南通市教研室2012年数学全真模拟试卷三
【初中数学】江苏省南通市教研室2012年中考数学全真模拟试卷(6份) 通用5
()x '（第5题图）南通市教研室2012年数学全真模拟试卷六试题Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．. 1． 已知集合{}1A =，{}19B =, ，则A B =U ▲ ．2． 若复数z 的实部为1-，模为2，则复数z 的虚部是 ▲ .3． 有红心1，2，3和黑桃4，5这5张扑克牌，现从中随机抽取一张，则抽到的牌为红心的概率是 ▲ .4． 某公司生产三种型号A 、B 、C 的轿车，产量分别为1200辆、6000辆、2000辆．为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，则型号A 的轿车应抽取 ▲ 辆． 5． 如图，是一个算法的程序框图，当输入的x 值为5-时，则输出的y 值为 ▲ ．6． 已知点(01)(4)A B a ,, , ，若直线AB 在x 轴与y 轴上的截距相等，则实数a = ▲ . 7． 设0ω>，函数()sin 2y x ωπ=++的图像向右平移4π3个单位后与原图像重合，则ω的最小值是▲ ．8． 已知函数()f x 的导函数()f x '是二次函数，右图是()y f x '=的图象，若()f x 的极大值与极小值之和为23，则(0)f 的值为 ▲ ．9． 在四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥平面ABC ，且1cm AB BC CD ===，则四面体ABCD 的外接球的表面积为 ▲ 2cm .10．设{}n a 是等比数列，则“123a a a <<”是“数列{}n a 是递增数列”的 ▲ 条件．（在“充分不必要”、“充分必要”、“必要不充分”中选填一种） 11．已知ABC ∆的周长为16，面积为6，且6BC =，则=AB AC ⋅▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，以椭圆22221(0)y x a b a b+=>>上的一点A 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的一个焦点，与y 轴相交于B C 、两点，若△ABC 是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是 ▲ .13．在△ABC 中，若4AC =，5BC =，7cos()8A B -=，则cos C =___________．14．定义：若函数()f x 为定义域D 上的单调函数，且存在区间( ) ()m n D m n ⊆<，，使得当x ∈( )m n ，时，()f x 的取值范围恰为( )m n ，，则称函数()f x 是D 上的“正函数”． 已知函数()x f x a =(1)a >为R 上的“正函数”，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分14分）已知02αβπ<<<<π,且5sin()13αβ+=, 1tan 22α=． （1）求cos α的值；（2）证明：sin β>513．16．（本题满分14分）如图，正方形ABCD 所在的平面与三角形CDE 所在的平面交于CD ，AE ⊥平面CDE ，且2AB AE =．ABCE（1）求证：//AB 平面CDE ； （2）求证：平面ABCD ⊥平面ADE ；17．（本题满分15分）若半径为r 的圆C ：220x y Dx Ey F ++++=的圆心C 到直线l ：0Dx Ey F ++=的距离为d ，其中222D E F +=，且0F >．（1）求F 的范围；（2）求证：22d r -为定值； （3）是否存在定圆M ，使得圆M 既与直线l 相切又与圆C 相离？若存在，请求出定圆M 的方程，并给出证明；若不存在，请说明理由．18．（本题满分15分）如图，某兴趣小组测得菱形养殖区ABCD 的固定投食点A 到两条平行河岸线12l l 、的距离分别为4m 、8m ，河岸线1l 与该养殖区的最近点D 的距离为1m ，2l 与该养殖区的最近点B 的距离为2m ．（1）如图甲，养殖区在投食点A 的右侧，若该小组测得60BAD ∠= ，请据此算出养殖区的面积；（2）如图乙，养殖区在投食点A 的两侧，试在该小组未测得BAD ∠的大小的情况下，估算出养殖区的最小面积．1l2lDABC1l2lDABC19．（本题满分16分）设()k f n 为关于n 的k ()k ∈N 次多项式．数列{a n }的首项11a =，前n 项和为n S ．对于任意的正整数n ，()n n k a S f n +=都成立．（1）若0k =，求证：数列{a n }是等比数列；（2）试确定所有的自然数k ，使得数列{a n }能成等差数列．20．（本题满分16分）已知函数2()(2)2f x x m x m =-+-+-，其中m 为常数． （1）求证：函数()f x 的图象必过定点；（2）若()y f x =在[]10-, 上为单调减函数，求实数m 的取值范围；（3）是否存在正整数a b , ，使得()a f x b ≤≤的解集恰好为[]a b , ？若存在，请求出a b ,的值；若不存在，请说明理由．试题Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若 多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．（几何证明选讲）如图，AB 是半圆的直径，C 是半圆上一点，D 是 AC 的中点，DE AB ⊥于E ，求证：AM MN =．B ．（矩阵与变换）已知a ，b ∈R ，矩阵A 13a b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦所对应的变换T A 将直线230x y --=变换为自身．（1）求实数a ，b 的值； （2）计算213-⎡⎤⎢⎥⎣⎦A ．C ．（极坐标与参数方程）在极坐标系中，已知点A 、B 分别在曲线3sin ρθ=、3cos ρθ=上，求AB 的最大值与最小值．D ．（不等式选讲）已知 a b c ，，均为正数，且1a b c ++=，求证：()()()11111164a b c+++≥．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．设动点P 在y 轴与直线l ：8x =之间的区域（含边界）上运动，且到点(20)F ,和直线l 的距离之和为10，设动点P 的轨迹为曲线C ，过点(24)S , 作两条直线SA SB 、分别交曲线C 于A B 、两点，斜率分别为12k k 、．（1）求曲线C 的方程；（2）若121k k ⋅=，求证：直线AB 恒过定点．23．设n 是给定的正整数，有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，同时满足下列条件： （第21—A 题）AEBCDMN① {}1 1i a ∈-，,1 2 2i n =⋅⋅⋅，，，； ②对任意的1k l n ≤≤≤,都有2212li i k a =-∑≤．（1）记n A 为满足“对任意的1k n ≤≤，都有2120k k a a -+=”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求n A ；（2）记n B 为满足“存在1k n ≤≤，使得2120k k a a -+≠”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求n B ．南通市教研室2012年数学全真模拟试卷六参考答案1．{}1 9，；2．； 3．35； 4．6； 5．0； 6．-3； 7．32； 8．13；9．3π； 10．充分必要； 11．554； 12．； 13．11；14．()11 e ，． 答案解析：1． 根据集合的并集运算得{}1 9A B =，U ；2． 设复数z =-1+b i ，则z =4=，解得b =；3． 由古典概型得，抽到的牌为红心的概率是35；4． 根据分层抽样，型号A 的轿车应抽取1200466⨯=（辆）； 5． 变量x 的值由初值-5经过循环后变为1，而2log 10=；6． 易得直线AB 的方程为：114a y x -=+，由两截距相等得14a -=-，所以3a =-；7． 将函数()s i n 2y x ωπ=++3图象向右平移4π3个单位后所得函数解析式为()4ππs i n 33y x ω⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，即()π4πs i n 33y x ωω=+-，由两函数的图象重合得4π2π Z k k ω-=∈，，即3 2Z k k ω=-∈，，又0ω>，故当k =-1时，ω取最小值32；DCBA（第9题图）8．设()()()22f x a x x '=+-（a 非零为常数），所以()31()43f x a x x c =-+（c 为常数），因为2(2)(2)3f f +-=，所以2c =23，此时(0)f =c =13；9． 如图，则四面体ABCD 的外接球即它所在正方体（棱长为1）的外接球，而正方体的外接球的直径即正方体的体对角线长24π3π=⎝⎭（cm 2）；10．必要性显然，充分性：首先可以断定公比为正数，且数列中的各项符号相同，当各项均为正数时，易有公比大于1，所以原数列是递增数列；当各项均为负数时，也易有公比在()0 1，内，所以原数列也是递增数列，故答案为充分必要条件；11．如图，以BC 为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系xOy ，设()A x y ,， 则(30)B -,，(30)C , ，由题意得106AB AC BC +=>=所以点A 的轨迹是以B C 、为焦点，10方程为2212516y x +=（除与x 轴的两个交点）， 由1662A y =⨯⨯得2A y =，由对称性，不妨取点)2A ，则55=4AB AC ⋅．12．由题意得，圆半径2b r a=，因为△ABC 是锐角三角形，所以πcos0cos cos A c >=>，即1c r <<221ac a c <<-211e e <<-，解得e ∈；13．在线段BC 上取一点D ，使得AD =BD ，从而∠DAB =∠A ，所以cos cos()CAD A B ∠=-=78，在△CAD 中，由余弦定理得AD =3，所以cos C =1116；14．由题意得() () f m m f n n =⎧⎨=⎩，，所以m ，n 是方程()f x x =的两个不等的实数根，即考察方程x a x=何时有两个不等的实数根，两边同时取自然对数得ln ln x a x=，即ln ln 0 x a x-=，设ln ()ln x g x a x =-，则由2ln 1()0x g x x -'==得e x =，经验证，函数()g x 的最小值为(e)g ，故(e)g =1ln 0 a -<，解得1e a <，又a >1，故()11 e a ∈，．15．命题立意：本题主要同角三角函数的关系、两角和与差的正弦、正切公式，考查运算求（第11题图）解能力．解：（1）将1tan 22α=代入22tan 2tan 1tan 2ααα=-得4tan α=（4分）所以22sin 4 cos 3sin cos 1 αααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩，，又()π0 2α∈，，解得3cos 5α=．（6分）（2）易得π3π22αβ<+<，又5sin()αβ+=,所以()12cos 13αβ+=-，（8分）由（1）可得4sin 5α=，（10分）所以()()53124635sin sin 1351356513βαβα=+-=⨯--⨯=>⎡⎤⎣⎦．（14分）16．命题立意：本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系、二面角的基础知识，考查空间想象、推理论证能力． 证明：（1）正方形ABCD 中，//AB CD ，又AB ⊄平面CDE ， CD ⊂平面CDE ， 所以//AB 平面CDE ．（6分） （2）因为AE CDE ⊥平面， 且CD CDE ⊂平面， 所以AE CD ⊥，（8分） 又 ABCD CD AD ⊥正方形中，， 且AE AD A = ，AE AD ADE ⊂、平面，所以CD ADE ⊥平面，（12分） 又CD ABCD ⊂平面，所以ABCD ADE ⊥平面平面．（14分）17．命题立意：本题主要考查求直线与圆得方程、直线与圆、圆与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解与探究论证能力．解：（1）因为224+>D E F ，又222D E F +=，且0F >，所以24,>F F 且0F >，解得4>F ；（3分）（2）易得圆C 的圆心()22D E C --,，半径r =， A B C D E（第16题图）圆心C 到直线l 的距离22F d -==，所以2222212F d r --=-=；（7分） （3）存在定圆M ：221x y +=满足题意，下证之：（9分） 1 因为M(0，0)到直线l 1R ==，所以圆M 与直线l 相切；（12分）2因为2F CM =，且11R +，而()2241140224F F FF -⇔->⇔>， 故1CM R >+，所以圆M 与圆C 相离．由1 、2 得，存在定圆M ：221x y +=满足题意．（15分）18．命题立意：本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力． 解：（1）设AD 与1l 所成夹角为α，则AB 与2l 所成夹角为60α- ，对菱形ABCD 的边长“算两次”得()36sin sin 60αα=- ，（3分）解得tan α=所以，养殖区的面积()()22231sin6091sin60)tan S αα=⋅=+⋅=；（5分）（2）设AD 与1l 所成夹角为α，()120 180BAD θ∠=∈ ，，则AB 与2l 所成夹角为 ()180θα-+ ，对菱形ABCD 的边长“算两次”得()36sin sin 180αθα=-+ ，（7分）解得sin tan 2cos θαθ=+，所以，养殖区的面积()23sin sin S θα=⋅()2191sin tan θα=+⋅()54cos 9θθ+=，（10分）由()()254cos 5cos 4990sin sin S θθθθ'++'==-=得4cos 5θ=-，（13分）经检验得，当4cos 5θ=-时，养殖区的面积2min =27(m )S ．答：（1）养殖区的面积为2；（2）养殖区的最小面积为227m ．（15分）19．命题立意：本题主要考查等差、等比数列的定义与通项公式、求和公式等基础知识，考查灵活运用基本量进行探索求解、推理分析能力．解：（1）若0k =，则()k f n 即0()f n 为常数，不妨设0()f n c =（c 为常数）． 因为()n n k a S f n +=恒成立，所以11a S c +=，即122c a ==． 而且当2n ≥时，2n n a S +=， ① 112n n a S --+=，② ①－②得 120(2)n n a a n n --=∈N ，≥． 若a n =0，则1=0n a -，…，a 1=0，与已知矛盾，所以*0()n a n ≠∈N ． 故数列{a n }是首项为1，公比为12的等比数列．（4分）（2）(i) 若k =0，由（1）知，不符题意，舍去．（6分） (ii) 若k =1，设1()f n bn c =+（b ，c 为常数）， 当2n ≥时，n n a S bn c +=+， ③ 11(1)n n a S b n c --+=-+， ④ ③－④得 12(2)n n a a b n n --=∈N ，≥． 要使数列{a n }是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有n a b d =-（常数），而a 1=1，故{a n }只能是常数数列，通项公式为a n =1()*n ∈N ，故当k =1时，数列{a n }能成等差数列，其通项公式为a n =1()*n ∈N ，此时 1()1f n n =+．（9分）(iii) 若k =2，设22()f n an bn c =++（0a ≠，a ，b ，c 是常数）， 当2n ≥时，2n n a S an bn c +=++， ⑤（图1）（图2）y211(1)(1)n n a S a n b n c --+=-+-+， ⑥ ⑤－⑥得 122(2)n n a a an b a n n --=+-∈N ，≥， 要使数列{a n }是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有2n a an b a d =+--，且d =2a ，考虑到a 1=1，所以1(1)2221n a n a an a =+-⋅=-+()*n ∈N ．故当k =2时，数列{a n }能成等差数列，其通项公式为221n a an a =-+()*n ∈N ，此时22()(1)12f n an a n a =+++-（a 为非零常数）．（12分）(iv) 当3k ≥时，若数列{a n }能成等差数列，则n n a S +的表达式中n 的最高次数为2，故数列{a n }不能成等差数列．（14分）综上得，当且仅当k =1或2时，数列{a n }能成等差数列．（16分）20．命题立意：本题主要考查函数的概念、图象、性质等基础知识，考查灵活应用属性结合思想、分类讨论思想进行探索问题、解决问题的能力．解：（1）易得2(1)22y m x x x =---+，即2(1)(22)0x m x x y --+-+= 所以210 220 x x x y -=⎧⎨+-+=⎩，，解得1 1 x y =⎧⎨=-⎩，，故()f x 的图象必过定点()1 1-，；（3分）（2）判别式()()281226m m m m ∆=-+=--， ① 当0∆≤时，即26m ≤≤时，函数()f x ≤0恒成立，所以2()()(2)2f x f x x m x m =-=--+-，对称轴方程为22m x -=，所以当20 22m m -≥，即≥时符合题意（如图1），此时26m ≤≤；（6分）② 当0∆>时，即26m m <>或时，方程()0f x =的两个实根为1 2x =，，不妨设12x x <，由题意及图象得10x ≥或221 20 m x -⎧-⎪⎨⎪⎩≤，≥，即2m -2）或21,20m m -⎧-⎪⎨⎪-⎩≤ （如图3）解得2 0m m ≥，或≤，此时0 6m m >≤，或， 综上得m 的取值范围是0 2m m ≤，或≥．（10分）（3）由题意得() () 2() 2f a a f b a m f b ⎧=⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩，，≤，（12分）所以a ，b 是方程()f x a =的两个不同的实数解， 由根与系数的关系得2 2 a b m ab a m +=-⎧⎨=+-⎩，，消去m 得2ab a b =+，即(1)2b a a -=．当1a =时，上式显然不可能成立，故1a ≠，所以22211a b a a ==+--，因为 Z a b ∈，，所以1a -是2的约数1 2 ±±，， 即a 的所有可能值分别为0，2，-1，2，对应的b 的所有可能值依次为0，4，1，3，因为a b <，所以11a b =-⎧⎨=⎩，（舍）或24.a b =⎧⎨=⎩，对应的m 的值为8， 经检验，满足()2m f b -≤，所以24a b =⎧⎨=⎩，即为所求．（16分）附加题部分21．A ．命题立意：本题主要考查同角或等角的余角、圆的相关知识，考查推理论证能力． 证明：连结CD 、AD ， 因为AD CD =，所以∠DAC =∠ACD ， 而∠ABD =∠ACD ，所以∠DAC =∠ABD ，（4分）则∠AND =∠EAD ，∠EAD =∠BDE ，∠ADE =∠ABD ，所以∠AND =∠BDE ，且∠ADE =∠DAC ， 故MN =DM ，且AM =DM ， 所以MN =AM ．（10分）B ．命题立意：本题主要考查二阶矩阵的变换，考查运算求解能力．解：（1）设变换T ：x x y y '⎡⎤⎡⎤→⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦，则133x a x x ay b y y bx y '--+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，（2分） 因为点x y '⎡⎤⎢⎥'⎣⎦在已知直线上，所以230x y ''--=，故()()2330x ay bx y -+-+-=，整理得()1(23)30b x a y --+--=，（4分） 所以22 231 b a --=⎧⎨-=-⎩，，解得1 4a b =⎧⎨=-⎩，．（6分）（2）由（1）得矩阵1143-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ， 所以2111132434385---⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ， 故213219853323---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ．（10分）C ．命题立意：本题主要考查圆的极坐标方程，考查数形结合的能力．解：在极坐标系中，方程3sin ρθ=表示圆心为()3π 22，，半径为32的圆，方程3cos ρθ= 表示圆心为()3 0，，半径为32的圆，易得两圆相交于两点，故min 0AB =，当AB 经过两个圆的圆心时max 3AB =+．（10分）D ．命题立意：本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证能力．证明：左边()()()()111111111111+11ab a b c abc ac bc ab a b c=+++=+++++++≥133abc +⋅（当且仅当a b c ==时，取得“=”），（6分） 而()31327a b cabc ++=≤（当且仅当a b c ==时，取得“=”）， 所以左边≥27+2133327327⨯+⨯+1=64（当且仅当a b c ==时，取得“=”）．（10分）22．命题立意：本题主要考查轨迹方程的应用，考查运算求解能力．解：（1）设P (x ，y )810 (08)x x -=≤≤，移项平方并化简得，28y x = (08)x ≤≤．(4分) （2）设()()1122 A x y B x y ，，，， 则11122112144882442y y k k x y y y --====-++-, 同理, (6分) 所以()()1212641+44k k y y ⋅==+，即1212484()y y y y =-+ （※） 因为直线AB 的方程为()()2111121128y y y y x x x x x x y y --=-=--+， 所以1212128y y y x y y y y =+++，代人（※）得，()12864y x y y =+-+， 故直线AB 必过点()6 4--，．(10分)23．命题立意：本题主要考查计数原理、组合数的性质、二项式定理等基础知识，考查运算求解、推理论证的能力．解：（1）因为对任意的1k n ≤≤，都有2120k k a a -+=， 所以22222n n n A =⨯⨯⋅⋅⋅⨯=个相乘；（3分） （2）因为存在1k n ≤≤，使得2120k k a a -+≠， 所以2122k k a a -+=或2122k k a a -+=-，（5分） 设所有这样的k 为12(1)m k k k m n ⋅⋅⋅≤≤,, ， 不妨设2122(1)j j k k a a j m -+=≤≤，则112122j j k k a a ++-+=-（否则12212j j k i i k a +=->∑=4）； 同理，若2122(1)j j k k a a j m -+=-≤≤，则112122j j k k a a ++-+=， 这说明212j j k k a a -+的值由11212k k a a -+的值（2或-2）确定， 又其余的()n m -对相邻的数每对的和均为0，所以，11222C 22C 22C n n nn n n n B --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+ 11222(2+C 2C 2C )22n n n n n n n n --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯2(12)22n n =+-⨯ 2(32)n n =-．（10分）。
南通市教研室2012年数学全真模拟试卷一(含答案)汇总
南通市教研室2012年数学全真模拟试卷一试题Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1． 已知集合{}1 3 5 9U =，，，，{}1 3 9A =，，，{}1 9B =，，则()U A B =U ð ． 2． 若9z z ⋅=（其中z 表示复数z 的共轭复数），则复数z 的模为 ． 3． 已知函数()a f x x=在1x =处的导数为2-，则实数a 的值是 ．4． 根据国家质量监督检验检疫局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》(GB19522—2004)中规定车辆驾驶人员血液酒精含量：“饮酒驾车”的临界值为20mg/100ml ； “醉酒驾车”的临界值为80mg/100ml ．某地区交通执法部门统计了5月份的执法记录数据：根据此数据，可估计该地区5月份“饮酒驾车” 发生的频率等于 ．5． 要得到函数sin 2y x =的函数图象，可将函数()πsin 2y x =+的图象向右至少．．平移 个单位． 6．在平面直角坐标系xOy 中，“直线y x b =+，b ∈R 与曲线x =“ ”．7． 如图，i N 表示第i 个学生的学号，i G 表示第i 个学生的成绩，已知学号在1~10的学生的成绩依次为401、392、385、359、 372、327、354、361、345、337，则打印出的第5组数据是 ． 8． 在△ABC 中，若tan :A tan :tan 1:2:3B C =，则A = ． 9． 已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时，()1f x =，则不等式2()(0)f x x f -<的解集为 ．10．设正四棱锥的侧棱长为1，则其体积的最大值为 ． 11．已知平面向量a ，b ，c 满足1=a ，2=b ，a ，b 的夹角等于π3，且()()0-⋅-=a c b c ，则c 的取值范围是 ． 12．在平面直角坐标系xOy 中，过点11( 0)A x ，、22( 0)A x ，分别作x （第7题）轴的垂线与抛物线22x y =分别交于点12A A ''、，直线12A A ''与 x 轴交于点33( 0)A x ，，这样就称 12x x 、确定了3x ．同样，可由23x x 、确定4x ，…，若12x =，23x =，则5x = ．13．定义：min {x ，y }为实数x ，y 中较小的数．已知{}22min 4b h a a b=+，，其中a ，b 均为正实数，则h 的最大值是 ．14．在平面直角坐标系xOy 中，直角三角形ABC 的三个顶点都在椭圆222 1 (1)x y a a+=>上，其中 0 1A （，）为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为278，则实数a 的值为 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知函数()()2ππ()sin cos sin sin 44f x x x x x x x =+++-∈R ，．（1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）若0x x =()0π02x ≤≤为()f x 的一个零点，求0sin 2x 的值．16．（本题满分14分）如图，在边长为1的菱形ABCD 中，将正三角形．．．．BCD 沿BD 向上折起，折起后的点C 记为C '，且 CC a '=（0a <<）．（1）若a =C —BD —C '的大小；（2）当a 变化时，线段CC '上是否总存在一点E ，使得A C '//平面BED ？请说明理由．17．（本题满分15分）在平面直角坐标系xOy 中，设A 、B 是双曲线2212y x -=上的两点，(12)M ，是线段AB 的中点， 线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点．（第16题）DC 'A B C（1）求直线AB 与CD 的方程；（2）判断A 、B 、C 、D 四点是否共圆？若共圆，请求出圆的方程；若不共圆，请说明理由．18．（本题满分15分）某省高考数学阅卷点共有400名阅卷老师，为了高效地完成文、理科数学卷的阅卷任务，需将400名阅卷老师分成两组同时展开阅卷工作，一组完成269捆文科卷，另一组完成475捆理科卷．根据历年阅卷经验，文科每捆卷需要一位阅卷老师工作3天完成，理科每捆卷需要一位阅卷老师工作4天完成．（假定每位阅卷老师工作一天的阅卷量相同，每捆卷的份数也相同） （1）如何安排文、理科阅卷老师的人数，使得全省数学阅卷时间最省？（2）由于今年理科阅卷任务较重，理科实际每捆卷需要一位阅卷老师工作4.5天完成，在按（1）分配的人数阅卷4天后，阅卷领导小组决定从文科组抽调20名阅卷老师去阅理科卷，试问完成全省数学阅卷任务至少需要多少天？（天数精确到小数点后第3位）（参考数据：807 6.782119≈，95 6.78614≈，331 3.34399≈，1013.5 3.367301≈）19．（本题满分16分）已知函数()f x 的导函数()f x '是二次函数，且()0f x '=的两根为1±．若()f x 的极大值与极小值 之和为0，(2)2f -=． （1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数在开区间(99)m m --,上存在最大值与最小值，求实数m 的取值范围． （3）设函数()()f x x g x =⋅，正实数a ，b ，c 满足()()()0ag b bg c cg a ==>，证明：a b c ==．20．（本题满分16分）设首项为1的正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}2na 的前n 项和为n T ，且24()3n n S pT --=，其中p 为常数.（1）求p 的值；（2）求证：数列{}n a 为等比数列；（3）证明：“数列n a ，12x n a +，22y n a +成等差数列，其中x 、y 均为整数”的充要条件是“1x =， 且2y =”．试题Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若 多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（几何证明选讲）如图，AB 是半圆的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切 半圆于点D ，CD =2，DE ⊥AB ，垂足为E ，且E 是OB 的中点，求BC 的长．B ．（矩阵与变换）已知矩阵122a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的属于特征值b 的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数a 、b 的值．C ．（极坐标与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1 2)A -，在曲线22 2 x pt y pt ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（t 为参数，p 为正常数），求p 的 值．D ．（不等式选讲）设123 a a a ，，均为正数，且1231a a a ++=，求证：1231119.a a a ++≥【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤．22．已知函数2()2(1)ln(1)2f x x x x x =++--，[)0x ∈+∞，，求()f x 的最大值.23．（1）已知*k n ∈N 、，且k n ≤，求证：11C C k k n n k n --=；（2）设数列0a ，1a ，2a ，…满足01a a ≠，112i i i a a a -++=（i =1，2，3，…）．证明：对任意的正整数n ，011222012()C (1)C (1)C (1)C n n n n nn n n n n p x a x a x x a x x a x --=-+-+-+⋅⋅⋅+是 关于x 的一次式．南通市教研室2012年数学全真模拟试卷一参考答案1. {}5；2. 3；3. 2；4. 0.09；5. π6；6. b =；7. 8361，；8. π4；9. (01)，；10. ；11. ⎣⎦； 12. 12； 13. 12； 14. 3． 答案解析1．易得{}1 3 9A B A ==，，U ，则()U A B =U ð{}5； 2.3z ==；3. 易得2()a f x x '=-，则(1)2f a '=-=-，即2a =； 4. “饮酒驾车” 发生的频率等于11520.09++=；5. 将()()πsin 2sin 23y x x π=+=+6向右至少平移π6个单位得sin 2y x =；6.1=，且0b <，即b =；7. 打印出的第5组数据是学号为8号，且成绩为361，故结果是8361，； 8. 设tan A k =，则tan 2B k =，tan 3C k =，且0k >，利用tan tan tan tan()1tan tan A B C A B A B +=-+=--可求得1k =，所以A π=4；9. 易得(0)0f =，20x x -<，故所求解集为(0 1)，； 10. 法1 设正四棱锥的底面边长为x，则体积13V x =，记()22y t t =-，0t >，利用导数可求得当43t =时，max 3227y=，此时max V =法2 设正四棱锥的侧棱与底面所成角为θ，则()22122cos sin 1sin sin 33V θθθθ=⨯⨯=-⨯，0<θπ<2，记()21 01y t t t =-<<，，利用导数可求得当t =时，max y =，此时max V = 11. 如图，设 a b c OAOB OC ===，，，u u r u u u r u u u r △ABC中，由余弦定理得AB =uu u r 由()()0-⋅-=a c b c 知，点C 的轨迹是以AB 为直径的圆M ，OAB2CM1C（第11题图）且OM，故12c OC OC ⎡⎤∈=⎣⎦⎣⎦，uuu r uuu u r ； 12. 设()21 2n n n A x x ，、()21111 2n n n A x x +++，，则割线n A 1n A +的方程为：2212111122()2n n n nn nx x y x x x x x ++--=--， 令0y =得121n nn n nx x x x x +++=+，即21111n n n x x x ++=+，不难得到34515171266x x x ===，，；13.易得22211444ab h a b a b b a ==++≤，所以12h ≤（当且仅当4a b =时取等号）； 14. 设AB 的方程为：1(0)y kx k =+>，则AC 的方程为：11y x k =-+，由22211y kx x y a =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得 2222(1)20a k x a k x ++=，解得22221B a k x a k -=+，用“1k -”替换“k ”得2222C a k x a k=+，故222222221a k a k AB AC a k a k ==++ 所以()()44222222242122(1)121(1)()1ABCa k a k k k S AB AC a k a k a k a k ∆++=⋅==+++++， 令12t k k=+≥，则4322222(1)1ABC a a S a a a t ∆=--+≤（当且仅当212a t a -=>时等号成立）， 由322781a a =-得2(3)(839)0a a a ---=解得3a =，或a =，所以3a =． 15．命题立意：本题主要考查三角函数的图像与性质、两角和与差的正、余弦公式，考查运算求解 能力．（1）易得()2221()sin 2sin cos 2f x x x x x =+-1cos212cos222x x x -=-1s i n 2c o s 22x x =-+＝()π12sin 262x -+，（5分）所以()f x 周期π，值域为35 22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，；（7分） （2）由()00π1()2sin 2062f x x =-+=得()0π1sin 2064x -=-<，（9分） 又由0π02x ≤≤得02ππ5π 666x ≤≤--，所以02ππ0 66x ≤≤--，故()0πcos 26x -=（11分）此时，()0ππsin 2sin 266x x ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦()()0ππππsin 2cos cos 2sin 6666x x =-+-1142=-=（14分）16．命题立意：本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象、推理论证能力．解：（1）连结AC ，交BD 于点O ，连结OC '， 菱形ABCD 中，CO BD ⊥，因三角形BCD 沿BD 折起，所以C O BD '⊥， 故C OC '∠为二面角C —BD —C '的平面角，（5分） 易得C O CO '==，而CC '=所以C OC π'∠=3，二面角C —BD —C '的大小为π3；（7分） （2）当a 变化时，线段CC '的中点E 总满足A C '//平面BED ，下证之：（9分） 因为E ，O 分别为线段CC '，AC 的中点， 所以//OE AC '，（11分） 又AC '⊄平面BED ，OE ⊂平面BED ， 所以A C '//平面BED . （14分） 17．命题立意：本题主要考查求双曲线、直线、圆等基础知识，考查运算求解与探究能力．解：（1）设A 11()x y ，，则11(24)B x y --，， 代入双曲线2212y x -=得2211221112(4)(2)12y x y x ⎧-=⎪⎪⎨-⎪--=⎪⎩，， 解得110x y ⎧⎨=⎩=-1，或1134x y =⎧⎨=⎩，， 即A B 、的坐标为10-（，）、34（，），所以AB ：1y x =+，CD ：3y x =-+；（7分）（2）A 、B 、C 、D 四点共圆，下证之：（9分）证明：由3y x =-+与2212y x -=联立方程组可得C D 、的坐标为(36--+、(36-+-，（11分） 由三点A 、B 、C 可先确定一个圆22(3)(6)40x y ++-=①，（13分）经检验(36D -+-适合①式，所以A 、B 、C 、D 四点共圆．（15分）（注：本题亦可以利用圆的几何性质判断四点共圆）18．命题立意：本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力． 解：（1）设文科阅卷人数为x ，且x ∈*N ，（第16题图） DC 'A B CO E则阅卷时间为2693119.246()4754119.246x xf x x ⨯⎧⎪=⎨⨯⎪>⎩≤，，，，（5分）而(119) 6.782f =，(120) 6.786f =，故(119)(120)f f <，答：当文、理科阅卷人数分别是119,281时，全省阅卷时间最省；（8分）（2）文科阅卷时间为：1269311943347.34399⨯-⨯⨯⨯+=，（11分） 理科阅卷时间为：1475 4.52814 4.54.547.367⨯-⨯⨯⨯+=，（14分） 答：全省阅卷时间最短为7.367天．（15分）19．命题立意：本题主要考查利用导数研究三次函数的图像与性质等基础知识，考查灵活运用数形 结合、化归与转化思想进行运算求解、推理论证的综合能力． 解：（1）设()(1)(1)f x a x x '=+-，则可设()3()3x f x a x c =-+，其中c因为()f x 的极大值与极小值之和为0， 所以(1)(1)0f f -+=，即0c =， 由(2)2f -=得3a =-， 所以3()3f x x x =-；（5分）（2）由（1）得3()3f x x x =-，且()3(1)(1)f x x x '=-+- 列表：由题意得，三次函数在开区间上存在的最大值与最小值必为极值（如图），（7分）又(2)2f -=，故(2)2f =-， 所以192m <-≤，且291m --<-≤， 解得78m <≤；（10分）（3）题设等价与222(3)(3)(3)a b b c c a -=-=-，且a ，b ，c >0， 所以a ，b ，c假设在a ，b ，c 中有两个不等，不妨设a ≠b ，则a >b 或a <b ． 若a >b ，则由22(3)(3)a b b c -=-得2233b c -<-即b c >， 又由22(3)(3)b c c a -=-得c >a ． 于是a >b >c >a ，出现矛盾． 同理，若a <b ，也必出现出矛盾．故假设不成立，所以a b c ==．（16分）20．命题立意：本题主要考查等差、等比数列的定义与通项公式、求和公式等基础知识，考查灵活 运用基本量进行探索求解、推理分析能力．解：（1）n = 1时，由24(1)13p --=得p = 0或2，（2分）若p = 0时，243n n S T -=，当2n =时，22224(1)13a a -++=，解得20a =或212a =-，而0n a >，所以p = 0不符合题意，故p = 2；（5分）（2）当p = 2时，241(2)33n n T S =-- ①，则21141(2)33n n T S ++=--②，②-①并化简得1134n n n a S S ++=-- ③，则22134n n n a S S +++=-- ④， ④-③得2112n n a a ++=（n *∈N ），又易得2112a a =， 所以数列{a n }是等比数列，且112n n a -=；（10分）（3）充分性：若x = 1，y = 2，由112n n a -=知n a ，12x n a +，22y n a +依次为112n -，22n，142n +， 满足112142222n n n -+⨯=+，即a n ，2x a n +1，2y a n +2成等差数列；（12分） 必要性：假设n a ，12x n a +，22y n a +成等差数列，其中x 、y 均为整数，又112n n a -=， 所以11111222222x y n nn -+⋅⋅=+⋅， 化简得2221x y --=显然2x y >-，设(2)k x y =--，因为x 、y 均为整数，所以当2k ≥时，2221x y -->或2221x y --<，故当1k =，且当1x =，且20y -=时上式成立，即证． （16分）21．A ．命题立意：本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证、运算求解能力．解：连接OD ，则OD ⊥DC ，在Rt △OED 中，12OE =OB 12=OD ， 所以∠ODE =30°，（5分）在Rt △ODC 中，∠DCO =30°，由DC =2得OD =DC tan30°=所以BC =．（10分） B ．命题立意：本题主要考查二阶矩阵的特征值与特征向量，考查运算求解能力．解：由二阶矩阵的特征值与特征向量的概念知122a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥⎣⎦=11b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（5分） 所以3 2 b b a =⎧⎨=+⎩，，解得1 3a b ==，.（10分） C ．命题立意：本题主要考查参数方程，考查运算求解能力．解：由22 2 x pt y pt ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，（t 为参数，p 为正常数），消去参数t 得22y px =，（8分） 将点(1 2)A -，代入22y px =得2p =.（10分）D ．命题立意：本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证能力．证明：因为a 1，a 2，a 3均为正数，且12310a a a ++=>， 所以123111a a a ++()123123111()a a a a a a =++++()()1133123123111339a a a a a a ⋅=≥，（8分） 当且仅当1231a a a ===时等号成立， 所以1239111a a a ++≥.（10分） 22．命题立意：本题主要考查复合函数求导等知识，考查运算求解、推理论证能力．证明：由2()2(1)ln(1)2f x x x x x =++--得()2ln(1)2f x x x '=+-，（2分）令()2ln(1)2g x x x =+-，则22()211x g x x x-'=-=++， 当10x -<<时，()0g x '>，()g x 在(1 0)-，上为增函数； 当x ＞0时，()0g x '<，()g x 在(0)+∞，上为减函数， 所以()g x 在x =0处取得极大值，且(0)0g =，（6分）故()0f x '≤（当且仅当0x =时取等号），所以函数()f x 为[)0+∞，上的减函数，（8分） 则()(0)0f x f =≤，即()f x 的最大值为0．（10分）23．命题立意：本题主要考查组合数的性质、二项式定理，考查推理论证能力．（1）证明：左边!!C !()!(1)!()!kn n n k k k n k k n k ==⋅=---， 右边(1)!!(1)!()!(1)!()!n n n k n k k n k -=⋅=----， 所以11C C k k n n k n --=；（3分） （2）证明：由题意得数列0a ，1a ，2a ，…为等差数列，且公差为100a a -≠.（5分）则011222012()C (1)C (1)C (1)C n n n n n n n n n n p x a x a x x a x x a x --=-+-+-+⋅⋅⋅+ [][]0110010010C (1)+()C (1)+()C n n n n n n n a x a a a x x a n a a x -=-+--+⋅⋅⋅+- 01111222010C (1)C (1)C ()C (1)+2C (1)C n n n n n n n n n n n n n n a x x x x a a x x x x n x ---⎡⎤⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅++---+⋅⋅⋅+⎣⎦⎣⎦[]011211010111(1)()C (1)+C (1)C nn n n n n n n a x x a a nx x x x x -------⎡⎤=-++---+⋅⋅⋅+⎣⎦ []1010()(1)n a a a nx x x -=+-+-010()a a a nx =+-， 所以对任意的正整数n ，()p x 是关于x 的一次式．（10分）。
九年级数学南通市中考模拟考试2012一模期中考试 数学试卷含答案解析
2011～2012学年度第二学期期中考试数学注意事项考生在答题前请认真阅读注意事项：1.本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2.答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置．3.答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效．一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共30分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上）1．计算16的值为（▲）A．±4 B．±2 C．4 D．22．观察下列图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（▲）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图所示，下列选项中，正六棱柱的左视图是（▲）A B C D4．一只盒子中有红球m个，白球8个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的关系是（▲）A．m=3，n=5 B．m=n=4 C．m+n=4 D．m+n=85．下列调查中，适合采用全面调查（普查）方式的是（▲）A．对长江水质情况的调查B．对端午节期间市场上粽子质量情况的调查C．对某通信卫星的零部件的质量情况的调查D．对某类烟花爆竹燃放安全情况的调查6．已知圆锥的侧面积为π8cm 2，侧面展开图的圆心角为45°，则该圆锥的母线长为 （ ▲ ）A ．64cmB ．8cmC ．22 cmD．42cm 7．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则反比例函数ay x=与一次函数 y bx c =+在同一坐标系中的大致图象是（ ▲ ）A B C D8．如图，直径为10的⊙A 经过点C 和点O ，点B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点，∠OBC =30°，则点C 的坐标为（ ▲ ）A ．（0，5）B ．（0，35）C ．（0，325）D ．（0，335）9．如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数．．，使得其中任意三个相邻．．格子中所填整数之和都相等，则第2012个格子中的数为（ ▲ ）A ．2B ．－3C ． 0D ．110．如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CE ＝2DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③BG DE EG +=；④AG ∥CF ；⑤S △FGC ＝3．其中正确结论的个数是（ ▲ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．42abc-31…第8题第10题二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相．．．．应位置．．．上． 11．地球上的海洋面积约为361000000km 2，用科学记数法可表示为 ▲ km 2． 12．分解因式：=-2732x ▲ ．13．乐乐和爸爸到广场散步，爸爸的身高是176cm ，乐乐的身高是156cm ，在同一时刻爸 爸的影长是44cm ，那么乐乐的影长是 ▲ cm ． 14．如图，D 是AB 边上的中点，将ABC ∆沿过D 的直线折叠，使点A 落在BC 上F 处，若50B ∠=︒，则BDF ∠= ▲ 度．15．如图，AB 是⊙O 的直径，P A 切⊙O 于A ，OP 交⊙O 于C ，连BC ．若∠P =30°，则∠B = ▲ °． 16．一组数据，，x 1-0，5，3，2-的平均数是1，则这组数据的中位数是 ▲ ． 17．如图，在平面直角坐标系中，函数xky =（x >0，常数k >0）的图象经过点A （1，2）， B （m ，n ）（m >1），过点B 作y 轴的垂线，垂足为C ．若△ABC 的面积为2，则 点B 的坐标为 ▲ ．18．如图，矩形ABCD 中，AB =4，BC =8，E 为CD 的中点，点P 、Q 为BC 上两个动点，且PQ =3，当CQ = ▲ 时，四边形APQE 的周长最小．三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本小题满分10分）（1）计算：︒-++︒-+--60sin 827)262(tan )21(1022012π；（2）先化简，再求值：32444)1225(222+=++-÷+++-a a a a a a a ，其中．第17题yOxCA (1，2)B (m ，n )第14题第18题第16题A CPO如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△A 1B 1C 1和 △A 2B 2C 2；（1）以O 为位似中心，在点O 的同侧作△A 1B 1C 1， 使得它与原三角形的位似比为1：2；（2）将△ABC 绕点O 顺时针旋转90°得到△ A 2B 2C 2，并求出点A 旋转的路径的长．21．（本小题满分8分）为了了解我县初中学生体育活动情况，随机调查了720名八年级学生，调查内容是： “每天锻炼是否超过1小时及未超过1小时的原因”，利用所得的数据制成了扇形统 计图和频数分布直方图．根据图示，解答下列问题：（1）若在被调查的学生中随机选出一名学生测试其体育成绩，选出的是“每天锻炼 超过1小时”的学生的概率是多少？（2）“没时间”锻炼的人数是多少？并补全频数分布直方图；（3）2012年我县八年级学生约为1.2万人，按此调查，可以估计2012年我县八年级 学生中每天锻炼未超过1小时的学生约有多少万人？22．（本小题满分9分）关于x 的方程04)2(2=+-+kx k kx 有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）设方程的两根分别为21x x ，，若21211x x x x =-+，求k 的值．人数50150 100200250300 350 4004500 锻炼未超过1小时频数分布图 120 20 A B CO （第20题）如图，在△ABC ，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点D 、 E ，点F 在 AC 的延长线上，且CBF CAB ∠=∠2．（1）求证：直线BF 是⊙O 的切线； （2）若AB =6，BF =8，求CBF ∠tan ． 24．（本小题满分8分）小明和小颖做掷骰子的游戏，规则如下： ①游戏前，每人选一个数字； ②每次同时掷两枚均匀骰子；③如果同时掷得的两枚骰子点数之和，与谁所选数字相同，那么谁就获胜． （1）用列表法或树状图列出同时掷两枚均匀骰子所有可能出现的结果：（2）小明选的数字是5，小颖选的数字是6．如果你也加入游戏，你会选什么数字， 使自己获胜的概率比他们大？请说明理由． 25．（本小题满分10分）已知二次函数c bx ax y ++=2的图像经过点A （2-，9），B （0，3）和点C （4，3）．（1）求该二次函数的关系式，并求出它的顶点M 的坐标；（2）若)1()(21y m Q y m P ，，，+两点都在该函数的图象上，试比较1y 与2y 的大小．26．（本小题满分10分）如图，唐诗同学正在操场上放风筝，风筝从A 处起飞，几分钟后便飞达C 处，此时， 在AQ 延长线上B 处的宋词同学，发现自己的位置与风筝和旗杆PQ 的顶点P 在同一 直线上．（1）已知旗杆高为10米，若在B 处测得旗杆顶点P 的仰角为30°，A 处测得点P 的 仰角为45°，试求A 、B 之间的距离；（2）此时，在A 处又测得风筝的仰角为75°，若绳子在空中视为一条线段，绳子AC约为多少？（结果可保留根号）A DCPQ（第26题）（第24题）两个全等的直角三角形ABC 和DEF 重叠在一起，其中∠A =60°，AC =1．固定△ABC 不动，将△DEF 进行如下操作： （1）如图（1），△DEF 沿线段AB 向右平移（即D 点在线段AB 内移动），连结DC 、 CF 、FB ，四边形CDBF 的形状在不断的变化，它的面积是否变化，如果不变请求出 其面积．如果变化，说明理由．（2）如图（2），当D 点移到AB 的中点时，请你猜想四边形CDBF 的形状，并说明 理由．（3）如图（3），△DEF 的D 点固定在AB 的 中点，然后绕D 点按顺时针方向旋转△DEF使DF 落在AB 边上，此时F 点恰好与B 点重合，连结AE ，请你求出DEA ∠sin 的值．28．（本小题满分14分）如图，直角梯形OABC 中，AB ∥OC ，O 为坐标原点，点A 在y 轴正半轴上，点C 在x 轴正半轴上，点B 坐标为（2，23），∠BCO = 60°，BC OE ⊥于点E ．动点P 从点E 出发，沿线段EO 向点O 运动，动点Q 从点O 出发，沿线段OA 向点A 运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．设点P 运动的时间为t 秒． （1）求OE 的长；（2）若△OPQ 的面积为S （平方单位），求S 与t 之间的函数关系式．并求t 为何值时，△OPQ 的面积最大，最大值是多少？（3）设PQ 与OB 交于点M ．①当△OPM 为等腰三角形时，求（2）中S 的值．②探究线段OM 长度的最大值是多少，直接写出结论．图（1） 图（2） E )。
1南通市教研室2012年高考全真模拟试卷一(数学)
南通市教研室2012年数学全真模拟试卷一试题Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．. 1． 已知集合{}1 3 5 9U =，，，，{}1 3 9A =，，，{}1 9B =，，则()UA B = ▲ ．2． 若9z z ⋅=（其中z 表示复数z 的共轭复数），则复数z 的模为 ▲ ． 3． 已知函数()a f x x=在1x =处的导数为2-，则实数a 的值是 ▲ ．4． 根据国家质量监督检验检疫局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》(GB19522—2004)中规定车辆驾驶人员血液酒精含量：“饮酒驾车”的临界值为20mg/100ml ；“醉酒驾车”的临界值为80mg/100ml ．某地区交通执法部门统计了5月份的执法记录数据：根据此数据，可估计该地区5月份“饮酒驾车” 发生的频率等于 ▲ ．5． 要得到函数sin 2y x =的函数图象，可将函数()πsin 23y x =+的图象向右至少．．平移 ▲ 个单位．6．在平面直角坐标系xOy 中，“直线y x b =+，b ∈R 与曲线21x y =-是“ ▲ ”．7． 如图，i N 表示第i 个学生的学号，i G 表示第i 个学生的成绩，已知学号在1~10的学生的成绩依次为401、392、385、359、 372、327、354、361、345、337，则打印出的第5组数据是 ▲ ． 8． 在△ABC 中，若tan :A tan :tan 1:2:3B C =，则A = ▲ ． 9． 已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时，()1f x =，则不等式2()(0)f x x f -<的解集为 ▲ ．血液酒精含量（单位：mg/100ml ） 0~20 20~40 40~60 60~80 80~100 人数18011522Y 开始1i ← 360i G ≥i i N G 打印，1i i ←+N10．设正四棱锥的侧棱长为1，则其体积的最大值为 ▲ ． 11．已知平面向量a ，b ，c 满足1=a ，2=b ，a ，b 的夹角等于π3，且()()0-⋅-=a c b c ，则c 的取值范围是 ▲ ． 12．在平面直角坐标系xOy 中，过点11( 0)A x ，、22( 0)A x ，分别作x 轴的垂线与抛物线22x y =分别交于点12A A ''、，直线12A A ''与 x 轴交于点33( 0)A x ，，这样就称12x x 、确定了3x ．同样，可由23x x 、确定4x ，…，若12x =，23x =，则5x = ▲ ． 13．定义：min {x ，y }为实数x ，y 中较小的数．已知{}22min 4b h a a b=+，，其中a ，b 均为正实数，则h 的最大值是 ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，直角三角形ABC 的三个顶点都在椭圆222 1 (1)x y a a +=>上，其中0 1A （，）为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为278，则实数a 的值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知函数()()2ππ()sin 3cos sin sin 44f x x x x x x x =+++-∈R ，． （1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）若0x x =()0π02x ≤≤为()f x 的一个零点，求0sin 2x 的值．16．（本题满分14分）如图，在边长为1的菱形ABCD 中，将正三角形．．．．BCD 沿BD 向上折起，折起后的点C 记为C '，且CC a '=（03a <． '（1）若3a =，求二面角C —BD —C '的大小；（2）当a 变化时，线段CC '上是否总存在一点E ，使得A C '//平面BED ？请说明理由．17．（本题满分15分）在平面直角坐标系xOy 中，设A 、B 是双曲线2212y x -=上的两点，(12)M ，是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点． （1）求直线AB 与CD 的方程；（2）判断A 、B 、C 、D 四点是否共圆？若共圆，请求出圆的方程；若不共圆，请说明理由．18．（本题满分15分）某省高考数学阅卷点共有400名阅卷老师，为了高效地完成文、理科数学卷的阅卷任务，需将400名阅卷老师分成两组同时展开阅卷工作，一组完成269捆文科卷，另一组完成475捆理科卷．根据历年阅卷经验，文科每捆卷需要一位阅卷老师工作3天完成，理科每捆卷需要一位阅卷老师工作4天完成．（假定每位阅卷老师工作一天的阅卷量相同，每捆卷的份数也相同）（1）如何安排文、理科阅卷老师的人数，使得全省数学阅卷时间最省？（2）由于今年理科阅卷任务较重，理科实际每捆卷需要一位阅卷老师工作4.5天完成，在按（1）分配的人数阅卷4天后，阅卷领导小组决定从文科组抽调20名阅卷老师去阅理科卷，试问完成全省数学阅卷任务至少需要多少天？（天数精确到小数点后第3位）（参考数据：807 6.782119≈，95 6.78614≈，331 3.34399≈，1013.5 3.367301≈）19．（本题满分16分）已知函数()f x 的导函数()f x '是二次函数，且()0f x '=的两根为1±．若()f x 的极大值与极小值之和为0，(2)2f -=． （1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数在开区间(99)m m --, 上存在最大值与最小值，求实数m 的取值范围．（3）设函数()()f x x g x =⋅，正实数a ，b ，c 满足()()()0ag b bg c cg a ==>，证明：a b c ==．20．（本题满分16分）设首项为1的正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，且24()3n n S p T --=， 其中p 为常数. （1）求p 的值；（2）求证：数列{}n a 为等比数列；（3）证明：“数列n a ，12x n a +，22y n a +成等差数列，其中x 、y 均为整数”的充要条件是“1x =，且2y =”．试题Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．．若 多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．（几何证明选讲）如图，AB 是半圆的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切 半圆于点D ，CD =2，DE ⊥AB ，垂足为E ，且E 是OB 的 中点，求BC 的长．B ．（矩阵与变换）已知矩阵122a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的属于特征值b 的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数a 、b 的值．C ．（极坐标与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1 2)A -，在曲线22 2x pt y pt ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（t 为参数，p 为正常数），求p 的值．D ．（不等式选讲）设123 a a a ，，均为正数，且1231a a a ++=，求证：1231119.a a a ++≥【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．已知函数2()2(1)ln(1)2f x x x x x =++--，[)0x ∈+∞，，求()f x 的最大值.23．（1）已知*k n ∈N 、，且k n ≤，求证：11C C k k n n k n --=；（2）设数列0a ，1a ，2a ，…满足01a a ≠，112i i i a a a -++=（i =1，2，3，…）．证明：对任意的正整数n，011222012()C (1)C (1)C (1)C n n n n n n n n n n p x a x a x x a x x a x --=-+-+-+⋅⋅⋅+是DAB CE O·（第21—A 题）关于x 的一次式．南通市教研室2012年数学全真模拟试卷一参考答案1. {}5；2. 3；3. 2；4. 0.09；5. π6；6. 2b =-7. 8361，；8. π4；9. (01)，；10. 43 11. 7373⎡-+⎢⎣⎦，； 12. 12； 13. 12； 14. 3． 答案解析 1．易得{}1 3 9AB A ==，，，则()UAB ={}5；2. 3z z z =⋅=；3. 易得2()a f x x '=-，则(1)2f a '=-=-，即2a =；4. “饮酒驾车” 发生的频率等于11520.09200++=；5. 将()()πsin 2sin 23y x x π=+=+6向右至少平移π6个单位得sin 2y x =；6. 12b =，且0b <，即2b =；7. 打印出的第5组数据是学号为8号，且成绩为361，故结果是8361，； 8.设tan A k =，则tan 2B k =，tan 3C k =，且0k >，利用tan tan tan tan()1tan tan A B C A B A B+=-+=--可求得1k =，所以A π=4；9. 易得(0)0f =，20x x -<，故所求解集为(0 1)，；10. 法1 设正四棱锥的底面边长为x ，则体积()2422112326x V x x x =--，记()22y t t =-，0t >，利用导数可求得当43t =时，max 3227y =，此时max 43V法2设正四棱锥的侧棱与底面所成角为θ，则()22122cos sin 1sin sin 33V θθθθ=⨯⨯=-⨯，0<θπ<2，记()21 01y t t t =-<<，，利用导数可求得当3t =时，max 23y ，此时max 43V =11. 如图，设 a b c OAOB OC ===，，，△ABC 中，由余弦定理得3AB =， 由()()0-⋅-=a c b c 知，点C 的轨迹是以AB 为直径的圆M ， 且7OM =，故127373c OC OC ⎡-+⎡⎤∈=⎢⎣⎦⎣⎦，，；12. 设()21 2n n n A x x ，、()21111 2n n n A x x +++，，则割线n A 1n A +的方程为：2212111122()2n n n nn nx x y x x x x x ++--=--， 令0y =得121n nn n nx x x x x +++=+，即21111n n n x x x ++=+，不难得到34515171266x x x ===，，；13. 易得22211144442ab h a b a b a b b a b a==++⋅≤≤，所以12h ≤（当且仅当4a b b a =时取等号）；14. 设AB 的方程为：1(0)y kx k =+>，则AC 的方程为：11y x k =-+，由22211y kx x y a =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得 2222(1)20a k x a kx ++=，解得22221B a k x a k -=+，用“1k -”替换“k ”得2222C a k x a k=+， 故22222222221111a k a k AB k AC a k a k k=+=+++，， 所以()()44222222242122(1)121(1)()1ABCa k a k k k S AB AC a k a k a k a k ∆++=⋅==+++++， 令12t k k=+≥，则4322222(1)1ABC a a S a a a t t∆=--+≤（当且仅当212a t a -=>时等号成立）， 由322781a a =-得2(3)(839)0a a a ---=解得3a =，或3297a +=（舍去），所以3a =．15．命题立意：本题主要考查三角函数的图像与性质、两角和与差的正、余弦公式，考查运OAB 2CM1C（第11题图）算求解 能力．（1）易得()2221()sin 32sin cos 2f x x x x x =++-1cos 213sin 2cos 222x x x -=-132cos 22x x =-+＝()π12sin 262x -+，（5分）所以()f x 周期π，值域为35 22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，；（7分）（2）由()00π1()2sin 2062f x x =-+=得()0π1sin 2064x -=-<，（9分） 又由0π02x ≤≤得02ππ5π 666x ≤≤--， 所以02ππ0 66x ≤≤--，故()015πcos 26x -=，（11分）此时，()0ππsin 2sin 266x x ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦()()0ππππsin 2cos cos 2sin 6666x x =-+-3151142=-153-．（14分） 16．命题立意：本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象、推理论证能力．解：（1）连结AC ，交BD 于点O ，连结OC '， 菱形ABCD 中，CO BD ⊥，因三角形BCD 沿BD 折起，所以C O BD '⊥， 故C OC '∠为二面角C —BD —C '的平面角，（5分） 易得3C O CO '==，而3CC '=所以C OC π'∠=3，二面角C —BD —C '的大小为π3；（7分） （2）当a 变化时，线段CC '的中点E 总满足A C '//平面BED ，下证之：（9分） 因为E ，O 分别为线段CC '，AC 的中点， 所以//OE AC '，（11分） 又AC '⊄平面BED ，OE ⊂平面BED ， 所以A C '//平面BED . （14分） 17．命题立意：本题主要考查求双曲线、直线、圆等基础知识，考查运算求解与探究能力．解：（1）设A 11()x y ，，则11(24)B x y --，， 代入双曲线2212y x -=得2211221112(4)(2)12y x y x ⎧-=⎪⎪⎨-⎪--=⎪⎩，，（第16题图）D C 'A CO E解得110x y ⎧⎨=⎩=-1，或1134x y =⎧⎨=⎩，， 即A B 、的坐标为10-（，）、34（，）， 所以AB ：1y x =+，CD ：3y x =-+；（7分）（2）A 、B 、C 、D 四点共圆，下证之：（9分）证明：由3y x =-+与2212y x -=联立方程组可得 C D 、的坐标为(325625--+，、(325625-+-，，（11分） 由三点A 、B 、C 可先确定一个圆22(3)(6)40x y ++-=①，（13分）经检验(325625D -+-，适合①式，所以A 、B 、C 、D 四点共圆．（15分） （注：本题亦可以利用圆的几何性质判断四点共圆）18．命题立意：本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力． 解：（1）设文科阅卷人数为x ，且x ∈*N ，则阅卷时间为2693119.246()4754119.246400x x f x x x ⨯⎧⎪=⎨⨯⎪>-⎩≤，，，，（5分）而(119) 6.782f =，(120) 6.786f =，故(119)(120)f f <，答：当文、理科阅卷人数分别是119,281时，全省阅卷时间最省；（8分）（2）文科阅卷时间为：1269311943347.34399⨯-⨯⨯⨯+=，（11分） 理科阅卷时间为：1475 4.52814 4.54.547.367301⨯-⨯⨯⨯+=，（14分） 答：全省阅卷时间最短为7.367天．（15分）19．命题立意：本题主要考查利用导数研究三次函数的图像与性质等基础知识，考查灵活运用数形结合、化归与转化思想进行运算求解、推理论证的综合能力． 解：（1）设()(1)(1)f x a x x '=+-，则可设()3()3x f x a x c =-+，其中c 为常数.因为()f x 的极大值与极小值之和为0，y 1-22所以(1)(1)0f f -+=，即0c =， 由(2)2f -=得3a =-， 所以3()3f x x x =-；（5分）（2）由（1）得3()3f x x x =-，且()3(1)(1)f x x x '=-+- 列表：由题意得，三次函数在开区间上存在的最大值与最小值必为极值（如图），（7分）又(2)2f -=，故(2)2f =-， 所以192m <-≤，且291m --<-≤， 解得78m <≤；（10分）（3）题设等价与222(3)(3)(3)a b b c c a -=-=-，且a ，b ，c >0， 所以a ，b ，c 3假设在a ，b ，c 中有两个不等，不妨设a ≠b ，则a >b 或a <b ． 若a >b ，则由22(3)(3)a b b c -=-得2233b c -<-即b c >， 又由22(3)(3)b c c a -=-得c >a ． 于是a >b >c >a ，出现矛盾． 同理，若a <b ，也必出现出矛盾．故假设不成立，所以a b c ==．（16分）20．命题立意：本题主要考查等差、等比数列的定义与通项公式、求和公式等基础知识，考查灵活运用基本量进行探索求解、推理分析能力．解：（1）n = 1时，由24(1)13p --=得p = 0或2，（2分）若p = 0时，243n n S T -=，当2n =时，22224(1)13a a -++=，解得20a =或212a =-，而0n a >，所以p = 0不符合题意，故p = 2；（5分）x(21)--,1-(11)-,1(12),y ' -0 + 0 -y↘极小值2-↗极大值2↘（2）当p = 2时，241(2)33n n T S =-- ①，则21141(2)33n n T S ++=--②，②-①并化简得1134n n n a S S ++=-- ③，则22134n n n a S S +++=-- ④， ④-③得2112n n a a ++=（n *∈N ），又易得2112a a =， 所以数列{a n }是等比数列，且112n n a -=；（10分）（3）充分性：若x = 1，y = 2，由112n n a -=知na ，12x n a +，22y n a +依次为112n -，22n ，142n +，满足112142222nn n -+⨯=+，即a n ，2x a n +1，2y a n +2成等差数列；（12分） 必要性：假设n a ，12x n a +，22y n a +成等差数列，其中x 、y 均为整数，又112n n a -=，所以11111222222x y nn n -+⋅⋅=+⋅， 化简得2221x y --=显然2x y >-，设(2)k x y =--，因为x 、y 均为整数，所以当2k ≥时，2221x y -->或2221x y --<，故当1k =，且当1x =，且20y -=时上式成立，即证． （16分）21．A ．命题立意：本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证、运算求解能力．解：连接OD ，则OD ⊥DC ，在Rt △OED 中，12OE =OB 12=OD ，所以∠ODE =30°，（5分）在Rt △ODC 中，∠DCO =30°，由DC =2得OD =DC tan30°=23所以BC 23=．（10分）B ．命题立意：本题主要考查二阶矩阵的特征值与特征向量，考查运算求解能力．解：由二阶矩阵的特征值与特征向量的概念知122a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥⎣⎦=11b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（5分） 所以3 2 b b a =⎧⎨=+⎩，，解得1 3a b ==，.（10分）C ．命题立意：本题主要考查参数方程，考查运算求解能力．解：由22 2 x pt y pt ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，（t 为参数，p 为正常数），消去参数t 得22y px =，（8分）将点(1 2)A -，代入22y px =得2p =.（10分）D ．命题立意：本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证能力．证明：因为a 1，a 2，a 3均为正数，且12310a a a ++=>， 所以123111a a a ++()123123111()a a a a a a =++++()()1133123123111339a a a a a a ⋅=≥，（8分）当且仅当12313a a a ===时等号成立，所以1239111a a a ++≥.（10分）22．命题立意：本题主要考查复合函数求导等知识，考查运算求解、推理论证能力．证明：由2()2(1)ln(1)2f x x x x x =++--得()2ln(1)2f x x x '=+-，（2分） 令()2ln(1)2g x x x =+-，则22()211x g x x x -'=-=++，当10x -<<时，()0g x '>，()g x 在(1 0)-，上为增函数； 当x ＞0时，()0g x '<，()g x 在(0)+∞，上为减函数， 所以()g x 在x =0处取得极大值，且(0)0g =，（6分） 故()0f x '≤（当且仅当0x =时取等号）， 所以函数()f x 为[)0+∞，上的减函数，（8分）则()(0)0f x f =≤，即()f x 的最大值为0．（10分）23．命题立意：本题主要考查组合数的性质、二项式定理，考查推理论证能力． （1）证明：左边!!C !()!(1)!()!k n n n k k k n k k n k ==⋅=---， 右边(1)!!(1)!()!(1)!()!n n n k n k k n k -=⋅=----， 所以11C C k k n n k n --=；（3分） （2）证明：由题意得数列0a ，1a ，2a ，…为等差数列，且公差为100a a -≠.（5分）则011222012()C (1)C (1)C (1)C n n n n n n n n n n p x a x a x x a x x a x --=-+-+-+⋅⋅⋅+[][]0110010010C (1)+()C (1)+()C n n n nn n n a x a a a x x a n a a x -=-+--+⋅⋅⋅+-01111222010C (1)C (1)C ()C (1)+2C (1)C n n n n n n n nn n n n n n a x x x x a a x x x x n x ---⎡⎤⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅++---+⋅⋅⋅+⎣⎦⎣⎦ []011211010111(1)()C (1)+C (1)C n n n n n n n n a x x a a nx x x x x -------⎡⎤=-++---+⋅⋅⋅+⎣⎦[]1010()(1)n a a a nx x x -=+-+-010()a a a nx =+-，所以对任意的正整数n ，()p x 是关于x 的一次式．（10分）。
中考数学模拟试题开放探究型问题
开放探究型问题一、选择题1、（2012年中考数学新编及改编题试卷）图(1)、图(2)、图(3)分别表示甲、乙、丙三人由A 地到B 地的路线图。
已知； 甲的路线为：A →C →B 。
乙的路线为：A →D →E →F →B ，其中E 为AB 的中点。
丙的路线为：A →G →H →K →B ，其中H 在AB 上，且AH>HB 。
若符号「→」表示「直线前进」，则根据图(1)、图(2)、图(3)的数据， 则三人行进路线长度的大小关系为（ ）(A) 甲=乙=丙 (B) 甲<乙<丙 (C) 乙<丙<甲 (D )丙<乙<甲 二、填空题1. （2012年江苏南通三模）一元二次方程有一根为1，此方程可以是 ▲ （写出一个即可）. 答案：x 2-x=0等.2. （2012年江苏南通三模）小明、小亮各有一段长为40cm 的铁丝，将将铁丝首尾相连围成一个长方形．（1）请问他俩围成长方形一定全等吗？（2）如果围成的长方形一定全等，则长方形的长和宽分别是多少？如果围成的长方形不一定全等，请再添加一个条件，使得他俩围成的长方形全等，并求出长方形的长和宽（写出解题过程）． 答案：24．（1）不一定 （2）略3、（盐城地区2011～2012学年度适应性训练）如图，已知抛物线y =x 2+bx +c 经过点(0，-3)，请你确定一个b 的值，使该抛物线与x 轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间．你所确定的b 的值是 ▲ （写出一个值即可）．CDG50︒F60︒70︒50︒ 60︒70︒ 50︒ 60︒70︒ 50︒60︒70︒ 50︒ 60︒70︒ K图(1)图(2)图(3)-331O yx答案如-1，0(不惟一，在-2＜b ＜2内取值均可）三、解答题1、(2012年香坊区一模) (本题l0分)已知：在∆ABC 中，AB=AC ，点P 是BC 上一点，PC=2PB,连接AP ，作∠APD=∠B 交AB 于点D 。
江苏省南通市第三中学2012届九年级第三次模拟考试数学试题
南通市第三中学2012届九年级第三次模拟考试数学试题（本试卷满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号写在答题．．纸．相应位置．．．．上． 1、．—2012的相反数是（ ）A ．2012B ．—2012C 12012D ．—120122、25的算术平方根是（ ）A ．—5B ．5C ． 5D ．±53、如图，是小华画的正方形风筝图案，他以图中的对角线AB 为对称轴，在对角线的下方再画一个三角形，使得新的风筝图案成为轴对称图形，若下列有一图形为此对称图形，则此图为（ ）4、从《中华人民共和国2010年国民经济和社会发展统计报告》中获悉，前年我国国内生产总值达397983亿元．请你以亿元为单位用科学记数法表示前年我国的国内生产总值为（结果保留两个有效数字）（ ）。
A ．3.9×1013B ．4.0×1013C ．3.9×105D ．4.0×1055、如图，已知直线AB ∥CD ，∠C=125°，∠A=45°，那么∠E 的大小为（ ）A ．70°B ． 80°C ．90°D ．100°6、下列各运算中，正确的是（ ）A ．30+3-3=-3B ．325=-C ．（2a 2）3=8a 5D ．-a 8÷a 4=-a 47、若用半径为9，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是（ ）A ．1.5B ．2C ．3D ．68、小组8位同学为云南盈江地震灾区捐款，捐款金额分别为5元，10元，7元，7元，9元，9元，6元，9元，则这组数据的中位数与众数分别为（ ）A ．7，7B ．7，9C ．8，7D ．8，99、清晨，食堂师傅用小推车将煤炭运往锅炉间，已知小推车车厢的主视图和左视图如图所示，请你算一算，这辆推车一趟能运多少煤炭（ ）A ．0.153mB ．0.0153mC ．0.0123mD ．0.123m10、方程0122=-+x x 的根可看作是函数2+=x y 与y =1x 的图象交点的横坐标，用此方法可推断方程310x x +-=的实根x 所在范围为（ ）A ．- 12＜x ＜0B ．0 ＜x ＜12C ．12＜x ＜1D ．1＜x ＜ 32二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题．．纸．相应位置．．．．上． 11、分解因式：92-x = ．12、函数1-=x x y 的自变量x 的取值范围是 . 13、如图，市政府准备修建一座高AB=6m 的过街天桥，已知天桥的坡面AC 与地面BC 的夹角∠ACB 的余弦值为45，则坡面AC 的长度为 m.14、如图，AB 为⊙O 的直径，点C D ，在⊙0上，50BAC ∠=，则ADC ∠= ．第13题图 A C DO B第14题图15、春季流感爆发时期，人们纷纷抢购“84消毒液”，一天某超市货架上还剩3瓶该消毒液，问甲乙两位顾客同时伸手拿向同一瓶的概率是 .16、如图，把Rt △ABC 放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线y=2x-6上时，线段BC 扫过的面积为 ．17、若不等式2x ＜4的解都能使关于x 的一次不等式（a —1）x ＜a+5成立，则a 的取值范围是 。
2012江苏省南通三模数学
7983456739 （第6题）（第7题）2012江苏省南通高三三模数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 已知集合{}11A =-，，{}10B =，，那么A B ＝ ▲ ．{}101-，，2． 已知()()i 1i z a =-+（a ∈R ，i 为虚数单位），若复数z 在复平面内对应的点在实轴上，则a = ▲ ．13． 若抛物线()220y px p =>上的点()2A m ，到焦点的距离为6，则p = ▲ ．84． 已知函数2()log f x x =．在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上随机取一0x ，则使得0()0f x ≥的概率为 ▲ ．235． 若直线()2210a a x y +-+=的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是 ▲ ．()20-，6． 某市教师基本功大赛七位评委为某位选手打出分数的茎叶图如图所示，则去掉一个最高分和一个最低分后的5个数据的标准差为 ▲ ．7． 若执行如图所示的程序框图，则输出的a 的值为▲ ．738． 已知单位向量a ，b 的夹角为120°，那么()2x x -∈R a b 的最小值是 ▲ ．9． 已知角ϕ的终边经过点()12P -，，函数()()sin f x x ωϕ=+()0ω>图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，则π12f ⎛⎫⎪⎝⎭= ▲ ． 10．各项均为正数的等比数列{}n a 满足17648a a a ==，，若函数()231012310f x a x a x a x a x =+++⋅⋅⋅+的导数为()f x '，则1(2f '= ▲ ．55411．若动点P 在直线l 1：20x y --=上，动点Q 在直线l 2：60x y --=上，设线段PQ 的中点为00(,)M x y ，且2200(2)(2)x y -++≤8，则2200x y +的取值范围是 ▲ ．[8，16]12．已知正方体C 1的棱长为C 1各个面的中心为顶点的凸多面体为C 2，以C 2各个面的中心为顶点的凸多面体为C 3，以C 3各个面的中心为顶点的凸多面体为C 4，依次类推．记凸多面体C n 的棱长为a n ，则a 6= ▲ ．213．若函数()|21|f x x =-，则函数()()()ln g x f f x x =+在（0，1）上不同的零点个数为 ▲．3 14．已知圆心角为120°的扇形AOB 的半径为1，C 为AB 的中点，点D 、E 分别在半径OA 、OB 上．若222269CD CE DE ++=，则OD OE +的最大值是 ▲ ．43二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知函数()sin f x m x x =+ ()0m >的最大值为2． （1）求函数()f x 在[]0π，上的单调递减区间；（2）△ABC 中，ππ()()sin 44f A f B A B -+-=，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且C =60°，3c =，求△ABC 的面积．解：（1）由题意，()f x ．……………………………2分而0m >，于是m π()2sin()4f x x =+．………………………………………4分()f x 为递减函数，则x 满足ππ3π2π+2π+242k x k +≤≤ ()k ∈Z ，即π5π2π+2π+44k x k ≤≤()k ∈Z ．……………………………………………………6分所以()f x 在[]0π，上的单调递减区间为ππ4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． …………………………………7分（2）设△ABC 的外接圆半径为R ，由题意，得32=23sin sin 60c R C ==化简ππ()()sin 44f A f B A B -+-=，得sin sin sin A B A B +=．………………………………………………………9分由正弦定理，得()2R a b +=，a b +． ①由余弦定理，得229a b ab +-=，即()2390a b ab +--=． ② …………………11分将①式代入②，得()22390ab ab --=．ABC C 1B 1A 1FD E（第16题）O M解得3ab =，或 32ab=-（舍去）．…………………………………………………13分1sin 2ABC S ab C ∆==．……………………………………………………………14分16．（本小题满分14分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 分别是棱BC 、AB 的中点，点F 在棱1CC 上，已知AB AC =，13AA =，2BC CF ==．（1）求证：1//C E 平面ADF ；（2）设点M 在棱1BB 上，当BM 为何值时，平面CAM ⊥平面ADF ？解：（1）连接CE 交AD 于O ，连接OF ． 因为CE ，AD 为△ABC 中线，所以O 为△ABC 的重心，123CF CO CC CE ==． 从而OF//C 1E ．………………………………………………………………………………3分 OF ⊂面ADF ，1C E ⊄平面ADF ，所以1//C E 平面ADF ．……………………………………………………………………6分 （2）当BM=1时，平面CAM ⊥平面ADF ． 在直三棱柱111ABC A B C -中，由于1B B ⊥平面ABC ，BB 1⊂平面B 1BCC 1，所以平面B 1BCC 1⊥平面ABC ． 由于AB =AC ，D 是BC 中点，所以AD BC ⊥．又平面B 1BCC 1∩平面ABC =BC ，所以AD ⊥平面B 1BCC 1．而CM ⊂平面B 1BCC 1，于是AD ⊥CM ．…………………………………………………9分 因为BM =CD =1，BC = CF =2，所以Rt CBM ∆≌Rt FCD ∆，所以CM ⊥DF ． ………11分DF 与AD 相交，所以CM ⊥平面ADF ．CM ⊂平面CAM ，所以平面CAM ⊥平面ADF ．………………………………………13分当BM=1时，平面CAM ⊥平面ADF ．…………………………………………………14分17．（本小题满分14分）已知椭圆22221x y a b +=()0a b >>的右焦点为1(20)F ，，离心率为e . （1）若e ，求椭圆的方程； （2）设A ，B 为椭圆上关于原点对称的两点，1AF 的中点为M ，1BF 的中点为N ，若原点O 在以线段MN 为直径的圆上． ①证明点A 在定圆上；②设直线AB 的斜率为k，若k e 的取值范围．解：（1）由2e =，c=2，得a=b =2． 所求椭圆方程为22184x y +=．…………………………………………………………4分（2）设00()A x y ，，则00()B x y -，-，故00222x y M +⎛⎫ ⎪⎝⎭，，00222x y N -⎛⎫- ⎪⎝⎭，．………………………………………………6分① 由题意，得0OM ON ⋅=．化简，得22004x y +=，所以点A 在以原点为圆心，2为半径的圆上． …………8分 ② 设00()A x y ，，则00220022220014y kx x y a b x y =⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎩⇒22200222220014x k x ab x k x ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩⇒222211(1)4k k a b +=+． 将2c e a a ==，222244b a c e=-=-，代入上式整理，得 2242(21)21k e e e -=-+． …………………………………………………………10分因为42210e e -+>，k 2>0，所以 2210e ->，2e >．…………………………12分 所以 422221321e e k e -+=-≥．化简，得422840,210.e e e ⎧-+⎪⎨->⎪⎩≥解之，得21<42e -≤<1e .故离心率的取值范围是1⎤⎥⎝⎦. ………………………………………………14分 (说明：不讨论2210e ->，得01e <的扣2分) 18．（本小题满分16分）如图，矩形ABCD 中，AB =3，AD =2，一质点从AB 边上的点0P 出发，沿与AB 的夹角为θ 的方向射到边BC 上ABD P 1P 0P 2P 3P 4（第18题）点1P 后，依次反射（入射角与反射角相等）到边CD ，DA 和AB 上的234P P P ，，处． （1）若P 4与P 0重合，求tan θ的值；（2）若P 4落在A 、P 0两点之间，且AP 0=2．设tan θ=t ，将五边形P 0P 1P 2P 3P 4的面积S 表示为t的函数，并求S 的最大值．解 ：（1）设00P B x =，则10tan PB x θ=，102tan PC x θ=-．……………………………………2分 0122tan tan tan x PC P C θθθ-===02tan x θ-，2023tan P D x θ=+-．…………………………4分 30(3)tan 2P D x θ=+-，304(3)tan P A x θ=-+，404(3)tan AP x θ=-+． …………………………………………………………………6分 由于4P 与0P 重合，403AP P B +=，所以46tan θ=，即2tan 3θ=． …………………8分 （2）由（1），可知444tan AP θ=-． 因为P 4落在A 、P 0两点之间，所以2tan 13θ<<，即213t <<． ……………………10分 S =S 四边形ABCD -01P BP S ∆122334PCPP DP P AP S S S ∆∆∆--- 1126tan (2tan )122tan θθθ⎛⎫=---- ⎪⎝⎭12144(4tan 2)(44tan )42tan 2tan θθθθ⎛⎫⎛⎫------ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭245834tan tan θθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭123217t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．…………………………………………………………………………14分由于213t <<，所以123217t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭32-≤=32- 故S的最大值为32-． ……………………………………………………………16分19．（本小题满分16分）已知函数32()()ln f x x x g x a x =-+=，，a ∈R ．（1）若对任意[]1e x ∈，，都有2()(2)g x x a x -++≥恒成立，求a 的取值范围； （2）设()()()11f x x F x g x x ⎧<⎪=⎨⎪⎩，，，≥．若P 是曲线y =F (x )上异于原点O 的任意一点，在曲线y =F (x )上总存在另一点Q ，使得△POQ 中的∠POQ 为钝角，且PQ 的中点在y 轴上，求a 的取值范围．解：（1）由2()(2)g x x a x -++≥，得()2ln 2x x a x x --≤．由于[]1e x ∈，，ln 1x x ≤≤，且等号不能同时取得，所以ln ln 0x x x x <->，． 从而22ln x xa x x --≤恒成立，2min2ln x x a x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭≤． ………………………………………4分设()[]221e ln x xt x x x x -=∈-，，．求导，得()()()()212ln ln x x x t x x x -+-'=-．………………6分 []1e x ∈，，10ln 12ln 0x x x x -+->≥，≤，，从而()0t x '≥，()t x 在[]1e ，上为增函数．所以()()min 11t x t ==-，所以1a -≤．…………………………………………………8分 （2）()321ln 1x x x F x a x x ⎧-+<=⎨⎩，，，≥．设()()P t F t ，为曲线()y F x =上的任意一点．假设曲线()y F x =上存在一点()()Q t F t --，，使∠POQ 为钝角，则0OP OQ ⋅<．…………………………………………………………………………10分 ① 若t ≤-1，()32P t t t +，-，()()ln Q t a t --，，OP OQ ⋅=232ln()()t a t t t -+-⋅-+． 由于0OP OQ ⋅<恒成立，()()1ln 1a t t --<． 当t =－1时，()()1ln 1a t t --<恒成立． 当t <－1时，1(1)ln()a t t <--恒成立．由于10(1)ln()t t >--，所以a ≤0. ………12分② 若11t -<<，0t ≠，()32P t t t +，-，()32Q t t t -+，， 则OP OQ ⋅=23232()()0t t t t t -+-++<，4210t t -+>对11t -<<，0t ≠恒成立． ……………………………………………14分③ 当t ≥1时，同①可得a ≤0．综上所述，a 的取值范围是(]0-∞，． ………………………………………………16分 20．（本小题满分16分）已知α，β是方程x 2－x －1=0的两个根，且α＜β．数列{a n }，{b n }满足a 1=1，a 2=β， a n +2=a n +1+a n ，b n =a n +1－αa n (n ∈N *).（1）求b 2－a 2的值；（2）证明：数列{b n }是等比数列；（3）设c 1=1，c 2=-1，c n +2+c n +1=c n （n ∈N *），证明：当n ≥3时，a n =(-1)n －1（αc n -2+βc n ）． 解：因为α，β是方程x 2－x －1=0的两个根，所以α+β=1，α·β=-1，β2=β+1.（1）由b 2= a 3－αa 2= a 1+a 2－αa 2=1+ a 2－αβ=2+ a 2，得b 2－a 2=2. ……………………4分 （2）因为b n +1b n = a n +2－αa n +1 a n +1－αa n = a n +1+a n －αa n +1 a n +1－αa n=(1－α)a n +1+a n a n +1－αa n = βa n +1+a n a n +1－αa n = βa n +1－αβa na n +1－αa n=β， ……………………………8分又b 1= a 2－αa 1=β－α≠0，所以{b n }是首项为β－α，公比为β的等比数列． ……10分 （3）由（2）可知 a n +1－αa n =（β－α）βn －1． ①同理， a n +1－βa n =α（a n －βa n-1）．又a 2－βa 1=0，于是a n +1－βa n =0． ②由①②，得 a n =β n －1.…………………………………………………………………13分 下面我们只要证明：n ≥3时， (-1) n －1（αc n -2+βc n ）= β n －1． 因为(-1)n (αc n -1+βc n +1) (-1)n -1(αc n -2+βc n )=－αc n -1－βc n +βc n -1 αc n -2+βc n =－c n -1－βc n αc n -2+βc n =－c n -2－c n －βc nαc n -2+βc n =－c n -2－(1+β)c n αc n -2+βc n =－－αβc n -2－β2c n αc n -2+βc n=β．又c 1=1，c 2=-1，c 3=2，则当n =3时，(-1)2(αc 1+βc 3)= (α+2β)=1+β=β2， 所以{(-1) n －1 (αc n -2+βc n )}是以β2为首项，β为公比的等比数列． (-1) n －1 (αc n -2+βc n )是它的第n －2项，所以(-1) n －1 (αc n -2+βc n )= β2·βn －3=βn －1= a n .…………………………………………16分(第21-A 题)A B POE DC·数学Ⅱ参考答案与评分建议21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 共4小题，请从这4题中选做2小题，每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4－1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE =AC ，求证：∠PDE =∠POC ． 证明：因AE =AC ，AB 为直径，故∠OAC =∠OAE ． …………………………………3分所以∠POC =∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAC=∠EAC ．又∠EAC =∠PDE ，所以，∠PDE =∠POC ．……………………………………………10分B ．选修4－2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知121217⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，M β，计算5M β． 解：矩阵M 的特征多项式为212()2321f λλλλλ--==----．………………………………3分 令12()031f λλλ===-，解得，，从而求得对应的一个特征向量分别为121111⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，αα． ………………………………………………………………………5分令m n =+12，βαα所以求得4m =， 3n =-．………………………………………………7分 55551212(43)4()3()=-=-M M ααM αM αβ5511224()3()λλ=-αα5511975433(1)11969⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦．…………………………………………………………10分 C ．选修4－4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，圆1C 的方程为π)4ρθ=-，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆2C 的参数方程1cos ,1sin x a y a θθ=-+⎧⎨=-+⎩（θ是参数），若圆1C 与圆2C 相切，求实数a 的值．解：221:(2)(2)8C x y -+-=，圆心1(2,2)C ，半径1r =，2222:(1)(1)C x y a +++=，圆心2(1,1)C --，半径2r a =．………………………………………3分圆心距12C C = ………………………………………………………………………………5分两圆外切时，1212C C r r a a =+=== ………………………………………7分两圆内切时，12r r a a =-===±12C C综上，a =或a =±10分 D ．选修4－5：不等式选讲（本小题满分10分）已知x ，y ，z 均为正数．求证：111y xz yzzxxy x y z≥． 证明：因为x ，y ，z 都是为正数，所以12()x y x y yz zx z y x z+=+≥．……………………………3分同理，可得22y z z x zx xy x xy yz y++≥，≥． 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得111x y z yz zx xy x y z++++≥．………10分 22．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．某射击运动员向一目标射击，该目标分为3个不同部分，第一、二、三部分面积之比为1∶3∶6．击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比．（1）若射击4次，每次击中目标的概率为13且相互独立．设ξ表示目标被击中的次数，求ξ的分布列和数学期望()E ξ；（2）若射击2次均击中目标，A 表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求事件A 发生的概率．解：（1）依题意知~()B ξ，143，ξ的分布列数学期望()E ξ=1632248140+1+2+3+4=81818181813⨯⨯⨯⨯⨯（或()E ξ=43np =）．………………………………………………………………………………………………5分 （2）设i A 表示事件“第一次击中目标时,击中第i 部分” ，1,2i =，i B 表示事件“第二次击中目标时,击中第i 部分”, 1,2i =．依题意，知()()0.1P A P B ==11,22()()0.3P A P B ==, A A B A B A B A B =11111122, …………………………………………………………7分所求的概率为()()()()()P A P A B P A B P A B P A B =+++11111122=()()()()()()()()P A P B P A P B P A P B P A P B +++11111122 =0.10.9+0.90.1+0.10.1+0.30.3=0.28⨯⨯⨯⨯．答：事件A 的概率为0.28．……………………………………………………………10分 另解：记“第一部分至少击中一次”为事件C ，“第二部分被击中二次”为事件D ，则12()C 0.10.9+0.10.1=0.19P C =⨯⨯，()=0.30.3=0.09P D ⨯．…………………………7分 ()()()0.28P A P C P D =+=．答：事件A 发生的概率为0.28．………………………………………………………10分23．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知函数2()(21)ln(21)(21)(0)f x x x a x x a =++-+->． （1）若函数()f x 在0x =处取极值，求a 的值；（2）如图，设直线1,2x y x =-=-将坐标平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域（不含边界），若函数()y f x =的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的a 的取值范围；（3）比较23420113452012⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯与34520122342011⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯的大小，并说明理由． 解：2()(21)ln(21)(21)(0)f x x x a x x a =++-+->，()2ln(21)4(21)1f x x a x '=+-++．∵()f x 在0x =处取极值，∴(0)410f a '=-+=．∴14a =（经检验14a =符合题意）．……………3分2012年5月9日星期三 高三数学二模参考答案与评分意见 第 11 页 （共 11 页） 11 （2）因为函数的定义域为1(,)2-+∞， 且当0x =时，(0)0f a =-<．又直线y x =-恰好通过原点，所以函数()y f x =的图象应位于区域Ⅳ内， 于是可得()f x x <-，即2(21)ln(21)(21)x x a x x x ++-+-<-．…………………………5分 ∵210x +>，∴ln(21)21x a x +>+．令ln(21)()21x h x x +=+，∴222ln(21)()(21)x h x x -+'=+． 令()0h x '=，得e 12x -=． ∵12x >-，∴1e 1(,)22x -∈-时，()0m x '>，()m x 单调递增， e 1(,)2x -∈+∞时，()0m x '<，()m x 单调递减． ∴max e 11()()2e h x h -==． ∴a 的取值范围是1ea >． …………………………………………………………………7分 （3）法一：由（2）知，函数ln(21)e 1()(,212x m x x x +-=∈+∞+在）时单调递减， 函数ln ()x p x x =在(e,)x ∈+∞时单调递减． ∴ln(1)ln ,ln(1)(1)ln 1x x x x x x x x+<∴+<++． ∴(1)ln(1)ln x x x x ++<，即(1)(1)x x x x ++<．……………………………………………………9分 ∴3,4,,2011,x =⋅⋅⋅令则344543,54,<<20112012,20122011⋅⋅⋅<, 又23343423⨯<⨯，所以2342011345201234520122342011⨯⨯⋅⋅⋅⨯<⨯⨯⋅⋅⋅⨯．………………10分 法二：20112011201120112011020122012201220112012(20111)201120112011r r r C -=+==∑， ∵20112011201120112011,20112011r r r r C C -<∴<， ∴2011201102011120102009212011020112011201120112012201220112011201120112011120112011r rr C C C C C -=+++++=∑ 1111201120112011<+++= ∴2011201220122011<，同理可得344543,54<<，以下同一．。
2012南通高三数学第一次调研考试试卷(二模)
2012届高三模拟考试试卷(五)南通市2012届高三第一次调研测试数 学(满分160分，考试时间120分钟)2012．3参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n (x i －x －)2，其中x －＝1n x i .一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线y 2－x 2＝1的离率心为____________．2. 若复数z 满足(1＋2i)z ＝－3＋4i(i 是虚数单位)，则z ＝____________.3. 在右图的算法中，最后输出的a 、b 的值依次是____________． a←1b←2c←3c←a a←b b←cPrint a ，b(第3题)4. 一组数据9.8,9.9,10，a,10.2的平均数为10，则该组数据的方差为______________．5. 设全集U ＝Z ，集合A ＝{x|x 2－x －2≥0，x ∈Z }，则U A ＝____________(用列举法表示)．6. 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ＝(1,2)，a －12b ＝(3,1)，则a·b ＝____________. 7. 将甲、乙两个球随机放入编号为1、2、3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1、2号盒子中各有1个球的概率为____________．8. 设P 是函数y ＝x(x ＋1)图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是____________．9. 如图，矩形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 分别在函数y ＝log 22x ，y ＝x 12，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x 的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为__________．(第9题)10. 观察下列等式： 13＝1， 13＋23＝9，13＋23＋33＝36，13＋23＋33＋43＝100， …猜想：13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝____________(n ∈N *)．11. 在棱长为4的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、D 1C 1上的动点，点G 为正方形B 1BCC 1的中心．则空间四边形AEFG 在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中，面积的最大值为____________．12. 若a 1x≤sinx≤a 2x 对任意的x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2都成立，则a 2－a 1的最小值为____________．13. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，B 、C 分别为椭圆的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一交点为D.若cos ∠F 1BF 2＝725，则直线CD 的斜率为__________．(第13题)14. 各项均为正偶数的数列a 1，a 2，a 3，a 4中，前三项依次成公差为d(d ＞0)的等差数列，后三项依次成公比为q 的等比数列．若a 4－a 1＝88，则q 的所有可能的值构成的集合为____________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在斜三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.(1) 若2sinAcosC ＝sinB ，求ac 的值； (2) 若sin(2A ＋B)＝3sinB ，求tanAtanC 的值．16.(本小题满分14分)如图，在六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AA 1∥CC 1，A 1B ＝A 1D ，AB ＝AD.求证： (1) AA 1⊥BD ；(2) BB 1∥DD 1.将52名志愿者分成A 、B 两组参加义务植树活动，A 组种植150捆白杨树苗，B 组种植200捆沙棘树苗．假定A 、B 两组同时开始种植．(1) 根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时25小时，种植一捆沙棘树苗用时12小时．应如何分配A 、B 两组的人数，使植树活动持续时间最短？(2) 在按(1)分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗仍用时25小时，而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时23小时，于是从A 组抽调6名志愿者加入B 组继续种植，求植树活动所持续的时间．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝1.(1) 若过点C 1(－1,0)的直线l 被圆C 2截得的弦长为65，求直线l 的方程； (2) 设动圆C 同时平分圆C 1的周长、圆C 2的周长． ① 证明：动圆圆心C 在一条定直线上运动；② 动圆C 是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．已知函数f(x)＝x ＋sinx.(1) 设P 、Q 是函数f(x)图象上相异的两点，证明：直线PQ 的斜率大于0；(2) 求实数a 的取值范围，使不等式f(x)≥axcosx 在⎣⎡⎦⎤0，π2上恒成立．设数列{a n}的各项均为正数．若对任意的n∈N*，存在k∈N*，使得a2n＋k＝a n·a n＋2k成立，则称数列{a n}为“J k型”数列．(1) 若数列{a n}是“J2型”数列，且a2＝8，a8＝1，求a2n；(2) 若数列{a n}既是“J3型”数列，又是“J4型”数列，证明：数列{a n}是等比数列．2012届高三模拟考试试卷(五)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲) 如图，AB 是半圆O 的直径，延长AB 到C ，使BC ＝3，CD 切半圆O 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E.若AE ∶EB ＝3∶1，求DE 的长．B. (选修42：矩阵与变换)在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝kx 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0对应的变换下得到的直线过点P(4,1)，求实数k 的值．C. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知圆ρ＝asinθ(a ＞0)与直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1相切，求实数a 的值．D. (选修45：不等式选讲)已知正数a ，b ，c 满足abc ＝1，求证：(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)≥27.【必做题】 第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 已知数列{a n }满足：a 1＝12，a n ＋1＝2a na n ＋1(n ∈N *)．(1) 求a 2，a 3的值；(2) 证明：不等式0＜a n ＜a n ＋1对于任意n ∈N *都成立．23.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点在原点，焦点为F(1,0)．过抛物线在x轴上方的不同两点A、B作抛物线的切线AC、BD，与x轴分别交于C、D两点，且AC与BD交于点M，直线AD与直线BC交于点N.(1) 求抛物线的标准方程；(2) 求证：MN⊥x轴；(3) 若直线MN与x轴的交点恰为F(1,0)，求证：直线AB过定点．2012届高三模拟考试试卷(五)(南通)数学参考答案及评分标准1. 22. 1＋2i3. 2,14. 0.025. {0,1}6. 07. 298. ⎣⎡⎭⎫π3，π29. ⎝⎛⎭⎫12，1410.⎣⎡⎦⎤n n ＋122 11. 12 12. 1－2π 13. 1225 14. ⎩⎨⎧⎭⎬⎫53，8715. 解：(1) 由正弦定理，得sinA sinB ＝ab ， 从而2sinAcosC ＝sinB 可化为2acosC ＝b ，(3分) 由余弦定理，得2a×a 2＋b 2－c 22ab ＝b ， 整理得a ＝c ，即ac ＝1.(7分)(2) 在斜三角形ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以sin(2A ＋B)＝3sinB 可化为sin[π＋(A －C)]＝3sin[π－(A ＋C)]， 即－sin(A －C)＝3sin(A ＋C)，(10分)故－sinAcosC ＋cosAsinC ＝3(sinAcosC ＋cosAsinC)， 整理，得4sinAcosC ＝－2cosAsinC ，(12分)因为△ABC 是斜三角形，所以sinAcosAcosC≠0， 所以tanA tanC ＝－12.(14分)16. 证明：(1) 取线段BD 的中点M ，连结AM 、A 1M ，因为A 1D ＝A 1B ，AD ＝AB ，所以BD ⊥AM ，BD ⊥A 1M ，(3分)又AM∩A 1M ＝M ，AM 、A 1M 平面A 1AM ，所以BD ⊥平面A 1AM ， 而AA 1平面A 1AM ， 所以AA 1⊥BD.(7分) (2) 因为AA 1∥CC 1，AA 1平面D 1DCC 1，CC 1平面D 1DCC 1， 所以AA 1∥平面D 1DCC 1.(9分)又AA 1平面A 1ADD 1，平面A 1ADD 1∩平面D 1DCC 1＝DD 1，(11分) 所以AA 1∥DD 1，同理得AA 1∥BB 1， 所以BB 1∥DD 1.(14分)17. 解：(1)设A 组人数为x ，且0＜x ＜52，x ∈N *， 则A 组活动所需时间f(x)＝150×25x ＝60x ，(2分) B 组活动所需时间g(x)＝200×1252－x ＝10052－x ，(4分)令f(x)＝g(x)，即60x ＝10052－x，解得x ＝392，所以两组同时开始的植树活动所需时间F(x)＝⎩⎨⎧60x ，x≤19，x ∈N *，10052－x ，x≥20，x ∈N *，(6分)而F(19)＝6019，F(20)＝258，故F(19)＞F(20)，所以当A 、B 两组人数分别为20、32时，使植树活动持续时间最短．(8分) (2) A 组所需时间为1＋150×25－20×120－6＝367(小时)，(10分)B 组所需时间为1＋200×23－32×132＋6＝323(小时)，(12分)所以植树活动所持续的时间为367小时．(14分)18. 解：(1) 设直线l 的方程为y ＝k(x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0，因为直线l 被圆C 2截得的弦长为65，而圆C 2的半径为1，所以圆心C 2(3,4)到l ：kx －y ＋k ＝0的距离为|4k －4|k 2＋1＝45.(3分)化简，得12k 2－25k ＋12＝0，解得k ＝43或k ＝34， 所以直线l 的方程为4x －3y ＋4＝0或3x －4y ＋3＝0.(6分) (2) ① 证明：设圆心C(x ，y)，由题意，得CC 1＝CC 2， 即x ＋12＋y 2＝x －32＋y －42， 化简得x ＋y －3＝0，即动圆圆心C 在定直线x ＋y －3＝0上运动．(10分) ② 圆C 过定点，设C(m,3－m)，则动圆C 的半径为1＋CC 21＝1＋m ＋12＋3－m 2， 于是动圆C 的方程为(x －m)2＋(y －3＋m)2＝1＋(m ＋1)2＋(3－m)2， 整理，得x 2＋y 2－6y －2－2m(x －y ＋1)＝0，(14分)由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x 2＋y 2－6y －2＝0，得⎩⎨⎧x ＝1＋322，y ＝2＋322；或⎩⎨⎧x ＝1－322，y ＝2－322.所以定点的坐标为⎝⎛⎭⎫1－322，2－322，⎝⎛⎭⎫1＋322，2＋322.(16分)19. (1) 证明：由题意，得f′(x)＝1＋cosx≥0，所以函数f(x)＝x ＋sinx 在R 上单调递增，设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则有y 1－y 2x 1－x 2＞0，即k PQ ＞0.(6分) (2) 解：当a≤0时，f(x)＝x ＋sinx≥0≥axcosx 恒成立．(8分)当a ＞0时，令g(x)＝f(x)－axcosx ＝x ＋sinx －axcosx ，g′(x)＝1＋cosx －a(cosx －xsinx)＝1＋(1－a)cosx ＋axsinx.① 当1－a≥0，即0＜a≤1时，g′(x)＝1＋(1－a)cosx ＋axsinx ＞0，所以g(x)在⎣⎡⎦⎤0，π2上为单调增函数， 所以g(x)≥g(0)＝0＋sin0－a×0×cos0＝0，符合题意．(10分)② 当1－a ＜0，即a ＞1时，令h(x)＝g′(x)＝1＋(1－a)cosx ＋axsinx ，于是h′(x)＝(2a －1)sinx ＋axcosx ，因为a ＞1，所以2a －1＞0，从而h′(x)≥0，所以h(x)在⎣⎡⎦⎤0，π2上为单调增函数， 所以h(0)≤h(x)≤h ⎝⎛⎭⎫π2，即2－a≤h(x)≤π2a ＋1， 亦即2－a≤g′(x)≤π2a ＋1.(12分)(ⅰ) 当2－a≥0，即1＜a≤2时，g′(x)≥0，所以g(x)在⎣⎡⎦⎤0，π2上为单调增函数．于是g(x)≥g(0)＝0，符合题意．(14分) (ⅱ) 当2－a ＜0，即a ＞2时，存在x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使得 当x ∈(0，x 0)时，有g′(x)＜0，此时g(x)在(0，x 0)上为单调减函数，从而g(x)＜g(0)＝0，不能使g(x)＞0恒成立，综上所述，实数a 的取值范围为a≤2.(16分)20. (1) 解：由题意，得a 2，a 4，a 6，a 8，…成等比数列，且公比q ＝⎝⎛⎭⎫a 8a 213＝12， 所以a 2n ＝a 2q n －1＝⎝⎛⎭⎫12n －4.(4分) (2) 证明：由{a n }是“J 4 型”数列，得a 1，a 5，a 9，a 13，a 17，a 21，…成等比数列，设公比为t ，(6分)由{a n }是“J 3型”数列，得a 1，a 4，a 7，a 10，a 13，…成等比数列，设公比为α1；a 2，a 5，a 8，a 11，a 14，…成等比数列，设公比为α2；a 3，a 6，a 9，a 12，a 15，…成等比数列，设公比为α3；则a 13a 1＝α41＝t 3，a 17a 5＝α42＝t 3，a 21a 9＝α43＝t 3， 所以α1＝α2＝α3，不妨记α＝α1＝α2＝α3，且t ＝α43，(12分)于是a 3k －2＝a 1αk －1＝a 1(3α)(3k －2)－1，a3k－1＝a5αk－2＝a1tαk－2＝a1αk－23＝a1(3α)(3k－1)－1，a3k＝a9αk－3＝a1t2αk－3＝a1αk－13＝a1(3α)3k－1，所以a n＝a1(3α)n－1，故{a n}为等比数列．(16分)2012届高三模拟考试试卷(五)(南通) 数学附加题参考答案及评分标准 21. A. 选修41：几何证明选讲解：连结AD 、DO 、DB.由AE ∶EB ＝3∶1，得DO ∶OE ＝2∶1.又DE ⊥AB ，所以∠DOE ＝60°.故△ODB 为正三角形．(5分)于是∠DAC ＝30°＝∠BDC.而∠ABD ＝60°，故∠C ＝30°＝∠BDC.所以DB ＝BC ＝ 3.在△OBD 中，DE ＝32DB ＝32.(10分)B. 选修42：矩阵与变换解：设变换T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ―→⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤y x ，即⎩⎪⎨⎪⎧ x′＝y ，y′＝x.(5分) 代入直线y ＝kx ，得x′＝ky′.将点P(4,1)代入上式，得k ＝4.(10分)C. 选修44：坐标系与参数方程解：将圆ρ＝asinθ化成普通方程为x 2＋y 2＝ay ，整理，得x 2＋⎝⎛⎭⎫y －a 22＝a 24. 将直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1化成普通方程为x －y －2＝0.(6分) 由题意，得⎪⎪⎪⎪－a 2－22＝a2.解得a ＝4＋2 2.(10分)D. 选修45：不等式选讲证明：(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)＝(a ＋1＋1)(b ＋1＋1)(c ＋1＋1)(4分)≥3·3a·3·3b·3·3c＝27·3abc＝27(当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立)．(10分)22. (1) 解：由题意，得a 2＝23，a 3＝45.(2分)(2) 证明：① 当n ＝1时，由(1)，知0＜a 1＜a 2，不等式成立．(4分)② 设当n ＝k(k ∈N *)时，0＜a k ＜a k ＋1成立，(6分)则当n ＝k ＋1时，由归纳假设，知a k ＋1＞0.而a k ＋2－a k ＋1＝2a k ＋1a k ＋1＋1－2a k a k ＋1＝2a k ＋1a k ＋1－2a k a k ＋1＋1a k ＋1＋1a k ＋1＝2a k ＋1－a k a k ＋1＋1a k ＋1＞0， 所以0＜a k ＋1＜a k ＋2，即当n ＝k ＋1时，不等式成立．由①②，得不等式0＜a n ＜a n ＋1对于任意n ∈N *成立．(10分)23. 解：(1) 设抛物线的标准方程为y 2＝2px(p ＞0)，由题意，得p 2＝1，即p ＝2.所以抛物线的标准方程为y 2＝4x.(3分)(2) 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，且y 1＞0，y 2＞0.由y 2＝4x(y ＞0)，得y ＝2x ，所以y′＝1x. 所以切线AC 的方程为y －y 1＝1x 1(x －x 1)，即y －y 1＝2y 1(x －x 1)． 整理，得yy 1＝2(x ＋x 1)， ①且C 点坐标为(－x 1,0)．同理得切线BD 的方程为yy 2＝2(x ＋x 2)， ②且D 点坐标为(－x 2,0)．由①②消去y ，得x M ＝x 1y 2－x 2y 1y 1－y 2.(5分) 又直线AD 的方程为y ＝y 1x 1＋x 2(x ＋x 2)， ③ 直线BC 的方程为y ＝y 2x 1＋x 2(x ＋x 1)． ④ 由③④消去y ，得x N ＝x 1y 2－x 2y 1y 1－y 2. 所以x M ＝x N ，即MN ⊥x 轴．(7分)(3) 由题意，设M(1，y 0)，代入(1)中的①②，得y 0y 1＝2(1＋x 1)，y 0y 2＝2(1＋x 2)， 所以A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)都满足方程y 0y ＝2(1＋x)．所以直线AB 的方程为y 0y ＝2(1＋x)．故直线AB 过定点(－1,0)．(10分)你脸上云淡风轻，谁也不知道你牙咬得多紧。
南通市2012届高三数学回归基础专项检测试卷
南通市2012届高三回归课本专项检测数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在相应位置上． 1．复数211i++在复平面上对应的点的坐标是 ▲ ． 2．已知集合{}2|1,M y y x x R ==+∈，{}|3,N y y x x M ==-+∈，则M N =I ▲ ．3．已知函数()y f x =是奇函数，当0x >时，()lg f x x =，则1(())100f f 的值等于 ▲ ．4．某人随机地将标注为,,A B C 的三个小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子放入一个小球，全部放完．则标注为B 的小球放入编号为奇数的盒子中的概率为 ▲ ． 5．右图是一个算法的流程图，最后输出的W6．设双曲线的渐进线方程为230x y ±= ▲ ．7．已知θ是第二象限角，且4sin 5θ=，则 ▲ ．8．用半径为，面积为cm 2无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计）水时的体积是 ▲ cm 3．9．若直线x y a +=与圆224x y +=相交于点OA OB OA OB u u u r u u u r u u u r u u u r+=-（其中O 10．已知三角形的一边长为5，所对角为60o 取值范围是 ▲ ．11．已知()sin()(0),()()363f x x f f πππωω=+>=，且()f x 在区间(,)63ππ有最小值，无最大值，则ω的最小值为 ▲ ．12．在x 轴的正方向上，从左向右依次取点列{}j A ，1,2,3,j =L ，在曲线y =上从左向 第5题图右依次取点列{}k B ，1,2,3,k =L ，使()11,2,3,k k k A B A k -∆=L 都是等边三角形，其中0A 是 坐标原点，则第2012个等边三角形的边长是 ▲ ． 13．已知等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为n S 和n T ，若7453n n S n T n +=+，且2n nab 是整数，则 n 的值为 ▲ ．14．若关于x 的方程3x e x kx -=有四个实数根，则实数k 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，且2b ac =，向量()()cos ,1m A C =-u r和()1,cos n B =r 满足32m n ⋅=u r r ．（1）求sin sin A C 的值；（2）求证：ABC ∆为等边三角形．16．（本题满分14分）如图，棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都等于2，60ABC ∠=o ，平面11AA C C ⊥平面ABCD ，160A AC ∠=o ．（1）证明：1BD AA ⊥；（2）在直线1CC 上是否存在点P ，使//BP 平面11DA C ？ 若存在，求出点P 的位置；若不存在，说明理由．17．（本小题满分14分）某工厂去年新开发的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元的科技成本，并计划以后每年比上一年 多投入100万元，预计产量每年递增10万只，第n 次投入后，每只产品的固定成本 为()1g n n =+元（其中k 为常数，n Z ∈且0n ≥）．若产品销售价保持不变，第n次投入后的年纯利润为()f n 万元（年纯利润＝年收入－年固定成本－年科技成本）． （1）求k 的值，并求出()f n 的表达式；（2）问从今年起，第几年纯利润最高？最高纯利润为多少万元？18．（本题满分16分）设集合W 是满足下列两个条件的无穷数列{}n a 的集合： ①212n n n a a a +++≤ ；②n a M ≤，其中*n N ∈，M 是与n 无关的常数． （1）若{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，334,18a S ==，试探究{}n S 与集合W 之间的关系；（2）设数列{}n b 的通项为52n n b n =-，且{}n b W ∈，M 的最小值为m ，求m 的值；（3）在（2）的条件下，设1[(5)]25n n n c b m =+-+，求证：数列{}n c 中任意不同的三项都不能成为等比数列．19．（本题满分16分）给定椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，称圆心在坐标原点O ，半径为22a b +的圆是椭圆C的“伴随圆”． 若椭圆C 的一个焦点为20)F ，其短轴上的一个端点到2F （1）求椭圆C 及其“伴随圆”的方程；（2）若过点(0,)(0)P m m <的直线与椭圆C 只有一个公共点，且截椭圆C 的“伴随圆”所得的弦长为m 的值；（3）过椭圆C “伴椭圆”上一动点Q 作直线12,l l ，使得12,l l 与椭圆C 都只有一个公共点，试判断直线12,l l 的斜率之积是否为定值，并说明理由．20．(本小题满分16分)已知函数()ln f x x =，若存在函数()g x 使得()()g x f x ≤恒成立，则称()g x 是()f x 的 一个“承托函数”． （1）若函数()ln tg x x x=-（t R ∈）为函数()f x 的一个“承托函数”，求实数t 的取值范围；（2）设函数()()12x F x f x e ex=-+，试问函数()F x 是否存在零点，若存在，求出零点 个数；若不存在，请说明理由.。
江苏省南通市2012届高三数学模拟试题
江苏省南通市2012届高三数学模拟试题注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0．5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸的相应位置上．1．若复数z满足（i是虚数单位），则z= ▲．2．已知集合A={x|6x+a>0}，若1A，则实数a的取值范围是▲．3．命题p：函数y=tanx在R上单调递增，命题q：△ABC中，∠A>∠是sinA>sinB的充要条件，则p∨q是▲命题．（填“真”“假”）4．某地区为了解中学生的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了位中学生进行调查，根据所得数据111111…123456…1357911…147101316…159131721…1611162126……………………画出样本的频率分布直方图如图所示，且从左到右的第1个、第4个、第2个、第3个小长方形的面积依次构成公差为0.1的等差数列，又第一小组的频数是10，则 ▲ ．5．把一颗骰子投掷2次，观察出现的点数，记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，则方程组只有一个解的概率为 ▲ ．6．如果， 那么= ▲ ．7.已知双曲线的一个焦点在圆上，则双曲线的渐近线方程为 ▲ ．8．程序框图如下，若恰好经过6次循环输出结果，则a= ▲ ．N开始输出TY结束9．将函数y ＝sin （2x ＋）的图象向左平移至少 ▲ 个单位，可得一个偶函数的图象．10. 已知直线平面，直线平面，给出下列命题：1 若，则； ②若，则；③ 若，则； ④若，则.其中正确命题的序号是 ▲ ．11．某资料室在计算机使用中，产生如右表所示的编码，该编码以一定的规则排列，且从左至右以及从上到下都是无限的．此表中，主对角线上数列1，2，5，10，17，…的一个通项公式= ▲ ．12. 在中，A （1，1），B （4，5），C （—1，1），则与角A 的平分线共线且方向相同的单位向量为▲．13. 已知函数f(x)满足f(1)= ，f(x)+f(y)=4f()f()(x,y∈R)，则f(—2011)=▲．14. 已知二次函数，若函数在上有两个不同的零点，则的最小值为▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．(本题满分14分)已知ABC的面积S满足，且=—8．（Ⅰ）求角A的取值范围；（Ⅱ）若函数，求的最大值．16．(本题满分14分)如图，把长、宽分别为4、3的长方形ABCD沿对角线AC折成直二面角．（Ⅰ）求顶点B和D之间的距离；（Ⅱ）现发现BC边上距点C的处有一缺口E，请过点E作一截面，将原三棱锥分割成一个三棱锥和一个棱台两部分，为使截去部分体积最小，如何作法？请证明你的结论．ACBE.DABCDE.17．(本题满分15分)如图，已知：椭圆M的中心为O，长轴的两个端点为A、B，右焦点为F，AF=5BF．若椭圆M经过点C，C在AB上的射影为F，且△ABC的面积为5．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）已知圆O：=1，直线=1，试证明：当点P(m，n)在椭圆M上运动时，直线l与圆O恒相交；并求直线l被圆O截得的弦长的取值范围．xOFAF1BCy18．(本题满分15分)各项均为正数的等比数列，a1=1，=16，单调增数列的前n项和为，，且（）．（Ⅰ）求数列、的通项公式；（Ⅱ）令（），求使得的所有n的值，并说明理由．(Ⅲ) 证明中任意三项不可能构成等差数列．19．(本题满分16分)由一个小区历年市场行情调查得知，某一种蔬菜在一年12个月内每月销售量（单位：吨）与上市时间（单位：月）的关系大致如图（1）所示的折线表示，销售价格（单位：元／千克）与上市时间（单位：月）的大致关系如图（2）所示的抛物线段表示（为顶点）．（Ⅰ）请分别写出,关于的函数关系式，并求出在这一年内3到6月份的销售额最大的月份？（Ⅱ）图（1）中由四条线段所在直线围成的平面区域为，动点在内（包括边界），求的最大值；(Ⅲ) 由（Ⅱ），将动点所满足的条件及所求的最大值由加法运算类比到乘法运算（如类比为），试列出所满足的条件，并求出相应的最大值．（图1）（图2）20．(本题满分16分)如果实数x，y，t满足|x—t|≤|y—t|，则称x比y接近t．（Ⅰ）设a为实数，若a|a| 比a更接近1，求a的取值范围；（Ⅱ）f(x)=ln，证明：比更接近0（k∈Z）．数学附加题(满分40分，考试时间30分钟) 21．【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1 几何证明选讲已知中，,是外接圆劣弧上的点（不与点重合），延长至.求证：的延长线平分.B．选修4—2 矩阵与变换已知矩阵，若矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α1＝，属于特征值5的一个特征向量为α2=．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．C．选修4—4 参数方程与极坐标已知圆C的参数方程为，若P是圆C与x轴正半轴的交点，以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设过点P的圆C的切线为，求直线的极坐标方程．D．选修4—5 不等式证明选讲设均为正数，证明：.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.已知一口袋中共有4只白球和2只红球（1）从口袋中一次任取4只球，取到一只白球得1分，取到一只红球得2分，设得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望；（2）从口袋中每次取一球，取后放回，直到连续出现两次白球就停止取球，求6次取球后恰好被停止的概率．23.在平面直角坐标系中，已知焦点为的抛物线上有两个动点、，且满足, 过、两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为Ｍ．（1）求：的值；（2）证明：为定值．参考答案一、填空题1. —1+2.3. 真4. 1005.6. 07.8. 2 9. 10.①③ 11. (n—1)2+1 12. 13. 14.二、解答题15. （Ⅰ）∵ =—8，∴=—8，∴ = ①∵②将①代入②得，由，得，又，∴.（Ⅱ）=====，当，即时，取得最大值，同时，取得最大值．16. （Ⅰ）由已知BO=,OD=在Rt△BOD中, BD=.ABCDE.（Ⅱ）方案(一)过E作EF//AC交AB于F,EG//CD,交BD于G,,平面EFG//平面ACD原三棱锥被分成三棱锥B-EFG和三棱台EFG-CAD两部分,此时.方案(二)过E作EP//BD交CD于P,EQ//AB,交AC于Q,同(一)可证平面EPQ//平面ABD,原三棱锥被分割成三棱锥C-EPQ和三棱台EPQ-BDA两部分,此时,为使截去部分体积最小,故选用方案(二).17. （Ⅰ）由题意设椭圆方程为，半焦距为c，由AF=5BF，且AF=a+c,BF=a—c，∴a+c=5（a-c），得2a=3c.（1）由题意CF⊥AB，设点C坐标（c，y），C在M上，代入得∴．由△ABC的面积为5，得，=5.（2）解（1）（2）得a=3，c=2. ∴=9—4=5．∴所求椭圆M的方程为：．(Ⅱ) 圆O到直线=1距离d=，由点P(m,n)在椭圆M上，则，显然，∴1，>1, ∴d =<1，而圆O的半径为1，直线l与圆O恒相交．弦长t=2=2,由得，∴, t=2, ，∴，，∴，弦长t的取值范围是[]．18．（Ⅰ）∵=，=4，∵，∴q=2， ∴∴b3=＝8. ∵+2 ①当n≥2时，+2 ②①-②得即∵∴=3，∴是公差为3的等差数列．当n＝1时，+2，解得=1或=2，当=1时，，此时=7，与矛盾；当时，此时此时=8=，∴． （Ⅱ）∵，∴＝，∴=2>1，=＞1，=2>1,>1，<1，下面证明当n≥5时，事实上，当n≥5时，＝＜0即，∵<1 ∴当n≥5时，，故满足条件的所有n的值为1，2，3，4．(Ⅲ)假设中存在三项p,q,r (p<q<r,p,q,R∈N*)使a p,a q,a r构成等差数列，∴ 2a q=a p+a r，即22q—1=2p—1+2r—1．∴2q—p+1=1+2r—p．因左边为偶数，右边为奇数，矛盾．∴假设不成立，故不存在任意三项能构成等差数列．19.解(Ⅰ)．（在恒成立，所以函数在上递增当t=6时，=34.5．∴6月份销售额最大为34500元．(Ⅱ) ，z=x—5y．令x—5y=A(x+y)+B(x—y)，则，∴z=x—5y=—2(x+y)+3(x—y)．由,，∴,则(z)max=11 ．(Ⅲ)类比到乘法有已知,求的最大值．由=()A·()B．∴,∴，则(z)max= ．20. (Ⅰ)|a|a|—1|≤|a—1|（1）当0<a<1时, |a2—1|≤|a—1|1-a2≤1—a，得a≥1或a≤0(舍去)（2）当a≥1时，a2—1≤a—1,得a= 1；（3）当a≤0时， a2+1≤1—a ，—1≤a≤0 ．综上， a的取值范围是{a|—1a0或a=1} (Ⅱ) ∵++…+=，∴=．令n（n+1）=t，∴t∈，且t∈Z，则F（t）= =．=∴F（x）在单调递减∴F（t）≤f（6）<F(2)=—ln1—0=0 ．∴,即≤0．∴比更接近0．附加题参考答案及评分标准A．选修4—1 几何证明选讲解（Ⅰ）设为延长线上一点∵四点共圆，∴ 3分又∴, 5分且, ∴, 7分对顶角, 故,即的延长线平分. 10分B．选修4—2 矩阵与变换解：由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α1＝可得，＝，即； 3分由矩阵A属于特征值5的一个特征向量为α2＝，可得＝5，即， 6分解得即A＝， 7分A的逆矩阵是 10分C．选修4—4 参数方程与极坐标解由题设知,圆心2分∠CPO=60°,故过P点的切线的倾斜角为30° 4分设是过P点的圆C的切线上的任一点，则在△PMO中，∠MOP=由正弦定理得8分，即为所求切线的极坐标方程. 10分D．选修4—5 不等式证明选讲证明： 3分9分即得. 10分另证利用柯西不等式取代入即证.22.解：（1）X的可能取值为4、5、6.P(X=4)=P(X=5)=P(X=6)=X的分布列为P456X5分(2)设 “6次取球后恰好被停止”为事件A则6次取球后恰好被停止的概率为 10分23.解：设焦点F（0,1）消得化简整理得（定值）（2）抛物线方程为过抛物线A、B两点的切线方程分别为和即和联立解出两切线交点的坐标为=（定值）。
2012年南通中考数学模拟3
2012年南通中考数学模拟3一．选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分．） 1．3-的相反数是（ ） A ．3 B ．13 C ．13- D ．3-- 2．下列运算正确的是（ ）A ．1243x x x =∙ B ．623(6)(2)3x x x -÷-= C ．23a a a -=-D ．22(2)4x x -=- 3．2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级地震,国内外社会各界纷纷向灾区捐款捐物，抗震救灾。
截止6月4日12时，全国共接收捐款约为43 681 000 000元人民币。
这笔款额用科学记数法表示（保留三个有效数字）正确的是（ ）A. 1110437.0⨯ B. 101037.4⨯ C. 10104.4⨯ D. 9107.43⨯ 4．一几何体的三视图如右图，这个几何体是（ ） A ．圆锥 B ．圆柱C ．三棱锥D ．三棱柱5.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥--+2321123x ,x x ＞的解集在数轴上表示正确的是（ ）6.如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A ′处，折痕为CD ，则A DB '∠=（ ） A ．40° B ．30° C ．20° D ．10°7.某校七年级有13名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小梅已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（ ） A ．中位数 B ．众数 C ．平均数 D ．极差8.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠B =60°，则∠CAO 的度数是( ) A ．15°B ．30° C ．45° D ．60°俯视图左 视 图主视图（第4题图）第6题图A 'B DA C ABCD9. 若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 A.1k >- B.1k >-且0k ≠ C.1k < D. 1k <且0k ≠ 10.如图，小陈从O 点出发，前进5米后向右转20O ，再前进5米后又向右转20O ，……，这样一直走下去，他第一次回到出发点O 时一共走了（ ） A ．60米 B ．100米C ．90米 D ．120米11. 如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD ＝2，AC ＝3，则sinB 的值是（ ）A. 2 3B. 3 2C. 3 4D. 4 312.如图1，在矩形MNPQ 中，动点R 从点N 出发，沿N →P →Q →M 方向运动至点M处停止．设点R 运动的路程为x ，MNR △的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则当9x =时，点R 应运动到（ ）A ．N 处B ．P 处C ．Q 处D ．M 处 二、填空题：（本题共5题，每小题3分，共15分） 13.如图1，已知AB ∥CD ，则∠A = 度 14. 分解因式：34a a -=15.．随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果为：13=甲x ，13=乙x ，5.72=甲S ，6.212=乙S ，则小麦长势比较整齐的试验田是 (填“甲”或“乙”)．16. 已知圆锥的底面直径为4cm ，其母线长为3cm ，则它的侧面积为 2cm 17.把正整数1，2，3，4，5，……，按如下规律排列：1 2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，… … … …按此规律，可知第n 行有 个正整数．（图1）O 20o20oC ABD（第11题图）CDB 图180A三、解答题（本大题共7个小题，共57分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18.（本小题满分7分）（1）化简：(a +1)(a -1)-a (a -1).（2）解方程组223210.x y x y +=⎧⎨-=⎩；①②19. （本小题满分7分）（1）如图，在□ABCD 中，点E 是AD 的中点，连接CE 并延长，交BA 的延长线于点F ．求证：FA ＝AB ．（2）如图，在⊙O 中，∠ACB=∠BDC=60°，AC=cm 32， （1）求∠BAC 的度数； （2）求⊙O 的周长20. （本小题满分8分）一个不透明的布袋里装有4个大小、质地均相同的乒乓球，每个球上面分别标有1，2，3，4．小林先从布袋中随机抽取一个乒乓球（不放回去），再从剩下的3个球中随机抽取第二个乒乓球．（1）请你列出所有可能的结果；（2）求两次取得乒乓球的数字之积为奇数的概率．由于受甲型H1N1流感（起初叫猪流感）的影响，4月初某地猪肉价格大幅度下调，下调后每斤猪肉价格是原价格的23，原来用60元买到的猪肉下调后可多买2斤．4月中旬，经专家研究证实，猪流感不是由猪传染，很快更名为甲型H1N1流感．因此，猪肉价格4月底开始回升，经过两个月后，猪肉价格上调为每斤14.4元． （1）求4月初猪肉价格下调后每斤多少元？ （2）求5、6月份猪肉价格的月平均增长率．22. （本小题满分9分）如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点(33)A ，． （1）求正比例函数和反比例函数的解析式；（2）把直线O A 向下平移后与反比例函数的图象交于点(6)B m ，，求m 的值和这个一次函数的解析式；（3）第（2）问中的一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于C 、D ，求过A 、B 、D 三点的三角形的面积；PN M C BA Oy x 如图，平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，点A 、B 的坐标分别为（6，0），（6，8）。
江苏省南通市 2012 中考数学模拟试卷(三)及答案
2006年南通市初中毕业、升学考试数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页．共130分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共28分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考试号、科目名称用2B铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．不能答在试卷上．一、选择题（本题共12小题；第1～8题每小题2分，第9～12题每小题3分，共28分．每小题只有一个选项是正确的）1．某市今年1月份某一天的最高气温是3℃，最低气温是－4℃，那么这一天的最高气温比最低气温高A．－7℃B．7℃C．－1℃D．1℃2．64的立方根等于A．4 B．－4 C．8 D．－8 3．已知∠α=35°19′，则∠α的余角等于A．144°41′ B．144°81′ C．54°41′ D．54°81′4．根据国家信息产业部2006年5月21日的最新统计，截至2006年4月底，全国电话用户超过7.7亿户．将7.7亿用科学记数法表示为A．7.7×1011B．7.7×1010C．7.7×109D．7.7×1085．如图，AB//CD，直线EF分别交AB，CD于E，F两点，∠BEF的平分线交CD于点G，若∠EFG=72°，则∠EGF等于A B C DEF G（第5题）A ．36°B ．54°C ．72°D ．108°6． 某市对2400名年满15岁的男生的身高进行了测量，结果身高（单位：m ）在1.68~1.70这一小组的频率为0.25，则该组的人数为A ．600人B ．150人C ．60人D ．15人 7． 如图，已知PA 是⊙O 的切线，A 为切点，PC 与⊙O 相交于B ，C 两点，PB =2cm ，BC =8cm ，则PA 的长等于A ．4cmB ．16cmC ．20cmD ．25cm 8． 二元二次方程组310x y xy +=⎧⎨=-⎩，的解是A ．121252 25x x y y =-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩，，；B ．121252 25x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，；C ．121252 25x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩，，； D ．121252 25x x y y =-=-⎧⎧⎨⎨=-=-⎩⎩，，； 9． 如图，□ABCD 的周长是28 cm ，△ABC 的周长是22 cm ， 则AC 的长为A ．6 cmB ．12 cmC ．4 cmD ．8 cm10．如图，为了测量某建筑物AB 的高度，在平地上C 处测得建筑物顶端A 的仰角为30°，沿CB 方向前进12m 到达 D 处，在D 处测得建筑物顶端A 的仰角为45°，则建筑 物AB 的高度等于A ．631+（）mB ．631-（）mC ．1231+（）mD ．1231-（）m11．已知圆锥侧面展开图的圆心角为90°，则该圆锥的底面半径与母线长的比为A ．1∶2B ．2∶1C ．1∶4D ．4∶112．已知二次函数y =2x 2＋9x ＋34，当自变量x 取两个不同的值x 1，x 2时，函数值相等，则当自变量x 取x 1＋x 2时的函数值与A ．x =1时的函数值相等B ．x =0时的函数值相等C ．x =14时的函数值相等 D ．x =94-时的函数值相等 A BC D （第9题）DCA B（第10题）A P · （第7题）BC O第Ⅱ卷（共102分）注意事项：除作图可使用2B 铅笔外，其余各题请使用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． 题号 二三Ⅱ卷总分 结分人核分人19~20 21~22 23~24 25~262728得分二、填空题（本题共6小题；每小题3分，共18分．请把最后结果填在题中横线上）13．买一个篮球需要m 元，买一个排球需要n 元，则买3个篮球和5个排球共需要 元． 14．正六边形的每一个内角的度数为 °．15．在函数25xy x =-中，自变量x 的取值范围是 ．16．如图，DE 与△ABC 的边AB ，AC 分别相交于D ，E 两点，且DE ∥BC ．若DE =2cm ，BC =3cm ，EC =23cm ， 则AC = cm ．17．用换元法解方程2141x x x x -+=-，若设1xy x =-，则可得关于y 的整式方程 ． 18．如图，直线y =kx （k ＞0）与双曲线4y x=交于A （x 1，y 1）， B （x 2，y 2）两点，则2x 1y 2－7x 2y 1的值等于 ．三、解答题（本题共10小题；共84分）（19~20题，第19题10分，第20题6分，共16分）19．（1）计算02818(51)22--+-； （2）解不等式组13554(4)3(6).x xx x +-⎧>⎪⎨⎪+<+⎩，得分 评卷人得分 评卷人yAxOB（第18题）（第16题）ABCD E 座位号20．已知：△ABC （如图）．求作：△ABC 的外接圆（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，写出作法，不要求证明）．（21~22题，第21题6分，第22题7分，共13分）21．张栋同学到百货大楼买了两种型号的信封，共30个，其中买A 型号的信封用了1元5角，买B 型号的信封用了1元2角，B 型号的信封每个比A 型号的信封便宜2分．两种型号信封的单价各是多少？22．已知关于x 的一元二次方程x 2－(m －1)x ＋m ＋2=0．（1）若方程有两个相等的实数根，求m 的值；（2）若方程的两实数根之积等于m 2－9m ＋2，求6m 的值．得分 评卷人（第20题）ABC（23~24题，第23题7分，第24题8分，共15分）23．2006年2月23日《南通日报》公布了2000年~2005年南通市城市居民人均可支配收入情况（如图所示）．根据图示信息：（1）求南通市城市居民人均可支配收入的中位数；（2）哪些年份南通市城市居民人均可支配收入比上一年增加了1000元以上？（3）如果从2006年开始，南通市城市居民人均可支配收入每一年比上一年增加a 元，那么到2008年底可达到18000元，求a 的值．24．如图，已知AB 是⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于点C ，AC 平分∠DAB ．（1）求证：AD ⊥CD ；（2）若AD =2，AC =5，求AB 的长．得分 评卷人2000年 2001年 2002年 2003年 2004年 2005年 年份收入（元）79118485864095981093712384· ABCD （第24题）O（25~26题，第25题8分，第26题10分，共18分）25．已知抛物线y =ax 2＋bx ＋c 经过A ，B ，C 三点，当x ≥0时，其图象如图所示．（1）求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标； （2）画出抛物线y =ax 2＋bx ＋c 当x ＜0时的图象；（3）利用抛物线y =ax 2＋bx ＋c ，写出x 为何值时，y ＞0．26．已知A =a ＋2，B =a 2－a ＋5，C =a 2＋5a －19，其中a ＞2．（1）求证B －A ＞0，并指出A 与B 的大小关系； （2）指出A 与C 哪个大？说明理由．得分 评卷人（第25题） 2 xyO －3 3 4 5 1 1 2 －2 －1 －1－2 －3 · · · A B C（第27题10分）27．已知：如图，O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连结DF，交BE的延长线于点G，连结OG．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）OG与BF有什么数量关系？证明你的结论；（3）若GE·GB=4－22，求正方形ABCD的面积．得分评卷人得分评卷人（第27题）AB CDOEFG（第28题12分）28．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，B （5，0），M 为等腰梯形OBCD 底边OB 上一点，OD =BC =2，∠DMC =∠DOB =60°． （1）求直线CB 的解析式； （2）求点M 的坐标；（3）∠DMC 绕点M 顺时针旋转α（30°＜α＜60°）后，得到∠D 1MC 1（点D 1，C 1依次与点D ，C 对应），射线MD 1交直线DC 于点E ，射线MC 1交直线CB 于点F ，设DE =m ，BF =n ．求m 与n 的函数关系式．2006年南通市初中毕业、升学考试yO xB C D （第28题）数学试题参考答案与评分标准说明：本评分标准每题只提供一种解法，如有其他解法，请参照本标准的精神给分．一、选择题（本题共12小题；第1～8题每小题2分，第9～12题每小题3分，共28分）1．B 2．A 3．C 4．D 5．B 6．A 7．D 8．C 9．D 10．A 11．C 12．B 二、填空题（本题共6小题；每小题3分，共18分）13．3m +5n 14．120 15．x ＞5 16．2 17．2y 2－4y ＋1=0 18．20 三、解答题 19．（1）解：02818(51)22--+- =32－2－2＋1…………………………………………………………………4分=2＋1． …………………………………………………………………5分（2）解：解不等式1355x x+->，得x ＞1． ………………………………………………7分解不等式4(4x x +<+，得x＜2． ………………………………………9分所以不等式组的解集是1＜x ＜2． ……………………………………………10分 20．作法：（1）作线段AB 的垂直平分线l 1； …………………………………………………1分（2）作线段BC 的垂直平分线l 2； ……………………………………………………2分（3）以l 1，l 2的交点O 为圆心，OA 长为半径画圆，则⊙O 即为所求作的圆．……3分画图准确（图略）．………………………………………………………………………………6分21．解：设B 型号的信封的单价为x 分，则A 型号的信封的单价为（x ＋2）分，根据题意，得150120302x x+=+． ............................................................2分 去分母，整理得2780x x --=． 解这个方程，得x 1=8，x 2=－1． (4)分经检验x 1=8，x 2=－1都是原方程的根．但是负数不合题意，舍去． 所以 x＋2=10．…………………………………………………………………………………5分答：A 型号的信封的单价为1角，B 型号的信封的单价为8分． ………………………6分22．解：（1）△=(m －1)2－4×(m ＋2)=m 2－6m －7．………………………………………………1分因为方程有两个相等的实数根，所以 m 2－6m －7=0． 解得 m 1=－1，m 2=7．……………………………………………………………………3分（2）由题意可知，m ＋2= m 2－9m ＋2，………………………………………………………4分解得m 1=0，m 2=10． 当m =0时，原方程没有实数根，故m =10． (6)分所以这个方程两实根之和为－9． ……………………………………………………7分 23．解：（1）中位数为9119元．……………………………………………………………………2分（2）2004年，2005年南通市城市居民人均可支配收入比上一年增加了1000元以上．…4分（3）由题意可知，到2008年底，南通市城市居民人均可支配收入为(12384＋3a )元，则12384＋3a =18000，解得a =1872． 所以，a 的值为1872． ………………………………………………………………7分24．（1）证明：连结BC ．∵直线CD 与⊙O 相切于点C ，∴∠DCA =∠B ． ∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC =∠CAB ． ∴∠ADC =∠ACB ． ……………………………………3分 ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB =90°． ∴∠ADC =90°，即AD⊥CD ； ……………………………5分（2）解：∵∠DCA =∠B ，∠DAC =∠CAB ，∴△ADC ∽△ACB ． ……………………………6分∴AD ACAC AB，∴AC 2=AD ·AB ． ……………………7分·O AB CDE（第24题）∵AD =2，AC =5，∴AB = 52． (8)分25．解：（1）由图象，可知A （0，2），B （4，0），C （5，－3），得方程组2,0164,3255.c a b c a b c =⎧⎪=++⎨⎪-=++⎩ …………2分 解得 a=－12，b=32，c=2．∴抛物线的解析式为 213222y x x =-++． ………………4分顶点坐标为（32，258）． (5)分（2）所画图如图． …………………………………………………………………6分 （3）由图象可知，当－1＜x ＜4时，y ＞0． …………………………………………………8分26．（1）证明： B －A =2a 2＋a －10． ……………………………………………………………1分∵a ＞2，∴2a 2＞8，∴2a 2＋a ＞10． ∴2a 2＋a －10＞0，即B －A ＞0． ……………………………………………3分由此可得B ＞A ． ……………………………………………………………4分 （2）解：B －C =a 2－3a ＋11=(a －32)2＋354． 无论a 为何值，(a －32)2≥0，(a －32)2＋354＞0，所以B 比C 大． (7)分2 4 2 －3 －2 －1－1 －2 －3 （第25题）1 3 5 1O x yB A C· · ·C －A = a 2＋4a －21=(a ＋7)(a －3)． ………………………………………………8分∵a ＞2，∴a ＋7＞0．当2＜a ＜3时，a －3＜0，即(a ＋7)(a －3)＜0，所以A 比C 大； 当a =3时，a －3=0，即(a ＋7)(a －3)=0，所以A 与C 一样大； 当a ＞3时，a －3＞0，即(a ＋7)(a －3)＞0，所以C 比A 大． ……………………10分27．（1）证明：在正方形ABCD 中，BC =CD ，∠BCD =90°．∵∠DCF =∠BCD =90°，CF=CE ， ∴△BCE ≌△DCF ． …………………………………………………………3分 （2）解：OG =12BF ．……………………………………………………………………………4分事实上：由△BCE ≌△DCF ，得到∠EBC =∠FDC ．∵∠BEC =∠DEG ，∴∠DGE =∠BCE =90°，即BG ⊥DF ． ∵BE 平分∠DBC ，BG =BG ，∴△BGF ≌△BGD ． ∴BD=BF ，G 为DF 的中点．∵O 为正方形ABCD 的中心，∴O 为BD 的中点． ∴OG =12BF ． …………………………………………………………………7分 （3）解：设BC =x ，则DC =x ，BD =2x ．由（2），得BF = BD =2x ．∴CF =BF －BC =（2－1）x ．在Rt △DCF 中，DF 2=DC 2+CF 2= x 2+(2－1)2x 2． ……………① ∵∠GDE =∠GBC =∠GBD ，∠DGE =∠BGD =90°，∴△DGE ∽△BGD ． ∴DG GEGB DG，即DG 2=GE ·GB =4－22． ∵DF =2DG ，∴DF 2=4DG 2=4(4－22)．……②由①，②两式，得 x 2+(2－1)2x 2=4(4－22)． 解得 x 2=4．∴正方形ABCD 的面积为4个平方单位． ……………………………………………10分（第27题）A B CDO E F GyO xB C D（第（2）小题）M 231 y OxB C D （第（1）小题）A· （第（3）小题图②）OxBCDME F·C 1D 1 28．解：（1）过点C 作CA ⊥OB ，垂足为A ．在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，∠CBO ＝60°，OD ＝BC ＝2，∴CA ＝BC ·sin ∠CBO ＝3．BA ＝BC ·cos ∠CBO ＝1．∴点C 的坐标为（4，3）． ………………2分设直线CB 的解析式为y kx b =+，由B （5，0），C （4，3），得05,34.k b k b =+⎧⎪⎨=+⎪⎩ 解得3,5 3.k b ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ ∴直线CB的解析式为353y x =-+．………………………………………………4分 （2）∵∠CBM ＋∠2＋∠3＝180°， ∠DMC ＋∠1＋∠2＝180°， ∠CBM ＝∠DMC ＝∠DOB ＝60°， ∴∠2＋∠3＝∠1＋∠2．∴∠1＝∠3． ∴△ODM ∽△BMC ． ……………………6分∴OD OM DMBM BC MC==， ∴OD BC BM OM ⋅=⋅．∵B 点为（5，0），∴OB ＝5． 设OM ＝x ，则BM ＝5－x ．∵OD ＝BC ＝2，∴2×2＝x （5－x ）． 解得x 1＝1，x 2＝4．∴M 点坐标为（1，0）或（4，0）．……8分 （3）（Ⅰ）当M 点坐标为（1，0）时， 如图 ①，OM ＝1，BM ＝4． ∵DC ∥OB ，∴∠MDE ＝∠DMO ． 又∵∠DMO ＝∠MCB ．∴∠MDE ＝∠MCB ．∵∠DME =∠CMF =α，∴△DME ∽△CMF ，∴2142DE DM OD CF CM BM ====，∴CF =2DE ．∵CF ＝2＋n ，DE ＝m ， ∴2＋n ＝2m，即y yO x B C D （第（3）小题图①）M E FD 1C 1 · ·124)2nm n =+<<（．10分（Ⅱ）当M 点坐标为（4，0）时，如图②．OM ＝4，BM ＝1．同理可得△DME ∽△CMF ， ∴221DE DM OD CF CM BM ====，∴DE =2CF ．∵CF ＝2－n ，DE ＝m ，∴m ＝2（2－n ），即42(34)m n n =-<<． …………………12分。
江苏省南通市 2012 中考数学模拟试卷(三)及答案
2007年南通市初中毕业、升学考试数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题 共32分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考试号、科目名称用2B 铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．不能答在试卷上．一、选择题：本大题共10小题，第1～8题每小题3分，第9～10题每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上． 1． －6＋9等于A ．－15B ．＋15C ．－3D ．＋32． 23()m ·4m 等于A ．m 9B ．m 10C ．m 12D ．m 143． 某几何体的三视图如右图所示，则该几何体是 A ．长方体 B ．圆锥C ．圆柱D ．球4． 两个圆的半径分别为4cm 和3cm ，圆心距是7cm ，则这两个圆的位置关系是 A ．内切B ．相交C ．外切D ．外离5． 某校初三（2）班的10名团员向“温暖工程”捐款，10个人的捐款情况如下（单位：元）：2 53 345 36 5 3 则上面这组数据的众数是A ．3B ．3.5C ．4D ．5主视图俯视图左视图（第3题）6． 如图，在□ABCD 中，已知AD ＝5cm ，AB ＝3cm ，AE 平分∠BAD 交BC 边于点E ，则EC 等于 A ．1cm B ．2cm C ．3cmD ．4cm7． 有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900kg 和1500kg ．已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300kg ，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克． 设第一块试验田每亩收获蔬菜x kg ，根据题意，可得方程A ．9001500300x x ＝＋B ．9001500300x x -＝C ．9001500300x x ＝＋ D ．9001500300x x-＝8． 设一元二次方程2765x x --＝0的两个根分别是x 1，x 2，则下列等式正确的是A ．12x x +＝67B ．12x x +＝67-C ．12x x +＝6D ．12x x +＝6-9． 如图，把直线y ＝－2x 向上平移后得到直线AB ，直线AB 经过点（m ，n ），且2m ＋n＝6，则直线AB 的解析式是A ．y ＝－2x －3B ．y ＝－2x －6C ．y ＝－2x ＋3D ．y ＝－2x ＋610．如图，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥BC ，AB ＝2cm ，CD ＝4cm ．以BC 上一点O 为圆心的圆经过A ，D 两点，且∠AOD ＝90°，则圆心O 到弦AD 的距离是 A ．6cm B ．10cm C ．23cm D ．25cmCADBO（第10题）座位号ABCDE（第6题）OA B yx（第9题）y ＝－2x第Ⅱ卷（非选择题 共118分）注意事项：除作图可使用2B 铅笔外，其余各题请使用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 题号 二三Ⅱ卷总分 结分人核分人19~20 21~22 23~24 25~262728得分二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上．11．函数y ＝x －2中，自变量x 的取值范围是_________________． 12．为了适应南通经济快速发展的形势以及铁路运输和客流量大幅上升的需要，南通火车站扩建工程共投资73150000元．将73150000用科学记数法表示为 ． 13．已知△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的中点，且DE ＝3cm ，则BC ＝ cm ． 14．若一个正多边形的每一个外角都是30°，则这个正多边形的内角和等于 度． 15．一元二次方程(2x －1)2＝(3－x )2的解是 ．16．在平面直角坐标系中，已知A （6，3），B （6，0）两点，以坐标原点O 为位似中心，相似比为13，把线段AB 缩小后得到线段A ′B ′，则A ′B ′的长度等于 ．17．把6张形状完全相同的卡片的正面分别写上数字1，2，3，4，5，6，且洗匀后正面朝下放在桌子上，从这6张卡片中同时随机抽取 两张卡片，则两张卡片上的数字之和等于7的概率是 ．18．如图，已知矩形OABC 的面积为1003，它的对角线OB 与双曲线y ＝kx相交于点D ，且OB ︰OD ＝5︰3，则k ＝ ． 三、解答题：本大题共10小题，共94分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（19~20题，第19题12分，第20题7分，共19分）19．（1）计算 22－0(31)-＋11()2-； （2）已知x ＝2007，y ＝2008，求222254x xy y x xy ++-÷54x y x y +-＋2x yx-的值．得分 评卷人得分 评卷人AB CO xy（第18题）D20．已知2a －3x ＋1＝0，3b －2x －16＝0，且a ≤4＜b ，求x 的取值范围．（21~22题，第21题6分，第22题9分，共15分）21．如图，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度．（1）请在所给的网格内画出以线段AB ，BC 为边的菱形ABCD ； （2）填空：菱形ABCD 的面积等于 ．22．周华早起锻炼，往返于家与体育场之间，离家的距离y （米） 与时间x （分）的关系如图所示．回答下列问题：（1）填空：周华从体育场返回的行走速度是 米∕分；（2）刘明与周华同时出发，按相同的路线前往体育场，刘明离周华家的距离y （米）与时间x （分）的关系式为y ＝kx ＋400，当周华回到家时，刘明刚好到达体育场． ①直接在图中画出刘明离周华家的距离y （米）与时间x （分）的函数图象； ②填空：周华与刘明在途中共相遇 次；③求周华出发后经过多少分钟与刘明最后一次相遇．得分 评卷人 （第21题）ABCy /米x /分O （第22题）10 25 20 30 35 15 5 2000 40 4001200 24001600 800（23~24题，第23题6分，第24题10分，共16分）23．某商场门前的台阶截面如图所示．已知每级台阶的宽度（如CD ）均为30cm ，高度（如BE ）均为20cm ．为了方便残疾人行走，商场决定将其中一个门的门前台阶改造成供轮椅行走的斜坡，并且设计斜坡的倾斜角为9°．请计算从斜坡起点A 到台阶前的点B 的水平距离．（参考数据：sin9°≈0.16，cos9°≈0.99，tan9°≈0.16）24．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BD 是⊙O 的直径，AE ⊥CD ，垂足为E ，DA 平分∠BDE ． （1）求证：AE 是⊙O 的切线； （2）若∠DBC ＝30°，DE ＝1cm ，求BD 的长．得分 评卷人A E DBCO·（第24题）（第23题）AB EC D（25~26题，第25题8分，第26题9分，共17分）25．某市图书馆的自然科学、文学艺术、生活百科和金融经济四类图书比较受读者的欢迎．为了更好地为读者服务，该市图书馆决定近期添置这四方面的图书，为此图书管理员对2007年5月份四类图书的借阅情况进行了统计，得到了四类图书借阅情况的频数表．图书种类 自然科学 文学艺术 生活百科 金融经济 频数（借阅人数） 2000 2400 1600 2000 请你根据表中提供的信息，解答以下问题： （1）填空：表中数据的极差是 ；（2）请在右边的圆中用扇形统计图表示四类图书的借阅情况； （3）如果该市图书馆要添置这四类图书10000册，请你估算“文学艺术”类图书应添置多少册较合适？26．某商场将每台进价为3000元的彩电以3900元的销售价售出，每天可销售出6台．假设这种品牌的彩电每台降价100x （x 为正整数）元，每天可以多销售出3x 台． （注：利润＝销售价－进价）（1）设商场每天销售这种彩电获得的利润为y 元，试写出y 与x 之间的函数关系式； （2）销售该品牌彩电每天获得的最大利润是多少？此时，每台彩电的销售价是多少时，彩电的销售量和营业额均较高？得分 评卷人· （第25题）（第27题12分）27．如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝23，D ，E 两点分别在AC ，BC 上，且DE ∥AB ，CD ＝22．将△CDE 绕点C 顺时针旋转，得到△C D ′E ′（如图2，点D ′，E ′分别与点D ，E 对应），点E ′在AB 上，D ′E ′与AC 相交于点M ． （1）求∠AC E ′的度数； （2）求证：四边形ABCD ′是梯形；（3）求△AD ′M 的面积．得分 评卷人ABED C （图1）（图2）A BE ′ D ′ CM（第27题）（第28题15分）28．已知等腰三角形ABC 的两个顶点分别是A （0，1），B （0，3），第三个顶点C 在x轴的正半轴上．关于y 轴对称的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A ，D （3，－2），P 三点，且点P 关于直线AC 的对称点在x 轴上． （1）求直线BC 的解析式；（2）求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式及点P 的坐标； （3）设M 是y 轴上的一个动点，求PM ＋CM 的取值范围．得分 评卷人y xO（第28题）· · · A B D2007年南通市初中毕业、升学考试数学试题参考答案与评分标准说明：本评分标准每题只提供一种解法，如有其他解法，请参照本标准的精神给分．一、选择题：本大题共10小题，第1～8题每小题3分，第9～10题每小题4分，共32分． 1．D 2．B 3．C 4．C 5．A 6．B 7．C 8．A 9．D 10．B二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分． 11．x ≥2 12．7.315×107 13．6 14．1800 15．x 1＝43，x 2＝－2． 16．1 17．1518．12三、解答题：本大题共10小题，共94分． 19．（1）解：原式＝4－1＋2 ………………………………………………………………………3分＝5．………………………………………………………………………………5分（2）解：222254x xy y x xy ++-÷54x y x y +-＋2x yx-＝2()(54)x y x x y +-×54x y x y -+＋2x yx- …………………………………………………3分 ＝x yx+＋2x yx- …………………………………………………………………4分 ＝2x x x +＝x＋1．………………………………………………………………………………6分∴当x ＝2007，y ＝2008时，222254x xy y x xy ++-÷54x y x y +-＋2x yx-的值为2008． ……………………………………7分20．解：由2a －3x ＋1＝0，3b －2x －16＝0，可得a ＝312x -，b ＝2163x +． …………………………………………………………2分∵a ≤4＜b ， ∴314, 12216>4. 23x x -⎧⎪⎪⎨+⎪⎪⎩（）（）≤ ……………………………………………………………………3分 由（1），得x ≤3．…………………………………………………………………………4分由（2），得x ＞－2．………………………………………………………………………5分∴x 的取值范围是－2＜x≤3． ……………………………………………………………7分21．解：（1）如图，菱形ABCD 正确． ……………………………………………………………3分（2）菱形ABCD 的面积是15．……………………………………………………………6分22．解：（1）160； ………………………………………………………………………………2分（2）①图象正确 ………………………………………………………………………4分②2 …………………………………………………………………………………5分③根据题意，得 40k ＋400＝2400．求得k ＝50．所以y ＝50x ＋400． 由函数的图象可知，在出发后25分钟到40分钟之间最后一次相遇．（第21题） AB DC y /米 x /分 O （第22题） 10 25 20 30 35 15 5 200040 400 1200 24001600800当25≤x ≤40时，周华从体育场到家的函数关系式是y ＝－160x ＋6400．……7分由50400,1606400,y x y x +⎧⎨+⎩＝＝－得x ＝2007． ………………………………………………8分 所以，周华出发后经过2007分钟与刘明最后一次相遇． ………………………9分23．解：过C 作CF ⊥AB ，交AB 的延长线于点F ．由条件，得CF = 80cm ，BF = 90cm ． …1分 在Rt △CAF 中，tan CFA AF=，…………………2分∴AF ＝tan 9CF ︒≈800.16＝500． …………………4分 ∴AB ＝AF －BF ＝500－90＝410（cm ）．………5分答：从斜坡起点A 到台阶前点B 的距离为410cm ． …………………………………………6分24． （1）证明：连接OA ．∵DA 平分∠BDE ，∴∠BDA＝∠EDA ．∵OA ＝OD ，∴∠ODA ＝∠OAD ． ∴∠OAD ＝∠EDA ．∴OA ∥CE ． …………………3分 ∵AE ⊥DE ，∴∠AED ＝90°，∴∠OAE ＝∠DEA＝90°．∴AE ⊥OA ．∴AE 是⊙O 的切线．…………………5分（2）∵BD 是直径，∴∠BCD ＝∠BAD ＝90°．∵∠DBC ＝30°，∴∠BDC ＝60°， ∴∠BDE ＝120°． …………………………………6分∵DA 平分∠BDE ，∴∠BDA ＝∠EDA ＝60°．∴∠ABD ＝∠EAD ＝30°． …………………………8分在Rt △AED 中，∠AED ＝90°，∠EAD ＝30°，∴AD ＝2DE ．在Rt △ABD 中，∠BAD ＝90°，∠ABD ＝30°，∴BD ＝2AD ＝4DE ． ∵DE 的长是1cm ，∴BD 的长是4cm ． ………………………………………………A E DB CO · （第24题）（第23题）A B E C DF10分 25． 解：（1）800； ……………………………………………………2分（2）借阅自然科学类图书的频率是0.25，在扇形统计图中对应的圆心角是90°；借阅文学艺术类图书的频率是0.30，在扇形统计图中对应的圆心角是108°；借阅生活百科类图书的频率是0.20，在扇形统计图中对应的圆心角是72°；借阅金融经济类图书的频率是0.25，在扇形统计图中对应的圆心角是90°．扇形图正确． …………………………6分（3）因为10000×0.30＝3000，所以如果该市图书馆添置这四类图书10000册，则“文学艺术”类图书应添置3000册较合适． ……………………………………………………8分26．解：（1）每台彩电的利润是（3900－100x －3000）元，每天销售（6＋3x ）台，…………1分则y ＝（3900－100x －3000）（6＋3x ）＝－300x 2＋2100x ＋5400…………………4分（2）y ＝－300(x －3.5)2＋9075．当x ＝3或4时，y 最大值＝9000．………………………6分当x ＝3时，彩电单价为3600元，每天销售15台，营业额为3600×15＝54000元，当x ＝4时，彩电单价为3500元，每天销售18台，营业额为3500×18＝63000元，所以销售该品牌彩电每天获得的最大利润是9000元．此时每台彩电的销售价是3500元时，能保证彩电的销售量和营业额较高． ………………………………………9分27．解：（1）如图1，∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ＝45°．∵DE ∥AB ，∴∠DEC ＝∠DCE ＝45°，∠EDC ＝90°，∴DE ＝CD ＝22， ∴CE ＝CE ′＝4． ……………………………………………………………………1分如图2，在Rt △ACE ′中，∠E ′AC ＝90°，AC ＝23，CE ′＝4，∴cos ∠ACE ′＝32，∴∠ACE ′＝30°． ……………………………………………………………………3分（2）如图2，∵∠D ′CE ′＝∠ACB ＝45°, ∠ACE ′＝30°, ∴∠D ′CA ＝∠E ′CB ＝15°．又22CD AC CE BC ''＝＝，∴△D ′CA ∽△E ′CB ． ………………………………………· 自然科学 文学艺术 生活百科金融经济 （第25题）5分∴∠D ′AC ＝∠B ＝45°．∴∠ACB ＝∠D ′AC ，∴AD ′∥BC ． ………………………………………………7分∵∠B ＝45°，∠D ′CB ＝60°，∴∠ABC 与∠D ′CB 不互补，∴AB 与D ′C 不平行． ∴四边形ABCD ′是梯形． ……………………………………………………………8分 （3）在图2中，过点C 作CF ⊥AD ′，垂足为F ．∵AD ′∥BC ，∴CF ⊥BC ． ∴∠FCD ′＝∠ACF －∠ACD ′＝30°．在Rt △ACF 中， AF ＝CF ＝6，∴S △ACF ＝3．在Rt △D ′CF 中，CD ′＝22，∠FCD ′＝30°， ∴D ′F ＝2，∴S △D′CF ＝3．同理，S Rt △AE ′C ＝23，S Rt △D ′E ′C ＝4． ……10分∵∠AME ′＝∠D ′MC ，∠E ′AM ＝∠CD ′M ，∴△AME ′∽△D ′MC ．∴22221()122AME D MC CE S AE S CD CD '∆'∆''===''． …………………………………………………11分∴S △AE ′M ＝12S △CD ′M ． （1） ∵S △E ′MC ＋S △AE ′M ＝S △AE ′C ＝23，（2） S △E ′MC ＋S △CD ′M ＝S △D ′E ′C ＝4， （3）（3）－（2），得S △CD ′M －S △AE ′M ＝4－23．由（1），得S △CD ′M ＝8－43． ∴S △AD ′M ＝S △ACF －S △D ′CF －S △CD ′M ＝33－5， ∴△AD ′M 的面积是33－5．………………………………………………………12分（注意：本题的第（3）小题的解法较多，评卷时请注意准确评阅．）28．解：（1）∵A （0，1），B （0，3），∴AB ＝2．∵△ABC 是等腰三角形，且点C 在x 轴的正半轴上，∴AC ＝AB ＝2．∴OC ＝22AC OA -＝3．∴C （3，0）． ………………………………………2分设直线BC 的解析式为3y kx =+，∴330k +=，∴3k =-．∴直线BC 的解析式为33y x =-+．………………………………………………4分（2）∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 关于y 轴对称，∴b ＝0．…………………………………5分又抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A （0，1），D （3，－2）两点，（第27题图2）A B E ′D′C MF∴1,9 2.c a c =⎧⎨+=-⎩解得1,31.a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴抛物线的解析式是2113y x -+＝．………………7分 在Rt △AOC 中，OA ＝1，AC ＝2，易得∠ACO ＝30°． 在Rt △BOC 中，OB ＝3，OC ＝3，易得∠BCO ＝60°．∴CA 是∠BCO 的角平分线． ∴直线BC 与x 轴关于直线AC 对称．点P 关于直线AC 的对称点在x 轴上，则符合条件的点P 就是直线BC 与抛物线2113y x -+＝的交点．………8分∵点P 在直线BC ：33y x =-+上，故设点P 的坐标是（x ，33x -+）．又点P （x ，33x -+）在抛物线2113y x -+＝上，∴33x -+＝2113x -+．解得x 1＝3，x 2＝23．故所求的点P 的坐标是P 1（3，0），P 2（23，－3）． ……………………10分（3）要求PM ＋CM 的取值范围，可先求PM ＋CM 的最小值．Ⅰ）当点P 的坐标是（3，0）时，点P 与点C 重合，故PM ＋CM ＝2 CM ．显然CM 的最小值就是点C 到y 轴的距离为3，∵点M 是y 轴上的动点，∴PM ＋CM 无最大值．∴PM ＋CM ≥23．……13分Ⅱ）当点P 的坐标是（23，－3）时，由点C 关于y 轴的对称点C ′（－3，0），故只要求PM ＋M C ′的最小值，显然线段P C ′最短，易求得P C ′＝6． ∴PM ＋CM 的最小值是6．同理PM ＋CM 没有最大值，∴PM ＋CM 的取值范围是PM ＋CM ≥6．综上所述，当点P 的坐标是（3，0）时，PM ＋CM ≥23，当点P 的坐标是（23，－3）时，PM ＋CM ≥6．………………………………15分yx O （第28题）·· ·A B D C ′ ·C · P · Q M。
南通市教研室2012年数学全真模拟试卷三
又 （ ）
则
（当且仅当 时等号成立）
（当且仅当 时等号成立）
所以 .（16分）
20．命题立意：本题主要考查函数的概念、图象、性质等基础知识，考查灵活运用数形结合思想、
分类讨论思想进行推理论证的综合能力．
解：（1）当 时，函数 的对称轴为 ，
所以
此时， ；（3分）
（2）由（1）同理可得， （6分）
（1）试用 表示 ；
（2）求魔方增加的表面积的最大值．
19．（本题满分16分）
设各项均为非负数的数列 的为前 项和 （ ， ）．
（1）求实数 的值；
（2）求数列 的通项公式（用 表示）．
（3）证明：当 （ ）时Hale Waihona Puke ．20．（本题满分16分）
记定义在 上的函数 （p，q∈R）的最大值、最小值分别为M、N，又记 ．
3.易得 ；
4.“劣弧 的长度大于1”的概率等于 ；
5.落在区间 的数据依次为65，66，66，65，共4个，则矩形的高等于 ；
6.法1由 得 ，且 ，所以 ，则 ，
此时 ；
法2由 得 ，且 ，所以 ，则 ；
7.设圆锥的底面圆的半径为 ，高为 ，则由 得 ， ，所以该圆锥
体积 ；
8.对于①：不符合单调增函数的定义；②正确；对于③：注意在 处，若函数 不连续时
又 平面 ，
平面 ，
所以 平面 .（6分）
（2）（1）的逆命题为：若 平面 ，
则 （真命题），（8分）
下证之：因为 平面 ， 平面 ，
平面 平面 ，
所以 ，（12分）
在 中，点 为线段 的中点，点 为线段 上的点，
所以，点 为线段 的中点.（14分）
江苏省南通市2012届高三第一次调研测试(数学)
江苏省南通市2012届高三第一次调研测试数学试题 A ．必做题部分一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分． 1．已知全集U =｛1，2，3，4，5,6，7}，集合2{|650}M x x x =∈-+Z ≤，则集合UM= ▲ ．2． 已知函数()sin 2f x x x+，则()f x 的最小正周期是▲ ．3． 经过点(－2，3），且与直线250x y +-=平行的直线方程为 ▲ ．4． 若复数z 满足3,i z i i++=则||z = ▲ ．5． 程序如下：t ←1 i ←2While i ≤4t ←t ×i i ←i ＋1End While Print t以上程序输出的结果是 ▲ ．6． 若12320082009,,,,,x x x x x 的方差为3，则12200820093(2),3(2),,3(2),3(2)x xx x ----的方差为 ▲ ．7． 正方体ABCD －A1B 1C 1D 1的棱长为,则四面体11A B CD -的外接球的体积为 ▲ ． 8． 以椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点(,0)F c -为圆心，c 为半径的圆与椭圆的左准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是 ▲ ．9． 设a ＞0，集合A ={（x ,y ）|3,40,20x x y x y a ⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤≤≥},B =｛（x ，y ）|222(1)(1)x y a -+-≤｝．若点P （x ，y ）∈A 是点P （x ，y )∈B 的必要不充分条件，则a 的取值范围是 ▲ ．10．在闭区间 ［－1，1］上任取两个实数，则它们的和不大于1的概率是 ▲ ． 11．数列{}na 中，16a=，且111n nn a aa n n---=++(*n ∈N ,2n ≥），则这个数列的通项公式n a =▲ ．12．根据下面一组等式:1234561,235,45615,7891034,111213141565,161718192021111,s s s s s s ==+==++==+++==++++==+++++=…………可得13521n s ss s -+++⋅⋅⋅+=▲ ．13．在△ABC 中，π6A ∠=，D 是BC 边上任意一点（D 与B 、C 不重合）,且22||||AB AD BD DC=+⋅，则B ∠等于 ▲ ．14．设函数32()2ln f x xex mx x=-+-，记()()f x g x x =，若函数()g x 至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．答案：1．{6，7} 2．π 3．210x y ++= 45．24 6．27 7．36π 8．9．0＜a≤ 10．78 11．(1)(2)n n ++ 12．4n 13．5π1214．21(,]ee-∞+二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题14分）如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,点D 在边BC 上，AD ⊥C 1D ． （1）求证:AD ⊥平面BC C 1 B 1；（2）设E 是B 1C 1上的一点，当11B EEC 的值为多少时,A 1E ∥平面ADC 1？请给出证明．解: (1)在正三棱柱中,C C 1⊥平面ABC ,AD ⊂平面ABC ，∴ AD ⊥C C 1． (2)分又AD ⊥C 1D ，C C 1交C 1D 于C 1，且C C 1和C 1D 都在面BC C 1 B 1内， ∴AD ⊥面BCC 1B 1． ……………………………………………………………5分（2)由（1），得AD ⊥BC ．在正三角形ABC 中，D 是BC 的中点．………………………7分当111B EEC =，即E 为B 1C 1的中点时，A 1E ∥平面B 1A 1A BC C1DADC 1．………………………………8分事实上，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,四边形BC C 1 B 1是矩形,且D 、E 分别是BC 、B 1C 1的中点,所以B 1B ∥DE ，B 1B=DE ． …………………………………………………10分又B 1B ∥AA 1，且B 1B =AA 1， ∴DE ∥AA 1,且DE =AA 1． ……………………………………………………………12分所以四边形ADE A 1为平行四边形,所以E A 1∥AD ． 而 E A 1⊄面AD C 1内,故A 1E ∥平面ADC 1． ………………………………………14分16．（本小题14分）如图，在四边形ABCD 中，AD =8，CD =6,AB =13，∠ADC =90°，且50AB AC ⋅=．（1）求sin ∠BAD 的值；(2）设△ABD 的面积为S △ABD ,△BCD 的面积为S △BCD ，求ABD BCDSS∆∆的值．解 (1）在Rt △ADC 中,AD =8，CD =6， 则AC =10，43cos ,sin 55CAD CAD ∠=∠=．………………2分又∵50AB AC ⋅=，AB =13,∴5cos 13||||AB AC BAC AB AC ⋅∠==． …………………………4分 ∵0180BAC <∠<,∴A CD B12sin 13BAC ∠=． …………………………………………………5分 ∴63sin sin()65BAD BAC CAD ∠=∠+∠=．……………………………………………………8分（2）1252sin 25BADSAB AD BAD ∆=⋅⋅∠=，1sin 602BACSAB AC BAC ∆=⋅⋅∠=，24ACDS∆=， 11分则1685BCD ABC ACD BAD S S S S ∆∆∆∆=+-=,∴32ABD BCD S S ∆∆=．……………………………………14分17．（本小题15分)某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验． (1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据,请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；（3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2）中所得的线性回归方程是否可靠？解：（1）设抽到不相邻两组数据为事件A ，因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况都是等可能出现的,其中抽到相邻两组数据的情况有4种， ………………2分所以43()1105P A =-=．…………………………………………………………………4分答：略． ……………………………………………………………………………………5分（2）由数据,求得12,27x y ==． (7)分由公式，求得52b =,3a y bx =-=-． …………………………………………………9分所以y 关于x 的线性回归方程为5ˆ32yx =-． …………………………………………10分（3）当x =10时，5ˆ103222y =⨯-=，｜22－23｜＜2;…………………………………………12分同样，当x =8时，5ˆ83172y =⨯-=，｜17－16｜＜2．……………………………………14分所以,该研究所得到的线性回归方程是可靠的． ……………………………………15分 18．（本小题15分)抛物线24yx=的焦点为F ，11221212(,),(,)(,0,0)A x yB x y x x yy >><在抛物线上,且存在实数λ,使AF BF λ+=0,25||4AB =．（1）求直线AB 的方程；（2)求△AOB 的外接圆的方程． 解：(1)抛物线24y x=的准线方程为1x =-．∵AF BF λ+=0，∴A ,B ，F 三点共线．由抛物线的定义，得｜AB｜=122x x++． …1分设直线AB ：(1)y k x =-，而12121212,,0,0,0.yyk x x y y k x x-=>><∴>-由2(1),4,y k x y x =-⎧⎨=⎩得22222(2)0k x k x k -++=． ……………………………………………3分∴2122122(2),1,k x x k x x ⎧++=⎪⎨⎪⋅=⎩｜AB｜=122x x ++=222(2)2524k k ++=．∴2169k =．……………6分从而43k =，故直线AB 的方程为4(1)3y x =-,即4340x y --=．……………………8分(2）由24340,4,x y y x --=⎧⎨=⎩ 求得A （4，4),B (14，－1）．……………………………………10分设△AOB 的外接圆方程为220xy Dx Ey F ++++=,则0,1616440,111()0.164F D E F D E F ⎧⎪=⎪++++=⎨⎪⎪+++-+=⎩解得29,43,40.D E F ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩………………………………………………14分故△AOB 的外接圆的方程为22293044x y x y +--=．…………………………………15分19．（本小题16分）已知函数1()ln sin g x x xθ=+⋅在[1,＋∞）上为增函数，且θ∈(0,π），1()ln m f x mx x x-=--,m ∈R ．（1）求θ的值；（2）若()()f x g x -在[1,＋∞）上为单调函数,求m 的取值范围； （3）设2()e h x x =，若在[1,e ］上至少存在一个0x ,使得0()()()f x g x h x ->成立,求m 的取值范围．解：（1）由题意，211()sin g x xxθ'=-+⋅≥0在[)1,+∞上恒成立，即2sin 1sin x x θθ⋅-⋅≥．………1分∵θ∈(0，π），∴sin 0θ>．故sin 10x θ⋅-≥在[)1,+∞上恒成立，…………………2分只须sin 110θ⋅-≥，即sin 1θ≥，只有sin 1θ=．结合θ∈（0，π），得π2θ=．……4分 （2）由（1）,得()()f x g x -=2ln mmx xx--．()222()()mx x m f x g x x -+'∴-=．…………5分∵()()f x g x -在其定义域内为单调函数，∴220mx x m -+≥或者220mx x m -+≤在[1，＋∞）恒成立．………………………6分220mx x m -+≥ 等价于2(1)2m x x +≥,即221xm x+≥，而22211x x x x=++，（21x x+）max=1,∴1m ≥． …………………………………………8分220mx x m -+≤等价于2(1)2m x x +≤，即221xm x+≤在［1，＋∞）恒成立，而221xx +∈（0，1］,0m ≤． 综上,m 的取值范围是(][),01,-∞+∞．………………………………………………10分（3)构造()()()()F x f x g x h x =--，2()2ln m eF x mx x x x=---．当0m ≤时，[1,]x e ∈，0m mx x -≤,22ln <0ex x--，所以在［1,e ]上不存在一个x ,使得000()()()f xg xh x ->成立． ………………………………………………………12分当m >时,22222222(())'m e mx x m eF x m x x x x -++=+-+=．…………………………14分因为[1,]x e ∈，所以220e x -≥，2mxm +>，所以(())'0F x >在[1,]x e ∈恒成立．故()F x 在[1,]e 上单调递增，max()()4m F x F e me e==--，只要40m me e-->， 解得241e m e >-．故m的取值范围是24(,)1ee +∞-．………………………………………………………16分20．（本小题16分）已知等差数列{}na 的首项为a ,公差为b ，等比数列{}nb 的首项为b ，公比为a ，其中a ，b 都是大于1的正整数，且1123,a b ba <<．(1)求a 的值；（2）若对于任意的n +∈N ，总存在m +∈N ，使得3mnab +=成立，求b的值；（3）令1nn nCa b +=+，问数列{}nC 中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由．解：(1)由已知，得1(1),n nn aa nb b b a -=+-=⋅．由1123,a b ba <<，得,2ab ab a b <<+．因a ，b 都为大于1的正整数，故a ≥2．又b a >，故b ≥3． …………………………2分再由2ab a b <+，得 (2)a b a -<． 由b a >，故(2)a b b -<,即(3)0a b -<． 由b≥3，故30a -<,解得3a <． ………………………………………………………4分于是23a <≤，根据a ∈N，可得2a =．…………………………………………………6分(2)由2a =，对于任意的n *∈N ，均存在m +∈N ，使得1(1)52n b m b --+=⋅，则1(21)5n b m --+=．又3b ≥，由数的整除性，得b 是5的约数． 故1211n m --+=，b =5．所以b =5时，存在正自然数12n m -=满足题意．…………………………………………9分（3）设数列{}nC 中,12,,nn n C CC ++成等比数列，由122n nCnb b -=++⋅，212()n n n C C C ++=⋅，得211(22)(22)(222)n n n nb b b nb b nb b b -++++⋅=++⋅+++⋅．化简,得12(2)2n n b n b -=+-⋅⋅． (※) (11)分当1n =时，1b =时，等式（※)成立,而3b ≥，不成立． …………………………12分当2n =时，4b =时，等式（※)成立．…………………………………………………13分当3n ≥时，112(2)2(2)24nn n b n b n b b--=+-⋅⋅>-⋅⋅≥，这与b ≥3矛盾．这时等式(※）不成立．…………………………………………………………………14分综上所述,当4b ≠时，不存在连续三项成等比数列；当4b =时，数列{}nC 中的第二、三、四项成等比数列，这三项依次是18，30，50．…………………………………………16分B ．附加题部分21．(选做题)从A ，B,C ，D 四个中选做2个,每题10分,共20分．解A ．选修4－1（几何证明选讲）如图，AB 是半圆的直径,C 是AB 切半圆于点D ，CD =2,DE ⊥AB OB 的中点,求BC 的长．解:连接OD,则OD⊥DC．在Rt△OED中，OE=12OB=12OD，∴∠ODE=30°．………………………………3分在Rt△ODC中，∠DCO=30°,………………5分由DC=2，则OB=OD=DC tan30°=，cos30CDOC==︒……………………9分所以BC=OC－OB=．…………………………………………………………………10分B．选修4－2（矩阵与变换）将曲线1xy=绕坐标原点按逆时针方向旋转45°,求所得曲线的方程．解:由题意，得旋转变换矩阵2cos45sin452[]sin45cos452⎡⎢-⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎦M, ……………………3分设1xy=上的任意点(,)Px y'''在变换矩阵M作用下为(,)P x y，x xy y'⎡⎤⎡⎤⎥=⎢⎥⎢⎥'⎥⎣⎦⎣⎦⎥⎦,∴,.x x yy x y⎧''=-⎪⎪⎨⎪''=+⎪⎩………………………………………………………………………7分得22122y x -=．将曲线1xy =绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，所得曲线的方程为22122y x -=．……10分C ．选修4－4（坐标系与参数方程）求直线12,12x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）被圆3cos ,3sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）截得的弦长． 解：把直线方程12,12x t y t=+⎧⎨=-⎩化为普通方程为2x y +=．…………………………………………3分将圆3cos ,3sin x y αα=⎧⎨=⎩化为普通方程为229x y +=．……………………………………………6分圆心O 到直线的距离d ==∴弦长L =．所以直线12,12x t y t=+⎧⎨=-⎩被圆3cos ,3sin x y αα=⎧⎨=⎩截得的弦长为10分D ．选修4－5（不等式选讲）已知x ，y 均为正数，且x ＞y ，求证：2212232x y x xy y ++-+≥．解:因为x ＞0，y ＞0,x －y ＞0,22211222()2()x y x y x xy y x y +-=-+-+-…………………………………………………3分=21()()()x y x y x y -+-+-……………………………………………………………………6分3=≥， …………………………………………………………………9分所以2212232x y x xy y ++-+≥． …………………………………………………………10分22．（必做题）已知等式252910012910(22)(1)(1)(1)(1)xx a a x a x a x a x ++=+++++++++,其中a i （i =0，1，2,…，10）为实常数．求：(1）101n n a =∑的值；（2）101nn na =∑的值．解：（1)在252910012910(22)(1)(1)(1)(1)xx a a x a x a x a x ++=+++++++++中，令1x =-，得01a =． (2)分令x =，得5012910232a a a a a +++++==． ……………………………………4分所以101210131nn aa a a ==+++=∑． (5)分（2）等式252910012910(22)(1)(1)(1)(1)xx a a x a x a x a x ++=+++++++++两边对x 求导，得2489129105(22)(22)2(1)9(1)10(1)xx x a a x a x a x ++⋅+=+++++++．…………7分在2489129105(22)(22)2(1)9(1)10(1)xx x a a x a x a x ++⋅+=+++++++中,令x =0,整理,得105129101291052160nn naa a a a ==++++=⋅=∑．………………10分23．(必做题）先阅读：如图,设梯形ABCD 的上、下底边的长分别是a ，b （a ＜b ），高为h ，求梯形的面积．方法一:延长DA 、CB 交于点O ，过点O 作CD 的垂线分别交AB 、CD 于E ,F ，则EF h =．设,,,x a OE x OAB ODC x h b=∆∆∴=+∽即ah x b a=-．11111()()()22222ODC OAB ABCDSS S b x h ax b a x bh a b h∆∆∴=-=+-=-+=+梯形．方法二：作AB 的平行线MN 分别交AD 、BC 于M 、N ,过点A 作BC 的平行线AQ 分别交MN 、DC 于P 、Q ，则AMP ADQ ∆∆∽．设梯形AMNB 的高为,,x MN y =x y a b ay a x h b a h--=⇒=+-，22001()d ()()222hhABCDb a b a b a S a x x ax x ah h a b h h h h ---∴=+=+=+⋅=+⎰梯形．再解下面的问题：已知四棱台ABCD －A ′B ′C ′D ′的上、下底面的面积分别是1212,()S S SS <，棱台的高为h ，类比以上两种方法，分别求出棱台的体积（棱锥的体积=13⨯底面积⨯高)．解法一：将四棱台ABCD －A ′B ′C ′D ′补为四棱锥V －ABCD ，设点V 到面A ′B ′C ′D ′的距离为h ′．由DACBABCDA ′B ′C ′D ′212''(),,''S h h S h h h h ==++'.h h=所以212121111(')'()'3333VS h h S h S S h S h =+-=-+台212111()333S h S S h =+=，所以四棱台ABCD －A ′B ′C ′D ′的体积为121()3S S h +． ………………………5分解法二：作一与上下底面平行的平面截得四边形的面积为S ，它与上底面的距离为x ，x h =21S x S ∴++．210)d h V x S x =+⎰,3211()3F x x S x ⎤=+⎥⎢⎥⎣⎦，3211()(0)3V F h F h S h =-=++121()3h S S =．………………………………………………………………10分版权所有:高考资源网(www.ks5u 。
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南通市教研室2012年数学全真模拟试卷三 试题Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 1． 已知向量a (12)=，，b (32)=-，，则()⋅-a a b = ▲ ． 2． 若直线y x b =-+为函数1y x =的一条切线，则实数b = ▲ ． 3． 若使“1x ≥”与“x a ≥”恰有一个成立的x 的取值范围为{}10x x <≤，则实数a 的值是 ▲ ．4． 已知点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度大于1的概率为 ▲ ．5． 给出如下10个数据：63，65，67，69，66，64，66，64，65，68．根据这些数据制作频率分布直方图，其中[64.566.5，）这组所对应的矩形的高为 ▲ ．6． 已知ππ2θ≤≤，且()sin π162θ=-，则cos θ= ▲ ． 7． 某圆锥的侧面展开图是半径为1cm 的半圆，则该圆锥的体积是 ▲ cm 3． 8． 对于定义在R 上的函数()f x ，下列正确的命题的序号是 ▲ ．①若(2)(1)f f >，则()f x 是R 上的单调增函数；②若(2)(1)f f >，则()f x 不是R 上的单调减函数； ③若()f x 在区间(]0-∞，、()0+∞，上都是单调增函数，则()f x 一定是R 上的单调增函数．9． 给出下列等式：π2c o s 4=，π2c os 8，π2c os 16， ……请从中归纳出第n ()n ∈*N个等式：2n =个 ▲ ．10．已知电流(A)I 随时间(s)t 变化的关系式是sin [0)I A t t ω=∈+∞，，，设100π5A ω==，，则电流 (A )I 首次达到峰值时t 的值为 ▲ ． 11．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0 2)A ，，(2 0)B -，，(1 0)C ，，分别以△ABC 的边AB AC 、向外作正方形ABEF 与ACGH ，则直线FH 的一般式方程为 ▲ ．12．设x y ∈、(22)-，，且▲ ．13．已知过某定圆上的每一点均可以作两条相互垂直的直线与椭圆21169y x +=的公共点都各只有一个，那么该定圆的方程为 ▲ ．（第11题图）14．已知λ为非零常数，数列{}n a 与{}2n a λ+均为等比数列，且20123a =，则1a = ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知sin sin 1cos cos αβαβ+=+=, （1）求()cos αβ-的值； （2）求()cos αβ+的值．16．（本题满分14分）如图，在正四棱锥P ABCD -中，点M 为棱AB 的 中点，点N 为棱PC 上的点.（1）若PN NC =，求证：//MN 平面PAD ； （2）试写出（1）的逆命题，并判断其真假. 若为真，请证明；若为假，请举反例. 17．（本题满分15分）在平面直角坐标系xOy 中，设点( ) (0)A a b ab ≠，，点B 为直线l ：y bx =与抛物线C ：21x y ab =异于原点的另一交点．（1）若a =1，b =2，求点B 的坐标；（2）若点A 在椭圆2214x y +=上，求证：点B 落在双曲线22441x y -=上； （3）若点B 始终落在曲线22()y c x d =-（其中c d 、为常数，且0c ≠）上，问动点A 的轨迹落在哪种二次曲线上？并说明理由．18．（本题满分15分）如图甲，一个正方体魔方由27个单位（长度为1个单位长度）小立方体组成，把魔方中间的一层1111EFGH E FGH -转动α，如图乙，设α的对边长为x ． （1）试用α表示x ；（2）求魔方增加的表面积的最大值． 19．（本题满分16分）EF GH1E1F（图甲）1G1HαE 'F 'GG 'E N M x FH（图乙）H 'D N（第16题）PABCM Q设各项均为非负数的数列{}n a 的为前n 项和n n S na λ=（1a ≠2a ，λ∈R ）． （1）求实数λ的值；（2）求数列{}n a 的通项公式（用2n a , 表示）．（3）证明：当2m l p +=（m l p ∈*N ,, ）时，2m l p S S S ⋅≤． 20．（本题满分16分）记定义在[]1 1-，上的函数2()f x x px q =++（p ，q ∈R ）的最大值、最小值分别为M 、N ，又记()h p M N =-．（1）当02p ≤≤时，求M 、N （用p 、q 表示），并证明()1h p ≥； （2）直接写出()h p 的解析式（不需给出演算步骤）；（3）在所有形如题设的函数()f x 中，求出所有这样的()f x 使得()f x 的最大值为最小．试题Ⅱ（附加题） 21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若 多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（几何证明选讲）如图，AT 为单位圆O 的切线，过切点T 引OA 的垂线TH ，H 为垂足． 求证：AO OH ⋅为定值．B ．（矩阵与变换）已知矩阵1221-⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦A ，515⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B 满足=AX B ，求矩阵X ．C ．（极坐标与参数方程）将参数方程1(e e )cos21(e e )sin 2t t t t x y θθ--⎧=+⎪⎨⎪=-⎩，，（θ为参数，t 为常数）化为普通方程（结果可保留e ）．D ．（不等式选讲） 已知正实数a b c，，成等比数列，求证：2222()a b c a b c ++>-+．（第21—A 题）【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤．22．一批产品共100件，其中有3件不合格品，从中随机抽取n （*n ∈N ）件，用X 表示所抽取的n 件产品中不合格品的个数． （1）若2n =，求X 的概率分布；（2）求使1X =的概率取得最大值时的n 的值．99.50）23．设等差数列{}n a 的首项为1，公差d （*d ∈N ），m 为数列{}n a中的项．（1）若d=3，试判断(mx 的展开式中是否含有常数项？并说明理由；（2）证明：存在无穷多个d ，使得对每一个m，(mx 的展开式中均不含常数项．南通市教研室2012年数学全真模拟试卷三参考答案1. 4；2. 2±；3. 0；4. 13；5. 15；6. 1-；7. ； 8. ②；9. 12cos n +π2； 10. 1200； 11. 4140x y +-=； 12. 125； 13. 2225x y +=； 14. 3．答案解析1．()(12)(40)4a ab ==⋅-⋅=，，；2. 由211y x '=-=-得1x =±，故切点为(1 1)，或(1 1)--，，代入y x b =-+得2b =±；3. 易得0a =；4. “劣弧AB 的长度大于1”的概率等于13；5. 落在区间[64.566.5，）的数据依次为65，66，66，65，共4个，则矩形的高等于4110==频率组距；6. 法1 由ππ2θ≤≤得π5366θππ-≤≤，且()s i n π162θ=-，所以π5266θππ<-≤，则()c o s π6θ=-，此时()cos cos ππ1116622θθ==⎡⎤-+-⨯=-⎢⎥⎣⎦；法2由ππ2θ≤≤得π5366θππ-≤≤，且()sin π1θ=-，所以π566θπ-=，则cos cos 1θ==π-； 7. 设圆锥的底面圆的半径为r ，高为h ，则由2πr =π得12r =，h =，所以该圆锥体积()213V 1=π⨯=2； 8. 对于①：不符合单调增函数的定义；②正确；对于③：注意在0x =处，若函数()f x 不连续时 该命题就不一定正确；9. 易得第n ()n ∈*N个等式：2n 个12cos n +π2； 10. 易得周期2150T π==200π，则函数sin [0)I A t t ϖ=∈+∞，，首次达到峰值时14200T t ==； 11. 易得(2 4) (2 3)F H -，，，，则直线FH 的方程为4140x y +-=； 12. 易得()()()()()()2222222222499472944949493794y x xy x y x y xy -+--++==-----+，设2294t x y =+，则t ≥12=（当且仅当2294x y =时等号成立），则原式723512137375t t t-==+--≥（当且仅当12t =时等号 成立）；13. 易得椭圆221y x +=的外切矩形的四个顶点()4 3±±，必在该定圆上，则该定圆必是该外切矩形 的外接圆，方程为2225x y +=，可以验证过该圆上除点()4 3±±，的任意一点也均可作两条相互垂直的直线与椭圆221169y x +=的交点都各只有一个；14. 因为数列{}n a 与{}2n a λ+均为等比数列，所以()()()211222nn n a a a λλλ-++=++且211n n n a a a -+=，得112n n n a a a -+=+，故数列{}n a 也为等差数列，不难得数列{}n a为非零常数列，则120123a a ==．15．命题立意：本题主要考查两角和与差的正、余弦公式，考查运算求解能力．（1）因为sin sin 1αβ+=①，c o s c o s 3αβ+②，②2+①2得2222sin 2sin sin sin cos 2cos cos cos 4ααββααββ+++++=，（3分）即2+2()cos 4αβ-=， 所以()cos 1αβ-=；（6分）（2）②2-①2得2222cos sin 2cos cos 2sin sin cos sin 2αααβαβββ-+-+-= 即cos 22cos()cos 22ααββ+++=，（8分） 故[][]cos ()()2cos()cos ()()2αβαβαβαβαβ++-++++--=，（12分）化简得cos()cos()cos()1αβαβαβ+-++=， 由（1）得1cos()2αβ+=. （14分） 16．命题立意：本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象、 推理论证能力．D N（第16题图）PABCM Q【证明】（1）延长CM ，DA 交于点Q ，连结PQ ， 因为点N 为线段PC 上的点， 且PN NC =，所以点N 为线段PC 的中点， 又点M 为线段AB 的中点，所以//MN PQ ，（3分） 又MN ⊄平面PAD ， PQ ⊂平面PAD ，所以//MN 平面PAD .（6分） （2）（1）的逆命题为：若//MN 平面PAD ， 则PN NC =（真命题），（8分）下证之： 因为//MN 平面PAD ， MN ⊂平面PQC ， 平面PAD 平面PQC PQ =， 所以//MN PQ ，（12分）在PQC ∆中，点M 为线段AB 的中点，点N 为线段PC 上的点， 所以，点N 为线段PC 的中点.（14分）17．命题立意：本题主要考查求直线、抛物线、双曲线、圆、椭圆等基础知识，考查运算求解与探 究能力．解：（1）由y bx =与则21x y ab =联立方程组得()1 b B a a ，， 又a =1，b =2，则()1 2B ，；（3分）（2）将( ) (0)A a b ab ≠，代入椭圆221x y +=得221a b +=，将()1 b B a a ，代入()()22222211444441bb x y a aa --=-=⨯=，即证；（7分）（3）将()1 b B ，代入22()y c x d =-（其中c d 、为常数，0c ≠）得()()212b c d aa =-，()0c ≠，① 若0d =，则22b ca =，()0c ≠，所以点A 的轨迹落在抛物线上；（9分）若0d ≠，则()222121124a d b cdd-+=()0c ≠， ②若1cd =，则点A 的轨迹落在圆上；（11分）③若0cd >，且12cd ≠，则点A 的轨迹落在椭圆上；（13分）④若0cd <，则点A 的轨迹落在双曲线上.（15分）18．命题立意：本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力． 解：（1）由题意得3sin tan x x x αα++=，解得()3sin 0 1sin cos x ααααπ=∈++2，，，（6分）（2）魔方增加的表面积为28tan x S α=⋅， 由（1）得()272sin cos 0 (1sin cos )S αααααπ=∈2++，，，（10分）令()(sin cos 1t t αααπ=+=+∈，，则()()(2236123613611081(1)t S t t -==-⨯=-++≤（当且仅当t =即απ=4时等号成立），答：当απ=4时，魔方增加的表面积最大为108-（15分）19．命题立意：本题主要考查等差、等比数列的通项公式、求和公式、基本不等式等基础知识，考查灵活运用基本量进行探索求解、推理分析能力． 解：（1）当1n =时，11a a λ=，所以1λ=或10a =，（2分）若1λ=，则n n S na =，取2n =得1222a a a +=，即12a a =，这与1a ≠2a 矛盾；所以10a =，取2n =得1222a a a λ+=，又1a ≠2a ，故20a ≠，所以1λ=，（4分）（2）记12n nS na =①，则111(1)2n n S n a --=- ()2n ≥②，①-②得111(1)22n n n a na n a -=-- ()2n ≥，又数列{}n a 各项均为非负数，且10a =，所以112nn a n a n --=-()3n ≥，（6分）则354234123411222n n a a aa n a a a a n --⋅⋅⋅=⨯⨯⋅⋅⋅⨯-，即()21n a a n =-()3n ≥， 当1n =或2n =时，()21n a a n =-也适合，所以()21n a a n =-；（10分）（3）因为()21n a a n =-，所以2(1)n n n S a -=()20a ≠，又2m l p +=（m l p ∈*N ,, ） 则[]{}2222(1)(1)(1)4pm n a S S S p p m m l l -=----[]{}222(1)(1)(1)4a p p m m l l =----()2222(1)(1)422a m l m l ml m l ⎧⎫⎡⎤⎪⎪++=----⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭(222(1)(1)4a ml ml m l ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦≥（当且仅当m l =时等号成立）(222(1)(1)4a ml ml m l ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦=)2221(1)(1)4a ml m l ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦= ()224a ml m l ⎡+-⎣= 0≥（当且仅当m l =时等号成立） 所以2m l p S S S ⋅≤.（16分）20．命题立意：本题主要考查函数的概念、图象、性质等基础知识，考查灵活运用数形结合思想、分类讨论思想进行推理论证的综合能力．解：（1）当02p ≤≤时，函数2()f x x px q =++的对称轴为[]1 02px =-∈-，，所以(1)1 M f p q ==++，()224p p N f q =-=-， 此时，()2()112p h p M N =-=+≥；（3分）（2）由（1）同理可得，()()222 2 1 20 2()102 22 2p p p p h p p p p p --⎧⎪⎪--<<⎪=⎨⎪+⎪⎪>⎩≤≤≤，，，，，，，，（6分）（3）记max ()f x λ=，下证：12λ≥，且inf 12λ=，所求函数21()2f x x =-，（8分）①若12p ->，即2p >时，则{}max (1) (1)f f λ=-，，所以2(1)(1)(1)(1)24f f f f p λ---=>≥+≥，即122λ>≥；（10分）②若12p -≤，即2p ≤时，则()max (1) (1) 2p f f f λ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，，，o1 若12q -≤时，则()21242p p f q q -=--≥≥，所以12λ≥（当且仅当p = 0，12q =时等号成立）；（12分）o2 若12q >-时，则(1)(1)(1)(1)221f f f f q ->-+=+>+， 所以(1) (1)f f -，中至少有一个大于12，即12λ>，（14分）由o1o2得，12λ≥，且inf 12λ=，此时21()2f x x =-，综上所述，所有形如题设的函数21()2f x x =-即为所求.（16分） 21．A ．命题立意：本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证、运算求解能力． 证明：因为AT 为圆O 的切线，TH 为OA 的垂线， 所以ATH TOH ∠=∠，（3分）故直角三角形ATO 相似于直角三角形THO ，（6分） 则OH OTOT OA =，即21AO OH OT ⋅==，即证.（10分）B ．命题立意：本题主要考查矩阵的乘法，考查运算求解能力． 解：设X a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 由1252115a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦得25 215 a b a b -=⎧⎨--=-⎩，，（7分） 解得7 1 a b =⎧⎨=⎩，，此时71X ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.（10分） C ．命题立意：本题主要考查参数方程，考查运算求解能力． 解：当t =0时，y =0，x =cos θ，即y =0，且11x -≤≤；（2分）当t ≠0时，cos sin 11(e e )(e e )22t t t t y x θθ--==+-，，所以2222111(e e )(e e )t t t t y x --+=+-.（10分）D ．命题立意：本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证能力．证明：因为正实数a b c ，，成等比数列，所以2b ac =，即有2a c b +=≥（当且仅当a c =时等号成立），（4分） 则[][]22222()()2()2()20a b c a b c b a c ac b a c b b ++--+=+-=+->≥，即证2222()a b c a b c ++>-+.（10分）22．命题立意：本题主要考查概率分布等基础知识，考查运算求解能力．一批产品共100件，其中有3件不合格品，从中随机抽取n （*n ∈N ）件，用X 表示所抽取的n 件产品中不合格品的个数． （1）若2n =，求X 的概率分布；（2）求使1X =的概率取得最大值时的n 的值．99.50） 解：（1）当2n =时，~(2 3 100)X H ，，， 则203972100C C1(0)1650C P X ===，113972100C C 97(1)1650C P X ===，023972100C C1552(2)1650C P X ===，所以，X 的概率分布为：（5分）（2）1X =的概率为11397100C C (99)(100)(1)323400C n nn n n P X ---===，199n ≤≤，且*n ∈N （7分）记函数()(99)(100)f n n n n =--，则由2()339899000f n n n '=-+=得1 2n ，，99.50≈知133.17n ≈或299.50n ≈， 而(33)(34)336667346566660f f -=⨯⨯-⨯⨯=>，结合函数()f n 的图象性质可知，当33n =时，1X =的概率取得最大值．（10分）23．命题立意：本题主要考查二项式定理，考查探究与推理论证的综合能力． （1）解：因为{}n a是首项为1，公差为3的等差数列，所以32n a n =-．（2分）假设(mx 的展开式中的第r+1项为常数项（r ∈N ），321C C rm rr m r r r mm T xx--+==⋅，于是302m r -=.设32m n =-()*n ∈N ，则有3322n r -=，即423r n =-，这与r ∈N 矛盾. 所以假设不成立，即(mx 的展开式中不含常数项. （5分）（2）证明：由题设知an=1(1)n d +-，设m=1(1)n d +-，由（1）知，要使对于一切m ，(m x 的展开式中均不含常数项， 必须有：对于*n ∈N ，满足31(1)2n d r +--=0的r 无自然数解， 即22(1)33d r n =-+∉N . （8分） 当d=3k ()*k ∈N 时，222(1)2(1)333d r n k n =-+=-+∉N .故存在无穷多个d ，满足对每一个m ，(m x 的展开式中均不含常数项．（10分）。