高2021届高2018级苏教版步步高大一轮高三数学复习课件第一章 1.5

综上可得，满足条件的实数a的取值范围是[－7,2].
(3)若当a∈[4,6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围.
解 令h(a)＝xa＋x2＋3. 当a∈[4,6]时，h(a)≥0恒成立. 只需hh46≥ ≥00， ， 即xx22＋ ＋46xx＋ ＋33≥ ≥00， ， 解得 x≤－3－ 6或 x≥－3＋ 6. ∴实数 x 的取值范围是(－∞，－3－ 6]∪[－3＋ 6，＋∞).
命题点2 在给定区间上的恒成立问题 例4 已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，求实数 m的取值范围.
解 要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，
即 mx－122＋34m－6<0 在 x∈[1,3]上恒成立. 有以下两种方法： 方法一 令 g(x)＝mx－212＋43m－6，x∈[1,3].
题型二 多维探究 一元二次不等式恒成立问题
命题点1 在R上的恒成立问题 例3 已知函数f (x)＝mx2－mx－1.若对于x∈R，f (x)<0恒成立，求实数m的取 值范围.
解 当m＝0时，f(x)＝－1<0恒成立. 当 m≠0 时，则mΔ＝<0m，2＋4m<0， 即－4<m<0. 综上，－4<m≤0，故m的取值范围是(－4,0].
题组三 易错自纠
4.(多选)关于x的不等式(ax－1)(x＋2a－1)>0的解集中恰有3个整数，则a的值可 以为
√A.－12
B.1
√C.－1
D.2
解析 由题意知a<0，则排除B，D； 对于 A 项，当 a＝－12时，－21x－1(x－2)>0， 即(x＋2)(x－2)<0，解得－2<x<2，恰有3个整数，符合题意； 对于C项，当a＝－1时，(－x－1)(x－3)>0， 即(x＋1)(x－3)<0，解得－1<x<3，恰有3个整数，符合题意，故选AC.
解析 由题意，知－12，－13是方程 ax2－bx－1＝0 的两个根，且 a<0，
所以a×－122－b×－12－1＝0， a×－132－b×－13－1＝0，
解得ab＝ ＝5－. 6，
故不等式x2－bx－a≥0为x2－5x＋6≥0，
解得x≥3或x≤2.
(3)解不等式12x2－ax>a2(a∈R).
解 原不等式可化为12x2－ax－a2>0， 即(4x＋a)(3x－a)>0，令(4x＋a)(3x－a)＝0， 解得 x1＝－a4，x2＝a3. 当 a>0 时，不等式的解集为－∞，－a4∪a3，＋∞； 当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当 a<0 时，不等式的解集为－∞，a3∪－a4，＋∞.
∴a4a9－＋b2b3＋＋22＝＝00，，
解得ab＝ ＝－ －122，， ∴a＋b＝－14.
7.不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0，对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范 围是_(_－__2_,2__] _.
解析 当 a－2≠0 时，由aΔ－<02，<0， 得－2<a<2； 当a＝2时，原式化为－4<0，不等式恒成立， ∴－2<a≤2.即实数a的取值范围是(－2,2].
当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数，
所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0， 所以 m<67，所以 0<m<67； 当m＝0时，－6<0恒成立；
当m<0时，g(x)在[1,3]上是减函数，所以g(x)max＝g(1)，
即m－6<0，所以m<6，所以m<0. 综上所述，m 的取值范围是mm<67
Δ>0， －2ba>0， f 0<0
f (0)<0 f (0)>0
综合结论(不讨 论a)
Δ>0， －2ba<0， a·f 0>0
Δ>0， －2ba>0， a·f 0>0
a·f (0)<0
表二：(两根与k的大小比较)
分布情况
两根都小于k即x1<k， 两根都大于k即
x2<k
x1>k，x2>k
大致图象 (a>0)
拓展视野 一元二次方程根的分布情况
设方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，Δ>0)有不相等的两根为x1，x2，且x1<x2，相应的 二次函数为f (x)＝ax2＋bx＋c，方程的根即为二次函数的图象与x轴交点的横坐 标，它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件). 表一：(两根与0的大小比较即根的正负情况)
.
方法二 因为 x2－x＋1＝x－122＋43>0，
又因为
m(x2－x＋1)－6<0，所以
6 m<x2－x＋1.
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因为函数 所以只需
my＝<76x即2－可6x＋. 1＝x－1262＋34在[
1,3]
上的最小值为76，
所以 m 的取值范围是mm<76
.
引申探究1
若将“f (x)<5－m恒成立”改为“f (x)<5－m无解”，如何求m的取值范围？
两个负根即两根都 两个正根即两根都 一正根一负根即一个根小于 分布情况
小于0(x1<0，x2<0) 大于0(x1>0，x2>0) 0，一个根大于0(x1<0<x2)
大致图 象(a>0)
得出的结论 大致图象(a<0)
得出的结论
Δ>0， －2ba<0， f 0>0
Δ>0， －2ba<0， f 0<0
Δ>0， －2ba>0， f 0>0
解 若f(x)<5－m无解，即f(x)≥5－m恒成立， 即 m≥x2－6x＋1恒成立， 又 x∈[1,3]时，x2－6x＋1max＝6，得 m≥6， 即m的取值范围为[6，＋∞).
引申探究2 若将“f (x)<5－m恒成立”改为“存在x，使f (x)<5－m成立”，如何求m的取 值范围？
解 由题意知f(x)<5－m有解， 即 m<x2－6x＋1有解，则 m<x2－6x＋1max， 又x∈[1,3]，得m<6，即m的取值范围为(－∞，6).
没有实数根
ax2＋bx＋c>0 (a>0) 的解集 ax2＋bx＋c<0 (a>0) 的解集
_{_x_|_x<__x1_或__x_>_x_2_}_ _{_x_|x_1_<_x_<_x_2_}_
x x≠－2ba
__∅__
{x|x∈R} __∅_
概念方法微思考
1.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集与其对应的函数y＝ax2＋bx＋c的图 象有什么关系？ 提示 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是其对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上 方的部分所对应的x的取值范围.
题组二 教材改编
2.已知集合A＝{x|x2－x－6>0}，则∁RA等于
A.{x|－2<x<3}
√B.{x|－2≤x≤3}
C.{x|x<－2或x>3}
D.{x|x≤－2或x≥3}
解析 ∵x2－x－6>0，∴(x＋2)(x－3)>0，∴x>3或x<－2，即A＝{x|x>3或x<－2}. 在数轴上表示出集合A，如图所示. 由图可得∁RA＝{x|－2≤x≤3}. 故选B.
大一轮复习讲义
§1.5 一元二次不等式及其解法
INDEX
基础落实 回扣基础知识 训练基础题目
知识梳理
一元二次不等式的解集
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
二次函数y＝ax2＋bx ＋c (a>0)的图象
Δ＝0
Δ<0
方程ax2＋bx＋c＝0 有两相异实根x1，
(a>0)的根
x2(x1<x2)
有两相等实根x1＝x2 ＝－2ba
题型突破 典题深度剖析 重点多维探究
题型一 多维探究 一元二次不等式的求解
命题点1 不含参的不等式
例1 (2019·济宁模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x＋2≥0}，则∁RA等于
√A.(1,2)
B.[1,2]
C.(－∞，1]∪[2，＋∞)
D.(－∞，1)∪(2，＋∞)
解析 由题意可得，∁RA＝{x|x2－3x＋2<0}＝{x|1<x<2}，表示为区间形式即 (1,2).故选A.
命题点2 含参不等式
例2 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0).
解 原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，
因为 a>0，所以x－a1(x－1)<0.
所以当 a>1 时，解得1a<x<1；
当a＝1时，解集为∅；
当
0<a<1
时，解得
1 1<x<a.
综上，当 0<a<1 时，不等式的解集为x|1<x<1a；
(2)若当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
解 由题意可转化为x2＋ax＋3－a≥0在x∈[－2,2]上恒成立，
则(x2＋ax＋3－a)min≥0(x∈[－2,2]). 令g(x)＝x2＋ax＋3－a，x∈[－2,2]， 函数图象的对称轴方程为 x＝－a2. 当－2a<－2，即 a>4 时，g(x)min＝g(－2)＝7－3a≥0，解得 a≤73，舍去； 当－2≤－a2≤2，即－4≤a≤4 时，g(x)min＝g－a2＝－a42－a＋3≥0， 解得－6≤a≤2，∴－4≤a≤2； 当－2a>2，即 a<－4 时，g(x)min＝g(2)＝7＋a≥0， 解得a≥－7，∴－7≤a<－4.