34圆心角(1)课件-浙江省嘉兴市秀洲区高照实验学校浙教版九年级上册数学(共18张PPT)
浙教版数学九年级上册3.4 圆心角
3.4 圆心角一、选择题（共10小题；共50分）1. 下列说法正确的是( )A. 圆心角相等，则它们所对的弦相等B. 相等的弧所对的圆心角相等C. 相等的弦所对的圆心角相等D. 圆心角相等，它们所对的弧也相等2. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，弦BD平分∠ABC，则下列结论错误的是 ( )A. AD=DCB. AD=DCC. ∠ADB=∠ACBD. ∠DAB=∠CBA3. 如图所示，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD等于 ( )A. 100∘B. 110∘C. 120∘D. 135∘4. 如图所示，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD的度数是( )A. 100∘B. 110∘C. 120∘D. 135∘5. 如图，半圆O的直径AB=10 cm，弦AC=6 cm，AD平分∠BAC，则AD的长为 ( )A. 4√5 cmB. 3√5 cmC. 5√5 cmD. 4 cm6. 如图，在⊙O中，如果AB=2AC，那么 ( )A. AB=ACB. AB=2ACC. AB<2ACD. AB>2AC7. 已知在⊙O中，AB=2CD，则AB与CD的关系是 ( )A. AB=2CDB. AB>2CDC. AB<2CDD. 无法确定8. 如图，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE，∠COD=34∘，则∠AEO的度数是 ( )A. 51∘B. 56∘C. 68∘D. 78∘9. 如图所示，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD的度数为( )A. 105∘B. 120∘C. 135∘D. 150∘10. 已知AB，CD，是同圆的两段弧，且AB=2CD，则弦AB与2CD之间的大小关系为( )A. AB=2CDB. AB<2CDC. AB>2CDD. 不能确定二、填空题（共10小题；共50分）11. 的叫做圆心角．12. 在半径为1的圆中，长度等于√2的弦所对的圆心角是度．13. 如图所示，在⊙O中，点C是AB的中点，∠A=50∘，则AB的度数是∘．14. 如图所示，A，B是半径为3的⊙O上的两点.若∠AOB=120∘，C是AB的中点，则四边形AOBC的周长为15. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为BD的中点．若∠A=40∘，则∠B=度．16. 如图，在⊙O中，AB=CD，∠DCB=28∘，则∠ABC=度．17. 如图所示，在⊙O中，AB=BC，且AB:AC=3:4，则∠AOC=．18. 如图，AB、CD是⊙O的两条弦，如果∠AOB=∠COD，那么=．（任填一组）19. 如图，已知AB为⊙O的直径，点C为半圆上的四等分点，在直径AB所在的直线上找一点P，连接CP交⊙O于点Q（异于点P），使PQ=OQ，则∠CPO=．20. 如图，PO过圆心O，且PO平分∠BPD，OE垂直AB，OF垂直CD，则：①AB=CD；②AB=CD；③PO=PE；④BG=DG；⑤PB=PD．其中结论正确的是．（填序号）三、解答题（共5小题；共65分），弦AB的长为1 cm，求⊙O的半径．21. 如图，在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆周的1622. 如图，⊙O中的弦AB=CD，求证：AD=BC．23. 用两种方法证明：如图，已知在⊙O中，半径OA⊥OB，C是OB延长线上一点，AC交⊙O于D，求证：AD的度数是∠C的2倍．24. 如图，点A，B，C都在⊙O上，∠AOB=∠BOC=120∘．求证：△ABC是等边三角形．25. 已知：如图，A、B、C、D四点在⊙O上，且AB=CD．求证：∠AOC=∠DOB．答案第一部分1. B2. D3. C4. C5. A6. C7. C8. A9. B 10. B第二部分11. 顶点在圆心；角12. 9013. 8014. 1215. 7016. 2817. 144∘18. AB=CD等（答案不唯一）19. 15∘或30∘或100∘20. ①②④⑤第三部分21. 如图，连接OA，OB．由题意可知，AB的度数为1×360∘=60∘，6∴∠AOB=60∘．∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形．∴OA=OB=AB=1 cm．∴⊙O的半径为1 cm．22. ∵⊙O中的弦AB=CD，∴AB=CD，∴AB−BD=CD−BD，∴AD=BC，∴AD=BC．23. 证法1：连接OD．在Rt△AOC中，∠C=90∘−∠A．在△OAD中，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO．∴∠AOD=180∘−2∠A=2(90∘−∠A)．∴∠AOD=2∠C．∵∠AOD的度数等于AD的度数，∴AD的度数是∠C的2倍．证法2：延长AO交圆于点N，连接CN，交圆于点M，连接OD．∵AN⊥OC，OA=ON，∴AC=CN．∴∠A=∠N，∠ACN=2∠ACO．∴∠ACN=180∘−∠A−∠N=180∘−2∠A．∵在△OAD中，OA=OD，∴∠A=∠ADO=∠N．∴∠AOD=∠ACN=2∠ACO．又∠AOD的度数等于AD的度数，∴AD的度数是∠ACO的2倍．24. ∵点A，B，C都在⊙O上，∴∠AOB，∠BOC，∠AOC都是圆心角．∵∠AOB=∠BOC=120∘，∴∠AOC=120∘，∴∠AOB=∠BOC=∠AOC，∴AB=BC=AC，∴△ABC是等边三角形．25. ∵弦AB=CD，∴AB=CD．∴∠AOB=∠COD．∴∠AOB−∠BOC=∠COD−∠BOC，即∠AOC=∠BOD．初中数学试卷。
浙教版初中数学九年级上册 圆心角 课件 _优秀课件资料
重要提示:1.圆心角定理要注意同圆或等 圆中”这一前提2.证明圆的两条弦相等时,常考虑 证明两条弦所对的圆心角相等,或 所对的两条弧相等,两条弦所对的 弦心距相等
15、观察的领域中，机遇只有偏爱那种有准备的头脑。 2、最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。 3.人生就像是坐着公车旅行，我们可以不必在乎车会停在哪儿，要在乎的是经过的景色和看这些景色时的心情。 13. 立志高远，脚踏实地；刻苦钻研，勤学苦思；稳定心态，不馁不弃；全力以赴，夺取胜利。 8、别想一下造出大海，必须先由小河川开始。 大学励志语录大全 1、如果寒暄只是打个招呼就了事的话，那与猴子的呼叫声有什么不同呢？事实上，正确的寒暄必须在短短一句话中明显地表露出你对他的关 怀。
七、失败和挫折是暂时的，只要你勇于微笑；误解和仇恨是暂时的，只要你达观待之；赞扬和激励是暂时的，只要你不耽于梦想；烦恼和忧愁 只是暂时的，只要你不被它左右。大海茫茫，谁可争流，不拒众流方为沧海。芸芸众生，人生无常，不被艰难困苦吓倒，方显英雄本色。
5.生命只有一次，不管你怎么绽放，总会有人质疑。所以做好自己，开心就好！ 1.做错了，不必后悔，不要埋怨，世上没有完美的人。跌倒了，爬起来重新来过。不经风雨怎能见彩虹，相信下次会走得更稳。 为梦想奋斗的励志语录 7. 高三高考高目标，苦学善学上好学。 五、梦想不是一个目标，而是一种气质。人与人之间最小的差别是智商，最大的差别是坚持，与其为流逝的时光惶恐，不如结结实实地抓住分 秒。改变，从今天的努力开始！ 30.毅力是永久的享受。 26、我们的事业就是学习再学习，努力积累更多的知识，因为有了知识，社会就会有长足的进步，人类的未来幸福就在于此。 3.人生就像是坐着公车旅行，我们可以不必在乎车会停在哪儿，要在乎的是经过的景色和看这些景色时的心情。 九、别喊穷，没人给你钱；别喊累，没人会帮你做；别想哭，大家不在乎；别认输，没人希你望你赢；别靠人，只有自己最可靠；别乞求，别 人等着看笑话；别落魄，一堆人等着落井下石；别低头，地上没有黄金只有石头！越努力，越幸运。 1、一切推理都必须从观察与实验中得来。
3.4 圆心角(课件)九年级数学上册(浙教版)
件
×，在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧和劣弧分别相等
当堂检测
2、若一条弦把圆周分成2：3的两段弧，则劣弧所对圆心角的
度数是________°．
144
解：∵一条弦把圆周分成2：3的两段弧，
∴劣弧所对圆心角的度数为360°× =144°．
当堂检测
对的优弧和劣弧分别相等”。
讲授新课
要点归纳
弧、弦与圆心角关系定理的推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、
所对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量
都分别相等．
圆心角
相等
弦
相等
弧
相等Βιβλιοθήκη 弦心距相等讲授新课
典例精析
【例1】已知：如图，在⊙O中，弦AB和CD相交，连接AC、BD，
得到下面的定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的、
弦也相等.
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆
心角相等，所对的弦也相等.
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆
心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等.
∵ AB=BC=CA，
∴∠AOB =∠BOC =∠COA
1
= 360 =120 .
3
O
B
C
讲授新课
【例3】如图，AB是⊙O 的直径，
BC =CD = DE， ∠COD=35°，求∠AOE 的
度数．
E
D
解： ∵ BC =CD = DE，
C
BOC COD DOE =35 ，
75 .
不可以，如图.
浙教版九年级数学上册课件：3.4 圆心角(第1课时)
圆心角与所对弧度数之间的关系
例2 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°， ∠B＝25°，以点C为圆心，CA为半径的 圆交AB于点D，求A︵D的度数．
解析：连结CD，根据已知，可知CD＝CA， ∴∠DAC＝∠CDA. ∵∠A＝90°－∠B＝90°－25°＝65°， ∴∠DCA＝180°－2∠A＝50°， ∴A︵D的度数为50°. 反思：弧的度数等于它所对圆心角的度数， 关键是求出所对圆心角的度数．
例 ⊙O 的半径为 5，弦 AB 长也为 5，则弦 AB
所对的弧的度数为( )
A．60°
B．300°
C．60°或 300° D．不能确定
错解：A或B
正解：C
错因：圆心角所对的弧只有一条，而弦所 对的弧有两条．
变式1：如图，AD，BE，CF是⊙O的直径， 且∠AOF＝∠BOC＝∠DOE，弦AB，CD，EF相等吗？ 为什么？
答案：AB＝CD＝EF，理由略．
变式2：如图，CD是⊙O的直径，以D 为圆心，DO为半径作弧，交⊙O于点 A，B，求证＝A︵B，只需证明A︵C，B︵C，A︵B所对 的圆心角相等即可． 证明：连结AO，BO，AD，BD，则AO＝DO＝BO＝AD＝BD， ∴△AOD与△BOD均为等边三角形． ∴∠AOD＝∠BOD＝60°. ∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝120°.∴A︵C＝B︵C＝A︵B.
变式：如图，已知AB是⊙O的直径， OE⊥AB，点D是OE的中点，且CD∥AB， 求证：A︵C＝12C︵E.
答案：连结OC，CE， ∵CD∥AB，OE⊥AB ∴CD⊥OE，∵D是OE中点， ∴CE＝CO＝OE，∴△COE为正三角形， ∴∠COE＝60°，∴C︵E＝60°， ∵∠AOC＝∠AOE－∠COE＝30°， ∴A︵C＝30°，∴A︵C＝12C︵E.
3.4 圆心角(1)浙教版数学九年级上册课件
求证：OE=OF.
拓展提高
1.如图：点C为圆心，∠ACB=90°, ∠B=25°
求A⌒D的度数。
A
D 65°
C
25°
B
拓展提高
2.已知：AB为⊙O直径，AC∥OD，求证：C⌒D
=
⌒
BD
C
D
A
O
B
小结
1.圆的旋转不变性：
3.4 圆心角（一）
探究新知
圆绕圆心旋转180°后与原来的圆重合吗？ 圆是中心对称图形. 圆心就是它的对称中心.
●
O
探究新知
圆绕圆心旋转n°后与原来的圆重合吗？ 圆绕圆心旋转任意一个角度都能与原 圆重合，这种性质叫做旋转不变性
·
探究新知
·
顶点在圆心的角叫做圆心角.
讲解新知 判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
练习2：
已知:如图，AB、CD是⊙O的两条直径，请找出图 中各对相等的劣弧，并说明理由。
C
A
O·
B
D
例题分析 例1、用直尺和圆规把⊙O四等分．
你会用直尺和圆规把⊙O三等分吗?
讲解新课 如果以⊙O为圆心O为端点作360条 射线，把以O为顶点的周角360等分， 那么根据圆心角定理，这些射线也 把圆360等分.
1°圆心角所对的弧叫做1°的弧. n°的圆心角所对的弧就是n°的弧.
性质:弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
弧＝m圆心角
例题分析
例2：如图, ⊙O的直径垂直于弦CD，AB、CD相交于点
E，∠COD=1000，求B⌒C，A⌒D的度数。
A
3.4.1 圆心角 浙教版数学九年级上册课件
B
课堂小结
圆的对称性
轴对称性
垂径定理
垂径逆定理
中心对称性
定义：弧的度数
旋转不变性
圆心角定理
圆心角逆定理
下 课！
课后作业：
博雅:作业本（2）1-6
明志:作业本（2）1-5
选做：请利用圆的等分
制作一幅美丽的图案.
⌒ ⌒
则AB和BC的度数分别为（
B ）.
A. 45°，35°
B. 45°，110°
C. 60°，110°
D. 45°，70°
O
C
A
B
小结：
求弧的度数时，只要求出这段弧所对的圆心角的度数.
进阶挑战
例1: 用直尺和圆规把⊙Ｏ四等分．
A
C
ＯDBiblioteka 想一想:不限工具，你还能把圆五等分吗？
六等分吗？
小结：将圆作n等分的方法？
如图：在圆O中，已知圆心角∠AOB和圆心角∠COD
相等. 探索两个相等的圆心角所对的两段弧、两条弦
之间有什么关系？
A
⌒ ⌒
猜想：AB=CD ，AB=CD .
B
o
C
D
证明猜想
问题：如何用数学语言证明这个猜想呢？
已知：如图，在圆中，∠＝∠.
= .
求证： = ，
A
B
o
3.4（1）圆心角
浙教版数学九年级上册
合作探究
圆绕圆心旋转180°后仍与原来的圆重合.
A
180
°
所以圆是中心对称图形.
圆心就是它的对称中心.
探索性质
把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形和
原图形重合.
N'
3.4.2 圆心角 浙教版数学九年级上册课件
同理，△COD是等边三角形．
∴OB=OC=BD=CD，即四边形BDCO是菱形．
已知等边三角形ABC的边长为2 3，求它的外C，并延长AO交BC于点D.
∵AB=BC=AC，
∴∠AOB=∠COB=∠AOC=120°.
∵OB=OC，
∴OD⊥BC，
长AO，分别交BC于点P，交弧BC于点D．连结BD,CD．判断
四边形BDCO是哪一种特殊的平行四边形，并给出证明．
解 四边形BDCO是菱形.证明如下：
∵AB=BC=CA，
∴∠AOB=∠BOC=∠COA=120°．
（圆心角定理）
∴∠BOD=180°-∠AOB
=180°-120°=60°．
又∵OB=OD，
两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量
都分别相等吗？
结论
在同圆或等圆中，如果两个圆心
角、两条弧、两条弦、两个弦心
距中有一对量相等，那么它们所
对应的其余各对量都相等.
几何语言：
如图，∵ ∠AOB=∠COD，
∴ AB=CD，OE=OF，AB=CD．
例3 如图，等边三角形ABC内接于⊙O，连结OA,OB,OC，延
∴2CD>AB.
小结
圆心角
在同圆或等圆中,如果
①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,
④两条弦心距中,
有一组量相等,那么它们所对应的其余各
组量都分别相等.
探索证明圆心角定理的推论并能应用
1.如图，在⊙O中，若点C是 的中点，
∠A＝50°， 则∠BOC＝(
) A
A.40° B.45° C.50° D.60°
，CD⊥OA于D
，CE⊥OB于E，求证：AD＝BE.
圆心角(共19张)课件(浙教版)
练一练
2、判断： （1）等弦所对的弧相等。
（× ）
（2）等弧所对的弦相等。 （ √ ） （3）圆心角相等，所对的弦相等。( × ） （4）弦相等，所对的圆心角相等。（×） × （5）在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等（ ）
3.已知：如图，在⊙Ｏ中，弦AB＝CD．
求证：AD＝BC
Ｂ
Ｄ Ｃ
Ｏ·
Ａ
AD＝BC
M、N，且AM=BN。求证：CD=EF
证明：连结OA、OB，设分别与CD、EF交于点F、G
∵A为CD中点，B为EF中点 ∴OA⊥CD，OB⊥EF
故பைடு நூலகம்AFC=∠BGE=90°①
又由OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA ②
且AM=BN
③
∴△AFM≌△BGN（SAS） ∴AF=BG ∴OF=OG
F
G
∴DC=EF
2.
圆的对称性
圆的轴对称性 （圆是轴对称图形）
垂径定理 及其推论
圆的中心对称性 （旋转不变性）
圆心角定理
圆心角定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所
对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
条件
结论
在同圆或等圆中
圆心角所对的弧相等
如果圆心角相等 那么 圆心角所对的弦相等
圆心角所对的弦的弦心距相等
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、
两条弦或两条弦的弦心距中有一对量相等，那么它们
所对应的其余各对量都分别相等。
在同圆或等圆中 如果弧相等
那么
弧所对的圆心角相等 弧所对的弦相等 弧所对的弦的弦心距相等
弦所对的圆心角相等
在同圆或等圆中 如果弦相等
那么
弦所对的弧（指劣弧）相等 弦的弦心距相等
3.4 圆心角 课件（1）2021-2022学年浙教版九年级数学上册
已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB、
CD的弦心距.
（1）∵ A⌒B=C⌒D
∴ ∠AOB=∠COD AB=CD OE=.OF
(2) ∵ OE＝OF ∴ ∠AOB=∠COD AB=CD
A⌒B=C⌒.D
(3) ∵ AB＝CD ∴ ∠AOB=∠COD
⌒⌒ OE=OF AB=.CD
A
C
E
所对的 弦相等
所对的弦心距 相等
2.证明两条弦，弧，两个圆心角相等的常用方法
已知AB和CD是⊙O的两条弦，OE和OF分别是AB和CD的弦 心距，如果AB＞CD,那么OE和OF有什么关系？为什么？
AC
E •O
F D
B
A B
o C
D
A B
o
C
D
A B
o
C
D
A B
o
C
D
A B
o
C
D
A B
o
C
M
N
则有
⌒⌒
BD=CE
？
联想到“角平分线的性质”，作弦心距OM、ON，
要证
⌒ BD=
⌒ CE
，
只需证OM=ON
4. 如图，已知点O是∠BAC 的平分线上一点，求证：
AB=AC
N
作OM AB , ON AC, M
垂足为M，N
5.如图，已知点O是∠BAC 的平分线上一点 A点在圆内，EB=CD 吗？
Ａ
为_1_2_0__0 ,_1_2_0_0_,1200
(2)若⊙O的半径为r,则等边△
ABC三角形的边长为____3_r__
Ｏ
Ｂ
P
Ｃ
当 r=2 时,则等边△ ABC的边长为 2 3 .
数学：《圆周角》第一课时课件(浙教版九年级上)(共22张PPT)
数学：《圆周角》第一课时课件（浙教版九年级上）
（共22 张PPT）
数学：《圆周角》第一课时课件（浙教版九年级上）
数学来源于生活
生活中处处有数学
3.4 圆周角（一）OAB 角的两边都和圆相交。
1、请说出的定义
顶点在圆心的角叫圆心角。
2、若∠AOB=80°，
①求弧AB 的度数；C80°
②延长AO 交⊙O 于点C，连结CB，则∠ACB 也是一个与圆有关的角.圆周角顶点在圆上，圆心角找一找你认识的新朋友：圆周角。
找一找:找出图中的圆周角.画一画请画出弧AB 所对的圆周角
若按圆心O 与这个圆周角的位置关系
来分类,我们可以分成几类？ABOCABOCABOC⑶⑴⑵找出这条弧AB 所对的圆心角
圆心在角上
圆心在角内
圆心在角外
如图,观察同一条弧所对的圆周角∠ACB 与圆心角∠AOB,
猜想它们的大小有什幺关系?
圆周角定理：
一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。
【精】2019-2020学年度最新浙教版数学九年级上册教学课件：3.4 圆心角-PPT课件
你能将⊙Ｏ二等分吗？
用直尺和圆规把⊙Ｏ四等分．
作法： １、作⊙Ｏ的直径ＡＢ。 ２、过点Ｏ作ＣＤ⊥ＡＢ，交⊙Ｏ于点Ｃ和 点 Ｄ。 点Ａ分吗？
提问：
把360度的圆心角360等分，每一等分的圆心角是多少度？
n 度弧
B
若∠AOB=900 ，则A⌒B
mA
= 900
f z d x y
如图：已知AB，CD是⊙O的两条直径， ⌒⌒
弦DE∥ AB，请说明CB=BE的理由。
小结：今天你学到了有关圆的哪些知识？
n O1
1度弧
我们把10的圆心角所对的弧叫做10的弧。 所以，n0的圆心角所对的弧叫做n0度的弧。
判断题： （1）等弧的度数相等（ ）；
（2）圆心角相等所对应的弧相等（ ）； （3）两条弧的长度相等，则这两条弧所对应的圆心角相等（ ）
在 多 年 的 高 三 复 习 备 考 中 ， 老 师 认 为 以 下 六 句 话 可 作 引 导 学 生 科 和 应 基 本 指 南 。 这 就 是 ： 础 决 定 能 力 ； 过 程 结 果 细 节 成 败 心 态 状 度 落 实 一 切 毫 无 疑 问 ， 高 考 复 习 的 主 要 目 就 是 回 归 基 础 巩 固 夯 实 。 没 有 能 力 中 每 一 道 题 查 都 离 不 开 可 谓 成 也 败 分 拿 下 来 总 法 上 去 为 此 对 知 识 足 够 重 视 和 耐 心 急 功 近 利 往 自 多 次 测 试 过 程 决 定 结 果 些 学 生 因 平 时 或 间 投 入 所 以 到 了 出 后 才 感 紧 张 备 事 个 系 统 天 、 节 课 部 如 在 某 方 面 话 必 然 会 产 良 只 调 控 期 待 好 里 说 细 指 现 性 错 误 精品精品
九级数学上册3.4.1圆心角定理课件新浙教版精品
9．(8 分)如图所示，AB，CD，EF 都是⊙O 的直径，且∠1 ＝∠2＝∠3，判断⊙O 的弦 AC，BE，DF 的大小关系，并说明 理由．
解：AC＝BE＝DF.理由如下：∵∠1＝∠2＝∠3，∠1＝∠ AOC，∠2＝∠BOE，∠3＝∠DOF，∴∠AOC＝∠BOE＝∠DOF. ∴AC＝BE＝DF(在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等)．
3．(4 分)如图所示，MN 为⊙O 的弦，∠M＝45°，则∠MON 等于 ( D )
A．50° B．65° C．80° D．90°
4．(4 分)如图所示，点 O 是两个同心圆的圆心，大圆的半径 OA，OB 分别
交小圆于 C，D 两点，则下列结论中正确的是 ( C )
A.A︵B＝C︵D B．AB＝CD
求证：(1)A︵D＝2E︵D； (2)D 是 AC 的中点．
证明：(1)连结 BD.∵∠A＝60°，BA＝BD，∴∠ABD＝60°，即A︵D的度 数为 60°.∵∠ABC＝90°，∴∠DBE＝30°，即E︵D的度数为 30°，∴A︵D＝2E︵D. (2)∵∠C＝180°－∠A－∠ABC＝30°，∴∠DBC＝∠C，∴DC＝DB.由(1)得 △ABD 为等边三角形，∴DB＝AD，∴DC＝AD，即 D 为 AC 的中点．
求证：CD＝CE.
证明：∵OA＝OB，AD＝BE，∴OA－AD＝OB－BE，即 OD＝OE.在△ODC
和△OEC 中，O∠DA＝OOC＝E，∠BOC，∴△ODC≌△OEC(SAS)．∴CD＝CE. OC＝OC，
16．(10 分)如图所示，在△ABC 中，∠B＝90°，∠A＝60°，以点 B 为圆 心，AB 为半径画圆，交 AC 于点 D，交 BC 于点 E.
ห้องสมุดไป่ตู้
10．(8 分)如图所示，D，E 分别是⊙O 的半径 OA，OB 上的 点，CD⊥OA，CE⊥OB，CD＝CE，判断A︵C与B︵C的大小关系，并 说明理由．
浙教版数学九年级上册3.4 圆心角(一).docx
3.4 圆心角（一）1.如图，点O 为圆心，∠AOB ＝20°，将AB ︵旋转n °得到CD ︵，则CD ︵的度数为(A)(第1题)A. 20°B. 40°C. 60°D. 80°2.已知弦AB 把圆周分成1∶5的两部分，则弦AB 所对应的圆心角的度数为(C) A. 30° B. 30°或150° C. 60° D. 60°或300°(第3题)3.如图，点C 在以AB 为直径的半圆O 上，∠BAC ＝20°，则∠BOC 等于(C) A. 20° B. 30° C. 40° D. 50°4.如图，在⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点M ，若∠AOD ＝140°，则BC ︵的度数为(C)A. 20°B. 30°C. 40°D. 50°(第4题) (第5题)5.如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝25°，以点C 为圆心，BC 长为半径的圆交AB 于点D ，交AC 于点E ，则BD ︵的度数为50° .6.如图，O 为等腰三角形ABC 的底边AB 的中点，以AB 为直径的半圆分别交AC ，BC 于点D ，E .求证：AD ︵＝BE ︵.(第6题)【解】 连结OD ，OE . ∵AC ＝BC ，∴∠A ＝∠B. ∵OA ＝OD ＝OE ＝OB ， ∴∠ODA ＝∠A ＝∠B ＝∠OE B. ∴∠AOD ＝∠BOE . ∴AD ︵＝BE ︵.(第7题)7.如图，已知AB 是⊙O 的直径，OE ⊥AB ，D 是OE 的中点，且CD ∥A B.求证：AC ︵＝12CE ︵. 【解】 连结OC ，CE . ∵CD ∥AB ，OE ⊥AB ， ∴CD ⊥OE .又∵D 是OE 的中点， ∴CE ＝CO ＝OE ， ∴△COE 为正三角形， ∴∠COE ＝60°，∴CE ︵＝60°. ∵∠AOC ＝∠AOE －∠COE ＝30°， ∴AC ︵＝30°.∴AC ︵＝12CE ︵.8.把一张圆形纸片按如图所示的方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则BC ︵的度数是(C)(第8题)A. 120°B. 135°C. 150°D. 165°(第8题解)【解】 如解图，连结BO ，过点O 作OF ⊥AB 于点E ，交AB ︵于点F . 易得OF ＝OB ，EO ＝EF ＝12OF ， ∴EO ＝12O B. ∴∠EBO ＝30°.∵AB ∥CD ，∴∠BOD ＝∠EBO ＝30°. ∴∠BOC ＝150°，即BC ︵的度数是150°.9.如图，在⊙O 中，C 是AB ︵的中点，点D ，E 分别在半径OA 和OB 上，且AD ＝BE .求证：CD ＝CE .(第9题) (第9题解)【解】 如解图，连结O C. 在⊙O 中，∵C 是AB ︵的中点， ∴∠AOC ＝∠BO C.∵OA ＝OB ，AD ＝BE ，∴OD ＝OE . 在△COD 与△COE 中，∵⎩⎨⎧OC ＝OC ，∠COD ＝∠COE ，OD ＝OE ，∴△COD ≌△COE (SAS ).∴CD ＝CE .10.如图，∠AOB ＝90°，C ，D 是AB ︵的三等分点，AB 分别交OC ，OD 于点E ，F .求证：AE ＝C D.(第10题) (第10题解)【解】 如解图，连结A C.∵∠AOB ＝90°，C ，D 是AB ︵的三等分点， ∴∠AOC ＝∠COD ＝30°，∴AC ＝C D. 又∵OA ＝OC ，∴∠ACE ＝180°－30°2＝75°.∵∠AOB ＝90°，OA ＝OB ，∴∠OAB ＝45°， ∴∠AEC ＝∠AOC ＋∠OAB ＝75°， ∴∠ACE ＝∠AEC ，∴AE ＝AC ， ∴AE ＝C D.(第11题)11.如图，P 为⊙O 的直径EF 延长线上的一点，PA 交⊙O 于点B ，A ，PC 交⊙O 于点D ，C ，∠1＝∠2.求证：PB ＝P D.【解】 连结OB ，OD ，过点O 作OM ⊥AP 于点M ，ON ⊥CP 于点N ，则∠OMP ＝∠ONP ＝90°. 又∵∠1＝∠2，OP ＝OP ， ∴△OMP ≌△ONP (AAS ). ∴MP ＝NP ，OM ＝ON .∴MB ＝OB 2－OM 2＝OD 2－ON 2＝N D. ∴MP －MB ＝NP －ND ，即PB ＝P D.12.如图，A ，B 是⊙O 上的两点，∠AOB ＝120°，C 是AB ︵的中点，连结A B.(1)求证：AB 平分∠OA C.(2)延长OA 至点P ，使得OA ＝AP ，连结P C.若⊙O 的半径R ＝1，求PC 的长.(第12题)【解】 (1)连结O C.∵∠AOB ＝120°，C 是AB ︵的中点， ∴∠AOC ＝∠BOC ＝60°. 又∵OA ＝OC ，∴△ACO 是等边三角形，∴OA ＝A C. 同理，OB ＝BC ，∴OA ＝AC ＝BC ＝OB ， ∴四边形AOBC 是菱形， ∴AB 平分∠OA C. (2)由(1)知OA ＝AC ，又∵OA ＝AP ，∴AP ＝AC ＝OA ， ∴∠PCO ＝90°.∴PC ＝OP 2－OC 2＝ 3.初中数学试卷鼎尚图文**整理制作。
秋浙教版九年级数学上3.4圆周角课件ppt
是
不是
不是
不是
不是
圆周角 顶点在圆周上,它的两边都和圆相交, 这样的角叫圆周角.
同弧所对的圆心角与圆周角 之间有怎样的关系呢？
C
O
A
B
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
已知： ∠BAC，∠BOC分别是B⌒C所对的圆周角与圆心角
求证： ∠ABC = 1 ∠AOC.
2
A
A
O.
C
（1）
∠ACB=___3_5__°____
O.
70°
C
A
B
• P77 课内练习1,2
2.如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上任一点， 求∠BAC的度数.
A
E
A
B
O
C
B
●O
C
F
3.如图,圆周角∠BAC =90º,弦BC经过圆心O吗?为什么?
推论１： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径。
D
100°
C
2.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，
已知∠AOC=45°，则∠B=_2_2_._5_°__, ∠A=_6_2_._5_°____; ∠ACB=_9_0_°____
B
D
C
O.
100°
O.
A C
85°
A
BE
3.如图，四边形ABCD内接于⊙O ， ∠A=85°,
∠D=100°,点E在AB的延长线上，求∠C, ∠CBE的度数.
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
O A
1、请说出圆心角的定义
C
顶点在圆心的角叫圆心角。
2019年浙教版九年级数学上册3.4(1)圆心角课件
条件：
B
AOB= COD
猜想：
⌒ AB=
C⌒D，
AB=CD
o
证明：
C
D
探索：在同一个圆中，两个相等的圆心角所对的两条
弧、两条弦之间都有什么关系。 A
条件：
B
AOB= COD
猜想：
⌒ AB=
C⌒D，
AB=CD
o
证明：
C
D
探索：在同一个圆中，两个相等的圆心角所对的两条
在同圆或等圆中，
相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
【注意】：
A B
1.去掉“在同圆或等圆中”结论不一定成
立。
o
C
O
D
2 .要证弧（弦）相等，只需证它们所对的圆心角相等。
A
B
C
D
应用新知：
圆心角定理
例 已知：如图,∠1=∠2.求证：AC=BD.
证明：∵ ∠ 1= ∠ 2
∴DC=BA（ 圆心角定理）
弧、两条弦之间都有什么关系。 A
条件：
B
AOB= COD
猜想：
⌒ AB=
C⌒D，
AB=CD
o
证明：
C
D
探索：在同一个圆中，两个相等的圆心角所对的两条
弧、两条弦之间都有什么关系。 A
条件：
B
AOB= COD
猜想：
⌒ AB=
C⌒D，
AB=CD
o
证明：
C
D
探索：在同一个圆中，两个相等的圆心角所对的两条
定义：弧的度数
我们把1º的圆心角所对的弧叫做1º的弧.
弧、两条弦之间都有什么关系。 A
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3.4 圆心角（第1课时）
学习目标
1.经历探索圆的中心对称性和旋转不变性的过程. 2.理解圆心角的概念，并掌握“在同圆或等圆中，相等的圆心 角所对的弧相等，所对的弦也相等”的定理（圆心角定理）. 3.体验利用旋转来研究圆的性质的思想方法.
重点与难点
本节学习的重点是圆心角定理. 根据圆的旋转不变性推出圆心角定理，需用到图 形的旋转，是本节学习的难点.
已知：如图，在⊙O中，∠AOB=∠COD，OE是弦AB的弦心距， OF是弦CD的弦心距. 求证：OE=OF. 证明 ：∵∠AOB=∠COD，∴AB=CD（圆心角定理）. ∵OE⊥AB，
∴AE=DF. 又∵OA=OD，∴Rt△AOE≌Rt△DOF，
∴OE=OF.
课内练习
1.如图，AB，CD是⊙O的两条直径，找出图中各对相等的弧(半圆 和优弧除外)，并说明理由．
O
B
C
2.任意画两个半径不相等的圆，然后在每一个圆上任意取一段90° 的弧．这两段弧的度数相等吗？能说这两段弧相等吗？为什么？
解：度数相等，但不能说这两段弧相等，因为这两段弧不能重合．
典例精讲
例1用直尺和圆规把⊙O(如图)四等分．
典例精讲
例2 求证：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等.
叫弦心距 , 图中OM为AB弦的弦心距。
B
M
O
A
合作探究
判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由．
①
②
③
④
合作探究
已知两个圆心角相等，探索这两个圆心角所对两
段弧、两段弦之间有什么关系？
Ｂ Ａ
圆心角定理 : 在同圆或等圆中，相等的圆 心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
Ｏ
数学表示：若∠ＡＯＢ=ＣＯＤ,
课堂测评
2.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E，∠COD＝100°．
求
的度数．
解： 的度数为50°， 的度数为130°．
课堂测评
3．任意画一个圆，用量角器把它三等分．
解：将周角分为3个120 °
课堂测评
4．观察如图的图案，画法中运用了圆的几等分？请利 用圆的等分制作一幅美丽的图案． 解：六等分．
则ＡＢ=ＣＤ;ＡＢ=ＣＤ.
Ｃ Ｄ
合作Байду номын сангаас究
问题：如果把圆360等分，最小的圆心角多少度？ 1 °的弧 : 1 °的圆心角所对的弧叫做的1 °的弧。
合作探究
1.如图，在⊙O中，∠AOB=135°，求AB，ACB 的度数．
解： AB的度数=135°，
A
ACB的度数=360°- 135 ° =225°．
合作探究
圆是轴对称图形，那是不是中心对称图形呢？请将图中的圆旋 转任意角度，观察旋转后的圆是否原来的图形重合？
（注意观察红色的圆和白色形状的对比运动）
圆是中心对称图形，圆具有旋转不变性.
合作探究
顶点在圆心的角,叫圆心角，如A O B , 圆心角 AOB 所对的弧为 AB，
所对的弦为AB； 过点O作弦AB的垂线, 垂足为M,则 垂线段OM的长度,即圆心到弦的距离，
解：
．
理由：相等的圆心角所对的弧相等．
课堂练习
2.如图，等边三角形ABC内接于⊙O.求AB，BC，AC的度数．
A
解：∵ △ABC为等边三角形，
∴ AB=AC=BC，
∴ AB=BC=AC，
O
又∵ AB+BC+AC=360°，
B
C
∴ AB=BC=AC=120°．
课堂小结
课堂测评
1．已知：如图，A，B，C，D是⊙O上的点，∠1＝∠2． 求证：AC＝BD． 证明： ∵ ∠1＝∠2， ∴ ∠1＋∠BOC＝∠BOC＋∠2， 即 ∠AOC＝∠BOD． ∴ AC＝BD．