第七章多元函数微分学(1)

( x , y ) ( x0 , y 0 )
lim
f ( x, y ) lim f ( x, y ) A
x x0 y y0
关于二元函数的极限概念可相应地推广 到n元函数上去.
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x x0 y y0
lim f ( x , y )
说明
(1) 定义中 P P0 的方式是任意的； （2）一元极限的许多结论在二重极限中同样 成立，如极限的保号性、无穷小与有界量的 乘积仍是无穷小、 极限的四则运算、夹逼定 理、等价无穷小替换乘除因子定理.
y
x y0

O
x y0

x
10
开区域连同其边界,称为 闭区域.
如 {( x , y ) 1 x y 4}, {( x , y ) x y 0}
2 2
都是闭区域 . 有界区域
多 元 函 数 的 基 本 概 念
总可以被包围在一个以原点为中心、 半径
适当大的圆内的区域, 称此区域为 有界区域. 否则称为 无界区域 (可伸展到无限远处的区域 ).
2 2
点P ( x0 , y0 ) R , 若1 x y 2, 则P为E的内点;
2 2 0 2 0 2 2 2 2 若 x0 y0 1 或 x0 y0 2, 则P为E的边界点,
多 元 函 数 的 基 本 概 念
E的边界 E为集合
{( x , y ) x 2 y 2 1} {( x , y ) x 2 y 2 2}.
2 2
x y ( x 0) ( y 0) 2 0, 取
则当 0 ( x 0)2 ( y 0)2
有

1 ( x y ) sin 2 0 2 x y
2 2
证毕.
多 元 函 数 的 基 本 概 念
y
O
y
P D
x
x
二元函数的图形通常是一张曲面.
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由空间解析几何知, 函数 如,
z R2 x 2 y 2
的图形是以原点为中心, R为半径的上半球面. 又如, z xy 的图形是双曲抛物面. 最后指出, 从一元函数到二元函数, 在内容 和方法上都会出现一些实质性的差别, 而多元 函数之间差异不大. 因此研究多元函数时, 将以 二元函数为主.
路径又是多种多样的. y
( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y)
( x0 , y0 )

y
( x, y)

( x, y)
( x, y)
( x0 , y0 )
( x, y) ( x, y)
O
x
O
x
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(2) 变点P(x,y)与定点P0(x0,y0)之间的距离记为
( x x0 )2 ( y y0 )2 PP0
称之为点P0的邻域, 有时简记为 U ( P0 ). 几何表示： 注
y
多 元 函 数 的 基 本 概 念
. P0
O x
将邻域去掉中心, 称之为 去心邻域 U ( P0 , )
4
任意一点 P R 2 与任意一点集 E R 2 之间 必有以下三种关系中的一种: (1) 内点 设E为一平面点集,点P E , 若存在 点P的某个邻域, 使U ( P ) E , 称P为E的 P3 内点. ( P1 ) 显然, E的内点属于E. (2) 外点 如果存在点P的某个邻域 U ( P ), 使U(P) ∩ E = , 则称P为E的 外点. ( P2 )
R2 R R {( x , y ) x , y R}
坐标面
多 元 函 数 的 基 本 概 念
坐标平面上具有某种性质P的点的集合, 称为 平面点集, 记作 E {( x, y ) ( x, y )具有性质P }. 距离
平面xOy中两个点 P1 x1 , y1 和P2 x2 , y2

8
}, 例 设E1 {( x, y) | x y 1 2 2 E2 {( x, y) | x y 1 }, E3 {( x, y) | x2 y 2 1 },
2 2
则E1是开集, E2和E3是闭集, E1和E2是连通 集, E3不是连通集. E1, E2和E3都是有界集.
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1 试证 lim f ( x , y ) lim( x y ) sin 2 2 0 x 0 x 0 x y y 0 y 0
多 元 函 数 的 基 本 概 念
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ14
定义1
设D是R2平面上的点集, 若在D内
1
每取定一个点P(x, y)时, 按着某种关系有确定的 实数 z R 与之对应， 则称z是x, y的 二元函数. 记为
多 元 函 数 的 基 本 概 念
z f ( x, y), ( x, y) D 或z f ( P) , P D 称x, y为自变量,称z为因变量, 点集D称为该函数 的 定义域, 数集 z z f ( x, y),( x, y) D 称为该函数的 值域.
例 E2 {( x, y) x y 1} {( x, y) x y 4} 为闭集.
2 2 2 2
多 元 函 数 的 基 本 概 念
连通集 如对E内任何两点, 都可用折线连结起来, 且该折线上的点都属于E, 称E为连通集. 有界集 设O(0,0),如果存在r>0,使得 E (O, r ), 则称E为有界集,否则称E为无界集.
多 元 函 数 的 基 本 概 念
设E4 {( x, y) | x 0},
则E4是连通的无界闭集.
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平面区域(重要)
连通的开集称 开区域.
2 2 如 {( x , y ) 1 x y 4},
{( x, y ) x y 0}


多 元 函 数 的 基 本 概 念
都是开区域.
多 元 函 数 的 基 本 概 念
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三、多元函数的极限
讨论二元函数 z f ( x , y ), 当x x0 , y y0 ,
即P( x, y) P0 ( x0 , y0 )时的极限 .
怎样描述呢?
回忆: 一元函数的极限
多 元 函 数 的 基 本 概 念
注 (1) P(x, y)趋向于P0(x0, y0)的 方向有任意多个,
2 2 之间的距离定义为 |P P | ( x x ) ( y y ) 1 2 1 2 1 2
3
邻域 (Neighborhood)
设P0(x0, y0)是 xOy 平面上的一个点, 0, 令
U ( P0 , ) {P | P R 2且 | PP 0 | } {( x, y ) ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 }
第七章
多元函数微分学
z
M
z f ( x, y )
y
O
y
P D
x
x
1
第一节 多元函数的基本概念
预备知识 多元函数的概念 多元函数的极限 多元函数的连续性 小结 思考题 作业
2
第七章 多元函数微分学
一、预备知识
1. 平面点集 n 维空间
(1) 平面点集 二元有序 实数组(x, y)的全体, 即
不论 P ( x, y )趋向于P ( x0 , y0 ) 的过程多复杂, 总可以用 0 来表示极限过程:
多 元 函 数 的 基 本 概 念
P( x, y) P0 ( x0 , y0 )
这样,可以在一元函数的基础上得出 二元函数极限的一般定义.
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定义2 ( )设二元函数 f ( P ) f ( x , y )的定义 义域为D, P0(x0, y0)是D的聚点. 如果存在常数 A,
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聚点 如果点P的任一去心邻域 U ( P , ) 内总含有属于E的点， 则称P是E的 聚点. 注 （1）聚点P本身可属于E,也可不 属于E 。
2 2 例如, 设点集 E {( x , y ) 1 x y 2}, 则
多 元 函 数 的 基 本 概 念
{( x0 , y0 ) | x y 1 } E {( x0 , y0 ) | x y 2} E
E
P1
多 元 函 数 的 基 本 概 念
P2
显然, E的外点不属于E. (3) 边界点 如点P的任一邻域内既有属于E的点, 也有不属于E的点, 称P为E的边界点. ( P3 ) 显然, E的边界点可能属于E，也可能不属于E. E的边界点的全体称为E的 边界, 记作 E .
5
例如, 设点集 E {( x , y ) 1 x y 2},


两个二元函数相同，当且仅当它们的定义域和对 应法则都相同。 15
函数 z f ( x , y ) 在点 P( x0 , y0 )处的函数值
记为 f ( x0 , y0 ) 或 f ( P).
类似, 可定义n元函数. 二元及二元以上的函数统称为 多元函数.
(2) 多元函数定义域
多 元 函 数 的 基 本 概 念
多 元 函 数 的 基 本 概 念
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1 例 试证 lim f ( x , y ) lim( x y ) sin 2 2 0 x 0 x 0 x y y 0 y 0
2 2
解1 2 2 ( x y ) sin 证
2 2
( x 2 y 2 0)
1 1 2 2 x y sin 2 2 2 0 x y2 x y
实际问题中的函数: 定义域为符合实际意义的
自变量取值的全体.
纯数学问题的函数: 定义域为使运算有意义的
自变量取值的全体.