22 二次函数图象和性质练习 (6)
二次函数图像与性质练习题
二次函数图像与性质练习题二次函数是高中数学中的一个重要内容，它在数学中有着广泛的应用。
而对于学生来说，了解二次函数的图像和性质是非常重要的。
本文将通过一些练习题来帮助学生深入理解二次函数的图像和性质。
练习题一：给定函数 f(x) = 2x^2 + 3x - 2，求解以下问题：1. 求函数 f(x) 的顶点坐标和对称轴方程；2. 求函数 f(x) 的零点；3. 判断函数 f(x) 的开口方向和最值。
解答：1. 首先，我们知道二次函数的顶点坐标可以通过公式 x = -b/2a 和 y = f(-b/2a) 来求解。
将函数 f(x) 的系数代入公式中，可以得出顶点坐标为 (-3/4, -23/8)。
对称轴方程为 x = -3/4。
2. 函数 f(x) 的零点即为方程 2x^2 + 3x - 2 = 0 的解。
通过因式分解或者使用求根公式，可以得到零点为 x = 1/2 和 x = -2。
3. 由于二次函数的系数 a 大于 0，所以函数的开口方向是向上的。
同时，由于顶点坐标的 y 值为 -23/8，所以函数的最值为最小值。
练习题二：给定函数 g(x) = -x^2 + 4x + 5，求解以下问题：1. 求函数 g(x) 的顶点坐标和对称轴方程；2. 求函数 g(x) 的零点；3. 判断函数 g(x) 的开口方向和最值。
解答：1. 同样地，我们可以通过公式 x = -b/2a 和 y = g(-b/2a) 来求解顶点坐标。
将函数 g(x) 的系数代入公式中，可以得出顶点坐标为 (2, 9)。
对称轴方程为 x = 2。
2. 函数 g(x) 的零点即为方程 -x^2 + 4x + 5 = 0 的解。
通过因式分解或者使用求根公式，可以得到零点为 x = -1 和 x = 5。
3. 由于二次函数的系数 a 小于 0，所以函数的开口方向是向下的。
同时，由于顶点坐标的 y 值为 9，所以函数的最值为最大值。
通过以上练习题，我们可以看到二次函数的图像和性质是与函数的系数相关的。
人教版九年级数学上册二次函数的图象和性质复习同步练习题
22.1 二次函数的图象和性质1．抛物线y=－3x 2上两点A （x ，－27），B （2，y ），则x= ，y= ．2．抛物线y=－4x 2－4的开口向 ，当x= 时，y 有最 值，y = ． 3．当m= 时，y=（m －1）xmm +2－3m 是关于x 的二次函数．4．当m= 时，抛物线y=（m ＋1）x mm +2＋9开口向下，对称轴是 ．在对称轴左侧，y 随x 的增大而 ；在对称轴右侧，y 随x 的增大而 ． 5．抛物线y=3x 2与直线y=kx ＋3的交点为（2，b ），则k= ，b= ．6．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，且经过点（－1，－2），则抛物线的表达式为．7．在同一坐标系中，图象与y=2x 2的图象关于x 轴对称的是（ ）A ．y=21x 2B ．y=－21x 2C ．y=－2x 2D ．y=－x 28．抛物线，y=4 x 2，y=－2x 2的图象，开口最大的是（ ）A ．y=41x 2B ．y=4x 2C ．y=－2x 2D ．无法确定9．对于抛物线y=31x 2和y=－31x 2在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是（ ）A ．两条抛物线关于x 轴对称B ．两条抛物线关于原点对称C ．两条抛物线关于y 轴对称D ．两条抛物线的交点为原点10．二次函数y=ax 2与一次函数y=ax ＋a 在同一坐标系中的图象大致为（ ）错误!未找到引用源。
11．已知函数y=ax 2的图象与直线y=－x ＋4在第一象限内的交点和它与直线y=x 在第一 象限内的交点相同，则a 的值为（ ）A ．4 B ．2 C ．21D ．4112．求符合下列条件的抛物线y=ax 2的表达式：（1）y=ax 2经过（1，2）； （2）y=ax 2与y=21x 2的开口大小相等，开口方向相反；（3）y=ax 2与直线y=21x ＋3交于点（2，m ）．13已知错误!未找到引用源。
是二次函数，且当错误!未找到引用源。
二次函数的图像及性质6
得到的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于
二次函数y=aｘ2+k的性质
y＝ax２+k
a＞0
a〈0
图象
开口 对称性
顶点 增减性
ｋ〉0
k<0
k〉0
k〈0
开口向上
开口向下
ａ的绝对值越大,开口越小
关于y轴对称
(０,k)
顶点是最低点
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
顶点是最高点
在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
不同点：a 要越大，抛物线的开 口越小.
y y x 2 8
y 2x2
6
y 1 x2
4
2
2
－4
－2 O
24
x
探究
画出函数 yx2,y1x2,y2x2 的图象，并考虑这些抛物 2
线有什么共同点和不同点．
你画出的图象与图中相同吗?
x ··· －4 -３ -２ -１ ０ 1 2 3 4 ···
y 1 x 2 ··· －8 -4.5 －２ -0。5 0
…二次函数的图像和性质…
1. y＝ａｘ2的函数图像 2. y=ax2 ＋k 的函数图像 3. y＝a(ｘ-h)2的函数图像 4. ｙ=a(x－h)2 ＋k 的函数图像 5. ｙ=ａx2+bx+c 的函数图像
画形如ｙ＝ax２的函数图像：
1、画函数y＝x２的图像;
观察y=x２的表达式,选择适当ｘ值，并计
同，但顶点坐标不同ຫໍສະໝຸດ 函数ｙ＝ ２ｘ2的图象的顶点坐标是（0,0)，而函数y＝2x２＋１的图象的顶点坐标是(0，1).
2、函数y=2x2+1的图象可以看成是将函数y=2x2的图象 向上平移一个单位得到的．
二次函数的图象和性质练习题(含参考答案)
新华师大版九年级下册数学第26章 二次函数的图象和性质部分练习题姓名____________ 时间: 90分钟 满分:120分 总分____________一、选择题（每小题10分,共30分）1. 将抛物线2x y =向右平移2个单位,再向上平移1个单位,所得新抛物线对应的函数表达式为 【 】 （A ）()122++=x y （B ）()122-+=x y（C ）()122+-=x y （D ）()122--=x y2. 将抛物线()312+-=x y 向左平移1个单位,得到的抛物线与y 轴的交点坐标是 【 】（A ）（0 , 2） （B ）（0 , 3） （C ）（0 , 4） （D ）（0 , 7）3. 抛物线321532-⎪⎭⎫⎝⎛+-=x y 的顶点坐标是 【 】（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,21 （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛--3,21 （C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛3,21 （D ）⎪⎭⎫⎝⎛-3,214. 抛物线322++=x x y 的对称轴是 【 】 （A ）直线1=x （B ）直线1-=x （C ）直线2-=x （D ）直线2=x5. 在平面直角坐标系中,将抛物线221x y -=先向下平移1个单位长度,再向左平移1个单位长度,得到的抛物线的解析式为 【 】（A ）23212---=x x y （B ）21212-+-=x x y （C ）23212-+-=x x y （D ）21212---=x x y6. 关于抛物线()212--=x y ,下列说法错误的是 【 】（A ）顶点坐标为()2,1- （B ）对称轴是直线1=x（C ）开口向上 （D ）当1>x 时,y 随x 的增大而减小7. 如图所示,把抛物线2x y =沿直线x y =向右平移2个单位后,其顶点在直线上的A 处,平移后的抛物线解析式是 【 】（A ）()112-+=x y （B ）()112++=x y（C ）()112+-=x y （D ）()112--=x y第 7 题图8. 关于二次函数1422-+=x x y ,下列说法正确的是 【 】 （A ）图象与y 轴的交点坐标为（0 , 1） （B ）图象的对称轴在y 轴的右侧 （C ）当0<x 时,y 的值随x 值的增大而减小 （D ）y 的最小值为3-9. 抛物线1822-+-=x x y 的顶点坐标为 【 】 （A ）（7,2-） （B ）（2 , 7） （C ）（2 ,25-） （D ）（2 ,9-）10. 已知二次函数()12+-=h x y ,在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况下,与其对应的函数值y 的最小值为5,则h 的值为 【 】 （A ）1或5- （B ）1-或5 （C ）1或3- （D ）1或3 二、填空题（每小题3分,共30分）11. 抛物线()5232+-=x y 的顶点坐标为_________.12. 将抛物线2x y =向左平移2个单位,再向下平移5个单位,平移后所得新抛物线的表达式为________________.13. 用配方法将二次函数982--=x x y 化为()k h x a y +-=2的形式为________________.14. 抛物线132+-=x x y 的顶点坐标为_________. 15. 抛物线x x y 92+-=的最大值为_________.16. 将抛物线()2432+-=x y 向右平移1个单位,再向下平移3个单位,平移后抛物线的解析式是________________. 17. 已知点()1,4y A ,()2,2y B,()3,2y C -都在二次函数()122--=x y 的图象上,则321,,y y y 的大小关系是__________.18. 抛物线m x x y +-=22与x 轴只有一个交点,则m 的值为_________.19. 已知点()11,y x A ,()22,y x B 为函数()3122+--=x y 图象上的两点,若121>>x x ,则21,y y 的大小关系是__________.20. 如图,把抛物线221x y =平移得到抛物线m ,抛物线m 经过点()0,8-A 和原点O （0 , 0）,它的顶点为P ,它的对称轴与抛物线221x y =交于点Q ,则图中阴影部分的面积为_________.三、解答题（共60分） 21.（10分）已知抛物线()31432--=x y . （1）写出抛物线的开口方向、对称轴;（2）函数y 有最大值还是最小值?并求出这个最值;（3）设抛物线与y 轴的交点为P ,与x 轴的交点为Q ,求直线PQ 的函数表达式.22.（10分）已知二次函数的图象以()4,1-A 为顶点,且过点()5,2-B . （1）求该函数的关系式;（2）求该函数的图象与坐标轴的交点坐标.23.（10分）已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为()1,4-,与y 轴交于点（0 , 3）,求这条抛物线的函数表达式.24.（10分）如图,在平面直角坐标系中,把抛物线2x y =向左平移1个单位,再向下平移4个单位,得到抛物线()k h x y +-=2.所得抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边）,与y轴交于点C ,顶点为D . （1）求k h ,的值; （2）判断△ACD 的形状.yxDC BA O25.（10分）已知抛物线22212-+-=x x y . （1）写出此抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标; （2）求出抛物线与x 轴、y 轴的交点坐标;（3）在（2）中,设抛物线与y 轴交于点A ,与x 轴交于点B ,若以点A 为顶点的抛物线经过点B ,请你求出这条抛物线的解析式,并指出其开口方向和函数的最值.26.（10分）已知二次函数m x x y ++=22的图象1C 与x 轴有且只有一个公共点. （1）求1C 的顶点坐标;（2）将1C 向下平移若干个单位后,得抛物线2C ,如果2C 与x 轴的一个交点为()0,3-A ,求2C 的函数关系式,并求2C 与x 轴的另一个交点坐标;（3）若()1,y n P ,()2,2y Q 是1C 上的两点,且21y y >,求实数n 的取值范围.新华师大版九年级下册数学第26章 二次函数的图象和性质练习题参考答案一、选择题（每小题3分,共30分）二、填空题（每小题3分,共30分）11. （2 , 5） 12. ()522-+=x y 13. ()2542--=x y 14. ⎪⎭⎫⎝⎛-45,2315.481 16. ()1532--=x y 17. 312y y y << 18. 1 19. 21y y < 20. 32三、解答题（共60分） 21.（10分）已知抛物线()31432--=x y . （1）写出抛物线的开口方向、对称轴; （2）函数y 有最大值还是最小值?并求出这个最值;（3）设抛物线与y 轴的交点为P ,与x 轴的交点为Q ,求直线PQ 的函数表达式. 解:（1）开口向上,对称轴为直线1=x ; ……………………………………………2分 （2）函数y 有最小值,最小值为3-=y ; ……………………………………………4分 （3）令0=x ,则()49310432-=--⨯=y ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-49,0P ……………………………5分令0=y ,则()031432=--x 解之得:3,121=-=x x∴()0,1-Q 或Q （3 , 0）……………………………………………6分 设直线PQ 的函数表达式为b kx y +=当⎪⎭⎫ ⎝⎛-49,0P ,()0,1-Q 时⎪⎩⎪⎨⎧=+--=049b k b 解之得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=4949b k∴直线PQ 的函数表达式为4949--=x y ; ……………………………………………8分当⎪⎭⎫ ⎝⎛-49,0P , Q （3 , 0）时⎪⎩⎪⎨⎧=+-=0349b k b 解之得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==4943b k∴直线PQ 的函数表达式为4943-=x y …………………………………………10分 综上所述,直线PQ 的函数表达式为4949--=x y 或4943-=x y . 22.（10分）已知二次函数的图象以()4,1-A 为顶点,且过点()5,2-B . （1）求该函数的关系式;（2）求该函数的图象与坐标轴的交点坐标. 解:（1）由题意可设该函数的关系式为()k h x a y +-=2∵其顶点为()4,1-A ∴4,1-==k h……………………………………………2分 ∴()412--=x a y把()5,2-B 代入()412--=x a y 得:()54122-=--⨯a解之得:1-=a……………………………………………4分 ∴该函数的关系式为()412---=x y ;（2）令0=x ,则()54102-=---=y∴该函数的图象与y 轴的交点为()5,0-;……………………………………………7分 令0=y ,则()0412=---x∴()412-=-x∴方程无实数解∴该函数的图象与x 轴无交点.…………………………………………10分 23.（10分）已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为()1,4-,与y 轴交于点（0 , 3）,求这条抛物线的函数表达式.解:由题意可设该抛物线为()k h x a y +-=2∵其顶点坐标为()1,4- ∴1,4-==k h……………………………………………4分 ∴()142--=x a y把（0 , 3）代入()142--=x a y 得:()31402=--⨯a……………………………………………6分 解之得:41=a …………………………………………10分 ∴这条抛物线的函数表达式为()14412--=x y . 24.（10分）如图,在平面直角坐标系中,把抛物线2x y =向左平移1个单位,再向下平移4个单位,得到抛物线()k h x y +-=2.所得抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边）,与y 轴交于点C ,顶点为D . （1）求k h ,的值; （2）判断△ACD 的形状.解:（1）平移后,抛物线的解析式为()412-+=x y……………………………………………3分 ∴4,1-=-=k h ;……………………………………………5分 （2）令0=y ,则()0412=-+x解之得:1,321=-=x x ∵点A 在点B 的左边 ∴()0,3-A ,B （1 , 0）……………………………………………6分 ∴3=OA令0=x ,则()34102-=-+=y∴()3,0-C……………………………………………7分 ∴3=OC∴OC OA =∴△AOC 为等腰直角三角形∴︒=∠45ACO∵点D 为抛物线()412-+=x y 的顶点∴()4,1--D……………………………………………8分 过点D 作y DE ⊥轴 ∴4,1==OE DE∴134=-=-=OC OE CE ∴CE DE =∴△DCE 为等腰直角三角形∴︒=∠45DCE∴︒=︒-︒-︒=∠904545180ACD ∴△ACD 为直角三角形.…………………………………………10分 25.（10分）已知抛物线22212-+-=x x y . （1）写出此抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标;（2）求出抛物线与x 轴、y 轴的交点坐标; （3）在（2）中,设抛物线与y 轴交于点A ,与x 轴交于点B ,若以点A 为顶点的抛物线经过点B ,请你求出这条抛物线的解析式,并指出其开口方向和函数的最值. 解:（1）()222212221--=-+-=x x x y ……………………………………………1分 开口向下,对称轴为直线2=x ,顶点坐标为（2 , 0）;……………………………………………4分 （2）令0=y ,则()02212=--x 解之得:2=x∴抛物线与x 轴的交点为（2 , 0）……………………………………………5分 令0=x ,则()220212-=-⨯-=y ∴抛物线与y 轴的交点为()2,0-;……………………………………………6分 （3）由题意可设抛物线的解析式为k ax y +=2∵其顶点为A ()2,0- ∴2-=k……………………………………………7分 ∴22-=ax y把B （2 , 0）代入22-=ax y 得:024=-a 解之得:21=a……………………………………………8分∴2212-=x y开口向上,函数的最小值为2-.…………………………………………10分 26.（10分）已知二次函数m x x y ++=22的图象1C 与x 轴有且只有一个公共点. （1）求1C 的顶点坐标;（2）将1C 向下平移若干个单位后,得抛物线2C ,如果2C 与x 轴的一个交点为()0,3-A ,求2C 的函数关系式,并求2C 与x 轴的另一个交点坐标;（3）若()1,y n P ,()2,2y Q 是1C 上的两点,且21y y >,求实数n 的取值范围.解:（1）()11222-++=++=m x m x x y∵其图象1C 与x 轴有且只有一个公共点 ∴01=-m ∴1=m……………………………………………3分∴()21+=x y∴1C 的顶点坐标为()0,1-;……………………………………………4分（2）设2C 的函数关系式为()k x y ++=21把()0,3-A 代入()k x y ++=21得:()0132=++-k解之得:4-=k∴2C 的函数关系式为()412-+=x y……………………………………………7分 令0=y ,则()0412=-+x解之得:1,321=-=x x∴2C 与x 轴的另一个交点坐标为（1 , 0）; ……………………………………………8分 （3）2>n 或4-<n .…………………………………………10分。
人教版 九年级数学上册 22.1 二次函数的图象和性质 同步训练(含答案)
人教版九年级数学上册22.1 二次函数的图象和性质同步训练一、选择题1. 二次函数y＝2x2，y＝－2x2，y＝12x2的共同性质是()A．其图象开口都向上B．其图象的对称轴都是y轴C．其图象都有最高点D．y随x的增大而增大2. 若y＝ax2＋bx＋c，则由表格中的信息可知y与x之间的函数解析式是()A.y＝x2－4x＋3 B．y＝x2－3x＋4C．y＝x2－3x＋3 D．y＝x2－4x＋83. 若二次函数y＝x2＋mx的对称轴是x＝3，则关于x的方程x2＋mx＝7的解为()A. x1＝0，x2＝6B. x1＝1，x2＝7C. x1＝1，x2＝－7D. x1＝－1，x2＝74. 已知二次函数y＝－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是()A．b≥－1 B．b≤－1C．b≥1 D．b≤15. 二次函数y＝2x2－3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是()A. 抛物线开口向下B. 抛物线经过点(2，3)C. 抛物线的对称轴是直线x＝1D. 抛物线与x轴有两个交点6. 将函数y＝x2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A(1，4)的是() A．向左平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度C．向上平移3个单位长度D．向下平移1个单位长度7. 已知抛物线y＝2x2＋bx＋c的顶点坐标是(－1，－2)，则b与c的值分别为() A．－1，－2 B．4，－2C．－4，0 D．4，08. 已知二次函数y＝x2＋bx＋c与x轴只有一个交点，且图象过A(x1，m)、B(x1＋n，m)两点，则m、n的关系为()A. m＝12n B. m＝14n C. m＝12n2 D. m＝14n2二、填空题9. 某抛物线的形状、开口方向与抛物线y＝12x2－4x＋3相同，顶点坐标为(－2，1)，则该抛物线的函数解析式为________________．10. 已知抛物线y＝2(x－1)2上有两点(x1，y1)，(x2，y2)，且1＜x1＜x2，则y1与y2的大小关系是________．11. 抛物线y＝－8x2的开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________；当x＞0时，y随x的增大而________，当x＜0时，y随x的增大而________．12. 已知二次函数的图象经过原点及点(－12，－14)，且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为________________．13. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)的对称轴是过点(1，0)且平行于y轴的直线，若点P(4，0)在该抛物线上，则4a－2b＋c的值为________．14. 顶点坐标是(2，0)，且与抛物线y＝－3x2的形状、开口方向都相同的抛物线的解析式为________．15. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于点A，B(m＋2，0)，与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为(m，c)，则点A的坐标是________．16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx(a＞0)的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y＝ax2(a＞0)交于点B.若四边形ABOC是正方形，则b的值是________．三、解答题17. 已知抛物线y＝ax2经过点A(－2，－8)．(1)求此抛物线的解析式；(2)判断点B(－1，－4)是否在此抛物线上；(3)求出抛物线上纵坐标为－6的点的坐标．18. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋2过B(－2，6)，C(2，2)两点．(1)试求抛物线的解析式；(2)记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；(3)若直线y＝－12x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B、C)部分有两个交点，求b的取值范围．19. 如图，等腰直角三角形ABC的直角边与正方形MNPQ的边长均为10 cm，边CA与边MN在同一直线上，开始时点A与点M重合，△ABC沿MN方向以1 cm/s 的速度匀速运动，当点A与点N重合时，停止运动．设运动的时间为t s，运动过程中△ABC与正方形MNPQ重叠部分的面积为S cm2.(1)试写出S关于t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；(2)当MA＝2 cm时，重叠部分的面积是多少？20. 设函数y＝(x－1)[(k－1)x＋(k－3)](k是常数)．(1)当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k取0时函数的图象；(2)根据图象，写出你发现的一条结论；(3)将函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y3的图象，求函数y3的最小值．人教版九年级数学上册22.1 二次函数的图象和性质同步训练-答案一、选择题1. 【答案】B2. 【答案】A[解析] ∵x ＝1时，ax 2＝1，∴a ＝1.将(－1，8)，(0，3)分别代入y ＝x 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧1－b ＋c ＝8，c ＝3，解得⎩⎨⎧b ＝－4，c ＝3.∴y 与x 之间的函数解析式是y ＝x 2－4x ＋3.故选A.3. 【答案】D【解析】∵二次函数y ＝x 2＋mx 的对称轴为x ＝－m2＝3，解得m ＝－6，则关于x 的方程为x 2－6x ＝7，解得，x 1＝－1，x 2＝7.4. 【答案】D [解析] 先根据抛物线的性质得到其对称轴为直线x ＝b ，且当x ＞b 时，y 的值随x 值的增大而减小．因为当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而减小，所以b≤1.5. 【答案】D【解析】本题考查了二次函数的性质，由于2>0，所以抛物线的开口向上，所以A 选项错误；由于当x ＝2时，y ＝8－3＝5，所以B 选项错误；由于y ＝2x 2－3的对称轴是y 轴，所以C 选项错误；由2x 2－3＝0得b 2－4ac ＝24>0，则该抛物线与x 轴有两个交点，所以D 选项正确．6. 【答案】D [解析] A ．将函数y ＝x 2的图象向左平移1个单位长度得到函数y ＝(x ＋1)2的图象，它经过点(1，4)；B.将函数y ＝x 2的图象向右平移3个单位长度得到函数y ＝(x －3)2的图象，它经过点(1，4)；C.将函数y ＝x 2的图象向上平移3个单位长度得到函数y ＝x 2＋3的图象，它经过点(1，4)；D.将函数y ＝x 2的图象向下平移1个单位长度得到函数y ＝x 2－1的图象，它不经过点(1，4)．故选D.7. 【答案】D8. 【答案】D【解析】因为二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴只有一个交点，∴b 2－4c ＝0，即c ＝b 24，由题意知，点A ，B 关于抛物线的对称轴对称，∴12AB＝|n|2＝－b 2－x 1，b ＝－|n|－2x 1, ∴c ＝（－|n|－2x 1）24＝|n|2＋4|n|x 1＋4x 214，∵A(x 1，m)在y ＝x 2＋bx ＋c 上，∴m ＝x 21＋bx 1＋c ，∴ m ＝x 21＋(－|n|－2x 1)· x 1＋|n|2＋4|n|x 1＋4x 214，化简整理得m ＝14n 2，故选D .二、填空题9. 【答案】y ＝12(x ＋2)2＋1 [解析] 已知抛物线的顶点坐标，可以设顶点式y ＝a(x －h)2＋k.又因为该抛物线的形状、开口方向与抛物线y ＝12x 2－4x ＋3相同，所以a ＝12，所以该抛物线的函数解析式是y ＝12(x ＋2)2＋1.10. 【答案】y 1<y 2[解析] ∵抛物线的解析式是y ＝2(x －1)2，∴其对称轴是直线x ＝1，抛物线的开口向上， ∴在对称轴右侧，y 随x 的增大而增大．又∵抛物线y ＝2(x －1)2上有两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且1＜x 1＜x 2，∴y 1<y 2.11. 【答案】下y 轴 (0，0) 减小 增大12. 【答案】y ＝x 2＋x 或y ＝－13x 2＋13x 【解析】依题意，所求函数有可能经过(－1，0)，(－12，－14) 或(1，0)，(－12，－14) .设所求函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，图象经过原点，则c ＝0，当图象经过(－1，0)，(－12，－14)时，代入可求得a ＝b ＝1，即所求解析式为y ＝x 2＋x ; 当图象经过(1，0)，(－12，－14)时，代入可求得a ＝－13，b ＝13，即所求解析式为y ＝－13x 2＋13x .综上所述，所求函数的解析式为y＝x 2＋x 或y ＝－13x 2＋13x .13. 【答案】0 【解析】设抛物线与x 轴的另一个交点是Q ，∵抛物线的对称轴是过点(1，0)的直线，与x 轴的一个交点是P(4，0)，∴与x 轴的另一个交点Q(－2，0)，把(－2，0)代入解析式得：0＝4a －2b ＋c ，∴4a －2b ＋c ＝0.14. 【答案】y ＝－3(x －2)215. 【答案】(－2，0)【解析】如解图，过D 作DM ⊥x 轴于点M ，∴M(m ，0)，又B(m ＋2，0)，∴MB ＝2，由C(0，c)，D(m ，c)知：OC ＝DM ，即点C 、D 关于对称轴对称，故点O 、M 也关于对称轴对称，∴OA ＝MB ＝2，∴A(－2，0)．16. 【答案】－2 [解析] 抛物线y ＝ax 2＋bx 的顶点C 的坐标为(－b 2a ，－b 24a)．把x ＝－b 2a 代入y ＝ax 2，得点B 的坐标为(－b 2a ，b 24a )．在y ＝ax 2＋bx 中，令y ＝0，则ax 2＋bx ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－b a ，∴A(－ba ，0)．∵四边形ABOC 为正方形，∴BC ＝OA ，∴2·b 24a ＝－b a ，即b 2＋2b ＝0.解得b ＝－2或b ＝0(不符合题意，舍去)．三、解答题17. 【答案】解：(1)∵抛物线y ＝ax 2经过点A(－2，－8)，∴4a ＝－8，解得a ＝－2，∴此抛物线的解析式为y ＝－2x 2.(2)当x ＝－1时，y ＝－2，∴点B(－1，－4)不在此抛物线上．(3)把y ＝－6代入y ＝－2x 2，得－2x 2＝－6，解得x ＝±3，∴抛物线上纵坐标为－6的点的坐标为(3，－6)，(－3，－6)．18. 【答案】解：(1)把B(－2，6)，C(2，2)代入抛物线的解析式得： ⎩⎨⎧6＝a·（－2）2＋b·（－2）＋22＝a·22＋b·2＋2，(1分)解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝－1，(2分)∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－x ＋2.(3分)(2)抛物线解析式化为顶点式：y ＝12(x －1)2＋32，则抛物线顶点D(1，32)，(4分) 如解图①所示，过点B 、D 、C 分别向x 轴作垂线，垂足分别为点M 、N 、H ，则有：S △BCD ＝S 梯形BMHC －S 梯形BMND －S 梯形DNHC ＝12(6＋2) ×4－12(6＋32)×3－12(32＋2) ×1 ＝3.(6分)解图①解图② (3)如解图②所示，连接BC ，∵直线BC 斜率k BC ＝2－62－（－2）＝－1＜－12，∴过点C 作直线MN 与直线y ＝－12x 平行，设直线MN 的解析式为y ＝－12x ＋b 1，代入C(2，2)， ∴b 1＝3.(7分)作直线EF 与抛物线相切，且与直线y ＝－12x 平行， 设直线EF 的解析式为y ＝－12x ＋b 2，联立抛物线解析式得， ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 2－x ＋2y ＝－12x ＋b 2， ∴x 2－x ＋4－2b 2＝ 0， ∵直线EF 与抛物线相切，∴b 2－4ac ＝0，即(－1)2－4(4－2b 2)＝0，(9分)∴b 2＝158，(11分) ∴158＜b ≤3.(12分)注：斜率知识为高中知识，但常渗透于中考压轴题，与二次函数相结合考查，做题时注意其性质的应用．19. 【答案】解：(1)设AB 与MQ 交于点R.∵△ABC 是等腰直角三角形，四边形MNPQ 是正方形， ∴△AMR 是等腰直角三角形． 由题意知，AM ＝MR ＝t ，∴S ＝S △AMR ＝12t·t ＝12t 2(0≤t≤10)．(2)当MA ＝2 cm ，即t ＝2时，重叠部分的面积是12×2×2＝2(cm 2)．20. 【答案】解：(1)当k ＝0时，y ＝－(x －1)(x ＋3)，所画图象如解图所示．(2分)(2)①k 取0和2时的函数图象关于点(0，2)中心对称，②函数y ＝(x －1)[(k －1)x ＋(k －3)](k 是常数)的图象都经过(1，0)和(－1，4)．(5分)(3)由题意可得y 2＝(x －1)[(2－1)x ＋(2－3)]＝(x －1)2，平移后的函数y 3的表达式为y 3＝(x －1＋4)2－2＝(x ＋3)2－2， 所以当x ＝－3时，函数y 3的最小值是－2.(8分)。
二次函数的图像和性质练习题
二次函数的图像和性质练习题1. 画出二次函数 \(y = 2x^2 - 4x + 3\) 的图像，并标出顶点坐标。
2. 给定二次函数 \(y = -3x^2 + 6x - 2\)，求出它的顶点坐标和对称轴。
3. 判断下列函数是否为二次函数，并说明理由：- \(y = x^2 + 2x + 1\)- \(y = x^3 - 4x\)- \(y = 5\)4. 已知二次函数 \(y = ax^2 + bx + c\) 的图像经过点 (1, 2) 和(2, 5)，求 a、b、c 的值。
5. 给定二次函数 \(y = 4x^2 - 12x + 9\)，求出它的开口方向、顶点坐标、对称轴以及与x轴的交点坐标。
6. 已知二次函数 \(y = 2x^2 - 4x + 1\) 的图像与x轴相交于点 A和 B，求 A 和 B 的坐标。
7. 判断二次函数 \(y = -x^2 + 4x - 3\) 的图像是否在x轴上方，解释原因。
8. 给定二次函数 \(y = 3x^2 - 6x + 2\)，求出它在x轴下方的区间。
9. 已知二次函数 \(y = x^2 - 6x + 8\) 的图像与y轴相交于点 C，求 C 的坐标。
10. 给定二次函数 \(y = -2x^2 + 4x + 1\)，求出它的顶点坐标和对称轴，并判断其开口方向。
11. 判断二次函数 \(y = x^2 - 2x - 3\) 的图像是否经过原点，说明理由。
12. 给定二次函数 \(y = 5x^2 - 10x + 1\)，求出它的图像与x轴的交点坐标。
13. 已知二次函数 \(y = -3x^2 + 12x - 8\) 的图像与x轴相交于点D 和 E，求 D 和E 的坐标。
14. 给定二次函数 \(y = 2x^2 + 4x + 1\)，求出它的图像与y轴的交点坐标。
15. 判断二次函数 \(y = -x^2 + 6x - 8\) 的图像是否经过第一象限，解释原因。
二次函数图像与性质练习题
二次函数图像与性质练习题二次函数是数学中的一种重要函数形式，也是高中数学中的重点知识之一。
通过对二次函数的图像与性质的学习与练习，我们可以更好地理解和掌握二次函数的变化规律与特性。
本篇文章将以练习题的形式，帮助读者巩固对二次函数图像与性质的理解。
练习题一：给出二次函数f(x)=ax^2+bx+c，已知该函数的图像经过点P(1, 2)，并且在点Q(-1, -4)处取得最小值。
请回答以下问题：1. 假设a>0，求出该二次函数的解析式。
2. 在坐标系上画出该二次函数的图像并标出点P、Q。
解答：1. 由题意可知，点P(1, 2)在该二次函数的图像上，代入x=1和y=2，得到方程：2=a(1)^2+b(1)+c，即2=a+b+c。
同理，点Q(-1, -4)在该二次函数的图像上，代入x=-1和y=-4，得到方程：-4=a(-1)^2+b(-1)+c，即-4=a-b+c。
将这两个方程联立，得到：a=3，b=-4，c=3。
故该二次函数的解析式为f(x)=3x^2-4x+3。
2. 根据题意，点P(1, 2)在该二次函数的图像上，点Q(-1, -4)是该二次函数的最小值点，因此该二次函数的图像是一个开口向上的抛物线。
绘制坐标系后，根据已知的a、b、c的值，我们可以得到该二次函数的图像如下图所示：（插入图像）练习题二：设函数f(x)=2x^2-3x+1。
1. 求函数f(x)的对称轴和顶点坐标。
2. 求函数f(x)的零点，并判断函数f(x)的根的情况。
3. 讨论函数f(x)的增减性和极值情况。
4. 描绘函数f(x)在坐标系中的图像，并标出对称轴和顶点。
解答：1. 二次函数的对称轴的公式为x=-b/2a，代入a=2，b=-3，可以求得对称轴的方程为x=3/4。
接下来，我们求顶点坐标。
顶点坐标的y值就是函数f(x)的最小值。
由于a>0，所以该二次函数的图像开口朝上，而顶点则位于对称轴上方。
代入x=3/4，我们可以求出y的值为3/8。
人教版九年级上册数学同步练习《二次函数的图象和性质》(习题+答案)
22.1 二次函数的图象和性质内容提要1.一般地，形如2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ≠）的函数叫做二次函数.其中，x 是自变量，a ，b ，c 分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.2.二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象为抛物线，叫做抛物线2y ax bx c =++.3.二次函数()()20y a x h k a =-+≠的图象与性质：（1）二次函数()()20y a x h k a =-+≠的图象都可以由抛物线2y ax =向左（右）向上（下）平移得到，平移的方向、距离要根据h ，k 的值来决定.（2）抛物线()2y a x h k =-+的顶点为(),h k .当0a >时，开口向上；当0a <时，开口向下.对称轴为直线x h =.（3）二次函数()()20y a x h k a =-+≠的性质：①当0a >，在对称轴左侧()x h <，y 随着x 的增大而减小；在对称轴右侧()x h >，y 随着x 的增大而增大；当x h =时，y k =最小.②当0a <，在对称轴左侧()x h <，y 随着x 的增大而增大；在对称轴右侧()x h >，y 随着x 的增大而减小；当x h =时，y k =最大.4.研究二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象特征和性质，一般都用配方法将二次函数的表达式转化为()2y a x h k =-+的形式.若问题只要求对称轴或顶点坐标，也可以直接利用顶点坐标公式计算.5.用描点法画二次函数的图象，一般采用“五点法”（顶点及抛物线上的两组对称点）；若只需画二次函数的大致图象，且抛物线与x 轴有两个交点时，可用“四点法”（顶点及抛物线与坐标轴的三个交点）.6.研究与二次函数相关的实际问题，常常需要结合图象，运用“数形结合”的方法解决.7.求二次函数的解析式，一般采用“待定系数法”. 22.1.1 二次函数基础训练1．下列函数中是二次函数的为（ ） A ．31y x =-B ．231y x =-C ．()221y x x =+-D ．323y x x =+-2．若函数()23y a x x a =-++是二次函数，那么a 不可以取（ ） A ．0B ．1C ．2D ．33．下列问题中的两个变量，能构成二次函数关系的是（ ） A ．在一定时间内，汽车行驶的速度与行驶路 B ．底边长度一定，三角形的面积与高 C ．正方体的体积与边长D ．计算圆的面积时，面积与半径的关系4．已知二次函数2y ax c =+，当2x =时，9y =；当3x =时，19y =，则a c +的值是（ ） A ．4B ．2C ．1D ．35．若二次函数2y ax =的图象经过点()2,4P -，则该图象必经过点（ ） A ．()2,4B ．()2,4--C ．()4,2-D ．()4,2- 6．二次函数()()31y x x =+-化为一般形式后一次项系数为.7.在半径为4的圆中，挖去一个长为a 、宽为1a -的矩形，则余下部分的面积y 与a 的函数关系式为.8.正方形对角线长为x cm ，面积为y 2cm ，则y 与x 的函数关系式是.9.张燕存入银行人民币500元，年利率为x ，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存，那么两年后的本息和y 与x 的函数关系式是.10.已知函数()()222231y m m x m x m =--+-+.（1）当y 是x 的一次函数时，求m 的值并写出函数解析式； （2）当y 是x 的二次函数时，求m 的取值范围.22.1.2 二次函数2y ax =的图象和性质基础训练1．函数23y x =-的图象开口向 ，对称轴是，顶点是 .2.已知抛物线()20y ax a =≠经过点()2,8-，则a =.3.把函数22y x =-的图象沿x 轴翻折，得到的图象的解析式是 .4.函数2y x =，22y x =-图象的开口大小分别记为A ，B ，则A 与B 的大小关系为.5.若直线y ax =经过第一、三象限，则抛物线2y ax =（ ） A ．开口向上，且当0x <时，y 随x 的增大而增大 B ．开口向上，且当0x >时，y 随x 的增大而增大 C ．开口向下，且当0x <时，y 随x 的增大而增大 D ．开口向下，且当0x >时，y 随x 的增大而增大 6．已知二次函数2y ax =，下列说法不正确的是（ ） A ．对称轴为y 轴B ．当0a <，0x ≠时，y 总为负值C ．当0a >时，y 有最小值０D ．当0a <，0x <时，y 随x 的增大而减小７．已知点()11,x y ，()22,x y ，()33,x y 都在函数22y x =-的图象上，且1230x x x >>>，则（ ） A ．123y y y << B ．132y y y << C ．321y y y <<D ．213y y y <<８．苹果熟了，从树上落下所经过的路程s 与下落的时间t 满足212s gt =（g 是不为０的常数），则s 与t 的函数图象大致是（ ）9．函数()20y ax a =≠与直线y x =-交于点()1,b . （1）求a ，b 的值；（2）画出此二次函数的图象；x…2-1-0 1 2 …y……（3）结合图象，写出这个二次函数的性质.22.1.3二次函数()2=-+的图象和性质y a x h k基础训练（1）二次函数2=+的图象和性质y ax k1.抛物线2y x=-的顶点坐标为；当x时，y随x的增大而减少.212.请写出一个开口向上，并且与y轴交于点()0,1的抛物线的解析式y=.3.将抛物线23y x=+的图象向上平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式为. 4．函数21=+的图象大致是（）y x5．已知二次函数21=-的图象开口向下，则直线1y ax=-经过的象限是（）y axA．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限6．抛物线21y x 2=-+的对称轴是（ ） A ．直线12x =B ．直线12x =-C ．y 轴D ．直线2x =7．对于抛物线231y x =-，下列说法不正确的是（ ） A ．向上平移一个单位可得到抛物线23y x = B ．当0x =时，函数有最小值1- C ．当0x <时，y 随x 的增大而增大 D ．与抛物线231y x =-+关于x 轴对称8．（1）在同一坐标系中，画出下列函数的图象，并写出它们共同的性质：22y x =-； 21y x 2=-+； 221y x =--.x… 2- 1- 0 1 2 … 22y x =- … … 221y x =-+ … … 221y x =--……（2）写出抛物线2y ax k =+与2y ax =的关系.基础训练（2）二次函数()2y a x h =-的图象和性质1.函数()221y x =-的图象的对称轴是，顶点坐标是 .2.函数()221y x =-+的图象可以由函数22y x =-的图象向 平移1个单位得到；当x时，y 有最大值是.3.一个顶点在x 轴上的抛物线，其形状和开口方向与抛物线212y x =的相同，并且对称轴是直线2x =，这个函数的解析式是.4.将抛物线2y x =-向右平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ） A ．()22y x =-+ B ．22y x =-+ C ．()22y x =--D ．22y x =--5．如果y kx b =+的图象在第一、二、三象限内，那么函数()2y k x b =-的图象大致是（ ）6．抛物线()21y x =-与直线1y x =-在同一坐标系中交点的个数为（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．无法确定7．（1）在同一坐标系中画出下列函数的图象：2y x =-；()22y x =-+；()22y x =--.x… 4-3-2- 1- 0 1 2 3 4 … 2y x =- …… ()22y x =-+……()22y x =--… …（2）写出抛物线()2y a x h =-与2y ax =的关系.基础训练（3）二次函数()2y a x h k =--的图象和性质1．抛物线()2534y x =+-的对称轴是 ，顶点坐标是 . 2.二次函数()2425y x =-++，当x =时，y 有最大值是；当x时，y 随x 的增大而增大.3.将抛物线24y x =-先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为.4.已知抛物线()21433y x =--与x 轴的一个交点坐标为()1,0，则抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是（ ） A ．()5,0B ．()6,0C ．()7,0D ．()8,05．在不同坐标系中画出下列函数的图象： （1）()2211y x =+-；（2）()21252y x =+-.6．写出抛物线()2y a x h k =-+与()2y a x h =-及2y ax =的关系.7.已知抛物线()232y a x =-+经过点()1,2-. （1）求a 的值；（2）若点()1,A m y ，()2,B n y ()3m n <<都在该抛物线上，试比较1y 与2y 的大小.8.如图是一个抛物线形拱桥的示意图，桥的跨度AB 为100米，支撑桥的是一些等距的立柱，相邻立柱间的水平距离为10米（不考虑立柱的粗细），其中距A 点10米处的立柱EF 的高度为3.6米.（1）以AB 中点O 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，求抛物线顶点C 的坐标； （2）求与OC 相邻的立柱的高.22.1.4 二次函数2y ax bx c =++的图象和性质基础训练（1）二次函数2y ax bx c =++的顶点坐标与配方法1．二次函数221y x x =--+化成()2y a x h k =-+的形式是.2.抛物线2y ax bx c =++的顶点是()2,1A ，且经过点()1,0B ，则抛物线的函数关系式为.3.函数243y x x =-+，当x =时，y 有最小值是；当x时，y 随x 的增大而减小.4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为()22y x h k =--+，则下列结论正确的是（ ） A ．0h >，0k > B ．0h <，0k > C ．0h <，0k <D ．0h >，0k <5．抛物线24y x x =-的对称轴是直线（ ）. A ．2x =-B ．4x =C ．2x =D ．4x =-6．抛物线2221y x ax a a =-+++的顶点在第二象限，则常数a 的取值范围是（ ） A ．10a -<<B ．1a >C ．12a -<<D ．1a <-或2a >7．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数y bx a =+的图象不经过（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．用二次函数的顶点坐标公式求下列函数的顶点坐标. （1）221y x x =--； （2）2243y x x =-++.9．先将下列函数解析式化为()2y a x h k =-+形式，然后在不同坐标系内画出图象. （1）24y x x =-+；（2）2361y x x =++.基础训练（2）二次函数2y ax bx c =-+的图象和性质1．抛物线2253y x x =+-的对称轴是直线 ；顶点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是.2.已知函数26y x x m =-+的最小值为1，那么m 的值为 .3.已知抛物线265y x x =-+的图象如图所示，当0y =时，x =.4.二次函数223=--的图象如图所示.当0y x xy<时，自变量x的取值范围是.5.二次函数2=++的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：y ax bx c①0a<；②0c>；③函数有最大值；④在对称轴左侧，y随x增大而增大.其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．在同一平面直角坐标系中，函数2=+与y bx ay ax bx=+的图象可能是（）7．将抛物线2=-++先向左平移2个单位，再向上平移1个单位.y x x365（1）求平移后抛物线的解析式；（2）求平移后抛物线的对称轴和抛物线与y轴的交点坐标；（3）在（1）的条件下，求当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？8.如图，抛物线()20y ax bx c c =++≠过点()1,0-和点()0,3-，且顶点在第四象限，设P a b c =++，求P 的取值范围.基础训练（3）用待定系数法求二次函数的解析式1.若二次函数2y x bx c =++，当2x =时，0y =；当1x =-时，3y =，则这个二次函数的解析式为.2.已知二次函数2y x bx c =++，当2x =时，0y =；当1x =-时，3y =，则这个二次函数的解析式为.3.抛物线的顶点在原点，且过点()3,27-，则这条抛物线的解析式为.4.已知二次函数的图象如图所示. （1）这个二次函数的解析式是；（2）根据图象回答：当x时，0y >.5.已知二次函数22y x bx =+-的图象与x 轴的一个交点为()1,0，则它与x 轴的另一个交点坐标是（ ） A ．()1,0B ．()2,0C ．()2,0-D ．()1,0-6．已知二次函数图象经过()1,0，()2,0和()0,2三点，则该函数的解析式是（ A ．222y x x =++ B ．232y x x =-+ C ．232y x x =++D ．223y x x =-+7．在下列条件下，分别求二次函数的解析式：（1）已知抛物线2y ax bx c =++与23y x =-形状相同，开口方向相反，顶点坐标为()2,4-； （2）当3x =时，最小值5y =，且过点()1,11； （3）对称轴为y 轴，且经过点()2,3，()1,6-.8.如图，抛物线()214y a x =-+与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C .过点C 作CD x ∥轴，交抛物线的对称轴于点D ，连接BD .已知点A 的坐标为()1,0-. （1）求该抛物线的解析式； （2）求梯形COBD 的面积.能力提高1．抛物线2251y ax x a =+-+过坐标原点，且开口方向向上，则a 的值是 .2.在二次函数221y x x =-++的图象中，若y 随x 的增大而增大，则x 的取值范围是.3.抛物线经过点()2,6-和()4,6，则抛物线的对称轴是（ ）4.已知二次函数222y x mx =++，当2x >时，y 随x 值的增大而增大，则实数m 的取值范围是.5.若抛物线22y x x c =-+与y 轴的交点为()0,3-，则下列说法不正确的是（ ） A ．抛物线开口向上B ．抛物线的对称轴是直线1x =C ．当1x =时，y 的最大值为4-D ．抛物线与x 轴的交点为()1,0-，()3,06．已知0b <，二次函数221y ax bx a =++-的图象为下列四个图象之一，试根据图象分析a 的值应等于（ ）7．二次函数()223y x =-++在43x -≤≤-范围内的最大值是 . 8.抛物线283y x x 2=-+关于x 轴对称的抛物线的解析式是.9.如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax =+与y 轴交于点A ，过点A 与x 轴平行的直线交抛物线213y x =于点B ，C ，求BC 的长度.10.在关于,x y 的二元一次方程组2,21x y a x y +=⎧⎨-=⎩中，（1）若3a =，求方程组的解；（2）若()3S a x y =+，当a 为何值时，S 有最小值？是多少？11.如图，抛物线2y ax bx c =++经过原点，与x 轴相交于点()8,0E ，抛物线的顶点A 在第四象限，点A 到x 的距离4AB =，点(),0P m 在线段OB 上，连接PA ，将线段PA 绕点P 逆时针旋转90︒得到线段PC ，过点C 作y 轴的平行线交x 轴于点G ，交抛物线于点D ，连接BC 和AD .（1）求抛物线的解析式；（2）求点C 的坐标（用含m 的代数式表示）； （3）当四边形ABCD 是平行四边形时，求点P 的坐标.拓展探究1.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2210y mx mx m m =-+->与x 轴的交点为A ，B . （1）求抛物线的顶点坐标.（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点. ①当1m =时，求线段AB 上整点的个数；②若抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m 的取值范围.2.已知关于x 的一元二次方程()2240x a x a +++=.（1）求证：无论a 为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（2）抛物线()21:24C y x a x a =+++与x 轴的一个交点的横坐标为2a，其中0a ≠，将抛物线1C 向右平移14个单位，再向上平移18个单位，得到抛物线2C ，求抛物线2C 的解析式； （3）点(),A m n 和(),B n m 都在（2）中抛物线2C 上，且A ，B 两点不重合，求代数式m n +的值.22.1 参考答案：22.1.1 二次函数 基础训练1．B 2．D 3．D 4．D 5．A 6．2 7．216y a a π=-++ 8．212y x =9．2500(1)y x =+ 10．（1）13m =，21m =-，29y x =+或21y x =-+ （2）3m ≠且1m ≠- 22.1.2 二次函数2y ax =的图象和性质1．向下 y 轴 坐标原点 2．2- 3．22y x = 4．A B > 5．B 6．D 7．A 8．B 9．（1）1a =-，1b =- （2）略（3）当0x >时，y 随x 的增大而减小；当0x <时，y 随x 的增大而增大；当0x =时，函数有最大值，是0．22.1.3 二次函数2()y a x h k =-+的图象与性质 基础训练（1）1．(0,1)- 0< 2．答案不唯一 3．24y x =+ 4．A 5．D 6．C 7．C8．（1）图略，共同的性质有：开口向下；对称轴都是y 轴；在对称轴左边，y 随x 的增大而增大；在对称轴右边，y 随x 的增大而减小等．（2）开口对称轴相同，抛物线2y ax k =+由2y ax =向上平称k 个单位得到 基础训练（2）1．直线1x = (1,0) 2．左 1=- 0 3．21(2)2y x =- 4．C 5．D 6．C7．（1）略 （2）抛物线2y ax =向右平移h 个单位得到2()y a x h =+ 基础训练（3）1．直线3x =- (3,4)-- 2．2- 5 2<- 3．24(2)1y x =--- 4．C 5．略 6．略 7．（1）1a =- （2）12y y < 8．（1）(0,10)C （2）9.6米 22.1.4 二次函数2y ax bx c =++的图象和性质 基础训练（1）1．2(1)2y x =-++ 2．2(2)1y x =--+ 3．2 1- 2< 4．A 5．C 6．A 7．D 8．（1）(1,2)- （2）(1,5) 9．（1）2(2)4y x =--+ （2）23(1)2y x =+- 图略 基础训练（2）1．54x =- 549,48⎛⎫-- ⎪⎝⎭ (0,3)- 2．10 3．1或5 4．13x -<< 5．D 6．C7．（1）23(1)9y x =-++ （2）对称轴为直线1x =-，与y 轴交点坐标为(0,6) （3）1x >-时，y 随x 增大而减小8．抛物线2(0)y ax bx c c =++≠过点(1,0)-和点(0,3)-，0a b c ∴=-+，3c -=，3b a ∴=-． 当1x =时，2y ax bx c a b c =++=++，3326P a b c a a a ∴=++=+--=-．顶点在第四象限，0a >，30b a ∴=-<，3a ∴<，03a ∴<<，6260a ∴-<-<，即60P -<<． 基础训练（3）1．3 4- 2．22y x x =- 3．23y x =- 4．（1）22y x x =- （2）2x >或0x < 5．C 6．B7．（1）23(2)4y x =++ （2）23(3)52y x =-+ （3）27y x =-+8．（1）2(1)4y x =--+ （2）8 能力提高1．1 2．1x < 3．直线1x = 4．2m ≥- 5．C 6．C 7．2 8．22(2)5y x =--+ 9．6BC = 10．（1）1,1x y =⎧⎨=⎩ （2）2(1)S a a a a =+=+，当12a =-时，S 有最小值，是14-．11．（1）2124y x x =- （2）(AAS)PCG APB ∆∆≌，4PG AB ∴==，CG PB =． (,0)P m ，4PB m ∴=-，(4,0)G m +，(4,4)C m m ∴+-．（3）当四边形ABCD 是平行四边形时，CD AB =，AB CD ∥．AB x ⊥轴，CD x ∴⊥轴，∴点C ，D 的横坐标相同．把4x m =+代入2124y x =-得2144y m =-，21(4,4)4D m m ∴+-．21(4)(4)4CD m m ∴=---．又4CD AB ==，21(4)(4)=44m m ∴---，化简得24160m m +-=，225m =-+，225m =--（舍去），(225,0)P ∴-+． 拓展探究1．（1）将抛物线表达式变为顶点式2(1)1y m x =--，则抛物线顶点坐标为(1,1)-．（2）①1m =时，抛物线表达式为22y x x =-，因此A ，B 的坐标分别为(0,0)和(2,0)，则线段AB 上的整点有(0,0)，(1,0)，(2,0)共3个；②抛物线顶点为(1,1)-，则由线段AB 之间的部分及线段AB 所围成的区域的整点的纵坐标只能为1-或者0，所以即要求AB 线段上（含AB 两点）必须有5个整点；又令抛物线表达式2210y mx mx m =-+-=，得到A ，B 两点坐标分别为1,0m ⎛⎫-⎪⎝⎭，1,0m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即5个整点是以(1,0)为中心向两侧分散，进而得到23m≤<，1194m ∴<≤．2．（1）22(4)4216a a a ∆=+-⨯=+，而20a ≥，2160a ∴+>，即0∆>．∴无论a 为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．（2）抛物线1C 与x 轴的一个交点的横坐标为2a ，∴当2a x =时，0y =，22()(4)22a aa ∴⨯++⨯+ 0a =．化简得230a a +=，即(3)0a a +=．0a ≠，3a ∴=-．∴抛物线1C 的解析式为223y x x =+-．又22125232()48y x x x =+-=+-．因此，抛物线1C 的顶点为125(,)48--．由题意得平移后抛物线2C 的顶点为(0,3)-，∴抛物线2C 的解析式223y x =-．（3）点(,)A m n 和(,)B n m 都在抛物线2C 上，223n m ∴=-，且223m n =-．222()n m m n ∴-=-．2()()n m m n m n ∴-=-+．()[2()1]0m n m n ∴-++=．A ，B 两点不重合，即m n ≠，2()10m n ∴++=．12m n ∴+=-．。
九年级数学上册 21.2 二次函数的图象与性质 作业练习题(含答案)
21.2 二次函数的图象与性质一、选择题（本题包括9小题.每小题只有1个选项符合题意）1.下列函数是二次函数的是（）A. y=B.y=x3-2x-3C.y=（x+1）2-x2D.y=3x2-12.二次函数y=-x2-2x+1的二次项系数是（）A.1B.-1C.2D.-23.已知y=（m+2）x|m|+2是关于x的二次函数，那么m的值为（）A.-2B.2C.±2D.04.对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是（）A.y=（m-1）2x2B.y=（m+1）2x2C.y=（m2+1）x2D.y=（m2-1）x25.若关于x的函数y=（2-a）x2-x是二次函数，则a的取值范围是（）A.a≠0B.a≠2C.a＜2D.a＞26.已知抛物线y=ax2+bx+c开口向下，顶点坐标（3，-5），那么该抛物线有（）A.最小值-5B.最大值-5C.最小值3D.最大值37.抛物线y=（x+2）2-3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（）A.先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B.先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C.先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D.先向右平移2个单位，再向上平移3个单位8.已知二次函数y=3（x-1）2+k的图象上有三点A（，y1），B（2，y2），C（-，y3），则y1、y2、y3的大小关系为（）A.y1＞y2＞y3B.y2＞y1＞y3C.y3＞y1＞y2D.y3＞y2＞y 19.在同一直角坐标系中，抛物线y=（x-a ）2与直线y=a+ax的图象可能是（）A. B.C. D.二、填空题（本题包括7小题）10.若函数是二次函数，则m的值为 ______ ．11.二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如表：x…-2 0 1 3 …y… 6 1 0 1 …则当x=2时对应的函数值y= ______ ．12.二次函数y=x2-bx+c的图象上有两点A（3，-8），B（-5，-8），则此抛物线的对称轴是直线x= ______ ．13.已知抛物线y=（m2-2）x2-4mx+n的对称轴是x=2，且它的最高点在直线上，则它的顶点为 ______ ，n= ______ ．14.二次函数y=-3(x-2)2+5，在对称轴的左侧，y随x的增大而____________．15.若抛物线y=a（x-3）2+2经过点（1，-2），则a= ______ ．16.如图，抛物线y1=-x2+2向右平移1个单位得到抛物线y2，则图中阴影部分的面积S=______ ．三、解答题（本题包括4小题）17.已知抛物线y=2x2+2x-3经过点A（-3，a），求a的值．18.已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（-1，12），B（2，-3）．（1）求这个二次函数的解析式．（2）求这个图象的顶点坐标及与x轴的交点坐标．19.抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…-2 -1 0 1 2 …y…0 -4 -4 0 8 …(1)根据上表填空：①抛物线与x轴的交点坐标是____________和____________；②抛物线经过点 (-3，____________)；③在对称轴右侧，y随x增大而____________；(2)试确定抛物线y=ax2+bx+c的解析式．20.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（4，-），且与y轴交于点C（0，2），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）（1）求抛物线的解析式及A，B两点的坐标；（2）若（1）中抛物线的对称轴上有点P，使△ABP的面积等于△A BC的面积的2倍，求出点P的坐标；（3）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点Q，使AQ+CQ的值最小？若存在，求AQ+CQ的最小值；若不存在，请说明理由．21.2 二次函数的图象与性质参考答案一、选择题（本题包括9小题.每小题只有1个选项符合题意）1.D分析：二次函数的一般式是：y=ax2+bx+c，（其中a≠0） A.分析最高次数项为1次，故A错误； B.最高次数项为3次，故B错误； C.y=x2+2x+1-x2=2x-1，故C错误.故选D.2.B分析：二次函数y=-x2-2x+1的二次项系数是-1．故选B．3.B分析：由y=（m-2）x|m|+2是y关于x的二次函数，得 |m|=2且m+2≠0．解得m=2．故选B．4.C分析：A.当m=1时，不是二次函数，故错误； B.当m=-1时，二次项系数等于0，不是二次函数，故错误； C.是二次函数，故正确； D.当m=1或-1时，二次项系数等于0，不是二次函数，故错误．故选C．5.B分析：∵函数y=（2-a）x2-x是二次函数，∴2-a≠0，即a≠2，故选B．6.B分析：因为抛物线开口向下和其顶点坐标为（3，-5），所以该抛物线有最大值-5.故选B．7.B8.D9.D10.-3 分析：若y=（m-3）x m2-7是二次函数，则m2-7=2，且m-3≠0，故（m-3）（m+3）=0，m≠3，解得m1=3（不合题意舍去），m2=-3.∴m=-3．11.0 分析：将点（0，1）、（1，0）、（3，1）代入y=ax2+bx+c中，，解得：，∴二次函数解析式为y=x2-x+1，∴二次函数的对称轴为x=-=．∵2×-2=1，∴当x=2时，与x=1时y值相等．12.-1 分析：∵函数y=x2-bx+c的图象上有两点A（3，-8），B（-5，-8），且两点的纵坐标相等，∴A、B是关于抛物线的对称轴对称，∴对称轴为：x==-1.13.（2，2）；-2 分析：抛物线y=（m2-2）x2-4mx+n的对称轴是x =2，且它的最高点在直线上，则最高点即为顶点，把x=2代入直线得y=1+1=2，得顶点坐标为（2，2），又m2-2＜0，由=2，=2，代入求得m=-1，n=-2．14.增大分析：∵二次函数y=-3(x-2)2+5的二次项系数a=-3＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大．15.-116.217.18.19.20.。
(完整版)二次函数的图像与性质练习题及答案
二次函数的图像和性质练习题一、选择题1．下列函数是二次函数的有（ ）12)5(;)4();3()3(;2)2(;1)1(222+=++=-==-=x y c bx ax y x x y xy x y (6) y=2(x+3)2－2x 2A 、1个；B 、2个；C 、3个；D 、4个 2.关于213y x =，2y x =，23y x =的图像，下列说法中不正确的是（ ） A ．顶点相同 B ．对称轴相同 C ．图像形状相同 D ．最低点相同 3．抛物线()12212++=x y 的顶点坐标是（ ） A ．（2，1） B ．（-2，1） C ．（2，-1） D ．（-2，-1）4.已知二次函数)2(2-++=m m x mx y 的图象经过原点，则m 的值为 （ ）A ． 0或2B ． 0C ． 2D ．无法确定 5.已知二次函数213x y -=、2231x y -=、2323x y =，它们的图像开口由小到大的顺序是（ ）A 、321y y y <<B 、123y y y <<C 、231y y y <<D 、132y y y <<6．两条抛物线2y x =与2y x =-在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（ ）A ．顶点相同B ．对称轴相同C ．开口方向相反D ．都有最小值7．已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，有下列结论：①0abc >；②a+b+c>0③a-b+c<0；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．已知抛物线的顶点为（-1，-2），且通过（1，10），则这条抛物线的表达式为（ ）A ．y=32(1)x -－2 B ．y=32(1)x +＋2 C ．y=32(1)x +－2 D ．y=－32)1(-x +29．抛物线23y x =向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是( )A .23(1)2y x =-- B.23(1)2y x =+- C.23(1)2y x =++ D.23(1)2y x =-+10．抛物线244y x x =--的顶点坐标是（ ）A ．（2，0）B ．（2，-2）C ．（2，-8）D ．（-2，-8）11.与抛物线y=－12x 2+3x －5的形状、开口方向都相同，只有位置不同的抛物线是（ ）A. y = x 2+3x －5B. y=－12x 2xC. y =12x 2+3x －5D. y=12x 212．对抛物线y=22(2)x -－3与y=－22(2)x -＋4的说法不正确的是（ ）A ．抛物线的形状相同B ．抛物线的顶点相同C ．抛物线对称轴相同D ．抛物线的开口方向相反13.对于抛物线21(5)33y x =--+，下列说法正确的是（ ）A ．开口向下，顶点坐标(53)，B ．开口向上，顶点坐标(53)，C ．开口向下，顶点坐标(53)-，D ．开口向上，顶点坐标(53)-，14．抛物线y=222x mx m -++的顶点在第三象限，试确定m 的取值范围是（ ）A ．m ＜－1或m ＞2B ．m ＜0或m ＞－1C ．－1＜m ＜0D ．m ＜－1 15.在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能．．是（ ）16．函数y=12-2x ＋2x －5的图像的对称轴是（ ） A ．直线x=2 B ．直线a=－2 C ．直线y=2 D ．直线x=4 17.二次函数y=221x x --+图像的顶点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 18．如果抛物线y=26x x c ++的顶点在x 轴上，那么c 的值为（ ）A ．0B ．6C ．3D ．9ＡＢＣＤ19．已知二次函数2y ax bx c =++，如果a ＞0,b ＜0,c ＜0，那么这个函数图像的顶点必在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 20.已知正比例函数kx y =的图像如右图所示，则二次函数222k x kx y +-= 21．如图所示，满足a ＞0,b ＜0的函数y=2ax bx +的图像是（ ）22.若A （-4，y 1），B （-3，y 2），C （1，y 3）为二次函数y=x 2+4x-5的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A 、y 1＜y 2＜y 3B 、y 2＜y 1＜y 3C 、y 3＜y 1＜y 2D 、y 1＜y 3＜y 2二、填空题：23.二次函数2y ax =（0<a ）的图像开口向＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿，顶点坐标是＿＿＿＿，图像有最＿＿＿点，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而增大，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而减小。
二次函数的图象和性质练习题(含参考答案)
新华师大版九年级下册数学第26章 二次函数的图象和性质练习题姓名____________ 时间: 90分钟 满分:120分 总分____________一、选择题（每小题3分,共30分）1. 在二次函数122++-=x x y 的图象中,若y 随x 的增大而增大,则x 的取值范围是 【 】 （A ）1<x （B ）1>x （C ）1-<x （D ）1->x2. 若二次函数142-++=m x mx y 的最小值是2,则m 的值是 【 】 （A ）4 （B ）3 （C ）1- （D ）4或1-3. 已知二次函数m x x y +-=32（m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为（1 , 0）,则关于x 的一元二次方程032=+-m x x 的两个实数根是 【 】 （A ）1,121-==x x （B ）2,121==x x （C ）0,121==x x （D ）3,121==x x4. 如图,由二次函数c bx ax y ++=2的图象可知,不等式02<++c bx ax 的解集是 【 】 （A ）13<<-x （B ）1>x （C ）3-<x 或1>x （D ）3-<x第 4 题图第 5 题图5. 如图是抛物线c bx ax y ++=2的一部分,它的对称轴是直线1=x ,若抛物线x 轴的一个交点为A （3 , 0）,则不等式02<++c bx ax 的解集是 【 】 （A ）3>x （B ）3<x （C ）30<<x （D ）31<<-x6. 若一次函数()a x a y ++=1的图象过第一、三、四象限,则二次函数ax ax y -=2 【 】（A ）有最大值4a （B ）有最大值4a - （C ）有最小值4a （D ）有最小值4a-7. 将抛物线216212+-=x x y 向左平移2个单位后,所得新抛物线的解析式为 【 】（A ）()58212+-=x y （B ）()54212+-=x y（C ）()38212+-=x y （D ）()34212+-=x y8. 二次函数的部分图象如图所示,对称轴是直线1-=x ,则这个二次函数的表达式为 【 】 （A ）322++-=x x y （B ）322++=x x y （C ）322-+-=x x y （D ）322+--=x x y第 8 题图第 9 题图9. 如图,若二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）图象的对称轴为直线1=x ,与y 轴交于点C ,与x 轴交于点A 、点B ()0,1-,则①二次函数的最大值为c b a ++; ②0<+-c b a ;③042<-ac b ; ④当0>y 时,31<<-x .其中正确的个数是 【 】 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）410. 若二次函数12+=ax y 的图象经过点()0,2-,则关于x 的方程()0122=+-x a 的实数根为 【 】 （A ）4,021==x x （B ）6,221=-=x x （C ）25,2321==x x （D ）0,421=-=x x 二、填空题（每小题3分,共30分）11. 若抛物线()12-++=m m x y 的对称轴是直线1=x ,则它的顶点坐标是_________.12. 若抛物线c bx ax y ++=2（0≠a ）与抛物线342+-=x x y 关于y 轴对称,则函数c bx ax y ++=2的关系式为________________.13. 已知二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）,其中c b a ,,满足0=++c b a 和039=+-c b a ,则该二次函数图象的对称轴是直线_________.14. 若二次函数n x x y +-=42的图象与x 轴只有一个公共点,则实数n 的值为_________. 15. 二次函数542++=x x y ,当3-≤x ≤0的最小值为_________.16. 如果将抛物线122-+=x x y 向上平移,使它经过点()3,0A ,那么所得新抛物线的表达式为________________.17. 经过A （4 , 0）,)0,2(-B ,C （0 , 3）三点的抛物线的解析式是___________.18. 若二次函数c bx ax y ++=2（0<a ）的图象经过点（2 , 0）,且其对称轴为直线1-=x ,则使函数值0>y 成立的x 的取值范围是__________.19. 将一条抛物线向上平移4个单位,再向左平移2个单位后,得到新的抛物线为442++=x x y ,则原抛物线的解析式为________________.20. 已知抛物线c bx ax y ++=2（0≠a ）与x 轴交于A 、B 两点,若点A 为()0,2-,抛物线的对称轴为直线2=x ,则线段AB 的长为_________. 三、解答题（共60分）21.（10分）如图,抛物线122++=ax ax y 与x 轴仅有一个公共点A ,经过点A 的直线交该抛物线于点B ,交y 轴交于点C ,且点C 是线段AB 的中点. （1）求这条抛物线的函数解析式; （2）求直线AB 的函数解析式.yxCA BO22.（10分）如图所示,二次函数m x x y ++-=22的图象与x 轴的一个交点为A （3 , 0）,另一个交点为B ,且与y 轴交于点C . （1）求m 的值; （2）求点B 的坐标;（3）若点D 为x 轴上方该函数图象上的一点,且ABC ABD S S ∆∆=,求点D 的坐标.yxCBAO23.（10分）如图,一次函数b kx y +=的图象与x 轴和y 轴分别交于A （6 , 0）和()32,0B ,线段AB 的垂直平分线交x 轴于点C ,交AB 于点D . （1）求一次函数的关系式;（2）求过A、B 、C 三点的抛物线的函数关系式.x24.（10分）如图,二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交于A 、B 两点,其中点A 的坐标为()0,1-,与y 轴交于点C （0 , 5）,另抛物线经过点（1 , 8）,点M 是抛物线的顶点.（1）求抛物线的解析式; （2）求△MCB 的面积.y xMCBA O25.（10分）已知二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴交于A 、B 两点,其中点A 的坐标为()0,3-,与y 轴交于点C ,点()3,2--D .（1）求抛物线的解析式;（2）抛物线的对称轴上有一动点P ,求出PD PA +的最小值.yxD C AB OFPyx备用图D C AB O FP 26.（10分）如图所示,抛物线c bx x y ++=2与直线1-=x y 交于A 、B 两点,点A 的纵坐标为4-,点B 在y 轴上,直线AB 与x 轴交于点F ,点P 是线段AB 下方的抛物线上一动点,横坐标为m ,过点P 作PC x ⊥轴于C ,交直线AB 于D .（1）求抛物线的解析式;（2）当m 取何值时,线段PD 的长度取得最大值,其最大值是多少?（3）是否存在点P ,使△P AD 是直角三角形?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由.新华师大版九年级下册数学第26章 二次函数的图象和性质练习题参考答案一、选择题（每小题3分,共30分）二、填空题（每小题3分,共30分）11. ()2,1- 12. 342++=x x y 13. 1-=x 14. 4 15. 1 16. 322++=x x y 17. ()()4283-+-=x x y 18. 24<<-x 19. 42-=x y 20. 8三、解答题（共60分）21.（10分）如图,抛物线122++=ax ax y 与x 轴仅有一个公共点A ,经过点A 的直线交该抛物线于点B ,交y 轴交于点C ,且点C 是线段AB 的中点.（1）求这条抛物线的函数解析式; （2）求直线AB 的函数解析式.yxCA BO解:（1） ∵抛物线122++=ax ax y 与x 轴仅有一个公共点A∴()0422=-=∆a a……………………………………………2分 ∴02=-a a 解之得:1,021==a a……………………………………………4分 ∵0≠a ∴1=a……………………………………………5分 ∴这条抛物线的函数解析式为()22112+=++=x x x y ;（2）∵点A 为抛物线()21+=x y 的顶点∴()0,1-A……………………………………………6分 ∵点C 是线段AB 的中点∴点B 的横坐标为1对于()21+=x y ,当1=x 时,4=y∴B （1 , 4）……………………………………………7分 设直线AB 的函数解析式为b kx y += 把()0,1-A , B （1 , 4）分别代入b kx y +=得:⎩⎨⎧=+=+-40b k b k 解之得:⎩⎨⎧==22b k∴直线AB 的函数解析式为22+=x y . 附 中点坐标公式中点坐标公式在平面直角坐标系中,如果线段AB 的端点A 、B 的坐标分别为A ),(11y x 、B ),(22y x ,则其中点P ),(n m 的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y n x x m 图形说明如图（1）所示.图（1）22.（10分）如图所示,二次函数m x x y ++-=22的图象与x 轴的一个交点为A （3 , 0）,另一个交点为B ,且与y 轴交于点C .（1）求m 的值; （2）求点B 的坐标;（3）若点D 为x 轴上方该函数图象上的一点,且ABC ABD S S ∆∆=,求点D 的坐标.yxCBAO解:（1）把A （3 , 0）代入m x x y ++-=22得:069=++-m解之得:3=m……………………………………………3分 ∴该抛物线的解析式为322++-=x x y ; （2）令0=x ,则0322=++-x x 解之得:3,121=-=x x ∴点B 的坐标为()0,1-;……………………………………………6分 （3）令0=x ,则3=y∴C （0 , 3）……………………………………………7分∵ABC ABD S S ∆∆=∴点C 与点D 的纵坐标相等 令3=y ,则3322=++-x x 解之得:2,021==x x ∴点D 的坐标为（2 , 3）.…………………………………………10分 23.（10分）如图,一次函数b kx y +=的图象与x 轴和y 轴分别交于A （6 , 0）和()32,0B ,线段AB 的垂直平分线交x 轴于点C ,交AB 于点D .（1）求一次函数的关系式;（2）求过A 、B 、C 三点的抛物线的函数关系式.解:（1）把A （6 , 0）和()32,0B 分别代入b kx y +=得:⎩⎨⎧==+3206b b k 解之得:⎪⎩⎪⎨⎧=-=3233b k∴一次函数的关系式为3233+-=x y ; ……………………………………………4分 （2）连结BC.∵直线CD 是线段AB 的垂直平分线 ∴BC AC =∵A （6 , 0）()32,0B ∴32,6==OB OA设x BC AC ==,则x AC OA OC -=-=6 在Rt △BOC 中,由勾股定理得:222BC OC OB =+∴()()222632x x =-+解之得:4=x ∴4=AC∴246=-=-=AC OA OC ∴C （2 , 0）……………………………………………7分设过A 、B 、C 三点的抛物线的函数关系式为()()62--=x x a y把()32,0B 代入()()62--=x x a y 得:()()326020=--⨯a解之得:63=a ∴抛物线的解析式为()()6263--=x x y . …………………………………………10分x第（2）问另解: ∵A （6 , 0）()32,0B ∴32,6==OB OA 在Rt △AOB 中 ∵33632tan ===∠OA OB BAO ∴︒=∠30BAO……………………………………………5分 ∴342==OB AB∵直线CD 是线段AB 的垂直平分线 ∴3221==AB AD 在Rt △ACD 中 ∵233230cos ===︒AC AC AD ∴4=AC∴246=-=-=AC OA OC ∴C （2 , 0）……………………………………………7分 设过A 、B 、C 三点的抛物线的函数关系式为()()62--=x x a y把()32,0B 代入()()62--=x x a y 得:()()326020=--⨯a解之得:63=a ∴抛物线的解析式为()()6263--=x x y . …………………………………………10分 注意:若抛物线与x 轴交于A )0,(1x 、B )0,(2x 两点,则可设抛物线的解析式为:()()21x x x x a y --=.24.（10分）如图,二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交于A 、B 两点,其中点A 的坐标为()0,1-,与y 轴交于点C （0 , 5）,另抛物线经过点（1 , 8）,点M 是抛物线的顶点. （1）求抛物线的解析式; （2）求△MCB 的面积.解:（1）把()0,1-,（0 , 5）,（1 , 8）分别代入c bx ax y ++=2得:⎪⎩⎪⎨⎧=++==+-85c b a c c b a 解之得:⎪⎩⎪⎨⎧==-=541c b a∴该抛物线的解析式为542++-=x x y ;……………………………………………4分 （2）∵542++-=x x y ∴()922+--=x y……………………………………………5分∵点M 是抛物线()922+--=x y 的顶点∴M （2 , 9）……………………………………………6分 令0=y ,则()0922=+--x解之得:5,121=-=x x ∴B （5 , 0）……………………………………………7分 作y ME ⊥轴 ∴9,2==OE ME∴459=-=-=OC OE CE ∴BOC MCE MEOB MCB S S S S ∆∆∆--=梯形()552124212529⨯⨯-⨯⨯-+⨯=15=…………………………………………10分 25.（10分）已知二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴交于A 、B 两点,其中点A 的坐标为()0,3-,与y 轴交于点C ,点()3,2--D . （1）求抛物线的解析式;（2）抛物线的对称轴上有一动点P ,求出PD PA +的最小值.解:（1）把A ()0,3-、()3,2--D 分别代入c bx x y ++=2得:⎩⎨⎧-=+-=+-324039c b c b 解之得:⎩⎨⎧-==32c b∴抛物线的解析式为322-+=x x y ; ……………………………………………4分 （2）令0=y ,则0322=-+x x 解之得:3,121-==x x ∴B （1 , 0）,1=OB……………………………………………6分 ∵A 、B 两点是抛物线322-+=x x y 与x 轴的两个交点∴A 、B 两点关于直线1-=x 对称如图,连结BD ,与直线1-=x 的交点即为PD PA +的值最小时,点P 的位置,作x DE ⊥轴,并连结P A .∴PB PA =∴BD PD PB PD PA =+=+……………………………………………7分∵()3,2--D ∴2,3==OE DE∴321=+=+=OE OB BE 在Rt △BDE 中,由勾股定理得:23332222=+=+=DE BE BD∴PD PA +的最小值为23.…………………………………………10分关于两条线段之和取得最小值的问题有许多几何问题都涉及到两条线段之和最小的问题,解决这类问题的主要方法是依据“两点之间线段最短”,将两条线段的和转化为一条线段,该线段的长度即为两条线段之和的最小值.怎么转化是解决问题的关键-----借助于图形变换中的轴对称可以实现转化.另外还要用到线段垂直平分线的性质定理、勾股定理等知识,有些题目还与函数知识相结合,难度较高.也有部分几何问题涉及到三条线段之和最小,情形比较复杂,但解决问题的依据和思路基本上是不变的.要求:（1）会作出一个点关于某条直线的对称点. （2）熟悉并掌握线段垂直平分线的性质定理.（3）通过合理添加辅助线构造直角三角形,使用勾股定理求解线段（边）的长度. （4）掌握两点关于坐标轴对称时坐标之间的关系,如两点关于y轴对称时,它们的横坐标互为相反数,纵坐标相等.（5）学会并掌握用待定系数法求一次函数的关系式.26.（10分）如图所示,抛物线cbxxy++=2与直线1-=xy交于A、B两点,点A的纵坐标为4-,点B在y轴上,直线AB与x轴交于点F,点P是线段AB下方的抛物线上一动点,横坐标为m,过点P作PC x⊥轴于C,交直线AB于D.（1）求抛物线的解析式;（2）当m取何值时,线段PD的长度取得最大值,其最大值是多少?（3）是否存在点P,使△P AD是直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.yxDC FABOP解:（1）对于1-=xy令4-=y,则41-=-x,解之得:3-=x∴()4,3--A令0=x,则1-=y∴()1,0-B把()4,3--A 和()1,0-B 分别代入c bx x y ++=2得:⎩⎨⎧-=-=+-1439c c b 解之得:⎩⎨⎧-==14c b∴抛物线的解析式为142-+=x x y ; ……………………………………………3分 （2）∵点P 是线段AB 下方的抛物线上一动点,横坐标为m∴()14,2-+m m m P （03<<-m ） ∵PC x ⊥轴,点D 在直线1-=x y ∴()1,-m m D ∵点D 在点P 的上方∴()m m m m m PD 314122--=-+--=∴49232+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=m PD……………………………………………5分∴当23-=m 时,线段PD 的长度取得最大值,最大值为49;……………………………………………6分 （3）存在点P ,使△P AD 是直角三角形. 对于1-=x y 令0=y ,则01=-x 解之得:1=x ∴F （1 , 0）∴1==OF OB∴△BOF 和△DCF 都是等腰直角三角形 ∴︒=∠=∠45ADP CDF分为两种情况:①当︒=∠90PAD 时,△P AD 是等腰直角三角形 作PC AE ⊥ ∴()m m PD AE 321212--==∵()4,3--A ,()0,m C ∴()m m AE +=--=33 ∴()m m m +=--33212 整理得:0652=++m m 解之得:3,221-=-=m m ∵03<<-m ∴2-=m∴()()512421422-=--⨯+-=-+m m∴()5,2--P ;……………………………………………8分 ②当︒=∠90APD 时,PD PA =∴()m m m 332--=-- 整理得:0342=++m m 解之得:3,121-=-=m m ∵03<<-m ∴1-=m∴()()411411422-=--⨯+-=-+m m∴()4,1--P ;…………………………………………10分 综上所述,存在点P ,使△P AD 是直角三角形,点P 的坐标为()5,2--或()4,1--.yxDCFABO P注意:对于讨论的第①种情况,我们还可以用下面的方法予以求解,希望借此拓宽大家的视野.先补充知识点: 对于两条直线:222111::b x k y l b x k y l +=+=若21l l ⊥,则121-=k k .注意 此结论通常用来求一次函数的解析式.例如:直线1l 的解析式为2+-=x y ,直线2l 与1l 垂直,且直线2l 经过点)2,1(-,求直线2l 的解析式.解:由题意可设直线2l 为:b x y +=∵其图象经过点)2,1(- ∴3,21-=-=+b b∴直线2l 的解析式为3-=x y . 回到本题:①当︒=∠90PAD 时,AB AP ⊥ 设直线AP 为n mx y += ∵直线AB 为1-=x y ∴1-=m∴n x y +-= 把()4,3--A 代入n x y +-=得:43-=+n∴7-=n∴直线AP 为7--=x y 解方程7342--=-+x x x 得:3,221-=-=x x （不合题意,舍去）∴()5,2--P .学生整理用图。
2022-2023学年湘教版数学九年级下册《二次函数的图象与性质》练习题 (原卷版)
1.2 二次函数的图象与性质1、［2022朝阳·中考］如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a为常数，且a≠0）的图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，且2＜c＜3，则下列结论正确的是（）A．abc＞0B．3a+c＞0C．a2m2+abm≤a2+ab（m为任意实数）D．﹣1＜a＜﹣2、［2022邯郸·三模］如图，已知抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x+b．我们规定：若y1≠y2，取y1和y2中较大者为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．有下列结论：①当x＝2时，M为4；②当b＝﹣3时，使M＝y1的x的取值范围是﹣1≤x≤3；③当b＝﹣5时，使M＝3的x的值是x1＝1，x2＝3；④当b≥1时，M随x的增大而增大．结论正确的是（）A．②③B．①④C．②④D．②③④3、［2022惠安县·模拟］已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过P（﹣1，y1），Q（3，y2），M（m，y3）三点，若2am+b＝0，且m＜1，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y1≤y3D．y3≤y2＜y14、［2022日照·中考］已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为x＝，且经过点（﹣1，0）．下列结论：①3a+b＝0；②若点（，y1），（3，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；③10b﹣3c＝0；④若y≤c，则0≤x≤3．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5、［2022章丘区·模拟］点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线y＝ax2﹣4ax+2（a＞0）上，若对于t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3，都有y1≠y2，则t的取值范围是（）A．t≥1B．t≤0C．t≥1或t≤0D．t≥1或t≤﹣1 6、［2021青县·期末］二次函数y＝﹣x2+2x+1，当﹣1≤x≤2时，下列说法正确的是（）A．有最大值1，有最小值﹣2B．有最大值2，有最小值﹣2C．有最大值1，有最小值﹣1D．有最大值2，有最小值17、［2021铜仁市·中考］已知直线y＝kx+2过一、二、三象限，则直线y＝kx+2与抛物线y＝x2﹣2x+3的交点个数为（）A．0个B．1个C．2个D．1个或2个8、［2021大连·期末］将抛物线y＝（x﹣1）2+2向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得的抛物线解析式为（）A．y＝（x﹣4）2+6B．y＝（x﹣4）2﹣2C．y＝（x+2）2﹣2D．y＝（x+2）2+6 9、［2022黑龙江·中考］把二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为．10、［2021哈尔滨·中考］二次函数y＝﹣3x2﹣2的最大值为．11、［2021广东·中考］把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为．12、［2021益阳·中考］已知y是x的二次函数，如表给出了y与x的几对对应值：x…﹣2﹣101234…y…11a323611…由此判断，表中a＝．13、［2019雅安·中考］已知函数y＝的图象如图所示，若直线y＝x+m与该图象恰有三个不同的交点，则m的取值范围为．14、［2022贵港·中考］已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，该函数图象经过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝﹣．对于下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac ＞0；③a+b+c＝0；④am2+bm＜（a﹣2b）（其中m≠﹣）；⑤若A（x1，y1）和B（x2，y2）均在该函数图象上，且x1＞x2＞1，则y1＞y2．其中正确结论的个数共有个．15、［2022易县·一模］已知函数y＝kx2+（2k+1）x+1（k为实数）．（1）对于任意实数k，函数图象一定经过点（﹣2，﹣1）和点；（2）对于任意正实数k，当x＞m时，y随着x的增大而增大，写出一个满足题意的m的值为．16、［2022长春·中考］已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3，当a≤x≤时，函数值y的最小值为1，则a的值为．17、［2022南京·模拟］在直角坐标系中，画出函数y＝2x2的图象（取值、描点、连线、画图）．18、［2022房山区·二模］在平面直角坐标系xOy中，点A（2，﹣1）在二次函数y＝x2﹣（2m+1）x+m的图象上．（1）直接写出这个二次函数的解析式；（2）当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n，求n的值；（3）将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为y＝a（x﹣h）2+k，当x＜2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．19、［2022庆云县·模拟］在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+1．（1）若点（2，﹣1）在抛物线上，求此时m的值以及顶点坐标；（2）不论m取何值时，抛物线的顶点始在一条直线上，求该直线的解析式；（3）求抛物线的顶点M与原点O的距离的最小值；（4）若有两点A（﹣1，0），B（1，0），且该抛物线与线段AB始终有交点，求m的取值范围．20、［2022鹿城区·三模］已知抛物线y1＝﹣x2﹣6x+c．（1）若抛物线y1过点（﹣2，18），求抛物线y1的表达式及对称轴；（2）如图，若抛物线y1过点A，点A的横坐标为﹣，平移抛物线y1，使平移后的抛物线y2仍过点A，过点A作CB∥x轴，分别交两条抛物线于C，B两点，且CB＝8，点M （﹣5，m）在抛物线y1上，点N（3，n）在抛物线y2上，试判定m与n的大小关系，并说明理由．21、［2022沂水县·二模］抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0），B（1，5）；点P（2，c），Q（x0，y0）是抛物线上的点．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若x0＞﹣6，比较c、y0的大小；（3）若直线y＝m与抛物线交于M、N两点，（M、N两点不重合），当MN≤5时，求m的取值范围．22、［2022鼓楼区·二模］已知二次函数y＝x2﹣2mx+3（m是常数）．（1）若m＝1，①该二次函数图象的顶点坐标为；②当0≤x≤4时，该二次函数的最小值为；③当2≤x≤5时，该二次函数的最小值为．（2）当﹣1≤x≤3时，该二次函数的最小值为1，求常数m的值．23、［2022深圳·中考］二次函数y＝2x2，先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．y＝2x2y＝2（x﹣3）2+6（0，0）（3，m）（1，2）（4，8）（2，8）（5，14）（﹣1，2）（2，8）（﹣2，8）（1，14）（1）m的值为；（2）在坐标系中画出平移后的图象并写出y＝﹣x2+5与y＝x2的交点坐标；（3）点P（x1，y1），Q（x2，y2）在新的函数图象上，且P，Q两点均在对称轴同一侧，若y1＞y2，则x1x2．（填不等号）24、［2022安徽·T12教育二模］已知抛物线y＝αx2+bx+b2﹣b（α≠0）．（1）若b＝2α，求抛物线的对称轴；（2）若α＝1，且抛物线的对称轴在y轴右侧．①当抛物线顶点的纵坐标为1时，求b的值；②点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在抛物线上，若y1＞y3＞y2，请直接写出b的取值范围．。
二次函数的图像和性质练习(含答案)
二次函数的图像和性质一、选择题（每题3分）1．下列四个函数中，一定是二次函数的是（ ）A ．21y x x=+ B ．y=ax 2+bx+c C ．y=x 2﹣（x+7）2 D ．y=（x+1）（2x ﹣1）【答案】D【解析】试题分析：因为形如y=ax 2+bx+c （0a ≠）的函数叫二次函数，所以选项A 、B 、C 错误，D 正确，故选：D ．考点：二次函数的概念.2．若函数y=-2(x-1)2+(a-1)x 2为二次函数，则a 的取值范围为（ ） A.a≠0 B.a≠1 C.a≠2 D.a≠3【答案】D ．【解析】试题分析：根据二次函数的定义化成一般式为()2342y a x x =-+-， 则30a -≠3a ≠故选D ．考点：二次函数的定义．3.下列函数中，不是二次函数的是（ ）A ．y ＝1－x 2B ．y ＝2（x －1）2＋4C ．y ＝（x －1）（x ＋4）D ．y ＝（x －2）2－x 2【答案】D ．【解析】试题分析：选项A ，y=1-x 2=-x 2+1，是二次函数，选项A 正确；选项B ，y=2（x-1）2+4=2x 2-4x+6，是二次函数，选项B 正确；选项C ，y=（x-1）（x+4）=x 2+x-2，是二次函数，选项C 正确；选项 D ，y=（x-2）2-x 2=-4x+4，是一次函数，选项D 错误．故答案选D ．考点：二次函数的定义．二、填空题（每题3分）4.若函数y ＝（m －3）是二次函数，则m ＝______． 【答案】5．【解析】试题分析：已知函数y ＝（m －3）是二次函数，可得且m －3≠0，解得m=-5． 考点：二次函数的定义．5.．一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S 与底面半径r 的函数关系式为_________．【答案】S=4π2r【解析】试题分析：根据题意可得h=2r ，则S=2πrh=4π2r ．考点：二次函数的实际应用（时间：15分钟，满分25分）班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题（每题3分）1.下列函数中，不属于二次函数的是（ ）A ．y=（x ﹣2）2B ．y=﹣2（x+1）（x ﹣1）C ．y=1﹣x ﹣x 2D ．y=211x 【答案】D【解析】试题分析：整理一般形式后根据二次函数的定义判定即可：A 、整理为y=x 2﹣4x+4，是二次函数，不合题意；B 、整理为y=﹣2x 2+2，是二次函数，不合题意；C 、整理为y=﹣x 2﹣x+1，是二次函数，不合题意；D 、不是整式方程，符合题意．故选：D ．考点：二次函数的定义2．下列函数中属于二次函数的是（ ）A ．12-=x yB ．12-=ax yC ．222)1(2x x y --=D ．)2)(1(π+-=x x y【答案】D ．【解析】试题分析：A ．12-=x y 是一次函数，故本选项错误；B ．当0a =时，12-=ax y 不是二次函数，故本选项错误；C ．222)1(2x x y --==42x -+是一次函数，故本选项错误；D )2)(1(π+-=x x y 是二次函数，故本选项正确．故选D ．考点：二次函数的定义．3．若函数222(1)(1)y x a x =--+-为二次函数，则a 的取值范围为（ ）A ．0a ≠B ．1a ≠C ．2a ≠D ．3a ≠【答案】D ．【解析】试题分析：由原函数解析式得到：222(1)(1)y x a x =--+-=2(3)42a x x -+-．∵函数 222(1)(1)y x a x =--+-为二次函数，∴30a -≠，解得3a ≠．故选D ．考点：二次函数的定义．二、填空题（每题3分）4.在边长为16cm 的正方形铁皮上剪去一个圆，则剩下的铁皮的面积S （cm 2）与圆的半径r （cm ）之间的函数表达式为 （不要求写自变量的取值范围）．【答案】2256r S π-=【解析】试题分析：剩下的面积为：正方形的面积-圆的面积=162-πr 2=256-πr 2故答案为：2256r S π-=考点：函数的表达式.5.．用长为8米的铝合金制成如图所示的窗框，若设窗框的宽为x 米，窗户的透光面积为S 平方米， 则S 关于x 的函数关系式 ．【答案】S=x x 4232+-【解析】试题分析：设窗框的宽为x 米，则长为238x -米 ∴S=x x x x 4232382+-=⨯- 考点：实际问题抽象二次函数三、计算题（每题10分）6.已知，若函数2(1)3m y m x =-+是关于x 的一次函数．（1）求m 的值，并写出解析式；（2）若函数是关于x 的二次函数，求m 的值，．【答案】（1）1m =-；（2）m =．【解析】试题分析：（1）先根据一次函数的定义求出m 的值；（2）由22m =可得出m =试题解析：（1）∵函数2(1)3m y m x =-+是一次函数，∴21m =，解得1m =或1m =-，又∵10m -≠，∴1m ≠，∴1m =-，∴函数为：23y x =-+；m=可得出m=（2）由22考点：1．一次函数的定义；2．二次函数的定义．。
二次函数图像和性质练习题
二次函数图像和性质练习题二次函数是高中数学中的重要内容，它在解决实际问题中具有广泛的应用。
本文将通过一些练习题，来深入探讨二次函数的图像和性质。
练习题一：已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像经过点(1, 4)，并且在x轴上的截距为2，求函数的解析式。
解析：根据已知条件，可以得到两个方程：（1）4=a+b+c；（2）c=2a；将第二个方程代入第一个方程中，得到4=a+b+2a，化简得到3a+b=4。
由于这是一个一元一次方程，可以解得a=1，b=1。
代入c=2a，得到c=2。
所以，函数的解析式为y=x^2+x+2。
练习题二：已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像经过点(2, 3)，并且在x轴上的截距为4，求函数的解析式。
解析：同样地，根据已知条件可以得到两个方程：（1）3=4a+2b+c；（2）c=4a；将第二个方程代入第一个方程中，得到3=4a+2b+4a，化简得到8a+2b=3。
由于这是一个一元一次方程，可以解得a=1/4，b=-5/2。
代入c=4a，得到c=1。
所以，函数的解析式为y=1/4x^2-5/2x+1。
练习题三：已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像经过点(1, 2)，并且在x轴上的截距为3，求函数的解析式。
解析：同样地，根据已知条件可以得到两个方程：（1）2=a+b+c；（2）c=3a；将第二个方程代入第一个方程中，得到2=a+b+3a，化简得到4a+b=2。
由于这是一个一元一次方程，可以解得a=1/2，b=-5/2。
代入c=3a，得到c=3/2。
所以，函数的解析式为y=1/2x^2-5/2x+3/2。
通过以上三道练习题，我们可以看到二次函数图像和性质的一些规律。
首先，二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
其次，二次函数的图像经过的点和截距可以用来确定函数的解析式。
最后，通过解方程可以得到函数的系数。
除了以上的练习题，我们还可以通过其他方式来深入理解二次函数的图像和性质。
22.1：二次函数的图像和性质(选择题专练)(解析版)
22.1：二次函数的图像和性质（选择题专练）一、单选题1．已知抛物线24y x bx =++经过()2,n -和()4,n 两点，则n 的值为（ ）A ．2-B ．4-C ．12D ．4【答案】C 【解析】将(2)(4)n n -，，，分别代入抛物线24y x bx =++中，转化为解关于n 、b 的二元一次方程组，由代入消元法解题即可．【解答】将(2)(4)n n -，，，代入24y x bx =++中得， 4241644b n b n -+=⎧⎨++=⎩①② 把①代入②，解得2b =-，把2b =-代入①得12n =212b n =-⎧∴⎨=⎩ 故选：C ．【点评】本题考查抛物线解析式的求法，其中涉及二元一次方程组的解法，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．2．若二次函数2()1y x m =--．当x ≤ 3时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ） A ．m = 3B ．m >3C ．m ≥ 3D ．m ≤ 3【答案】C【解析】由题知道二次函数对称轴为x m =，开口向上，根据二次函数图像的性质，当x 在对称轴左边的时候y 随x 的增大而减小，即可得解．【解答】解：由题知二次函数对称轴为x m =，开口向上，根据二次函数图像的性质：只需满足3x m ≤≤即可满足题意，故选C ．【点评】本题考查了顶点式的二次函数图像的性质；掌握好二次函数图像的性质时本题的关键． 3．如果函数22(2)27m y m x x -=-+-是二次函数，则m 的取值范围是（ ） A ．2m =±B ．2m =C ．m ＝﹣2D ．m 为全体实数【答案】C 【解析】根据二次函数定义可得m-2≠0，222m -=，再解即可．【解答】解：由题意得：m-2≠0，222m -=，解得：m=-2，故选：C ．【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．4．把抛物线y=-2x 2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A ．()2y 211x =-++B ．()2y 211x =--+C ．()2y 211x =---D ．()2y 211x =-+- 【答案】B【解析】按“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律平移即可得出所求函数的解析式．【解答】抛物线22y x =-向上平移1个单位，可得221y x =-+，再向右平移1个单位得到的抛物线是()2211y x =--+． 故选B ．【点评】本题考查了二次函数图象的平移，其规律是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a (x -h )2+k (a ，b ，c 为常数，a ≠0)，确定其顶点坐标(h ，k )，在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”． 5．二次函数y ＝ax 2+bx +c 与一次函数y ＝ax +c ，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据二次函数的开口方向，与y 轴的交点；一次函数经过的象限，与y 轴的交点可得相关图象．【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y 轴上的（0，c ），∴两个函数图象交于y 轴上的同一点，排除B 、C ；当a ＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除D ；当a ＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，A 正确；故选：A ．【点评】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y 轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．6．函数y=x 2+bx+c 与y=x 的图象如图所示，有以下结论：①b 2﹣4c ＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x+c ＜0．其中正确的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解答】分析：∵函数y=x 2+bx+c 与x 轴无交点，∴b 2﹣4c ＜0；故①错误．当x=1时，y=1+b+c=1，故②错误．∵当x=3时，y=9+3b+c=3，∴3b+c+6=0．故③正确．∵当1＜x ＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x 2+bx+c ＜x ，∴x 2+（b ﹣1）x+c ＜0．故④正确．综上所述，正确的结论有③④两个，故选B ．7．关于抛物线：23(1)2y x =-++，下列说法正确的是（ ）．A ．它的开口方向向上B ．它的顶点坐标是(1,2)C ．当1x <-时，y 随x 的增大而增大D ．对称轴是直线1x =【答案】C【解析】根据题目中的抛物线和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解答】A 选项：∵30-<，∴抛物线23(1)2y x =-++的开口向下，故A 错误；B 选项：抛物线23(1)2y x =-++的顶点坐标是(-1,2)，故B 错误；C 选项：对抛物线23(1)2y x =-++，当1x <-时，y 随x 增大而增大，故C 正确；D 选项：抛物线23(1)2y x =-++的对称轴是直线1x =-，故D 错误．故选C ．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．8．若二次函数y=mx 2-（m 2-3m ）x+1-m 的图象关于y 轴对称，则m 的值为（ ）A ．0B ．3C ．1D ．0或3 【答案】B【解析】由于函数图象关于y 轴对称，则函数的解析式形式应该是y=ax 2+c 型，由此求得问题的答案．【解答】解：∵二次函数y=mx 2-（m 2-3m ）x+1-m 的图象关于y 轴对称，∴函数的解析式形式应该是y=ax 2+c 型，∴-（m 2-3m ）=0，解得：m=0或m=3，∵二次函数的二次项系数m 不能为0，∴m=3．故选：B ．【点评】本题考查关于y 轴对称的抛物线的表达式是y=ax 2+c ，（a≠0，a 、c 为常数）．熟练掌握此类型二次函数的性质是解答此题的关键．9．悬索桥，又名吊桥，指的是以通过索塔悬挂并锚固于两岸（或桥两端）的缆索（或钢链）作为上部结构主要承重构件的桥梁． 其缆索几何形状一般近似于抛物线．从缆索垂下许多吊杆（吊杆垂直于桥面），把桥面吊住．某悬索桥（如图1），是连接两个地区的重要通道．图2是该悬索桥的示意图．小明在游览该大桥时，被这座雄伟壮观的大桥所吸引．他通过查找资料了解到此桥的相关信息：这座桥的缆索（即图2中桥上方的曲线）的形状近似于抛物线，两端的索塔在桥面以上部分高度相同，即AB =CD ，两个索塔均与桥面垂直．主桥AC 的长为600m ，引桥CE 的长为124m ．缆索最低处的吊杆MN 长为3m ，桥面上与点M 相距100m 处的吊杆PQ 长为13m ．若将缆索的形状视为抛物线，请你根据小明获得的信息，建立适当的平面直角坐标系，求出索塔顶端D 与锚点E 的距离（ ）．A ．150B ．155C ．160D ．165【答案】B 【解析】先建立适当的平面直角坐标系，AC 所在直线为x 轴，MN 所在直线为y 轴，再由已知条件和抛物线的对称性确定出点坐标：(0,0)M ，(0,3)N ，(100,13)Q ，设抛物线的表达式为23y ax =+，将Q 的坐标带入，解得a 的值，就可得出抛物线的表达式，当300MC x ==时，带入抛物线的表达式，得出y 值就是CD 的长度，在Rt △DCE 中利用勾股定理得出DE 的长度，也就是塔顶端D 与锚点E 的距离．【解答】解：如图所示建立平面直角坐标系，依题意可知3MN =，13PQ =，100MP =，600AC =，124CE =，AB DC =，BA AC ⊥，DC AC ⊥，MN AC ⊥，PQ AC ⊥， 由抛物线的对称性可知，13002MC AC ==， 则得点坐标：(0,0)M ，(0,3)N ，(100,13)Q ， 设抛物线的表达式为23y ax =+ ，∵抛物线经过点Q ，∴将点Q 的坐标带入得2131003a =+，解得11000a =得抛物线的表达式为2131000y x =+ ， 当300x =时，得213003931000y =⨯+=， ∵DC AC ⊥，∴90DCE ∠=， ∴22222293124(331)(431)531155DE DC CE =+=+=⨯+⨯=⨯=，答：索塔顶端D 与锚点E 的距离为155米．【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，建立适当的坐标系，求出解析式，结合勾股定理，是解题的关键．10．在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和222y mx x =-++的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据m 的符号，针对二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，分类讨论，逐一判断即可．【解答】A ：由函数y mx m =+的图像可知0m <，即函数222y mx x =-++开口应向上，与图像不符，故A 错误；B 、由函数y mx m =+的图像可知0m <，函数222y mx x =-++的对称轴21022b x a m m=-=-=<-，则对称轴应在y 轴的左侧与图像不符，故B 错误；C ：由函数y mx m =+的图像可知0m >，即函数222y mx x =-++开口应向下，与图像不符，故C 错误；D ：由函数y mx m =+的图像可知0m <，即函数222y mx x =-++开口向上，函数222y mx x =-++的对称轴21022b x a m m =-=-=<-，则对称轴应在y 轴的左侧与图像相符，故D 正确； 故选：D ．【点评】本题主要考查了一次函数与二次函数图象，关键是熟练掌握一次函数y=kx+b 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．11．已知点P （m ，n ）在抛物线y ＝a （x ﹣5）2+9（a≠0）上，当3＜m ＜4时，总有n ＞1，当7＜m ＜8时，总有n ＜1，则a 的值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣2【答案】D【解析】根据抛物线的解析式可以确定抛物线的顶点和增减性，再根据已知条件确定a 的符号和关于a 的不等式，从而得到a 的值．【解答】解：∵抛物线y ＝a （x ﹣5）2+9（a≠0），∴抛物线的顶点为（5，9），∵当7＜m ＜8时，总有n ＜1，∴a 不可能大于0，则a ＜0，∴x ＜5时，y 随x 的增大而增大，x ＞5时，y 随x 的增大而减小，∵当3＜m ＜4时，总有n ＞1，当7＜m ＜8时，总有n ＜1，且x ＝3与x ＝7对称，∴m ＝3时，n≥1，m ＝7时，n≤1， ∴491491a a +≥⎧⎨+≤⎩, ∴4a+9＝1，∴a ＝﹣2，故选：D ．【点评】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的顶点坐标、增减性及其与图象的关系是解题关键．12．如果二次函数y ＝x 2﹣ax+1，当x≤﹣2时，y 随x 的增大而减小，且关于z 的分式方程1122az z z ----＝2有正数解，则符合条件的整数a 的值有多少个（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 【答案】C【解析】先解分式方程求出z ＝22a-，关于z 的分式方程有正数解满足2﹣a ＞0利用二次函数y ＝x 2﹣a x+1，当x≤﹣2时，y 随x 的增大而减小，求出对称轴x ＝﹣-2a ≥﹣2，求出a 的范围﹣4≤a ＜2，且a ≠1即可． 【解答】解：∵11222az z z --=-- ∴1+1﹣a z ＝2（2﹣z ）∴（2﹣a ）z ＝2∴z ＝22a- 关于z 的分式方程有正数解 ∴22a-＞0 ∴2﹣a ＞0∴a ＜2但该分式方程当z ＝2时显然是增根，故当a ＝1时不符合题意，舍去．∵二次函数y ＝x 2﹣a x+1，当x≤﹣2时，y 随x 的增大而减小∴其对称轴x ＝﹣-2a ≥﹣2 ∴a ≥﹣4∴﹣4≤a ＜2，且a ≠1符合条件的整数a 的值有﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0，共5个故选择：C ．【点评】本题考查分式方程的解法，抛物线的增减性，不等式的解法，掌握分式方程的解法，抛物线的性质，会求抛物线的对称轴，会利用分式方程的解为正数构造不等式，结合函数的增减性解决问题． 13．若二次的数2y ax bx c =++的x 与y 的部分对应值如下表：A ．5B ．3-C ．13-D ．27-【解析】首先观察表格可得二次函数2y ax bx c =++过点(4,3)-与(2,3)-，则可求得此抛物线的对称轴，然后由对称性求得答案． 【解答】解：二次函数2y ax bx c =++过点(4,3)-与(2,3)-，∴此抛物线的对称轴为：直线4(2)32x -+-==-， ∴横坐标为1x =的点的对称点的横坐标为7x =-，∴当1x =时，27y =-．故选：D ．【点评】此题考查了二次函数的对称性，根据表格中的数据找到对称轴是解题的关键．14．从﹣3、﹣1、0、12、2、3这六个数中，随机抽取一个数记为a ，若数a 使关于x 的分式方程11ax x --﹣1＝21x -有整数解，且使二次函数y ＝x 2﹣（a ﹣1）x +3，当x ＞12时，y 随x 的增大而增大，那么这六个数中满足所有条件的a 的值之和为（ ）A ．﹣12B ．12C ．32D ．52 【答案】D 【解析】求解分式方程12111ax x x--=--，利用使分式有意义和使分式有整数解的条件来判断符合的a 的值，再将这些数代入二次函数，根据二次函数的性质即可最后确定符合的a 的值，最后相加即可． 【解答】解分式方程12111ax x x--=--，得：21x a =-，且1x ≠． ∴1a ≠-．∴-3、-1、0、12、2、3这六个数中，使x 为整数的a 为：0、12、2、3；将上述满足条件的a （0、12、2、3）逐项代入二次函数表达式，根据二次函数的性质可知满足条件的a 为：0、12、2，∴其和为：52． 故选：D ．【点评】本题考查二次函数的性质，解分式方程和使分式方程有意义的条件，掌握分式方程的解法和二次函数的性质是解答本题的关键．15．抛物线经过点(2,0),(1,0)A B -，且与y 轴交于点C ．若2OC =，则该抛物线解析式为（ ） A ．2y x x 2=--B ．22y x x =---或22y x x =++C ．22y x x =-++D ．2y x x 2=--或22y x x =-++【解析】抛物线和y 轴交点的为（0,2）或（0，-2），根据A 、B 两点坐标设出抛物线解析式为()()21y a x x =-+()0a ≠，代入C 点坐标即可求解．【解答】设抛物线的解析式为()()21y a x x =-+()0a ≠∵2OC =∴抛物线和y 轴交点的为（0,2）或（0，-2）①当抛物线和y 轴交点的为（0,2）时，得()()20201a =-+解得1a =-∴抛物线解析式为()()121y x x =--+，即22y x x =-++②当抛物线和y 轴交点的为（0，-2）时，()()20201a -=-+解得1a =∴抛物线解析式为()()y x 2x 1=-+，即2y x x 2=--故选D ．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，问题的关键是设出合适的解析式形式，本题选用两点式（又叫双根式）较为合适．16．已知二次函数2y ax bx c =+-的图像的对称轴为直线1x =，开口向下，且与x 轴的其中的一个交点是3,0，下列结论：①420a b c +->;②0a b c --<;③3c a =;④520a b c +->正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】根据题意，由对称轴为直线1x =，开口向下，则0a <，抛物线与x 轴的另一个交点为()1,0-，当2x =时，0y >可判断①；当1x =-时，0y =可判断②；由12b a -=，0a b c --=可判断③；由3c a =，2b a =-代入计算，即可判断④；然后得到答案.【解答】解：根据题意，∵二次函数2y ax bx c =+-的图像的对称轴为直线1x =，开口向下，且与x 轴的其中的一个交点是()3,0， ∴0a <，抛物线与x 轴的另一个交点为()1,0-，12b x a=-=， 由图可知，当2x =时，函数图像在x 轴上方，则0y >，∴当2x =时，420y a b c =+->，故①正确；∵抛物线经过点()1,0-，∴当1x =-时，0y a b c =--=，故②错误； ∵12b a-=，0a b c --=， ∴2b a =-，∴(2)3c a b a a a =-=--=，故③正确；∵2b a =-，3c a =，∴5252233a b c a a a a +-=--⨯=-，∵0a <，则30a ，∴520a b c +->，故④正确；∴正确的选项有①③④，共3个；故选：C.【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置． 当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）． 17．如图，正方形ABCD 边长为4，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且AE ＝BF ＝CG ＝DH ．设A 、E 两点间的距离为x ，四边形EFGH 的面积为y ，则y 与x 的函数图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】本题考查了动点的函数图象，先判定图中的四个小直角三角形全等，再用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，得函数y 的表达式，结合选项的图象可得答案．【解答】解：∵正方形ABCD 边长为4，AE ＝BF ＝CG ＝DH∴AH ＝BE ＝CF ＝DG ，∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D∴△AEH ≌△BFE ≌△CGF ≌△DHG∴y ＝4×4﹣12x （4﹣x ）×4＝16﹣8x+2x 2＝2（x ﹣2）2+8∴y 是x 的二次函数，函数的顶点坐标为（2，8），开口向上，从4个选项来看，开口向上的只有A 和B ，C 和D 图象开口向下，不符合题意；但是B 的顶点在x 轴上，故B 不符合题意，只有A 符合题意．故选：A ．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，正确地写出函数解析式并数形结合分析是解题的关键． 18．如图，顶点坐标为(1,)n 的抛物线2y ax bx c =++经过点(1,0)A -，与y 轴的交点在(0,2)，(0,3)之间（含端点），则下列结论：①30a b +>；②213a -≤≤-；③对于任意实数m ，()ab m am b +≥+总成立；④关于x 的方程21ax bxc n ++=-有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】利用抛物线开口方向得到a ＜0，再由抛物线的对称轴方程得到b ＝﹣2a ，则3a +b ＝a ，于是可对①进行判断；利用2≤c ≤3和c ＝﹣3a 可对②进行判断；利用二次函数的性质可对③进行判断；根据抛物线y ＝ax 2+bx +c 与直线y ＝n ﹣1有两个交点可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a ＜0，而抛物线的对称轴为直线x ＝﹣2b a＝1，即b ＝﹣2a ， ∴3a +b ＝3a ﹣2a ＝a ＜0，所以①错误；∵2≤c ≤3，而c ＝﹣3a ，∴2≤﹣3a ≤3，∴﹣1≤a≤﹣23，所以②正确；∵抛物线的顶点坐标（1，n），∴x＝1时，二次函数值有最大值n，∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，所以③正确；∵抛物线的顶点坐标（1，n），∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n﹣1有两个交点，∴关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根，所以④正确．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．19．如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B(﹣1，0)，则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中结论正确的有（）A．①③B．①④C．①②D．①③④【答案】B【解析】由图象可知，当x＝1时，y＝a+b+c最大，故①正确；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，故②错误；二次函数与x轴有两个不同交点，因此b2﹣4ac＞0，故③错误；对称轴为x＝1，B（﹣1，0），所以A（3，0），由图象可得，y＞0时，﹣l＜x＜3，故④正确．【解答】解:①由图象可知，x=1时，y=a+b+c最大，因此二次函数的最大值为a+b+c，故①正确；②由图象可知，x=-1时，y=0，即a-b+c=0，因此a-b+c=0，故②错误；③由图象可知，函数图象与x轴有两个不同交点，因此b2﹣4ac＞0，故③错误；④∵对称轴为x=1，B(-1，0)，∴A(3，0)，∴y ＞0时，-1＜x ＜3，故④正确，则答案为：①④．故选：B ．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 20．关于二次函数245(0)y ax ax a =--≠的三个结论：①对任意实数m ，都有12x m =+与22x m =-对应的函数值相等；②若3≤x≤4，对应的y 的整数值有4个，则413a -<≤-或413a ≤<；③若抛物线与x 轴交于不同两点A ，B ，且AB≤6，则54a <-或1a ≥．其中正确的结论是（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】D【解析】由题意可求次函数y=ax 2-4ax-5的对称轴为直线422a x a -=-=，由对称性可判断①；分a ＞0或a ＜0两种情况讨论，由题意列出不等式，可求解，可判断②；分a ＞0或a ＜0两种情况讨论，由题意列出不等式组，可求解，可判断③；即可求解．【解答】解：∵抛物线的对称轴为422a x a-=-=， ∴x 1=2+m 与x 2=2-m 关于直线x=2对称，∴对任意实数m ，都有x 1=2+m 与x 2=2-m 对应的函数值相等；故①正确；当x=3时，y=-3a-5，当x=4时，y=-5，若a ＞0时，当3≤x≤4时，-3a-5＜y≤-5，∵当3≤x≤4时，对应的y 的整数值有4个， ∴413a ≤<， 若a ＜0时，当3≤x≤4时，-5≤y ＜-3a-5，∵当3≤x≤4时，对应的y 的整数值有4个， ∴413a -<≤-， 故②正确；若a ＞0，抛物线与x 轴交于不同两点A ，B ，且AB≤6，∴△＞0，25a-20a-5≥0，∴216200550a a a ⎧+>⎨-≥⎩， ∴1a ≥；若a ＜0，抛物线与x 轴交于不同两点A ，B ，且AB≤6，∴△＞0，25a-20a-5≤0，∴216200550a a a ⎧+>⎨-≤⎩∴a ＜54-， 综上所述：当a ＜54-或a≥1时，抛物线与x 轴交于不同两点A ，B ，且AB≤6． 故③正确；故选：D ．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与x 轴的交点等知识，理解题意列出不等式（组）是本题的关键．21．在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝x 2﹣（m ﹣1）x +m （m ＞1）沿y 轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【解析】根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，然后结合m 的取值范围判断新抛物线的顶点所在的象限即可． 【解答】解：2221(1)(1)()24m m y x m x m x m --=--+=-+-， ∴该抛物线顶点坐标是1(2m -，2(1))4m m --， ∴将其沿y 轴向下平移3个单位后得到的抛物线的顶点坐标是1(2m -，2(1)3)4m m ---， 1m >，10m ∴->， ∴102m ->， 2222(1)4(21)12(3)4(3)3104444m m m m m m m ---+-------===--<， ∴点1(2m -，2(1)3)4m m ---在第四象限； 故选：D ．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质、平移的性质、抛物线的顶点坐标等知识；熟练掌握二次函数的图象和性质，求出抛物线的顶点坐标是解题的关键．22．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列4个结论：①0abc >；②b a c <+；③420a b c ++>；④(),(1)a b m am b m +>+≠；⑤23c b <其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B 【解析】由抛物线开口向下得到a ＜0；由抛物线的对称轴为直线x=2b a-=1得到b ＞0；由抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方得到c ＞0，则abc ＜0；观察图象得到当x=-1时，y ＜0，即a-b+c ＜0；当x=2时，y ＞0，即4a+2b+c ＞0；根据二次函数的最值问题得到x=1时，y 有最大值a+b+c ，则a+b+c ＞am 2+bm+c （m≠1），变形得到a+b ＞m （am+b ）；当x=3时，得到y=9a+3b+c ＜0，根据对称轴得到a=2b -，代入，化简可得得2c ＜3b ．【解答】解：①∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵抛物线的对称轴为直线x=2b a-=1， ∴b ＞0；∵抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方，∴c ＞0，∴abc ＜0，所以①错误；②当x=-1时，y ＜0，即a-b+c ＜0，∴b ＞a+c ，所以②错误；③由图可知：当x=2时，y ＞0，即4a+2b+c ＞0，所以③正确；④∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴x=1时，y 有最大值a+b+c ，∴a+b+c ＞am 2+bm+c （m≠1），∴a+b ＞m （am+b ），所以④正确；⑤当x=3时函数值小于0，y=9a+3b+c ＜0，且x=2b a -=1， 即a=2b -，代入得9（2b -）+3b+c ＜0，得2c ＜3b ，故⑤正确； 故选B ．【点评】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定．23．已知：如图所示，抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴为x =﹣1，与x 轴交于A 、B 两点，交y 轴于点C ，且OB =OC ，则下列结论正确的个数是（ ）①b =2a ②a ﹣b +c ＞﹣1 ③0＜b 2﹣4ac ＜4 ④ac +1=b ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【解析】①根据抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴为x=﹣1，即﹣2b a=﹣1，整理后即可得到答案； ②根据图象法即可得到答案； ③观察图象知函数图象与x 轴有两个交点，从而得到b 2﹣4ac ＞0；然后根据表示出a ，b ，c 的值，根据不等式的性质，即可求得；④由抛物线与y 轴相交于点C ，就可知道C 点的坐标，然后代入函数式，即可得到答案．【解答】解：①∵抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴为x=﹣1，∴﹣2b a=﹣1， 整理得b=2a ，故①正确；④由抛物线与y 轴相交于点C ，就可知道C 点的坐标为（0，c ），又因OC=OB ，所以B （﹣c ，0），把它代入y=ax 2+bx+c ，即ac 2﹣bc+c=0，两边同时除以c ，即得到ac ﹣b+1=0，所以ac+1=b ．故④正确；②∵抛物线过点B 、C ，且直线BC 与x 轴所夹锐角为45°，且抛物线只与直线BC 有两个交点B 、C ， 设直线BC 与对称轴x=﹣1交于点D ，对称轴与x 轴交于点E ，易知DE ＜1，∴D 的纵坐标大于﹣1，而抛物线是光滑曲线与直线BC 相交于B 、C 后不会再与直线BC 相交，由此可知抛物线的顶点高于D 点，即：抛物线的顶点纵坐标大于﹣1，所以当x=﹣1时，a ﹣b+c ＞﹣1．故②正确；③∵函数图象与x 轴有两个交点，∴得到b 2﹣4ac ＞0，∵0＜b 2＜4，4ac ＞0，∴b 2﹣4ac ＜4，故③正确；故选：D ．【点评】本题考查了二次函数的系数与图象的关系，根据抛物线与x 轴，y 轴的交点判断交点坐标，然后代入函数式，推理a ，b ，c 之间的关系．24．在平面直角坐标系中有两点()()2,4,2,4A B -,若二次函数()2230y ax ax a a =--≠的图像与线段AB 只有一个交点，则（ ）A ．a 的值可以是43-B ．a 的值可以是35C ．a 的值不可能是-1.2D ．a 的值不可能是-1 【答案】C【解析】先计算二次函数的对称轴，首先计算函数与直线AB 相交时a 的取值范围.然后分别计算函数与A ，B 相交时a 的值，并由此分别画出函数的大致图，根据大致图判断a 的取值范围.对上述 a 的取值范围综合分析即可得出a 的最终取值范围，最后依次对各选项进行判断即可. 【解答】由对称轴可知，212a x a-=-=是该函数的对称轴， 当函数与直线AB 相交时，2423ax ax a =--有解，整理得22(34)0ax ax a --+=，根据根的判别式2244(34)16160a a a a a ∆=++=+≥，解得0a ≥或1a ≤-，因为0a ≠，所以0a >或1a ≤-，且a=-1时，二次函数与AB 有唯一的交点（1,4）.若函数与B 点相交时，将B (2,4)代入()2230y ax ax a a =--≠得4434a a a --= 解得43a =-，则此时如下图：函数恰好与线段AB 有两个交点，所以根据图象，当4434a a a -->时抛物线与线段AB 只有一个交点，解得43a <-； 若函数与A 点相交时,把A (−2,4)代入()2230y ax ax a a =--≠得4434a a a +-=,解得45a =,则此时如下图：函数恰好与线段有一个交点，根据图象当4434a a a +-≥时，抛物线与线段AB 也只有一个交点,解得45a . 综上所述43a <-或45a 或a=-1， A. a 的值不可以是43-，故A 错误； B. 3455<，a 的值不可以是35，B 错误； C. -1.2=6453->-,故a 的值不可能是-1.2，C 正确； D. a 的值可能是-1，故D 错误.故选C.【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征.本题中能分情况讨论，并能画出函数大致图，根据大致图去分析是解决此题的关键.在本题中还需注意函数的顶点正好在直线AB 上这种情况.。
二次函数的图像与性质及练习
二次函数(h ánsh ù)的图像(t ú xi àn ɡ)与性质一、二次函数(h ánsh ù)概念：1．二次函数(h ánsh ù)的概念：一般(y īb ān)地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。
【说明】这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2.的性质：上加下减。
a 的符号 开口方向顶点坐标对称轴性质向上 轴 时，y 随x 的增大而增大；时，y 随x 的增大而减小；时，y 有最小值．向下 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．a 的符号开口方向 顶点坐标对称轴性质0a >向上y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y有最小值c ．0a <向下()0c ，y 轴0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y3. 的性质：左加右减。
4.的性质(x ìngzh ì)： 5. 二次函数(h ánsh ù)2y ax bx c =++的性质(x ìngzh ì) 1. 当0a >时，抛物线开口(k āi k ǒu)向上，对称轴为，顶点(d ǐngdi ǎn)坐标为．当时，y 随x 的增大而减小；当时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a=-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．有最大值c ．a 的符号开口方向 顶点坐标对称轴 性质0a >向上X=h时，y 随x 的增大而增大；时，y 随x 的增大而减小；时，y有最小值0．0a <向下()0h ，X=hx h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y有最大值0．a 的符号开口方向 顶点坐标对称轴 性质0a >向上X=hx h >时，y 随x 的增大而增大；x h<时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y有最小值．0a <向下()h k ，X=hx h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y有最大值k ．三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：2. 平移(pín ɡ yí)规律在原有函数(hánshù)的基础上“值正右移(yòu yí)，负左移；k 值正上移，负下移”．概括(g àiku ò)成八个字“左加右减，上加下减”． 方法(f āngf ǎ)二： ⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，c bx ax y ++=2变成（或）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成（或）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2=-+与2y a x h k=++是两种不同的表达形式，后y ax bx c者通过配方可以得到前者，即，其中．五、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：（a，b，c为常数，）；2. 顶点式：（a，h，k为常数，0a≠）；3. 两根式：（0a≠，，是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.六、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2=++中，a作为二次项系数，显然0y ax bx ca≠．⑴当0a>时，抛物线开口(kāi kǒu)向上，a的值越大，开口(kāi kǒu)越小，反之a的值越小，开口(kāi kǒu)越大；⑵当0a<时，抛物线开口(kāi kǒu)向下，a的值越小，开口(kāi kǒu)越小，反之a的值越大，开口越大．总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．⑴在0a>的前提下，当时，，即抛物线的对称轴在y轴左侧；当时，，即抛物线的对称轴就是y轴；当时，，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置． 的符号的判定：对称轴在y 轴左边则，在y 轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”总结： 3. 常数项c ⑴ 当时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．/ 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之(z ǒngzh ī)，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是(ji ùsh ì)唯一确定的．4.利用(l ìy òng)二次函数与轴的交点(ji āodiǎn)的个数来确定判别式的符号(fúhào)，利用特殊点的坐标确定特殊代数式的值的范围。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第22章二次函数 同步学习检测（6）班级 座号 姓名 ___ 得分一、填空题：注意：填空题的答案请写在下面的横线上, （每小题2分，共80分）1、 ；2、 ；3、 ；4、 ；5、 ；6、 ；7、 ；8、 ；9、 ；10、 ； 11、 ；12、 ；13、 ；14、 ；15、 ； 16、 ；17、 ；18、 ；19、 ；20、 ； 21、 ； 22、 ；23、 ； 24、 ； 25、 ； 26、 ；27、 ；28、 ；29、 ；30、 ； 31、 ；32、 ；33、 ；34、 ；35、 ； 36、 ；37、 ；38、 ；39、 ；40、 ；1、（2009年北京市）若把代数式223x x --化为()2x m k -+的形式，其中,m k 为常数，则m+k= __________ .2、（2009年安徽）已知二次函数的图象经过原点及点（12-，14-），且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为3、（2009 黑龙江大兴安岭）当=x 时，二次函数222-+=x x y 有最小值．4、（2009年郴州市）抛物线23(1)5y x =--+的顶点坐标为_______________________． 5、(2009年上海市)将抛物线22y x =-向上平移一个单位后，得以新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是 ______________ ．6、（2009年内蒙古包头）已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(20)-，、1(0)x ，，且112x <<，与y 轴的正半轴的交点在(02)，的下方．下列结论：①420a b c -+=；②0a b <<；③20a c +>；④210a b -+>．其中正确结论的个数是 _____ 个．7、（2009湖北省荆门市）函数(2)(3)y x x =--取得最大值时，x =____________． 8、（2009年齐齐哈尔市）当x =_____________时，二次函数222y x x =+-有最小值． 9、（2009年贵州省黔东南州）二次函数322--=x x y 的图象关于原点O （0, 0）对称的图象的解析式是_________________。
10、已知二次函数2122y x x =-+， 当x______________时，y 随x 的增大而增大. 11、（2009襄樊市）抛物线2y x bx c =-++的图象如图所示，则此抛物线的解析式为 ．12、（2009年娄底）如图，⊙O 的半径为2，C 1是函数y =12x 2的图象，C 2是函数y =-12x 2的图象，则阴影部分的面积是 .13、（2009年甘肃庆阳）如图为二次函数2y ax bx c =++的图象，给出下列说法： ①0ab <；②方程20ax bx c ++=的根为1213x x =-=，；③0a b c ++>；④当1x >时，y 随x 值的增大而增大；⑤当0y >时，13x -<<．其中，正确的说法有 ．（请写出所有正确说法的序号）14、(2009年甘肃定西)抛物线2y x bx c =-++的部分图象如图所示，请写出与其关系式、图象相关的2个正确结论： ， ．（对称轴方程，图象与x 正半轴、y 轴交点坐标例外）15、(2009年鄂州)把抛物线y ＝ax+bx+c 的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y ＝x －3x+5，则a+b+c=__________ 16、（2009年包头）将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm 2．17、（2009年黄石市）若抛物线23y ax bx =++与232y x x =-++的两交点关于原点对称，则a b 、分别为 ．18．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。
为了扩大销售，增 加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。
经调查发现：如果每件衬衫降价1 元，商场平均每天可多售出2件。
则商场降价后每天盈利y （元）与降价x （元）的函数关 系式为 _________ 。
19、（2009年莆田）出售某种文具盒，若每个获利x 元，一天可售出()6x -个， 则当x = 元时，一天出售该种文具盒的总利润y 最大．20．(2009年湖州)已知抛物线2y ax bx c =++（a ＞0）的对称轴为直线1x =，且经过点()()212y y -1，，，，试比较1y 和2y 的大小：1y _2y （填“>”，“<”或“=”）21．(2009年咸宁市)已知A 、B 是抛物线243y x x =-+上位置不同的两点，且关于抛物线的对称轴对称，则点A 、B 的坐标可能是_____________．（写出一对即可）22、(2009年本溪)如图所示，抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）与x 轴的两个交点分别为(10)A -，和(20)B ，，当0y <时，x 的取值范围是 ．23、（2009年兰州）二次函数223y x =的图象如图所示，点0A 位于坐标原点， 点1A ，2A ，3A ，…，2008A 在y 轴的正半轴上，点1B ，2B ，3B ，…， 2008B 在二次函数223y x =位于第一象限的图象上， 若△011A B A ,△122A B A ，△233A B A ，…，△200720082008A B A2都为等边三角形，则△200720082008A B A 的边长＝24. (2009年金华市)如图，在第一象限内作射线OC ,与x 轴的夹角为30o ,在射线OC 上取一 点A ，过点A 作AH ⊥x 轴于点H .在抛物线y =x 2 (x >0)上取点P ，在y 轴上取点Q ，使得以P ， O ，Q 为顶点的三角形与△AOH 全等，则符合条件的点A 的坐标是 .25. 已知抛物线y ＝x 2－3x －4，则它与x 轴的交点坐标是 .26.（10年广州市中考七模）、抛物线x x y 522-=+3与坐标轴的交点共有 个。
27.抛物线3422+--=x x y 的顶点坐标是 ; 抛物线1822-+-=x x y 的顶点坐标为 。
28. 用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长x （m ）与面积y （m 2）满足函数 关系y ＝－（x －12）2＋144（0＜x ＜24），那么该矩形面积的最大值为 _____ m 2。
29．(2010年山东宁阳一模)根据c bx ax y ++=2的图象，思考下面五个结论①o c <； ②0>abc ；③0>+-c b a ；④032=-b a ；⑤04>-b c 正确的结论有_____________． 30．（2009年淄博市） 请写出符合以下三个条件的一个函数的解析式 ___ ． ①过点(31)，；②当0x >时，y 随x 的增大而减小；③当自变量的值为2时，函数值小于2． 31．（2010福建模拟）抛物线322-+=x x y 的对称轴是直线 ___ ． 32. （江西南昌一模）二次函数1422--=x x y 的最小值是 _______ 33．函数y =ax 2－(a －3)x ＋1的图象与x 轴只有一个交点，那么a 的值和交点坐标 分别为________________．34、二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，图象经过点（－1，2）和（1，0），且与y 轴相交于负半轴.给出四个结论：① 0a >；② 0b >；③ 0c >；④ 0a b c ++=.其中正确结论的序号是 ；35．将二次函数2x y =的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是 。
36．将抛物线y=-3x 2向上平移一个单位后，得到的抛物线解析式是 。
37．用铝合金型材做一个形状如图（1）所示的矩形窗框，设窗框的一边为x m ，窗户的透光 面积为y m 2，y 与x 的函数图象如图（2）所示。
观察图象，当x ＝ 时，窗户透光面 积最大。
38．如图，二次函数y =ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上，图象经过点(－1，2)和(1，0)，且与y 轴交于负半轴．给出四个结论：①abc ＜0；②2a ＋b ＞0；③a ＋c =1；④a ＞1． 其中正确结论的序号是_______________(少选、错选均不得分)．39.如图，二次函数y=ax2+bx+c 的图象开口向上，图象经过点（-1，2）和（1，0），且与y 轴相交于负半轴。
给出四个结论：①a>0；②b>0；③c>0；④a+b+c=0；⑤abc<0；⑥2a+b>0；⑦a+c=1；⑧a>1.其中正确结论的序号是 _____________________ 。
40．如图，△ABC 是直角三角形，∠A =90°， AB =8cm ，AC =6cm 点P 从点A 出发，沿AB 方向以2cm/s 的速度向点B 运动；同时点Q 从点A 出发，沿AC 方向以1cm/s 的速度向点C 运动，其中一个动点到达终点，则另一个动点也停止运动，则三角形APQ 的最大面积是_____.二、解答题(共40分) 1.已知二次函数215222y x x =+-. （1）求出抛物线的顶点坐标、对称轴、最小值；（2）求出抛物线与x 轴、y 轴交点坐标；2. （09浙江）如图抛物线254y ax x a =-+与ｘ轴相交于点Ａ、Ｂ，且过点Ｃ（５，４）． (1)求a 的值和该抛物线顶点P 的坐标． (2)请你设计一种．．平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．3．已知抛物线c bx x y ++=2－的部分图象如图所示.(1)求b 、c 的值； (2)求y 的最大值；(3)写出当0<y 时，x 的取值范围.4.（09贵州黔东南）凯里市某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出，若每间包房收费再提高20元，则再减少10间包房租出，以每次提高20元的这种方法变化下去。
⑴设每间包房收费提高x（元），则每间包房的收入为y1（元），但会减少y2间包房租出，请分别写出y1、y2与x之间的函数关系式。
⑵为了投资少而利润大，每间包房提高x（元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y （元），请写出y与x之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理由。