第4章间接平差原理

T
−1
间接平差原理
ˆ X1
ˆ X2
4.解算法方程 4.解算法方程
观测值 平差值
ˆ x1 5 − 1 11 1 2 1 11 1.7 x = − 1 2 ⋅ − 7 = 9 ⋅ 1 5 ⋅ − 7 = − 2.7 ( mm) ˆ2 ˆ h1 h1 v1 1.003 1.0047 1.7 ˆ h2 = h2 + v 2 = 0.501 (m) + 2.7 ( mm) = 0.5037 (m) ˆ h h3 v3 0.503 0.5003 − 2.7 5.求改正数 5.求改正数 3 ˆ h4 h4 v 4 0.505 0.5047 − 0.3 T
B T PV = 0
P为对角阵 基础方程
ˆ V = Bx − l B T PV = 0
2011-9-23
ˆ ˆ ˆ [ paa ]x1 + [ pab]x 2 + L + [ pat ] xt = [ pal ] ˆ ˆ ˆ [ pab] x1 + [ pbb]x 2 + L + [ pbt ]xt = [ pbl ] LLLLLLL ˆ ˆ ˆ [ pat ] x1 + [ pbt ]x 2 + L + [ ptt ] xt = [ ptl ]
6
第四章 间接平差
第二节
一、参数个数的确定 参数的个数等于必要观测个数。 参数的个数等于必要观测个数。
误差方程的列立
二、参数的选取
可以选直接观测值的平差值，也可以选 可以选直接观测值的平差值， 非直接观测量的平差值， 非直接观测量的平差值，甚至二者 水准网：有已知点：等于待定点个数。 水准网：有已知点：等于待定点个数。 兼而有之。要保证参数独立 参数独立。 兼而有之。要保证参数独立。 无已知点：待定点数减1 无已知点：待定点数减1。 水准网一般选待定点高程平差值； 水准网一般选待定点高程平差值； 测角网：有四个必要的起算数据， 测角网：有四个必要的起算数据，等于 三角网和导线网选待定点坐标平差值。 三角网和导线网选待定点坐标平差值。 倍待定点数。 2倍待定点数。 三、误差方程的列立 少于四个必要起算数据， 少于四个必要起算数据，等于 方法： 方法：把观测值表示成所选参数的函数 倍总点数减4 2倍总点数减4。 水准网和GPS网一般是线性的 网一般是线性的， 测边网、边角网、导线网：有四个必要 水准网和GPS网一般是线性的，三角网 测边网、边角网、导线网： 的起算数据，等于2倍待定点数。 的起算数据，等于2倍待定点数。 和导线网一般为非线性的。 和导线网一般为非线性的。如图测 角网， 点坐标平差值为参数： 角网，选D点坐标平差值为参数： 少于四个必要起算数据， 少于四个必要起算数据，等于 ˆ ˆ Y − YD Y − YD 倍总点数减3 ˆ 2倍总点数减3。 ˆ ˆ L1 = α DB − α DA = arctan B − arctan A
L2 L L n ] V2 LVn ]
T
∧
令：
ˆ ˆ X =X +x
0
T
l = L − ( BX 0 + d ) = L − L0
ˆ ˆ X = X1
t ,1 n ,1
[
ˆ ˆ X2 LXt d2 Ldn ]
T
]
T
则有： 则有：
ˆ V = Bx − l
d = [d1
a1 b1 a b 2 2 B= n ,t L L a n bn
− ˆ x = N bb1W
ˆ x = ( B T PB ) −1 B T Pl
5.求观测值改正数 5.求观测值改正数
ˆ ˆ X = X0 +x l = L − ( BX 0 + d )
ˆ V = Bx − l
6.求平差值 6.求平差值
L = L +V,
∧
ˆ V = Bx − l
3.组成法方程 3.组成法方程
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ˆ ˆ ˆ ˆ [vv] = ( X 1 − L1 ) 2 + ( X 2 − L2 ) 2 + (− X 1 − X 2 + 180 − L3 ) 2 = min
∂[vv] ˆ ˆ ˆ = 2( X 1 − L1 ) − 2(180 − X 1 − X 2 − L3 ) = 0 ˆ ∂X 1 ∂[vv] ˆ − L ) − 2(180 − X − X − L ) = 0 ˆ ˆ = 2( X 2 2 1 2 3 ˆ ∂X 2 ˆ ˆ 2 X 1 + X 2 − 180 − L1 + L3 = 0 (1) ⇒ ˆ ˆ 基础方程 X 1 + 2 X 2 − 180 − L2 + L3 = 0 (2) ˆ (2) × 2 − (1) ⇒ 3 X − 180 + L − 2 L + L = 0
第四章 间接平差
第一节 间接平差原理
ˆ 间接平差法（参数平差法）是通过选定 v1 = x1 − ( L1 − X 10 ) 间接平差法（参数平差法） t个独立未知量作为参数，将每个观 v2 = x2 − ( L2 − X 20 ) 个独立未知量作为参数， ˆ 测值分别表达成这t个参数的函数， 测值分别表达成这t个参数的函数， v3 = − x1 − x2 − ( L3 + X 10 + X 20 − 180) ˆ ˆ 建立函数模型，按最小二乘原理， 建立函数模型，按最小二乘原理， T 用求自由极值的方法解出参数的最 要求 V PV = min X1 或然值， 或然值，从而求得各观测值的平差 值。
3
第四章 间接平差
第一节
二、计算步骤 1.确定t,选 个独立量为参数X. 1.确定t,选t个独立量为参数X. 确定t, 2.列立误差方程 2.列立误差方程 ˆ L + V = BX + d 或
ˆ 或L + V = f ( X )
间接平差原理
4.解算法方程 4.解算法方程,求参数的改正数 解算法方程,
ˆ x = ( B T PB ) −1 B T Pl
∧
对自变量X求导，令一阶导数为0 对自变量X求导，令一阶导数为0，即： 或
∂V T PV ∂V = 2V T P = V T PB = 0 ˆ ˆ ∂x ∂x
观测值和参数的平差值： 观测值和参数的平差值：
L = L +V, ˆ ˆ X = X0 + x
令： 误差方程 则有： 则有：
ˆ B T PBx − B T Pl = 0
N bb = B T PB, W = B T Pl
t ,t t ,1
则上式变为： 则上式变为：
ˆ V = Bx − l
要求： V T PV = min 要求： 令： 则有： 则有：
ˆ N bb x − W = 0
法方程
法方程的解： 法方程的解： − ˆ x = N bb1W
ˆ V = Bx − l = [1.7,2.7,−2.7,−0.3]
参数平差值
6.求平差值 6.求平差值
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ˆ ˆ X 1 X 10 x1 12.003 1 .7 12.0047 = 0 + = ˆ (m) + − 2.7 (mm) = 12.5083 ( m) ˆ X 2 X 2 x 2 12.511
ˆ XB − XD
2011-9-23
ˆ XA − XD
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第四章 间接平差
第二节 误差方程的列立
二、参数的选取 可以选直接观测值的平差值，也可以选 可以选直接观测值的平差值， 非直接观测量的平差值， 非直接观测量的平差值，甚至二者 兼而有之。要保证参数独立 参数独立。 兼而有之。要保证参数独立。 水准网一般选待定点高程平差值； 水准网一般选待定点高程平差值； 三角网和导线网选待定点坐标平差值。 三角网和导线网选待定点坐标平差值。 三、误差方程的列立 再如下图的测边网： 再如下图的测边网： 方法：把观测值表示成所选参数的函数 方法： 水准网和GPS网一般是线性的 水准网和GPS网一般是线性的，三角网 网一般是线性的， 和导线网一般为非线性的。 和导线网一般为非线性的。如图测 角网， 点坐标平差值为参数： 角网，选D点坐标平差值为参数：
平差值
ˆ ˆ X = X0 + x ∧ L = L +V
∧ ∧
平差值方程为： 平差值方程为： 令：nL1 = [L1 ,
V = [V1
n ,1
一般地：设有n个观测值 一般地：设有n ∧ ˆ L = B X+ d
n, 1 n, t t , 1 n, 1
Li + vi = ai X 1 + bi X 2 + L + t i X t + d i
ˆ ˆ X = X0 + x
7.精度评定 7.精度评定 (以后介绍) 以后介绍)
ˆ N bb x − W = 0
式中
N bb = B T PB, W = B T Pl
t ,t t ,1
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第四章 间接平差
第一节
三、例题 (P104-106) (P1041.选取 1 1.选取 P 、P2 两点高程平差值为未知 两点高程平差值 平差值为 ˆ 取其近似值: ˆ 参数 X 1 X 2 取其近似值:
X 10 = H A + h1 = 12.003(m)
0 X 2 = H C + h3 = 12.511(m)
间接平差原理
ˆ X1
ˆ X2
定权:C=2 定权:C=2
P1 = 2, P2 = 1, P3 = 1, P4 = 2
2.列立误差方程 2.列立误差方程
ˆ v1 = x1 − (h1 − X 10 + H A )
X2
先看一个确定三角形形状的例子： 先看一个确定三角形形状的例子：
ˆ ˆ L3 + v3 = 180 − X 1 − X 2 ˆ v1 = X 1 − L1 ˆ 2 − L2 v2 = X ˆ ˆ v3 = 180 − X 1 − X 2 − L3 ˆ L1 + v1 = X 1 ˆ L2 + v2 = X 2
L t1 L t2 L L L tn
ˆ L + V = BX + d
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第四章 间接平差
第一节
ˆ L + V = BX + d
间接平差原理
将基础方程第一式代入第二式，得： 将基础方程第一式代入第二式，
令：
ˆ ˆ X = X0 +x l = L − ( BX 0 + d )
2 1 2 3
平差值方程
误差方程 令：X
ˆ = X0 +x ˆ
⇒ ⇒
1 2 1 ˆ X 2 = − L1 + L2 − L3 + 60 3 3 3 2 1 1 ˆ X 1 = + L1 − L2 − L3 + 60 3 3 3
Biblioteka Baidu
参数的解
1
第四章 间接平差
第一节
∧
间接平差原理
一、间接平差原理 设有n 设有n个观测值 L ，必要观测个数为t, 必要观测个数为t,
0 − 7 l= 0 2
ˆ v 4 = x1 − (h4 − X 10 + H B )
2011-9-23
2 0 P= 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 2
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第四章 间接平差
第一节
3.组成法方程 3.组成法方程
5 − 1 N bb = B PB = − 1 2 11 W = BT Pl = − 7 ˆ 5 − 1 x1 11 ⋅ − = 0 − 1 2 x ˆ2 − 7
0 ˆ 选定t 选定t个独立参数 X 近似值取为 X ，有
2 1 1 ˆ L1 = X 1 = + L1 − L2 − L3 + 60 3 3 3 ∧ 1 2 1 ˆ L 2 = X 2 = − L1 + L2 − L3 + 60 3 3 3 ∧ 1 1 2 L 3 = − L1 − L2 + L3 + 60 观测值 3 3 3
0 ˆ ˆ v 2 = − x1 + x 2 − (h2 − X 2 + X 10 ) 0 ˆ v3 = x 2 − (h3 − X 2 + H C )
ˆ v1 = x1 − 0 ˆ ˆ v 2 = − x1 + x 2 − (−7) ˆ v3 = x 2 − 0 ˆ v 4 = x1 − 2
1 − 1 B= 0 1 0 1 1 0