人教A版高中数学必修5《1.2 应用举例(第3课时 三角形中的几何计算)》课件
人教A版数学必修五1.2《应用举例》教案
2
1
河北武中·宏达教育集团教师课时教案 问题与情境及教师活动 （3）已知三边的长分别为 a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm 分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问 题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚 缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。 解：（1）应用 S= S=
学生活动
1 acsinB，得 2
1 14.8 23.5 sin148.5 ≈90.9(cm 2 ) 2
b sin B
(2)根据正弦定理，
c sin C b sin C = sin B
=
c 教 学 过 程 及 方 法 S =
1 1 2 sin C sin A bcsinA = b 2 2 sin B
b2 c2 a2 a2 b2 c2 c2 a2 b2 +ca +ab ) 2bc 2ca 2ab
2 2 2 2 2 2 2 2
=(b +c - a )+(c +a -b )+(a +b -c ) =a +b +c =左边
变式练习 1：已知在 ABC 中， B=30 ,b=6,c=6 3 ,求 a 及 ABC 的面
推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目 利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题 问题与情境及教师活动 学生活动
Ⅰ.课题导入
以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习 它的另一个表达公式。在 ABC 中，边 BC、CA、AB 上的高分别记为 h a 、h b 、h c ，那么它们如何用已知边和角表示？ 教 学 过 程 及 方 法 h a =bsinC=csinB h b =csinA=asinC h c =asinB=bsinaA 根据以前学过的三角形面积公式 S= 学生回答
高中数学新人教A版必修5教案 1.2 应用举例
正余弦定理及其应用的教案教学目标（一）知识与能力目标1．通过对正余弦定理的应用，加深对正余弦定理的理解．会用正余弦定理解三角形．(1)已知两角和任一边，求其它两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角及其它的边和角．（3）已知三边，用余弦定理，必有唯一解；（4）已知两边及其中一边的对角，（不妨设为a,b,A）解法有两种：2．理解掌握已知两边和其中一边的对角解三角形时，有一解或两解或无解三种情况，并会判断哪些条件使解三角形时出现一解、两解、无解．（二）过程与方法目标通过对正余弦定理及其变形式的应用，达到边角互化的目的，在题型中的操练，达到熟练掌握的同时，并掌握一定的解题技巧和方法。
（三）情感态度与价值观感受正余弦定理与其他知识间的紧密联系，体会万事万物间也存在着千丝万缕的关系。
教学重点和难点重点：1、正余弦定理的应用，用正余弦定理解三角形，特别是在已知两边和其中一边的对角解三角形时，解的情况2、利用正余弦定理实现边角互化，体现正余弦定理搭建边角互化的桥梁，是解三角形有利的两大工具。
难点：在具体的题型中真正体现正余弦定理作为桥梁的作用，并能挖掘出题目中的隐含条件，达到求解的目的。
教学设计：由复习引入到本节主要三个环节，分环节进行，典例剖析，讲练结合，层层递进，环环相扣。
教学过程设计 一、复习正余弦定理1、正弦定理：正弦定理精确地表达了三角形中各边和它所对角的正弦成正比．a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC ．2、余弦定理：二、教师指导学生完成，教师最后总结．正余弦定理精确地表达了三角形中的边与角之间的关系，我们就可利用它根据三角形中的已知元素去求出未知元素．)(2sin sin sin 外接圆的半径表示ABC R R CcB b Aa∆===，2bc a c b cosA 222-+=，2ca b a c cosB 222-+=。
2abc b a cosC 222-+=2R sinCc2R，sinB b 2R，sinA a ===2Rc，sinC 2R b ，sinB 2R a sinA ===（一）解三角形二、合理使用正、余弦定理，使角边互相转化例3：在 ABC 中，已知acosA=bcosB ，判断三角形的形状。
人教a版必修五课件：解三角形-应用举例：三角形中的几何计算(54页)
人教A版· 数学· 必修5
进入导航
第一章 1.2 第3课时
系列丛书
课 堂 互 动 探 究
例 练 结 合 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·素 能 提 升
人教A版· 数学· 必修5
π 又0＜A＜π，故A＝ . 3
人教A版· 数学· 必修5
进入导航
第一章 1.2 第3课时
系列丛书
1 (2)△ABC的面积S＝2bcsinA＝ 3，故bc＝4. 而a2＝b2＋c2－2bccos A，故b2＋c2＝8. 解得b＝c＝2.
人教A版· 数学· 必修5
进入导航
第一章 1.2 第3课时
系列丛书
进入导航
第一章 1.2 第3课时
系列丛书
典例导悟
类型一 [例1] 三角形中的面积计算 (2012· 全国新课标卷)已知a，b，c分别为△
ABC三个内角A，B，C的对边，acos C＋ 3 asin C－b－c ＝0. (1)求A； (2)若a＝2，△ABC的面积为 3，求b，c.
人教A版· 数学· 必修5
1 1 1 (4)S＝2absinC＝2acsinB＝_________. 2bcsinA
人教A版· 数学· 必修5
进入导航
第一章 1.2 第3课时
系列丛书
2．三角形中的计算、证明问题除正弦定理、余弦定理 外，常见的公式还有： (1)P＝a＋b＋c(P为三角形的周长)； (2)A＋B＋C＝π； 1 (3)S＝ aha(ha表示a边上的高)； 2 1 1 1 (4)S＝ absinC＝ acsinB＝ bcsinA； 2 2 2
人教A版高中数学必修5《一章 解三角形 1.2 应用举例 1.2 应用举例(通用)》优质课教案_10
任课教师
课题
正弦余弦定理的习题课
授课班级
3.7
授课时间
三维目标
知识与技能：掌握正余弦定理并能熟练应用正余弦定理
过程与方法：通过三角形形状的判断进一步理解正余弦定理中边角的关系
情感、态度与价值观：培养学生利用所学知识解决问题的能力
教学
重点、难点
利用正余弦定理判断三角形的形状
教学关键
熟练掌握正余弦定理
3
27人正确
4
20人正确
5
16人正确
6
14人正确
7
24人正确
8
21人正确
9
（1）12人正确（2）2人正确
10
3人答题
四．典型题讨论分析，学生板演
五．归纳判断三角形形状的方法
六．课堂跟踪训练
七．小结
八．作业：优化方案76页跟踪训练2
板书设计
正余弦定理的习题课
1.学生黑板板演解题过程2.归纳判断三角形形状的规律
年份
题型
考查内容
2012
填空
解答
正余弦定理
三角恒等变换三角函数性质
2013
选择
解答
三角函数性质
解三角形正余弦定理
2014
填空
解答
三角函数周期性
正余弦定理
2015
填空
解答
解三角形，正余弦定理
三角恒等变换三角函数性质
2016
选择
填空
三角函数性质
正余弦定理
三．正余弦定理学生检测卷评测分析
1
28人正确
2
25人正确
教学方法
探讨式教学
教
学
过
人教版高中数学必修五同课异构课件：1.2 应用举例 第3课时 三角形中的几何计算 情境互动课型
一定是（ C ）
A.等腰直角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
【解析】2sinAcosB＝sin(A＋B)＋sin(A－B)， 又∵2sinAcosB＝sinC， ∴sin(A－B)＝0，∴A＝B．
∴△ABC为等腰三角形．
3.(2015·北京高考)在△ABC中,a=3,b= ,∠A= , 则∠B= .
解.
C B
解：设a=68 m,b=88 m,c=127 m,根据余弦定理的推论，
【变式练习】
已知圆内接四边形的边长为AB=2，BC=6，CD=DA=4. 求四边形ABCD的面积. 【分析】连结BD，将四边形ABCD 转化为三角形. 【解析】如图，连结BD， 设四边形ABCD的面积为S.
则 S = S△ABD+ S△CDB = AB·ADsinA+ BC·CDsinC. ∵四边形ABCD为圆内接四边形， A+C=180°， ∴sinA=sinC，cosA=-cosC， ∴S= (AB·AD+BC·CD)sinA = (2×4+6×4)sinA =16sinA.
(3)根据余弦定理的推论，得
【变式练习】
例2 如图,某市在进行城市环境建设中,要把一个三
角形的区域改造成市内公园,经过测量得到这个三角
形区域的三条边长分别为68 m,88 m,127 m,这个区 域的面积是多少？（精确到0.1 ㎡）
分析：本题可转化为
已知三角形的三边，
求角的问题，再利用 A
三角形的面积公式求
2.三角形各种类型的判定方法. (难点)
探究点1 三角形面积公式
1.我们以前接触过的三角形的面积公式有哪些？
提示: A
高中数学 1-2-3角度和几何计算问题课件 新人教A版必修5
[错解]
设缉私船用 t 小时， D 处追上走私船， 在 在△ABC
中，由余弦定理，得 BC2 ＝ AB2 ＋ AC2 － 2AB· cos ∠ CAB ＝ ( 3 － 1)2 ＋ 22 － AC· 2×( 3－1)×2×cos120° ＝6， ∴BC＝ 6. 在△BCD 中，BD＝10t，CD＝10 3t， 由余弦定理，得 CD2＝BC2＋BD2－2BC· BD×cos∠CBD， 1 ∴(10 3t) ＝6＋(10t) －2× 6×10t×(－2)，
由余弦定理得： SB2＝SA2＋AB2－2SA· cos∠SAB AB· ＝3002＋(30t)2－2· 30tcos60° 300· 若 S 岛受到台风影响，则应满足条件 |SB|≤270 即 SB2≤2702， 化简整理得 t2－10t＋19≤0，解之得 5－ 6≤t≤5＋ 6， 所以从现在起， 经过 5－ 6小时 S 岛开始受到影响， (5＋ 6) 小时后影响结束，持续时间：
2 2
∵BC＝2x，∴x＝14. 3 ACsin∠BAC 20× 2 又 由 正 弦 定 理 得 ， sin ∠ ABC ＝ ＝ 28 BC ≈0.62. ∴∠ABC＝38° .
而如图所示的 Rt△ADB 中，∠ABD＝40° . ∴∠EBC＝90° －38° －40° ＝12° . 即我巡逻艇用每小时 14 n mile 的速度向北 12° 东的方向航 行．
→ → → 设OE＝F， 将力 F 沿AO， 两个方向进行分解， OB 作▱OCED， → → → 则OD＝－F1， ＝－F2 由题设条件知|OE|＝12， OC ∠COE＝60° ， ∠OCE＝45° ，∴∠OEC＝75° ， 12 OC CE 在△OCE 中，由正弦定理得，sin45° sin75° sin60° ＝ ＝ ， 12sin60° 12sin75° ∴CE＝ sin45° ＝6 6，OC＝ sin45° ＝6( 3＋1)，
高中数学新人教A版必修5学案 1.2 应用举例(第3课时)
1.2 应用举例(第3课时)学习目标1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.2.本节课是在学习了相关内容后的第三节课,在对解法有了基本了解的基础上,通过综合训练强化相应的能力.3.提升提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力,并在学习过程中发扬探索精神. 合作学习一、设计问题,创设情境提问:前面我们学习了如何测量距离和高度,这些实际上都可转化为已知三角形的一些边和角求其余边的问题.然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题,在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向,保持一定的航速和航向呢?今天我们接着探讨这方面的测量问题.二、信息交流,揭示规律在实际的生活中,人们又会遇到新的问题,仍然需要用我们学过的解三角形的知识来解决,大家身边有什么例子吗?三、运用规律,解决问题【例1】如图,一艘海轮从A出发,沿北偏东75°的方向航行67.5n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32°的方向航行54.0n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1°,距离精确到0.01n mile)问题1:要想解决这个问题,首先应该搞懂“北偏东75°的方向”这指的是什么?【例2】某巡逻艇在A处发现北偏东45°相距9海里的C处有一艘走私船,正沿南偏东75°的方向以10海里/时的速度向我海岸行驶,巡逻艇立即以14海里/时的速度沿着直线方向追去,问巡逻艇应该沿什么方向去追?需要多长时间才追赶上该走私船?问题2:你能否根据题意画出方位图?问题3:以上是用正弦定理、余弦定理来解决的,我们能不能都用余弦定理来解决呢?四、变式训练,深化提高【例3】如图,海中小岛A周围38海里内有暗礁,船正向南航行,在B处测得小岛A在船的南偏东30°,航行30海里到C处,在C处测得小岛A在船的南偏东45°,如果此船不改变航向,继续向南航行,有无触礁的危险?练习:如图,有两条相交成60°角的直线XX',YY',交点是O,甲、乙分别在OX,OY上,起初甲在离O点3千米的A点,乙在离O点1千米的B点,后来两人同时以每小时4千米的速度,甲沿XX'方向,乙沿Y'Y方向步行.(1)起初,两人的距离是多少?(2)用包含t的式子表示t小时后两人的距离;(3)什么时候两人的距离最短?五、限时训练1.在某电场中,一个粒子的受力情况如图所示,则粒子的运动方向为( )A.南偏西B.北偏西C.北偏东D.南偏东2.如图,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援,则cosθ=.3.一辆汽车从A点出发,沿一条笔直的海岸公路以100km/h向东匀速行驶,汽车开动时,在点A的南偏东方向距点A 500km的B处的海上有一快艇,此时,快艇所在B处距海岸300km.现快艇上有一快递要送给汽车的司机,求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB所成的角,并求出快艇的最小速度.六、反思小结,观点提炼解三角形应用题的一般步骤:参考答案三、运用规律,解决问题【例1】解:在△ABC中,∠ABC=180°-75°+32°=137°,根据余弦定理,AC=≈113.15(n mile),根据正弦定理,,sin∠CAB=≈0.3255,所以∠CAB≈19.0°,75°-∠CAB=56.0°.答:此船应该沿北偏东56.0°的方向航行,需要航行113.15n mile.问题1:这是方位角,这实际上就是解三角形,由方位角的概念可知,首先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的角∠ABC,即可用余弦定理算出AC边,再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角∠CAB,就可以知道AC的方向和路程.【例2】解:如图,设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船,则CB=10x,AB=14x,AC=9,∠ACB=75°+45°=120°,则由余弦定理,可得(14x)2=92+(10x)2-2×9×10xcos120°,化简得32x2-30x-27=0,即x=或x=-(舍去).所以BC=10x=15,AB=14x=21.又因为sin∠BAC=,所以∠BAC=38°13',或∠BAC=141°47'(钝角不合题意,舍去).所以38°13'+45°=83°13'.答:巡逻艇应沿北偏东83°13'的方向追赶,经过1.5小时追赶上该走私船.问题2:在解三角形中有很多问题都要画出平面示意图,图画的好坏有时也会影响到解题,这是建立数学模型的一个重要方面.问题3:同例2中解得BC=15,AB=21,在△ABC中,由余弦定理,得cos∠CAB=≈0.7857,所以∠CAB≈38°13',38°13'+45°=83°13'.所以巡逻艇应沿北偏东83°13'的方向追赶,经过1.5小时追赶上该走私船.四、变式训练,深化提高【例3】解:在△ABC中,BC=30,B=30°,∠ACB=180°-45°=135°,则A=15°.由正弦定理知,即.所以AC==60cos15°=15+15.所以A到BC所在直线的距离为AC·sin45°=(15+15)×=15(+1)≈40.98>38(海里).答:不改变航向,继续向南航行,无触礁的危险.练习:解:(1)因为甲、乙两人起初的位置是A,B,则AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos60°=32+12-2×3×1×=7,所以起初,两人的距离是千米.(2)设甲、乙两人t小时后的位置分别是P,Q,则AP=4t,BQ=4t,当0≤t≤时,PQ2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)cos60°=48t2-24t+7;当t>时,PQ2=(4t-3)2+(1+4t)2-2(4t-3)(1+4t)cos120°=48t2-24t+7,所以,PQ=48t2-24t+7.(3)PQ2=48t2-24t+7=48+4,所以当t=时,即在第15分钟末,PQ最短.答:在第15分钟末,两人的距离最短.五、限时训练1.D2.解析:如图所示,在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°,由余弦定理,知BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°=2800,即得BC=20(海里).由正弦定理,,所以sin∠ACB=sin∠BAC=.由∠BAC=120°,知∠ACB为锐角,cos∠ACB=.由θ=∠ACB+30°,则cosθ=cos(∠ACB+30°)=cos∠ACBcos30°-sin∠ACBsin30°=.3.分析:设快艇在B处以v km/h的速度出发,在△ABC中,由正弦定理求解.解:如图,设快艇在B处以v km/h的速度出发,沿BC方向航行t小时与汽车相遇(在C点). 在△ABC中,AB=500km,BQ=300km,AC=100t,BC=vt.则sin∠BAC=.在△ABC中,由正弦定理得,即,则v=≥60,当且仅当∠ABC=90°时等号成立.故快艇最小速度为60km/h且行驶方向与AB成直角.六、反思小结,观点提炼①根据题意作出示意图;②明确所涉及的三角形,搞清已知和未知;③选用合适的定理进行求解;④给出答案.。
2021学年高中数学人教A版必修5课件：1-2-3+三角形中的几何计算
——本课须掌握的两大方面 1．求三角形面积时，应先根据题目给出的已知条件选择最 简便、最快捷的计算方法，这样不仅能减少一些不必要的计算， 还能使计算结果更加接近真实值． 2．事实上，在众多公式中，最常用的公式是 S△ABC＝12absinC ＝12bcsinA＝12acsinB，即给出三角形的两边和夹角(其中某边或角 需求解)求三角形面积，反过来，给出三角形的面积利用上述公 式也可求得相应的边或角，应熟练应用此公式．
提示：用余弦定理简单． 由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accosB， 得 32＝a2＋(3 3)2－2×a×3 3cos30°， 整理得 a2－9a＋18＝0，∴a＝3 或 a＝6. 技巧：当三角形中已知两边和其中一边的对角时， ①若由已知只求内角，则用正弦定理合适； ②若由已知只求边，则用余弦定理合适．
[变式训练 3] 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a， b，c，求证：ab－ba＝ccobsB－coasA.
证明：由余弦定理的推论得 cosB＝a2＋2ca2c－b2，cosA＝ b2＋2cb2c－a2，代入等式右边，
得右边＝ca2＋2acb2－c b2－b2＋2acb2－c a2 ＝2a22－ab2b2＝a2a－bb2＝ab－ba＝左边， ∴ab－ba＝ccobsB－coasA.
解析：由 2B＝A＋C，及 A＋B＋C＝π 知，B＝π3. 在△ABD 中，AB＝1，BD＝B2C＝2， 所以 AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcosπ3＝3. 因此 AD＝ 3.
5．在△ABC 中，若 B＝30°，AB＝2 3，AC＝2，求△ABC 的面积．
解：∵AB＝2 3，AC＝2，B＝30°，
3 2.
解析：因为 AB＝ 3，AD＝1，∠BAD＝30°，
高二数学人教A必修5课件：1.2 应用举例(三)
解 根据余弦定理的推论，得 c ＋a －b 38.7 ＋41.4 －27.3 cos B＝ 2ca ＝ ≈0.769 7， 2×38.7×41.4
2 2 2 2 2 2
sin B＝ 1－cos B≈ 1－0.769 7 ≈0.638 4.
2 2
1 1 应用 S＝ casin B，得 S≈ ×38.7×41.4×0.638 4 2 2
≈511.4 (cm2).
反思与感悟
在不同已知条件下求三角形的面积的问题，
思考1 在认真审题的基础上，你能讲述解题思路吗？ 答 首先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的角 ∠ABC，即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出
AC边和AB边的夹角∠CAB.
思考2 写出例题的解题过程. 解 在△ABC中，∠ABC＝180° －75° ＋32° ＝137° ， 根据余弦定理，
所以∠BCD＝30°.
6 则 BD＝BC＝ 6(海里)，即 10t＝ 6，得 t＝ 10 (小时).
6 即缉私船沿北偏东 60° 方向能最快追上走私船，最少用 10 小时.
探究点二
思考1
三角形的面积公式的拓展
△ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为ha，hb
，hc，那么它们如何用已知边和角表示？
§
Contents Page
内容 索引
01
明目标 知重点
填要点 记疑点
02
03
探要点 究所然
当堂测 查疑缺
04
明目标、知重点
1.能够运用正、余弦定理解决测量角度的实际问题.
2. 能够运用正、余弦定理进一步解决一些有关三角 形的计算问题. 3.掌握三角形的面积公式的简单推导和应用.
填要点·记疑点
人教版高中数学必修(五)1.2应用举例课件(3)
离都等于a千米，灯塔A在观测 站C的北偏东30 ，灯塔B在观测 站C的南偏东60 ，则A、B之间的 距离为多少千米？
在离海岸不远的海面上 有两个 航标P、Q，现在要观测它们之 间的距离 .在岸边取两点 A、B， 测得：AB 50m，PAB 105 , QAB 30 , PBA 45 , QBA 135 .求PQ之间的距离 .
类型二（高度问题）
AB是底部B不可到达的一个 建筑物，A为建筑物的最高 点，设计 一种测量 建筑物高度 AB的方法.
如图，在山顶铁塔上 B处测得 地面上一点A的俯角 54 40 ,
'
在塔底C处测得A处的俯 角 50 1 ,已知铁塔BC
'
高度为27m.求山高CD.
正弦定理
a b c sin A sin B sin C
正弦定理的推论
a sin A
=
b sin B
c = =2R sin C
（R为△ABC外接圆半径）
三角形面积公式
余弦定理 ： 即： a 2 b 2 c 2 2bc cos A
b c a 2ac cos B
2 2 2 2 2 2
类型三（角度问题）
一艘海轮从A出发，沿北偏东 75 方向 航行67.5 n m ile后到达海岛B，然后 从B出发，沿北偏东 32 方向航行 54.0 n m ile后到达海岛C，如果下次航 行直接从A出发到达C，此穿应沿怎样 的方向航行，航行距离 是多少？
54.0
67.5
求直接从A出发到达C，此穿应沿怎样 的方向航行，航行距离 是多少？
2 2 2
C为钝角. （3）当a b c 时，
人教A版高中数学必修5《一章 解三角形 1.2 应用举例 1.2 应用举例(通用)》示范课课件_9
工具
第三章 三角函数
栏目导引
如右图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB＝AD，记∠CAD＝ α，∠ABC＝β.
(1)证明：sin α＋cos 2β＝0；
(2)若AC＝ 3 DC，求β的值．
工具
第三章 三角函数
栏目导引
(1)证明：sin α＋cos 2β＝0； (2)若AC＝ DC，求β的值．
解析：
2 3sin2β－sin β－ 3＝0.
解得
sin
β＝
3，或 2
sin
β＝－
3舍去， 3
又β为锐角，则β＝60°.
工具
第三章 三角函数
栏目导引
求距离问题要注意： (1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形， 若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形 中求解． (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计 算的定理．
工具
第三章 三角函数
栏目导引
解析： 如图所示，连结 A1B2， 由已知 A2B2＝10 2， A1A2＝30 2×2600＝10 2，∴A1A2＝A2B2， 又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°， ∴△A1A2B2 是等边三角形， ∴A1B2＝A1A2＝10 2，
工具
第三章 三角函数
栏目导引
工具
第三章 三角函数
栏目导引
【规范解答】 方案：①需要测量的数据有：A点到M、N点的俯角 α1、β1；B点到M、N的俯角α2、β2；A、B间的距离d(如图所示).3分
②第一步：计算 AM.由正弦定理得 AM＝sindsαi1n＋α2α2；6 分 第二步：计算 AN.由正弦定理得 AN＝sindsβi2n－β2β1；9 分 第三步：计算 MN.由余弦定理得 MN＝ AM2＋AN2－2AM×ANcosα1－β1.12 分
人教A版高中数学必修5《一章 解三角形 1.2 应用举例》示范课课件_18
2ac
a2 b2 c2 cosC
2ab
经纬仪，测量水平角和竖直角的仪器。 是根据测角原理设计的。目前最常用 的是光学经纬仪。
光学经纬仪
钢卷尺
一、测量水平距离
例1.如图ห้องสมุดไป่ตู้铁路建设中需要确定隧道两端A,B的距
离，请你设计一种测量A,B距离的方法？
1.2 解三角形应用举例
距离、高度的测量
复习回顾
a
1.正弦定理：sin A
b sin B
c sin C
2R
2.余弦定理和推论：
a2 b2 c2 2bccos A b2 a2 c2 2accos B c2 a2 b2 2abcosC
b2 c2 a2 cos A
例3.如图河流的一岸有条公路，一辆汽车在公路上匀速行
驶，某人在另一岸的C点看到汽车从A
点到B点用了t秒，请你设计方案求
B
汽车的速度？
A C
分析：用引例的方法，可以计算出AC,BC 的距离，再测出∠BCA的大小，借助于余 弦定理可以计算出A、B两点间的距离。
解：在岸边选定一点D，测得CD=a,并且在C、D两点分别测得
二、测量垂直高度
例3.AB是底部B不可到达的一个建筑物, A为建筑物的最高点.设计一种测量建筑 物高度AB的方法.
想一想
A
图中给出了怎样的一个
几何图形？已知什么，
求什么？
D
C
E
G
H
B
例4、如图，要测底部不能到达的烟囱的高 AB，从与烟囱底部在同一水平直线上的C、 D两处，测得烟囱的仰角分别是 CD间的距离是12m.已知测角仪器高1.5m,求 烟囱的高。
人教A版高中数学必修5《一章 解三角形 1.2 应用举例 1.2 应用举例(通用)》优质课教案_11
《正余弦定理的应用(一)——距离测量问题》教学设计摘要：文章以人教A版高中数学教科书必修五为出发点，结合课程标准，通过对三维目标的设置和学生学情及教学重难点的分析，采用了小组讨论法、引导探究法、讲练结合法，按照复习回顾、讲授新课、随堂练习、小结、作业、教后反思等六个环节，就正余弦定理在距离测量问题方面的应用做了比较全面的教学设计，最后总结出解应用题的基本思路.设计在复习回顾部分特别加入了回顾小测，在例题讲解过程进行了点评和引申，在练习部分链接了相关的高考试题，这是该设计的三处亮点，旨在激发学生的学习热情和探究精神，也为高中数学一线教师的备课方式提供了一种案例参考.关键词：数学模型；正余弦定理；距离测量教学目标：知识目标：能够运用正弦定理和余弦定理等解三角形知识，解决不可到达点的距离测量问题.能力目标：能够将实际问题，尤其是距离测量问题转化成解三角形的问题进行解决.情感目标：（1）通过本节课所学知识解决一些生活中的实际问题，让学生体会数学的实用性；（2）通过小组讨论活动，培养学生的团队协作意识.学情分析：正余弦定理是高中数学中很重要的内容之一，在学生已经具备一些数学基本功的基础上，以正余弦定理本身为出发点，以其在实际生活中的应用为主线系统学习和掌握正余弦定理在诸如距离测量等的实际问题中的应用. 数学建模的过程是一个长期学习的过程，学生对数学必修内容的学习即将结束的时候，数学建模意识已经建立起来并达到成熟，教科书在必修5安排正余弦定理的应用是恰到好处，对教师的教和学都是有积极意义的.教学重点：分析测量问题的实际背景，从而找到测量距离的方法. 教学难点：从实际问题中抽象出正确的数学模型，同时做到操作的可行性.教学方法：小组讨论法、引导探究法、讲练结合法教学过程：一、 复习回顾1、正弦定理注：正弦定理可以解决以下的解三角形问题：（1）已知三角形的任意两边和其中一边的对角；（2）已知三角形的任意两角和一边.2、余弦定理注：余弦定理可以解决以下的解三角形问题：（1）已知三角形的三边；（2）已知三角形的任意两边和一角. R Cc B b A a 2sin sin sin === Cab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222-+=-+=-+=3、回顾小测（1）在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin +=，则ABC ∆的形状是______三角形.（2）在ABC ∆中，已知2a =，则cos cos b C c B +等于______.二、讲授新课一些实际问题：1、如何测量地球和月亮之间的距离；2、怎样在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离；3、怎样测量不可到达的两点之间的距离.这将是我们今天要解决的问题.例1、设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离.测量者在A 的同测，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是55m ， 51=∠BAC ， 75=∠ACB ，求A 、B 两点间的距离（精确到0.1m ）.分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形.解：根据正弦定理，得B AC C AB sin sin ＝)(7.6554sin 75sin 55)7551180sin(75sin 55sin sin 55sin sin 000000m ABCACB ABC ACB AC AB ≈=--=∠∠=∠∠=答：A 、B 两点间的距离为65.7m .点评：1、AC 是根据测量的需要适当确定的线段，称其为基线.2、这是测量不能直接度量的两点的一种方案，可引申如下： 测量两点都不能到达的两点间距离，如下例.例2、A 、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间的距离的方法.分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一点C 到对岸两点的距离，再测出BCA ∠的大小，借助于余弦定理可以计算出A 、B 两点间的距离.解：测量者可以在河岸边选定两点C 、D ，测得CD a =，并且在C 、D 两点分别测得α=∠BCA ,β=∠ACD ,γ=∠CDB ，δ=∠BDA . 在BDC ADC ∆∆和中，应用正弦定理得：[])sin()sin()(180sin )sin(δγβδγδγβδγ+++=++-+=a a AC计算出AC 和BC 后，再在ABC ∆中，应用余弦定理计算出AB 两点间的距离请同学们想一想，还有没有别的测量方法？三、 随堂练习练习1、为了测量河宽，在岸的一边选定两点B A 、，望对岸的标记物C ，测得 45=∠CAB ， 75=∠CBA ，120=AB 米，则河宽为 米.练习2、（2009年宁夏高考）为了测量两山顶M 、N 间的距离，飞机沿水平方向在A 、B 两点进行测量，A 、B 、M 、N 在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A 、B 间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M 、N 间的距离的步骤.四、 小结解应用题的基本思路：[])sin(sin )(180sin sin γβαγγβαγ++=++-=a a BC αcos 222BC AC BC AC AB ⨯-+=五、作业P习题1.2A组1、2.19六、教后反思本节课是继正弦定理和余弦定理之后的应用型的章节，是基于正余弦定理基础之上的知识应用层次，正余弦定理的应用是高中重要且实用的章节，是知识层次的最高要求.能将实际问题转化为解三角形的问题，通过解三角形来求解实际问题是本节课的重点，也是知识能力的最高要求，通过学情分析，结合教材难易程度设计了本课，通过教学过程可以发现，学生对知识的应用已经上了一个台阶，需要在练习的过程中再加要求.基于以上分析，以后备课授课的过程中教师应该注意以下几点：首先，将课前测试科学合理的重视起来，做到新课前的小测巩固.这比单独的知识点的复习回顾效果明显，而且学生也有挑战感，让他们觉得自己是“跳起来吃到了桃子”，学生有成就感，教师也觉得开场有了激情，有了新课开演的前奏.其次，例题的教学分层次展开是本节课的一大亮点，这样做既降低了例题本身的难度，使得学生一节课后有一种自我整理为精华的感觉，更重要的是让学生在探究的过程中学会了化归思想，学会了如何将同类问题划归为基本问题.再次，课前准备这一环节也是必不可少的，比如本节课中要用到的距离测量的钢卷尺或者皮尺，角度测量的测角仪等，有的学生平时很少接触，可能不是很熟悉，这样的图片给学生做一课前演示准备是很有必要的，这样做无疑会让学生对新解决的问题产生“熟悉感”，会对新课的讲授起到一定的辅助作用.最后，练习的设计符合递进式原则，从易到难，也符合学生的认知规律，学生从做练习的过程中既能体会到成就感，也能感受到挑战性.在练习中加入一定难度的高考题链接，是遵循了新课改的基本理念的，以能力为基本要求，以知识点为基本依托，做到知识和考题的前呼后应.参考文献：[1] 张奠宙，宋乃庆.数学教育概论[M].北京:高等教育出版社,2004.10.[2] 傅佳.实施数学课堂教学有效性之我见[J]. 教育观察,2012, (06):71-72.[3] 张春莉，王小明.数学学习与教学设计[M].上海：上海教育出版社，2004.[4] 课程教材研究所.数学必修5[M].北京:人民教育出版社,2012.5.[5] 任志鸿.志鸿优化十年高考分类解析与应试策略（数学）[M] .海南:南方出版社,2013.1.。
人教A版高中数学必修5第一章 解三角形1.2 应用举例教案
课题：解三角形的实际应用举例一、教材分析本节课是学习了正弦定理、余弦定理及三角形中的几何计算之后的一节实际应用课，可以说是为正弦定理、余弦定理的应用而设计的，因此本节课的学习具有理论联系实际的重要作用。
在本节课的教学中，用方程的思想作支撑，以具体问题具体分析作指导，引领学生认识问题、分析问题并最终解决问题。
二、教学目标1、知识与技能①能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解测量的方法和意义②会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法，搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题和基本图形和基本等量关系，理解各种应用问题中的有关名词、术语（如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等）①采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架②通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力；通过解三角形在实际中的应用，要求学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用3、情感态度价值观①激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值②培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力③进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力三、教学重点、难点1、重点：①实际问题向数学问题的转化②掌握运用正、余弦定理等知识方法解三角形的方法2、难点：实际问题向数学问题转化思路的确定四、教学方法与手段本节课的重点是正确运用正弦定理、余弦定理解斜三角形，而正确运用两个定理的关键是要结合图形，明确各已知量、未知量以及它们之间的相互关系。
通过问题的探究，要让学生结合实际问题，画出相关图形，学会分析问题情景，确定合适的求解顺序，明确所用的定理；其次，在教学中让学生分析讨论，在方程求解繁与简的基础上选择解题的思路，以提高学生观察、识别、分析、归纳等思维能力。