【附加15套高考模拟试卷】江西省等三省十校2020届高三下学期联考数学(理)试卷含答案
闽粤赣三省十二校2020届高三下学期联考数学(理)试题
易知平面
ACD
的一个法向量为
m
0,
0,1
，
m n 2 6 ∴ cos m, n .
mn 3 3
6 因为二面角 F AC D 为锐二面角，故所求余弦值为 ．
3
19．
（Ⅰ）由题意可知
a
c
2
2, 5b2
.
所以
a
2
5,b2
1 .所以椭圆 C 的方程为
21.（本小题 12 分）
已知函数 f (x) x 1 sin x m ln x 1， f (x) 是 f (x) 的导函数.
2
2
（1）证明：当 m 2 时， f (x) 在 (0, ) 上有唯一零点；
（2）若存在 x1, x2 (0, ) ，且 x1 x2 时， f x1 f x2 ，证明： x1x2 m2 .
2
1 B． ln 2
2
C．1 ln 2
1 D． (1 ln 2)
2
12．.设 M ， N 是抛物线 y2 x 上的两个不同的点，O 是坐标原点，若直线 OM 与 ON 的
1 斜率之积为 ，则（ ）
2
A．| OM | | ON | 4 2
B．以 MN 为直径的圆的面积大于 4
x1 3
x1 3
y k x 1,
由
x2
5y2
5
消去
y得
1 5k 2
x2 10k 2 x 5
k2 1
0 .显然 0 恒成立.
所以 x1 x2
10k 2
2020年6月江西省上饶市普通高中2020届高三毕业班下学期第三次高考模拟考试数学(理)试题及答案解析
绝密★启用前江西省上饶市普通高中2020届高三毕业班下学期第三次高考模拟考试数学(理)试题2020年6月1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。
3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效。
第I卷一、选择题：共12小题，每小题5分,共60分。
在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝<2},B＝{x|x≤5},则A∩B＝A.{x|x≤5}B.{x|3≤x≤5}C.{x|3≤x<7}D.{x|3<x≤5}2.设复数z满足zi＝1＋2i(为虚数单位),则z在复平面内所对应的点所在的象限是A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限1)5的展开式中1x项的系数为A.－5B.－10C.5D.104.执行如图的程序框图,若输入x,则输出的值为A.5B.7C.9D.155.若1sin()63πα+=,则5sin(2)6πα+=A.79B.13C.89D.236.已知等差数列{a n}的前项和为S n,且2783622011a a aa a++=+,则118SS=A.37B.16C.511D.547.将曲线x2＋y2＝|x|＋|y|围成的区域记为I,曲线|x|＋|y|＝1围成的区域记为II,在区域I中随机取一点,此点取自区域II的概率为A.12π+B.11π+C.22π+D.21π+8.在明代珠算发明之前,我们的先祖从春秋开始多是用算筹为工具来记数、列式和计算。
算筹实际上是一根根相同长度的小木棍,算筹有纵式和横式两种,如图是利用算筹表示1～9的数字,表示多位数时,个位用纵式,十位用横式,百位用纵式,千位用横式,以此类推,例如,137可以用7根小木棍表示“”,则用6根小木棍(要求用完6根)能表示不含“0”且没有重复数字的三位数的个数是A.12B.18C.24D.279.已知函数f(x)＝－x2＋2＋cos2x(x∈[－π,π]),则不等式f(x＋1)－f(2)>0的解集为。
江西省2020年高考数学三诊试卷(理科)(II)卷
江西省2020年高考数学三诊试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8}，集合S={1,3,5}，T={3,6]，则等于（）A .B . {2,4,7,8}C . {1,3,5,6}D . {2,4,6,8}2. （2分）复数i(i+1)等于（）A . 1+iB . -1+iC . 1-iD . -1-i3. （2分） (2018高一下·定远期末) 扇形AOB的半径为1，圆心角为90°.点C ， D ， E将弧AB等分成四份．连接OC ， OD ， OE ，从图中所有的扇形中随机取出一个，面积恰为的概率是（）A .B .C .D .4. （2分）(2018·衡水模拟) 等比数列中，，函数，则（）A .B .C .D .5. （2分）(2014·大纲卷理) 若向量、满足：| |=1，（ + ）⊥ ，（2 + ）⊥ ，则| |=（）A . 2B . BC . 1D .6. （2分）(2019·哈尔滨模拟) 阅读如图所示的程序框图，若运行相应的程序输出的结果为，则判断框中的条件不可能是（）A .B .C .D .7. （2分）(2017·武汉模拟) 已知函数f（x）=sin（ωx+ ）﹣ cos（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期为2π，则f（﹣）=（）A .B .C .D .8. （2分）某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A .B .C .D . 19. （2分） (2019高三上·新洲月考) 将函数的图象向右平移个单位长度后所得的图象关于轴对称，则在上的最小值为（）A .B . -1C . -2D . 010. （2分） (2017高二上·四川期中) 与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线方程为（）A .B .C .D .11. （2分）已知三棱锥的各顶点都在同一球面上，且平面，若该棱锥的体积为，，，，则此球的表面积等于（）A .B .C .D .12. （2分）(2017·石家庄模拟) 若函数f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象与x轴相切于一点A（m，0）（m≠0），且f（x）的极大值为，则m的值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2015高三上·平邑期末) 若x，y满足约束条件，且目标函数z=3x+y取得最大值为11，则k=________．14. （1分） (2018高二上·拉萨月考) 已知直线上有两个点和 , 且为一元二次方程的两个根, 则过点且和直线相切的圆的方程为________.15. （1分） (2016高三上·安徽期中) （x2+ ﹣2）3展开式中的常数项为________．16. （1分）在等比数列{an}中，公比q=﹣2，且a3a7=4a4 ，则a8与a11的等差中项为________．三、解答题 (共7题；共75分)17. （10分）(2019·安徽模拟) 在中，已知，且为锐角.（1）求；（2）若，且的面积为，求的周长.18. （15分） (2019高三上·凤城月考) 某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．晋级成功晋级失败合计男16女50合计（1）求图中的值；（2）根据已知条件完成下面列联表，并判断能否有的把握认为“晋级成功”与性别有关？（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为，求的分布列与数学期望．（参考公式：，其中）0.400.250.150.100.050.0250.780 1.323 2.072 2.706 3.841 5.02419. （10分） (2017高二上·晋中期末) 如图1所示，在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD为∠ACB 的平分线，点E在线段AC上，CE=4．如图2所示，将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连接AB，设点F 是AB的中点．（1）求证：DE⊥平面BCD；（2）若EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥B﹣DEG的体积．20. （10分）(2018·保定模拟) 椭圆的离心率为，且过点 .（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上任一点，为其右焦点，点满足 .①证明：为定值；②设直线与椭圆有两个不同的交点，与轴交于点 .若成等差数列，求的值.21. （10分）已知函数有如下性质：如果常数t＞0，那么该函数在上是减函数，在上是增函数．（1）已知f（x）= ﹣8，x∈[0，1]，利用上述性质，求函数f（x）的单调区间和值域；（2）对于（1）中的函数f（x）和函数g（x）=﹣x﹣2a，若对任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使得g （x2）=f（x1）成立，求实数a的取值范围．22. （10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线C1的参数方程为（θ为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程；（2）曲线C2的极坐标方程为θ= （ρ∈R），求C1与C2的公共点的极坐标．23. （10分） (2019高一上·启东期中) 已知函数．（1）若时，，求的值；（2）若时，函数的定义域与值域均为，求所有值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共75分)17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
2024届高三数学仿真模拟卷(全国卷)(理科)(考试版)
2024年高考第三次模拟考试高三数学（理科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}24A x x =-≤≤，{}260B x x x =-≥，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]0,4C ．[]2,6-D ．[]4,62．已知3i 2z a =（R a ∈，i 是虚数单位），若21322z =，则=a （）A ．2B ．1C ．12D ．143．如图，已知AM 是ABC 的边BC 上的中线，若AB a=，AC b = ，则AM 等于（）A ．()12a b- B ．()12a b-- C ．()12a b+ D ．()12a b-+ 4．已知函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则()f x 的单调递减区间为（）A ．()π5π2π,2πZ 66k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦B ．()5π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦C ．()4ππ2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦D ．()π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦5．已知直线l 过点()1,1A 交圆22:4O x y +=于,C D 两点，则“CD =l 的斜率为0”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分必要条件C ．充分而不必要条件D ．即不充分也不必要条件6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）A ．24种B ．54种C ．96种D ．120种7．函数()πln sin 2x x f x x⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=的部分图象大致为（）A ．B ．C．D．8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α的距离为2R ，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A3R B3R C3R D3R9．已知函数()21e 3ln ,ln ,ln ,ln 222f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．a c b<<10．已知数列{}n a 满足1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a =，1a 的所有可能取值构成集合M ，则M 中的元素的个数是（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个11．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，A ，2F ，B 三点共线，若直线1BF1AF的斜率为，则双曲线C 的离心率是（）AB ．32CD ．312．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.14．若函数()sin 1f x x x ωω=-在[]0,2π上恰有5个零点，且在ππ[,415-上单调递增，则正实数ω的取值范围为.15．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=．（用数字作答）16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()4()0f x f x '+>，且(01f =），则下列说法正确的是.①()f x 是奇函数；②(0,),()0x f x ∃∈+∞>；③41(1)e f >；④0x ∀>时，41()e xf x <三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直，其中A ，B ，C 为ABC的内角．(1)求cos A 的大小；(2)若BC =ABC 的面积的最大值．18．（12分）2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：参与调查问卷次数[)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12参与调查问卷人数814814106(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成22⨯列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？男女合计关注流行语8不关注流行语合计40(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．附：参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++及附表()2P K k ≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82819．（12分）在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．(1)求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；(2)是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．21．（12分）已知函数()2,0eax x f x a =>．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)当0x >时，不等式()()2cos ln ln 4f x f x a x x ⎡⎤-≥-⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB =，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.选修4-5：不等式选讲23．已知()2122f x x x x =-+-+.(1)求()2f x ≥的解集；(2)记()f x 的最小值为t ，且2(0,0)3a b t a b +=>>，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.。
2024届江西省江西省多校联考模拟预测数学试题(解析版)
2023-2024学年高三年级5月统一调研测试数学试卷试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.抛物线212y x=的焦点到准线的距离为（）A.2B.1C.12D.14【答案】B 【解析】【分析】根据抛物线的几何性质可得选项.【详解】由212y x =得22x y =，所以1p =，所以抛物线212y x =的焦点到准线的距离为1，故选：B.2.若i 是关于x 的方程()20,x px q p q ++=∈R 的一个根，则q =（）A.1B.1-C.2D.2-【答案】A 【解析】【分析】利用复数相等即可解决.【详解】因为i 是关于x 的方程()20,x px q p q ++=∈R 的一个根，所以2i i 0p q ++=，即1i 0p q -++=，故1i 0q p -+=，所以10q -=，且0p =，故1q =.故选：A.3.已知数列{}n a 满足()n a n a a =-∈R ，则“1a ≤”是{}n a 是递增数列的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】当1a ≤时0n a n a =-≥，则n a n a n a =-=-，所以()1110n n a a n a n a +-=+---=>，即1n n a a +>，所以{}n a 是递增数列，故充分性成立；当54a =时1,15454,24n n a n n n ⎧=⎪⎪=-=⎨⎪-≥⎪⎩，则123a a a <<< ，所以{}n a 是递增数列，所以当数列{}n a 是递增数列，a 可以大于1，所以必要性不成立，所以“1a ≤”是{}n a 是递增数列的充分不必要条件.故选：B4.若()e ln 0aa b b a =>，则（）A.a b <B.a b= C.a b> D.无法确定【答案】A 【解析】【分析】令e ln a a b b k ==，0k >，构造函数，作出函数图象，即可比大小.【详解】因为0a >，所以e 0a a a >>，因为e ln a a b b =，所以ln 0b b >，可得1b >，令e ln a a b b k ==，0k >，所以e ,ln ak k b a b==，设()x f x e =，()ln g x x =，()kh x x=，作出它们的图象如图：由图可知a b <.故选项A 正确.故选：A.5.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a ，b ，m ()0m >为整数，若a 和b 同时除以m 所得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为()mod a b m ≡．若1230303030C C C a =+++ ，()mod10a b ≡，则b 的值可以是（）A.2021B.2022C.2023D.2024【答案】C 【解析】【分析】由()1012303010303030C C C 21811021a =+++=-=-=-- 结合二项式定理求出a 除以10的余数，再结合选项即可得解.【详解】()1012303010303030C C C 21811021a =+++=-=-=-- ()()()21001019281010101010C 10C 102C 102C 21=+⨯-+⨯-++-- ()()9918910101010C 102C 210241⎡⎤=+⨯-++-+-⎣⎦ ()()9918910101010C 102C 21023⎡⎤=+⨯-++-++⎣⎦，所以a 除以10的余数为3，选项中除以10余数为3的数只有2023.故选：C.6.已知函数()()sin 0f x x x ωωω=+>在区间()0,π上恰有两个极值点12,x x ，则()12f x x +的值为（）A.1B.C. D.2【答案】C 【解析】【分析】先利用辅助角公式化一，再根据12,x x 是()f x 在区间()0,π上的两个极值点，求出()12x x ω+，即可得解.【详解】()πsin 2sin 3f x x x x ωωω⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，因为()0,πx ∈，所以πππ,π333x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，因为12,x x 是()f x 在区间()0,π上的两个极值点，不妨设12x x <，则12ππ32π3π32x x ωω⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以()124π3x x ω+=，所以()()1212π5π2sin 2sin 33f x x x x ω⎡⎤+=++==⎢⎥⎣⎦.故选：C.7.已知点M 是圆221x y +=上一点，点N 是圆()22:33C x y -+=上一点，则CMN ∠的最大值为（）A.π2B.π3C.π4D.π6【答案】B 【解析】【分析】利用圆的最值问题和正弦定理即可求解.【详解】圆221x y +=的圆心()0,0O ，半径11r =，圆()22:33C x y -+=的圆心()3,0C ，半径2r =在三角形CMN中，CN =，根据正弦定理可得，sin sin CN CM CMN CNM=∠∠，即sin sin CM CMN CNM=∠∠，所以3sin sin CNMCMN CM∠∠=，因为1312CM CO r ≥-=-=，sin 1CNM ∠≤，所以sin 2CMN ∠≤，因为CN CM <，所以CMN ∠是锐角，所以CMN ∠的最大值为π3.故选：B.8.现为一球形玩具设计一款球形的外包装盒（盒子厚度忽略不计）．已知该球形玩具的直径为2，每盒需放入4个玩具球，则该种外包装盒的直径的最小值为（）A.2B.2+C.2-D.2+【答案】D 【解析】【分析】根据外包装盒的直径最小得出四个球两两外切，结合外接球的知识可得答案.【详解】当外包装盒的直径最小时，四个球两两外切且内切于包装盒这个大球，所以大球的半径是棱长为2的正四面体的外接球半径与小球半径的和，把棱长为2的正四面体补形为棱长为的正方体，则正四面体的外接球就是正方体的外接球，其半径为62=，所以外包装盒的直径的最小值为62122⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭.故选：D【点睛】方法点睛：几何体外接球半径常见的求解方法:1、直接法：确定球心位置，借助三角形知识求出半径；2、补形法：把几何体补成常见几何体（正方体，长方体等）借助它们的棱长与外接球半径的关系可得答案.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设集合{}2|3210A x x x =--=，{}|10B x ax =-=，若A B A ⋃=，则a 的值可以为（）A.1B.0C.13-D.3-【答案】ABD 【解析】【分析】由A B A ⋃=，可得B A ⊆，再分0a =和0a ≠两种情况讨论即可.【详解】{}21|3210,13A x x x ⎧⎫=--==-⎨⎬⎩⎭，因为A B A ⋃=，所以B A ⊆，当0a =时，B A =∅⊆，当0a ≠时，{}1|10B x ax a ⎧⎫=-==⎨⎬⎩⎭，则113a =-或11a=，所以3a =-或1，综上所述，3a =-或0或1.故选：ABD .10.已知函数()f x 对任意的x ，y ∈R ，都有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，且()00f ≠，()21f =-，则（）A.()01f = B.()f x 是奇函数C.()f x 的周期为4D.()100215100n n f n ==∑，*n ∈N【答案】ACD 【解析】【分析】令0x y ==，即可判断A ；令0x =，即可判断B ；令1x y ==，求出()1f ，再令1y =，即可判断C ；根据C 选项可求出()()3,4f f ，再根据函数的周期性即可判断D.【详解】由()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，令0x y ==，则()()22020f f =⎡⎤⎣⎦，又()00f ≠，所以()01f =，故A 正确；令0x =，则()()()()()202f y f y f f y f y +-==，所以()()-=f y f y ，所以()f x 是偶函数，故B 错误；令1x y ==，则()()()220210f f f +==⎡⎤⎣⎦，所以()10f =，令1y =，则()()()()11210f x f x f x f ++-==，所以()()11f x f x +=--，即()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，所以()f x 的周期为4，故C 正确；由()()2f x f x +=-，得()()()()310,421f f f f =-==-=，所以()10022222221246898100n n f n ==-+-+--+∑ ()()()()()()242468689810098100=+-+++-++++-+ ()224698100=⨯+++++ ()221005051002⨯+⨯==，故D 正确.故选：ACD.11.已知()2,0A -，()2,0B ，()1,0C ，动点M 满足MA 与MB 的斜率之积为34-，动点M 的轨迹记为Γ，过点C 的直线交Γ于P ，Q 两点，且P ，Q 的中点为R ，则（）A.M 的轨迹方程为22143x y +=B.MC 的最小值为1C.若O 为坐标原点，则OPQ △面积的最大值为32D.若线段PQ 的垂直平分线交x 轴于点D ，则R 点的横坐标是D 点的横坐标的4倍【答案】BCD 【解析】【分析】根据求轨迹方程的方法即可求得选项A ，结合椭圆的性质即可判断选项B ，联立直线PQ 与椭圆方程，结合韦达定理，即可求出OPQ △的面积，利用导数可判断选项C ，利用中点坐标公式及直线PQ 与直线RD 的关系，即可求出R 点和D 点的横坐标，从而判断选项D.【详解】对于选项A ，设(),M x y ，因为()2,0A -，()2,0B ，所以3224MA MB y y k k x x ⋅=⋅=-+-，化简得()221243x y x +=≠±，故A 错误；对于选项B ，因为()221243x y x +=≠±，则2a =，b =，则1c ==，所以()1,0C 为椭圆的右焦点，则min 211MC a c =-=-=，故B 正确；对于选项C ，设PQ 的方程1x my =+，代入椭圆方程，得()2234690m y my ++-=，设()()1122,,,P x y Q x y ，则12122269,3434m y y y y m m --+==++，()22Δ3636340m m =++>，所以1212OPQS OC y y =-==26134m =+，1t =≥，则2631=+ OPQt S t 613=+t t，令()()131g t t t t =+≥，则()6OPQ S g t = ()()2221311,30t t g t t t-=-='≥>，()g t 在[)1,+∞为增函数，()()14g t g ≥=，()min 4g t =，所以()max6342OPQS == ，当且仅当1t =时即0m =等号成立，故C 正确；对于选项D ，因为1212,22x x y y R ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，()21212223411223434m y y x x m m m ++-=+=+=++，1223234+-=+y y mm ，所以2243,3434m R m m -⎛⎫⎪++⎝⎭，则2434=+R x m ，设(),0D D x ，则2231341434+⋅=⋅=--+PQ RDDm m k k m x m ，则2134=+D x m ，所以224344134+==+R Dx m x m ，则R 点的横坐标是D 点的横坐标的4倍，故D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是利用面积公式得出面积表达式，结合导数得出最值；二是根据垂直平分得出点之间的关系.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量a ，b 满足2b = ，向量a 在b 上的投影向量为12b，则a b ⋅= ___________．【答案】2【解析】【分析】首先利用投影向量的定义求出cos ,1a a b = ，再利用数量积的定义求出a b ⋅即可.【详解】由已知向量a 在b 上的投影向量为12b ，则1cos ,2b a a b b b ⋅=，又因为即2b = ，所以cos ,1a a b =.所以()cos ,cos ,2a b a b a b a a b b ⋅==⋅= 故答案为：213.在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线():e 1xC y x =<的一条切线l 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，则OAB 的面积的最大值为___________．【答案】2e【解析】【分析】设切点()00,e x x ，求导=e xy ，切线方程()000ee x x y x x -=-，求出()01,0A x -,()()000,1e xB x -,得到000111e 2x AOB S x x =-- ,构造函数求解最值.【详解】设切点()00,ex x ，01x<，求导得=e x y ，则切线方程()000e e x x y x x -=-，由切线l 与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，则()01,0A x -,()()000,1e x B x -,得到()0020001111e 1e 22x x AOB S x x x =--=- ,构造函数()()211e 2xg x x =-,1x <，求导()()()()()2111e 1e 11e 22x x xg x x x x x '=-+-=-+，令()0g x '=，=1x -，所以()(),1,0x g x ∞'∈-->，()g x 单调递增，()()1,1,0x g x ∈-'<，()g x 单调递减，所以()()()max 2g 1ex g x g ==-=极大值.故答案为：2e.14.如图是飞行棋部分棋盘，飞机的初始位置为0号格，抛掷一枚质地均匀的骰子，若抛出的点数为1，2，飞机向前移一格；若抛出的点数为3，4，5，6，飞机向前移两格．直到飞机移到第n 1-（5n ≥且n +∈N ）格（失败集中营）或第n 格（胜利大本营）时，游戏结束．则飞机移到第3格的概率为___________，游戏胜利的概率为___________．【答案】①.1327②.22425153n -⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭，5n ≥，且n +∈N .【解析】【分析】记飞机移动到第i 格的概率为()11,N i P i n i +≤≤-∈，由题意可得111233i i i P P P +-=+，再根据递推公式求出数列{}i P 的通项，即可得解.【详解】记飞机移动到第i 格的概率为()11,N i P i n i +≤≤-∈，则12131212172113,,33393327P P P P P P ==+==+=，111233i i i P P P +-=+，即112233i i i i P P P P +-+=+，所以数列123i i P P -⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是常数列，所以12122133i i P P P P -+=+=，即1323535i i P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，又134515P -=-，所以数列35i P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以415-为首项，23-为公比的等比数列，，所以134222515353i i i P -⎛⎫⎛⎫-=-⋅-=⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以322553ii P ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭，因为第n 格只能由第2n -格跳到，22322553n n P --⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭，所以游戏胜利的概率22224235153n n P P --⎛⎫==+⋅- ⎪⎝⎭.故答案为：1327；22425153n -⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭，5n ≥，且n +∈N 【点睛】关键点点睛：记飞机移动到第i 格的概率为()11,N i P i n i +≤≤-∈，由题意可得111233i i i P P P +-=+，是解决本题的关键.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c ，且cos sin tan cos sin B C A C B-=+．（1）若π6B =，求C 的大小．（2）若2a =，求b c +的取值范围．【答案】（1）2π3C =（2）()2,+∞【解析】【分析】（1）由cos sin tan cos sin B CA C B-=+，得sin cos sin sin cos cos cos sin A C A B A B A C +=-，再利用两角和差的正余弦公式化简，进而可求得,A B 的关系，即可得解；（2）利用正弦定理求出,b c ，再根据,A B 的关系结合三角函数的性质即可得解.【小问1详解】因为cos sin tan cos sin B CA CB -=+，所以sin cos sin cos cos sin A B C A C B-=+，即sin cos sin sin cos cos cos sin A C A B A B A C +=-，即sin cos cos sin cos cos sin sin A C A C A B A B +=-，所以()()sin cos A C A B +=+，即()sin cos B A B =+，而(0π)A,B ,∈，所以π2B A B ++=或()π2B A B -+=，所以22πA B +=或π2A =-（舍去），又因为π6B =，所以π6A =，所以2π3C =；【小问2详解】由（1）得22πA B +=，因为sin sin sin a b cA B C==，所以sin 2sin 2sin 2sin πsin sin cos 2sin 22a B BB Bb A AB B ====⎛⎫- ⎪⎝⎭，π2sin sin 2sin 2cos 2πsin sin cos 2sin 22B a C C B c A A BB ⎛⎫+ ⎪⎝⎭====⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()()222sin cos 2sin cos 22πcos 2cos sin cos sin cos 4B B B B b c BB BB BB +++====--⎛⎫+ ⎪⎝⎭，又由0ππ02π2π0π2B B B ⎧⎪<<⎪⎪<-<⎨⎪⎪<+<⎪⎩，得π04B <<，所以2ππ4π4B <+<，所以π20cos 42B ⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，所以()2,b c +∈+∞.16.如图所示，四边形BCDE 为直角梯形，且//BC DE ，ED CD ⊥，2BC =，CD =，1ED =．ABE 为等边三角形，平面ABE ⊥平面BCDE．（1）线段AC 上是否存在一点G ，使得DG//平面ABE ，若存在，请说明G 点的位置；若不存在，请说明理由；（2）空间中有一动点Q ，满足AQ BE ⊥，且0QB QC ⋅=．求点Q 的轨迹长度．【答案】（1）线段AC 上存在中点G ，使得DG//平面ABE ，理由见解析（2【解析】【分析】（1）取BC 的中点F ，AC 的中点G ，连接DG ，GF ，DF ，即可证明//DF BE ，//GF AB ，从而得到平面//GFD 平面ABE ，即可得到DG//平面ABE ；（2）取BE 的中点H ，连接AH 、CH ，即可证明BE ⊥平面AHC ，从而得到Q ∈平面AHC ，又0QB QC ⋅=，则点Q 在以BC 为直径的球与平面AHC 的交线上，即点Q 的轨迹为圆，取BC 的中点O ，过点O 作//OT CH 交CH 于点T ，则OT ⊥平面AHC ，再求出Q 的轨迹圆的半径r ，即可气求出轨迹长.【小问1详解】线段AC 上存在中点G ，使得DG//平面ABE ，理由如下：取BC 的中点F ，AC 的中点G ，连接DG ，GF ，DF ，因为//BC DE 且12DE BC BF ==，所以四边形DEBF 为平行四边形，所以//DF BE ，DF ⊄平面ABE ，BE ⊂平面ABE ，所以//DF 平面ABE ，又//GF AB ，GF ⊄平面ABE ，AB ⊂平面ABE ，所以//GF 平面ABE ，又DF GF F = ，,DF GF ⊂平面GFD ，所以平面//GFD 平面ABE ，又DG ⊂平面GFD ，所以DG//平面ABE ，即G 为线段AC 的中点时，DG//平面ABE .【小问2详解】取BE 的中点H ，连接AH 、CH ，又()22132CB EC ==+=，ABE 为等边三角形，所以AH BE ⊥，CH BE ⊥，AH CH H ⋂=，,AH CH ⊂平面AHC ，所以BE ⊥平面AHC ，又AQ BE ⊥，所以Q ∈平面AHC ，又0QB QC ⋅=，所以点Q 在以BC 为直径的球上，所以点Q 在以BC 为直径的球与平面AHC 的交线上，即点Q 的轨迹为圆，取BC 的中点O ，由BE ⊥平面AHC ，过点O 作OT CH ⊥交CH 于点T ，则OT ⊥平面AHC ，又()()223212BE =+-=，则1122OT BH ==，设球的半径为R ，Q 的轨迹圆的半径为r ，则112R BC ==，2213122r ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以点Q 的轨迹长度为32π2π3π2r =⨯=.17.已知函数()()ln ,,0f x x a x b a b a =--∈≠R ．（1）若1a b ==，求()f x 的极值；（2）若()0f x ≥，求ab 的最大值．【答案】（1）极小值()10f =，无极大值；（2）e2【解析】【分析】（1）先对()f x 求导，根据单调性求出()f x 的极值；（2）由函数单调性和()0f x ≥得出关于ab 的不等关系式，再通过求导得出最大值.【小问1详解】1a b ==时，()ln 1f x x x =--，函数()f x 的定义域()0,∞+，()111x f x x x'-=-=，()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，()1,+x ∞∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以1x =时，()f x 取得极小值，极小值为()10f =，无极大值.【小问2详解】函数()f x 的定义域()0,∞+，()()10a x af x a x x-=-=≠'，当a<0时，()0f x '>，函数()f x 在()0,∞+上单调递增，x 趋向于0时，()f x 趋向于-∞，与()0f x ≥矛盾.当0a >时，则()0,x a ∈时，()0f x '<，()f x 在()0,a 上单调递减，则(),+x a ∞∈时，()0f x '>，()f x 在(),+a ∞上单调递增，x a =时，()f x 取得最小值，最小值为()ln 0f a a a a b =--≥，即ln a a a b -≥，则()22ln 0ab a a a a ≤->，令()22()ln 0g x x x x x =->，()()22ln 2ln 12ln g x x x x x x x x x x =--=-=-'，(x ∈时，()0g x '>，()g x 在(x ∈上单调递增，)x ∞∈时，()0g x '<，()g x 在)x ∞∈上单调递减，x =()g x 取得最大值，最大值为e ee 22g =-=，即当a =e2b =，ab 的最大值为e 2.18.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右顶点分别为A ，B ，渐近线方程为y =，过左焦点()2,0F -的直线l 与C 交于G ，H 两点．（1）设直线AG ，AH 的斜率分别为1k ，2k ，求12k k 的值；（2）若直线AG 与直线BH 的交点为P ，试问双曲线C 上是否存在定点Q ，使得PFQ △的面积为定值？若存在，求出定点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）129k k =-（2）存在定点()2,3Q -或()2,3--【解析】【分析】（1）根据题意求出双曲线的方程，设直线l 的方程为()()11222,,,,3x my m G x y H x y ⎛=-≠± ⎝⎭，联立方程，利用韦达定理求出1212,y y y y +，再根据斜率公式化简整理即可得出答案；（2）设()00,P x y ，求出直线AG 的方程为()1111y y x x =++，直线BH 的方程为()2211y y x x =--，再根据题意可得()()1200121111y y x x x x +=-+-，从而可得0011x x +-，进而可求出0x ，进而可得出结论.【小问1详解】设双曲线的焦距为2c ，则2,c ba==因为222c a b =+，所以1,a b ==所以双曲线的方程为2213y x -=，由题意，直线l 不与双曲线的渐近线平行且斜率不等于零，故可设直线l 的方程为()()112232,,,,3x my m G x y H x y ⎛=-≠±⎝⎭，联立22132y x x my ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，得()22311290m y my --+=，则()()22214436313610m m m ∆=--=+>，121222129,3131m y y y y m m +==--，()1,0A -，则()1212121221212121211111y y y y y y k k x x my my m y y m y y =⋅=⋅=++---++2222222993199129123113131m mm m m m m m m -===--+-⋅-⋅+--，所以129k k =-；【小问2详解】假设存在点Q ，()10B ,，设()00,P x y ，直线AG 的方程为()1111y y x x =++，直线BH 的方程为()2211y y x x =--，因为直线AG 与直线BH 的交点为P ，所以()()1200121111y yx x x x +=-+-，所以()()()()()21211212101220121212112111111333y x y my my y y y y x my y y x y x y my my y y my y y +--+++-====-----，由（1）知121222129,3131m y y y y m m +==--，代入上式，得112220012129123113131319313333131m m m y y x m m m m m x y y m m -+-++---===--⎛⎫-- ⎪--⎝⎭，所以012x =-，故点P 在直线12x =-上，设点Q 为过左焦点()2,0F -且与直线12x =-平行的直线与双曲线C 的交点，则点Q 的坐标为()2,3-或()2,3--，1393224PFQ S =⨯⨯= ，所以双曲线C 上存在定点()2,3Q -或()2,3--，使得PFQ △的面积为定值.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.19.在信息理论中，X 和Y 是两个取值相同的离散型随机变量，分布列分别为：()i i P X x m ==，()i i P Y x n ==，0i m >，0i n >，1,2,,i n = ，111n ni i i i m n ====∑∑．定义随机变量X 的信息量()21log ni i i H X m m ==-∑，X 和Y 的“距离”()21log nii i im KL XY m n ==∑．（1）若12,2XB ⎛⎫⎪⎝⎭，求()H X ；（2）已知发报台发出信号为0和1，接收台收到信号只有0和1．现发报台发出信号为0的概率为()01p p <<，由于通信信号受到干扰，发出信号0接收台收到信号为0的概率为q ，发出信号1接收台收到信号为1的概率为()01q q <<．（ⅰ）若接收台收到信号为0，求发报台发出信号为0的概率；（用p ，q 表示结果）（ⅱ）记随机变量X 和Y 分别为发出信号和收到信号，证明：()0KL X Y ≥．【答案】（1）32（2）（ⅰ）12pqp q pq--+；（ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（1）首先得到X 的分布列，再根据所给定义求出()H X ；（2）（ⅰ）记发出信号0和1分别为事件()0,1i A i =，收到信号0和1分别为事件()0,1i B i =，根据全概率公式求出()0P B ，再由条件概率公式求出()00|P A B ；（ⅱ）结合（ⅰ）及所给定义表示出()KL X Y ，设()11ln f x x x=--，利用导数证明1ln 1x x ≥-，从而得到2ln 11log 1ln 2ln 2x x x ⎛⎫=≥- ⎪⎝⎭，即可证明()0KL X Y ≥.【小问1详解】因为12,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，所以()221C 2k P X k ⎛⎫== ⎪⎝⎭()0,1,2k =，所以X 的分布列为：X12P141214所以()2221111113log log log 4422442H X ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭.【小问2详解】（ⅰ）记发出信号0和1分别为事件()0,1i A i =，收到信号0和1分别为事件()0,1i B i =，则()0P A p =，()11P A p =-，()()0011||P B A P B A q ==，()()1001||1P B A P B A q ==-，所以()()()()()0000101||P B P A P B A P A P B A =+()()1112pq p q p q pq =+--=--+，所以()()()()000000||12P A P B A pqP A B P B p q pq==--+；（ⅱ）由（ⅰ）知()012P B p q pq =--+，则()()1012P B P B p q pq =-=+-，则()()22log log 11122p pp p q pq p q pqKL XY p =-+---++-，设()11ln f x x x =--，则()22111xf x x x x-'=-=，所以当01x <<时()0f x ¢>，()f x 单调递增，当1x >时()0f x '<，()f x 单调递减；所以()()10f x f ≤=，即1ln 1x x≥-（当且仅当1x =时取等号），所以2ln 11log 1ln 2ln 2x x x ⎛⎫=≥- ⎪⎝⎭，所以()()22log log 11122p p p p q pq p q pqKL X Y p =-+---++-1212110ln 21ln 2p q pq p p q pq p p p ⎛⎫⎛⎫--+-≥+--+-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，当且仅当11122p p p q pq p q pq -==--++-，即12p =，01q <<时等号成立，所以()0KL X Y ≥.【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是理解题干所给定义，第二问关键是利用导数证明1ln 1x x≥-（当且仅当1x =时取等号），从而得到2ln 11log 1ln 2ln 2x x x ⎛⎫=≥- ⎪⎝⎭.。
江西省九江市十校2020届高三下学期模拟考试数学(理)试题217C Wrod版含答案
数学（理科）考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若132z i =-+，则1z z+=（ ） A.3- B.3 C.1-D.12.设集合{}2|120A x x x =+-<，{|23}B x x =+<，则A B =I （ ）A.{|7}x x <B.{|23}x x -<…C.{|23}x x -<< D .{|43}x x -<<3.某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）A.7.5%B.6.25%C.10.25%D.31.25%4.若双曲线221(0)mx ny m +=>5，则mn=（ ） A.14B.14-C.4D.4- 5.如图在等腰直角ABC △中，D ，E 分别为斜边BC 的三等分点（D 靠近点B ），过E 作AD 的垂线，垂足为F ，则AF =（ ）A.841515AB AC +u u ur u u u r B.2155AB AC +u u ur u u u r C.481515AB AC +u u ur u u u rD.3155AB AC +u u ur u u u r 6.已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P ABC -的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（ ）A.PA ，PB ，PC 两两垂直B.三棱锥P ABC -的体积为83C.三棱锥P ABC -的侧面积为35D.||||||6PA PB PC ===7.山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：mm ）服从正态分布()280,5N ，则直径在(75,90]内的概率为（附：若()2~,X Nμσ，则()0.6826P X μσμσ-<+=„，(22)0.9544P X μσμσ-<+=„）A.0.6826B.0.8413C.0.9544D.0.81858.已知函数()sin 3(0)f x x x ωωω=+>的图象关于直线8x π=对称，则ω的最小值为（ ） A.13B.43C.23D.839.若曲线43(0)y x x ax x =-+>存在斜率小于1的切线，则a 的取值范围为（ ） A.3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B.1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C.5,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D.1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭10.已知函数2943,0,()2log 9,0,x x x f x x x ⎧+=⎨+->⎩„则函数(())y f f x =的零点所在区间为（ ） A.(1,0)-B.73,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C.7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D.(4,5)11.已知直线(1)y k x =-与抛物线2:4C y x =交于A ，B 两点，直线2(2)y k x =-与抛物线2:8D y x =交于M ，N 两点，设||2|AB MN λ=-，则（ ） A.12λ=- B.120λ-<<C.16λ=-D.16λ<-12.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为（ ）A.56383B.59189C.57171D.61242第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.82x ⎛ ⎝的展开式中1x 的系数为___________.（用数字作答） 14.在等比数列{}n a 中，121a a +=，1527a a +=，则{}n a 的前5项和为___________.15.已知()f x 为偶函数，当04x <„时，()23xf x =-，当4x …时，()212f x x =-，则不等式()5f x >的解集为___________.16.在矩形ABCD 中，4BC =，M 为BC 的中点，将ABM △和DCM △分别沿AM ，DM 翻折，使点B 与C 重合于点P .若150APD ∠=︒，则三棱锥M PAD -的外接球的表面积为_______.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.（12分）如图，四棱锥E ABCD -的侧棱DE 与四棱锥F ABCD -的侧棱BF 都与底面ABCD 垂直，AD CD ⊥，AB CD P ，3AB =，4AD CD ==，5AE =，32AF =.（1）证明：DF P 平面BCE .（2）求平面ABF 平面CDF 所成的锐二面角的余弦值. 18.（12分）已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΩ+=>>的焦距为6，短轴长为22.（1）求Ω的方程；（2）若直线2y x =+与Ω相交于A ，B 两点，求以线段AB 为直径的圆的标准方程. 19.（12分）ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知2C A =，4a =，6c =.（1）求b ；（2）求ABC △内切圆的半径. 20.（12分）追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（AQI ）的检测数据，结果统计如下：AQI [0,50] (50,100] (100,150] (150,200] (200,250] (250,300]空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 天数61418272520（1）从空气质量指数属于[0,50]，(50,100]的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率.（2）已知某企业每天因空气质量造成的经济损失y （单位：元）与空气质量指数x 的关系式为0,0100,220,100250,1480,250300.x y x x ⎧⎪=<⎨⎪<⎩剟„„假设该企业所在地7月与8月每天空气质量为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染的概率分别为，16，13，16，112，11216.9月每天的空气质量对应的概率以表中100天的空气质量的频率代替.（i ）记该企业9月每天因空气质量造成的经济损失为X 元，求X 的分布列；（ii ）试问该企业7月、8月、9月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望是否会超过2.88万元？说明你的理由. 21.（12分）已知函数()2ln(1)sin 1f x x x =+++，函数()1ln (,R,0)g x ax b x a b ab =--∈≠. （1）讨论()g x 的单调性；（2）证明：当0x ≥时，()31f x x +„.（3）证明：当1x >-时，()2sin ()22xf x x x e<++.（二）选考题：共10分.请考生从第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分.22.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中曲线C 的参数方程为12cos ,2sin x y ϕϕ=-+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.已知点P 的直角坐标为(2,0)-，过P 的直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点.（1）若l 的斜率为2，求l 的极坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）求PM PN ⋅u u u u r u u u r的值.23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数()|21||21|f x x x =-++，记不等式()4f x <的解集为M . （1）求M ；（2）设a ，b M ∈，证明：||||||10ab a b --+>.数学参考答案（理科）1.C 因为1322z i=-+，所以1131312222z i iz+=-+--=-.2.B 因为{|43}A x x=-<<，{|27}B x x=-<„，所以{|23}A B x x=-<I„.3.B 水费开支占总开支的百分比为25020% 6.25%250450100⨯=++.4.D 因为221(0)mx ny m+=>可化为2211(0)1xymmn-=>-，所以2215bea=+=，则22141b nam-==，即4mn=-.5.A 设6BC=，则2DE=，10AD AE==，101044cos2105DAE+-∠==⨯，所以45AF AFAD AE==，所以45AF AD=u u u r u u u r.因为1121()3333AD AB BC AB AC AB AB AC=+=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，所以421845331515AF AB AC AB AC⎛⎫=⨯+=+⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r.6.D 根据三视图，可得三棱锥P ABC-的直观图如图所示，其中D为AB中点，PD⊥底面ABC所以三棱锥P ABC-的体积为114222323⨯⨯⨯⨯=，||||||6PA PB PC===，PA，PB，PC不可能两两垂直，三棱锥P ABC-的侧面积为2522+.7.D 由题意，80μ=，5σ=，则(7585)0.6826P X<=„，(7090)0.9544P X<=„，所以1(8590)(0.95440.6826)0.13592P X<=⨯-=„，(7590)0.68260.13590.8185P X<=+=„.故果实直径在(75,90]内的概率为0.8185.8.B 因为()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以(Z)832k k πππωπ⨯+=+∈，即48(Z)3k k ω=+∈，因为0ω>，所以ω的最小值为43.9.C 由题意可得32431y x x a '=-+<在(0,)x ∈+∞上有解. 设32()43(0)f x x x a x =-+>，2()1266(21)f x x x x x '=-=-， 令()0f x '<，得102x <<；令()0f x '>，得12x >. 故min 11()124f x f a ⎛⎫==-< ⎪⎝⎭，则54a <. 10.B 当0x „时，()(3,4]f x ∈，此时，()f x 无零点；当0x „时，293()2log 92log 9xxf x x x =+-=+-为增函数，且(3)0f =. 令(())0f f x =，得3()2log 93x f x x =+-=，因为(3)03f =<，377log 9322f ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，所以函数(())y f f x =的零点所在区间为73,2⎛⎫⎪⎝⎭.11.A 设()11,A x y ，()22,B x y ，联立2(1),4,y k x y x =-⎧⎨=⎩得()2222240k x k x k -++=，则212222442k x x k k ++==+.因为直线(1)y k x =-经过C 的焦点，所以1224||4AB x x p k =++=+.同理可得22||8MN k =+，所以41612λ=-=-.12.B 被5除余3且被7除余2的正整数构成首项为23，公差为5735⨯=的等差数列.记该数列为{}n a ，则2335(1)3512n a n n =+-=-，令35122020n a n =-„，解得25835n „，故该数列各项之和为5857582335591892⨯⨯+⨯=. 13.7482x ⎛- ⎝的展开式的通项388822188(2)(1)2rr r r r r rr T C x C x ---+⎛==- ⎝，令3812r -=-，得6r =，则1x 的系数为648724C -=.14.1214 ∵3451227a a q a a +==+，∴3q =，∴1(1)1a q +=，114a =，∴{}n a 的前5项和为()51112114a q q-=-. 15.(8,3)(3,8)--U 当04x <„时，()235xf x =->，解得3x >，所以34x <<；当4x ≥时，()2125f x x =->，解得8x <，所以48x <„.因为()f x 为偶函数，所以不等式()5f x >的解集为(8,3)(3,8)--U .16.68π 由题意可知，MP PA ⊥，MP PD ⊥，所以MP ⊥平面PAD .设ADP △外接圆的半径为r ，则由正弦定理可得2sin AD r APD =∠，即42sin150r =︒，所以4r =，设三棱锥M PAD -外接球的半径为R ，则222116172AM R r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，所以外接球的表面积为2468R ππ=.17.（1）证明：∵DE ⊥平面ABCD ，∴DE AD ⊥. ∵4AD =，5AE =，∴3DE =. 同理可得3BF =.又DE ⊥平面ABCD ，BF ⊥平面ABCD ， ∴BF DE P .∵BF DE =，∴四边形BEDF 为平行四边形，∴DF BE P . ∵BE ⊂平面BCE ，DF ⊄平面BCE ，∴DF P 平面BCE .（2）解：以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -， 则(0,0,0)D ，(4,0,0)A ，(0,4,0)C ，(4,3,3)F -，则(0,4,0)DC =u u u r ，(4,3,3)DF =-u u u r.设平面CDF 的法向量为(,,)n x y z =r， 则0n DC n DF ⋅=⋅=r u u u r r u u u r ，即40,4330,y x y z =⎧⎨+-=⎩令3x =，则4z =，得(3,0,4)n =r.易知平面ABF 的一个法向量为(1,0,0)m =u r，∴3cos ,5||||m n m n m n ⋅〈〉==u r ru r r ur r ， 故所求锐二面角的余弦值为35. 18.解：（1）因为2c =，2b =所以c =b =2268a =+=.所以的Ω方程为22182x y +=. （2）联立222,1,82y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得251680x x ++=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则12165x x +=-，1285x x =， 所以12825x x +=-，AB 中点坐标为82,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.因为||5AB ==， 所以所求圆的标准方程为2282485525x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.19.解：（1）由2C A =，得sin sin22sin cos C A A A ==， 则2cos c a A =.又4a =，6c =，所以3cos 4A =. 由余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-，即231636264b b =+-⨯⨯， 即29200b b -+=，解得4b =或5.当4b =时，a b =，则A B =，从而4A π=，2C π=，这与222a b c +≠矛盾，故4b ≠.当5b =时，21cos 2cos 1cos28C A A ==-=，则2C A =，故5b =. （2）由（1）知5b =，ABC △的面积为1sin 2bc A =， 则ABC △内切圆的半径244562r ==++. （注：本题阅卷时若岀现两解而未舍去一解，两问各扣1分，一般地，解三角形出现两解都要验证）20.解：（1）设ξ为选取的3天中空气质量为优的天数，则213061461433202023(2)(2)(3)114C C C C P P P C C ξξξ==+==+=…. （2）（ⅰ）X 的可能取值为0，220，1480，201(0)(0100)1005P X P x ====剟， 707(220)(100250)10010P X P x ==<==„，101(1480)(250300)10010P X P x ==<==„，则X 的分布列为（ii ）由（i ）知1710220148030251010EX =⨯+⨯+⨯=（元）， 故该企业9月的经济损失的数学期望为309060EX =（元）. 设该企业7月与8月每天因空气质量造成的经济损失为Y 元，则111(0)632P Y ==+=，1111(220)612123P Y ==++=， 1(1480)6P Y ==，所以11102201480320236EY =⨯+⨯+⨯=（元），所以7月与8月因空气质量造成经济损失的总额为320(3131)19840⨯+=（元）.因为19840906028900 2.88+=>万，所以这3个月经济损失总额的数学期望会超过2.88万元.21.（1）解：()g x 的定义域为(0,)+∞，()ax b g x x-'=， 当0a >，0b <时，()0g x '>，则()g x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >，0b >时，令()0g x '>，得b x a >，令()0g x '<，得0b x a <<，则()g x 在0,b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,)b a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； 当0a <，0b >时，()0g x '<，则()g x 在(0,)+∞上单调递减；当0a <，0b <时，令()0g x '>，得0b x a <<，令()0g x '<，得b x a >，则()g x 在0,b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,b a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. （2）证明：设函数()()(31)h x f x x =-+，则2()cos 31h x x x '=+-+. 因为0x ≥，所以2(0,2]1x ∈+，cos [1,1]x ∈-， 则()0h x '≤，从而()h x 在[0,)+∞上单调递减，所以()()(31)(0)0h x f x x h =-+=„，即()31f x x +„.（3）证明：当1a b ==时，()1ln g x x x =--.由（1）知，min ()(1)0g x g ==，所以()(1ln )0g x x x =-+…， 即1ln x x +…. 当1x >-时，2(1)0x +>，2sin (1)0x x e +>，则2sin 2sin (1)1ln (1)x x x ex e ⎡⎤+++⎣⎦…， 即2sin (1)2ln(1)sin 1x x e x x ++++….又()2sin 2sin 22(1)x x x x e x e ++>+，所以()2sin 222ln(1)sin 1xx x e x x ++>+++，即()2sin ()22x f x x x e <++.22.解：（1）l 的直角坐标方程为2(2)y x =+，即240x y -+=， 则l 的极坐标方程为2cos sin 40ρθρθ-+=.曲线C 的普通方程为22(1)4x y ++=.（2）直线l 的参数方程为2cos ,sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数，α为l 的倾斜角），代入曲线C 的普通方程，得22cos 30t t α--=.设M ，N 对应的参数分别为1t ，2t ，则123PM PN t t ⋅==-u u u u r u u u r .23.（1）解：14,,211()2,,2214,,2x x f x x x x ⎧--⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪⎪⎩„… 由()4f x <，解得11x -<<，故{|11}M x x =-<<.（2）证明：因为a ，b M ∈，所以||1a <，||1b <，所以||(||||)1(||1)(||1)0ab a b a b -++=-->，所以||||||10ab a b --+>.。
江西省南昌市2020届高三下学期三模(理科)数学试卷(答案)
— 高三理科数学（模拟三）答案第1页—NCS20200707项目第三次模拟测试卷理科数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分． 13．5 14．p m n 15．1316．29π2三．解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17 21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．【解析】（Ⅰ）令1n ，112222p p a a a .且1122pn p n n a a ， 与已知条件相除得22p n na a ，故2422(2)p p a a ， 而1241,,2a a a 成等差数列，则422a a ， 即 2(2)22p p ，解得22p ，即 1.p（Ⅱ）若{}n a 是等比数列，则由120,0a a ，知此数列首项和公比均为正数.设其公比为q ，则22pq ，故2212222p pa p a ，此时12,22nn a q a ，故2112n n n a a ，而12122pn n ，因此2p 时，{}n a 为等比数列，其前n 项和12(12)2 2.12n n n S18．【解析】（Ⅰ）取1BB 中点O ，连接1,,AB OA OC ，菱形中o160ABB ，故三角形1ABB 是等边三角形，则1AO BB ，1,3BO AO ， 又11//BB CC ，1AC CC ，所以1AC BB ， 又1AO BB ，AO AC A ，故1BB 平面AOC ， 所以1BB CO ，在中Rt BOC 中，1CO ，所以222CO AO AC ，故CO AO ， 又1AO BB ，所以AO 平面11BB C C ，又AO 平面11ABB A 所以平面11ABB A 平面11BB C C ；— 高三理科数学（模拟三）答案第2页—（Ⅱ）以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则0)A ，(0,1,0)B ，(0,0,1)C ，1,0),(0,1,1),BA BC设平面ABC 的法向量为(,,)m x y z ，由m BA m BC，得00m BA m BC即00y y z，令x 3,3y z ，所以m ，设1BB 上的单位向量为(0,1,0)n，则1BB 与平面ABC 的夹角正弦值sin cos ,7m n m n m n.19．【解析】（Ⅰ）甲解密成功所需时间的中位数是47.0.0150.014550.03450.04(4745)0.5a ，解得0.026a ； 0.0150.01550.03250.04(5047)0.5b ，解得0.024b ； 甲在1分钟内解密成功的频率10.01520.9f .（Ⅱ）①由题意及（1）可知第一个出场的选手解密成功的概率10.9P ;第二个出场的选手解密成功的概率2910.910.911010P ；第三个出场的选手解密成功的概率23910.9(20.9291010P ；所以该团队挑战成功的概率0.90.10.910.10.090.9290.999361P . ②由①可知i P 按从小到大的顺序的概率分别为1P ，2P ，3P ，有题意X 的可能取值为1,2,3； 则(1)0.9P X ,(2)(10.9)0.910.091P X ,(3)(10.9)(10.91)0.009P X ,()10.9E X.20．【解析】（Ⅰ）设点M 的坐标为(,)x y,116A N k ,226A N k , 则1122,A N A N 的直线方程分别为：6y x m①，6y xn ②， 由①②得6m6n ，则22211666y mn x，— 高三理科数学（模拟三）答案第3页—则221(0)62x y y ； （Ⅱ）证明：设过R 的直线方程为:3l x ty ， 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，11(,)N x y ,联立方程223162x ty x y得22(3)630t y ty ，则12263t y y t ，12233y y t ， RP RQ即1122(3,)(3,)x y x y ，所以123(3)x x ，12y y ， 11(2,)x NF y ,22(2,)x y FQ ，要证NF FQ，即证122(2)x x ，亦即1111121222222312()0231x x ty y ty y y y x x ty y ③， 将12263t y y t ，12233y y t 代入③中得2266033t tt t， 所以NF FQ得证.21．【解析】（Ⅰ）2(1)()(1)(0).a a x af x a x x x x①当1a 时，()0f x ，()f x 在(0,) 单调递增；②当01a时，()f x，所以()f x在上单调递增，在) 上单调递减；③当0a 时，()0f x ，()f x 在(0,) 单调递减；（Ⅱ）当1a 时，2()ln 1f x x x ，不妨设120x x ，则12211212()()x f x x f x mx x x x 等价于212121()()()f x f x m x x x x ，考察函数()()f x g x x ，得22ln 2()x x g x x ，令22ln 2()x x h x x ，则352ln ()xh x x， 则52(0,e )x 时，()0h x ；52(e ,)x 时，()0h x ，所以()h x 在52(0,e )单调递增，在52(e ,) 单调递减，故5251()(e )102eh x h ， 即(0,)x 时()0g x ，()g x 在(0,) 单调递减，— 高三理科数学（模拟三）答案第4页—从而12()()g x g x ，即1212()()f x f x x x ，故122112()()()f x f x m x x x x ， 所以121212()()f x f x mx mx x x ，即1122()()g x mx g x mx 恒成立，设()()x g x mx ，则()x 在在(0,) 单调递减，从而()()0x g x m 恒成立，故52(e )0 ，即5112e m. 22．【解析】（Ⅰ）设极点(,) 旋转之后极点为(',') ，故''π3即'3π' 代入曲线:4cos C ，得曲线':'4co πs(')3C 即曲线':4co πs()3C ，（Ⅱ）如图，两圆相交于点,O A ．连接,,,',',OA AC OC OC AC 显然四边形'OC AC 为菱形，故π23OCA ，所以重叠部分面积为：'''822()π3OC A OC A OC A S S S S 弓形扇形.23．【解析】（Ⅰ）若2k ，不等式()5f x 可化为2|||1|5x x . 当0x 时，2(1)5x x ，即43x403x ； 当01x 时，2(1)5x x ，即4x 01x ； 当1x 时，2(1)5x x ，即2x 12x .故不等式的解集为4[,2]3.（Ⅱ）由题：关于x 的不等式()|1||22|f x x x 在1[,2]2x 恒成立，即|||1||22||1|k x x x x 在1[,2]2x 恒成立，|1||1|||x x k x 在1[,2]2x 恒成立，|1||1||11|2||||x x x x x x ，等号在1,1x x 同号时等号成立，所以，所求实数k 的范围是(,2] .。
2020年江西省南昌市高考数学三模试卷(理科) (解析版)
2020年高考数学三模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知（1+i）z＝i（i为虚数单位），在复平面内，复数z的共轭复数z对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．设集合A＝{x||x﹣a|＝1}，B＝{﹣1，0，b}（b＞0），若A⊆B，则对应的实数（a，b）有（）A．1对B．2对C．3对D．4对3．为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识竞赛，得分（10分制）的频数分布表如表：得分345678910频数231063222设得分的中位数为m e，众数为m0，平均数为x，则（）A．m e＝m0＝x B．m e＝m0＜x C．m e＜m0＜x D．m0＜m e＜x 4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．3πB．9πC．12πD．36π5．在△ABC中，D为线段AB上一点，且BD＝3AD，若CD→=λCA→+μCB→，则λμ=（）A．13B．3C．14D．46．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，c a+b+b a+c=1，则下列说法不一定成立的是（）A．△ABC可能为正三角形B．角A，B，C为等差数列C．角B可能小于π3D．角B+C为定值7．已知函数f（x）＝2sin2ωx（ω＞0）的最小正周期为π，若将其图象沿x轴向右平移m（m＞0）个单位，所得图象关于x=π3对称，则实数m的最小值为（）A．π4B．π3C．3π4D．π8．函数f（x）＝（x−1x）cos x（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（）A．B．C．D．9．甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制（不考虑平局，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束）．根据前期的统计分析，得到甲在和乙的第一场比赛中，取胜的概率为0.5，受心理方面的影响，前一场比赛结果会对甲的下一场比赛产生影响，如果甲在某一场比赛中取胜，则下一场取胜率提高0.1，反之，降低0.1．则甲以3：1取得胜利的概率为（）A．0.162B．0.18C．0.168D．0.17410．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M在C的右支上，MF1与y轴交于点A，△MAF2的内切圆与边AF2切于点B．若|F1F2|＝4|AB|，则C的渐近线方程为（）A．√3x±y=0B．x±√3y=0C．2x±y＝0D．x±2y＝011．将正整数20分解成两个正整数的乘积有1×20，2×10，4×5三种，其中4×5是这三种分解中两数差的绝对值最小的．我们称4×5为20的最佳分解．当p×q（p≤q且p，q∈N+）是正整数n的最佳分解时，定义函数f（n）＝q﹣p，则数列{f（3n）}（n∈N+）的前100项和S100为（）A．350+1B．350﹣1C．350−12D．350+1212．已知函数f(x)=ln(e|2x|−4+1)，g(x)={a+x−2(x≥0)a−x−2(x＜0)，若存在a∈[n，n+1]（n∈Z）使得方程f（x）＝g（x）有四个实根．则n的最大值为（）A．2B．1C．0D．﹣1二．填空题：本题共4小题，每小题5分共20分．13．执行如图所示的框图程序，输出的结果S＝．14．已知函数f(x)=2|x|+x2，m=f(log213)，n=f(7−0.1)，p=f(log425)，则m，n，p的大小关系是．15．已知sin(α+π6)=13，则cos(α−5π6)tan(π3−α)=．16．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB=32，AD=2，AA1=2√3，已知P是矩形ABCD内一动点，PA1与平面ABCD所成角为π3，设P点形成的轨迹长度为α，则tanα＝；当C1P的长度最短时，三棱锥D1﹣DPC的外接球的表面积为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．已知数列{a n}中，a1＝2，a n a n+1＝2pn+1（p为常数）．（Ⅰ）若﹣a1，12a2，a4成等差数列，求p的值；（Ⅱ）是否存在p，使得{a n}为等比数列？若存在，求{a n}的前n项和S n；若不存在，请说明理由．18．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，BC=√2，AC＝2，四边形ABB1A1为菱形，且∠ABB1＝60o，AC⊥CC1．（Ⅰ）求证：平面ABB1A1⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）求BB1与平面ABC的夹角正弦值．19．在“挑战不可能”的电视节目上，甲、乙、丙三个人组成的解密团队参加一项解密挑战活动，规则是由密码专家给出题目，然后由3个人依次出场解密，每人限定时间是1分钟内，否则派下一个人.3个人中只要有一人解密正确，则认为该团队挑战成功，否则挑战失败．根据甲以往解密测试情况，抽取了甲100次的测试记录，绘制了如下的频率分布直方图．（1）若甲解密成功所需时间的中位数为47，求a、b的值，并求出甲在1分钟内解密成功的频率；（2）在“挑战不可能”节目上由于来自各方及自身的心理压力，甲，乙，丙解密成功的概率分别为P n＝P1（910）n﹣1+n−110（n＝1，2，3），其中P i表示第i个出场选手解密成功的概率，并且P1定义为甲抽样中解密成功的频率代替，各人是否解密成功相互独立．①求该团队挑战成功的概率；②该团队以P i从小到大的顺序按排甲、乙、丙三个人上场解密，求团队挑战成功所需派出的人员数目X的分布列与数学期望．20．在直角坐标系xOy上取两个定点A1（−√6，0），A2（√6，0），再取两个动点N1（0，m），N2（0，n），且mn＝2．（Ⅰ）求直线A1N1与A2N2交点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过R（3，0）的直线与轨迹C交于P，Q，过P作PN⊥x轴且与轨迹C交于另一点N，F为轨迹C的右焦点，若RP→=λRQ→（λ＞1），求证：NF→=λFQ→．21．已知函数f(x)=alnx+12(a−1)x2+1（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＝﹣1时，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有|x1f(x2)−x2f(x1)x1−x2|＞mx1x2，求实数m的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，曲线C：ρ＝4cosθ，以极点O为旋转中心，将曲线C逆时针旋转π3得到曲线C′．（Ⅰ）求曲线C’的极坐标方程；（Ⅱ）求曲线C与曲线C′的公共部分面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝k|x|+|x﹣1|．（Ⅰ）若k＝2，解不等式f（x）≤5．（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤|x+1|+|2x﹣2|的充分条件是x∈[12，2]，求k的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知（1+i ）z ＝i （i 为虚数单位），在复平面内，复数z 的共轭复数z 对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标得答案． 解：由（1+i ）z ＝i ， 得z =i 1+i =i(1−i)2=12+12i ， ∴复数z 的共轭复数z 对应的点是(12，−12)，在第四象限． 故选：D ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．设集合A ＝{x ||x ﹣a |＝1}，B ＝{﹣1，0，b }（b ＞0），若A ⊆B ，则对应的实数（a ，b ）有（ ） A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对【分析】解方程得集合A 有两元素，由A ⊆B 得A 中元素属于B ，可解出a ，b ． 解：∵集合A ＝{x ||x ﹣a |＝1}＝{a ﹣1，a +1}⊆{﹣1，0，b }（b ＞0），若a ≤0，则a ﹣1＝﹣1，即a ＝0，所以b ＝1；若a ＞0，a ﹣1＝﹣1或a ﹣1＝0，则a ＝1，所以b ＝2， 则{a =0b =1或{a =1b =2则对应的实数（a ，b ）有2对． 故选：B ．【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系及应用，属于基础题．3．为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识竞赛，得分（10分制）的频数分布表如表： 得分 3 4 5 6 7 8 9 10 频数231063222设得分的中位数为m e ，众数为m 0，平均数为x ，则（ ）A ．m e ＝m 0＝xB ．m e ＝m 0＜xC ．m e ＜m 0＜xD ．m 0＜m e ＜x【分析】由频率分步表求出众数、中位数和平均数，比较即可． 解：由图知，众数是m 0＝5；中位数是第15个数与第16个数的平均值，由图知将数据从大到小排第15 个数是5，第16个数是6， 所以中位数是m e =5+62=5.5； 平均数是x =130×（2×3+3×4+10×5+6×6+3×7+2×8+2×9+2×10）≈6； ∴m 0＜m e ＜x ． 故选：D ．【点评】本题考查了求出一组数据的众数、中位数、平均值的应用问题，是基础题． 4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．3πB ．9πC ．12πD ．36π【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为一个圆锥的四分之一，其中圆锥的底面半径为3，高为4，再由圆锥体积公式求解． 解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为一个圆锥的四分之一，其中圆锥的底面半径为3，高为4． ∴该几何体的体积为14×13π×32×4=3π．故选：A ．【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题． 5．在△ABC 中，D 为线段AB 上一点，且BD ＝3AD ，若CD →=λCA →+μCB →，则λμ=（ ）A ．13B ．3C ．14D ．4【分析】由已知结合向量的线性运算可分别求出λμ，从而可求． 解：因为BD ＝3AD ，所以CD →=CB →+BD →=CB →+34BA →=CB →+34(CA →−CB →)=34CA →+14CB →，由CD →=λCA →+μCB →可得λ=34，μ=14，则λμ=3．故选：B ．【点评】本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用． 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，c a+b +b a+c=1，则下列说法不一定成立的是（ ） A ．△ABC 可能为正三角形 B ．角A ，B ，C 为等差数列 C ．角B 可能小于π3D ．角B +C 为定值【分析】化简ca+b+b a+c=1，利用余弦定理求出A 的值，再判断选项中的命题是否正确．解：△ABC 中，ca+b+b a+c=1，（a +c ）c +（a +b ）b ＝（a +b ）（a +c ）， c 2+b 2﹣a 2＝cb ，cos A =c 2+b 2−a 22cb =cb 2cb =12，A ∈（0，π）， A =π3， B +C ＝2A =2π3， 所以B 、A 、C 成等差数列，B 错误． 当a ＝b ＝c 时，△ABC 是正三角形，A 正确； 由B +C =2π3知，选项C 、D 正确． 故选：B ．【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了分析问题解决问题的能力，是中档题．7．已知函数f （x ）＝2sin 2ωx （ω＞0）的最小正周期为π，若将其图象沿x 轴向右平移m （m ＞0）个单位，所得图象关于x =π3对称，则实数m 的最小值为（ ） A ．π4B ．π3C ．3π4D ．π【分析】先利用降幂公式将函数式化简为y ＝A cos （ωx +φ）+k 的形式，然后利用图象变换的规律求出变换后的解析式，最后利用函数的最值的性质求出m 的值．解：f （x ）＝﹣cos2ωx +1，由其最小正周期为π，∴ω＝1，所以f （x ）＝﹣cos2x +1， 将其图象沿x 轴向右平移m （m ＞0）个单位，所得图象对应函数为y ＝﹣cos （2x ﹣2m ）+1，因为其图象关于x =π3对称，则有cos(2π3−2m)=±1，∴2π3−2m =kπ，k ∈Z ，解得m =π3−kπ2， 由m ＞0，实数m 的最小值为π3． 故选：B ．【点评】本题考查考生对正弦型三角函数的图象与性质（对称性、周期性、单调性）的掌握情况．考查考生对三角函数三种表征（零点、对称轴、单调性）的理解与转换．考查考生对三角函数的数形结合思想、基于三角函数的逻辑推理能力及运算求解能力． 8．函数f （x ）＝（x −1x）cos x （﹣π≤x ≤π且x ≠0）的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】由条件可得函数f （x ）为奇函数，故它的图象关于原点对称；再根据但是当x 趋向于0时，f （x ）＞0，结合所给的选项，得出结论．解：对于函数f（x）＝（1x−x）cos x（﹣π≤x≤π且x≠0），由于它的定义域关于原点对称，且满足f（﹣x）＝（−1x+x）cos x＝﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，故它的图象关于原点对称．故排除A、B．当x＝π，f（x）＜0，故排除C，但是当x趋向于0时，f（x）＜0，故选：D．【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断，奇函数的图象特征，函数的定义域和值域，属于中档题．9．甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制（不考虑平局，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束）．根据前期的统计分析，得到甲在和乙的第一场比赛中，取胜的概率为0.5，受心理方面的影响，前一场比赛结果会对甲的下一场比赛产生影响，如果甲在某一场比赛中取胜，则下一场取胜率提高0.1，反之，降低0.1．则甲以3：1取得胜利的概率为（）A．0.162B．0.18C．0.168D．0.174【分析】先列出甲以3：1取得胜利的所有情况，再利用相互独立事件的乘法运算求解每种情况的概率，最后利用互斥事件概率的加法公式计算即可．解：甲以3：1取得胜利的所有情况为：赢赢输赢，赢输赢赢，输赢赢赢，对应的概率分别为：0.5×0.6×0.3×0.6＝0.054，0.5×0.4×0.5×0.6＝0.06，0.5×0.4×0.5×0.6＝0.06，所以甲以3：1取得胜利的概率为：0.054+0.06+0.06＝0.174．故选：D．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率，互斥事件的概率，考查运算求解能力和分析问题，解决问题的能力．10．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M在C的右支上，MF1与y轴交于点A，△MAF2的内切圆与边AF2切于点B．若|F1F2|＝4|AB|，则C的渐近线方程为（）A．√3x±y=0B．x±√3y=0C．2x±y＝0D．x±2y＝0【分析】由双曲线的定义和内切圆的切线性质：圆外一点向圆引切线，则切线长相等，结合双曲线的定义，转化求解渐近线方程即可．解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M在C的右支上，MF1与y轴交于点A，△MAF2的内切圆与边AF2切于点B．与MF1的切点为N，如图：设AB＝n，MB＝m，BF2＝t，由双曲线的定义可知：m+2n+t﹣m﹣t＝2a，可得n ＝a，若|F1F2|＝4|AB|，所以2c＝4a，c＝2a，则b=√3a．所以双曲线的渐近线方程为：√3x±y＝0．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，注意运用圆的切线长相等，以及方程思想，考查运算能力，属于中档题．11．将正整数20分解成两个正整数的乘积有1×20，2×10，4×5三种，其中4×5是这三种分解中两数差的绝对值最小的．我们称4×5为20的最佳分解．当p×q（p≤q且p，q∈N+）是正整数n的最佳分解时，定义函数f（n）＝q﹣p，则数列{f（3n）}（n∈N+）的前100项和S100为（）A．350+1B．350﹣1C．350−12D．350+12【分析】先写出数列{f（3n）}（n∈N+）的前几项，根据前几项归纳出：f（32k﹣1）＝3k ﹣3k﹣1＝2×3k﹣1，f（32k）＝3k﹣3k＝0，再求出其前100项和．解：根据题意，知：f（3）＝3﹣1＝2，f（32）＝3﹣3＝0，f（33）＝32﹣3＝6，f（34）＝32﹣32＝0，…，f（32k﹣1）＝3k﹣3k﹣1＝2×3k﹣1，f （32k ）＝3k ﹣3k ＝0．∴数列{f （3n ）}（n ∈N +）的前100项和S 100为2×30+0+2×31+0+…+2×349+0＝2（30+31+32+…+349）＝2×1−3501−3=350﹣1． 故选：B ．【点评】本题主要考查等比数列、及其数列的求和，属于中档题． 12．已知函数f(x)=ln(e|2x|−4+1)，g(x)={a +x −2(x ≥0)a −x −2(x ＜0)，若存在a ∈[n ，n +1]（n ∈Z ）使得方程f （x ）＝g （x ）有四个实根．则n 的最大值为（ ） A ．2B ．1C ．0D ．﹣1【分析】依题意，转化可得函数F(x)={ln(e x−2+e 2−x )，x ≥0ln(e −x−2+e x+2)，x ＜0与直线y ＝a 有且仅有四个不同的交点，且易发现函数F （x ）为偶函数，利用导数研究函数F （x ）的性质，作出函数图象，观察图象可得实数a 的取值范围，进而得到n 的最大值．解：令h(x)=f(x)−g(x)={ln(e 2x−4+1)−(x −2)−a ，x ≥0ln(e −2x−4+1)+(x +2)−a ，x ＜0，则h(x)={ln(e 2x−4+1e x−2)−a =ln(e x−2+e 2−x )−a ，x ≥0ln[(e −2x−4+1)(e x+2)]−a =ln(e −x−2+e x+2)−a ，x ＜0， 依题意，函数F(x)={ln(e x−2+e 2−x )，x ≥0ln(e −x−2+e x+2)，x ＜0与直线y ＝a 有且仅有四个不同的交点，易知函数F （x ）为偶函数，故先研究x ≥0时的情况， 当x ≥0时，F′(x)=e x−2−e 2−xe x−2+e 2−x，令F ′（x ）＜0，解得0≤x ＜2，令F ′（x ）＞0，解得x ＞2，故函数F （x ）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，且F （x ）极小值＝F （2）＝ln 2，由偶函数的对称性，可作出函数F （x ）的图象，如下图所示，由图可知，a∈（ln2，ln（e﹣2+e2）），又0＜ln2＜1，2＜ln（e﹣2+e2）＜3，∴n的最大值为2．故选：A．【点评】本题考查函数与导数的综合运用，考查函数零点与方程根的关系，考查转化思想与数形结合思想，将问题转化为函数F（x）的图象与直线y＝a有且仅有四个不同的交点，进而通过数形结合确定实数a的取值范围是解题的关键，属于中档题．二．填空题：本题共4小题，每小题5分共20分．13．执行如图所示的框图程序，输出的结果S＝5．【分析】模拟程序的运行过程可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s＝0﹣1+2﹣3+…+10的值，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s＝0﹣1+2﹣3+…+10的值，可得s＝0﹣1+2﹣3+…+10＝（2+4+…+10）﹣（1+3+…+9）＝5．故答案为：5．【点评】本题主要考查伪代码（算法语句）的应用，属于基础题．14．已知函数f(x)=2|x|+x2，m=f(log213)，n=f(7−0.1)，p=f(log425)，则m，n，p的大小关系是p＞m＞n．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．解：∵f（x）＝2|x|+x2，则f（﹣x）＝2|﹣x|+（﹣x）2＝f（x），即f（x）为偶函数，因为x＞0时，f（x）＝2x+x2单调递增，m ＝f （log213）＝f （log 23），n ＝f （0.7﹣0.1），p ＝f （log 425）＝f （log 25），因为log 25＞2＞log 23＞1＞7﹣0.1＞0， 故p ＞m ＞n 故答案为：p ＞m ＞n【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．15．已知sin(α+π6)=13，则cos(α−5π6)tan(π3−α)= −13 ． 【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和诱导公式的应用求出结果．解：已知sin(α+π6)=13．故：cos(α−5π6)tan(π3−α)=−cos[π−(α+π6)]1tan(α+π6)=−sin(α+π6)=−13．故答案为：−13．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，诱导公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．16．已知长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，AB =32，AD =2，AA 1=2√3，已知P 是矩形ABCD内一动点，PA 1与平面ABCD 所成角为π3，设P 点形成的轨迹长度为α，则tan α＝ ﹣3√7 ；当C 1P 的长度最短时，三棱锥D 1﹣DPC 的外接球的表面积为 17π ． 【分析】因为PA 1与平面ABCD 所成角θ为π3，所以可得AP ＝2，即P 点的轨迹为以A为圆心，以2为半径的圆与矩形ABCD 的交点即DÊ，由矩形的边长可得DE ̂的值，进而求出它的正切值，当C 1P 的长度最短时，而C 1P =√CC 12+CP 2，所以当CP 最小时，C 1P 最小，而当A ，P ，C 1三点共线时，CP 最小，求出CP 的值，进而由余弦定理求出DP ，求出三角形DCP 的外接圆的半径，由DD 1⊥面CDP ，所以三棱锥D 1﹣DCP 的外接球的球心为过底面三角形DCP 的外接圆的圆心的垂线与中截面的交点，由外接球的半径，和高的一半，由勾股定理可得R 的值，进而求出外接球的表面积． 解：在长方体的底面矩形ABCD 内一动点P ，连接AP ，因为PA 1与平面ABCD 所成角θ为π3，AA 1＝2√3，所以tan θ=AA 1AP =2√3AP =√3，所以AP ＝2，所以P点的轨迹为以A为圆心，以2为半径的圆，与底面矩形BC的交点为E，D，即P的轨迹为圆弧DÊ，连接AE，在△ABE中，cos∠EAB=ABAE =322=34，所以sin∠DAE＝cos∠EAB=34，所以arcsin∠DAE=3 4，所以α=DÊ=2•∠DAE，可得α为钝角，所以sinα＝sin（2arcsin∠DAE）＝2•34⋅√74=3√78，∴cosα=−18，所以tanα＝﹣3√7；当C1P的长度最短时，而C1P=√CC12+CP2，所以当CP最小时，C1P最小，而当A，P，C1三点共线时，CP＝AC﹣AP=√22+(32)2−2=12最小，连接DP，由于cos∠DCP=CDAC=32√2+(32)2=35，所以在三角形CDP中，由余弦定理可得DP=√CD2+CP2−2CD⋅CP⋅cos∠DCP=√9 4+14−2×32×12×35=4√1010，而sin∠DCP=45，设三角形CDP的外接圆的半径为r，则2r=DPsin∠DCP=4√101045=√102，所以r=√104，由DD1⊥面CDP，所以三棱锥D1﹣DCP的外接球的球心为过底面三角形DCP的外接圆的圆心的垂线与中截面的交点，设外接球的半径为R，则R2＝r2+（DD12）2=1016+3=174，所以外接球的表面积S＝4πR2＝17π．故答案为：﹣3√7，17π．【点评】本题考查求点的轨迹，及三棱锥的棱长与外接球的半径的关系和球的表面积公式，属于难题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．已知数列{a n}中，a1＝2，a n a n+1＝2pn+1（p为常数）．（Ⅰ）若﹣a1，12a2，a4成等差数列，求p的值；（Ⅱ）是否存在p，使得{a n}为等比数列？若存在，求{a n}的前n项和S n；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）根据条件求出a2和a4，然后由﹣a1，12a2，a4成等差数列，得到关于p的方程，再求出p即可；（Ⅱ）若{a n}为等比数列，则由a1＞0，a2＞0，可知数列的首项和公比均为正数，然后根据条件求出{a n}前n项和S n即可．解：（Ⅰ）∵a n a n+1＝2pn+1（p为常数），∴a n+1a n+2=2pn+p+1∴当n＝1时，a1a2=2p+1，∵a1＝2，∴a2=2p，∴a n+2a n=2p，∴a4=2p a2=(2p)2，∵a4=2p a2=(2p)2，∴a4﹣2＝a2，∴（2p）2﹣2＝2p，∴p＝1．（Ⅱ）若{a n}为等比数列，则由a1＞0，a2＞0，∴数列的首项和公比均为正数，设其公比为q，则q=2p2，∴2p2=a2a1=2p2，∴p＝2，∴a1＝2，q＝2，∴a n=2n故a n a n+1=22n+1，而2pn+1＝22n+1，∴p＝2时，{a n}为等比数列，∴{a n}的前n项和S n=2(1−2n)1−2=2n+1−2．【点评】本题考查了等比数列和等差数列的性质，等比数列的前n项和公式，考查了方程思想和转化思想，属中档题．18．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，BC=√2，AC＝2，四边形ABB1A1为菱形，且∠ABB1＝60o，AC⊥CC1．（Ⅰ）求证：平面ABB1A1⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）求BB1与平面ABC的夹角正弦值．【分析】（Ⅰ）取BB1的中点O，连接AB1，OA，OC，由已知可得OA⊥BB1，再由BB1∥CC1，AC⊥CC1，得AC⊥BB1，得到BB1⊥平面AOC，则BB1⊥CO，求解三角形证明CO⊥AO．可得AO⊥平面BB1C1C，进一步得到平面ABB1A1⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，求出平面ABC的一个法向量m→，再求出BB1上的单位向量n→．由m→与n→所成角的余弦值可得BB1与平面ABC的夹角正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取BB1的中点O，连接AB1，OA，OC，在菱形ABB1A1中，∠ABB1＝60o，故三角形ABB1是等边三角形，则OA⊥BB1，OB＝1，OA=√3．又BB1∥CC1，AC⊥CC1，∴AC⊥BB1，又AO⊥BB1，且AO∩AC＝A，∴BB1⊥平面AOC，则BB1⊥CO．在Rt△BOC中，CO=√BC2−BO2=1，∴CO2+AO2＝AC2，故CO⊥AO．又CO∩BB1＝O，∴AO⊥平面BB1C1C．∵AO⊂平面ABB1A1，∴平面ABB1A1⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）解：以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系．则A（√3，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），BA →=(√3，−1，0)，BC →=(0，−1，1)． 设平面ABC 的一个法向量为m →=(x ，y ，z)．由{m →⋅BA →=√3x −y =0m →⋅BC →=−y +z =0，取x =√3，得m →=(√3，3，3)． 设BB 1上的单位向量为n →=(0，1，0)．则BB 1与平面ABC 的夹角正弦值为|cos ＜m →，n →＞|=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√217．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．19．在“挑战不可能”的电视节目上，甲、乙、丙三个人组成的解密团队参加一项解密挑战活动，规则是由密码专家给出题目，然后由3个人依次出场解密，每人限定时间是1分钟内，否则派下一个人.3个人中只要有一人解密正确，则认为该团队挑战成功，否则挑战失败．根据甲以往解密测试情况，抽取了甲100次的测试记录，绘制了如下的频率分布直方图．（1）若甲解密成功所需时间的中位数为47，求a 、b 的值，并求出甲在1分钟内解密成功的频率；（2）在“挑战不可能”节目上由于来自各方及自身的心理压力，甲，乙，丙解密成功的概率分别为P n ＝P 1（910）n ﹣1+n−110（n ＝1，2，3），其中P i 表示第i 个出场选手解密成功的概率，并且P 1定义为甲抽样中解密成功的频率代替，各人是否解密成功相互独立． ①求该团队挑战成功的概率；②该团队以P i 从小到大的顺序按排甲、乙、丙三个人上场解密，求团队挑战成功所需派出的人员数目X 的分布列与数学期望．【分析】（1）由甲解密成功所需时间的中位数为47，利用频率分布直方图的性质能求出a，b，由此能求出甲在1分钟内解密成功的频率．（2）①由题意及（1）可知第一个出场选手解密成功的概率为p1＝0.9，第二个出场选手解密成功的概率为p2＝0.9×910+110×1=0.91，第三个出场选手解密成功的概率为p3＝0.9×(910)2+110×2=0.929，由此能求出该团队挑战成功的概率．②根据题意知X的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出团队挑战成功所需派出的人员数目X的分布列和E（X）．解：（1）甲解密成功所需时间的中位数为47，∴0.01×5+0.014×5+b×5+0.034×5+0.04×（47﹣45）＝0.5，解得b＝0.026，∴0.04×3+0.032×5+a×5+0.010×10＝0.5．解得a＝0.024．∴甲在1分钟内解密成功的频率是f＝1﹣0.01×10＝0.9．（2）①由题意及（1）可知第一个出场选手解密成功的概率为p1＝0.9，第二个出场选手解密成功的概率为p2＝0.9×910+110×1=0.91，第三个出场选手解密成功的概率为p3＝0.9×(910)2+110×2=0.929，∴该团队挑战成功的概率为p＝0.9+0.1×0.91+0.1×0.09×0.929＝0.999361．②由①知按P i从小到大的顺序的概率分别为p1，p2，p3，根据题意知X的可能取值为1，2，3，则P（X＝1）＝0.9，P（X＝2）＝（1﹣0.9）×0.91＝0.091，P（X＝3）＝（1﹣0.9）（1﹣0.91）＝0.009，∴团队挑战成功所需派出的人员数目X的分布列为：X 1 2 3 P0.90.0910.009E （X ）＝1×0.9+2×0.091+3×0.009＝1.109．【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．在直角坐标系xOy 上取两个定点A 1（−√6，0），A 2（√6，0），再取两个动点N 1（0，m ），N 2（0，n ），且mn ＝2．（Ⅰ）求直线A 1N 1与A 2N 2交点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过R （3，0）的直线与轨迹C 交于P ，Q ，过P 作PN ⊥x 轴且与轨迹C 交于另一点N ，F 为轨迹C 的右焦点，若RP →=λRQ →（λ＞1），求证：NF →=λFQ →．【分析】（I ）由直线方程的点斜式列出A 1N 1和A 2N 2的方程，联解并结合mn ＝2化简整理得方程，再由N 1、N 2不与原点重合，可得直线A 1N 1与A 2N 2交点的轨迹C 的方程； （II ）设l ：x ＝ty +3，代入椭圆方程消去x ，得（3+t 2）y 2+6ty +3＝0，利用分析法进行证明．【解答】（I ）解：依题意知直线A 1N 1的方程为：y =6（x +√6）…①； 直线A 2N 2的方程为：y =n√6（x −√6）…②设Q （x ，y ）是直线A 1N 1与A 2N 2交点，①、②相乘，得y 2=−mn6（x 2﹣6） 由mn ＝2整理得：x 26+y 22=1∵N 1、N 2不与原点重合，可得点A 1，A 2不在轨迹M 上， ∴轨迹C 的方程为x 26+y 22=1（x ≠±√6）．（Ⅱ）证明：设l ：x ＝ty +3，代入椭圆方程消去x ，得（3+t 2）y 2+6ty +3＝0． 设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），N （x 1，﹣y 1），可得y 1+y 2=−6t t 2+3且y 1y 2=3t 2+3， RP →=λRQ →，可得（x 1﹣3，y 1）＝λ（x 2﹣3，y 2），∴x 1﹣3＝λ（x 2﹣3），y 1＝λy 2， 证明NF →=λFQ →，只要证明（2﹣x 1，y 1）＝λ（x 2﹣2，y 2），∴2﹣x 1＝λ（x 2﹣2）， 只要证明x 1−3x 2−3=−x 1−2x 2−2，只要证明2t 2y 1y 2+t （y 1+y 2）＝0，由y1+y2=−6tt2+3且y1y2=3t2+3，代入可得2t2y1y2+t（y1+y2）＝0，∴NF→=λFQ→．【点评】本题着重考查了动点轨迹的求法、椭圆的标准方程与简单几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系和一元二次方程根与系数的关系等知识，属于中档题．21．已知函数f(x)=alnx+12(a−1)x2+1（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＝﹣1时，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有|x1f(x2)−x2f(x1)x1−x2|＞mx1x2，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出导函数，通过①当a≥1时，②当0＜a＜1时，③当a≤0时，判断导函数的符号，判断函数的单调性即可．（Ⅱ）当a＝﹣1时，f（x）＝﹣lnx﹣x2+1，不妨设0＜x1＜x2，则|x1f(x2)−x2f(x1)x1−x2|＞mx1x2等价于|f(x2)x2−f(x1)x1|＞m(x2−x1)，考察函数g(x)=f(x)x，求出导函数，令h(x)=lnx−x2−2x2，再求解导函数，判断函数的单调性．求出函数的最值，说明g（x）在（0，+∞）上单调递减．得到g（x1）+mx1＞g（x2）+mx2恒成立，设φ（x）＝g（x）+mx，则φ（x）在（0，+∞）上恒为单调递减函数，然后转化求解m的范围即可．解：（Ⅰ）f′(x)=ax +(a−1)x=(a−1)x2+ax（x＞0）．①当a≥1时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当0＜a＜1时，f′(x)=(a−1)(x+√−aa−1)(x−√−a a−1) x，所以当x＞√−aa−1时，f'（x）＜0，当0＜x＜√−aa−1时，f'（x）＞0，所以f（x）在(0，√−aa−1)上单调递增，在(√−a a−1，+∞)上单调递减；③当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减，（Ⅱ）当a＝﹣1时，f（x）＝﹣lnx﹣x2+1，不妨设0＜x1＜x2，则|x1f(x2)−x2f(x1)x1−x2|＞mx1x2等价于|f(x2)x2−f(x1)x1|＞m(x2−x1)，考察函数g(x)=f(x)x，得g′(x)=lnx−x2−2x2，令h(x)=lnx−x2−2x2，h′(x)=5−2lnxx3，则x∈(0，e52)时，h'（x）＞0，x ∈(e 52，+∞)时，h '（x ）＜0，所以h （x ）在区间(0，e 52)上是单调递增函数，在区间(e 52，+∞)上是单调递减函数．故g′(x)≤g′(e 52)=12e5−1＜0，所以g （x ）在（0，+∞）上单调递减． 从而g （x 1）＞g （x 2），即f(x 2)x 2＜f(x 1)x 1，故f(x 1)x 1−f(x 2)x 2＞m(x 2−x 1)，所以f(x 1)x 1+mx 1＞f(x 2)x 2+mx 2，即g （x 1）+mx 1＞g （x 2）+mx 2恒成立，设φ（x ）＝g （x ）+mx ，则φ（x ）在（0，+∞）上恒为单调递减函数， 从而φ′（x ）＝g ′（x ）+m ≤0恒成立，故φ′（x ）＝g ′（x ）+m ≤12e 5−1+m ≤0， 故m ≤1−12e 5． 【点评】本题考查导数公式和导数运算法则以及恒成立的思想，考查考生灵活运用导数工具分析问题、解决问题的能力，综合考查考生的分类讨论思想以及逻辑推理能力、运算求解能力和推理论证能力．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，曲线C ：ρ＝4cos θ，以极点O 为旋转中心，将曲线C 逆时针旋转π3得到曲线C ′．（Ⅰ）求曲线C ’的极坐标方程；（Ⅱ）求曲线C 与曲线C ′的公共部分面积．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用及二次函数的性质的应用求出结果．解：（Ⅰ）设极点（ρ，θ）旋转之后的极点为（ρ′，θ′），故：{ρ′=ρθ′=θ+π3，代入ρ＝4cosθ，得到ρ′=4cos(θ′−π3)，得到ρ=4cos(θ−π3)．（Ⅱ）如图，两圆相交于点O和A，连接OA，AC，OC′，AC′．由于极径没有变，旋转的角为π3．显然四边形OC′AC为菱形，故∠OCA=2π3．所以S＝2S弓形OC′A＝2（S扇形OC′A﹣S△OC′A）=8π3−2√3．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．一、选择题23．已知f（x）＝k|x|+|x﹣1|．（Ⅰ）若k＝2，解不等式f（x）≤5．（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤|x+1|+|2x﹣2|的充分条件是x∈[12，2]，求k的取值范围．【分析】（Ⅰ）k＝2时，不等式f（x）≤5可化为2|x|+|x﹣1|≤5．然后分x＜0，0≤x ＜1，x≥1三类去绝对值求解，取并集得答案；（Ⅱ）由题意，关于x的不等式f（x）≤|x+1|+|2x﹣2|在x∈[12，2]上恒成立，分离参数k，可得k≤|x+1|+|x−1||x|在x∈[12，2]上恒成立，再由|x+1|+|x−1||x|≥|x+1+x−1||x|=2，即可得到实数k的取值范围．解：（Ⅰ）若k＝2，不等式f（x）≤5可化为2|x|+|x﹣1|≤5．当x＜0时，有﹣2x﹣（x﹣1）≤5，即x≥−43，∴−43≤x＜0；当0≤x＜1时，有2x﹣（x﹣1）≤5，即x≤4，∴0≤x＜1；当x≥1时，有2x+（x﹣1）≤5，即x≤2，∴1≤x≤2．故原不等式的解集为[−43，2]；（Ⅱ）由题意，关于x的不等式f（x）≤|x+1|+|2x﹣2|在x∈[12，2]上恒成立，即k |x |≤|x +1|+|2x ﹣2|﹣|x ﹣1|在x ∈[12，2]上恒成立，∴k ≤|x+1|+|x−1||x|在x ∈[12，2]上恒成立， ∵|x+1|+|x−1||x|≥|x+1+x−1||x|=2|x||x|=2，等号在x +1，x ﹣1同号或其中一项为0时成立．∴k 的取值范围是（﹣∞，2]．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论与数学转化思想方法，训练了绝对值不等式的应用，是中档题．。
2020届江西省普通高中高三下学期6月高考模拟考试数学(理)试卷及解析
2020届江西省普通高中高三下学期6月高考模拟考试数学（理）试卷★祝考试顺利★(含答案)一、选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}240A x x x =-≤,(){}2log 2B x y x ==-,则A B =（ ） A. {}02x x ≤< B. {}2x x < C. {}04x x ≤≤ D. {}4x x ≤【答案】A【解析】 解一元二次不等式得集合A ,求对数型复合函数的定义域得集合B ,然后由交集定义得结论． 【详解】因为{}{}24004A x x x x x =-≤=≤≤,{}{}20}2B x x x x =->=<, 所以{}02A B x x ⋂=≤<.故选：A ．2. 复数12i 1i z +=-,则z =（ ）C. 5D. 2【答案】D【解析】根据复数除法的运算法则,结合共轭复数的定义和复数模的计算公式进行求解即可. 【详解】因为()()()()2121121221311122i i i i i i i z i i i ++++++-+====--+,所以1322i z =--,则2z ==. 故选：D3. 已知1a =,3b =,且()()722a b a b +⋅-=-,则向量a 与b 的夹角为（ ）A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6【答案】A【解析】由数量积的运算律求出a b ⋅,再根据的定义求出夹角的余弦,从而得夹角大小．【详解】因为()()722a b a b +⋅-=-,所以22722a a b b +⋅-=-. 因为1a =,3b =,所以32a b ⋅=, 32cos ,13a b a b a b ⋅<>===⨯则向量a 与b 的夹角为π6. 故选：A ． 【点睛】本题考查平面向量数量积的定义与运算律,考查运算求解能力.由数量积的定义有cos ,a ba b a b ⋅<>=．4. 已知实数x ,y 满足不等式组4020250x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩,则34z x y =+-的最小值为（ ）A. 0B. 2C. 6D. 30 【答案】B【解析】画出可行域,解出可行域的顶点坐标,代入目标函数求出相应的数值,比较大小得到目标函数最值.。
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江西省等三省十校2020届高三下学期联考数学（理）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．记()()()77017211x a a x a x -=+++⋯⋯++，则0126a a a a +++⋯⋯+的值为( ) A ．1B ．2C ．129D ．21882．已知()0,απ∈，且15cos 17α=-，则()sin tan 2ααπ⎛⎫+⋅π+= ⎪⎝⎭( ) A ．1517-B ．1517 C ．817-D ．8173．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ）A ．3B ．1C ．0D ．-14．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31．5尺，前九个节气日影长之和为85．5尺，则芒种日影长为（ ） A ．1．5尺 B ．2．5尺 C ．3．5尺 D ．4．5尺5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 （ ）A ．362π-B ．364π-C ．482π-D ．484π-6．若实数x ，y 满足10200x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，且27(3)x y c x +-≥-恒成立，则c 的取值范围是（ ）A ．(3]5,-∞B ．(,2]-∞C ．5[,)3+∞ D ．[2,)+∞7．已知()()13cos 213xxf x x α-=++，R x ∈.则当[]0απ∈，时，()f x 的图像不可能．．．是（ ） A ． B ．C ．D ．8．在区间上随机取两个数，记为事件“”的概率，为事件“”的概率，则（ ） A ． B ． C ．D ．9．已知曲线sin(2)6y x π=+向左平移(0)ϕϕ>个单位，得到的曲线()y g x =经过点(,1)12π-，则（ ） A ．函数()y g x =的最小正周期2T π=B ．函数()y g x =在1117,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．曲线()y g x =关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．曲线()y g x =关于直线6x π=对称10．数列{}n a 满足3OA OB ⋅=-u u u v u u u v(2,)n n N ≥∈是数列{}n a 为等比数列的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 11．已知等差数列的前项和为，且，，则其公差为（ ）A ．B ．C ．D ．12．平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线24y x =的焦点，点A B 、在抛物线C 上，满足4OA OB ⋅=-u u u v u u u v，43FA FB -=u u u v u u u v ，则 FA FB ⋅u u u v u u u v为A ．11-B ．12-C ．13-D ．14-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知点为三角形所在平面内的一点，且满足，，则___．14．在正方形ABCD 中，M 、N 分别是BC 、CD 的中点，若AC uuu r =λAM u u u u r +μAN u u ur ，则λ+μ=______．15．某共享汽车停放点的停车位排成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，则该停车点的车位数为______．16．若20a xdx =⎰，则在7a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数是__________．(用数字作答） 三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆三个内角,,A B C 所对的边，且25sin cos 22B B +=.求角B 的大小.已知2b =，求ABC ∆面积的最大值. 18．（12分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|1|||(0)f x x x a a =+-->.当2a =时，求不等式()2f x >的解集；若不等式()2f x a ≥的解集为空集，求a 的取值范围.19．（12分）已知函数()|2|()f x x m x =--∈R ，且(2)0f x +≤的解集为[1,1]-．求实数m 的值；设0a >，0b >，0c >，若222a b c m ++=，求23a b c ++的最大值．20．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；若直线与曲线交于两点，，求.21．（12分）已知曲线E的极坐标方程为4（ρ2-4）sin2θ=（16-ρ2）cos2θ，以极轴为x轴的非负半轴，极点O为坐标原点，建立平面直角坐标系．写出曲线E的直角坐标方程；若点P为曲线E上动点，点M为线段OP的中点，直线l的参数方程为25 x2t55y2t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数），求点M到直线l的距离的最大值．22．（10分）为推进“千村百镇计划”，2018年4月某新能源公司开展“电动莆田绿色出行”活动，首批投放200台P型新能源车到莆田多个村镇，供当地村民免费试用三个月。
试用到期后，为了解男女试用者对P型新能源车性能的评价情况，该公司要求每位试用者填写一份性能综合评分表（满分为100分）。
最后该公司共收回有效评分表600份，现从中随机抽取40份（其中男、女的评分表各20份）作为样本，经统计得到如下茎叶图：求40个样本数据的中位数m；已知40个样本数据的平均数80a=，记m与a的最大值为M。
该公司规定样本中试用者的“认定类型”：评分不小于M的为“满意型”，评分小于M的为“需改进型”。
①请以40个样本数据的频率分布来估计收回的600份评分表中，评分小于M的份数；②请根据40个样本数据，完成下面22⨯列联表：根据22⨯列联表判断能否有99％的把握认为“认定类型”与性别有关？参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C 2．D 3．C 4．B 5．A 6．D 7．A 8．B 9．C 10．B 11．B 12．A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．14．4315．10 16．84三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）3B π=；（23【解析】分析：（1）推导出25cos cos 102B B --=，解得1cos 2B =，由此能求出B ．（2）由B=3π，b=2，根据余弦定理得a 2+c 2﹣ac=4，从而a 2+c 2=ac+4≥2ac ，进而ac≤4，由此能求出△ABC 的面积最大值． 详解：(1) ABC ∆中， 25s cos 22in B B += 251cos cos 22B B ∴-+=即25cos cos 102B B --=解得cos 2B = (舍)或1cos 2B =.所以3B π=.(2)由(1)知,23B b π==根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+-代入得224a c ac +-=， 得2242a c ac ac +=+≥，解得4ac ≤，1sin 2ABC S ac B ∆=13432≤⨯=所以ABC ∆3点睛：本题考查角的大小的求法，考查三角形面积最大值的求法，考查三角函数性质、三角函数恒等式、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想. 18．（1）3|2x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；（2）()1,+∞. 【解析】 【分析】（1）利用零点分类讨论法求不等式()2f x >的解集；（2）由题得|x+1|-|x-a|＜2a 恒成立，再求出()max 1f x a ⎡⎤=+⎣⎦， 解不等式a+1＜2a 得解.【详解】（1）当a=2时，不等式()2f x >，即|x+1|-|x-2|＞2，当1x ≤-时，原不等式可化为-x-1+x-2＞2，即-3＞2，此时原不等式无解； 当12x -≤＜时，原不等式可化为x+1+x-2＞2，解得32x >，所以322x ≤＜； 当x ＞2时，原不等式可化为x+1-x+2＞2，即3＞2，此时原不等式恒成立， 所以x ＞2；综上，原不等式的解集为32x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭. （2）由()2f x a ≥的解集为空集得12x x a a +--≥的解集为空集， 所以|x+1|-|x-a|＜2a 恒成立.因为0a >，所以()()()111f x x x a x x a a =+--≤+--=+，所以当且仅当()()10,1,x x a x x a ⎧+-≥⎪⎨+≥-⎪⎩即x a ≥时，()max 1f x a ⎡⎤=+⎣⎦， 所以a+1＜2a ， 解得a ＞1，即a 的取值范围为()1,+∞. 【点睛】本题主要考查零点分类讨论法解绝对值不等式，考查绝对值不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19． (1) 1m = (2) 【解析】 【分析】（1）不等式()20f x +≤，就是x m ≤，求出解集，与[]1,1-对比，便可求出实数m 的值； （2）已知222a b c m ++=，求23a b c ++的最大值，考虑到柯西不等式2222222()(123)(23)a b c a b c ++++≥++，对这个不等式进行化简即可得到答案.【详解】（1）依题意得()2f x x m +=-，()20f x +≤即x m ≤， 可得1m =.（2）依题意得2221a b c ++=（,,0a b c >）由柯西不等式得， 22223123a b c ++≤++ 22214a b c ⋅++=， 当且仅当23b c a ==，即14a =，14b =，314c =时取等号. ()61f x -<Q ，()161f x ∴-<-<，()57f x <<，23a b c ++的最大值为14【点睛】这是一道关于绝对值不等式以及柯西不等式应用的题目，掌握绝对值不等式的解法是解题的关键；细查题意可知，根据已知不等式的解集得到含绝对值的不等式是解题的突破口. 20．（1）x+y-1=0, ； （2）.【解析】 【分析】（1）由直线的参数方程，消去参数，即可得到普通方程；根据极坐标与直角坐标的转化公式，可将化为直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，再设两点对应的参数为，根据韦达定理，即可求出结果. 【详解】（1）直线的普通方程为 由，得，则，故曲线的直角坐标方程为.（2）将,代人，得，设两点对应的参数为，则，故.【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.21．（1）x2+4y2=16；（2【解析】【分析】（1）利用极坐标和直角坐标的互化公式求解；（2）先求出点M的坐标，再利用点到直线的距离公式可求最值.【详解】（1）由4（ρ2-4）sin2θ=（16-ρ2）cos2θ得4ρ2sin2θ+ρ2cos2θ=16，利用互化公式可得x2+4y2=16；所以曲线E的直角坐标方程为：x2+4y2=16．（2）直线l的普通方程为：x-=0，设P（4cosα，2sinα），则M（2cosα，sinα）点M到直线l的距离【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标的相互转化及利用参数方程求解最值问题，侧重考查了数学建模和数学运算的核心素养.22．（1）81；（2）见解析【解析】【分析】（1）取位于中间两个数，计算平均数，即可。