离散数学ch1[2讲义]命题演算
离散数学(第四版)讲义1
引言Discrete Math.离散数学研究离散对象及其相互间关系的一门数学学科。
研究离散结构的数学分支。
（辞海）计算机科学、信息科学、数字化科学的数学基础离散数学的内容：数理逻辑(Mathematics Logic)集合论(Sets)代数结构(Algebra Structure)图论(Graph Theory)组合论(Combination)线性代数(Linear Algebra)概率论(Probability Theory)……与高等数学的区别教学内容：数理逻辑(Mathematics Logic)集合论(Sets)代数结构(Algebra Structure)图论(Graph Theory)离散数学的由来与发展：一、古老历史：计数：自然数发展：图论：Konigsberg七桥问题二、年青新生：计算机：二进制运算离散数学课程设置：计算机系核心课程信息类专业必修课程其它类专业的重要选修课程离散数学的后继课程：数据结构、编译技术、算法分析与设计、人工智能、数据库、……离散数学课程的学习方法：强调：逻辑性、抽象性；注重：概念、方法与应用参考教材：1、离散数学（耿素云，屈婉玲，北大版）2、离散数学（方世昌，西安电子科大版）3、离散数学结构（第三版、影印版）（Bernard Kolman、Robert C.Busby、Sharon Ross，清华版）4、离散数学提要与范例（阮传概、卢友清，北京广播学院版）第一章命题逻辑（Proposition Logic）1、命题符号化及联结词2、命题公式及分类3、等值演算4、联结词全功能集5、对偶与范式6、推理理论逻辑学：研究推理的一门学科数理逻辑：用数学方法研究推理的一门数学学科——一套符号体系+ 一组规则数理逻辑的内容：古典数理逻辑：命题逻辑、谓词逻辑现代数理逻辑：逻辑演算、公理化集合论、递归论、模型论、证明论1、命题符号化及联结词命题(Proposition)：一个有确定真或假意义的语句。
《离散数学》讲义 - 2
注意：
①括号的约定，与命题逻辑合式公式对括号的约定 类似，但量词后的括号不能省略。 ②谓词合式公式简称为谓词公式。
离散数学
23
小结
谓词函数
谓词和客体变元 谓词函数、命题 客体变元取值范围及真值
个体域和全总个体域 量词
存在量词和全称量词（表示及判定）
谓词公式 谓词表达式表示命题或句子（带有量词）
32
小结
谓词公式翻译
量词 谓词函数 联结词
离散数学
33
2－3习题作业
P62 (3)a),c);(5);(7)
离散数学
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2－4 变元的约束
离散数学
35
1、概念
（1）指导变元（作用变元）和作用域（辖域） 给定a为一个谓词公式，其中有一部分公式形 式为(x)P(x)或(x)P(x)。其中、后面跟的x 叫做量词的指导变元或作用变元；P(x)叫做相应量 词的作用域或辖域。 注意：括号有决定性的作用。
离散数学 28
附3：一些人对某种食物过敏。 解：设：M(x)：x是人。 R(y)：y是食物。 Q(x,y)：x对y过敏。 (x)(M(x)(y)(R(y)Q(x,y)))
离散数学
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附4：有且仅有一个偶数是质数。 分析：命题（有一个偶数是质数）（只有一个偶数是质 数） 解：设：P(x)：x是偶数。 Q(x)：x是质数。 E(x,y)：x等于y。 (x)((P(x)Q(x))(y)( (P(y)Q(y))E(x,y))) 或 (x)((P(x)Q(x))(y)( (P(y)E(x,y))Q(y)))
离散数学
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2、n元谓词的确定－约束变元的概念
根据约束变元的概念，P(x1,x2,…,xn)是n元 谓词，它有n个相互独立的自由变元。若对其中的 k个变元进行约束则成为n－k元谓词。即根据谓词 公式中所包含的自由变元的个数。 谓词公式中如果没有自由变元出现，则该公式 就成为一个命题。
《离散数学》总复习上课讲义
第3章 集合的基本概念和运算
3.1 集合的基本概念 3.2 集合的基本运算（重点） 3.3 集合中元素的计数（容斥原理是重点）
3.1 集合的基本概念
元素x与集合A的关系：属于xA，不属于xA 集合A与集合B的关系：习题3.2, 3.8, 3.12, 3.16
构造性二难
(AB)(AB)(AA) B 构造性二难(特殊形式)
(AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难
习题1.18, 1.21, 1.17(2)。六1
注意事项1：命题
只有能确定真假(但不能可真可假)的陈述句才是 命题. 不管是正确的观点, 还是错误的观点, 都 是命题. 猜想和预言是命题, 如哥德巴赫猜想.
pq为假当且仅当 p 为真 q 为假，即 当p为假时，pq为真(不管q为真, 还是为假); 当q为真时，pq为真(不管p为真, 还是为假). 习题1.5(6)(7)
了解概念、掌握方法
真值表、命题公式类型 所有等值的含n个命题变项的公式对应同一
个n元真值函数F:{0,1}n{0,1}；哑元 最小联结词组 对偶式与对偶原理 简单析取式、简单合取式 析取范式与合取范式 附加前提证明法、反证法
x(A(x)B)xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B x(BA(x))BxA(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
注意事项1：前束范式（重点）
设A为一个一阶逻辑公式, 若A具有如下形式 Q(11xi1Qk2)x为2…或Qkx，kBB, 则为称不A含为量前词束的范公式式, 其. 中Qi
重要的推理定律 第一组 命题逻辑推理定律代换实例 第二组 由基本等值式生成（置换规则） 第三组 xA(x)xB(x)x(A(x)B(x))
离散数学 第一章 命题演算及其形式系统
第一章命题演算及其形式系统1.1 命题与联结词内容提要1.1.1 命题我们把对确定的对象作出判断的陈述句称作命题（propositions），当判断正确或符合客观实际时，称该命题真（true），否则称该命题假（false）。
“真、假”常被称为命题的真值。
自然语言中“并非、或者、并且、如果…，那么…、当且仅当” 这样的联结词称为逻辑联结词（logical connectives）。
通常把不含有逻辑联结词的命题称为原子命题或原子（atoms），而把由原子命题和逻辑联结词共同组成的命题称为复合命题（compositive propositions）。
1.1.2 联结词否定词(negation)“并非”（not），用符号┐表示。
设p表示一命题，那么┐p表示命题p的否定。
p真时┐p假，而p假时┐p真。
┐p读作“并非p”或“非p”。
合取词(conjunction)“并且”（and），用符号∧表示。
设p，q表示两命题，那么p∧q表示合取p和q所得的命题，即p和q同时为真时p∧q真，否则p∧q为假。
p∧q读作“p并且q”或“p且q”。
析取词(disjunction)“或”（or）用符号∨表示。
设p，q表示两命题，那么p∨q表示p和q的析取，即当p和q有一为真时，p∨q为真，只有当p和q 均假时p∨q为假。
p∨q读作“p或者q”、“p或q”。
蕴涵词(implication)“如果……，那么……”（if…then…），用符号→表示。
设p，q表示两命题，那么p→q表示命题“如果p，那么q”。
当p真而q假时，命题p→q为假，否则均认为p→q为真。
p→q中的p称为蕴涵前件，q称为蕴涵后件。
p→q的读法较多，可读作“如果p则q”，“p蕴涵q”，“p是q的充分条件”，“q是p的必要条件”，“q当p”，“p仅当q”等等。
数学中还常把q→p，┐p→┐q，┐q→┐p分别叫做p→q的逆命题，否命题，逆否命题。
双向蕴涵词(two-way implication)“当且仅当”（if and only if），用符号表示之。
离散数学讲义第2章
10
2-2 命题函数与量词（续）
例3：Q(x, y)：“x比y重” 当x，y指人或物时，它是一个命题，若x，y为实数时， Q(x, y)不是命题。
b) (x)(P(x)(y) R(x,y)) (x)的作用域是：(P(x)(y)(R(x,y))， (y)的作用域是：R(x,y)。 x,y为约束变元。
22
2-4 变元的约束（续）
c) (x)(y)(P(x,y)Q(y,z))(x)P(x,y) (x)(y)的作用域是：(P(x,y)Q(y,z)) x,y为约束变元，z是自由变元。 (x)的作用域是P(x,y) x为约束变元，y是自由变元。
例2：没有不犯错误的人。(F(x), M(x)) 解： (x)(M(x) F(x))
且该命题与“任何人都会犯错误”意义相同： (x)(M(x) F(x))
例3：尽管有些人聪明，但未必一切人都聪明。(P(x),M(x)) 解： (x)(M(x) P(x)) ((x)(M(x) P(x)))
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某些为假。
例5：(P(x, y) P(y, z)) P(x, z)。考虑P(x, y)的解释： （1）“x小于y”，则P(x, y)永真。 （2）“x为y的儿子”，则P(x, y)永假。 （3）“x距离y10米”，则P(x, y)可能为真或假。
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2-2 命题函数与量词（续）
个体变元：函数P(x)中的x。
(z)(P(z)R(z,y)) Q(x,y) 但不可换名为
(y)(P(y)R(y,y)) Q(x,y) 或
《离散数学》课件-第1章命题逻辑
例题 • 判断下列句子中那些是命题？若是命题的，判断其真值。
1. 北京是中国的首都。 2. 2+3=6。 3. 3-x=5。 4. 请关上门。 5. 几点了？
Y真 Y假 N 真值不确定 N 祈使句
6. 除地球外的星球有生物。
N 疑问句
7. 多漂亮的花啊！
Y 真值确定, 但未知
8. 我只给所有不给自己理发的人理发。N 感叹句
p q pq
TT F TF T FT T FF T
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其它联结词
• 定义1.1.10 设p、q是任意两个命题, p q可表示复合命题“p和q的或非”, 称为或非联结词。命题p q 称为p和q的或非式。当且仅当p和q的真值同时 为假时，p q的真值为真. Nhomakorabea•
p q的真值表
p q pq
TT F TF F FT F FF T
6
联结词
• （一）否定
• 定义1.1.4 设p是一个命题，p表示一个新命题“非p”。命题p 称为p的否定。当且仅当p的真值为假时，p的真值为真。
• p的真值表：
p p
T
F
F
T
• 例如：p：今天是晴天。则 p：今天不是晴天。 • “非”，“不”，“没有”，“无”，“并非”等都可用来表示。
7
联结词• （二）合取
•
p q :电灯不亮是灯泡或线路有问题所致。
•
p：派小王去开会，q：派小李去开会，
•
(p q)(p q): 派小王或小李中的一人去开会
10
联结词
• （四）蕴涵
• 定义1.1.7 设p、q表示任意两个命题, p q 可表示复合命
题“如果p，则q”。当且仅当p的真值为真，q的真值为假时，
离散数学讲义 第二章命题逻辑PPT课件
解 令P：我得到这本小说；Q：我今夜就读完它。
于是上述命题可表示为P→Q。
7
5．等值“”
定义2.2.5 设P和Q是两个命题，则它们的等值命
题是一个复合命题，称为等值式复合命题，记作“P Q” （读作“P当且仅当Q”）。
当P和Q的真值相同时,PQ取真,否则取假。
例10
P
Q
P Q
0
0
1
0
1
0
1
0
0
德.摩根定律
E11
PQP∨Q
E12
P Q (P∧Q)∨(P∧Q)
E13
P (QR) (P∧Q) R
E14
P Q (PQ)∧(QP)
E15
PQQP
23
三、等价式的判别
有两种方法：真值表方法，命题演算方法
1、真值表方法
例1 用真值表方法证明 E10： (PQ) PQ
解 令：A= (PQ)，B= PQ，构造A，B
一个复合命题，记作“P→Q”（读作“如果P，则Q”）。
当P为真，Q为假时，P→Q为假，否则 P→Q为真。
P
Q
P→Q
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
例8 若P：雪是黑色的；Q：太阳从西边升起；
R：太阳从东边升起。则P→Q和P→R所表示的命题都是真的.
例9 将命题“如果我得到这本小说，那么我今夜
就读完它。”符号化。
对于上述五种联结词，应注意到： 复合命题的真值只取决于构成它的各原子命题的真 值，而与这些原子命题的内容含义无关。
9
命题符号化
利用联结词可以把许多日常语句符号化。基本步骤如下：
自考离散数学命题演算笔记
自考离散数学命题演算笔记一、命题演算的基本概念1. 命题：可以明确判断真假的陈述句称为命题。
2. 命题符号：用字母（如p、q、r等）表示的命题称为命题符号。
3. 命题演算：研究命题符号之间关系的数学分支。
二、命题演算的基本运算1. 否定（¬）：表示对命题的否定，如¬p表示对p的否定。
2. 合取（∧）：表示两个命题的合取，如p∧q表示p和q同时为真。
3. 析取（∨）：表示两个命题的析取，如p∨q表示p和q至少有一个为真。
4. 蕴含（→）：表示两个命题的蕴含关系，如p→q表示如果p为真，则q必为真。
5. 双条件（↔）：表示两个命题的双条件关系，如p↔q表示p和q同时为真或同时为假。
三、命题演算的基本法则1. 双重否定律：¬¬p = p2. 假言三段论：p→q, ¬q→¬p3. 假言换位：p→q ↔ ¬q→¬p4. 交换律：p∧q ↔ q∧p, p∨q ↔ q∨p5. 结合律：p∧(q∧r) ↔ (p∧q)∧r, p∨(q∨r) ↔ (p∨q)∨r6. 分配律：p∧(q∨r) ↔ (p∧q)∨(p∧r), p∨(q∧r) ↔(p∨q)∧(p∨r)7. 吸收律：p∧(p∨q) ↔ p, p∨(p∧q) ↔ p8. 德摩根律：¬(p∧q) ↔ ¬p∨¬q, ¬(p∨q) ↔ ¬p∧¬q9. 互补律：p∨¬p ↔ 1, p∧¬p ↔ 010. 等幂律：p∧p ↔ p, p∨p ↔ p自考离散数学命题演算笔记四、命题逻辑函数命题逻辑函数是指对命题进行运算的函数，它将命题作为输入，输出也是一个命题。
常见的命题逻辑函数包括：1. 常函数：常函数的输出是一个固定的命题，无论输入是什么。
例如，常真函数T的输出始终为真，常假函数F的输出始终为假。
2. 投影函数：投影函数的输出是其输入之一。
离散数学讲稿
• 谓词逻辑： 一、基本概念 为什么研究谓词逻辑 . 例: 1、李华是大学生 H(l) 2、王芳是大学生 H(w) 3、松树是植物 谓词：描述个体性质的部分. 个体：被描述的对象 . 命题逻辑最小单位是原子命题 (大写字母表谓词)… 谓词字母 谓词逻辑可以分为谓词和个体 (大写字母表个体)…客体 谓词：①命题的逻辑形式 H(w) H—谓词 w—客体 ②复合命题的谓词形式 “a是P且b是Q” ——P(a)∧Q(b) “若a是P则b是Q“——P(a)Q(b) “a是P当且仅当b为Q”——P(a)Q(b)
5、间接证明法：（反证法） 相容（一致性）：若H1、H2 …… Hm皆为前提且存在一组真值 指派使得H1、H2 …… Hm皆为T，则称H1、H2 …… Hm为相容的 或一致的，否则不相容的或非一致. 定理 : 设前提集合 {H1、H2 …… Hm}是相容并且设C是一个公式, 若前提集合{H1、H2 …… Hm、 C }是不相容的,即它蕴含着一个 永假式 , 则可从前提集合{H1、H2 …… Hm}推出来. 证明：≧ H1∧H2∧……∧Hm∧ C R∧ R ≨ H1∧H2∧……∧Hm∧ C为永假式 又≧前提集合{H1、H2 …… Hm}是相容 . ≨使得H1∧H2∧……∧Hm为T的那些真值指派 , 使得 C为F , 则C为T, 因此 , H1∧H2∧……∧Hm C
例: Q (PQ) 证明: Q (PQ) Q ( P∨Q) Q∨ P∨Q T ≨ Q P Q 推理的方法证明:前提蕴含结论的正确性. 推理的规则 : Ⅰ、前提引用规则：P在任何推理步骤上皆可引用前提. Ⅱ、结论引用规则：T在任何推理步骤所得到结论在后续推理 步骤中皆可引用. Ⅲ、臵换规则：E1~E24 Ⅳ、代入规则； Ⅴ、推理的定理(CP)： 若H1∧H2∧……∧Hm∧Q R 则有 H1∧H2∧……∧Hm QR Ⅵ、基本蕴含式可使用：I1 ~ I14 例（略）
《命题演算》课件
详细描述
概率命题演算在传统命题演算的基础上，引 入概率函数来量化命题的不确定性。通过概 率算子和概率分布，描述了命题在各种情况 下的可能性，从而更准确地表达现实世界中
的不确定性。
感谢您的观看
THANKS
逆否命题
对原命题的条件和结论都进行否定， 然后互换它们的位置，例如“如果天 下雨，那么地面会湿”的逆否命题是 “如果地面不湿，那么天不下雨”。
复合命题的表示与转换
复合命题
由两个或多个简单命题通过逻辑运算符组合而成的命题，例如“如 果天不下雨并且地面不湿，那么没有人在家”。
复合命题的表示方法
使用逻辑运算符（如“∧”、“∨”、“→”等）将简单命题组合 起来。
总结词
时序命题演算是命题演算的一种扩展，它引 入了时间因素来描述命题在时间序列上的状 态和变化。
详细描述
时序命题演算考虑了时间因素对命题状态的 影响，通过引入时间算子和时间依赖关系来 扩展命题演算。它能够描述在特定时间点上 命题的真假状态，以及随着时间推移命题的 变化情况。
概率命题演算
总结词
概率命题演算是命题演算的一种扩展，它引 入概率概念来描述命题的不确定性。
复合命题的真假判定
根据真值表或逻辑运算规则判断复合命题的真假值。
03 命题逻辑推理
推理规则
1 2 3
推理规则
推理规则是逻辑推理的基本准则，包括前提和结 论两部分。前提是推理的依据，结论是根据前提 得出的结果。
推理形式
推理形式是指推理的逻辑结构，包括前提和结论 的逻辑表达式。根据不同的逻辑表达式，可以得 出不同的推理形式。
模态命题演算
总结词
模态命题演算是命题演算的一种扩展，它引入了模态算子来描述命题之间的可能性、必 然性等关系。
离散数学(第四版)讲义2
第9章树[离散数学离散数学(第四版)清华出版社]第二章一阶逻辑（Predicate Logic）1、一阶逻辑基本概念2、一阶逻辑公式及解释3、一阶逻辑等值式1、一阶逻辑基本概念前两节介绍的命题与命题演算是命题逻辑的内容，其基本组成单位是原子命题。
一般地，原子命题作为具有真假意义的句子至少由主语和谓语两部分组成。
例如，电子商务是计算机技术的一个应用系统，这里“电子商务”是主语，而“是……”是谓语。
当主语改变为“电子政务”时就得到新的原子命题：电子政务是计算机技术的一个应用系统。
由此可知，主语是独立存在的个体，而谓语用来描述该个体的性质或个体间的关系，这里我们称其为谓词。
用P表示谓词“是……”。
则P（电子商务）或P（电子政务）分别等值于前述两个命题的表达。
将个体用变量（称为个体变量）x推广，则P(x)表示：x是计算机技术的一个新的应用系统。
这时该语句就不是一个命题，而是一个命题函数。
DEFINITION 1.一个谓词P连同相关的n(n≥0)个个体变量组成的表达式称为n元谓词(n-predicate)，记P(x1, x2, …, x n)，其中n是该表达式中不同个体变量的数目。
EXAMPLE 1设P(x)表示语句“x > 3.”，则P(4)和P(2)的真值是多少?P(4) = 1P(2) = 0EXAMPLE 2设Q(x, y)表示语句“x = y + 3.”，则Q(1, 2) 和Q(3, 0)的真值是多少?Q(1,2) = 0Q(3,0) = 1EXAMPLE 3设R(x, y, z) 表示语句“x+y=z.”，则R(1, 2, 3) 和R(0, 0, 1) 的真值是多少?R(1, 2, 3)= 1R(0, 0, 1)= 0当n>1时，通常P给出了xi(i=1,2,…,n)之间的关系。
例如，P(x,y,z)表示x位于y与z之间，是一个三元谓词。
当x,y,z分别用赤道、南半球、北半球代入时，得到命题：赤道位于南半球与北半球之间，其真值为1。
离散数学-命题演算
P Q
于是得到: (P Q) (P Q)
Lu Chaojun, SJTU
21
还有别的联结词吗?
• 除,,,,外还可定义其他联结词.如:
异或: P Q = (P Q) (P Q) 与非(NAND): P | Q = (P Q) Sheffer stroke 或非(NOR): P Q = (P Q) Peirce arrow
Lu Chaojun, SJTU
19
方法一
• 从每个使为真的解释写出一个各命题变
元的合取式;然后写出各合取式的析取式.
例:有三个成真解释.
P
Q
由(P,Q)=(F,F)可写出合取式: F
F
T
P Q
F
T
T
T
F
F
由(P,Q)=(F,T)可写出合取式: T
T
T
P Q
由(P,Q)=(T,T)可写出合取式:P Q
• 将 中所有肯定形式出现的变元Pi换成Pi, 所
有否定形式出现的变元Pi换成Pi, 所得公式记
为－. • 注意:求*时不能有,;求－时无此限制.
Lu Chaojun, SJTU
29
*和－的性质
• 定理
(*)* = (－)－=
• 定理
(*) = ()* (－) = ()－
• 定理
= *－ (De Morgan律的一般形式)
命题逻辑的等值演算 和推理演算
主要内容
• 公式间的等值关系与等值演算 • 利用真值表列写公式 • 联结词的完备集 • 对偶定理 • 范式和主范式 • 公式间的重言蕴涵关系与推理演算
Lu Chaojun, SJTU
2
公式间的等值关系
自考离散数学第1章
¬ P的真值：
P
F T
¬P
T F
1.2 复合命题与联结词
常用的联结词 （2）合取 定义1.2.2 两个命题P和Q的合取是一个复合命题，记作P∧Q。 ∧称作合取联结词， 在自然语言中的“并且”、“和”、“既...又...”、“不
仅....而且....”、“虽然...但是...”等都可以符号化为∧ 例1 2是素数和偶数
1.3 命题公式与真值表
真值表 将命题公式P在所有指派下取值情况，列成表，称为P的真值表。 真值表中，真值T，F可分别用1，0代替。 例： 构造 ¬ P ˄Q 的真值表。
1.2 复合命题与联结词
常用的联结词 （4）条件 例
只要天不下雨，我就骑车上班。 设S: 天下雨； R:我骑车上班。 所以本例可描述为： ¬ S→R
如果我不骑车上班，则天下雨。 ¬ R→ S
1.2 复合命题与联结词
常用的联结词 （4）条件 例
设p：天下雨，q：我就骑自行车上班，将下列命题符号化 (1) 只要不下雨，我就骑自行车上班 ¬ p→q
1.1 命题概念
在数理逻辑中，将命题的真值也符号化了。一般用“T”（或“1”）
表示“真”；用“F”（或“0”）表示“假”。
例如，
令p： 2 是有理数，则p 的真值为F（或0)，
q：2 + 5 = 7，则q 的真值为T（或1）
1.1 命题概念
练习：
1.下列句子为命题的是（ D ） A.全体起立！ C. 我在说谎 B. X=0 D.张三生于1886年的春天
(6) 火星上有生物.
(7) 星期五下午有会吗？ (8) 请勿吸烟！ (9) 这束花多么好看啊！ (10) x+y>5.
离散数学第二章-命题演算的推理理论-命题演算的公理系统
破坏性二难
㈢ 规则
(1)代入规则：将公式中出现的某一符号 B 每处均代以某一公式C， 所到的公式D 称为C 对 的 代入。
(2)分离规则：如果AB且A，则B。
二、语义部分
(1) 公理是永真公式。 (2) 规则规定如何从永真公式推出永真公式。分离规
则指明，如果AB永真且A永真，则B也为永真公 式。 (3) 代入规则指明如果为永真公式，则某一个公式 正确代入公式后所得的公式也为永真公式。 (4) 定理为永真公式，它们是从公理出发利用分离规 则和代入规则推出来的公式。
(10)((PQ)(QP))((PQ)(QP)) (9)(7)分离
(11)(PQ)(QP)
(10)(4)分离
例 （同定理3）
已知公理 A: PP B: (PQ) (QP) C: (PQ) ((RP) (RQ)) D: (PQ) ((QR) (PR))
要证 (PQ) (QP)为本系统中的定理。
公理推理证明定理的方法
• 演绎推理 • 归纳推理
归纳推理
从真的前提出发，得到的结论只能够要求它与 前提是协调的，但不一定是真的。 它基于对特殊的代表的有限观察， 或基于对反 复再现的现象的模式的有限观察，用公式表达 规律。
所有观察到的乌鸦都是黑的。 所以所有乌鸦都是黑的。
演绎推理
可推导性——当前提的真蕴涵结论的真时，称前提和 结论之间有可推导性关系，即前提和结 论之间的推理是正确的。
分析：由公理14，(PQ)(QP)， 可以得到 (PQ)(QP) 下面就是要建立(PQ)与(PQ)之间的联系。 如果 (PQ) (PQ)， 则由传递性知道结论成立。 下面先证明(PQ) (PQ)。
证明：先证 (PQ) (PQ)
(1)PP
离散数学第一章命题演算基础-真假性
或非 P↓Q=(P∨Q)
定理： 联结词的集合{↓}是完备的。
P Q
P↓Q
T T F F
T F T F
F F F T
例(p8) 试证明联结词集合{∧}不完备。
证明：假设{∧}是完备的 根据完备性的定义知 P = Q1 ∧ Q2 ∧ Q3 ∧ …… ∧Qn 当P，Q1, Q2, Q3, …… , Qn全取为真时， 公式左边=F，
定理 联结词的集合{， }是完备的。
证明：因为 P Q = P ∨Q 所以 P ∨Q= P Q 即{， }可以表示集合{，} 又因为{，}是完全备的，即任何公式均可 以由集合{，}中联结词表达出来的公式与之 等价， 所以任何公式均可以由集合{， }中的联 结词表达出来的公式与之等价。 故集合{， }是完备的。
故集合{，，}是完备的。
定理 联结词的集合{， ∧}是完备的。
证明：因为
P ∨Q=( P ∧ Q)
所以 {，}可以表示集合{，，} 又因为{，，}是完备的，即任何公式均 可以由集合{，，}中联结词表达出来的公 式与之等价， 所以任何公式均可以由集合{，}中的联结 词表达出来的公式与之等价。 故集合{，}是完备的。
永真
例
判断下列公式的类型
(p∨p) ((q∧q) ∧r) 解: (p∨p) ((q∧q) ∧r) = T ((q∧q) ∧r) = (q∧q) ∧r =F∧r =F 所以，它是永假的。
永假
例 判断下列公式的类型
(pq) ∧p
可满足
解:
(pq) ∧p =(p∨q) ∧p =p 所以，它是可满足的。
八组重要的等价公式
⑤等幂律 PP=P PP=P PP=T PP=T
⑥等值公式
P Q = P Q P Q =（PQ）（Q P） =（P Q）（P Q） =（P Q）（P Q） （P Q）= PQ （P Q）= PQ
离散数学第二章 命题演算的推理理论-假设推理系统
其中Γ为形式前提，A为形式结论。
肯定前提律
A1，A2，A3，…，An ├ Ai (i=1，2，…，n)， 即前提中的任何命题均可作为结论。
二、假设推理过程
1， 2， …，k├ B
定义: 如果能够作出一系列合式公式序列 A1，A2, A3, …，An， 它们(诸Ai)满足下列性质： (1) 或为公理之一； (2) 或为公式1, 2, …,k之一，每个i称为假设； (3) 或由前面的若干个Ag、Ah利用分离规则而得； (4) An=B。 称这个公式序列A1，A2, …，An为由公式 1， 2， …，k证明B的证明过程.
例 QQ心情谜语
现在是晚上十一点，天很暖。如果我考试通 过了， 那么我很快乐。 如果我快乐， 那么阳 光灿烂。 解： 设 P： 我考试通过了， Q： 我很快乐， R： 阳光灿烂， S： 天很暖。 前提： P→Q， Q→R， R∧S
例(续) QQ心情谜语
(1) P→Q 前提引入 (2) Q→R 前提引入 (3) (PQ)((QR)(PR)) 公理3 (4) (QR)(PR) (1)(3)分离 (5) P→R (2)(4)分离 (6) R∧S 前提引入 (7) P∧QP 公理8 (8) R∧SR (7)中,P用R, Q用S代入 (9) R (7)(8)分离 (10) (PQ)(QP) 拒取式，定理3(p18) (11) (PR)(RP) (10)中Q用R代入 (12) RP (5)(11)分离 (13) P (9)(12)分离 所以有效结论是： 我考试没通过。
58分离1049分离11代入612211分离131012分离14析取三段论15代入1416115分离171316分离21命题演算的公理系统22命题演算的假设推理系统221假设推理系统的组成222假设推理系统的推理过程23命题演算的归结推理法
离散数学第1章 命题演算
所以这句话没有办法判断真假，所以不是命题！
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命题符号化
为了能用数学方法来研究命题之间的逻辑关系和推理， 需要将命题符号化。
一个任意的没有赋予具体内容的命题是一个命题变元。
定义：以“真” 、“假”为其变域的变元称为命题
变元。
常用大写的英文字母A，B，C，…P，Q，R，…等来表 示一个命题或命题变元。
定义 对于命题公式中各命题变元（分量）指派所有可能 的真值，以及由此而确定的命题公式的真值汇列成表，称 为真值表。
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例1:命题公式P∧﹁ Q的真值表如下所示。
Ｐ F F T T
这组命题变 元的确定值 称为该公式 的一个指派
Ｑ F T F T
﹁Ｑ T F T F
P∧﹁ Q F F T F
整个表即为该公式 的真值表
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§1-2
命题公式
将由命题变元和联结词组成的复杂的命题 变元称为命题公式。各个命题变元称为命题公 式的分量。
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§1-2
命题公式
定义:命题逻辑公式(公式)可按如下法则生成: (1)命题是公式;
(2)如果P是公式,则(﹁ P)是公式;
(3)如果P,Q是公式,则(P ∧ Q),(P∨Q),(P→Q),
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例如：
因为2<3，所以1+1=2。 在通常意义下2<3与1+1=2没有存在任 何联系，我们一般不会做如此推理。 但在数理逻辑下，设P:2<3; Q:1+1=2 这句话可以形式化为P→Q; 并且真值为T
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联结词
5.双条件 定义 设P，Q是命题，P和Q的等价命题记
作 P Q ，读作“P当且仅当Q”，或 “P等 价 PQ Q”，当P和Q的真值都为T和F时， 的真 PQ
离散数学第一章第二节
2、命题符号化
将一个命题表示成符合规定的命题公式叫命题符
号化。步骤如下： (1) 找出各简单命题，分别用命题标识符表示； (2) 使用合适的联结词，把简单命题逐个联结起 来，便得到复合命题的符号化表示。
五种联结词又叫逻辑运算符。联结词运算的优先
级顺序为：,∧,∨,,
例2 将下列命题符号化： (1) 如果我下班早，就去商店看看，除非我很累。 (2) 只有一个角是直角的三角形才是直角三角形。 解：(1) Ｐ→(Ｑ→Ｒ)。 其中 Ｐ：我很累。Ｑ：我下班早。Ｒ：我去商店看看。 (2) Ｐ→Ｑ或Ｑ→Ｐ。 其中P：三角形有一个角是直角。Ｑ：三角形是直角三角形。
P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 P∨Q 0 1 1 1 （P∨Q） 1 0 0 0 P 1 1 0 0 Q 1 0 1 0 P∧Q 1 0 0 0
例4 构造命题公式（P∨Q）和P∧Q的真值表。
对于Ｐ、Ｑ的任一种真值指派，（P∨Q）与P∧Q 都有相同的真值，所以这两个命题公式是等价的。 6
常用的等价公式：
E1对合律 PP E2幂等律 PPP PPP E3结合律 (PQ)RP(QR) (PQ)RP(QR) E4交换律 PQQP PQQP E5分配律 P(QR)(PQ)(PR) P(QR)(PQ)(PR) E6吸收律 P(PQ) P P(PQ) P E7德.摩根律 (PQ) PQ (PQ) PQ E8同一律 PFP PTP E9零 律 PTT PFF E10否定律 PPT PPF E11 P→QP∨Q E12 P→QQ→P E13 PQ (P→Q)∧(Q→P) E14 PQPQ E15 (P→Q)∧(P→Q)P
证明：Ａ与Ｂ除替换部分外均相同，又由于替换部分Ｘ Ｙ，即是说对任一指派，Ｘ与Ｙ真值相同，那么Ａ与 Ｂ对任一真值指派也应有相同的真值。故ＡＢ。