2018版高考数学考点48正态分布试题解读与变式 Word版 含答案
2018年江苏省高考数学试卷(含解析版)
2018年江苏省高考数学试卷(含解析版)2018年江苏省高考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。
请将答案填写在答题卡相应位置上。
1.（5分）已知集合A={1.2.8}，B={-1.1.6.8}，则A∩B={1.8}。
2.（5分）若复数z满足i•z=1+2i（其中i是虚数单位），则z的实部为-2.3.（5分）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为74.4.4.（5分）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为20.5.（5分）函数f(x)=√(3-x)的定义域为(-∞。
3]。
6.（5分）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为3/10.7.（5分）已知函数y=sin(2x+φ)（-π/4≤x≤π/4），则φ的值为π/6.8.（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x²/a²-y²/b²=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为1，则其离心率的值为c/a。
9.（5分）函数f(x)满足f(x+4)=f(x)（x∈R），且在区间（-2，2]上，f(x)=|x|，则f(f(15))的值为1.10.（5分）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为8.11.（5分）若函数f(x)=2x³-ax²+1（a∈R）在（-∞，+∞）内有且只有一个零点，则f(x)在[-1，1]上的最大值与最小值的和为4.12.（5分）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D。
若D的横坐标为4/3，则C的坐标为(7/3，14/3)。
13.（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为3.14.（5分）已知集合A={x|x=2n-1，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N*}。
高考数学 考点48 正态分布试题解读与变式
考点48 正态分布【考纲要求】利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 【命题规律】在选择题、填空题考查较多，属容易题，分值5分，在解答题中结合其他知识考查属中等题. 【典型高考试题变式】 正态分布例1.【2017课标1】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ．（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数， 求(1)P X ≥及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s ==≈，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估 计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=，160.997 40.959 2≈0.09≈．【分析】（1）根据题设条件知一个零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974，则零件的尺寸 在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.0026，而~(16,0.0026)X B ，进而可以求出X 的数学期望.（2）（i ）判断监控生产过程的方法的合理性，重点是考虑一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件的概率是大还是小，若小即合理；（ii ）根据题设条件算出μ的估计值和σ的估计值，剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22，算出剩下数据的平均数，即为μ的估计值，剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22，剩下数据的样本方差，即为σ的估计值.【解析】（1）抽取的一个零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.0026，故~(16,0.0026)X B .因此16(1)1(0)10.99740.0408P X P X ≥=-==-≈.X 的数学期望为160.00260.0416EX =⨯=.（2）（i ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率只有0.0026，一天内抽取 的16个零件中，出现尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.【名师点睛】数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念，反映随机变量取值的平均水平.求解离散 型随机变量的分布列、数学期望时，首先要分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的所有取值，然后根据概率类型选择公式，计算每个变量取每个值的概率，列出对应的分布列，最后求出数学期望.正态分布是一种重要的分布，之前考过一次，尤其是正态分布的3σ原则.【变式1】某种品牌摄像头的使用寿命ξ(单位：年)服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该种品牌的摄像头，则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为________． 【答案】14【变式2】【广西南宁2017届普通高中毕业班第二次模拟】某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份中5天的日销售量y （单位：千克）与该地当日最低气温x （单位： C ）的数据，如下表：（1）求出y 与x 的回归方程ˆˆˆybx a =+； （2）判断y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6C ，请用所求回归方程预测该店当日的销售量；（3）设该地1月份的日最低气温X ～()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ，求(3.813.4)P X <<.附：①回归方程ˆˆˆybx a =+中， ()1221ˆni i i n i i x y nxyb x n x ==-=-∑∑， ˆˆˆay bx =-. ②3.2≈，1.8≈，若X ～()2,N μσ，则()0.68P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=.【解析】（1）因为令5n =,113575n i i x x n ====∑， 114595n i i y y n ====∑, 所以()128757928n i i i x y nxy =-=-⨯⨯=-∑， ()22212955750ni i x n x =-=-⨯=∑所以280.5650ˆb-==-所以()90.56712.ˆ92ˆˆay bx =-=--⨯=（或者： 32325） 所以所求的回归方程是0.5612.ˆ92yx =-+【数学思想】 ①数形结合思想． ②转化与化归思想. 【温馨提示】①曲线与x 轴之间面积为1.正态曲线关于直线x ＝μ对称，从而在关于x ＝μ对称的区间上概率相同． ②P (X ≤a )＝1－P (X ≥a )，P (X ≤μ－a )＝P (X ≥μ＋a )． 【典例试题演练】1.【2017云南大理统测】2016年1月某校高三年级1600名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试成绩()2100,X N σ（试卷满分为150分）．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的34，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为（ ） A ．80 B ．100 C ．120 D ．200 【答案】D【解析】正态曲线图象的对称轴为100X =，根据其对称性可知， 成绩不低于1200分的学生人数约为311600120042⎛⎫⨯-⨯= ⎪⎝⎭人，故选D.2.【2017年第三次全国大联考】已知某次数学考试的成绩服从正态分布2(102,4)N ，则114分以上的成绩所占的百分比为（附：()()0.6826,220.9544P X P X μσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=,(3P μσ-3)0.9974X μσ<≤+=)A.0.3%B.0.23%C.1.3%D.0.13% 【答案】D【解析】由已知得()(90114)330.9974P X P X μσμσ<≤=-<≤+=，故(114)P X >10.99740.00132-===0.13%，故选D ． 3.【2017山西晋城市模拟考试】已知4621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为a ,且()1,1XN ,则()3P X a <<=（ ）(附：若随机变量()2,XN μσ,则()()000068.26,2295.44P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=,()003399.74P X μσμσ-<<+=)A ．0.043B ．0.0215C ．0.3413D ．0.4772 【答案】B4.设随机变量δ服从正态分布N （3，7），若p （δ＞a +2）=p （δ＜a －2），则a =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】由已知若p （δ＞a +2）=p （δ＜a －2），则33222=⇒=-++a a a5.已知随机变量X 服从正态分布N （3，1），且P （l≤X≤5）=0．682 6，则(5)P X >=（ ） A ．0．158 8 B ．0．158 7C ．0．158 6D ．0．158 5【答案】B【解析】依题意()10.682650.15872P x ->==，故选B. 6.【2017河北五邑四模】某校高考数学成绩近似地服从正态分布()2100,5N ，且(110)0.96P ξ<=，则(90100)P ξ<<的值为（ ）A. 0.49B. 0.48C. 0.47D. 0. 46 【答案】D【解析】依据题设条件及正太分布的对称性可知()11010.960.04P ξ≥=-=，所以()900.04P ξ≤=，则()290100120.040.92P ξ<<=-⨯=，所以()901000.46P ξ<<=，应选D.7. 【2017荆、荆、襄、宜四地七校联考】设随机变量服从正态分布),1(2σN ，若2.0)1(=-<ηP ，则函数3221()3f x x x x η=++没有极值点的概率是（ ） A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8 【答案】C【解析】由22()20f x x x η'=++= 无相异实根得244011ηηη∆=-≤⇒≥≤-或 ，因此函数()f x 没有极值点的概率是(1)(1)0.50.20.7P P ηη≥+≤-=+=，选C. 8. 设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f (x )的图象，且f (x )＝18πe8)10(2--x (x ∈R)，则这个正态总体的平均数与标准差分别是( )A.10与8B.10与2C.8与10D.2与10 【答案】B 【解析】f (x )＝12π×2e 2222)10(⨯--x ，所以σ＝2，μ＝10，即正态总体的平均数与标准差分别为10与2，故选B.9. 已知三个正态分布密度函数φi (x )＝12πσie －（x －μi ）22σ2i (x ∈R ，i ＝1，2，3)的图象如图所示，则( )A.μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ 3B.μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3C.μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3D.μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3【答案】D【解析】由正态曲线关于直线x ＝μ对称，知μ1＜μ2＝μ3；σ的大小决定曲线的形状，σ越大，总体分布越分散，曲线越矮胖；σ越小，总体分布越集中，曲线越瘦高，则σ1＝σ2＜σ3.实际上，由φ1(μ1)＝φ2(μ2)＞φ3(μ3)，则12πσ1＝12πσ2＞12πσ3，即σ1＝σ2＜σ3.故选D.10. (2017·石家庄模拟)设X ～N (1，σ2)，其正态分布密度曲线如图所示，且P (X ≥3)＝0.022 8，那么向正方形OABC 中随机投掷20 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为( )附：(随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 4)．A ．12 076B ．13 174C ．14 056D ．7 539 【答案】B11.【2017年原创押题预测卷02（山东卷）】已知~(,4)X N m ，且(2)()P X m P X m ≤-=≥，则若(2)0.72P X <=，则(12)P X <<= .【答案】0.22【解析】因为~(,4)X N m ，故由(2)()P X m P X m ≤-=≥可得(2)2m m m +-=，解得1m =， 故~(1,4)X N .由(2)0.72P X <=可得(2)10.720.28P X ≥=-=， 由正态曲线的对称性可知(1)0.5P X >=，所以(12)(1)(2)0.50.280.22P X P X P X <<=>-≥=-=.12.【2017四川资阳模拟】已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ²)，且P (0≤X ≤2)＝0.3，则P (X ＞4)＝_____． 【答案】0.2；【解析】由题意结合正态分布的性质可知： ()240.3P x ≤≤= ，则10.32(4)0.22P X -⨯>==. 13.【2017湖北省黄石市调研】已知随机变量ξ服从正态分布()20,N δ，且()220.4P ξ-≤≤=，则()2P ξ>=___________．【答案】0.3 【解析】()2P ξ>=()1220.3.2P ξ--≤≤=14.【2017广东省汕头市模拟】为评估设备M 生产某种零件的性能，从设备M 生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X ，并根据以下不等式进行评判（P 表示相应事件的概率）；①6826.0)(≥+≤<-σμσμX P ； ②9544.0)22(≥+≤<-σμσμX P ；③9974.0)33(≥+≤<-σμσμX P .评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M 的性能等级. （2）将直径小于等于σμ2-或直径大于σμ2+的零件认为是次品.（ⅰ）从设备M 的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y 的数学期望)(Y E ； （ⅱ）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z 的数学期望)(Z E .（2）由图表知道：直径小于或等于σμ2-的零件有2件，大于σμ2+的零件有4件共计6件（i ）从设备M 的生产流水线上任取一件，取到次品的概率为5031006=， 依题意)503,2(~B Y ，故2535032)(=⨯=Y E . （ii ）从100件样品中任意抽取2件，次品数Z 的可能取值为0，1，2,16505)2(,1650188)1(,16501457)0(210009426210019416210029406=========C C C Z P C C C Z P C C C Z P故253165019816505216501881165014570)(==⨯+⨯+⨯=Z E . 15.(2014·新课标全国卷Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差s 2(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)； (2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x ，σ2近似为样本方差s 2.①利用该正态分布，求P (187.8<Z <212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数．利用①的结果，求EX . 附：150≈12.2.若Z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<Z <μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<Z <μ＋2σ)＝0.954 4.。
2018年高考总复习数学(理科)基础知识反馈卡 9.8正态分布 Word版含解析
基础知识反馈卡·时间：分钟分数：分一、选择题(每小题分，共分)．正态曲线下、横轴上，从均值到＋∞的面积为( )．．．．不能确定(与标准差的大小有关)．已知随机变量服从正态分布(，σ)，且(<)＝，则(<<)等于( )．．．．．某校高考数学成绩近似地服从正态分布()，则此校数学成绩不低于分的考生占总人数的百分比为(已知Ф()＝ )( )．．．．以上都不对．如果随机变量ξ～(μ，σ)，且(ξ)＝，(ξ)＝，则(－<ξ≤)等于( )．(<ξ≤)－(－<ξ≤)－(<ξ≤)(<ξ≤)(－<ξ≤)．正态分布()在区间()和(－)上取值的概率分别为，，则( )．> ．<．＝．不确定．设随机变量～(μ，σ)，且落在区间(－，－)内的概率和落在区间()内的概率相等，若(>)＝，则(<<)等于( )＋．－．－－二、填空题(每小题分，共分)．已知某次英语考试的成绩服从正态分布()，则名考生中成绩在分以上的人数为．．某扇门的高度是按照保证成年男子与门顶部碰头的概率在以下设计的，如果某地成年男子的身高ξ～()(单位：)，则该扇门应设计的高度至少应为(Ф()＝，Ф()＝)．．设两个正态分布(μ，σ)(σ>)和(μ，σ)(σ>)的密度函数图象如图--.则μμ，σσ(填入不等号)．图--三、解答题(共分)．在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～()，已知满分为分．()试求考试成绩ξ位于区间(]内的概率；()若这次考试共有名考生参加，试估计这次考试及格(不小于分)的人数．基础知识反馈卡·．.> >．解：()由ξ～()知μ＝，σ＝.∴(<ξ≤)＝(－<ξ≤＋)＝，即考试成绩位于区间(]内的概率为.()(<ξ≤)＝(－<ξ≤＋)＝，∴(ξ>)＝(－)＝，∴(ξ≥)＝＋＝.∴及格人数为×≈(人)．。
2018年学年度高考数学考试试卷及答案解析
2018学年度高考数学考试试卷及答案解析第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{}4,3,2,1,0=U ，集合}3,2,1{=A ，}4,2{=B ，则B A C U )(为（ ） A ．}4,2,1{ B ．}4,3,2{ C ．}4,2,0{ D ．}4,3,2,0{2．已知向量()()()()1,1,2,2,,=m n m n m n λλλ=+=++⊥-若则 （ ） A 、4- B 、3- C 、-2 D 、-13．设R ∈ϕ，则“0=ϕ”是“)cos()(ϕ+=x x f 为偶函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A ． 【解析】试题分析：0()cos()f x x φφ=⇒=+为偶函数，但)cos()(ϕ+=x x f 为偶函数()k k Z φπ⇒=∈，∴“0=ϕ”是“)cos()(ϕ+=x x f 为偶函数”的充分不必要条件，故选A ．考点：1．充分条件、必要条件、充要条件的判断；2．三角函数的奇偶性．4．若一个α角的终边上有一点()4,P a -且sin cos αα⋅=，则a 的值为( )A ．B ．±C ．－43或D ．5．下面是关于复数iz +-=12的四个命题：其中正确的命题是 ( ) ①2||=z ； ②i z 22=； ③i z +=1； ④ z 的虚部为-1． A ． ②③ B ． ①② C ． ②④ D ． ③④6．已知函数()y f x =的图像是下列四个图像之一，且其导函数()y f x '=的图像如右图所示，则该函数的图像是( )7．已知数列{}n a 满足12430,,3n n a a a ++==-则{}n a 的前10项和等于 （ ）（A ）()-10-61-3 （B ）()-1011-39（C ）()-1031-3 （D ）()-1031+38．某校甲、乙两食堂2013年元月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同。
(完整word版)2018高考真题——数学(江苏卷)+Word版含解析
绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1 .本试卷共4页，均为非选择题（第1题~第20题，共20题）。
本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。
2 .答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定3 .请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4 •作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5 •如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
参考公式：锥体的体积Y 其中药是锥体的底面积，h是锥体的高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分•请把答案填写在答题卡相应位置上1. 已知集合A｛叩丄已，pi」血約，那么MU__________________ .【答案】｛1 , 8｝【解析】分析：根据交集定义■- : ：■- - . \ ：-\ ■ - .求结果•详解：由题设和交集的定义可知：点睛：本题考查交集及其运算，考查基础知识，难度较小2. 若复数/满足I ■ z M2：，其中i是虚数单位，则z的实部为___________ .【答案】2【解析】分析：先根据复数的除法运算进行化简，再根据复数实部概念求结果1 +2i详解：因为id 1+匸，—:—-2 L,则2的实部为2.I点睛：本题重点考查复数相关基本概念，如复数a亠hLfAbER.｝的实部为乩、虚部为tv模为（齐总、对应点为d共轭复数为乞-呼.•3. 已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为9 011（第\题）【答案】90【解析】分析：先由茎叶图得数据，再根据平均数公式求平均数详解：由苹叶图可知t 5位裁判打出的分数分别为89.90,91,91 ,故平均数为B9 - S9 + 90 + 91 + 91-------- ------------- = 90□be + 3C + + xJ点睛：的平均数为n4. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为 ________ .I ------------------------- 1”1!I I門![While 7<6 ；:I十2；:S—2S ；；End While ；；Print S \…〔第WW…【答案】8【解析】分析：先判断i■:二T是否成立，若成立，再计算 .，若不成立，结束循环，输出结果•详解：由伪代码可得■红7总-4 因为，所以结束循环，输出=二|点睛：本题考查伪代码，考查考生的读图能力，难度较小5. 函数2屮曾'的定义域为 _______________ .【答案】［2, +R)【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域详解：要使函数「(川有意义，则log2x 110,解得X-2,即函数的定义域为［工点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式(组)的问题6.某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为【答案】10【解析】分析：先确定总基本事件数，再从中确定满足条件的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求概率•详解：从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为10点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1) 列举法•(2) 树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求采用树状图法••对于基本事件有有序”与无序”区别的题目，常(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化⑷排列组合法(理科)：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目7.已知函数y ■- sin(2x + < P --的图象关于直线对称，则T的值是【答案】【解析】分析：由对称轴得qj - --4 k<k € Z)，再根据限制范围求结果•详解：由题意可得:1，所以2 兀丸n +甲■ ■十上旺(p - ― + kz(k毛Z)，因为-、 2 6北...-，所以：.点睛：函数厂加诚曲IB (A>0, 3>0 )的性质：(彷唤-2 乞沁厂八I B；(2)最小正周期I(!)冗朮;(3)由厨為I业■，+求对称轴；(4)由斥+ ］也冬3咒+屮冬；斗求增区间；2 223x兀JX 、由_ + 2kjt ——■+ 2kx(k € £.i求减区间•8.在平面直角坐标系中，若双曲线-=iu >o)的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是_________ •【答案】2【解析】分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率详解:因为双曲线的焦点F(c.O)到渐近线y = ± :热即bx ±av= 0的距离为聲寻=7= 0所以b = yc ,因此『=c2-b? = c2-|c?= f a = ^c#e = 2.点睛：双曲线的焦点到渐近线的距离为b,焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为 a.(cos—,0 < x < 2,9.函数［侃满足+ 4) - «x.KxeR)，且在区间(W］上，f(刃二：贝他⑸)的值为|x - - 2 <x< 0h【答案】2【解析】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果•详解：由、•门2得函数世対的周期为4，所以I.讥iH) F I L - \ '，因此.. .1 兀 Qt(f(l5)) = f(^) = cos- = —点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现|；m：的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围•10.如图所示，正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 _______________ •（第10®）【答案】【解析】分析：先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果详解：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于，| l r 4所以该多面体的体积为2 —1、〔a -点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.若函数I： . . I ：：_:在•内有且只有一个零点，则：在|上的最大值与最小值的和为【答案】-【解析】分析：先结合三次函数图象确定在隐-閱上有且仅有一个零点的条件，求出参数a,再根据单调性确定函数最值，即得结果.详解：由- 0得—0^ ■:,因为函数啦•在0亠「珂上有且仅有一个零点且f(0)］,所以一品从而函数須在［上单调递增，在［H'J上单调递减，所以轨《.阿躯也・曲诃［-1)血)}7可，附心+姻)丄・| D- 1-4--3.点睛：对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件•从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等.12. 在平面直角坐标系中，A为直线族■:制上在第一象限内的点，|哄淇；|，以AB为直径的圆C与直线I交于另一点D •若AB 00 = (',则点A的横坐标为_____________ •【答案】3【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果亂+ 5详解：设|A(aJa)(a >0),则由圆心C为.中点得C(——Q易得|OC.(x-5)(x a)-hyiy-2a) o|,与y■■毀联立解 2得点D的横坐标£ - I」所以疥、聞.所以p I厂遊颅上J上二2-克| £1 + 5 r由.输■ CD = 0得15-a)( 1—-—) + (^2aX2_a) - 0用^2a 3 ■ 0,a ■ 3或a ■ - 1 ,因为Im】，所以£ - |点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法•13. 在|二阳也:中，角km所对的边分别为k"l，m m •心:的平分线交于点D，且.m，则碾::的最小值为__________ •【答案】9【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值详解：由题意可知，渝込-仏加口+ S ABCL,由角平分线性质和三角形面积公式得ncsinl 20" - ■ I - + 1sin60°，化简得ac " a + + - = I ,因此|2 2 2 A c] [ (T 4a |cWa + c = (4a + + -) = 5-i >5 + 2 h1— - 9,a c a. c * e当且仅当匚J.i 2时取等号，则！(.的最小值为目.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中正”即条件要求中字母为正数卜定”不等式的另一边必须为定值)、等”等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.14. 已知集合A ■仪恢■ 2n—l,n €N }, B ■凶％■ E N } •将AUB(的所有兀素从小到大依次排列构成一个数列何J.记S：为数列他丿的前n项和，则使得S n> I2a-—成立的n的最小值为_____________ •【答案】27【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值.详解：设，贝U -Q- i —w十--十住芒--：；■]占+ 十2(1-右_ 尹七小_22 1-2由驚》也.十]得尹'+ 屮"012(21£+]人少¥-20(2* \T4AQ210 l> ：\k>6所以只需研究是否有满足条件的解，此时\ = [(21-1)十(2 V—I)十…十门叶打]十十于十…十刃[J + f 2, %+1-加+ 1 , m为等差数列项数，且序-化由' ‘I !- 1. ■' r- I ■得满足条件的最小值为.点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常二、解答题：本大题共 6小题，共计90分•请在答题卡指定区域.内作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤.15.在平行六面体 I ' ■- \1'_' J .中, 一"；I '求证：（1） d 訂..\： （2）平面1 平面AiBC . 【答案】答案见解析【解析】分析：（1 ）先根据平行六面体得线线平行，再根据线面平行判定定理得结论；（2）先根据条件得菱形ABB I A I ，再根据菱形对角线相互垂直，以及已知垂直条件，利用线面垂直判定定理得线面垂直，最后 根据面面垂直判定定理得结论 详解：证明：（1）在平行六面体 ABCD-A I B I C I D I 中，AB // A I B I .因为 AB 平面 A 1B 1C , A 1B 1；平面 A 1B 1C , 所以AB //平面A 1B 1C .见类型主要有分段型（如如需需蠶），符号型（如备十曲），周期型（如埠喑）（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形.又因为AA I=AB，所以四边形ABB i A i为菱形,因此AB i丄A I B .又因为AB i 丄B i C i, BC // B1C1,所以AB i丄BC.又因为A I B Q BC=B, A I B平面A i BC, BC 平面A i BC,所以AB i丄平面A i BC .因为AB i ：二平面ABB i A i,所以平面ABB i A i丄平面A i BC.点睛：本题可能会出现对常见几何体的结构不熟悉导致几何体中的位置关系无法得到运用或者运用错误，如柱体的概念中包含两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形”，再如菱形对角线互相垂直的条件，这些条件在解题中都是已知条件，缺少对这些条件的应用可导致无法证明i6.已知为锐角，，^3 5(i)求卜芯领的值；(2 )求• 的值.°7【答案】(i) ■加osPT -25lan2a-tan(tt + B) 2(2)1 + un2atan(<i 十卩) 11【解析】分析：先根据同角三角函数关系得帚抄』，再根据二倍角余弦公式得结果;公式得，再利用两角差的正切公式得结果(2)因为k加为锐角，所以(■: -：-又因为costa+ p）= - ，所以$in（a + p）= Ji - 卩）因此"U42Lum 24因lana，所以un2a 、-(2)先根据二倍角正切详解：解:4sina tana ，t^na3COS<1因为ccsTi 1，所以因此，3曲"■烷(i)因为，所以3 1 - tan3a 丁因此,tan2a - Un（a + 阳 2吨邛）-网"3卩）］■门融亦卩1 5点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1) 变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是 配凑”.(2) 变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有切化弦”、升幕与降幕”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有: 换”、逆用变用公式”、通分约分”、分解与组合”、配方与平方”等• 17.某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆0的一段圆弧if ( P 为此圆弧的中点)和线段MN 构成.已 知圆0的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米•现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚I 内的地 块形状为矩形 ABCD ，大棚H 内的地块形状为 HF ,要求卢制均在线段上,均在圆弧上.设 0C 与MN 所成的角为耳(第门题)(1 )用卜分别表示矩形 忙益时和■■■■■■ 的面积，并确定林嗟的取值范围； (2)若大棚I 内种植甲种蔬菜，大棚n 内种植乙种蔬菜， 且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为岂胡.求当 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.【答案】 (1)矩形ABCD 的面积为800 (4sin 9cos &+cos B)平方米，△ CDP 的面积为【解析】分析：(1)先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定阪的取值范围；(2)根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根 据单调性确定函数最值取法 •常值代1600 (cos B —in 0cos 9) , sin 1) (2)当详解:解：(1)连结PO并延长交MN于H,贝U PH丄MN，所以OH=10.过O 作OE 丄BC 于E，贝U OE // MN，所以/ COE= 0,故OE=40cos 0 EC=40sin 0,则矩形ABCD 的面积为2><4Ocos0( 40sin0+1O) =800 (4sin 0cos 0+cos 0), △ CDP 的面积为1X2 X40cos 0 (40 -40sin 0) =1600 (cos 0-sin 0cos 0).过N作GN丄MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10 .I gr令/ GOK= 0,则sin 0= , (0,).4 6r兀当0€ [ 0,-)时，才能作出满足条件的矩形ABCD ,所以sin0的取值范围是[,1).4答：矩形ABCD的面积为800 (4sin0cos 0+cos 0平方米，△ CDP的面积为11600 (cos 0-in 0cos 0) , si n0 的取值范围是[,1).]4(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4 : 3,设甲的单位面积的年产值为4k,乙的单位面积的年产值为3k (k>0),则年总产值为4k >800 (4si n0cos0+cos0) +3kX1600 (cos 0-si n 0cos 0)=8000k (sin 0cos 0+cos 0) , 0€ [ 00,).设 f ( 0) = sin 0cos0+cos 0, 0€[ 0, “)，则卜覚=「屣憑-涂蛙理心=-划用2心H=-加z -斗ii：兀令f⑹0,得0-,当0€ ( 0,)时，，所以f ( 0)为增函数；当0€ (,)时,]；;/：*所以f ( 0)为减函数，因此，当0=时，f ( 0)取到最大值.p7C答：当匸时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.6点睛：解决实际应用题的步骤一般有两步：一是将实际问题转化为数学问题；二是利用数学内部的知识解决问题•18. 如图，在平面直角坐标系koy中，椭圆C过点屁',焦点F1(曲切皿新0)，圆O的直径为F』』.（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线I与圆O相切于第一象限内的点P.①若直线I与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线I与椭圆C交于两点.若的面积为工，求直线I的方程.7i【答案】（1）椭圆C的方程为- +［；圆O的方程为耳（2）①点P的坐标为；②直线I的方程为］；•=,【解析】分析：（1 ）根据条件易得圆的半径，即得圆的标准方程，再根据点在椭圆上，解方程组可得即得椭圆方程；（2 ）第一问先根据直线与圆相切得一方程，再根据直线与椭圆相切得另一方程，解方程组可得切点坐标•第二问先根据三角形面积得三角形底边边长，再结合①中方程组，利用求根公式以及两点间距离公式，列方程，解得切点坐标，即得直线方程•详解：解：（1 ）因为椭圆C的焦点为.：•，所以a2 4b2，解得a" - ~ 3,因此，椭圆C的方程为F十严=1・因为圆O的直径为儿叫，所以其方程为宀 f（2）①设直线I与圆O相切于，则，%所以直线1的方程为V =-上& -心+ y0，y=-—X +a,b,可设椭圆C的’-一=l(a ■' b ■■■ O'.又点『b2（黒）在椭圆C上,点睛：直线与椭圆的交点问题的处理一般有两种处理方法：一是设出点的坐标，运用+ - ?帰 + 36 - 4y 02 0-（ *） 因为直线I 与椭圆C 有且只有一个公共点,所以鸟=.羽叼卩-4（%' yf ）（茹_ %?）=地代J ・2） = o| • 因为陥％ - °，所以鮭■百矿】•因此，点P 的坐标为匕：.办『②因为三角形OAB 的面积为•，所以丄需■设卜念「■.； ：/：•.：「：： 由（* ）得2% 士（4%丫好 一2）2（吋+泊所以总”广=十：_“「因为 所以解得(^2^)2 49,5瓜■:血-20舍去），则yf ［，因此P 的坐标为 »）设而不求”思想求解;由综上，直线I 的方程为因此，f (x )与g (x )不存在“ S ”点.(2)函数『3I TTK则 fCx) -2ax, g R (x)--.x设 x o 为 f (x )与 g (x )的“ S'点，由 f (x o )与 g (x o )且 f ' (x o )与 g (x o ),得，即得 Inxo---甘八则1 ea . --------- ■ ■T1 2 2(/ ¥当垃■时,--=、满足方程组(*),即k 为f ( X )与g (X )的“ s’点. ^0芒因此，a 的值为I二是设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出交点坐标，适用于已知直线与椭圆的一个交点的 情况•19•记分别为函数f(x).g(x)的导函数.若存在K ,满足Rg 以血且l (K 』・g 〔加，则称为函数「(X ) 与|券:的一个“ S 点”. (1)证明：函数血r.与 不存在“ S 点”；(2) 若函数- ax 3-l.与Inx 存在“ S 点”，求实数a 的值；(3) 已知函数”闆■」缸，皐代^骂. 对任意a *0,判断是否存在b >0 ,使函数心)与g (心在区间(0*亠上)内x 存在“ S 点”，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) a 的值为(3)对任意a>0，存在b>0，使函数f (x )与g (x )在区间(0, +8)内存在“ S 点” 【解析】分析：(1 )根据题中S 点”的定义列两个方程，根据方程组无解证得结论； (2)同(1)根据S 点的定义列两个方程，解方程组可得 a 的值；(3)通过构造函数以及结合S 点”的定义列两个方程，再判断方程组是否有解即可证得结论 •详解：解：(1)函数 f (x ) =x , g (x ) =x 2+2x-2，贝V f' (x ) =1 , g' (x ) =2x+2 .由 f (x ) =g (x )且 f' (x ) = g' (x ),得(x = X' + 2x - 2 (1 = 2x + 2 ，此方程组无解,(3)对任意 a>0，设+乩.因为1. j I |.L _ 1.，且h (x )的图象是不间断的,be" f(x) = - x 2 + a . g(x)=——由 f (x )与 g (x )且 f' (x )与 g' (x )，得be -+ a -——Xbe y (x - 1)所以存在(0, 1),使得h(%) 0,令匕=，则 b>0.函数 则 f(x) = - 2x ,, g'lx}be\x - 1 j，即(** )此时, 满足方程组(** ),即是函数f (x )与g (x )在区间(0, 1)内的一个"S 点”因此,对任意a>0,存在b>0,使函数f (x )与g (x )在区间(0, +〜内存在"S 点” 点睛: 涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单 调性、 最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底 还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路 20.设卜丿是首项为 ，公差为d 的等差数列，|代是首项为，公比为q 的等比数列. (1)设」.j2,若％ bjub ］对：i 12〃均成立，求d 的取值范围;(2)若 =b 1>0,m€N".c]G(l.V -l，证明：存在乙；K ，使得'"r - 对-I 均成立，并求旧的取 值范围(用％ E 兀表示).【答案】(1) d 的取值范围为 D与2(2) d 的取值范围为MEM 0------- •—I m m,证明见解析。
2018高考数学全国卷含答案解析
21.（12分）
解:（1） 的定义域为 ， .
（i）若 ，则 ，当且仅当 ， 时 ，所以 在 单调递减.
（ii）若 ，令 得， 或 .
当 时， ；
当 时， .所以 在 单调递减，在 单调递增.
（2）由（1）知， 存在两个极值点当且仅当 .
由于 的两个极值点 满足 ，所以 ，不妨设 ，则 .由于
A．p1=p2B．p1=p3
C．p2=p3D．p1=p2+p3
11．已知双曲线Biblioteka ： ，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若 为直角三角形，则|MN|=
A． B．3C． D．4
12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为
19.（12分）
解：（1）由已知得 ，l的方程为x=1.
由已知可得，点A的坐标为 或 .
所以AM的方程为 或 .
（2）当l与x轴重合时， .
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以 .
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为 ， ，
则 ，直线MA，MB的斜率之和为 .
由 得
.
将 代入 得
.
所以， .
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
解：（1）当 时， ，即
故不等式 的解集为 ．
（2）当 时 成立等价于当 时 成立．
若 ，则当 时 ；
若 ， 的解集为 ，所以 ，故 ．
综上， 的取值范围为 ．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
2018年高考真题——理科数学(全国卷Ⅰ)+Word版含解析
2018年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I卷）理科数学注意事项：1 •答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2 •选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3 •非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4 •考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
、选择题（本题共12小题, 每小题5分, 共60分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的.1•设z 1 2i，则zC.2•已知集合x|x2则e R Ax|C • x|x 1 U x|x3.某地区经过一年的新农村建设, 农村的经济收入增加了一倍•实现翻番•为更好地解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例.到如下饼图:则下面结论中不正确的是（A •新农村建设后，种植收入减少-1 -B •新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C •新农村建设后，养殖收入增加了一倍D •新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半uuur iuur 则 FM FN (C . 7围是（ ）10 .下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆4•记£为等差数列 a n 的前n 项和. 右 3S 3 S 2 S 4 , a 1 2 ,则 a 3 ( )A . 1210C . 10125・设函数f x 3 1 x 2ax • 若f x 为奇函数，则曲线在点0,0处的切线方程为（A . y 2xC . y 2x6.在△ ABC 中, AD 为BC 边上的中线， E 为AD 的中点，则uu u EB3 mu 1 iurA . AB AC 4 43UJH 1 uur C . AB AC 4 41 mu 3 urnr B .AB AC 4 41 mu 3 uur D .AB -AC 4 47•某圆柱的高为 2,底面周长为16,其三视图如右图所示，圆柱表面 M 在正视图上的对应点为 A ,圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 在此圆柱侧面上, M 到N 的路径中，最短路径的长度为（A • 2 17 C . 3&设抛物线C : 4x 的焦点为F ,过点且斜率为2的直线与C 交于M , N 两点,9 .已知函数fln x , x 0a ，右g x 存在2个零点，则a 的取值范B .0,C .1,上的点g c的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边BC ，直角边AB , AC , △ ABC 的三边所围成的区域 记为I,黑色部分记为n,其余部分记为川，在整个图形中随机取一点，此点取自I ,n, 川的概率分别记为 p 1, p 2 , p 3，则（）x 2y 2w 013 .若x , y 满足约束条件 x y 1 > 0 ，则y w 014 .记S n 为数列a n 的前n 项和.若W 2a n 1，则S 6 _____________________________________ . 15.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有 1位女生入选，则不同的选法共有 ________ 种.（用数字填写答案）16 .已知函数 f x 2sinx sin 2x ,贝U f x 的最小值是 __________________ . 三、解答题（共70分。
考点46 几何概型-2018版典型高考数学试题解读与变式(解析版)
典型高考数学试题解读与变式2018版考点46 几何概型一、知识储备汇总与命题规律展望1.知识储备汇总:(1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．(2)特点：①无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．②等可能性：试验结果在每一个区域内均匀分布．(3)几何概型的概率公式：P(A)＝构成事件A的区域长度角度试验全部结果所构成的区域长度角度2.命题规律展望：几何概型是高考考查的重点与热点，以函数、不等式、数列、定积分等知识为载体，主要考查利用集合概型知识求几何概型的概率，题型为选择题、填空题，分值为5分，难度为基础题或中档题.二、题型与相关高考题解读1.与长度角度有关的几何概型1.1考题展示与解读例1 【2016高考新课标2文数】某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（）（A）710（B）58（C）38（D）310【命题意图探究】本题主要考查与长度有关的几何概型问题，是基础题. 【答案】B【解析】因为红灯持续时间为40秒.所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40155 408-=，故选B.【解题能力要求】应用意识，运算求解能力【方法技巧归纳】求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)．然后求解，要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度、角度)．1.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】若正方形ABCD边长为4,E为四边上任意一点，则AE的长度大于5的概率等于（）A. 132B.78C.38D.1812【答案】D【解析】设M N ，分别为BC 或CD 靠近点C 的四等分点，则当E 在线段,CM CN 上时， AE 的长度大于5， E 所能取到点的长度为2， 正方形的周长为16， AE ∴的长度大于5，的概率等于21=168，故选D.【变式2：改编结论】在区间[]1,5内随机取一个数m ，则方程22241m x y +=表示焦点在y 轴上的椭圆的概率是（ ） A.35 B. 15 C. 14 D. 34【答案】D【解析】若方程22241m x y +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则24m >，解得2m >， 25m << ，故方程22241m x y +=表示焦点在y 轴上的椭圆的概率是523514P -==-，故选D. 【变式3：改编问法】已知，直线和曲线有两个不同的交点，它们围成的封闭平面区域为，向区域上随机投一点，点落在区域内的概率为，若，则实数的取值范围为（ ）学+科网 A.B.C.D.【答案】B2.与面积有关的几何概型2.1考题展示与解读例2【2017课标1，理】如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A．14B．π8C．12D．π4【命题意图探究】本题主要考查利用几何图形的对称性计算几何概型，是基础题.【答案】B【解题能力要求】数形结合思想，运算求解能力【方法技巧归纳】求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．2.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍.若在正方形图案上随机取一点，则该点取自白色区域的概率为（）34A.64πB.32πC.16π D. 8π 【答案】D【解析】由题意得正方形的内切圆的半径为4，中间黑色大圆的半径为2，黑色小圆的半径为1，所以白色区域的面积为22242418ππππ⨯-⨯-⨯⨯=，由几何概型概率公式可得所求概率为2888ππ=，选D 。
【统一】2018全国各地高考数学试题汇编附答案解析
【关键字】统一2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ1．已知集合，，那么▲．[答案]{1，8}2．若复数满足，其中i是虚数单位，则的实部为▲．[答案]23．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为▲．[答案]904．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为▲．[答案]85．函数的定义域为▲．[答案]6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为▲．[答案]7．已知函数的图象关于直线对称，则的值是▲．[答案]8．在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是▲．[答案]29．函数满足，且在区间上，则的值为▲．[答案]10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为▲．[答案]11．若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为▲．[答案]-312．在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为▲．[答案]313．在中，角所对的边分别为，，的平分线交与点D，且，则的最小值为▲．[答案]914．已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n 的最小值为▲．[答案]2715．在平行六面体中，．求证：（1）；（2）．[答案]16．已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．[答案]17．某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．先规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设OC与MN所成的角为．（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．[答案]18．如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程．[答案]19．记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”．（1）证明：函数与不存在“S点”；（2）若函数与存在“S 点”，求实数a 的值；（3）已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“S 点”，并说明理由． [答案]20．设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列． （1）设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围； （2）若*110,,a b m q =>∈∈N ，证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立，并求d 的取值范围（用1,,b m q 表示）． [答案]2018 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 I 卷）文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2018版高考数学(人教A版理)一轮复习教师用书 第10章 第8节 二项分布与正态分布 Word版含解析
第八节二项分布与正态分布[考纲传真] 1.了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念.2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单问题.3.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．1．条件概率条件概率的定义条件概率的性质设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝P(AB)P(A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率(1)0≤P(B|A)≤1；(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B ∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．(2)性质：①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)．②如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也相互独立．3．独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，其中A i(i＝1,2，…，n)是第i次试验结果，则P(A1A2A3…A n)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(A n)．(2)二项分布在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p，则P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．4．正态分布(1)正态曲线的特点：①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；③曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．(2)正态分布的三个常用数据①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682_6；②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954_4；③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997_4.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．()(2)P(AB)表示事件A，B同时发生的概率，一定有P(AB)＝P(A)·P(B)．()(3)在正态分布函数φμ，σ(x)＝12πσe－(x－μ)22σ2中，μ是正态分布的期望值，σ是正态分布的标准差．()(4)二项分布是一个用公式P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布．() [答案](1)√(2)×(3)√(4)√2．(教材改编)小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是()A.49 B.29C.427 D.227A [所求概率P ＝C 13·⎝ ⎛⎭⎪⎫131·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133－1＝49.] 3．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同．甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为( )A.310 B.13 C.38D.29B [设“第一次拿到白球”为事件A ，“第二次拿到红球”为事件B ，依题意P (A )＝210＝15，P (AB )＝2×310×9＝115.故P (B |A )＝P (AB )P (A )＝13.] 4．(2015·全国卷Ⅰ)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A ．0.648 B.0.432 C.0.36D.0.312A [3次投篮投中2次的概率为P (k ＝2)＝C 23×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P (k ＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P (k ＝2)＋P (k ＝3)＝C 23×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故选A.]5．(2017·郑州调研)已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ＜4)＝0.8，则P (0＜ξ＜4)＝________.0．6 [由P (ξ＜4)＝0.8，得P (ξ≥4)＝0.2.又正态曲线关于x ＝2对称． 则P (ξ≤0)＝P (ξ≥4)＝0.2，∴P(0＜ξ＜4)＝1－P(ξ≤0)－P(ξ≥4)＝0.6.]条件概率(1)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝()【导学号：01772416】A.18 B.14C.25 D.12(2)如图10-8-1，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则P(B|A)＝________.图10-8-1(1)B(2)14[(1)法一：事件A包括的基本事件：(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)，即n(A)＝4，事件AB发生的结果只有(2,4)一种情形，即n(AB)＝1.故由古典概型概率P(B|A)＝n(AB)n(A)＝14.法二：P(A)＝C23＋C22C25＝410，P(AB)＝C22C25＝110.由条件概率计算公式，得P(B|A)＝P(AB)P(A)＝110410＝14.(2)由题意可得，事件A发生的概率P (A )＝S 正方形EFGH S 圆O＝2×2π×12＝2π.事件AB 表示“豆子落在△EOH 内”， 则P (AB )＝S △EOH S 圆O ＝12×12π×12＝12π.故P (B |A )＝P ABP A ＝12π2π＝14.][规律方法] 条件概率的求法(1)定义法：先求P (A )和P (AB )，再由P (B |A )＝P (AB )P (A )求P (B |A )． (2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再求事件AB 所包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝n (AB )n (A ). [变式训练1] 1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则两次都取到红球的概率是( )A.1127B.1124C.827D.924C [设从1号箱取到红球为事件A ，从2号箱取到红球为事件B . 由题意，P (A )＝42＋4＝23，P (B |A )＝3＋18＋1＝49，所以P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝23×49＝827， 所以两次都取到红球的概率为827.]相互独立事件同时发生的概率功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ，设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列.【导学号：01772417】[解] 记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}．由题设知P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35，P (F )＝25，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立.2分(1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H －＝E －F －，于是P (H －)＝P (E －)P (F －)＝13×25＝215.故所求的概率为P (H )＝1－P (H －)＝1－215＝1315.5分(2)设企业可获利润为X 万元，则X 的可能取值为0,100,120,220.因为P (X ＝0)＝P (E －F －)＝13×25＝215，P (X ＝100)＝P (E －F )＝13×35＝15， P (X ＝120)＝P (E F －)＝23×25＝415， P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝25.8分 故所求X 的分布列为12分[规律方法] 1.求解该类问题关键是正确分析所求事件的构成，将其转化为彼此互斥事件的和或相互独立事件的积，然后利用相关公式进行计算．2．求相互独立事件同时发生的概率的主要方法． (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．(2)正面计算较繁(如求用“至少”表达的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算．[变式训练2] 在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手，各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“X ≥2”的事件概率．[解] (1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”，B 表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P (A )＝C 12C 23＝23，P (B )＝C 24C 35＝35.2分∵事件A 与B 相互独立，A 与B －相互独立，则A B －表示事件“甲选中3号歌手，且乙没选中3号歌手”．∴P (A B －)＝P (A )·P (B －)＝P (A )·[1－P (B )]＝23×25＝415.5分(2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”， 则P (C )＝C 24C 35＝35.7分依题意，A ，B ，C 相互独立，A －，B －，C －相互独立， 且AB C －，A B －C ，A －BC ，ABC 彼此互斥．又P (X ＝2)＝P (AB C －)＋P (A B －C )＋P (A －BC )＝23×35×25＋23×25×35＋13×35×35＝3375，10分P (X ＝3)＝P (ABC )＝23×35×35＝1875.∴P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3375＋1875＝1725.12分独立重复试验与二项分布乙两名球员在前10场比赛中投篮命中情况统计如下表(注：表中分数nN ，N 表示投篮次数，n 表示命中次数)，假设各场比赛相互独立.场次 球员1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 513 412 1430 59 1419 1016 1223 48 613 1019 乙1326918914816615101472191610221220(1)从上述比赛中等可能随机选择一场，求甲球员在该场比赛中投篮命中率大于0.5的概率；(2)试估计甲、乙两名运动员在下一场比赛中恰有一人命中率超过0.5的概率；(3)在接下来的3场比赛中，用X 表示这3场比赛中乙球员命中率超过0.5的场次，试写出X 的分布列，并求X 的数学期望.【导学号：01772418】[解] (1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，甲球员投篮命中率超过0.5的场次有5场，分别是4,5,6,7,10，所以在随机选择的一场比赛中，甲球员的投篮命中率超过0.5的概率是12.4分(2)在10场比赛中，乙球员投篮命中率超过0.5的场次有4场，分别是3,6,8,10，所以在随机选择的一场比赛中，乙球员的投篮命中率超过0.5的概率是25.6分设在一场比赛中，甲、乙两名运动员恰有一人命中率超过0.5为事件A ，甲队员命中率超过0.5且乙队员命中率不超过0.5为事件B 1，乙队员命中率超过0.5且甲队员命中率不超过0.5为事件B 2，则P (A )＝P (B 1)＋P (B 2)＝12×35＋12×25＝12.8分 (3)X 的可能取值为0,1,2,3，依题意X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25. P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫250⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝27125； P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫251⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝54125； P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫252⎝ ⎛⎭⎪⎫351＝36125； P (X ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫253＝8125，10分 X 的分布列如下表：E (X )＝np ＝3×25＝65.12分[规律方法] 1.求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件，还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解．2．(1)注意辨别独立重复试验的基本特征：①在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；②在每次试验中，事件发生的概率相同．(2)牢记公式P n (k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0,1,2，…，n ，并深刻理解其含义． [变式训练3] 某架飞机载有5位空降兵依次空降到A ，B ，C 三个地点，每位空降兵都要空降到A ，B ，C 中的任意一个地点，且空降到每一个地点的概率都是13，用ξ表示地点C 空降人数，求：(1)地点A 空降1人，地点B ，C 各空降2人的概率； (2)随机变量ξ的分布列与数学期望．[解] (1)设“地点A 空降1人，地点B ，C 各空降2人”为事件M ，易知基本事件的总数n ＝35＝243个，事件M 发生包含的基本事件M ＝C 15C 24＝30个．故所求事件M 的概率P (M )＝m n ＝30243＝1081.5分(2)依题意，5位空降兵空降到地点C 相当于5次独立重复试验． ∴ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13，且ξ的取值可能为0,1,2,3,4,5.则P (ξ＝k )＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－135－k . ∴P (ξ＝0)＝C 05⎝ ⎛⎭⎪⎫130⎝ ⎛⎭⎪⎫1－135＝32243，P (ξ＝1)＝C 15⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝⎛⎭⎪⎫1－134＝80243， P (ξ＝2)＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝80243，P (ξ＝3)＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫133⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝40243， P (ξ＝4)＝C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫134⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝10243，P (ξ＝5)＝C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫135＝1243.10分 ∴随机变量ξ的分布列为：P 32243802438024340243102431243根据二项分布得数学期望E(ξ)＝5×13＝53.12分正态分布及应用(2015·山东高考)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为() (参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%，P(μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ＝99.74%.)A．4.56% B.13.59%C．27.18% D.31.74%B[由正态分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)＝0.682 6，P(－6＜ξ＜6)＝0.9544，故P(3＜ξ＜6)＝P(－6＜ξ＜6)－P(－3＜ξ＜3)2＝0.954 4－0.682 62＝0.135 9＝13.59%，故选B.][规律方法] 1.利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个．2．利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1.注意下面两个结论的活用：(1)P(X＜a)＝1－P(X≥a)；(2)P(X＜μ－σ)＝P(X≥μ＋σ)．[变式训练4](2017·河南名校联考)在如图10-8-2所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(－1,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()(参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.997 4.)图10-8-2A．1 193 B.1 359C．2 718 D.3 413B[对于正态分布N(－1,1)，μ＝－1，σ＝1，正态曲线关于x＝－1对称，故题图中阴影部分的面积为12×[P(－3＜X＜1)－P(－2＜X＜0)]＝12×[P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)－P(μ－σ＜X＜μ＋σ)]＝12×(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9，所以点落入题图中阴影部分的概率P＝0.135 91＝0.135 9，投入10 000个点，落入阴影部分的个数约为10 000×0.135 9＝1 359.][思想与方法]1．古典概型中，A发生的条件下B发生的条件概率公式为P(B|A)＝P(AB) P(A)＝n(AB) n(A)，其中，在实际应用中P(B|A)＝n(AB)n(A)是一种重要的求条件概率的方法．2．相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算公式为P(AB)＝P(A)P(B)．互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．3．n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次可看作是C k n个互斥事件的和，其中每一个事件发生的概率都是p k(1－p)n－k.因此n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为C k n p k(1－p)n－k.4．若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1.[易错与防范]1．易混淆“相互独立”和“事件互斥”两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥．2．易混淆P(B|A)与P(A|B)前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率．3．易混淆二项分布与两点分布由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即n＝1时的二项分布．。
高中数学“正态分布”知识点讲解——以2024年全国1卷第9题为例
高中数学“正态分布”知识点讲解——以24年全国1卷第九题为例一言概之：正态分布X~N(μ，σ ),μ是期望，是图像的对称轴；σ 是方差，σ决定图像的胖瘦.详细解释：一、概念若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ 的正态分布，记为N(μ，σ ).其概率密度函数(f(x)=√ e( )(μ∈R,σ>0))为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度.当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布.二、性质1.对称性：关于x=μ对称，在x=μ处达到最大值√，越远离μ，密度函数越小.2.σ(σ>0)决定函数图像的胖、瘦.如下图所示.3.3σ原则（1）P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.6827 ；（2）P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545 ；（3）P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.4. 正态分布的均值与方差若X～N(μ,σ )，则E(X)=μ，D(X)=σ .以2024年全国1卷第9题为例2024年全国1卷T9. 为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x ，样本方差20.01s ，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布 21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布 2,N x s ，则（ ）（若随机变量Z 服从正态分布 2,N u ，()0.8413P Z ）A. (2)0.2P XB. (2)0.5P XC. (2)0.5P YD. (2)0.8P Y 解析： 2~ 1.8,0.1X N 的图像：1.80.1 1.9∴ 1.910.84130.1587P X ，显然 2 1.9P X P X ，所以A 错误.B 正确. 2~ 2.1,0.1Y N 的图像：与 2~ 1.8,0.1X N 的图像一致，仅对称轴改变.∵ 2.10.5P X （对称性，对称轴为 2.1x ，故左右各为0.5）2 2.1P Y P Y ，故C 正确；又∵ 2 2.10.10.8413P Y P Y （对称性： 0.8413P Y P Y ） 即：D 错误.解题建议：①画出图像；②标明对称轴；③标明 与 .。
2018年普通高等学校招生全国统一考试-理科数学-(新课标-III-卷)-Word版含答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试-理科数学-(新课标-III-卷)-Word版含答案2018年普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合） 1．已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，则AB =（ ）A ．{}0B ．{}1C ．{}12，D ．{}012，，2．()()12i i +-=（ ）A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i +3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）4．若1sin 3α=，则cos2α=（ ） A ．89B ．79C ．79- D ．89- 5．522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为（ ）A ．10B ．20C ．40D ．806．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是（ ）A ．[]26，B ．[]48，C ．232⎡⎤⎣⎦，D ．2232⎡⎤⎣⎦，此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号7．函数422y xx =-++的图像大致为（ ）8．某群体中的每位成品使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X =<=，则p =（ ）A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.39．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积为2224a b c +-，则C =（ ）A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π10．设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC∆为等边三角形且其面积为93则三棱锥D ABC -体积的最大值为（ ）A ．123B ．183C ．243D ．54311．设12F F ，是双曲线22221xy C ab-=：（00a b >>，）的左，右焦点，O是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P．若16PFOP=，则C 的离心率为（ ）A 5B ．2C 3D 212．设0.2log0.3a =，2log 0.3b =，则（ ）A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________．14．曲线()1xy ax e =+在点()01，处的切线的斜率为2-，则a =________．第二种生产方式⑶根据⑵中的列表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：()()()()()22n ad bc Ka b c d a c b d -=++++，()20.0500.0100.0013.8416.63510.828P K k k ≥．19．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．⑴证明：平面AMD ⊥平面BMC ；⑵当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．20．（12分）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为()()10M m m >，．⑴证明：12k <-； ⑵设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且0FP FA FB ++=．证明：FA，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．21．（12分）已知函数()()()22ln 12f x x ax x x =+++-．⑴若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >；⑵若0x =是()f x 的极大值点，求a ．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。
2018全国高考理科数学试题及答案解析_全国卷.docx
绝密★启用前2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷 5 页， 23 小题，满分150 分。
考试用时120 分钟。
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（ B）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={ x| x<1}， B={ x|3x 1 }，则A．A B { x | x 0}B．A B R C．A B { x | x 1}D．A B2．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图. 正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称. 在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A．1B．πC．1D．π48243．设有下面四个命题p1：若复数 z 满足1R ，则z R ；p2：若复数 z 满足z2R ，则z R ；zp3：若复数 z1 , z2满足 z1z2R，则z1z2；p4：若复数z R ，则z R .其中的真命题为A．p1, p3B．p1, p4C．p2, p3D．p2, p44．记S n为等差数列{ a n } 的前 n 项和．若 a4a5 24， S648 ，则 { a n} 的公差为A．1B． 2C． 4D． 8围是A．[2,2]B．[ 1,1]C．[0,4]D．[1,3]6．(112 )(1x) 6展开式中 x2的系数为xA． 15B． 20C． 30D． 357．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形. 该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A． 10B． 12C． 14D． 168．右面程序框图是为了求出满足3n- 2n>1000 的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入A．A>1 000 和n=n+1B．A>1 000和 n=n+2C．A 1 000 和n=n+1D．A 1 000 和n=n+29．已知曲线1：=cosx ， 2：=sin (2x+2π) ，则下面结论正确的是C y C y3A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π个单位长度，得6到曲线 C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π个单位长度，12得到曲线 C2C．把C上各点的横坐标缩短到原来的1倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π个单位长度，得126到曲线 C21 π.得到曲 C210．已知F 抛物：2=4 的焦点，F作两条互相垂直的直l1，2，直l1与C交于、两点，C y x l A B直 l 2 与C交于D、E两点，|AB|+|DE|的最小A． 16B． 14C． 12D． 1011．xyz正数，且2x3y5z，A． 2x<3y<5z B． 5z<2x<3y C． 3y<5z<2x D． 3y<2x<5z12．几位大学生响国家的号召，开了一款用件。
2018年高考全国1卷理科数学试题及答案详细解析word版精校版
绝密★启用前2018年一般高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅰ)理科数学留意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．答复选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答复非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试完毕后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设1i2i 1iz -=++，则||z = A ．0 B ．12C ．1D ．22．已知集合2{|20}A x x x =-->，则A =RA ．{|12}x x -<<B ．{|12}x x -≤≤C {|1}{|2}x x x x <->D ．{|1}{|2}x x x x -≤≥3．某地区经过一年的新农村建立，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番. 为更好地理解该地区农村的经济收入改变状况，统计了该地区新农村建立前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是 A ．新农村建立后，种植收入削减B ．新农村建立后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建立后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建立后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和. 若3243S S S =+，12a ，则5aA ．12-B ．10-C ．10D ．125．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+. 若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图. 圆柱外表上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱外表上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的途径中，最短途径的长度为A ．217B ．25C ．3D ．28．设抛物线24C y x ：的焦点为F ，过点(2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN A ．5B ．6C ．7D ．89．已知函数e ,0,()ln ,0,x x f x x x ⎧=⎨>⎩≤ ()()g x f x x a =++. 若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[1,0)-B ．[0,)+∞C ．[1,)-+∞D ．[1,)+∞10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所探讨的几何图形. 此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．ABC △的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色局部记为Ⅱ，其余局部记为Ⅲ. 在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为1p ，2p ，3p ，则A ．12p p =B ．13p p =C ．23p p =D ．123p p p =+11．已知双曲线2213x C y ：，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N . 若OMN △为直角三角形，则||MN A ．32B ．3C ．23D ．412．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为 A ．334B ．233C ．324D ．32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北师大高中数学选择性必修第一册第六章课时作业48正态分布【含答案】
北师大高中数学选择性必修第一册第六章课时作业48正态分布(原卷版)一、选择题1.设随机变量X服从正态分布，且相应的函数为φ(x)＝e，则()A.μ＝2，σ＝3B.μ＝3，σ＝2C.μ＝2，σ＝D.μ＝3，σ＝2.已知一次考试共有60名同学参加，考生成绩X~N(110，52)，据此估计，大约有57人的分数所在的区间为()A.(90，100]B.(95，125]C.(100，120]D.(105，115]3.在如图所示的正方形中随机投掷1000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(2，1)的分布密度曲线的一部分)的点的个数的估计值是()参考数据：若X~N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6826，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.9544.A.136B.159C.341D.4774.随机变量ξ~N(μ，σ2)，若P(ξ≤1)＝0.3，P(1＜ξ＜5)＝0.4，则μ＝()A.1B.2C.3D.45.随机变量a服从正态分布N(1，σ2)，且P(0＜a＜1)＝0.3000.已知a＞0，a≠1，则函数y＝a x＋1－a图象不经过第二象限的概率为()A.0.3750B.0.3000C.0.2500D.0.20006.已知三个正态分布密度函数φi(x)＝e－，i＝1，2，3的图象如图所示，则()A.μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3B.μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3C.μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3D.μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ37.(多选题)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(μ1，)，N(μ2，)，其正态分布密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是()A.甲类水果的平均质量μ1＝0.4kgB.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D.乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于平均值附近8.(多选题)已知随机变量X服从正态分布N(100，102)，则下列选项正确的是()(参考数值：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)≈0.6826，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)≈0.9544，P(μ－3σ＜ξ≤μ＋3σ)≈0.9974)A.EX＝100B.DX＝100C.P(X≥90)≈0.8413D.P(X≤120)≈0.9987二、填空题9.已知ξ~N(4，σ2)，且P(2＜ξ＜6)≈0.6826，则σ＝2，P(｜ξ－2｜＜4)＝0.84.10.某正态分布密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为，则总体落入区间(0，2]内的概率为0.4772.11.某人乘车从A地到B地，所需时间(分钟)服从正态分布N(30，100)，求此人在40分钟至50分钟到达目的地(不包括40分钟，包括50分钟)的概率为0.1359.参考数据：若Z~N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜Z≤μ＋σ)≈0.6826，P(μ－2σ＜Z≤μ＋2σ)≈0.9544，P(μ－3σ＜Z≤μ＋3σ)≈0.9974.三、解答题12.设ξ~N(1，22)，试求：(1)P(－1＜ξ≤3)；(2)P(3＜ξ≤5)；(3)P(ξ≥5).13.某地区模拟考试的数学成绩X服从正态分布N(90，σ2)，且P(X ＜70)＝0.2.从该地区参加模拟考试的学生中随机抽取10名学生的数学成绩，数学成绩在[70，110]的人数记作随机变量ξ，则ξ的方差为()A.2B.2.1C.2.4D.314.每年农历腊月廿三至腊月廿九，我国迎来春运节前客流高峰，据统计，某区火车站在此期间每日接送旅客人数X(单位：万)近似服从正态分布N(10，0.82)，则估计在此期间，至少有5天该车站日接送旅客超过10万人次的概率为()A. B.C. D.15.某公司开发了一种产品，有一项质量指标为“长度”(记为l，单位：cm)，先从中随机抽取100件，测量发现全部介于85cm和155cm 之间，得到如下频数分布表：分组[85，95)[95，105)[105，115)[115，125)[125，135)[135，145)[145，155]频数2922332482已知该批产品的该项质量指标值服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).(1)求P(132.2＜l＜144.4)；(2)公司规定：当l≥115时，产品为正品；当l＜115时，产品为次品.公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元；若是次品，则亏损30元.记ξ为生产一件这种产品的利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望.参考数据：≈12.2.若X~N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6826，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.9544，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.9974.北师大高中数学选择性必修第一册第六章课时作业48正态分布(解析版)一、选择题1.设随机变量X服从正态分布，且相应的函数为φ(x)＝e，则(C)A.μ＝2，σ＝3B.μ＝3，σ＝2C.μ＝2，σ＝D.μ＝3，σ＝解析：由φ(x)＝，得μ＝2，σ＝.故选C.2.已知一次考试共有60名同学参加，考生成绩X~N(110，52)，据此估计，大约有57人的分数所在的区间为(C)A.(90，100]B.(95，125]C.(100，120]D.(105，115]解析：∵X~N(110，52)，∴μ＝110，σ＝5，又＝0.95≈P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝P(100＜X≤120).3.在如图所示的正方形中随机投掷1000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(2，1)的分布密度曲线的一部分)的点的个数的估计值是(A)参考数据：若X~N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6826，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.9544.A.136B.159C.341D.477解析：由题意可知正态分布N(2，1)在(0，1)内取值的概率是图中阴影部分的面积，则S＝×[P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜阴X≤μ＋σ)]≈×(0.9544－0.6826)＝0.1359，故落入阴影部分的点的个数的估计值是1000×0.1359＝135.9≈136.故选A.4.随机变量ξ~N(μ，σ2)，若P(ξ≤1)＝0.3，P(1＜ξ＜5)＝0.4，则μ＝(C)A.1B.2C.3D.4解析：由于随机变量ξ~N(μ，σ2)，满足P(ξ≤1)＝0.3，P(1＜ξ＜5)＝0.4，P(ξ≥5)＝1－0.3－0.4＝0.3＝P(ξ≤1)，根据正态分布的对称性可知μ＝＝3.故选C.5.随机变量a服从正态分布N(1，σ2)，且P(0＜a＜1)＝0.3000.已知a＞0，a≠1，则函数y＝a x＋1－a图象不经过第二象限的概率为(C)A.0.3750B.0.3000C.0.2500D.0.2000解析：∵y＝a x＋1－a的图象不经过第二象限，∴a≥2.∵随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，且P(0＜a＜1)＝0.3000，∴P(1＜a＜2)＝0.3000，∴P(a≥2)＝0.2000，∴函数y＝a x＋1－a图象不经过第二象限的概率为＝0.2500.故选C.6.已知三个正态分布密度函数φi(x)＝e－，i＝1，2，3的图象如图所示，则(D)A.μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3B.μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3C.μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3D.μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3解析：正态分布密度函数φ2(x)和φ3(x)的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x)的对称轴的横坐标值比φ1(x)的对称轴的横坐标值大，故有μ1＜μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x)和φ2(x)的图象一样“瘦高”，φ3(x)明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2＜σ3.故选D.7.(多选题)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(μ1，)，N(μ2，)，其正态分布密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是(ABC)A.甲类水果的平均质量μ1＝0.4kgB.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D.乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于平均值附近解析：由正态曲线图象可知，甲类水果的平均质量为μ1＝0.4kg，A 正确；乙类水果的平均质量为μ2＝0.8kg，所以μ1＜μ2，C正确；由甲类水果的正态曲线比乙类水果的正态曲线更“高瘦”些，所以σ1＜σ2，得出B正确，D错误.故选ABC.8.(多选题)已知随机变量X服从正态分布N(100，102)，则下列选项正确的是(ABC)(参考数值：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)≈0.6826，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)≈0.9544，P(μ－3σ＜ξ≤μ＋3σ)≈0.9974)A.EX＝100B.DX＝100C.P(X≥90)≈0.8413D.P(X≤120)≈0.9987解析：∵随机变量X服从正态分布N(100，102)，∴曲线关于直线x ＝100对称，根据题意可得，P(90＜X≤110)≈0.6826，P(80＜X≤120)≈0.9544，∴P(X≥90)≈0.5＋×0.6826＝0.8413，故C正确；P(X≤120)≈0.5＋×0.9544＝0.9772.故D错误.而A，B都正确.故选ABC.二、填空题9.已知ξ~N(4，σ2)，且P(2＜ξ＜6)≈0.6826，则σ＝2，P(｜ξ－2｜＜4)＝0.84.解析：∵ξ~N(4，σ2)且P(2＜ξ＜6)≈0.6826，∴μ＝4，结合3σ原则可知∴σ＝2.∴P(｜ξ－2｜＜4)＝P(－2＜ξ＜6)＝P(－2＜ξ＜2)＋P(2＜ξ＜6)＝[P(－2＜ξ＜10)－P(2＜ξ＜6)]＋P(2＜ξ＜6)＝P(－2＜ξ＜10)＋P(2＜ξ＜6)＝[P(μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ)＋P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)]≈(0.9974＋0.6826)＝0.84.10.某正态分布密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为，则总体落入区间(0，2]内的概率为0.4772.解析：正态分布密度函数是φ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，若它是偶函数，则μ＝0，∵φ(x)的最大值为φ(μ)＝，∴σ＝1，∴P(0＜X≤2)＝P(－2＜X≤2)＝P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈×0.9544＝0.4772.11.某人乘车从A地到B地，所需时间(分钟)服从正态分布N(30，100)，求此人在40分钟至50分钟到达目的地(不包括40分钟，包括50分钟)的概率为0.1359.参考数据：若Z~N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜Z≤μ＋σ)≈0.6826，P(μ－2σ＜Z≤μ＋2σ)≈0.9544，P(μ－3σ＜Z≤μ＋3σ)≈0.9974.解析：∵P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6826，∴P(X＞μ＋σ)＝，∴P(X≤μ＋σ)≈1－.又P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.9544，∴P(X＞μ＋2σ)＝，∴P(X≤μ＋2σ)≈1－，∴P(μ＋σ＜X≤μ＋2σ)＝P(X≤μ＋2σ)－P(X≤μ＋σ)≈×(0.9544－0.6826)＝0.1359.∵μ＝30，σ＝10，∴P(40＜X≤50)≈0.1359.因此，此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率是0.1359.三、解答题12.设ξ~N(1，22)，试求：(1)P(－1＜ξ≤3)；(2)P(3＜ξ≤5)；(3)P(ξ≥5).解：因为ξ~N(1，22)，所以μ＝1，σ＝2，(1)P(－1＜ξ≤3)＝P(1－2＜ξ≤1＋2)＝P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)≈0.6826.(2)因为P(3＜ξ≤5)＝P(－3＜ξ≤－1)，所以P(3＜ξ≤5)＝[P(－3＜ξ≤5)－P(－1＜ξ≤3)]＝[P(1－4＜ξ≤1＋4)－P(1－2＜ξ≤1＋2)]＝[P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)]≈(0.9544－0.6826)＝0.1359.(3)P(ξ≥5)＝P(ξ≤－3)＝[1－P(－3＜ξ≤5)]＝[1－P(1－4＜ξ≤1＋4)]＝[1－P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)]≈(1－0.9544)＝0.0228.13.某地区模拟考试的数学成绩X服从正态分布N(90，σ2)，且P(X ＜70)＝0.2.从该地区参加模拟考试的学生中随机抽取10名学生的数学成绩，数学成绩在[70，110]的人数记作随机变量ξ，则ξ的方差为(C)A.2B.2.1C.2.4D.3解析：由正态分布知，每个人数学成绩在[70，110]的概率为2×(0.5－0.2)＝0.6，所以10名学生的数学成绩在[70，110]的人数服从二项分布B(10，0.6)，所以ξ的方差为10×0.6×(1－0.6)＝2.4.故选C.14.每年农历腊月廿三至腊月廿九，我国迎来春运节前客流高峰，据统计，某区火车站在此期间每日接送旅客人数X(单位：万)近似服从正态分布N(10，0.82)，则估计在此期间，至少有5天该车站日接送旅客超过10万人次的概率为(A)A. B.C. D.解析：由X~N(10，0.82)，得P(X≥10)＝.故7天中至少有5天该车站日接送旅客超过10万人次的概率为P＝.故选A.15.某公司开发了一种产品，有一项质量指标为“长度”(记为l，单位：cm)，先从中随机抽取100件，测量发现全部介于85cm和155cm 之间，得到如下频数分布表：分组[85，95)[95，105)[105，115)[115，125)[125，135)[135，145)[145，155]频数2922332482已知该批产品的该项质量指标值服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).(1)求P(132.2＜l＜144.4)；(2)公司规定：当l≥115时，产品为正品；当l＜115时，产品为次品.公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元；若是次品，则亏损30元.记ξ为生产一件这种产品的利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望.参考数据：≈12.2.若X~N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6826，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.9544，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.9974.解：(1)抽取产品质量指标值的样本平均数＝90×0.02＋100×0.09＋110×0.22＋120×0.33＋130×0.24＋140×0.08＋150×0.02＝120，抽取产品质量指标值的方差s2＝900×0.02＋400×0.09＋100×0.22＋0×0.33＋100×0.24＋400×0.08＋900×0.02＝150.所以l~N(120，150)，又σ＝≈12.2，所以P(μ＜l≤μ＋σ)＝P(120＜l≤132.2)≈×0.6826＝0.3413，P(μ＜l≤μ＋2σ)＝P(120＜l≤144.4)≈×0.9544＝0.4772，所以P(132.2＜l＜144.4)＝P(120＜l≤144.4)－P(120＜l≤132.2)≈0.1359.(2)由频数分布表得，P(l＜115)＝0.02＋0.09＋0.22＝0.33，P(l≥115)＝1－0.33＝0.67.随机变量ξ的取值为90，－30，且P(ξ＝90)＝0.67，P(ξ＝－30)＝0.33.则随机变量ξ的分布列为ξ90－30P0.670.33所以Eξ＝90×0.67－30×0.33＝50.4.。
2018年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅲ)(含答案及解析)
2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{0}B．{1}C．{1，2}D．{0，1，2} 2．（5分）（1+i）（2﹣i）=（）A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i3．（5分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）A．B．C．D．4．（5分）若sinα=，则cos2α=（）A．B．C．﹣D．﹣5．（5分）（x2+）5的展开式中x4的系数为（）A．10B．20C．40D．806．（5分）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是（）A．[2，6]B．[4，8]C．[，3]D．[2，3]7．（5分）函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为（）A．B．C．D．8．（5分）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，P（x=4）＜P（X=6），则p=（）A．0.7B．0.6C．0.4D．0.39．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．10．（5分）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（）A．12B．18C．24D．5411．（5分）设F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|=|OP|，则C的离心率为（）A．B．2C．D．12．（5分）设a=log0.20.3，b=log20.3，则（）A．a+b＜ab＜0B．ab＜a+b＜0C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
正态分布及其经典习题和答案DOC
（1）正态曲线下、横轴上，从均数到∞+的面积为( )。
A ．95%B ．50%C ．97.5%D ．不能确定 答案：B 。
解析：由正态曲线的特点知。
（2）某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是 （ ）A 32B 16C 8D 20 答案：B 。
解析:数学成绩是X —N(80,102)，80809080(8090)(01)0.3413,480.3413161010P X P Z P Z --⎛⎫≤≤=≤≤=≤≤≈⨯≈ ⎪⎝⎭（31为)(1,1x σμϕ，2为)(22x σμϕ， 则1μ 2μ，1σ 2σ答案：＜，＞。
解析：由正态密度曲线图象的特征知。
例2：甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.答案：设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则P (A )=310361426C C C C +=321202060=+，P (B )=15141205656310381228=+=+C C C C . 因为事件A 、B 相互独立， 方法一：∴甲、乙两人考试均不合格的概率为 ()()()45115141321=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=⋅B P A P B A P∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 ()454445111=-=⋅-=B A P P 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544．方法二：∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为()()()454415143215143115132=⨯+⨯+⨯=⋅+⋅+⋅=B A P B A P B A P P答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544.1．标准正态分布的均数与标准差分别为( )。
A ．0与1 B ．1与0 C ．0与0 D ．1与1 答案：A 。
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考点48 正态分布【考纲要求】利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 【命题规律】在选择题、填空题考查较多，属容易题，分值5分，在解答题中结合其他知识考查属中等题. 【典型高考试题变式】 正态分布例1.【2017课标1】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ．（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数， 求(1)P X ≥及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s ==，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估 计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=，160.997 40.959 2≈0.09≈．【分析】（1）根据题设条件知一个零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974，则零件的尺寸 在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.0026，而~(16,0.0026)X B ，进而可以求出X 的数学期望.（2）（i ）判断监控生产过程的方法的合理性，重点是考虑一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件的概率是大还是小，若小即合理；（ii ）根据题设条件算出μ的估计值和σ的估计值，剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22，算出剩下数据的平均数，即为μ的估计值，剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22，剩下数据的样本方差，即为σ的估计值.【解析】（1）抽取的一个零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.0026，故~(16,0.0026)X B .因此16(1)1(0)10.99740.0408P X P X ≥=-==-≈.X 的数学期望为160.00260.0416EX =⨯=.（2）（i ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率只有0.0026，一天内抽取 的16个零件中，出现尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.【名师点睛】数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念，反映随机变量取值的平均水平.求解离散 型随机变量的分布列、数学期望时，首先要分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的所有取值，然后根据概率类型选择公式，计算每个变量取每个值的概率，列出对应的分布列，最后求出数学期望.正态分布是一种重要的分布，之前考过一次，尤其是正态分布的3σ原则.【变式1】某种品牌摄像头的使用寿命ξ(单位：年)服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该种品牌的摄像头，则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为________． 【答案】14【变式2】【广西南宁2017届普通高中毕业班第二次模拟】某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份中5天的日销售量y （单位：千克）与该地当日最低气温x （单位： C ）的数据，如下表：（1）求出y 与x 的回归方程ˆˆˆybx a =+； （2）判断y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6C，请用所求回归方程预测该店当日的销售量；（3）设该地1月份的日最低气温X ～()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ，求(3.813.4)PX <<.附：①回归方程ˆˆˆybx a =+中， ()1221ˆni i i n i i x y nxyb x n x ==-=-∑∑， ˆˆˆay bx =-. ②3.2≈，1.8≈，若X ～()2,N μσ，则()0.68P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=.【解析】（1）因为令5n =,113575n i i x x n ====∑， 114595n i i y y n ====∑,所以()128757928n i ii x y nxy =-=-⨯⨯=-∑， ()22212955750nii xn x =-=-⨯=∑所以280.5650ˆb-==-所以()90.56712.ˆ92ˆˆay bx =-=--⨯=（或者： 32325） 所以所求的回归方程是0.5612.ˆ92yx =-+【数学思想】 ①数形结合思想． ②转化与化归思想. 【温馨提示】①曲线与x 轴之间面积为1.正态曲线关于直线x ＝μ对称，从而在关于x ＝μ对称的区间上概率相同． ②P (X ≤a )＝1－P (X ≥a )，P (X ≤μ－a )＝P (X ≥μ＋a )． 【典例试题演练】1.【2017云南大理统测】2016年1月某校高三年级1600名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试成绩()2100,X N σ （试卷满分为150分）．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的34，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为（ ） A ．80 B ．100 C ．120 D ．200 【答案】D【解析】正态曲线图象的对称轴为100X =，根据其对称性可知， 成绩不低于1200分的学生人数约为311600120042⎛⎫⨯-⨯= ⎪⎝⎭人，故选D.2.【2017年第三次全国大联考】已知某次数学考试的成绩服从正态分布2(102,4)N ，则114分以上的成绩所占的百分比为（附：()()0.6826,220.9544P X P X μσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=,(3P μσ-3)0.9974X μσ<≤+=)A.0.3%B.0.23%C.1.3%D.0.13% 【答案】D【解析】由已知得()(90114)330.9974P X P X μσμσ<≤=-<≤+=，故(114)P X >10.99740.00132-===0.13%，故选D ． 3.【2017山西晋城市模拟考试】已知4621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为a ,且()1,1X N ,则()3P X a <<=（ ）(附：若随机变量()2,X N μσ ,则()()000068.26,2295.44P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=,()003399.74P X μσμσ-<<+=)A ．0.043B ．0.0215C ．0.3413D ．0.4772 【答案】B4.设随机变量δ服从正态分布N （3，7），若p （δ＞a +2）=p （δ＜a －2），则a =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】由已知若p （δ＞a +2）=p （δ＜a －2），则33222=⇒=-++a a a5.已知随机变量X 服从正态分布N （3，1），且P （l≤X≤5）=0．682 6，则(5)P X >=（ ） A ．0．158 8 B ．0．158 7C ．0．158 6D ．0．158 5【答案】B【解析】依题意()10.682650.15872P x ->==，故选B. 6.【2017河北五邑四模】某校高考数学成绩近似地服从正态分布()2100,5N ，且(110)0.96P ξ<=，则(90100)P ξ<<的值为（ ）A. 0.49B. 0.48C. 0.47D. 0. 46 【答案】D【解析】依据题设条件及正太分布的对称性可知()11010.960.04P ξ≥=-=，所以()900.04P ξ≤=，则()290100120.040.92P ξ<<=-⨯=，所以()901000.46P ξ<<=，应选D.7. 【2017荆、荆、襄、宜四地七校联考】设随机变量服从正态分布),1(2σN ，若2.0)1(=-<ηP ，则函数3221()3f x x x x η=++没有极值点的概率是（ ） A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8 【答案】C【解析】由22()20f x x x η'=++= 无相异实根得244011ηηη∆=-≤⇒≥≤-或 ，因此函数()f x 没有极值点的概率是(1)(1)0.50.20.7P P ηη≥+≤-=+=，选C. 8. 设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f (x )的图象，且f (x )＝18πe8)10(2--x (x ∈R)，则这个正态总体的平均数与标准差分别是( )A.10与8B.10与2C.8与10D.2与10 【答案】B 【解析】f (x )＝12π×2e 222)10(⨯--x ，所以σ＝2，μ＝10，即正态总体的平均数与标准差分别为10与2，故选B.9. 已知三个正态分布密度函数φi (x )＝12πσie －（x －μi ）22σ2i (x ∈R ，i ＝1，2，3)的图象如图所示，则( )A.μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ 3B.μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3C.μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3D.μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3【答案】D【解析】由正态曲线关于直线x ＝μ对称，知μ1＜μ2＝μ3；σ的大小决定曲线的形状，σ越大，总体分布越分散，曲线越矮胖；σ越小，总体分布越集中，曲线越瘦高，则σ1＝σ2＜σ3.实际上，由φ1(μ1)＝φ2(μ2)＞φ3(μ3)，则12πσ1＝12πσ2＞12πσ3，即σ1＝σ2＜σ3.故选D.10. (2017·石家庄模拟)设X ～N (1，σ2)，其正态分布密度曲线如图所示，且P (X ≥3)＝0.022 8，那么向正方形OABC 中随机投掷20 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为( )附：(随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 4)．A ．12 076B ．13 174C ．14 056D ．7 539 【答案】B11.【2017年原创押题预测卷02（山东卷）】已知~(,4)X N m ，且(2)()P X m P X m ≤-=≥，则若(2)0.72P X <=，则(12)P X <<= .【答案】0.22【解析】因为~(,4)X N m ，故由(2)()P X m P X m ≤-=≥可得(2)2m m m +-=，解得1m =， 故~(1,4)X N .由(2)0.72P X <=可得(2)10.720.28P X ≥=-=， 由正态曲线的对称性可知(1)0.5P X >=，所以(12)(1)(2)0.50.280.22P X P X P X <<=>-≥=-=.12.【2017四川资阳模拟】已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ²)，且P (0≤X ≤2)＝0.3，则P (X ＞4)＝_____． 【答案】0.2；【解析】由题意结合正态分布的性质可知： ()240.3P x ≤≤= ，则10.32(4)0.22P X -⨯>==. 13.【2017湖北省黄石市调研】已知随机变量ξ服从正态分布()20,N δ，且()220.4P ξ-≤≤=，则()2P ξ>=___________．【答案】0.3 【解析】()2P ξ>=()1220.3.2P ξ--≤≤=14.【2017广东省汕头市模拟】为评估设备M 生产某种零件的性能，从设备M 生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X ，并根据以下不等式进行评判（P 表示相应事件的概率）；①6826.0)(≥+≤<-σμσμX P ； ②9544.0)22(≥+≤<-σμσμX P ；③9974.0)33(≥+≤<-σμσμX P .评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M 的性能等级. （2）将直径小于等于σμ2-或直径大于σμ2+的零件认为是次品.（ⅰ）从设备M 的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y 的数学期望)(Y E ； （ⅱ）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z 的数学期望)(Z E .（2）由图表知道：直径小于或等于σμ2-的零件有2件，大于σμ2+的零件有4件共计6件。