 的最小值.解 (1)由题意可设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)，则p 2＝1，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，x 2＝4y 消去y ，整理得x 2－4kx －4＝0， 所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 从而|x 1－x 2|＝4k 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 1x 1x ，y ＝x －2，解得点M 的横坐标x M ＝2x 1x 1－y 1＝2x 1x 1－x 214＝84－x 1.同理，点N 的横坐标x N ＝84－x 2.所以MN ＝2|x M －x N |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪84－x 1－84－x 2＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 2x 1x 2－x 1＋x 2＋16＝82k 2＋1|4k －3|， 令4k －3＝t ，t ≠0，则k ＝t ＋34.当t >0时，MN ＝2 2 25t 2＋6t ＋1>2 2.当t <0时，MN ＝2 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫5t ＋352＋1625≥85 2.综上所述，当t ＝－253，即k ＝－43时，MN 的最小值是85 2.。
近年高考数学一轮复习第9章平面解析几何第7讲抛物线演练文(2021年整理)
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第7讲抛物线一、选择题1．抛物线y＝ax2(a〈0)的准线方程是( ）A．y＝－错误!B．y＝－错误!C．y＝错误!D．y＝错误!解析：选B．抛物线y＝ax2(a<0)可化为x2＝错误!y,准线方程为y＝－错误!．故选B．2．直线l过抛物线y2＝2px（p>0）的焦点,且与抛物线交于A,B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线方程是( ) A．y2＝12x B．y2＝8xC．y2＝6x D．y2＝4x解析：选B．设A（x1，y1），B(x2,y2）,根据抛物线定义，x＋x2＋p＝8，1因为AB的中点到y轴的距离是2,所以错误!＝2，所以p＝4；所以抛物线方程为y2＝8x．故选B．3．顶点在原点，经过圆C：x2＋y2－2x＋2错误!y＝0的圆心且准线与x 轴垂直的抛物线方程为（）A．y2＝－2x B．y2＝2xC．y＝错误!x2D．y＝－错误!x2解析：选B．因为圆C：x2＋y2－2x＋2错误!y＝0的圆心是(1，－错误!)，抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上,且经过点（1，－错误!)，设标准方程为y2＝2px，因为点（1，－错误!)在抛物线上,所以(－错误!）2＝2p,所以p＝1,所以所求抛物线方程为y2＝2x,故选B．4．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点,PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－错误!,那么｜PF｜＝（)A．4错误!B．8C．8错误!D．16解析：选B．如图，由k AF＝－错误!知∠AFM＝60°．又AP∥MF,所以∠PAF＝60°．又|PA|＝|PF|，所以△APF为等边三角形．故|PF｜＝｜AF|＝2|MF|＝2p＝8．5．已知点A(2，1），抛物线y2＝4x的焦点是F，若抛物线上存在一点P，使得|PA|＋｜PF|最小，则P点的坐标为( )A．（2，1）B．(1，1)C．错误!D．错误!解析:选D．如图,设抛物线准线为l，作AA′⊥l于A′，PP′⊥l于P′，则｜PA|＋｜PF|＝｜PA｜＋|PP′|≥｜AA′｜，即当P点为AA′与抛物线交点时，｜PA|＋|PF｜最小，此时P（⎭⎪⎫14，1．故选D．6．抛物线y2＝2px的焦点为F，M为抛物线上一点，若△OFM的外接圆与抛物线的准线相切(O为坐标原点），且外接圆的面积为9π，则p＝（）A．2 B．4C．6 D．8解析：选B．因为△OFM的外接圆与抛物线的准线相切，所以△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，因为圆面积为9π,所以圆的半径为3,又因为圆心在OF的垂直平分线上，｜OF｜＝错误!，所以错误!＋错误!＝3，所以p＝4．二、填空题7．若抛物线y2＝2x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为________．解析:设抛物线的顶点为O,焦点为F，P(x P，y P)，由抛物线的定义知,点P到准线的距离即为点P到焦点的距离，所以｜PO|＝|PF｜，过点P作PM⊥OF 于点M(图略），则M为OF的中点,所以x P＝错误!，代入y2＝2x,得y P＝±错误!，所以P错误!．答案：错误!8．抛物线x2＝2py（p〉0）的焦点为F,其准线与双曲线错误!－错误!＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________．解析：在等边三角形ABF中，AB边上的高为p，错误!＝错误!p，所以B错误!．又因为点B在双曲线上,故错误!－错误!＝1，解得p＝6．答案：69．过点P(－2，0)的直线与抛物线C:y2＝4x相交于A,B两点，且|PA｜＝错误!｜AB|，则点A到抛物线C的焦点的距离为________．解析:设A(x1，y1），B（x2，y2），分别过点A,B作直线x＝－2的垂线，垂足分别为D，E(图略）,因为|PA|＝错误!｜AB｜，所以错误!又错误!得x1＝错误!，则点A到抛物线C的焦点的距离为1＋错误!＝错误!．答案：5 310．设抛物线y2＝4x的焦点为F,准线为l．已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若∠FAC＝120°,则圆的方程为__________________．解析：由题意知该圆的半径为1，设圆心坐标为C(－1，a）（a〉0），则A（0，a)，又F(1，0），所以错误!＝（－1，0)，错误!＝（1,－a）,由题意得错误!与错误!的夹角为120°，得cos 120°＝错误!＝－错误!，解得a＝错误!，所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝1．答案：(x＋1)2＋（y－错误!）2＝1三、解答题11．已知抛物线y2＝2px（p〉0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B,OB的中点为M．（1)求抛物线的方程；(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．解：(1）抛物线y2＝2px的准线为x＝－错误!，于是4＋错误!＝5，所以p＝2．所以抛物线方程为y2＝4x．(2）因为点A的坐标是（4，4），由题意得B(0，4),M(0，2）．又因为F(1，0)，所以k FA＝错误!，因为MN⊥FA，所以k MN＝－错误!．所以FA的方程为y＝错误!（x－1）,①MN的方程为y－2＝－错误!x，②联立①②，解得x＝错误!，y＝错误!，所以N的坐标为错误!．12．已知过抛物线y2＝2px（p〉0)的焦点,斜率为2错误!的直线交抛物线于A（x1，y1）,B(x2，y2)（x1<x2）两点，且｜AB｜＝9．（1）求该抛物线的方程；(2）O为坐标原点，C为抛物线上一点,若错误!＝错误!＋λ错误!，求λ的值．解：（1)由题意得直线AB的方程为y＝2错误!·错误!，与y2＝2px联立，消去y有4x2－5px＋p2＝0,所以x1＋x2＝错误!．由抛物线定义得｜AB｜＝x1＋x2＋p＝错误!＋p＝9，所以p＝4，从而该抛物线的方程为y2＝8x．(2）由（1）得4x2－5px＋p2＝0，即x2－5x＋4＝0，则x1＝1,x2＝4,于是y1＝－2错误!，y2＝4错误!，从而A(1,－2错误!），B(4，4错误!)，设C（x3，y3)，则错误!＝(x3，y3)＝(1，－2错误!)＋λ（4，4错误!)＝（4λ＋1，42λ－2错误!)．又y错误!＝8x3，所以[2错误!（2λ－1）］2＝8（4λ＋1)，整理得(2λ－1）2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2．1．如图，抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．（1)若错误!＝2错误!,求直线AB的斜率；（2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．解:(1)依题意知F（1，0）,设直线AB的方程为x＝my＋1．将直线AB的方程与抛物线的方程联立,消去x得y2－4my－4＝0．设A（x1，y1）,B（x2，y2)，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4．①因为错误!＝2错误!，所以y1＝－2y2．②联立①和②,消去y1，y2，得m＝±错误!．所以直线AB的斜率是±2错误!．（2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等,所以四边形OACB的面积等于2S△AOB．因为2S△AOB ＝2×错误!·|OF|·|y1－y2|＝错误!＝4错误!，所以当m＝0时,四边形OACB的面积最小，最小值是4．2．如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2）,A （x1,y1),B（x2,y2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程．(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．解：（1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px（p>0）．因为点P(1，2)在抛物线上,所以22＝2p×1，解得p＝2．故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1．（2）设直线PA的斜率为k PA,直线PB的斜率为k PB．则k PA＝错误!(x1≠1)，k PB＝错误!（x2≠1)，因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以k PA＝－k PB．由A(x1，y1)，B（x2,y2）均在抛物线上，得错误!所以错误!＝－错误!,所以y1＋2＝－(y2＋2)．所以y1＋y2＝－4．由①－②得，y2，1－y错误!＝4(x1－x2)，所以k AB＝错误!＝错误!＝－1．。
高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.7抛物线教案文含解析新人教A版
高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.7抛物线教案文含解析新人教A版§9.7抛物线最新考纲考情考向分析1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.抛物线的方程、几何性质及与抛物线相关的综合问题是命题的热点.题型既有小巧灵活的选择、填空题，又有综合性较强的解答题.1.抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点坐标O(0,0)对称轴x轴y轴焦点坐标F⎝⎛⎭⎪⎫p2，0F⎝⎛⎭⎪⎫－p2，0F⎝⎛⎭⎪⎫0，p2F⎝⎛⎭⎪⎫0，－p2离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2概念方法微思考1.若抛物线定义中定点F 在定直线l 上时，动点的轨迹是什么图形？ 提示 过点F 且与l 垂直的直线.2.直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的什么条件？提示 直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点，但不是相切，所以直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( × )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0，准线方程是x ＝－a4.( × )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( × )(4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .( √ )(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( √ ) 题组二 教材改编2.过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于( ) A.9B.8C.7D.6 答案 B解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.3.若抛物线y 2＝4x 的准线为l ，P 是抛物线上任意一点，则P 到准线l 的距离与P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值是( ) A.2B.135C.145D.3答案 A解析 由抛物线定义可知点P 到准线l 的距离等于点P 到焦点F 的距离，由抛物线y 2＝4x 及直线方程3x ＋4y ＋7＝0可得直线与抛物线相离.∴点P 到准线l 的距离与点P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值为点F (1,0)到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离，即|3＋7|32＋42＝2.故选A.4.已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为____________________. 答案 y 2＝－8x 或x 2＝－y解析 设抛物线方程为y 2＝mx (m ≠0)或x 2＝my (m ≠0). 将P (－2，－4)代入，分别得方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y .题组三 易错自纠5.设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A.4 B.6 C.8 D.12答案 B解析 如图所示，抛物线的准线l 的方程为x ＝－2，F 是抛物线的焦点，过点P 作PA ⊥y 轴，垂足是A ，延长PA 交直线l 于点B ，则|AB |＝2.由于点P 到y 轴的距离为4，则点P 到准线l 的距离|PB |＝4＋2＝6，所以点P 到焦点的距离|PF |＝|PB |＝6.故选B.6.已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( ) A.y 2＝±22x B.y 2＝±2x C.y 2＝±4x D.y 2＝±42x答案 D解析 由已知可知双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0). 设抛物线方程为y 2＝±2px (p >0)，则p2＝2，所以p ＝22，所以抛物线方程为y 2＝±42x .故选D.7.设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是__________. 答案 [－1,1]解析Q(－2,0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k≤1.题型一抛物线的定义和标准方程命题点1 定义及应用例1设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________. 答案 4解析如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.引申探究1.若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|＋|PF|的最小值.解由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部.∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)，∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝42＋22＝25，即|PB|＋|PF|的最小值为2 5.2.若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值.解由题意知，抛物线的焦点为F(1,0).点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d 2＋|PF |的最小值为|1＋5|12＋(－1)2＝32，所以d 1＋d 2的最小值为32－1.命题点2 求标准方程例2 设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的标准方程为( ) A.y 2＝4x 或y 2＝8x B.y 2＝2x 或y 2＝8x C.y 2＝4x 或y 2＝16x D.y 2＝2x 或y 2＝16x答案 C解析 由题意知，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，抛物线的准线方程为x ＝－p 2，则由抛物线的定义知，x M ＝5－p2，设以MF 为直径的圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，y M 2，所以圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y M 22＝254，又因为圆过点(0,2)，所以y M ＝4，又因为点M 在C 上，所以16＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 2，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的标准方程为y 2＝4x 或y 2＝16x ， 故选C.思维升华 (1)与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径.(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.跟踪训练1(1)如果P 1，P 2，…，P n 是抛物线C ：y 2＝4x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，…，x n ，F 是抛物线C 的焦点，若x 1＋x 2＋…＋x n ＝10，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |等于( )A.n ＋10B.n ＋20C.2n ＋10D.2n ＋20答案 A解析 抛物线的焦点为(1,0)，准线方程为x ＝－1，由抛物线的定义，可知|P 1F |＝x 1＋1，|P 2F |＝x 2＋1，…，故|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝n ＋10.(2)如图所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的标准方程为( )A.y 2＝32xB.y 2＝9x C.y 2＝92xD.y 2＝3x答案 D解析 分别过点A ，B 作AA 1⊥l ，BB 1⊥l ，且垂足分别为A 1，B 1，由已知条件|BC |＝2|BF |，得|BC |＝2|BB 1|，所以∠BCB 1＝30°. 又|AA 1|＝|AF |＝3， 所以|AC |＝2|AA 1|＝6，所以|CF |＝|AC |－|AF |＝6－3＝3， 所以F 为线段AC 的中点.故点F 到准线的距离为p ＝12|AA 1|＝32，故抛物线的标准方程为y 2＝3x . 题型二 抛物线的几何性质例3(1)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是坐标原点，若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( ) A.22B.2C.322D.2 2 答案 C解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>0，y 2<0)，如图所示，|AF |＝x 1＋1＝3， 所以x 1＝2，y 1＝2 2. 设AB 的方程为x －1＝ty ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x －1＝ty ，消去x ，得y 2－4ty －4＝0.所以y 1y 2＝－4.所以y 2＝－2，x 2＝12，所以S △AOB ＝12×1×|y 1－y 2|＝322.(2)过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且|PA |＝12|AB |，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为( ) A.53B.75C.97D.2 答案 A解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别过点A ，B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为点D ，E .∵|PA |＝12|AB |， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3(x 1＋2)＝x 2＋2，3y 1＝y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53.思维升华在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.跟踪训练2(1)已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( ) A.18B.24C.36D.48 答案 C解析 以抛物线的顶点为原点，水平方向为x 轴，竖直方向为y 轴，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，将x ＝p2代入y 2＝2px 可得y 2＝p 2，|AB |＝12，即2p ＝12，所以p ＝6.因为点P 在准线上，所以点P 到AB 的距离为p ＝6，所以△PAB 的面积为12×6×12＝36.题型三 直线与抛物线例4设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F 在y 轴正半轴上，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，线段AB 的长是8，AB 的中点到x 轴的距离是3. (1)求抛物线的标准方程；(2)设直线m 在y 轴上的截距为6，且与抛物线交于P ，Q 两点.连接QF 并延长交抛物线的准线于点R ，当直线PR 恰与抛物线相切时，求直线m 的方程.解 (1)设抛物线的方程是x 2＝2py (p >0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义可知y 1＋y 2＋p ＝8，又AB 的中点到x 轴的距离为3， ∴y 1＋y 2＝6，∴p ＝2， ∴抛物线的标准方程是x 2＝4y .(2)由题意知，直线m 的斜率存在，设直线m ：y ＝kx ＋6(k ≠0)，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋6，x 2＝4y 消去y 得x 2－4kx －24＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋x 4＝4k ，x 3·x 4＝－24.(*)易知抛物线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3，x 234处的切线方程为 y －x 234＝x 32(x －x 3)，令y ＝－1，得x ＝x 23－42x 3，∴R ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23－42x 3，－1，又Q ，F ，R 三点共线，∴k QF ＝k FR ，又F (0,1)， ∴x 244－1x 4＝－1－1x 23－42x 3，即(x 23－4)(x 24－4)＋16x 3x 4＝0，整理得(x 3x 4)2－4[(x 3＋x 4)2－2x 3x 4]＋16＋16x 3x 4＝0，将(*)式代入上式得k 2＝14，∴k ＝±12，∴直线m 的方程为y ＝±12x ＋6.思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点(设焦点在x 轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解. (4)设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦， 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 ①x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.②弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角). ③以弦AB 为直径的圆与准线相切.④通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p ，通径是过焦点最短的弦.跟踪训练3(2018·抚顺调研)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)和定点M (0,1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线交点为N . (1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值； (2)若△ABN 面积的最小值为4，求抛物线C 的方程. 解 (1)可设AB ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将AB 的方程代入抛物线C ，得x 2－2pkx －2p ＝0，Δ＝4p 2k 2＋8p >0，显然方程有两不等实根，则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p .① 由x 2＝2py 得y ′＝x p， 则A ，B 处的切线斜率乘积为x 1x 2p 2＝－2p＝－1， 则有p ＝2.(2)设切线AN 为y ＝x 1px ＋b ，又切点A 在抛物线y ＝x 22p 上，∴y 1＝x 212p ，∴b ＝x 212p －x 21p ＝－x 212p ，∴y AN ＝x 1p x －x 212p .同理y BN ＝x 2p x －x 222p.又∵N 在y AN 和y BN 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 1p x －x 212p，y ＝x 2p x －x222p ，解得N ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，x 1x 22p .∴N (pk ，－1). |AB |＝1＋k 2|x 2－x 1| ＝1＋k24p 2k 2＋8p ，点N 到直线AB 的距离d ＝|kx N ＋1－y N |1＋k 2＝|pk 2＋2|1＋k2， S △ABN ＝12·|AB |·d＝p (pk 2＋2)3≥22p ， ∴22p ＝4，∴p ＝2， 故抛物线C 的方程为x 2＝4y .直线与圆锥曲线问题的求解策略例(12分)已知抛物线C ：y ＝mx 2(m >0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q . (1)求抛物线C 的焦点坐标；(2)若抛物线C 上有一点R (x R,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值；(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由. 规范解答解 (1)∵抛物线C ：x 2＝1my ，∴它的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14m .[2分](2)∵|RF |＝y R ＋14m ，∴2＋14m ＝3，得m ＝14.[4分](3)存在，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx 2，2x －y ＋2＝0，消去y 得mx 2－2x －2＝0(m >0)，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)＝8m ＋4>0恒成立， 方程必有两个不等实根.[6分]设A (x 1，mx 21)，B (x 2，mx 22)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2m，x 1·x 2＝－2m.(*)∵P 是线段AB 的中点，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，mx 21＋mx 222， 即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m，y P ，∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，1m ，[8分]得QA →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1－1m，mx 21－1m ，QB →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1m ，mx 22－1m .若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形，则QA →·QB →＝0， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫mx 21－1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫mx 22－1m ＝0，[10分]结合(*)式化简得－4m2－6m＋4＝0，即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12，∵m >0，∴m ＝2.∴存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形.[12分]解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤 第一步：联立方程，得关于x 或y 的一元二次方程； 第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)；第三步：根据题目要求列出关于x 1x 2，x 1＋x 2(或y 1y 2，y 1＋y 2)的关系式，求得结果； 第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况.1.点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( ) A.y ＝12x 2B.y ＝12x 2或y ＝－36x 2C.y ＝－36x 2D.y ＝112x 2或y ＝－136x 2答案 D解析 分两类a >0，a <0，可得y ＝112x 2或y ＝－136x 2.2.(2018·大连模拟)直线l 过抛物线y 2＝－2px (p >0)的焦点，且与该抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( ) A.y 2＝－12x B.y 2＝－8x C.y 2＝－6x D.y 2＝－4x答案 B解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，根据抛物线的定义可知|AB |＝－(x 1＋x 2)＋p ＝8.又AB 的中点到y 轴的距离为2，∴－x 1＋x 22＝2，∴x 1＋x 2＝－4，∴p ＝4，∴所求抛物线的方程为y 2＝－8x .故选B.3.(2018·辽宁五校联考)抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，过点F 作斜率为33的直线l 与抛物线在y 轴右侧的部分相交于点A ，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为H ，则△AHF 的面积是( )A.4B.33C.43D.8 答案 C解析 由抛物线的定义可得|AF |＝|AH |，∵AF 的斜率为33，∴AF 的倾斜角为30°，∵AH 垂直于准线，∴∠FAH ＝60°，故△AHF 为等边三角形.设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 24，m >0，过F 作FM ⊥AH 于M ，则在△FAM 中，|AM |＝12|AF |，∴m 24－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫m 24＋1，解得m ＝23，故等边三角形AHF 的边长|AH |＝4，∴△AHF 的面积是12×4×4sin60°＝4 3.故选C.4.抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，若△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则p 等于( ) A.2B.4C.6D.8 答案 D解析 ∵△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切， ∴△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径. ∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6. 又∵圆心在OF 的垂直平分线上，|OF |＝p2，∴p 2＋p4＝6，∴p ＝8.故选D. 5.(2018·盘锦模拟)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值等于( )A.13B.23C.34D.43 答案 A解析 记抛物线y 2＝2px 的准线为l ′，如图，作AA 1⊥l ′，BB 1⊥l ′，AC ⊥BB 1，垂足分别是A 1，B 1，C ，则cos∠ABB 1＝|BC ||AB |＝|BB 1|－|AA 1||AF |＋|BF |＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |，即cos60°＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |＝12，由此得|AF ||BF |＝13. 6.已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过点F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，若OA →·OB →＝－12，则抛物线C 的方程为( ) A.x 2＝8y B.x 2＝4y C.y 2＝8x D.y 2＝4x答案 C解析 由题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，直线方程为x ＝my ＋p 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＝my ＋p 2，消去x 得y 2－2pmy －p 2＝0，显然方程有两个不等实根. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2，得OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫my 1＋p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫my 2＋p 2＋y 1y 2＝m 2y 1y 2＋pm 2(y 1＋y 2)＋p 24＋y 1y 2＝－34p 2＝－12，得p ＝4(舍负)，即抛物线C 的方程为y 2＝8x .7.动点P 到点A (0,2)的距离比它到直线l ：y ＝－4的距离小2，则动点P 的轨迹方程为____________. 答案 x 2＝8y解析 ∵动点P 到点A (0,2)的距离比它到直线l ：y ＝－4的距离小2，∴动点P 到点A (0,2)的距离与它到直线y ＝－2的距离相等.根据抛物线的定义可得点P 的轨迹为以A (0,2)为焦点，以直线y ＝－2为准线的抛物线，其标准方程为x 2＝8y .8.(2018·呼伦贝尔质检)已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B 是抛物线上两点，若△AFB 是等边三角形，则△AFB 的边长为________________. 答案 8＋43或8－4 3解析 由题意可知点A ，B 一定关于x 轴对称，且AF ，BF 与x 轴夹角均为30°，由于y 2＝4x的焦点为(1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33(x －1)，y 2＝4x ，化简得y 2－43y －4＝0，解得y 1＝23＋4，y 2＝23－4，所以△AFB 的边长为8＋43或8－4 3.9.已知直线l ：y ＝kx ＋t 与圆：x 2＋(y ＋1)2＝1相切，且与抛物线C ：x 2＝4y 交于不同的两点M ，N ，则实数t 的取值范围是____________. 答案 t >0或t <－3解析 由题意知k ≠0.因为直线l 与圆相切，所以|t ＋1|1＋k2＝1，即k 2＝t 2＋2t .由k 2>0，得t >0或t <－2，再把直线l 的方程代入抛物线方程并整理得x 2－4kx －4t ＝0，于是由Δ＝16k 2＋16t ＝16(t 2＋2t )＋16t >0，得t >0或t <－3.综上，实数t 的取值范围是t >0或t <－3. 10.过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |＝6，则p ＝________. 答案 4解析 设AB 的方程为x ＝my ＋p2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1>x 2，将直线AB 的方程代入抛物线方程得y 2－2pmy －p 2＝0，所以y 1y 2＝－p 2，4x 1x 2＝p 2.设抛物线的准线为l ，过A 作AC ⊥l ，垂足为C ，过B 作BD ⊥l ，垂足为D ，因为|AF |＝2|BF |＝6，根据抛物线的定义知，|AF |＝|AC |＝x 1＋p 2＝6，|BF |＝|BD |＝x 2＋p2＝3，所以x 1－x 2＝3，x 1＋x 2＝9－p ，所以(x 1＋x 2)2－(x 1－x 2)2＝4x 1x 2＝p 2，即18p －72＝0，解得p ＝4.11.已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.则该抛物线的方程为________.答案 y 2＝8x解析 直线AB 的方程是y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0.由题意知，Δ＝25p 2－16p 2＝9p 2>0，方程必有两个不等实根. 所以x 1＋x 2＝5p4，由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程为y 2＝8x .12.(2018·包头模拟)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 且斜率为k 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，且|AB |＝8. (1)求l 的方程；(2)若A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 过定点，并求出该点的坐标.解 (1)易知点F 的坐标为(1,0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，由题意知k ≠0，且Δ＝[－(2k 2＋4)]2－4k 2·k 2＝16(k 2＋1)>0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1，由抛物线定义知|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8， ∴2k 2＋4k2＝6，∴k 2＝1，即k ＝±1，∴直线l 的方程为y ＝±(x －1).(2)由抛物线的对称性知，D 点的坐标为(x 1，－y 1)， 直线BD 的斜率k BD ＝y 2＋y 1x 2－x 1＝y 2＋y 1y 224－y 214＝4y 2－y 1，∴直线BD 的方程为y ＋y 1＝4y 2－y 1(x －x 1)， 即(y 2－y 1)y ＋y 2y 1－y 21＝4x －4x 1，∵y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，x 1x 2＝1，∴(y 1y 2)2＝16x 1x 2＝16， 即y 1y 2＝－4(y 1，y 2异号)，∴直线BD 的方程为4(x ＋1)＋(y 1－y 2)y ＝0，恒过点(－1,0).13.如图所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且|AF |＝4，则线段AB 的长为( )A.5B.6C.163D.203答案 C 解析 方法一如图所示，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 并交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AF |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，解得y 1＝23，所以A (3,23)，又F (1,0)，所以直线AF 的斜率k ＝233－1＝3，所以直线AF 的方程为y ＝3(x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x 得，3x 2－10x ＋3＝0，所以x 1＋x 2＝103，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝163.故选C.方法二 如图所示，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 并交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AF |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，又x 1x 2＝p 24＝1，所以x 2＝13，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝163.故选C. 方法三 如图所示，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 并交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AF |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .因为1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AF |＝4，所以|BF |＝43，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝4＋43＝163.故选C.14.过点(0,3)的直线与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线经过点(4,0)，F 为抛物线的焦点，则|AF |＋|BF |的值为________. 答案 6解析 设AB 的中点为H ，抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1，设A ，B ，H 在准线上的射影为A ′，B ′，H ′，则|HH ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)，由抛物线的定义可得，|AF |＝|AA ′|，|BF |＝|BB ′|，|AF |＋|BF |＝|AA ′|＋|BB ′|＝2|HH ′|.由题意知直线的斜率必存在，设为y ＝kx ＋3，与y 2＝4x 联立得k 2x 2＋(6k －4)x ＋9＝0，Δ＝(6k －4)2－36k 2>0，计算得出k <13且k ≠0，又x 1＋x 2＝4－6k k2，AB 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3k k 2，2k ，线段AB 的垂直平分线过点(4,0)，方程为y ＝－1k(x －4)，且过中点⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3k k 2，2k ，则2k ＝－1k⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3k k 2－4，得2k 2＋3k －2＝0，解得k ＝－2或k ＝12(舍去)，则H (2，－1)，|HH ′|＝2＋1＝3，则|AF |＋|BF |＝|AA ′|＋|BB ′|＝2|HH ′|＝6.15.已知曲线G ：y ＝－x 2＋16x －15及点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，若曲线G 上存在相异两点B ，C ，其到直线l ：2x ＋1＝0的距离分别为|AB |和|AC |，则|AB |＋|AC |＝________. 答案 15解析 曲线G ：y ＝－x 2＋16x －15，即为半圆M ：(x －8)2＋y 2＝49(y ≥0)，由题意得B ，C 为半圆M 与抛物线y 2＝2x 的两个交点，由y 2＝2x 与(x －8)2＋y 2＝49(y ≥0)联立方程组得x 2－14x ＋15＝0，方程必有两不等实根，设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2).所以|AB |＋|AC |＝x 1＋12＋x 2＋12＝14＋1＝15.16.设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是________________. 答案 (2,4)解析 如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2).当l 的斜率k 不存在时，符合条件的直线l 必有两条. 当k 存在时，x 1≠x 2， 则有y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2＝2， 又y 1＋y 2＝2y 0，所以y 0k ＝2. 由CM ⊥AB ，得k ·y 0－0x 0－5＝－1， 即y 0k ＝5－x 0，因此2＝5－x 0，x 0＝3， 即M 必在直线x ＝3上.将x ＝3代入y 2＝4x ， 得y 2＝12，则有－23<y 0<23， 因为点M 在圆上， 所以(x 0－5)2＋y 20＝r 2， 故r 2＝y 20＋4<12＋4＝16.又y 20＋4>4(为保证有4条，在k 存在时，y 0≠0)，所以4<r2<16，即2<r<4.。
高考数学一轮复习 第九章 解析几何 9.7 抛物线学案(文,含解析)新人教A版
学习资料9.7 抛物线必备知识预案自诊知识梳理 1.抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）的 的点的轨迹叫做抛物线。
点F 叫做抛物线的 ，直线l 叫做抛物线的 .F 在定直线l 上,则动点的轨迹为过点F 且垂直于l 的一条直线。
2。
抛物线的几何性质Fp2,0 F —p2,0 F 0，p 2F 0,-p 2e=1。
设AB 是过抛物线y 2=2px （p>0)焦点F 的弦，若A (x 1,y 1),B (x 2，y 2),如图所示，则 （1）x 1x 2=p 24,y 1y 2=-p 2；(2）弦长|AB|=x 1+x 2+p=2psin 2α(α为弦AB 所在直线的倾斜角）；（3）以弦AB 为直径的圆与准线相切;（4)S △AOB =p 22sinα(α为弦AB 所在直线的倾斜角）; (5）∠CFD=90°。
2.抛物线y 2=2px (p 〉0）的通径长为2p 。
考点自诊1。
判断下列结论是否正确，正确的画“√”,错误的画“×”。
（1）平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线. ( ) (2）若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切. （ ) (3)若一抛物线过点P （—2，3),则其标准方程可写为y 2=2px (p 〉0）. ( ） （4）抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形。
（ )（5)方程y=ax2（a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是a，0.4(）2.（2020天津河北区线上测试,5)已知抛物线y2=4x与x2=2py(p>0）的焦点间的距离为2，则p的值为()A。
2√3B。
4 C.6 D.123。
（2020北京，7）设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l。
P是抛物线上异于O 的一点，过P作PQ⊥l于Q,则线段FQ的垂直平分线（）A。
经过点O B。
经过点PC。
平行于直线OP D.垂直于直线OP4。
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第7讲 抛物线
【创新设计】（全国通用）2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第7讲 抛物线练习 理 新人教A 版基础巩固题组 (建议用时：45分钟)一、选择题1.点M (5，3)到抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( ) A.y ＝12x 2B.y ＝12x 2或y ＝－36x 2C.y ＝－36x 2D.y ＝112x 2或y ＝－136x 2解析 分两类a >0，a <0可得y ＝112x 2，y ＝－136x 2.答案 D2.O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( ) A.2B.2 2C.2 3D.4解析 设P (x 0，y 0)，则|PF |＝x 0＋2＝42，∴x 0＝32， ∴y 20＝42x 0＝42×32＝24，∴|y 0|＝2 6. 由y 2＝42x ，知焦点F (2，0)，∴S △POF ＝12|OF |·|y 0|＝12×2×26＝2 3.答案 C3.(2015·浙江卷)如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( ) A.|BF |－1|AF |－1 B.|BF |2－1|AF |2－1 C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1解析 过A ，B 点分别作y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，则|AM |＝|AF |－1，|BN |＝|BF |－1.可知S △BCF S △ACF ＝12·|CB |·|CF |·sin ∠BCF12·|CA |·|CF |·sin ∠BCF ＝|CB ||CA |＝|BN ||AM |＝|BF |－1|AF |－1，故选A.答案 A4.已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( ) A.12B.23C.34D.43解析 ∵A (－2，3)在抛物线y 2＝2px 的准线上，∴－p2＝－2，∴p ＝4，∴y 2＝8x ，设直线AB 的方程为x ＝m (y －3)－2①，将①与y 2＝8x联立，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m （y －3）－2，y 2＝8x ，得y 2－8my ＋24m ＋16＝0②，则Δ＝(－8m )2－4(24m ＋16)＝0，即2m 2－3m －2＝0，解得m ＝2或m ＝－12(舍去)，将m＝2代入①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝8，即B (8，8)，又F (2，0)，∴k BF ＝8－08－2＝43，故选D.答案 D5.(2016·哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝3(x －1)与C 交于A ，B (A 在x 轴上方)两点.若AF →＝mFB →，则实数m 的值为( ) A. 3B.32C.2D.3解析 联立抛物线与直线方程得，⎩⎨⎧y ＝3（x －1），y 2＝4x ，解得x A ＝3，x B ＝13，∵所给直线经过抛物线的焦点F ，且其准线为x ＝－1，∴A 点到准线的距离为4，B 点到准线的距离为43，据抛物线定义可有|AF |＝3|FB |，结合已知条件AF →＝mFB →可得，m ＝3.故选D. 答案 D 二、填空题6.已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程________.解析 ∵y 2＝2px 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，∴过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p2，即x ＝y ＋p2，将其代入y 2＝2px ，得y 2＝2py ＋p 2，即y 2－2py －p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝2p ，∴y 1＋y 22＝p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1. 答案 x ＝－17.已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，过M (1，0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ，若AM →＝MB →，则p ＝________. 解析 如图，由AB 的斜率为3， 知α＝60°，又AM →＝MB →， ∴M 为AB 的中点.过点B 作BP 垂直准线l 于点P ， 则∠ABP ＝60°，∴∠BAP ＝30°. ∴||BP ＝12||AB ＝||BM .∴M 为焦点，即p2＝1，∴p ＝2.答案 28.(2016·沈阳质量监测)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且满足FA →＋FB →＋FC →＝0，则1k AB ＋1k BC ＋1k CA＝________.解析 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－p 2，y 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p2，y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－p 2，y 3＝(0，0)，故y 1＋y 2＋y 3＝0.因为1k AB ＝x 2－x 1y 2－y 1＝12p （y 22－y 21）y 2－y 1＝y 2＋y 12p ，同理可知1k BC ＝y 3＋y 22p ，1k CA ＝y 3＋y 12p ，所以原式＝2（y 1＋y 2＋y 3）2p ＝0.答案 0 三、解答题9.(2016·湛江质检)双曲线y 2a 2－x 24＝1(a >0)的离心率为5，抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点在双曲线的顶点上. (1)求抛物线C 的方程；(2)过M (－1，0)的直线l 与抛物线C 交于E ，F 两点，又过E ，F 作抛物线C 的切线l 1，l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程.解 (1)双曲线的离心率e ＝1＋4a2＝5，又a >0，∴a ＝1，双曲线的顶点为(0，1)， 又p >0，∴抛物线的焦点为(0，1)， ∴抛物线方程为x 2＝4y .(2)由题知，直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)， ∵y ＝14x 2，∴y ′＝12x ，∴切线l 1，l 2的斜率分别为x 12，x 22，当l 1⊥l 2时，x 12·x 22＝－1，∴x 1x 2＝－4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），x 2＝4y得x 2－4kx －4k ＝0， ∴Δ＝(－4k )2－4(－4k )>0，∴k <－1或k >0.①由根与系数的关系得，x 1·x 2＝－4k ＝－4，∴k ＝1，满足①， 即直线的方程为x －y ＋1＝0.10.(2014·陕西卷)如图，曲线C 由上半椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0，y ≥0)和部分抛物线C 2：y ＝－x 2＋1(y ≤0)连接而成，C 1与C 2的公共点为A ，B ，其中C 1的离心率为32. (1)求a ，b 的值；(2)过点B 的直线l 与C 1，C 2分别交于点P ，Q (均异于点A ，B )，若AP ⊥AQ ，求直线l 的方程.解 (1)在C 1，C 2的方程中，令y ＝0，可得b ＝1，且A (－1，0)，B (1，0)是上半椭圆C 1的左、右顶点.设C 1的半焦距为c ，由c a ＝32及a 2－c 2＝b 2＝1得a ＝2. ∴a ＝2，b ＝1.(2)由(1)知，上半椭圆C 1的方程为y 24＋x 2＝1(y ≥0).易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)， 代入C 1的方程，整理得(k 2＋4)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0.(*) 设点P 的坐标为(x P ，y P )，∵直线l 过点B ，∴x ＝1是方程(*)的一个根.由求根公式，得x P ＝k 2－4k 2＋4，从而y P ＝－8kk 2＋4，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－4k 2＋4，－8k k 2＋4. 同理，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1）（k ≠0），y ＝－x 2＋1（y ≤0）得点Q 的坐标为(－k －1，－k 2－2k ). ∴AP →＝2k k 2＋4(k ，－4)，AQ →＝－k (1，k ＋2).∵AP ⊥AQ ，∴AP →·AQ →＝0，即－2k 2k 2＋4[k －4(k ＋2)]＝0，∵k ≠0，∴k －4(k ＋2)＝0，解得k ＝－83.经检验，k ＝－83符合题意，故直线l 的方程为y ＝－83(x －1).能力提升题组 (建议用时：25分钟)11.(2016·哈尔滨一模)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若PF →＝3QF →，则|QF |＝( ) A.52B.83C.3D.6解析 设Q 在x 轴上方且到准线l 的距离为d ，则|QF |＝d .∵PF →＝3QF →，∴|PQ |＝2d ，∴直线PF 的斜率为－（2d ）2－d2d＝－ 3.又F (2，0)，∴直线PF 的方程为y ＝－3(x －2)，与y 2＝8x 联立可解得x ＝23或x ＝6(舍去).故d ＝23－(－2)＝83.故选B. 答案 B12.已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A.2B.3C.1728D.10解析 如图，可设A (m 2，m )，B (n 2，n )，其中m ＞0，n ＜0，则OA →＝(m 2，m )，OB →＝(n 2，n )，OA →·OB →＝m 2n 2＋mn ＝2，解得mn ＝1(舍)或mn ＝－2.∴l AB ：(m 2－n 2)(y －n )＝(m －n )(x －n 2)，即(m ＋n )(y －n )＝x －n 2，令y ＝0，解得x ＝－mn ＝2，∴C (2，0).S △AOB ＝S △AOC ＋S △BOC ＝12×2×m ＋12×2×(－n )＝m －n ，S △AOF ＝12×14×m ＝18m ，则S △AOB ＋S △AOF ＝m －n ＋18m ＝98m －n ＝98m ＋2m≥298m ·2m ＝3，当且仅当98m ＝2m ，即m ＝43时等号成立.故△ABO 与△AFO 面积之和的最小值为3. 答案 B13.已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2，2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A 、B 两点.若MA →·MB →＝0，则k ＝________.解析 抛物线C 的焦点为F (2，0)，则直线方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).则x 1＋x 2＝4＋8k2，x 1x 2＝4.所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16.因为MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋8＝0，将上面各个量代入，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2. 答案 214.(2015·东北三校二模)设F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点.P 是C 上一点，斜率为－1的直线l 交C 于不同两点A ，B (l 不过P 点)，且△PAB 的重心的纵坐标为－23.(1)记直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1＋k 2的值； (2)求1|FA |＋1|FB |的最大值.解 (1)设直线l 的方程为y ＝－x ＋b ，将它代入y 2＝4x 得x 2－2(b ＋2)x ＋b 2＝0，由题意得Δ＝16(b ＋1)＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2(b ＋2)，x 1x 2＝b 2，y 1＋y 2＝－(x 1＋x 2)＋2b ＝－2(b ＋2)＋2b ＝－4， 因为△PAB 的重心的纵坐标为－23.所以y 1＋y 2＋y P ＝－2，所以y P ＝2，所以x P ＝1. 所以k 1＋k 2＝y 1－2x 1－1＋y 2－2x 2－1＝（y 1－2）（x 2－1）＋（y 2－2）（x 1－1）（x 1－1）（x 2－1），又(y 1－2)(x 2－1)＋(y 2－2)(x 1－1)＝[－x 1＋(b －2)](x 2－1)＋[－x 2＋(b －2)](x 1－1) ＝－2x 1x 2＋(b －1)(x 1＋x 2)－2(b －2) ＝－2b 2＋2(b －1)(b ＋2)－2(b －2)＝0. 所以k 1＋k 2＝0.(2)1|FA |＋1|FB |＝1x 1＋1＋1x 2＋1＝x 1＋x 2＋2x 1x 2＋（x 1＋x 2）＋1＝2（b ＋3）b 2＋2b ＋5.由Δ＝16(b ＋1)＞0得b ＞－1，∵l 不过P 点，∴b ≠3.令t ＝b ＋3，则t ＞2且t ≠6. ∴1|FA |＋1|FB |＝2t （t －3）2＋2（t －3）＋5＝2tt 2－4t ＋8＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋8t －4≤22t ·8t－4＝2＋12，当t ＝8t ，即t ＝22时，1|FA |＋1|FB |取最大值，最大值为2＋12.。
湘教版高考总复习一轮数学精品课件 第9章平面解析几何 第7节抛物线
变式探究2
(变条件,变结论)已知抛物线y2=4x,点P是抛物线上任意一点,则点P到直线
2
l:x=-1的距离与点P到直线3x+4y+7=0的距离之和的最小值是
.
解析 易知直线l:x=-1为抛物线的准线,抛物线y2=4x与直线3x+4y+7=0相离,
由抛物线的定义可知,点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离,
.
4
C 的准
2 研考点 精准突破
考点一 抛物线的定义及应用
例1(1)有一张长为8,宽为4的矩形纸片ABCD,按图中所示的方法进行折叠,
使折叠后的点B落在边AD上,此时将B记为B'(注:图中EF为折痕,点F也可能
落在边CD上).过点B'作B'T∥CD,交EF于点T,则点T的轨迹是以下哪种曲线
的一部分( B )
线段AB的中点的横坐标为4,则AB的长为( A )
A.10
B.8
C.5
D.4
解析 设AB的中点为C,则点的横坐标xC=4.过A,B,C分别作准线x=-1的垂线,
垂足分别为M,N,D.因为C为AB的中点,则易知CD为梯形AMNB的中位线,而
|CD|=xC+1=5,所以|AM|+|BN|=2|CD|=10.根据抛物线定义可知
2
3
y=-2,所
p=3,所以抛物线 C
的方程为 x2=-6y.当焦点在 x 轴上时,令 y=0,则 x=-3,所以焦点坐标为(-3,0),设
方程为 y2=-2px(p>0),由焦点坐标知 p=6,所以抛物线 C 的方程为 y2=-12x.故选
BC.
考点三 抛物线的几何性质
例3(1)(多选题)(2023·甘肃永昌月考)设O为坐标原点,直线y= -√3 (x-1)过抛
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第七节 抛物线夯基提能作业本 文
第七节抛物线A组基础题组1.抛物线8x2+y=0的焦点坐标为( )A.(0,-2)B.(0,2)C. D.2.已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,则x0=( )A.1B.2C.4D.83.若抛物线y2=2x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P的坐标为( )A. B.C. D.4.(2017江南十校联考)已知直线l过抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点且与对称轴垂直,与抛物线C交于M,N 两点,点P为其准线上一点,若△MNP的面积为16,则p=( )A.5B.4C.6D.25.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为( )A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x6.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB的面积为.7.抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p= .8.(2018河北石家庄质检)过点P(-2,0)的直线与抛物线C:y2=4x相交于A,B两点,且|PA|=|AB|,则点A 到抛物线C的焦点的距离为.9.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4,且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M.(1)求抛物线的方程;(2)若过M作MN⊥FA,垂足为N,求点N的坐标.10.如图所示,已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l经过点F且与抛物线C相交于A、B两点.(1)若线段AB的中点在直线y=2上,求直线l的方程;(2)若线段|AB|=20,求直线l的方程.B组提升题组1.如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是( )A. B. C. D.2.(2017课标全国Ⅱ,12,5分)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为( )A. B.2 C.2 D.33.抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A,B两点.(1)若=2,求直线AB的斜率;(2)设点M在线段AB上运动,原点O关于点M的对称点为C,求四边形OACB面积的最小值.4.如图所示,抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,点P(1,2),A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线C上.(1)求出该抛物线的方程及其准线方程;(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求y1+y2的值及直线AB的斜率.答案精解精析A组基础题组1.C 由8x2+y=0,得x2=-y.所以2p=,p=,所以焦点为.故选C.2.A 由y2=x得2p=1,即p=,因此焦点F,准线方程为l:x=-,设点A到准线的距离为d,由抛物线的定义可知d=|AF|,从而x0+=x0,解得x0=1,故选A.3.A 设抛物线的顶点为O,焦点为F,P(x P,y P),由抛物线的定义知,点P到准线的距离即点P到焦点的距离,所以|PO|=|PF|,过点P作PM⊥OF于点M(图略),则M为OF的中点,所以x P=,代入y2=2x,得y P=±,所以P.4.B 由题意知焦点坐标为F,则y M=y N=.由抛物线的定义知|MN|=|MF|+|NF|=+=2p,且△MNP的高为p,所以S△MNP=·2p·p=p2=16,则p=4.故选B.5.C ∵以MF为直径的圆过点(0,2),∴点M在第一象限.由|MF|=x M+=5可得M.从而以MF为直径的圆的圆心N的坐标为,∵点N的横坐标恰好等于圆的半径,∴圆与y轴切于点(0,2),从而2=,即p2-10p+16=0,解得p=2或p=8,∴抛物线方程为y2=4x或y2=16x.故选C.6.答案解析设A(x1,y1),B(x2,y2),不妨令y1>0,y2<0,如图所示,l为抛物线的准线,过A作AC垂直于直线l,垂足为C,则|AF|=|AC|=x1+1=3,∴x1=2,∴y1=2.设直线AB的方程为x-1=ty,由消去x得y2-4ty-4=0.∴y1y2=-4.∴y2=-,∴S△AOB=×1×|y1-y2|=.7.答案 6解析如图,在正三角形ABF中,DF=p,BD=p,∴B点坐标为.又点B在双曲线上,故-=1,解得p=6.8.答案解析设A(x1,y1),B(x2,y2),分别过点A,B作直线x=-2的垂线,垂足分别为D,E(图略),∵|PA|=|AB|, ∴又∴x1=,则点A到抛物线C的焦点的距离为1+=.9.解析(1)抛物线y2=2px的准线为x=-,于是4+=5,∴p=2,∴抛物线的方程为y2=4x.(2)由(1)知点A的坐标是(4,4),由题意得B(0,4),M(0,2).又∵F(1,0),∴k FA=.∵MN⊥FA,∴k MN=-,∴FA的方程为y=(x-1),①MN的方程为y=-x+2,②由①②联立得x=,y=,∴N的坐标为.10.解析(1)由已知得抛物线的焦点为F(1,0).因为线段AB的中点在直线y=2上,所以直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0),则由得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),所以2y0k=4.又y0=2,所以k=1,故直线l的方程是y=x-1.(2)设直线l的方程为x=my+1,与抛物线方程联立得消去x,整理得y2-4my-4=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4,Δ=16(m2+1)>0.|AB|=|y1-y2|=·=·=4(m2+1).所以4(m2+1)=20,解得m=±2,所以直线l的方程是x=±2y+1,即x±2y-1=0.B组提升题组1.A 设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线的定义,得|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,则===.故选A.2.C 因为直线MF的斜率为,所以直线MF的倾斜角为60°,则∠FMN=60°.由抛物线的定义得|MF|=|MN|,所以△MNF为等边三角形.过F作FH⊥MN,垂足为H.易知F(1,0),l的方程为x=-1,所以|OF|=1,|NH|=2,所以|MF|=+2,即|MF|=4,所以M到直线NF的距离d=|FH|=|MF|sin 60°=4×=2.故选C.3.解析(1)依题意知F(1,0),设直线AB的方程为x=my+1.将直线AB的方程与抛物线的方程联立,消去x得y2-4my-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),所以y1+y2=4m,y1y2=-4,①因为=2,所以y1=-2y2.②联立①和②,消去y1,y2,得m=±.所以直线AB的斜率是±2.(2)由点C与原点O关于点M对称,得M是线段OC的中点,从而点O与点C到直线AB的距离相等,所以四边形OACB的面积等于2S△AOB.因为2S△AOB=2×·|OF|·|y1-y2|==4,所以当m=0时,四边形OACB的面积最小,最小值为4.4.解析(1)由已知条件可设抛物线C的方程为y2=2px(p>0).∵点P(1,2)在抛物线C上,∴22=2p×1,解得p=2.故所求抛物线的方程是y2=4x,准线方程是x=-1.(2)∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补,∴k PA=(x1≠1),k PB=(x2≠1),且k PA=-k PB. ∵A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线C上,∴=4x1,①=4x2,②∴=-,∴y1+2=-(y2+2),即y1+y2=-4.①-②,得-=4(x1-x2),∴k AB===-1.。
近年高考数学一轮复习第九章平面解析几何第七节抛物线夯基提能作业本文(2021年整理)
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第七节抛物线A组基础题组1。
以x轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P（1,m）到焦点的距离为3，则抛物线的方程是( ）A。
y=4x2 B.y=8x2C。
y2=4x D.y2=8x2.(2017北京西城二模）若抛物线y2=ax的焦点到其准线的距离是2，则a=( ）A.±1B.±2C。
±4D。
±83。
以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知｜AB｜=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为( )A。
2 B.4 C。
6 D.84.已知抛物线y2=2px(p〉0），过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的横坐标为3,则该抛物线的准线方程为( )A.x=1 B。
x=2 C.x=—1 D。
x=—25.(2016北京西城期末）若抛物线C：y2=2px的焦点在直线x+y—3=0上，则实数p= ;抛物线C的准线方程为.6。
(2017北京朝阳二模）已知双曲线—=1（a>0,b>0）与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F.设两曲线的一个交点为P，若|PF｜=5，则点P的横坐标是；该双曲线的渐近线方程为。
2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第7讲抛物线练习(含解析)(2021-2022学年)
第7讲 抛物线一、选择题1.（２０16·全国Ⅱ卷)设F 为抛物线C :y 2＝４x 的焦点,曲线ｙ＝k x (k 〉０）与C 交于点Ｐ，ＰF ⊥x 轴,则ｋ=（ )A 。
错误!未定义书签。
ﻩＢ。
1 Ｃ．错误!未定义书签。
D.2 解析 由题可知抛物线的焦点坐标为(１,0）,由PF ⊥ｘ轴知,｜PF |=2，所以P 点的坐标为（1,2）．代入曲线y =错误!未定义书签。
(k 〉0)得k ＝2,故选D 。
答案 D2。
点Ｍ(5,3)到抛物线y ＝ax ２(ａ≠0）的准线的距离为６，那么抛物线的方程是（ ) A 。
ｙ＝１2ｘ2 ﻩB 。
y =12x 2或y ＝-36ｘ2Ｃ.ｙ＝-36ｘ2Ｄ。
y =错误!未定义书签。
x ２或y =-错误!未定义书签。
ｘ2解析 分两类a 〉0,a ＜０可得ｙ=＼ｆ（1，１2）x 2,ｙ=-错误!未定义书签。
x 2.答案 D3.（２０1７·张掖诊断)过抛物线ｙ2＝4ｘ的焦点的直线l 交抛物线于P (x １，y 1)，Q (x 2，y 2）两点，如果x １+x ２=６,则｜P Ｑ|＝( ）A 。
９ ﻩB 。
8 Ｃ.7 ﻩ D 。
６解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F （1，0）,准线方程为x ＝－1．根据题意可得，｜PQ ｜＝｜ＰF ｜＋｜QF ｜=x １+1＋x 2+1=x 1+ｘ2＋2=8.故选B 。
答案 B4.已知抛物线Ｃ:y 2＝8x 的焦点为F ,准线为ｌ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点。
若错误!未定义书签。
＝4错误!,则|QF |等于（ ）A 。
错误! ﻩ B.错误!未定义书签。
ﻩ C 。
3Ｄ．2 解析 ∵错误!未定义书签。
=4错误!未定义书签。
,∴｜错误!|=４｜错误!未定义书签。
|，∴错误!=错误!未定义书签。
如图，过Q 作QQ ′⊥l ,垂足为Q ′,ﻬ设l 与ｘ轴的交点为Ａ，则|AF |＝4,∴错误!未定义书签。
＝＼f (|QQ ′|,|AF |)=错误!,∴|QQ ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ ′｜=｜QF |＝3，故选C ．答案 C5。
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第7讲 抛物线一、选择题1．抛物线y ＝ax 2(a <0)的准线方程是( ) A ．y ＝－12aB ．y ＝－14aC ．y ＝12aD ．y ＝14a解析：选B ．抛物线y ＝ax 2(a <0)可化为x 2＝1a y ，准线方程为y ＝－14a ．故选B ．2．直线l 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线方程是( )A ．y 2＝12x B ．y 2＝8x C ．y 2＝6xD ．y 2＝4x解析：选B ．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，根据抛物线定义，x 1＋x 2＋p ＝8，因为AB 的中点到y 轴的距离是2， 所以x 1＋x 22＝2，所以p ＝4；所以抛物线方程为y 2＝8x ．故选B ．3．顶点在原点，经过圆C ：x 2＋y 2－2x ＋22y ＝0的圆心且准线与x 轴垂直的抛物线方程为( )A ．y 2＝－2x B ．y 2＝2x C ．y ＝2x 2D ．y ＝－2x 2解析：选B ．因为圆C ：x 2＋y 2－2x ＋22y ＝0的圆心是(1，－2)，抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，且经过点(1，－2)，设标准方程为y 2＝2px ，因为点(1，－2)在抛物线上，所以(－2)2＝2p ，所以p ＝1，所以所求抛物线方程为y 2＝2x ，故选B ．4．设抛物线 y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝( )A ．4 3B ．8C ．8 3D ．16解析：选B ．如图，由k AF ＝－3知∠AFM ＝60°． 又AP ∥MF ，所以∠PAF ＝60°．又|PA |＝|PF |，所以△APF 为等边三角形． 故|PF |＝|AF |＝2|MF |＝2p ＝8．5．已知点A (2，1)，抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，若抛物线上存在一点P ，使得|PA |＋|PF |最小，则P 点的坐标为( )A ．(2，1)B ．(1，1)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1解析：选D ．如图，设抛物线准线为l ，作AA ′⊥l 于A ′，PP ′⊥l 于P ′， 则|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PP ′|≥|AA ′|， 即当P 点为AA ′与抛物线交点时，|PA |＋|PF |最小，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1． 故选D ．6．抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，M 为抛物线上一点，若△OFM 的外接圆与抛物线的准线相切(O 为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B ．因为△OFM 的外接圆与抛物线的准线相切，所以△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，因为圆面积为9π，所以圆的半径为3，又因为圆心在OF 的垂直平分线上，|OF |＝p2，所以p 2＋p4＝3，所以p ＝4．二、填空题7．若抛物线y 2＝2x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为________．解析：设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，P (x P ，y P )，由抛物线的定义知，点P 到准线的距离即为点P 到焦点的距离，所以|PO |＝|PF |，过点P 作PM ⊥OF 于点M (图略)，则M 为OF 的中点，所以x P ＝14，代入y 2＝2x ，得y P ＝±22，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，±22．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫14，±228．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF为等边三角形，则p ＝________．解析：在等边三角形ABF 中，AB 边上的高为p ，AB2＝33p ，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫±33p ，－p 2． 又因为点B 在双曲线上，故p 233－p 243＝1，解得p ＝6． 答案：69．过点P (－2，0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且|PA |＝12|AB |，则点A到抛物线C 的焦点的距离为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别过点A ，B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为D ，E (图略)，因为|PA |＝12|AB |，所以⎩⎪⎨⎪⎧3（x 1＋2）＝x 2＋2， 3y 1＝y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1， y 22＝4x 2，得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53．答案：5310．设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ．已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ．若∠FAC ＝120°，则圆的方程为__________________．解析：由题意知该圆的半径为1，设圆心坐标为C (－1，a )(a >0)，则A (0，a )，又F (1，0)，所以AC →＝(－1，0)，AF →＝(1，－a )，由题意得AC →与AF →的夹角为120°，得cos 120°＝－11×1＋a 2＝－12，解得a ＝3， 所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1． 答案：(x ＋1)2＋(y －3)2＝1 三、解答题11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M ．(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标． 解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，所以p ＝2．所以抛物线方程为y 2＝4x ． (2)因为点A 的坐标是(4，4)， 由题意得B (0，4)，M (0，2)． 又因为F (1，0)，所以k FA ＝43，因为MN ⊥FA ，所以k MN ＝－34．所以FA 的方程为y ＝43(x －1)，①MN 的方程为y －2＝－34x ，②联立①②，解得x ＝85，y ＝45，所以N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45．12．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9．(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．解：(1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，消去y 有4x 2－5px＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p 4．由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x ． (2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0， 即x 2－5x ＋4＝0， 则x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4，42)，设C (x 3，y 3)， 则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4，42) ＝(4λ＋1，42λ－22)．又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)， 整理得(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2．1．如图，抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点． (1)若AF →＝2FB →，求直线AB 的斜率；(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．解：(1)依题意知F (1，0)，设直线AB 的方程为x ＝my ＋1．将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得y 2－4my －4＝0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4．① 因为AF →＝2FB →，所以y 1＝－2y 2．② 联立①和②，消去y 1，y 2，得m ＝±24． 所以直线AB 的斜率是±22．(2)由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2S △AOB ．因为2S △AOB ＝2×12·|OF |·|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝41＋m 2，所以当m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4． 2．如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1，2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程．(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率． 解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)． 因为点P (1，2)在抛物线上， 所以22＝2p ×1， 解得p ＝2．故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1． (2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB ． 则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)，因为PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，所以k PA ＝－k PB ．由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，①y 22＝4x 2，②所以y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，所以y 1＋2＝－(y 2＋2)． 所以y 1＋y 2＝－4．由 ①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)， 所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1．。