2013届高三人教A版文科数学一轮复习课时作业(33)数列的综合应用B)
2013届人教A版文科数学课时试题及解析(33)数列的综合应用B
课时作业(三十三)B [第33讲 数列的综合应用][时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．一张报纸厚度为a ，对折(沿一组对边的中点连线折叠)7次后，报纸的厚度为( )A ．8aB ．64aC ．128aD ．256a2．某放射性物质的质量每天衰减3%，若此物质衰减到其质量的一半以下，则至少需要的天数是(参考数据lg0.97＝－0.0132，lg0.5＝－0.3010)( )A ．22B ．23C ．24D ．253． 在数列{a n }中，a 1＝2，当n 为正奇数时，a n ＋1＝a n ＋2，当n 为正偶数时，a n ＋1＝2a n ，则a 6＝( )A ．11B ．17C ．22D ．234．夏季高山上的气温从山脚起每升高100米降低0.7度，已知山脚气温为26度，山顶气温为14.1度，那么此山相对山脚的高度为________米．能力提升5．已知数列{a n }中，a 1＝－1，a n ＋1·a n ＝a n ＋1－a n ，则数列通项a n ＝( ) A.1n B.2nC ．－1nD ．－2n6． 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝1－1a n －1(n ≥2)，则a 2011＝( ) A ．－12 B ．－23C.35D.527． 设数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，a 1＋a 4＋a 7＝99，a 2＋a 5＋a 8＝93.若对任意n ∈N *，都有S n ≤S k 成立，则k 的值为( )A ．22B ．21C ．20D ．198． 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )A ．1升 B.6766升 C.4744升 D.3733升 9．已知等差数列{a n }的首项a 1及公差d 都是整数，前n 项和为S n ，若a 1>1，a 4>3，S 3≤9，设b n ＝1na n ，则使b 1＋b 2＋…＋b n <99100成立的最大n 值为( ) A ．97 B ．98 C ．99 D ．10010．某厂在2011年底制订生产计划，要使2021年底的总产量在原有基础上翻两番，则年平均增长率为________．11． 已知数列{a n }中，a 201＝2，a n ＋a n ＋1＝0(n ∈N ＋)，则a 2011＝________.12． 在数列{a n }中，若a 1＝2，且对任意的正整数p ，q 都有a p ＋q ＝a p a q ，则a 8的值为________．13．已知a n ＝3n ，把数列{a n }的各项排列成如下的三角形状：a 1a 2 a 3 a 4a 5 a 6 a 7 a 8 a 9………………记A (m ，n )表示第m 行的第n 个数，则A (11,12)＝________.14．(10分) 已知数列{a n }是首项为2，公比为12的等比数列，S n 为{a n }的前n 项和． (1)求数列{a n }的通项a n 及S n ；(2)设数列{b n ＋a n }是首项为－2，公差为2的等差数列，求数列{b n }的通项公式及其前n 项和T n .15．(13分)某市2011年共有1万辆燃油型公交车．有关部门计划于2012年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：(1)该市在2018年应该投入多少辆电力型公交车？(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的13？(参考数据lg 65732lg1.5≈7.5)难点突破16．(12分) 设b ＞0，数列{a n }满足a 1＝b ，a n ＝nba n －1a n －1＋n －1(n ≥2)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n,2a n ≤b n ＋1＋1.课时作业(三十三)B【基础热身】1．C [解析] 报纸的厚度为27a ＝128a .故选C.2．B [解析] 依题意有(1－3%)n <0.5，所以n >lg0.5lg0.97≈22.8.故选B. 3．C [解析] 逐项计算得该数列的前6项依次为：2,4,8,10,20,22，故选C.4．1700 [解析] 从山脚到山顶气温的变化成等差数列，首项为26，末项为14.1，公差为－0.7，设数列的项数为n ，则14.1＝26＋(n －1)×(－0.7)，解得n ＝18，所以山的高度为h ＝(18－1)×100＝1700(米)．【能力提升】5．C [解析] 已知变形为1a n ＋1－1a n＝－1，设b n ＝1a n ，则{b n }是等差数列，b 1＝－1，b n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，所以a n ＝－1n.故选C. 6．C [解析] 由递推公式得a 2＝－23，a 3＝52，a 4＝35，a 5＝－23，…，所以数列{a n }是周期数列，周期为3，于是a 2011＝a 2010＋1＝a 1＝35.故选C. 7．C [解析] 依题意即求S n 最大时的项数n .将两已知等式相减，可得公差d ＝－2，所以3a 1＋9d ＝99，解得a 1＝39，所以a n ＝39－2(n －1)＝41－2n .当a n >0时，S n 取得最大值，所以41－2n >0，得n <20.5，所以k ＝n ＝20.故选C.8．B [解析] 从上到下各节记为a 1，a 2，…，a 9，公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 9＋a 8＋a 7＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎨⎧ d ＝766，a 1＝1322，所以a 5＝a 1＋4d ＝1322＋4×766＝6766.故选B. 9．B [解析] 因为S 3＝3a 2≤9，即a 2≤3，且a 1>1，a 4>3，首项及公差d 为整数，所以可得a 1＝2，d ＝1，所以a n ＝n ＋1，所以b n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，b 1＋b 2＋…＋b n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1，所以n n ＋1<99100成立的最大n 值为98.故选B. 10.104－1 [解析] 令2011年底的产量为1，则2021年底的产量为4，则(1＋x )10＝4，所以x ＝104－1.11．2 [解析] 由已知得a n ＋1＝－a n ，所以a 202＝－2，a 203＝2，a 204＝－2，…，可以看出，奇数项为2，偶数项为－2，所以a 2011＝2.12．256 [解析] 令p ＝q ＝1，则a 2＝4，令p ＝q ＝2，则a 4＝16，令p ＝q ＝4，则a 8＝256.13．3112 [解析] 由图形知，各行数字的个数构成首项为1，公差为2的等差数列，所以前10行数字个数的和为10×1＋10×92×2＝100，故A (11,12)为{a n }的第112项，所以A (11,12)＝a 112＝3112.14．[解答] (1)因为数列{a n }是首项a 1＝2，公比q ＝12的等比数列， 所以a n ＝2·⎝⎛⎭⎫12n －1＝22－n ，S n ＝2⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝4⎝⎛⎭⎫1－12n . (2)依题意得：b n ＋a n ＝－2＋2(n －1)＝2n －4，所以b n ＝2n －4－a n ＝2n －4－22－n .设数列{b n ＋a n }的前n 项和为P n ，则P n ＝n (－2＋2n －4)2＝n (n －3)， 所以T n ＝P n －S n ＝n (n －3)－4⎝⎛⎭⎫1－12n ＝n 2－3n －4＋22－n . 15．[解答] (1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列{a n }， 其中a 1＝128，q ＝1.5，则在2018年应该投入的电力型公交车为a 7＝a 1q 6＝128×1.56＝1458(辆)．(2)记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，依据题意，得S n 10000＋S n >13，即S n >5000， 于是S n ＝128(1－1.5n )1－1.5>5000， 即1.5n >65732，则有n >lg 65732lg1.5≈7.5，因此n ≥8. 所以，到2019年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的13. 【难点突破】16．[解答] (1)由a 1＝b >0，知a n ＝nba n －1a n －1＋n －1>0， n a n ＝1b ＋1b ·n －1a n －1. 令A n ＝n a n ，A 1＝1b， 当n ≥2时，A n ＝1b ＋1bA n －1 ＝1b ＋…＋1b n －1＋1bn －1A 1 ＝1b ＋ (1)n －1＋1b n . ①当b ≠1时，A n ＝1b ⎝⎛⎭⎫1－1b n 1－1b＝b n －1b n (b －1)， ②当b ＝1时，A n ＝n .∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧nb n (b －1)b n －1，b ≠1，1， b ＝1.(2)证明：当b ≠1时，欲证2a n ＝2nb n (b －1)b n －1≤b n ＋1＋1，只需证2nb n ≤(b n ＋1＋1)b n －1b －1. ∵(b n ＋1＋1)b n －1b －1＝b 2n ＋b 2n －1＋…＋b n ＋1＋b n －1＋b n －2＋…＋1＝b n ⎝⎛⎭⎫b n ＋1b n ＋b n －1＋1b n 1＋...＋b ＋1b >b n (2＋2＋ (2)＝2nb n ，∴2a n ＝2nb n (b －1)b n －1<1＋b n ＋1. 当b ＝1时，2a n ＝2＝b n ＋1＋1.综上所述2a n ≤b n ＋1＋1.。
2013高考数学一轮同步训练(文科) 5.5数列的综合应用
2013高考数学一轮强化训练 5.5数列的综合应用 文 新人教A 版1.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为( )A.5B.4C.3D.2答案:C解析: 115201552530a d a d +=⎧⎨+=⎩ 3d ⇒=,故选C. 2.等比数列{n a }中1824a a ,=,=,函数12()()()f x x x a x a =--…8()x a -,则 f′(0) 等于( )A.62B.92 C .122 D.152答案:C解析:f′(x 12)()()x a x a =--…8()x a x -+⋅ 12[()()x a x a --… 8()]x a -′, ∴f′12(0)a a =…8a .∵{n a }为等比数列1824a a ,=,=,∴f′12(0)a a =…4412818()82a a a ===.3.在直角坐标系中,O 是坐标原点111()P x y ,,、222()P x y ,是第一象限的两个点,若1214x x ,,,依次成等差数列,而1218y y ,,,依次成等比数列,则△12OPP 的面积是 .答案:1解析:由1214x x ,,,依次成等差数列得1212215x x x x =+,+=,解得1223x x =,=.又由1218y y ,,,依次成等比数列,得212128y y y y =,=,解得1224y y =,=,∴12(22)(34)P P ,,,.∴12(22)(34)OP OP =,,=, .∴126814OP OP ⋅=+=, |1OP|=|2OP |=5, ∴cos 121212OP OP POP OP OP ⋅∠===|||| ∴sin 12POP ∠=∴1212OP P S = |1OP ||2OP|sin 121512POP ∠=⨯=.4.在△ABC 中,三边a,b,c 成等差数列也成等差数列,求证:△ABC 为正三角形.证明:由题设,2b=a+c 且=∴4b a c =++.∴a c +=即20=.从而a=c,∴b=a=c.∴△ABC 是正三角形.题组一 等差、等比数列综合问题1.已知等差数列{n a }的公差为2,若134a a a ,,成等比数列,则2a 等于( )A.-4B.-6C.-8D.-10答案:B 解析:∵2143a a a =,∴2222(2)(4)(2)a a a -+=+.∴2212a =-.∴26a =-.2.若一等差数列{n a }的首项15a =-,其前11项的平均值为5,又若从中抽取一项,余下的10项的平均值为4,则抽去的是( )A.8aB.9a C .10a D.11a 答案:D解析:1111110111152S a d ⨯=+=⨯, 可得d=2.由1140n S a -=,得15n a =.即1(1)n a a n d =+-=15.∴n=11.故选D.3.已知数列{n a }是等差数列,若471045617a a a a a a ++=,+++…12131477a a a +++=且13k a =,则k= .答案:18解析:∵779917317117773a a a a =,=,=,=, ∴23d =. 又∵9(9)k a a k d -=-.∴13-72(9)3k =-⨯. ∴k=18.4.已知a,b,a+b 成等差数列,a,b,ab 成等比数列,且0<log ()1m ab <,则m 的取值范围是 .答案:(8),+∞5.设等差数列{n a }的前n 项和为n S ,已知312a =, 121300S S >,< .求公差d 的取值范围.解:依题意有 311211312121211120213121302a a d S a d S a d ⎧=+=,⎪⎪⨯=+>,⎨⎪⨯⎪=+<.⎩ 解之得公差d 的取值范围为2437d -<<-. 题组二 数列与函数知识的综合应用6.等比数列{n a }的各项均为正数,且564718a a a a +=,则log 31a +log 32a +…+log 310a 等于( )A.12B.10C.1+log 35D.2+log 35答案:B解析:log 31a +log 32a +…+log 310a =log 312(a a …10)a =log 5356()a a =log 103(3)10=.7.已知等差数列{n a }的前n 项和为n S ,若m>1,且21121038m m m m a a a S -+-+-=,=,则m 等于 ( )A.38B.20C.10D.9答案:C 解析:∵2110m m m a a a -++-=,又112m m m a a a -++=,∴(2)0m m a a -=.∴2m a =.又∵2112121()(21)382m m m m S a a m a ---=+=-=, ∴2m-1=19.∴m=10.8.在△ABC 中,tanA 是以-4为第三项,4为第七项的等差数列的公差,tanB 是以13为第三项,9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是( )A.钝角三角形B.锐角三角形C.等腰直角三角形D.以上都不对答案:B9.等差数列中,若()m n S S m n =≠,则m n S += .答案:0题组三 数列在实际问题中的应用10.已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%,设质量为1的镭经过x 年后剩留量为y,那么y和x 之间的关系是( ) A.y=0.957 1006xB.y=0.957 1006xC.09576()100x y .= D.y=1-0.042 1004x答案:A11.根据市场调查结果,预测某种家用商品从年初的n 个月内累积的需求量(n S 万件)近似地满足n S =(2190n n -25)(1n n -=,2,…,12).按此预测,在本年度内,需求量超过1.5万件的月份是( )A.5月、6月B.6月、7月C.7月、8月D.8月、9月 答案:C解析:当n=1时1116a S ,==; 当2n ≥时12330210n n n n n a S S -,=-=-+-, 即2330210n n n a =-+-. 当n=7或n=8时1n a ,>.5.12.成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2 、5、13后成为等比数列{n b }中的3b 、b 4、,b 5 .(1)求数列{n b }的通项公式;(2)数列{n b }的前n 项和为n S ,求证:数列{54n S +}是等比数列. 解:(1)设成等差数列的三个正数分别为a-d,a, a+d . 依题意,得a-d+a+a+d=15,解得a=5.所以{n b }中的345b b b ,,依次为7-d,10,18+d,依题意,有(7-d)(18+d)=100,解得d=2或d=-13(舍去). 故{n b }的第3项为5,公比为2,由2312b b =⋅,即2152b =⋅,解得154b =. 所以{n b }是以54为首项,2为公比的等比数列,其通项公式为 n b = 1352524n n --⋅=⋅. (2)证明:数列{n b }的前n 项和5(12)412n n S -==- 25524n -⋅-,即54n S += 252n -.⋅ 所以15115552424252524Sn n S n S n +-+⋅+=,==-+⋅. 因此{54n S +}是以52为首项,公比为2的等比数列.。
2013届高三人教B版文科数学一轮复习课时作业(33)数列的综合应用A
课时作业(三十三)A [第33讲 数列的综合应用][时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＝( ) A.32 B.94 C.259 D.2516 2．[2011·东北三校一模] ( )A ．求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n 的前10项和 B ．求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n 的前10项和C ．求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n 的前11项和D ．求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n 的前11项和3．一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知信息的另外两个人，如此继续下去，要传遍100万人口的城市，所需的时间大约为( )A ．三个月B ．一个月C ．10天D ．20小时4．已知数列{a n }的首项a 1＝1，且点A n (a n ，a n ＋1)在函数y ＝xx ＋1的图象上．则该数列{a n }的通项公式是a n ＝________.能力提升 5．[2011·济南二模] 数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2n 2－17n ，则当S n 取得最小值时n 的值为( ) A ．4或5 B ．5或6 C ．4 D ．5 6．[2011·天津卷] 已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( )A ．－110B ．－90C ．90D ．110 7．[2011·衡水模拟] 设等比数列的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ，S n ＋1，S n ＋2成等差数列，则公比q ( )A ．等于－2B ．等于1C ．等于1或－2D ．不存在8．[2011·合肥一中月考] 各项均为正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 3a 4＋a 2a 6a 2a 6＋a 4a 5＝( )A.5＋12B.5－12C.3－52D.2＋529．[2011·陕西卷] 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为( )A ．①和⑳B ．⑨和⑩C ．⑨和⑪D ．⑩和⑪ 10．数列{a n }中，a 1＝2，点(log 3a n ，a n ＋1)在函数y ＝2×3x 的图象上，则{a n }的通项公式为a n ＝________.11．[2011·虹口区质检] 数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n －3，则通项公式a n ＝________.12．[2011·广东六校联考] 已知数列{a n }满足a 1＝23，且对任意的正整数m 、n 都有a m ＋n ＝a m ·a n .若数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝________.13．[2011·菏泽二模] 已知a n ＝2n －1(n ∈N ＋)，把数列{a n }的各项排成如图K33－2所示的三角数阵．记S (m ，n )表示该数阵中第m 行中从左到右的第n 个数，则S (10,6)对应数阵中的数是________．1 3 5 7 9 11 13 15 17 19… 图K33－214．(10分)[2012·惠州模拟] 当p 1，p 2，…，p n 均为正数时，称np 1＋p 2＋…＋p n为p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”．已知数列{a n }的各项均为正数，且其前n 项的“均倒数”为12n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n2n ＋1(n ∈N *)，试比较c n ＋1与c n 的大小．15．(13分)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n2a n ＋1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)设：2b n ＝1a n＋1，求数列{b n b n ＋1}的前n 项和T n .难点突破16．(12分)设数列{b n }满足：b 1＝12，b n ＋1＝b 2n ＋b n . (1)求证：1b n ＋1＝1b n －1b n ＋1；(2)若T n ＝1b 1＋1＋1b 2＋1＋…＋1b n ＋1，对任意的正整数n,3T n －log 2m －5>0恒成立．求m 的取值范围．课时作业(三十三)A【基础热身】1．B [解析] a 2＝22a 1＝4，a 3＝32a 1a 2＝94.故选B.2．B [解析] 可知S ＝12＋14＋…＋120，所以其描述的是数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n 的前10项和．3．D [解析] 每小时传递人数构成数列2,4,8，…，所以n 小时共传递人数S n ＝1－2n 1－2＝2n－1≈106，所以n ≈20小时．4.1n [解析] 因为a n ＋1＝a n a n ＋1且a 1＝1，所以1a n ＋1＝1＋1a n ，所以1a n ＋1－1a n＝1. 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，1为公差的等差数列.1a n ＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝1n .【能力提升】5．C [解析] 二次函数f (x )＝2x 2－17x 的对称轴为直线x ＝174，因为n ∈N ＋，所以当n ＝4时，S n ＝2n 2－17n 有最小值．故选C.6．D [解析] 由a 27＝a 3·a 9，d ＝－2，得(a 1－12)2＝(a 1－4)(a 1－16)，解之得a 1＝20，∴S 10＝10×20＋10×92(－2)＝110. 7．B [解析] 依题意有2S n ＋1＝S n ＋S n ＋2，当q ≠1时，有2a 1(1－q n ＋1)＝a 1(1－q n )＋a 1(1－q n ＋2)，解得q ＝1，但q ≠1，所以方程无解；当q ＝1时，满足条件．故选B.8．B [解析] 依题意，有a 3＝a 1＋a 2，设公比为q ，则有q 2－q －1＝0，所以q ＝1＋52(舍去负值).a 3a 4＋a 2a 6a 2a 6＋a 4a 5＝a 2a 4(q ＋q 2)a 2a 4(q 2＋q 3)＝1q ＝21＋5＝5－12.故选B. 9．D [解析] 从实际问题中考虑将树苗放在最中间的坑旁边，则每个人所走的路程和最小，一共20个坑，为偶数，在中间的有两个坑为10和11号坑，故答案选D.10．2n [解析] 由已知得a n ＋1＝2×3log 3a n ＝2a n ，显然{a n }的各项不为零，所以a n ＋1a n＝2，数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，a n ＝2×2n －1＝2n .11.⎩⎪⎨⎪⎧－1(n ＝1)，2n (n ≥2)[解析] n ＝1时，a n ＝－1；n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ， 所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1(n ＝1)，2n (n ≥2).12．2－2n ＋13n [解析] 令m ＝1，得a n ＋1＝a 1·a n ，即a n ＋1a n ＝a 1＝23，可知数列{a n }是首项为a 1＝23，公比为q ＝23的等比数列，于是S n ＝a 1(1－q n)1－q＝23×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫23n 1－23， ＝2⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫23n ＝2－2n ＋13n .13．101 [解析] 观察知每一行的第1个数构成数列：1,3,7,13,21，…，相邻两项构成递推关系：a n ＋1＝a n ＋2n ，所以a 10＝a 9＋18＝a 8＋16＋18＝a 7＋14＋34＝a 6＋12＋48＝a 5＋10＋60＝a 4＋8＋70＝13＋78＝91，即第10行的第1个数为91，所以第10行第6个数为101. 14．[解答] (1)由已知有a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n ＝n (2n ＋1)， 则a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)(2n －1)， 两式相减，得a n ＝4n －1(n ≥2)．又1a 1＝12×1＋1，解得a 1＝3＝4×1－1， ∴a n ＝4n －1(n ∈N *)．(2)∵c n ＝a n 2n ＋1＝4n －12n ＋1＝2－32n ＋1，c n ＋1＝a n ＋12n ＋3＝2－32n ＋3，∴c n ＋1－c n ＝32n ＋1－32n ＋3＞0，即c n ＋1＞c n .15．[解答] (1)由a n ＋1＝a n 2a n ＋1得1a n ＋1－1a n＝2且1a 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，以2为公差的等差数列，所以1a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，得a n ＝12n －1.(2)由2b n ＝1a n ＋1得2b n ＝2n －1＋1＝2n ，∴b n ＝1n，从而b n b n ＋1＝1n (n ＋1)，则T n ＝b 1b 2＋b 2b 3＋…＋b n b n ＋1＝11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝⎝⎛⎭⎫11－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝nn ＋1.【难点突破】16．[解答] (1)因为b 1＝12，b n ＋1＝b 2n ＋b n ＝b n (b n ＋1)，所以对任意的n ∈N *，b n >0. 所以1b n ＋1＝1b n (b n ＋1)＝1b n －1b n ＋1，即1b n ＋1＝1b n －1b n ＋1. (2)T n ＝⎝⎛⎭⎫1b 1－1b 2＋⎝⎛⎭⎫1b 2－1b 3＋…＋⎝⎛⎭⎫1b n －1b n ＋1＝1b 1－1b n ＋1＝2－1b n ＋1. 因为b n ＋1－b n ＝b 2n >0， ∴b n ＋1>b n ，所以数列{b n }是单调递增数列． 所以数列{T n }关于n 递增． 所以T n ≥T 1.因为b 1＝12，所以b 2＝b 1(b 1＋1)＝34，所以T 1＝2－1b 2＝23，所以T n ≥23.因为3T n －log 2m －5>0恒成立， 所以log 2m <3T n －5恒成立， 所以log 2m <－3，所以0<m <18.。
高考数学一轮复习(北师大版文科)课时作业32
课时作业(三十二) 数列的综合应用A 级1．(2012·聊城模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，过点P (n ，S n )和Q (n ＋1，S n ＋1)(n ∈N＋)的直线的斜率为3n －2，则a 2＋a 4＋a 5＋a 9的值等于( ) A ．52 B ．40 C ．26D ．202．已知数列{a n }，{b n }都是公差为1的等差数列，其首项分别为a 1，b 1，且a 1＋b 1＝5，a 1＞b 1，a 1，b 1∈N ＋(n ∈N ＋)，则数列{ab n }的前10项的和等于( )A ．65B ．75C ．85D ．953．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n 的两个零点，则b 10等于( )A ．24B ．32C ．48D ．644．(2011·上海卷)设{a n }是各项为正数的无穷数列，A i 是边长为a i ，a i ＋1的矩形的面积(i ＝1,2，…)，则{A n }为等比数列的充要条件为( )A ．{a n }是等比数列B ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…或a 2，a 4，…，a 2n ，…是等比数列C ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列D ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同 5．小王每月除去所有日常开支，大约结余a 元．小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a 元，存期1年(存12次)，到期取出本金和利息．假设一年期零存整取的月利率为r ，每期存款按单利计息．那么，小王存款到期利息为________元．6．(2012·济南模拟)若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n＝d (n ∈N ＋，d 为常数)，则称数列{a n }为“调和数列”．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为“调和数列”，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 3x 18的最大值是________．7．在等比数列{a n }中，a n >0(n ∈N ＋)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，当S 11＋S 22＋…＋S nn 取最大值时，求n 的值．8．(2012·湛江模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧12a n ＋n (n 为奇数，n ∈N ＋)a n －2n (n 为偶数，n ∈N ＋).(1)求a 2，a 3；(2)设b n ＝a 2n －2，n ∈N ＋，求证：数列{b n }是等比数列，并求其通项公式； (3)已知c n ＝log 12|b n |，求证：1c 1c 2＋1c 2c 3＋…＋1c n －1c n ＜1.B 级1．祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务，某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元，设f (n )表示前n 年的纯收入．(f (n )＝前n 年的总收入－前n 年的总支出－投资额)(1)从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后，该台商为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂，问哪种方案最合算？2．(2012·广州市调研)已知数列{a n}中，a1＝1，a2＝3，且a n＋1＝a n＋2a n－1(n≥2)．(1)设b n＝a n＋1＋λa n，是否存在实数λ，使数列{b n}为等比数列．若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由；(2)求数列{a n}的前n项和S n.答案课时作业(三十二)A 级1．B 由题意，知S n ＋1－S n(n ＋1)－n＝3n －2，∴S n ＋1－S n ＝3n －2，即a n ＋1＝3n －2，∴a n ＝3n －5， 因此数列{a n }是等差数列，a 5＝10， ∴a 2＋a 4＋a 5＋a 9＝2(a 3＋a 7)＝4a 5＝40. 2．C 应用等差数列的通项公式得 a n ＝a 1＋n －1，b n ＝b 1＋n －1， ∴ab n ＝a 1＋b n －1＝a 1＋(b 1＋n －1)－1 ＝a 1＋b 1＋n －2＝5＋n －2＝n ＋3，∴数列{ab n }也是等差数列，且前10项和为10×(4＋13)2＝85.3．D 依题意有a n a n ＋1＝2n ，所以a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，两式相除得a n ＋2a n＝2.所以a 1，a 3，a 5，…成等比数列，a 2，a 4，a 6，…也成等比数列，而a 1＝1，a 2＝2.所以a 10＝2·24＝32，a 11＝1·25＝32.又因为a n ＋a n ＋1＝b n ，所以b 10＝a 10＋a 11＝64.4．D ∵A i ＝a i a i ＋1，若{A n }为等比数列，则A n ＋1A n ＝a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n 为常数，即A 2A 1＝a 3a 1，A 3A 2＝a 4a 2，…. ∴a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…成等比数列，且公比相等．反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为q ，则A n ＋1A n ＝a n ＋2a n ＝q ，从而{A n }为等比数列．5．解析： 由题意知，小王存款到期利息为12ar ＋11ar ＋10ar ＋…＋2ar ＋ar ＝12(12＋1)2ar ＝78ar .答案： 78ar6．解析： 因为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为“调和数列”，所以x n ＋1－x n ＝d (n ∈N ＋，d 为常数)，即数列{x n }为等差数列，由x 1＋x 2＋…＋x 20＝200得20(x 1＋x 20)2＝20(x 3＋x 18)2＝200，即x 3＋x 18＝20，易知x 3，x 18都为正数时，x 3x 18取得最大值，所以x 3x 18≤⎝⎛⎭⎫x 3＋x 1822＝100，即x 3x 18的最大值为100.答案： 1007．解析： (1)因为a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，所以a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25，又a n >0，所以a 3＋a 5＝5.又a 3与a 5的等比中项为2，所以a 3a 5＝4. 而q ∈(0,1)，所以a 3>a 5，所以a 3＝4，a 5＝1， 所以q ＝12，a 1＝16，所以a n ＝16×⎝⎛⎭⎫12n －1＝25－n . (2)b n ＝log 2a n ＝5－n ，所以b n ＋1－b n ＝－1， 故{b n }是以b 1＝4为首项，－1为公差的等差数列， 所以S n ＝n (9－n )2，所以S n n ＝9－n 2.当n ≤8时，S n n >0；当n ＝9时，S n n ＝0；当n >9时，S nn <0；所以当n ＝8或9时，S 11＋S 22＋S 33＋…＋S nn 取最大值．8．解析： (1)由数列{a n }的递推关系易知：a 2＝32，a 3＝－52.(2)证明：b n ＋1＝a 2n ＋2－2＝12a 2n ＋1＋(2n ＋1)－2＝12a 2n ＋1＋(2n －1)＝12(a 2n －4n )＋(2n －1) ＝12a 2n －1＝12(a 2n －2)＝12b n . 又b 1＝a 2－2＝－12，∴b n ≠0，∴b n ＋1b n ＝12，即数列{b n }是公比为12，首项为－12的等比数列，b n ＝－12⎝⎛⎭⎫12n －1＝－⎝⎛⎭⎫12n . (3)证明：由(2)有c n ＝log 12|b n |＝log 12⎝⎛⎭⎫12n＝n .∵1(n －1)n ＝1n －1－1n(n ≥2)．∴1c 1c 2＋1c 2c 3＋…＋1c n －1c n ＝11×2＋12×3＋…＋1(n －1)n＝1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n＝1－1n ＜1.B 级1．解析： 由题意，知每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列．设纯利润与年数的关系为f (n )，则f (n )＝50n －⎣⎡⎦⎤12n ＋n (n －1)2×4－72＝－2n 2＋40n －72.(1)获取纯利润就是要求f (n )＞0，故有－2n 2＋40n －72＞0，解得2＜n ＜18.又n ∈N ＋，知从第三年开始获利．(2)①平均利润为f (n )n ＝40－2⎝⎛⎭⎫n ＋36n ≤16，当且仅当n ＝6时取等号． 故此方案获利6×16＋48＝144(万美元)，此时n ＝6. ②f (n )＝－2n 2＋40n －72＝－2(n －10)2＋128， 当n ＝10时，f (n )max ＝128.故此方案共获利128＋16＝144(万美元)．比较两种方案，第①种方案只需6年，第②种方案需要10年，故选择第①种方案． 2．解析： (1)假设存在实数λ，使数列{b n }为等比数列， 设b nb n －1＝q (n ≥2)． 即a n ＋1＋λa n ＝q (a n ＋λa n －1)，得a n ＋1＝(q －λ)a n ＋qλa n －1.与已知a n ＋1＝a n ＋2a n －1比较，令⎩⎪⎨⎪⎧q －λ＝1qλ＝2，解得λ＝1或λ＝－2.所以存在实数λ，使数列{b n }为等比数列．当λ＝1时，q ＝2，b 1＝4，则数列{b n }是首项为4，公比为2的等比数列； 当λ＝－2时，q ＝－1，b 1＝1，则数列{b n }是首项为1，公比为－1的等比数列． (2)由已知a n ＋1＝a n ＋2a n －1得a n ＋1－2a n ＝－a n ＋2a n －1 ∴a n ＋1－2a n a n －2a n －1＝－1，∴a n ＋1－2a n ＝(－1)n ＋1(n ≥1)， 所以a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝(－1)n ＋12n ＋1＝⎝⎛⎭⎫－12n ＋1(n ≥1)，当n ≥2时，a n 2n ＝a 121＋⎝⎛⎭⎫a 222－a 121＋⎝⎛⎭⎫a 323－a 222＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n 2n －a n －12n －1 ＝12＋⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫－123＋…＋⎝⎛⎭⎫－12n ＝12＋⎝⎛⎭⎫－122⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n －11－⎝⎛⎭⎫－12 ＝12＋16⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n －1. 因为a 121＝12也适合上式．所以a n 2n ＝12＋16⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n －1(n ≥1)， 所以a n ＝13[]2n ＋1＋(－1)n.。
高三数学一轮复习第33课时数列的综合应用学案
高三数学一轮复习第33课时数列的综合应用学案例1 已知等差数列{a n}的首项a1＝1，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n}的第2项、第3项、第4项．(1)求数列{a n}、{b n}的通项公式；(2)设数列{c n}对n∈N*，均有c1b1＋c2b2＋…＋c nb n＝a n＋1成立，求c1＋c2＋…＋c2 012.思考题1 已知等比数列{a n}的公比为q，前n项的和为S n，且S3，S9，S6成等差数列．(1)求q3；(2)求证：a2，a8，a5成等差数列．题型二数列与函数、不等式的综合应用例2已知函数f(x)＝log k x(k为常数，k>0且k≠1)，且数列{f(a n)}是首项为4，公差为2的等差数列．(1)求证：数列{a n}是等比数列；(2)若b n＝a n·f(a n)，当k＝2时，求数列{b n}的前n项和S n；(3)若c n＝a n lg a n，问是否存在实数k，使得{c n}中的每一项恒小于它后面的项？若存在，求出k的范围；若不存在，说明理由．思考题2 已知函数f(x)对任意实数p，q都满足f(p＋q)＝f(p)·f(q)，且f(1)＝13 .(1)当n∈N*时，求f(n)的表达式(2)设a n＝nf(n)(n∈N*)，S n是数列{a n}的前n项的和，求证：S n<34；(3)设b n＝nf n＋f n(n∈N*)，数列{b n}的前n项和为T n，试比较1T1＋1T2＋1T3＋…＋1T n与6的大小．题型三数列与导数、解析几何的综合应用例3 已知在正项数列{a n}中，a1＝2，点A n(a n，a n＋1)在双曲线y2－x2＝1上，数列{b n}中，点(b n，T n)在直线y＝－12x＋1上，其中T n是数列{b n}的前n项和．(1)求数列{a n}的通项公式； (2)求证：数列{b n}是等比数列；(3)若c n＝a n·b n，求证：c n＋1<c n.思考题3 已知函数f(x)＝x2－4，设曲线y＝f(x)在点(x n，f(x n))处的切线与x轴的交点为(x n＋1,0)(n∈N*)，其中x1为正实数．(1)用x n表示x n＋1；(2)若x1＝4，记a n＝lg x n＋2x n－2，证明数列{a n}成等比数列，并求数列{a n}的通项公式．题型四数列的实际应用例4 为了增强环保建设，提高社会效益和经济效益，郑州市计划用若干年更换10 000辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型车和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车40辆，计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a辆．(1)求经过n年，该市被更换的公交车总数S(n)；(2)若该市计划用7年的时间完成全部更换，求a的最小值．思考题4 某林场为了保护生态环境，制定了植树造林的两个五年计划，第一年植树16a亩，以后每年植树面积都比上一年增加50%，但从第六年开始，每年植树面积都比上一年减少a亩．(1)求该林场第6年植树的面积；(2)设前n(1≤n≤10且n∈N)年林场植树的总面积为S n亩，求S n的表达式．。
2013届人教A版文科数学课时试题及解析(31)等比数列
则
S3－ S5－
SS23的值为
(
)
A．2 B．3 1
C.5 D ．4
10． 在△ ABC 中， tanA 是以－ 4 为第三项， 4 为第七项的等差数列的公差， tanB 是以
1为第三项， 9 为第六项的等比数列的公比，则 3
11．设项数为 10 的等比数列的中间两项与
tanC＝ ________. 2x2＋ 9x＋ 6＝0 的两根相等，则数列的各项
课时作业 (三十一 ) [第 31 讲 等比数列 ]
基础热身
[时间： 45 分钟
分值： 100 分 ]
1．下列四个结论中，正确的个数是 ( ) ①等比数列 { an} 的公比 q>0 且 q≠ 1，则 { an} 是递增数列； ②等差数列不是递增数列就是递减数列；
③ { an} 是递增数列， { bn} 是递减数列，则 { an－ bn} 是递增数列； ④ { an} 是递增的等差数列，则 {2 an} 是递增的等比数列．
14． (10 分) 设等比数列 { an} 的前 n 项和为 Sn.已知 a2 ＝6,6a1＋ a3＝ 30，求 an 和 Sn .
1
15． (13 分)
已知等比数列
{ an} 的公比
q＝ 3，前
3 项和
S3＝
13 3.
(1)求数列 { an} 的通项公式； (2)若函数 f(x)＝ Asin(2 x＋ φ)( A>0,0< φ<π)在 x＝π6处取得最大值，且最大值为
9． A [ 解析 ] 设等差数列 { an} 的公差为 d，则有 (a1＋ 2d)2＝ a1( a1＋ 3d)，得 a1＝－ 4d，
所以
S3 S5
2013高考数学 课后作业 5-4 数列的综合问题与数列的应用 新人教A版
2013高考数学人教A 版课后作业1.(2011·黄冈月考)在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n(n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( )A.1516B.158C.34D.38 [答案] C[解析] ∵a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n， ∴a 2a 1＝a 1＋1，∴a 2＝2，； ∵a 3a 2＝a 2－1，∴a 3＝12；∵a 4a 3＝a 3＋1，∴a 4＝3； ∵a 5a 4＝a 4－1，∴a 5＝23，∴a 3a 5＝34.2．(2011·哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学联考)已知{a n }是等差数列，S n为其前n 项和，若S 21＝S 4000，O 为坐标原点，点P (1，a n )，点Q (2011，a 2011)，则OP →·OQ →＝( )A ．2011B ．－2011C ．0D ．1 [答案] A[解析] 由S 21＝S 4000得到S n 关于n ＝21＋40002＝2010.5对称，故S n 的最大(或最小)值＝S 2010＝S 2011，故a 2011＝0，OP →·OQ →＝2011＋a n ·a 2011＝2011＋a n ×0＝2011，故选A.3．(2011·佛山月考)若a ，b ，c 成等比数列，则函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．不确定 [答案] A[解析] 由题意知，b 2＝ac >0，∴Δ＝b 2－4ac ＝－3ac <0，∴f (x )的图象与x 轴无交点． 4．(2011·山西运城教学检测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，过点P (n ，S n )和Q (n ＋1，S n ＋1)(n ∈N *)的直线的斜率为3n －2，则a 2＋a 4＋a 5＋a 9的值等于( )A ．52B ．40C ．26D ．20 [答案] B[解析]由题意得S n＋1－S nn ＋－n＝3n－2，∴S n＋1－S n＝3n－2，即a n＋1＝3n－2，∴a n＝3n－5，因此数列{a n}是等差数列，a5＝10，而a2＋a4＋a5＋a9＝2(a3＋a7)＝4a5＝40，故选B.5．(文)(2011·福建质检)在各项均为正数的等比数列{a n}中，a3a5＝4，则数列{log2a n}的前7项和等于( )A．7 B．8C．27D．28[答案] A[解析]在各项均为正数的等比数列{a n}中，由a3a5＝4，得a24＝4，a4＝2.设b n＝log2a n，则数列{b n}是等差数列，且b4＝log2a4＝1.所以{b n}的前7项和S7＝b1＋b72＝7b4＝7.(理)(2011·广东促元中学期中)已知{a n}为等差数列，{b n}为正项等比数列，公式q≠1，若a1＝b1，a11＝b11，则( )A．a6＝b6B．a6>b6C．a6<b6D．以上都有可能[答案] B[解析]a6＝a1＋a112，b6＝b1b11＝a1a11，由q≠1得，a1≠a11.故a6＝a1＋a112>a1a11＝b6.6．(2011·南昌一模)小王每月除去所有日常开支，大约结余a元．小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a元，存期1年(存12次)，到期取出本和息．假设一年期零存整取的月利率为r，每期存款按单利计息．那么，小王存款到期利息为________元．[答案]78ar[解析]依题意得，小王存款到期利息为12ar＋11ar＋10ar＋…＋3ar＋2ar＋ar＝＋2ar＝78ar元．7．(2010·哈尔滨模拟)已知双曲线a n－1y2－a n x2＝a n－1a n(n≥2，n∈N*)的焦点在y轴上，一条渐近线方程是y＝2x，其中数列{a n}是以4为首项的正项数列，则数列{a n}的通项公式是________．[答案]a n＝2n＋1[解析] 双曲线方程为y 2a n －x 2a n －1＝1，∵焦点在y 轴上，又渐近线方程为y ＝2x ，∴a na n －1＝2，又a 1＝4，∴a n ＝4×2n －1＝2n ＋1.8．(2011·江苏镇江市质检)已知1，x 1，x 2,7成等差数列，1，y 1，y 2,8成等比数列，点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则线段MN 的中垂线方程是________．[答案] x ＋y －7＝0[解析] 由条件得x 1＝3，x 2＝5，y 1＝2，y 2＝4，∴MN 的中点(4,3)，k MN ＝1，∴MN 的中垂线方程为y －3＝－(x －4)，即x ＋y －7＝0.1.(2011·安徽百校论坛联考)已知a >0，b >0，A 为a ，b 的等差中项，正数G 为a ，b 的等比中项，则ab 与AG 的大小关系是( )A ．ab ＝AGB ．ab ≥AGC ．ab ≤AGD ．不能确定 [答案] C[解析] 由条件知，a ＋b ＝2A ，ab ＝G 2，∴A ＝a ＋b2≥ab ＝G >0，∴AG ≥G 2，即AG ≥ab ，故选C.[点评] 在知识交汇点处命题是常见命题方式，不等式与数列交汇的题目要特别注意等差(等比)数列的公式及性质的运用．2．(2011·江西新余四中期末)在△ABC 中，sin A cos A ＝2cos C ＋cos A2sin C －sin A 是角A 、B 、C 成等差数列的( )A ．充分非必要条件B ．充要条件C ．必要非充分条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A [解析]sin A cos A ＝2cos C ＋cos A 2sin C －sin A⇒2sin A sin C －sin 2A ＝2cos A cos C ＋cos 2A ⇒2cos(A ＋C )＋1＝0⇒cosB ＝12⇒B ＝π3⇒A ＋C ＝2B ⇒A 、B 、C 成等差数列．但当A 、B 、C 成等差数列时，sin Acos A ＝2cos C ＋cos A 2sin C －sin A 不一定成立，如A ＝π2、B ＝π3、C ＝π6.故是充分非必要条件．故选A.3．(文)数列{a n }是公差d ≠0的等差数列，数列{b n }是等比数列，若a 1＝b 1，a 3＝b 3，a 7＝b 5，则b 11等于( )A ．a 63B ．a 36C ．a 31D ．a 13 [答案] A[解析] 设数列{b n }的首项为b 1，公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝a 1q 2a 1＋6d ＝a 1q4，得d ＝a 14(q 4－q 2)．∴a 1＋a 12(q 4－q 2)＝a 1q 2，∵q ≠1，∴q 2＝2，d ＝a 12，于是b 11＝a 1q 10＝32a 1.设32a 1＝a 1＋(n －1)·a 12，则n ＝63，∴b 11＝a 63.(理)设函数f (x )＝x m＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1f n}(n ∈N *)的前n 项和是( )A.n n ＋1B.n ＋2n ＋1 C.n n －1D.n ＋1n[答案] A[解析] f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1，∴a ＝1，m ＝2， ∴f (x )＝x (x ＋1)，1f n ＝1nn ＋＝1n －1n ＋1， ∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝n n ＋1. 4．(文)(2010·浙江杭州)如图，是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是( )A.12B.23C.34D.45[答案] C[解析]循环过程为i＝1<4→i＝2，m＝1，n＝11×2；i＝2<4→i＝3，m＝2，n＝11×2＋12×3；i＝3<4→i＝4，m＝3，n＝11×2＋12×3＋13×4；i＝4<4不成立，输出n的值．故n＝11×2＋12×3＋13×4＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝⎛⎭⎪⎫13－14＝1－14＝34.(理)(2010·吉林省调研)已知数列{a n}的各项均为正数，如图给出程序框图，当k＝5时，输出的S＝511，则数列{a n}的通项公式为( )A．a n＝2n B．a n＝2n－1 C．a n＝2n＋1 D．a n＝2n－3 [答案] B[解析]由a i＋1＝a i＋2知数列{a n}是公差为2的等差数列，由M＝1a i ai＋1及S＝S＋M知，S＝1a1a2＋1a2a3＋…＋1a i a i＋1，由条件i≤k不满足时输出S及输入k＝5，输出S＝511知，1a1a2＋1a2a3＋…1a5a6＝12[(1a1－1a2)＋(1a 2－1a3)＋…(1a5－1a6)]＝12(1a1－1a6)＝12(1a1－1a1＋10)＝5a1a1＋＝511，∵a1>0，∴a1＝1，∴a n＝2n－1.5．(文)(2010·湖北质检)若数列{a n}满足1a n＋1－1a n＝d(n∈N*，d为常数)，则称数列{a n}为调和数列．已知数列{1x n}为调和数列，且x1＋x2＋…＋x20＝200，则x5＋x16＝________.[答案]20[解析]由题意，若{a n}为调和数列，则{1a n }为等差数列，∵{1x n}为调和数列，∴数列{x n}为等差数列，由等差数列的性质可知，x5＋x16＝x1＋x20＝x2＋x19＝…＝x10＋x11＝20010＝20.故填20.(理)(2011·福州市期末、河北冀州期末)已知实数a 、b 、c 、d 成等比数列，且函数y ＝ln(x ＋2)－x 当x ＝b 时取到极大值c ，则ad 等于________．[答案] －1[分析] 利用导数可求b 、c ，由a 、b 、c 、d 成等比数列可得ad ＝bc . [解析] y ′＝1x ＋2－1，令y ′＝0得x ＝－1，当－2<x <－1时，y ′>0，当x >－1时，y ′<0，∴b ＝－1，c ＝ln(－1＋2)－(－1)＝1，∴ad ＝bc ＝－1.6．(2011·焦作模拟)已知函数f (x )＝a x的图象过点(1，12)，且点(n －1，a n n 2)(n ∈N ＋)在函数f (x )＝a x的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝a n ＋1－12a n ，若数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：S n <5.[解析] (1)∵函数f (x )＝a x的图象过点(1，12)，∴a ＝12，f (x )＝(12)x.又点(n －1，a n n 2)(n ∈N ＋)在函数f (x )＝a x的图象上，从而a n n 2＝12n －1，即a n ＝n 22n －1.(2)由b n ＝n ＋22n－n 22n ＝2n ＋12n 得， S n ＝32＋522＋…＋2n ＋12n ， 则12S n ＝322＋523＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1， 两式相减得：12S n ＝32＋2(122＋123＋…＋12n )－2n ＋12n ＋1，∴S n ＝5－2n ＋52n ，∴S n <5.7．(文)已知数列{a n }是公差d ≠0的等差数列，记S n 为其前n 项和． (1)若a 2、a 3、a 6依次成等比数列，求其公比q .(2)若a 1＝1，证明点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1，S 11，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2，S 22，…，P n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，S n n (n ∈N *)在同一条直线上，并写出此直线方程．[解析] (1)∵a 2、a 3、a 6依次成等比数列， ∴q ＝a 3a 2＝a 6a 3＝a 6－a 3a 3－a 2＝3dd＝3，即公比q ＝3.(2)证明：∵S n ＝na 1＋n n －2d ，∴S n n＝a 1＋n －12d ＝1＋n －12d .∴点P n ⎝⎛⎭⎪⎫n ，S n n 在直线y ＝1＋x －12d 上．∴点P 1，P 2，…，P n (n ∈N *)都在过点(1,1)且斜率为d2的直线上．此直线方程为y －1＝d2(x －1)．即dx －2y ＋2－d ＝0.(理)(2010·广东佛山顺德区质检)在等差数列{a n }中， 设S n 为它的前n 项和，若S 15>0，S 16<0，且点A (3，a 3)与B (5，a 5)都在斜率为－2的直线l 上，(1)求a 1的取值范围； (2)指出S 1a 1，S 2a 2，…，S 15a 15中哪个值最大，并说明理由． [解析] (1)由已知可得a 5－a 35－3＝－2，则公差d ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 15＝15a 1＋15×142×d ＝a 1－S16＝16a 1＋16×152×d ＝a 1－，∴14<a 1<15. (2)最大的值是S 8a 8，∵S 15＝15a 8>0，S 16＝8(a 8＋a 9)<0， ∴a 8>0，a 9<0，即S 8最大．又当1≤i ≤8时，S i a i>0；当9≤i ≤15时，S i a i<0， ∵数列{a n }递减，∴S 1a 1≤S 2a 2≤…≤S 8a 8，S 8a 8≥S 9a 9≥…≥S 15a 15⇒S 8a 8最大．1．(2011·揭阳一模)数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }中连续的三项，则数列{b n }的公比为( )A. 2 B ．4C ．2 D.12[答案] C[解析] 设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由a 23＝a 1a 7得(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，解得a 1＝2d ，故数列{b n }的公比q ＝a 3a 1＝a 1＋2d a 1＝2a 1a 1＝2，选C.2．(2011·枣庄质检)已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成以12为首项的等比数列，则mn＝( )A.32B.32或23C.23 D ．以上都不对 [答案] B[解析] 设a ，b ，c ，d 是方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根，不妨设a <c <d <b ，则a ·b ＝c ·d ＝2，a ＝12，故b ＝4，根据等比数列的性质，得到：c ＝1，d ＝2，则m ＝a ＋b＝92，n ＝c ＋d ＝3，或m ＝c ＋d ＝3，n ＝a ＋b ＝92，则m n ＝32或23. 3．(2011·北京西城期末)已知各项均不为零的数列{a n }，定义向量c n ＝(a n ，a n ＋1)，b n ＝(n ，n ＋1)，n ∈N *.则下列命题中为真命题的是( )A ．若对于任意n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等差数列 B ．若对于任意n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等比数列 C ．若对于任意n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等差数列 D ．若对于任意n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等比数列 [答案] A[解析] 若对任意n ∈N *，有c n ∥b n ，则a n n ＝a n ＋1n ＋1＝a n ＋2n ＋2，所以a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，即2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，所以数列{a n }为等差数列．4．小正方形按照下图中的规律排列：每小图中的小正方形的个数就构成一个数列{a n }，有以下结论：①a 5＝15；②数列{a n }是一个等差数列；③数列{a n }是一个等比数列；④数列的递推公式为：a n ＝a n －1＋n (n ∈N *)，其中正确的为( )A ．①②④B ．①③④C ．①②D ．①④ [答案] D[解析] 观察图形可知a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋2.∴选D.5．(2010·上海松江区模考)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．介于1到200之间的所有“神秘数”之和为______．[答案] 2500[解析] 设正整数x ＝(2n ＋2)2－(2n )2＝8n ＋4，由1≤x ≤200及n ∈Z 知，0≤n ≤24， ∴所有这样的神秘数之和为＋2＝2500.6．(2011·湖北荆门调研)秋末冬初，流感盛行，荆门市某医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{a n }，已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则该医院30天入院治疗流感的人数共有________人．[答案] 255[解析] ∵a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n(n ∈N *)，∴n 为奇数时，a n ＋2＝a n ，n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝2，即数列{a n }的奇数项为常数列，偶数项构成以2为首项，2为公差的等差数列．故这30天入院治疗流感人数共有15＋(15×2＋15×142×2)＝255人． 7．(2011·洛阳市高三模拟)已知函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，其导函数为f ′(x )＝6x －2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)在函数y ＝f (x )的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }和数列{b n }满足等式：a n ＝b 12＋b 222＋b 323＋…＋b n2n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n项和T n .[解析] (1)由题意可设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ， 则f ′(x )＝2ax ＋b ＝6x －2，用心 爱心 专心 - 11 - ∴a ＝3，b ＝－2，∵f (x )过原点，∴c ＝0，∴f (x )＝3x 2－2x .依题意得S n ＝3n 2－2n .n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5， n ＝1时，a 1＝S 1＝1适合上式．∴a n ＝6n －5(n ∈N *)．(2)∵a n ＝b 12＋b 222＋b 323＋…＋b n 2n ， ∴a n －1＝b 12＋b 222＋b 323＋…＋b n －12n －1(n ≥2)． 相减得b n 2n ＝6，∴b n ＝6·2n(n ≥2)． b 1＝2a 1＝2，∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2 n ＝，6·2nn∴T n ＝2＋6(22＋23＋…＋2n )＝3·2n ＋2－22. 8．已知f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n(n 为正偶数)且{a n }为等差数列，f (1)＝n 2，f (－1)＝n ，试比较f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12与3的大小，并证明你的结论． [解析] 由f (1)＝n 2，f (－1)＝n 得，a 1＝1，d ＝2. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋(2n －1)· ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ， 两边同乘以12得，12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋(2n －3)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋(2n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1， 两式相减得，12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －(2n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝12＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12－(2n －1)12n ＋1. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3－2n ＋32n <3.。
2013届高三数学(理)一轮复习方案课件【人教A版】第31讲数列的综合应用备用例题
第31讲 │ 备用例题
例2 [2011· 广州二模] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，
且S10＝55，S20＝210. (1)求数列{an}的通项公式； an (2)设bn＝ ，是否存在m、k(k>m≥2，k，m∈N*)，使得 an＋1 b1、bm、bk成等比数列？若存在，求出所有符合条件的m、k的 值；若不存在，请说明理由．
第31讲 │ 备用例题
(2)由(1)得知an＝3n－1，bn＝log3an＋1＝n， 1 1 1 1 ＝ ＝ － ， bn · bn＋1 (n＋1)n n n＋1
1 1 1 1 1 1 T2011＝ ＋ ＋ …＋ ＝ 1－ ＋ － ＋…＋ b1b2 b2b3 b2011b2012 2 2 3 1 1 2011 ＝ － . 2011 2012 2012
(Sn，an＋1)在直线y＝2x＋1上，n∈N*. (1)当实数t为何值时，数列{an}是等比数列？
1 (2)在(1)的结论下，设bn＝log3an＋1，Tn是数列 b b 的前n n n＋1
项和，求T2011的值．
第31讲 │ 备用例题
[解答] (1)由题意得an＋1＝2Sn＋1，an＝2Sn－1＋1(n≥2)， 两式相减得an＋1－an＝2an，即an＋1＝3an(n≥2)， 所以当n≥2时，{an}是等比数列． 要使n≥1时，{an}是等比数列， a2 2t＋1 则只需 ＝ t ＝3，从而t＝1. a1
第31讲 │ 数列的综合应用
第31讲
数列的综合应用
第31讲 │ 备用例题
备用例题
[备选理由] 例1是解析几何与数列的交汇，探究成为等比
数列的条件，等差数列与等比数列的转化以及数列求和；例2 是数列存在性问题，探究三个数成等比数列的条件．
2013届人教A版文科数学课时试题及解析(32)数列求和
20 项之和为 ________．
5． 正项等比数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，且 a4＝ 8， S4－ S1＝ 38，则其公比等于 ( )
53 A. 2 B. 2
22 C.5 D. 3
6．
若 { an} 为等差数列，
Sn 是其前 n 项和，且
S13＝
26 3
π，则
tana7 的值为
11．等比数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，若 S3＝ 7， S6＝ 63，则公比 q 的值是 ________．
1 12．数列 n n＋ 1
的前 n 项和为 190，则在平面直角坐标系中，直线
(n＋ 1)x＋ y＋ n＝ 0 在
y 轴上的截距是 ________． 13． 如图所示，将数以斜线作如下分群： (1) ，(2,3)，(4,6,5)，(8,12,10,7)，(16,24,20,14,9) ，…，
a1＋ a13 2
＝
26 π 13a7＝ 3 ，所以
2π a7＝ 3 ，tana7＝－
3.故选 B.
7． A
[ 解析 ] 由 am－ 1＋ am＋1 － a 2m＝ 0 得 am＝ 2，所以
2m－1 S2m－ 1＝
a1＋ a2m－1 ＝ 2
2m－ 1 ·2am
2
＝ (2m－ 1)am＝38，解得 m＝10.
难点突破 16． (12 分) 已知等差数列 { an} 满足 a2＝ 0，a6＋ a8＝－ 10. (1)求数列 { an} 的通项公式；
an (2)求数列 2n －1 的前 n 项和．
2
课时作业 (三十二 )
【基础热身】
1．B [解析 ] 根据等差中项和等比中ห้องสมุดไป่ตู้知 x＋ y＝ 5，mn＝6，所以 x＋ y＋ mn＝ 11，故选
高考数学(理)一轮规范练【33】数列的综合应用(含答案)
课时规范练33数列的综合应用课时规范练第51页一、选择题1.设{a n},{b n}分别为等差数列与等比数列,a1=b1=4,a4=b4=1,则下列结论正确的是( )A.a2>b2B.a3<b3C.a5>b5D.a6>b6答案:A解析:设{a n}的公差为d,{b n}的公比为q,由题可得d=-1,q=,于是a2=3>b2=2.故选A.2.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,S9=-36,S13=-104,等比数列{b n}中,b5=a5,b7=a7,则b6的值为( )A.±4B.-4C.4D.无法确定答案:A解析:依题意得S9=9a5=-36⇒b5=a5=-4,S13=13a7=-104⇒b7=a7=-8,所以b6=±4.3.在等差数列{a n}中a n>0,且a1+a2+…+a10=30,则a5·a6的最大值等于( )A.3B.6C.9D.36答案:C解析:由已知得a1+a2+…+a10=30=5(a1+a10)=5(a5+a6),即a5+a6=6,∴a5·a6≤=9,当且仅当a5=a6时取“=”.4.已知数列{a n},{b n}满足a1=1,且a n,a n+1是函数f(x)=x2-b n x+2n的两个零点,则b10等于( )A.24B.32C.48D.64答案:D解析:依题意有a n a n+1=2n,所以a n+1a n+2=2n+1.两式相除得=2,所以a1,a3,a5,…成等比数列,a2,a4,a6,…也成等比数列.而a1=1,a2=2,所以a10=2·24=32,a11=1·25=32.又因为a n+a n+1=b n,所以b10=a10+a11=64.5.已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对任意的正数x,y都有f(x·y)=f(x)+f(y),若数列{a n}的前n项和为S n,且满足f(S n+2)-f(a n)=f(3)(n∈N*),则a n等于( )A.2n-1B.nC.2n-1D.答案:D解析:由题意知f(S n+2)=f(a n)+f(3)(n∈N*),∴S n+2=3a n,S n-1+2=3a n-1(n≥2),两式相减得2a n=3a n-1(n≥2),又n=1时,S1+2=3a1=a1+2,∴a1=1,∴数列{a n}是首项为1,公比为的等比数列,∴a n=.6.气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用,第n天的维修保养费为(n∈N*)元,使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少),一共使用了( )A.600天B.800天C.1000天D.1200天答案:B解析:由第n天的维修保养费为(n∈N*)元,可以得出观测仪的整个耗资费用,由平均费用最少而求得最小值成立时的相应n的值.设一共使用了n天,则使用n天的平均耗资为,当且仅当时取得最小值,此时n=800,故选B.二、填空题7.定义运算:=ad-bc,若数列{a n}满足=1且=12(n∈N*),则a3=,数列{a n}的通项公式为a n=.答案:10 4n-2解析:由题意得a1-1=1,3a n+1-3a n=12,即a1=2,a n+1-a n=4.∴{a n}是以2为首项,4为公差的等差数列.∴a n=2+4(n-1)=4n-2,a3=4×3-2=10.8.等差数列{a n}的前n项和为S n,已知a m-1+a m+1-=0,S2m-1=38,则m=.答案:10解析:由等差数列的性质可知2a m=a m+1+a m-1,又∵a m-1+a m+1-=0,∴=2a m.∴a m=2(a m=0不合题意,舍去).又S2m-1=(a1+a2m-1)=×2a m=(2m-1)·a m=38,∴2m-1=19.∴m=10.9.定义函数f(x)=[x[x]],其中[x]表示不超过x的最大整数,当x∈[0,n)(n∈N*)时,设函数f(x)的值域为集合A,记A中的元素个数为a n,则的最小值为.答案:解析:x∈[0,1)时,f(x)=[x[x]]=[x·0]=0,该段函数值的个数为1;x∈[1,2)时,f(x)=[x[x]]=[x·1]=[x]=1,该段函数值的个数为1;x∈[2,3)时,f(x)=[x[x]]=[x·2],2x∈[4,6),该段函数值的个数为2;…x∈[n-1,n)时,f(x)=[x[x]]=[x·(n-1)],(n-1)x∈[(n-1)2,n(n-1)),所以函数f(x)=[(n-1)x]在该段的最小值为(n-1)2,最大值为n(n-1)-1,函数值的个数为n(n-1)-1-(n-1)2+1=n-1(n≥2),所以a n=1+1+2+…+(n-1)=1+.因此≥2(n=10时等号成立).三、解答题10.已知数列{a n}满足:a1=1,a n+1=(n∈N*).若b n+1=(n-λ)·(n∈N*),b1=-λ,且数列{b n}是单调递增数列,求实数λ的取值范围.解:由已知可得+1,+1=2+1=2≠0,则+1=2n,b n+1=2n(n-λ),b n=2n-1(n-1-λ)(n≥2,n∈N*).b1=-λ也适合上式,故b n=2n-1(n-1-λ)(n∈N*).由b n+1>b n,得2n(n-λ)>2n-1(n-1-λ),即λ<n+1恒成立,而n+1的最小值为2,故实数λ的取值范围为λ<2.11.某人有人民币1万元,若存入银行,年利率为6%;若购买某种股票,年分红24%,每年储蓄的利息和买股票所分的红利都存入银行.(1)问买股票多少年后,所得红利才能和原来的投资款相等?(2)经过多少年,买股票所得的红利与储蓄所拥有的人民币相等?(精确到整年)(参考数据:lg2≈0.3010,lg3≈0.4771,lg1.06≈0.0253)解:设该人将1万元购买股票,x年后所得的总红利为y万元,则y=24%+24%(1+6%)+24%(1+6%)2+…+24%(1+6%)x-1=24%(1+1.06+1.062+…+1.06x-1)=4(1.06x-1).(1)由题意,得4(1.06x-1)=1,∴1.06x=.两边取常用对数,得x lg1.06=lg=1-3lg2.∴x=≈4.(2)由题意,得4(1.06x-1)=(1+6%)x,∴1.06x=.解得x≈5.答:(1)买股票4年后所得的红利才能和原来的投资款相等;(2)经过大约5年,买股票所得的红利与储蓄所拥有的人民币相等.12.已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=2-a n(n∈N*).(1)求证:数列是等比数列;(2)设数列{2n a n}的前n项和为T n,A n=+…+,试比较A n与的大小.解：(1)证明:a1=S1=2-3a1,得a1=,当n≥2时,由a n=S n-S n-1,得,所以是首项和公比均为的等比数列.(2)解由(1)得,于是2n·a n=n,T n=1+2+3+…+n=.所以=2,于是A n=2,而,所以问题转化为比较的大小.设f(n)=,g(n)=,当n≥4时,f(n)≥f(4)=1,而g(n)<1,所以f(n)>g(n).经验证当n=1,2,3时,仍有f(n)>g(n).因此对任意的正整数n,都有f(n)>g(n),即A n<.希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！。
高考数学(人教版文)一轮复习课时作业32第5章 数列3 Word版含答案
2013届高中人教B版文科数学专题训练及解析(33)数列的综合应用A
专 题练习(三十三)A [第33讲 数列的综合应用][时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＝( ) A.32 B.94 C.259 D.25162． 已知程序框图如图K33－1所示，则该程序框图的功能是( )A ．求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n 的前10项和 B ．求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n 的前10项和C ．求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n 的前11项和D ．求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n 的前11项和3．一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知信息的另外两个人，如此继续下去，要传遍100万人口的城市，所需的时间大约为( )A ．三个月B ．一个月C ．10天D ．20小时4．已知数列{a n }的首项a 1＝1，且点A n (a n ，a n ＋1)在函数y ＝xx ＋1的图象上．则该数列{a n }的通项公式是a n ＝________.能力提升 5． 数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2n 2－17n ，则当S n 取得最小值时n 的值为( ) A ．4或5 B ．5或6 C ．4 D ．56． 已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( )A ．－110B ．－90C ．90D ．1107． 设等比数列的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ，S n ＋1，S n ＋2成等差数列，则公比q ( )A ．等于－2B ．等于1C ．等于1或－2D ．不存在8． 各项均为正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 3a 4＋a 2a 6a 2a 6＋a 4a 5＝( )A.5＋12B.5－12C.3－52D.2＋529． 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为( )A ．①和⑳B ．⑨和⑩C ．⑨和⑪D ．⑩和⑪10．数列{a n }中，a 1＝2，点(log 3a n ，a n ＋1)在函数y ＝2×3x 的图象上，则{a n }的通项公式为a n ＝________.11． 数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n －3，则通项公式a n ＝________.12． 已知数列{a n }满足a 1＝23，且对任意的正整数m 、n 都有a m ＋n ＝a m ·a n .若数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝________.13． 已知a n ＝2n －1(n ∈N ＋)，把数列{a n }的各项排成如图K33－2所示的三角数阵．记S (m ，n )表示该数阵中第m 行中从左到右的第n 个数，则S (10,6)对应数阵中的数是________．1 3 5 7 9 11 13 15 17 19… 图K33－214．(10分) 当p 1，p 2，…，p n 均为正数时，称np 1＋p 2＋…＋p n为p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”．已知数列{a n }的各项均为正数，且其前n 项的“均倒数”为12n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n2n ＋1(n ∈N *)，试比较c n ＋1与c n 的大小．15．(13分)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n2a n ＋1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)设：2b n ＝1a n＋1，求数列{b n b n ＋1}的前n 项和T n .难点突破16．(12分)设数列{b n }满足：b 1＝12，b n ＋1＝b 2n ＋b n . (1)求证：1b n ＋1＝1b n －1b n ＋1；(2)若T n ＝1b 1＋1＋1b 2＋1＋…＋1b n ＋1，对任意的正整数n,3T n －log 2m －5>0恒成立．求m的取值范围．专题练习(三十三)A【基础热身】1．B [解析] a 2＝22a 1＝4，a 3＝32a 1a 2＝94.故选B.2．B [解析] 可知S ＝12＋14＋…＋120，所以其描述的是数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n 的前10项和．3．D [解析] 每小时传递人数构成数列2,4,8，…，所以n 小时共传递人数S n ＝1－2n1－2＝2n －1≈106，所以n ≈20小时．4.1n [解析] 因为a n ＋1＝a n a n ＋1且a 1＝1，所以1a n ＋1＝1＋1a n ，所以1a n ＋1－1a n＝1. 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，1为公差的等差数列.1a n ＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝1n .【能力提升】5．C [解析] 二次函数f (x )＝2x 2－17x 的对称轴为直线x ＝174，因为n ∈N ＋，所以当n＝4时，S n ＝2n 2－17n 有最小值．故选C.6．D [解析] 由a 27＝a 3·a 9，d ＝－2，得(a 1－12)2＝(a 1－4)(a 1－16)，解之得a 1＝20，∴S 10＝10×20＋10×92(－2)＝110.7．B [解析] 依题意有2S n ＋1＝S n ＋S n ＋2，当q ≠1时，有2a 1(1－q n ＋1)＝a 1(1－q n )＋a 1(1－q n ＋2)，解得q ＝1，但q ≠1，所以方程无解；当q ＝1时，满足条件．故选B.8．B [解析] 依题意，有a 3＝a 1＋a 2，设公比为q ，则有q 2－q －1＝0，所以q ＝1＋52(舍去负值).a 3a 4＋a 2a 6a 2a 6＋a 4a 5＝a 2a 4(q ＋q 2)a 2a 4(q 2＋q 3)＝1q ＝21＋5＝5－12.故选B.9．D [解析] 从实际问题中考虑将树苗放在最中间的坑旁边，则每个人所走的路程和最小，一共20个坑，为偶数，在中间的有两个坑为10和11号坑，故答案选D.10．2n [解析] 由已知得a n ＋1＝2×3log 3a n ＝2a n ，显然{a n }的各项不为零，所以a n ＋1a n＝2，数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，a n ＝2×2n －1＝2n .11.⎩⎪⎨⎪⎧－1(n ＝1)，2n (n ≥2)[解析] n ＝1时，a n ＝－1；n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ， 所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1(n ＝1)，2n (n ≥2).12．2－2n ＋13n [解析] 令m ＝1，得a n ＋1＝a 1·a n ，即a n ＋1a n ＝a 1＝23，可知数列{a n }是首项为a 1＝23，公比为q ＝23的等比数列，于是S n ＝a 1(1－q n)1－q＝23×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫23n 1－23，＝2⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫23n ＝2－2n ＋13n .13．101 [解析] 观察知每一行的第1个数构成数列：1,3,7,13,21，…，相邻两项构成递推关系：a n ＋1＝a n ＋2n ，所以a 10＝a 9＋18＝a 8＋16＋18＝a 7＋14＋34＝a 6＋12＋48＝a 5＋10＋60＝a 4＋8＋70＝13＋78＝91，即第10行的第1个数为91，所以第10行第6个数为101.14．[解答] (1)由已知有a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n ＝n (2n ＋1)， 则a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)(2n －1)， 两式相减，得a n ＝4n －1(n ≥2)．又1a 1＝12×1＋1，解得a 1＝3＝4×1－1， ∴a n ＝4n －1(n ∈N *)．(2)∵c n ＝a n 2n ＋1＝4n －12n ＋1＝2－32n ＋1，c n ＋1＝a n ＋12n ＋3＝2－32n ＋3，∴c n ＋1－c n ＝32n ＋1－32n ＋3＞0，即c n ＋1＞c n .15．[解答] (1)由a n ＋1＝a n 2a n ＋1得1a n ＋1－1a n＝2且1a 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，以2为公差的等差数列，所以1a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，得a n ＝12n －1.(2)由2b n ＝1a n ＋1得2b n ＝2n －1＋1＝2n ，∴b n ＝1n，从而b n b n ＋1＝1n (n ＋1)，则T n ＝b 1b 2＋b 2b 3＋…＋b n b n ＋1＝11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝⎝⎛⎭⎫11－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝nn ＋1.【难点突破】16．[解答] (1)因为b 1＝12，b n ＋1＝b 2n ＋b n ＝b n (b n ＋1)，所以对任意的n ∈N *，b n >0. 所以1b n ＋1＝1b n (b n ＋1)＝1b n －1b n ＋1，即1b n ＋1＝1b n －1b n ＋1. (2)T n ＝⎝⎛⎭⎫1b 1－1b 2＋⎝⎛⎭⎫1b 2－1b 3＋…＋⎝⎛⎭⎫1b n －1b n ＋1＝1b 1－1b n ＋1＝2－1b n ＋1. 因为b n ＋1－b n ＝b 2n>0， ∴b n ＋1>b n ，所以数列{b n }是单调递增数列． 所以数列{T n }关于n 递增． 所以T n ≥T 1.因为b 1＝12，所以b 2＝b 1(b 1＋1)＝34，所以T 1＝2－1b 2＝23，所以T n ≥23.因为3T n －log 2m －5>0恒成立， 所以log 2m <3T n －5恒成立， 所以log 2m <－3，所以0<m <18.。
高三数学一轮复习 第33课时 数列的综合应用学案(1)
湖北省监利县第一中学2015届高三数学一轮复习第33课时数列的综合应用学案例1 已知等差数列{a n}的首项a1＝1，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n}的第2项、第3项、第4项．(1)求数列{a n}、{b n}的通项公式；(2)设数列{c n}对n∈N*，均有c1b1＋c2b2＋…＋c nb n＝a n＋1成立，求c1＋c2＋…＋c2 012.思考题1 已知等比数列{a n}的公比为q，前n项的和为S n，且S3，S9，S6成等差数列．(1)求q3；(2)求证：a2，a8，a5成等差数列．题型二数列与函数、不等式的综合应用例2已知函数f(x)＝log k x(k为常数，k>0且k≠1)，且数列{f(a n)}是首项为4，公差为2的等差数列．(1)求证：数列{a n}是等比数列；(2)若b n＝a n·f(a n)，当k＝2时，求数列{b n}的前n项和S n；(3)若c n＝a n lg a n，问是否存在实数k，使得{c n}中的每一项恒小于它后面的项？若存在，求出k的范围；若不存在，说明理由．思考题2 已知函数f(x)对任意实数p，q都满足f(p＋q)＝f(p)·f(q)，且f(1)＝13 .(1)当n∈N*时，求f(n)的表达式(2)设a n＝nf(n)(n∈N*)，S n是数列{a n}的前n项的和，求证：S n<34；(3)设b n＝nf n＋f n(n∈N*)，数列{b n}的前n项和为T n，试比较1T1＋1T2＋1T3＋…＋1T n与6的大小．题型三数列与导数、解析几何的综合应用例3 已知在正项数列{a n}中，a1＝2，点A n(a n，a n＋1)在双曲线y2－x2＝1上，数列{b n}中，点(b n，T n)在直线y＝－12x＋1上，其中T n是数列{b n}的前n项和．(1)求数列{a n}的通项公式； (2)求证：数列{b n}是等比数列；(3)若c n＝a n·b n，求证：c n＋1<c n.思考题3 已知函数f(x)＝x2－4，设曲线y＝f(x)在点(x n，f(x n))处的切线与x轴的交点为(x n＋1,0)(n∈N*)，其中x1为正实数．(1)用x n表示x n＋1；(2)若x1＝4，记a n＝lg x n＋2x n－2，证明数列{a n}成等比数列，并求数列{a n}的通项公式．题型四数列的实际应用例4 为了增强环保建设，提高社会效益和经济效益，郑州市计划用若干年更换10 000辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型车和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车40辆，计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a辆．(1)求经过n年，该市被更换的公交车总数S(n)；(2)若该市计划用7年的时间完成全部更换，求a的最小值．思考题4 某林场为了保护生态环境，制定了植树造林的两个五年计划，第一年植树16a亩，以后每年植树面积都比上一年增加50%，但从第六年开始，每年植树面积都比上一年减少a亩．(1)求该林场第6年植树的面积；(2)设前n(1≤n≤10且n∈N)年林场植树的总面积为S n亩，求S n的表达式．。
2013届高考一轮数学文湖南版复习方案课件第33讲数列的综合应用备用例题
)
24，36
27，33
C．{a|27≤a≤33，a∈N*} D．{a|24≤a≤36，a∈N*}
第33讲 │ 备用例题
[解析] A
当 a6 为 an 的最小值时，由题意得 a5≥a6 且 a7≥a6，
所以解得 24≤a≤30； 当 a7 为 an 的最小值时， 由题意， a6≥a7 且 a8≥a7， 解得 30≤a≤36， 综合知 24≤a≤36.
第33讲 │ 数列的综合应用
第33讲
数列的综合应用
第33讲 │ 备用例题
备用例题
[备选理由] 例 1 涉及分类讨论思想，用以考查学生的思维 的严谨性；例 2 则是数列中的不等式求最值问题，考查学生综 合运用知识和方法解决问题的能力．
第33讲 │ 备用例题
例1 已知数列{ a n}的通项公式a n＝3n2－(9＋a)n＋6＋2 a (其中a为常数)，若a 6与a 7两项中至少有一项是an的最小值，则 实数a的取值范围是( A. B.
第an}是等比数列，公比q＝ 2 ，Sn为
17Sn－S2n {an}的前n项和．记Tn＝ ，n∈N*.设Tn0为数列{Tn}的最 an＋1 大项，则n0＝________.
[答案] 4
第33讲 │ 备用例题
a11－qn [解析] 根据等比数列的通项公式Sn＝ ，故Tn＝ 1－ q a11－qn a11－q2n 17× － 1－q 1－q q2n－17qn＋16 ＝ n a1q 1－qqn 1 n 16 16 n n q ＋ qn －17 .设q ＝( 2) ＝t，函数g(t)＝t＋ ，当t＝4 ＝ t 1－ q 1 1 时函数g(t)取得最小值，此时n＝4，而 ＝ <0，故此时Tn 1－q 1－ 2 最大，所以n0＝4.
2013届高考一轮数学文湖南版复习方案课件第33讲数列的综合应用
第33讲 │ 要点探究
[思路] (1)根据等差数列和等比数列的定义，分段写出 an 的 表达式；(2)分 1≤n≤6 和 n≥7 求数列的前 n 项和，再根据题意列 不等式求解．
第33讲 │ 要点探究
[解答] (1)当 n≤6 时，数列{an}是首项为 120，公差为－10 的 等差数列． an＝120－10(n－1)＝130－10n； 3 当 n≥6 时，数列{an}是以 a6 为首项，公比为 的等比数列， 4 3 － n 6 . 又 a6＝70，所以 an＝70× 4 因此，第 n 年初，M 的价值 an 的表达式为 130－10n，n≤6， 3 － an＝ n 6，n≥7. 70× 4
(1)设等差数列{an}的公差为d，则
得9－d2＝8，所以d＝± 1，又因为an>0，所以d＝1，从而 a1＝2， 所以an＝n＋1.
第33讲 │ 要点探究
(2)bn＝2n＋1，所以cn＝an＋bn＝(n＋1)＋2n＋1. 所以Sn＝(a1＋b1)＋(a2＋b2)＋…＋(an＋bn) ＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn) ＝[2＋3＋…＋(n＋1)]＋(22＋23＋…＋2n＋1) n(2＋n＋1) 22(1－2n) ＝ ＋ 2 1－ 2 n(n＋ ) ＝ ＋2n＋2－4. 2
第33讲 │ 数列的综合应用
第33讲
数列的综合应用
第33讲 │ 考试说明 考试说明
1 ．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关 系，并能用有关知识解决相应的问题． 2． 了解等差数列与一次函数， 等比数列与指数函数的关系．
第33讲 │ 知识梳理 知识梳理
1．等差数列和等比数列的综合 等差数列中最基本的量是其首项 a1 和公差 d，等比数列 中最基本的量是其首项 a1 和公比 q，解决等差数列和等比数 列的综合问题关键就是根据已知的条件建立方程组，从中解 出数列的这两个基本量，从而解决问题．
高考数学 一轮复习课时作业33第5章 数列4 Word版含答案(数理化网)
所以T1＝b1＝ ；
当n＞1时，Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝ ＋[1×3－1＋2×3－2＋…＋(n－1)×31－n]，
所以3Tn＝1＋[1×30＋2×3－1＋…＋(n－1)×32－n]，
两式相减，得
2Tn＝ ＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n)－(n－1)×31－n
(1)求{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足anbn＝log3an，求{bn}的前n项和Tn。
解析：(1)因为2Sn＝3n＋3，
所以2a1＝3＋3，故a1＝3，
当n＞1时，2Sn－1＝3n－1＋3，
此时2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1，
即an＝3n－1，
所以an＝
(2)因为anbn＝log3an，所以b1＝ 。
答案：A
6．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1－an＝sin ，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2 014＝()
A．1 006 B．1 007C．1 008 D．1 009
解析：由an＋1－an＝sin ⇒an＋1＝an＋sin ，所以a2＝a1＋sinπ＝1＋0＝1，a3＝a2＋sin ＝1＋(－1)＝0，a4＝a3＋sin2π＝0＋0＝0，a5＝a4＋sin ＝0＋1＝1，因此a5＝a1，如此继续可得an＋4＝an(n∈N*)，数列{an}是一个以4为周期的周期数列，而2 014＝4×503＋2，因此S2 014＝503×(a1＋a2＋a3＋a4)＋a1＋a2＝503×(1＋1＋0＋0)＋1＋1＝1 008，故选C。
答案：－1 005
8．等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则a ＋a ＋…＋a ＝__________。
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2012年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一 年增加50%，试问： (1)该市在2018年应该投入多少辆电力型公交车？ (2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的？ (参考数据≈7.5)
16．(12分)[2011·广东卷] 设b＞0，数列{an}满足a1＝b，an ＝(n≥2)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)证明：对于一切正整数n,2an≤bn＋1＋1.
>bn(2＋2＋…＋2) ＝2nbn， ∴2an＝<1＋bn＋1. 当b＝1时，2an＝2＝bn＋1＋1. 综上所述2an≤bn＋1＋1.
课时作业(三十三)B 【基础热身】 1．C [解析] 报纸的厚度为27a＝128a.故选C. 2．B [解析] 依题意有(1－3%)n<0.5，所以n>≈22.8.故选B. 3．C [解析] 逐项计算得该数列的前6项依次为：2,4,8,10,20,22， 故选C. 4．1700 [解析] 从山脚到山顶气温的变化成等差数列，首项为 26，末项为14.1，公差为－0.7，设数列的项数为n，则14.1＝26＋(n－ 1)×(－0.7)，解得n＝18，所以山的高度为h＝(18－1)×100＝1700(米)． 【能力提升】 5．C [解析] 已知变形为－＝－1，设bn＝，则{bn}是等差数列，b1 ＝－1，bn＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，所以an＝－.故选C. 6．C [解析] 由递推公式得a2＝－，a3＝，a4＝，a5＝－，…，所 以数列{an}是周期数列，周期为3，于是a2011＝a2010＋1＝a1＝.故选C. 7．C [解析] 依题意即求Sn最大时的项数n.将两已知等式相减，可 得公差d＝－2，所以3a1＋9d＝99，解得a1＝39，所以an＝39－2(n－1) ＝41－2n.当an>0时，Sn取得最大值，所以41－2n>0，得n<20.5，所以k ＝n＝20.故选C. 8．B [解析] 从上到下各节记为a1，a2，…，a9，公差为d，则有 即解得 所以a5＝a1＋4d＝＋4×＝.故选B. 9．B [解析] 因为S3＝3a2≤9，即a2≤3，且a1>1，a4>3，首项及公 差d为整数，所以可得a1＝2，d＝1，所以an＝n＋1，所以bn＝＝－，b1 ＋b2＋…＋bn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，所以<成立的最大n值为98.故 选B. 10.－1 [解析] 令2011年底的产量为1，则2021年底的产量为4，则 (1＋x)10＝4，所以x＝－1. 11．2 [解析] 由已知得an＋1＝－an，所以a202＝－2，a203＝2，a204 ＝－2，…，可以看出，奇数项为2，偶数项为－2，所以a2011＝2. 12．256 [解析] 令p＝q＝1，则a2＝4，令p＝q＝2，则a4＝16，令p ＝q＝4，则a8＝256. 13．3112 [解析] 由图形知，各行数字的个数构成首项为1，公差为 2的等差数列，所以前10行数字个数的和为10×1＋×2＝100， 故A(11,12)为{an}的第112项，所以A(11,12)＝a112＝3112.
9．已知等差数列{an}的首项a1及公差d都是整数，前n项和为Sn，若 a1>1，a4>3，S3≤9，设bn＝，则使b1＋b2＋…＋bn<成立的最大n值为 ( ) A．97 B．98 C．99 D．100 10．某厂在2011年底制订生产计划，要使2021年底的总产量在原有 基础上翻两番，则年平均增长率为________． 11．[2011·江西重点中学三模] 已知数列{an}中，a201＝2，an＋an＋1 ＝0(n∈N＋)，则a2011＝________. 12．[2011·江西鹰潭一中模拟] 在数列{an}中，若a1＝2，且对任意 的正整数p，q都有ap＋q＝apaq，则a8的值为________． 13．已知an＝3n，把数列{an}的各项排列成如下的三角形状： a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 ……………… 记A(m，n)表示第m行的第n个数，则A(11,12)＝________. 14．(10分)[2011·揭阳一模] 已知数列{an}是首项为2，公比为的等 比数列，Sn为{an}的前n项和． (1)求数列{an}的通项an及Sn； (2)设数列{bn＋an}是首项为－2，公差为2的等差数列，求数列{bn} 的通项公式及其前n项和Tn.
课时作业(三十三)B [第33讲 数列的综合应用] [时间：45分钟 分值：100分] 1．一张报纸厚度为a，对折(沿一组对边的中点连线折叠)7次后，报 纸的厚度为( ) A．8a B．64a C．128a D．256a 2．某放射性物质的质量每天衰减3%，若此物质衰减到其质量的一 半以下，则至少需要的天数是(参考数据lg0.97＝－0.0132，lg0.5＝－ 0.3010)( ) A．22 B．23 C．24 D．25 3．[2011·杭州二中模拟] 在数列{an}中，a1＝2，当n为正奇数 时，an＋1＝an＋2，当n为正偶数时，an＋1＝2an，则a6＝( ) A．11 B．17 C．22 D．23 4．夏季高山上的气温从山脚起每升高100米降低0.7度，已知山脚 气温为26度，山顶气温为14.1度，那么此山相对山脚的高度为________ 米． 5．已知数列{an}中，a1＝－1，an＋1·an＝an＋1－an，则数列通项an ＝( ) A. B. C．－ D．－ 6．[2011·丰台二模] 已知数列{an}中，a1＝，an＝1－(n≥2)， 则a2011＝( ) A．－ B．－ C. D. 7．[2011·江西八校联考] 设数列{an}为等差数列，其前n项和 为Sn，a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93.若对任意n∈N*，都有Sn≤Sk成 立，则k的值为( ) A．22 B．21 C．20 D．19 8．[2011·湖北卷] 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的 竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3 节的容积共4升，则第5节的容积为( ) A．1升 B.升 C.升 D.升
14．[解答] (1)因为数列{an}是首项a1＝2，公比q＝的等比数列， 所以an＝2·n－1＝22－n， Sn＝＝4. (2)依题意得：bn＋an＝－2＋2(n－1)＝2n－4， 所以bn＝2n－4－an＝2n－4－22－n. 设数列{bn＋an}的前n项和为Pn， 则Pn＝＝n(n－3)， 所以Tn＝Pn－Sn＝n(n－3)－4＝n2－3n－4＋22－n. 15．[解答] (1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列 {an}， 其中a1＝128，q＝1.5， 则在2018年应该投入的电力型公交车为 a7＝a1q6＝128×1.56＝1458(辆)． (2)记Sn＝a1＋a2＋…＋an， 依据题意，得>，即Sn>5000， 于是Sn＝>5000， 即1.5n>，则有n>≈7.5，因此n≥8. 所以，到2019年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量 的. 【难点突破】 16．[解答] (1)由a1＝b>0，知an＝>0， ＝＋·. 令An＝，A1＝， 当n≥2时，An＝＋An－1 ＝＋…＋＋A1 ＝＋…＋＋. ①当b≠1时，An＝＝， ②当b＝1时，An＝n. ∴an＝ (2)证明：当b≠1时，欲证2an＝≤bn＋1＋1，只需证2nbn≤(bn＋1＋ 1). ∵(bn＋1＋1)＝b2n＋b2n－1＋…＋bn＋1＋bn－1＋bn－2＋…＋1 ＝bn