高等数学(二) 第二次在线作业

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大连理工大学《高等数学》在线作业答卷附标准答案 (2)

正确答案:B
9.
题目见图片
A.
B.
C.
D.
满分：6 分
正确答案:D
10.
题目见图片
A.
B.
C.
D.
满分：6 分
正确答案:B
二、判断题 (共 10 道试题,共 40 分)
1.
题目见图片
A. 错误
大连理工大学《高等数学》在线作业答卷附标准答案
试卷总分:100 得分:100
一、单选题 (共 10 道试题,共 60 分)
1.
题目见图片
A.
B.
C.
D.
满分：6 分
正确答案:B
2.
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A.
B.
C.
D.
满分：6 分
8.
题目见图片
A. 错误
B. 正确
满分：4 分
正确答案:B
9.
题目见图片
A. 错误
B. 正确
满分：4 分
正确答案:B
10.
题目见图片
A. 错误
B. 正确
满分：4 分
正确答案:B
正确答案:C
6.
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A.
B.
C.
D.
满分：6 分
正确答案:B
7.
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A.
B.
C.
D.
满分：6 分
正确答案:D
8.
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B.
C.
D.
满分：6 分
正确答案:B

高等数学第二学期练习题二.doc

高等数学练习题二一、填空题:1•设z=f(x.y),其中/具有连续的二阶偏导数，则2-将二次积分 I = j (V2 dy^ /(x, y)dx + j\〉/(x, y)dx 变为423•设幕级数在"0处收敛，而在“2处发散，则幕级数w=0岸的收敛域为[-1,1).;?=04.函数/(兀)= —关于兀的幕级数展开式为x + 无一25・微分方程dx- (xcos )' + sin 2y)dy = 0满足y(-2) = 0的特解为x = -2(1 4-sin y)・二、单项选择题：请将正确结果的字母写在括号内。

6・函数z = /(x,y)在点(心，沟)处两个偏导数(兀o ，)b )，/；(勺‘沟)存在是f^y)在该点可微分的【B ](A)充分条件(B)必要条件极坐标系下的二次积分后可得心加&加(厂COS& 4,rsin 0)rdrOOZ /?=0(-1严。

舁+132zdxd y(C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件7•设厶是曲线＞' = -71^7上点A(l,0)与点3(0,-1)间的一段弧，则曲线积分[/(x, y)ds =(A) J ；；f (cos&,sin 0)d0T(C) Jo 2/ (cos 0,sin &)d& 8.下列级数中条件收敛的是oo(C) zn=l 9.曲面2” + y2 + 3z2 = 6在点(1,1,_1)处的切平面方程为(D) x+ y-3z = 610.微分方程嘤-3字+ 2尸(兀+1)0的一个特解可设为【D ]ax" dx(A) Axe 2x(B) (Ax-\-B)e 2x(C) Ax 2e 2x(D) (Ax+B)xe-X三、计算下列各题：11・求原点到曲面z 2 =xy-^x-y-^4的最短距离。

【解】设点M (兀,y,z)为曲面 z 2=xy + x- y + 4上任一点，则该点与原点距离的平方和为:f(x,y\z) = d 2=x 2 + y 2 + z 2只要求距离的平方和最小即可，约束条件： xy + x-y + 4-z 2=0 设 F(x,y,z) = x 2+ y 2+z 2+2(小 + 兀一 y + 4-z?)⑻Jl 一兀$ 側(D) J jd&J ；/(厂cos0,厂sin&)厂d 厂(A ) £(-ir//=! n n+\(—1)"(A) x + 2y-3z = 6(B) x + 4y-3z = 6(D ) £(-irn=]xy + x-y^A-z 1=0故，原点到曲面 z 2 =xj + x-y + 4的最短距离为：V3 ■原式訂MM ：：；牛2血M几兀(、(7、=—(4cos 2(p-sec 2^jsin (pd(p = — --2^213.计算曲面积分 / = JJ 2xz 2dydz + y(z? +1)dz</r + (9-z 3)dxdy ,其中工是曲面z = x 2 + r+i 被平面*2所截下部分的下侧。

高等数学二试题及答案

高等数学二试题及答案试题一：1. (10分) 在直角坐标系中，曲线 $y = \sqrt{x}$ 与 $y = -\sqrt{x}$ 交于两点 $A$ 和 $B$，且两点的横坐标之差为 $4$，求 $A$、$B$ 两点的坐标。

试题一答案解析：解析：我们可以通过将两个函数相等，来找到交点的横坐标。

$\sqrt{x} = -\sqrt{x}$将等式两边平方，得到$x = x$因此，两个函数相等的条件是 $x=0$。

又因为两个函数在对称轴 $y$ 轴上对称，所以 $A$、$B$ 两点的横坐标之差为 $4$，即 $B$ 点的横坐标是 $4$。

所以，$A$、$B$ 两点的坐标分别为 $(0, 0)$ 和 $(4, 0)$。

试题二：2. (15分) 计算 $\int_{0}^{1} (x^4 - 2x + 1) \ dx$。

试题二答案解析：解析：首先，我们需要对被积函数进行积分。

$\int_{0}^{1} (x^4 - 2x + 1) \ dx$通过对多项式逐项积分，得到$\int_{0}^{1} x^4 \ dx - \int_{0}^{1} 2x \ dx + \int_{0}^{1} 1 \ dx$根据积分的定义，我们可以进行求解：$\frac{1}{5}x^5 \Bigg|_{0}^{1} - x^2 \Bigg|_{0}^{1} + x\Bigg|_{0}^{1}$代入上下限进行计算，结果为：$\frac{1}{5} - 1 + 1 = \frac{1}{5}$所以，$\int_{0}^{1} (x^4 - 2x + 1) \ dx = \frac{1}{5}$。

试题三：3. (20分) 求函数 $f(x) = e^{2x}$ 在区间 $[0, 1]$ 上的最小值。

试题三答案解析：解析：对于给定的区间 $[0, 1]$，我们需要找到函数 $f(x) =e^{2x}$ 在该区间上的最小值。

首先，求函数的导数 $f'(x)$：$f'(x) = 2e^{2x}$在 $[0, 1]$ 区间上，我们可以通过求解导数为 $0$ 的点来找到函数的极值点。

高等数学(二)试题及答案

高等数学（二）05062B一、填空题（每题4分）（1）微分方程)1()1(322y x y +-='的通解____________（2）直线⎩⎨⎧=-+=-+212z y x z y x 的方向向量（3）设),(y x z z =是由0=-xyz e z 所确定的函数,则x z ∂∂= （4）过原点P （1，2，3）且与原点与P 的连线垂直的平面方程为（5）改变积分次序⎰⎰--21222),(x x x dy y x f dx = （6）∑∞=-+1)2)1(1(n n nn 是（收敛、发散）级数（7）∑∞=-122)1(n n nn x 的收敛半径R= 收敛域二、计算题（8）（10分）D xydxdy D,⎰⎰是有直线0,2,=-==y x y x y 所围成的闭区域（9）（6分）判别级数∑∞=⋅1!5n n nn n 的收敛性（10）（10分）求内接于半径为a 的球且有最大体积的长方体（11）（10分）求曲面2132222=++z y x 的平行于平面064=++z y x 的切平面方程（12）（10分）把2)4(1)(x x f -=展开成x 的幂级数，并求出收敛区间.（13）（8分）求微分方程xy x y 2sin tan '=⋅+的通解。

（14）（10分）设函数)(x φ连续，且满足⎰-+=x dt t x t x x 02)()()(φφ，求)(x φ（15）（8分）求由2,2+==x y x y 围成图形的面积，以及此图形绕x 轴旋转一周所得立体的体积高等数学（二）05062B 解答及评分标准一、填空题（每题4分）（1）])1tan[(3C x y +-= （2）{}1,1,0 （3）xye yz z - （4）1432=++z y x （5）⎰⎰-+-101122),(y y dx y xf dy （6）发散（7）2；)2,2(-二、计算题（8）解：{}y x y y y x D -≤≤≤≤=2,10),(……………….2分 ⎰⎰⎰⎰-=y y D xydx dy xydxdy 210……………….6分⎰⎰+-=⋅=-1022102)244(|2dy y y x y dy y y …….8分 31321023=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=y y ……………10分（9）解：!5)!1(5)1(lim lim 111n n n n u u n nn n n n n n ⋅++=++∞→+∞→……………………3分 155)11(lim <=+=∞→e n nn ………………………………..4分故原级数收敛…………………………………….6分（10）解：建立空间直角坐标系，原点在球心设在第一卦限的长方体的顶点为),,(z y x则xyz V 8= 且满足2222a z y x =++……………..3分)(82222a z y x xyz L -+++=λ……………………5分 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+==+==+=)4()3(028)2(028)1(0282222a z y x z xy L y xz L x yz L zy x λλλ由)3)(2)(1(得z y x == 由)4(得a z y x 33===……8分当长方体为正方体且边长为a 332时体积最大……………10分（11）解：设切点),,(000z y x ，则有 {}0006,4,2z y x n =………………2分有条件得：664412000z y x ==，即0002z y x ==及2132202020=++z y x ……4分解得：2,1000±==±=z y x …………………………………………………6分曲面2132222=++z y x 的平行于平面064=++z y x 的切平面方程为： 2164±=++z y x ……………………………………………………10分（12）解：14)4(4141141410<⋅=-⋅=-∑∞=x x x x n n …………5分两边求导2)4(1x -= 14)4(4112<⋅-∞=∑x x n n n ………………10分（13）解：x x Q x x P 2sin )(,tan )(==])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +⎰⎰=⎰-…………………………4分]2sin [tan tan C dx xe e xdx xdx +⎰⎰=⎰-)cos 2(cos c x x +-=……………………………………………………8分（14）解：两边求导数，得⎰-=xdt t x x 0)(2)('φφ 及 )(2)(''x x φφ-=（1）0)( )( "=+x x φφ的特征方程为01 2=+ri r i r -==21,，则：x c x c y sin cos 21+=………………………………4分（2）观察知2)(*=x φ …………………………………………6分（3）通解为：2sin cos )(21++=x c x c x φ…………………………8分 0)0(=φ，0)0('=φ 得：0,221=-=c c即：2cos 2)(+-=x x φ……………………………………………10分（15）解：)4,2(),1,1(22-⇒⎩⎨⎧+==x y x y{}2,21|),(2+≤≤≤≤-=x y x x y x D …………2分dx x x S )2(212⎰--+=………………………………3分 =29)31221(2132=-+-x x x ………………………4分 dx x dx x V ⎰⎰---+=214212)2(ππ…………………………6分 =ππ572]51)2(31[2153=-+-x x ………………………………8分版权所有，翻版必究、本事。

高等数学第二次在线作业

高等数学（二）第二次在线作业单选题 (共30道题)展开收起1.（2.5分）•A、.•B、.•C、.•D、.我的答案：D 此题得分：2.5分2.（2.5分）•A、.•B、.•C、.•D、.我的答案：C 此题得分：2.5分3.（2.5分）•A、.•B、.•C、.•D、.我的答案：D 此题得分：2.5分4.（2.5分）•A、.•B、.•C、.•D、.我的答案：C 此题得分：2.5分5.（2.5分）•A、.•B、.•C、.•D、.我的答案：C 此题得分：2.5分6.（2.5分）•A、.•B、.•C、.•D、.我的答案：B 此题得分：2.5分7.（2.5分）•A、.•B、.•C、.•D、.我的答案：D 此题得分：2.5分8.（2.5分）•A、.•B、.•C、.•D、.我的答案：C 此题得分：2.5分9.（2.5分）•A、.•B、.•C、.•D、.我的答案：A 此题得分：2.5分10.（2.5分）•A、.•B、.•C、.我的答案：B 此题得分：2.5分11.（2.5分）•A、.•B、.•C、.•D、.我的答案：B 此题得分：2.5分12.（2.5分）•A、.•B、.•C、.•D、.我的答案：A 此题得分：2.5分13.（2.5分）•B、.•C、.•D、.我的答案：C 此题得分：2.5分14.（2.5分）•A、.•B、.•C、.•D、.我的答案：B 此题得分：2.5分15.（2.5分）•A、.•B、.•C、.•D、.我的答案：C 此题得分：2.5分16.（2.5分）•B、.•C、.•D、.我的答案：D 此题得分：2.5分17.（2.5分）•A、.•B、.•C、.•D、.我的答案：A 此题得分：2.5分18.（2.5分）•A、.•B、.•C、.•D、.我的答案：C 此题得分：2.5分19.（2.5分）•A、.•B、.•C、.•D、.我的答案：B 此题得分：2.5分20.（2.5分）•A、.•B、.•C、.•D、.我的答案：C 此题得分：2.5分21.（2.5分）•A、.•B、.•C、.•D、.22.（2.5分）•A、.•B、.•C、.•D、.我的答案：B 此题得分：2.5分23.（2.5分）•A、.•B、.•C、.•D、.我的答案：C 此题得分：2.5分24.（2.5分）•A、.•B、.•C、.•D、.25.（2.5分）•A、.•B、.•C、.•D、.我的答案：A 此题得分：2.5分26.（2.5分）•A、.•B、.•C、.•D、.我的答案：B 此题得分：2.5分27.（2.5分）•A、.•B、.•C、.•D、.我的答案：A 此题得分：2.5分28.（2.5分）•A、.•B、.•C、.•D、.我的答案：D 此题得分：2.5分29.（2.5分）•A、.•B、.•C、.•D、.我的答案：C 此题得分：2.5分•A、.•B、.•C、.•D、.我的答案：B 此题得分：2.5分判断题 (共10道题)展开收起31.（2.5分）•正确•错误我的答案：正确此题得分：2.5分32.（2.5分）•正确•错误我的答案：错误此题得分：2.5分•正确•错误我的答案：正确此题得分：2.5分34.（2.5分）•正确•错误我的答案：错误此题得分：2.5分35.（2.5分）•正确•错误我的答案：错误此题得分：2.5分36.（2.5分）•正确•错误我的答案：正确此题得分：2.5分•正确•错误我的答案：错误此题得分：2.5分38.（2.5分）•正确•错误我的答案：错误此题得分：2.5分39.（2.5分）•正确•错误我的答案：正确此题得分：2.5分40.（2.5分）•正确•错误我的答案：正确此题得分：2.5分。

《高等数学(二)》作业及参考答案

《高等数学(二)》作业一、填空题1．点A （2，3，-4）在第卦限。

2．设22(,)sin,(,)yf x y x xy y f tx ty x=--=则 .3。

4．设25(,),ff x y x y y x y∂=-=∂则。

5．设共域D 由直线1,0x y y x ===和所围成，则将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为累次积分得。

6．设L 为连接（1，0）和（0，1）两点的直线段，则对弧长的曲线积分()Lx y ds +⎰= 。

7．平面2250x y z -++=的法向量是。

8．球面2229x y z ++=与平面1x y +=的交线在0x y 面上的投影方程为。

9．设22,z u v ∂=-=∂z而u=x-y,v=x+y,则x。

10．函数z =的定义域为。

11．设n 是曲面22z x y =+及平面z=1所围成的闭区域，化三重积为(,,)nf x y z dx dy dz ⎰⎰⎰为三次积分，得到。

12．设L 是抛物线2y x =上从点（0，0）到（2，4）的一段弧，则22()Lx y dx -=⎰。

13．已知两点12(1,3,1)(2,1,3)M M 和。

向量1212M M M M =的模；向量12M M 的方向余弦cos α= ，cos β= ，cos γ= 。

14．点M （4，-3，5）到x 轴的距离为。

15．设sin ,cos ,ln ,dzz uv t u t v t dt=+===而则全导数。

16．设积分区域D 是：222(0)x y a a +≤>，把二重积分(,)Df x y dx dy ⎰⎰表示为极坐标形式的二次积分，得。

17．设D 是由直线0,01x y x y ==+=和所围成的闭区域，则二重积分Dx d σ⎰⎰= 。

18．设L 为XoY 面内直线x=a 上的一段直线，则(,)Lp x y dx ⎰= 。

19．过点0000(,,)p x y z 作平行于z 轴的直线，则直线方程为。

高等数学2课后习题答案

高等数学2课后习题答案高等数学2课后习题答案高等数学2作为大学数学课程的一部分，是一门相对较难的课程。

在学习过程中，课后习题是巩固和深化知识的重要手段。

然而，对于许多学生来说，课后习题往往是一个难以逾越的障碍。

因此，为了帮助大家更好地学习和掌握高等数学2，本文将提供一些常见习题的答案及解析。

一、极限与连续1. 计算极限这类题目主要考察对极限的计算能力。

在计算过程中，我们需要运用一些基本的极限性质和运算法则。

例如，当求解形如lim(x→a) (f(x) + g(x))时，我们可以利用极限的加法法则，将其拆分为lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)。

2. 判断函数的连续性对于连续性的判断，我们需要掌握连续函数的定义和连续函数的性质。

例如，根据连续函数的定义，如果一个函数在某个点a处连续，那么lim(x→a) f(x) = f(a)，这是判断函数连续性的一个重要条件。

二、导数与微分1. 求导函数求导函数是导数与微分章节的重点内容之一。

在求导函数时，我们需要掌握导数的基本定义和运算法则。

例如，当求解f(x) = x^n的导数时，我们可以利用幂函数的导数公式，即f'(x) = n*x^(n-1)。

2. 利用导数求解问题在实际问题中，我们常常需要利用导数来求解一些相关的问题。

例如，求解函数的极值点、判断函数的单调性等。

在这类题目中，我们需要将问题转化为数学模型，然后利用导数的性质来求解。

三、定积分1. 计算定积分计算定积分是定积分章节的核心内容之一。

在计算过程中，我们需要掌握定积分的基本定义和运算法则。

例如，当计算∫[a,b] f(x)dx时，我们可以利用定积分的性质，将其转化为求解不定积分的问题。

2. 利用定积分解决几何问题定积分在解决几何问题中有着广泛的应用。

例如，我们可以利用定积分来计算曲线与坐标轴所围成的面积、计算曲线的弧长等。

在这类题目中，我们需要将几何问题转化为数学模型，然后利用定积分的性质来求解。

陕西师范大学网络教育《高等数学(二)》作业及参考答案

《高等数学(二)》作业一、填空题1．点A （2，3，-4）在第 VIII 卦限。

2．设22(,)sin,(,)yf x y x xy y f tx ty x=--=则 2(,)t f x y .3x y y-的定义域为 {}(,)0x y x y ≥> 。

4．设25(,),f f x y x y y x y∂=-=∂则245x x y - 。

5．设共域D 由直线1,0x y y x ===和所围成，则将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为累次积分得111(,)(,)xydx f x y dy dy f x y dx ⎰⎰⎰⎰或。

6．设L 为连接（1，0）和（0，1）两点的直线段，则对弧长的曲线积分()Lx y ds +⎰=2 。

7．平面2250x y z -++=的法向量是（2，-2，1）。

8．球面2229x y z ++=与平面1x y +=的交线在0x y 面上的投影方程为{222(1)90x y x z ++-== 。

9．设22,z u v ∂=-=∂z而u=x-y,v=x+y,则x-4y 。

10．函数z x y =-的定义域为 }{2(,)0,0,x y x y x y ≥≥> 。

11．设n 是曲面22z x y =+及平面z=1所围成的闭区域，化三重积为(,,)nf x y z dx dy dz ⎰⎰⎰为三次积分，得到222211111(,,)x x x y dx f x y z dz ---+⎰⎰ 。

12．设L 是抛物线2y x =上从点（0，0）到（2，4）的一段弧，则22()Lx y dx -=⎰ 5615-。

13．已知两点12(1,3,1)(2,1,3)M M 和。

向量1212M M M M =的模 3 ；向量12M M 的方向余弦cos α=1/3 ，cos β= -2/3 ，cos γ= 2/3 。

14．点M （4，-3，5）到x 轴的距离为 34 。

高等数学2试题及答案

高等数学2试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)的值。

A. 3x^2-3B. x^3-3C. 3x^2-1D. 3x^2+3答案：A2. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx的值。

A. 0B. 1/3C. 1/2D. 2答案：B3. 计算级数∑(1/n^2)（n从1到∞）的和。

A. 1B. π^2/6C. eD. ∞答案：B4. 设函数f(x)=sin(x)，则f'(x)等于：A. cos(x)B. -sin(x)C. cos(x)-xD. -cos(x)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2-4x+4，求f(x)的最小值。

答案：02. 计算极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值。

答案：13. 设函数f(x)=e^x，求f''(x)的值。

答案：e^x4. 设函数f(x)=ln(x)，则f(1)的值为：答案：0三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。

解：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1或x=11/3。

经检验，x=1为极小值点，x=11/3为极大值点。

2. 计算定积分∫(0,π) sin(x) dx。

解：∫(0,π) sin(x) dx = (-cos(x))|_0^π = 2。

3. 求级数∑((-1)^n * 1/n)（n从1到∞）的和。

解：该级数为交错级数，且满足收敛条件，因此其和为ln(2)。

4. 求函数f(x)=x^2-4x+c的顶点坐标。

解：顶点的x坐标为x=-b/2a=2，将x=2代入函数得y=-4+c，因此顶点坐标为(2, -4+c)。

5. 求函数f(x)=x^3-3x+1在x=2处的切线方程。

解：首先求导数f'(x)=3x^2-3，将x=2代入得f'(2)=9，f(2)=3。

19秋福师《高等数学》在线作业二[2]答案

【奥鹏】19秋福师《高等数学》在线作业二
试卷总分:100 得分:100
一、单选题（共15题，30分）
1、函数y=|x|+2的极小值点是( )
A0
B1
C2
D3
[仔细分析上述题目，并作出选择]
正确答案是：B
2、f(x)是给定的连续函数，t>0,则t∫f(tx)dx , 积分区间（0->s/t）的值（）A依赖于s，不依赖于t和x
B依赖于s和t，不依赖于x
C依赖于x和t，不依赖于s
D依赖于s和x，不依赖于t
[仔细分析上述题目，并作出选择]
正确答案是：A
3、∫(1/(√x (1+x))) dx
A等于arccot√x+C
B等于1/((2/3)x^(3/2)+(2/5)x^(5/2))+C
C等于(1/2)arctan√x+C
D等于2√xln(1+x)+C
[仔细分析上述题目，并作出选择]
正确答案是：A
4、g(x)=1+x,x不等0时，f[g（x）]=(2-x)/x,则f‘(0)=( )
A2
B
C1
D
[仔细分析上述题目，并作出选择]
正确答案是：B
5、∫f(x)dx=F(x)+C,a≠0, 则∫f(b-ax)dx 等于( )
AF(b-ax)+C
B-(1/a)F(b-ax)+C
CaF(b-ax)+C
D(1/a)F(b-ax)+C
[仔细分析上述题目，并作出选择]
正确答案是：B。

高三数学下学期第二次线上统一测试试题理含解析试题

2021届高三数学下学期第二次线上统一测试试题理〔含解析〕本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

本套试卷一共6页，23小题，满分是150分.考试用时120分钟.一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.11|22,|ln 022x A x B x x ⎧⎫⎧⎫⎛⎫=<≤=-≤⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭⎩⎭,那么()R A B =( )A. ∅B. 11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦C. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. (]1,1-【答案】B 【解析】【分析】求解指数不等式与对数不等式化简集合A 、B ，再由交、并、补集的混合运算得答案．【详解】1{|22}{|11}2x A x x x =<=-<，113{|()0}{|}222B x ln x x x =-=<， 3{|2R B x x ∴=>或者1}2x，那么12(1,)A B ⎛⎤- ⎥⎝⎦=R ．应选：B ．【点睛】此题考察指数不等式与对数不等式的解法，考察集合的交、并、补混合运算，属于根底题.()cos sin cos sin nx i x nx i nx +=+〔i 为虚数单位〕是由法国数学家棣莫弗〔1667-1754〕发现的，根据棣莫弗公式可知，复数6cos sin 55i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在复平面内所对应的点位于〔〕A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C 【解析】由题意666cos sin cos sin5555i i ππππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，根据复数的几何意义结合6cos 05π<、6sin 05π<即可得解.【详解】由题意666cos sin cos sin5555i i ππππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， ∴该复数在复平面内所对应的点为66cos ,sin 55ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，6cos5π<，6sin 05π<，∴该复数在在复平面内所对应的点位于第三象限. 应选：C.【点睛】此题考察了新概念在复数中的应用，考察了复数的几何意义和三角函数的符号确定，属于根底题.()3,1和()4,6-在直线320x y a -+=的两侧，那么实数a 的取值范围是〔〕A. 724a -<<B. 7a =或者24a =C. 7a <或者24a >D. 247a -<<【答案】A 【解析】【分析】由点与直线的位置关系，转化为不等式求解即可得解. 【详解】点()3,1和()4,6-在直线320x y a -+=的两侧，∴()()332134260a a ⨯-⨯+⋅⨯--⨯+<⎡⎤⎣⎦即()()7240a a +-<，解得724a -<<. 应选：A.【点睛】此题考察了二元一次不等式表示的平面区域，关键是把点与直线的位置关系转化为不等式，属4.()1()3,1,2,1,x a x a x f x a x ⎧-+<⎪=⎨⎪≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么实数a 的取值范围是〔〕 A. 0,1B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 11,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 1,16⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】由分段函数的单调性可转化条件得10201132a a a a a⎧-<⎪⎪<<⎨⎪⎪-+≥⎩，解不等式组即可得解.【详解】()1()3,1,2,1,x a x a x f x a x ⎧-+<⎪=⎨⎪≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数， ∴10201132a a a a a⎧-<⎪⎪<<⎨⎪⎪-+≥⎩，解得1162a ≤<.应选：C.【点睛】此题考察了分段函数单调性的问题，属于根底题.5.如图，在ABC 中，AD AB ⊥，3BC BD =，1AD =，那么AC AD ⋅=〔〕A. 3B.32C.333【解析】∵3AC AB BC AB BD =+=+，∴(3)3AC AD AB BD AD AB AD BD AD ⋅=+⋅=⋅+⋅，又∵AB AD ⊥，∴0AB AD ⋅=，∴33cos 3cos 33AC AD BD AD BD AD ADB BD ADB AD ⋅=⋅=⋅∠=⋅∠==，应选D ．6.一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的程度放置的直观图是一个边长为1的正方形，那么此四棱锥的体积为〔〕A .B. C.13D.【答案】D 【解析】【分析】由原图与直观图的面积比可求得该四棱锥的底面积，利用棱锥体积公式即可得解.【详解】由题意结合原图与直观图的面积比为S =那么该四棱锥的体积为11333V Sh ==⨯=. 应选：D.【点睛】此题考察了原图与直观图之间的关系，考察了棱锥体积的计算，属于根底题.{}n a 中，n S 为其前n 项的和，81335a a =，且10a >，假设n S 获得最大值，那么n 为〔〕A. 20B. 21C. 22D. 23【答案】A 【解析】【分析】转化条件得1392a d =-，进而可得200a >，210a <，即可得解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由81335a a =可得()()1137512a d a d +=+即1392a d =-，10a >，∴0d <，数列{}n a 为递减数列，∴12011902a a d d =+=->，12112002a a d d =+=<，∴当20n =时，n S 获得最大值.应选：A.【点睛】此题考察了等差数列通项公式的应用，考察了等差数列前n 项和最大值的问题，属于根底题.28y x =，过点()2,0A 作倾斜角为的直线3π，假设l 与抛物线交于B 、C 两点，弦BC 的中垂线交x 轴于点P ，那么线段AP 的长为〔〕A.163B. 83D. 【答案】A 【解析】【分析】由题意可得直线:2BC x y +，联立方程组即可求得BC 中点103M ⎛ ⎝⎭，进而可得直线10:3MP y x ⎫=-⎪⎝⎭，求出点22,03P ⎛⎫⎪⎝⎭后即可得解.【详解】由题意可得直线:2BC x y =+，设()11,B x y ，()22,C x y ，BC 中点()00,M x y ，联立方程组282y x x y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消去x得21603y y --=，易得>0∆，∴1102y y y +==，∴001023x y =+=，∴点103M ⎛ ⎝⎭，又 MP BC ⊥，∴13MP BC k k =-=-，∴直线10:333MP y x ⎫-=--⎪⎝⎭，令0y =可得223x =即点22,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴线段2216233AP =-=. 应选：A.【点睛】此题考察了直线与抛物线的综合问题，属于中档题.()()sin f x x ωϕ=+0,2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π，把它图象向右平移3π个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数.现有以下结论： ①函数()f x 的图象关于直线512x π=对称②函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 ③函数()f x 在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减④函数()f x 在3,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有3个零点其中所有正确结论的编号是〔〕 A. ①② B. ③④C. ②③D. ①③【答案】D 【解析】【分析】利用函数最小正周期和平移后的对称性可得()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭；代入512x π=即可判断①；代入12x π=即可判断②；由,212x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，42,332x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦即可判断③；由3,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，82,363x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦即可判断④；即可得解.【详解】函数()f x 的最小正周期是T π=，∴222T ππωπ===，函数()f x 的图象向右平移3π个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数， ∴函数()f x 的图象过点,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭即2sin 03πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，∴()23k k Z πϕ=π-+∈即()23k k Z πϕπ=+∈，由2πϕ<可得3πϕ=-，∴()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭；当512x π=时，()5sin 2sin 11232f x πππ⎛⎫=⨯-== ⎪⎝⎭，故①正确；当12x π=时，()1sin 2sin 12362f x πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故②错误；当,212x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时， 432,,33222x πππππ⎡⎤⎡⎤-∈--⊆--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故③正确；当3,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，82,363x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，故函数()f x 在3,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个零点，故④错误.应选：D.【点睛】此题考察了三角函数图象的综合应用，考察了整体法的应用，属于中档题.10.甲、乙两队进展排球比赛，根据以往的经历，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.设各局比赛互相间没有影响，且每场比赛均要分出胜负，假设采用五局三胜制，那么甲以3:1获胜的概率是〔〕【答案】B 【解析】【分析】由题意可得甲在前3局中获胜两局且第4局获胜，由HY 性重复实验的概率公式计算即可得解. 【详解】由题意假设要甲以3:1获胜那么需要甲在前3局中获胜两局且第4局获胜，那么所求概率()()2230.610.60.60.2592p C =⋅⋅-⋅=.应选：B.【点睛】此题考察了HY 性重复实验概率的求解，考察了转化化归思想，属于中档题.()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，当[]2,3x ∈时，()f x x =，那么[]2,0x ∈-时，()f x 的解析式为〔〕 A. ()21f x x =++ B. ()31f x x =-+ C. ()2f x x =- D. ()4f x x =+【答案】B 【解析】【分析】根据函数的奇偶性和周期性可得[]2,1x ∈--、[]1,0x ∈-时()f x 的解析式，即可得解. 【详解】()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，∴当[]2,1x ∈--时，[]42,3x +∈，()()44f x f x x =+=+；当[]1,0x ∈-时，[]22,3x -+∈，()()()22f x f x f x x =-=-+=-+，∴当[]2,0x ∈-时，()31f x x =-+.应选：B.【点睛】此题考察了利用函数的奇偶性和周期性确定函数的解析式，属于中档题.12.如图，长方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱AB 、11A D 1DB 与平面EFC 的交点O ，那么1DOOB 的值是〔〕A. 45B. 35C. 13D. 23【答案】A 【解析】【分析】在线段11C D 上取点G 使11114D G C D =，连接11B D 、FG 且11B D FG ⋂=N ，设BDCE M =，连接MN ，由平面相交的性质可得1MN DB O ⋂=，利用三角形相似求得11156B N B D =、23DM DB =，再利用三角形相似即可得解.【详解】在线段11C D 上取点G 使11114D G C D =，连接11B D 、FG 且11B D FG ⋂=N ，设BDCE M =，连接MN ，由E 、F 分别为棱AB 、11A D 的中点易得//FG CE ，即G ⊂面EFC ，由11//B D BD 可知1D ⊂面1B BD ，所以面EFC ⋂面1B BD NM =，又 1DB ⊂面1B BD ，所以直线1DB 与平面EFC 的交点O 即为MN 与1DB 的交点，取11B D 的中点Q ，由1D GN QFN ∽可得112D N QN =，所以11156B N B D =，由BEM DCM ∽可得12BM DM =，所以23DM DB =，由11B D BD =可得145DM B N =，由1DMO B NO ∽可得1145DM D O B B N O ==. 应选：A.【点睛】此题考察了平面的性质和平面相交的性质，考察了空间思维才能和转化化归思想，属于中档题. 二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.13.x 轴为曲线()()34411f x x a x =+-+的切线，那么a 的值是________.【答案】14【解析】【分析】设x 轴与曲线()f x 的切点为()0,0x ，由题意结合导数的几何意义可得()()()3002004411012410x a x f x x a ⎧+-+=⎪⎨=+-='⎪⎩，解方程即可得解.【详解】由题意()()21241f x x a '=+-，设x 轴与曲线()f x 的切点为()0,0x ，那么()()()3002004411012410x a x f x x a ⎧+-+=⎪⎨=+-='⎪⎩，解得01214x a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 故答案为：14. 【点睛】此题考察了导数几何意义的应用，考察了运算才能，属于根底题. 14.n S 为数列{}n a 的前n 项和，假设22n n S a =-，那么54–S S =________. 【答案】32 【解析】【分析】由11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩结合题意可得2nn a =，再利用545–S S a =即可得解.【详解】当1n =时，11122a S a ==-解得12a =；当2n ≥时，()112222n n n n n a S S a a --=-=---，整理得12n n a a -=，所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，1222n nn a -=⋅=，所以54553–22S S a ===.故答案为：32.【点睛】此题考察了n a 与n S 关系的应用，考察了等比数列的断定和通项公式的应用，属于根底题.,,A B C 三个片区，设每位申请人只能申请其中一个片区的房子，申请其中任一个片区的房屋是等可能的，那么该的任4位申请人中，申请的房源在2个片区的概率是_________. 【答案】1427【解析】【分析】由题意可得4位申请人申请的房源所在片区的情况一共有4381=种，分别求出有三人在同一区域另一人在另一区域的情况数和有两人在同一区域另两人在另一区域的情况数，利用古典概型概率的公式即可得解.【详解】由题意可得4位申请人申请的房源所在片区的情况一共有4381=种；假设4位申请人中，有三人在同一区域另一人在另一区域的情况一共有324324C A ⋅=种；有两人在同一区域另两人在另一区域的情况一共有2224232218C C A A ⋅⋅=种；故所求概率2418148127p +==. 故答案为：1427. 【点睛】此题考察了排列组合的综合应用，考察了古典概型概率的求解，属于中档题.16.在平面直角坐标系中，过椭圆22221x y a b+=()0a b >>的左焦点F 的直线交椭圆于,A B 两点，C 为椭圆的右焦点，且ABC ∆是等腰直角三角形，且90A ∠=︒，那么椭圆的离心率为_________.-【解析】【分析】设ACm ，由题意结合椭圆性质可得2AFa m ，242BC a BF am ，由等腰直角三角形性质可得1224am m ，再由直角三角形性质可得222FC AFAC ，最后利用c e a=即可得解.【详解】如下图，设ACm，由椭圆定义可得2AF a m ，ABC 是等腰直角三角形，且90A ∠=︒，∴ACAB m ，22BF AB AFm a ，242BC a BF a m ，∴422BC a mACm，∴1224am m ，∴22m AF ，在Rt AFC 中，222232FC AF ACm ，∴624FC mc ， ∴6463122224c eamm .-.【点睛】此题考察了椭圆性质的应用和离心率的求解，考察了计算才能，属于中档题.三、解答题：一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答题.第22、23题为选考题，考生根据要求答题. 〔一〕必考题：一共60分.ABC ∆中，内角A 、B 、C 对边分别是a 、b 、c ，2sin sin sin B A C =.〔1〕求证：03B π<≤；〔2〕求222sinsin 1A CB +-+的取值范围. 【答案】〔1〕证明见解析〔2〕(2⎤⎦ 【解析】【分析】〔1〕由正弦定理结合条件得2b ac =，再由余弦定理结合根本不等式可得1cos 2B ≥，由三角函数的性质即可得证；〔2〕由三角函数的性质化简得22sinsin 1224A C B B π+⎛⎫++= ⎝-⎪⎭，结合〔1〕中03B π<≤即可得74412B πππ<+≤，即可得解. 【详解】〔1〕证明：由正弦定理可得2b ac =,∴22221cos 222a cb ac ac B ac ac +--=≥=，0B π<<,03B π∴<≤.〔2〕由题意222sinsin 1A C B +-+()cos sin A C B =-++cos sin 2sin 4B B B π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由〔1〕知03B π<≤，∴74412B πππ<+≤，∴12sin 24B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，即222sinsin 1A CB +-+的取值范围是(1,2⎤⎦. 【点睛】此题考察了正弦定理、余弦定理和三角函数的综合问题，考察了根本不等式的应用，属于中档题.18.如下图，四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，1SA AB BC CD ====，2AD =.〔1〕在棱SD 上是否存在一点P ，使得//CP 平面SAB ？请证明你的结论；〔2〕求平面SAB 和平面SCD 所成锐二面角的余弦值. 【答案】〔1〕存在；证明见解析〔2〕14【解析】【分析】〔1〕当点P 为棱SD 的中点时，//CP 平面SAB ；取SA 的中点F ，连结FP 、FB 、PC ，由结合中位线的性质可得//FP BC 且FP BC =，进而可得//CP BF ，由线面平行的断定即可得证；〔2〕由题意建立空间直角坐标系，求出各点坐标，再求出平面SAB 的一个法向量为1n 与平面SCD 的一个法向量为2n ，利用121212cos ,n n n n n n ⋅=⋅即可得解.【详解】〔1〕当点P 为棱SD 的中点时，//CP 平面SAB . 证明如下：取SA 的中点F ，连结FP 、FB 、PC ，那么//FP AD 且12FP AD =， //AD BC ，112BC AD ==， ∴//FP BC 且FP BC =， ∴四边形FBCP 为平行四边形， ∴//CP BF ，CP平面SAB ，BF ⊂平面SAB ，∴//CP 平面SAB .〔2〕在平面ABCD 内过点A 作直线AD 的垂线Ax ，SA ⊥平面ABCD ，∴SA AD ⊥，SA Ax ⊥，∴直线AS 、Ax 和AD 两两垂直，以点A 为原点，分别以直线Ax 、AD 和AS 为x 轴、y 轴和z 轴建立如下图的空间直角坐标系，过点B 作BE AD ⊥交直线AD 于E ，//AD BC ，1AB BC CD ===，2AD =，∴12AE =，BE =，从而可得()0,0,0A，1,,022B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3,022C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,2,0D ，()0,0,1S ，那么()0,0,1AS =，31,,022AB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()0,2,1SD =-，31,022DC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面SAB 的一个法向量为()1111,,n x y z =，那么1100n AS nAB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即111012z x y =⎧+=，取1x =()13,3,0n =-，设平面SCD 的一个法向量为()2222,,n x y z =，那么2200n SD nDC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2222201022yz x y -=⎧-=⎩，取2x =，可得()23,3,6n = ∴121212cos ,n n n n n n ⋅==⋅14=-，∴平面SAB 和平面SCD 所成锐二面角的余弦值为14. 【点睛】此题考察了线面平行的断定和利用空间向量求二面角，考察了计算才能，属于中档题.22:1124x y C +=，A 、B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点，M 为椭圆上的动点. 〔1〕求AMB ∠的最大值，并证明你的结论；〔2〕设直线AM 的斜率为k ，且11,23k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，求直线BM 的斜率的取值范围.【答案】〔1〕AMB ∠的最大值为23π；证明见解析〔2〕2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】〔1〕设()00,M x y ，〔0x -<<002y <≤〕，过点M 作MH x ⊥轴，垂足为H ，由三角函数的概念可得00tan A H y x M +∠=，0tan BMH y x ∠=，由两角和的正切公式可得tan AMB∠0220012x y =+-，求出tan AMB ∠≤后由椭圆对称性即可得解；〔2〕由题意可知202012y k k x '⋅=-，利用22001124x y +=即可得13k k '⋅=-，由k 的取值范围即可求得k '的取值范围，即可得解.【详解】〔1〕根据椭圆的对称性，不妨设()00,M x y ，〔0x -<<002y <≤〕. 过点M 作MH x ⊥轴，垂足为H ，那么()0,0Hx (0x -<，于是，有00tan AH AMH M x H y +∠==，0tan BH BMH MH y x ∠==， ∴()tan tan AMB AMH BMH ∠=∠+∠=tan tan 1tan tan AMH BMHAMH BMH∠+∠-∠∠22000000012x y x y x y ++=+-，点()00,M x y 在椭圆C 上，∴22001124x y +=，∴2200123x y =-，∴0tan AMB ∠=，而002y <≤，∴0tan AMB ∠=≤0AMB π<∠<， ∴AMB ∠的最大值为23π，此时02y =，即点M 为椭圆C 的上顶点. 根据椭圆的对称性，当点M 为椭圆C 的短轴的顶点时，AMB ∠取最大值，其最大值为23π. 〔2〕设直线BM 的斜率为k '，()00,M x y ，那么k =，k '=∴202012yk k x '⋅=-，又22001124x y +=，∴2200123x y =-， ∴13k k '⋅=-，11,23k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，∴213k '<<，故直线BM 的斜率的取值范围为2,13⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】此题考察了椭圆和三角函数、椭圆和直线的综合问题，考察了运算才能和转化化归思想，属于中档题.()()ln 1f x x =+，()x g x e =〔e 为自然对数的底数〕.〔1〕讨论函数()()x ax f x xϕ+=-在定义域内极值点的个数；〔2〕设直线l 为函数()f x 的图象上一点()00,A x y 处的切线，证明：在区间(0,)+∞上存在唯一的0x ，使得直线l 与曲线yg x 相切.【答案】〔1〕当0a ≥时，函数()x ϕ无极值点，当0a <时，函数()x ϕ有两个极值点〔2〕证明见解析【解析】【分析】〔1〕对函数()x ϕ求导得()()221x ax a x x xϕ++'=+，令()2h x x ax a =++，分类讨论()h x 有无零点以及零点与1-、0的相对位置即可得解；〔2〕由题意可得切线l 的方程可表示为()00011y x y x x -=-+，设直线l 与曲线()y g x =相切于点()11,x B x e ，由题意可得()()11000010011ln 111x x e x y x e y x x x ⎧=⎪+⎪⎪=+⎨⎪⎪-=-+⎪⎩，进而可得()0001ln 10x x x ++-=，由〔1〕中结论即可证明()0001ln 10x x x ++-=在()0,∞+上存在唯一的根，即可得证. 【详解】〔1〕由题意()()x a x f x x ϕ+=-()ln 1x ax x+=+-)0x ≠且()1121m x x +>+，那么()()222111a x ax ax x x x x ϕ++'=+=++，令()2h x x ax a =++，24a a ∆=-，①当240a a ∆=-≤即04a ≤≤时，()0x ϕ'≥，此时，()x ϕ在()1,0-和()0,∞+单调递增，()x ϕ无极值点； ②当240a a ∆=->时，即当0a <或者4a >时，函数()2h x x ax a =++有两个零点，12a x -=，22a x -+=，〔i 〕当0a <时，因为1212a x -+--==02<，所以2101x x >>>-，所以函数()x ϕ在()11,x -单调递增，在()1,0x 和()20,x 上单调递减，在()2x +∞上单调递增，此时函数()x ϕ有两个极值点；〔ii 〕当4a >时，因为21x --==0>，所以121x x <<-，此时()0x ϕ'>，()x ϕ在()1,0-和()0,∞+单调递增，无极值点. 综上所述，当0a ≥时，函数()x ϕ无极值点，当0a <时，函数()x ϕ有两个极值点. 〔2〕证明：因为()11f x x '=+，所以切线l 的方程可表示为()0011y x y x x -=-+，设直线l 与曲线()y g x =相切于点()11,xB x e ，因为()xg x e '=，所以()()11000010011ln 111x x e x y x e y x x x ⎧=⎪+⎪⎪=+⎨⎪⎪-=-+⎪⎩，消去1x 并整理得()0001ln 10x x x ++-=，由〔1〕可知，当1a =时，函数()()1ln 1x x x xϕ+=+-()1x >-在()0,∞+单调递增，又()1101e e ϕ-=-<-，()2222101e e e ϕ--=>-. 所以函数()x ϕ在()21,1e e --上有唯一的零点，又因为()x ϕ在()0,∞+单调递增，所以方程()0001ln 10x x x ++-=在()0,∞+上存在唯一的根，故在区间()0,∞+上存在唯一的0x ，使得直线l 与曲线()y g x =相切.【点睛】此题考察了利用导数研究函数的极值点和零点个数问题，考察了导数几何意义的应用，考察了转化化归思想和推理才能，属于中档题.21.2021年初，新冠肺炎疫情袭击全国，某由于人员流动性较大，成为外疫情最严重的份之一，截至2月29日，该已累计确诊1349例患者〔无境外输入病例〕.〔1〕为理解新冠肺炎的相关特征，研究人员从该随机抽取100名确诊患者，统计他们的年龄数据，得下面的频数分布表：由频数分布表可以大致认为，该新冠肺炎患者的年龄Z 服从正态分布,15().22N μ，其中μ近似为这100名患者年龄的样本平均数〔同一组中的数据用该组区间的中点值作代表〕.请估计该新冠肺炎患者年龄在70岁以上〔70≥〕的患者比例；〔2〕截至2月29日，该新冠肺炎的亲密接触者〔均已承受检测〕中确诊患者约占10%，以这些亲密接触者确诊的频率代替1名亲密接触者确诊发生的概率，每名亲密接触者是否确诊互相HY.现有亲密接触者20人，为检测出所有患者，设计了如下方案：将这20名亲密接触者随机地按n 〔120n <<且n 是20的约数〕个人一组平均分组，并将同组的n 个人每人抽取的一半血液混合在一起化验，假设发现新冠病毒，那么对该组的n 个人抽取的另一半血液逐一化验，记n 个人中患者的人数为n X ，以化验次数的期望值为决策根据，试确定使得20人的化验总次数最少的n 的值.参考数据：假设()2,Z N μσ，那么()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=，()330.9973P Y μσμσ-<<+=，40.90.66≈，50.90.59≈，100.90.35≈.【答案】〔1〕15.87%〔2〕4n =【解析】【分析】〔1〕由题意计算出54.8μ=，由正态分布的性质可得()39.6700.6826P Z <<=，即可得解；〔2〕由题意n 的可能取值为2，4，5，10，1,10nX B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由二项分布的概率公式结合题意可得某组的化验次数Y 满足()9110n P Y ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()91110n P Y n ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，表示出()E Y ，进而可得化验总次数()f n ，代入比拟即可得解.【详解】〔1〕由题意21562512351845225522651275485295100μ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 54.8=，所以()54.815.254.815.2P Z -<<+()39.6700.6826P Z =<<=，()()139.670702P Y P Z -<<≥==10.68260.158715.87%2-==，那么可估计该确诊新冠肺炎患者年龄在70岁以上的患者比例为15.87%.〔2〕根据题意，每名亲密接触者确诊为新冠肺炎的概率均为110， n 的可能取值为2，4，5，10，当{}2,4,5,10n ∈时，1,10n X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，对于某组n 个人，化验次数Y 的可能取值为1，1n +，()9110n P Y ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()91110nP Y n ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭， ()()91110n E Y n ⎛⎫=⋅++⋅ ⎪⎝⎭99111010n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，那么20人的化验总次数为()209110n f n n n n ⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦1920110n n ⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，经计算()213.8f =，()411.8f ≈，()512.2f ≈，()1015f ≈.所以，当4n =时符合题意，即按4人一组检测，可使化验总次数最少.【点睛】此题考察了正态分布的应用，考察了离散型随机变量期望的应用，属于中档题.〔二〕选考题：一共10分.请考生在第22、23两题中任选一题答题.注意：只能做所选定的题目.假如多做，那么按所做的第一题计分.xOy 中，直线1l ：cos ,sin x t y t αα=⎧⎨=⎩〔t 为参数，π02α<<〕，曲线1C ：2cos 4+2sin x y ββ=⎧⎨=⎩,〔β为参数〕，1l 与1C 相切于点A ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.〔1〕求1C 的极坐标方程及点A 的极坐标；〔2〕直线2l ：()6R πθρ=∈与圆2C ：2cos 20ρθ-+=交于B ，C 两点，记AOB ∆的面积为1S ，2COC ∆的面积为2S ，求1221S S S S +的值.【答案】〔1〕28sin 120ρρθ-+=；点A 的极坐标为3π⎛⎫ ⎪⎝⎭〔2〕16 【解析】【分析】〔1〕消去参数得1C 的直角坐标方程，利用直角坐标方程和极坐标方程的转化公式即可得1C 的极坐标方程；由题意得1l 的极坐标方程为()R θαρ=∈，代入1C 的极坐标方程后利用0∆=即可得解；〔2〕由题意可得()2C ，设1,6B πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,6C πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将6πθ=代入2C 后即可得126ρρ+=，122ρρ=，再利用三角形面积公式可得11S =，22S =，化简即可得解. 【详解】〔1〕消去参数可得1C 的直角坐标方程为()2244x y +-=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入得1C 的极坐标方程为28sin 120ρρθ-+=，又1l 的参数方程为cos ,sin x t y t αα=⎧⎨=⎩〔t 为参数，02πα<<〕，可得1l 的极坐标方程为()R θαρ=∈，将θα=代入1C 得28sin 120ρρα-+=，那么()28sin 4120α∆=-⨯=，sin α=，又02πα<<，所以sin α=，3πα=，此时ρ=A 的极坐标为3π⎛⎫ ⎪⎝⎭.〔2〕由2C 的极坐标方程为2cos 20ρθ-+=，可得2C 的直角坐标方程为(2210x y -+=，所以圆心()2C ，设1,6B πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,6C πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将6πθ=代入2cos 20ρθ-+=，得2620ρρ-+=，280∆=>，所以126ρρ+=，122ρρ=，所以10ρ>，20ρ>，又因为1111sin 236A S ππρρρ⎛⎫=⋅⋅-= ⎪⎝⎭，22221sin 26S OC πρρ=⋅⋅=，所以12122121S S S S ρρρρ+=+=()221212122622162ρρρρρρ+--⨯==. 【点睛】此题考察了参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间的转化，考察了利用极坐标求三角形面积的应用，属于中档题.23.()2f x x a =-.〔1〕当1a =时，解不等式()21f x x >+；〔2〕假设存在实数(1,)∈+∞a ，使得关于x 的不等式()21f x x m a ++<-有实数解，务实数m 的取值范围.【答案】〔1〕1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭〔2〕()6,m ∈+∞【解析】【分析】〔1〕由题意得221x x ->+，分2x ≥、2x <两种情况讨论即可得解；〔2〕由绝对值三角不等式结合题意得()22222111f x x a a a a a ++≥+=+---，利用根本不等式求出221a a +-的最小值即可得解. 【详解】〔1〕当1a =时，即解不等式221x x ->+，①当2x ≥时，原不等式等价于221x x ->+，所以3x <-，所以不等式()21f x x >+的解集为空集，②当2x <时，原不等式等价于221x x ->+，解得13x <，综上所述，不等式()21f x x >+的解集为1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 〔2〕因为()221f x x x a a ++=--22211x a a a ++≥+--，显然等号可取. 又()1,a ∈+∞，故原问题等价于关于a 的不等式221a m a +<-在()1,+∞上有解，又因为()22221211a a a a +=-++--26≥=，当且仅当2a =时取等号，所以6m >，即()6,m ∈+∞.【点睛】此题考察了绝对值不等式的求解，考察了绝对值三角不等式的应用和有解问题的求解，属于中档题.本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

高等数学II练习题

1. 计算⎰Γ+s y x d )(22，其中Γ螺旋线⎪⎩⎪⎨⎧===bt z t a y t a x sin cos 上从0=t 到π2=t 的一段弧。

1.解：原积分= = 2. 求幂级数∑∞=+-⋅-11212)1(n nn n n x 的收敛域及收敛半径。

2.解：收敛区间为，收敛半径当，级数为，其中，应用Leibniz 判别法，级数收敛（2分）当，级数为，其中，应用Leibniz 判别法，级数收敛此幂级数的收敛域dt t z t y t x ds 222))(())(())(('+'+'=,sin )(t a t x -=',cos )(t a t y ='b t z =')(dt b a ds 22+=dtb a a 22202+⎰π2222b a a+π122)1(2)1()1(lim 2121132<=-+-+-++∞→x n x n x n n n n n nn )2,2(-2=r 2=x ∑∞=--112)1(n n n 0}2{↓n 2-=x n n n 2)1(1∑∞=-0}2{↓n ]2,2[-=E3. 求曲面zx y z ln+=在点（1，1，1）处的切平面方程和法线方程。

3. 解：令z x y z zx y z z y x F ln ln ln ),,(+--=--= 则x F x 1-=；1-=y F ；z F z 11+=；所以1)1,1,1(-=x F ；1)1,1,1(-=y F ；2)1,1,1(=z F ；所以切平面方程为0)1)(1,1,1()1)(1,1,1()1)(1,1,1(=-+-+-z F y F x F z y x即0)1(2)1()1(1=-+----z y x 法平面方程为211111-=--=--z y x 4. 求微分方程032=-'-''y y y 的通解。