高考数学(文)(新课标版)考前冲刺复习课件第2部分专题二第3讲 平面向量精选ppt版本
高考数学二轮复习 第一部分专题二 三角函数与平面向量 第3讲 平面向量课件 理
且 α＋β＝1.
3．辨明易错易混点 (1)若 a＝0，则 a·b＝0，但由 a·b＝0，不能得到 a＝0 或 b＝0， 因为 a⊥b，a·b＝0. (2)两向量夹角的范围为[0，π]，向量的夹角为锐角与向量的 数量积大于 0 不等价．
[思路点拨] (1)以向量A→B，A→C为基底，利用向量的加减运算 和平面向量基本定理求解． (2)利用向量的坐标运算和向量共线定理求解． [解析] (1)A→D＝A→C＋C→D＝A→C＋13B→C＝A→C＋13(A→C－A→B)＝43 A→C－13A→B＝－13A→B＋43A→C. (2)因为(a＋kc)∥(2b－a)， 又 a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)， 所以 2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0， 所以 k＝－1163.
2．活用性质与结论
(1)平面向量的三个性质
①若 a＝(x，y)，则|a|＝ a·a＝ x2＋y2；
②若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|A→B|＝ （x2－x1）2＋（y2－y1）2；
③若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为 a 与 b 的夹角，
则 cos
θ＝ a·b ＝
|a||b|
A．(2，0)
B．(0，－2)
C．(－2，0)
D．(0，2)
解析：因为 a 在基底 p，q 下的坐标为(－2，2)，即 a＝－2p
＋2q＝(2，4)，令 a＝xm＋yn，则 a＝(－x＋y，x＋2y)＝(2，
4)，所以－x＋x＋2y＝y＝42，，解得xy＝＝20.，所以 a 在基底 m2＋y1y2
.
x12＋y21 x22＋y22
高考数学(文)(新课标版)考前冲刺复习课件：第2部分专题二第3讲 平面向量
平面向量的数量积
1．数量积的定义 a· b＝|a||b|cos θ. 2．两个非零向量平行、垂直的充要条件 若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则： (1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0. (2)a⊥b⇔a· b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
共研典例 类题通法
3．平面向量的三个性质 (1)若 a＝(x，y)，则|a|＝ a· a＝ x2＋y2. (2)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 → |AB|＝ （x2－x1）2＋（y2－y1）2. (3)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 为 a 与 b 的夹角， x1x2＋y1y2 a· b 则 cos θ＝ ＝ 2 2 2 2. |a||b| x1＋y1 x2＋y2
(1)(2016· 海口调研测试)在△ABC 中，M 是 BC 的中点， → → → → → AM＝4，点 P 在 AM 上，且满足AP＝3PM，则PA·(PB＋PC) 的值为( C ) A．－4 C．－6 B．6 D．4
(2)(2016· 高考全国卷乙)设向量 a＝(x， x＋1)， b＝(1， 2)， 且 a⊥b，
2→ → 2→2 2 → → － PA，PA·(PB＋PC)＝－ |PA| ＝－ ×32＝－6，选 C. 3 3 3 (2)因为 a＝(x，x＋1)，b＝(1，2)，a⊥b， 2 所以 x＋2(x＋1)＝0，解得 x＝－ . 3
3 1 (3)法一：如图，建立平面直角坐标系，则 A(0， )，B(－ ，0)， 2 2 1 1 3 1 3 → → C( ，0)，E(0，0)，D(－ ， )，由DE＝2EF，得 F( ，－ )， 2 4 4 8 8 1 5 3 → → → → 1 则AF＝( ，－ )，BC＝(1，0)，所以AF·BC＝ . 8 8 8
高三数学二轮专题复习课件：平面向量
核心整合
知识方法整合 1．向量的基本概念 (1)既有大小又有方向的量叫做向量，向量可用有向线段来 表示． (2)零向量的模为 0，方向是任意的，记作 0.零向量和任一 向量平行．
(3)长度等于 1 的向量叫单位向量，与向量 a 共线的单位向 量为±|aa|.
(4)长度相等且方向相同的向量叫相等向量． (5)方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向 量．
(2)∵m＝(1，sinA)与 n＝(2，sinB)共线，
∴sinB＝2sinA，
∴sin(23π－A)＝2sinA，
∴ 23cosA＋12sinA＝2sinA，
∴cosA＝ 3sinA，即 tanA＝ 33，
又 0<A<23π，∴A＝6π，∴B＝2π.
在直角三角形
ABC
中
c＝3，∴a＝32，b＝3
2．共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当存在唯一一个实数 λ，使 b＝λa. 3．平面向量基本定理 如果 e1、e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这 一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 λ1、λ2，使 a＝λ1e1 ＋λ2e2.
4．两向量的夹角 已知两个非零向量 a 和 b，在平面上任取一点 O，作O→A＝ a，O→B＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作 a 与 b 的夹角． 5．向量的坐标表示及运算 (1)设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1)． (2)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A→B＝(x2－x1，y2－y1)．
10．(1)当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图 形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法 的法则进行，特别是减法法则很容易出现错误，向量M→N＝O→N －O→M(其中 O 为我们所需要的任何一个点)．
版高考数学二轮复习 专题一 三角函数与平面向量 第3讲 平面向量课件 理.pptx
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3.平面向量的三个性质 (1)若 a＝(x，y)，则|a|＝ a·a＝ x2＋y2. (2)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|A→B|＝ （x2－x1）2＋（y2－y1）2. (3)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为 a 与 b 的夹角， 则 cos θ＝|aa|·|bb|＝ x21x＋1x2y＋21 yx122y＋2 y22.
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4.平面向量的三个锦囊 (1)向量共线的充要条件：O 为平面上一点，则 A，B，P 三点
－29a2－29b2＋59a·b＝－29(a2＋b2)＋59×4＝－1.
可得 a2＋b2＝229.又B→E＝B→A＋A→E＝－a＋16a＋16b＝－56a＋16b，
C→E＝C→A＋A→E＝－b＋16a＋16b＝16a－56b，
则B→E·C→E＝－56a＋16b·16a－56b
＝－356(a2＋b2)＋2366a·b＝－356×229＋2366×4＝78.
答案
7 8
9
4.(2017·江苏卷)已知向量 a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－ 3)， x∈[0，π]. (1)若 a∥b，求 x 的值； (2)记 f (x)＝a·b，求 f (x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值. 解 (1)∵a∥b，∴3sin x＝－ 3cos x， ∴3sin x＋ 3cos x＝0，即 sinx＋π6 ＝0. ∵0≤x≤π，∴π6 ≤x＋π6 ≤76π，∴x＋π6 ＝π，∴x＝5π6 .
2
真题感悟 1.(2015·江苏卷)已知向量 a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若 ma＋
高考数学二轮复习 专题一 三角函数和平面向量 第3讲 平面向量课件
|2= 7 2= 1 ,
77
则 ABi
· AB
j
的最大值为19- 1 =1 32
.
77
(2)由题意可得BM⊥BN,∠AMB=90°,则AM∥BN.因为AC=2,B为AC的中点,所
以BN=BC=BA=1.
设∠NBC=∠MAB=α,α∈
0,
2
,则 AM
·C N
∴2xx
3y 3,
8,
∴
x
y
3,
14 ∴O C
, 3
14
=-3 OA+ 3 OB.
(2)∵ A、B、C三点能构成三角形,∴A B , AC 不共线,又 AB =(1,1),A C =(m-2,4),
∴1×4-1×(m-2)≠0,∴m≠6.
CD,点E是B源自C的中点.若 AC=x AE +y AD,其中x,y∈R,则x+y的值为
.
答案 5
4
解析
2 AE = AB + AC =3 DC + AC =3 AC - AD
+ AC
=4 AC
-3 AD
,则 AC
= 1 AE
+ 3
24
AD
,则x+y= 12 + 34 = 54 .
题型二 平面向量的数量积
例2 (1)(2018江苏盐城模拟)如图,在△AB1B8中,已知∠B1AB8= 3 ,AB1=6,AB8=
高考数学新课标全国二轮复习课件3.三角函数、解三角形及平面向量2
2������-������ = 0, ������ 2 + ������ 2 = 0, ������ = ������ =
5 5 或 2 5 5
解得
,
������ = ������ = -
5
5 2 5 5
, ,
所以|x+2y|= 5.
考点1
考点2
考点3
考点4
(2)(a+b)· a=0,所以 a· b=-a2,设 a 与 b 的夹角为 θ,则 cos θ=|������ |· =- ,所以夹角为 120°. |������ | 2 答案:(1) 5 (2)120°
考点1
考点2
考点3
考点4
考点 2 向量的模及夹角问题
(1)设单位向量m=(x,y),b=(2,-1).若m⊥b,则|x+2y|= (2)向量(a+b)与a垂直,且|b|=2|a|,则a与b的夹角为 解析:(1)因为m⊥b,所以m· b=2x-y=0. 又m为单位向量,所以x2+y2=1. . .
由
①a∥b⇔b=λa⇔x1y2-x2y1=0. ②a⊥b⇔a· b=0⇔x1x2+y1y2=0.
③向量的夹角 cos θ=|������ ||������ | =
������ · ������
������ 1 ������ 2 +������1 ������2
2 +������ 2 ������ 2 +������ 2 ������ 1 1 2 2
系.
(5)向量的应用
①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. ②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
平面向量的概念与运算 (1)要准确理解平面向量的概念 ①零向量的模为 0,方向是任意的,它与任何非零向量都共线;② 与 a 共线的单位向量为±|������ |;③方向相同或相反的向量叫做共线向量 (或平行向量);④向量的夹角:已知非零向量 a 与 b,作������������=a,������������=b,则 ∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫向量 a 与 b 的夹角;⑤向量的投影:设向量 a 与 b 的夹角为 θ,则|a|cos θ 叫做向量 a 在 b 方向上的投影. (2)平面向量数量积的概念:已知两个非零向量 a 与 b,它们的夹 角为 θ,则 a· b=|a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积).规定 0· a=0.
2022年高考数学(文科)二轮复习 名师导学案：专题二 第3讲 平面向量 Word版含答案
第3讲 平面对量高考定位 1.以选择题、填空题的形式考查向量的线性运算，多以熟知的平面图形为背景，难度中低档；2.以选择题、填空题的形式考查平面对量的数量积，多考查角、模等问题，难度中低档；3.向量作为工具常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等结合，以解答题形式消灭.真 题 感 悟1.(2021·全国Ⅱ卷)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( ) A.a ⊥b B.|a |＝|b | C.a ∥bD.|a |>|b |解析 由|a ＋b |＝|a －b |两边平方，得a 2＋2a·b ＋b 2＝a 2－2a·b ＋b 2，即a·b ＝0，故a ⊥b . 答案 A2.(2021·全国Ⅰ卷)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1).若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________. 解析 由题意得a ＋b ＝(m －1，3)，由于a ＋b 与a 垂直，所以(a ＋b )·a ＝0，所以－(m －1)＋2×3＝0，解得m ＝7. 答案 73.(2021·天津卷)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD → ＝2DC → ，AE → ＝λAC → －AB → (λ∈R )，且AD → ·AE →＝－4，则λ的值为________.解析 AB → ·AC → ＝3×2×cos 60°＝3，AD → ＝13AB → ＋23AC → ，则AD → ·AE → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB → ＋23AC → ·(λAC → －AB → )＝λ－23AB → ·AC → －13AB → 2＋2λ3AC → 2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22＝113λ－5＝－4，解得λ＝311. 答案3114.(2021·江苏卷)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]. (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值. 解 (1)∵a ∥b ，∴3sin x ＝－3cos x ，∴3sin x ＋3cos x ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝0.∵0≤x ≤π，∴π6≤x ＋π6≤76π，∴x ＋π6＝π，∴x ＝5π6.(2)f (x )＝a·b ＝3cos x －3sin x ＝－23sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3.∵x ∈[0，π]，∴x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3≤1，∴－23≤f (x )≤3，当x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )取得最大值3；当x －π3＝π2，即x ＝5π6时，f (x )取得最小值－2 3.考 点 整 合1.平面对量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .(2)平面对量基本定理：假如e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底. 2.平面对量的两个充要条件若两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 3.平面对量的三共性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2.(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|A B → |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.4.平面对量的三个锦囊(1)向量共线的充要条件：O 为平面上一点，则A ，B ，P 三点共线的充要条件是OP → ＝λ1OA → ＋λ2OB →(其中λ1＋λ2＝1).(2)三角形中线向量公式：若P 为△OAB 的边AB 的中点，则向量OP → 与向量OA → ，OB → 的关系是OP → ＝12(OA → ＋OB →).(3)三角形重心坐标的求法：G 为△ABC 的重心⇔GA → ＋GB → ＋GC → ＝0⇔G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x A ＋x B ＋x C 3，y A ＋y B ＋y C 3.热点一 平面对量的有关运算【例1】 (1)(2022·全国Ⅰ卷)设向量a ＝(m ，1)，b ＝(1，2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. (2)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ， BE ＝23BC .若DE → ＝λ1AB → ＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________.解析 (1)由|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，得a ⊥b ， 所以a ·b ＝m ×1＋1×2＝0，得m ＝－2. (2)DE → ＝DB → ＋BE → ＝12AB → ＋23BC → ＝12AB → ＋23(AC → －AB → )＝－16AB → ＋23AC → ， ∵DE → ＝λ 1AB → ＋λ2AC → ， ∴λ1＝－16，λ2＝23，因此λ1＋λ2＝12.答案 (1)－2 (2)12探究提高 对于平面对量的线性运算，首先要选择一组基底，同时留意共线向量定理的机敏运用.其次运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系.【训练1】 (2021·衡阳二模)如图，正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC → ＝λAM → ＋μBN →，则λ＋μ＝( )A.2B.83C.65D.85解析 法一 如图以AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，AM → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，BN → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，AC →＝(1，1).∵AC → ＝λAM → ＋μBN → ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－μ2，λ2＋μ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－12μ＝1，λ2＋μ＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝65，μ＝25，故λ＋μ＝85.法二 以AB → ，AD →作为基底，∵M ，N 分别为BC ，CD 的中点， ∴AM → ＝AB → ＋BM → ＝AB → ＋12AD → ， BN → ＝BC → ＋CN → ＝AD → －12AB →， 因此AC → ＝λAM → ＋μBN → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－μ2AB → ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋μAD →，又AC → ＝AB → ＋AD →， 因此⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ2＝1，λ2＋μ＝1，解得λ＝65且μ＝25.所以λ＋μ＝85.答案 D热点二 平面对量的数量积 命题角度1 平面对量数量积的运算【例2－1】 (1)(2021·浙江卷)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记I 1＝OA → ·OB → ，I 2＝OB → ·OC → ，I 3＝OC → ·OD →，则( )A.I 1＜I 2＜I 3B.I 1＜I 3＜I 2C.I 3＜I 1＜I 2D.I 2＜I 1＜I 3(2)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE → ·CB → 的值为________；DE → ·DC →的最大值为________.解析 (1)如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO <AF ，而∠AFB ＝90°，∴∠AOB 与∠COD 为钝角，∠AOD 与∠BOC 为锐角，依据题意，I 1－I 2＝OA → ·OB → －OB → ·OC → ＝OB → ·(OA → －OC → )＝OB → ·CA →＝|OB → ||CA →|·cos∠AOB <0，∴I 1<I 2，同理I 2>I 3，作AG ⊥BD 于G ， 又AB ＝AD ，∴OB <BG ＝GD <OD ，而OA <AF ＝FC <OC ， ∴|OA → ||OB → |<|OC → ||OD →|， 而cos∠AOB ＝cos∠COD <0，∴OA → ·OB → >OC → ·OD →，即I 1>I 3.∴I 3<I 1<I 2.(2)法一 如图，以AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (1，0)，C (1，1)，D (0，1)， 设E (t ，0)，t ∈[0，1]， 则DE → ＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)， 所以DE → ·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.由于DC → ＝(1，0)，所以DE → ·DC →＝(t ，－1)·(1，0)＝t ≤1，故DE → ·DC →的最大值为1. 法二 如图，无论E 点在哪个位置，DE → 在CB → 方向上的投影都是CB ＝1，所以DE → ·CB → ＝|CB →|·1＝1，当E 运动到B 点时，DE → 在DC →方向上的投影最大，即为DC ＝1，所以(DE → ·DC → )max ＝|DC →|·1＝1.答案 (1)C (2)1 1探究提高 1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.2.进行向量的数量积的运算，首先要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量.其次留意向量夹角的大小，以及夹角θ＝0°，90°，180°三种特殊情形. 命题角度2 平面对量数量积的性质【例2－2】 (1)(2022·山东卷)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( ) A.4 B.－4 C.94D.－94(2)(2021·哈尔滨模拟)平面对量a ，b 满足|a |＝4，|b |＝2，a ＋b 在a 上的投影为5，则|a －2b |的模为( ) A.2 B.4 C.8D.16解析 (1)∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t ·m ·n ＋n 2＝0， ∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0，由已知得t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4.(2)|a ＋b |cos 〈a ＋b ，a 〉＝|a ＋b |·（a ＋b ）·a |a ＋b ||a |＝a 2＋a ·b |a |＝16＋a ·b4＝5；∴a ·b ＝4.又(a －2b )2＝a 2－4a ·b ＋4b 2＝16－16＋16＝16. ∴|a －2b |＝4. 答案 (1)B (2)B探究提高 1.求两向量的夹角：cos θ＝a ·b|a |·|b |，要留意θ∈[0，π].2.两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b |＝ |a ＋b |.3.求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： (1)a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a . (2)|a ±b |＝（a ±b ）2＝a 2±2a ·b ＋b 2. (3)若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.【训练2】 (1)(2021·福建卷)已知AB → ⊥AC → ，|AB → |＝1t ，|AC → |＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP → ＝AB→|AB →|＋4AC → |AC →|，则PB → ·PC → 的最大值等于( )A.13B.15C.19D.21(2)(2021·郴州二模)已知a ，b 均为单位向量，且(2a ＋b )·(a －2b )＝－332，则向量a ，b 的夹角为________.解析 (1)建立如图所示坐标系，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，C (0，t )，AB → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，AC → ＝(0，t )，则AP → ＝AB→ |AB → |＋4AC→|AC →| ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t，0＋4t(0，t )＝(1，4). ∴点P (1，4)，则PB → ·PC → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1，－4·(－1，t －4) ＝17－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t＋4t ≤17－21t·4t ＝13，当且仅当4t ＝1t ，即t ＝12时取等号，故PB → ·PC →的最大值为13. (2)设单位向量a ，b 的夹角为θ， 则|a |＝|b |＝1，a ·b ＝cos θ. ∵(2a ＋b )·(a －2b )＝－332，∴2|a |2－2|b |2－3a ·b ＝－3cos θ＝－332，∴cos θ＝32，∵0≤θ≤π，∴θ＝π6.答案 (1)A (2)π6热点三 平面对量与三角的交汇综合【例3】 (2021·郑州质检)已知向量m ＝(2sin ωx ，cos 2ωx －sin 2ωx )，n ＝(3cos ωx ，1)，其中ω＞0，x ∈R .若函数f (x )＝m ·n 的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)在△ABC 中，若f (B )＝－2，BC ＝3，sin B ＝3sin A ，求BA → ·BC →的值.解 (1)f (x )＝m ·n ＝23sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －sin 2ωx ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6.∵f (x )的最小正周期为π，∴T ＝2π2|ω|＝π.∵ω＞0，∴ω＝1.(2)设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c . ∵f (B )＝－2，∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝－2， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝－1，解得B ＝2π3(B ∈(0，π)).∵BC ＝3，∴a ＝3，∵sin B ＝3sin A ，∴b ＝3a ，∴b ＝3. 由正弦定理，有3sin A ＝3sin2π3，解得sin A ＝12. ∵0＜A ＜π3，∴A ＝π6.∴C ＝π6，∴c ＝a ＝ 3.∴BA → ·BC → ＝ca cos B ＝3×3×cos 2π3＝－32. 探究提高 1.破解平面对量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”，即先活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、帮助角公式等对三角函数进行巧“化简”；然后把以向量共线、向量垂直形式消灭的条件转化为“对应坐标乘积之间的关系”；再活用正、余弦定理，对三角形的边、角进行互化. 2.这种问题求解的关键是利用向量的学问将条件“脱去向量外衣”，转化为三角函数的相关学问进行求解. 【训练3】 (2021·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝3，AB → ·AC →＝－6，S △ABC＝3，求A 和a .解 由于AB → ·AC →＝－6，所以bc cos A ＝－6，又由于S △ABC ＝3，所以bc sin A ＝6， 因此tan A ＝－1，又0<A <π，所以A ＝3π4.又由于b ＝3，所以c ＝2 2. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得a 2＝9＋8－2×3×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝29， 所以a ＝29.1.平面对量的数量积的运算有两种形式：(1)依据模和夹角计算，要留意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不行求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化；(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数量化.2.依据平行四边形法则，对于非零向量a ，b ，当|a ＋b |＝|a －b |时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a ＋b |＝|a －b |等价于向量a ，b 相互垂直.3.两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面对量解决问题时要特殊留意两个向量夹角可能是0或π的状况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线.一、选择题1.(2022·全国Ⅲ卷)已知向量BA → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A.30°B.45°C.60°D.120°解析 |BA → |＝1，|BC → |＝1，cos∠ABC ＝BA → ·BC→|BA → |·|BC → |＝32.∵0°≤∠ABC ≤180°，∴∠ABC ＝30°.答案 A2.(2021·北京卷)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 存在负数λ，使得m ＝λn ，则m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2<0，因而是充分条件，反之m ·n <0，不能推出m ，n 方向相反，则不是必要条件.答案 A3.(2021·汉中模拟)已知向量a ＝(2，－4)，b ＝(－3，x )，c ＝(1，－1)，若(2a ＋b )⊥c ，则|b |＝( ) A.9 B.3 C.109D.310解析 向量a ＝(2，－4)，b ＝(－3，x )，c ＝(1，－1)，∴2a ＋b ＝(1，x －8)，由(2a ＋b )⊥c ，可得1＋8－x ＝0，解得x ＝9. 则|b |＝（－3）2＋92＝310. 答案 D4.如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF → ＝2FO → ，则FD → ·FE →等于( )A.－34B.－89C.－14D.－49解析 ∵BF → ＝2FO → ，圆O 的半径为1，∴|FO → |＝13，∴FD → ·FE → ＝(FO → ＋OD → )· (FO → ＋OE → )＝FO → 2＋FO → ·(OE → ＋OD → )＋OD → ·OE → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋0－1＝－89. 答案 B5.(2021·安徽江淮十校联考)已知平面对量a ，b (a ≠0，a ≠b )满足|a |＝3，且b 与b －a 的夹角为30°，则|b |的最大值为( ) A.2 B.4 C.6D.8解析 令OA → ＝a ，OB → ＝b ，则b －a ＝AB → －OA → ＝AB →，如图.∵b 与b －a 的夹角为30°， ∴∠OBA ＝30°. ∵|a |＝|OA →|＝3，∴由正弦定理得|OA → |sin∠OBA ＝|OB → |sin ∠OAB ，|b |＝|OB →|＝6·sin∠OAB ≤6.答案 C 二、填空题6.(2021·全国Ⅲ卷)已知向量a ＝(－2，3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________. 解析 由题意，得－2×3＋3m ＝0，∴m ＝2. 答案 27.(2021·德州模拟)已知平面对量a 和b 的夹角为60°，a ＝(2，0)，|b |＝1，则 |a ＋2b |＝________.解析 ∵〈a ，b 〉＝60°，a ＝(2，0)，|b |＝1， ∴a ·b ＝|a ||b |·cos 60°＝2×1×12＝1，又|a ＋2b |2＝a 2＋4b 2＋4a ·b ＝12， 所以|a ＋2b |＝12＝2 3. 答案 2 38.若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5 AM → ＝AB → ＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比值为________.解析 设AB 的中点为D ，由5AM → ＝AB → ＋3AC → ，得3AM → －3AC → ＝2AD → －2AM → ，即3CM → ＝2MD →.如图所示，故C ，M ，D 三点共线， 且MD → ＝35CD →， 也就是△ABM 与△ABC 对于边AB 的两高之比为3∶5， 则△ABM 与△ABC 的面积比值为35.答案 35三、解答题9.设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值. 解 (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ， |b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1， 及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.(2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1.所以f (x )的最大值为32.10.(2021·贵阳调研)已知向量a ＝⎝ ⎛cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，⎭⎪⎫sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋x ，b ＝(－sin x, 3sin x )，f (x )＝a ·b .(1)求函数f (x )的最小正周期及f (x )的最大值；(2)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，a ＝23，求三角形ABC 面积的最大值.解 (1)∵a ＝(－sin x ，cos x )，b ＝(－sin x ，3sin x )， 则f (x )＝a ·b ＝sin 2x ＋3sin x cos x＝12(1－cos 2x )＋32sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12， ∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，当2x －π6＝π2＋2k π，k ∈Z 时，即x ＝π3＋k π(k ∈Z )，f (x )取最大值是32.(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＋12＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12，∴A ＝π3.∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴12＝b 2＋c 2－bc ，∴b 2＋c 2＝12＋bc ≥2bc ，∴bc ≤12(当且仅当b ＝c ＝23时等号成立).∴S ＝12bc sin A ＝34bc ≤3 3.∴当三角形ABC 为等边三角形时面积取最大值是3 3. 11.已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x (x ∈R ).(1)当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，f (C )＝2，若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，求a ，b 的值.解 (1)f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，由于x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2， 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6.(2)由f (C )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＋1＝2，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝12，而C ∈(0，π)，所以2C ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，所以2C ＋π6＝56π，解得C ＝π3.由于向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线， 所以sin A sin B ＝12.由正弦定理得a b ＝12，①由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即a 2＋b 2－ab ＝9.②联立①②，解得a ＝3，b ＝2 3.。
平面向量高考复习(2)精选教学PPT课件
而C→M＝O→M－O→C＝m－14a＋nb，
C→B＝O→B－O→C＝b－14a＝－14a＋b. 因为 C，M，B 三点共线， 所以m－－1414＝n1，即 4m＋n＝1.
由m4m＋＋2nn＝＝11，， 解得mn＝＝3717，， 所以O→M＝17a＋37b.
应用平面向量基本定理表示向量的实质是 利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运 算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定 后，任一向量的表示都是唯一的．
向量的坐标与点的坐标不同：向量平移后，其起点和终点 的坐标都变了，但向量的坐标不变．
【活学活用】 2．已知 O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及O→P＝O→A＋tA→B，试问： (1)t 为何值时，P 在第三象限？ (2)四边形 OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的 t 值，若不能，请说明理由．
2．平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个 互相垂直的向量，叫做把向量正交分
解．
3．平面向量的坐标表示 (1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两 个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有 一对实数x，y，使a＝xi＋yi，把有序数对 (x，y) 叫 做 向 量 a 的 坐标，记作a＝ (x，y) ，其中x叫做a在x轴上的坐标， y 叫做a在 y轴上的坐标． (2)设O→A＝x i＋yj，则向量O→A的坐标(x，y)就是 点A 的坐
对平面向量基本定理的理解 (1)平面内任意两个不共线的向量都可以作为这个平面的基 底，单位正交基底是最简单的一组基底． (2)平面内任一向量都可以表示为给定基底的线性组合，并 且表示方法是唯一的，但同一向量用不同的基底表示的结果是 不同的． (3)用基底表示向量的实质是向量的线性运算．
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(1)(2016·海口调研测试)在△ABC 中，M 是 BC 的中点，
AM＝4，点 P 在 AM 上，且满足A→P＝3P→M，则P→A·(P→B＋P→C)
的值为( C )
A．－4
B．6
C．－6
D．4
(2)(2016·高考全国卷乙)设向量 a＝(x，x＋1)，b＝(1，2)，且 a⊥b，
则 x＝__－__23____．
专题二 三角函数与平面向量
第3讲 平面向量
平面向量的概念与线性运算
自主练透 夯实双基
(1)在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选 好基底，变形要有方向不能盲目转化； (2)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是 第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用 三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指 向被减向量；
D→F＝16D→C，则A→E·A→F的值为__1_8_____．
[解析] 法一：作 CO⊥AB 于 O，建立如图 所示的平面直角坐标系，则
A－32，0，B12，0，C0， 23，D－1， 23，
所以
E16，
33，F－56，
23，所以A→E·A→F＝53，
3．(2016·高考全国卷甲)已知向量 a＝(m，4)，b＝(3，－2)， 且 a∥b，则 m＝___－__6___． [解析] 因为 a＝(m，4)，b＝(3，－2)，a∥b，所以－2m＝4×3， 即 m＝－6.
4．已知点 D 为△ABC 所在平面上一点，且满足A→D＝15A→B－45C→A， △ACD 的面积为 1，则△ABD 的面积为__4______． [解析] 由A→D＝15A→B－45C→A得，5A→D＝A→B＋4A→C，即A→D－A→B＝ 4(A→C－A→D)，即B→D＝4D→C，所以点 D 在边 BC 上，且|B→D|＝ 4|D→C|，故△ABD 的面积是△ACD 的面积的 4 倍，故△ABD 的面积为 4.
(2)法一：由余弦定理，得 a2＝b2＋c2－2bccos A， 而 a＝ 7，b＝2，A＝π3， 得 7＝4＋c2－2c，即 c2－2c－3＝0. 因为 c＞0，所以 c＝3. 故△ABC 的面积为12bcsin A＝323.
法二：由正弦定理，得sin7π3＝sin2 B，
从而 sin B＝
21 7.
A．1
4 B.3
2 C.3
5 D.6
[解析] 设C→F＝λC→D，因为 E、D 分别为 AC、AB 的中点，所 以B→E＝B→A＋A→E＝－a＋12b，B→F＝B→C＋C→F＝(b－a)＋λ12a－b ＝12λ－1a＋(1－λ)b，因为B→E与B→F共线， 所以12－λ－11＝1－1 λ，所以 λ＝23，所以A→F＝A→C＋C→F＝b＋23C→D＝
平面向量线性运算的方法 (1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意 共线向量定理的灵活运用． (2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．
平面向量的数量积
1．数量积的定义 a·b＝|a||b|cos θ. 2．两个非零向量平行、垂直的充要条件 若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则：
[题组通关]
1．已知△ABC 中，|B→C|＝10，A→B·A→C＝－16，D 为边 BC
的中点，则|A→D|等于( D )
A．6
B．5
C．4
D．3
[解析] 由题知A→D＝12(A→B＋A→C)，A→B·A→C＝－16，所以 |A→B|·|A→C|cos∠BAC＝－16.在△ABC 中，|B→C|2＝|A→B|2＋|A→C|2 －2|A→B||A→C|cos∠BAC，所以 102＝|A→B|2＋|A→C|2＋32， 即|A→B|2＋|A→C|2＝68，所以|A→D|2＝14(A→B2＋A→C2＋2A→B·A→C)＝ 14(68－32)＝9，所以|A→D|＝3.
A.π6
B.π3
2π C. 3
5π D. 6
[解析] 由题意，(a－2b)·a＝0，得 a2＝2a·b，(b－2a)·b＝0， 得 b2＝2a·b，所以 a2＝b2，即|a|＝|b|，设 a，b 的夹角为 θ， 因为 a2＝2a·b，所以|a|2＝2|a|·|b|·cos θ，则 cos θ＝12，所以 θ＝π3，故选 B.
2．(2016·高考浙江卷)已知平面向量 a，b，|a|＝1，|b|＝2， a·b＝1，若 e 为平面单位向量，则|a·e|＋|b·e|的最大值是 ___7_______． [解析] 由 a·b＝1，|a|＝1，|b|＝2 可得两向量的夹角为 60°， 建立平面直角坐标系，可设 a＝(1，0)，b＝(1， 3)， e＝(cos θ，sin θ)，则|a·e|＋|b·e|＝|cos θ|＋|cos θ＋
(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0. (2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
共研典例 类题通法
3．平面向量的三个性质 (1)若 a＝(x，y)，则|a|＝ a·a＝ x2＋y2. (2)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 |A→B|＝ （x2－x1）2＋（y2－y1）2. (3)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 为 a 与 b 的夹角， 则 cos θ＝|aa|·|bb|＝ x21x＋1xy2＋12 yx122y＋2 y22.
3sin θ|≤|cos θ|＋|cos θ|＋ 3|sin θ|＝ 3|sin θ|＋2|cos θ| ≤ 7，所以|a·e|＋|b·e|的最大值为 7.
3．在等腰梯形 ABCD 中，已知 AB∥DC，AB＝2，BC＝1，
∠ABC＝60°.点 E 和 F 分别在边 BC 和 DC 上，且B→E＝23B→C， 29
课时作业
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再见
(3)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量 共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时， 才能得出三点共线．
[题组通关]
1.如图，△ABC 中，D、E 分别为 AB，AC
的中点，CD 与 BE 交于 F，设A→B＝a，
A→C＝b，A→F＝ma＋nb，则 m＋n＝( C )
2 b＋2312a－b＝13a＋13b，故 m＝13，n＝13，m＋n＝23，故选 C.
2．(2016·广州综合测试(一))在梯形 ABCD 中，AD∥BC，已
知 AD＝4，BC＝6，若C→D＝mB→A＋nB→C(m，n∈R)，则mn ＝
( A) A．－3
B．－13
C．13
D．3
[解析] 过点 A 作 AE∥CD，交 BC 于点 E，则 BE＝2，CE＝4， 所以 mB→A＋nB→C＝C→D＝E→A＝E→B＋B→A＝－26B→C＋B→A＝－13B→C ＋B→A，所以mn ＝－113＝－3.
(3)法一：如图，建立平面直角坐标系，则 A(0， 23)，B(－12，0)， C(12，0)，E(0，0)，D(－14， 43)，由D→E＝2E→F，得 F(18，－ 83)， 则A→F＝(18，－5 8 3)，B→C＝(1，0)，所以A→F·B→C＝18.
法二：A→F·B→C＝(A→D＋32D→E)·B→C＝(12A→B＋34A→C)·B→C＝12A→B·B→C＋ 34A→C·B→C＝－14＋38＝18.
平面向量数量积的计算方法 (1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算， 数量积的几何意义． (2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模 和夹角已知的向量进行计算．
[题组通关]
1．(2016·河南六市第一次联考)已知向量 a，b 均为非零向量，
(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则 a，b 的夹角为( B )
33·23，
3
2
＝190＋12＝2198.
法二：取B→A，B→C为一组基底，则A→E＝B→E－B→A＝23B→C－B→A， A→F＝A→B＋B→C＋C→F＝－B→A＋B→C＋152B→A＝－172B→A＋B→C， 所以A→E·A→F＝23B→C－B→A·－172B→A＋B→C ＝172B→A2－2158B→A·B→C＋23B→C2 ＝172×4－2158×2×1×12＋23 ＝2198.
平面向量与三角函数的综合问题 共研典例 类题通法
平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的 “双重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题， 通过向量运算作为题目条件．
已知△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c. 向量 m＝(a， 3b)与 n＝(cos A，sin B)平行． (1)求 A； (2)若 a＝ 7，b＝2，求△ABC 的面积． 【解】 (1)因为 m∥n，所以 asin B－ 3bcos A＝0， 由正弦定理，得 sin Asin B－ 3sin Bcos A＝0， 又 sin B≠0，从而 tan A＝ 3. 由于 01＋ 3sin xcos x＋12－2
＝1－c2os
2x＋
3 2 sin
2x－12
＝ 23sin 2x－12cos 2x
＝sin2x－π6. 因为 ω＝2，
所以 T＝22π＝π.
(2)由(1)知 f(A)＝sin2A－π6＝1. 因为 A∈0，π2，2A－π6∈－π6，56π， 所以 2A－π6＝π2，即 A＝π3. 又 a2＝b2＋c2－2bccos A， 所以 12＝b2＋16－2×4b×12. 即 b2－4b＋4＝0，解得 b＝2， 故 S△ABC＝12bcsin A＝12×2×4× 23＝2 3.
(3)(2016·高考天津卷改编)已知△ABC 是边长为 1 的等边三角
形，点 D，E 分别是边 AB，BC 的中点，连接 DE 并延长到
点 F，使得 DE＝2EF，则A→F·B→C的值为___18_____．
【解析】 (1)依题意得|P→A|＝34|A→M|＝3，P→B＋P→C＝2P→M＝ －23P→A，P→A·(P→B＋P→C)＝－23|P→A|2＝－23×32＝－6，选 C. (2)因为 a＝(x，x＋1)，b＝(1，2)，a⊥b， 所以 x＋2(x＋1)＝0，解得 x＝－23.