41中学初三年级数学期中试题及答案
九年级期中数学试卷及答案
九年级期中数学试卷及答案(考试时间:90分钟,满分:100分)一、选择题(每题2分,共30分)1.若a>b,则下列哪个选项一定成立?A.ac>bcB.a+c>b+cC.ac>bcD.a/c>b/c(c≠0)答案:A2.下列哪个是无理数?A.√9B.√16C.√3D.π答案:C3.若x^25x+6=0,则x的值为?A.2或3B.1或6C.-2或-3D.-1或-6答案:A4.下列哪个函数是增函数?A.y=-2x+3B.y=x^2C.y=1/xD.y=-x^2答案:A5.若一个等腰三角形的底边长为8,腰长为10,则该三角形的周长为?A.26B.28C.30D.32答案:C6.下列哪个图形不是正多边形?A.矩形B.菱形C.正五边形D.正六边形答案:A7.若一个数的算术平方根是3,则该数为?A.9B.6C.12D.18答案:A二、判断题(每题1分,共20分)8.若a>b,则ac>bc。
(c>0)答案:错误9.两个无理数的和一定是无理数。
答案:错误10.两个等腰三角形的面积相等,则它们的周长也相等。
答案:错误11.若一个数的平方是正数,则该数一定是正数。
答案:错误12.任何两个奇数之和都是偶数。
答案:正确13.任何两个负数相乘都是正数。
答案:正确14.若一个数的立方是负数,则该数一定是负数。
答案:正确三、填空题(每空1分,共10分)15.若a=3,b=-2,则a+b=___________,ab=___________。
答案:1516.若x^25x+6=0,则x的值为___________或___________。
答案:2317.若一个等腰三角形的底边长为8,腰长为10,则该三角形的周长为___________。
答案:2818.若一个数的算术平方根是3,则该数为___________。
答案:919.两个等腰三角形的面积相等,则它们的周长也相等。
(判断对错)答案:错误四、简答题(每题10分,共10分)20.请简述勾股定理的内容。
北京四十一中2017届九年级上期中数学试卷含答案解析
一、选择题 1.抛物线 y=2(x﹣3)2+1的顶点坐标是( ) A.(3,1) B.(3,﹣1) C.(﹣3,1) D.(﹣3,﹣1) 2.抛物线 y=x2﹣4x﹣4 的对称轴是( ) A.x=﹣2 B.x=2 C.x=4 D.x=﹣4 3.抛物线 y=3x2 向右平移 1 个单位,再向下平移 2 个单位,所得到的抛物线是( ) A.y=3(x﹣1)2﹣2 B.y=3(x+1)2﹣2 C.y=3(x+1)2+2D.y=3(x﹣1)2+2
A.M(1,﹣3),N(﹣1,﹣3) B.M(﹣1,﹣3),N(﹣1,3C).M(﹣1,﹣3),N(1, ﹣3) D.M(﹣1,3),N(1,﹣3) 7.如图,观察图形,找出规律,确定第四个图形是( )
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(5)观察图象并写出 y 随 x 增大而减小时自变量 x 的取值范围. (6)观察图象并写出当 x 为何值时,y>0.
21.已知,在同一直角坐标系中,反比例函数 y= 与二次函数 y=﹣x2+2x+c的图象交于点 A(﹣1,m). (1)求 m、c 的值; (2)求二次函数图象的对称轴和顶点坐标. 22.心理学家发现,在一定的时间范围内,学生对概念的接受能力 y 与提出概念所用的时间 x(单位:分 钟)之间满足函数关系 y=﹣0.1x2+2.6x+43(0≤x≤30),y 的值越大,表示接受能力越强. (1)若用 10分钟提出概念,学生的接受能力 y 的值是多少?
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19.如图,已知△ABC三个顶点的坐标分别为 A(﹣2,﹣1),B(﹣3,﹣3),C(﹣1,﹣3),
(1)画出△ABC向右平移三个单位的对应图形△A B1 C1 ,1 并写出 A 的1 坐标;
初三期中试卷数学带答案
一、选择题(每题4分,共40分)1. 下列数中,有理数是()A. √2B. -πC. 0.1010010001…(无限循环小数)D. √-12. 如果a > 0,b < 0,那么下列不等式中正确的是()A. a + b > 0B. a - b > 0C. -a + b > 0D. -a - b > 03. 已知一元二次方程x^2 - 5x + 6 = 0,则它的两个根是()A. x1 = 2,x2 = 3B. x1 = 3,x2 = 2C. x1 = 6,x2 = 1D. x1 = 1,x2 = 64. 下列函数中,一次函数是()A. y = x^2 + 2B. y = 2x - 3C. y = √xD. y = 3/x5. 在直角坐标系中,点A(2,3)关于x轴的对称点是()A. A(2,-3)B. A(-2,3)C. A(-2,-3)D. A(2,-3)6. 一个正方形的周长是16cm,那么它的面积是()A. 32cm^2B. 64cm^2C. 24cm^2D. 48cm^27. 下列各数中,绝对值最小的是()A. -5B. -4C. 0D. 18. 已知等腰三角形的底边长为8cm,腰长为10cm,那么这个三角形的面积是()A. 40cm^2B. 32cm^2C. 36cm^2D. 48cm^29. 下列函数中,反比例函数是()A. y = 2x + 3B. y = 3/xC. y = x^2 + 1D. y = √x10. 下列各数中,无理数是()A. √9B. 2.5C. -πD. 0.1010010001…二、填空题(每题4分,共20分)11. 若a = -3,b = 2,则a^2 + b^2 - 2ab = _______。
12. 已知一元二次方程x^2 - 4x + 3 = 0,则它的两个根的和是 _______。
13. 在直角坐标系中,点B(-3,2)关于y轴的对称点是 _______。
【精】2020年河南省平顶山四十一中九年级上学期数学期中试卷及解析
2018-2019学年河南省平顶山四十一中九年级(上)期中数学试卷一、选择题(每小题3分,共24分)下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确的.将正确答案的代号字母填入题后括号内.1.(3分)已知2x=3y,则下列比例式成立的是()A.B.C.D.2.(3分)通过一个3倍的放大镜看一个△ABC,下面说法正确的是()A.△ABC放大后,∠A是原来的3倍B.△ABC放大后周长是原来的3倍C.△ABC放大后,面积是原来的3倍D.以上都不对3.(3分)正方形具有而菱形不具有的性质是()A.四个角都是直角 B.两组对边分别相等C.内角和为360°D.对角线平分对角4.(3分)已知方程x2﹣2x﹣1=0,则此方程()A.无实数根B.两根之和为﹣2 C.两根之积为﹣1 D.有一根为﹣1+5.(3分)有一块直角边AB=3cm,BC=4cm的Rt△ABC的铁片,现要把它加工成一个正方形(加工中的损耗忽略不计),则正方形的边长为()A.B.C.D.6.(3分)某小组做“用频率估计概率”的实验时,统计了某一结果出现的频率,绘制了如图的折线统计图,则符合这一结果的实验最有可能的是()A.在“石头、剪刀、布”的游戏中,小明随机出的是“剪刀”B.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后,从中任抽一张牌的花色是红桃C.暗箱中有1个红球和2个黄球,它们只有颜色上的区别,从中任取一球是黄球D.掷一个质地均匀的正六面体骰子,向上的面点数是47.(3分)如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,E是AB的中点,P是对角线AC上的一个动点,则PE+PB的最小值为()A.1 B.C.2 D.8.(3分)如图,边长一定的正方形ABCD,Q为CD上一个动点,AQ交BD于点M,过M作MN ⊥AQ交BC于点N,作NP⊥BD于点P,连接NQ,下列结论:①AM=MN;②MP=BD;③BN+DQ=NQ;④为定值.其中一定成立的是()A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④二、填空题(每小题3分,共21分)9.(3分)一元二次方程x2=x的根.10.(3分)已知=,则=.11.(3分)如图,随机闭合开关S1,S2,S3中的两个,能够让灯泡发光的概率为.12.(3分)如图,小明在A时测得某树的影长为2m,B时又测得该树的影长为8m,若两次日照的光线互相垂直,则树的高度为m.13.(3分)六•一儿童节前,苗苗来到大润发超市发现某种玩具原价为100元,经过两次降价,现售价为81元,假设两次降价的百分率相同,则每次降价的百分率为.14.(3分)如图所示,在△ABC中,BC=6,E、F分别是AB、AC的中点,动点P在射线EF上,BP交CE于D,∠CBP的平分线交CE于Q,当CQ=CE时,EP+BP=.15.(3分)如图,正方形ABCD的边长为6,点O是对角线AC、BD的交点,点E在CD上,且DE=2CE,过点C作CF⊥BE,垂足为F,连接OF,则OF的长为.三、解答题(本大题8个小题,共75分)16.(10分)解下列方程:(1)3x2+4x﹣6=0;(2)(x﹣4)(x﹣2)=24.17.(8分)已知:如图,菱形ABCD中,E、F分别是CB、CD上的点,且BE=DF.求证:(1)△ABE≌△ADF;(2)∠AEF=∠AFE.18.(8分)在4张完全相同的卡片正面分别写上数字1,2,3,3,现将它们的背面朝上洗均匀.(1)随机抽出一张卡片,求抽到数字“3”的概率;(2)若随机抽出一张卡片记下数字后放回并洗均匀,再随机抽出一张卡片,求两次都是抽到数字“3”的概率;(要求画树状图或列表求解)(3)如果再增加若干张写有数字“3”的同样卡片,洗均匀后,使得随机抽出一张卡片是数字“3”的概率为,问增加了多少张卡片?19.(9分)已知关于x的方程x2﹣(m﹣2)x+m2=0的两根为x1,x2(1)求m的取值范围;(2)当x12﹣x22=0时,求m的值.20.(9分)如图,平面直角坐标系xOy中,点A、B的坐标分别为(3,0)、(2,﹣3),△AB′O′是△ABO关于点A的位似图形,且O′的坐标为(﹣1,0).(1)画出△AB′O′;(2)求出点B′的坐标.21.(10分)某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售,一天可售出100件.后来经过市场调查,发现这种商品单价每降低1元,其销量可增加10件.(1)求商场经营该商品原来一天可获利润元.(2)设后来该商品每件降价x元,商场一天可获利润y元.①若商场经营该商品一天要获利润2160元,则每件商品应降价多少元?②求出y与x之间的函数关系式,当x取何值时,商场获利润最大?22.(10分)已知矩形ABCD的一条边AD=8,将矩形ABCD折叠,使得顶点B落在CD边上的P 点处.(1)如图1,已知折痕与边BC交于点O,连结AP、OP、OA.①求证:△OCP∽△PDA;②若△OCP与△PDA的面积比为1:4,求边AB的长;(2)若图1中的点P恰好是CD边的中点,求∠OAB的度数;(3)如图2,,擦去折痕AO、线段OP,连结BP.动点M在线段AP上(点M与点P、A不重合),动点N在线段AB的延长线上,且BN=PM,连结MN交PB于点F,作ME ⊥BP于点E.试问当点M、N在移动过程中,线段EF的长度是否发生变化?若变化,说明理由;若不变,求出线段EF的长度.23.(11分)如图,在直角坐标系中,Rt△OAB的直角顶点A在x轴上,OA=4,AB=3.动点M 从A出发,以每秒1个单位长度的速度,沿AO向终点O移动;同时点N从点O出发,以每秒1.25个单位长度的速度,沿OB向终点B移动.当两个动点运动了x秒(0<x<4)时,解答下列问题:(1)求点N的坐标(用含x的代数式表示);(2)在两个动点运动过程中,是否存在某一时刻,使△OMN是直角三角形?若存在,求出x的值;若不存在,请说明理由.(3)当x为何值时,△OMN是等腰三角形.(直接写出x的值)2018-2019学年河南省平顶山四十一中九年级(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(每小题3分,共24分)下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确的.将正确答案的代号字母填入题后括号内.1.(3分)已知2x=3y,则下列比例式成立的是()A.B.C.D.【解答】解:A、变成等积式是:2y=3x,故错误;B、变成等积式是:3x=2y,故错误;C、变成等积式是:2x=3y,故正确;D、变成等积式是:xy=6,故错误.故选:C.2.(3分)通过一个3倍的放大镜看一个△ABC,下面说法正确的是()A.△ABC放大后,∠A是原来的3倍B.△ABC放大后周长是原来的3倍C.△ABC放大后,面积是原来的3倍D.以上都不对【解答】解:用一个能放大3倍的放大镜看△ABC,则看到的三角形与△ABC相似,相似比是3:1,A、两个相似三角形的对应角相等,故A错;B、周长的比等于相似比,即△ABC放大后,周长是原来的3倍,故B正确;C、面积的比是相似比的平方,即9:1,△ABC放大后,面积是原来的9倍,故C错;D、A选项错误,故D错.故选:B.3.(3分)正方形具有而菱形不具有的性质是()A.四个角都是直角 B.两组对边分别相等C.内角和为360°D.对角线平分对角【解答】解:A正确,因为正方形的四个角都是直角而菱形不是;B错误,因为正方形和菱形的两组对边都相等;C错误,因为正方形和菱形的内角和均为360°;D错误,因为正方形和菱形的对角线均平分对角.故选:A.4.(3分)已知方程x2﹣2x﹣1=0,则此方程()A.无实数根B.两根之和为﹣2 C.两根之积为﹣1 D.有一根为﹣1+【解答】解:A、△=(﹣2)2﹣4×1×(﹣1)=8>0,则该方程有两个不相等的实数根.故本选项错误;B、设该方程的两根分别是α、β,则α+β=2.即两根之和为2,故本选项错误;C、设该方程的两根分别是α、β,则αβ=﹣1.即两根之积为﹣1,故本选项正确;D、根据求根公式x==1±知,原方程的两根是(1+)和(1﹣).故本选项错误;故选:C.5.(3分)有一块直角边AB=3cm,BC=4cm的Rt△ABC的铁片,现要把它加工成一个正方形(加工中的损耗忽略不计),则正方形的边长为()A.B.C.D.【解答】解:如图,过点B作BP⊥AC,垂足为P,BP交DE于Q.=AB•BC=AC•BP,∵S△ABC∴BP===.∵DE∥AC,∴∠BDE=∠A,∠BED=∠C,∴△BDE∽△BAC,∴.设DE=x,则有:,解得x=,故选:D.6.(3分)某小组做“用频率估计概率”的实验时,统计了某一结果出现的频率,绘制了如图的折线统计图,则符合这一结果的实验最有可能的是()A.在“石头、剪刀、布”的游戏中,小明随机出的是“剪刀”B.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后,从中任抽一张牌的花色是红桃C.暗箱中有1个红球和2个黄球,它们只有颜色上的区别,从中任取一球是黄球D.掷一个质地均匀的正六面体骰子,向上的面点数是4【解答】解:A、在“石头、剪刀、布”的游戏中,小明随机出的是“剪刀“的概率为,故A选项错误;B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后,从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是:=;故B 选项错误;C、暗箱中有1个红球和2个黄球,它们只有颜色上的区别,从中任取一球是黄球的概率为,故C选项错误;D、掷一个质地均匀的正六面体骰子,向上的面点数是4的概率为≈0.17,故D选项正确.故选:D.7.(3分)如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,E是AB的中点,P是对角线AC上的一个动点,则PE+PB的最小值为()A.1 B.C.2 D.【解答】解:连接DE、BD,由菱形的对角线互相垂直平分,可得B、D关于AC对称,连接PB.则PD=PB,∴PE+PB=PE+PD=DE,即DE就是PE+PB的最小值,∵∠BAD=60°,AD=AB,∴△ABD是等边三角形,∵AE=BE,∴DE⊥AB(等腰三角形三线合一的性质),在Rt△ADE中,DE=.故选:B.8.(3分)如图,边长一定的正方形ABCD,Q为CD上一个动点,AQ交BD于点M,过M作MN ⊥AQ交BC于点N,作NP⊥BD于点P,连接NQ,下列结论:①AM=MN;②MP=BD;③BN+DQ=NQ;④为定值.其中一定成立的是()A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④【解答】解:如图:作AU⊥NQ于U,连接AN,AC,∵∠AMN=∠ABC=90°,∴A,B,N,M四点共圆,∴∠NAM=∠DBC=45°,∠ANM=∠ABD=45°,∴∠ANM=∠NAM=45°,∴由等角对等边知,AM=MN,故①正确.由同角的余角相等知,∠HAM=∠PMN,∴Rt△AHM≌Rt△MPN∴MP=AH=AC=BD,故②正确,∵∠BAN+∠QAD=∠NAQ=45°,∴三角形ADQ绕点A顺时针旋转90度至ABR,使AD和AB重合,在连接AN,证明三角形AQN ≌ANR,得NR=NQ则BN=NU,DQ=UQ,∴点U在NQ上,有BN+DQ=QU+UN=NQ,故③正确.如图,作MS⊥AB,垂足为S,作MW⊥BC,垂足为W,点M是对角线BD上的点,∴四边形SMWB是正方形,有MS=MW=BS=BW,∴△AMS≌△NMW,∴AS=NW,∴AB+BN=SB+BW=2BW,∵BW:BM=1:,∴==,故④正确.故选:D.二、填空题(每小题3分,共21分)9.(3分)一元二次方程x2=x的根x1=0,x2=1.【解答】解:由原方程得x2﹣x=0,整理得x(x﹣1)=0,则x=0或x﹣1=0,解得x1=0,x2=1.故答案是:x1=0,x2=1.10.(3分)已知=,则=.【解答】解:由比例的性质,得b=a.====,故答案为:.11.(3分)如图,随机闭合开关S1,S2,S3中的两个,能够让灯泡发光的概率为.【解答】解:P(灯泡发光)=.故本题答案为:.12.(3分)如图,小明在A时测得某树的影长为2m,B时又测得该树的影长为8m,若两次日照的光线互相垂直,则树的高度为4m.【解答】解:如图:过点C作CD⊥EF,由题意得:△EFC是直角三角形,∠ECF=90°,∴∠EDC=∠CDF=90°,∴∠E+∠ECD=∠ECD+∠DCF=90°,∴∠E=∠DCF,∴Rt△EDC∽Rt△CDF,有=;即DC2=ED•FD,代入数据可得DC2=16,DC=4;故答案为:4.13.(3分)六•一儿童节前,苗苗来到大润发超市发现某种玩具原价为100元,经过两次降价,现售价为81元,假设两次降价的百分率相同,则每次降价的百分率为10%.【解答】解:设每次降价的百分率为x,第二次降价后价格变为100(x﹣1)2元,根据题意得:100(x﹣1)2=81,即x﹣1=0.9,解之得x1=1.9,x2=0.1.因x=1.9不合题意,故舍去,所以x=0.1.即每次降价的百分率为0.1,即10%.故答案为:10%.14.(3分)如图所示,在△ABC中,BC=6,E、F分别是AB、AC的中点,动点P在射线EF上,BP交CE于D,∠CBP的平分线交CE于Q,当CQ=CE时,EP+BP=12.【解答】解:如图,延长BQ交射线EF于M,∵E、F分别是AB、AC的中点,∴EF∥BC,∴∠M=∠CBM,∵BQ是∠CBP的平分线,∴∠PBM=∠CBM,∴∠M=∠PBM,∴BP=PM,∴EP+BP=EP+PM=EM,∵CQ=CE,∴EQ=2CQ,由EF∥BC得,△MEQ∽△BCQ,∴==2,∴EM=2BC=2×6=12,即EP+BP=12.故答案为:12.15.(3分)如图,正方形ABCD的边长为6,点O是对角线AC、BD的交点,点E在CD上,且DE=2CE,过点C作CF⊥BE,垂足为F,连接OF,则OF的长为.【解答】解:如图,在BE上截取BG=CF,连接OG,∵RT△BCE中,CF⊥BE,∴∠EBC=∠ECF,∵∠OBC=∠OCD=45°,∴∠OBG=∠OCF,在△OBG与△OCF中∴△OBG≌△OCF(SAS)∴OG=OF,∠BOG=∠COF,∴OG⊥OF,在RT△BCE中,BC=DC=6,DE=2EC,∴EC=2,∴BE===2,∵BC2=BF•BE,则62=BF,解得:BF=,∴EF=BE﹣BF=,∵CF2=BF•EF,∴CF=,∴GF=BF﹣BG=BF﹣CF=,在等腰直角△OGF中OF2=GF2,∴OF=.故答案为:.三、解答题(本大题8个小题,共75分)16.(10分)解下列方程:(1)3x2+4x﹣6=0;(2)(x﹣4)(x﹣2)=24.【解答】解:(1)∵3x2+4x﹣6=0,∴3(x2+x+﹣﹣2)=0,∴3(x+)2=,∴x+=±,∴x1=,x2=;(2)∵(x﹣4)(x﹣2)=24,∴x2﹣6x﹣16=0,(x﹣8)(x+2)=0,∴x﹣8=0或x+2=0,∴x1=8,x2=﹣2.17.(8分)已知:如图,菱形ABCD中,E、F分别是CB、CD上的点,且BE=DF.求证:(1)△ABE≌△ADF;(2)∠AEF=∠AFE.【解答】证明:(1)∵ABCD是菱形,∴AB=AD∠B=∠D.又∵BE=DF,∴△ABE≌△ADF.(2)∵△ABE≌△ADF,∴AE=AF,∴∠AEF=∠AFE.18.(8分)在4张完全相同的卡片正面分别写上数字1,2,3,3,现将它们的背面朝上洗均匀.(1)随机抽出一张卡片,求抽到数字“3”的概率;(2)若随机抽出一张卡片记下数字后放回并洗均匀,再随机抽出一张卡片,求两次都是抽到数字“3”的概率;(要求画树状图或列表求解)(3)如果再增加若干张写有数字“3”的同样卡片,洗均匀后,使得随机抽出一张卡片是数字“3”的概率为,问增加了多少张卡片?【解答】解:(1)∵有4张完全相同的卡片正面分别写上数字1,2,3,3,抽到数字“3”的有2种情况,∴随机抽出一张卡片,抽到数字“3”的概率为:=;(2)列表得:∵共有16种等可能的结果,两次都是抽到数字“3”的有4种情况, ∴P (两次都是抽到数字“3”)==;(3)设增加了x 张卡片,则有:=, 解得:x=4,∴增加了4张卡片.19.(9分)已知关于x 的方程x 2﹣(m ﹣2)x +m 2=0的两根为x 1,x 2 (1)求m 的取值范围;(2)当x 12﹣x 22=0时,求m 的值.【解答】解:(1)由题意有△=[﹣(m ﹣2)]2﹣4×m 2≥0, 解得m ≤1,所以实数m 的取值范围是m ≤1;(2)由两根关系,得根x 1+x 2=4(m ﹣2),x 1•x 2=4m 2, 由x 12﹣x 22=0得(x 1+x 2)(x 1﹣x 2)=0, 若x 1+x 2=0,即4(m ﹣2)=0,解得m=2, ∵m ≤1,∴m=2不合题意,舍去, 若x 1﹣x 2=0,即x 1=x 2, ∴△=0,由(1)知m=1, 故当x 12﹣x 22=0时,m=1.20.(9分)如图,平面直角坐标系xOy中,点A、B的坐标分别为(3,0)、(2,﹣3),△AB′O′是△ABO关于点A的位似图形,且O′的坐标为(﹣1,0).(1)画出△AB′O′;(2)求出点B′的坐标.【解答】解:(1)如图所示:△AB′O′即为所求;(2)过点B作BC⊥OA于点C,过点B′作B′D⊥AO于点D,∵△AB′O′是△ABO关于点A的位似图形,∴=,∴=,解得:DB′=4,设直线AB的解析式为:y=kx+b,则,解得:,故直线AB的解析式为:y=3x﹣9,当y=﹣4时,﹣4=3x﹣9,解得:x=,故B′点坐标为:(,﹣4).21.(10分)某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售,一天可售出100件.后来经过市场调查,发现这种商品单价每降低1元,其销量可增加10件.(1)求商场经营该商品原来一天可获利润2000元.(2)设后来该商品每件降价x元,商场一天可获利润y元.①若商场经营该商品一天要获利润2160元,则每件商品应降价多少元?②求出y与x之间的函数关系式,当x取何值时,商场获利润最大?【解答】解:(1)(100﹣80)×100=2000(元);故答案为:2000.(2)①依题意得:(100﹣80﹣x)(100+10x)=2160即x2﹣10x+16=0解得:x1=2,x2=8经检验:x1=2,x2=8都是方程的解,且符合题意.答:商店经营该商品一天要获利润2160元,则每件商品应降价2元或8元.②依题意得:y=(100﹣80﹣x)(100+10x),∴y=﹣10x2+100x+2000=﹣10(x﹣5)2+2250,∵﹣10≤0,∴当x=5时,商店所获利润最大.22.(10分)已知矩形ABCD的一条边AD=8,将矩形ABCD折叠,使得顶点B落在CD边上的P 点处.(1)如图1,已知折痕与边BC交于点O,连结AP、OP、OA.①求证:△OCP∽△PDA;②若△OCP与△PDA的面积比为1:4,求边AB的长;(2)若图1中的点P恰好是CD边的中点,求∠OAB的度数;(3)如图2,,擦去折痕AO、线段OP,连结BP.动点M在线段AP上(点M与点P、A不重合),动点N在线段AB的延长线上,且BN=PM,连结MN交PB于点F,作ME ⊥BP于点E.试问当点M、N在移动过程中,线段EF的长度是否发生变化?若变化,说明理由;若不变,求出线段EF的长度.【解答】解:(1)如图1,①∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,DC=AB,∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°.由折叠可得:AP=AB,PO=BO,∠PAO=∠BAO,∠APO=∠B.∴∠APO=90°.∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠POC.∵∠D=∠C,∠APD=∠POC.∴△OCP∽△PDA.②∵△OCP与△PDA的面积比为1:4,∴====.∴PD=2OC,PA=2OP,DA=2CP.∵AD=8,∴CP=4,BC=8.设OP=x,则OB=x,CO=8﹣x.在Rt△PCO中,∵∠C=90°,CP=4,OP=x,CO=8﹣x,∴x2=(8﹣x)2+42.解得:x=5.∴AB=AP=2OP=10.∴边AB的长为10.(2)如图1,∵P是CD边的中点,∴DP=DC.∵DC=AB,AB=AP,∴DP=AP.∵∠D=90°,∴sin∠DAP==.∴∠DAP=30°.∵∠DAB=90°,∠PAO=∠BAO,∠DAP=30°,∴∠OAB=30°.∴∠OAB的度数为30°.(3)作MQ∥AN,交PB于点Q,如图2.∵AP=AB,MQ∥AN,∴∠APB=∠ABP,∠ABP=∠MQP.∴∠APB=∠MQP.∴MP=MQ.∵MP=MQ,ME⊥PQ,∴PE=EQ=PQ.∵BN=PM,MP=MQ,∴BN=QM.∵MQ∥AN,∴∠QMF=∠BNF.在△MFQ和△NFB中,.∴△MFQ≌△NFB.∴QF=BF.∴QF=QB.∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB.由(1)中的结论可得:PC=4,BC=8,∠C=90°.∴PB==4.∴EF=PB=2.∴在(1)的条件下,当点M、N在移动过程中,线段EF的长度不变,长度为2.23.(11分)如图,在直角坐标系中,Rt△OAB的直角顶点A在x轴上,OA=4,AB=3.动点M 从A出发,以每秒1个单位长度的速度,沿AO向终点O移动;同时点N从点O出发,以每秒1.25个单位长度的速度,沿OB向终点B移动.当两个动点运动了x秒(0<x<4)时,解答下列问题:(1)求点N的坐标(用含x的代数式表示);(2)在两个动点运动过程中,是否存在某一时刻,使△OMN是直角三角形?若存在,求出x的值;若不存在,请说明理由.(3)当x为何值时,△OMN是等腰三角形.(直接写出x的值)【解答】解:(1)如图1,作NH⊥OA垂足为H.在RT△ABC中,∵OA=4,AB=3,∴AB===5∵∠NHO=∠BAO=90°,∴NH∥AB,∴,∴,∴OH=x,HN=x,∴的N坐标(x,).(2)①当∠ONM=90°时,∵∠ONM=∠OAB,∠NOM=∠AOB,∴△ONM∽△OAB,∴,∴,∴x=.②当∠OMN=90°时,∵MN∥AB,∴,∴,∴x=2.综上所述:x=秒或2秒时,△OMN是直角三角形(3)①当ON=NM时,如图1,∵NH⊥OM,∴OH=HM=OM,∴x=(4﹣x),∴x=.②当ON=OM时,1.25x=4﹣x,解得:x=.③当OM=MN时,如图2,作MH⊥ON,则OH=HN,∵∠MOH=∠BOA,∠MHO=∠OAB,∴△OHM∽△OAB,∴,∴,x=.综上所述:x=秒或秒或秒时,△OMN是等腰三角形.赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型:图形特征:运用举例:1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1,若∠ADC=∠BCD=90°,AD=CD,求证AC⊥BD;(2)如图2,若AC⊥BD,垂足为E,AB=2,DC=4,求⊙O的半径.2.如图,已知四边形ABCD内接于⊙O,对角线AC⊥BD于P,设⊙O的半径是2。
九年级上学期数学期中考试试卷及答案解析
九年级上学期数学期中考试试卷及答案解析一、选择题(每题4分,共40分)1. 有下列四个数:-1, 0, 1, √2,其中无理数是()A. -1B. 0C. 1D. √2答案:D解析:无理数是指不能表示为两个整数比的数,√2无法表示为两个整数的比,故选D。
2. 下列各数中,与-3的平方相等的是()A. 3B. -3C. 9D. -9答案:C解析:-3的平方为9,故选C。
3. 已知a = 2,b = -3,则a² - 2ab + b²的值为()A. 25B. -25C. 1D. -1答案:A解析:将a和b的值代入a² - 2ab + b²,得(2)² -22(-3) + (-3)² = 4 + 12 + 9 = 25,故选A。
4. 下列等式中,正确的是()A. (a²)³ = a⁶B. (a³)² = a⁶C. (a²)³ = a⁹D. (a³)² = a⁹答案:B解析:幂的乘方规则,(a³)² = a³² = a⁶,故选B。
5. 已知|a| = 5,且a < 0,则a的值为()A. 5B. -5C. 10D. -10答案:B解析:绝对值表示一个数的非负值,|a| = 5表示a的绝对值为5,由于a < 0,所以a = -5,故选B。
6. 下列函数中,奇函数是()A. y = x²B. y = x³C. y = |x|D. y = x² + 1答案:B解析:奇函数的定义是f(-x) = -f(x),y = x³满足这个条件,故选B。
7. 下列关于x的不等式中,有解的是()A. x² < 0B. x² ≤ 0C. x² > 0D. x² ≥ 0答案:D解析:任何数的平方都是非负数,所以x² ≥ 0对所有的x都有解,故选D。
北京四十一中2019-2020学年九年级上数学期中考试试题及答案
北京四十一中2019-2020学年九年级上数学期中考试试题及答案年级数学试题一、选择题(每小题3分,共30分) 1、抛物线1)3(22+-=x y 的顶点坐标是( )A .(3,-1)B .(-3,1)C .(3,1) D.(-3,-1)2、抛物线442--=x x y 的对称轴是( )A . 2-=xB . 2=xC .4=xD . 4-=x3、抛物线23y x =向右平移1个单位,再向下平移2个单位,所得到的抛物线是( )A .23(1)2y x =-- B . 23(1)2y x =+- C . 23(1)2y x =++ D . 23(1)2y x =-+4、△ABC 和△A ′B ′C ′是相似图形,且对应边AB 和A ′B ′的比为1∶3,则△ABC 和△A ′B ′C ′的面积之比为( )A .3∶1B .1∶3C .1∶9D .1∶275、如图,已知直线a ∥b ∥c ,直线m ,n 与直线a ,b ,c 分别交于点A ,C ,E ,B ,D ,F ,若AC =4,CE =6,BD =3,则BF =( )A .7B .7.5C .8D .8.56、在△ABC 中,BC =15 cm ,CA =45 cm ,AB =57 cm ,另一个和它相似的三角形的最短边长是5 cm ,则最长边长是( ) A .18 cm B .19 cm C .24 cm D .19.5 cm班级 学号 姓名 成绩7、如图,在长为8 cm 、宽为4 cm 的矩形中,截去一个矩形, 使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似,则留下矩形的面积是( )A .2 cm 2B .4 cm 2C . 8 cm 2D .16 cm 28、二次函数与882+-=x kx y 的图象与x 轴有交点,则k 的取值范围是( ) A .2<k B .02≠<k k 且 C .2≤kD .02≠≤k k且9、如图,身高1.6 m 的某学生想测量一棵大树的高度,她沿着树影BA 由B 向A 走去,当走到C 点时,她的影子顶端正好与树的影子顶端重合,测得BA =4 m ,CA =0.8 m ,则树的高度为( ) A .4.8 m B .6.4 m C .8 m D .10m第9题 第10题 10、 如图为二次函数c bx ax y ++=2(a ≠0)的图象,则下列说法:①a >0;②2a +b =0;③a +b +c >0;④当-1<x <3时,y >0.其中正确的个数为( ) A.1B.2C.3D.4二、填空题(每小题3分,共18分) 11、若函数y =(m -2)mx是二次函数,则m =______.12、若将二次函数322+-=x x y 配方为k h x a y +-=2)(的形式,则y =______13、如图,在ABC △中,DE BC ∥,若4,2,1===AB DE AD ,则BC = .14、在□ABCD 中,E 在DC 上,若:1:2DE EC =,则=FE BF : .第14题15、二次函数c bx x y ++-=2的图象如图,则一次函数c bx y +=的图象不经过第___________象限.第15题 第16题16、如图,ABC △与AEF △中,AB AE BC EF B E AB ==∠=∠,,,交EF于D .给出下列结论:①AFC C ∠=∠;②DF CF =;③ADE FDB △∽△;④BFD CAF ∠=∠.其中正确的结论是 (填写所有正确结论的序号).三、解答题 (本大题共72分,17(1)(2)每问5分,27、29题每题6分,其它每题5分)17、(1)已知抛物线的顶点为(-1,-3),与y 轴的交点为(0,-5),求抛物线的解析式.A DECB第13题(2)求经过A(1,4),B(-2,1)两点,对称轴为x=-1的抛物线的解析式.18、如图,在△ABC中,AB=8,AC=6,AD=12,点D在BC的延长线上,且△ACD∽△BAD,求BD的长.19、如图,在△ABC中,DE∥BC,AD=3,AE=2,BD=4,求AC、EC 的长度.20、如图,在▱ABCD 中,EF ∥AB ,FG ∥ED ,DE ∶DA =2∶5,EF =4,求线段CG 的长.21、 如图,在△ABC 中,DE ∥BC ,EF ∥AB ,求证:△ADE ∽△EFC .22、已知,在同一平面直角坐标系中,反比例函数y =5x与二次函数y =-x 2+2x +c 的图象交于点A (-1,m ). (1)求m ,c 的值;(2)求二次函数图象的对称轴和顶点坐标.23、如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点△ABC(顶点是网格线的交点).(1)请画一个格点△A 1B 1C 1,使△A 1B 1C 1∽△ABC ,且相似比不为1; (2)以C 为位似中心,将△ABC 缩小为原来的21,请画出图形 。
北京四十一中2017届九年级上期中数学试卷含答案解析
2016-2017学年北京四十一中九年级(上)期中数学试卷一、选择题1.抛物线y=2(x﹣3)2+1的顶点坐标是()A.(3,1) B.(3,﹣1)C.(﹣3,1)D.(﹣3,﹣1)2.抛物线y=x2﹣4x﹣4的对称轴是()A.x=﹣2 B.x=2 C.x=4 D.x=﹣43.抛物线y=3x2向右平移1个单位,再向下平移2个单位,所得到的抛物线是()A.y=3(x﹣1)2﹣2 B.y=3(x+1)2﹣2 C.y=3(x+1)2+2 D.y=3(x﹣1)2+24.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A.B.C.D.5.如图,把菱形ABOC绕点O顺时针旋转得到菱形DFOE,则下列角中不是旋转角的为()A.∠BOF B.∠AOD C.∠COE D.∠COF6.如图,阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于坐标原点O成中心对称的图形.若点A的坐标是(1,3),则点M和点N的坐标分别是()A.M(1,﹣3),N(﹣1,﹣3)B.M(﹣1,﹣3),N(﹣1,3)C.M(﹣1,﹣3),N(1,﹣3)D.M(﹣1,3),N(1,﹣3)7.如图,观察图形,找出规律,确定第四个图形是()A.B.C.D.8.二次函数与y=kx2﹣8x+8的图象与x轴有交点,则k的取值范围是()A.k<2 B.k<2且k≠0 C.k≤2 D.k≤2且k≠09.如图,在△ABC中,AB=1,AC=2,现将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C′,连接AB′,并有AB′=3,则∠A′的度数为()A.125°B.130°C.135°D.140°10.如图为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,则下列说法:①a>0 ②2a+b=0 ③a+b+c>0 ④当﹣1<x<3时,y>0其中正确的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题11.若函数y=(m﹣2)x|m|是二次函数,则m= .12.若将二次函数y=x2﹣2x+3配方为y=(x﹣h)2+k的形式,则y= .13.如图,将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED,若线段AB=3,则BE= .14.如图,在直角△OAB 中,∠AOB=30°,将△OAB 绕点O 逆时针旋转100°得到△OA 1B 1,则∠A 1OB= °.15.二次函数y=﹣x 2+bx+c 的图象如图所示,则一次函数y=bx+c 的图象不经过第 象限.16.如图,一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳,若它停在奇数点上,则下一次沿顺时针方向跳两个点;若停在偶数点上,则下一次沿逆时针方向跳一个点,若青蛙从4这点开始跳,则经2015次跳后它停在数 对应的点上.三、解答题(本大题共72分)17.(1)已知抛物线的顶点为(﹣1,﹣3),与y 轴的交点为(0,﹣5),求抛物线的解析式.(2)求经过A (1,4),B (﹣2,1)两点,对称轴为x=﹣1的抛物线的解析式.18.已知二次函数y=x 2﹣4x+3.(1)把这个二次函数化成y=a (x ﹣h )2+k 的形式;(2)写出二次函数的对称轴和顶点坐标;(3)求二次函数与x 轴的交点坐标;(4)画出这个二次函数的图象;(5)观察图象并写出y 随x 增大而减小时自变量x 的取值范围.(6)观察图象并写出当x为何值时,y>0.19.如图,已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(﹣2,﹣1),B(﹣3,﹣3),C(﹣1,﹣3),(1)画出△ABC向右平移三个单位的对应图形△A1B1C1,并写出A1的坐标;(2)画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2,并写出A2的坐标.20.如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°得到矩形A′B′C′D′,则点B经过的路径与BA,AC′,C′B′所围成封闭图形的面积是多少?(结果保留π).21.已知,在同一直角坐标系中,反比例函数y=与二次函数y=﹣x2+2x+c的图象交于点A(﹣1,m).(1)求m、c的值;(2)求二次函数图象的对称轴和顶点坐标.22.心理学家发现,在一定的时间范围内,学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位:分钟)之间满足函数关系y=﹣0.1x2+2.6x+43(0≤x≤30),y的值越大,表示接受能力越强.(1)若用10分钟提出概念,学生的接受能力y的值是多少?(2)如果改用8分钟或15分钟来提出这一概念,那么与用10分钟相比,学生的接受能力是增强了还是减弱了?通过计算来回答.23.用12米长的木料,做成如图的矩形窗框,则当长和宽各多少米时,矩形窗框的面积最大?最大面积是多少?24.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,∠B=30°,将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转n 度后,得到△DEC ,点D 刚好落在AB 边上.(1)求n 的值;(2)若F 是DE 的中点,判断四边形ACFD 的形状,并说明理由.25.已知:如图,P 为等边△ABC 内一点,∠APB=113°,∠APC=123°,试说明:以AP 、BP 、CP 为边长可以构成一个三角形,并确定所构成三角形的各内角的度数.26.有这样一个问题:探究函数y=x 2+的图象与性质.小东根据学习函数的经验,对函数y=x 2+的图象与性质进行了探究.下面是小东的探究过程,请补充完整:(1)函数y=x 2+的自变量x 的取值范围是 ;(2)下表是y 与x 的几组对应值.求m的值;(3)如图,在平面直角坐标系xOy中,描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点,画出该函数的图象;(4)进一步探究发现,该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是(1,),结合函数的图象,写出该函数的其它性质(一条即可).27.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象C经过(﹣5,0),(0,),(1,6)三点,直线l的解析式为y=2x﹣3.(1)求抛物线C的解析式;(2)判断抛物线C与直线l有无交点;(3)若与直线l平行的直线y=2x+m与抛物线C只有一个公共点P,求点P的坐标.28.如图,已知抛物线与x交于A(﹣1,0)、E(3,0)两点,与y轴交于点B(0,3).(1)求抛物线的解析式;(2)设抛物线顶点为D,求四边形AEDB的面积.29.(1)如图1,正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,∠EAF=45°,延长CD到点G,使DG=BE,连结EF,AG.求证:EF=FG.(2)如图,等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点M,N在边BC上,且∠MAN=45°,若BM=1,CN=3,求MN的长.2016-2017学年北京四十一中九年级(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1.抛物线y=2(x﹣3)2+1的顶点坐标是()A.(3,1) B.(3,﹣1)C.(﹣3,1)D.(﹣3,﹣1)【考点】二次函数的性质.【分析】已知抛物线的顶点式,可直接写出顶点坐标.【解答】解:由y=2(x﹣3)2+1,根据顶点式的坐标特点可知,顶点坐标为(3,1).故选:A.【点评】此题考查二次函数的性质,解析式化为顶点式y=a(x﹣h)2+k,顶点坐标是(h,k),对称轴是x=h.2.抛物线y=x2﹣4x﹣4的对称轴是()A.x=﹣2 B.x=2 C.x=4 D.x=﹣4【考点】二次函数的性质.【分析】根据题意可知a=1,b=﹣4,依据抛物线的对称轴x=﹣求解即可.【解答】解:∵a=1,b=﹣4,∴x=﹣==2.故选:B.【点评】本题主要考查的是二次函数的性质,掌握抛物线的对称轴方程是解题的关键.3.抛物线y=3x2向右平移1个单位,再向下平移2个单位,所得到的抛物线是()A.y=3(x﹣1)2﹣2 B.y=3(x+1)2﹣2 C.y=3(x+1)2+2 D.y=3(x﹣1)2+2【考点】二次函数图象与几何变换.【分析】根据图象向下平移减,向右平移减,可得答案.【解答】解:抛物线y=3x2向右平移1个单位,再向下平移2个单位,所得到的抛物线是y=3(x﹣1)2﹣2,故选:A.【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换,用平移规律“左加右减,上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式.4.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A.B.C.D.【考点】中心对称图形;轴对称图形.【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.【解答】解:A、不是轴对称图形,是中心对称图形.故错误;B、不是轴对称图形,是中心对称图形.故错误;C、是轴对称图形,不是中心对称图形.故错误;D、是轴对称图形,是中心对称图形.故正确.故选:D.【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念:轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对称轴折叠后可重合;中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图重合.5.如图,把菱形ABOC绕点O顺时针旋转得到菱形DFOE,则下列角中不是旋转角的为()A.∠BOF B.∠AOD C.∠COE D.∠COF【考点】旋转的性质;菱形的性质.【专题】常规题型.【分析】两对应边所组成的角都可以作为旋转角,结合图形即可得出答案.【解答】解:OB旋转后的对应边为OF,故∠BOF可以作为旋转角,故本选项错误;B、OA旋转后的对应边为OD,故∠AOD可以作为旋转角,故本选项错误;C、OC旋转后的对应边为OE,故∠COE可以作为旋转角,故本选项错误;D、OC旋转后的对应边为OE不是OF,故∠COF不可以作为旋转角,故本选项正确;故选D.【点评】此题考查了旋转的性质,属于基础题,解答本题的关键是掌握两对应边所组成的角都可以作为旋转角,难度一般.6.如图,阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于坐标原点O成中心对称的图形.若点A的坐标是(1,3),则点M和点N的坐标分别是()A.M(1,﹣3),N(﹣1,﹣3)B.M(﹣1,﹣3),N(﹣1,3)C.M(﹣1,﹣3),N(1,﹣3)D.M(﹣1,3),N(1,﹣3)【考点】坐标与图形变化-旋转;坐标与图形变化-对称.【分析】根据轴对称和中心对称图形的概念解答.【解答】解:A,M关于原点对称,A的坐标是(1,3),∴M(﹣1,﹣3);∵A,N关于x轴对称,A的坐标是(1,3),∴N(1,﹣3).故选C.【点评】两个点关于原点对称,横纵坐标均互为相反数,两个点关于x轴对称,横坐标不变,纵坐标互为相反数.7.如图,观察图形,找出规律,确定第四个图形是()A.B.C.D.【考点】规律型:图形的变化类.【分析】根据(1)(2)(3)可以看出图形每次逆时针方向旋转90°,按此规律不难作出判断.【解答】解:观察图形,发现(1)(2)(3)每次逆时针方向旋转90°,依次规律第四个图形应为C.故选:C.【点评】本题主要考查了学生的分析、总结、归纳能力,规律型的题目一般是从所给的图形、数据以及运算方法进行分析,从特殊到一般,从而总结出一般性的规律.8.二次函数与y=kx2﹣8x+8的图象与x轴有交点,则k的取值范围是()A.k<2 B.k<2且k≠0 C.k≤2 D.k≤2且k≠0【考点】抛物线与x轴的交点.【分析】直接利用△=b2﹣4ac≥0,进而求出k的取值范围.【解答】解:∵二次函数与y=kx2﹣8x+8的图象与x轴有交点,∴△=b2﹣4ac=64﹣32k≥0,k≠0,解得:k≤2且k≠0.故选:D.【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点,正确得出△的符号是解题关键.9.如图,在△ABC中,AB=1,AC=2,现将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C′,连接AB′,并有AB′=3,则∠A′的度数为()A.125°B.130°C.135°D.140°【考点】旋转的性质.【分析】如图,作辅助线;首先证明∠AA′C=45°,然后证明AB′2=AA′2+A′B′2,得到∠AA′B′=90°,进而得到∠A′=135°,即可解决问题.【解答】解:如图,连接AA′.由题意得:AC=A′C,A′B′=AB,∠ACA′=90°,∴∠AA′C=45°,AA′2=22+22=8;∵AB′2=32=9,A′B′2=12=1,∴AB′2=AA′2+A′B′2,∴∠AA′B′=90°,∠A′=135°,故选C.【点评】该题主要考查了旋转变换的性质、勾股定理的逆定理及其应用问题;解题的关键是作辅助线,将分散的条件集中.10.如图为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,则下列说法:①a>0 ②2a+b=0 ③a+b+c>0 ④当﹣1<x<3时,y>0其中正确的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4【考点】二次函数图象与系数的关系.【专题】压轴题.【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由x=1时的函数值判断a+b+c>0,然后根据对称轴推出2a+b与0的关系,根据图象判断﹣1<x<3时,y的符号.【解答】解:①图象开口向下,能得到a<0;②对称轴在y轴右侧,x==1,则有﹣=1,即2a+b=0;③当x=1时,y>0,则a+b+c>0;④由图可知,当﹣1<x<3时,y>0.故选C.【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系,会利用对称轴的范围求2a与b的关系,以及二次函数与方程之间的转换,根的判别式的熟练运用.二、填空题11.若函数y=(m ﹣2)x |m|是二次函数,则m= ﹣2 .【考点】二次函数的定义.【分析】根据二次函数的定义可得:|m|=2,且m ﹣2≠0,再解即可.【解答】解:由题意得:|m|=2,且m ﹣2≠0,解得:m=﹣2.故答案为:﹣2.【点评】此题主要考查了二次函数定义,关键是掌握形如y=ax 2+bx+c (a 、b 、c 是常数,a ≠0)的函数,叫做二次函数.12.若将二次函数y=x 2﹣2x+3配方为y=(x ﹣h )2+k 的形式,则y= (x ﹣1)2+2 .【考点】二次函数的三种形式.【分析】利用配方法先提出二次项系数,在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式,把一般式转化为顶点式.【解答】解:y=x 2﹣2x+3=(x 2﹣2x+1)+2=(x ﹣1)2+2故本题答案为:y=(x ﹣1)2+2.【点评】,二次函数的解析式有三种形式:(1)一般式:y=ax 2+bx+c (a ≠0,a 、b 、c 为常数);(2)顶点式:y=a (x ﹣h )2+k ;(3)交点式(与x 轴):y=a (x ﹣x 1)(x ﹣x 2).13.如图,将△ABC 绕点A 顺时针旋转60°得到△AED ,若线段AB=3,则BE= 3 .【考点】旋转的性质.【分析】根据旋转的性质得出∠BAE=60°,AB=AE ,得出△BAE 是等边三角形,进而得出BE=3即可.【解答】解:∵将△ABC 绕点A 顺时针旋转60°得到△AED ,∴∠BAE=60°,AB=AE ,∴△BAE是等边三角形,∴BE=3.故答案为:3.【点评】本题考查旋转的性质,关键是根据旋转变化前后,对应线段、对应角分别相等,图形的大小、形状都不改变.要注意旋转的三要素:①定点﹣旋转中心;②旋转方向;③旋转角度.14.如图,在直角△OAB中,∠AOB=30°,将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1,则∠A1OB= 70 °.【考点】旋转的性质.【专题】探究型.【分析】直接根据图形旋转的性质进行解答即可.【解答】解:∵将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1,∠AOB=30°,∴△OAB≌△OA1B1,∴∠A1OB1=∠AOB=30°.∴∠A1OB=∠A1OA﹣∠AOB=70°.故答案为:70.【点评】本题考查的是旋转的性质,熟知图形旋转前后对应边、对应角均相等的性质是解答此题的关键.15.二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=bx+c的图象不经过第四象限.【考点】二次函数图象与系数的关系;一次函数图象与系数的关系.【专题】计算题.【分析】由抛物线的对称轴在y轴右侧,得到a与b异号,根据抛物线开口向下得到a小于0,故b大于0,再利用抛物线与y轴交点在y轴正半轴,得到c大于0,利用一次函数的性质即可判断出一次函数y=bx+c 不经过的象限.【解答】解:根据图象得:a<0,b>0,c>0,故一次函数y=bx+c的图象不经过第四象限.故答案为:四.【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系,以及一次函数图象与系数的关系,熟练掌握一次、二次函数的图象与性质是解本题的关键.16.如图,一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳,若它停在奇数点上,则下一次沿顺时针方向跳两个点;若停在偶数点上,则下一次沿逆时针方向跳一个点,若青蛙从4这点开始跳,则经2015次跳后它停在数 2 对应的点上.【考点】规律型:图形的变化类;规律型:数字的变化类.【分析】根据题意可得:青蛙的跳动规律为3﹣5﹣2﹣1﹣3…,周期为4;又由2015=4×503+3,经过2015次跳后它停在的点所对应的数为2.【解答】解:由4起跳,4是偶数,沿逆时针下一次只能跳一个点,落在3上,3是奇数,沿顺时针跳两个点,落在5上,5是奇数,沿顺时针跳两个点,落在2上,2是偶数,沿逆时针下一次只能跳一个点,落在1上,1是奇数,沿顺时针跳两个点,落在3上,…3﹣5﹣2﹣1﹣3,周期为4;又由2015=4×503+3,经过2015次跳后它停在的点所对应的数为2.故答案为:2.【点评】此题考查图形的变化规律,理解题题,发现循环的规律是解决问题的关键.三、解答题(本大题共72分)17.(1)已知抛物线的顶点为(﹣1,﹣3),与y轴的交点为(0,﹣5),求抛物线的解析式.(2)求经过A(1,4),B(﹣2,1)两点,对称轴为x=﹣1的抛物线的解析式.【考点】待定系数法求二次函数解析式.【专题】计算题.【分析】(1)设顶点式y=a(x+1)2﹣3,然后把(0,﹣5)代入求出a的值即可;(2)设一般式y=ax2+bx+c,再把两已知点的坐标代入得到两个方程,加上抛物线对称轴方程可以组成方程组,然后解方程组求出a、b、c即可.【解答】解:(1)设抛物线解析式为y=a(x+1)2﹣3,把(0,﹣5)代入得a﹣3=﹣5,解得a=﹣2,所以抛物线解析式为y=﹣2(x+1)2﹣3;(2)设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,根据题意得,解得a=1,b=2,c=1,所以抛物线解析式为y=x2+2x+1.【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式:在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解.一般地,当已知抛物线上三点时,常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求解;当已知抛物线的顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解;当已知抛物线与x轴有两个交点时,可选择设其解析式为交点式来求解.也考查了二次函数的图象.18.已知二次函数y=x2﹣4x+3.(1)把这个二次函数化成y=a(x﹣h)2+k的形式;(2)写出二次函数的对称轴和顶点坐标;(3)求二次函数与x轴的交点坐标;(4)画出这个二次函数的图象;(5)观察图象并写出y随x增大而减小时自变量x的取值范围.(6)观察图象并写出当x为何值时,y>0.【考点】二次函数的三种形式;二次函数的性质.【分析】(1)利用配方法先提出二次项系数,再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式,把一般式转化为顶点式.(2)根据(1)中的二次函数解析式直接写出答案;(3)将已知函数解析式转化为两点式方程即可得到答案;(4)根据顶点坐标,抛物线与y轴的交点坐标以及抛物线与x轴的交点坐标画出图象;(5)(6)根据图象写出x的取值范围.【解答】解:(1)y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,则该抛物线解析式是y=(x﹣2)2﹣1;(2)由(1)知,该抛物线解析式为:y=(x﹣2)2﹣1,所以对称轴是直线x=2,顶点坐标为(2,﹣1);(3)∵二次函数y=x2﹣4x+3=(x﹣1)(x﹣3),∴二次函数与x轴的交点坐标分别是:(1,0)(3,0);(4)其图象如图所示:(5)由图象知,当y 随x 增大而减小时x ≤2;(6)由图象知,当x <1或x >3时,y >0.【点评】本题考查了将二次函数的一般式化成顶点式的方法.属于基础题型,比较简单.二次函数的解析式有三种形式:(1)一般式:y=ax 2+bx+c (a ≠0,a 、b 、c 为常数);(2)顶点式:y=a (x ﹣h )2+k ;(3)交点式(与x 轴):y=a (x ﹣x 1)(x ﹣x 2).19.如图,已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (﹣2,﹣1),B (﹣3,﹣3),C (﹣1,﹣3),(1)画出△ABC 向右平移三个单位的对应图形△A 1B 1C 1,并写出A 1的坐标;(2)画出△ABC 关于原点O 对称的△A 2B 2C 2,并写出A 2的坐标.【考点】作图-旋转变换;作图-平移变换.【分析】(1)直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案;(2)直接利用旋转的性质分别得出对应点关于原点对称,进而得出答案.【解答】解:(1)如图所示:△A 1B 1C 1,即为所求;A 1(1,﹣1);(2)如图所示:△A 2B 2C 2,即为所求;A 2(2,1).【点评】此题主要考查了旋转变换以及平移变换,正确得出对应点位置是解题关键.20.如图,在矩形ABCD 中,AB=3,AD=4,将矩形ABCD 绕点D 顺时针旋转90°得到矩形A′B′C′D′,则点B 经过的路径与BA ,AC′,C′B′所围成封闭图形的面积是多少?(结果保留π).【考点】旋转的性质;矩形的性质.【分析】根据点B 经过的路径与BA ,AC′,C′B′所围成封闭图形的面积是=S 扇形BDB′+S 矩形ABCD 求解即可.【解答】解:如图,连接BD 与B′D,点B 经过的路径与BA ,AC′,C′B′所围成封闭图形的面积是:S 扇形BDB′+S 矩形ABCD =π×52+3×4=+12.【点评】本题主要考查了扇形的面积计算及旋转的性质,解题的关键是理解点B 经过的路径与BA ,AC′,C′B′所围成的封闭图形.21.(2008•云南)已知,在同一直角坐标系中,反比例函数y=与二次函数y=﹣x 2+2x+c 的图象交于点A (﹣1,m ).(1)求m 、c 的值;(2)求二次函数图象的对称轴和顶点坐标.【考点】二次函数的性质;反比例函数的性质.【专题】计算题.【分析】先通过反比例函数求出A值,再把A的值代入二次函数中求出二次函数的解析式.再化简二次函数的解析式,就可得到它的对称轴和顶点坐标.【解答】解:(1)∵点A在函数y=的图象上,∴m==﹣5,∴点A坐标为(﹣1,﹣5),∵点A在二次函数图象上,∴﹣1﹣2+c=﹣5,c=﹣2.(2)∵二次函数的解析式为y=﹣x2+2x﹣2,∴y=﹣x2+2x﹣2=﹣(x﹣1)2﹣1,∴对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,﹣1).【点评】此题运用了反比例函数和二次函数的有关知识.22.心理学家发现,在一定的时间范围内,学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位:分钟)之间满足函数关系y=﹣0.1x2+2.6x+43(0≤x≤30),y的值越大,表示接受能力越强.(1)若用10分钟提出概念,学生的接受能力y的值是多少?(2)如果改用8分钟或15分钟来提出这一概念,那么与用10分钟相比,学生的接受能力是增强了还是减弱了?通过计算来回答.【考点】二次函数的应用.【分析】(1)知道接受能力y与提出概念所用的时间x之间满足函数关系式,令x=10,求出y,(2)求出x=8和15时,y的值,然后和x=10时,y的值比较.【解答】解:(1)当x=10时,y=﹣0.1x2+2.6x+43=﹣0.1×102+2.6×10+43=59.(2)当x=8时,y=﹣0.1x2+2.6x+43=﹣0.1×82+2.6×8+43=57.4,∴用8分钟与用10分钟相比,学生的接受能力减弱了;当x=15时,y=﹣0.1x2+2.6x+43=﹣0.1×152+2.6×15+43=59.5.∴用15分钟与用10分钟相比,学生的接受能力增强了.【点评】本题主要考查二次函数的应用,本题知道函数解析式,直接求y值,用二次函数解决实际问题,比较简单.23.用12米长的木料,做成如图的矩形窗框,则当长和宽各多少米时,矩形窗框的面积最大?最大面积是多少?【考点】二次函数的应用.【分析】设长为xm,表示出宽,然后根据矩形的面积公式列式并整理成顶点式形式,再根据二次函数的最值问题求解.【解答】解:设长为xm,则宽为:(12﹣3x)=(4﹣x)m,面积=x(4﹣x)=﹣x2+4x=﹣(x﹣2)2+4,所以,当x=2m时,窗框有最大面积4m2.【点评】本题考查了二次函数的应用,矩形的面积,主要利用了二次函数的最值问题,难点在于用长表示出宽.24.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后,得到△DEC,点D刚好落在AB边上.(1)求n的值;(2)若F是DE的中点,判断四边形ACFD的形状,并说明理由.【考点】旋转的性质;含30度角的直角三角形;直角三角形斜边上的中线;菱形的判定.【专题】几何图形问题.【分析】(1)利用旋转的性质得出AC=CD,进而得出△ADC是等边三角形,即可得出∠ACD的度数;(2)利用直角三角形的性质得出FC=DF,进而得出AD=AC=FC=DF,即可得出答案.【解答】解:(1)∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后,得到△DEC,∴AC=DC,∠A=60°,∴△ADC是等边三角形,∴∠ACD=60°,∴n的值是60;(2)四边形ACFD是菱形;理由:∵∠DCE=∠ACB=90°,F是DE的中点,∴FC=DF=FE,∵∠CDF=∠A=60°,∴△DFC是等边三角形,∴DF=DC=FC,∵△ADC是等边三角形,∴AD=AC=DC,∴AD=AC=FC=DF,∴四边形ACFD是菱形.【点评】此题主要考查了菱形的判定以及旋转的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识,得出△DFC是等边三角形是解题关键.25.已知:如图,P为等边△ABC内一点,∠APB=113°,∠APC=123°,试说明:以AP、BP、CP为边长可以构成一个三角形,并确定所构成三角形的各内角的度数.【考点】旋转的性质;等边三角形的判定与性质.【分析】将△APC绕点A顺时针旋转60°得△AQB,可以证明△APQ是等边三角形则QP=AP,则△QBP就是以AP,BP,CP三边为边的三角形,然后分别求出△QBP的三个内角的度数即可.【解答】解:将△APC绕点A顺时针旋转60°得△AQB,则△AQB≌△APC∴BQ=CP ,AQ=AP ,∵∠1+∠3=60°,∴△APQ 是等边三角形,∴QP=AP ,∴△QBP 就是以AP ,BP ,CP 三边为边的三角形,∵∠APB=113°,∴∠6=∠APB ﹣∠5=53°,∵∠AQB=∠APC=123°,∴∠7=∠AQB ﹣∠4=63°,∴∠QBP=180°﹣∠6﹣∠7=64°,∴以AP ,BP ,CP 为边的三角形的三内角的度数分别为64°,63°,53°.【点评】本题主要考查了旋转的性质,用到的知识点是等边三角形的性质和判定,证得△QBP 就是以AP ,BP ,CP 三边为边的三角形是解题的关键.26.有这样一个问题:探究函数y=x 2+的图象与性质.小东根据学习函数的经验,对函数y=x 2+的图象与性质进行了探究.下面是小东的探究过程,请补充完整:(1)函数y=x 2+的自变量x 的取值范围是 x ≠0 ;(2)下表是y 与x 的几组对应值.求m 的值;(3)如图,在平面直角坐标系xOy中,描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点,画出该函数的图象;(4)进一步探究发现,该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是(1,),结合函数的图象,写出该函数的其它性质(一条即可)该函数没有最大值.【考点】二次函数的图象;反比例函数的图象;反比例函数的性质;二次函数的性质.【分析】(1)由图表可知x≠0;(2)根据图表可知当x=3时的函数值为m,把x=3代入解析式即可求得;(3)根据坐标系中的点,用平滑的曲线连接即可;(4)观察图象即可得出该函数的其他性质.【解答】解:(1)x≠0,(2)令x=3,∴y=×32+=+=;∴m=;(3)如图(4)该函数的其它性质:①该函数没有最大值;②该函数在x=0处断开;③该函数没有最小值;④该函数图象没有经过第四象限.故答案为该函数没有最大值.【点评】本题考查了二次函数的图象和性质,反比例函数的图象和性质,根据图表画出函数的图象是解题的关键.27.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象C经过(﹣5,0),(0,),(1,6)三点,直线l的解析式为y=2x﹣3.(1)求抛物线C的解析式;(2)判断抛物线C与直线l有无交点;(3)若与直线l平行的直线y=2x+m与抛物线C只有一个公共点P,求点P的坐标.【考点】待定系数法求二次函数解析式;一次函数图象上点的坐标特征;二次函数图象上点的坐标特征.【分析】(1)直接把点(﹣5,0),(0,),(1,6)代入二次函数y=ax2+bx+c,求出a、b、c的值即可;(2)把(1)中求出的抛物线的解析式与直线l的解析式y=2x﹣3组成方程组,再根据一元二次方程根的判别式即可得出结论;(3)把直线y=2x+m与抛物线C的解析式组成方程组,根据只有一个公共点P可知△=0,求出m的值,故可得出P点坐标即可.【解答】解:(1)∵二次函数y=ax2+bx+c的图象抛物线C经过(﹣5,0),(0,),(1,6)三点,∴,解得,∴抛物线C的函数解析式为:y=x2+3x+;(2)∵由(1)得抛物线C的函数解析式为:y=x2+3x+,∴代入y=2x﹣3得2x﹣3=x2+3x+,整理得x2+x+=0,∵△=12﹣4××=﹣10<0,∴方程无实数根,即抛物线C与直线l无公共点;(3)∵与l平行的直线y=2x+m与抛物线G只有一个公共点P,∴,消去y得, x2+x+﹣m=0①,∵抛物线C与直线y=2x+m只有一个公共点P,∴△=12﹣4××(﹣m)=0,解得m=2,把m=2代入方程①得, x2+x+﹣2=0,解得x=﹣1,把x=﹣1代入直线y=2x+2得,y=0,∴P(﹣1,0).【点评】本题是二次函数综合题,考查的是待定系数法求二次函数的解析式,一次函数图象上点的坐标特征,二次函数图象上点的坐标特征,熟知一元二次方程的解与△的关系式解答此题的关键.28.如图,已知抛物线与x交于A(﹣1,0)、E(3,0)两点,与y轴交于点B(0,3).(1)求抛物线的解析式;(2)设抛物线顶点为D,求四边形AEDB的面积.【考点】二次函数综合题.【专题】综合题.【分析】(1)已知了抛物线图象上的三点坐标,可用待定系数法求出抛物线的解析式;(2)根据抛物线的解析式,易求得抛物线顶点D 的坐标;过D 作DF ⊥x 轴于F ,那么四边形AEDB 的面积就可以由△AOB 、△DEF 、梯形BOFD 的面积和求得.【解答】解:(1)设抛物线的解析式为:y=a (x+1)(x ﹣3),则有:a (0+1)(0﹣3)=3,a=﹣1;∴抛物线的解析式为:y=﹣x 2+2x+3;(2)由(1)知:y=﹣x 2+2x+3=﹣(x ﹣1)2+4,即D (1,4);过D 作DF ⊥x 轴于F ;S 四边形AEDB =S △AOB +S △DEF +S 梯形BOFD =×1×3+×2×4+×(3+4)×1=9;即四边形AEDB 的面积为9.【点评】此题主要考查了二次函数解析式的确定以及图形面积的求法,不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差.29.(1)如图1,正方形ABCD 中,点E ,F 分别在边BC ,CD 上,∠EAF=45°,延长CD 到点G ,使DG=BE ,连结EF ,AG .求证:EF=FG .。
北京市四十一中2016届九年级数学上学期期中试题(含解析)新人教版 (1)
北京市四十一中2016届九年级数学上学期期中试题一、选择题(每小题3分,共30分)1.抛物线y=2(x﹣3)2+1的顶点坐标是( )A.(3,1)B.(3,﹣1)C.(﹣3,1)D.(﹣3,﹣1)2.抛物线y=x2﹣4x﹣4的对称轴是( )A.x=﹣2 B.x=2 C.x=4 D.x=﹣43.抛物线y=3x2向右平移1个单位,再向下平移2个单位,所得到的抛物线是( ) A.y=3(x﹣1)2﹣2 B.y=3(x+1)2﹣2 C.y=3(x+1)2+2 D.y=3(x﹣1)2+24.△ABC和△A′B′C′是相似图形,且对应边AB和A′B′的比为1:3,则△ABC和△A′B′C′的面积之比为( )A.3:1 B.1:3 C.1:9 D.1:275.如图,已知直线a∥b∥c,直线m、n与直线a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F,AC=4,CE=6,BD=3,则BF=( )A.7 B.7.5 C.8 D.8.56.在△ABC中,BC=15cm,CA=45cm,AB=57cm,另一个和它相似的三角形的最短边长是5cm,则最长边长是( )A.18cm B.19cm C.24cm D.19.5cm7.在长为8cm、宽为4cm的矩形中,截去一个矩形,使得留下的矩形与原矩形相似,则留下矩形的面积是( )A.2 cm2B.4 cm2C.8 cm2D.16 cm28.二次函数与y=kx2﹣8x+8的图象与x轴有交点,则k的取值范围是( )A.k<2 B.k<2且k≠0C.k≤2 D.k≤2且k≠09.如图,身高1.6m的某学生想测量一棵大树的高度,她沿着树影BA由B向A走去,当走到C点时,她的影子顶端正好与树的影子顶端重合,测得BA=4m,CA=0.8m,则树的高度为( )A.4.8m B.6.4m C.8m D.10m10.如图为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,则下列说法:①a>0 ②2a+b=0 ③a+b+c>0 ④当﹣1<x<3时,y>0其中正确的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题(每小题3分,共18分)11.若函数y=(m﹣2)x|m|是二次函数,则m=__________.12.若将二次函数y=x2﹣2x+3配方为y=(x﹣h)2+k的形式,则y=__________.13.如图,在△ABC中,DE∥BC,若AD=1,DE=2,AB=4,则BC=__________.14.如图,在▱ABCD中,E在DC上,若DE:EC=1:2,则BF:EF=__________.15.二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=bx+c的图象不经过第__________象限.16.如图,△ABC与△AEF中,AB=AE,BC=EF,∠B=∠E,AB交EF于D.给出下列结论:①∠AFC=∠C;②DE=CF;③△ADE∽△FDB;④∠BFD=∠CAF其中正确的结论是__________.三、解答题(本大题共72分,17(1)(2)每问5分,27、29题每题6分,其它每题5分)17.(1)已知抛物线的顶点为(﹣1,﹣3),与y轴的交点为(0,﹣5),求抛物线的解析式.(2)求经过A(1,4),B(﹣2,1)两点,对称轴为x=﹣1的抛物线的解析式.18.如图,在△ABC中,AB=8,AC=6,AD=12,点D在BC的延长线上,且△ACD∽△BAD,求BD的长.19.如图,在△ABC中,如果DE∥BC,AD=3,AE=2,BD=4.求AC、EC的长.20.如图,在▱ABCD中,EF∥AB,FG∥ED,DE:DA=2:5,EF=4,求线段CG的长.21.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC.22.已知,在同一直角坐标系中,反比例函数y=与二次函数y=﹣x2+2x+c的图象交于点A (﹣1,m).(1)求m、c的值;(2)求二次函数图象的对称轴和顶点坐标.23.如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点△ABC(顶点是网格线的交点).(1)请画一个格点△A1B1C1,使△A1B1C1∽△ABC,且相似比不为1;(2)以C为位似中心,将△ABC缩小为原来的,请画出图形.24.已知:如图,△ABC中,AD=DB,∠1=∠2.求证:△ABC∽△EAD.25.心理学家发现,在一定的时间范围内,学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位:分钟)之间满足函数关系y=﹣0.1x2+2.6x+43(0≤x≤30),y的值越大,表示接受能力越强.(1)若用10分钟提出概念,学生的接受能力y的值是多少?(2)如果改用8分钟或15分钟来提出这一概念,那么与用10分钟相比,学生的接受能力是增强了还是减弱了?通过计算来回答.26.用12米长的木料,做成如图的矩形窗框,则当长和宽各多少米时,矩形窗框的面积最大?最大面积是多少?27.(1997•西宁)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象抛物线G经过(﹣5,0),(0,),(1,6)三点,直线l的解析式为y=2x﹣3(1)求抛物线G的函数解析式;(2)求证:抛物线G与直线L无公共点;(3)若与l平行的直线y=2x+m与抛物线G只有一个公共点P,求P点的坐标.28.已知,如图,在正方形ABCD中,P是BC上的点,且BP=3PC,Q是CD的中点,求证:(1)AQ⊥QP;(2)△ADQ∽△AQP.29.如图,已知抛物线与x轴交于A(﹣1,0)、E(3,0)两点,与y轴交于点B(0,3).(1)求抛物线的解析式;(2)设抛物线顶点为D,求四边形AEDB的面积;(3)△AOB与△DBE是否相似?如果相似,请给以证明;如果不相似,请说明理由.2015-2016学年北京四十一中九年级(上)期中数学试卷一、选择题(每小题3分,共30分)1.抛物线y=2(x﹣3)2+1的顶点坐标是( )A.(3,1)B.(3,﹣1)C.(﹣3,1)D.(﹣3,﹣1)【考点】二次函数的性质.【分析】已知抛物线的顶点式,可直接写出顶点坐标.【解答】解:由y=2(x﹣3)2+1,根据顶点式的坐标特点可知,顶点坐标为(3,1).故选:A.【点评】此题考查二次函数的性质,解析式化为顶点式y=a(x﹣h)2+k,顶点坐标是(h,k),对称轴是x=h.2.抛物线y=x2﹣4x﹣4的对称轴是( )A.x=﹣2 B.x=2 C.x=4 D.x=﹣4【考点】二次函数的性质.【分析】根据题意可知a=1,b=﹣4,依据抛物线的对称轴x=﹣求解即可.【解答】解:∵a=1,b=﹣4,∴x=﹣==2.故选:B.【点评】本题主要考查的是二次函数的性质,掌握抛物线的对称轴方程是解题的关键.3.抛物线y=3x2向右平移1个单位,再向下平移2个单位,所得到的抛物线是( ) A.y=3(x﹣1)2﹣2 B.y=3(x+1)2﹣2 C.y=3(x+1)2+2 D.y=3(x﹣1)2+2【考点】二次函数图象与几何变换.【分析】根据图象向下平移减,向右平移减,可得答案.【解答】解:抛物线y=3x2向右平移1个单位,再向下平移2个单位,所得到的抛物线是y=3(x﹣1)2﹣2,故选:A.【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换,用平移规律“左加右减,上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式.4.△ABC和△A′B′C′是相似图形,且对应边AB和A′B′的比为1:3,则△ABC和△A′B′C′的面积之比为( )A.3:1 B.1:3 C.1:9 D.1:27【考点】相似三角形的性质.【分析】由△ABC和△A′B′C′是相似图形,且对应边AB和A′B′的比为1:3,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方,即可求得答案.【解答】解:∵△ABC和△A′B′C′是相似图形,且对应边AB和A′B′的比为1:3,∴△ABC和△A′B′C′的面积之比为1:9.故选C.【点评】此题考查了相似三角形的性质.注意熟记定理是解此题的关键.5.如图,已知直线a∥b∥c,直线m、n与直线a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F,AC=4,CE=6,BD=3,则BF=( )A.7 B.7.5 C.8 D.8.5【考点】平行线分线段成比例.【分析】由直线a∥b∥c,根据平行线分线段成比例定理,即可得,又由AC=4,CE=6,BD=3,即可求得DF的长,则可求得答案.【解答】解:∵a∥b∥c,∴,∵AC=4,CE=6,BD=3,∴,解得:DF=,∴BF=BD+DF=3+=7.5.故选:B.【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理.题目比较简单,解题的关键是注意数形结合思想的应用.6.在△ABC中,BC=15cm,CA=45cm,AB=57cm,另一个和它相似的三角形的最短边长是5cm,则最长边长是( )A.18cm B.19cm C.24cm D.19.5cm【考点】相似三角形的性质.【分析】设另一个和它相似的三角形的最长边长是xcm,根据相似三角形的对应边的比相等列出比例式,计算即可.【解答】解:设另一个和它相似的三角形的最长边长是xcm,∵两个三角形相似,∴=,解得,x=19,故选:B.【点评】本题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形的对应角相等,对应边的比相等是解题的关键.7.在长为8cm、宽为4cm的矩形中,截去一个矩形,使得留下的矩形与原矩形相似,则留下矩形的面积是( )A.2 cm2B.4 cm2C.8 cm2D.16 cm2【考点】相似多边形的性质.【专题】探究型.【分析】先求出原矩形的面积,再根据留下的矩形与原矩形相似求出其相似比,由相似多边形的性质进行解答即可.【解答】解:∵长为8cm、宽为4cm的矩形的面积是32cm2,留下的矩形与原矩形相似,∴相似比是4:8=1:2,面积的比是1:4,∴留下矩形的面积是32×=8cm2.故选C.【点评】本题考查相似多边形的性质,即相似多边形面积之比等于相似比的平方.8.二次函数与y=kx2﹣8x+8的图象与x轴有交点,则k的取值范围是( )A.k<2 B.k<2且k≠0C.k≤2 D.k≤2且k≠0【考点】抛物线与x轴的交点.【分析】直接利用△=b2﹣4ac≥0,进而求出k的取值范围.【解答】解:∵二次函数与y=kx2﹣8x+8的图象与x轴有交点,∴△=b2﹣4ac=64﹣32k≥0,k≠0,解得:k≤2且k≠0.故选:D.【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点,正确得出△的符号是解题关键.9.如图,身高1.6m的某学生想测量一棵大树的高度,她沿着树影BA由B向A走去,当走到C点时,她的影子顶端正好与树的影子顶端重合,测得BA=4m,CA=0.8m,则树的高度为( )A.4.8m B.6.4m C.8m D.10m【考点】相似三角形的应用.【分析】根据题意得出CD∥BE,证出△ACD∽△ABE,利用相似三角形对应线段成比例即可得出结果.【解答】解:如图所示:由题意可得:CD∥BE,∴△ACD∽△ABE,∴,即,解得:BE=8.故选:C.【点评】本题考查了相似三角形的应用;由三角形相似得出比例式是解决问题的关键.10.如图为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,则下列说法:①a>0 ②2a+b=0 ③a+b+c>0 ④当﹣1<x<3时,y>0其中正确的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4【考点】二次函数图象与系数的关系.【专题】压轴题.【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由x=1时的函数值判断a+b+c>0,然后根据对称轴推出2a+b与0的关系,根据图象判断﹣1<x<3时,y的符号.【解答】解:①图象开口向下,能得到a<0;②对称轴在y轴右侧,x==1,则有﹣=1,即2a+b=0;③当x=1时,y>0,则a+b+c>0;④由图可知,当﹣1<x<3时,y>0.故选C.【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系,会利用对称轴的范围求2a与b的关系,以及二次函数与方程之间的转换,根的判别式的熟练运用.二、填空题(每小题3分,共18分)11.若函数y=(m﹣2)x|m|是二次函数,则m=﹣2.【考点】二次函数的定义.【分析】根据二次函数的定义可得:|m|=2,且m﹣2≠0,再解即可.【解答】解:由题意得:|m|=2,且m﹣2≠0,解得:m=﹣2.故答案为:﹣2.【点评】此题主要考查了二次函数定义,关键是掌握形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.12.若将二次函数y=x2﹣2x+3配方为y=(x﹣h)2+k的形式,则y=(x﹣1)2+2.【考点】二次函数的三种形式.【分析】利用配方法先提出二次项系数,在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式,把一般式转化为顶点式.【解答】解:y=x2﹣2x+3=(x2﹣2x+1)+2=(x﹣1)2+2故本题答案为:y=(x﹣1)2+2.【点评】,二次函数的解析式有三种形式:(1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数);(2)顶点式:y=a(x﹣h)2+k;(3)交点式(与x轴):y=a(x﹣x1)(x﹣x2).13.如图,在△ABC中,DE∥BC,若AD=1,DE=2,AB=4,则BC=8.【考点】相似三角形的判定与性质.【分析】根据已知条件和相似三角形的判定得出△ADE∽△ABC,再根据相似三角形的性质得出=,最后代值计算即可.【解答】解:∵DE∥BC,∴∠ADE=∠ABC,∴△ADE∽△ABC,∴=,∵AD=1,DE=2,AB=4,∴=,∴BC=8.故答案为:8.【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质,掌握相似三角形的判定与性质是本题的关键,是一道基础题.14.如图,在▱ABCD中,E在DC上,若DE:EC=1:2,则BF:EF=3:2.【考点】平行四边形的性质;相似三角形的判定与性质.【分析】由DE、EC的比例关系式,可求出EC、DC的比例关系;由于平行四边形的对边相等,即可得出EC、AB的比例关系,易证得△EFC∽△BFA,可根据相似三角形的对应边成比例求出BF、EF的比例关系.【解答】解:∵DE:EC=1:2,∴EC:DC=2:3,;∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∴△ABF∽△CEF,∴BF:EF=AB:EC,∵AB:EC=CD:EC=3:2,∴BF:FE=3:2,故答案为:3:2.【点评】此题主要考查的是平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质.15.二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=bx+c的图象不经过第四象限.【考点】二次函数图象与系数的关系;一次函数图象与系数的关系.【专题】计算题.【分析】由抛物线的对称轴在y轴右侧,得到a与b异号,根据抛物线开口向下得到a小于0,故b大于0,再利用抛物线与y轴交点在y轴正半轴,得到c大于0,利用一次函数的性质即可判断出一次函数y=bx+c不经过的象限.【解答】解:根据图象得:a<0,b>0,c>0,故一次函数y=bx+c的图象不经过第四象限.故答案为:四.【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系,以及一次函数图象与系数的关系,熟练掌握一次、二次函数的图象与性质是解本题的关键.16.如图,△ABC与△AEF中,AB=AE,BC=EF,∠B=∠E,AB交EF于D.给出下列结论:①∠AFC=∠C;②DE=CF;③△ADE∽△FDB;④∠BFD=∠CAF其中正确的结论是①③④.【考点】相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质.【专题】压轴题.【分析】先根据已知条件证明△AEF≌△ABC,从中找出对应角或对应边.然后根据角之间的关系找相似,即可解答.【解答】解:在△ABC与△AEF中∵AB=AE,BC=EF,∠B=∠E∴△AEF≌△ABC,∴AF=AC,∴∠AFC=∠C;由∠B=∠E,∠ADE=∠FDB,可知:△ADE∽△FDB;∵∠EAF=∠BAC,∴∠EAD=∠CAF,由△ADE∽△FD,B可得∠EAD=∠BFD,∴∠BFD=∠CAF.综上可知:①③④正确.【点评】本题是一道基础题,但考查的知识点较多,需要根据条件仔细观察图形,认真解答.三、解答题(本大题共72分,17(1)(2)每问5分,27、29题每题6分,其它每题5分)17.(1)已知抛物线的顶点为(﹣1,﹣3),与y轴的交点为(0,﹣5),求抛物线的解析式.(2)求经过A(1,4),B(﹣2,1)两点,对称轴为x=﹣1的抛物线的解析式.【考点】待定系数法求二次函数解析式.【专题】计算题.【分析】(1)设顶点式y=a(x+1)2﹣3,然后把(0,﹣5)代入求出a的值即可;(2)设一般式y=ax2+bx+c,再把两已知点的坐标代入得到两个方程,加上抛物线对称轴方程可以组成方程组,然后解方程组求出a、b、c即可.【解答】解:(1)设抛物线解析式为y=a(x+1)2﹣3,把(0,﹣5)代入得a﹣3=﹣5,解得a=﹣2,所以抛物线解析式为y=﹣2(x+1)2﹣3;(2)设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,根据题意得,解得a=1,b=2,c=1,所以抛物线解析式为y=x2+2x+1.【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式:在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解.一般地,当已知抛物线上三点时,常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求解;当已知抛物线的顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解;当已知抛物线与x轴有两个交点时,可选择设其解析式为交点式来求解.也考查了二次函数的图象.18.如图,在△ABC中,AB=8,AC=6,AD=12,点D在BC的延长线上,且△ACD∽△BAD,求BD的长.【考点】相似三角形的性质.【分析】由△ACD∽△BAD,根据相似三角形的对应边成比例,可得,继而求得答案.【解答】解:∵△ACD∽△BAD,∴,∵AB=8,AC=6,AD=12,∴,解得:BD=16.【点评】此题考查了相似三角形的性质.注意相似三角形的对应边成比例.19.如图,在△ABC中,如果DE∥BC,AD=3,AE=2,BD=4.求AC、EC的长.【考点】相似三角形的判定与性质.【分析】根据题意,DE∥BC,可证△ADE∽△ABC.利用相似三角形对应边成比例求解.【解答】解:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC.∴,即,∴AC=.CE=AC﹣AE=.【点评】此题重点考查相似三角形的判定和性质,属基础题,比较简单.20.如图,在▱ABCD中,EF∥AB,FG∥ED,DE:DA=2:5,EF=4,求线段CG的长.【考点】平行线分线段成比例;平行四边形的性质.【分析】根据平行线分线段成比例定理求出==,得到AB的长,根据平行四边形的性质求出CD,根据平行线分线段成比例定理得到比例式,计算即可.【解答】解:∵EF∥AB,∴===,又EF=4,∴AB=10,∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD=AB=10,∵FG∥ED,∴==,∴DG=4,∴CG=6.【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理,掌握平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例是解题的关键.21.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC.【考点】相似三角形的判定;平行线的性质.【专题】证明题.【分析】根据平行线的性质可知∠AED=∠C,∠A=∠FEC,根据相似三角形的判定定理可知△ADE∽△EFC.【解答】证明:∵DE∥BC,∴∠AED=∠C.又∵EF∥AB,∴∠A=∠FEC.∴△ADE∽△EF C.【点评】本题考查的是平行线的性质及相似三角形的判定定理.22.已知,在同一直角坐标系中,反比例函数y=与二次函数y=﹣x2+2x+c的图象交于点A(﹣1,m).(1)求m、c的值;(2)求二次函数图象的对称轴和顶点坐标.【考点】二次函数的性质;反比例函数的性质.【专题】计算题.【分析】先通过反比例函数求出A值,再把A的值代入二次函数中求出二次函数的解析式.再化简二次函数的解析式,就可得到它的对称轴和顶点坐标.【解答】解:(1)∵点A在函数y=的图象上,∴m==﹣5,∴点A坐标为(﹣1,﹣5),∵点A在二次函数图象上,∴﹣1﹣2+c=﹣5,c=﹣2.(2)∵二次函数的解析式为y=﹣x2+2x﹣2,∴y=﹣x2+2x﹣2=﹣(x﹣1)2﹣1,∴对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,﹣1).【点评】此题运用了反比例函数和二次函数的有关知识.23.如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点△ABC(顶点是网格线的交点).(1)请画一个格点△A1B1C1,使△A1B1C1∽△ABC,且相似比不为1;(2)以C为位似中心,将△ABC缩小为原来的,请画出图形.【考点】作图-位似变换;作图—相似变换.【分析】(1)可以将原图形对应边扩大为原来的2倍进而得出符合题意的图形;(2)利用位似图形的性质将各边变为原来的即可得出答案.【解答】解:(1)如图所示:△A1B1C1∽△ABC;(2)如图所示:△CED和△CFH都是符合题意的图形.【点评】此题主要考查了相似变换和位似变换,根据题意得出对应边的长是解题关键.24.已知:如图,△ABC中,AD=DB,∠1=∠2.求证:△ABC∽△EAD.【考点】相似三角形的判定.【专题】证明题.【分析】根据相似三角形的判定,解题时要认真审题,选择适宜的判定方法.【解答】证明:∵AD=DB,∴∠B=∠BAD.∵∠BDA=∠1+∠C=∠2+∠ADE,又∵∠1=∠2,∴∠C=∠ADE.∴△ABC∽△EAD.【点评】此题考查了相似三角形的判定:①有两个对应角相等的三角形相似;②有两个对应边的比相等,且其夹角相等,则两个三角形相似;③三组对应边的比相等,则两个三角形相似.25.心理学家发现,在一定的时间范围内,学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位:分钟)之间满足函数关系y=﹣0.1x2+2.6x+43(0≤x≤30),y的值越大,表示接受能力越强.(1)若用10分钟提出概念,学生的接受能力y的值是多少?(2)如果改用8分钟或15分钟来提出这一概念,那么与用10分钟相比,学生的接受能力是增强了还是减弱了?通过计算来回答.【考点】二次函数的应用.【分析】(1)知道接受能力y与提出概念所用的时间x之间满足函数关系式,令x=10,求出y,(2)求出x=8和15时,y的值,然后和x=10时,y的值比较.【解答】解:(1)当x=10时,y=﹣0.1x2+2.6x+43=﹣0.1×102+2.6×10+43=59.(2)当x=8时,y=﹣0.1x2+2.6x+43=﹣0.1×82+2.6×8+43=57.4,∴用8分钟与用10分钟相比,学生的接受能力减弱了;当x=15时,y=﹣0.1x2+2.6x+43=﹣0.1×152+2.6×15+43=59.5.∴用15分钟与用10分钟相比,学生的接受能力增强了.【点评】本题主要考查二次函数的应用,本题知道函数解析式,直接求y值,用二次函数解决实际问题,比较简单.26.用12米长的木料,做成如图的矩形窗框,则当长和宽各多少米时,矩形窗框的面积最大?最大面积是多少?【考点】二次函数的应用.【分析】设长为xm,表示出宽,然后根据矩形的面积公式列式并整理成顶点式形式,再根据二次函数的最值问题求解.【解答】解:设长为xm,则宽为:(12﹣3x)=(4﹣x)m,面积=x(4﹣x)=﹣x2+4x=﹣(x﹣2)2+4,所以,当x=2m时,窗框有最大面积4m2.【点评】本题考查了二次函数的应用,矩形的面积,主要利用了二次函数的最值问题,难点在于用长表示出宽.27.(1997•西宁)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象抛物线G经过(﹣5,0),(0,),(1,6)三点,直线l的解析式为y=2x﹣3(1)求抛物线G的函数解析式;(2)求证:抛物线G与直线L无公共点;(3)若与l平行的直线y=2x+m与抛物线G只有一个公共点P,求P点的坐标.【考点】二次函数综合题.【专题】压轴题;探究型.【分析】(1)直接把点(﹣5,0),(0,),(1,6)代入二次函数y=ax2+bx+c,求出a、b、c的值即可;(2)把(1)中求出的抛物线的解析式与直线l的解析式y=2x﹣3组成方程组,再根据一元二次方程根的判别式即可得出结论;(3)把直线y=2x+m与抛物线G的解析式组成方程组,根据只有一个公共点P可知△=0,求出m的值,故可得出P点坐标即可.【解答】解:(1)∵二次函数y=ax2+bx+c的图象抛物线G经过(﹣5,0),(0,),(1,6)三点,∴,解得,∴抛物线G的函数解析式为:y=x2+3x+;(2)∵由(1)得抛物线G的函数解析式为:y=x2+3x+,∴,①﹣②得,x2+x+=0,∵△=12﹣4××=﹣10<0,∴方程无实数根,即抛物线G与直线L无公共点;(3)∵与l平行的直线y=2x+m与抛物线G只有一个公共点P,∴,消去y得,x2+x+﹣m=0①,∵抛物线G与直线y=2x+m只有一个公共点P,∴△=12﹣4××(﹣m)=0,解得m=2,把m=2代入方程①得,x2+x+﹣2=0,解得x=﹣1,把x=﹣1代入直线y=2x+2得,y=0,∴P(﹣1,0).【点评】本题考查的是二次函数综合题,熟知待定系数法求一元二次方程的解析式及一元二次方程的解与△的关系式解答此题的关键.28.已知,如图,在正方形ABCD中,P是BC上的点,且BP=3PC,Q是CD的中点,求证:(1)AQ⊥QP;(2)△ADQ∽△AQP.【考点】正方形的性质;相似三角形的判定与性质.【专题】证明题.【分析】(1)由正方形的性质得出AB=BC=CD=AD=4a,∠C=∠D=90°,由已知条件得出PC=a,DQ=CQ=2a,BP=3a,由勾股定理得出AQ、PQ、AP,由勾股定理的逆定理证明△APQ是直角三角形,∠AQP=90°,即可得出结论;(2)证出,再由∠D=∠AQP=90°,即可得出△ADQ∽△AQP.【解答】证明:(1)设正方形ABCD的边长为4a,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD=AD=4a,∠C=∠D=90°,∵BP=3PC,Q是CD的中点,∴PC=a,DQ=CQ=2a,BP=3a,∴AQ===2a,PQ===a,AP===5a,∵AQ2+PQ2=25a2,AP2=25a2,∴AQ2+PQ2=AP2,∴△APQ是直角三角形,∠AQP=90°,∴AQ⊥QP;(2)∵=,=,∴,又∵∠D=∠AQP=90°,∴△ADQ∽△AQP.【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理;熟练掌握正方形的性质,运用勾股定理和勾股定理的逆定理是解决问题的关键.29.如图,已知抛物线与x轴交于A(﹣1,0)、E(3,0)两点,与y轴交于点B(0,3).(1)求抛物线的解析式;(2)设抛物线顶点为D,求四边形AEDB的面积;(3)△AOB与△DBE是否相似?如果相似,请给以证明;如果不相似,请说明理由.【考点】二次函数综合题.【专题】压轴题.【分析】(1)易得c=3,故设抛物线解析式为y=ax2+bx+3,根据抛物线所过的三点的坐标,可得方程组,解可得a、b的值,即可得解析式;(2)易由顶点坐标公式得顶点坐标,根据图形间的关系可得四边形ABDE的面积=S△ABO+S梯形BOFD+S△DFE,代入数值可得答案;(3)根据题意,易得∠AOB=∠DBE=90°,且,即可判断出两三角形相似.【解答】解:(1)∵抛物线与y轴交于点(0,3),∴设抛物线解析式为y=ax2+bx+3(a≠0)根据题意,得,解得.∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3;(2)如图,设该抛物线对称轴是DF,连接DE、BD.过点B作BG⊥DF于点G.由顶点坐标公式得顶点坐标为D(1,4)设对称轴与x轴的交点为F∴四边形ABDE的面积=S△ABO+S梯形BOFD+S△DFE=AO•BO+(BO+DF)•OF+EF•DF=×1×3+×(3+4)×1+×2×4=9;(3)相似,如图,BD=;∴BE=DE=∴BD2+BE2=20,DE2=20即:BD2+BE2=DE2,所以△BDE是直角三角形∴∠AOB=∠DBE=90°,且,∴△AOB∽△DBE.【点评】本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力.。
北京四十一中届九级上期中数学试卷含答案解析
2016-2017学年北京四十一中九年级(上)期中数学试卷一、选择题1.抛物线y=2(x﹣3)2+1的顶点坐标是()A.(3,1) B.(3,﹣1)C.(﹣3,1)D.(﹣3,﹣1)2.抛物线y=x2﹣4x﹣4的对称轴是()A.x=﹣2 B.x=2 C.x=4 D.x=﹣43.抛物线y=3x2向右平移1个单位,再向下平移2个单位,所得到的抛物线是()A.y=3(x﹣1)2﹣2 B.y=3(x+1)2﹣2 C.y=3(x+1)2+2 D.y=3(x﹣1)2+24.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A.B.C.D.5.如图,把菱形ABOC绕点O顺时针旋转得到菱形DFOE,则下列角中不是旋转角的为()A.∠BOF B.∠AOD C.∠COE D.∠COF6.如图,阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于坐标原点O成中心对称的图形.若点A的坐标是(1,3),则点M和点N的坐标分别是()A.M(1,﹣3),N(﹣1,﹣3)B.M(﹣1,﹣3),N(﹣1,3)C.M(﹣1,﹣3),N(1,﹣3)D.M (﹣1,3),N(1,﹣3)7.如图,观察图形,找出规律,确定第四个图形是()A.B.C.D.8.二次函数与y=kx2﹣8x+8的图象与x轴有交点,则k的取值范围是()A.k<2 B.k<2且k≠0 C.k≤2 D.k≤2且k≠09.如图,在△ABC中,AB=1,AC=2,现将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C′,连接AB′,并有AB′=3,则∠A′的度数为()A.125°B.130°C.135°D.140°10.如图为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,则下列说法:①a>0 ②2a+b=0 ③a+b+c>0 ④当﹣1<x<3时,y>0其中正确的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题11.若函数y=(m﹣2)x|m|是二次函数,则m= .12.若将二次函数y=x2﹣2x+3配方为y=(x﹣h)2+k的形式,则y= .13.如图,将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED,若线段AB=3,则BE= .14.如图,在直角△OAB中,∠AOB=30°,将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1,则∠A1OB= °.15.二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=bx+c的图象不经过第象限.16.如图,一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳,若它停在奇数点上,则下一次沿顺时针方向跳两个点;若停在偶数点上,则下一次沿逆时针方向跳一个点,若青蛙从4这点开始跳,则经2015次跳后它停在数对应的点上.三、解答题(本大题共72分)17.(1)已知抛物线的顶点为(﹣1,﹣3),与y轴的交点为(0,﹣5),求抛物线的解析式.(2)求经过A(1,4),B(﹣2,1)两点,对称轴为x=﹣1的抛物线的解析式.18.已知二次函数y=x2﹣4x+3.(1)把这个二次函数化成y=a(x﹣h)2+k的形式;(2)写出二次函数的对称轴和顶点坐标;(3)求二次函数与x轴的交点坐标;(4)画出这个二次函数的图象;(5)观察图象并写出y随x增大而减小时自变量x的取值范围.(6)观察图象并写出当x为何值时,y>0.19.如图,已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(﹣2,﹣1),B(﹣3,﹣3),C(﹣1,﹣3),(1)画出△ABC向右平移三个单位的对应图形△A1B1C1,并写出A1的坐标;(2)画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2,并写出A2的坐标.20.如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°得到矩形A′B′C′D′,则点B经过的路径与BA,AC′,C′B′所围成封闭图形的面积是多少?(结果保留π).21.已知,在同一直角坐标系中,反比例函数y=与二次函数y=﹣x2+2x+c的图象交于点A(﹣1,m).(1)求m、c的值;(2)求二次函数图象的对称轴和顶点坐标.22.心理学家发现,在一定的时间范围内,学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位:分钟)之间满足函数关系y=﹣0.1x2+2.6x+43(0≤x≤30),y的值越大,表示接受能力越强.(1)若用10分钟提出概念,学生的接受能力y的值是多少?(2)如果改用8分钟或15分钟来提出这一概念,那么与用10分钟相比,学生的接受能力是增强了还是减弱了?通过计算来回答.23.用12米长的木料,做成如图的矩形窗框,则当长和宽各多少米时,矩形窗框的面积最大?最大面积是多少?24.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,∠B=30°,将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转n 度后,得到△DEC ,点D 刚好落在AB 边上. (1)求n 的值;(2)若F 是DE 的中点,判断四边形ACFD 的形状,并说明理由.25.已知:如图,P 为等边△ABC 内一点,∠APB=113°,∠APC=123°,试说明:以AP 、BP 、CP 为边长可以构成一个三角形,并确定所构成三角形的各内角的度数.26.有这样一个问题:探究函数y=x 2+的图象与性质.小东根据学习函数的经验,对函数y=x 2+的图象与性质进行了探究. 下面是小东的探究过程,请补充完整:(1)函数y=x 2+的自变量x 的取值范围是 ; (2)下表是y 与x 的几组对应值.﹣ ﹣﹣ ﹣ ﹣求m 的值;(3)如图,在平面直角坐标系xOy 中,描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点,画出该函数的图象;(4)进一步探究发现,该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是(1,),结合函数的图象,写出该函数的其它性质(一条即可).27.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象C经过(﹣5,0),(0,),(1,6)三点,直线l的解析式为y=2x﹣3.(1)求抛物线C的解析式;(2)判断抛物线C与直线l有无交点;(3)若与直线l平行的直线y=2x+m与抛物线C只有一个公共点P,求点P的坐标.28.如图,已知抛物线与x交于A(﹣1,0)、E(3,0)两点,与y轴交于点B(0,3).(1)求抛物线的解析式;(2)设抛物线顶点为D,求四边形AEDB的面积.29.(1)如图1,正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,∠EAF=45°,延长CD到点G,使DG=BE,连结EF,AG.求证:EF=FG.(2)如图,等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点M,N在边BC上,且∠MAN=45°,若BM=1,CN=3,求MN的长.2016-2017学年北京四十一中九年级(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1.抛物线y=2(x﹣3)2+1的顶点坐标是()A.(3,1) B.(3,﹣1)C.(﹣3,1)D.(﹣3,﹣1)【考点】二次函数的性质.【分析】已知抛物线的顶点式,可直接写出顶点坐标.【解答】解:由y=2(x﹣3)2+1,根据顶点式的坐标特点可知,顶点坐标为(3,1).故选:A.【点评】此题考查二次函数的性质,解析式化为顶点式y=a(x﹣h)2+k,顶点坐标是(h,k),对称轴是x=h.2.抛物线y=x2﹣4x﹣4的对称轴是()A.x=﹣2 B.x=2 C.x=4 D.x=﹣4【考点】二次函数的性质.【分析】根据题意可知a=1,b=﹣4,依据抛物线的对称轴x=﹣求解即可.【解答】解:∵a=1,b=﹣4,∴x=﹣==2.故选:B.【点评】本题主要考查的是二次函数的性质,掌握抛物线的对称轴方程是解题的关键.3.抛物线y=3x2向右平移1个单位,再向下平移2个单位,所得到的抛物线是()A.y=3(x﹣1)2﹣2 B.y=3(x+1)2﹣2 C.y=3(x+1)2+2 D.y=3(x﹣1)2+2【考点】二次函数图象与几何变换.【分析】根据图象向下平移减,向右平移减,可得答案.【解答】解:抛物线y=3x2向右平移1个单位,再向下平移2个单位,所得到的抛物线是y=3(x﹣1)2﹣2,故选:A.【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换,用平移规律“左加右减,上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式.4.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A.B.C.D.【考点】中心对称图形;轴对称图形.【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.【解答】解:A、不是轴对称图形,是中心对称图形.故错误;B、不是轴对称图形,是中心对称图形.故错误;C、是轴对称图形,不是中心对称图形.故错误;D、是轴对称图形,是中心对称图形.故正确.故选:D.【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念:轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对称轴折叠后可重合;中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图重合.5.如图,把菱形ABOC绕点O顺时针旋转得到菱形DFOE,则下列角中不是旋转角的为()A.∠BOF B.∠AOD C.∠COE D.∠COF【考点】旋转的性质;菱形的性质.【专题】常规题型.【分析】两对应边所组成的角都可以作为旋转角,结合图形即可得出答案.【解答】解:OB旋转后的对应边为OF,故∠BOF可以作为旋转角,故本选项错误;B、OA旋转后的对应边为OD,故∠AOD可以作为旋转角,故本选项错误;C、OC旋转后的对应边为OE,故∠COE可以作为旋转角,故本选项错误;D、OC旋转后的对应边为OE不是OF,故∠COF不可以作为旋转角,故本选项正确;故选D.【点评】此题考查了旋转的性质,属于基础题,解答本题的关键是掌握两对应边所组成的角都可以作为旋转角,难度一般.6.如图,阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于坐标原点O成中心对称的图形.若点A的坐标是(1,3),则点M和点N的坐标分别是()A.M(1,﹣3),N(﹣1,﹣3)B.M(﹣1,﹣3),N(﹣1,3)C.M(﹣1,﹣3),N(1,﹣3)D.M (﹣1,3),N(1,﹣3)【考点】坐标与图形变化-旋转;坐标与图形变化-对称.【分析】根据轴对称和中心对称图形的概念解答.【解答】解:A,M关于原点对称,A的坐标是(1,3),∴M(﹣1,﹣3);∵A,N关于x轴对称,A的坐标是(1,3),∴N(1,﹣3).故选C.【点评】两个点关于原点对称,横纵坐标均互为相反数,两个点关于x轴对称,横坐标不变,纵坐标互为相反数.7.如图,观察图形,找出规律,确定第四个图形是()A.B.C.D.【考点】规律型:图形的变化类.【分析】根据(1)(2)(3)可以看出图形每次逆时针方向旋转90°,按此规律不难作出判断.【解答】解:观察图形,发现(1)(2)(3)每次逆时针方向旋转90°,依次规律第四个图形应为C.故选:C.【点评】本题主要考查了学生的分析、总结、归纳能力,规律型的题目一般是从所给的图形、数据以及运算方法进行分析,从特殊到一般,从而总结出一般性的规律.8.二次函数与y=kx2﹣8x+8的图象与x轴有交点,则k的取值范围是()A.k<2 B.k<2且k≠0 C.k≤2 D.k≤2且k≠0【考点】抛物线与x轴的交点.【分析】直接利用△=b2﹣4ac≥0,进而求出k的取值范围.【解答】解:∵二次函数与y=kx2﹣8x+8的图象与x轴有交点,∴△=b2﹣4ac=64﹣32k≥0,k≠0,解得:k≤2且k≠0.故选:D.【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点,正确得出△的符号是解题关键.9.如图,在△ABC中,AB=1,AC=2,现将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C′,连接AB′,并有AB′=3,则∠A′的度数为()A.125°B.130°C.135°D.140°【考点】旋转的性质.【分析】如图,作辅助线;首先证明∠AA′C=45°,然后证明AB′2=AA′2+A′B′2,得到∠AA′B′=90°,进而得到∠A′=135°,即可解决问题.【解答】解:如图,连接AA′.由题意得:AC=A′C,A′B′=AB,∠ACA′=90°,∴∠AA′C=45°,AA′2=22+22=8;∵AB′2=32=9,A′B′2=12=1,∴AB′2=AA′2+A′B′2,∴∠AA′B′=90°,∠A′=135°,故选C.【点评】该题主要考查了旋转变换的性质、勾股定理的逆定理及其应用问题;解题的关键是作辅助线,将分散的条件集中.10.如图为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,则下列说法:①a>0 ②2a+b=0 ③a+b+c>0 ④当﹣1<x<3时,y>0其中正确的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4【考点】二次函数图象与系数的关系.【专题】压轴题.【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由x=1时的函数值判断a+b+c>0,然后根据对称轴推出2a+b与0的关系,根据图象判断﹣1<x<3时,y的符号.【解答】解:①图象开口向下,能得到a<0;②对称轴在y轴右侧,x==1,则有﹣=1,即2a+b=0;③当x=1时,y>0,则a+b+c>0;④由图可知,当﹣1<x<3时,y>0.故选C.【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系,会利用对称轴的范围求2a与b的关系,以及二次函数与方程之间的转换,根的判别式的熟练运用.二、填空题11.若函数y=(m﹣2)x|m|是二次函数,则m= ﹣2 .【考点】二次函数的定义.【分析】根据二次函数的定义可得:|m|=2,且m﹣2≠0,再解即可.【解答】解:由题意得:|m|=2,且m﹣2≠0,解得:m=﹣2. 故答案为:﹣2.【点评】此题主要考查了二次函数定义,关键是掌握形如y=ax 2+bx+c (a 、b 、c 是常数,a ≠0)的函数,叫做二次函数.12.若将二次函数y=x 2﹣2x+3配方为y=(x ﹣h )2+k 的形式,则y= (x ﹣1)2+2 . 【考点】二次函数的三种形式.【分析】利用配方法先提出二次项系数,在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式,把一般式转化为顶点式. 【解答】解:y=x 2﹣2x+3=(x 2﹣2x+1)+2=(x ﹣1)2+2 故本题答案为:y=(x ﹣1)2+2.【点评】,二次函数的解析式有三种形式:(1)一般式:y=ax 2+bx+c (a ≠0,a 、b 、c 为常数); (2)顶点式:y=a (x ﹣h )2+k ;(3)交点式(与x 轴):y=a (x ﹣x 1)(x ﹣x 2).13.如图,将△ABC 绕点A 顺时针旋转60°得到△AED ,若线段AB=3,则BE= 3 .【考点】旋转的性质.【分析】根据旋转的性质得出∠BAE=60°,AB=AE ,得出△BAE 是等边三角形,进而得出BE=3即可. 【解答】解:∵将△ABC 绕点A 顺时针旋转60°得到△AED , ∴∠BAE=60°,AB=AE , ∴△BAE 是等边三角形, ∴BE=3. 故答案为:3.【点评】本题考查旋转的性质,关键是根据旋转变化前后,对应线段、对应角分别相等,图形的大小、形状都不改变.要注意旋转的三要素:①定点﹣旋转中心;②旋转方向;③旋转角度.14.如图,在直角△OAB 中,∠AOB=30°,将△OAB 绕点O 逆时针旋转100°得到△OA 1B 1,则∠A 1OB= 70 °.【考点】旋转的性质.【专题】探究型.【分析】直接根据图形旋转的性质进行解答即可.【解答】解:∵将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1,∠AOB=30°,∴△OAB≌△OA1B1,∴∠A1OB1=∠AOB=30°.∴∠A1OB=∠A1OA﹣∠AOB=70°.故答案为:70.【点评】本题考查的是旋转的性质,熟知图形旋转前后对应边、对应角均相等的性质是解答此题的关键.15.二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=bx+c的图象不经过第四象限.【考点】二次函数图象与系数的关系;一次函数图象与系数的关系.【专题】计算题.【分析】由抛物线的对称轴在y轴右侧,得到a与b异号,根据抛物线开口向下得到a小于0,故b大于0,再利用抛物线与y轴交点在y轴正半轴,得到c大于0,利用一次函数的性质即可判断出一次函数y=bx+c不经过的象限.【解答】解:根据图象得:a<0,b>0,c>0,故一次函数y=bx+c的图象不经过第四象限.故答案为:四.【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系,以及一次函数图象与系数的关系,熟练掌握一次、二次函数的图象与性质是解本题的关键.16.如图,一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳,若它停在奇数点上,则下一次沿顺时针方向跳两个点;若停在偶数点上,则下一次沿逆时针方向跳一个点,若青蛙从4这点开始跳,则经2015次跳后它停在数 2 对应的点上.【考点】规律型:图形的变化类;规律型:数字的变化类.【分析】根据题意可得:青蛙的跳动规律为3﹣5﹣2﹣1﹣3…,周期为4;又由2015=4×503+3,经过2015次跳后它停在的点所对应的数为2.【解答】解:由4起跳,4是偶数,沿逆时针下一次只能跳一个点,落在3上,3是奇数,沿顺时针跳两个点,落在5上,5是奇数,沿顺时针跳两个点,落在2上,2是偶数,沿逆时针下一次只能跳一个点,落在1上,1是奇数,沿顺时针跳两个点,落在3上,…3﹣5﹣2﹣1﹣3,周期为4;又由2015=4×503+3,经过2015次跳后它停在的点所对应的数为2.故答案为:2.【点评】此题考查图形的变化规律,理解题题,发现循环的规律是解决问题的关键.三、解答题(本大题共72分)17.(1)已知抛物线的顶点为(﹣1,﹣3),与y轴的交点为(0,﹣5),求抛物线的解析式.(2)求经过A(1,4),B(﹣2,1)两点,对称轴为x=﹣1的抛物线的解析式.【考点】待定系数法求二次函数解析式.【专题】计算题.【分析】(1)设顶点式y=a(x+1)2﹣3,然后把(0,﹣5)代入求出a的值即可;(2)设一般式y=ax2+bx+c,再把两已知点的坐标代入得到两个方程,加上抛物线对称轴方程可以组成方程组,然后解方程组求出a、b、c即可.【解答】解:(1)设抛物线解析式为y=a(x+1)2﹣3,把(0,﹣5)代入得a﹣3=﹣5,解得a=﹣2,所以抛物线解析式为y=﹣2(x+1)2﹣3;(2)设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,根据题意得,解得a=1,b=2,c=1,所以抛物线解析式为y=x2+2x+1.【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式:在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解.一般地,当已知抛物线上三点时,常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求解;当已知抛物线的顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解;当已知抛物线与x轴有两个交点时,可选择设其解析式为交点式来求解.也考查了二次函数的图象.18.已知二次函数y=x2﹣4x+3.(1)把这个二次函数化成y=a(x﹣h)2+k的形式;(2)写出二次函数的对称轴和顶点坐标;(3)求二次函数与x轴的交点坐标;(4)画出这个二次函数的图象;(5)观察图象并写出y随x增大而减小时自变量x的取值范围.(6)观察图象并写出当x为何值时,y>0.【考点】二次函数的三种形式;二次函数的性质.【分析】(1)利用配方法先提出二次项系数,再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式,把一般式转化为顶点式.(2)根据(1)中的二次函数解析式直接写出答案;(3)将已知函数解析式转化为两点式方程即可得到答案;(4)根据顶点坐标,抛物线与y轴的交点坐标以及抛物线与x轴的交点坐标画出图象;(5)(6)根据图象写出x的取值范围.【解答】解:(1)y=x 2﹣4x+3=(x ﹣2)2﹣1,则该抛物线解析式是y=(x ﹣2)2﹣1;(2)由(1)知,该抛物线解析式为:y=(x ﹣2)2﹣1, 所以对称轴是直线x=2,顶点坐标为(2,﹣1);(3)∵二次函数y=x 2﹣4x+3=(x ﹣1)(x ﹣3), ∴二次函数与x 轴的交点坐标分别是:(1,0)(3,0);(4)其图象如图所示:(5)由图象知,当y 随x 增大而减小时x ≤2;(6)由图象知,当x <1或x >3时,y >0.【点评】本题考查了将二次函数的一般式化成顶点式的方法.属于基础题型,比较简单. 二次函数的解析式有三种形式:(1)一般式:y=ax 2+bx+c (a ≠0,a 、b 、c 为常数); (2)顶点式:y=a (x ﹣h )2+k ;(3)交点式(与x 轴):y=a (x ﹣x 1)(x ﹣x 2).19.如图,已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (﹣2,﹣1),B (﹣3,﹣3),C (﹣1,﹣3), (1)画出△ABC 向右平移三个单位的对应图形△A 1B 1C 1,并写出A 1的坐标; (2)画出△ABC 关于原点O 对称的△A 2B 2C 2,并写出A 2的坐标.【考点】作图-旋转变换;作图-平移变换.【分析】(1)直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案; (2)直接利用旋转的性质分别得出对应点关于原点对称,进而得出答案. 【解答】解:(1)如图所示:△A 1B 1C 1,即为所求; A 1(1,﹣1);(2)如图所示:△A 2B 2C 2,即为所求;A 2(2,1).【点评】此题主要考查了旋转变换以及平移变换,正确得出对应点位置是解题关键.20.如图,在矩形ABCD 中,AB=3,AD=4,将矩形ABCD 绕点D 顺时针旋转90°得到矩形A′B′C′D′,则点B 经过的路径与BA ,AC′,C′B′所围成封闭图形的面积是多少?(结果保留π).【考点】旋转的性质;矩形的性质.【分析】根据点B经过的路径与BA,AC′,C′B′所围成封闭图形的面积是=S扇形BDB′+S矩形ABCD求解即可.【解答】解:如图,连接BD与B′D,点B经过的路径与BA,AC′,C′B′所围成封闭图形的面积是:S扇形BDB′+S矩形ABCD=π×52+3×4=+12.【点评】本题主要考查了扇形的面积计算及旋转的性质,解题的关键是理解点B经过的路径与BA,AC′,C′B′所围成的封闭图形.21.(2008•云南)已知,在同一直角坐标系中,反比例函数y=与二次函数y=﹣x2+2x+c的图象交于点A(﹣1,m).(1)求m、c的值;(2)求二次函数图象的对称轴和顶点坐标.【考点】二次函数的性质;反比例函数的性质.【专题】计算题.【分析】先通过反比例函数求出A值,再把A的值代入二次函数中求出二次函数的解析式.再化简二次函数的解析式,就可得到它的对称轴和顶点坐标.【解答】解:(1)∵点A在函数y=的图象上,∴m==﹣5,∴点A坐标为(﹣1,﹣5),∵点A在二次函数图象上,∴﹣1﹣2+c=﹣5,c=﹣2.(2)∵二次函数的解析式为y=﹣x2+2x﹣2,∴y=﹣x2+2x﹣2=﹣(x﹣1)2﹣1,∴对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,﹣1).【点评】此题运用了反比例函数和二次函数的有关知识.22.心理学家发现,在一定的时间范围内,学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位:分钟)之间满足函数关系y=﹣0.1x2+2.6x+43(0≤x≤30),y的值越大,表示接受能力越强.(1)若用10分钟提出概念,学生的接受能力y的值是多少?(2)如果改用8分钟或15分钟来提出这一概念,那么与用10分钟相比,学生的接受能力是增强了还是减弱了?通过计算来回答.【考点】二次函数的应用.【分析】(1)知道接受能力y与提出概念所用的时间x之间满足函数关系式,令x=10,求出y,(2)求出x=8和15时,y的值,然后和x=10时,y的值比较.【解答】解:(1)当x=10时,y=﹣0.1x2+2.6x+43=﹣0.1×102+2.6×10+43=59.(2)当x=8时,y=﹣0.1x2+2.6x+43=﹣0.1×82+2.6×8+43=57.4,∴用8分钟与用10分钟相比,学生的接受能力减弱了;当x=15时,y=﹣0.1x2+2.6x+43=﹣0.1×152+2.6×15+43=59.5.∴用15分钟与用10分钟相比,学生的接受能力增强了.【点评】本题主要考查二次函数的应用,本题知道函数解析式,直接求y值,用二次函数解决实际问题,比较简单.23.用12米长的木料,做成如图的矩形窗框,则当长和宽各多少米时,矩形窗框的面积最大?最大面积是多少?【考点】二次函数的应用.【分析】设长为xm,表示出宽,然后根据矩形的面积公式列式并整理成顶点式形式,再根据二次函数的最值问题求解.【解答】解:设长为xm,则宽为:(12﹣3x)=(4﹣x)m,面积=x(4﹣x)=﹣x2+4x=﹣(x﹣2)2+4,所以,当x=2m时,窗框有最大面积4m2.【点评】本题考查了二次函数的应用,矩形的面积,主要利用了二次函数的最值问题,难点在于用长表示出宽.24.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后,得到△DEC,点D刚好落在AB边上.(1)求n的值;(2)若F是DE的中点,判断四边形ACFD的形状,并说明理由.【考点】旋转的性质;含30度角的直角三角形;直角三角形斜边上的中线;菱形的判定.【专题】几何图形问题.【分析】(1)利用旋转的性质得出AC=CD,进而得出△ADC是等边三角形,即可得出∠ACD的度数;(2)利用直角三角形的性质得出FC=DF,进而得出AD=AC=FC=DF,即可得出答案.【解答】解:(1)∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后,得到△DEC,∴AC=DC,∠A=60°,∴△ADC是等边三角形,∴∠ACD=60°,∴n的值是60;(2)四边形ACFD是菱形;理由:∵∠DCE=∠ACB=90°,F是DE的中点,∴FC=DF=FE,∵∠CDF=∠A=60°,∴△DFC是等边三角形,∴DF=DC=FC,∵△ADC是等边三角形,∴AD=AC=DC,∴AD=AC=FC=DF,∴四边形ACFD是菱形.【点评】此题主要考查了菱形的判定以及旋转的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识,得出△DFC 是等边三角形是解题关键.25.已知:如图,P为等边△ABC内一点,∠APB=113°,∠APC=123°,试说明:以AP、BP、CP为边长可以构成一个三角形,并确定所构成三角形的各内角的度数.【考点】旋转的性质;等边三角形的判定与性质.【分析】将△APC绕点A顺时针旋转60°得△AQB,可以证明△APQ是等边三角形则QP=AP,则△QBP就是以AP,BP,CP三边为边的三角形,然后分别求出△QBP的三个内角的度数即可.【解答】解:将△APC绕点A顺时针旋转60°得△AQB,则△AQB≌△APC∴BQ=CP,AQ=AP,∵∠1+∠3=60°,∴△APQ是等边三角形,∴QP=AP,∴△QBP就是以AP,BP,CP三边为边的三角形,∵∠APB=113°,∴∠6=∠APB﹣∠5=53°,∵∠AQB=∠APC=123°,∴∠7=∠AQB﹣∠4=63°,∴∠QBP=180°﹣∠6﹣∠7=64°,∴以AP,BP,CP为边的三角形的三内角的度数分别为64°,63°,53°.【点评】本题主要考查了旋转的性质,用到的知识点是等边三角形的性质和判定,证得△QBP就是以AP,BP,CP三边为边的三角形是解题的关键.26.有这样一个问题:探究函数y=x2+的图象与性质.小东根据学习函数的经验,对函数y=x2+的图象与性质进行了探究.下面是小东的探究过程,请补充完整:(1)函数y=x 2+的自变量x 的取值范围是 x ≠0 ;(2)下表是y 与x 的几组对应值. ﹣ ﹣﹣ ﹣ ﹣ 求m 的值;(3)如图,在平面直角坐标系xOy 中,描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点,画出该函数的图象;(4)进一步探究发现,该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是(1,),结合函数的图象,写出该函数的其它性质(一条即可) 该函数没有最大值 .【考点】二次函数的图象;反比例函数的图象;反比例函数的性质;二次函数的性质.【分析】(1)由图表可知x ≠0;(2)根据图表可知当x=3时的函数值为m ,把x=3代入解析式即可求得;(3)根据坐标系中的点,用平滑的曲线连接即可;(4)观察图象即可得出该函数的其他性质.【解答】解:(1)x ≠0,(2)令x=3,∴y=×32+=+=; ∴m=;(3)如图(4)该函数的其它性质:①该函数没有最大值;②该函数在x=0处断开;③该函数没有最小值;④该函数图象没有经过第四象限.故答案为该函数没有最大值.【点评】本题考查了二次函数的图象和性质,反比例函数的图象和性质,根据图表画出函数的图象是解题的关键.27.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象C经过(﹣5,0),(0,),(1,6)三点,直线l的解析式为y=2x﹣3.(1)求抛物线C的解析式;(2)判断抛物线C与直线l有无交点;(3)若与直线l平行的直线y=2x+m与抛物线C只有一个公共点P,求点P的坐标.【考点】待定系数法求二次函数解析式;一次函数图象上点的坐标特征;二次函数图象上点的坐标特征.【分析】(1)直接把点(﹣5,0),(0,),(1,6)代入二次函数y=ax2+bx+c,求出a、b、c的值即可;(2)把(1)中求出的抛物线的解析式与直线l的解析式y=2x﹣3组成方程组,再根据一元二次方程根的判别式即可得出结论;(3)把直线y=2x+m与抛物线C的解析式组成方程组,根据只有一个公共点P可知△=0,求出m的值,故可得出P 点坐标即可.【解答】解:(1)∵二次函数y=ax2+bx+c的图象抛物线C经过(﹣5,0),(0,),(1,6)三点,∴,解得,∴抛物线C的函数解析式为:y=x2+3x+;(2)∵由(1)得抛物线C的函数解析式为:y=x2+3x+,∴代入y=2x﹣3得2x﹣3=x2+3x+,整理得x2+x+=0,∵△=12﹣4××=﹣10<0,∴方程无实数根,即抛物线C与直线l无公共点;(3)∵与l平行的直线y=2x+m与抛物线G只有一个公共点P,∴,消去y得, x2+x+﹣m=0①,∵抛物线C与直线y=2x+m只有一个公共点P,∴△=12﹣4××(﹣m)=0,解得m=2,把m=2代入方程①得, x2+x+﹣2=0,解得x=﹣1,把x=﹣1代入直线y=2x+2得,y=0,∴P(﹣1,0).【点评】本题是二次函数综合题,考查的是待定系数法求二次函数的解析式,一次函数图象上点的坐标特征,二次函数图象上点的坐标特征,熟知一元二次方程的解与△的关系式解答此题的关键.28.如图,已知抛物线与x交于A(﹣1,0)、E(3,0)两点,与y轴交于点B(0,3).(1)求抛物线的解析式;(2)设抛物线顶点为D,求四边形AEDB的面积.【考点】二次函数综合题.【专题】综合题.【分析】(1)已知了抛物线图象上的三点坐标,可用待定系数法求出抛物线的解析式;(2)根据抛物线的解析式,易求得抛物线顶点D的坐标;过D作DF⊥x轴于F,那么四边形AEDB的面积就可以由△AOB、△DEF、梯形BOFD的面积和求得.【解答】解:(1)设抛物线的解析式为:y=a(x+1)(x﹣3),则有:a(0+1)(0﹣3)=3,a=﹣1;∴抛物线的解析式为:y=﹣x2+2x+3;(2)由(1)知:y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,即D(1,4);过D作DF⊥x轴于F;S四边形AEDB =S△AOB+S△DEF+S梯形BOFD=×1×3+×2×4+×(3+4)×1=9;即四边形AEDB的面积为9.【点评】此题主要考查了二次函数解析式的确定以及图形面积的求法,不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差.29.(1)如图1,正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,∠EAF=45°,延长CD到点G,使DG=BE,连结EF,AG.求证:EF=FG.(2)如图,等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点M,N在边BC上,且∠MAN=45°,若BM=1,CN=3,求MN的长.。
北京市第四十四中学2021-2022学年九年级上学期期中数学试题(含答案解析)
北京市第四十四中学2021-2022学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题1.下列图形中,是轴对称图形不是中心对称图形的是( )A .B .C .D .2.二次函数2(1)2y x =-++的最大值是( )A .2-B .1-C .1D .23.把抛物线21y x =+向右平移3个单位,再向上平移2个单位,得到抛物线( ). A .()231y x =+- B .()233y x =++ C .()231y x =-- D .()233y x =-+ 4.已知⊙O 的半径是4,OP =3,则点P 与⊙O 的位置关系是( )A .点P 在圆上B .点P 在圆内C .点P 在圆外D .不能确定 5.如图,已知⊙O 中,半径 OC 垂直于弦AB ,垂足为D ,若 OD=3,OA=5,则AB 的长为( )A .2B .4C .6D .8 6.如图,在平面直角坐标系xOy 中,AOB ∆可以看作是由OCD ∆经过两次图形的变化(平移、轴对称、旋转)得到的,这个变化过程不可能...是( )A .先平移,再轴对称B .先轴对称,再旋转C .先旋转,再平移D .先轴对称,再平移7.如图,将三角形△ABC 绕着点C 顺时针旋转35°,得到△A′B′C ,A′B′交AC 于点D ,若△A′DC=90°,则△A 的度数是( )A .35°B .65°C .55°D .25°8.如图,AB 是⊙O 的直径,C 、D 是圆上两点,⊙CBA=70°,则⊙D 的度数为( )A .10°B .20°C .70°D .90°9.同一直角坐标系中,函数y mx m =+和21y mx x =-++(m 是常数,且0m ≠)的图象可能..是( ) A . B . C .D .10.已知关于n 的函数s =an 2+bn (n 为自然数),当n =9时,s <0;当n =10时,s >0.则n 取( )时,s 的值最小.A .3B .4C .5D .6二、填空题11.如果关于x 的一元二次方程240x x m +-=没有实数根,那么m 的取值范围是________.12.某药品经过两次降价,每瓶零售价由100元降为81元,若设平均每次降价的百分率为x ,则由题意可列方程为 ________________,可得x =____.13.已知抛物线225y x x =-+,将此二次函数解析式用配方法化成2()y x h k =-+的形式得__________,此抛物线经过两点A (-2,y 1)和2(3,)B y ,则1y 与2y 的大小关系是_____________.14.关于x 的二次函数y=x 2﹣kx+k ﹣2的图象与y 轴的交点在x 轴的上方,请写出一个满足条件的二次函数的表达式:_______.15.将抛物线y=x 2+1的图象绕原点O 旋转180°,则旋转后的抛物线解析式是___________.16.如图,抛物线2y ax =与直线y bx c =+的两个交点坐标分别为()2,4A -,()1,1B ,则关于x 的方程20ax bx c --=的解为______.17.有一种化学实验中用的圆形过滤纸片,如果需要找它的圆心,请你简要说明你找圆心的方法是__________________18.如图,二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭,对称轴为直线1x =-,下列5个结论:⊙0abc >; ⊙240a b c ++=; ⊙20a b ->;⊙320b c +>; ⊙()a b m am b -≥-,其中正确的结论为________________.(注:只填写正确结论的序号)三、解答题19.解方程:(1)2210x x --=;(2)2340x x +=20.已知关于x 的一元二次方程22240x x k ++-=有两个不相等的实数根(1)求k 的取值范围;(2)若k 为正整数,且该方程的根都是整数,求k 的值.21.已知二次函数243y x x =-+.(1)求出该函数与x 轴.的交点坐标、与y 轴.的交点坐标; (2)在平面直角坐标系中,用描点法...画出该二次函数的图象;(3)根据图象回答:当自变量x 的取值范围满足什么条件时,y <0?(4)若直线y =k 与抛物线没有交点,直接写出k 的范围.(5)当03x <<时,求y 的取值范围.22.如图,AB 是O 的弦,CD 是O 的直径,CD AB ⊥,垂足为E .1CE =,3ED =.(1)求O 的半径.(2)求AB 的长.23.如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是⊙O 的一条弦,且CO⊙AB 于点E .(1)求证:⊙BCO =⊙D .(2)若CD =AE =2,求⊙O 的半径.24.如图是泰州某河上一座古拱桥的截面图,拱桥桥洞上沿是抛物线形状,抛物线两端点与水面的距离都是1m ,拱桥的跨度为10m ,桥洞与水面的最大距离是5m ,桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m 的景观灯.若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中(如图).(1)求抛物线的解析式;(2)求两盏景观灯之间的水平距离.25.在平面直角坐标系xOy 中,抛物线1C :221y mx mx m =++-沿x 轴翻折得到抛物线2C .(1)求抛物线2C 的顶点坐标;(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.⊙ 当1m =时,求抛物线1C 和2C 围成的封闭区域内(包括边界)整点的个数;⊙ 如果抛物线C 1和C 2围成的封闭区域内(包括边界)恰有7个整点,求m 取值范围. 26.已知在Rt ⊙ABC 中,⊙BAC=90°,AB=AC ,点D 为BC 边中点.点M 为线段BC 上的一个动点(不与点C ,点D 重合),连接AM ,将线段AM 绕点M 顺时针旋转90°,得到线段ME ,连接EC .(1)如图1,若点M 在线段BD 上.⊙依据题意补全图1;⊙求⊙MCE 的度数.⊙用等式表示线段AC 、CE 、CM 之间的数量关系,并加以证明(2)如图2,若点M 在线段CD 上,请你补全图形后,直接用等式表示线段AC 、CE 、CM 之间的数量关系 .27.M (﹣1,12-),N (1,12-)是平面直角坐标系xOy 中的两点,若平面内直线MN 上方的点P 满足:45°≤⊙MPN ≤90°,则称点P 为线段MN 的可视点.(1)在点1102A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,2102A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,(30A ,A 4(2,2)中,线段MN 的可视点为 ;(2)若点B 是直线y =x 12+上线段MN 的可视点,求点B 的横坐标t 的取值范围; (3)直线y =x +b (b ≠0)与x 轴交于点C ,与y 轴交于点D ,若线段CD 上存在线段MN 的可视点,直接写出b 的取值范围.参考答案:1.A【解析】【分析】轴对称图形是指平面内,一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合的图形;而在平面内,把一个图形绕着某个点旋转180°,如果旋转后的图形能与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,据此进一步判断求出答案即可.【详解】A :是轴对称图形,但不是中心对称图形,符合题意;B :是轴对称图形,也是中心对称图形,不符合题意;C :是中心对称图形,但不是轴对称图形,不符合题意;D :是轴对称图形,也是中心对称图形,不符合题意;故选:A.【点睛】本题主要考查了轴对称图形与中心对称图形的识别,熟练掌握相关概念是解题关键. 2.D【解析】【分析】由图象的性质可知在直线1x =-处取得最大值,将1x =-代入解析式计算求解即可.【详解】解:由图象的性质可知,在直线1x =-处取得最大值⊙将1x =-代入()212y x =-++中得2y =⊙最大值为2故答案为:2.【点睛】本题考查了二次函数的最值.解题的关键在于掌握二次函数的图象与性质.3.D【解析】【分析】直接根据平移规律(左加右减,上加下减)作答即可.将抛物线y=x2+1向右平移3个单位,再向上平移2个单位后所得抛物线解析式为y=(x-3)2+3.故选D.【点睛】此题考查函数图象的平移,解题关键在于熟练掌握平移的规律:左加右减,上加下减.并用规律求函数解析式.4.B【解析】【分析】根据题意得⊙O的半径为4,则点P到圆心O的距离小于圆的半径,则根据点与圆的位置关系可判断点P在⊙O内.【详解】解:⊙OP=3<4,故点P与⊙O的位置关系是点在圆内.故选:B.【点睛】本题考查了点与圆的位置关系:设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有点P在圆外⇔d>r;点P在圆上⇔d=r;点P在圆内⇔d<r.5.D【解析】【分析】利用垂径定理和勾股定理计算.【详解】根据勾股定理得4AD,根据垂径定理得AB=2AD=8故选:D.【点睛】考查勾股定理和垂径定理,熟练掌握垂径定理是解题的关键.6.C【分析】根据轴对称的性质,平移的性质即可得到由OCD ∆ 得到ABO ∆的过程.【详解】△AOB 可以看作是由△OCD 先向上平移,再轴对称,故选项A 不符合题意;△AOB 可以看作是由△OCD 先轴对称,再旋转,故选项B 不符合题意;△AOB 不能由△OCD 先旋转,再平移得到,故选项C 符合题意;△AOB 可以看作是由△OCD 先轴对称,再平移,故选项D 不符合题意.故选C.【点睛】本题考查了坐标与图形变化-轴对称,坐标与图形变化-平移,解题时需要注意:平移的距离等于对应点连线的长度,对称轴为对应点连线的垂直平分线.7.C【解析】【分析】根据旋转的性质,可得知⊙ACA′=35°,从而求得⊙A′的度数,又因为⊙A 的对应角是⊙A′,则⊙A 度数可求.【详解】解:⊙⊙ABC 绕着点C 时针旋转35°,得到⊙AB′C′⊙⊙ACA′=35°,⊙A'DC=90°⊙⊙A′=55°,⊙⊙A 的对应角是⊙A′,即⊙A=⊙A′,⊙⊙A=55°.故选C .【点睛】本题考查了旋转的性质,根据旋转的性质,图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动.其中对应点到旋转中心的距离相等,旋转前后图形的大小和形状没有改变.解题的关键是正确确定对应角.8.B【解析】【分析】由AB 是⊙O 的直径,根据直径所对的圆周角是直角,可得⊙ACB=90°,又由⊙CBA=70°,即可求得⊙A 的度数,然后由圆周角定理,求得答案. 【详解】解:⊙AB 是⊙O 的直径, ⊙⊙ACB=90°, ⊙⊙CBA=70°,⊙⊙D=⊙A=90°﹣70°=20°. 故选B .考点:圆周角定理. 9.D 【解析】 【分析】根据一次函数,二次函数的图象与性质逐一分析两个解析式中的m 的符号,再判断即可. 【详解】解:选项A :由y mx m =+的图象可得:0,m <由21y mx x =-++的图象可得:0,m 则0,m > 故A 不符合题意; 选项B :由y mx m =+的图象可得:0,m < 由21y mx x =-++的图象可得:0,m 则0,m < 而抛物线的对称轴为:110,22xm m则0,m > 故B 不符合题意; 选项C :由y mx m =+的图象可得:0,m >由21y mx x =-++的图象可得:0,m 则0,m < 故C 不符合题意; 选项D :由y mx m =+的图象可得:0,m <由21y mx x =-++的图象可得:0,m 则0,m <而抛物线的对称轴为:110,22x m m则0,m < 故D 符合题意; 故选D 【点睛】本题考查的是一次函数与二次函数的图象共存问题,掌握“一次函数与二次函数的图象与性质”是解本题的关键.10.C【解析】【分析】根据题意和二次函数的性质,可以得到对称轴的取值范围和该函数图象的开口方向,从而可以得到当n取各个选项中的数时,当n是哪个数时,s的值最小,从而可以解答本题.【详解】解:⊙函数s=an2+bn(n为自然数),当n=9时,s<0;当n=10时,s>0,⊙a>0,该函数图象开口向上,⊙当s=0时,9<n<10,⊙n=0时,s=0,⊙该函数的对称轴n的值在4.5~5之间,⊙各个选项中,当n=5时,s取得的值最小.故选:C.【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值,解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质解答.m<-11.4【解析】【详解】试题解析:⊙一元二次方程x2+4x-m=0没有实数根,⊙⊙=16-4(-m)<0,⊙m<-4.考点:根的判别式.12.100(1﹣x)2=81 10%【解析】【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x,根据降价后的价格=降价前的价格(1﹣降价的百分率),则第一次降价后的价格是100(1﹣x),第二次后的价格是100(1﹣x)2,据此即可列方程求解.【详解】解:根据题意得:100(1﹣x )2=81, 解得:x =0.1=10%或x =1.1(舍去), 故答案为:100(1﹣x )2=81,10%. 【点睛】本题考查一元二次方程解降价的百分率问题,掌握一元二次方程解降价的百分率问题的方法与步骤是解题关键.13. ()214y x =-+ 12y y >【解析】 【分析】(1)利用配方法将二次函数的一般式转化为顶点式;(2)将2x =-与3x =分别代入二次函数解析式中,计算出1y 与2y 的值,并比较大小. 【详解】(1)解:()222514y x x x =-+=-+, 故答案为:()214y x =-+. (2)当2x =- 时113y =, 当3x =时28y =,⊙ 1y 与2y 的大小关系是12y y >, 故答案为:12y y >. 【点睛】本题考查用配方法将二次函数的一般式转化为顶点式,以及二次函数的增减性,熟练掌握配方法是解决本题的关键. 14.y=x 2﹣3x+1. 【解析】 【详解】试题分析:⊙关于x 的二次函数y=x 2﹣kx+k ﹣2的图象与y 轴的交点在x 轴的上方, ⊙k ﹣2>0,解得:k >2,⊙答案为:y=x 2﹣3x+1答案不唯一. 【考点】二次函数的性质. 15.y=-x 2-1 【解析】 【详解】解:根据题意,-y=(-x )2+1,得到y=-x 2-1.故旋转后的抛物线解析式是y=-x 2-1. 故答案是:y=-x 2-1 16.12x =-,21x = 【解析】 【分析】根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组2y ax y bx c ⎧=⎨=+⎩的解为1124x y =-⎧⎨=⎩,2211x y =⎧⎨=⎩,于是易得关于x 的方程ax 2-bx-c=0的解. 【详解】解:⊙抛物线2y ax =与直线y bx c =+的两个交点坐标分别为()2,4A -,()1,1B ,⊙方程组2y ax y bx c ⎧=⎨=+⎩的解为1124x y =-⎧⎨=⎩,2211x y =⎧⎨=⎩,即关于x 的方程20ax bx c --=的解为12x =-,21x =. 故答案为x 1=-2,x 2=1. 【点睛】本题考查了二次函数的性质:二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)的顶点坐标是24(,)24b ac b a a--,对称轴直线x=-2ba.也考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题.17.在圆形纸片的边缘上任取三点,,,A B C 则线段,AB AC 的垂直平分线的交点O 是圆形纸片的圆心. 【解析】 【分析】如图,在圆形纸片的边缘上任取三点,,,A B C 连接,,AB AC 再作,AB AC 的垂直平分线得到两条垂直平分线的交点即可. 【详解】解:如图,在圆形纸片的边缘上任取三点,,,A B C连接,,AB AC 则,AB AC 的垂直平分线的交点O 是圆形纸片的圆心.故答案为:在圆形纸片的边缘上任取三点,,,A B C 则线段,AB AC 的垂直平分线的交点O 是圆形纸片的圆心. 【点睛】本题考查的是确定圆的圆心,掌握“作三角形的外接圆的圆心”是解本题的关键. 18.⊙⊙. 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向得到a >0,根据抛物线对称轴为直线x=-2ba=-1得到b=2a ,则b >0,根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c <0,所以abc <0;由x=12,y=0,得到14a+12b+c=0,即a+2b+4c=0;由a=12b ,a+b+c >0,得到12b+2b+c >0,即3b+2c >0;由x=-1时,函数最大小,则a-b+c <m 2a-mb+c (m≠1),即a-b≤m (am-b ). 【详解】解:⊙抛物线开口向上, ⊙a >0,⊙抛物线对称轴为直线x=-2ba=-1, ⊙b=2a ,则2a-b=0,所以⊙错误; ⊙b >0,⊙抛物线与y 轴的交点在x 轴下方, ⊙c <0,⊙abc <0,所以⊙错误; ⊙x=12时,y=0,⊙14a+12b+c=0,即a+2b+4c=0,所以⊙正确;⊙a=12b ,a+b+c >0, ⊙12b+2b+c >0,即3b+2c >0,所以⊙正确; ⊙x=-1时,函数最大小, ⊙a-b+c <m 2a-mb+c (m≠1), ⊙a-b≤m (am-b ),所以⊙错误. 故答案为⊙⊙. 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系. 19.(1)1212,12.x x(2)1240,3x x ==-【解析】 【分析】(1)先把常数项移到方程的右边,再在方程两边都加上1,利用配方法解方程即可; (2)先提取公因式,x 再利用因式分解的方法解方程即可. (1)解:2210,x x --= 221,x x2212,x x 212,x 12,x1211x x ∴==(2)解:2340x x +=,340,x x0x ∴=或3+4=0,x解得:1240,.3x x 【点睛】本题考查的是配方法,因式分解法解一元二次方程,掌握“配方法与因式分解法解一元二次方程的步骤”是解本题的关键. 20.(1)k <52(2)2【解析】 【分析】(1)根据方程有两个不相等的实数根,得到根的判别式的值大于0列出关于k 的不等式,求出不等式的解集即可得到k 的范围.(2)找出k 范围中的整数解确定出k 的值,经检验即可得到满足题意k 的值. 【详解】解:(1)⊙关于x 的一元二次方程22240x x k ++-=有两个不相等的实数根, ⊙224(24)2080k k ∆=--=->. 解得:k <52.(2)⊙k 为k <52的正整数,⊙k=1或2.当k=1时,方程为2220x x +-=,两根为1x ==-± 当k=2时,方程为220x x +=,两根为0x =或2x =-,都是整数,符合题意. ⊙k 的值为2.21.(1)该抛物线与x 轴的交点坐标为(1,0),(3,0),与y 轴的交点坐标为(0,3); (2)图象见详解; (3)当1<x <3时,y <0; (4)k <-1;(5)当0<x<3时,-1≤y<3.【解析】【分析】(1)分别令y=0和x=0,即可求得该抛物线与坐标轴的交点坐标;(2)先列表,再描点连线即可;(3)观察图象即可得出结论;(4)先求出顶点坐标,即可得出答案;(5)分别求出当0<x<3时,函数的最大值和最小值,即可得出答案.(1)解:在y=x2-4x+3中,令y=0,得x2-4x+3=0,解得:x1=1,x2=3,令x=0,得y=3,⊙该抛物线与x轴的交点坐标为(1,0),(3,0),与y轴的交点坐标为(0,3);(2)列表:描点、连线:(3)观察图象,可知:当1<x<3时,抛物线位于x轴下方,⊙当1<x<3时,y<0;(4)⊙y=x2-4x+3=(x-2)2-1,⊙抛物线的顶点坐标为(2,-1),且开口向上,⊙直线y=k与抛物线没有交点,⊙k<-1;(5)⊙抛物线的顶点坐标为(2,-1),且开口向上,⊙当0<x<3时,该函数的最小值为-1,⊙当x=0时,y=3,当x=3时,y=0,⊙当0<x<3时,-1≤y<3.【点睛】本题考查了二次函数图象和性质,抛物线与坐标轴的交点,直线与抛物线的交点情况等;解题的关键是作出函数图象并利用图象回答问题.22.(1)2;(2)【解析】【分析】(1)求出CD,即可得出答案;(2)求出OA、OE,根据勾股定理求出AE,根据垂径定理求出AB=2AE,即可求出答案.【详解】解:(1)⊙CE=1,ED=3,⊙CD=CE+DE=4,⊙⊙O的半径为2;(2)⊙直径CD⊙AB,⊙AB=2AE,⊙OEA=90°,连接OA ,则OA=OC=2,OE=OC-CE=2-1=1,在Rt △OEA 中,由勾股定理得:=【点睛】本题考查了勾股定理,垂径定理的应用,能根据垂径定理求出AB=2AE 是解此题的关键. 23.(1)证明见解析;(2)3 【解析】 【分析】(1)由OB OC =,利用等边对等角得到BCO B ∠=∠,再由同弧所对的圆周角相等得到B D ∠=∠,等量代换即可得证;(2)由弦CD 与直径AB 垂直,利用垂径定理得到E 为CD 的中点,求出CE 的长,在直角三角形OCE 中,设圆的半径OC r =,OE OA AE =-,表示出OE ,利用勾股定理列出关于r 的方程,求出方程的解即可得到圆的半径r 的值.【详解】 解:(1)OC OB =,BCO B ∴∠=∠.B D ∠=∠,BCO D ∴∠=∠;(2)AB 是O 的直径,且CD AB ⊥于点E ,1122CE CD ∴==⨯在Rt OCE 中,222OC CE OE =+,设O 的半径为r ,则OC r =,2OE OA AE r =-=-,222(2)r r ∴=+-,解得:3r=,O∴的半径为3.【点睛】此题考查了垂径定理,勾股定理,以及同弧所对的圆周角相等,熟练掌握定理是解本题的关键.24.(1)y=﹣425(x﹣5)2+5(0≤x≤10);(2)5米【解析】【分析】(1)由图形可知这是一条抛物线,根据图形也可以知道抛物线的顶点坐标为(5,5),与y轴交点坐标是(0,1),设出抛物线的解析式将两点代入可得抛物线方程;(2)第二题中要求灯的距离,只需要把纵坐标为4代入,求出x,然后两者相减,就是他们的距离.【详解】解:(1)抛物线的顶点坐标为(5,5),与y轴交点坐标是(0,1)设抛物线的解析式是y=a(x﹣5)2+5把(0,1)代入y=a(x﹣5)2+5得a=﹣4 25⊙y=﹣425(x﹣5)2+5(0≤x≤10);(2)由已知得两景观灯的纵坐标都是4⊙4=﹣425(x﹣5)2+5⊙425(x﹣5)2=1⊙x1=152,x2=52⊙两景观灯间的距离为152﹣52=5米.【点睛】本题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程与二次函数的关系,从图象中可以看出的坐标是解题的关键.25.(1)(-1,-1);(2)⊙整点有5个.⊙19m<≤14.【解析】【分析】(1)可先求抛物线1C 的顶点坐标,然后找到该店关于x 轴对称的点的坐标即为抛物线2C 的顶点坐标.(2)⊙ 先求出当1m =时,抛物线1C 和2C 的解析式并画在同一个直角坐标系中即可确定整点的个数;⊙结合整点的个数,确定抛物线与x 轴的一个交点的横坐标的取值范围,从而代入抛物线解析式中确定m 的取值范围.【详解】(1)⊙2221(1)1y mx mx m m x =++-=--⊙1C 的顶点坐标为(1,1)-⊙抛物线1C :221y mx mx m =++-沿x 轴翻折得到抛物线2C .⊙2C 的顶点坐标为(1-,1)(2)⊙当1m =时,21:2C y x x =+,22:2C y x x =--.根据图象可知,1C 和2C 围成的区域内(包括边界)整点有5个.⊙抛物线在1C 和2C 围成的区域内 (包括边界) 恰有7个整点,结合函数图象,可得抛物线与x 轴的一个交点的横坐标的取值范围为 1≤2x <.将(1,0)代入221y mx mx m =++-,得到 14m =, 将(2,0)代入221y mx mx m =++-,得到 19m =,结合图象可得19m<≤14.【点睛】本题主要考查二次函数,掌握二次函数的图象和性质及整点的定义是解题的关键.26.(1)⊙画图见解析;⊙45 ;⊙AC+CE CM,证明见解析;(2)AC﹣CE CM,证明见解析【解析】【分析】(1)⊙根据题意直接画出图形;⊙先判断出⊙FMA=⊙CME,再判断出FM=MC,进而判断出⊙F AM⊙⊙CME(SAS),即可得出结论;⊙由⊙F AM⊙⊙CME,可得AF=CE,FM=CM,⊙FMA=⊙CME,证明⊙CMF是等腰直角三角形,从而可得结论;(2)先判断出⊙FMA=⊙CME,再判断出FM=MC,判断出⊙F AM⊙⊙CEM(SAS),进而得出AF=CE,最后用勾股定理即可得出结论.(1)解:(1)⊙补全图形如图1:⊙解:如图2,过点M作BC边的垂线交CA延长线于点F,⊙⊙FMC=90°,⊙⊙FMA+⊙AMC=90°,⊙将线段AM绕点M顺时针旋转90°,得到线段ME,⊙⊙AME=90°,⊙⊙CME+⊙AMC=90°,⊙⊙FMA=⊙CME,=∠=︒,90,AB AC BAC∴∠=∠=︒ABC ACB45,在Rt⊙FMC中,⊙FCM=45°,⊙⊙F=⊙FCM=45°,⊙FM=MC,在⊙FMA和⊙CME中,FM MCFMA CME,AM ME⊙⊙F AM⊙⊙CEM(SAS),⊙⊙MCE=⊙F=45°;⊙线段AC、CE、CM之间的数量关系为:AC+CE;理由:⊙⊙F AM⊙⊙CEM,⊙AF=CE,FM=CM,⊙FMA=⊙CME,⊙⊙FMC=⊙AME=90°,⊙⊙CMF是等腰直角三角形,⊙CF=AF+AC=CE+AC CM;(2)AC﹣CE,理由:如图3,过点M作BC边的垂线交CA延长线于点F,⊙⊙FMC=90°,⊙⊙FME+⊙EMC=90°,⊙将线段AM 绕点M 顺时针旋转90°,得到线段ME ,⊙⊙AME =90°,⊙⊙FME +⊙AMF =90°,⊙⊙FMA =⊙CME ,在Rt ⊙FMC 中,⊙FCM =45°,⊙⊙CFM =⊙FCM =45°,⊙FM =MC ,在⊙FMA 和⊙CME 中,FMMC FMACME AM ME , ⊙⊙F AM ⊙⊙CEM (SAS ),⊙AF =CE ,在Rt ⊙CMF 中,CF ,⊙AC﹣CE =AC ﹣AF =CF .故答案为:AC ﹣CE .【点睛】本题是几何变换综合题,主要考查了旋转的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,等腰直角三角形的判定和性质,构造全等三角形是解本题的关键.27.(1)A 1,A 3;(2)点B 的横坐标t 的取值范围是0≤t ≤1;(3)1522b ≤≤或32b -≤< 【解析】【分析】(1)根据“直径所对的圆周角是直角”可知线段MN 的可视点在以MN 为直径的圆的外部或圆上,根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”可知线段MN 的可视点在以E 为圆心,EM 长为半径的⊙E 的内部或⊙E 上,根据坐标可以判断哪些点符合要求. (2)点B 既要在直线y =x +12上,又要⊙E 的内部或圆上,且在⊙G 的外部或圆上,故应该在直线y =x +12与⊙G 、⊙E 的交点E 、F 为端点的线段上,求出E 、F 的横坐标即可. (3)分b <0,b >0两种情况进行讨论.【详解】解:(1)如图1,以MN 为直径的半圆交y 轴于点E ,以E 为圆心,EM 长为半径的⊙E 交y 轴于点F ,⊙MN 是⊙G 的直径,⊙⊙MA 1N =90°,⊙M (﹣1,12-),N (1,12-) ⊙MN ⊙EG ,EG =1,MN =2⊙EM =EF =⊙⊙MFN 12=⊙MEN =45°, ⊙45°≤⊙MPN ≤90°,⊙点P 应落在⊙E 内部,且落在⊙G 外部⊙线段MN 的可视点为A 1,A 3;故答案为A 1,A 3;(2)如图,以(0,12-)为圆心,1为半径作圆,以(0,12为半径作圆,两圆在直线MN 上方的部分与直线12y x =+分别交于点E ,F . 过点F 作FH ⊙x 轴,过点E 作EH ⊙FH 于点H ,⊙FH⊙x轴,⊙FH⊙y轴,⊙⊙EFH=⊙MEG=45°,⊙⊙EHF=90°,EF=⊙EH=FH=1,⊙E(0,12),F(1,32).只有当点B在线段EF上时,满足45°≤⊙MBN≤90°,点B是线段MN的可视点.⊙点B的横坐标t的取值范围是0≤t≤1.(3)如图,⊙G与x轴交于H,与y轴交于E,连接GH,OG12=,GH=1,⊙OH===⊙H0).E(0,12)当直线y=x+b(b≠0)与x轴交于点C,与y轴交于点D,若线段CD上存在线段MN的可视点,⊙直线y=x+b与y轴交点在y负半轴上将H0)代入y=x+b b=0,解得b1=,将N(1,12-)代入y=x+b得1+b12=-,解得b232=-⊙32-<b≤⊙直线y=x+b与y轴交点在y正半轴上将E(0,12)代入得b12=,当直线y=x+b与⊙E相切于T时交y轴于Q,连接ET,则ET⊙TQ,⊙⊙EQT=45°,⊙TQ=ET=EM=⊙EQ==2⊙OQ=OE+EQ12=+252=⊙15 22b≤≤综上所述:1522b≤≤或32b-≤<【点睛】本题是一次函数综合题,考查了一次函数图象上点的坐标特征,圆周角、圆心角的性质,解题关键要将可视点转化为圆内点、圆上点、圆外点分别对弦的视角问题.。
2021-2022学年河南省平顶山四十一中九年级(上)期中数学试卷(附详解)
2021-2022学年河南省平顶山四十一中九年级(上)期中数学试卷一、选择题(本大题共10小题,共30.0分)1.方程x(x+3)=0的根是()A. x=0B. x=−3C. x1=0,x2=3D. x1=0,x2=−32.下列命题中正确的是()A. 有一组邻边相等的四边形是菱形B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形C. 对角线垂直的平行四边形是正方形D. 一组对边平行的四边形是平行四边形3.如图是一次数学活动课制作的一个转盘,盘面被等分成四个扇形区域,并分别标有数字−1,0,1,2.若转动转盘两次,每次转盘停止后记录指针所指区域的数字(当指针恰好指在分界线上时,不记,重转),则记录的两个数字都是正数的概率为()A. 18B. 16C. 14D. 124.如图,过反比例函数y=kx(x>0)的图象上一点P作PA⊥x轴于点A,连接OP,若△POA的面积为2,则k的值为()A. 2B. 3C. 4D. 55.如图,下列条件能判定△ADB∽△ABC的是()A. ∠ABD=∠CBDB. ADAB =DBBCC. AB2=AD⋅ACD. ABBC =DADC6.方程2x2−8x−1=0的解的情况是()A. 有两个不相等的实数根B. 没有实数根C. 有两个相等的实数根D. 有一个实数根7.如图,在直角坐标系中,△OAB的顶点为O(0,0),A(6,3),B(6,6),以点O为位似中心,在第一象限内作与△OAB的位似比为13的位似图形△OCD,则点C的坐标为()A. (1,2)B. (2,1)C. (2,2)D. (3,6)8.若点A(−6,y1),B(−2,y2),C(3,y3)在反比例函数y=a2+1x(a为常数)的图象上,则y1,y2,y3大小关系为()A. y1>y2>y3B. y2>y3>y1C. y3>y2>y1D. y3>y1>y29.如图,在四边形ABCD中,AD//BC,∠D=90°,AD=4,BC=3.分别以点A,C为圆心,大于12AC长为半径作弧,两弧交于点E,作射线BE交AD于点F,交AC于点O.若点O是AC的中点,则CD的长为()A. 2√2B. 4C. 3D. √1010.如图,在平面直角坐标系中,边长为1的正方形OA1B1C的对角线A1C和OB1交于点M1;以M1A1为对角线作第二个正方形A2A1B2M1,对角线A1M1和A2B2交于点M2;以M2A1为对角线作第三个正方形A3A1B3M2,对角线A1M2和A3B3交于点M3;…,依此类推,这样作第n个正方形的面积为()A. 12n−1B. 12nC. 14n−1D. 14n二、填空题(本大题共5小题,共15.0分)11.一元二次方程ax2+x−2=0有一个根为1,则a=______ .12.如图,点D,E分别是△ABC两边AB,AC上的点,DE//BC,若DEBC =35,AC=5,则EC=______ .13.已知平行四边形ABCD中,A(−9,0)、B(−3,0),C(0,4),反比例函数y=kx是经过线段CD的中点,则反比例函数解析式为______.14.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,边BC在x轴上,AC=9,AB=15,D、E两点分别在边AC和y轴的正半轴上,现将边长为2的正方形OCDE沿x轴向右平移,当点D落在AB边上时,则正方形OCDE移动的距离为______.15.如图,已知AD//BC,AB⊥BC,AB=6,点E为射线BC上一个动点,连接AE,将△ABE沿AE折叠,点B落在点B′处,过点B′作AD的垂线,分别交AD,BC于点M,N.当点B′为线段MN的三等分点时,BE的长为______.三、解答题(本大题共8小题,共64.0分)16.解方程(1)x2−5x−6=0;(2)4x2−8x+1=0(用配方法解).17.如图,AD是△ABC的角平分线,过点D分别作AC和AB的平行线,交AB于E,交AC于F,求证:四边形AEDF是菱形.18.已知关于x的一元二次方程x2+(2m−1)x+m2−3=0有实数根.(1)求实数m的取值范围;(2)当m取满足条件的最大整数时,求方程的解.19.如图,小明为了测量高楼MN的高度,在离点N18米的点A处放了一个平面镜,小明沿NA方向后退1.5米到点C,此时从镜子中恰好看到楼顶的点M,已知小明的眼睛(点B)到地面的高度BC是1.6米,则高楼MN的高度是多少?20.某种服装,平均每天销售20件,每件盈利32元,在每件降价幅度不超过10元的情况下,若每件降价1元,则每天可多售出5件,如果每天要盈利900元,每件应降价多少元?21.如图,在△ABC中,AB=8cm,BC=16cm,动点P从点A开始沿AB边运动,速度为2cm/s;动点Q从点B开始沿BC边运动,速度为4cm/s;如果P、Q两动点同时运动,那么何时△QBP与△ABC相似?22.有这样一个问题:探究函数y=6的图象与性质.小东根据学习函数的经验,对x−1函数y=6的图象与性质进行了探究.x−1下面是小东的探究过程,请补充完整:(1)函数y=6的自变量x的取值范围是______;x−1x…−5−4−3−2−1−0.500.2 1.82 2.534n67…y…−1m−1.5−2−3−4−6−7.57.56432 1.5 1.21…(2)列表:求出表中m的值为______.n的值为______.描点:根据表中各组对应值(x,y),在平面直角坐标系中描出了各点;连线:用平滑的曲线顺次连接各点,画出了部分图象,请你把图象补充完整;(3)观察发现:结合函数的图象,写出该函数的两条性质:①______.②______.23.(1)发现问题:如图1,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,点F为BC上一点,以BF为边作正=______;方形BFED,点E在AB上,若AC=BC=2,BF=√2,则AECF(2)类比探究:如图2,在(1)的条件下,将正方形BFED绕点B旋转,连接AE,BE,CF,求AE的值;CF(3)拓展延伸:在(2)的条件下,当A,E,F三点共线时,直接写出线段CF的长.答案和解析1.【答案】D【解析】解:∵x(x+3)=0,∴x=0,或x+3=0,解得x=0或x=−3.故选:D.利用因式分解法解方程.本题考查了解一元二次方程--因式分解法.对于一元二次方程的解法的选择,应该根据不同方程的特点选择不同的解方程的方法.2.【答案】B【解析】解:A、一组邻边相等的平行四边形是菱形,故选项错误;B、正确;C、对角线垂直的平行四边形是菱形,故选项错误;D、两组对边平行的四边形才是平行四边形,故选项错误.故选:B.利用特殊四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项.本题考查了命题与定理的知识,解题的关键是牢记特殊的四边形的判定定理,难度不大,属于基础题.3.【答案】C【解析】【分析】此题考查的是用树状图法求概率,属于基础题.首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有可能的结果与两个数字都是正数的情况数,再利用概率公式求解即可求得答案.【解答】解:画树状图得:∵共有16种等可能的结果,两个数字都是正数的有4种情况,∴两个数字都是正数的概率是:416=14.故选:C.4.【答案】C【解析】解:∵PA⊥x轴于点A,∴△OPA是直角三角形,∵S△OPA=2,∴|k|2=2,∴k=4,故选:C.由反比例函数的比例系数k的几何意义求k.本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义,S△OPA=|k|2,只要学会套用公式即可.5.【答案】C【解析】解:∵AB2=AD⋅AC,∴ABAD =ACAB,∵∠A=∠A,∴△ADB∽△ABC,故选:C.根据相似三角形的判定方法一一判断即可.本题考查相似三角形的判定,解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法,属于中考常考题型.6.【答案】A【解析】解:依题意,得△=b2−4ac=64−4×2×(−1)=72>0,所以方程有两不相等的实数根.故选:A.根据根的判别式的值与零的大小关系即可判断.本题主要考查了根的判别式的知识,解答本题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系:△>0⇔方程有两个不相等的实数根.7.【答案】B【解析】解:∵以点O为位似中心,在第一象限内作与△OAB的位似比为13的位似图形△OCD,A(6,3),∴点C的坐标为(6×13,3×13),即(2,1),故选:B.根据位似变换的性质计算,得到答案.本题考查的是位似变换的性质,在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k.8.【答案】D【解析】【分析】先判断出反比例函数图象在第一三象限,再根据反比例函数的性质,在每一个象限内,y随x的增大而减小判断.本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,熟记反比例函数的增减性是解题的关键.【解答】解:∵a2≥0,∴a2+1≥1,∴反比例函数y=a2+1x(a为常数)的图象位于第一三象限,∵−6<−2,∴0>y1>y2,∵3>0,∴y3>0,∴y3>y1>y2.故选:D.9.【答案】A【解析】【分析】本题考查了作图−基本作图,勾股定理,线段垂直平分线的判定与性质,全等三角形的判定与性质,难度适中.求出CF与DF是解题的关键.连接FC,根据基本作图,可得OE垂直平分AC,由垂直平分线的性质得出AF=FC.再根据ASA证明△FOA≌△BOC,那么AF=BC=3,等量代换得到FC=AF=3,利用线段的和差关系求出FD=AD−AF=1.然后在直角△FDC中利用勾股定理求出CD的长.【解答】解:如图,连接FC,则AF=FC.∵AD//BC,∴∠FAO=∠BCO.在△FOA与△BOC中,{∠FAO=∠BCO OA=OC∠AOF=∠COB,∴△FOA≌△BOC(ASA),∴AF=BC=3,∴FC=AF=3,FD=AD−AF=4−3=1.在△FDC中,∵∠D=90°,∴CD2+DF2=FC2,∴CD2+12=32,∴CD=2√2.故选:A.10.【答案】C【解析】解:∵正方形OA1B1C的边长为1,对角线A1C和OB1交于点M1,∴第一个正方形的面积为1,点M1(12,12 ),则第二个正方形的面积为14;∵以A 1M 1为对角线作第二个正方形A 2A 1B 2M 1,对角线A 1M 1和A 2B 2交于点M 2, ∴点M 2(34,14),则第三个正方形的面积为(1−34)2=116=142;∵以A 1M 2为对角线作第三个正方形A 3A 1B 3M 2,对角线A 1M 2和A 3B 3交于点M 3, ∴M 3(78,18),则第四个正方形的面积为(1−78)2=164=143,……所以第n 个正方形的面积为14n−1,故选:C .根据正方形的性质找出M 1、M 2、M 3的坐标,据此求得前四个正方形的面积,从而得到面积的变化规律,从而得解.本题考查了规律型中点的坐标以及正方形的性质,解题的关键是掌握正方形的性质.11.【答案】1【解析】解:∵一元二次方程ax 2+x −2=0的一个根为1,∴x =1满足关于x 的一元二次方程ax 2+x −2=0,∴a +1−2=0,解得,a =1;故答案是:1.根据一元二次方程的解的定义,将x =1代入关于x 的一元二次方程ax 2+2x =0,列出关于a 的方程,通过解该方程求得a 值即可.本题考查了一元二次方程的解.一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的解均满足该方程的解析式.12.【答案】2【解析】解:∵DE//BC ,∴△ADE∽△ABC ,∴AEAC =DEBC=35,∴AE=35AC=35×5=3,∴CE=AC−AE=5−3=2.故答案为2.证明ADE∽△ABC,则利用相似比得到AE=35AC=3,然后计算AC−AE即可.本题考查了相似三角形的判定与性质:在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用,寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形;在运用相似三角形的性质时,主要是运用相似比进行几何计算.13.【答案】y=−12x【解析】解:如图:∵A(−9,0)、B(−3,0)、C(0,4),∴AB=6,BC=5,∵反比例函数为y=kx,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB//CD,∴D(−6,4),∴CD的中点为(−3,4),∴k=−12,∴y=−12x;∴反比例函数的解析式为y=−12x;故答案为y=−12x.因为四边形ABCD时平行四边形,所以CD的中点为(−3,4),由中点坐标可求反比例函数的解析式.本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式与平行四边形的性质;熟练掌握平行四边形的性质,会用待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键.14.【答案】283【解析】解:如图,设正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形,∵AC=9,AB=15,∴BC=√AB2−AC2=√152−92=12,∵正方形OCDE边长为2,∴顶点A,B的坐标分别为(−2,9)和(10,0),∵四边形OCDE是正方形,∴DE=OC=OE=2,∴O′E′=O′C′=2,∵E′O′⊥BC,∴∠BO′E′=∠BCA=90°,∴E′O′//AC,∴△BC′D′∽△BCA,∴D′C′AC =BC′BC,∴29=BC′12,∴BC′=83,∴OC′=OB−BC′=10−83=223,∴DD′=OC′+OC=223+2=283.∴当点D落在AB边上时,点D的坐标为(223,2),∴正方形OCDE移动的距离为283.故答案为:283.根据已知条件得到BC=12,可得顶点A,B的坐标分别为(−2,9)和(10,0),根据正方形的性质得到DE=OC=OE=2,求得O′E′=O′C′=2,根据相似三角形的性质得到BC′=83,于是得到结论.本题考查了相似三角形的判定和性质,正方形的性质,坐标与图形性质,正确的识别图形是解题的关键.15.【答案】6√55或3√2【解析】解:由翻折的性质,得:AB=AB′,BE=B′E,∠AB′E=∠ABE=90°,∴∠AB′M=90°−∠EB′N=∠B′EN,又∠AMB′=∠B′NE=90°,∴△B′EN∽△AB′M,①当MB′=4,B′N=2时,设EN=x,则B′E=√x2+4,∵△B′EN∽△AB′M,∴ENB′M =B′EAB′,即x4=√x2+46,∴x2=165,∴BE=B′E=√165+4=6√55;②当MB′=2,B′N=4时,设EN=x,则B′E=√x2+16,∵△B′EN∽△AB′M,∴ENB′M =B′EAB′,即x2=√x2+166,解得x2=2,∴BE=B′E=√2+16=3√2,故答案为:6√55或3√2.由点B′为线段MN的三等分点,分两种情况,分别先根据勾股定理求出EB′,再由相似三角形的性质,求出EN的长,即可得答案.本题考查了翻折的性质,相似三角形的性质及勾股定理等,解题的关键是分类讨论,利用相似三角形对应边成比例列式解决问题.16.【答案】解:(1)x2−5x−6=0,因式分解,得(x−6)(x+1)=0,于是,得x−6=0或x+1=0,解得x 1=6,x 2=−1;(2)4x 2−8x +1=0,整理得:x 2−2x =−14, 配方得:x 2−2x +1=−14+1,即(x −1)2=34,开方得:x −1=±√32, 解得:x 1=1+√32,x 2=1−√32.【解析】(1)利用因式分解法可得方程的解;(2)利用配方法可得答案.本题考查了解一元二次方程−因式分解法和配方法,熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.17.【答案】证明:∵AD 是△ABC 的角平分线,∴∠EAD =∠FAD ,∵DE//AC ,DF//AB ,∴四边形AEDF 是平行四边形,∠EAD =∠ADF ,∴∠FAD =∠FDA∴AF =DF ,∴四边形AEDF 是菱形.【解析】由已知易得四边形AEDF 是平行四边形,由角平分线和平行线的定义可得∠FAD =∠FDA ,∴AF =DF ,∴四边形AEDF 是菱形;本题考查角平分线的定义,等腰三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.18.【答案】解:(1)∵方程有实数根,∴△=(2m −1)2−4(m 2−3)=13−4m ≥0∴m ≤134;(2)∵m 取最大的整数,∴m =3,∴一元二次方程为x2+5x+6=0,∴方程的解为:x1=−2,x2=−3.【解析】(1)利用根的判别式的意义得到△=(2m−1)2−4×(m2−3)≥0,然后解不等式即可;(2)先确定m的最大整数为3,则方程化为x2+5x+6=0,然后解方程即可求解.本题考查了根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系:当△>0时,方程有两个不相等的实数根;当△=0时,方程有两个相等的实数根;当△<0时,方程无实数根.19.【答案】解:∵BC⊥CA,MN⊥AN,∴∠C=∠MNA=90°,∵∠BAC=∠MAN,∴△BCA∽△MNA,∴BCMN =ACAN,即1.6MN =1.518,∴MN=19.2,∴高楼MN的高度是19.2米.【解析】利用△BCA∽△MNA,根据对应边成比例即可解答.本题主要考查了相似三角形的实际应用,利用相似三角形的性质是解题的关键.20.【答案】解:设每件应降价x元,根据题意,得:(32−x)(20+5x)=900解方程得x=2或x=26,∵在降价幅度不超过10元的情况下,∴x=26不合题意舍去,答:每件服装应降价2元.【解析】设每件应降价x元,根据每件服装的盈利×(原来的销售量+增加的销售量)= 900,列出方程,求出x的值,再为了减少库存,计算得到降价多的数量即可得出答案.此题主要考查了一元二次方程的应用,解题的关键是根据每天盈利得到相应的等量关系,列出方程.得到现在的销售量是解决本题的难点.21.【答案】解:设经过t秒时,以△QBC与△ABC相似,则AP=2t,BP=8−2t,BQ=4t,∵∠PBQ=∠ABC,∴当BPBA =BQBC时,△BPQ∽△BAC,即8−2t8=4t16,解得t=2(s);当BPBC =BQBA时,△BPQ∽△BCA,即8−2t16=4t8,解得t=0.8(s);即经过2秒或0.8秒时,△QBC与△ABC相似.【解析】设经过t秒时,以△QBC与△ABC相似,则AP=2t,BP=8−2t,BQ=4t,利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论:BPBA =BQBC时,△BPQ∽△BAC,即8−2t8=4t16;当BPBC=BQBA时,△BPQ∽△BCA,即8−2t16=4t8,然后方程解方程即可.本题考查了相似三角形的判定:两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似.利用时间表示相应线段长和利用相似比列方程是解决此题的关键.22.【答案】x≠125图象是中心对称图形,对称中心的坐标是(12,12)当x>1时,y随x的增大而减小【解析】解:(1)由题意得:x−1≠0,解得:x≠1,故答案为:x≠1;(2)当x=4时,m=64−1=2,当y=1.5时,则1.5=6n−1,解得n=5,描点、连线画出函数图象如图,故答案为:2,5;(3)观察函数图象发现:①该图象是中心对称图形,对称中心的坐标是(12,12 ),②当x>1时,y随x的增大而减小.故答案为:图象是中心对称图形,对称中心的坐标是(12,12);当x>1时,y随x的增大而减小.(1)根据分母不为0即可得出关于x的不等式,解之即可求解;(2)将x=4代入函数解析式即可求出m的值,将y=1.5代入函数解析式即可求出n的值;然后用平滑曲线连线即可画出函数图象;(3)观察函数图象,得出即可.本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,函数自变量取值范围及反比例函数的性质,解题关键是理解题意,学会利用图象法解决问题.23.【答案】√2【解析】解:(1)如图1,Rt△ABC中,AC=BC=2,∠C=90°,∴AB=2√2,∵四边形BFED是正方形,∴∠BFE=90°,BF=EF=√2,∴BE=2,∴AE=2√2−2,CF=2−√2,∴AECF =2√2−22−√2=√2;故答案为:√2;(2)如图2,由旋转得:∠CBF=∠ABE,∵△ABC是等腰直角三角形,∴ABBC=√2,∵四边形BFED是正方形,∴BEBF=√2,∴ABBC =BEBF,∴△ABE∽△CBF,∴AECF =ABBC=√2;(3)分两种情况:①如图3,A,E,F三点共线,Rt△AFB中,AB=2√2,BF=√2,∴AF=√AB2−BF2=√(2√2)2−(√2)2=√6,∴AE=√6−√2,由(2)知:△ABE∽△CBF,∴AECF=√2,∴CF=√6−√2√2=√3−1;②如图4,A,E,F三点共线,∴∠AFB=∠BFE=90°,∴AF=√AB2−BF2=√6,∴AE=AF+EF=√6+√2,同理得:CF=√2=√6+√2√2=√3+1;综上,CF的长为√3−1或√3+1.(1)根据等腰直角三角形斜边和直角边的关系分别计算AE和CF的长,代入计算比值即可;(2)证明△ABE∽△CBF,根据相似比可得结论;(3)分两种情况:如图3和图4,分别根据勾股定理计算BF的长,可得AE的长,根据(2)中AECF=√2可得结论.本题是四边形的综合题,考查了旋转的性质:旋转前后两图形全等;对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角.也考查了等腰直角三角形的性质和正方形的性质.第21页,共21页。
2017-2018年广东省广州四十一中九年级(上)期中数学试卷和答案
2017-2018学年广东省广州四十一中九年级(上)期中数学试卷一、选择题(每题3分,共30分)1.(3分)方程x2﹣6x+1=0经过配方后,其结果正确的是()A.(x﹣3)2=8 B.(x+3)2=35 C.(x﹣3)2=35 D.(x+3)2=82.(3分)在下列四个图案中,既是轴对称图形,又是中心对称图形是()A.B.C.D.3.(3分)方程2x2﹣6x=9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为()A.6,2,9 B.2,﹣6,9 C.2,﹣6,﹣9 D.﹣2,6,94.(3分)如图,CD是⊙O的直径且CD=4,CD⊥AB于点E,∠A=30°,则弦AB 的长为()A.1 B.2 C.D.5.(3分)若y=(2﹣m)x是二次函数,且开口向上,则m的值为()A.3 B.﹣1 C.±3 D.46.(3分)在某次聚会上,每两人都握了一次手,所有人共握手10次,设有x 人参加这次聚会,则列出方程正确的是()A.x(x﹣1)=10 B.=10 C.x(x+1)=10 D.=107.(3分)某型号的手机连续两次降价,每个售价由原来的1185元降到了580元,设平均每次降价的百分率为x,列出方程正确的是()A.580(1+x)2=1185 B.1185(1+x)2=580 C.580(1﹣x)2=1185 D.1185(1﹣x)2=5808.(3分)在如图4×4的正方形网格中,△MNP绕某点旋转一定的角度,得到△M1N1P1,则其旋转中心可能是()A.点A B.点B C.点C D.点D9.(3分)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,若点A(1,y1)、B(2,y2)是它图象上的两点,则y1与y2的大小关系是()A.y1<y2B.y1=y2C.y1>y2D.不能确定10.(3分)已知二次函数的图象y=ax2+bx+c(0≤x≤3)如图.关于该函数在所给自变量取值范围内,下列说法正确的是()A.有最小值0,有最大值3 B.有最小值﹣1,有最大值0C.有最小值﹣1,有最大值3 D.有最小值﹣1,无最大值二、填空题(每题3分,共18分)11.(3分)如图,点A、B、C在⊙O上,AO∥BC,∠AOB=50°,则∠OAC的度数是度.12.(3分)如图,点D在以AC为直径的⊙O上,如果∠BDC=20°,那么∠ACB=度.13.(3分)如图,已知正方形ABCD的边长为3,E为CD边上一点,DE=1.以点A为中心,把△ADE顺时针旋转90°,得△ABE′,连接EE′,则EE′的长等于.14.(3分)已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个相等的实数根,则k值为.15.(3分)如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点P在第一象限,⊙P与x轴交于O,A两点,点A的坐标为(6,0),⊙P的半径为,则点P 的坐标为.16.(3分)对于任意实数,规定的意义是=ad﹣bc.则当x2﹣3x+1=0时,=.三、解答题(共102分)17.(10分)解方程(1)x2﹣4x﹣5=0.(2)x(x﹣6)=2(x﹣8).18.(8分)如图,在正方形网络中,△ABC的三个顶点都在格点上,点A,B,C 的坐标分别为(﹣2,4)、(﹣2,0)、(﹣4,1),结合所给的平面直角坐标系解答下列问题:(1)画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1.(2)将△ABC绕原点O逆时针旋转90°得到△A2B2C2,画出旋转后的△A2B2C2并写出点B2,C2的坐标.19.(10分)(1)解方程:x2+4x﹣1=0(2)先化简,再求值:(﹣)÷,其中,a是方程x2+3x+1=0的根.20.(10分)如图,AB是⊙O的直径,∠BAC的平分线AQ交BC于点P,交⊙O 于点Q.已知AC=6,∠AQC=30度.(1)求AB的长;(2)求点P到AB的距离;(3)求PQ的长.21.(12分)如图所示,二次函数y=﹣x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A(3,0),另一个交点为B,且与y轴交于点C.(1)求m的值;(2)求点B的坐标;=S△ABC,求(3)该二次函数图象上有一点D(x,y)(其中x>0,y>0)使S△ABD点D的坐标.22.(12分)如图所示,隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成,矩形的长BC为3m,宽AB为2m,以BC所在的直线为x轴.线段BC的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系,y轴是抛物线的对称轴,顶点E到坐标原点O的距离为6m.(1)求抛物线的解析式.(2)一辆货运卡车高4.5m,宽2.4m,它能通过该隧道吗?(3)如果该隧道内设双行道,为了安全起见,在隧道正中间设有0.4m的隔离带,则该辆货运卡车还能通过隧道吗?23.(12分)某市政府大力扶持大学生创业,李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看作一次函数:y=﹣10x+500.(1)设李明每月获得利润为w(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?(2)如果李明想要每月获得2000元的利润,那么销售单价应定为多少元?(3)根据物价部门规定,这种护眼台灯的销售单价不得高于32元,如果李明想要每月获得的利润不低于2000元,那么他每月的成本最少需要多少元?(成本=进价×销售量)24.(14分)如图,Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A、B两点的坐标分别为(﹣3,0)、(0,4),抛物线y=+bx+c经过B点,且顶点在直线x=上.(1)求抛物线对应的函数关系式;(2)若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由;(3)在(2)的前提下,若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点,过点M作MN平行于y轴交CD于点N.设点M的横坐标为t,MN的长度为l.求l与t之间的函数关系式,并求l取最大值时,点M的坐标.25.(14分)已知关于x的二次函数y=x2+(2k﹣1)x+k2﹣1.(1)若关于x的一元二次方程x2+(2k﹣1)x+k2﹣1=0的两根的平方和等于9,求k的值,并在直角坐标系(如图)中画出函数y=x2+(2k﹣1)x+k2﹣1的大致图象;(2)在(1)的条件下,设这个二次函数的图象与x轴从左至右交于A、B两点.问函数对称轴右边的图象上,是否存在点M,使锐角△AMB的面积等于3.若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由;(3)在(1)、(2)条件下,若P点是二次函数图象上的点,且∠PAM=90°,求△APM的面积.2017-2018学年广东省广州四十一中九年级(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(每题3分,共30分)1.(3分)方程x2﹣6x+1=0经过配方后,其结果正确的是()A.(x﹣3)2=8 B.(x+3)2=35 C.(x﹣3)2=35 D.(x+3)2=8【解答】解:方程变形得:x2﹣6x=﹣1,配方得:x2﹣6x+9=8,即(x﹣3)2=8,故选:A.2.(3分)在下列四个图案中,既是轴对称图形,又是中心对称图形是()A.B.C.D.【解答】解:A、此图形沿一条直线对折后能够完全重合,∴此图形是轴对称图形,也是中心对称图形,故此选项正确;B、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合,∴此图形不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项错误.C、此图形沿一条直线对折后能够完全重合,∴此图形是轴对称图形,旋转180°不能与原图形重合,不是中心对称图形,故此选项错误;D、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合,∴此图形不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项错误.故选:A.3.(3分)方程2x2﹣6x=9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为()A.6,2,9 B.2,﹣6,9 C.2,﹣6,﹣9 D.﹣2,6,9【解答】解:∵方程2x2﹣6x=9化成一般形式是2x2﹣6x﹣9=0,∴二次项系数为2,一次项系数为﹣6,常数项为﹣9.故选:C.4.(3分)如图,CD是⊙O的直径且CD=4,CD⊥AB于点E,∠A=30°,则弦AB 的长为()A.1 B.2 C.D.【解答】解:∵直径CD⊥AB,∴AE=BE=AB,∠AEO=90°,OA=CD=2,∵∠A=30°,∴OE=OA=1,∴AE=OE=,∴AB=2AE=2;故选:C.5.(3分)若y=(2﹣m)x是二次函数,且开口向上,则m的值为()A.3 B.﹣1 C.±3 D.4【解答】解:根据题意得,m2﹣m=2,解得m1=﹣1,m2=2,∵开口向上,∴2﹣m>0,解得m<2,∴m=﹣1.故选:B.6.(3分)在某次聚会上,每两人都握了一次手,所有人共握手10次,设有x 人参加这次聚会,则列出方程正确的是()A.x(x﹣1)=10 B.=10 C.x(x+1)=10 D.=10【解答】解:设x人参加这次聚会,则每个人需握手:x﹣1(次);依题意,可列方程为:=10;故选:B.7.(3分)某型号的手机连续两次降价,每个售价由原来的1185元降到了580元,设平均每次降价的百分率为x,列出方程正确的是()A.580(1+x)2=1185 B.1185(1+x)2=580 C.580(1﹣x)2=1185 D.1185(1﹣x)2=580【解答】解:设平均每次降价的百分率为x,由题意得出方程为:1185(1﹣x)2=580.故选:D.8.(3分)在如图4×4的正方形网格中,△MNP绕某点旋转一定的角度,得到△M1N1P1,则其旋转中心可能是()A.点A B.点B C.点C D.点D【解答】解:∵△MNP绕某点旋转一定的角度,得到△M1N1P1,∴连接PP1、NN1、MM1,作PP1的垂直平分线过B、D、C,作NN1的垂直平分线过B、A,作MM1的垂直平分线过B,∴三条线段的垂直平分线正好都过B,即旋转中心是B.故选:B.9.(3分)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,若点A(1,y1)、B(2,y2)是它图象上的两点,则y1与y2的大小关系是()A.y1<y2B.y1=y2C.y1>y2D.不能确定【解答】解:从题中给出的图象可以看出,对称轴为直线x=﹣3,a<0,又点A、B位于对称轴右侧,y随x的增大而减小,则y1>y2.故选:C.10.(3分)已知二次函数的图象y=ax2+bx+c(0≤x≤3)如图.关于该函数在所给自变量取值范围内,下列说法正确的是()A.有最小值0,有最大值3 B.有最小值﹣1,有最大值0C.有最小值﹣1,有最大值3 D.有最小值﹣1,无最大值【解答】解:由图可知,0≤x≤3时,该二次函数x=1时,有最小值﹣1,x=3时,有最大值3.故选:C.二、填空题(每题3分,共18分)11.(3分)如图,点A、B、C在⊙O上,AO∥BC,∠AOB=50°,则∠OAC的度数是25度.【解答】解:∵AO∥BC,∴∠OAC=∠ACB.又∠AOB与∠ACB都是弧AB所对的角,∴∠ACB=∠AOB=25°,∴∠OAC的度数是25°.故答案为:25.12.(3分)如图,点D在以AC为直径的⊙O上,如果∠BDC=20°,那么∠ACB= 70度.【解答】解:∵∠BDC=20°,∴∠A=20°;∵AC为直径,∴∠ABC=90°;∴∠ACB=70°.13.(3分)如图,已知正方形ABCD的边长为3,E为CD边上一点,DE=1.以点A为中心,把△ADE顺时针旋转90°,得△ABE′,连接EE′,则EE′的长等于.【解答】解:根据旋转的性质得到:BE′=DE=1,在直角△EE′C中:EC=DC﹣DE=2,CE′=BC+BE′=4.根据勾股定理得到:EE′===2.14.(3分)已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个相等的实数根,则k值为3.【解答】解:根据题意得△=(﹣2)2﹣4k=0,解得k=3.故答案为:3.15.(3分)如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点P在第一象限,⊙P与x轴交于O,A两点,点A的坐标为(6,0),⊙P的半径为,则点P 的坐标为(3,2).【解答】解:过点P作PD⊥x轴于点D,连接OP,∵A(6,0),PD⊥OA,∴OD=OA=3,在Rt△OPD中,∵OP=,OD=3,∴PD===2,∴P(3,2).故答案为:(3,2).16.(3分)对于任意实数,规定的意义是=ad﹣bc.则当x2﹣3x+1=0时,=1.【解答】解:根据题意得:(x+1)(x﹣1)﹣3x(x﹣2)=x2﹣1﹣3x2+6x=﹣2x2+6x﹣1=﹣2(x2﹣3x)﹣1,∵x2﹣3x+1=0,∴x2﹣3x=﹣1,原式=﹣2×(﹣1)﹣1=1,故答案为:1.三、解答题(共102分)17.(10分)解方程(1)x2﹣4x﹣5=0.(2)x(x﹣6)=2(x﹣8).【解答】解:(1)∵x2﹣4x﹣5=0,∴(x+1)(x﹣5)=0,则x+1=0或x﹣5=0,解得:x=﹣1或x=5;(2)方程整理成一般式为x2﹣8x+16=0,则(x﹣4)2=0,∴x﹣4=0,则x1=x2=4.18.(8分)如图,在正方形网络中,△ABC的三个顶点都在格点上,点A,B,C 的坐标分别为(﹣2,4)、(﹣2,0)、(﹣4,1),结合所给的平面直角坐标系解答下列问题:(1)画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1.(2)将△ABC绕原点O逆时针旋转90°得到△A2B2C2,画出旋转后的△A2B2C2并写出点B2,C2的坐标.【解答】解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求;(2)如图所示,△A2B2C2即为所求,点B2的坐标为(0,﹣2),C2的坐标为(﹣1,﹣4).19.(10分)(1)解方程:x2+4x﹣1=0(2)先化简,再求值:(﹣)÷,其中,a是方程x2+3x+1=0的根.【解答】解:(1)∵x2+4x﹣1=0,∴x2+4x=1,则x2+4x+4=1+4,即(x+2)2=5,所以x+2=±,则方程的解为x=﹣2±;(2)原式=[+]÷=(+)•=•=,∵a是方程x2+3x+1=0的根,∴a2+3a+1=0,即a2+3a=﹣1,则原式=﹣.20.(10分)如图,AB是⊙O的直径,∠BAC的平分线AQ交BC于点P,交⊙O 于点Q.已知AC=6,∠AQC=30度.(1)求AB的长;(2)求点P到AB的距离;(3)求PQ的长.【解答】解:(1)因为AB是⊙O的直径,所以∠ACB=90度.又因为∠ABC=∠AQC=30°,AC=6,则AB=12.(2)由(1)可知∠BAC=60°,AO=6,由于AQ是∠BAC的平分线,所以∠CAQ=∠BAQ=30°,则有∠BAQ=∠ABC=30°,所以△APB是等腰三角形.连接PO,则PO就是点P到AB的距离.在Rt△AOP中,PO=AO•tan30°=2.故所求点P到AB的距离为2.(3)因为∠BCQ=∠BAQ=30°,∴∠AQC=∠BCQ,则PQ=CP,由于AP是∠BAC的平分线,∠ACP=∠AOP=90°,所以CP=PO=2,那么PQ=2.21.(12分)如图所示,二次函数y=﹣x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A(3,0),另一个交点为B,且与y轴交于点C.(1)求m的值;(2)求点B的坐标;(3)该二次函数图象上有一点D(x,y)(其中x>0,y>0)使S=S△ABC,求△ABD点D的坐标.【解答】解:(1)∵二次函数y=﹣x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A(3,0),∴﹣9+2×3+m=0,解得:m=3;(2)∵二次函数的解析式为:y=﹣x2+2x+3,∴当y=0时,﹣x2+2x+3=0,解得:x1=3,x2=﹣1,∴B(﹣1,0);(3)如图,连接BD、AD,过点D作DE⊥AB,∵当x=0时,y=3,∴C(0,3),若S=S△ABC,△ABD∵D(x,y)(其中x>0,y>0),则可得OC=DE=3,∴当y=3时,﹣x2+2x+3=3,解得:x=0或x=2,∴点D的坐标为(2,3).另法:点D与点C关于x=1对称,故D(2,3).22.(12分)如图所示,隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成,矩形的长BC为3m,宽AB为2m,以BC所在的直线为x轴.线段BC的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系,y轴是抛物线的对称轴,顶点E到坐标原点O的距离为6m.(1)求抛物线的解析式.(2)一辆货运卡车高4.5m,宽2.4m,它能通过该隧道吗?(3)如果该隧道内设双行道,为了安全起见,在隧道正中间设有0.4m的隔离带,则该辆货运卡车还能通过隧道吗?【解答】解:(1)根据题意,A(﹣,2),D(,2),E(0,6).设抛物线的解析式为y=ax2+6(a≠0),把A(﹣,2)或D(,2)代入得a+6=2.得a=﹣.抛物线的解析式为y=﹣x2+6.(2)根据题意,把x=±1.2代入解析式,得y==3.44.∵3.44<4.5,∴货运卡车不能通过.(3)根据题意,x=﹣0.2﹣2.4=﹣2.6或x=0.2+2.4=2.6,把x=±2.6代入解析式,得y≈﹣6.∵﹣6<4.5,∴货运卡车不能通过.23.(12分)某市政府大力扶持大学生创业,李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看作一次函数:y=﹣10x+500.(1)设李明每月获得利润为w(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?(2)如果李明想要每月获得2000元的利润,那么销售单价应定为多少元?(3)根据物价部门规定,这种护眼台灯的销售单价不得高于32元,如果李明想要每月获得的利润不低于2000元,那么他每月的成本最少需要多少元?(成本=进价×销售量)【解答】解:(1)由题意,得:w=(x﹣20)•y,=(x﹣20)•(﹣10x+500)=﹣10x2+700x﹣10000,,答:当销售单价定为35元时,每月可获得最大利润.(2)由题意,得:﹣10x2+700x﹣10000=2000,解这个方程得:x1=30,x2=40,答:李明想要每月获得2000元的利润,销售单价应定为30元或40元.(3)∵a=﹣10<0,∴抛物线开口向下,∴当30≤x≤40时,w≥2000,∵x≤32,∴当30≤x≤32时,w≥2000,设成本为P(元),由题意,得:P=20(﹣10x+500)=﹣200x+10000,∵a=﹣200<0,∴P随x的增大而减小,=3600,∴当x=32时,P最小答:想要每月获得的利润不低于2000元,每月的成本最少为3600元.24.(14分)如图,Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A、B两点的坐标分别为(﹣3,0)、(0,4),抛物线y=+bx+c经过B点,且顶点在直线x=上.(1)求抛物线对应的函数关系式;(2)若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由;(3)在(2)的前提下,若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点,过点M作MN平行于y轴交CD于点N.设点M的横坐标为t,MN的长度为l.求l与t之间的函数关系式,并求l取最大值时,点M的坐标.【解答】解:(1)∵抛物线y=+bx+c的顶点在直线x=上,∴可设所求抛物线对应的函数关系式为y=+m∵点B(0,4)在此抛物线上,∴4=×+m∴m=﹣∴所求函数关系式为:y=﹣=﹣x+4(2)在Rt△ABO中,OA=3,OB=4,∴AB==5∵四边形ABCD是菱形∴BC=CD=DA=AB=5∴C、D两点的坐标分别是(5,4)、(2,0);当x=5时,y=×52﹣×5+4=4当x=2时,y=×22﹣×2+4=0∴点C和点D在所求抛物线上;(3)设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b′,则;解得:;∴y=x﹣∵MN∥y轴,M点的横坐标为t,∴N点的横坐标也为t;则y M=﹣t+4,y N=t﹣,∴l=y N﹣y M=t﹣﹣(﹣t+4)=﹣+t﹣=﹣+∵﹣<0,=,y M=﹣t+4=.∴当t=时,l最大此时点M的坐标为(,).25.(14分)已知关于x的二次函数y=x2+(2k﹣1)x+k2﹣1.(1)若关于x的一元二次方程x2+(2k﹣1)x+k2﹣1=0的两根的平方和等于9,求k的值,并在直角坐标系(如图)中画出函数y=x2+(2k﹣1)x+k2﹣1的大致图象;(2)在(1)的条件下,设这个二次函数的图象与x轴从左至右交于A、B两点.问函数对称轴右边的图象上,是否存在点M,使锐角△AMB的面积等于3.若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由;(3)在(1)、(2)条件下,若P点是二次函数图象上的点,且∠PAM=90°,求△APM的面积.【解答】解:(1)∵所给一元二次方程有解,∴根的判别式△≥0,即(2k﹣1)2﹣4(k2﹣1)≥0,解得k≤;设方程的两个根分别为x1、x2,则x12+x22=9,即(x1+x2)2﹣2x1x2=9,又x1+x2=﹣(2k﹣1),x1•x2=k2﹣1,分别代入上式,解得k1=﹣1或k2=3,∵k≤,∴k=﹣1.代入函数式中,得y=x2﹣3x,配方可得y=,即抛物线的对称轴为x=,顶点坐标为D(,﹣),大致图象如下(如图);(2)由(1),令y=0,得x2﹣3x=0,解得x1=0,x2=3,∴A(0,0),B(3,0).这样的点存在.其坐标为M(2,﹣2).设M(x m,y m),而△AMB是锐角三角形,故<x m<3,===3,∴y m<0.故有S△AMB∴|y m|=2,y m=±2,舍去正值,∴y m=﹣2,当y m=﹣2时,x m2﹣3x m=﹣2,解得x m=1或x m=2,∵<x m<3,∴x m=1舍去,而<2<3,∴x m=2满足条件,∴这样的点存在,其坐标为M(2,﹣2);(3)∵M(2,﹣2),∴∠MAB=45°,∴∠BAP=45°,∴AP所在直线的解析式为:y=x,∵P也在抛物线上,∴x2﹣3x=x,解得:x1=0(舍去),x2=4,此时y=4,∴P(4,4),可求得线段AP长=4,线段AM长=2,∴S==8.△AMP。
北京四十一中-九年级上数学期中考试试题及答案.doc
北京第四十一中学2015/2016学年度第一学期期中试卷九年级数学试题一、选择题(每小题3分,共30分) 1、抛物线1)3(22+-=x y的顶点坐标是( )A .(3,-1)B .(-3,1)C .(3,1) D.(-3,-1) 2、抛物线 442--=x x y 的对称轴是()A . 2-=xB . 2=xC .4=xD . 4-=x3、抛物线23y x =向右平移1个单位,再向下平移2个单位,所得到的抛物线是( )A . 23(1)2y x =-- B . 23(1)2y x =+- C . 23(1)2y x =++ D . 23(1)2y x =-+4、△ABC 和△A ′B ′C ′是相似图形,且对应边AB 和A ′B ′的比为1∶3,则△ABC 和△A ′B ′C ′的面积之比为( )A .3∶1B .1∶3C .1∶9D .1∶275、如图,已知直线a ∥b ∥c ,直线m ,n 与直线a ,b ,c 分别交于点A ,C ,E ,B ,D ,F ,若AC =4,CE =6,BD =3,则BF =( )A .7B .7.5C .8D .8.56、在△ABC 中,BC =15 cm ,CA =45 cm ,AB =57 cm ,另一个和它相似的三角形的最短边长是5 cm ,则最长边长是( )A .18 cmB .19 cmC .24 cmD .19.5 cm班级 学号 姓名 成绩7、如图,在长为8 cm 、宽为4 cm 的矩形中,截去一个矩形, 使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似,则留下矩形的面积是( )A .2 cm 2B .4 cm 2C . 8 cm 2D .16 cm 28、二次函数与882+-=x kx y 的图象与x 轴有交点,则k 的取值范围是( )A .2<kB .02≠<k k 且C .2≤kD .02≠≤k k 且9、如图,身高1.6 m 的某学生想测量一棵大树的高度,她沿着树影BA 由B 向A 走去,当走到C 点时,她的影子顶端正好与树的影子顶端重合,测得BA =4 m , CA =0.8 m ,则树的高度为( ) A .4.8 m B .6.4 m C .8 m D .10m第9题 第10题 10、 如图为二次函数c bx ax y ++=2(a ≠0)的图象,则下列说法:①a >0;②2a +b =0;③a +b +c >0;④当-1<x <3时,y >0.其中正确的个数为( ) A.1B.2C.3D.4北京第四十一中学2015/2016学年度第一学期期中试卷二、填空题(每小题3分,共18分) 11、若函数y =(m -2)mx 是二次函数,则m =______.12、若将二次函数322+-=x x y配方为k h x a y +-=2)(的形式,则y =______13、如图,在ABC △中,DE BC ∥,若4,2,1===AB DE AD ,则BC = .14、在□ABCD 中,E 在DC 上,若:1:2DE EC =,则=FE BF : .第14题15、二次函数c bx x y ++-=2的图象如图,则一次函数c bx y +=的图象不经过第___________象限.第15题 第16题16、如图,ABC △与AEF △中,AB AE BC EF B E AB ==∠=∠,,,交EF于D .给出下列结论:①AFC C ∠=∠;②DF CF =;③ADE FDB △∽△;④BFD CAF ∠=∠. 其中正确的结论是 (填写所有正确结论的序号).A DEC B 第13题三、解答题(本大题共72分,17(1)(2)每问5分,27、29题每题6分,其它每题5分)17、(1)已知抛物线的顶点为(-1,-3),与y轴的交点为(0,-5),求抛物线的解析式. (2)求经过A(1,4),B(-2,1)两点,对称轴为x=-1的抛物线的解析式.18、如图,在△ABC中,AB=8,AC=6,AD=12,点D在BC的延长线上,且△ACD∽△BAD,求BD的长.北京第四十一中学2015/2016学年度第一学期期中试卷19、如图,在△ABC 中,DE ∥BC ,AD =3,AE =2,BD =4,求AC 、EC 的长度.20、如图,在▱ABCD 中,EF ∥AB ,FG ∥ED ,DE ∶DA =2∶5,EF =4,求线段CG 的长.21、 如图,在△ABC 中,DE ∥BC ,EF ∥AB ,求证:△ADE ∽△EFC .22、已知,在同一平面直角坐标系中,反比例函数y =5x与二次函数y =-x 2+2x +c 的图象交于点A (-1,m ). (1)求m ,c 的值;(2)求二次函数图象的对称轴和顶点坐标.23、如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点△ABC(顶点是网格线的交点).(1)请画一个格点△A 1B 1C 1,使△A 1B 1C 1∽△ABC ,且相似比不为1; (2)以C 为位似中心,将△ABC 缩小为原来的21,请画出图形 。
北京四十一中学初三年级期中数学试卷与答案2011.11
初三年级数学试题一、选择题(共8道小题,每小题4分,共32分)1、在下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )2、将抛物线22x y=向上平移2个单位, 再向右平移3个单位,所得抛物线的解析式为( ).A .22(3)2y x =-+ B .2)3(22++=x yC .2)3(22-+=x yD .2)3(22--=x y3、抛物线2)1(2++=x y 的对称轴为( ).A .直线1x =B .直线1x =-C .直线2x =D .直线2x =-4、若ABC ∆∽DEF ∆,若AB :DE =2:1,且A B C ∆的周长为16,则D E F ∆的周长为( ) A .4 B .6 C .8 D .325、若方程250x x -=的一个根是a ,则252a a -+的值为( ). A .-2B . 0C . 2D .46、如图,在等腰直角△ABC 中, 90=∠B ,将△ABC 绕顶点A 逆时针方向旋转60°后得到△AB ′C ′, 则C BA '∠=( )A .60°B .105° C. 120° D. 1357、如图,将△ABC 的三边分别扩大一倍得到△111A B C(顶点均在格点上),若它们是以P 点为位似中心的 位似图形,则P 点的坐标是( ). A .(3,4)-- B .(3,3)-- C .(4,4)-- D .(4,3)--A .B .C .D .班级 姓名 学号 成绩8、如图,在Rt ABC △中,∠C =90°,AB =5cm ,BC =3cm 点A 出发,以每秒1cm 的速度,沿A →B →C 到达点C 时停止.设2y PC =,运动时间为t 秒,则能反映y 与t 之间函数关系的大致图象是 ( )二、填空题(共4道小题,每小题4分,共16分)9、已知在Rt△ABC中,∠ C =90°,BC =1,AC =2,则tan A 的值为10、△ABC 中,∠BAC=90°AD ⊥BC 于D ,若AB=2,BC=3,则CD 的长=11、如图,P 是正三角形ABC 内的一点,且PA=6,PB=8,PC=10.若将△PAC 绕点A逆时针旋转60°后,得到△P’AB ,则点P 与P’之间的距离为 ,∠APB= .10题 11题12、抛物线2y ax bx c =++(a ≠ 0)满足条件:(1)40a b -=;(2)0a b c -+>; (3)与x 轴有两个交点,且两交点间的距离小于2.以下有四个结论:①0a <;②0c >;③0a b c ++<;④43c ca <<,其中所有正确结论的序号是 三、解答题(本题共30分,每小题5分)13、计算:︒+︒-︒+︒60tan 30cos 60sin 45sin 22C A B D14、已知:二次函数的图象经过原点,对称轴是直线x =-2,最高点的纵坐标为4,求:该二次函数解析式。
北京市第四十四中2019-2020学年九年级(上)期中数学试卷 (解析版)
2019-2020学年九年级(上)期中数学试卷一、选择题(本题共16分,每小题2分)1.二次函数y=(x﹣5)2+7的最小值是()A.﹣7 B.7 C.﹣5 D.52.下图形中,是中心对称图形的是()A.B.C.D.3.下列语句中错误的是()A.三点确定一个圆B.垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧C.三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点D.三角形的内心是三角形内角平分线的交点4.若一个扇形的半径是18cm,且它的弧长是12πcm,则此扇形的圆心角等于()A.30°B.60°C.90°D.120°5.将抛物线y=x2平移得到抛物线y=x2+5,下列叙述正确的是()A.向上平移5个单位B.向下平移5个单位C.向左平移5个单位D.向右平移5个单位6.如图,⊙C与∠AOB的两边分别相切,其中OA边与⊙C相切于点P.若∠AOB=90°,OP =6,则OC的长为()A.12 B.C.D.7.如图,A,B,C三点在已知的圆上,在△ABC中,∠ABC=70°,∠ACB=30°,D是的中点,连接DB,DC,则∠DBC的度数为()A.30°B.45°C.50°D.70°8.二次函数y=2x2﹣8x+m满足以下条件:当﹣2<x<﹣1时,它的图象位于x轴的下方;当6<x<7时,它的图象位于x轴的上方,则m的值为()A.8 B.﹣10 C.﹣42 D.﹣24二、填空题(每题2分,共16分)9.写出一个二次函数y=2x2的图象性质(一条即可).10.如图,将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′,则∠ACA′的度数是.11.点A(﹣3,y1),B(2,y2)在抛物线y=x2﹣5x上,则y1y2.(填“>”,“<”或“=”)12.如图,△ABC中,∠B=90,∠C=30°,AB=1,将△ABC绕顶点A旋转180°,点C 落在C′处,则CC′的长为.13.如图,阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形,又是关于坐标原点O成中心对称的图形.若点A的坐标为(1,3),则点M和点N的坐标分别为M,N.14.圆内接正六边形的边长是8cm,则该正六边形的半径为.15.二次函数y=x2﹣4x+m图象的顶点在x轴上,则m=.16.阅读下面材料:在学习《圆》这一章时,老师给同学们布置了一道尺规作图题:尺规作图:过圆外一点作圆的切线.已知:P为⊙O外一点.求作:经过点P的⊙O的切线.小敏的作法如下:如图,(1)连接OP,作线段OP的垂直平分线MN交OP于点C;(2)以点C为圆心,CO的长为半径作圆,交⊙O于A,B两点;(3)作直线PA,PB.所以直线PA,PB就是所求作的切线.老师认为小敏的作法正确.请回答:连接OA,OB后,可证∠OAP=∠OBP=90°,其依据是;由此可证明直线PA,PB都是⊙O的切线,其依据是.三、解答题(共68分,第17-21题,每小题5分,第22-24题,每小题5分,第25题5分,第26题6分,第27-28题,每小题5分)17.如图,⊙O中,=,∠C=75°,求∠A的度数.18.已知抛物线y=x2﹣2x﹣8.(1)用配方法把y=x2﹣2x﹣8化为y=(x﹣h)2+k形式;(2)并指出:抛物线的顶点坐标是,抛物线的对称轴方程是,抛物线与x轴交点坐标是,当x时,y随x的增大而增大.19.《九章算术》是中国传统数学重要的著作,奠定了中国传统数学的基本框架.《九章算术》中记载:“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,间径几何?”(如图①)阅读完这段文字后,小智画出了一个圆柱截面示意图(如图②),其中BO⊥CD于点A,求间径就是要求⊙O的直径.再次阅读后,发现AB=寸,CD=寸(一尺等于十寸),通过运用有关知识即可解决这个问题.请你补全题目条件,并帮助小智求出⊙O的直径.20.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(3,3),点B(4,0),点C(0,﹣1).以点C 为中心,△ABC逆时针旋转90°;(1)画出旋转后的图形,并写出点B′的坐标;(2)求点A经过的路径的长(结果保留π).21.要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,在水管的顶端安一个喷头,使喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离中心3m.(1)在给定的坐标系中画出示意图;(2)求出水管的长度.22.△ABC的三个顶点在⊙O上,AD⊥BC,D为垂足,E是的中点,求证:∠1=∠2(提示:可以延长AO交⊙O于F,连接BF).23.已知四边形ABCD为菱形,点E、F、G、H分别为各边中点,判断E、F、G、H四点是否在同一个圆上,如果在同一圆上,找到圆心,并证明四点共圆;如果不在,说明理由.24.如图,AB是⊙O的直径,弦EF⊥AB于点C,过点F作⊙O的切线交AB的延长线于点D.(1)已知∠A=α,求∠D的大小(用含α的式子表示);(2)取BE的中点M,连接MF,请补全图形;若∠A=30°,MF=,求⊙O的半径.25.已知:抛物线y=﹣mx2+(2m﹣1)x+m2﹣1经过坐标原点,且开口向上(1)求抛物线的解析式;(2)结合图象写出,0<x<4时,直接写出y的取值范围;(3)点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点,过A作x轴的平行线交抛物线于另一点D,作AB⊥x轴于点B,DC⊥x轴于点C.当BC=1时,求出矩形ABCD的周长.26.在△ABC中,∠ACB为锐角.点D为射线BC上一动点,连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,连结EC.如果AB=AC,∠BAC=90°.①当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图1,请你判断线段CE、BD之间的位置和数量关系(直接写出结论);②当点D在线段BC的延长线上时,请你在图2画出图形,判断①中的结论是否仍然成立,并证明你的判断.27.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2﹣2mx+m﹣1(m>0)与x轴的交点为A,B.(1)求抛物线的顶点坐标;(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.①当m=1时,求线段AB上整点的个数;②若抛物线在点A,B之间的部分与线段AB所围成的区域内(包括边界)恰有6个整点,结合函数的图象,求m的取值范围.28.在平面直角坐标系xOy中,⊙O的半径为1,P是坐标系内任意一点,点P到⊙O的距离S P的定义如下:若点P与圆心O重合,则S P为⊙O的半径长;若点P与圆心O不重合,作射线OP交⊙O于点A,则S P为线段AP的长度.图1为点P在⊙O外的情形示意图.(1)若点B(1,0),C(1,1),,则S B=;S C=;S D=;(2)若直线y=x+b上存在点M,使得S M=2,求b的取值范围;(3)已知点P,Q在x轴上,R为线段PQ上任意一点.若线段PQ上存在一点T,满足T 在⊙O内且S T≥S R,直接写出满足条件的线段PQ长度的最大值.参考答案与试题解析一.选择题(共8小题)1.二次函数y=(x﹣5)2+7的最小值是()A.﹣7 B.7 C.﹣5 D.5【分析】根据二次函数的性质求解.【解答】解:∵y=(x﹣5)2+7∴当x=5时,y有最小值7.故选:B.2.下图形中,是中心对称图形的是()A.B.C.D.【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心进行分析即可.【解答】解:A、不是中心对称图形,故此选项错误;B、是中心对称图形,故此选项正确;C、不是中心对称图形,故此选项错误;D、不是中心对称图形,故此选项错误;故选:B.3.下列语句中错误的是()A.三点确定一个圆B.垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧C.三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点D.三角形的内心是三角形内角平分线的交点【分析】分别根据确定圆的条件、垂径定理、三角形的外心与内心的定义对各选项进行逐一分析即可.【解答】解:A、不在同一直线上的三点确定一个圆,故本选项错误;B、符合垂径定理,故本选项正确;C、符合外心的定义,故本选项正确;D、符合内心的定义,故本选项正确.故选:A.4.若一个扇形的半径是18cm,且它的弧长是12πcm,则此扇形的圆心角等于()A.30°B.60°C.90°D.120°【分析】把弧长公式进行变形,代入已知数据计算即可.【解答】解:根据弧长的公式l=,得n===120°,故选:D.5.将抛物线y=x2平移得到抛物线y=x2+5,下列叙述正确的是()A.向上平移5个单位B.向下平移5个单位C.向左平移5个单位D.向右平移5个单位【分析】按照“左加右减,上加下减”的规律可得答案.【解答】解:将抛物线y=x2向上平移5个单位得到抛物线y=x2+5,故选:A.6.如图,⊙C与∠AOB的两边分别相切,其中OA边与⊙C相切于点P.若∠AOB=90°,OP =6,则OC的长为()A.12 B.C.D.【分析】连接CP,由切线的性质可得CP⊥AO,再由切线长定理可得∠POC=45°,进而可得△POC是等腰直角三角形,利用勾股定理即可求出OC的长.【解答】解:连接CP,∵OA边与⊙C相切于点P,∴CP⊥AO,∵⊙C与∠AOB的两边分别相切,∠AOB=90°,∴∠POC=45°,∴OP=CP=6,∴OC==6,故选:C.7.如图,A,B,C三点在已知的圆上,在△ABC中,∠ABC=70°,∠ACB=30°,D是的中点,连接DB,DC,则∠DBC的度数为()A.30°B.45°C.50°D.70°【分析】根据三角形的内角和定理得到∠A=80°,根据圆周角定理得到∠D=∠A=80°,根据等腰三角形的内角和即可得到结论.【解答】解:∵∠ABC=70°,∠ACB=30°,∴∠A=80°,∴∠D=∠A=80°,∵D是的中点,∴,∴BD=CD,∴∠DBC=∠DCB==50°,故选:C.8.二次函数y=2x2﹣8x+m满足以下条件:当﹣2<x<﹣1时,它的图象位于x轴的下方;当6<x<7时,它的图象位于x轴的上方,则m的值为()A.8 B.﹣10 C.﹣42 D.﹣24【分析】根据抛物线顶点式得到对称轴为直线x=2,通过顶点坐标位置特征求出m的范围,将A选项剔除后,将B、C、D选项带入其中,并根据二次函数对称性和增减性特点判断是否合理.【解答】解:∵抛物线y=2x2﹣8x+m=2(x﹣2)2﹣8+m的对称轴为直线x=2,而抛物线在﹣2<x<﹣1时,它的图象位于x轴的下方;当6<x<7时,它的图象位于x 轴的上方,∴m<0,当m=﹣10时,则y=2x2﹣8x﹣10,令y=0,则2x2﹣8x﹣10=0,解得x1=﹣1,x2=5,则有当﹣2<x<﹣1时,它的图象位于x轴的上方;当m=﹣42时,则y=2x2﹣8x﹣42,令y=0,则2x2﹣8x﹣42=0,解得x1=﹣3,x2=7,则有当6<x<7时,它的图象位于x轴的下方;当m=﹣24时,则y=2x2﹣8x﹣24,令y=0,则2x2﹣8x﹣24=0,解得x1=﹣2,x2=6,故选:D.二.填空题(共8小题)9.写出一个二次函数y=2x2的图象性质(一条即可)图象有最低点(0,0),答案不唯一.【分析】根据二次函数的性质说出其增减性、开口方向、最值等任意一个性质即可.【解答】解:二次函数y=2x2的图象性质开口向上,图象有最低点(0,0)等,故答案为图象有最低点(0,0),答案不唯一.10.如图,将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′,则∠ACA′的度数是50°.【分析】直接根据旋转的性质得出结论.【解答】解:∵△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′,∴∠ACA'=50°,故答案为:50°11.点A(﹣3,y1),B(2,y2)在抛物线y=x2﹣5x上,则y1>y2.(填“>”,“<”或“=”)【分析】分别计算自变量为﹣3、2时的函数值,然后比较函数值的大小即可.【解答】解:当x=﹣3时,y1=x2﹣5x=24;当x=2时,y2=x2﹣5x=﹣6;∵24>﹣6,∴y1>y2.故答案为:>.12.如图,△ABC中,∠B=90,∠C=30°,AB=1,将△ABC绕顶点A旋转180°,点C 落在C′处,则CC′的长为 4 .【分析】在△ABC中求AC的长;由旋转的性质可以得到AC′=AC.CC′=2AC.【解答】解:在△ABC中,∠B=90°,∠C=30°,AB=1,∴AC=2.∵将△ABC绕顶点A旋转180°,点C落在C'处,∴AC′=AC.∴CC′=2AC=4.13.如图,阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形,又是关于坐标原点O成中心对称的图形.若点A的坐标为(1,3),则点M和点N的坐标分别为M(﹣1,﹣3),N(1,﹣3).【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数求出点M的坐标,再根据关于x轴对称的点的横坐标相等,纵坐标互为相反数求出点N的坐标.【解答】解:∵点M与点A关于原点对称,∴M(﹣1,﹣3),∵点N与点A关于x轴对称,∴N(1,﹣3).故答案为:(﹣1,﹣3),(1,﹣3).14.圆内接正六边形的边长是8cm,则该正六边形的半径为8 .【分析】求出正六边形的中心角,连接两个顶点,可得等边三角形,于是可得到正六边形的边长.【解答】解:连接OA,OB,∵正六边形,∴∠AOB==60°,又OA=OB,∴△AOB是等边三角形,∴AB=OA=8.故答案为:8.15.二次函数y=x2﹣4x+m图象的顶点在x轴上,则m= 4 .【分析】把函数化成y=(x﹣2)2﹣4+m,根据题意可得出m的值.【解答】解:∵二次函数y=x2﹣4x+m图象的顶点在x轴上,∴y=(x﹣2)2﹣4+m,∴m﹣4=0,即m=4,故答案为:4.16.阅读下面材料:在学习《圆》这一章时,老师给同学们布置了一道尺规作图题:尺规作图:过圆外一点作圆的切线.已知:P为⊙O外一点.求作:经过点P的⊙O的切线.小敏的作法如下:如图,(1)连接OP,作线段OP的垂直平分线MN交OP于点C;(2)以点C为圆心,CO的长为半径作圆,交⊙O于A,B两点;(3)作直线PA,PB.所以直线PA,PB就是所求作的切线.老师认为小敏的作法正确.请回答:连接OA,OB后,可证∠OAP=∠OBP=90°,其依据是直径所对的圆周角是直角;由此可证明直线PA,PB都是⊙O的切线,其依据是经过半径外端,且与半径垂直的直线是圆的切线.【分析】分别利用圆周角定理以及切线的判定方法得出答案.【解答】解:连接OA,OB后,可证∠OAP=∠OBP=90°,其依据是:直径所对的圆周角是直角;由此可证明直线PA,PB都是⊙O的切线,其依据是:经过半径外端,且与半径垂直的直线是圆的切线.故答案为:直径所对的圆周角是直角;经过半径外端,且与半径垂直的直线是圆的切线.三.解答题(共12小题)17.如图,⊙O中,=,∠C=75°,求∠A的度数.【分析】根据同圆或等圆中等弧所对圆周角相等,得出∠B=∠C=75°,再利用三角形内角和定理求出即可.【解答】解:∵⊙O中,=,∠C=75°,∴∠B=∠C=75°,∴∠A=180°﹣75°×2=30°.18.已知抛物线y=x2﹣2x﹣8.(1)用配方法把y=x2﹣2x﹣8化为y=(x﹣h)2+k形式;(2)并指出:抛物线的顶点坐标是(1,﹣9),抛物线的对称轴方程是x=1 ,抛物线与x轴交点坐标是(﹣2,0),(4,0),当x>1 时,y随x的增大而增大.【分析】(1)利用配方法,将抛物线的一般式方程转化为顶点式方程;(2)根据(1)中的顶点式方程找出该抛物线的顶点坐标、对称轴方程;等y=0时,求抛物线与x轴的交点坐标;由抛物线的性质来解答y随x的增大而增大时x的取值范围.【解答】解:(1)y=x2﹣2x﹣8=x2﹣2x+1﹣1﹣8=(x﹣1)2﹣9.…(3分)(2)由(1)知,抛物线的解析式为:y=(x﹣1)2﹣9,∴抛物线的顶点坐标是(1,﹣9)抛物线的对称轴方程是x=1 …(4分)当y=0时,(x﹣1)2﹣9=0,解得x=﹣2或x=4,∴抛物线与x轴交点坐标是(﹣2,0),(4,0);∵该抛物线的开口向上,对称轴方程是x=1,∴当x>1时,y随x的增大而增大.…(5分)故答案是:(2)(1,﹣9);(﹣2,0),(4,0);x=1;>1.19.《九章算术》是中国传统数学重要的著作,奠定了中国传统数学的基本框架.《九章算术》中记载:“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,间径几何?”(如图①)阅读完这段文字后,小智画出了一个圆柱截面示意图(如图②),其中BO⊥CD于点A,求间径就是要求⊙O的直径.再次阅读后,发现AB= 1 寸,CD=10 寸(一尺等于十寸),通过运用有关知识即可解决这个问题.请你补全题目条件,并帮助小智求出⊙O的直径.【分析】根据题意容易得出AB和CD的长;连接OB,设半径CO=OB=x寸,先根据垂径定理求出CA的长,再根据勾股定理求出x的值,即可得出直径.【解答】解:根据题意得:AB=1寸,CD=10寸;故答案为:1,10;(2)连接CO,如图所示:∵BO⊥CD,∴.设CO=OB=x寸,则AO=(x﹣1)寸,在Rt△CAO中,∠CAO=90°,∴AO2+CA2=CO2.∴(x﹣1)2+52=x2.解得:x=13,∴⊙O的直径为26寸.20.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(3,3),点B(4,0),点C(0,﹣1).以点C 为中心,△ABC逆时针旋转90°;(1)画出旋转后的图形,并写出点B′的坐标;(2)求点A经过的路径的长(结果保留π).【分析】(1)根据旋转的定义作出点A、B绕点C逆时针旋转90°得到的对应点,再顺次连接可得;(2)根据弧长公式列式计算即可求解.【解答】解:(1)如图所示,△A′B′C即为所求;(2)∵AC==5,∠ACA′=90°,∴点A经过的路径的长为=.21.要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,在水管的顶端安一个喷头,使喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离中心3m.(1)在给定的坐标系中画出示意图;(2)求出水管的长度.【分析】(1)以池中心为原点,竖直安装的水管为y轴,与水管垂直的为x轴建立直角坐标系;(2)设抛物线的解析式为y=a(x﹣1)2+3(0≤x≤3),将(3,0)代入求得a值,则x=0时得的y值即为水管的长.【解答】解:(1)建立以池中心为原点,竖直安装的水管为y轴,与水管垂直的为x轴建立直角坐标系;(2)由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高,高度为3m,则设抛物线的解析式为:y=a(x﹣1)2+3(0≤x≤3),代入(3,0)求得:a=﹣.将a值代入得到抛物线的解析式为:y=﹣(x﹣1)2+3(0≤x≤3),令x=0,则y==2.25.故水管长为2.25m.22.△ABC的三个顶点在⊙O上,AD⊥BC,D为垂足,E是的中点,求证:∠1=∠2(提示:可以延长AO交⊙O于F,连接BF).【分析】连接OE,利用垂径定理可得OE⊥BC,再利用AD⊥BC,可得OE∥AD,然后即可证明.【解答】证明:连接OE,∵E是的中点,∴弧BE=弧EC,∴OE⊥BC,∵AD⊥BC,∴OE∥AD,∴∠OEA=∠EAD,∵OE=OA,∴∠OAE=∠OEA,∴∠1=∠2.23.已知四边形ABCD为菱形,点E、F、G、H分别为各边中点,判断E、F、G、H四点是否在同一个圆上,如果在同一圆上,找到圆心,并证明四点共圆;如果不在,说明理由.【分析】先判断出AB=AD=CD=BC,AC⊥BD,进而利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半判断出OE=AB,同理:OF=BC,OG=CD,OH=AD,进而得出OE=OF=OG =OH,即可得出结论.【解答】解:如图,连接AC,BD相交于点O,连接OE,OF,OG,OH,∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD=CD=BC,AC⊥BD,∵点E是AB的中点,∴OE=AB,同理:OF=BC,OG=CD,OH=AD,∴OE=OF=OG=OH,∴点E、F、G、H四点是以AC,BD的交点O为圆心的同一个圆上.24.如图,AB是⊙O的直径,弦EF⊥AB于点C,过点F作⊙O的切线交AB的延长线于点D.(1)已知∠A=α,求∠D的大小(用含α的式子表示);(2)取BE的中点M,连接MF,请补全图形;若∠A=30°,MF=,求⊙O的半径.【分析】(1)连接OE,OF,如图,利用等腰三角形的性质得到∠DOF=∠DOE.而∠DOE =2∠A,所以∠DOF=2α,再根据切线的性质得∠OFD=90°.从而得到∠D=90°﹣2α;(2)连接OM,如图,利用圆周角定理得到∠AEB=90°.再证明OM∥AE得到∠MOB=∠A=30°.而∠DOF=2∠A=60°,所以∠MOF=90°,设⊙O的半径为r,利用含30度的直角三角形三边的关系得OM=BM=r,然后根据勾股定理得到即(r)2+r2=()2,再解方程即可得到⊙O的半径.【解答】解:(1)连接OE,OF,如图,∵EF⊥AB,AB是⊙O的直径,∴∠DOF=∠DOE.∵∠DOE=2∠A,∠A=α,∴∠DOF=2α,∵FD为⊙O的切线,∴OF⊥FD.∴∠OFD=90°.∴∠D+∠DOF=90°,∴∠D=90°﹣2α;(2)连接OM,如图,∵AB为⊙O的直径,∴O为AB中点,∠AEB=90°.∵M为BE的中点,∴OM∥AE,∵∠A=30°,∴∠MOB=∠A=30°.∵∠DOF=2∠A=60°,∴∠MOF=90°,设⊙O的半径为r,在Rt△OMB中,BM=OB=r,OM=BM=r,在Rt△OMF中,OM2+OF2=MF2.即(r)2+r2=()2,解得r=2,即⊙O的半径为2.25.已知:抛物线y=﹣mx2+(2m﹣1)x+m2﹣1经过坐标原点,且开口向上(1)求抛物线的解析式;(2)结合图象写出,0<x<4时,直接写出y的取值范围﹣≤y<4 ;(3)点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点,过A作x轴的平行线交抛物线于另一点D,作AB⊥x轴于点B,DC⊥x轴于点C.当BC=1时,求出矩形ABCD的周长.【分析】(1)把(0,0)代入抛物线解析式求出m的值,再根据开口方向确定m的值即可.(2)求出函数最小值以及x=0或4是的y的值,由此即可判断.(3)由BC=1,B、C关于对称轴对称,推出B(,1,0),C(2,0),由AB⊥x轴,DC ⊥x轴,推出A(1,﹣2),D(2,﹣2),求出AB,即可解决问题.【解答】解:(1)∵y=x2+(2m﹣1)x+m2﹣1经过坐标原点,∴0=0+0+m2﹣1,即m2﹣1=0解得m=±1.又∵开口向上,∴﹣m>0,∴m<0,∴m=﹣1,∴二次函数解析式为y=x2﹣3x.(2)∵y=x2﹣3x═(x﹣)2﹣,∴x=时,y最小值为﹣,x=0时,y=0,x=4时,y=4,∴0<x<4时,﹣≤y<4.故答案为﹣≤y<4.(3)如图,∵BC=1,B、C关于对称轴对称,∴B(1,0),C(2,0),∵AB⊥x轴,DC⊥x轴,∴A(1,﹣2),D(2,﹣2),∴AB=DC=2,BC=AD=1,∴四边形ABCD的周长为6,当BC=1时,矩形的周长为6.26.在△ABC中,∠ACB为锐角.点D为射线BC上一动点,连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,连结EC.如果AB=AC,∠BAC=90°.①当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图1,请你判断线段CE、BD之间的位置和数量关系(直接写出结论);②当点D在线段BC的延长线上时,请你在图2画出图形,判断①中的结论是否仍然成立,并证明你的判断.【分析】①线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,根据旋转的性质得到AD=AE,∠BAD =∠CAE,得到△BAD≌△CAE,CE=BD,∠ACE=∠B,得到∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°,于是有CE=BD,CE⊥BD.②结论仍然成立.证明的方法与(1)类似.【解答】解:①结论:CE=BD,CE⊥BD.理由如下:如图1中,∵AB=AC,∠BAC=90°,∴线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,∴AD=AE,∵∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAD=∠CAE,∵AB=AC,AD=AE,∴△BAD≌△CAE,∴CE=BD,∠ACE=∠B,∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°,∴线段CE,BD之间的位置关系和数量关系为:CE=BD,CE⊥BD.②结论仍然成立.理由如下:如图2中,∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,∴AE=AD,∠DAE=90°,∵AB=AC,∠BAC=90°∴∠CAE=∠BAD,∴△ACE≌△ABD,∴CE=BD,∠ACE=∠B,∴∠BCE=90°,所以线段CE,BD之间的位置关系和数量关系为:CE=BD,CE⊥BD.27.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2﹣2mx+m﹣1(m>0)与x轴的交点为A,B.(1)求抛物线的顶点坐标;(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.①当m=1时,求线段AB上整点的个数;②若抛物线在点A,B之间的部分与线段AB所围成的区域内(包括边界)恰有6个整点,结合函数的图象,求m的取值范围.【分析】(1)利用配方法即可解决问题.(2)①m=1代入抛物线解析式,求出A、B两点坐标即可解决问题.②根据题意判断出点A的位置,利用待定系数法确定m的范围.【解答】解:(1)∵y=mx2﹣2mx+m﹣1=m(x﹣1)2﹣1,∴抛物线顶点坐标(1,﹣1).(2)①∵m=1,∴抛物线为y=x2﹣2x,令y=0,得x=0或2,不妨设A(0,0),B(2,0),∴线段AB上整点的个数为3个.②如图所示,抛物线在点A,B之间的部分与线段AB所围成的区域内(包括边界)恰有6个整点,∴点A在(﹣1,0)与(﹣2,0)之间(包括(﹣1,0)),当抛物线经过(﹣1,0)时,m=,当抛物线经过点(﹣2,0)时,m=,∴m的取值范围为<m≤.28.在平面直角坐标系xOy中,⊙O的半径为1,P是坐标系内任意一点,点P到⊙O的距离S P的定义如下:若点P与圆心O重合,则S P为⊙O的半径长;若点P与圆心O不重合,作射线OP交⊙O于点A,则S P为线段AP的长度.图1为点P在⊙O外的情形示意图.(1)若点B(1,0),C(1,1),,则S B=0 ;S C=﹣1 ;S D=;(2)若直线y=x+b上存在点M,使得S M=2,求b的取值范围;(3)已知点P,Q在x轴上,R为线段PQ上任意一点.若线段PQ上存在一点T,满足T 在⊙O内且S T≥S R,直接写出满足条件的线段PQ长度的最大值.【分析】(1)根据点的坐标和新定义解答即可;(2)根据直线y=x+b的特点,结合S M=2,根据等腰直角三角形的性质解答;(3)根据T在⊙O内,确定S T的范围,根据给出的条件、结合图形求出满足条件的线段PQ长度的最大值.【解答】解:(1)∵点B(1,0),∴S B=0,∵C(1,1),∴S C=﹣1,∵,∴S D=,故答案为:0;﹣1;;(2)设直线y=x+b与分别与x轴、y轴交于F、E,作OG⊥EF于G,∵∠FEO=45°,∴OG=GE,当OG=3时,GE=3,由勾股定理得,OE=3,此时直线的解析式为:y=x+3,∴直线y=x+b上存在点M,使得S M=2,b的取值范围是﹣3≤b≤3;(3)∵T在⊙O内,∴S T≤1,∵S T≥S R,∴S R≤1,∴线段PQ长度的最大值为1+2+1=4.。
2020-2021学年河北省石家庄四十一中九年级(上)期中数学试卷
2020-2021学年河北省石家庄四十一中九年级(上)期中数学试卷一.选择题1.下列方程是一元二次方程的是()A.2x+1=0B.C.m2+m=2D.ax2+bx+c=0 2.数学老师计算同学们的一学期的平均成绩时,将平时、期中和期末的成绩按3:3:4计算,若小红平时、期中和期末的成绩分别是90分、80分、100分,则小红一学期的数学平均成绩是()A.90分B.91分C.92分D.93分3.若,则k的值为()A.B.1C.﹣1D.4.如果∠A=30°,则sin A的值为()A.B.C.D.5.学校小组5名同学的身高(单位:cm)分别为:147,156,151,152,159,则这组数据的中位数是()A.147B.151C.152D.1566.方程x2﹣3=0的根是()A.B.﹣C.±D.37.如图,△ABC与△ADE都是等腰直角三角形,且它们的底分别是BC=5,DE=3,则△ABC与△ADE的面积比为()A.:B.25:9C.5:3D.5:38.x=2不是下列哪一个方程的解()A.3(x﹣2)=0B.2x2﹣3x=2C.(x﹣2)(x+2)=0D.x2﹣x+2=09.一个三角形的三边分别为3,4,5,另一个与它相似的三角形中有一条边长为8,则这个三角形的边长不可能是()A.B.C.9D.1010.如图,点A在线段BD上,在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE,其中∠ABC =∠AED=90°,CD与BE、AE分别交于点P、M.对于下列结论:①△CAM∽△DEM;②CD=2BE;③MP•MD=MA•ME;④2CB2=CP•CM.其中正确的是()A.①②B.①②③C.①③④D.①②③④11.某小组长统计组内5人一天在课堂上的发言次数分别为3,3,0,4,5.关于这组数据,下列说法错误的是()A.众数是3B.中位数是0C.平均数3D.方差是2.8 12.设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根,则m2+3m+n=()A.﹣5B.9C.5D.7二.填空题13.一组数据2、8、7、8、7、9、8的众数是.14.如图,AD∥BE∥FC,它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F,如果=,DF=7.5,那么DE的长为.15.四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1,它们的面积比为9:4,四边形ABCD的周长是24,则四边形A1B1C1D1的周长为.16.如图,在△ABC中,∠A=30°,tan B=,AC=2,则AB的长是.17.一个直角三角形,斜边长为4cm,两条直角边的长相差4cm,求这个直角三角形的两条直角边的长,可设较长直角边为xcm,根据题意可列方程.三.解答题18.解方程(1)(x﹣1)2=9;(2)2x2+3x﹣4=0.19.如图,D、E分别是AB、AC上的点,△ADE∽△ACB,且DE=4,BC=12,AC=8,求AD的长.20.一个不透明的口袋中有12个红球和若干个白球,在不允许将球倒出来数的前提下,小明采用如下的方法估算其中白球的个数:从口袋中随机摸出一个球,记下颜色,然后把它放回口袋中,摇匀后再随机摸出一个球,记下颜色……小明重复上述过程100次,其中60次摸到白球,请回答:(1)口袋中的白球约有多少个?(2)有一个游乐场,要按照上述红球、白球的比例配置彩球池,若彩球池里共有3000个球,则需准备多少个红球?21.如图,小明在地面上放置一个平面镜E来测量铁塔AB的高度,镜子与铁塔的距离EB =20米,镜子与小明的距离ED=2米时,小明刚好从镜子中看到铁塔顶端A.已知小华的眼睛距地面的高度CD=1.6米,求铁塔AB的高度.(根据光的反射原理,∠1=∠2)22.长泰大桥是长春市“两横三纵”快速路的关键节点工程,大桥建筑类型为斜拉式高架桥,小明站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是31°,拉索AB的长AB=152米,主塔处桥面距地面CD=7.9米,试求出主塔高BD的长.(结果精确到0.1米,参考数据:sin31°=0.52,cos31°=0.86,tan31°=0.60)23.某企业设计了一款工艺品,每件成本50元,为了合理定价,现投放市场进行试销.据市场调查,销售单价是100元时,每天的销售量是50件,若销售单价每降低1元,每天就可多售出5件,但要求销售单价不得低于成本.销售单价为多少元时,每天的销售利润可达4000元?2020-2021学年河北省石家庄四十一中九年级(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题1.下列方程是一元二次方程的是()A.2x+1=0B.C.m2+m=2D.ax2+bx+c=0【解答】解:A、未知数的最高次数是1,不是一元二次方程,故本选项错误;B、不是整式方程,不是一元二次方程,故本选项错误;C、符合一元二次方程的定义,故本选项正确;D、方程二次项系数可能为0,不是一元二次方程,故本选项错误.故选:C.2.数学老师计算同学们的一学期的平均成绩时,将平时、期中和期末的成绩按3:3:4计算,若小红平时、期中和期末的成绩分别是90分、80分、100分,则小红一学期的数学平均成绩是()A.90分B.91分C.92分D.93分【解答】解:小红一学期的数学平均成绩是=91(分),故选:B.3.若,则k的值为()A.B.1C.﹣1D.【解答】解:当a+b+c=0时,a=﹣(b+c),因而k===﹣1;当a+b+c≠0时,k==.故k的值是﹣1或.故选:D.4.如果∠A=30°,则sin A的值为()A.B.C.D.【解答】解:∵∠A=30°,∴sin A的值为:.故选:A.5.学校小组5名同学的身高(单位:cm)分别为:147,156,151,152,159,则这组数据的中位数是()A.147B.151C.152D.156【解答】解:由于此数据按照从小到大的顺序排列为147,151,152,156,159,发现152处在第3位.所以这组数据的中位数是152,故选:C.6.方程x2﹣3=0的根是()A.B.﹣C.±D.3【解答】解:x2﹣3=0,x2=3,x=±,故选:C.7.如图,△ABC与△ADE都是等腰直角三角形,且它们的底分别是BC=5,DE=3,则△ABC与△ADE的面积比为()A.:B.25:9C.5:3D.5:3【解答】解:∵△ABC与△ADE都是等腰直角三角形,∴△ABC∽△DAF,∴=()2=.故选:B.8.x=2不是下列哪一个方程的解()A.3(x﹣2)=0B.2x2﹣3x=2C.(x﹣2)(x+2)=0D.x2﹣x+2=0【解答】解:A,当x=2时,方程的左边=3×(2﹣2)=0,右边=0,则左边=右边,故x=2是A中方程的解;B,当x=2时,方程的左边=2×22﹣3×2=2,右边=2,则左边=右边,故x=2是B中方程的解;C,当x=2时,方程的左边=0,右边=0,则左边=右边,故x=2是C中方程的解;D,当x=2时,方程的左边=22﹣2+2=4,右边=0,则左边≠右边,故x=2不是D中方程的解;故选:D.9.一个三角形的三边分别为3,4,5,另一个与它相似的三角形中有一条边长为8,则这个三角形的边长不可能是()A.B.C.9D.10【解答】解:当边长为8的边长与三角形的三边分别为3,4,5,中边长为3的对应成比例时,则另两条边长分别为:,;当与边长为4的对应成比例时,其另两条边长分别为:6,10;当与边长为5的对应成比例是,其另两条边长分别为:,;则这个三角形的边长不可能是9,故选:C.10.如图,点A在线段BD上,在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE,其中∠ABC =∠AED=90°,CD与BE、AE分别交于点P、M.对于下列结论:①△CAM∽△DEM;②CD=2BE;③MP•MD=MA•ME;④2CB2=CP•CM.其中正确的是()A.①②B.①②③C.①③④D.①②③④【解答】解:∵在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE,∠ABC=∠AED=90°,∴∠BAC=45°,∠EAD=45°,∴∠CAE=180°﹣45°﹣45°=90°,即∠CAM=∠DEM=90°,∵∠CMA=∠DME,∴△CAM∽△DEM,故①正确;由已知:AC=AB,AD=AE,∴=,∵∠BAC=∠EAD∴∠BAE=∠CAD∴△BAE∽△CAD,∴=,即=,即CD=BE,故②错误;∵△BAE∽△CAD∴∠BEA=∠CDA∵∠PME=∠AMD∴△PME∽△AMD∴=,∴MP•MD=MA•ME,故③正确;由②MP•MD=MA•ME∠PMA=∠DME∴△PMA∽△EMD∴∠APD=∠AED=90°∵∠CAE=180°﹣∠BAC﹣∠EAD=90°∴△CAP∽△CMA∴AC2=CP•CM∵AC=AB,∴2CB2=CP•CM,故④正确;即正确的为:①③④,故选:C.11.某小组长统计组内5人一天在课堂上的发言次数分别为3,3,0,4,5.关于这组数据,下列说法错误的是()A.众数是3B.中位数是0C.平均数3D.方差是2.8【解答】解:将数据重新排列为0,3,3,4,5,则这组数的众数为3,中位数为3,平均数为=3,方差为×[(0﹣3)2+2×(3﹣3)2+(4﹣3)2+(5﹣3)2]=2.8,故选:B.12.设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根,则m2+3m+n=()A.﹣5B.9C.5D.7【解答】解:∵m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根,∴m+n=﹣2,m2+2m﹣7=0,即m2+2m=7,则原式=m2+2m+m+n=7﹣2=5,故选:C.二.填空题13.一组数据2、8、7、8、7、9、8的众数是8.【解答】解:∵在数据2、8、7、8、7、9、8中数据8出现次数最多,∴这组数据的众数为8,故答案为:8.14.如图,AD∥BE∥FC,它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F,如果=,DF=7.5,那么DE的长为3.【解答】解:∵AD∥BE∥FC,∴=,∵=,DF=7.5,∴=,解得:DE=3,故答案为:3.15.四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1,它们的面积比为9:4,四边形ABCD的周长是24,则四边形A1B1C1D1的周长为16.【解答】解:设四边形A1B1C1D1的周长为x,∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1,它们的面积比为9:4,∴=,∴四边形ABCD的周长:四边形A1B1C1D1的周长=3:2,∴24:x=3:2,解得,x=16,故答案为:16.16.如图,在△ABC中,∠A=30°,tan B=,AC=2,则AB的长是5.【解答】解:如图,作CD⊥AB于D,在Rt△ACD中,∠A=30°,AC=2,∴CD=AC=,AD=CD=3,在Rt△BCD中,tan B=,∴=,∴BD=2,∴AB=AD+BD=3+2=5.故答案为:5.17.一个直角三角形,斜边长为4cm,两条直角边的长相差4cm,求这个直角三角形的两条直角边的长,可设较长直角边为xcm,根据题意可列方程x2+(x﹣4)2=(4)2.【解答】解:设较长直角边为xcm,则较短直角边为(x﹣4)cm,根据题意得:x2+(x﹣4)2=(4)2.故答案为:x2+(x﹣4)2=(4)2.三.解答题18.解方程(1)(x﹣1)2=9;(2)2x2+3x﹣4=0.【解答】解:(1)(x﹣1)2=9,开方得:x﹣1=±3,解得:x1=4,x2=﹣2;(2)2x2+3x﹣4=0,∵a=2,b=3,c=﹣4,b2﹣4ac=9﹣4×2×(﹣4)=41,∴x==,∴x1=,x2=.19.如图,D、E分别是AB、AC上的点,△ADE∽△ACB,且DE=4,BC=12,AC=8,求AD的长.【解答】解:∵△ADE∽△ACB,∴=,∴=,解得:AD=.20.一个不透明的口袋中有12个红球和若干个白球,在不允许将球倒出来数的前提下,小明采用如下的方法估算其中白球的个数:从口袋中随机摸出一个球,记下颜色,然后把它放回口袋中,摇匀后再随机摸出一个球,记下颜色……小明重复上述过程100次,其中60次摸到白球,请回答:(1)口袋中的白球约有多少个?(2)有一个游乐场,要按照上述红球、白球的比例配置彩球池,若彩球池里共有3000个球,则需准备多少个红球?【解答】解:(1)设白球的个数为x个,根据题意得:=,解得:x=18,小明可估计口袋中的白球的个数是18个.(2)3000×=1200,即需准备1200个红球.21.如图,小明在地面上放置一个平面镜E来测量铁塔AB的高度,镜子与铁塔的距离EB =20米,镜子与小明的距离ED=2米时,小明刚好从镜子中看到铁塔顶端A.已知小华的眼睛距地面的高度CD=1.6米,求铁塔AB的高度.(根据光的反射原理,∠1=∠2)【解答】解:∵由光的反射可知,∠1=∠2,∠CED=∠AEB,CD⊥BD,AB⊥CB,∴∠CDE=∠ABE=90°,∴△CDE∽△ABE,∴=,∵ED=2,BE=20,CD=1.6,∴=,∴AB=16,答:AB的高为16米.22.长泰大桥是长春市“两横三纵”快速路的关键节点工程,大桥建筑类型为斜拉式高架桥,小明站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是31°,拉索AB的长AB=152米,主塔处桥面距地面CD=7.9米,试求出主塔高BD的长.(结果精确到0.1米,参考数据:sin31°=0.52,cos31°=0.86,tan31°=0.60)【解答】解:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,sin A=,∴BC=AB•sin A=152×sin31°=152×0.52=79.04,∴BD=BC+CD=79.04+7.9=86.94≈86.9(米)答:主塔BD的高约为86.9米.23.某企业设计了一款工艺品,每件成本50元,为了合理定价,现投放市场进行试销.据市场调查,销售单价是100元时,每天的销售量是50件,若销售单价每降低1元,每天就可多售出5件,但要求销售单价不得低于成本.销售单价为多少元时,每天的销售利润可达4000元?【解答】解:设销售单价降低x元/件,则每天的销售量是(50+5x)件,根据题意得:(100﹣x﹣50)(50+5x)=4000,整理得:x2﹣40x+300=0.解得:x1=10,x2=30.∴100﹣x=90或70.答:销售单价为90元/件或70元/件时,每天的销售利润可达4000元.。
2022_2023学年河北石家庄桥西区石家庄第四十一中学初三上学期期中数学试卷(PDF版含答案)
A.B.C.D.1A.B.C.D.2A.B.C.D.3A.B.C.D.452022~2023学年河北石家庄桥西区石家庄第四十一中学初三上学期期中数学试卷一、选择题下列方程一定是一元二次方程的是().变形正确的是().“我爱祖国”以及全部成绩的( ).平均数中位数众数最高分与最低分数的差如图所示).AEF的值分别为( ).A.B.C.D.A.B.C.D.6A.B.C.D.7A.B.C.D.8A.9如图,已知).已知一元二次方程的常数项被墨水污染当此方程有实数根时,污染的常数项可以是().长率是().).B.C.D.A.B.C.D.10A.B.C.D.1112为了保护环境加强环保教育,某中学组织学生参加义务收集废旧电池的活动,下面是随机抽取名学生对收集废旧电池的数量进行的统计:废旧电池数/节人数/人请根据学生收集到的废旧电池数,判断下列说法正确的是( ).平均数是节众数是节中位数是节样本为名学生).).A.B.C.D.A.B.C.D.13A.B.C.D.1415).米米米().格点三角形的个数共有()个A. B. C. D.A.B. C. D. 16 171819如图,已知直线过.过点;按此作法继续下去,得到, ,其面积分别记为,则).二、填空题.为 .如图,,.(1);(2).(1)(2)(3)(4)20(1)(2)21(1)22三、解答题用适当方法解下列方程:求证.老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况,绘制成条形图(图1)和不完整的扇形图(图2),其中条形图被墨迹遮盖了一部分.求条形图中被遮盖的数,并写出册数的平均数、中位数、众数;(2)(3)23(1)(2)24(1)(2)25.最多补查了 人.鸡场,鸡场的长与宽各为多少?如图要把它加工成矩形零件.求证则这个矩形的长、宽各是多少?.??请说明理由.(1)(2)(3)26如图①图①中共有 对相似三角形,分别为 (不需证明.)在②边所在直线为系(如图②若不存在,请说明理由.题目1答案A 题目2答案B 题目3答案B 题目4答案C题目5答案D题目6答案B题目7答案A题目8答案C题目9答案D题目10答案A题目11答案D题目12答案C题目13答案B题目14答案D题目15答案B题目16答案C题目24。
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初三年级数学试题一、选择题(每题3分,共30分)1.下面的图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.下列语句中不正确的是()A.同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等;B.平分弦的直径垂直于弦;C.圆既是轴对称图形又是中心对称图形D.半圆是弧。
3.在平面直角坐标系中,以点(2,3)为圆心,2为半径的圆必定() A.与x轴相离、与y轴相切 B.与x轴、y轴都相离C.与x轴相切、与y轴相离 D.与x轴、y轴都相切4. 如果两个相似三角形的相似比是1:2,那么它们的面积比是()A.1:2B.1:4C.D.2:15.已知两圆的半径分别为6和8,圆心距为7,则两圆的位置关系是()A.外离 B.外切 C.相交 D.内切6.平行四边形的四个顶点在同一个圆上,则该平行四边形一定是()A.正方形 B菱形 C.矩形 D.等腰梯形班级 姓名 学号 成绩7.如图,□ABCD 中,EF ∥AB ,DE ∶EA = 2∶3,EF = 4, 则CD 的长( )A .163B .8C .10D .16(第7题) (第8题)8.如图,小华在打网球时,若使球刚好能过网(网高AB 为0.8m ),且落在对方区域距离点B 5m 的点O 处,已知她的击球高度CD 是2.4m.,如果认为球是直线运动的,则她站的地点离网的距离是( ) A.15m B.10m C.8m D.7.5m9.如图2,在同心圆中,两圆半径分别为2、1,∠AOB=120°,•则阴影部分的面积为( )A .4πB .2πC .43π D .π(第9题)(第10题)10.如图,O 是边长为1的正△ABC 的中心,将△ABC 绕点O 逆时针方向旋转180,得△A 1B 1C 1,则△A 1B 1C 1与△ABC 重叠部分(图中阴影部分)的面积为( ) A B C .32 D AB O D 0.8mC CB 1二、填空题(每题3分,共24分)11.点P (2,3)绕着原点逆时针方向旋转90o与点P /重合,则P /的坐标为 。
12.圆外一点到圆的最大距离是14cm ,到圆的最小距离是6cm ,则圆的半径是 cm 。
13.一个圆锥形零件底面圆半径r 为4 cm ,母线l 长为12 cm ,则这个零件的展开图的圆心角α的度数是。
14. 如图,已知等腰ABC △的面积为28cm ,点D E ,分别是AB AC ,边的中点,则梯形DBCE 的面积为______2cm .(第14题)15.如图,在126⨯的网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位), ⊙A 的半径为1,⊙B 的半径为2,要使⊙A 与静止的⊙B 相切,那么⊙A 由图示位置需向右平移 个单位。
16.在平面直角坐标系中,已知A(6,3)点,以坐标原点O 为位似中心, 相似比为13,则A /的坐标为____________. 17.已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为2和3,如果它们既不相交又不相切,那么它们的圆心距d 的取值范围是 。
18.如图,在△ABC 中,∠A=90°,BC=4cm ,分别以 B ,C 为圆心的两个等圆外切,则图中阴影部分的面积为 2cm 。
(第18题)C三、作图题(每题5分,共10分)19.如图是一块圆形砂轮破碎后的部分残片,试找出它的圆心, 并将它还原成一个圆.要求:1、尺规作图;2、保留作图痕迹。
(可不写作法。
)20.已知:如图,四边形ABCD的顶点坐标分别为A(-4,2),B(-2,-4),C(6,-2),D(2,4).试以O点为位似中心作四边形A'B'C'D′,使四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的相似比为2∶1(只作一种情况),并写出各对应顶点的坐标.四、解答题(每题6分,共36分)21.如图,△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转40°后所得的图形,点C 恰好在AB上,∠AOD=90°求∠B的度数。
22.如图,PA,PB是⊙O的切线,点A,B为切点,AC是⊙O的直径,∠ACB=70°。
求∠P的度数。
23.如图,OA 和OB 是⊙O 的半径,并且OA ⊥OB ,P 是OA 上任一点,BP 的延长线交⊙O 于Q ,过Q 的⊙O 的切线交OA 的延长线于R 。
求证:RP =RQ 。
24.如图,已知⊙O 的弦CD 垂直于直径AB ,点E 在CD 上,且EC = EB .(1)求证:△CEB ∽△CBD ;(2)若CE = 3,CB=5 ,求DE 的长.ORBQ AP25.如图, 等边⊿ABC,点D、E分别在BC、AC上,且BD=CE,AD与BE 相交于点F.(1)试说明⊿ABD≌⊿BCE.(2)⊿AEF与⊿ABE相似吗?说说你的理由.(3)BD2=AD·DF吗?请说明理由.EC A26.如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,且AB=AC ,点D 在弧BC 上运动,过点D 作DE∥BC,DE 交AB 的延长线于点E ,连结AD 、BD 。
(1)求证:∠ADB=∠E;(2)当点D 运动到什么位置时,DE 是⊙O 的切线?请说明理由。
(3)当AB=5,BC=6时,求⊙O 的半径。
北京第四十一中学2012/2013第一学期期中试题答案及评分标准 一、选择题(每题3分,共30分)1. B2.B3. A4. B5.C6. C7.C8.B9.B 10.B 二、填空题(每题3分,共24分) 11.(-3,2) 12. 4cm 13. 120º 14. 6 15. 2,4,6,8 16.(2,1)或(-2,-1) 17. d >5或0≤ d <1 18.π 三、作图题(每题5分,共10分)19.提示:作两弦垂直平分线,其交点就是圆心。
(作出圆心4分,还原圆1分)20.图略。
A ′(-2,1)B ′(-1,-2)C ′(3,-1)D ′(1,2) (图1分,每个点坐标1分)四、解答题(每题6分,共36分)21.解:∵CO=AO ,∠AOC =40°,∠BOD =40°, ∴∠OAC =70°,∠AOB =50°,∴∠B =60°。
22.解:连结OB 。
2AOB ACB ∴∠=∠。
70ACB ∠= ,140AOB ∴∠= 。
PA PB ,分别是⊙O 的切线。
PA OA ∴⊥,PB OB ⊥。
即90PAO PBO ∠=∠=。
四边形AOBP 的内角和为360 , 360(9090140)P ∴∠=-++ 40= 。
23.连接OQ ,∵RQ 为⊙O 的切线,∴∠OQR =90°。
∴∠PQR +∠BQO=90°。
又∵OA ⊥OB , ∴∠B +∠BPO =90°。
∵OB=OQ ,∴∠B =∠BQO . ∴∠BPO =∠PQR.。
∴RP =RQ 。
24.(1)证明:∵弦CD垂直于直径AB∴BDBC=∴BC=BD∴∠C =∠D又∵EC = EB∴∠C =∠CBE∴∠D =∠CBE又∵∠C =∠C∴△CEB∽△CBD(2)解:∵△CEB ∽△CBD∴CE CBCB CD=∴CD=2252533 CBCE==∴DE = CD-CE =253-3 =16325.(1)∵等边⊿ABC∴AB=BC ∠ABD=∠C在⊿ABD和⊿BCEAB=BC∠ABD=∠CBD=CE∴⊿ABD≌⊿BCE(SAS)(2) 相似理由:∵等边⊿ABC∴∠ABD=∠BAC∵⊿ABD≌⊿BCE∴∠BAD=∠CBE∴∠EAF=∠EBA又∵∠AEF=∠BEA∴△AEF∽△BEA (3) BD2=AD·DF理由:∵在⊿ABD和⊿BFD∠BAD=∠CBE∠ADB=∠BDF∴△ABD∽△BFD北京第四十一中学2012/2013学年度第一学期期中试卷初三 数学 第11页共11页CA CB A∴FDBD BD AD ∴BD 2=AD ·DF26.(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∴∠ABC=∠C。
∵DE∥BC,∴∠ABC=∠E,∴∠E=∠C。
又∵∠ADB=∠C,∴∠ADB=∠E。
(2)当点D 是弧BC 的中点时,DE 是⊙O 的切线。
理由是:当点D 是弧BC 的中点时,则有AD⊥BC,且AD 过圆心O 。
又∵DE∥BC,∴ AD⊥ED。
∴ DE 是⊙O 的切线。
(3)连结BO 、AO ,并延长AO 交BC 于点F ,则AF⊥BC,且BF=21BC=3。
又∵AB=5,∴AF=4。
设⊙O 的半径为r ,在Rt△OBF 中,OF=4-r ,OB=r ,BF=3, ∴ r 2=32+(4-r )2 , 解得r =825, ∴⊙O 的半径是825。