高考不等式经典例题

高考不等式经典例题
【例1】已知a ＞0，a ≠1，P ＝log a (a 3－a ＋1)，Q ＝log a (a 2－a ＋1)，试比较P 与Q 的大小.
【解析】因为a 3－a ＋1－(a 2－a ＋1)＝a 2(a －1)， 当a ＞1时，a 3－a ＋1＞a 2－a ＋1，P ＞Q ； 当0＜a ＜1时，a 3－a ＋1＜a 2－a ＋1，P ＞Q ； 综上所述，a ＞0，a ≠1时，P ＞Q . 【变式训练1】已知m ＝a ＋
1a －2(a ＞2)，n ＝x －2(x ≥1
2
)，则m ，n 之间的大小关系为( ) A.m ＜n
B.m ＞n
C.m ≥n
D.m ≤n
【解析】选C.本题是不等式的综合问题，解决的关键是找中间媒介传递.
m ＝a ＋
1a －2＝a －2＋1a －2＋2≥2＋2＝4，而n ＝x －2≤(1
2
)－2＝4. 【变式训练2】已知函数f (x )＝ax 2－c ，且－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的取值范围.
【解析】由已知－4≤f (1)＝a －c ≤－1，－1≤f (2)＝4a －c ≤5. 令f (3)＝9a －c ＝γ(a －c )＋μ(4a －c )，
故f (3)＝－53(a －c )＋8
3(4a －c )∈[－1,20].
题型三 开放性问题
【例3】已知三个不等式：①ab ＞0；② c a ＞d
b
；③bc ＞ad .以其中两个作条件，余下的一个作结论，则能组成多少个正确命题？
【解析】能组成3个正确命题.对不等式②作等价变形:c a ＞d b ⇔bc －ad
ab
＞0.
(1)由ab ＞0，bc ＞ad ⇒
bc －ad
ab
＞0，即①③⇒②； (2)由ab ＞0，
bc －ad
ab
＞0⇒bc －ad ＞0⇒bc ＞ad ，即①②⇒③； (3)由bc －ad ＞0，
bc －ad
ab
＞0⇒ab ＞0，即②③⇒①. 故可组成3个正确命题.
【例2】解关于x 的不等式mx 2＋(m －2)x －2＞0 (m ∈R ). 【解析】当m ＝0时，原不等式可化为－2x －2＞0，即x ＜－1； 当m ≠0时，可分为两种情况：
(1)m ＞0 时，方程mx 2＋(m －2)x －2＝0有两个根，x 1＝－1，x 2＝2
m
.
所以不等式的解集为{x |x ＜－1或x ＞2
m
}；
(2)m ＜0时，原不等式可化为－mx 2＋(2－m )x ＋2＜0， 其对应方程两根为x 1＝－1，x 2＝2m ，x 2－x 1＝2m －(－1)＝m ＋2
m
.
①m ＜－2时，m ＋2＜0，m ＜0，所以x 2－x 1＞0，x 2＞x 1， 不等式的解集为{x |－1＜x ＜2m
}；
②m ＝－2时，x 2＝x 1＝－1，原不等式可化为(x ＋1)2＜0，解集为∅； ③－2＜m ＜0时，x 2－x 1＜0，即x 2＜x 1，不等式解集为{x |2
m
＜x ＜－1}.
【变式训练2】解关于x 的不等式
ax －1
x ＋1
＞0. 【解析】原不等式等价于(ax －1)(x ＋1)＞0.
当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ＜－1}；当a ＞0时，不等式的解集为{x |x ＞1
a
或x ＜－1}；
当－1＜a ＜0时，不等式的解集为{x |1
a
＜x ＜－1}；当a ＝－1时，不等式的解集为∅；
当a ＜－1时，不等式的解集为{x |－1＜x ＜1
a
}.
【例3】已知ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |1＜x ＜3}，求不等式cx 2＋bx ＋a ＜0的解集. 【解析】由于ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |1＜x ＜3}，因此a ＜0， 解得x ＜1
3
或x ＞1.
(1)z ＝x ＋2y －4的最大值； (2)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值； (3)z ＝
2y ＋1
x ＋1
的取值范围. 【解析】作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标A (1,3)，B (3,1)，C (7,9). (1)易知直线x ＋2y －4＝z 过点C 时，z 最大. 所以x ＝7，y ＝9时，z 取最大值21. (2)z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到定点M (0,5)的距离的平方， 过点M 作直线AC 的垂线，易知垂足N 在线段AC 上， 故z 的最小值是(|0－5＋2|2
)2＝9
2.
(3)z ＝2·
y －(－1
2
)
x －(－1)表示可行域内任一点(x ，y )与定点Q (－1，－1
2
)连线斜率的2倍.
因为k QA ＝74，k QB ＝38，所以z 的取值范围为[34，7
2].
【例1】(1)设x ，y ∈R ＋，且xy －(x ＋y )＝1，则( )
A .x ＋y ≥2(2＋1)
B .x ＋y ≤2(2＋1) C. x ＋y ≤2(2＋1)2 D. x ＋y ≥(2＋1)2 (2)已知a ，b ∈R ＋，则ab ，
a ＋b
2
，
a 2＋
b 2
2
，
2ab
a ＋b
的大小顺序是 . 【解析】(1)选A.由已知得xy ＝1＋(x ＋y )，又xy ≤(
x ＋y 2
)2
，所以(
x ＋y 2
)2
≥1＋(x ＋y ).
解得x ＋y ≥2(2＋1)或x ＋y ≤2(1－2). 因为x ＋y ＞0，所以x ＋y ≥2(2＋1). (2)由
a ＋b
2≥ab 有a ＋b ≥2ab ，即a ＋b ≥
2ab
ab
，所以ab ≥
2ab
a ＋
b . 又
a ＋b
2
＝
a 2＋2a
b ＋b 2
4
≤
2(a 2＋b 2)
4
，所以a 2＋b 22≥
a ＋b
2
， 所以
a 2＋
b 22≥
a ＋b
2
≥ab ≥
2ab
a ＋b
. 【变式训练1】设a ＞b ＞c ，不等式
1a －b ＋1b －c ＞λa －c
恒成立，则λ的取值范围是 . 【解析】(－∞，4).因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0.
而(a －c )(
1a －b ＋1b －c )＝[(a －b )＋(b －c )](1a －b ＋1b －c
)≥4，所以λ＜4. 【例2】(1)已知x ＜54，则函数y ＝4x －2＋1
4x －5
的最大值为 ；
【解析】(1)因为x ＜54，所以5－4x ＞0. 所以y ＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋1
5－4x )＋3≤－2＋3＝1.
当且仅当5－4x ＝1
5－4x
，即x ＝1时，等号成立. 所以x ＝1时，y max ＝1.
【变式训练2】已知x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，求(a ＋b )2
cd
的取值范围.
【解析】由等差数列、等比数列的性质得a ＋b ＝x ＋y ，
cd ＝xy ，所以(a ＋b )2cd ＝(x ＋y )2
xy ＝2＋x y ＋y x ，当y x ＞0时，(a ＋b )2cd ≥4；当y x ＜0时，(a ＋b )2cd
≤0，
故(a ＋b )2
cd
的取值范围是(－∞，0]∪[4，＋∞).
例
4642y x
x y x y x y +=+++ ⎪
=”
例
解：
=”
例
解：
述不等式取“=”，代解此时
36。

例若正实数x，y，则xy的最小值是。

（变式：求2x+y的最小值为______）答案：18
解：因为x>0，y>0
等号当且仅当2x=y=6时成立，故xy的最小值为18。

变式答案：12
解：因为x>0，y>0
等号当且仅当2x=y=6时成立，故2x+y的最小值为12。

例
的取值范围是。

，所以有。