试题5 高等微积分Ⅱ(下)模拟试题
微积分(下)期终模拟试卷(二)解答
14
的敛散性； 若收敛， 判断 ∑ ( −1) ( n + 2 − n + 1 ) 的敛散性 ； 若收敛， 指 3、
n n =1
∞
出是绝对收敛还是条件收敛。 出是绝对收敛还是条件收敛 。
B
） 。
xy （A） 4 4 y −x
x2 + y2 （C） 4 4 y −x
x y （B） 4 4 y −x x2 y2 （D） 4 4 x −y
10
2
2
∂z 且可导, 若 4、 z = ln ϕ ( xy) , 其中 ϕ ( xy) > 0 且可导, 则 = （ ∂x
D
。 ）
yϕ ′ ( xy ) x （A） ϕ ( xy ) yϕ ′ ( xy ) x （C） 2ϕ ( xy )
微积分( 微积分(下)期终模拟 试卷( 试卷(二) 解答
1
一、填空题(每小题2分,共20分) 填空题(每小题2 20分
设 1、 ∑ un = S ,则 lim un =
n =1 ∞
n→ ∞
0
,
∑ un+ 2 =
n =1
∞
S − u1 − u2 。
f (x) ；
d x 上连续, 若 2、 f ( x ) 在 [a , b] 上连续 , 则 ∫ a f ( x ) dx = dx
1 ) dx 原式 = 2 ∫ (e + 2 0 1+ x
1 x
= 2e
x 1 0
+ 2 arctan x 0
1
(微积分II)课外练习题 期末考试题库
《微积分Ⅱ》课外练习题一、选择：1. 函数在闭区间上连续是在上可积的． ( )A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件C．充要条件 D．无关条件2. 二元函数定义域是． ( ) B．D．比较大小：． ( )B． C． D．不确定4.微分方程的阶数是． ( )A．5 B．3 C．2 D．15.下列广义积分发散的是． ( )A． B． C． D．6.是级数收敛的条件． ( )A．必要非充分 B．充分非必要 C．充分必要 D．无关7．如果点为的极值点，且在点处的两个一阶偏导数存在,则点必为的． ( )最大值点 B．驻点 C．最小值点 D．以上都不对微分方程是微分方程． ( )A．一阶线性非齐次 B. 一阶齐次 C. 可分离变量的 D. 一阶线性齐次9 .设是第一象限内的一个有界闭区域，而且。
记，，，则的大小顺序是． ( )C. D.10. 函数的连续区域是． ( )B.D.1. ． ( )B. C. D.12．下列广义收敛的是． ( ) A． B． C． D．．下列方程中，不是微分方程的是． ( ) A． B． C． D．．微分方程的阶数是． ( )A．5 B．3 C．2 D．1．二元函数的定义域是． ( )A． B．C． D．．设，则 ( )A． B． C． D．．= 其中积分区域D为区域：． ( )A． B． C． D．18．下列等式正确的是． ( ) A．B．C．D．19．二元函数的定义域是． ( )A． B．C． D．20．曲线在上连续，则曲线与以及轴围成的图形的面积是．( )A．B．C．D．||．． ( )A． B． C． D．22．= 其中积分区域D为区域：． ( )A． B． C． D．23.下列式子中正确的是． ( )A． B．C． D．以上都不对24. 二元函数的定义域是 ( )A． B．C． D．25.二元函数在点的某一邻域内有连续的偏导数是函数在点的．( )A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件C．充要条件 D．无关条件26.设，则． ( )A． B． C． D．. ． ( )A． B． C． D．. = 其中积分区域D为区域：． ( )A． B． C． D．29． ． ( )A． B． C． D．30． 则=． ( )A． B． C． D．31．函数的连续区域是． ( )A． B．C． D．32． ． ( )A． B． C． D．33．差分方程的阶数为． ( )A. B. C. D.34．微分方程的阶数是 ( )A． B． C． D．35．函数的定义域是． ( )A． B．C． D．36．级数的部分数列有界是该级数收敛的． ( )A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件C．充要条件 D．无关条件37． ，其中积分区域D为区域． ( )A. B. C. D.38．微分方程的阶是． ( )A．一阶 B． 二阶 C．三阶 D．以上均不对 39．． ( )A． B． C． D．40．二元函数的定义域是 ( )A． B．C． D．以上都不对41．设，则 ( )A． B． C． D．42．下列式子中正确的是． ( )A． B． C． D．以上都不对43．， ( )A. B. C. D.44.微分方程是． ( )A．一阶线性非齐次微分方程 B．一阶齐次微分方程C．可分离变量的微分方程 D．不可分离变量的微分方程45. 设是第二象限内的一个有界闭区域，而且。
微积分下模拟试卷一至五含答案共5套北京语言大学网络教育学院
北京语言大学网络教育学院《微积分（下）》模拟试卷一注意：1.试卷保密，考生不得将试卷带出考场或撕页，否则成绩作废。
请监考老师负责监督。
2.请各位考生注意考试纪律，考试作弊全部成绩以零分计算。
3.本试卷满分100分，答题时间为90分钟。
4. 本试卷试题为客观题，请按要求填涂答题卡，所有答案必须填涂在答题卡上，答在试题卷上不给分。
一、【单项选择题】(本大题共20小题，每小题4分，共80分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在答题卷相应题号处。
1、级数1nn u∞=∑的部分和数列n S 有界是该级数收敛的（ ）。
[A] 必要条件 [B] 充分条件[C] 充分必要条件 [D] 既不是充分条件也不是必要条件2、级数1nn u∞=∑收敛，则下面级数可能不成立的是（ ）。
[A]1nn u∞=∑收敛 [B]1nn ku∞=∑收敛()0k ≠[C]()2121n n n uu ∞-=+∑收敛[D] lim 0n n u →∞=3、点()00,x y 使(),0x f x y '=且(),0y f x y '=成立，则（ ）。
[A] ()00,x y 是(),f x y 的极值点 [B] ()00,x y 是(),f x y 的最小值点 [C] ()00,x y 是(),f x y 的最大值点 [D] ()00,x y 可能是(),f x y 的极值点4、已知函数()22,f x y x y x y +-=-，则()(),,f x y f x y x y∂∂+=∂∂（ ）。
[A] 22x y +[B] x y +[C] 22x y -[D] x y -5、设函数2sin 2z x y =，则zx∂∂等于（ ）。
[A] 2sin 2x y [B] 22cos 2x y [C] sin 2x y[D] 2cos 2x y6、级数24n n =+∞∑的和是（ ）。
微积分II真题含答案
微积分II真题含答案微积分II真题含答案一、填空题（每题3分，共30分）1、函数的定义域是____________. 2、设，则________________. 3、广义积分的敛散性为_____________. 4、____________ . 5、若 . 6、微分方程的通解是____. 7、级数的敛散性为 . 8、已知边际收益R/(x)=3x2+1000,R(0)=0,则总收益函数R(x)=____________. 9、交换的积分次序= . 10、微分方程的阶数为_____阶. 二、单选题（每题3分，共15分）1、下列级数收敛的是（）A，B，C，D，2、，微分方程的通解为（）A，B，C，D，3、设D为：，二重积分=（）A, B, C, D，0 4、若A, B, C, D, 5、=（）A, 0 B, 1 C, 2 D, 三、计算下列各题（本题共4小题，每小题8分，共32分）1．已知2. 求，其中D是由，x=1和x轴围成的区域。
3. 已知z=f(x,y)由方程确定，求4.判定级数的敛散性. 四、应用题（本题共2小题，每小题9分，共18分）：1. 求由和x轴围成的图形的面积及该图形绕x轴旋转所得旋转体的体积。
2. 已知x表示劳动力，y表示资本，某生产商的生产函数为，劳动力的单位成本为200元，，每单位资本的成本为400元，总1/ 14预算为*****元，问生产商应如何确定x和y，使产量达到最大？。
五、证明题（5分）一、填空题（每小题3分，共30分）1, 2，3，发散4，0 5，6，y=cx 7，收敛8，R(x)=x3+1000x 9，10，2 二、单选题（每小题3分，共15分）1，B 2，B 3，C 4，C 5，D 三、计算题（每小题8分，共32分）1、解：令2、3、整理方程得：4、先用比值判别法判别的敛散性，（2分）收敛，所以绝对收敛。
(交错法不行就用比较法) （8分）四、应用题（每小题9分，共18分）1、解：2、解：约束条件为200x+400y-*****=0 （2分）构造拉格朗日函数，（4分）,求一阶偏导数，（6分）得唯一解为：，（8分）根据实际意义，唯一的驻点就是最大值点，该厂获得最大产量时的x为40，y为230. （9分）五、证明题（5分）证明：设对等式两边积分，得：（2分）（4分）解得：题设结论得证。
10-11第二学期微积分C2试题
一、填空题（每小题3分，共30分）1．已知a b ⊥，且||1,||2a b == ，则 a b ⋅= 0 。
2．若矢量{},2,2a k =- 和矢量{}2,1,1b =-平行，则=k 4 。
3．曲线2210x y z ⎧+=⎨=⎩绕ox 轴旋转一周所成的曲面方程为 。
4．方程1x =在空间中所表示的图形是 。
5．交换积分次序1(,)ydy f x y dx =⎰⎰ 。
6．经过原点且与平面012=--+z y x 平行的平面方程是 。
7．设2223z x xy y =+-，则22zx∂=∂ 。
8. 设22),(y x xy y x f ++= ，则偏导数(1,1)x f = 。
9．若D 为{01,02}x y ≤≤≤≤，则Ddxdy =⎰⎰ 。
10．利用极坐标计算二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰时，其面积元素d σ= 。
二、单项选择题(每小题3分,共15分) 1. 方程222x y R +=，在空间中表示 （ ）（A ）圆； （B ）球面； （C ）圆柱面； （D ）锥面2．设直线方程是582332-=-+=-z y x ，则该直线的方向矢量是: ( ) （A ） {}8,3,2- （B ）{}3,2,5-- （C ）{}8,3,2-- （D ）{}5,2,3 3. 函数)ln(1y x z +=的定义域是 （ ）（A ）0≠+y x ；（B ）1≠+y x ；（C ）10≠+>+y x y x 且；（D ）0>+y x装 订 线得分 得分4．设yz x = 则(,1)|e zy∂=∂ （ ） （A ）0 ； （B ）1 ； （C ）e ；（D ）1e5．若二重积分的区域D 是2249x y ≤+≤，则Ddxdy =⎰⎰（ ）（A ） 4π ; (B) 5π ; (C) 9π ; (D) 36π三、应用题（10分）欲用围墙围一个面积为600平方米的矩形场地，正面围墙每米造价100元，其余三面围墙每米造价50元，求场地长，宽各为多少时，所需费用最少。
微积分II期末模拟试卷3套含答案.docx
17、求曲线x3-xy+y3=l(x>0,y>0)±的点到坐标原点的最长距离和最短距离。
微积分II期末模拟试卷3(满分：100分；测试时间：100分钟) 三、填空题(3X5=15)
『1-/_“2
1、曲线<X=Joe du在(0, 0)处的切线方程为
y = t2ln(2-r2)
”=i2”=]n
(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)收敛性与入有关
7、曲线y=y(x)经过点(0,-1),且满足微分方程y'+2y = 4兀，则当兀=1时，y=()
(A)0；(B)l；(C)2；(D)4
8、设q,是圆域D = {(x,y)|/+y2 si}的第£象限的部分，记Ik=^{y-x)dxdy.则
(A)/, >/2>1.(B) l>/j >/2.(C)I2>/j >1.(D)l>/2>/,.
五、计算题(5X10=50)
12、计算下列定积分
1
(1)j2|ycsi：兀力.(2)求y=cos x - sin x, y = 0(0 < x < —) ^ x轴旋转的旋转体体积
12、计算下列多元微积分
(1)设z=f[x2-y.(p{xy)],其中f(〃，0具有二阶连续偏导数，(p(u)二阶可导，求
y = Jo ln(l + u)du
dx cf
2te= 0< dt
x —o = °
16、设非负函数y = y(x)(xnO)满足微分方程尢y"-y+2 = 0,当曲线y = y(x)过原点
时，其与直线x = \&y =0围成平面区域Q的面积为2,求D绕y轴旋转所得旋转体体积。
微积分(2)练习题2_答案
《微积分（2）》练习题2答案一、求下列积分（4小题，每小题9分，共36分）3411(3)xx dx x+-⎰、 解：原式c xx x+++=34313ln 34122cos x xdx ⎰、 解：原式⎰+++=-=c x x x x x xdx x x x sin 2cos 2sin sin 2sin 22，13⎰、 解：令2t x =，原式)2ln 1(2)]1ln([2121010+=+-=+=⎰t t dt t t4134xx e dx ⎰、 解：原式)1(41|41411041044-===⎰e edx exx，二、求下列偏导数（3小题，每小题9分，共27分）45z 1sin(),z z x y x yδδδδ=+、 求， 解：)cos(4543y x x x z +=∂∂ )cos(5544y x y x z +=∂∂ 22z 2(,),z z f x y xy x yδδδδ=-、 求，解：y f x f xz 212'+'=∂∂x f y f xz 212'+'-=∂∂333z 3(,)x 31z z f x y y z xyz x yδδδδ=++-=、 由确定，求，解：两边对x 求偏导数： 0333322='--'+xx z xy yz z z x 得 xyzx yz xz 333322--=∂∂ 两边对y 求偏导数： 0333322='--'+y y z xy xz z z y 得 xyzy xz yz 333322--=∂∂三、解下列常微分方程（2小题，每小题9分，共18分） 21cos dx xdx =、 y 解：dx x dy y ⎰⎰=cos 2，c x y+=sin 313，224dy xy x dx+=、解：2)2(]4[22222+=+=⎰+⎰=--⎰x x x dx x dxx ce e c e dx e x c e y ， 四、求曲线22y x =-与直线y x =围成的面积（9分） 解：2/9)2/3/2()2(1223212=--=----⎰x x x dx x x五、(,)z z x y =由F(x-y,y-z,z-x)=0确定，求z z xyδδδδ+（10分）解：32F F F z '+'-='，31F F F x '-'='，21F F F y '+'-='，1-=''+''=∂∂+∂∂z y z x F F F F yz xz ，注：第三题第1小题 xdx dxy cos 2= 应改为 xdx dy y cos 2=；第二题、第五题中所有yz xz δδδδ 中的符号 δ 都要改成 ∂ ；。
微积分 下册 试题及其答案
由 ，此时
14、解:这是一个不明显含有未知函数 的方程
作变换令 ，则 ，于是原方程降阶为
分离变量 ，积分得
即 ,从而 ,再积分一次得原方程的通解
即y＝
15、证明：
,
.
5、
解：令 , ,方程化为 ,于是
二、选择题
6、A
解析;由等价无穷小，有 ，则该极限为 .
7、B
解析：由题可知，该曲线积分与积分路径无关，则作图有
此时，
8、D.
解析：令 ,幂级数变形为 , .
当 时,级数为 收敛；
当 时,级数为 发散.
故 的收敛区间是 ,
则 的收敛区间为 .
9、A
解析： .
10、B
13、若 为连续函数，且满足 ，求函数 .
14、求微分方程 的通解.
15、设 ,其中 为可导函数,证明 .
微积分期末考试题答案
一.填空题
1、
解析:由题可知,
2、
解析:由题可知,,求偏导有
3、
解析：
令 ,得 , , 为极小值点.
故 在 下的极小值点为 ,极小值为
4、收敛
解析:由比值判别法有 ,此时该级数收敛.
解析：设 ，则
， ，
，
三、解答题
11、解： ，则
， ，
， ，
求驻点，解方程组 得 和 .
对 有 ， ， ，
于是 ，所以 是函数的极大值点，且
对 有 ， ， ，
于是 ， 不是函数的极值点。
12、解：由题可知， 抛物面 作为曲顶面，开口向下，则
将所有平面投影到Xoy面上得此图形，可知 ，此时积分有
13、解：由题可知， 即
微积分期末考试题
微积分下模拟试卷一至五(含答案)共5套北京语言大学网络教育学院-推荐下载
x y
）。
在(0,0)点处（
8、 z f (x, y) 在 P0 (x0 , y0 ) 处 f x (x, y) ， f y (x, y) 存在是函数在该点可微分的（
[A] 必要条件
[C] 充要条件
9、二元函数 z 5 x2 y2 的极大值点是（
[A] (1, 0)
10、下列定积分计算正确的是（
[C] 2x 2 y 5、设函数 z x2 sin 2 y ，则 z 等于（
x [A] 2x sin 2 y
[C] x sin 2 y
6、级数
n0
[A] 8/3
7、函数
2
f
[A] 极限值为 1
[C] 连续
4n
(x, y)
的和是（
[B] 2
xy , x y
0,
x y,
14、函数 f x, y y3 x2 6x 12 y 5 的极值为（
[A] 5
[B] 10
15、函数 y ex 关于 x 的幂级数展开式为（
xn
[A]
n0 n!
xn
[B]
n0 (n 1)!
16、方程 xy ln y ln x 0 所确定的隐函数 y f x的导数 dy 是（
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《微积分（下）》模拟试卷一
注意： 1.试卷保密，考生不得将试卷带出考场或撕页，否则成绩作废。请监考老师负责监督。
2.请各位考生注意考试纪律，考试作弊全部成绩以零分计算。 3.本试卷满分 100 分，答题时间为 90 分钟。 4. 本试卷试题为客观题，请按要求填涂答题卡，所有答案必须填涂在答题卡上，答在 试题卷上不给分。
近十份大学微积分下期末试题汇总(含答案)Word版
浙江大学2007-2008学年春季学期 《微积分Ⅱ》课程期末考试试卷一 、填空题（每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上） 1.点M （1,－1, 2）到平面2210x y z -+-=的距离d = . 2.已知2a =,3b =,3a b ⋅=,则a b += . 3.设(,)f u v 可微，(,)yxz f x y =,则dz = . 4.设()f x 在[0，1]上连续，且()f x ＞0, a 与b 为常数.()}{,01,01D x y x y =≤≤≤≤,则()()()()Daf x bf y d f x f y σ++⎰⎰= .5.设(,)f x y 为连续函数，交换二次积分次序2220(,)x x dx f x y dy -=⎰⎰.二 、选择题（每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题 目要求的，把所选字母填入题后的括号内）6.直线l 1:155121x y z --+==-与直线l 2:623x y y z -=⎧⎨+=⎩的夹角为 （A ）2π . （B ）3π . （C ）4π . （D ）6π. [ ] 7.设(,)f x y 为连续函数，极坐标系中的二次积分cos 2d (cos ,sin )d f r r r r πθθθθ⎰⎰可以写成直角坐标中的二次积分为（A）10(,)dy f x y dx ⎰⎰ （B）1(,)dy f x y dx ⎰⎰（C）10(,)dx f x y dy⎰⎰（D）10(,)dx f x y dy ⎰⎰[ ]8.设1, 02()122, 12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩ ()S x 为()f x 的以2为周期的余弦级数，则5()2S -=（A ）12. （B ）12-. （C ）34. （D ）34-. [ ]＜9.设,)(0,0),(,)0, (,)(0,0),x y f x y x y ≠==⎩则(,)f x y 在点O (0,0)处（A ）偏导数存在，函数不连续 （B ）偏导数不存在，函数连续（C ）偏导数存在，函数连续 （D ）偏导数不存在，函数不连续 [ ] 三、解答题10.（本题满分10分）求曲线L ：2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在其上点M （1，－1，2）处的切线方程与法平面方程.11.（本题满分10分）设F 可微，z 是由F (x y -,,)0y z z x --=确定的可微函数，并设23F F ''≠，求z zx y∂∂+∂∂. 12.（本题满分10分）设D 是由曲线3y x =与直线y x =围成的两块有界闭区域的并集，求2[e sin()]d x Dx y σ++⎰⎰. 13.（本题满分10分）求空间曲线L ：222920335x y z x y z ⎧+-=⎨++=⎩上的点到xOy 平面的距离最大值与最小值.14.（本题满分10分）设平面区域D ={}(,)01,01x y x y ≤≤≤≤，计算二重积分22 1 d Dxy σ+-⎰⎰.15.（本题满分5分）设当y ＞0时(,)u x y 可微，且已知222222(,)()(2)y x du x y xy dx x y y dy x y x y=++-++++. 求(,)u x y .浙江大学2007－2008学年春季学期《微积分II 》课程期末考试试卷答案一、填空题（每小题5分，共25分） 1．231421=-++=d .2．22()()2496a b a b a b a b a b +=+⋅+=++⋅=++=3．()()dy xy f x x f dx y y f yx f dz x y x y 121211ln ln --'+⋅'+'+⋅'=4．()()()()()()()()⎰⎰⎰⎰++=++=D Dd x f y f x bf y af d y f x f y bf x af I σσ， ()()⎰⎰+=+=+=∴Db a I b a d b a I 21,2σ.5．()()2220111,,x x dx f x y dy dy f x y dx --=⎰⎰⎰⎰或 ()0111,dy f x y dx -⎰⎰或 ()1101,dy f x y dx -⎰⎰.二、选择题（每小题5分，共20分）6．选（B ）. l 1的方向向量{}1,2,1-，l 2的方向向量{}2,1,1--，{}{}3,2163662,1,11,2,1cos πθθ===--⋅-=.7．选（D ）. 积分区域(){}0,,22≥≤+=y x y x y x D ，化成直角坐标后故知选（D ）.8．选（C ）. 511111113()()()((0)(0))(1)222222224S S S f f -=-==-++=+=.9．选（A ）. ()()0000,0lim0,0,00x y x f f x→-''===，偏导数存在. 取kx y =，()4411lim,lim kk kk kx x f x x +=+=→→随k 而异，所以不连续．三、解答题（10～14每题10分，15题5分，共55分） 10．由L ，视x 为自变量，有⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++.0226,0264dx dz z dx dy y x dx dz z dx dy y x 以()()2,1,1,,-=z y x 代入并解出dxdzdx dy ,，得 87,45==dx dz dx dy ， 所以切线方程为87245111-=+=-z y x ，法平面方程为()()()57112048x y z -+++-=，即0127108=-++z y x .11．133212232332,,1y x z z F F F F F F F F z z z z x F F F y F F F x y F F ''''''''--+∂∂∂∂=-=-=-=-+==''''''''∂-+∂-+∂∂-. 12．D 在第一象限中的一块记为D 1，D 在第三象限中的一块记为D 2，()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++++=++2122122sin sin sin D D DD x D x x d y x d y x d e d e d y x eσσσσσ.32222312101xx x x x x xxD D ed e d dx e dy dx e dy σσ-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()()()222210103333011x x x x x x e dx xx e dx x x e dx xx e dx -=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰()2111130021()112x uu u u x x e dx e du ue du e ue e e e =-=-=---=--=-⎰⎰⎰()()()()3312101sin sin sin sin x x xxD D x y d x y d dx x y dy dx x y dy σσ-+++=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()()()103301cos cos cos cos x x x x dx x x x x dx -⎡⎤⎡⎤=-+-+-+-+⎣⎦⎣⎦⎰⎰ ()()()()13301cos cos cos cos 0x x x x dx x x x x dx ⎡⎤⎡⎤=-+-+++-+=⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 所以，原式2-=e .13．L 上的点到平面xoy 的距离为z ，它的最大值点，最小值点与2z 的一致，用拉格朗日乘数法，设()()()53329,,,,2222-+++-++=z y x zy x z z y x F μλμλ，求偏导数，并令其为零有：20F x x λμ∂=+=∂，1830F y x λμ∂=+=∂， 2430F z z z λμ∂=-+=∂，22920Fx y z x∂=+-=∂ ， 3350Fx y z μ∂=++-=∂ ． 解之得两组解()()1215,,(1,,1);,,(5,,5)33x y z x y z ==--. 所以当31,1==y x 时，1=z 最小；当35,5-=-=y x 时，5=z 最大.14．将分成如图的两块，41的圆记为D 1，另一块记为D 2()⎰⎰⎰⎰--=-+DD d y x d y x 1222211σσ+()⎰⎰-+2122D d y x σ ()()()σσσd y x d y x d y xD DD ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+--++--=11111222222()()()()122221112222211211211()43343D Dx y d x y d d r rdr dy xy dx πσσθππ=--++-=-++-=+-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰15．由()222222,()(2)y x du x y xy dx x y y dy x y x y=++-++++，有222xy y x y x u ++=∂∂，从而知()()y y x y x y x u ϕ++=2221arctan ,，又由y y x yx x y u 2222+++-=∂∂，推知 ()22222221()xx y x y y x y y x x y y ϕ-'++=-++++， ()()22,y y y y C ϕϕ'==+所以，()2221,arctan2x u x y x y y C y =+++. 注：若用凑的办法亦可：222222()(2)y x xy dx x y y dy x y x y++-++++()()22222211221()ydx xdy ydx xdy xy ydx xdy ydy d xy dy x x y y y--=+++=++++ ()221(arctan)2x d xy y y =++ 所以，()C y y x y x y x u +++=22221arctan,． ()()u f u F ='．浙江大学2006–2007学年春季学期 《 微积分Ⅱ 》课程期末考试试卷开课学院： 理学院 考试形式：闭卷 考试时间： 年 月 日 所需时间：120 分钟 考生姓名： _____学号： 专业： ________一、 填空题（每小题5分，满分30分） 1． 直线63321-==+z y x 在平面0522=--+z y x 上的投影直线方程为.2． 数量场2),,(zye z y x g x +=在)0,3,1(P 点的梯度为 .=u函数)ln(),,(22z y x z y x f ++=在P 点沿u的方向导数为 .3． 设ϕϕ,),2,3(),,(f y x x u u x f z +== 具有二阶连续偏导数，则=∂∂∂yx z 2.4． 设}1,11|),{(3≤≤≤≤-=y x x y x D，则=+⎰⎰+Dy x y x ey x x d d )(222.5． 已知曲面1=z y x 与椭球面193222=++z y x 在第一卦限内相切，则切点坐标为 ，公共切平面方程为.6． 设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤=121,210,)(2x x x x x f ，∑∞=+=10cos 2)(n n x n a a x S π，其中,2,1,0,d cos )(210==⎰n x x n x f a n π，则.)27(=S二、 （满分10分）求直线 ⎩⎨⎧=-++=-+-022012z y x z y x 绕x 轴旋转一周所得的旋转曲面方程.1002 22dd x yex y.三、（满分10分）计算⎰⎰-(满分15分)已知),(y x z z =由方程013=++zxe z y 确定，试求1022==∂∂y x x z.四、 （满分15分）设平面),,(,1:z y x d y x =+π为曲线⎪⎩⎪⎨⎧=++=++014222z y x z y x 上的点),,(z y x 到平面π的距离，求),,(z y x d 的最大，最小值 .五、 (满分15分)如图是一块密度为ρ（常数）的薄板的平面图形（在一个半径为R 的半圆直 径上拼上一个矩形，矩形的另一边为h ）,已知平面图形的形心位于原点(0, 0). 试求：1. 长度 h ；2.薄板绕x 轴旋转的转动惯量.六、 (满分5分) 求证:当0,1≥≥s t 时，成立不等式 s e t t t ts +-≤ln .参考解答：一．1．⎩⎨⎧=--+=+-0522043z y x z y x ； 2. 21},0,,3{e e ；3.)3(2))(3(2222122222122212ϕϕϕϕϕϕ''+''⋅'+'+'⋅'⋅''+'''f f f ； 4.;32 5. ;03313,3,1,31=-++⎪⎭⎫⎝⎛z y x 6. 83.二．直线：t z t y t x -=-==1,1,曲面上点→),,(z y x P 直线上点00000001,1),,,(x z x y z y x -=-=22222020220)1()1(,,x x z y z y z y x x -+-=+⇒+=+=则旋转曲面方程：222)1(2x z y -=+三．⎰⎰10222d d x y ex y -⎰⎰⎰-==--212212220142)d 41(d d y y e x e y 2y yy2120202020221d d d d 212212212212212------=-+=+=⎰⎰⎰⎰e y eey y eey y ey y y y y四．,1)1,0(-=z ,032=∂∂++∂∂⋅x z xe e x z z y z z ex z y x 3110-=∂∂∴==,02632222222=∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅+∂∂⋅x z xe x z xe x z e x z z y x z z y z z z 2102294ex zy x =∂∂∴== 五．|1|21),,(-+=y x z y x d)14()()1(2222-++++++-+=z y x z y x y x L μλ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-++='=±===++='==+='-==⇒≠=++-+='=⇒==++-+='014,01302,002)1(20,002)1(22223231221z y x L z y x z y x L x z L xz x y y y x L x y x L z y xμλμλμμλλμμλ，无解最小距离：2236),,(323131-=-d ，最大距离：2236),,(323131+=--d六．形心：01,0=⇒==⎰⎰⎰⎰DDxdxdy xdxdy x y σ即0d cos d d d 220=⋅+⎰⎰⎰⎰---ππθθRhRRr r r y x xR h R h R 320312)21(232=⇒=⋅+-⋅⎰⎰=Dx dxdy y I 2302202)832(d θsin d d d 22R R h r r r y y x RhRR πθππ+=⋅+=⎰⎰⎰⎰--- 七．设0)0,1(,ln ),(=-+-=F ts e t t t s t F s.ln ,0),(t s e t t e s t F s s s ==⇒=-=' 且对固定的1>t ， 当,0),(,ln 0<'<<s t F t s s 当,0),(,ln >'>s t F t ss所以，t s ln =取得最小值且为0，则0),(≤s t F ，即s e t t t ts +-≤ln1、已知22(,)yf x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.2、已知,则=⎰∞+--dx e x x21___________.π=⎰∞+∞--dx e x 23、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是____________________. 6 知dxexp ⎰∞+- 0)1(与⎰-ep x x dx11ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( c ).(A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( b ).(A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值 8、若2211x y I +≤=⎰⎰,22212x y I ≤+≤=⎰⎰,22324x y I ≤+≤=⎰⎰,则下列关系式成立的是( a).(A)123I I I >> (B) 213I I I >> (C)123I I I << (D)213I I I <<9、方程xe x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( d ). (A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n na收敛，则∑∞=-1)1(n nna ( d ).(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定 一、填空题(每小题3分,共15分)1、2(1)1x y y -+. 23、)32,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=.11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.解：32y x =的函数为23,0x y y =>。
微积分II期末模拟试卷三套及答案
微积分II 期末模拟试卷1（满分：100分；测试时间：100分钟） 一、填空题（3X5=15）1、幂级数∑∞=-112n n n n x 的收敛区间为__________2、由曲线23x y -=及直线x y 2=所围成平面区域的面积是____________ 3、改变⎰⎰--21222x x xfdy dx 的积分次序_______________________4、微分方程02=-'+''y y y 的通解=y5、设dx x xa n n nn n +=⎰+-123101, 则极限n n na ∞→lim 等于____________ 二、选择题（3X5=15） 6、定积分()dx ex x x⎰-+22的值是（ ）。
（A ） 0 ； （B ） 2 ； （C ） 2e 2+2； （D ） 26e7、一曲线在其上任意一点),(y x 处的切线斜率等于yx2-，这曲线是（ ） (A)直线； (B)抛物线； (C)圆； (D)椭圆 8、设函数()xy f xyz =，其中f 可微，则=∂∂+∂∂y z x z y x （ ） （A ）)('2xy yf （B ）)('2xy yf -（C ）)(2xy f x （D ）)(2xy f x- 9、设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点()0,0（ ）()A 不是(),f x y 的连续点. ()B 不是(),f x y 的极值点.()C 是(),f x y 的极大值点. ()D 是(),f x y 的极小值点10、设级数10nn na∞==∑，且()11n n n n a a ∞-=-∑收敛，则级数1n n a ∞=∑（ ）（A ）收敛 （B ） 发散 （C ）不定 （D ） 与n a 有关 三、计算题（5X10=50）11、计算下列定积分 (1)⎰-2234dx x x ；(2)求抛物线342-+-=x x y 及其在)3,0(-和)0,3(处的切线所围成图形的面积。
微积分第二学期期末复习题
微积分第二学期期末复习题微积分第二学期期末复习题随着学期的结束，微积分第二学期的期末考试也即将到来。
为了帮助大家更好地复习和准备考试，本文将提供一些复习题，希望对大家有所帮助。
一、定积分1. 计算定积分 $\int_{0}^{1} (x^2 + 3x + 1) dx$。
2. 求定积分 $\int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx$。
3. 计算定积分 $\int_{0}^{\pi} \sin(x) dx$。
二、不定积分1. 求不定积分 $\int (2x^3 + 3x^2) dx$。
2. 计算不定积分 $\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx$。
3. 求不定积分 $\int e^x \sin(x) dx$。
三、微分方程1. 求解微分方程 $\frac{dy}{dx} = 2x$。
2. 解微分方程 $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$。
3. 求解微分方程 $\frac{d^2y}{dx^2} + 4y = 0$。
四、级数1. 计算级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}$。
2. 判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2^n}$ 的敛散性。
3. 计算级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$。
五、向量1. 求向量 $\vec{A} = (2, -3)$ 和 $\vec{B} = (1, 4)$ 的数量积。
2. 求向量 $\vec{A} = (3, -2)$ 和 $\vec{B} = (4, 1)$ 的叉积。
3. 求向量 $\vec{A} = (1, -2, 3)$ 和 $\vec{B} = (2, 1, -3)$ 的向量积。
六、多元函数1. 计算函数 $f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2$ 在点 $(1, 2)$ 处的偏导数。
2. 求函数 $f(x, y) = x^3 - 3xy^2$ 的梯度。
高等微积分考试试题
高等微积分考试试题（请注意，以下内容仅为示例）题一：计算以下函数的导数：（1）f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 1（2）g(x) = e^x + ln(x^2 + 1)（3）h(x) = sin(2x) + cos^2(x)题二：计算以下不定积分：（1）∫(3x^2 + 2x - 5)dx（2）∫(e^x + 1/x)dx（3）∫(2sin(x) + cos^2(x))dx题三：计算以下定积分：（1）∫[0, π/2] (sin(2x) + cos^2(x))dx（2）∫[1, 2] (x^2 + x + 1)dx（3）∫[0, e] (e^x/x)dx题四：求以下函数的极值点：（1）f(x) = 3x^2 - 4x + 2（2）g(x) = x^3 + 4x^2 - 5x（3）h(x) = sin(x) + cos(x)题五：计算以下级数的收敛性：（1）∑(n = 1 to ∞) 1/n（2）∑(n = 0 to ∞) (-1)^n/n^2（3）∑(n = 1 to ∞) (3^n)/(2^n)题六：给定曲线 C，计算以下曲线 C 的弧长：（1）y = x^2, 1 ≤ x ≤ 2（2）y = ln(x), 1 ≤ x ≤ e（3）y = sin(x), 0 ≤ x ≤ π/2题七：应用微积分解决以下问题：（1）确定曲线 y = x^2 和直线 y = 2x + 1 的交点坐标。
（2）求函数 f(x) = x^3 + x 在区间 [-2, 2] 的最大值和最小值。
（3）求函数 g(x) = e^x + x 在 x = 0 处的切线方程。
题八：通过微积分求解以下微分方程：（1）dy/dx = x^2 + 1（2）d^2y/dx^2 + 2dy/dx + y = 0（3）(1 + x^2)dy/dx + xy = 2题九：计算以下函数的 Taylor 展开式：（1）f(x) = sin(x)（2）g(x) = ln(1 + x)（3）h(x) = e^x题十：通过微积分证明以下定理：（1）牛顿-莱布尼茨公式（2）拉格朗日中值定理（3）柯西中值定理注：以上试题仅为示例，实际的高等微积分考试试题可能存在难度与复杂度的增加。
微积分下期末考试试题
微积分下期末考试试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数 \( f(x) = \ln(x) \) 的导数是：A. \( \frac{1}{x} \)B. \( x^{-1} \)C. \( \frac{1}{x} \)（不包括x=0）D. \( \frac{1}{x} \)（不包括x<0）2. 若 \( \int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2 \)，则下列哪个选项是正确的？A. \( \int_{0}^{1} x f(x) \, dx \leq 1 \)B. \( \int_{0}^{1} x f(x) \, dx \geq 1 \)C. \( \int_{0}^{1} x f(x) \, dx = 1 \)D. 无法确定3. 泰勒级数展开 \( \sin(x) \) 在 \( x = 0 \) 处的前三项是：A. \( x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} \)B. \( x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} \)C. \( x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{3!} \)D. \( x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{4!} \)4. 以下哪个函数是偶函数？A. \( f(x) = x^2 + 1 \)B. \( f(x) = x^3 - 1 \)C. \( f(x) = \sin(x) + \cos(x) \)D. \( f(x) = \ln|x| \)5. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 1 \)，则下列哪个选项是正确的？A. \( \lim_{x \to 0} f(x) = 0 \)B. \( \lim_{x \to 0} f(x) = 1 \)C. \( \lim_{x \to 0} f(x) \) 不存在D. \( \lim_{x \to 0} f(x) \) 可以是任意值二、计算题（每题10分，共40分）1. 求函数 \( f(x) = \sin(x) + e^x \) 在区间 \( [0, \pi] \) 上的定积分。
厦门大学嘉庚学院2012《微积分II》期末模拟考题
《微积分II 》期末模拟考题一、填空题：（每小题3分，共30分） 1、若D ：224x y y +≤，则Dd σ=⎰⎰ 。
或D ：9122≤+≤y x ，则⎰⎰=Ddxdy 2、交换积分次序11(,)ydy f x y dx =⎰⎰。
或66cos yxdy dx xππ=⎰⎰ 。
3、若级数1n n u ∞=∑的前n 项和1n ns n =+，则n u = ，1n n u ∞=∑= 。
4、级数112n nn x n ∞=⋅∑的收敛域为 。
5、级数1(1)n n u ∞=-∑收敛，则lim n n u →∞= 。
6、级数123nn ∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ 。
或11!n n ∞==∑ 。
7、方程4cot 2=-'y x y 满足条件2)0(=y 的特解是 。
8、微分方程03512=+'-''y y y 的通解为 。
9、方程xxe y y y 396=+'-''的一个特解形式为=*y 。
10、若微分方程60y y ay '''-+=的通解为2412x x y C e C e =+，则a = 。
二、计算下列二重积分（每小题6分，共12分） 1、求22()DI x y dxdy =+⎰⎰，其中{}22(,)4D x y x y =+≤。
2、求DI xydxdy =⎰⎰，其中D 由2,,2x y x y x ===所围。
三、判断下列级数的敛散性若收敛，指出是绝对收敛，还是条件收敛？（10分）1、13n n n ∞=∑ 2、11(1)ln(1)nn n ∞=-+∑四、解下列各方程（每小题6分，共30分） 1、求微分方程28dyy dx+=满足初始条件(0)5y =的特解。
2、设函数()f x 可导，且满足0()()xxf x f t dt e =+⎰，求()f x 。
3、二阶常系数微分方程230y y y '''+-=满足(0)1,(0)1y y '==的特解。
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5.极限 =__e_____
6．曲面 在点 处的切平面方程为____________________．
二、选择题（每小题4分共20分）
1.函数 在点 处（c）．
（A）不连续；(B)连续但偏导数不存在；
(C)偏导数存在但不可微；(D)可微．
2.函数 的极值点有（B）．
（A）1个；(B) 2个；(C) 3个；(D)０个．
授课
教师
命题教师或命题负责人签字
《高等微积分》课Biblioteka 组院系负责人签字年月日
中国海洋大学命题专用纸（附页A）
试题名称:高等微积分Ⅱ共2页第2页
3.函数 在点 处最大方向导数为（D）．我
（A） ；(B) ；(C)１；(D) ．
4.设 由 围成的圆域，则二重积分 （a）．
．
5．(10分)求抛物面 在 那部分曲面的面积．
6．(11分)设 ： ,计算三重积分
．
参考答案
一、填空题
1． 2． 3．
4． 5． 6．
二、选择题1．（C）2．（B）3．（D）4．（A）5．（B）
三、计算题
1． ， ， 。
2．解方程组 得 。
3．令 ，解方程组
得驻点 ，根据题意该点即为所求。
4．原式= 。
（A） ；(B) ；(C) ；(D) ．
５.圆弧 以外与圆弧 以内的平面图形的面积可表示为（B）．
(A) ；(B) ；(C) ；(D) ．
三、计算题（共62分）
1．(10分)已知 有二阶连续偏导数且 ，求 ．
2．(11分)设 与 确定隐函数 与 ，
求 ．
3．(10分)求平面 ： 上与原点最近的点．
4．(10分)设 ： ,计算二重积分
5．原式= 。
6．原式= 。
中海洋大学命题专用纸（首页）
学年第试题名称:高等微积分Ⅱ共2页第1页
专业年级学号姓名授课教师
题号
一
二
三
四
总分
分数
评阅人
一、填空题（每小题３分共18分）
1.已知 ，则 ____________．
2.已知函数 有连续偏导数且满足 ，则/ _____________．
3.交换积分次序： =___________________________．