第二讲概率
第二讲 概率
第二讲 概率【知识概要】【例题及习题】1. 一个袋子内有7个白球，3个黑球.分别求下列事件的概率：(1)事件A ：从中摸出一个放回再摸出1个，两次摸出的球是一白一黑;(2)事件C ：从中一次摸出两个球，一个黑的，一个白的;(3)事件D ：从中摸出两个球，先摸出的是黑的，后摸出的白的.2. 1个袋子里共有2个红球和8个黄球,从中随机地连取了3个球,每次取1个,取后不放回,试求下列事件的概率:(1) 恰有1个红球;(2)第三个是红球.3. 某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过. 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为a,b,c ，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；4. 某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没影响.有下列结论：①他第3次击中的概率是0.9;②他恰好击中目标3次的概率是0.93 0.1;③他至少击中目标1次的概率是1-0.14.其中正确结论的序号为_______5. 3个猎人同时向一只兔子射击，他们射中的概率分别为0.6,0.5,0.4,问这只兔子被射中的概率是多大？6. 某招呼站每天均有3辆开往省城的分为上中下等级的客车，某天，袁先生准备从该招呼站前往省城，但他不知道客车的车况，也不知何时发车，为了尽可能乘上等车，他采取如下策略：先放过第一辆不乘，如果第二辆比第一辆好，则上该辆，否则上第三辆，那么他乘上等车的概率为（ ） A 13 B 12 C 23 D 347.从1，2，…,9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是（ ） A 95 B 94 C 2111 D 2110 8. 在五个数字1，2，3，4，5中，若随机取出三个数字.则剩下两个数字都是奇数的概率为______9. 4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2 张，则取出的2张卡片上的数学之和为奇数的概率为1()3A 1()2B 2()3C 3()4D 10. 从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为( ) A 14 B 79120 C 34 D 232411.10张奖卷中只有3张有奖，5个人购买，每人1张，至少有1人中奖的概率是（ ） A 103 B 121 C 21 D 1211 12.在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同.现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率为_____13. 一个袋中装有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为_____14. 在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为（ ） A 17 B 27 C 37 D 4715.在正方体上任意选择两条棱，则这两条棱相互平行的概率为_____16. 若连续掷两个骰子，分别得到的点数m,n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆x 2+y 2=16内的概率为______.17．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为( ) A 19 B 112 C 115 D 11818．某轻轨列车有4节车厢，现有6位乘客准备乘坐，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0,1，2,3的概率为_______19. 在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为（A ）511 （B ）681 （C ）3061 （D ）4081 20. 设口袋里放有大小相等的2个红球和1个白球，有放回地每次摸取出一个球，定义数列{a n }:1,1.n n -⎧=⎨⎩n 第次摸出红球，a ，第次摸取白球如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7=3的概率为( )A 525712()()33CB 225721()()33C C 525712()()33CD 322712()()33C 21．电子钟一天显示的时间是从00∶00到23∶59，每一时刻都由四个 数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为A ．1801B ．2881C ．3601D ．4801 22．某人有5把钥匙，但忘记了开门的是哪一把，于是，他逐把不重复地试开，则恰好第三次打开房门锁的概率是多少？23．某人有5把钥匙，其中有2把是房门钥匙.但他忘记了开房门的是哪两把，只好逐一试开，问他在3次内打开房门的概率是多少？24.某中学生号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）.该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示.(1)求合唱团学生参加活动的人均次数;(2)从合唱团中任选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率25.某条公共汽车线路沿线共有11个站（包括起点站和终点站）.在起点站开出的一辆公共汽车上有6位乘客，假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的.求：（1）这6位乘客在互不相同的车站下车的概率；（2）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率.26．甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A ，B ，C ，D 四个不同的岁位服务，每上岗位至少有一名志愿者.（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；27．旅游公司为3个旅游团提供甲、乙、丙、丁4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条.(1)求3个旅游团选择3条不同线路的概率；(2)求恰有2条线路没有被选择的概率；28．已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率.。
第2讲概率论复习及R相关应用
例 抛掷一枚硬币可能出现的两个结果，也可以
用一个变量来描述
X
( )
1, 0,
正面向上 反面向上
二、引入随机变量的意义 有了随机变量,随机试验中的各种事件， 就可以通过随机变量的关系式表达出来. 如：单位时间内某电话交换台收到的呼 叫次数用X表示，它是一个随机变量.
事件{收到不少于1次呼叫} { X 1}
{没有收到呼叫} {X= 0}
§2.1 随机变量的概念 随机变量的概念
定义 设E是一随机试验，S 是它的样本空间， 若
S 按一定法则 实数 X ()
则称 S 上的单值实值函数 X ( )为随机变量
随机变量一般用 X, Y , Z ,或小写希腊字母 , , 表示
如，若用X 表示电话总机在9:00~10:00接到 的电话次数，则
解：设x,y分别为甲、乙到达时刻(分钟) 令A={两人能会面}={(x,y)||x-y|≤20，x≤60,y≤60}
P(A)=A的面积/S的面积=（602-402）/602=5/9
三.概率的频率定义
例2：从同一型号同一批次的反坦克弹中任抽一 发反坦克弹射击目标，观测命中情况。设A代表 “命中”这一事件，求P(A)?
意义:
(1) 提供了估计概率的方法; (2)提供了一种检验理论正确与否的准则.
§1.3 条件概率
设试验的基本事件总数为n，事件A所 包含的基本事件总数为m，事件AB所包含 的基本事件总数为k。
PB A k k / n P(AB) m m / n P(A)
定义 设A、B为两事件, P ( A ) > 0 , 则
公式方法 两者 一般方法 联系
表示 方法
分布率 性 密度函数 质
正态标 准化
第三章 概率 第二讲 古典概率
第三章概率第二讲古典概率【考点透视】1．基本事件：在实验中所有可能的结果都是随机事件，我们把这类随机事件称为基本事件．基本事件有两个特点：(1)任何两个基本事件是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．2．古典概型：将具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(2)每个基本事件出现的可能性相等3．古典概型概率计算公式P(A)＝mn.m表示事件A包含的基本事件的个数，,n表示基本事件的总数。
3．古典概型的适用条件：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;(2)每个基本事件出现的可能性相等.4．古典概型的解题步骤：(1)求出总的基本事件数；(2)求出事件A所包含的基本事件数，然后利用公式P(A)＝A包含的基本事件的个数基本事件的总数【新知探究】探究点一基本事件问题1抛掷两枚质地均匀的硬币，有哪几种可能结果？连续抛掷三枚质地均匀的硬币，有哪几种可能结果？答(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)；(正，正，正)，(正，正，反), (正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反).问题2上述试验中的每一个结果都是随机事件，我们把这类事件称为基本事件．在一次试验中，任何两个基本事件是什么关系？答由于任何两种结果都不可能同时发生，所以它们的关系是互斥关系．问题3在连续抛掷三枚质地均匀的硬币的试验中，随机事件“出现两次正面和一次反面”，“至少出现两次正面”分别由哪些基本事件组成？答(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)；(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．例1从字母a、b、c、d中任意取出两个不同字母的试验中,有哪些基本事件?事件“取到字母a”是哪些基本事件的和?解所求的基本事件有6个，A＝{a，b}，B＝{a，c}，C＝{a，d}, D＝{b，c}，E＝{b，d}，F＝{c，d};“取到字母a”是基本事件A、B、C的和，即A＋B＋C.小结基本事件有如下两个特点：(1)任何两个基本事件是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．探究点二古典概型问题1抛掷一枚质地均匀的硬币，每个基本事件出现的可能性相等吗？答基本事件有两个，正面朝上和正面朝下，由于质地均匀，因此基本事件出现的可能性是相等的．问题2抛掷一枚质地均匀的骰子，有哪些基本事件？每个基本事件出现的可能性相等吗？答这个试验的基本事件有6个，正面出现的点数为1,2,3,4,5,6，由于质地均匀，因此基本事件出现的可能性是相等的．问题3上述试验的共同特点是什么？答(1) 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(2) 每个基本事件出现的可能性相等．我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．例2某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环、……、命中5环和不中环．你认为这是古典概型吗？为什么？解不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有7个，而命中10环、命中9环、……、命中5环和不中环的出现不是等可能的(为什么？)，即不满足古典概型的第二个条件.小结判断一个试验是不是古典概型要抓住两点：一是有限性；二是等可能性．探究点三古典概型概率公式导引在古典概型下，每一基本事件的概率是多少？随机事件出现的概率如何计算？问题1在抛掷硬币试验中,如何求正面朝上及反面朝上的概率?解出现正面朝上的概率与反面朝上的概率相等，即P(“正面朝上”)＝P(“反面朝上”)．由概率的加法公式，得P(“正面朝上”)＋P(“反面朝上”)＝P(必然事件)＝1，因此P(“正面朝上”)＝P(“反面朝上”)＝1 2，即P(出现正面朝上)＝12=“出现正面朝上”所包含的基本事件的个数基本事件的总数.问题2在抛掷骰子的试验中，如何求出现各个点的概率？解出现各个点的概率相等，即P(“1点”)＝P(“2点”)＝P(“3点”)＝P(“4点”)＝P(“5点”)＝P(“6点”)，反复利用概率的加法公式，我们有P(“1点”)＋P(“2点”)＋P(“3点”)＋P(“4点”)＋P(“5点”)＋P(“6点”)＝P(必然事件)＝1.所以P(“1点”)＝P(“2点”)＝P(“3点”)＝P(“4点”)＝P(“5点”)＝P(“6点”)＝1 6.进一步地，利用加法公式还可以计算这个试验中任何一个事件的概率，例如，P(“出现偶数点”)＝P(“2点”)＋P(“4点”)＋P(“6点”)＝16＋16＋16＝12.即P(“出现偶数点”)＝“出现偶数点”所包含基本事件的个数”/基本事件的总数；P(“出现不小于2点”)＝“出现不小于2点”所包含的基本事件的个数”/基本事件的总数．P(A)＝事件A所包含的基本事件的个数/基本事件的总数.问题3从集合的观点分析，如果在一次试验中，等可能出现的所有n个基本事件组成全集U，事件A包含的m个基本事件组成子集A，那么事件A发生的概率P(A)等于什么？特别地，当A＝U，A＝∅时，P(A)等于什么？答P(A)＝mn；当A＝U时，P(A)＝1；当A＝∅时，P(A)＝0.例3单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案．如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案，假设考生不会做，他随机地选择一个答案，则他答对的概率是多少？解由于考生随机地选择一个答案，所以他选择A，B，C，D哪一个选项都有可能，因此基本事件总数为4，设答对为随机事件A，由于正确答案是唯一的，所以事件A只包含一个基本事件，所以P(A)＝1 4.小结解答概率题要有必要的文字叙述，一般要用字母设出所求的随机事件，要写出所有的基本事件及个数，写出随机事件所包含的基本事件及个数，然后应用公式求出．探究点四与顺序有关的古典概型问题1在标准化的考试中既有单选题又有多选题,多选题是从A、B、C、D四个选项中选出所有正确答案,同学们可能有一种感觉,如果不知道正确答案,多选题更难猜对,这是为什么?答这是因为猜对的概率更小,由概率公式可知,分子上的数还是1,因正确答案是唯一的,而分母上的数即基本事件的总数增多了,有(A), (B),(C),(D),(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D) ,(A,B,C),(A,B,D),(A,C,D),(B,C,D),(A,B,C,D)共15个,所以所求概率为115<14.例1同时掷两个骰子，计算：(1)一共有多少种不同的结果？(2)其中向上的点数之和是5的结果有多少种？(3)向上的点数之和是5的概率是多少？解(1)掷一个骰子的结果有6种，我们把两个骰子标上记号1,2以便区分，由于1号骰子的结果都可以与2号骰子的任意一个结果配对，我们用一个“有序实数对”来表示组成同时掷两个骰子的一个结果(如表)，其中第一个数表示1号骰子的结果，第二个数表示2号骰子的结果．(可由列表法得到)由表中可知同时掷两个骰子的结果共有36种．(2)在上面的结果中，向上的点数之和为5的结果有4种，分别为(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．(3)由于所有36种结果是等可能的，其中向上点数之和为5的结果(记为事件A)有4种，因此，由古典概型的概率计算公式可得P(A)＝A所包含的基本事件的个数基本事件的总数＝436＝19.问题2为什么要把两个骰子标上记号？如果不标记号会出现什么情况？若用古典概型公式，所求的概率是多少？答如果不标上记号，类似于(1,2)和(2,1)的结果将没有区别，这时，所有可能的结果将是(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)(4,4)(4,5)(4,6)(5,5)(5,6)(6,6)共有21种，和是5的结果有2个，它们是(1,4)(2,3)，所求的概率为P(A)＝A所包含的基本事件的个数基本事件的总数＝2 21.问题3在例1中所求的概率和问题2中所求的概率相同吗？哪种求法不符合古典概型？为什么？答求出的概率不相同；问题2中的求法不符合古典概型；因为两个不同的骰子所抛掷出来的点构造的基本事件不是等可能事件.小结古典概型问题包含的题型较多，但都必须紧扣古典概型的定义，进而用公式进行计算．列举法是求解古典概型问题的常用方法，借助于图表等有时更实用有效．探究点五与顺序无关的古典概型例2现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通晓日语，B1、B2、B3通晓俄语，C1、C2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．(1)求A1被选中的概率；(2)求B1和C1不全被选中的概率．解(1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1), (A1,B3,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A2,B3,C1),(A2,B3,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2 ),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2),(A3,B3，C1),(A3,B3,C2)}有18个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等,因此这些基本事件的发生是等可能的.用M表示“A1恰被选中”这一事件，则M={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1) , (A1,B3,C2)}事件M有6个基本事件组成,因而P(M)＝618＝13.(2)用N表示“B1、C1不全被选中”这一事件，则其对立事件N表示“B1、C1全被选中”这一事件，由于N＝{(A1，B1，C1),(A2,B1,C1),(A3,B1,C1)},事件N有3个基本事件组成，所以P(N)＝318＝16，由对立事件的概率公式得P(N)＝1－P(N)＝1－16＝56.小结在应用古典概型概率计算公式求概率时,有些事件用文字书写较麻烦,我们常用一些字母或数字来表示事件,为解题带来方便.【知识梳理】1．基本事件是一次试验中所有可能出现的最小事件，且这些事件彼此互斥．试验中的事件A可以是基本事件，也可以是由几个基本事件组合而成的.2．有限性和等可能性是古典概型的两个本质特点,概率计算公式P(A)＝事件A所包含的基本事件的个数基本事件的总数,只对古典概型适用.3．求某个随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数常用的方法是列举法(画树状图和列表)，注意做到不重不漏.4．在求概率时，通常把全体基本事件列表或用直角坐标系中的点来表示，以方便我们更直接、准确地找出某个事件所包含的基本事件的个数，然后再根据古典概型的概率公式，求出相应的概率即可．5．解题时，将所有基本事件全部列出是避免重复或者遗漏的有效方法；对于用直接方法难以解决的问题，可以求其对立事件的概率，进而求得其概率，以降低难度．【小露一手】古典概型练习(一)一、基础过关1．下列是古典概型的是 ( )A ．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件时B ．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件时C ．从甲地到乙地共n 条路线，求某人正好选中最短路线的概率D ．抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止2．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b >a 的概率是( )A.45B.35C.25D.153．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是( ) A.14 B.12 C.18 D ．无法确定4．一袋中装有大小相同的四个球，编号分别为1,2,3,4，现从中有放回地每次取一个球，共取2次，记“取得两个球的编号和大于或等于6”为事件A ，则P (A )等于( )A.14B.16C.38D.49 5．三张卡片上分别写上字母E 、E 、B ，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE 的概率为________．6．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球．从球中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率为________．7．从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表．求：(1)甲被选中的概率；(2)丁没被选中的概率．8．从含有两件正品a ，b 和一件次品c 的三件产品中每次任取1件，每次取出后放回，连续取两次，求取出的两件中恰好有一件次品的概率．二、能力提升9．有五根细木棒，长度分别为1,3,5,7,9(cm)，从中任取三根，能搭成三角形的概率是( )A.320B.25C.15D.31010．在1,2,3,4四个数中，可重复地选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是________．11．从1,2,3,4,5这5个数字中，不放回地任取两数，两数都是奇数的概率是________．12．某学校要从艺术节活动中所产生的4名书法比赛一等奖的同学和2名绘画比赛一等奖的同学中选出2名志愿者，参加某项活动的志愿服务工作．(1)求选出的两名志愿者都是获得书法比赛一等奖的同学的概率；(2)求选出的两名志愿者中一名是获得书法比赛一等奖，另一名是获得绘画比赛一等奖的同学的概率．三、探究与拓展13．田忌和齐王赛马是历史上有名的故事，设齐王的三匹马分别为A、B、C，田忌的三匹马分别为a、b、c；三匹马各比赛一次，胜两场者为获胜．若这六匹马比赛优、劣程度可以用以下不等式表示：A>a>B>b>C>c.(1)正常情况下，求田忌获胜的概率；(2)为了得到更大的获胜机会，田忌预先派出探子到齐王处打探实情，得知齐王第一场必出上等马A，于是田忌采用了最恰当的应对策略，求这时田忌获胜的概率．答案1．C2．D3．B4．C5.13 6.257．解(1)记甲被选中为事件A，基本事件有甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁共6个，事件A包含的事件有甲乙，甲丙，甲丁共3个，则P(A)＝36＝12.(2)记丁被选中为事件B，由(1)同理可得P(B)＝12，又因丁没被选中为丁被选中的对立事件，设为B，则P(B)＝1－P(B)＝1－12＝12.8．解有放回的连取两次取得两件，其一切可能的结果组成的样本空间是Ω＝{(a，a)，(a，b)，(a，c)，(b，a)，(b，b)，(b，c)，(c，a)，(c，b)，(c，c)}，∴n＝9，用B表示“恰有一件次品”这一事件,则B＝{(a,c)，(b，c)，(c，a)，(c，b)}，∴m＝4.∴P(B)＝4 9.9．D 10.1411.31012．解把4名获书法比赛一等奖的同学编号为1,2,3,4；2名获绘画比赛一等奖的同学编号为5,6.从6名同学中任选两名的所有可能结果如下：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5), (2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15个．(1)从6名同学中任选两名，都是书法比赛一等奖的所有可能如下：(1,2)，(1,3)，(1,4), (2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个．∴选出的两名志愿者都是书法比赛一等奖的概率是P1＝615＝2 5.(2)从6名同学中任选两名，一名是书法比赛一等奖，另一名是绘画比赛一等奖的所有可能如下：(1,5), (1,6), (2,5), (2,6), (3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8个．∴选出的两名志愿者一名是书法比赛一等奖,另一名是绘画比赛一等奖的概率是P2＝815.13．解比赛配对的基本事件共有6个，它们是(Aa，Bb，Cc)，(Aa，Bc，Cb)，(Ab，Ba，Cc)，(Ab，Bc，Ca)，(Ac，Ba，Cb)，(Ac，Bb，Ca)．(1)经分析：仅有配对为(Ac，Ba，Cb)时，田忌获胜，且获胜的概率为1 6.(2)田忌的策略是首场安排劣马c出赛，基本事件有2个：(Ac，Ba，Cb)，(Ac，Bb，Ca)，配对为(Ac，Ba，Cb)时，田忌获胜且获胜的概率为1 2.答正常情况下，田忌获胜的概率为16，获得信息后，田忌获胜的概率为12.古典概型练习(二)一、基础过关1．老师为研究男女同学数学学习的差异情况，对某班50名同学(其中男同学30名，女同学20名)采取分层抽样的方法，抽取一个样本容量为10的样本进行研究，某女同学甲被抽到的概率为( )A.150B.110C.15D.142．有100张卡片(标号为1～100)，从中任取1张，取到卡片上的号码是7的倍数的概率是( )A.750B.7100C.748D.3203．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为X 、Y ，则log 2X Y ＝1的概率为( )A.16B.536C.112D.12 4．同时抛掷三枚均匀的硬币，出现一枚正面，二枚反面的概率等于( ) A.14B.13C.38D.125．从含有3件正品和1件次品的4件产品中不放回地任取2件，则取出的2件中恰有1件是次品的概率是________．6．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆x 2＋y 2＝16内的概率是________．7．设袋中有a 1，a 2两支好签，b 1，b 2两支坏签，四人依次从袋中无放回地任抽一签，分别求他们抽到好签的概率．8．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n <m ＋2的概率． 二、能力提升9．先后两次抛掷一枚骰子，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为( )A.16B.15C.13D.2510．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是 ( )A.49B.13C.29D.1911．某人有4把钥匙，其中2把能打开门，现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是________；如果试过的钥匙不扔掉，这个概率是________．12．袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是12.(1)求n 的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b .记事件A 表示“a ＋b ＝2”，求事件A 的概率． 三、探究与拓展13．班级联欢时，主持人拟出了如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等，指定3个男生和2个女生来参与，把5个人分别编号为1,2,3,4,5，其中1,2,3号是男生，4,5号是女生，将每个人的号分别写在5张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随机地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目．(1)为了选出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡片，求取出的2人不全是男生的概率； (2)为了选出2人分别表演独唱和朗诵，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片，求：独唱和朗诵由同一个人表演的概率．答案1．C2．A3．C4．C 5.12 6.297．解设事件A1,A2,A3,A4分别表示第一人，第二人，第三人，第四人抽到好签的事件，则A1＝{a1a2b1b2，a1a2b2b1，a1b1a2b2，a1b1b2a2，a1b2a2b1，a1b2b1a2，a2a1b1b2，a2a1b2b1，a2b1a1b2，a2b1b2a1，a2b2a1b1，a2b2b1a1}，共12个基本事件．A2＝{b1a1b2a2，b1a1a2b2，a2a1b1b2，a2a1b2b1，b2a1b1a2，b2a1a2b1，b1a2b2a1，b1a2a1b2，a1a2b1b2，a1a2b2b1，b2a2a1b1，b2a2b1a1}，共12个基本事件．同理，我们可列举出A3，A4也都包含12个基本事件．由古典概型的计算公式，可得P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(A4)＝1224＝12.8．解(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有：1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个．从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有：1和2,1和3，共2个．因此所求事件的概率为P＝26＝13.(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．又满足条件n≥m＋2的事件有：(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个．所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝316. 故满足条件n<m＋2的事件的概率为1－P1＝1－316＝13 16.9．C10．D11.131412．解(1)由题意可知：n1＋1＋n＝12，解得n＝2.(2)不放回地随机抽取2个小球的所有基本事件为(0,1)，(0,21)，(0,22)，(1,0)，(1,21)，(1,22)，(21,0)，(21,1)，(21,22)，(22,0)，(22,1)，(22,21)，共12个，事件A包含的基本事件为(0,21)，(0,22)，(21,0)，(22,0)，共4个．∴P (A )＝412＝13.13．解 (1)利用树形图我们可以列出连续抽取2张卡片的所有可能结果(如下图所示)．由上图可以看出，试验的所有可能结果数为20，因为每次都随机抽取，所以这20种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型．用A 1表示事件“连续抽取2人是一男一女”，A 2表示事件“连续抽取2人都是女生”，则A 1与A 2互斥，并且A 1∪A 2表示事件“连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生”，由列出的所有可能结果可以看出，A 1的结果有12种，A 2的结果有2种，由互斥事件的概率加法公式，可得P (A 1∪A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝1220＋220＝710＝0.7，即连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生的概率为0.7.(2)有放回地连续抽取2张卡片，需注意同一张卡片可再次被取出，并且它被取出的可能性和其他卡片相等，我们用一个有序实数对表示抽取的结果，例如“第一次取出2号，第二次取出4号”就用(2,4)来表示，所有的可能结果可以用下表列出.第二次抽取第一次抽取1 2 3 4 5 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) 5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)试验的所有可能结果数为25，并且这25种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型． 用A 表示事件“独唱和朗诵由同一个人表演”，由上表可以看出，A 的结果共有5种，因此独唱和朗诵由同一个人表演的概率P (A )＝525＝15＝0.2.。
专题八 概率与统计 第二讲 概率,随机变量及分布列——2023届高考数学二轮复习重点练(含解析)
专题八 概率与统计 第二讲 概率，随机变量及分布列1.为了援助湖北抗击疫情,全国各地的白衣天使走上战场的第一线,他们分别乘坐6架我国自主生产的“运20”大型运输机,编号分别为1,2,3,4,5,6,同时到达武汉天河飞机场,每五分钟降落一架,其中1号与6号相邻降落的概率为( ) A.112B.16C.15D.132.一个不透明的袋子中装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字为0，1，2，3.现甲从中摸出1个球后放回，乙再从中摸出1个球，谁摸出的球上的数字大谁获胜，则甲、乙各摸一次球后，甲获胜且乙摸出的球上数字为偶数的概率为( ) A.14B.13C.49D.3163.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( ) A.110B.15C.310D.254.某次战役中，狙击手A 受命射击敌机，若要击落敌机，需命中机首2次或命中机中3次或命中机尾1次，已知A 每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2，0.4，0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立.若A 至多射击2次，则他能击落敌机的概率为( ) A.0.23B.0.2C.0.16D.0.15.设两个相互独立事件A ，B 都不发生的概率为19，则A 与B 都发生的概率的取值范围是( )A.80,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.15,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.28,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.40,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦6.一个旅行团到漳州旅游，有百花村与云洞岩两个景点可选择，该旅行团选择去哪个景点相互独立.若旅行团选择两个景点都去的概率是49，只去百花村不去云洞岩与只去云洞岩不去百花村的概率相等，则旅行团选择去百花村的概率是( ) A.23B.13C.49D.197.某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织4位同学参加.假设李老师和张老师各自分别将活动通知的信息独立且随机地发给4位同学，且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为( )A.25B.1225C.1625D.458.（多选）从甲袋中摸出1个红球的概率是13，从乙袋中摸出1个红球的概率是12.从甲袋、乙袋各摸出1个球，则下列结论正确的是( )A.2个球都是红球的概率为16B.2个球不都是红球的概率为13C.至少有1个红球的概率为23D.2个球中恰有1个红球的概率为129. （多选）在4件产品中,有一等品2件,二等品1件(一等品与二等品都是正品),次品1件,现从中任取2件,则下列说法正确的是( )A.两件都是一等品的概率是13B.两件中有1件是次品的概率是12C.两件都是正品的概率是13D.两件中至少有1件是一等品的概率是5610. （多选）在一次随机试验中，A,B,C,D是彼此互斥的事件，且A B C D+++是必然事件，则下列说法正确的是( )A.A B+与C是互斥事件，也是对立事件B.B+C与D是互斥事件，但不是对立事件C.A C+与B D+是互斥事件，但不是对立事件D.A与B C D++是互斥事件，也是对立事件11.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为__________.12.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________.13.从甲、乙、丙、丁四人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只有一人被选取的概率为_____________.14.一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率.(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求2n m<+的概率..假定甲、乙两位同学15.设甲、乙两位同学上学期间，每天7:30之前到校的概率均为23到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率.答案以及解析1.答案：D解析：6架飞机的降落顺序有66A 种,而1号与6号相邻降落的顺序有2525A A 种,所以所求事件的概率252566A A 1A 3P ==.故选D.2.答案：A解析：甲、乙各摸一次球，有可能的结果有4416⨯=（种），甲摸的数字在前，乙摸的数字在后，则甲获胜的情况有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共6种. 其中甲、乙各摸一次球后，甲获胜且乙摸出的球上数字为偶数有4种，则所求概率41164P ==. 3.答案：D解析：先后有放回地抽取2张卡片的情况有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25种.其中满足条件的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共10种情况.因此所求的概率102255P ==.故选D. 4.答案：A解析：A 每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2，0.4，0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立.若A 射击1次就击落敌机，则他击中了敌机的机尾，概率为0.1；若A 射击2次就击落敌机，则他2次都击中了敌机的机首，概率为0.20.20.04⨯=或者第1次没有击中机尾且第2次击中了机尾，概率为0.90.10.09⨯=，因此若A 至多射击2次，则他能击落敌机的概率为0.10.040.090.23++=.故选A. 5.答案：D解析：设事件A ，B 发生的概率分别为()P A x =，()P B y =，则1()()()(1)(1)9P AB P A P B x y ==-⋅-=，即11199xy x y +=++≥+x y =时取“=”，211)9∴≥23≤43（舍去），409xy ∴≤≤.4()()()0,9P AB P A P B xy ⎡⎤∴==∈⎢⎥⎣⎦.6.答案：A解析：用事件A 表示“旅行团选择去百花村”，事件B 表示“旅行团选择去云洞岩”，A ，B 相互独立，则4()9P AB =，()()P AB P AB =.设()P A x =，()P B y =，则4,9(1)(1),xy x y x y ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩解得2,323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2,323x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（舍去），故旅行团选择去百花村的概率是23.故选A.7.答案：C解析：设“甲同学收到李老师的信息”为事件A ，“收到张老师的信息”为事件B ，A ，B 相互独立，42()()105P A P B ===，则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为33161()1(1())(1())15525P AB P A P B -=---=-⨯=.故选C. 8.答案：ACD解析：设“从甲袋中摸出1个红球”为事件1A ，“从乙袋中摸出1个红球为事件2A ，则()113P A =，()212P A =，且1A ，2A 独立.对于A 选项，2个球都是红球为12A A ，其概率为111326⨯=，故A 正确；对于B 选项，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为15166-=，故B 错误；对于C 选项，2个球中至少有1个红球的概率为()()1221211323P A P A -=-⨯=，故C 正确；对于D 选项，2个球中恰有1个红球的概率为1121132322⨯+⨯=，故D 正确.故选ACD. 9.答案：BD解析：由题意设一等品编号为a ,b ，二等品编号为c ，次品编号为d ，从中任取2件的基本情况有(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，(,)b c ，(,)b d ，(,)c d ，共6种. 对于A ，两件都是一等品的基本情况有(,)a b ，共1种，故两件都是一等品的概率116P =，故A 错误； 对于B ，两件中有1件是次品的基本情况有(,)a d ，(,)b d ，(,)c d ，共3种，故两件中有1件是次品的概率23162P ==，故B 正确；对于C ，两件都是正品的基本情况有(,)a b ，(,)a c ，(,)b c ，共3种，故两件都是正品的概率33162P ==，故C 错误；对于D ，两件中至少有1件是一等品的基本情况有(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，(,)b c ，(,)b d ，共5种，故两件中至少有1件是一等品的概率456P =，故D 正确. 10.答案：BD解析：由于A ,B ,C ,D 彼此互斥，且A B C D +++是必然事件，故事件的关系如图所示.由图可知，任何一个事件与其余三个事件的和事件互为对立，任何两个事件的和事件与其余两个事件中任何一个是互斥事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件互为对立，故B,D 中的说法正确.11.答案：35解析：设此队员每次罚球的命中率为p ，则216125p -=，所以35p =. 12.答案：16；23解析：甲，乙两球都落入盒子的概率为111236⨯=.方法一：甲、乙两球至少有一个落入盒子的情形包括：①甲落入、乙未落入的概率为121233⨯=；②甲未落入，乙落入的概率为111236⨯=；③甲，乙均落入的概率为111236⨯=.所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为11123663++=.方法二：甲，乙两球均未落入盒子的概率为121233⨯=，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为12133-=.13.答案：23解析：从甲、乙、丙、丁四人中随机选取两人，有{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}，共6种结果；其中甲、乙两人中有且只有一人被选取，有甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，共4种结果. 故甲、乙两人中有且只有一人被选取的概率为4263=. 14.答案：(1)13. (2)概率为1316. 解析：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的样本点有：1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个.从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有：1和2，1和3，共2个， 因此所求事件的概率为2163P ==.(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为m ， 试验的样本空间{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),Ω=(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}，共16个样本点.又满足条件2n m ≥+的样本点有：(1,3),(1,4),(2,4)，共3个. 所以满足条件2n m ≥+的事件的概率为1316P =，故满足条件2n m <+的事件的概率为1313111616P -=-=. 15.答案：（1）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概均为23，故2~3,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而3321()C ,0,1,2,333kkk P X k k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以随机变量X的分布列为随机变量X 的数学期望2()323E X =⨯=.（2）设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y ，则2~3,3Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，且{3,1}{2,0}M X Y X Y ===⋃==.由题意知事件{3,1}X Y ==与{2,0}X Y ==互斥，且事件{3}X =与{}1Y =，事件{}2X =与{}0Y =均相互独立，从而由（1）知()P M =({3,1}{2,0})(3,1)(2,P X Y X Y P X Y P X ==⋃=====+=8240)(3)(1)(2)(0)2799Y P X P Y P X P Y ====+===⨯+⨯12027243=.。
2概率统计第二讲
∑
k ≥1
pk＝1.
三、一维离散型r.v的几个常用分布 一维离散型 的几个常用分布
1. 退化分布 单点分布) 退化分布(单点分布 单点分布 X～P{X＝a}＝1，其中 为常数。 ～ 为常数。 ＝ ＝ ，其中a为常数 2. (0－1)分布 两点分布 － 分布 两点分布) 分布(两点分布 X～P{X＝k}＝pk(1－p)1－k, (0<p<1) k＝0，1 ～ ＝ ＝ － － ＝ ， 3. 几何分布 X～P{X＝k}＝ (1－p)k－1 p, (0<p<1) k＝1, 2, … ～ ＝ ＝ － － ＝ 4. 二项分布 二项分布B(n, p) － － X～P{X＝k}＝ Ck pk(1－p)n－k, ～ ＝ ＝ n (0<p<1) k＝0, 1, 2, …, n ＝
3. [04(一)(三)(四)一(6)] 设r.v.X服从参数为λ的指数分布 则 服从参数为λ 一 三 四一 服从参数为 的指数分布,
P { X > DX } = _____ .
4. [98(三)(四)二(5)] 设F1(x)与F2(x)分别为 r.v.X1与X2的 三 四二 与 分别为 分布函数, 为使F(x)=a F1(x)−b F2(x)是某一 的分布函数 是某一r.v.的分布函数 分布函数 为使 − 是某一 的分布函数, 在下列给定的各组数值中应取 (A) a=3/5, b= −2/5 (C) a= −1/2, b= 3/2 5. 已知 ~ 已知X X P (B) a=2/3, b= 2/3 (D) a=1/3, b= −3/2 [ ]
2. 多维离散型随机变量函数的分布律
定理2 定理 设X1，X2，… , Xn是一个n维随机变量，若y＝ 则 Y＝g(X1，X2，…, Xn)也是一个随机变量。 以二维为例，若 (X, Y)～P(X＝xi, Y＝yk)＝pik ，i, k＝1, 2, … 则 Z＝g(X, Y)～P{Z＝zl}＝
高考数学：专题六 第二讲 概率、随机变量及其分布列课件
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解析 设 AC＝x，CB＝12－x，
所以 x(12－x)<32，所以 x>8 或 x<4 4＋4 2 又因为 0<x<12，所以 P＝ 12 ＝3.
考点与考题
0≤x≤2， 3.(2012· 北京)设不等式组 0≤y≤2
第二讲
表示的平面区域为 D， 在区域 D
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解析 分别从两个集合中各取一个数共有 15 种取法，其中满足 b>a 3 1 的有 3 种取法，故所求事件的概率为 P＝15＝5.
题型与方法
第二讲
(2)学生通过演示实验来估算不规则图形的面积，先在平面内画 4 条直 线 x＝0，x＝5，y＝－2，y＝1 围成矩形，再画 2 条曲线 y＝log2x，y ＝log2(x－3)， 2 条直线 y＝－2， 称 y＝1 和 2 条曲线 y＝log2x， y＝log2(x
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回答互不影响. (1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率； (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率.
解 (1)记“该选手能正确回答第 i 轮的问题”的事件为 Ai (i＝
1,2,3,4)，
4 3 2 则 P(A1)＝ ，P(A2)＝ ，P(A3)＝ ， 5 5 5 1 P(A4)＝5，
第二讲
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ξ P
0 3 8
1 7 16
2 1 6
3 1 48
3 7 1 1 5 所以 E(ξ)＝0×8＋1×16＋2×6＋3×48＝6.
题型与方法
第二讲
方法提炼 求出概率.
(1)求离散型随机变量的分布列的关键是正确理解随机变
统计与概率-第2讲：概率
事件类型 定义概率 确定事件必然事件 一定会发生的事件 1 不可能事件一定不会发生的事件 0 随机事件可能发生也有可能不发生0~12、求概率的方法：①一般的，如果在一次实验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其中m 种结果，那么事件A 发生的概率为nmA P）（ ②几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件A ，然后计算阴影区域的面积在总面积中所占的比例，这个比例即事件A 发生的概率 3、运用列表法或画树状图法求概率的一般步骤：①把所有可能发生的实验结果一一列举出来（用表格或者树状图的形式） ②把所求事件可能发生的结果都找出来 ③代入概率的计算公式【方法技巧】第二节 概率【知识梳理】4、判断游戏公平的步骤：①画出树状图②根据概率公式求出事件的概率③比较是否相等，相等就公平，否则就不公平【考点突破】考点1、概率例1、转动转盘，当转盘停止转动时，指针落在红色区域的可能性最大的是（）A．B．C．D．变式1、如图是一个可以自由转动的转盘，转动这个转盘后，转出（）色的可能性最小．A．红B．黄C．绿D．不确定变式2、布袋中有大小一样的3个白球和2个黑球，从袋中任意摸出1个球，下列判断正确的是（）A．摸出的球一定是白球B．摸出的球一定是黑球C．摸出的球是白球的可能性大 D．摸出的球是黑球的可能性大例2、如图，有5张扑克牌，从中随机抽取一张牌，点数是偶数的可能性大小是（）A．B．C．D．变式1、一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时是绿灯的概率是（）A．B．C．D．变式2、一副完整的扑克牌，去掉大小王，将剩余的52张混合后从中随机抽取一张，则抽出A的概率是（）A．B．C．D．例3、掷两枚硬币，则一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上的概率是（）A．1 B．C．D．变式1、从长度分别为2，4，6，8的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率为（）A．B．C．D．例4、一个不透明的袋中装有除颜色外其余都相同的1个白球和2个黑球．先从袋中摸出一个球后不再放回，第二次再从袋中摸出一个，那么两次都摸到黑球的概率是（）A．B．C．D．变式1、一个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，现从中任取2个球，则取到的是一个红球、一个白球的概率为（）A．B．C．D．变式2、甲箱内有4颗球，颜色分别为红、黄、绿、蓝；乙箱内有3颗球，颜色分别为红、黄、黑．小赖打算同时从甲、乙两个箱子中各抽出一颗球，若同一箱中每球被抽出的机会相等，则小赖抽出的两颗球颜色相同的机率为何？（）A．B．C．D．例5、中秋节来临，小红家自己制作月饼．小红做了三个月饼，1个芝麻馅，2个豆沙馅；小红的爸爸做了两个月饼，1个芝麻馅，1个豆沙馅（除馅料不同，其它都相同）．做好后他们请奶奶品尝月饼，奶奶从小红做的月饼中拿了一个，从小红爸爸做的月饼中拿了一个．请利用列表或画树状图的方法求奶奶拿到的月饼都是豆沙馅的概率．变式1、一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“书”、“香”、“昌”、“平”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“书”的概率为多少？（2）从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表的方法，求取出的两个球上的汉字能组成“昌平”的概率．变式2、甲、乙两位同学玩转盘游戏，游戏规则：将圆盘平均分成三份，分别涂上红，黄，绿三种颜色，两位同学分别转动转盘两次（若压线，重新转）．若两次指针指到的颜色相同，则甲获胜；若两次指针指到的颜色是黄绿组合则乙获胜；其余情况则视为平局．（1）请用画树状图的方法，列出所有可能出现的结果；（2）试用概率说明游戏是否公平．例6、在同样的条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表，由表估计该麦种的发芽概率是（）试验种子数n（粒）50 200 500 1000 3000 发芽频数m 45 188 476 951 2850发芽频率0.9 0.94 0.952 0.951 0.95A．0.8 B．0.9 C．0.95 D．1变式1、在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们除了颜色不同外，其余都相同，其中有4个白球，每次试验前，将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中．大量重复上述试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4，那么可以推算出n大约是（）A．10 B．14 C．16 D．40考点2、统计与概率在实际生活的应用例1、某中学艺术节期间，向全校学生征集书画作品．美术社团从九年级14个班中随机抽取了4个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图．（1）直接回答美术社团所调查的4个班征集到作品共件，并把图1补充完整；（2）根据美术社团所调查的四个班征集作品的数量情况，估计全年级共征集到作品的数量为；（3）在全年级参展作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生．现在要在其中抽两人去参加学校总结表彰座谈会，用树状图或列表法，求恰好抽中一男生一女生的概率．变式1、为进一步推广“阳光体育”大课间活动，某中学对已开设的A实心球，B立定跳远，C跑步，D跳绳四种活动项目的学生喜欢情况进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图1，图2的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：（1）请计算本次调查中喜欢“跑步”的学生人数和所占百分比，并将两个统计图补充完整；（2）随机抽取了5名喜欢“跑步”的学生，其中有3名女生，2名男生，现从这5名学生中任意抽取2名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到同性别学生的概率．<A 组>1．下列说法中，正确的是（ ）A ．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件B ．不可能事件发生的概率为0C ．随机事件发生的概率为D ．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次 2．下列图形：任取一个是中心对称图形的概率是（ ） A ． B ．C ．D ．13．袋中有红球4个，白球若干，抽到红球的概率为，则白球有（ ）个． A ．8B ．6C ．4D ．24．小明同学参加“献爱心”活动，买了2元一注的爱心福利彩票5注，则“小明中奖”的事件为 事件（填“必然”或“不可能”或“随机”）． 5．某校男子足球队的年龄分布如下面的条形图所示．（1）求这些队员的平均年龄；（2）下周的一场校际足球友谊赛中，该校男子足球队将会有11名队员作为首发队员出场，不考虑其他因素，请你求出其中某位队员首发出场的概率．6．某化妆品专卖店，为了吸引顾客，在“母亲节”当天举办了甲、乙两种品牌化妆品有奖酬宾活动，凡购物满88元，均可得到一次摇奖的机会．已知在摇奖机内装有2个红球和2个白球，除颜【分层训练】色外其它都相同，摇奖者必须从摇奖机内一次连续摇出两个球，根据球的颜色决定送礼金券的多少（如表）甲种品牌化妆品球两红一红一白两白礼金券（元） 6 12 6乙种品牌化妆品球两红一红一白两白礼金券（元）12 6 12（1）请你用列表法（或画树状图法）求一次连续摇出一红一白两球的概率；（2）如果一个顾客当天在本店购物满88元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择购买哪种品牌的化妆品？并说明理由．<B组>1．若十位上的数字比个位上的数字、百位上的数字都大的三位数叫做中高数，如796就是一个“中高数”．若十位上数字为7，则从3、4、5、6、8、9中任选两个不同的数，与7组成“中高数”的概率是．2．如图，正方形的阴影部分是由四个直角边长都是1和3的直角三角形组成的，假设可以在正方形内部随意取点，那么这个点取在阴影部分的概率为．3．4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．（1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；（2）从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；（3）在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x的值大约是多少？4．现有一个六面分别标有数字1，2，3，4，5，6且质地均匀的正方形骰子，另有三张正面分别标有数字1，2，3的卡片（卡片除数字外，其他都相同），先由小明投骰子一次，记下骰子向上一面出现的数字，然后由小王从三张背面朝上放置在桌面上的卡片中随机抽取一张，记下卡片上的数字．（1）请用列表或画树形图（树状图）的方法，求出骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积为6的概率；（2）小明和小王做游戏，约定游戏规则如下：若骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积大于7，则小明赢；若骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积小于7，则小王赢，问小明和小王谁赢的可能性更大？请说明理由．5．A、B、C三人玩篮球传球游戏，游戏规则是：第一次传球由A将球随机地传给B、C两人中的某一人，以后的每一次传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人中的某一人．（1）求两次传球后，球恰在B手中的概率；（2）求三次传球后，球恰在A手中的概率．6．有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装3个完全相同的小球，分别标有数字1，2，3；乙袋中也装3个完全相同的小球，分别标有数字﹣1，﹣2，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M坐标为（x，y）．（1）用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标；（2）求点M（x，y）在函数y=﹣x+1的图象上的概率．7．一个盒子里有标号分别为1，2，3，4，5，6的六个小球，这些小球除标号数字外都相同．（1）从盒中随机摸出一个小球，求摸到标号数字为奇数的小球的概率；（2）甲、乙两人用这六个小球玩摸球游戏，规则是：甲从盒中随机摸出一个小球，记下标号数字后放回盒里，充分摇匀后，乙再从盒中随机摸出一个小球，并记下标号数字．若两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数，则判甲赢；若两次摸到小球的标号数字为一奇一偶，则判乙赢．请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏对甲、乙两人是否公平．参考答案【考点突破】考点1、概率例1、解：因为四个选项中的转盘均被均分为4份，所以哪个选项中红色区域份数最多，指针落在红色区域的可能性就越大，四个选项中D中共有3份，故指针落在红色区域的可能性最大，故选D．变式1、解：因为转盘被平均分为8份，黄色为2份，红色为3份，绿色为3份，所以转动这个转盘后转出可能性最小的颜色是黄色．故选：B．变式2、解：A、∵布袋中有大小一样的3个白球和2个黑球，从袋中任意摸出1个球，∴摸出的球不一定是白球，故此选项错误；B、∵布袋中有大小一样的3个白球和2个黑球，从袋中任意摸出1个球，∴摸出的球不一定是黑球，故此选项错误；C、摸出的球是白球的可能性大，正确；D、摸出的球是黑球的可能性小于白球的可能性，故此选项错误．故选：C．例2、解：∵有5张扑克牌，从中随机抽取一张，点数为偶数的有3种情况，∴从中随机抽取一张，点数为偶数的概率是，故选：C．变式1、解：∵一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，∴你抬头看信号灯时是绿灯的概率是：=．故选C．变式2、解：因为一副扑克牌，去掉大小王，一共还有52张，A有四张，所以恰好抽到的牌是K 的概率是：=．故选：C．例3、解：∵掷两枚硬币，所有等可能的结果有：正正，正反，反正，反反，又∵一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上的有2种情况，∴一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上的概率是：=．故选C．变式1、解：∵从长度分别为2，4，6，8的四条线段中任选三条作边，等可能的结果有：2，4，6； 2，4，8； 2，6，8； 4，6，8；其中能构成三角形的只有4，6，8；∴能构成三角形的概率为：．故选C．例4、解：根据题意画图如下：因为一共有6种情况，两次都摸到黑球的有2种情况，所以两次都摸到黑球的概率是=．故选B．变式1、解：画树状图得：∵共有20种等可能的结果，取到的是一个红球、一个白球的有12种情况，∴取到的是一个红球、一个白球的概率为：=．故选C．变式2、解：树状图如图所示：共有12种等可能的结果，颜色相同的有2种情形，故小赖抽出的两颗球颜色相同的机率==；故选：B．例5、解：用字母A表示芝麻馅，字母表示豆沙馅，画树状图：共有6种等可能的结果数，其中月饼都是豆沙馅的结果数为2，所以月饼都是豆沙馅的概率==．变式1、解：（1）从中任取一个球，球上的汉字刚好是“书”的概率=；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中取出的两个球上的汉字能组成“昌平”的结果数为2，所以取出的两个球上的汉字能组成“昌平”的概率═=．变式2、解：（1）如图所示：（红，红），（红，黄），（红，绿），（黄，红），（黄，黄），（黄，绿），（绿，红），（绿，黄），（绿，绿）共9种情况；（2）P（甲获胜）==，P（乙获胜）=，P（甲获胜）＞P（乙获胜），所以游戏不公平．例6、解：∵种子粒数3000粒时，种子发芽的频率趋近于0.95，∴估计种子发芽的概率为0.95．故选C．变式1、解：∵通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.4，∴=0.4，解得：n=10．故选A．考点2、统计与概率在实际生活的应用例1、解：（1）根据题意得：调查的4个班征集到作品数为：5÷=12，B班作品的件数为：12﹣2﹣5﹣2=3．如图：（2）∵美术社团所调查的四个班平均每个班征集作品是：12÷4=3（件），∴全校共征集到的作品：3×14=42（件）；（3）列表如下：男1 男2 男3 女1 女2男1 男1男2 男1男3 男1女1 男1女2男2 男2男1 男2男3 男2女1 男2女2男3 男3男1 男3男2 男3女1 男3女2女1 女1男1 女1男2 女1男3 女1女2女2 女2男1 女2男2 女2男3 女2女1共有20种机会均等的结果，其中一男生一女生占12种，∴P（一男生一女生）=，即恰好抽中一男生一女生的概率为．故答案为12，42．变式1、解：（1）根据题意得：15÷10%=150（名）．本项调查中喜欢“跑步”的学生人数是；150﹣15﹣45﹣30=60（人），所占百分比是：×100%=40%，画图如下：（2）用A表示女生，B表示男生，画图如下：共有20种情况，同性别学生的情况是8种，则刚好抽到同性别学生的概率是=．【分层训练】<A组>1．解：A、“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件，故A错误；B、不可能事件发生的概率为0，故B正确；C、随机事件发生的概率为0到1，故C错误；D、投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数可能为50次，故D错误；故选：B．2．解：∵共有4种等可能的结果，任取一个是中心对称图形的有3种情况，∴任取一个是中心对称图形的概率是：．故选C．3．解：设白球有x个，根据题意，抽到红球的概率为，有=，解可得x=8，故选A．4．解：小明同学参加“献爱心”活动，买了2元一注的爱心福利彩票5注，则“小明中奖”的事件为随机事件．故答案为：随机．5．解：（1）该校男子足球队队员的平均年龄是：（13×2+14×6+15×8+16×3+17×2+18×1）÷22=330÷22=15（岁）．故这些队员的平均年龄是15岁；（2）∵该校男子足球队一共有22名队员，将会有11名队员作为首发队员出场，∴不考虑其他因素，其中某位队员首发出场的概率为：P=．6．解：（1）树状图为：∴一共有6种情况，摇出一红一白的情况共有4种，摇出一红一白的概率=；（2）∵两红的概率P=，两白的概率P=，一红一白的概率P=，∴甲品牌化妆品获礼金券的平均收益是：×6+×12+×6=10元．乙品牌化妆品获礼金券的平均收益是：×12+×6+×12=8元．∴我选择甲品牌化妆品．<B组>1．解：画树状图为：共有30种等可能的结果数，其中任选两个不同的数，与7组成“中高数”的结果数为12，所以任选两个不同的数，与7组成“中高数”的概率==．故答案为．2．解：∵S正方形=（3×2）2=18，S阴影=4××3×1=6，∴这个点取在阴影部分的概率为：=，故答案为：．3．解：（1）∵4件同型号的产品中，有1件不合格品，∴P（不合格品）=；（2）共有12种情况，抽到的都是合格品的情况有6种，P（抽到的都是合格品）==；（3）∵大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，∴抽到合格品的概率等于0.95，∴=0.95，解得：x=16．4．解：（1）如图所示：共18种情况，数字之积为6的情况数有3种，P（数字之积为6）==．（2）由上表可知，该游戏所有可能的结果共18种，其中骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积大于7的有7种，骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积小于7的有11种，所以小明赢的概率=，小王赢的概率=，故小王赢的可能性更大．5．解：（1）画树状图得：∵共有4种等可能的结果，两次传球后，球恰在B手中的只有1种情况，∴两次传球后，球恰在B手中的概率为：；（2）画树状图得：∵共有8种等可能的结果，三次传球后，球恰在A手中的有2种情况，∴三次传球后，球恰在A手中的概率为：=．6．解：（1）画树状图：共有9种等可能的结果数，它们分别是：（1，﹣1），（1，﹣2），（1，0），（2，﹣1），（2，﹣2），（2，0），（3，﹣1），（3，﹣2），（3，0）；（2）因为在直线y=﹣x+1的图象上的点有：（1，0），（2，﹣1），（3，﹣2），所以点M（x，y）在函数y=﹣x+1的图象上的概率P=．7．解：（1）∵1，2，3，4，5，6六个小球，∴摸到标号数字为奇数的小球的概率为：=；（2）画树状图：如图所示，共有36种等可能的情况，两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数的有18种，摸到小球的标号数字为一奇一偶的结果有18种，∴P（甲）==，P（乙）==，∴这个游戏对甲、乙两人是公平的．。
概率论与数理统计第二讲
定义 设X是S上的随机变量F(x)为其分布函数， 如果存在定义在（-∞，+∞）上的非负实质函数 f(x)，使得
F ( x)
x
f ( t )dt, x
则称X为连续型随机变量，称F(x)为连续型分 布函数，称f(x)为X的概率密度函数（或概率 密度或分布密度）。
设X为连续型随机变量，F(x)与f(x)分别 为其分布函数和概率密度 1）对任意常数a＜b有
即
P(X<0)=P(X－3<-3)=0.1。
当μ=0且σ=1的正态分布N(0,1),称为标准正 态分布。 x2 1 2 概率密度 ( x ) e , x ,
2
在统计用表中给出了 x 0至x 3.49所对应 的( x)值。 当x 3.49时，( x) 1 ；
P(λ)
λ=np=1
0.368 0.368 0.184 0.061 0.015 0.004
例 某物业管理公司负责10000户居民的 房屋维修工作。假定每户居民是否报修 是相互独立的，且报修的概率都是0.04% 另外，一户居民住房的维修只需一名修理 工来处理。易知，在某个时段报修的居民 数X~B(10000,0.0004).试问 1）该物业管理公司至少需要配备多少名 维修工人，才能使居民报修后能得到及时 修理的概率不低于99%。
P (a X b) f ( x )dx
a
b
2）F(x)是连续函数，且当f(x)在x=x0处连续时
F ( x0 ) f ( x0 )
3）对任意常数c,P(X=c)=0,从而对任何a＜b，有
P (a X b) P (a X b) P (a X b) P (a X b)
新高考 核心考点与题型 概率 第2讲 古典概型 - 解析
第2讲 古典概型【考情考向分析】全国卷对古典概型每年都会考查，主要考查实际背景的可能事件，通常与互斥事件、对立事件一起考查．在高考中单独命题时，通常以选择题、填空题形式出现，属于中低档题；与统计等知识结合在一起考查时，以解答题形式出现，属中档题。
知 识 梳 理1.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 2.古典概型 具有以下两个特征(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果.如从1,2,3，…，100这100个整数中任意取出一个整数，求取到偶数的概率.(2)每一个试验结果出现的可能性相同.如向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；3.如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n ；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝m n .4.古典概型的概率公式P (A )＝事件A 包含的可能结果数试验的所有可能结果数.[微点提醒]概率的一般加法公式P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )中，易忽视只有当A ∩B ＝∪， 即A ，B 互斥时，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，此时P (A ∩B )＝0.考点一 基本事件及古典概型的判断【例1】 袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球.(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？ (2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？解(1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法.因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型. (2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A ：“摸到白球”，B ：“摸到黑球”，C ：“摸到红球”，又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为111，而白球有5个，故一次摸球摸到白球的可能性为511，同理可知摸到黑球、红球的可能性均为311，显然这三个基本事件出现的可能性不相等，故以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型. 规律方法 古典概型中基本事件个数的探求方法：(1)枚举法：适合于给定的基本事件个数较少且易一一列举出的问题.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定基本事件时(x ，y )可看成是有序的，如(1，2)与(2，1)不同，有时也可看成是无序的，如(1，2)与(2，1)相同.(3)排列组合法：在求一些较复杂的基本事件个数时，可利用排列或组合的知识.【变式】 甲、乙两人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽1张. (1)写出甲、乙抽到牌的所有情况.(2)甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙大，则甲胜，否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为什么？ 解 (1)设(i ，j )表示(甲抽到的牌的数字，乙抽到的牌的数字)，则甲、乙二人抽到的牌的所有情况(方片4用4′表示)为(2，3)，(2，4)，(2，4′)，(3，2)，(3，4)，(3，4′)，(4，2)，(4，3)，(4，4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12种.(2)由(1)可知甲抽到的牌的牌面数字比乙大有(3，2)，(4，2)，(4，3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种情况，∪甲胜的概率p ＝512，∪512≠12，∪此游戏不公平.考点二 简单的古典概型的概率【例2】 (1)两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为( ) A.12B.14C.13D.16(2)设袋子中装有3个红球，2个黄球，1个蓝球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分，现从该袋子中任取(有放回，且每球取得的机会均等)2个球，则取出此2球所得分数之和为3分的概率为________.解析 (1)两名同学分3本不同的书，基本事件有(0，3)，(1a ，2)，(1b ，2)，(1c ，2)，(2，1a )，(2，1b )，(2，1c )，(3，0)，共8个，其中一人没有分到书，另一人分到3本书的基本事件有2个，∪一人没有分到书，另一人分得3本书的概率p ＝28＝14.(2)袋子中装有3个红球，2个黄球，1个蓝球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分，现从该袋子中任取(有放回，且每球取得的机会均等)2个球，基本事件总数n ＝6×6＝36，取出此2球所得分数之和为3分，包含第一次抽到红球，第二次抽到黄球或者第一次抽到黄球，第二次抽到红球，基本事件个数m ＝2×3＋3×2＝12，所以取出此2球所得分数之和为3分的概率p ＝m n ＝1236＝13.规律方法 计算古典概型事件的概率可分三步：(1)计算基本事件总个数n ；(2)计算事件A 所包含的基本事件的个数m ；(3)代入公式求出概率p .【变式1】 同学聚会上，某同学从《爱你一万年》《十年》《父亲》《单身情歌》四首歌中选出两首歌进行表演，则《爱你一万年》未被选取的概率为( ) A.13B.12C.23D.56【变式2】用1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数， 若用a 1，a 2，a 3，a 4，a 5分别表示五位数的万位、千位、百位、十位、个位数字，则出现a 1<a 2<a 3>a 4>a 5的五位数的概率为________.解析 (1)从四首歌中任选两首共有C 24＝6种选法，不选取《爱你一万年》的方法有C 23＝3种，故所求的概率为p ＝36＝12.(2)用1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数，基本事件总数n ＝A 55，用a 1，a 2，a 3，a 4，a 5分别表示五位数的万位、千位、百位、十位、个位数字，出现a 1<a 2<a 3>a 4>a 5的五位数有：12543，13542，23541，34521，24531，14532，共6个，∪出现a 1<a 2<a 3>a 4>a 5的五位数的概率p ＝6A 55＝120.考点三 古典概型的交汇问题多维探究角度1 古典概型与平面向量的交汇【例1】 设平面向量a ＝(m ，1)，b ＝(2，n )，其中m ，n ∪{1，2，3，4}，记“a ∪(a －b )”为事件A ，则事件A 发生的概率为( ) A.18B.14C.13D.12解析 有序数对(m ，n )的所有可能情况为4×4＝16个，由a ∪(a －b )得m 2－2m ＋1－n ＝0，即n ＝(m －1)2.由于m ，n ∪{1，2，3，4}，故事件A 包含的基本事件为(2，1)和(3，4)，共2个，所以P (A )＝216＝18.角度2 古典概型与解析几何的交汇【例2】 将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点的概率为________.解析 依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a ，b )有6×6＝36种，其中满足直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点，即满足2aa 2＋b2≤2，即a ≤b 的数组(a ，b )有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，…，(6，6)，共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21种，因此所求的概率为2136＝712.角度3 古典概型与函数的交汇【例3】 已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋b 2x ＋1，若a 是从1，2，3三个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( ) A.79B.13C.59D.23解析 f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b 2，由题意知f ′(x )＝0有两个不等实根，即Δ＝4(a 2－b 2)>0，∪a >b ，有序数对(a ，b )所有结果为3×3＝9种，其中满足a >b 有(1，0)，(2，0)，(3，0)，(2，1)，(3，1)，(3，2)共6种，故所求概率p ＝69＝23.角度4 古典概型与统计的交汇【例4】某中学组织了一次数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图.(注：分组区间为[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100])(1)若得分大于或等于80认定为优秀，则男、女生的优秀人数各为多少？(2)在(1)中所述的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率.解 (1)由题可得，男生优秀人数为100×(0.01＋0.02)×10＝30，女生优秀人数为100×(0.015＋0.03)×10＝45. (2)因为样本容量与总体中的个体数的比是530＋45＝115，所以样本中包含的男生人数为30×115＝2，女生人数为45×115＝3.则从5人中任意选取2人共有C 25＝10种，抽取的2人中没有一名男生有C 23＝3种，则至少有一名男生有C 25－C 23＝7种.故至少有一名男生的概率为p ＝710，即选取的2人中至少有一名男生的概率为710. 规律方法 求解古典概型的交汇问题，关键是把相关的知识转化为事件，然后利用古典概型的有关知识解决，一般步骤为：(1)将题目条件中的相关知识转化为事件； (2)判断事件是否为古典概型； (3)选用合适的方法确定基本事件个数； (4)代入古典概型的概率公式求解.【变式】 已知某中学高三理科班学生的数学与物理的水平测试成绩抽样统计如下表：若抽取学生n 人，成绩分为A (优秀)，B (良好)，C (及格)三个等级，设x ，y 分别表示数学成绩与物理成绩，例如：表中物理成绩为A 等级的共有14＋40＋10＝64人，数学成绩为B 等级且物理成绩为C 等级的共有8人.已知x 与y 均为A 等级的概率是0.07.(1)设在该样本中，数学成绩的优秀率是30%，求a ，b 的值；(2)已知a ≥7，b ≥6，求数学成绩为A 等级的人数比C 等级的人数多的概率. (1)由题意知14n＝0.07，解得n ＝200，∪14＋a ＋28200×100%＝30%，解得a ＝18，易知a ＋b ＝30，所以b ＝12.(2)由14＋a ＋28>10＋b ＋34得a >b ＋2，又a ＋b ＝30且a ≥7，b ≥6，则(a ，b )的所有可能结果为(7，23)，(8，22)，(9，21)，…，(24，6)，共18种，而a >b ＋2的可能结果为(17，13)，(18，12)，…，(24，6)，共8种，则所求概率p ＝818＝49.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.集合A ＝{2，3}，B ＝{1，2，3}，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( ) A.23B.12C.13D.16解析 从A ，B 中任意取一个数，共有C 12·C 13＝6种情形，两数和等于4的情形只有(2，2)，(3，1)两种，∪p ＝26＝13. 2.设m ，n ∪{0，1，2，3，4}，向量a ＝(－1，－2)，b ＝(m ，n )，则a ∪b 的概率为( ) A.225B.325C.320D.15解析 a ∪b ∪－2m ＝－n ∪2m ＝n ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝4，因此概率为35×5＝325.3.某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x ，第二次向上的点数记为y ，在平面直角坐标系xOy 中，以(x ，y )为坐标的点在直线2x －y ＝1上的概率为( ) A.112B.19C.536D.16解析 先后投掷一枚骰子两次，共有6×6＝36种结果，满足题意的结果有3种，即(1，1)，(2，3)，(3，5)，所以所求概率为336＝112.4.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为( ) A.13B.14C.15D.16解析 分别用A ，B ，C 表示齐王的上、中、下等马，用a ，b ，c 表示田忌的上、中、下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛有Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb ，Bc ，Ca ，Cb ，Cc 共9场比赛，其中田忌马获胜的有Ba ，Ca ，Cb 共3场比赛，所以田忌马获胜的概率为13.5.将一个骰子连续掷3次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为( ) A.112B.19C.115D.118解析 一个骰子连续掷3次，落地时向上的点数可能出现的组合数为63＝216种.落地时向上的点数依次成等差数列，当向上点数若不同，则为(1，2，3)，(1，3，5)，(2，3，4)，(2，4，6)，(3，4，5)，(4，5，6)，共有2×6＝12种情况；当向上点数相同，共有6种情况.故落地时向上的点数依次成等差数列的概率为12＋6216＝112. 二、填空题6.小明忘记了微信登录密码的后两位，只记得最后一位是字母A ，a ，B ，b 中的一个，另一位是数字4，5，6中的一个，则小明输入一次密码能够成功登陆的概率是________.解析 小明输入密码后两位的所有情况有C 14·C 13＝12种，而能成功登陆的密码只有一种，故小明输入一次密码能够成功登陆的概率是112. 7.若m 是集合{1，3，5，7，9，11}中任意选取的一个元素，则椭圆x 2m ＋y 22＝1的焦距为整数的概率为________.解析 m 是集合{1，3，5，7，9，11}中任意选取的一个元素，∪基本事件总数为6，又满足椭圆x 2m ＋y 22＝1的焦距为整数的m 的取值有1，3，11，共有3个，∪椭圆x 2m ＋y 22＝1的焦距为整数的概率p ＝36＝12.8.某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为________.解析 甲同学从四种水果中选两种，选法种数有C 24，乙同学的选法种数为C 24，则两同学的选法种数为C 24·C 24，两同学各自所选水果相同的选法种数为C 24，由古典概型概率计算公式可得，甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为p ＝C 24C 24C 24＝16.三、解答题9.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数，其中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示.(1)如果X ＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X ＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率. 解 (1)当X ＝8时，由茎叶图可知，乙组四名同学的植树棵数分别是8，8，9，10，故x －＝8＋8＋9＋104＝354，s 2＝14×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫8－3542×2＋⎝⎛⎭⎫9－3542＋⎝⎛⎭⎫10－3542＝1116.(2)当X ＝9时，记甲组四名同学分别为A 1，A 2，A 3，A 4，他们植树的棵数依次为9，9，11，11；乙组四名同学分别为B 1，B 2，B 3，B 4，他们植树的棵数依次为9，8，9，10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，其包含的基本事件为{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 1，B 4}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 2，B 4}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{A 3，B 4}，{A 4，B 1}，{A 4，B 2}，{A 4，B 3}，{A 4，B 4}，共16个.设“选出的两名同学的植树总棵数为19”为事件C ，则事件C 中包含的基本事件为{A 1，B 4}，{A 2，B 4}，{A 3，B 2}，{A 4，B 2}，共4个.故P (C )＝416＝14.10.某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.(1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生人数不少于2人的概率.解 (1)由题意，参加集训的男、女生各有6名.参赛学生全从B 中学抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 33C 34C 36C 36＝1100，因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－1100＝99100.(2)设“参赛的4人中女生不少于2人”为事件A ，记“参赛女生有2人”为事件B ，“参赛女生有3人”为事件C .则P (B )＝C 23C 23C 46＝35，P (C )＝C 33C 13C 46＝15.由互斥事件的概率加法公式，得P (A )＝P (B )＋P (C )＝35＋15＝45，故所求事件的概率为45.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.已知函数f (x )＝12ax 2＋bx ＋1，其中a ∪{2，4}，b ∪{1，3}，从f (x )中随机抽取1个，则它在(－∞，－1]上是减函数的概率为( ) A.12B.34C.16D.0解析 f (x )共有四种等可能基本事件即(a ，b )取(2，1)，(2，3)，(4，1)，(4，3)，记事件A 为f (x )在(－∞，－1]上是减函数，由条件知f (x )是开口向上的函数，对称轴是x ＝－ba ≥－1，事件A 共有三种(2，1)，(4，1)，(4，3)等可能基本事件，所以P (A )＝34.12.甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完.若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“最佳手气”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是( ) A.34B.13C.310D.25解析 6元分成整数元有3份， 可能性有(1，1，4)，(1，2，3)，(2，2，2)，第一个分法有3种，第二个分法有6种，第三个分法有1种，其中符合“最佳手气”的有4种，故概率为410＝25.13.从左至右依次站着甲、乙、丙3个人，从中随机抽取2个人进行位置调换，则经过两次这样的调换后，甲在乙左边的概率是__________.解析 从左至右依次站着甲、乙、丙3个人，从中随机抽取2个人进行位置调换，则经过两次这样的调换，基本事件总数为n ＝C 23·C 23＝9，从左至右依次站着甲、乙、丙3个人，从中随机抽取2个人进行位置调换，第一次调换后，对调后的位置关系有三种：甲丙乙、乙甲丙、丙乙甲，第二次调换后甲在乙的左边对应的关系有：丙甲乙、甲乙丙；丙甲乙、甲乙丙；甲丙乙、丙甲乙，∪经过两次这样的调换后，甲在乙的左边包含的基本事件个数m ＝6，∪经过这样的调换后，甲在乙左边的概率：p ＝m n ＝69＝23.14.某快递公司收取快递费用的标准如下：质量不超过1 kg 的包裹收费10元；质量超过1 kg 的包裹，除1 kg 收费10元之外，超过1 kg 的部分，每1 kg(不足1 kg ，按1 kg 计算)需再收5元. 该公司对近60天， 每天揽件数量统计如下表：(1)某人打算将A (0.3 kg)，B (1.8 kg)，C (1.5 kg)三件礼物随机分成两个包裹寄出，求该人支付的快递费不超过30元的概率；(2)该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用.前台工作人员每人每天揽件不超过150件，工资100元，目前前台有工作人员3人，那么公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润是否更有利？ 解 (1)由题意，寄出方式有以下三种可能：所有3种可能中，有1种可能快递费未超过30元，根据古典概型概率计算公式，所求概率为13.(2)由题目中的天数得出频率，如下：若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：故公司每日利润为260×5－3×100＝1 000(元)；若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：故公司每日利润为235×5－2×100＝975(元).综上，公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利.。
第2讲随机事件的概率
A与B是相等集合
A与B无相同元素
A与B的并集
A与B的交集
A与B的差集
A的余(补)集
§1.2 随机事件的概率
• 1.直观定义 • 2.统计定义 • 3.古典定义； • 4.公理化定义； • 5.几何定义.
1.2.1 概率的统计定义
概率的直 在一次试验中事件A发生的可能性大小的 观定义： 量度称为事件A的概率。
B { 取到的两只球都是黑球}
C { 取到的两只球中至少有一只是白球 }
D { 取到的两只球颜色相同 }
显然C B, D A B
(1)
P( A)
P42 P62
12 30
2 5
（2）类似于（1），可求得
P(B)
P22 P62
1 15
由于AB ，Leabharlann 由概率的有限可加性，所求概率为：
P(D) P( A B) P( A) P(B) 2 1 7 5 15 15
加法原理
完成某件事情有 n 类途径， 在第一类途径中有m1种方 法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第 n 类 途径中有mn种方法，则完成这件事共有 m1+m2+…+mn种 不同的方法.
乘法原理
完成某件事情需先后分成 n 个步骤，做第一步有m1种 方法，第二步有 m2 种方法，依次类推，第 n 步有mn种方 法，则完成这件事共有 m1×m2×…×mn种不同的方法.
率的稳定值p,记做P(A)。概率是不变的
我们称这一定义为概率的统计定义 。
4 概率是事件的自然属性，有事件就一定有 概率。频率是概率的表现，频率的本质是概率
概率的公理化定义
• 非负性公理： P(A)0; • 正则性公理： P(Ω)=1; • 可列可加性公理：若A1, A2, ……,
概率论第02讲
掷出2点 ， 例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出 点}， 掷一颗均匀骰子， 掷出 B={掷出偶数点 ， 掷出偶数点}， 掷出偶数点 P(A )=1/6， ， P(A|B)=？ ？
已知事件B发生， 已知事件 发生，此时试验所有 发生 可能结果构成的集合就是B 可能结果构成的集合就是 ， B中共 中共 个元素， 有3个元素，它们的出现是等可能的 个元素 它们的出现是等可能的, 其中只有1个在集 其中只有 个在集 A 中 于是 P(A|B)= 1/3. 容易看到
QP(AB) =1− P(AB) = 1− P(A∪B)
=1−[P(A) + P(B) − P(AB)]
12
P(AB =1−[P(A) + P(B) − P(AB)] )
C +C −1 =1− C
30 50 30 80 30 100
13
乙两人先后从52张牌中各抽取13 52张牌中各抽取13张 例12. 甲、乙两人先后从52张牌中各抽取13张, 求甲或乙拿到4 的概率. 求甲或乙拿到4张A的概率. 的概率 (1) 甲抽后不放回，乙再抽; 甲抽后不放回，乙再抽; 甲抽后将牌放回，乙再抽. (2) 甲抽后将牌放回，乙再抽. 甲拿到4张 ， 乙拿到4张 解：设A={甲拿到 张A}， B={乙拿到 张A} 甲拿到 乙拿到 所求为 P ( A ∪ B ) (1)A、 互不相容 (1) 、B互不相容 P( A ∪ B) = P( A) + P( B)
Ω = {两次正面向上，两次反面向上， 两次不同面向上}
2. 一名战士打靶直至打中，可取样本空间为 一名战士打靶直至打中，
Ω = {中，空中，空空中，空空空中,... }
2
§ 1.3
概率的公理化和加法公式
第二讲 一维随机变量及其函数的概率分布
1 19 P (Y ≥ 1) = 1 − P (Y = 0) = 1 − (1 − )3 = 3 27
(8)
Y = 2X +1， 各值互不相等， Y 的概率分布为 P(Y = −1) = 0.5, P(Y = 3) = 0.5 。
⎧0 ⎪ 其分布函数为 FY ( y ) = ⎨0.5 ⎪1 ⎩
y < −1 −1 ≤ y < 3 y≥3
, Y = g(X ) 为 X
= g ( xi ) 各值互不相等，则 Y 的分布为 P (Y = yi ) = pi , i = 1, 2, = g ( xi ) 各值不是互不相等， 则 Y 的分布为： P (Y = yi ) =
g ( x j ) = yi
∑
P( X = x j )
2、若 X 为连续型随机变量，其概率密度为 概率密度
x<a a≤ x<b x≥b
⎧λ e − λ x 5、 指数分布， 密度函数 f ( x) = ⎨ ⎩ 0
三、随机变量函数的分布
⎧1 − e− λ x x>0 ， 分布函数 F ( x) = ⎨ x≤0 ⎩ 0
= xi ) = pi , i = 1, 2,
x>0 x≤0
1、若 X 为离散型随机变量，概率分布为 P ( X 的函数，求 Y 的分布。 (1) 若 yi (2) 若 yi
y 2 + Xy + 1 = 0 有实根的概率
为
。 (7) 设 随 机 变 量
X ~ B(2, p), Y ~ B(3, p)
， 若
P ( X ≥ 1) =
5 ， 则 9
P(Y ≥ 1) =
。
(8) 给定 X 的分布 P( X ，Y 的分布函数为
第二讲 概率
列表法，求恰好匹配的概率．
第八章
统计与概率
金 榜 之 路 数 学 ·
解：列树状图如下：
共有12种不同结果，其中能匹配的有4种，因此恰好匹 配的概率是
第八章 统计与概率
金 榜 之 路 数 学 ·
判断一个事件是确定事件或不确定事件(随机事件)是中
考中常考查知识点，一般以选择、填空形式出题，很多内
容涉及生活中的事件，转盘、摸牌、摸球游戏等．判断时 要依据事件发生的可能性进行区分．
第八章
统计与概率
金 榜 之 路 数 学 ·
5．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃 球共有40个，除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球 试验后发现其中摸到红色球、黑色球频率稳定在15%和45%， 则口袋中白色球的个数可能是
( C )
A．24 C．16 B．18 D．6
解析：多次试验的频率可代替事件的概率，摸到白球 的概率为1－45%－15%＝40%.
统计与概率
金 榜 之 路 数 学 · 1．下列事件是不确定事件的是 ( B )
A．太阳停止运动
B．明天有雷阵雨 C．每个人都要面对死亡 D．把一块石子掷出大气层
第八章
统计与概率
金 榜 之 路 数 学 ·
2．“从一袋中随机摸出1球恰是黄球的概率为 意思是
”的
( C )
A．摸球5次就一定有1次摸中黄球
第八章
统计与概率
金 榜 之 路 数 学 · 思路分析：因为有两个转盘，并且各转一次，所以画 树状图应分两层，A盘转出三种不同结果，在A盘转出的三 种结果下是B盘转出的四种结果，这样共有12种不同结果；
若列表格，纵、横栏各对应A、B盘上的数字，交叉位置计
算两盘数字之和．
第二讲(古典概型与概率的定义)
由
(1 x )
m n
m n
(1 x ) (1 x )
m
n
运用二项式展开 有
m n j j x j 0 m j1 n n j2 j x j x j1 0 1 j2 0 2
每个盒子容球数无限, 求下列事件的概率:
（1）某指定的 k 个盒子中各有一球；
（2）某指定的一个盒子恰有 m 个球( m k ) （3）某指定的一个盒子没有球； （4）恰有 k 个盒子中各有一球； （5）至少有两个球在同一盒子中； （6）每个盒子至多有一个球.
解 nN 设 (1) ~ (6)的各事件分别为
P ( A) A中的样本点数 S中的样本点数
4
古典概率的性质
1 0 P( A) 1 、
非负性
规范性
A , A2 , , An 1
2、P ( ) 1
3、对于互不相容的事件
n
有
P( A k ) P( A k )
k 1 k 1
n
有限可加性
这样就把求概率问题转化为计数问题 . 排列组合是计算古典概率的重要工具 . 这里我们先简要复习一下计算古典概率 所用到的 基本计数原理 1. 加法原理 设完成一件事有m种方式， 第一种方式有n1种方法， 第二种方式有n2种方法, …； 第m种方式有nm种方法, 则完成这件事总共 有n1 + n2 + … + nm 种方法 .
的每个基本事件出现一定要是等可能的。
上述古典概型的计算，只适用具有等可能性的 有限样本空间。若试验结果无限，则它显然已经不 适合。为了克服有限的局限性，利用几何方法，可 将古典概型的计算加以推广。
第2讲概率论
m
m
P( Ai ) P( Ai )
i 1
i1
推论
P( A) 1 P( A)
例4.从10件同类型产品(其中6件正品，4件次品)中任取4件，求 (1)“取得的4件中次品不超过1件”(事件A)的概率 (2)“取得的4 件中次品至少有1件”(事件B)的概率.
解：设 Ai 为“取得的4件中恰好有 i 件次品”, i=0,1,2,3,4. 则有
13 14
例5.设有n个球，每个球都以同样的概率1/N落入到N个格子(Nn) 的每一个格子，试求 (1)前n个格子中各有一球(A)的概率； (2)任何n个格子中各有一球(B)的概率； (3)某指定的一个盒子中没有球(C)的概率.
解：(1)试验E是将n个球 投入N个格中 1 2 …n … N
共有Nn个样本点，而A中有n!个样本点，所以有 P(A) = n! / Nn
设A表示“两人能会面”，则有
A={(x, y): |x−y| 20}
所以
P( A)
602 402 602
=
5 9
3.几何概型的基本性质
设A, A1, A2, …是 E 中事件，则有 (1)非负性：P(A) ≥0；
P(
A)
g的度量 G的度量
(2)归一性：P(S)=1；
(3)可加性： 若A1, A2, …是互不相容的事件，则有
A表示“任取一号码为偶数的球”.
则样本空间 S ={1,2,…,10}， A ={2,4,6,8,10}
所以
P(A) = 5/10=1/2
1. 加法原理
基本计数原理
设完成一件事有m种方式，
第一种方式有n1种方法，
第二种方式有n2种方法, …；
第二讲 条件概率
17
如何评价X射线检查 如何评价 射线检查
X 射线检查（A） 射线检查（ ） 两年内患病否（ 两年内患病否（B） 合计 + 未患癌（ 未患癌（-) 9980 9 9989 患癌(+) 患癌(+) 20 1 21 合计 10000 10 10010
5
例2 吸烟对健康的影响 好的观察研究应控制混杂变量。 好的观察研究应控制混杂变量。 瑞典双生对的研究 一个吸烟，一个不吸烟的双生对： 一个吸烟，一个不吸烟的双生对：同卵双 生男274对，女264对；异卵双生男 生男 对 对 异卵双生男733对， 对 女653对 对 发现：吸烟与不吸烟相比， 发现：吸烟与不吸烟相比，慢性支气管炎 患病的相对危险度为1.8~2.5倍。 患病的相对危险度为 倍
3
例2 吸烟对健康的影响 • Doll & Hill （1964）：前瞻性研究 ）：前瞻性研究 ）：
名英国医师发出了关于吸烟的问卷， 向60000名英国医师发出了关于吸烟的问卷， 名英国医师发出了关于吸烟的问卷 其中40000名应答，据此将他们分为吸烟组 名应答， 其中 名应答 和不吸烟组。 和不吸烟组。借助英国良好的死亡登记系统 追踪他们的结局. 追踪他们的结局
9980 + 1 9981 = = 0.997 10010 10010
18
如何评价X射线检查 如何评价 射线检查
两年内患 病否（ 病否（B） 未患癌（ 未患癌（-) 患癌(+) 患癌(+) 合计 唐氏检查法（ ） 唐氏检查法（A） + 9989 0 21 0 10010 0 合计 9989 21 10010
第二讲 分布的概率密度函数与分布函数2
2013-3-13
山东工商学院计算机学院
2013-3-13 山东工商学院计算机学院 25
【4-9】 利用函数binopdf()产生二项分布的概率密度函数，并进行显示 >> x=0:10; >> y=binopdf(x,10,0.5); >> plot(x,y,'r*')
2013-3-13
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26
0.25
【例4-4】 利用函数poisscdf()产生泊松分布的概率密
度函数，并进行显示
>> x=1:50; >> y=poisscdf(x,25); >> figure; >> plot(x,y,'r+'); >> title('泊松分布');
2013-3-13
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13
泊松分布 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
参数为lambda的泊松分布的概率密度函数值poisspdfxlambdapoisspdf参数为mkn的超几何分布的概率密度函数值hygepdfxmknhygepdf参数为p的几何分布的概率密度函数值geopdfxpgeopdf参数为np的二项分布的概率密度函数值binopdfxnpbinopdf参数为ab的韦伯分布概率密度函数值weibpdfxabweibpdf参数为b的瑞利分布概率密度函数值raylpdfxbraylpdf参数为ndelta的非中心卡方分布概率密度函数值ncx2pdfxndeltancx2pdf参数为ndelta的非中心t分布概率密度函数值nctpdfxndeltanctpdf参数为n1n2delta的非中心f分布概率密度函数值ncfpdfxn1n2deltancfpdf参数为rp的负二项式分布概率密度函数值nbinpdfxrpnbinpdf参数为musigma的对数正态分布概率密度函数值lognpdfxmusigmalognpdf分布概率密度函数值betapdfxabbetapdf分布概率密度函数值gampdfxabgampdf第一自由度为n1第二自由度为n2的f分布概率密度函数值fpdfxn1n2fpdf自由度为n的t分布概率密度函数值tpdfxntpdf自由度为n的卡方分布概率密度函数值chi2pdfxnchi2pdf参数为musigma的正态分布概率密度函数值normpdfxmusigmanormpdf参数为lambda的指数分布概率密度函数值exppdfxlambdaexppdf均匀分布离散概率密度函数值unidpdfxnunidpdfab上均匀分布连续概率密度在xx处的函数值unifpdfxabunifpdf注释调用形式函数名参数为ab的参数为ab的参数为lambda的泊松分布的累积分布函数值fxpxxpoisscdfxlambdapoisscdf参数为mkn的超几何分布的累积分布函数值hygecdfxmknhygecdf参数为p的几何分布的累积分布函数值fxpxxgeocdfxpgeocdf参数为np的二项分布的累积分布函数值fxpxxbinocdfxnpbinocdf参数为ab的韦伯分布累积分布函数值fxpxxweibcdfxabweibcdf参数为b的瑞利分布累积分布函数值fxpxxraylcdfxbraylcdf参数为ndelta的非中心卡方分布累积分布函数值ncx2cdf
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第三章 随机变量的数字特征一、 数学期望1. 离散随机变量的数学期望： 1()()iii E X x P X x ∞==⋅=∑.要求级数绝对收敛，使其和与各项的排列次序无关. 随机变量X 的数学期望表示随机变量X 的平均取值. 反例：离散随机变量X 的数学期望不存在，若其概率函数为21((1)),1,2,3,.2k k k P X k k =-==2. 连续随机变量的数学期望： ()()E X xf x dx ∞-∞=⎰，如果上述广义积分绝对收敛，即||()x f x dx ∞-∞<∞⎰.反例：连续随机变量X 的数学期望不存在，若其密度为21()(1)f x x π=+，x -∞<<∞。
3. 随机变量函数的数学期望定理3.1 设离散随机变量X 的概率分布为()i i P X x p ==(i =1,2,...),则随机变量函数()Yg X =的数学期望是1(())()i i i E g X g x p ∞==∑，如果此级数绝对收敛.定理3.2 设连续随机变量X 的概率密度为()f x ，则随机变量函数()Yg X =的数学期望是(())()()E g X g x f x dx ∞-∞=⎰，如果此广义积分绝对收敛，即|()|()g x f x dx ∞-∞<∞⎰.定理3.3 设二维连续随机变量(,)X Y 的联合概率密度为(,)f x y ，则随机变量函数(,)Zg X Y =的数学期望是((,))(,)(,)E g X Y g x y f x y dxdy ∞∞-∞-∞=⎰⎰，如果此广义积分绝对收敛. 4. 数学期望的性质（1） 常数C 的数学期望等于本身：()E C C =. （2） 11()()nni i i i i i E c X c E X ===∑∑.（3） 11()()n ni i i i E X E X ===∏∏，若12,,,n X X X 相互独立.二、方差与标准差 1. 方差的定义：随机变量X 的方差定义为：2()()D X E X EX =- 随机变量X 的方差可用来描述它的分布的分散程度； 方差越大，分散程度越大.随机变量X的标准差定义为：()X σ=对于离散随机变量，2()()()i i iD X x EX P X x =-⋅=∑；对于连续随机变量，2()()()D X x EX f x dx ∞-∞=-⎰. 2. 方差的计算公式： 22()()()D X E X EX =-.3. 方差的性质：（1） 常数C 的方差等于零：()0D C =.（2）2()()D CX C D X =. （3） ()()()D XY D X D Y +=+，若X、Y 独立。
4. 常用分布的数学期望与方差（1）二项分布),(p n B ：np X E =)(，)1()(p np X D -=；（2）几何分布)(p G ：p X E /1)(=，2/)1()(p p X D -=； （3）泊松分布)(λP ：λ=)(X E ，λ=)(X D ；（4）[,]a b 上的均匀分布（],[b a U ）：2/)()(b a X E +=，12/)()(2a b X D -=； （5）指数分布)(λe ：λ/1)(=X E ，2/1)(λ=X D ； （6）正态分布2(,)N μσ：μ=)(X E ，2)(σ=X D 。
三、协方差与相关系数1. 协方差：))]())(([(),(Y E Y X E X E Y X Cov --=. 定理3.4 cov(,)()()()X Y E XY E X E Y =-.定理3.5 cov(,)0X Y =，若随机变量X 与Y 独立。
2. 相关系数：)()(),()()()()()(),(),(****Y D X D Y X Cov Y Y E Y X X E X E Y X E Y X Cov Y X Corr ⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅-===σσ，其中*()X EX X X σ-=、*()Y EYY Y σ-=分别是X 、Y 的标准化随机变量. 定理3.6 随机变量X 与Y 的相关系数的绝对值不大于1，即1|),(|≤Y X Corr .定理3.7 1|),(|=Y X Corr 当且仅当随机变量X 与Y 之间存在线性关系. 注：相关系数刻划随机变量之间的线性相关性.定理3.8 若随机变量X 与Y 独立，则它们的相关系数等于零（此时称X与Y 线性无关或线性不相关），即0),(=Y X Corr .注：1.一般来说，线性无关只是随机变量独立的必要条件，并非充分条件.2.对于二维正态随机变量，线性无关是随机变量独立的充分必要条件.典型例题例3.1 设袋中有2个白球和3个黑球,每次从其中任取1个球,直至取到白球为止,分别就（1）不放回取球与（2）有放回取球两种情形 计算取球次数的数学期望、方差与标准差.解 设X 与Y 分别表示情形（1）与（2）的取球次数，则不难知道，X的概率分布表为：从而相应的数学期望为 ()10.420.330.240.12E X =⨯+⨯+⨯+⨯=； 又22222()10.420.330.240.15E X =⨯+⨯+⨯+⨯=， 故222()()()521D X E X EX =-=-=；()1X σ==。
而Y 的概率分布为：()1()0.60.4k P Y k -==⋅，1,2,3,k = ，即)4.0(~G Y ， 从而1() 2.50.4E Y ==；210.4() 3.750.4D Y -==；()Y σ=。
例3.2 设随机变量],0[~πU X ，求随机变量函数sin Y X =的数学期望 与方差.解 由定理3.2即知12()(sin )sin ()sin E Y E X x f x dx x dx πππ∞-∞==⋅=⋅=⎰⎰2220111()(sin )sin (1cos 2)22E Y E X x dx x dx ππππ==⋅=-=⎰⎰. 故22222148()()[()]22D Y E Y E Y πππ-=-=-=.例3.3 设二维连续随机变量(,)X Y 的联合概率密度为2,0,1;(,)0,.x y x y f x y --<<⎧=⎨⎩其它， 试求X 与Y 的相关系数。
解 由随机变量函数的数学期望的计算公式(定理3.3)即知11110000()(,)(2)(2)E X xf x y dxdy x x y dxdy xdx x y dy ∞∞-∞-∞⎡⎤==--=--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰11315(2)24312x x dx =--=-=⎰，112200()(2)E X x x y dxdy =--⎰⎰1201111(2)2244x x dx =--=-=⎰，2221511()()()412144D XE X EX ⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭； 同理可得 11()144D Y =。
又 1100()(2)E XY xy x y dxdy =--⎰⎰121111()23366x x dx -=-=-=⎰， 111)()()()()(),(-=⋅-=Y D X D Y E X E XY E Y X Corr 。
第四章 大数定律和中心极限定理一、大数定律概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定理统称为大数定律.定理 4.1（辛钦大数定律） 设独立同分布的随机变量序列12,,,,n X X X 的数学期望及方差都存在：(),i E X μ= 1,2,,,i n = ，则对任意0ε>,有:11lim (||)0ni n i P X n με→∞=-≥=∑ 定理4.2（伯努利大数定律） 在独立试验序列中，设事件A 的概率为(),P A p = 事件A 在n 次试验中发生的频率是n μ，则对任意0ε>,有:1)|(|lim =<-∞→εμp nP nn .二、中心极限定理Levy 定理 设独立同分布随机变量12,,,n X X X 存在数学期望与方差：2(),()0,1,2,,.i i E X D X i n μσ==>= 则当n →∞时，它们的和的极限分布是正态分布，即对任意实数x ，都有22lim ()n xt i n X n P x edt x μ-→∞-∞⎛⎫- ⎪⎪≤==Φ⎪⎪⎝⎭∑⎰.注：若被研究的随机变量可以表示为大量独立同分布随机变量之和，则可认为此随机变量服从正态分布。
当n 充分大时，对12x x <，有1221()()niXn P x x x x μ⎛⎫- ⎪⎪≤≤≈Φ-Φ ⎪ ⎪⎝⎭∑. De Moivre-Laplace 定理 设在独立试验序列中，事件A 在各次试验中发生的概率为p (0<p <1),随机变量n Y 表示事件A 在n 次试验中发生的次数，则对任意实数x ，都有lim ()n P x x →∞⎛⎫≤=Φ⎪⎪⎭. 注：当n 充分大时，二项分布(,)B n p 逼近正态分布(,(1))N np np p -；对任意12m m <，有()12n P m Y m ≤≤≈Φ-Φ.典型例题例4.1 设随机变量)9,4(~N X ，求： （1）(210)P X -<≤；（2）(3)P X >； （3）确定d ，使得()0.9P X d >≥。
解 （1）244104(210)()(2)(2)3332(2)120.977210.9544X P X P -----<≤=<≤=Φ-Φ-=Φ-=⨯-= （2）43411(3)()1()()(0.33)0.62933333X P X P -->=>=-Φ-=Φ≈Φ= （3）由4444()()1()()0.9(1.28)3333X d d dP X d P ---->=>=-Φ=Φ≥=Φ 得 4 1.283d-≥，故 0.16d ≤。
例4.2 某工厂有200台同类型的机器,每台机器工作时需要的电功率为Q 千瓦。
由于工艺等原因，每台机器的实际工作时间只占全部工作时间的75%，各台机器是否工作是相互独立的。
求： （1）任一时刻有144至160台机器正在工作的概率；（2）需要供应多少电功率能保证所有机器正常工作的概率大于0.99? 解 设事件A 表示机器工作，则可把200台机器是否工作视作200重贝努利试验。
设Y 表示任一时刻正在工作的机器数，则)75.0,200(~B Y .（1）由De Moivre -Laplace 中心极限定理知 )5.37,150(~N Y ，于是()144160(1.63)(0.98)0.9484(10.8365)0.7849.P Y ≤≤≈Φ-Φ=Φ-Φ-=--=（2）设任一时刻正在工作的机器数不超过m ，则题目要求()00.99.P Y m ≤≤≥即有 )5.24()5.37150()5.371500()5.37150()0(-Φ--Φ≈-Φ--Φ≈≤≤m m m Y P)33.2()5.37150(Φ≥-Φ≈m ， 故 2.33≥，164.3m ≥， 取165m =，即需要供应165Q 千瓦的电功率.第五章 描述性统计一、总体与样本研究随机现象，需要知道它的分布.这是统计的首要问题.如，为了掌握电视机的寿命分布，必须对电视机的寿命进行观测. 在统计学中，总是从研究对象中抽取部分观测以取得信息，从而对整体做推断. 称研究对象的全体为总体.代表总体的指标是一个随机变量，所以总体就是一个随机变量X . 从总体X 中抽取部分个体，称为抽样，得到n 个随机变量12,,,n X X X ，称为样本，其中n 称为样本容量。