2016-2017学年甘肃省肃南县第一中学高二下学期期末考试数学(理)试题
中学2016-2017学年高二下期末考试数学试卷含解析
2016学年第二学期高二数学期末考试一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分．1. 的展开式中项的系数为______．【答案】【解析】的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中项的系数为，故答案为10.2. 已知直线经过点且方向向量为，则原点到直线的距离为______.【答案】1【解析】直线的方向向量为，所以直线的斜率为，直线方程为，由点到直线的距离可知，故答案为1.3. 已知全集，集合,,若，则实数的值为___________.【答案】2【解析】试题分析：由题意，则，由得，解得．考点：集合的运算．4. 若变量满足约束条件则的最小值为_________.【答案】【解析】由约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数，得，由图可知，当直线过点时，直线在y轴上的截距最小，有最小值为，故答案为. 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5. 直线上与点的距离等于的点的坐标是_____________.【答案】或.【解析】解：因为直线上与点的距离等于的点的坐标是和6. 某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是_______.【答案】【解析】设“这名学生在上学路上到第二个路口首次遇到红灯”为事件，则所求概率为，故答案为.7. 某学校随机抽取名学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，．则该校学生上学所需时间的均值估计为______________．（精确到分钟）.【答案】34................点睛：本题考查频率分布直方图，解题的关键是理解直方图中各个小矩形的面积的意义及各个小矩形的面积和为1，本题考查了识图的能力；根据直方图求平均值的公式，各个小矩形的面积乘以相应组距的中点的值，将它们相加即可得到平均值.8. 一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种________.【答案】186【解析】试题分析：设取红球个，白球个，则考点：古典概型.9. 如图，三棱锥满足：，，，，则该三棱锥的体积V的取值范围是______．【答案】【解析】由于平面，，在中，，要使面积最大，只需，的最大值为，的最大值为，该三棱锥的体积V的取值范围是.10. 是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值等于_________.【答案】9【解析】试题分析：两个圆心正好是双曲线的焦点，，，再根据双曲线的定义得的最大值为.考点：双曲线的定义，距离的最值问题.11. 棱长为1的正方体及其内部一动点，集合,则集合构成的几何体表面积为___________.【答案】【解析】试题分析：.考点：几何体的表面积.12. 在直角坐标平面中，已知两定点与位于动直线的同侧，设集合点与点到直线的距离之差等于，，记,.则由中的所有点所组成的图形的面积是_______________.【答案】【解析】过与分别作直线的垂线，垂足分别为，，则由题意值，即，∴三角形为正三角形，边长为，正三角形的高为，且，∴集合对应的轨迹为线段的上方部分，对应的区域为半径为1的单位圆内部，根据的定义可知，中的所有点所组成的图形为图形阴影部分．∴阴影部分的面积为，故答案为.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13. 已知为实数，若复数是纯虚数，则的虚部为（）A. 2B. 0C. -2D. -2【答案】C【解析】∵复数是纯虚数，∴，化为，解得，∴，∴，∴的虚部为，故选C.14. 已知条件：“直线在两条坐标轴上的截距相等”，条件：“直线的斜率等于”，则是的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】B【解析】当直线过原点时，直线在两条坐标轴上的截距相等，斜率可以为任意数，故不成立；当直线的斜率等于，可设直线方程为，故其在两坐标轴上的截距均为，故可得成立，则是的必要非充分条件，故选B.15. 如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱的顶点在轴上，平行于轴，侧棱平行于轴．当顶点在轴正半轴上运动时，以下关于此直三棱柱三视图的表述正确的是（）A. 该三棱柱主视图的投影不发生变化；B. 该三棱柱左视图的投影不发生变化；C. 该三棱柱俯视图的投影不发生变化；D. 该三棱柱三个视图的投影都不发生变化．【答案】B【解析】A、该三棱柱主视图的长度是或者在轴上的投影，随点得运动发生变化，故错误；B、设是z轴上一点，且，则该三棱柱左视图就是矩形，图形不变．故正确；C、该三棱柱俯视图就是，随点得运动发生变化，故错误．D、与矛盾．故错误；故选B.点睛：本题考查几何体的三视图，借助于空间直角坐标系．本题是一个比较好的题目，考查的知识点比较全，但是又是最基础的知识点；从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图，根据图中C点对三棱柱的结构影响进一步判断.16. 如图，两个椭圆，内部重叠区域的边界记为曲线，是曲线上任意一点，给出下列三个判断：①到、、、四点的距离之和为定值；②曲线关于直线、均对称；③曲线所围区域面积必小于．上述判断中正确命题的个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】对于①，若点在椭圆上，到、两点的距离之和为定值、到、两点的距离之和不为定值，故错；对于②，两个椭圆，关于直线、均对称，曲线关于直线、均对称，故正确；对于③，曲线所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故正确；故选C.三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17. 已知复数满足，（其中是虚数单位），若，求的取值范围．【答案】或【解析】试题分析：化简复数为分式的形式，利用复数同乘分母的共轭复数，化简为的形式即可得到，根据模长之间的关系，得到关于的不等式，解出的范围.试题解析：，，即，解得或18. 如图，直四棱柱底面直角梯形，，，是棱上一点，，，，，.（1）求异面直线与所成的角；（2）求证：平面.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）本题中由于有两两垂直，因此在求异面直线所成角时，可以通过建立空间直角坐标系，利用向量的夹角求出所求角；（2）同（1）我们可以用向量法证明线线垂直，以证明线面垂直，，，，易得当然我们也可直线用几何法证明线面垂直，首先，这由已知可直接得到，而证明可在直角梯形通过计算利用勾股定理证明，，，因此，得证.（1）以原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.则，，，. 3分于是,,,异面直线与所成的角的大小等于. 6分（2）过作交于，在中，，，则，，，，10分，.又，平面. 12分考点：（1）异面直线所成的角；（2）线面垂直.19. 如图，圆锥的顶点为，底面圆心为，线段和线段都是底面圆的直径，且直线与直线的夹角为，已知，．（1）求该圆锥的体积；（2）求证：直线平行于平面，并求直线到平面的距离．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）利用圆锥的体积公式求该圆锥的体积；（2）由对称性得，即可证明直线平行于平面，到平面的距离即直线到平面的距离，由，求出直线到平面的距离.试题解析：（1）设圆锥的高为，底面半径为，则，，∴圆锥的体积；（2）证明：由对称性得，∵不在平面，平面，∴平面，∴C到平面的距离即直线到平面的距离，设到平面的距离为，则由，得，可得，∴，∴直线到平面的距离为．20. 阅读：已知，，求的最小值.解法如下：，当且仅当，即时取到等号，则的最小值为.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知，，求的最小值；（2）已知，求函数的最小值；（3）已知正数，，求证：.【答案】（1）9（2）18（3）见解析【解析】试题分析：本题关键是阅读给定的材料，弄懂弄清给定材料提供的方法（“1”的代换），并加以运用.主要就是，展开后就可应用基本不等式求得最值.（1）；（2）虽然没有已知的“1”，但观察求值式子的分母，可以凑配出“1”：，因此有，展开后即可应用基本不等式；（3）观察求证式的分母，结合已知有，因此有此式中关键是凑配出基本不等式所需要的两项，如与合并相加利用基本不等式有，从而最终得出.（1），2分而，当且仅当时取到等号，则，即的最小值为. 5分（2），7分而，，当且仅当，即时取到等号，则，所以函数的最小值为. 10分（3）当且仅当时取到等号，则. 16分考点：阅读材料问题，“1”的代换，基本不等式.21. 设椭圆的长半轴长为、短半轴长为，椭圆的长半轴长为、短半轴长为，若，则我们称椭圆与椭圆是相似椭圆．已知椭圆，其左顶点为、右顶点为．（1）设椭圆与椭圆是“相似椭圆”，求常数的值；（2）设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆仅有一个公共点，过椭圆的上顶点为作斜率为的直线与椭圆仅有一个公共点，当为何值时取得最小值，并求其最小值；（3）已知椭圆与椭圆是相似椭圆．椭圆上异于的任意一点，求证：的垂心在椭圆上．【答案】（1）或；（2）当时，取得最小值．（3）见解析【解析】试题分析：（1）运用“相似椭圆”的定义，列出等式，解方程可得s；（2）求得的坐标，可得直线与直线的方程，代入椭圆的方程，运用判别式为，求得，再由基本不等式即可得到所求最小值；（3）求得椭圆的方程，设出椭圆上的任意一点，代入椭圆的方程；设的垂心的坐标为，运用垂心的定义，结合两直线垂直的条件：斜率之积为，化简整理，可得的坐标，代入椭圆的方程即可得证．试题解析：（1）由题意得或，分别解得或.（2）由题意知：，，直线，直线，联立方程，整理得：.因为直线与椭圆仅有一个公共点，所以. ①联立方程，整理得：.因为直线与椭圆仅有一个公共点，所以. ②由①②得：.所以，此时，即.（3）由题意知：，所以，且.设垂心，则，即. 又点在上，有，. 则，所以的垂心在椭圆上.。
2016-2017学年甘肃省张掖市肃南一中高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
4． （5 分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续两天 为优良的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率 是（ A．0.8 ） B．0.75 C．0.6 D．0.45 ）
5． （5 分） 若不等式|2a﹣1|≤|x+ |对一切非零实数 x 恒成立， 则实数 a 的取值范围是 （ A．[﹣1，2] B．[1，2] C．[﹣ ， ] D．[0， ]
由表中数据算出线性回归方程 ＝bx+a 中的 b＝﹣2，气象部门预测下个月的平均气温约
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为 6℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（ A．46 B．40 C．38
）件． D．58
8． （5 分）小王在练习电脑编程．其中有一道程序题的要求如下：它由．A，B，C，D，E， F 六个子程序构成，且程序 B 必须在程序 A 之后，程序 C 必须在程序 B 之后，执行程序 C 后须立即执行程序 D．按此要求，小王有多少不同的编程方法（ A．20 种 B．12 种 C．30 种 ）＝ ） D．90 种 ）
6． （5 分）已知直线 l：x﹣y+4＝0 与圆 C： 值为（ A．2 ） ﹣2 B．2 C．2
，则 C 上各点到 l 的距离的最小
D．2
+2
7． （5 分）某商场为了了解毛衣的月销售量 y（件）与月平均气温 x（℃）之间的关系，随 机统计了某 4 个月的月销售量与当月平均气温，其数据如表： 月平均气温 x（℃） 月销售量 y（件） 17 24 13 33 8 40 2 55
14． （5 分）在直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C 的参数方程是
（a 是参数） ，
现以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线 C 的极坐标方程 为 ． ．
甘肃省肃南县第一中学2016-2017学年高一下学期期末考试数学试题 PDF版含答案
21 ．（ 本 小 题 满 分 12 分 ） 已 知 向 量 . (1).求函数f(x)的最小正周期;
,设函数
(2).已知a,b,c分别为三角形ABC的内角对应的三边长,A为锐角,a=1,，且恰是函数f(x)在 上的最大值,求A,b和三角形ABC的面积.
22.（本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x) 3 sin(x ) 2 sin 2 两对称轴间的距离为 （1）当 x (
, ) 时，求 f ( x) 的单调递减区间； 2 4 （2）将函数 y f ( x) 的图象沿 x 轴方向向右平移 个单位长度，再把横坐标缩短到原 6
来的
1 （纵坐标不变） ，得到函数 y g ( x) 的图象．当 x , 时，求函数 g ( x ) 的 2 12 6
1 3
B．
1 3
C．
2 2 3
D．
2 2 3
10．在 ABC 中， sin A
）
3 a, a b 12．定义一种运算 a b ，令 f x cos 2 x sin x ，且 x , ， 2 2 2 b, a b
(1)求函数 f ( x) 的单调递增区间；
(2)若
f ( )
5 6，
，求
的值.
19.（本小题满分12分）已知
．
（1）若 （2）设 ，若
，求
的坐标； ，求 点坐标．
20. （本小题满分12分）已知向量
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，设函数
． (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在[0， ]上的最大值和最小值．
高一数学第 1页，共 4 页
甘肃省肃南县第一中学2017届高三下学期期中考试数学(理)试题Word版含答案
甘肃省肃南县第一中学2017年下学期期中考试高三数学（理）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}0,,1,2M x N =，若{}2M N ⋂=，则M N ⋃=（ ） A ．{}0,,1,2x B ．{}0,1,2 C ．{}2,0,1,2 D ．不能确定2.已知xx f )21()(=，则“120x x +>”是“()()121f x f x ⋅<”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3.已知公差不为0的等差数列{}n a 满足134,,a a a 成等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3253S S S S --的值为（ ）A ．2B ．3C ．2-D ． 3-4.甲、乙两人要在一排8个空座位上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都空座，则有多少种坐法（ ）A ．10B ．16 C.20 D ．245.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公远前334年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x 为（ ）A ．1.2B ．1.6 C.1.8 D ．2.46.过椭圆()22220x y a b a b+=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为（ ）A ．12B．2 C.13 D7.下图是求样本1210,,,x x x 平均数x 的程序框图，图中空白框中应填入的内容为（ ）A ．n S S x =+B ．n x S S n =+ C.S S n =+ D ．10n xS S =+ 8.函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭与2cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象关于直线x a =对称，则a 可能是（ ） A ．24π B ．12π C.8πD ．1124π9.已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()6f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭对x ∈R 恒成立，且()2f f ππ⎛⎫< ⎪⎝⎭.则下列结论正确的是（ ） A ．11112f π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B ．7105f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.()f x 是奇函数 D ．()f x 的单调递增区间是(),36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 10.已知实数,x y 满足260,0,2,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩若目标函数z mx y =-+的最大值为210m -+，最小值为22m --，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[]2,1-B ．[]1,3- C.[]1,2- D ．[]2,311.过双曲线22115y x -=的右支上一点P ，分别向圆()221:44C x y ++=和圆()222:41C x y -+=作切线，切点分别为,M N ，则22PM PN -的最小值为（ ）A ．10B ．13 C.16 D ．1912.已知函数()xaf x x e =-存在单调递减区间，且()y f x =的图象在0x =的节线l 与曲线x y e =牙切，符合情况的切线l （ ）A ．有3条B ．有2条 C.有1条 D ．不存在第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数()3cos 2y x ϕ=+的图象关于点2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，那么ϕ的最小值为 ．14.12,F F 分别为椭圆2213627x y +=的左、右焦点A 为椭圆上一点，且()112OB OA OF =+，()212OC OA OF =+则OB OC += ． 15.过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB 、AC 、AD ，且两两夹角都为60，若球半径为R ，则求弦AB 的长度 ．16.已知动点(),P xy 满足)2401x y x x y ⎧+≤⎪⎪≥⎨⎪≥⎪⎩，则226x y x +-的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足cos 20cos B a bC c c++=. （I ）求C ∠的大小；（II ）求22sin sin A B +的取值范围.18. 某手机卖场对市民进行国产手机认可度的调查，随机抽取100名市民，按年龄（单位：岁）进行统计和频数分布表和频率分布直线图如下：（I）求频率分布表中x、y的值，并补全频率分布直方图；（II）在抽取的这100名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20人参加国产手机用户体验问卷调查，现从这20人中随机选取2人各赠送精美礼品一份，设这2名市民中年龄在[)35,40内的人数X，求X的分布列及数学期望.-中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，19. 如图，在四棱锥P ABCD⊥⊥===.E是PB的中点.AB AD AB CD AB AD CD,,222（I）求证：平面EAC⊥平面PBC；--，求直线PA与平面EAC所成的角的正弦值. （II）若二面角P AC E20. 已知抛物线()2:20C x py p =>，过其焦点作斜率为1的直线l 交抛物线C 于M 、N 两点，且16MN =. （I ）求抛物线C 的方程；（II ）已知动圆P 的圆心在抛物线C 上，且过定点()0,4D ，若动圆P 与x 轴交于A 、B 两点，且DA DB <，求DA DB的最小值.21. 设函数()2x f x x a =-（0a >，且1a ≠），()()'g x f x =，（其中()'f x 为()f x 的导函数）.（I ）当a e =时，求()g x 的极大值点； （II ）讨论()f x 的零点个数.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）.以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是2sin 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭:3OM πθ=与圆C 的交点为O 、P ，直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.23.选修4-5：不等式选讲已知0,0,0a b c >>>，函数()f x x a x b c =+--+的最大值为10. （1）求a b c ++的值； （II ）求()()()22211234a b c -+-+-的最小值，并求出此时,,a b c 的值.试卷答案一、选择题1-5:BCACB 6-10:DDADC 11、12：BD二、填空题13.6π14.6 15.a R = 16.409- 三、解答题17.解（I ）cos 20cos B a bC c c++=，cos 2cos cos 0c B a C b C ∴++=，sin cos sin cos 2sin cos 0C B B C A C ∴++=，sin 2sin cos 0sin 0A A C A ∴+=≠，12cos 23C C π∴=-∴=. （II ）22cos 2cos 21sin sin 11sin 2226A B A B A π+⎛⎫+=-=-+ ⎪⎝⎭，又5023666A A ππππ<<∴<+<， 22113sin 21sin sin ,2624A A B π⎛⎫⎡⎫<+≤+∈ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭. 18.由图知，()25300.0150.05P x ≤<=⨯=，故1000.055x =⨯=；()()303510.050.350.30.110.80.2P x ≤<=-+++=-=故1000.220y =⨯=，0.20.045==率其距频组.（2）各层之间的比为5:20:35:30:101:4:7:6:2=，且共抽取20人，∴年龄在[)35,40内层抽取的人数为7人.X 可取()()21113137622202078910,1,2,0,1190190C C C P X P X C C ======， ()27220212190C P X C ===，故X 的分布列为故12190190190Ex =⨯+⨯=. 19.（I ）PC ⊥平面ABCD ，AC ⊥平面ABCD ，AC PC ∴⊥，2,2,AB AD CD AC BC ===∴==， 222,AC BC AB AC BC ∴+=∴⊥，又,BC PC C AC ⋂=⊥平面PBC ，AC ⊥平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBC .（II ）如图，以C 为原点，DA 、CD 、CP 分别为x 轴、z 轴正向，建立空间直角坐标系，则()()0,0,0,1,1,0,(1,1,0)C A B -. 设()()0,0,0P a a >，则11,,222a E ⎛⎫-⎪⎝⎭， ()()1,1,0,0,0,CA CP a =11,,222a CE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，取()1,1,0m =-，则0,m CA m CP m ⋅=⋅=为面PAC 的法向量.设(),,n x y z =为面EAC 的法向量，则0n CA n CE ⋅=⋅=，即0,0,x y x y az +=⎧⎨-+=⎩取,,2x a y a z ==-=-，则(),,2n a a =--，依题意，cos ,3m n m n m n ⋅===，则1a =. 于是()1,1,2n =--，()1,1,2PA =-. 设直线PA 与平面EAC 所成角为θ， 则2sin cos ,3PA n θ=<=， 20.解：（I ）设抛物线的焦点为0,2P F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则直线:2P l y x =+， 由222P y x x py ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得2220x py p =-=. 12122,3,x x p y y p ∴+=∴+=12416,4MN y y p p p ∴=++==∴=.∴抛物线C 的方程28x y =.（2）设动圆圆心()()()0012:,,,0,,0P x y A x B x ，则2008x y =，且圆()()()22220000:4P x x y y x y -+-=+-，令0y =，整理得：22002160x x x x -+-=，解得：10204,4x x x x =-=+，DADB=== 当00x =时，1DA DB =，当00x ≠时，000320,DA x x DBx =>∴+≥1,211DA DB ≥==-<所以DA DB1.21．（I ）()()2,'20ln 2x x g x x e g x e x =--=⇒=，当ln 2x <时，()'0g x >；当ln 2x >时，()'0g x <，故()g x 的极大值点为ln 2； （2）（I ）先考虑1a >时，()f x 的零点个数，当0x ≤时，()f x 为单减函数，()1110f a-=->；()010f =-<，由零点存在性定理知()f x 有一个零点； 当0x >时，由()0f x =得22ln 2ln ln ln xx x a x x a a x =⇔=⇔=，令()2ln xh x x=，则()()221ln 'x h x x -=. 由()'0h x =得，x e =，当0x e <<时，()'0h x >；当x e >时，()'0h x <， 故()()max 2h x h e e==-，()10h =，且()0h x >总成立，故()h x 的图像如下图， 由数形结合知，②若2ln a e >即2e a e >时，当0x >时，()f x 无零点，故x ∈R 时，()f x 有一个零点；②若2ln a e =即2e a e =时，当0x >时，()f x 有一个零点，故x ∈R 时，()f x 有2个零点；③若20ln a e<=即21e a e <<，当0x >时，()f x 有2个零点，故x ∈R 时，()f x 有3个零点.（II ）再考虑01a <<的情形，若01a <<，则11a>，同上可知，当21ee a >即20e a e <<时，()f x 有一个零点； 当21e e a =即2e a e =时，()f x 有2个零点； 当211ee a<=即21e e a <<时，()f x 有3个零点.综合上述，①当2ea e >或20ea e <<时，()f x 有一个零点； ②当2ea e =或2ea e =时，()f x 有2个零点； ③当21ea e <=或21ee a <<时，()f x 有3个零点. 22.（1）2cos ρθ=；（2）线段PQ 的长为2. [解析]试题分析：（1）由圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），化简普通方程为()2211x y -+=，利用cos ,sin x y ρθρθ==，即得圆C 的极坐标方程；（2）求线段PQ 的长，由于,,O P Q 三点共线，故PQ OP OQ =-，可设()()2112,,,P Qρθρθ，则12PQ ρρ=-，关健是求出12,ρρ的值，由1112cos 3ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩可求得1ρ的值，由2222sin 33πρθπθ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩可求得2ρ的值，从而可解.试题解析：（1）圆C 的普通方程为()2211x y -+=，又c o s ,s i n x y ρθρθ==，所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=；（2）设()11,ρθ为点P 的极坐标，则有1112cos 3ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1113ρπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，设()21,ρθ为点Q 的极坐标，2222sin 33πρθπθ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩，解得2233ρπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，由于12θθ=，所以，所以线段PQ 的长为2. 考点：参数方程，普通方程，与极坐标方程互化，极坐标方程的应用.23.解：（1）()()Qf x x a x b c b a c c b a c =+--+≤--+=+=++，当且仅当x b ≥时等号成立，又()0,0,,a b a b a b f x >>∴+=+∴的最大值为a b c ++，又已知()f x 的最大值为10，所以10a b c ++=.（2）由（1）知10a b c ++=，由柯西不等式得()()()()()()222222211232112213161622a a b c b c a b c ⎡⎤-⎡-⎤⎛⎫⎛⎫+-+-++≥⋅+-⋅+-⋅=++-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦，即()()()2221812343a b c -+-+-≥， 当且仅当123411a b c ---==即11811,,333a b c ===时等号成立.。
甘肃省肃南县第一中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学(理)试题Word版含答案
甘肃省肃南县第一中学2017年下学期期中考试高二数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知2213i z m m m =-+，()2456i z m =++，其中m 为实数，i 为虚数单位，若120z z -=，则m 的值为（ ）A ．4B ．1-C ．6D ．02．已知复数z 满足()31212i z i +=+（i 为虚数单位），则z 共轭复数z 等于（ ） A ．3455i + B ．3455i -+ C ．3455i - D ．3455i --3．若椭圆22221x y a b +=（0a b >>22221y x a b-=的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．12y x =±C ．4y x =±D ．14y x =± 4．已知函数()sin 23f x x xf π⎛⎫'=+⎪⎝⎭，则3f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ ）A ．12-B ．0C ．12D 5．3204x dx -=⎰（ ）A ．213 B ．223 C ．233 D ．2536．在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，分别为11A B ，1BB 的中点，则异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为（ ）A ．2 B ．10 C ．25 D ．357．已知命题p ：“[]1,2x ∀∈，20x a -≥”，命题q ：“x R ∃∈，2220x ax a ++-=”，若命题“p q ∧”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]{},21-∞-UB ．(][],21,2-∞-UC ．[)1,+∞D ．[]2,1- 8．若函数()312f x x x =-在区间()1,1k k -+上不是单调函数，则实数k 的取值范围（ ）A ．3k ≤-或11k -≤≤或3k ≥B ．31k -<<-或13k <<C ．22k -<<D ．不存在这样的实数k9．如图，长方形的四个顶点为()0,0O ，()4,0A ，()4,2B ，()0,2C，曲线y =过点B .现将一质点随机投入长方形OABC 中，则质点落在图中阴影区域的概率是（ ）A ．512 B ．12 C ．34 D ．2310．点P 是双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点，1F 、2F 分别为双曲线左右焦点，且123PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）A．2 C．．211．已知函数()()()1114ln 1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，则方程()f x ax =恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是（ ）（注：e 为自然对数的底数）A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．1,e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭12．已知函数()y f x =对任意的,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭满足()()cos sin 0f x x f x x +>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（ ） A34f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B34f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()023f f π⎛⎫>⎪⎝⎭ D ．()04f π⎛⎫> ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．)111dx -=⎰ ．14．已知函数()e xf x ax =-在()3,+∞单调递增，则实数a 的取值范围是 ． 15．若复数12z a i =+（a R ∈），234z i =-，且12z z 为纯虚数，则1z = ． 16．已知()33f x x x m =-+，若在区间[]0,2上任取三个数a 、b 、c ，均存在以()f a 、()f b 、()f c 为边长的三角形，则实数m 的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知函数()()23xf x ex=-.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2）求函数()y f x =的极值.18．如图所示，平面ABCD ⊥平面BCEF ，且四边形ABCD 为矩形，四边形BCEF 为直角梯形，BF CE ∥，BC CE ⊥，4DC CE ==，2BC BF ==. （Ⅰ）求证：AF ∥平面CDE ；（Ⅱ）求直线BE 与平面ADE 所成角的余弦值.19．已知抛物线C ：22y px =（0p >）上的一点M 的横坐标为3，焦点为F ，且4MF =.直线l ：24y x =-与抛物线C 交于A ，B 两点. （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若P 是x 轴上一点，且PAB V 的面积等于9，求点P 的坐标.20．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是矩形，且22AD CD ==，12AA =，13A AD π∠=，若O 为AD 的中点，且1CD A O ⊥.（Ⅰ）求证：1A O ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）线段BC 上是否存在一点P ，使得二面角1D A A P --的大小为3π？若存在，求出BP 的长；若不存在，说明理由.21．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为2，左焦点为()1,0F -，过点()0,2D 且斜率为k 的直线l 交椭圆于A ，B 两点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）在y 轴上，是否存在定点E ，使AE BE ⋅u u u r u u r恒为定值？若存在，求出E 点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由.22．已知函数()2ln f x x mx =-，()212g x mx x =+，R m ∈令()()()F x f x g x =+. （Ⅰ）当12m =时，求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若关于x 的不等式()1F x mx ≤-恒成立，求整数m 的最小值.高二（理科）数学参考答案及评分标准一、选择题1-5:BDBAC 6-10:CABDB 11、12：CA二、填空题13．22π- 14．(3,e ⎤-∞⎦ 15．10316．()6,+∞ 三、解答题17．解：（1）由题()()223x f x e x x '=+-()()31x e x x =+-， 故()03f '=-，又()03f =-，故曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为33y x +=-，即330x y ++=； （2）由()0f x '=可得1x =或3x =-， 如下表所示，得()()336f x f e -=-=极大， ()()12f x f e ==-极小.18．解：（Ⅰ）取CE 中点为G ，连接DG 、FG ，BF CG ∥Q 且BF CG =，∴四边形BFGC 为平行四边形，则BC FG ∥且BC FG =. Q 四边形ABCD 为矩形，BC AD ∴∥且BC AD =，FG AD ∴∥且FG AD =，Q 四边形AFGD 为平行四边形，则AF DG ∥.DG ⊂Q 平面CDE ，AF ⊄平面CDE ，AF ∴∥平面CDE .（Ⅱ）设平面ADE 的一个法向量为()1111,,n x y z =u r ，()2,0,0AD =-uuu r Q ，()0,4,4DE =-uu u r，则110,AD n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅⎪⎩uuu r u r uuur u r 11120440x y z -=⎧∴⎨-=⎩，取11z =，得()10,1,1n =u r . ()2,4,0BE =-uur，设直线BE 与平面ADE 所成角为θ，则111sin cos ,BE n BE n BE n θ⋅==uur u r uur u r uur ur 5==.所以cos 5θ==所以BE 与平面ADE19．解：（Ⅰ）依题意得342p+=，所以2p = 所以抛物线方程为C ：24y x =（Ⅱ）联立方程2244y x y x =-⎧⎨=⎩，设()11,A x y ，()22,B x y ，消去x 得2280y y --= 从而121228y y y y +=⎧⎨=-⎩有弦长公式得AB ==设(),0P a ，P 到直线AB 的距离为d ，则d ==，又12ABP S AB d =⋅V ，则2ABP S d AB ⋅=V ，=23a ⇒-=5a ⇒=或1a =-， 故点P 的坐标为()5,0和()1,0-. 20．（Ⅰ）证明：13A AD π∠=Q ，且12AA AD ==，1A AD ∴V 为等边三角形O Q 为AD 的中点 1AO AD ∴⊥， 又1CD A O ⊥，且CD AD D =I ，1A O ∴⊥平面ABCD .（Ⅱ）解：过O 作Ox AB ∥，以O 为原点，建立空间直角坐标系O xyz -（如图） 则()0,1,0A -，(1A ， 设()1,,0P m （[]1,1m ∈-），平面1A AP 的法向量为()1,,n x y z =u r，(1AA =uuu r Q ，()1,1,0AP m =+uu u r，且()111010n AA y n AP x m y ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩u r uuu r u r uu u r ， 取1z =，得))11,n m =+u r平面11A ADD 的一个法向量为()21,0,0n =u u r由题意得121cos ,2n n ==u r u u r解得13m =-或53m =-（舍去）， ∴当BP 的长为23时，二面角1D A A P --的值为3π21．解：（1）由已知可得21c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得22a =，21b =所求的椭圆方程为2212x y +=. （2）设点()0,2D 且斜率为k 的直线l 的方程为2y kx =+.由22122x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()22128k x kx ++60+=. 则()22642412k k ∆=-+216240k =->解得：2k <-或2k > 设()11,A x y ，()22,B x y ，则122812k x x k +=-+，122612x x k =+ 又()()121222y y kx kx =++()212122k x x k x x =++2224421k k -+=-+，()1212y y kx +=+()()2122kx k x x ++=+24421k +=+.设存在点()0,E m ，则()11,AE x m y =--uu u r ，()22,BE x m y =--uu r，所以12AE BE x x ⋅=uu u r uu r ()21212m m y y y y +-++22621m m k =+-+2224242121k k k -⋅-++ ()22222241021mk m m k -+-+=+，要使得AE BE t ⋅=uu u r uur （t 为常数），只要()22222241021m k m m t k -+-+=+， 从而()22222m t k --+24100m m t -+-=， 即()()222220,14100,2m t m m t ⎧--=⎪⎨-+-=⎪⎩由（1）得21t m =-， 代入（2）解得114m =，从而10516t =，故存在定点110,4E ⎛⎫⎪⎝⎭，使AE BE ⋅uu u r uur 恒为定值10516.22．解：（1）()21ln 2f x x x =-，0x >，()1f x x x'=-=21x x -，（0x >），由()0f x '>得210x ->又0x >，所以01x <<，所以()f x 的单增区间为()0,1.（2）令()()()1G x F x mx =--()21ln 112x mx m x =-+-+. 所以()()11G x mx m x'=-+-()211mx m x x -+-+=.当0m ≤时，因为0x >，所以()0G x '>所以()G x 在()0,+∞上是递增函数， 又因为()31202G m =-+>. 所以关于x 的不等式()1G x mx ≤-不能恒成立，当0m >时，()()11m x x m G x x⎛⎫-+ ⎪⎝⎭'=-. 令()0G x '=得1x m =，所以当10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0G x '>；当1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0G x '<.因此函数()G x 在10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭是增函数，在1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭是减函数.故函数()G x 的最大值为11ln 2G m m m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 令()1ln 2h m m m =-，因为()1102h =>，()12ln 204h =-<. 又因为()h m 在()0,m ∈+∞上是减函数，所以当2m ≥时，()0h m <. 所以整数m 的最小值为2.。
【全国百强校word】甘肃省肃南县第一中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学(理)试题
绝密★启用前【全国百强校word 】甘肃省肃南县第一中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学（理）试题试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：66分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、已知命题，命题.若命题且是真命题，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．2、点是双曲线与圆在第一象限的交点，分别为双曲线左右焦点，且，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．3、如图，长方形的四个顶点为，曲线经过点，现将一质点随机投入长方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．4、若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围（ ） A ．或或B ．或C ．D ．不存在这样的实数5、在正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．6、（ ）A ．B ．C ．D ．7、已知函数，则（ ）A ．B ．0C ．D ．8、若椭圆（）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．9、已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为（ ）A ．4B ．C ．6D ．010、已知函数，则方程恰有两个不同的实根时，实数的取值范围是（ ）（注：为自然对数的底数）A ．B ．C ．D ．11、已知函数对任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．12、已知复数满足（为虚数单位），则共轭复数等于（ ）A． B． C． D．第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、如图，四棱柱中，底面是矩形，且，，，若为的中点，且．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．14、如图所示，平面平面，且四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的余弦值；15、若复数（），，且为纯虚数，则__________．16、__________．17、已知函数在单调递增，则实数的取值范围是__________．18、已知，若在区间上任取三个数、、，均存在以、、为边长的三角形，则实数的取值范围为__________．三、解答题（题型注释）19、已知抛物线：（）上的一点的横坐标为3，焦点为，且.直线：与抛物线交于，两点.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）若是轴上一点，且的面积等于9，求点的坐标.20、已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的极值.21、已知函数，，令.（Ⅰ）当时，求函数的单调递增区间；（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.22、已知椭圆C：的离心率为，左焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆于A，B两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）在y轴上，是否存在定点E，使恒为定值？若存在，求出E点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由．参考答案1、A2、B3、D4、B5、C6、C7、A8、B9、B10、C11、A12、D13、（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析．14、（1）证明见解析；（2）．15、16、17、18、19、（1）；（2）坐标为或．20、（1）；（2），.21、（1）；（2）.22、（1）；（2）存在，理由见解析．【解析】1、试题分析：由题意得，命题为真命题时，及恒成立，所以；命题为真命题，则，解得或，所以若命题“”是真命题，实数的取值范围是，故选A．考点：复合命题的真假判定与应用．2、试题分析：依据双曲线的定义：，又，所以，,因为圆的半径，所以是圆的直径,所以,在直角三角形中,由解得．考点：1.双曲线离心率；2.圆的几何性质．【方法点睛】在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出和的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特征，建立关于参数的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．较多时候利用解题．解圆锥曲线的题目,要将题目叙述的图形正确的画出来,然后考虑圆锥曲线的定义和图形的集合性质来解题.3、试题分析：因为阴影部分面积为,故概率为．考点：1.定积分；2.几何概型．4、试题分析：，令，则，由题意或，解得或．故选B．考点：导数与单调性．5、试题分析：由题意可得又考点：异面直线所成角6、试题分析：画出函数图象如下图所示,可知．考点：定积分的几何意义．7、试题分析：考点：函数求导数8、试题分析：由题意可得，双曲线的渐近线方程为考点：椭圆双曲线性质9、试题分析：由题意可得考点：复数相等10、作出函数f(x)的图象如图，当y=ax对应的直线和直线平行时，满足两个和尚图象有两个不同的交点，当直线和函数f(x)相切时，当x>1时，函数,设切点为(m,n)，则切线斜率，则对应的切线方程为,即，∵直线切线方程为y=ax，,解得，即此时,此时直线y=ax与f(x)只有一个交点，不满足条件，若方程f(x)=ax恰有两个不同的实根时，则满足.实数的取值范围是 .本题选择C选项.11、构造函数，则，∵对任意的满足f′(x)cosx+f(x)sinx>0，∴g′(x)>0,即函数g(x)在单调递增，则,即，整理可得：，故A正确。
2016-2017学年甘肃省张掖市肃南一中高二(下)期末数学试卷及答案(理科)
2016-2017学年甘肃省张掖市肃南一中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）在极坐标系中，P，Q是曲线C：ρ＝4sinθ上任意两点，则线段PQ长度的最大值为（）A．4B．2C．6D．82．（5分）设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若P（ξ＜2a﹣3）＝P（ξ＞a+2），则a＝（）A．3B．C．5D．3．（5分）育才中学高二四班要从4名男生，2名女生中选派4人参加志愿者活动，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方法种数共有（）A．8B．14C．16D．184．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8B．0.75C．0.6D．0.455．（5分）若不等式|2a﹣1|≤|x+|对一切非零实数x恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，2]B．[1，2]C．[﹣，]D．[0，]6．（5分）已知直线l：x﹣y+4＝0与圆C：，则C上各点到l的距离的最小值为（）A．2﹣2B．2C．2D．2+27．（5分）某商场为了了解毛衣的月销售量y（件）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如表：由表中数据算出线性回归方程＝bx+a中的b＝﹣2，气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（）件．A．46B．40C．38D．588．（5分）小王在练习电脑编程．其中有一道程序题的要求如下：它由．A，B，C，D，E，F六个子程序构成，且程序B必须在程序A之后，程序C必须在程序B之后，执行程序C后须立即执行程序D．按此要求，小王有多少不同的编程方法（）A．20种B．12种C．30种D．90种9．（5分）在极坐标系中，直线ρsin（θ﹣）＝与圆ρ＝2cosθ的位置关系是（）A．相交B．相离C．内切D．外切10．（5分）从数字0，1，2，3，…，9中，按由小到大的顺序取出a1，a2，a3，且a2﹣a1≥2，a3﹣a2≥2，则不同的取法有（）A．20种B．35种C．56种D．60种11．（5分）设a＝∫sin xdx，则二项式（ax﹣）8的展开式中x2项的系数是（）A．﹣1120B．1120C．﹣1792D．179212．（5分）从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取两张，将其中一张放到验钞机上检验发现是假钞，则两张都是假钞的概率是（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）从的展开式中任选一项，则字母x的幂指数为整数的概率为．14．（5分）在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是（a是参数），现以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为．15．（5分）关于x的不等式|a﹣2x|＞x﹣2在[0，2]上恒成立，则a的取值范围是．16．（5分）已知实数x，y满足，则z＝的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）解下列关于x的不等式：56x2+ax﹣a2＜0．18．（10分）已知⊙O1与⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cosθ，ρ＝﹣4sinθ．（1）写出⊙O1和⊙O2的圆心的极坐标；（2）求经过⊙O1和⊙O2交点的直线的极坐标方程．19．（10分）设函数f（x）＝|x+a|﹣|x﹣a|．（Ⅰ）当a＝2时，解不等式f（x）≥2；（Ⅱ）若y＞0，证明：f（x）≤a2y+．20．（10分）海州市六一儿童节期间在妇女儿童活动中心举行小学生“海州杯”围棋比赛，规则如下：甲、乙两名选手比赛时，每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或赛满6局时比赛结束．设某校选手甲与另一选手乙比赛时，甲每局获胜的概率皆为p（p＞），且各局比赛胜负互不影响，已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为．（1）求p的值；（2）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．21．（15分）已知函数f（x）＝|x+1|，g（x）＝2|x|+a．（Ⅰ）当a＝0时，解不等式f（x）≥g（x）；（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≥g（x）成立，求实数a的取值范围．22．（15分）海曲市某中学的一个社会实践调查小组，在对中学生的良好“光盘习惯”的调查中，随机发放了120份问卷，对回收的100份有效问卷进行统计，得到如下2×2列联表：（Ⅰ）现已按是否能做到光盘分层从45份女生问卷中抽取了9份问卷，若从这9份问卷中随机抽取4份，并记录其中能做到光盘的问卷的份数为ξ，试求随机变量ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）如果认为良好“光盘行动”与性别有关犯错误的概率不超过P，那么根据临界值表最精确的P的值应为多少？请说明理由．附：独立性检验统计量．独立性检验临界值表：2016-2017学年甘肃省张掖市肃南一中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【解答】解：曲线ρ＝4sinθ，化为ρ2＝4ρsinθ，∴直角坐标方程为：x2+y2＝4y，配方为x2+（y﹣2）2＝4，其直径为4，∴线段PQ长度的最大值为4，故选：A．【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程的方法、圆的直径，属于基础题．2．【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（3，4），∵P（ξ＜2a﹣3）＝P（ξ＞a+2），∴2a﹣3与a+2关于x＝3对称，∴2a﹣3+a+2＝6，∴3a＝7，∴a＝，故选：D．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题主要考查曲线关于x ＝3对称，考查关于直线对称的点的特点，本题是一个基础题．3．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、从6人中任取4人，有C62＝15种选法，②、其中没有女生，即全部为男生的取法有1种，则至少有1名女生的选派方法有15﹣1＝14种，故选：B．【点评】本题考查计数原理的应用，对于“至少”“至多”一类的问题，可以用间接法分析．4．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p＝0.6，解得p＝0.8，故选：A．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题．5．【考点】R4：绝对值三角不等式．【解答】解：∵|x+|＝|x|+||≥2，不等式|2a﹣1|≤|x+|对一切非零实数x恒成立，∴|2a﹣1|≤2，即﹣2≤2a﹣1≤2，∴﹣≤a≤，故选：C．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，函数的恒成立问题，求函数的最值，属于基础题．6．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【解答】解：圆C：，可得：，，∴圆的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，半径r＝2，圆心为（1，1）．圆心到直线的距离d＝．∴C上各点到l的距离的最小值为．故选：A．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，参数方程与普通方程的互化．圆心到直线的距离的运用．属于基础题．7．【考点】BK：线性回归方程．【解答】解：由表格得（，）为：（10，38），又（，）在回归方程＝bx+a中的b＝﹣2，∴38＝10×（﹣2）+a，解得：a＝58，∴＝﹣2x+58，当x＝6时，＝﹣2×6+58＝46．故选：A．【点评】本题考查线性回归方程，考查最小二乘法的应用，考查利用线性回归方程预报变量的值，属于中档题．8．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，将A，B，CD按照此顺序排列以后，形成4个空位，∴E有C41种排法，最后安排F，有C51种排法，根据分步计数原理知共有C41C51＝20种结果故选：A．【点评】本题考查排列组合及简单的计数问题，注意本题的题意比较特殊，需要认真读题，在正确理解题意的基础上解答．9．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【解答】解：由直线ρsin（θ﹣）＝得，x﹣y+1＝0，由圆ρ＝2cosθ得x2+y2＝2x，∴（x﹣1）2+y2＝1，它的圆心为（1，0），半径r＝1，∵圆心到直线的距离d＝＝＞r＝1，∴直线与圆相离．故选：B．【点评】本题重点考查了直线和圆的极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的位置关系判断等知识，属于中档题，解题关键是准确理解互化公式及其灵活运用．10．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【解答】解：令，则，问题等价于从数字0，1，2，3，…，7中，按由小到大的顺序取出的取法数，故种．故选：C．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于中档题．11．【考点】67：定积分、微积分基本定理；DA：二项式定理．【解答】解：由题意a＝sin xdx＝（﹣cos x），∴二项式为（2x﹣）8，设展开式中第r项为T r+1，所以T r+1＝＝（﹣1）r•28﹣r，令，解得r＝4．代入得展开式中x2项的系数为：＝1120．故选：B．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．12．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【解答】解：设事件A表示“抽到的两张都是假钞”，事件B表示“抽到的两张至少有一张假钞”，则所求的概率即P（A|B）．又，，结合条件概率公式可得：．故选：C．【点评】本题考查了条件概率公式，古典概型的计算等，属于基础题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【解答】解：若字母x的幂指数为整数，只需﹣的指数是偶数即可，而二项式的展开式是6项，其中﹣的指数是0，2，4时满足条件，故满足条件的概率是＝，故答案为：．【点评】本题考查了二项式问题，考查概率问题，解决二项展开式的特定项问题常用的方法是利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项．14．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【解答】解：曲线C的参数方程是，即，①2+②2，消去α得曲线C的直角坐标方程是（x﹣2）2+y2＝4，因为x2+y2＝ρ2，x＝ρcosθ，所以曲线C的极坐标方程为：ρ2﹣4ρcosθ＝0，即ρ＝4cosθ，故答案为：ρ＝4cosθ．【点评】本题考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程间的转化，考查计算能力，是一道基础题．15．【考点】R4：绝对值三角不等式．【解答】解：关于x的不等式|a﹣2x|＞x﹣2在[0，2]上恒成立，由于x﹣2在[0，2]小于或等于0，故应有|a﹣2x|恒正，∴2x≠a，即x≠，∴＜0，或＞2，∴a＜0，或a＞4，则a的取值范围为（﹣∞，0）∪（4，+∞），故答案为：（﹣∞，0）∪（4，+∞）．【点评】本题考查了解绝对值不等式的解法，得到＜0，或＞2，是解题的难点和关键．16．【考点】7C：简单线性规划．【解答】解：作出可行域，如图．z＝＝+﹣1当把z'看作常数时，它表示直线y＝z'x的斜率，因此，当直线y＝z'x过点A时，z最大；当直线y＝z'x过点B时，z最小．由y＝2，x+2y﹣5＝0，得A（1，2）．由x+2y﹣5＝0，，x﹣y﹣2＝0，得B（3，1）．∴z'max＝2，z min＝．故z'的取值范围是[，2]．∴z＝＝+﹣1的取值范围为[1，]故答案为：[1，]【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【考点】73：一元二次不等式及其应用．【解答】解：由56x2+ax﹣a2＝0，解得或．①当a＞0时，原不等式的解集为{x|}；②当a＝0时，原不等式的解集为∅；③当a＜0时，原不等式的解集为{x|}．【点评】熟练掌握一元二次不等式的解集与其相应的一元二次方程的根的关系是解题的关键．18．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【解答】解：（1）∵⊙O1与⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cosθ，ρ＝﹣4sinθ，即x2+y2＝4x，x2+y2＝﹣4y，圆心分别为（2，0）、（0，﹣2），故⊙O1和⊙O2的圆心的极坐标分别为．（2）以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，在直角坐标系下⊙O1与⊙O2的方程分别为x2+y2﹣4x＝0，x2+y2+4y＝0，相减可得y＝﹣x则经过⊙O1和⊙O2交点的直线的方程为y＝﹣x，其极坐标方程为（ρ∈R）．【点评】本题考查极坐标方程与普通方程的互化，求两曲线的交点的方法．19．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【解答】（Ⅰ）解：由已知可得：f（x）＝，由x≥2时，4＞2成立；﹣2＜x＜2时，2x≥2，即有x≥1，则为1≤x＜2．所以，f（x）≥2的解集为{x|x≥1}；（Ⅱ）∵f（x）＝|x+a|﹣|x﹣a|≤|（x+a）﹣（x﹣a）|＝2|a|，由于y＞0，则a2y+≥2＝2|a|，∴f（x））≤a2y+．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立，注意转化为函数的最值，考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．20．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【解答】解：（1）依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束，∴p2+（1﹣p）2＝，解得p＝或p＝．∵p＞，∴p＝．（2）依题意知ξ的所有可能值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为，若该轮结束时比赛还将继续的概率为1﹣＝，∴P（ξ＝2）＝，P（ξ＝4）＝•＝，P（ξ＝6）＝•1＝．∴随机变量ξ的分布列为：则Eξ＝2×+4×+6×═．【点评】本题考查了相互独立事件的概率计算，离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题．21．【考点】&2：带绝对值的函数；3H：函数的最值及其几何意义；3R：函数恒成立问题．【解答】解：（Ⅰ）当a＝0时，不等式即|x+1|≥2|x|，平方可得x2+2x+1≥4x2，解得﹣≤x≤1，故不等式的解集为[﹣，1]．（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≥g（x）成立，即|x+1|﹣2|x|≥a．设h（x）＝|x+1|﹣2|x|＝．故当x≥0时，h（x）≤1．当﹣1≤x＜0时，﹣2≤h（x）＜1．当x＜﹣1时，h（x）＜﹣2．综上可得h（x）的最大值为1．由题意可得1≥a，故实数a的取值范围为（﹣∞，1]．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，求函数的最小值，函数的恒成立问题，属于中档题．22．【考点】BL：独立性检验；CH：离散型随机变量的期望与方差．【解答】解：（Ⅰ）按是否能做到光盘分层从45份女生问卷中抽取了9份问卷，则抽取到做不到光盘的人数为：30×＝6人，能做到光盘的人数为：15×＝3人，由题意ξ的可能取值为0，1，2，3．P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝，ξ的分布列为：∴Eξ＝＝．（Ⅱ）X2＝＝，∵2.706＜3.03＜3.841，∴能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为良好“光盘行动”与性别有关，即精确值应为0.10．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查独立检验的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．。
2016-2017学年甘肃省肃南县第一中学高一下学期期末考试数学试题(解析版)
甘肃省肃南县第一中学2016-2017学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题1．已知集合(){,|240}A x y x y =+-=，集合(){,|0}B x y x ==，则A B ⋂=（ ） A. {}0,2 B. (){}0,2 C. ()0,2 D. φ【答案】B【解析】由00{ { 2402x x x y y ==⇒+-==，则(){}0,2A B ⋂=，应选答案B 。
2．cos 6π⎛⎫-⎪⎝⎭的值是（ ）A.B. C. 12 D. 12-【答案】A【解析】试题分析：根据诱导公式.故选A考点：三角函数值的计算3．与直线:3450l x y -+=平行且过点()1,2-的直线方程为（ ） A. 43100x y -+= B. 43110x y --= C. 34110x y --= D. 34110x y -+= 【答案】D【解析】试题分析：设平行线的方程为，由直线过点（-1,2）得，解得c=11，所以直线的方程为，答案选D ．考点：两直线平行的应用4．已知向量()2,4a =与向量()4,b y =- 垂直，则y =（ ）A. -2B. -1C. 1D. 2 【答案】D【解析】由题意()24402y y ⨯-+=⇒=，应选答案D 。
5．已知向量()3,4a = ， ()sin ,cos b αα= ，且//a b，则tan α=（ ）A.34 B. 34- C. 43 D. 43- 【答案】A【解析】试题分析：由//a b ，所以33cos 4sin tan 4ααα=⇒=，故选A.考点：共线向量的坐标运算. 6．下列四个函数中，既是0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是（ ）A. tan y x =B. sin y x =C. cos y x =D. cos y x = 【答案】B【解析】以π为周期的函数有tan y x =、 sin y x = 、 cos y x =，是偶函数的有sin y x = 、 cos y x =，在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数的只有sin y x =，应选答案B 。
甘肃省肃南裕固族自治县第一中学2017届高三10月月考理数试题含解析
甘肃省肃南县第一中学2016年10月考试高三数学（理）试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.【题文】已知集合{}(){}2|2,0,|lg 2xM y y x N x y x x ==>==-，则M N =（）A ．()1,2B ．()1,+∞C ．()2,+∞D ．[)1,+∞ 【答案】A 【解析】试题分析：}1}{>=y y M ，}20|{}02|{2<<=>-=x x x x x N ，则M N =()1,2． 考点：集合运算． 【结束】2.【题文】已知集合{}1,A i =-，i 为虚数单位，则下列选项正确的是（） A ．A i ∈1B ．A ii∈+-11C ．A i ∈5D ．i A -∈ 【答案】C 【解析】试题分析：由已知A i i ∈=5.考点：复数运算． 【结束】3.【题文】若2,1a b == ，且a 与b 的夹角为60°，当a xb -取得最小值时，实数x 的值为（）A ．1B ．-1C ．2D ．-2 【答案】A 【解析】试题分析：3)1(4224)(2222+-=+-=+⋅-=-x x x x x x ，可知当1=x 时，||x -取得最小值.考点：向量数量积． 【结束】4.【题文】直线sin 20x y α++=的倾斜角的到值范围是（） A ．[)0,πB ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ C ．0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．0,,42πππ⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭【答案】B 【解析】试题分析：由题得直线斜率为αsin -=k ，由]1,1[sin -∈α，得]1,1[-∈k ，可由正切曲线知直线倾斜角的取值范围是30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭. 考点：直线倾斜角． 【结束】5.【题文】一个几何体按比例绘制的三视图如右图所示（单位：m ），则该几何体的体积为（）A ．373m B ．392m C ．372m D ．394m 【答案】C 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为三个小正方体及一个三棱柱（半个正方体）组成，故体积为327213m =+. 考点：三视图．【方法点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整. 【结束】6.【题文】在三棱锥A BCD -中，侧棱AB 、AC 、AD 两两垂直，ABC ∆、ACD ∆、ADB ∆的面积分别为2A BCD -的外接球的体积为（）A B ．C ．D ． 【答案】A 【解析】试题分析：由已知三棱锥A BCD -的外接球是长为3，宽为2，高为1的长方体的外接球，由长方体对角线长为6，得外接球半径为26，故所求球体体积为π6. 考点：三棱锥外接球． 【结束】7.【题文】执行右图所示的程序框图（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），则输出的S 值为（）A ．7B ．6C ．5D ．4 【答案】A 【解析】试题分析：1,0==n S ；2,1==n S ；3,2==n S ；4,3==n S ；5,5==n S ；7=S ，此时45>=n ，输出S . 考点：程序框图．【方法点睛】本题主要考查程序框图的条件结构流程图，属于容易题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：（1）不要混淆处理框和输入框；（2）注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；（3）注意区分当型循环结构和直到型循环结构；（4）处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；（5）要注意各个框的顺序. 【结束】8.【题文】已知函数()()()()21,01,0xx f x f x x -⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，若方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为（）A ．(],0-∞B ．[)0,1C ．(),1-∞D ．[)0,+∞ 【答案】C 【解析】试题分析：函数()()()()21,01,0x x f x f x x -⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩的图象如图所示，当1<a 时，函数)(x f 的图象与函数a x y +=的图象有两个交点，即方程()f x x a =+有且只有两个不相等实数根，故a 的取值范围为(),1-∞.考点：分段函数的应用．【思路点睛】本题主要考查函数与方程的综合运用，分段函数解析式求法及其图象的作法.由题知)(x f 为分段函数，当0>x 时，由)1()(-=x f x f 可知当1>x 时，0)(=x f ，当10<<x 时函数为减函数，当0≤x 时，函数为减函数，而方程a x x f +=)(有且只有两个不相等实根即函数)(x f 的图象与函数a x y +=的图象有两个交点，在同一坐标系中画出)(x f 的图象与函数a x y +=的图象，利用数形结合，易求满足条件实数a 的取值范围.【结束】9.【题文】如图，,A F 分别是双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的左顶点、右顶点，过F 的直线l 与C 的一条渐近线垂直且与另一条渐近线和y 轴分别交于,P Q 两点，若AP AQ ⊥，则C 的离心率是（）AD【答案】D 【解析】试题分析：设直线l ：b ac x b a y +-=，联立x a by -=，得),(22222ab abc b a c a P --，将0=x 代入直线l ，得),0(bacQ ，∵AQ AP ⊥，∴由1-=⋅AQ AP k k ，可得222c a ac b -=--，代入222a c b -=，得02222=--ac a c ，同除以2a 得0222=--e e ，∴4171+=e 或4171-=e （舍去）. 考点：直线与圆锥曲线的位置关系． 【结束】10.【题文】设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若65911a a =，则119SS =（） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．12【答案】A 【解析】试题分析：由等差数列性质可知65911a a =即为11911991191191191111=⨯==++S S S S a a a a ，可得119S S =1.考点：等差数列的性质． 【结束】11.【题文】在直角三角形ABC 中，090,2ACB AC BC ∠===，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP CB CP CA + =（）A ．0B ．94C ．94- D ．4 【答案】D 【解析】试题分析：如图，∵1==BC AC ，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，∴)34,32(),2,0(),0,2(P B A 或)32,34(P ，则4)2,2()34,32()(=⋅=+⋅=⋅+⋅或4)2,2()32,34(=⋅=.考点：向量运算． 【结束】12.【题文】记实数12,,n x x x 中的最大数为{}12max ,n x x x ，最小值为{}12min ,n x x x ．已知ABC ∆的三边边长为(),,a b c a b c ≤≤，定义它的倾斜度为max ,,min ,,a b c a b c l b c a b c a ⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则“1l =”是“ABC ∆为等边三角形”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：若ABC ∆为等腰三角形，如3,2,2===c b a ，此时1l =，但此时ABC ∆不为等边三角形；当ABC ∆为等边三角形时，则1l =，故选B. 考点：充分必要性． 【结束】第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．） 13.【题文】已知3,,sin 25παπα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，则tan α=__________．【答案】34- 【解析】试题分析：由已知，54cos -=α，则43tan -=α. 考点：同角关系式． 【结束】14.【题文】已知a b >，且1ab =，则22a b a b+-的最小值是___________．【答案】 【解析】试题分析：22a b a b+-2222)(2≥-+-=-+-=b a b a b a ab b a ，当且仅当b a b a -=-2时取得等号.考点：基本不等式．【方法点睛】本题主要考查基本不等式，属于容易题.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.若使用基本不等式时，等号取不到，可以通过导数，利用单调性求最值. 【结束】15.【题文】若等比数列{}n a 的第5项是二项式613x ⎫⎪⎭展开式的常数项，则37a a =__________． 【答案】259【解析】试题分析：二项式613x ⎫⎪⎭展开式的常数项为35)31(226=-⋅C ，即355=a ，所以37a a =92525=a . 考点：二项式定理． 【结束】16.【题文】已知函数()ln 2xf x x =+，若()242f x -<，则实数x 的取值范围____________．【答案】()(2- 【解析】试题分析：由已知，函数)(x f 在),0(+∞单调递增，且2)1(=f ，故()242f x -<即为)1()4(2f x f <-，则1402<-<x ，解得∈x ()(2- .考点：函数的性质．【方法点睛】函数单调性的常见的命题角度有：1、求函数的值域或最值；2、比较两个函数值或两个自变量的大小；3、解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为))(())((x h f x g f >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式（组），此时要注意)(x g 与)(x h 的取值应在外层函数的定义域内；4、求参数的取值范围或值. 【结束】三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.【题文】（本小题满分12分）设函数()22cos cos f x x x x m =++ ．其中,m x R ∈． （1）求()f x 的最小正周期； （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求实数m 的值，使函数()f x 的值域恰为17,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，并求此时()f x 在R 上的对称中心．【答案】（1）T π=；（2）对称中心为3,2122k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，Z k ∈∈. 【解析】试题分析：（1）化简函数关系式m x x f +++=1)62sin(2)(π，则最小正周期T π=；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，)(x f 值域为]3,[m m +，可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=27321m m 满足题意，由ππk x =+62，解得函数)(x f 对称中心为3,2122k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，Z k ∈∈． 试题解析：（1）最小正周期T π=； （2）12m =，对称中心为3,2122k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 考点：三角函数图象的性质． 【结束】18.【题文】（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，02,3,90PA PB AB BC ABC ====∠=，平面PAB ⊥平面,ABC D 、E 分别为AB 、AC 中点．（1）求证：//DE 平面PBC ； （2）求证：AB PE ⊥；（3）求二面角A PB E --的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 60. 【解析】试题分析：（1）由//DE BC ，可证；（2）由P D A B ⊥，DE AB ⊥，得AB ⊥平面PDE ，∴AB PE ⊥；（3）以D 为原点建立空间直角坐标系，求平面PBE 的法向量(13,n = ，又平面PAB 的法向量为()20,1,0n =，设二面角的A PB E --大小为θ，则21,cos cos 21>=<=n n θ，所以060θ=. 试题解析：（1）∵D 、E 分别为AB 、AC 中点， ∴//DE BC ．∵DE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴//DE 平面PBC ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 （2） 连结PD ，∵PA PB =，∴PD AB ⊥，∵//,DE BC BC AB ⊥，DE AB ⊥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 又∵PD DE D = ，∴AB ⊥平面PDE ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ∵PE ⊂平面PDE ，∴AB PE ⊥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分（3）∵平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB 平面,,ABC AB PD AB PD =⊥⊥平面ABC ．．．．．8分如图，以D 为原点建立空间直角坐标系∴()(31,0,0,,0,,02B P E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴(31,0,,0,,2PB PE ⎛== ⎝ ．设平面PBE 的法向量()1,,n x y z =，∴0302x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，令z =得(13,n =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分∵DE ⊥平面PAB ，∴平面PAB 的法向量为()20,1,0n =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 设二面角的A PB E --大小为θ，由图知，1212121cos cos ,2n n n n n n θ===，所以060θ=，即二面角的A PB E --大小为60°．．．12分考点：空间位置关系证明、空间向量的应用． 【结束】19.【题文】（本小题满分12分）为了参加2013年市级高中篮球比赛，该市的某区决定从四所高中学校选出12人组成男子篮球队代表所在区参赛，队员来源人数如下表：该区篮球队经过奋力拼搏获得冠军，现要从中选出两名队员代表冠军队发言． （1）求这两名队员来自同一学校的概率；（2）设选出的两名队员中来自学校甲的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ． 【答案】（1）337；（2）ξ的分布列见解析，23E ξ=．【解析】试题分析：（1）()22224422212733C C C C P A C +++==；（2）依题ξ的可能取值为2,1,0，分别计算各变量的概率，可得分布列及均值.试题解析：（1）()22224422212733C C C C P A C +++==．（2）ξ的分布列为：3E ξ=．考点：概率分布列． 【结束】20.【题文】（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为()1F 、)2F ，椭圆上的点P 满足01290PF F ∠=，且12PF F ∆的面积为122PF F S ∆=（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的左、右顶点分别为A 、B ，过点()1,0Q 的动直线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点，直线AN 与直线4x =的交点为R ，证明：点R 总在直线BM 上．【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）由已知，可求3=c ，2=a ，故方程为2214x y +=；（2）当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为()()1,,y k x M x y =-、()()220,,4,N x y R y ，由()22114y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222148440k x k x k +-+-=，由,,R A N 共线，得20262y y x =+，又()()0112,,2,BR y BM x y ==-，则()()()()()1221121212312258x x x x x x x x -+---=-++-，代入可得结论.试题解析：（1）由题意知：122F F c ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分∵椭圆上的点P 满足01290PF F ∠=，且12PF F S ∆=∴12121111222PF F S F F PF PF ∆==⨯=，∴1217,22PF PF ===． ∴1224,2a PF PF a =+==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分又∵c =1b ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分∴椭圆C 的方程为2214x y +=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4分 （2）由题意知()()2,02,0A B -、， ①当直线l 与x轴垂直时，1,M N ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭、，则AN的方程是：)2y x =+， BM的方程是：)2y x =-，直线AN 与直线4x =的交点为(4,R ，∴点R 在直线BM 上．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为()()1,,y k x M x y =-、()()220,,4,N x y R y ，由()22114y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222148440k x k x k +-+-=，∴22212122844,1414k k x x x x k k-+==++．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 ()()0226,,2,AR y AN x y ==+ ，,,R A N 共线，∴20262y y x =+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分又()()0112,,2,BR y BM x y ==-，需证明,,R B M 共线，需证明()101220y y x --=，只需证明()()()21126121202k x k x x x ----=+，若0k =，显然成立，若0k ≠，即证明()()()()()1221121212312258x x x x x x x x -+---=-++-()222224458801414k k k k --⨯=+-=++成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 ∴,,R B M 共线，即点R 总在直线BM 上．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：直线与圆锥曲线的位置关系．【方法点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意直线斜率不存在的情况及不要忽视判别式的作用． 【结束】21.【题文】（本小题满分12分）已知函数()22,0ln ,0x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩，其中a 是实数，设()()()()1122,,,A x f x B x f x 为该函数图象上的 点，且12x x <．（1）指出函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直，且20x <，求21x x -的最小值； （3）若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合，求a 的取值范围．【答案】（1）()f x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,0-上单调递增；（2）1；（3）()1ln 2,--+∞.【解析】试题分析：（1）求导，令导函数0)('>x f 及0)('<x f 可求；（2）由导数几何意义，可得切线的斜率，由切线互相垂直，可得1)(')('21-=x f x f ，即1)22)(22(21-=++x x ，可得)]22()22([212112+++-=-x x x x ，再利用基本不等式的性质即可得出；（3）当021<<x x 或210x x <<时，∵)(')('21x f x f ≠，故不成立，∴210x x <<，分别写出切线的方程，根据两条直线重合的充要条件即可得出，再利用导数即可得出.试题解析：（1）()f x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,0-上单调递增； （2）1；（3）()1ln 2,--+∞ 考点：导数的应用．【方法点睛】本题主要考查导数的两大方面的应用：（一）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出)('x f ，有)('x f 的正负，得出函数)(x f 的单调区间；（二）函数的最值（极值）的求法：由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数)(x f 极值或最值. 【结束】请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.【题文】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在Rt ABC ∆中，090,C BE ∠=平分ABC ∠，交AC 于点E ，点D 在AB 上，DE EB ⊥．（1）求证：AC 是BDE ∆的外接圆的切线；（2）若6AD AE ==，求EC 的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）3. 【解析】试题分析：（1）取BD 的中点O ，则C B E O B E ∠=∠，又O B E B E O ∠=∠，易得//BC OE ，由已知可得OE AC ⊥，所以AC 是BDE ∆的外接圆的切线；（2）设圆O 半径为r ，则(2226r r +=+，得r =0030,60A AOE ∠=∠=，故1113222EC BE ====. 试题解析：（1）证明：如图，取BD 的中点O ，连接OE ，∵BE 平面ABC ∠，∴CBE OBE ∠=∠， ∵OB OE =，∴OBE BEO ∠=∠， ∴CBE BEO ∠=∠，∴//BC OE ，∵090C ∠=，∴OE AC ⊥，∴AC 是BDE ∆的外接圆的切线．（2）解：设O 的半径为r ，则在Rt AOE ∆中，222OA OE AE =+，即(2226r r +=+，解得r =， ∴2OA OE =，∴0030,60A AOE ∠=∠=， ∴030CBE OBE ∠=∠=，∴1113222EC BE ====． 考点：平面几何证明． 【结束】23.【题文】（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知动点,P Q 都在曲线2cos :2sin x tC y t =⎧⎨=⎩（β为参数）上，对应参数分别为t α=与()202t ααπ=<<，M 为PQ 的中点．（1）求M 的轨迹的参数方程；（2）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 【答案】（1）cos cos 2sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩（α为参数，02απ<<）；（2）)20(cos 22παα<<+=d ，轨迹经过原点.【解析】试题分析：（1）由题，得()()2c o s,2s i n,2c o s 2,2s i n 2P Q αααα，则()c o s c o s 2,s i n s i n 2M αααα++，可得参数方程；（2）由两点距离公式可得M 点到坐标原点的距离为)20(cos 22παα<<+，由此M 的轨迹过坐标原点． 试题解析：（1）由题意有，()()2cos ,2sin ,2cos2,2sin 2P Q αααα，因此()cos cos2,sin sin 2M αααα++，M 的轨迹的参数方程为cos cos 2sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩（α为参数，02απ<<）．（2）M 点到坐标原点的距离为)02d απ==<<，当a π=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点．考点：坐标系与参数方程．【结束】24.【题文】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()()212,3f x x x a g x x =-++=+． （1）当2a =-时，求不等式()()f x g x <的解集； （2）设1a >-，且当1,22a x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()()f x g x ≤，求a 的取值范围． 【答案】（1）{}|02x x <<；（2）41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.【解析】试题分析：（1）当2a =-时，作出函数图象，可得原不等式的解集为{}|02x x <<；（2）原不等式化为13a x +≤+，故22a a -≥-，故43a ≤. 试题解析：（1）当2a =-时，令15,21212232,1236,1x x y x x x x x x x ⎧-≤⎪⎪⎪=-+---=--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩，作出函数图像可知，当()0,2x ∈时，0y <，故原不等式的解集为{}|02x x <<； （2）依题意，原不等式化为13a x +≤+，故2x a ≥-对1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立，故22a a -≥-，故43a ≤，故a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦． 考点：绝对值不等式． 【结束】。
2016-2017年甘肃省张掖市肃南一中高二(下)4月月考数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年甘肃省张掖市肃南一中高二（下）4月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知直线ax+y﹣1＝0与直线x+ay﹣1＝0互相平行，则a＝（）A．1或﹣1B．1C．﹣1D．02．（5分）下列命题中假命题有（）①若向量，所在的直线为异面直线，则向量，一定不共面；②∃θ∈R，使sinθcosθ＝成立；③∀a∈R，都有直线ax+2y+a﹣2＝0恒过定点；④命题“若x2+y2＝0，则x＝y＝0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0”．A．3个B．2个C．1个D．0个3．（5分）f（x）＝x3﹣3x2+2在区间[﹣1，1]上的最大值是（）A．﹣2B．0C．2D．44．（5分）“x为无理数”是“x2为无理数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．（5分）抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为（）A．B．C．8D．﹣86．（5分）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．24B．36C．72D．1447．（5分）设直线2x+3y+1＝0和圆x2+y2﹣2x﹣3＝0相交于点A、B，则弦AB的垂直平分线的方程是（）A．3x﹣2y﹣3＝0B．3x﹣2y+3＝0C．2x﹣3y﹣3＝0D．2x﹣3y+3＝0 8．（5分）下列命题中错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β9．（5分）在四面体ABCD中，E、G分别是CD、BE的中点，若＝x+y+z，则x+y+z＝（）A．B．C．1D．210．（5分）点M，N分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1和B1C1的中点，则异面直线CM与DN所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．11．（5分）经过点M（2，1）作直线l交双曲线x2﹣＝1于A，B两点，且M为AB的中点，则直线l的方程为（）A．4x+y+7＝0B．4x+y﹣7＝0C．4x﹣y﹣7＝0D．4x﹣y+7＝0 12．（5分）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F点作直线交抛物线C于A，B两点，则△AOB的最小面积是（）A．B．2C．4D．1二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）边长为a的正方体的内切球的表面积为．14．（5分）已知向量＝（2，﹣1，3），＝（﹣4，2，x），使⊥成立的x值为．15．（5分）下列四个命题：①“若xy＝0，则x＝0且y＝0”的逆否命题；②“正方形是菱形”的否命题；③若ac2＞bc2，则a＞b；④“若tanα＝tanβ，则α＝β”的逆命题；．其中真命题为（只写正确命题的序号）．16．（5分）椭圆+＝1上的点到直线4x﹣5y+40＝0的最小距离为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知圆C的圆心在直线l：x﹣2y﹣1＝0上，并且经过原点和A（2，1），求圆C的标准方程．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，且∠ABC＝120°，P A⊥底面ABCD，AB＝2，P A＝．（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面P AC；（Ⅱ）求三棱锥P﹣BDC的体积．19．（12分）已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是（﹣5，0），（5，0），且AC，BC 所在直线的斜率之积等于m（m≠0）．（Ⅰ）求点C的轨迹方程；（Ⅱ）讨论点C的轨迹的形状．20．（12分）已知命题p：指数函数y＝（1﹣a）x是R上的增函数，命题q：不等式ax2+2x ﹣1＞0有解．若命题p是真命题，命题q是假命题，求实数a的取值范围．21．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，点E是PC的中点．（Ⅰ）求证：P A∥平面EBD；（Ⅲ）求二面角E﹣BD﹣P的余弦值．22．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆的左、右焦点分别是F1、F2，点M为椭圆上的一个动点，△MF1F2面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）P为椭圆上一点，PF1与y轴相交于Q，且＝2．若PF1与椭圆相交于另一点R，求△PRF2的面积．2016-2017学年甘肃省张掖市肃南一中高二（下）4月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知直线ax+y﹣1＝0与直线x+ay﹣1＝0互相平行，则a＝（）A．1或﹣1B．1C．﹣1D．0【解答】解：若两直线平行，则＝≠1，解得a2＝1，且a≠1，∴a＝﹣1，故选：C．2．（5分）下列命题中假命题有（）①若向量，所在的直线为异面直线，则向量，一定不共面；②∃θ∈R，使sinθcosθ＝成立；③∀a∈R，都有直线ax+2y+a﹣2＝0恒过定点；④命题“若x2+y2＝0，则x＝y＝0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0”．A．3个B．2个C．1个D．0个【解答】解：①若向量，所在的直线为异面直线，则向量，一定不共面，错误，向量一定共面，故①错误；②若sinθcosθ＝，则sin2θ＝，即sin2θ＝＞1不成立，∴∃θ∈R，使sinθcosθ＝成立错误，故②错误；③由ax+2y+a﹣2＝0得a（x+1）+2y﹣2＝0，由得，即③∀a∈R，都有直线ax+2y+a﹣2＝0恒过定点（﹣1，2），故③正确；④命题“若x2+y2＝0，则x＝y＝0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0”正确，故④正确，故正确的命题是③④，故选：B．3．（5分）f（x）＝x3﹣3x2+2在区间[﹣1，1]上的最大值是（）A．﹣2B．0C．2D．4【解答】解：f'（x）＝3x2﹣6x＝3x（x﹣2），令f'（x）＝0可得x＝0或2（2舍去），当﹣1＜x＜0时，f'（x）＞0，当0＜x＜1时，f'（x）＜0，∴当x＝0时，f（x）取得最大值为f（0）＝2．故选：C．4．（5分）“x为无理数”是“x2为无理数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：“x2为无理数”，则必然x为无理数，否则x为实数；而x为无理数，例如取，则x2＝2为实数．因此“x为无理数”是“x2为无理数”必要不充分条件．故选：B．5．（5分）抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为（）A．B．C．8D．﹣8【解答】解：抛物线y＝ax2的标准方程是x2＝y，则其准线方程为y＝﹣＝2，所以a＝﹣．故选：B．6．（5分）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．24B．36C．72D．144【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱柱，其底面面积S＝×（2+4）×3＝9，高h＝8，故体积V＝Sh＝72，故选：C．7．（5分）设直线2x+3y+1＝0和圆x2+y2﹣2x﹣3＝0相交于点A、B，则弦AB的垂直平分线的方程是（）A．3x﹣2y﹣3＝0B．3x﹣2y+3＝0C．2x﹣3y﹣3＝0D．2x﹣3y+3＝0【解答】解：联立得：，解得：13x2﹣14x﹣26＝0，同理解得13y2+18y﹣7＝0因为点A和点B的中点M的坐标为（x＝，y＝），利用根与系数的关系可得：M（，﹣）；又因为直线AB：2x+3y+1＝0的斜率为﹣，根据两直线垂直斜率乘积等于﹣1可知垂直平分线的斜率为；所以弦AB的垂直平分线方程为y+＝（x﹣），化简得3x﹣2y﹣3＝0，故选：A．8．（5分）下列命题中错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β【解答】解：由题意可知：A、结合实物：教室的门面与地面垂直，门面的上棱对应的直线就与地面平行，故此命题成立；B、假若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定定理可知两平面垂直．故此命题成立；C、结合面面垂直的性质可以分别在α、β内作异于l的直线垂直于交线，再由线面垂直的性质定理可知所作的垂线平行，进而得到线面平行再由线面平行的性质可知所作的直线与l平行，又∵两条平行线中的一条垂直于平面那么另一条也垂直于平面，故命题成立；D、举反例：教室内侧墙面与地面垂直，而侧墙面内有很多直线是不垂直与地面的．故此命题错误．故选：D．9．（5分）在四面体ABCD中，E、G分别是CD、BE的中点，若＝x+y+z，则x+y+z＝（）A．B．C．1D．2【解答】解：如图所示，连接AE，∵E、G分别是CD、BE的中点，∴＝+，∴＝+＝++；又＝x+y+z，∴x+y+z＝++＝1．故选：C．10．（5分）点M，N分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1和B1C1的中点，则异面直线CM与DN所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则N（1，2，2），D（0，0，0），C（0，2，0），M（2，2，1），则＝（2，0，1），＝（1，2，2），设异面直线所成角为θ，则cosθ＝＝＝．∴异面直线CM与DN所成的角的余弦值为．故选：A．11．（5分）经过点M（2，1）作直线l交双曲线x2﹣＝1于A，B两点，且M为AB的中点，则直线l的方程为（）A．4x+y+7＝0B．4x+y﹣7＝0C．4x﹣y﹣7＝0D．4x﹣y+7＝0【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x12﹣＝1，x22﹣＝1，两式相减可得，（x1﹣x2）（x1+x2）﹣＝0，M为AB的中点，即有x1+x2＝4，y1+y2＝2，可得直线AB的斜率为k＝＝＝＝4，即有直线AB的方程为y﹣1＝4（x﹣2），即为4x﹣y﹣7＝0．由y＝4x﹣7代入双曲线的方程x2﹣＝1，可得14x2﹣56x+51＝0，即有△＝562﹣4×14×51＝280＞0，故存在直线AB，其方程为4x﹣y﹣7＝0．故选：C．12．（5分）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F点作直线交抛物线C于A，B两点，则△AOB的最小面积是（）A．B．2C．4D．1【解答】解：由题意，根据对称性，当且仅当AB⊥x轴时，△AOB的面积最小，故最小面积为＝2，故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）边长为a的正方体的内切球的表面积为πa2．【解答】解：棱长为a的正方体的内切球的半径r＝，表面积＝4πr2＝πa2．故答案为：πa214．（5分）已知向量＝（2，﹣1，3），＝（﹣4，2，x），使⊥成立的x值为．【解答】解：∵向量＝（2，﹣1，3），＝（﹣4，2，x），⊥，∴＝﹣8﹣2+3x＝0，解得x＝．故答案为：．15．（5分）下列四个命题：①“若xy＝0，则x＝0且y＝0”的逆否命题；②“正方形是菱形”的否命题；③若ac2＞bc2，则a＞b；④“若tanα＝tanβ，则α＝β”的逆命题；．其中真命题为③④（只写正确命题的序号）．【解答】解：①“若xy＝0，则x＝0且y＝0”为假命题，故其逆否命题也为假命题；②“正方形是菱形”的否命题为“不是正方形的四边形，不是菱形”为假命题；③若ac2＞bc2，则c2＞0，则a＞b，故为真命题；④“若tanα＝tanβ，则α＝β”的逆命题为“若α＝β，则tanα＝tanβ”为真命题；．综上可得：真命题为：③④，故答案为：③④16．（5分）椭圆+＝1上的点到直线4x﹣5y+40＝0的最小距离为．【解答】解：设椭圆+＝1上的点P（5cosα，3sinα），0≤α＜2π，则P到直线4x﹣5y+40＝0的距离：d＝＝，∴当sin（α+θ）＝﹣1时，椭圆+＝1上的点到直线4x﹣5y+40＝0的最小距离为．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知圆C的圆心在直线l：x﹣2y﹣1＝0上，并且经过原点和A（2，1），求圆C的标准方程．【解答】解：设圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，圆心（a，b），半径r．∵圆C的圆心在直线l：x﹣2y﹣1＝0上，并且经过原点和A（2，1），∴解得．故圆C的标准方程为．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，且∠ABC＝120°，P A⊥底面ABCD，AB＝2，P A＝．（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面P AC；（Ⅱ）求三棱锥P﹣BDC的体积．【解答】（Ⅰ）证明：因为四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，所以BD⊥AC，又P A⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥P A，因为P A∩AC＝A，所以BD⊥平面P AC，又BD在平面PBD内，所以平面PBD⊥平面P AD．…（6分）（Ⅱ）解：因为P A⊥底面ABCD，所以P A是底面BCD上的高，所以：．…（12分）19．（12分）已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是（﹣5，0），（5，0），且AC，BC 所在直线的斜率之积等于m（m≠0）．（Ⅰ）求点C的轨迹方程；（Ⅱ）讨论点C的轨迹的形状．【解答】解：（Ⅰ）设C（x，y），则由题知，即为点C的轨迹方程．…（4分）（Ⅱ）当m＞0时，点C的轨迹为焦点在x轴上的双曲线；当m＜﹣1时，点C的轨迹为焦点在y轴上的椭圆；当m＝﹣1时，点C的轨迹为圆心为（0，0），半径为5的圆；当﹣1＜m＜0时，点C的轨迹为焦点在x轴上的椭圆．…（12分）20．（12分）已知命题p：指数函数y＝（1﹣a）x是R上的增函数，命题q：不等式ax2+2x ﹣1＞0有解．若命题p是真命题，命题q是假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：命题p为真命题时，1﹣a＞1即a＜0，命题q：不等式ax2+2x﹣1＞0有解，当a＞0时，显然有解；当a＝0时，2x﹣1＞0有解；当a＜0时，∵ax2+2x﹣1＞0有解，∴△＝4+4a＞0∴﹣1＜a＜0．从而命题q：不等式ax2+2x﹣1＞0有解时a＞﹣1．又命题q是假命题，∴a≤﹣1．∴p是真命题，q是假命题时，a的取值范围（﹣∞，﹣1]．21．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，点E是PC的中点．（Ⅰ）求证：P A∥平面EBD；（Ⅲ）求二面角E﹣BD﹣P的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）以点D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立直角坐标系，设正方形ABCD的边长为1，则D（0，0，0），P（0，0，1），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），…（2分）∴，．…（4分）设平面EBD的法向量为，则，取x＝1，得，∴，∴∥平面EBD．∴P A∥平面EBD．…（6分）解：（Ⅱ）∵底面ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，∴AC⊥BD，AC⊥PD，∵BD∩PD＝D，∴平面PBD的法向量为．…（9分）设二面角E﹣BD﹣P的平面角为θ，则cosθ＝|cos＜＞＝＝＝，∴二面角E﹣BD﹣P的平面角的余弦值为．…（12分）22．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆的左、右焦点分别是F1、F2，点M为椭圆上的一个动点，△MF1F2面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）P为椭圆上一点，PF1与y轴相交于Q，且＝2．若PF1与椭圆相交于另一点R，求△PRF2的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆的左、右焦点分别是F1、F2，点M为椭圆上的一个动点，△MF1F2面积的最大值为．∴由已知条件：，．解得a＝2，．∴椭圆C的方程为+＝1．…（4分）（Ⅱ）由＝2，知Q为F1P的中点，∴设Q（0，y），则P（1，2y），又P满足椭圆的方程，代入求得y＝．∴直线PF方程为y＝（x+1）．由得7x2+6x﹣13＝0，…（8分）设P（x1，y1），R（x2，y2），则x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，∴，∴．…（12分）。
甘肃省肃南县第一中学2016-2017学年高二下学期期末考
第Ⅰ卷第一部分阅读理解（共两节，满分40分）第一节（共15小题；每小题2分，满分30分）阅读下列短文，从每题所给的四个选项（A、B、C和D）中，选出最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。
AA Guide to the UniversityFoodThe TWU Cafeteria is open 7am to 8pm. It serves snacks, drinks, ice cream bars and meals. You can pay with cash or your ID cards. You can add meal money to your ID cards at the Front Desk. Even if you do not buy your food in the cafeteria, you can use the tables to eat your lunch, to have meetings and to study.If you are on campus in the evening or late at night, you can buy snacks, fast food, and drinks in the Lower Café located in the bottom level of the Gouglas Centre. This area is often used for entertainment such as concerts, games or TV watching.RelaxationThe Globe, located in the bottom level of McMillan Hall, is available for relaxing, studying, cooking, and eating. Monthly activities are held here for all international students. Hours are 10 am to 10 pm, closed on Sundays.HealthLocated on the top floor of Douglas Hall, the Wellness Centre is committed to physical, emotional and social health. A doctor and nurse is available if you have health questions or need immediate medical help or personal advice. The cost of this is included in your medical insurance. Hours are Monday to Friday, 9am to noon and 1;00 to 4;30pm.Academic SupportAll students have access to the Writing Centre on the upper floor of Douglas Hall. Here, qualified volunteers will work with you on written work, grammar, vocabulary, and other academic skills. You can sign up for an appointment on the sign-up sheet outside the door two 30 –minute appointments per week maximum. This service is free.TransportationThe TWU Express is a shuttle service. The shuttle transports students between campus and the shopping centre, leaving from the Mattson Centre. Operation hours are between 8am and3pm. Saturdays only. Round trip fare is $1.1.What can you do in the TWU Cafeteria?A. Do homework and watch TVB. Buy drinks and enjoy concertsC. have meals and meet with friendsD. Add money to your ID and play chess2.Where and when can you cook your own food?A. The McMillan Hall , SundayB. The Lower Café, SundayC. The TWU Cafeteria , FridayD. The Globe, Friday3.The Guide tells us that the Wellness Centre .A. is open six days a weekB. gives advice on mental healthC. trains students in medical careD. offers services free of chargeBWhenever we see a button, we are eager to press it because we know something will happen. This is true in most cases, for example on a doorbell and on the “on/off” button on the TV. But some buttons are actually fake, like the “close” button on a lift.Many people are in the habit of pressing the “close” button because they don’t have the patience to wait for the lift doors to shut. But lifts’“close” buttons are a complete scam(骗局), at least in the US-the doors will not close any faster no matter how hard you press.It started in the 1990s when the Americans with Disabilities Act was passed in the US, making sure that all lifts stayed open long enough so that people with disabilities could enter. Only US firefighters and repairmen can use the buttons to speed up the door-closing process if they have a code or special keys.But to normal lift riders, the buttons aren’t completely useless. According to psychologists, fake buttons can actually make you feel better by offering you a sense of control.“Perceived (能够感知的)control is very important. It reduces stress and increases well-being,” Ellen J. Langer, a psychology professor, said, “having a lack of control is associated with depression.”Experts have revealed that a lot of buttons that don’t do anything exist in our lives for this same purpose. For example, many offices in the US have fake thermostats(温度调节器) because people tend to feel better when they think they can control the temperature in their workspace.But psychologists found it interesting that even when people are aware of these little “white lies”, they still continue to push fake buttons because as long as the doors eventually close, i t is considered to be worth the effort.“That habit is here to stay,” John Kounios, a psychology professor, said. “Even though I have real doubts about the traffic light buttons, I always press them. After all, I’ve got nothing else to do while waiting. S o why not press the button in the hope that this one will work?”4.What was the author’s main purpose in writing the article?A. To analyze the functions of fake buttonsB. To describe some different kinds of fake buttonsC. To explain the advantages and disadvantages of fake buttonsD. To explore people’s different habits when it comes to pushing buttons5.In America, the “close” buttons on lifts.A. are fake for the convenience of disabled peopleB. work only when people press them hard for a whileC. were specially designed to give people a sense of controlD. cannot speed up the process of closing the door in any case6.The underlined part “for this same purpose” in Paragraph 6 refers to.A. making people more patientB. giving people perceived controlC. helping people to build up confidenceD. making people with depression feel better7.According to John Kounios, people who press fake buttons .A. should give up this habitB. probably do so to kill timeC. consider what they do to be meaninglessD. don’t know that what they press is fakeCThe Diet Zone: A Dangerous PlaceDiet Coke, diet Pepsi, diet pills, no-fat diet, vegetable diet… We are surrounded by the word “diet”everywhere we look and listen. We have so easily been attracted by the promise and potential of diet products that we have stopped thinking about what diet products are doing to us. We are paying for products that harm us psychologically and physically.Diet products significantly weaken us psychologically. On one level, we are not allowing our brain to admit that our weight problems lie not in actually losing the weight, but in controlling the consumption of fatty, high-calorie, unhealthy foods. Diet products allow us to jump over the thinking stage and go straight for the scale(秤)instead. All we have to do is to swallow or recognize the word “diet” in food labels.On another level, diet products have greater psychological effects. Every time we have a zero-calorie drink, we are telling ourselves without our awareness that we don't have to work toget results. Diet products make people believe that gain comes without pain, and that life can be without resistance and struggle.The danger of diet products lies not only in the psychological effects they have on us, but also in the physical harm that they cause. Diet foods can indirectly harm our bodies because consuming them instead of healthy foods means we are preventing our bodies from having basic nutrients. Diet foods and diet pills contain zero calorie only because the diet industry has created chemicals to produce these wonder products. Diet products may not be nutritional, and the chemicals that go into diet products are potentially dangerous.Now that we are aware of the effects that diet products have on us, it is time to seriously think about buying them. Losing weight lies in the power of minds, not in the power of chemicals. Once we realize this, we will be much better able to resist diet products, and therefore prevent the psychological and physical harm that comes from using them.8.From Paragraph 1, we learn that .A. diet products fail to bring out people's potentialB. people have difficulty in choosing diet productsC. diet products are misleading peopleD. people are fed up with diet products9.One psychological effect of diet products is that people tend to .A. try out a variety of diet foodsB. hesitate before they enjoy diet foodsC. pay attention to their own eating habitsD. watch their weight rather than their diet10.In Paragraph 3, “gain comes without pain” probably means .A. losing weight is effortlessB. it costs a lot to lose weightC. diet products bring no painD. diet products are free from calories11.Diet products indirectly harm people physically because such products .A. are over-consumedB. lack basic nutrientsC. are short of chemicalsD. provide too much energyDIn ancient Egypt, the pharaoh(法老) treated the poor message runner like a prince when he arrived at the palace, if he brought good news. However, if the exhausted runner had the misfortune to bring the pharaoh unhappy news, his head was cut off.Shades of that spirit spread over today’s conversations. Once a friend and I packed up some peanut butter and sandwiches for an outing. As we walked light-heartedly out the door, picnic basket in hand, a smiling neighbor looked up at the sky and said, ”Oh boy, bad day for a picnic. The weatherman says it’s going to rain.”I wanted to strike him on the face with the peanut butter and sandwiches. Not for his stupid weather report, for his while!Several months ago I was racing to catch a bus. As I breathlessly put my handful of cash across the Greyhound counter, the sales agent said with a broad smile ,”Oh that bus left five minutes ago.” Dreams of head-cutting!It’s not the news that makes someone angry. It’s the unsympathetic attitude with which it’s delivered. Everyone must give bad news from time to time, and winning professionals do it with the proper attitude. A doctor advising a patient that she needs an operation does it in a caring way. A boss informing an employee he didn’t get the job takes on a sympathetic tone. Big winners know, when delivering any bad news, they should share the feeling of the receiver.Unfortunately, many people a re not aware of this. When you’re tired from a long flight, has a hotel clerk cheerfully said that your room isn’t ready yet? When you had your heart set on the toast beef, has your waiter mainly told you that he just served the last piece? It makes you as traveler or diner want to land your fist right on their unsympathetic faces.Had my neighbor told me of the upcoming rainstorm with sympathy, I would have appreciated his warming .Had the Greyhound salesclerk sympathetically informed me that my bus had a lready left, I probably would have said, ”Oh, that’s all right. I’ll catch the next one.” Big winners, when they bear bad news ,deliver bombs with the emotion the bombarded(被轰炸的)person is sure to have.12.In Paragraph 1, the writer tells the story of the pharaoh to .A. make a comparisonB. introduce a topicC. describe a sceneD. offer an argument13.In the writer’s opinion, his neighbor was .A. friendlyB. warm-heartedC. not considerateD. not helpful14.From “Dreams of head-cutting!” in Paragraph 3, we learn that the writer .A. was mad at the sales agentB. was reminded of the cruel pharaohC. wished that the sales agent would have had dreamsD. dreamed of cutting the sales agent’s head that night15.What is the main idea of the text?A. Delivering bad news properly is important in communicationB. Helping others sincerely is the key to business successC. Receiving bad news requires great courageD. Learning ancient traditions can be useful第二节（共5小题；每小题2分，满分10分）根据短文内容，从短文后的选项中选出能填入空白处的最佳选项。
甘肃省肃南县第一中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学(理)试题含答案
甘肃省肃南县第一中学2017年下学期期中考试高二数学（理)试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1．已知2213i zm m m =-+，()2456i z m =++,其中m 为实数,i 为虚数单位，若120z z -=，则m 的值为（ )A ．4B ．1-C ．6D ．02．已知复数z 满足()31212i z i +=+(i 为虚数单位），则z 共轭复数z 等于（ ）A ．3455i + B ．3455i -+ C ．3455i - D ．3455i --3．若椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为2，则双曲线22221y x a b -=的渐近线方程为( ）A ．2y x =±B ．12y x =± C ．4y x =± D ．14y x =±4．已知函数()sin 23f x x xf π⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，则3f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ ）A ．12- B ．0 C ．12 D ．25．3204x dx -=⎰（ ）A ．213B ．223C ．233D ．2536．在正方体1111ABCD A BC D -中，M ，N ,分别为11A B ，1BB 的中点，则异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为（ ）A B C ．25D ．357．已知命题p :“[]1,2x ∀∈,20xa -≥”，命题q ：“x R ∃∈,2220x ax a ++-=”，若命题“p q ∧”是真命题,则实数a 的取值范围是( ）A ．(]{},21-∞-B ．(][],21,2-∞-C ．[)1,+∞D ．[]2,1-8．若函数()312f x xx =-在区间()1,1k k -+上不是单调函数，则实数k 的取值范围（ ）A ．3k ≤-或11k -≤≤或3k ≥B ．31k -<<-或13k <<C ．22k -<<D ．不存在这样的实数k 9．如图，长方形的四个顶点为()0,0O ，()4,0A ，()4,2B ，()0,2C ，曲线y x=经过点B 。
甘肃省兰州一中高二下期末数学试卷理科
2015-2016学年甘肃省兰州一中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．回归分析中，相关指数R2的值越大，说明残差平方和（）A．越小 B．越大C．可能大也可能小D．以上都不对2．如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（）A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.5763．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%）A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%4．在极坐标系中，曲线关于（）A．直线θ=对称B．直线θ=对称C．点对称D．极点对称5．若直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4=0交于M，N两点，且M，N关于直线x+2y=0对称，则实数k+m=（）A．﹣1 B．1 C．0 D．26．设（5x﹣）n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M﹣N=56，则展开式中常数项为（）A．5 B．15 C．10 D．207．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）﹣1A．3 B．4 C．5 D．68．函数的图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），所得图象关于y轴对称，则a的最小值为（）A．πB． C．D．9．已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A．13 B．15 C．19 D．2110．两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内部，且互相外切，若球O1与过点A 的正方体的三个面相切，球O2与过点C1的正方体的三个面相切，则球O1和O2的表面积之和的最小值为（）A．3（2﹣）π B．4（2﹣）πC．3（2+）πD．4（2+）π二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．已知随机变量2ξ+η=8，若ξ～B（10，0.4），则E（η）=，D（η）．12．（选做题）在极坐标系中，曲线C1：ρ=2cosθ，曲线C2：，若曲线C1与曲线C2交于A、B两点则AB=．13．某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯闪烁的概率是，两次闭合后都出现红灯闪烁的概率为，则在第一次闭合后出现红灯闪烁的条件下，第二次出现红灯闪烁的概率是．14．若（1﹣2x）2016=a0+a1x+a2x2+…+a2016x2016（x∈R），则+++…+=．15．只用1，2，3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数共有个．三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．4月23人是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书谜”，低于60分钟的学生称为“非读书谜”（1）根据已知条件完成下面2×2的列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书谜”与性别有关？非读书迷读书迷合计男15女45合计（2）将频率视为概率，现在从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书谜”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E （X）和方程D（X）附：K2=n=a+b+c+dP（K2≥k0）0.100 0.050 0.025 0.010 0.001k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.82817．计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立．（Ⅰ）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；（Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X 40＜X＜80 80≤X≤120 X＞120发电机最多可运行台数 1 2 3若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？18．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y （单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量的值．46.65636.8289.8 1.6 1 469 108.8表中w i=i，=w i．（1）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（3）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z=0.2y﹣x．根据（2）的结果回答下列问题：①年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：．19．已知函数f（x）=x（a+lnx）的图象在点（e，f（e））（e为自然对数的底数）处的切线的斜率为3．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若k为整数时，k（x﹣1）＜f（x）对任意x＞1恒成立，求k的最大值．2015-2016学年甘肃省兰州一中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．回归分析中，相关指数R2的值越大，说明残差平方和（）A．越小 B．越大C．可能大也可能小D．以上都不对【考点】相关系数．【分析】根据回归分析的公式和性质，可以用来衡量模拟效果好坏的几个量分别是相关指数，残差平方和和相关系数，只有残差平方和越小越好，其他的都是越大越好．【解答】解：用系数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好，而用相关系数r的值判断模型的拟合效果时，|r|越大，模型的拟合效果越好，由此可知相关指数R2的值越大，说明残差平方和越小．故选A2．如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（）A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.576【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】首先记K、A1、A2正常工作分别为事件A、B、C，易得当K正常工作与A1、A2至少有一个正常工作为相互独立事件，而“A1、A2至少有一个正常工作”与“A1、A2都不正常工作”为对立事件，易得A1、A2至少有一个正常工作的概率；由相互独立事件的概率公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，记K、A1、A2正常工作分别为事件A、B、C；则P（A）=0.9；A1、A2至少有一个正常工作的概率为1﹣P（）P（）=1﹣0.2×0.2=0.96；则系统正常工作的概率为0.9×0.96=0.864；故选B．3．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%）A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】由题意P（﹣3＜ξ＜3）=68.26%，P（﹣6＜ξ＜6）=95.44%，可得P（3＜ξ＜6）=（95.44%﹣68.26%），即可得出结论．【解答】解：由题意P（﹣3＜ξ＜3）=68.26%，P（﹣6＜ξ＜6）=95.44%，所以P（3＜ξ＜6）=（95.44%﹣68.26%）=13.59%．故选：B．4．在极坐标系中，曲线关于（）A．直线θ=对称B．直线θ=对称C．点对称D．极点对称【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】化极坐标方程为普通方程，求出圆的圆心的极坐标，即可得到象限．【解答】解：曲线，可得=2sinθ﹣2cosθ，可得ρ2=2ρsinθ﹣2ρcosθ，它的普通方程为：x2+y2=2y﹣2．圆的圆心坐标（，1），经过圆的圆心与原点的直线的倾斜角为：，在极坐标系中，曲线关于直线θ=对称．故选：B．5．若直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4=0交于M，N两点，且M，N关于直线x+2y=0对称，则实数k+m=（）A．﹣1 B．1 C．0 D．2【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】由题意，得直线x+2y=0是线段MN的中垂线，利用垂直直线的斜率关系算出k=2，得出圆方程为x2+y2+2x+my﹣4=0，将圆心坐标代入x+2y=0，解得m=﹣1，可得本题答案．【解答】解：由题意，可得∵直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4=0交于M，N两点，且M，N关于直线x+2y=0对称，∴直线x+2y=0是线段MN的中垂线，得k•（﹣）=﹣1，解之得k=2，所以圆方程为x2+y2+2x+my﹣4=0，圆心坐标为，将代入x+2y=0，解得m=﹣1，得k+m=1．故选：B6．设（5x﹣）n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M﹣N=56，则展开式中常数项为（）A．5 B．15 C．10 D．20【考点】二项式系数的性质．【分析】通过给二项式中的x赋值1求出展开式的各项系数和；利用二项式系数和公式求出二项式系数和，代入M﹣N=56求出n；利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的通项，令x的指数为0，求出常数项．【解答】解：令二项式中的x为1得到展开式的各项系数和为M=4n，二项式系数和为N=2n，由M﹣N=56，得n=3，∴其展开式的通项为令3﹣=0得r=2代入通项解得常数项为15．故选B．=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1A．3 B．4 C．5 D．6【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【分析】由a n与S n的关系可求得a m+1与a m，进而得到公差d，由前n项和公式及S m=0可求得a1，再由通项公式及a m=2可得m值．=2，a m+1=S m+1﹣S m=3，【解答】解：a m=S m﹣S m﹣1所以公差d=a m+1﹣a m=1，S m==0，得a1=﹣2，所以a m=﹣2+（m﹣1）•1=2，解得m=5，故选C．8．函数的图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），所得图象关于y轴对称，则a的最小值为（）A．πB． C．D．【考点】二倍角的余弦；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】先利用二倍角公式，诱导公式，化简函数，再利用图象关于y轴对称，即可求a的最小值．【解答】解：函数==﹣，沿x轴向右平移a个单位（a ＞0），可得y=，∵图象关于y轴对称，∴∴sin2xcos2a=0∴2a=kπ（k∈Z）∵a＞0∴a的最小值为．故选D．9．已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A．13 B．15 C．19 D．21【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建系，由向量式的几何意义易得P的坐标，可化=﹣（﹣1）﹣4（t﹣4）=17﹣（+4t），由基本不等式可得．【解答】解：由题意建立如图所示的坐标系，可得A（0，0），B（，0），C（0，t），∵，∴P（1，4），∴=（﹣1，﹣4），=（﹣1，t﹣4），∴=﹣（﹣1）﹣4（t﹣4）=17﹣（+4t），由基本不等式可得+4t≥2=4，∴17﹣（+4t）≤17﹣4=13，当且仅当=4t即t=时取等号，∴的最大值为13，故选：A．10．两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内部，且互相外切，若球O1与过点A 的正方体的三个面相切，球O2与过点C1的正方体的三个面相切，则球O1和O2的表面积之和的最小值为（）A．3（2﹣）π B．4（2﹣）πC．3（2+）πD．4（2+）π【考点】球内接多面体．【分析】设出球O1与球O2的半径，求出面积之和，利用相切关系得到半径与正方体的对角线的关系，通过基本不等式，从而得出面积的最小值．【解答】解：∵AO1=R1，C1O2=R2，O1O2=R1+R2，∴（+1）（R1+R2）=，R1+R2=，球O1和O2的表面积之和为4π（R12+R22）≥4π•2（）2=2π（R1+R2）2=3（2﹣）π．故选：A．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．已知随机变量2ξ+η=8，若ξ～B（10，0.4），则E（η）=0，D（η）9.6．【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型．【分析】根据变量ξ～B（10，0.4）可以根据公式做出这组变量的均值与方差，随机变量2ξ+η=8，知道变量η也符合二项分布，故可得结论．【解答】解：∵ξ～B（10，0.4），∴Eξ=10×0.4=4，Dξ=10×0.4×0.6=2.4，∵2ξ+η=8，∴Eη=E（8﹣2ξ）=8﹣8=0，Dη=D（8﹣2ξ）=4×2.4=9.6，故答案为：0；9.6．12．（选做题）在极坐标系中，曲线C1：ρ=2cosθ，曲线C2：，若曲线C1与曲线C2交于A、B两点则AB=．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】分别将曲线C1与曲线C2的极坐标方程化成普通方程，得到曲线C1是以（1，0）为圆心、半径为1的圆，而曲线C2是经过原点的直线y=x．由直线与圆相交，利用点到直线的距离公式并结合垂径定理，可以算出AB的长．【解答】解：对于曲线C1：ρ=2cosθ，两边都乘以ρ得：ρ2=2ρcosθ，∵ρ2=x2+y2，且ρcosθ=x∴曲线C的普通方程是x2+y2﹣2x=0，表示以（1，0）为圆心、半径为1的圆；对于曲线C2：，可得它是经过原点且倾斜角为的直线，∴曲线C2的普通方程为y=x，即x﹣y=0因此点（1，0）到直线x﹣y=0的距离为：d==设AB长为m，则有（m）2+d2=r2，即m2+=1，解之得m=（舍负）故答案为：13．某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯闪烁的概率是，两次闭合后都出现红灯闪烁的概率为，则在第一次闭合后出现红灯闪烁的条件下，第二次出现红灯闪烁的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】设事件A表示开关第一次闭合后出现红灯闪烁，B表示开关第二次闭合后出现红灯闪烁，则P（A）=，P（AB）=，由此能求出在第一次闭合后出现红灯闪烁的条件下，第二次出现红灯闪烁的概率．【解答】解：设事件A表示开关第一次闭合后出现红灯闪烁，B表示开关第二次闭合后出现红灯闪烁，则P（A）=，P（AB）=，∴在第一次闭合后出现红灯闪烁的条件下，第二次出现红灯闪烁的概率是：P（B|A）===．故答案为：．14．若（1﹣2x）2016=a0+a1x+a2x2+…+a2016x2016（x∈R），则+++…+=﹣1．【考点】二项式定理的应用．【分析】在所给的等式中，令x=0，可得a0=1；再令x=，可得a0++++…+=0，从而求得要求式子的值．【解答】解：在（1﹣2x）2016=a0+a1x+a2x2+…+a2016x2016（x∈R）中，令x=0，可得a0=1，令x=，可得a0++++…+=0，故， +++…+=﹣1，故答案为：﹣1．15．只用1，2，3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数共有18个．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】本题需要分步计数，由题意知1，2，3中必有某一个数字重复使用2次．首先确定谁被使用2次，再把这2个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上，最后将余下的2个数放在四位数余下的2个位置上，相乘得结果．【解答】解：由题意知，本题需要分步计数1，2，3中必有某一个数字重复使用2次．第一步确定谁被使用2次，有3种方法；第二步把这2个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上，也有3种方法；第三步将余下的2个数放在四位数余下的2个位置上，有2种方法．故共可组成3×3×2=18个不同的四位数．故答案为：18三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．4月23人是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书谜”，低于60分钟的学生称为“非读书谜”（1）根据已知条件完成下面2×2的列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书谜”与性别有关？非读书迷读书迷合计男15女45合计（2）将频率视为概率，现在从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书谜”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E （X）和方程D（X）附：K2=n=a+b+c+dP（K2≥k0）0.100 0.050 0.025 0.010 0.001k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828【考点】离散型随机变量的期望与方差；独立性检验．【分析】（1）利用频率分布直方图，直接计算填写表格，然后利用个数求解K2，判断即可．（2）求出概率的分布列，然后利用超几何分布求解期望与方差即可．【解答】解：（1）完成下面的2×2列联表如下非读书迷读书迷合计男40 15 55女20 25 45合计60 40 100…≈8.249VB8.249＞6.635，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关…（2）视频率为概率．则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率为．由题意可知X～B （3，），P（x=i）=（i=0，1，2，3）…从而分布列为X 0 1 2 3P．…E（x）=np=，D（x）=np（1﹣p）=…17．计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立．（Ⅰ）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；（Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X 40＜X＜80 80≤X≤120 X＞120发电机最多可运行台数 1 2 3若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）先求出年入流量X的概率，根据二项分布，求出未来4年中，至少有1年的年入流量超过120的概率；（Ⅱ）分三种情况进行讨论，分别求出一台，两台，三台的数学期望，比较即可得到．【解答】解：（Ⅰ）依题意，p1=P（40＜X＜80）=，，，由二项分布，未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为=（Ⅱ）记水电站的总利润为Y（单位，万元）（1）安装1台发电机的情形，由于水库年入流总量大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y=5000，E（Y）=5000×1=5000，（2）安装2台发电机的情形，依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y=5000﹣800=4200，因此P（Y=4200）=P（40＜X＜80）=p1=，当X≥80时，两台发电机运行，此时Y=5000×2=10000，因此，P（Y=10000）=P（X≥80）=P2+P3=0.8，由此得Y的分布列如下Y 4200 10000P 0.2 0.8所以E（Y）=4200×0.2+10000×0.8=8840．（3）安装3台发电机的情形，依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y=5000﹣1600=3400，因此P（Y=3400）=P（40＜X＜80）=p1=0.2，当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y=5000×2﹣800=9200，因此，P（Y=9200）=P（80≤X ≤120）=p2=0.7，当X＞120时，三台发电机运行，此时Y=5000×3=15000，因此，P（Y=15000）=P（X＞120）=p3=0.1，由此得Y的分布列如下Y3400 9200 15000P 0.2 0.7 0.1所以E（Y）=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620．综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．18．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y （单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x i和年销售量y i（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量的值．46.65636.8289.8 1.6 1 469 108.8表中w i=i，=w i．（1）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（3）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z=0.2y﹣x．根据（2）的结果回答下列问题：①年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：．【考点】线性回归方程．【分析】（1）根据散点图，即可判断出，（2）先建立中间量w=，建立y关于w的线性回归方程，根据公式求出w，问题得以解决；（3）①年宣传费x=49时，代入到回归方程，计算即可，②求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出．【解答】解：（1）由散点图可以判断，y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．（2）令w=，先建立y关于w的线性回归方程．由于d==68，c=﹣d=100.6，所以y关于w的线性回归方程为y=100.6+68w，因此y关于w的线性回归方程为y=100.6+68．（3）①由（2）知，当x=49时，年销量y的预报值y=100.6+68•=576.6，年利润z的预报值z=576.6×0.2﹣49=66.32．②根据（2）的结果知，年利润z的预报值z=0.2﹣x=﹣x+13.6+20.12．所以当==6.8，即x=46.24时，z取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．19．已知函数f（x）=x（a+lnx）的图象在点（e，f（e））（e为自然对数的底数）处的切线的斜率为3．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若k为整数时，k（x﹣1）＜f（x）对任意x＞1恒成立，求k的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求导数，利用函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3，可得f′（e）=3，从而可求实数a的值；（Ⅱ）构造g（x）==，求导函数，令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），确定h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4），进而可得g（x）==在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，求出最小值，即可得解．【解答】解：（Ⅰ）求导数可得f′（x）=a+lnx+1，∵函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3，∴f′（e）=3，∴a+lne+1=3，∴a=1（Ⅱ）k（x﹣1）＜f（x）对任意x＞1恒成立，∴k＜对任意x＞1恒成立，由（1）知，f（x）=x+xlnx，令g（x）==，则g′（x）=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），则h′（x）=＞0，所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增．…因为h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣2ln2＞0，所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4）．当1＜x＜x0时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，当x＞x0时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，…所以函数g（x）==在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．所以g（x）min=g（x0）=x0．因为x0＞3，所以x＞1时，k＜3恒成立故整数k的最大值是3．…2016年8月25日。
甘肃省肃南县第一中学2016-2017学年高二4月月考数学(理)试题Word版含答案
甘肃省肃南县第一中学2017年4月月考高二年级数学（理）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知直线10ax y +-=与直线10x ay +-=互相平行，则a =（ ）A ．1或-1B ． 1C ． -1D ．02. 下列命题中假命题有（ ）①若向量,a b 所在的直线为异面直线，则向量,a b 一定不共面；②R θ∃∈，使3sin cos 5θθ=成立； ③a R ∀∈，都有直线220ax y a ++-=恒过定点；④命题“若220x y +=，则0x y ==”的逆否命题为“若,x y 中至少有一个不为0，则220x y +≠”； A ．3个 B ． 2个 C ．1个 D ．0个3. 函数()3232f x x x =-+在区间[-1,1]上的最大值为（ ） A ．-2 B ． 0 C ．2 D ．44. “x 为无理数”是“2x 为无理数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分又不必要条件5. 抛物线2y ax =的准线方程为2y =，则实数a 的值为（ ）A ．18- B ．18C. 8 D ．-8 6. 如图是几何体的三视图，则该几何体的体积为 （ ）A ．24B ．36 C.72 D ．1447. 设直线2310x y ++=和圆22230x y x +--=相交于点，则弦的垂直平分线的方程是 （ ）A ．3230x y --=B ．3230x y -+= C.2330x y --=D ．2330x y -+=8. 下列命题错误的是 （ ）A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC. 如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，且l αβ=，那么l γ⊥D ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β9. 在四面体ABCD 中，,E G 分别是,CD BE 的中点，若AG x AB y AD z AC =++，则x y z ++=（ ）A ．13B ．12C. 1 D ．2 10. 点,M N 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱1BB 和11B C 的中点，则异面直线CM 与DN 所成的角的余弦值为（ ）A D ．41511. 经过点()2,1M 作直线l 交双曲线2212y x -=于,A B 两点，且M 为AB 的中点，则直线l 的方程为（ ）A ．470x y ++=B ．470x y +-= C.470x y --=D ．470x y -+=12. 设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 作直线交抛物线C 于,A B 两点，则AOB ∆的面积S 的最小值为（ ）A B ． D ．3 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.边长为a 的正方体的内切球的表面积为 ．14.已知向量()()2,1,3,4,2,a b x =-=-，且a b ⊥，则实数x 的值为 ．15.下列四个命题：①“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题；②“正方形是菱形”的否命题； ③若22ac bc >，则a b >；④“若tan tan αβ=，则αβ=”的逆命题；其中真命题为 （只写正确命题的序号）． 16.椭圆221259x y +=上的点到直线45400x y -+=的最小距离为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知圆C 的圆心在直线:210l x y --=，并且经过原点和()2,1A ，求圆C 的标准方程.18. 如图，四棱锥P ABCD -的地面为菱形，且120,ABC PA ∠=︒⊥底面,2,ABCD AB PA ==.（Ⅰ）求证：平面PBD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）求三棱锥P BDC -的体积.19. 已知ABC ∆的两个顶点,A B 的坐标分别是（-5,0），（5,0），且,AC BC 所在直线的斜率之积等于()0m m ≠.（Ⅰ）求点C 的轨迹方程；（Ⅱ）讨论点C 的轨迹的形状.20. 已知命题p ：指数函数()1xy a =-是R 上的增函数，命题q ：不等式2210ax x +->有解.若命题p 是真命题，命题q 是假命题，求实数a 的取值范围.21. 在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD 垂直于底面,ABCD PD DC =，点E 是PC 的中点.（Ⅰ）求证：PA 平面EBD ；（Ⅱ）求二面角E BD P --的余弦值.22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，椭圆的左、右焦点分别是12,F F ，点M 为椭圆上的一个动点，12MF F ∆.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）P 为椭圆上一点，1PF 与y 轴相交于Q ，且112F P FQ =，若1PF 与椭圆相交于另一点R ，求2PRF ∆的面积.试卷答案一、选择题1-5: ADDBA 6-10: CADCA 11、12：CB二、填空题13. 2a π 14. 10315. ③16.41 三、解答题17.解：()0,0O 和()2,1A 的中点坐标为11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭， 线段OA 的垂直平分线的斜率为2k =-，所以，线段OA 的垂直平分线的方程为：522y x =-+. 由5202210x y x y ⎧+-=⎪⎨⎪--=⎩得圆心坐标为61,510C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以，半径222920r AC ==. 因此，圆C 的标准方程为22612951020x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 18.（Ⅰ）证：∵,,BD AC BD PA PA AC A ⊥⊥=，∴BD ⊥平面PAC . 又BD ⊂平面PBD 内，∴平面PBD ⊥平面PAC .（Ⅱ）解：111221332BDC V S PA ∆⎛=⋅=⨯⨯⨯= ⎝⎭. 19.解：（Ⅰ）设(),C x y ，则由题知55y y m x x ⋅=-+， 即()22152525x y x m+=≠±-为点C 的轨迹方程.（Ⅱ）当0m >时，点C 的轨迹为焦点在x 轴上的双曲线；当1m <-时，点C 的轨迹为焦点在y 轴上的椭圆；当1m =-时，点C 的轨迹圆心为（0,0），半径为5的圆；当10m -<<时，点C 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆.20.解：命题p 为真命题时，11a ->即0a <，命题q ：不等式2210ax x +->有解，当0a >时，显然有解；当0a =时，210x ->有解；当0a <时，∵2210ax x +->有解，∴440a ∆=+> ∴10a -<<.从而命题q ：不等式2210ax x +->有解时1a >-.又命题q 是假命题，∴1a ≤-.∴p 是真命题，q 是假命题时，a 的取值范围(,1]-∞-.21.解：（Ⅰ）法一：以点D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴建立直角坐标系.设正方形的边长为1，则 ()()0,0,0,0,0,1,D P ()()()1,0,0,1,1,0,0,1,0A B C ， ∴110,,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()111,1,0,0,,22DB DE ⎛⎫== ⎪⎝⎭(),1,0,1PA =-. 设平面EBD 的法向量为()1111,,n x y z =，可求得()11,1,1n =-，∴10n PA ⋅=，∴//PA 平面EBD .即PA 平面EBD .法二：连接AC ，设0AC BD =，连接OE ，则OE PA ，∴PA 平面EBD . （Ⅱ）设平面的法向量为()21,1,0n AC ==-.∴()12cos ,n n =-，∴二面角E BD P --22.解：（Ⅰ）由已知条件：11,222c e c b bc a ==⋅⋅==∴2,1a b c ===，∴椭圆C 的方程为22143x y +=. （Ⅱ）由112F P FQ =，知Q 为1F P 的中点，所以设()0,Q y ，则()1,2P y ， 又满足椭圆的方程，代入求得34y =，∴直线的方程为()314y x =+. 由()22314143y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得276130x x +-=， 设()()1122,,,P x y R x y ，则1212613,77x x x x +=-=-， ∴1212627,728y y y y +==-， ∴212115227PRF S c y y c ∆=⋅⋅-==. 说明：各题如有其它解法可参照给分.。