初中数学专题训练--整式方程--一元二次方程根的差别式

典型例题一例 求证：如果关于x 的方程922+=+m x x 没有实数根，那么，关于y 的方程0522=+-+m my y 一定有两个不相等的实数根.分析：由已知，可根据一元二次方程的根的判别式证之.证明 设方程922+=+m x x 即0922=--+m x x 的根的判别式为1∆，方程0522=+-+m my y 的根的判别式为2∆，则.36)4( 208)25(4.440)9(42222221-+=-+=--=∆+=++=∆m m m m m m m ∵方程922+=+m x x 无实数根，01<∆∴，即0404<+m ，解得：.10-<m当10-<m 时，.64-<+m36)4(2>+∴m ，即036)4(2>-+m .故方程0522=+-+m my y 有两个不相等的实数根.说明：上述证明中，判定02>∆用到了01<∆所得的结论，即10-<m ，这种条件和结论的相互转化在解综合性的题目中常常遇到.典型例题二例 不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况. （1）0)1(422=-+-k kx x ； （2）)0(02≠=+a bx ax ； （3）)0(02≠=+a c ax .分析：运用根的判别式判定根的情况时，要首先把方程变形为一元二次方程的一般形式，然后从求出的判别式的值来判定根的判别式的符号，尤其是当方程系数中含有字母时，一般利用配方法将“∆”化成完全平方式或完全平方式加上（或减去）一个常数，再根据完全平方式的非负性判断“∆”的符号，从而判定方程的根的情况，有时还需要对字母进行讨论.这是不解方程判别根的情况的关键.解：（1）),1(4,2,1-=-==k c k b a)1(414)2(422-⋅⋅--=-=∆∴k k ac b)2(4)44(416164222≥-=+-=+-=k k k k k∴方程有两个实数根. （2）0≠a ，∴方程02=+bx ax 是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项，将常数项看作零.∴2204b a b =⋅-=∆.∴不论b 取任何实数，2b 均为非负数，02≥=∆b 恒成立.∴方程有两个实数根. （3）0≠a ，∴方程02=+c ax 是缺少一次项的不完全的一元二次方程，它的一次项系数0=b .ac a 40402-=⋅-=∆，∴需要讨论a 、c 的符号，才能确定∆的符号. 当0=c 时，0=∆，方程有两个相等的实数根；当a 、c 异号时，0>∆，方程有两个不相等的实数根； 当a 、c 同号时，0<∆，方程没有实数根.说明：运用一元二次方程的根的判别式时，必须先把方程化为一般形式，正确地确定各项系数，当方程系数有字母时，要注意对字母取值情况的讨论.典型例题三例 已知一元二次方程02)(2)2(2=-+-+-ab a x a b x b ab 有两个相等的实根，求ba 11+的值. 分析：由已知方程有两个相等的实数根，得0=∆，从而得a 、b 间的关系，然后求ba 11+的值.解 ∵已知一元二次方程有两个相等的实根，∴0=∆，即.0)2)(2(4)(42=----ab a b ab a b0)242(222222=+---+-∴ab ab b a b a a ab b .0)22()2(222222=++-++b a ab b a b ab a .0)(2)(222=++-+b a b a ab b a ..0=-+∴ab b a∵要求b a 11+的值，说明a 1和b1都有意义，0≠∴a 且0≠b ，0,0≠≠ab b .上式中两边都除以ab ，得111=+b a . 故ba 11+的值是1. 说明：由0=-+ab b a 得到111=+ba 这一步的前提条件是0≠ab .而0≠ab 不是题中明确给出的，这时就必须深入挖掘题目的隐含条件，为解题过程的顺利进行创造条件.本题的隐含条件有一元二次方程的二次项系数02≠-b ab ，分式ba 11+中的分母0≠a 且0≠b .典型例题四例 若a 是非负整数，且关于x 的一元二次方程01)1(2)1(22=--+-x a x a 有两个实数根，求a 的值.分析：本题对a 给出了三个限制条件，其中有两个明显条件，即a 是非负整数和0≥∆中对a 的限制，另一个条件是二次项系数012≠-a .解题时，可先由0≥∆和012≠-a 联立，求出a 的取值范围，然后再根据a 是非负整数，确定a 的取值.解：∵原一元二次方程有两个实数根，∴⎪⎩⎪⎨⎧≥-⋅---=∆≠-.0)1()1(4)1(4,01222a a a 解之，得⎩⎨⎧≤±≠.1,1a a1<∴a 且1-≠a .又∵a 是非负整数， ∴a 的值只能等于0.说明：对于此类问题要特别注意二次项系数012≠-a 的隐含条件，切勿遗漏.典型例题五例 设a 、b 、c 是互不相等的非零实数，试证三个方程022=++c bx ax ，022=++a cx bx ，022=++b ax cx 不可能同时有两个相等的实数根.分析：运用根的判别式，结合反证法证之.证明 假设三个方程同时都有两个相等的实数根，则⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-.044,044,044222bc a ab c ac b ∴⎪⎩⎪⎨⎧===）（）（）（3 .2 ,1 ,222bc a ab c ac b 因为a 、b 、c 是非零实数，由（1）、（2）得c b c b bcc b =⇒=⇒=3322. 同理，由（1）、(3)得a b a b ba ab =⇒=⇒=3322. c b a ==∴，这与题设a 、b 、c 是互不相等的非零实数矛盾.故这三个方程不可能同时都有两个相等的实数根.说明：对于“不可能……”一类问题可采用反证法证明.典型例题六例 已知关于x 的一元二次方程)0(056252≠=+-p q px x 有两个相等的实数根.求证：（1）方程02=++q px x 有两个不相等的实数根；（2）设方程02=++q px x 的两个实数根为21,x x ，若21x x <，则3221=x x . 分析：运用根的判别式证之.证明 ∵方程056252=+-q px x 有两个相等的实数根，.0554)62(21=⨯⨯--=∆∴q p整理，得2256p q =. （1）方程02=++q px x 的判别式2222225112644p p p q p =⨯-=-=∆. .0251,0,0222>=∆>∴≠p p p ∴方程02=++q px x 有两个不相等的实数根. （2）解方程02=++q px x ，得.25122512p p p p x ±-=±-=.325352.53,52,212121=--=∴-=-=∴<p p x x p x p x x x 说明：对于（2），也可以利用下节的根与系数关系证明.典型例题七例1 不解方程，判别下列方程的根的情况： （1）23534x x =+； （2）0132=+-x x ； （3）034)3(2=+-x x .分析 不解方程，要想判别方程的根的情况，只要把ac b 42-求出即可判别. 解 （1）原方程可化为043352=--x x ∵ 4,3,35-=-==c b a ，∴0)4(354)3(422>-⨯--=-ac b ，∴原方程有两个不相等的实数根； （2）∵1,1,3=-==c b a ，∴011134)1(422<-=⨯⨯--=-ac b ， ∴原方程没有实数根； （3）原方程可化为03322=++x x∵ 3,32,1===c b a ，∴0121234)32(422=-=⨯-=-ac b ，∴原方程有两个相等的实数根.说明：用根的判别式来判别根的情况，一定要把方程变形为一元二次方程的一般形式. 例2 （1）已知a 、b 、c 是三角形的三边，判别方程0)(222222=+-++c x a c b x b 根的情况；（2）若方程0122=+--m x x 没有实数根，判别方程0)12()2(2=+++-m x m x 根的情况；分析 两个方程的系数都含有字母，但字母人为地给出一定的条件，因此，是在特定的条件下，对“∆”的表达式进行分析，从而判别二次方程根的情况.解这类题要注意所给条件与“∆”表达式之间的沟通.解 （1）2222224)(c b a c b --+=∆))()()((])][()[()2)(2(2222222222a c b a c b a c b a c b a c b a c b bc a c b bc a c b --+--+++=---+=--++-+=∵ a 、b 、c 为三角形的三边∴ 0,0,0,0<-->+->-+>++a c b a c b a c b a c b ∴0<∆∴原方程无实数根.（2） 方程0122=+--m x x 没有实数根的条件：0<∆，即0)1(4)2(2<+---m ，所以，0<m .对于方程0)12()2(2=+++-m x m x ，)4(4)12(4)]2([22-=-=+-+-=∆m m m m m m∵0<m ，∴04<-m ，∴0>∆∴方程0)12()2(2=+++-m x m x 有两个不相等的实数根.说明：求解这类问题，首先要由给出的条件，确定字母的取值范围或字母之间的关系，然后在这样的特定条件下，确定“∆”的符号，以判定根的情况.典型例题八例 求证：当a 和c 的符号相反时，一元二次方程02=++c bx ax 一定有两个不相等的实数根.分析 要想证明方程有两个不相等的实数根，须先写出ac b 42-. 证明：在ac b 42-=∆中，当当a 和c 的符号相反时，有 04>-ac ， 又由于b 为任何实数时，总有02≥b ， 于是有 042>-ac b .所以，当a 和c 的符号相反时，一元二次方程02=++c bx ax 一定有两个不相等的实数根.说明：证明给出了一个命题，不必计算ac b 42-的值，只要看一看a 和c 的符号是否相反即可.一般情况下，a 为正值，只要c 是负数，一元二次方程一定有不相等的实数根.反之不成立.典型例题九例1 若关于x 的方程0962=+-x kx 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围. 分析 因为方程有两个不相等的实数根，所以方程是一元二次方程，因此，0≠k . 解 方程0962=+-x kx 有两个不相等的实数根的条件是⎩⎨⎧>--=-=∆≠036)6(4022k ac b k 解这个方程组，得 ⎩⎨⎧<≠1k k所以，k 的取值范围是1<k ，但0≠k .说明：解此类题目，一定要把满足题目的所有条件列成一个方程组，然后求方程组的解集.例2 （1）m 取何值时，关于x 的方程03)1(22=-+-+m x m mx 的有两个实数根？ （2）若关于x 的一元二次方程032)1(2=++--k kx x k 有两个不相等的实数根，求k的最大整数值.解 （1） 关于x 的方程03)1(22=-+-+m x m mx 有两个实数根的条件是[]⎩⎨⎧≥---=∆≠0)3(4)1(202m m m m 解方程组，得：1-≥m 0≠m 且 .所以，当1-≥m 0≠m 且时，方程03)1(22=-+-+m x m mx 的有两个实数根. （2）方程032)1(2=++--k kx x k 有两个不相等的实数根的条件是⎩⎨⎧>+---=∆≠-0)3)(1(4)2(012k k k k 解方程组，得：⎪⎩⎪⎨⎧<≠231k k∴123≠<k k 且 ∴k 的最大整数值为0.说明：一定不要忽略题目的隐含条件. 第（1）小题方程有两个实数根，一定为一元二次方程，所以一定有0≠m .第（2）小题说方程是一元二次方程，一定有二次项系数不为零.选择题1. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）；A ．05522=+-x x B ．035422=++x xC ．0501522=--x xD ．022322=--x x2. 方程06752=+-x x 根的情况是（）A ．有二正实根B ．有二负实根C ．有二等根D ．无实根 3. 下列关于x 的一元二次方程中没有实数根的是（） A ．027122=+-x x ；B ．02322=+-x xC ．013422=-+x x ；D ．0322=--k x x （k 为任意实数）4. 若关于x 的方程06)4(22=+--x kx x 没有实数根，则k 的最小整数值是（ ）； A ．－1 B ．1 C ．2 D ．不存在 5. 下列命题中，正确的是（ ）；A ．方程x x =25只有一个实根 B ．方程082=-x 有两个相等的实数根 C ．方程02322=+-x x 没有实数根 D ．32>k ，方程032)1(2=-+-x x k 有两个不相等的实数根 6.一元二次方程0122=-++a ax x 的根的情况是（ ）. A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．只有一个实数根 D ．没有实数根7. 关于x 的方程08)18(22=+++k x k kx 有实数根，则k 的取值范围（） A ．161->k B ．161->k 且0≠k C ．161-≥k D ．161-≥k 且0≠k 8.若代数式4)1(2)12(2+++-x m x m 是一个关于x 的完全平方式，则（） A ．1=m 或6B ．1=m 或5C ．5=m 或6D ．不能确定9. 关于x 的方程21)2(3x mx x =+-无实根，那么k 的最小整数值是（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．610．不解方程，判别下列方程的根的情况： （1）0122=+-x x （）（2）01262=-+x x （） （3）4)43(32-=-x x （）（4）02232=+-x x （） A ．方程有两个不相等的实数根 B ．方程有两个相等的实数根C ．方程无实数根11．当5-=k 时，方程0122=+-x kx 和4)1(2=+-x k x 的根的情况是（）.A ．分别为无实根和有实根B ．分别为有两个不相等的实根和无实根C ．分别为有两个不相等的实根和有两个相等的实根D ．都有两个不相等实根12．若关于x 的方程0342=+-x kx 有实数根，则满足条件的k 的非负整数值是（）. A ．0，1 B ．0，1，2 C ．1 D ．1，2，3.答案：1. A2. D3. B4. C ；5. C ；6. B.7. D8. B9. B. 10．（1）B （2）A （3）B （4）C .11．D 12．A.填空题1．一元二次方程212=-x x 的根的判别式的值是 ，它的根的情况是 ； 2．一元二次方程0322=+-x x 的根的情况是 ；3．关于x 的方程0)12(22=++-m x m x 的根的判别式的值是9，则____=m ； 4. 若方程01)1(42=++-x k x 有两个相等的实数根，则k =_________.5．关于x 的方程0122=+-x mx 有两个实数根，则____=m ；6. 方程0222=--x kx 没有实数根，则k 的取值范围是___________ 7. 若方程032=++m x mx 的根的判别式是18，则m =___________.8．关于x 的方程0)1(22=+--m x m x 的根判别式____=∆，当____=m 时，此方程有两个相等的实数根.9． 若02=-+b a ，且关于x 的一元二次方程022=-+bx ax 有两个相等的实根，则此方程的解为__________10. 当m ___________时，关于x 的方程01)1(2)3(22=+---x m x m 有两不等实根. 答案：1．3，有两个不相等的实数根；2. 没有实数根；3. 2或－1；4. 5-或3 5. 1≤m ； 6. 21-<k 7. 23±=m 8. 31,1232+--m m 或－1. 9. 121==x x 10. 2<m 且3±=m .解答题1. 已知关于x 的方程01)2(42=-++-k x k x 有两个相等的实数根，求k 的值，并求此时方程的根.2. m 为何值时，一元二次方程01)1(2)1(22=+-+-x m x m .①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③没有实数根？3.证明关于x 的方程0)4(2)1(222=++-+k kx x k 没有实数根.4. 如果方程022=++m x x 有两个不相等的实数根，证明方程023)13(2322=-+--m x m x 也有两个不相等的实数根.5．证明初中数学精品设计 （1）求证：方程2)2)(1(k x x =--有两个不相等的实数根。