一类耦合系统的最优控制解的存在性证明

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最优控制习题及参考问题详解

标准文档1 2f最优控制习题及参考答案习题 1 求通过 x (0) = 1 ， x (1) = 2 ，使下列性能指标为极值的曲线：t f J = ∫(x2 +1)dt t 0解：由已知条件知： t 0 = 0 ， t f = 1d由欧拉方程得： (2x ) = 0dtx = C 1x = C 1t + C 2将 x (0) = 1，x (1) = 2 代入，有：C 2 = 1，C 1 = 1得极值轨线： x *(t ) = t +1习题 2 求性能指标： J = ∫ 1(x 2 +1)dt在边界条件 x (0) = 0 ， x (1) 是自由情况下的极值曲线。

解：由上题得： x *(t ) = C t + C由 x (0) = 0 得： C 2 = 0∂L由∂xt =t f= 2x (t f ) = 2C 1 t =t = 0 t于是： x *(t ) = 0【分析讨论】对于任意的 x (0) = x 0 ，x (1) 自由。

2 0 1∫⎩ λ = −λ有： C = x ， C = 0 ，即： x *(t ) = x 其几何意义： x (1) 自由意味着终点在虚线上任意点。

习题 3 已知系统的状态方程为： x1 (t ) = x2 (t ) ， x 2 (t ) = u (t )边界条件为： x 1 (0) = x 2 (0) = 1 ， x 1 (3) = x 2 (3) = 0 ，31 试求使性能指标 J =u 2(t )dt 2取极小值的最优控制 u *(t ) 以及最优轨线 x *(t ) 。

⎡ x ⎤解：由已知条件知： f = ⎢ 2⎥⎢⎣ u ⎥⎦Hamiton 函数： H = L + λT f H = 1u 2 + λ x + λ u⎧λ = 0由协态方程： ⎨ 12 121 22⎧λ = C① 得： ⎨11⎩λ2 = −C 1t + C 2②∂H由控制方程： ∂u= u + λ2 = 0得： u = −λ2 = C 1t − C 2 ③由状态方程： x 2 = u = C 1t − C 2得： x (t ) = 1C t 2− C t + C④22 由状态方程： x 1 = x 21 2 3得： x (t ) = 1C t 3− 1C t 2+ C t + C⑤16 122 3 41 ∫⎪⎩=−=−⎡1⎤ ⎡0⎤将 x (0) = ⎪ ⎪ ， x (3) = ⎪0⎪ 代入④，⑤,⎣1⎦ ⎣ ⎦10联立解得： C 1 =由③、④、⑤式得：u * (t ) = 10t − 29 ， C 2 = 2 ， C 3 = C 4 = 1 9x *(t ) = 5 t 3 −t 2 + t +127 x *(t ) = 5 t 2 − 2t +1 29习题 4 已知系统状态方程及初始条件为x =u ， x (0) = 1试确定最优控制使下列性能指标取极小值。

最优控制特点

切换一次，设切换
2t
时间为ts，则令
0
为了求出ts，必须
首先找出状态在
1
平面上的转移轨线。
0
1
ts
tf
t
t
由则：
设u=1，则
其中
如图(a)所示，为一组抛物线，当K=0时经过原点[pos]
X2 s
0
t
p
若u=-1，则
X2 N
o
X1
T u=-1
为一组抛物线，如图(b)，当K1=0时过原点[NOT]
j =1，2…r
u 最优控制 *(t)是使
为极小，则：
＋１－１不定
u*(t) +1
-1
奇异
t
可见：当当
时，时，
有确定值，正常情况不定，奇异情况
我们仅研究正常情况
u*(t)写成符号函数sgn{ }形式
则
j =1，2…r
向量形式：u*(t)=-sgn{q*(t)}
=-sgn{
}
⑶根据规范方程：
在证明过程中：
与H得符号与这里所定义的相反。
∴所以有的文献中也称为“极大值原理”。 3、H对u没有可微要求，因此应用拓宽。 4、极小值原来是求取最优控制的必要条件，非充分条件。即：满足极小值原理不一定J取极小值,需进一步判断。
一般:对于实际系统
有最优解
有唯一解
最优解
三、几种边界条件得讨论：
上面所讨论的是
控制向量约束条件: 末端状态：
g：p ×1维函数向量
目标函数：
: 自由
问题：寻求最优控制u*(t)，使系统由初态到终态，目标函数J 为最小
❖ 步骤：应用最小值原理进行问题的求解

化工仪表自动化第8章_先进控制系统介绍!!

9
8.1.3软测量模型建立
建模方法有机理建模、经验建模及两者结合等方法。
机理建模是从内在物理和化学规律出发，通过物料平衡、能量平衡和动量平衡建立模型。可充分利用过程知识，依据过程机理，有较大的适用范围。经验建模是通过实测或依据积累的操作数据，采用数学回归方法或神经网络等方法得到经验模型。软测量模型选择时，还应考虑模型的复杂性，以及在实际系统硬件、软件平台的可实现性。静态线性模型实施成本较小，神经网络模型所需计算资源较多。
2
先进过程控制(APC，Advanced Process Control)技术，是指不同于常规PID，具有比常规PID控制更好控制效果的控制策略的统称。
先进控制的任务，用来处理那些采用常规控制效果不好，甚至无法控制的复杂工业过程控制问题。
3
8.1软测量技术
过程控制中有时需对一些与产品质量相关的变量进行实时控制和优化，这些变量往往是密度、浓度、干度等质量变量，由于技术或经济原因，很难通过传感器进行测量。
预测模型加反馈校正过程，使预测控制具有很强的抗扰动和克服系统不确定性的能力。
27
(3)滚动优化
预测控制是一种优化控制算法，通过某一性能指标的最优化来确定未来的控制作用。
采用滚动式的有限时域优化策略。即优化过程不是一次离线完成的，而是反复在线进行的，在每一采样时刻，优化性能指标只涉及从该时刻起到未来有限时间，而到下一个采样时刻，这一优化时段会同时向前推移。
第8章先进控制系统介绍
3 1 2 3 4 3 5 6
软测量技术
时滞补偿控制解耦控制
预测控制
自适应控制
模糊控制
1
第8章先进控制系统
8.0 概述

耦合Schrodinger方程组解的存在性

相互作用时，面附近的垂直环流的演变是非线性锋
Ｓｈｏｉｇｒ程控制的，呈孤力波状态．ｃｒｄｎｅ方即
本文我们研究非线性重力波相互作用下所满足
的耦合Ｓｈｏｉｇｒ方程组周期解的存在性．ｃｒｄｎｅ
密度．
气的发生与发展．
在实际天气过程中，现在飑线、涌、陆台发冷登
风、面气旋及低空急流等许多系统中Байду номын сангаас，有大振幅锋都
中尺度重力波出现，们与暴风雨有着密切联系．他在过去的研究中发现，线性重力内波的波振非
Ｓｅｐ．２８００
耦合Ｓｈｏｉｇｒｃｒｄｎｅ方程组解的存在性
杨莉，伟灿周
（京信息工程大学数理学院，京南南摘２０４）１０４
要：究了由垂直切变的基本流场中尺度非线性重力内波波包演变得到的大气非线性重力波相互作用的耦合研
（）１
特别在具有垂直风切变的条件下，能转化与扰动动
动能更有利于重力波产生与发展，而促使对流天从
其中Ｐ和丁别为相对于纬向平均的扰动气压和分
温度，一ｇｃ绝热递减率，为温度场的递减），／为率，，分别为ｚｚ方向上的风速，为静态大气的 “ ，

跳-扩散模型下保险公司的博弈问题

跳-扩散模型下保险公司的博弈问题孔祥宇;荣喜民【摘要】本文研究跳-扩散模型下的具有再保险业务的保险公司非零和博弈问题.假定金融市场可供保险公司投资的金融工具有两种:一种无风险资产(如债券)和一种风险资产(如股票).保险公司可购买比例再保险,同时再保险公司以期望保费原则收取再保险保费,进而建立描述保险公司盈余过程的跳-扩散模型.以两家保险公司终端财富相对差值绩效最大化为目标,建立了两家保险公司的相对绩效最优的HJB方程.通过博弈理论和随机动态规划的方法,证明两家保险公司竞争纳什均衡解的存在性,并给出了纳什均衡耦合系统的隐式解.在特定的保险公司竞争关系下,对两家保险公司之间的最优投资和再保险策略进行分析,分析了模型参数对最优投资策略的影响,并给出相应的经济解释.%In this paper,we combine a jump-diffusion model and the game theory,considering a non-zero reinsurance game between two insurance companies under a jump-diffusion model. We assume that there are one risk-free assets(such as bonds)and one kind of risky assets(such as stock)available for insurance companies to invest. At the same time,this paper considers the optimal reinsurance problem with proportional reinsurance which is assumed to be calculated via the expected premium principle. We establish the Hamilton-Jacobi-Bellman equations under the goal of maximizing the utility of the difference between the two insurance companies' terminal surplus,which is modeled by jump-diffusion risk process. We also prove the existence of Nash equilibrium between the two companies by applying the method of game theory and the stochastic dynamic programming principle,and give a Nash equilibrium strategy. Insome special cases, the influences of economic variables on our optimal strategies are demonstrated and some economic explanations are given accordingly.【期刊名称】《工程数学学报》【年(卷),期】2018(035)001【总页数】15页(P1-15)【关键词】再保险;跳-扩散;Hamilton-Jacobi-Bellman方程;随机微分博弈【作者】孔祥宇;荣喜民【作者单位】天津大学理学院,天津300350;天津大学理学院,天津300350【正文语种】中文【中图分类】F224;F8401 引言最优再保险策略的研究是近年来风险管理中非常热门的研究问题．继Bühlmann[1]关于最优投资和再保险的著作发表之后，有很多文献都研究了不同风险模型下的最优投资和最优再保险问题．Browne[2]在索赔为带漂移的布朗运动，风险资产为几何布朗运动的模型下，得到了破产概率最小和终端财富期望效用最大化的最优策略．Liu和Ma[3]在一般的保险风险模型下研究了最优再保险、投资和消费问题．Yang和Zhang[4]分析跳-扩散模型，即风险过程是带有标准布朗运动扰动的复合泊松过程，得到了终端财富指数期望效用最大化的组合投资问题的最优策略．Liang等[5]在跳-扩散风险模型和扩散逼近模型下，研究了期望效用最大化的最优比例再保险问题，得到了最优再保险策略．Højgaard和Taksar[6]考虑当保险公司将盈余分别投资到一个风险资产和一个无风险资产时，以期望累积分红折现最大为目标函数的最优投资，最优再保险以及最优分红策略．Kaluszka[7]研究了均值方差模型下的最优再保险策略．Schmidli[8]研究了扩散模型下使保险公司破产概率最小化的最优比例再保险策略．Hald和Schmidli[9]研究了方差保费原则下的破产概率调节系数最大化的最优再保险策略．上述文献均仅考虑了单一公司的投资和再保险问题，然而现实生活中不同的公司之间是存在着竞争关系的．有许多文献研究了带有博弈的投资和再保险问题．Golubin[10]在静态模型下，研究了帕累托最优保险决策．Suijs等[11]给出了在随机支付情况下保险和再保险的之间的协作博弈．Browne[12]研究了带有单一支付函数的投资者之间的零和的随机微分博弈．Zeng[13]在零和随机微分博弈下，找到了一个在两个竞争的再保险公司之间的纳什均衡解．Bensoussan等[14]在扩散逼近下，研究了带有投资(包括风险资产和无风险资产)和再保险的随机微分博弈问题．Meng等[15]研究了非线性风险下的两个有再保险业务的保险公司博弈．现阶段有关投资和再保险的博弈问题的研究还处于初步发展阶段，多数是在扩散的风险模型下研究投资和再保险的博弈问题，鲜见基于跳-扩散模型的投资再保险研究．虽然现有的文献中有许多基于跳-扩散模型的投资再保险最优控制研究，也有许多考虑了带有投资和再保险业务的保险公司之间的博弈，但基于跳-扩散模型下的多家保险公司最优投资和再保险博弈的研究还比较少见．主要原因是计算上比较复杂，且很难得到解析解．Jin等[16]在跳-扩散模型下给出了带有机制转换和微分博弈的最优再保险策略的数值解．本文在跳-扩散模型下，研究具有投资和再保险业务的保险公司之间的博弈问题．2 模型建立假设两家保险公司的盈余过程如下其中xk为初始盈余，pk是保费率，Ck(t)代表直到时间t的累积索赔，第k个保险公司的索赔如下其中索赔是正的独立同分布的随机变量，其分布为Fk(z)，均值为µk=E[Zk]．假设第k个保险公司矩母函数Mk(r)=EerZk存在，且当0<r<ζ时，，当0<ζ≤+∞时，．{Ck(t),k=1,2}是复合泊松过程，是索赔的计数过程，并且与索赔相互独立．在现实生活中，两家竞争的保险公司应该存在着交叉的业务，比如两家公司都涉及同一地区的财产保险，当地震来临时，两家公司会同时发生索赔．当然也存在各自独立的业务，所以索赔计数过程,k=1,2可表示为其中Nk(t)与N(t)分别表示第k家保险公司的独立业务和交叉业务，是强度为λk和λ的相互独立的泊松过程．为了有效的降低风险，假设第k个保险公司以qk∈[0,1]比例的自留额进行再保险，表示第k个保险公司的比例再保险策略集合，也就是说，对于索赔Zk，保险公司支付qkZk，再保险公司支付(1−qk)Zk．用g(qk)表示再保险公司的保费率，则第k个保险公司的剩余保费率为pk−g(qk)．假设保险公司可以动态的改变策略qk={qk(t)}t≥0，也就是说，自留额水平可以连续的调整．同时，假设再保险公司的保费率是按照期望保费原则进行计算的，即其中ηk>0是第k个保险公司再保险的安全载荷，uk=(λ+λk)E[Zk]．除了再保险外，保险公司还把它所有的盈余投入一个具有无风险资产(债券或银行存款)和风险资产(股票或者基金)的金融市场中．无风险资产的价格过程为其中r>0是无风险利率．风险资产的价格过程{S(t)}t≥0满足下面的随机微分方程其中a>r，a和σ是正的常数，分别代表风险资产瞬时期望收益率和风险资产价格过程的波动率．{W(t)}t≥0是布朗运动．用bk(t)表示第k个保险公司在时间t投入风险资产的总额，表示第k个保险公司的投资策略集合．表示第k个保险公司在以自留额水平qk购买再保险，且投资风险资产总额为bk的情况下的盈余过程，用表示第k个保险公司的策略的集合．保险公司把总的盈余除了投入风险资产外，剩余的全部投入无风险资产．因此，保险公司的盈余过程为类似于文献[14,17]，假设第k个保险公司的目标是在终端时刻T∈(0,∞)时相对于竞争者的绩效的期望效用最大化，即其中mk∈{1,2},κk∈[0,1],k=1,2为第k个保险公司对于竞争者绩效的敏感度．本文假设效用函数Uk为指数效用，即其中常数绝对风险厌恶(CARA)参数为υk．问题(8)可以转化为如下博弈问题：博弈问题：寻找纳什均衡策略满足3 问题的一般解本节，我们寻找纳什均衡的再保险和投资策略．当k,m∈{1,2}且km时，令定义价值函数定义算子由文献[18]知，如果价值函数，那么满足下面的Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程如果纳什均衡解存在，则有和满足如下的HJB方程且满足边值条件其中类似于文献[14]，有如下验证定理．定理1 定义，如果对于常数L>0，满足二次增长条件并且满足(13)和(14)，那么是纳什均衡解，同时设价值的形式为其中hk(t)是待求的函数并且满足hk(T)=0，有当t<T,k,m∈{1,2}且km时，将(17)代入到(13)中，可以得到对bk求偏导数，可以得到纳什均衡解满足所以最优解为这与文献[14]的结果相一致．其中．由于是连续拟凹的，策略集是非空有界闭凸集，根据纳什均衡的存在性定理知，纳什均衡解存在，且满足如下方程组从(24)不难看出依赖于安全载荷η1,η2，索赔分布和计数泊松过程．由于策略，所以最终的纳什均衡策略为下面耦合系统的解其中是M1,M2的反函数．把代入到(18)，得因为边值条件满足hk(T)=0，通过积分可得所以价值函数为耦合系统(25)解的存在性显然，而唯一性是很难证明的，另外，也很难得到显示解．下面我们介绍两种特殊的模型来简化问题，从而得到显示解．4 特殊问题4.1 两家保险公司完全不相关假设两家保险公司之间业务不存在交叉部分，完全不相关．比如两家保险公司无论从保险类型还是保险的区域都不一样.此时，索赔计数过程满足条件即N(t)≡0．此时的纳什均衡策略满足条件从而得到最终的纳什均衡策略为定理2 在如上符号条件下，方程解存在唯一，即解存在唯一．证明类似于文献[5]，因为其中．所以方程(32)右侧为下凸增函数，而方程左侧为常数，同时时，，所以方程(32)存在唯一解且恒为正数．方程(32)的解为令．纳什均衡解和最优价值函数有如下几种情形．情形1 当tk>T时，即ϱk<υk或者等价的时，纳什均衡解情形2 当0<tk<T时，即υk<ϱk<υkerT或者等价的时，纳什均衡解为情形3 当tk<0时，即ϱk>υkerT或者等价的时，纳什均衡解为同(28)一样，价值函数为由三种情形的解的形式可以看出，当安全载荷高的时候，也就是再保险贵的时候，对应的自留额水平也提高了．这是很好解释的，因为当再保险很贵的时候，保险公司就宁愿自己多承担风险从而减少再保险的购买比例．4.2 两家保险公司完全相关假设两家保险公司之间业务完全一样，属于完全竞争的状态．两家保险公司无论从保险类型还是保险的区域等都一样．此时，它们的累积索赔Ck(t)满足如下条件也就是两家保险公司的索赔过程是完全一样的．此时最优的投资策略为对应的最优的再保险策略满足下列方程组同4.1节一样，可以证明(42)存在唯一解且恒为正数，同时满足下列方程同时定义设t1,t2满足，当t1>t2时，纳什均衡策略如下．类似的可以求得当t1<t2时的最优策略，在此不再赘述．情形1 当t1>t2>T时，纳什均衡再保险策略为情形2 当t1>T>t2>0时，纳什均衡再保险策略为情形3 当t1>T>0>t2时，纳什均衡再保险策略为情形4 当T>t1>t2>0时，纳什均衡再保险策略为情形5 当T>t1>0>t2时，纳什均衡再保险策略为情形6 当T>0>t1>t2时，纳什均衡再保险策略为价值函数为其中由解的上述六种情形可以看出，与上一小节一样，也是越贵的再保险对应越高的自留额水平．但是不同的是，由于两家保险公司存在着相关性，互相受对方再保险策略的影响，本节中的解形式更为复杂，再保险策略相互依赖．4.3 结果说明与对比首先，对比两种情况下的再保险策略．当两家保险公司完全不相关时，显然，由公式(30)可以看出最优的再保险策略是完全不相关的，这也与事实相符合．当两家保险公司不存在任何竞争关系时，一家保险公司的再保险策略肯定对另外一家保险公司不造成任何影响．当两家保险公司完全相关时，由公式(41)可以看出两家保险公司的策略是相互影响的．也就是说，当存在竞争时，两家保险公司都要依据对方的策略从而选择自己的再保险策略．其次，对比两种情况下的投资策略．由公式(31)和(40)可以看出两种情况下，最优的投资策略是相同的．也就是说风险资产投资策略和保险的公司累积索赔过程是相互独立的，索赔过程是完全不影响风险资产的投资策略．5 数值算例假设索赔服从参数为αk的指数分布，即Z1∼exp(α1),Z2∼exp(α2)．因此可以得出5.1 两家保险公司完全不相关当两家再保险公司完全不相关时，将(47)代入(30)得纳什均衡解满足解得显然此时两家再保险公司的纳什均衡再保险策略是不相关的，这也与假设相符合．取α1=1,T=10,r=0.3,υ1=0.2，可以得到再保险比例与时间和安全载荷之间的关系，如图1所示．图1:再保险比例与时间和安全载荷的关系从图1可以看出自留额水平是关于安全载荷和时间的增函数．这很好解释，因为当保费收取的高的时候，保险公司显然想要自己承担更多的索赔从而换取高收益．而随着时间的增加，保险公司的初始盈余增大，所以保险公司也更乐于冒险选择大的自留额．下面分析风险资产瞬时期望收益率a>r和风险资产价格过程的波动率σ对最优的投资策略的影响．取κ1=0.7,κ2=0.5,T=4,r=0.3,υ1=0.1,υ2=0.3，由公式(31)，其相应的影响关系，如图2和图3所示．图2:波动率对投资的影响，a=0.4图3:瞬时期望收益率对投资的影响，σ=0.4观察图2和图3可以看出，随着时间接近T，风险资产的投资增大．图2说明随着风险资产波动率的增大，投资者会降低风险资产的投资．图3说明随着风险资产瞬时期望收益率的增加，投资者会增加风险资产的投资．这些都与投资者规避风险和期望更大的收益相一致．考虑保险公司对竞争者的绩效敏感度κ对最优投资策略的影响．取T=4,r=0.3,υ1=0.1,υ2=0.3,a=0.4,σ=0.4，其相应的影响关系，如图4和图5所示．图4:κ1对的影响，κ2=0.5图5:κ2对的影响，κ1=0.7由图4和图5可以看出，当保险公司对其竞争者的绩效敏感度越大的时候，它所对应的风险投资就越大，这也与实际相符合．因为，当保险公司越在乎他的竞争者的时候，他就会冒大的风险试图打败竞争者．当两家保险公司完全不相关时，解的形式几乎与文献[5]在跳-扩散风险模型下只考虑单一保险公司的解相同．然而最大的不同是在投资策略上，可以看出上述投资策略是和与它竞争的保险公司的投资策略和对竞争对手的敏感度息息相关的．5.2 两家保险公司完全相关当两家保险公司的业务完全相关时，由4.2节可知，最优的投资策略同5.1节一样，故而在此我们只讨论最优的再保险策略．把公式(44)代入到(36)，得取代入Dk到4.2节的六种情形，得到最优的再保险自留额与相对绩效敏感度关系，如图6和图7所示．图6:κ1对的影响，κ2=0.5图7:κ2对的影响，κ1=0.7可以看出，当相对绩效敏感度越高的时候，也就是对竞争对手越重视的时候，就对应着大的自留额，也就是意味着大的风险．也就是说，当保险公司想要与保险业务完全相关的公司进行竞争时，竞争压力越大，就越要进行冒险．当两家保险公司完全相关时，再保险策略与文献[14]参数的影响相一致，但是对比文献[14]中解(5.13)与本文解公式(50)，发现具体的解的形式有很大的不同．6 结论本文主要研究跳-扩散模型下的具有再保险业务的保险公司非零和博弈问题．在盈余服从跳-扩散过程情况下，建立了两家具有再保险业务的保险公司相对绩效最优的HJB方程，研究了它们的最优的纳什均衡策略．最后对完全相关和完全不相关的两家再保险公司的投资和再保险进行数值分析，得到了时间t、安全载荷η、风险资产波动率σ和期望收益率a以及相对绩效敏感对κ对最优自留额q∗和风险投资b∗的影响．另外本文还没有解决一般情形相关问题的解析解，将在今后进一步研究．参考文献：[1]B¨uhlmann H.Mathematical Methods in RiskTheory[M].Berlin:Springer,1970[2]Browne S.Optimal investment policies for a firm with a random risk process:exponential utility and minimizing the probability ofruin[J].Mathematics of Operations Research,1995,20(4):937-958[3]Liu Y P,Ma J.Optimal reinsurance/investment problems for general insurance models[J].The Annals of Applied Probability,2009,19(4):1495-1528[4]Yang H,Zhang 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Insurance,2006,73(3):469-487[11]Suijs J,Waegenaere A D,Borm P.Stochastic cooperative games in insurance and reinsurance[J].Insurance:Mathematics and Economics,1998,22(3):209-228[12]Browne S.Stochastic differential portfolio games[J].Journal of Applied Probability,2000,37(1):126-147[13]Zeng X.Stochastic differential reinsurance games[J].Journal of Applied Probability,2010,47(2):335-349[14]Bensoussan A,Chi C S,Yam S C P,et al.A class of non-zero-sum stochastic differential investment and reinsurancegames[J].Automatica,2014,50(8):2025-2037[15]Meng H,Li S,Jin Z.A reinsurance game between two insurance companies with nonlinear risk processes[J].Insurance:Mathematics and Economics,2015,62:91-97[16]Jin Z,Yin G,Wu F.Optimal reinsurance strategies in regime-switching jump diffusion models:stochastic differential game formulation and numerical methods[J].Insurance:Mathematics andEconomics,2013,53(3):733-746[17]Espinosa G E,Touzi N.Optimal investment under relative performance concerns[J].Mathematical Finance,2013,25(2):221-257[18]Fleming W H,Soner H M.Controlled Markov Processes and Viscosity Solutions[M].New York:Springer,1993。

(工业过程控制)10.解耦控制

动态解耦
在系统运行过程中，通过动态调整控制参数或策略，实现耦合的实时解耦。
解耦控制的方法与策略
状态反馈解耦
通过引入状态反馈控制器，对系统状态进行实时监测和调整，实现解
耦。
输入/输出解耦
通过合理设计输入和输出信号，降低变量之间
的耦合程度。
参数优化解耦
通过对系统参数进行优化调整，改善耦合状况，实现更好的解耦效果。
通过线性化模型，利用线性控制理论设计控制器，实现系统解耦。
非线性解耦控制
针对非线性系统，采用非线性控制方法，如滑模控制、反步法等，实现系统解耦。
状态反馈与动态补偿解耦控制
状态反馈解耦控制
通过状态反馈技术，将系统状态反馈到控制器中，实现系统解耦。
动态补偿解耦控制
通过动态补偿器对系统进行补偿，消除耦合项，实现系统解耦。
特点
解耦控制能够简化系统分析和设计过程，提高系统的可维护性和可扩展性，同时降低系统各部分之间的相互影响，增强系统的鲁棒性。
解耦控制的重要性
01
02
03
提高系统性能
通过解耦控制，可以减小系统各部分之间的相互干扰，提高系统的整体性能。
简化系统设计
解耦控制能够将复杂的系统分解为若干个独立的子系统，简化系统的分析和设计过程。
调试和维护困难
耦合问题增加了系统调试和维护的难度，提高了运营成本。
解耦控制在工业过程控制中的实施
建立数学模型
01
对工业过程进行数学建模，明确各变量之间的耦合关系。
选择合适的解耦策略
02
根据耦合程度和系统特性，选择合适的解耦策略，如状态反馈、
输出反馈等。
控制器设计
03

最优控制试题答案(在职研究生班)2

广西工学院在职研究生班课程《最优控制》参考答案一、简答题1、系统数学模型、边界条件与目标集、容许控制、性能指标。

2、积分型性能指标，末值型性能指标，综合型性能指标3、控制向量不受约束，且是时间的连续函数。

4、控制向量受到约束，哈密顿函数对控制向量的偏导不存在时。

5、状态调节器问题；输出调节器问题；跟踪问题。

6、不论初始状态和初始决策如何，当把其中的任何一级和状态再作为初始级和初始状态时，其余的决策对此必定也是一个最优控制。

二、计算题（70分）1、解本题 t f 固定，末态自由。

由题意 ∙+=21x L欧拉方程2=-=∂∂-∂∂∙∙∙x L dtd xL x解得 ()21c t c t x += 由边界条件及横截条件021==∂∂∙=∙x xLf t解得 c1=0 ,c2=0 故所求极值曲线为 ()0=*t x2、解本题是求解最短曲线问题，可以将性能指标设定为曲线长度函数的积分，当该指标为最小时，所得的曲线即为最短曲线。

根据几何知识，在直角坐标系中弧线元的长度表示为dtdx dt ds x21)()(22∙+=+=设性能指标为 dt J tftox⎰∙+=21由题意可知，tf 固定，末态固定，21xL ∙+=，由欧拉方程0=∂∂-∂∂∙xL dtd xL ，22c x=∙（常量）解得 x(t)=ct+d根据边界条件，可得c=1,d=0,故所求曲线为：()t t x =*3、解本题为定常系统，tf 固定，末端自由，末值型指标，控制受约束的最后控制问题，可采用极小值原理求解。

由题意知，性能指标为末值型的，即 [])1()1(2)(22x x tf x +=ϕ 令哈密顿函数 H=1211)(x u x λλ++-协态方程022=∂∂-=∙x H λ，2c =λ2112111,c e c x H t+=-=∂∂-=∙λλλλ，横截条件()()1,1211=+=-t e t t λλ 求出 c1=e 1-t +1,c2=1,则有()()1,1211=+=-t e t t λλ极值条件 u ⎩⎨⎧<>-==*0,10,1)sgn()(111λλλt因为()111+=-t e t λ>0,t []1,0∈,故可确定 10,1)(<≤-=*t t u4、解根据性能指标的形式，可知本题是线性二次型问题，且是有限时间状态调节器问题。

哈工大现代控制理论基础第十一章最优控制

11.1.1 最优控制问题的两个例子
[例1] 飞船的月球软着陆问题。如图所示，飞船靠其发动机产生一个与月球重力方向相反的推力，使得飞船到月球表面时速度为零，即实现软着陆。要求设计推力函数，使得发动机燃料消耗最少。
月球
[解]
设飞船的质量为，其高度和垂直速度分别为和，月球的重力加速度为常数，飞船的自身质量及所带燃料分别为和。
其中，目标集可表示为性能指标可表示为其中和为连续可导的标量函数。
11.2 应用变分法求解无约束条件的最优控制问题
11.2.1 泛函与变分
一. 泛函与泛函算子
所谓泛函，简单地说就是函数的函数，定义如下：
设
为给定的某类函数，如果对于这类函数中的
每一个函数，有某个数与之相对应，则称为这类
哈工大现代控制理论基础第十一章最优控制
2020年4月24日星期五
11.1 最优控制问题的一般提法
最优控制研究的主要问题：根据已建立的被控对象的数学模型，选择一个容许控制律，使得被控对象按照预定的规律运动，并使某一个性能指标达到最大或最小。
从数学的观点来看，最优控制问题是求解一类带有约束条件的泛函极值问题，属于变分学范畴。
经典的变分法只能解决控制无约束的问题，即容许控制属于开集的一类最优控制问题。然而，工程中的控制常常是有约束的，即容许控制是属于闭集的。为了解决这个问题， 20世纪50年代，美国学者贝尔曼和苏联科学院院士庞德里亚金分别独立地拓展了经典变分法，分别给出了动态规划方法和极大值原理。它们构成了最优控制的理论基础。
证明略
泛函变分的规则泛函的变分是一种线性映射，满足下列性质：
1 2 3 4

最优控制课后习题答案

最优控制课后习题答案最优控制课后习题答案最优控制是现代控制理论中的重要分支，它研究如何在给定约束条件下，使系统的性能指标达到最优。

在最优控制的学习过程中，课后习题是巩固理论知识、培养解决问题能力的重要环节。

本文将为大家提供一些最优控制课后习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。

1. 线性二次型最优控制问题考虑一个线性时不变系统，其状态方程和性能指标分别为：$$\begin{align*}\dot{x}(t) &= Ax(t) + Bu(t) \\J(u) &= \int_{0}^{T} (x^T(t)Qx(t) + u^T(t)Ru(t))dt\end{align*}$$其中，$x(t)$为系统的状态向量，$u(t)$为控制输入向量，$A$和$B$为系统矩阵，$Q$和$R$为正定矩阵，$T$为最优控制的时间段。

求解该问题的最优控制输入$u^*(t)$。

答案：根据最优控制的原理，最优控制输入$u^*(t)$满足以下的最优性条件：$$\begin{align*}\frac{\partial J}{\partial u}(u^*(t)) &= 2R u^*(t) + 2B^T P(t)x(t) = 0 \\\dot{P}(t) &= -PA - A^T P - Q + PBR^{-1}B^T P\end{align*}$$其中，$P(t)$为状态向量的共轭变量矩阵。

通过求解上述的代数方程和微分方程，可以得到最优控制输入$u^*(t)$和状态向量的共轭变量矩阵$P(t)$。

2. 非线性最优控制问题考虑一个非线性系统，其状态方程和性能指标分别为：$$\begin{align*}\dot{x}(t) &= f(x(t), u(t)) \\J(u) &= \int_{0}^{T} g(x(t), u(t)) dt\end{align*}$$其中，$f(x(t), u(t))$为非线性函数，$g(x(t), u(t))$为性能指标函数。

一类泛函方程解的存在唯一性及其性质

３泛函方程解的存在性及其性质
定理３１设ｑ，Ｓ×Ｄ—Ｒ，Ｔ，，Ｓ．，：ｊＬ： ×Ｄ— ｓ，ｊ（）。ａｂ满足下列条件：若， ∈ 和，
（１ｍｘＩ（，），（），ｑｓ））（ｌＩ，Ｖ（） ×Ｄ；６）ａ｛ “ ｚＩ１，ｆｌ（，Ｊ≤ 『１ｃ）， ∈Ｓ
设（ｆ．ｆ）（ｆ）实值ＢｎｃＸ，『和ｙ，『．ｆ是ｆＩａａｈ空间，Ｘ是状态空间，ｙ是决策空间．Ｂ（ＳＤＢＳ）表示将Ｓ上的有界子集映为有界集的全体实值映射．然ＢＳ在Ｒ上对于通常的加法与数乘构成显Ｂ（）
第３５卷第２期
２１０２年６月
辽宁师范大学学报（自然科学版）
ＪｕｎｌｆＬｉｏｉｇＮｏｍａｉｅｓｔ（ｔｒｌｃｅｃｉｉｎｏｒａｏａｎｎｒｌＵｎｖｒｉＮａｕａｉｎｅＥｄｔｏ）ｙＳ
Ｖｏ．５Ｎｏ２１３．
Ｊｎ２１ｕ．０２
文章编号：００１３（０２０ — １００１０ —７５２１）２０５ —４
一
类泛函方程解的存在唯一性及其性质
沈洁，陶雁敏，曹天水，李丹
（宁师范大学数学学院，宁大连辽辽１６２）１０９
ｄ（）Ｏ一∞．．｝∈ 是Ｃｕｈ＾ｚ，一，｛２ Ⅳ ２ａｃｙ列当且仅当Ｖｋ ∈Ｎ，，一 ∞时，＾ｚ，）．当ｍｄ（一０下面给出两个引理，明极其简单，因而省略．证弓理１１设口ｂＣｄＩ．，，， ∈Ｒ，０ｏｔ口，｝ｏｔＣｄ） ≤ ｍａ｛ｎＩｌ一Ｉ．贝ｐ｛ｂ－ｐ｛，ＩｘＩ —ｃ，６ｆ）

最优控制理论

5
电气与自动化工程学院
School of Electrical Engineering and Automation
二、最优控制的发展简史第二次世界大战以后发展起来的自动调节原理，对设计与分析单输入单输出的线性定常系统是有效的；然而近代航空及空间技术的发展对控制精度提出了很高的耍求，并且被控制的对象是多输入多输出的，参数是时变的。面临这些新的情况．建立在传递函数基础上的自动调节原理就日益显出它的局限性来。这种局限性首先表现在对于时变系统，传递函数根本无法定义，对多输入多输出系统从传递函数概念得出的工程结论往往难于应用。由于工程技术的需要，以状态空间概念为基础的最优控制理论渐渐发展起来。最优控制理论是现代控制理论的核心， 20世纪50年代发展起来的，已形成系统的理论。
最优控制理论
© 2008 HFUT
9
电气与自动化工程学院
School of Electrical Engineering and Automation
三、研究最优控制的方法从数学方面看，最优控制问题就是求解一类带有约束条件的泛函极值问题，因此这是一个变分学的问题：然而变分理论只是解决容许控制属于开集的一类最优控制问题，而在工程实践中还常遇到容许控制属于闭集的一类最优控制问题，这就要求人们研究新方法。
1.3 最优控制问题的提法
f ( x,u, t ) 系统状态方程为 x
问题6-2 对于问题6-1中的直流他励电动机，如果电动机从初始 ) I D (t )是时刻 t0 0 的静止状态转过一个角度又停下，求控制 I D (t（受到限制的），使得所需时间最短。这也是一个最优控制问题：
系统方程为
0 1 0 1 x1 0 x K m I D 1 TF x J 2 0 0 x2 D JD x1 (0) 0 x1 (t f ) 初始状态 x ( 0) 0 末值状态 2 x (t ) 0

线性系统时间最优控制的存在性和唯一性

线性系统时间最优控制的存在性和唯一性王思江 08070110242贵州大学理学院信计1.内容介绍:最优控制理论是现代控制理论中最早发展起来的分支之一。

所谓控制就是人们用某种方法和手段去影响事件及其运动的进程和轨道，使之朝着有利于控制主体的方向发展。

对于一个给定的受控系统，常常要求找到这样的控制函数，使得在它的作用下，系统从一个状态转移到为设计者希望的另一个状态，且使得系统的某种性能尽可能好。

通常称这种控制问题为最优控制问题。

最优控制理论主要讨论求解最优控制问题的方法和理论，包括最优控制的存在性、唯一性和最优控制应满足的必要条件等。

最优控制理论始于20世纪50年代末，其主要标志是前苏联数学家庞特里亚金等提出的“最大值原理”。

最优控制理论在工矿企业、交通运输、电力工业、国防工业和国民经济管理等部门有着广泛的应用。

2.问题:控制系统000()()()()(),()(2.1)()ad x t A t x t B t u t t t x t x u U=+>⎧⎪=⎨⎪⋅∈⎩其中01():[,]n n A t t R ⨯⋅→,01():[,]n m B t t R ⨯⋅→.初始状态0x 是nR 中给定的点.控制区域U 是mR 中有界闭集,ad U 表示取值于U 的可积函数全体.12()((),(),,())T n n x t x t x t x t R =∈ 表示控制系统的状态变量, 12()((),(),,())T m m u t u t u t u t R =∈ 表示控制系统的控制变量.假定以下基本条件成立：()[0,;],()[0,;]:[0,)2[0,),()n n n n mloc loc R A L R B L R L M Hausdorff t M t ρ∞⨯∞⨯⎧⋅∈+∞⋅∈+∞⎪⎪+∞→⎨⎪∀∈+∞⎪⎩是关于度量连续的多值函数对是非空紧集. 对于00,[1,)t T p ≤<<+∞∈+∞,记00[,]{:[,]()}u t T u t T U u =→⋅可测, 00[,+{:[,+()}u t u t U u ∞=∞→⋅））可测, 00[,][0,](,;)p p m u t T u T L t T R = ,000[,)[,)(,;)p p m loc u t u t L t R +∞=+∞+∞ ,0000(,;){:[,)()[,],}p m m p loc L t R u t R u L t T T t +∞=+∞→⋅∈∀>.000(,)[0,)n t x R t t ∀∈+∞⨯≥对以及,能达集00()(;,)t t t x ℜ=ℜ是凸紧的.假设{()()}(2.2)t t M t t ≥ℜ≠∅ ,表示从00(,)t x 到目标()M ⋅是能控的.定义00000(())(();,)inf{(;,,())()}J u J u t x t t y t t x u M t ⋅=⋅=≥⋅∈,即00(();,)J u t x ⋅是轨线00(;,,())y t t x u ⋅首次遇到()M ⋅的时间. 规定inf ∅=+∞.问题(TC):对于00(,)[0,)n t x R ∀∈+∞⨯,假设条件0{()()}t t M t t ≥ℜ≠∅ 成立.寻找控制*()[0,)u t u ∈+∞使得*0000()[0,)(();,)inf(();,)u u J u t x J u t x ⋅∈+∞⋅=⋅（2.3）.而*00()[0,)=inf(();,)u u t J u t x ⋅∈+∞⋅—最优时间.满足（2.3）的控制*()[0,)u u ⋅∈+∞称为最优时间控制.2.最优控制的存在性和唯一性的证明:首先,我们叙述以下引理．引理（3.1）设L 以及（2.2）成立,则最优时间*0inf{()()}t t t M t =≥⋅ℜ≠∅ .下面我们不加证明的给出与最优控制的存在性有关的一系列定理.定理（3.2）设L 以及（2.2）成立,则问题(TC)至少存在一个时间最优控制*()u ⋅,且最有时间*t 满足*0min{()()}t t t M t =≥⋅ℜ≠∅ .定理（3.3）设L 以及（2.2）成立,0(0)x M ∉,*t 是问题(TC)的最优时间,则****[()][()]()()M t t M t t ∂∂ℜ=ℜ≠∅ .定理（3.4）设L 以及（2.2）成立,0(0)x M ∉,则最优时间*t 是以下函数在[0,)+∞上的最小零点001()()inf{max ,(,0)max ,(,)()}tz M t u UF t t x z t s B s u ds λλλ=∈∈=〈Φ->+〈Φ>⎰.进一步,如果01λ=,满足****0000()max ,(,0)max ,(,)()0t u Uz M t t x z t s B s u ds λλ∈∈〈Φ->+〈Φ>=⎰, 则最优控制*()u ⋅满足以下最大值条件****00max ,(,)(),(,)()()..[0,](3.1)u Ut s B s u t s B s u s a e s t λλ∈〈Φ〉=〈Φ〉∈,而***(,())x x t u ≡⋅满足如下横截条件()**0,0,()3.2z x z M t λ〈-〉≥∀∈.其中Φ是方程组()()()xt A t x t =的转移矩阵。

一类算子方程最小最大耦合拟解的存在性

N x =ห้องสมุดไป่ตู้A ( x , x)
( P)
在巴拿赫空间中的耦合拟解的存在性 ,其中 N 为一非线性
算子. 本文在文[ 3 ] 的基础上 ,进一步讨论了方程 ( P) 在巴
拿赫空间中的最小最大耦合拟解的存在性.
设 E 为一实巴拿赫空间 , P 为 E 中的锥 “, ≤”是 P
诱导的偏序. 现在 ,我们定义 E ×E 上的范数
( 3) 如果 N x1 ≤N x2 , Πx1 , x2 ∈D0 ,则有 x1 ≤x2 ; ( 4) G( D) 中的任一全序子集是相对弱紧的 , 其中 G( x, y) > (λI + T) - 1 [λA ( x, y) + T u ] 且 u = N x , Π ( x , y)
中图分类号 :O177
文献标识码 :A
文章编号 :167121785 (2008) 12 - 0019 - 02
2003 年 ,冯育强等[1 ] 讨论了算子方程 N x = A x 在完
备度量空间和巴拿赫空间 (Ba nach sp ace) 中的可解性. 另外 ,段华贵等[2] 讨论了算子方程 x = A ( x , x) 的耦合拟解问题. 作者利用半序的方法 ,研究以下一类算子方程[3]
(i) H 为锥 P 诱导的偏序上的单增算子 ; (ii) 方程 H ( x , y) = B( x, y) 有解 ( x3 , y3 ) Ζ ( x3 , y3 ) 为
方程 N x = G( x, y) 的耦合解 ;
(iii ) 方程 H ( x, y) = B ( x , y) 的最小解为方程 N x = G ( x, x) 的最小最大耦合解.

江西理工大学自动控制原理试题库(含答案)

为(
)。 A、 B、 C、 D、与是否为单位反馈系统有关 4、非单位负反馈系统，其前向通道传递函数为G(S)，反馈通道传递函数为H(S)，当输入信号为R(S)，则从输入端定义的误差E(S)为 ( ) A、 B、 C、 D、 5、已知下列负反馈系统的开环传递函数，应画零度根轨迹的是 ( )。 A、 B 、 C 、 D、 6、闭环系统的动态性能主要取决于开环对数幅频特性的： A、低频段 B、开环增益 C、高频段 D、中频段 7、已知单位反馈系统的开环传递函数为，当输入信号是时，系统的稳态误差是( ) A、 0 ； B、 ∞ ； C、 10 ； D、 20 8、关于系统零极点位置对系统性能的影响，下列观点中正确的是( ) A 、如果闭环极点全部位于S左半平面，则系统一定是稳定的。稳定性与闭环零点位置无关； B、如果闭环系统无零点，且闭环极点均为负实数极点，则时间响应一定是衰减振荡的； C 、超调量仅取决于闭环复数主导极点的衰减率，与其它零极点位置无关； D、如果系统有开环极点处于S右半平面，则系统不稳定。所示，其中，输入信号为单位斜坡函数，求系统的稳态误差(8分)。分析能否通过调节增益，使稳态误差小于 0.2 (8分)。一 G(s) R(s) C(s) 图1
三、(16分)已知系统的结构如图1
，前向通道传递函数为，若采用测速负反馈，试画出以为参变量的根轨迹(10分)，并讨论大小对系统性能的影响(6分)。图2 H (s) 一 G(s) R(s) C(s)
四、(16分)设负反馈系统如图2
五、已知系统开环传递函数为均大于0
，试用奈奎斯特稳定判据判断系统稳定性。 (16分) ［第五题、第六题可任选其一］
二、选择题（每题 2 分，共20分）
1、采用负反馈形式连接后，则 ( ) A、一定能使闭环系统稳定； B、系统动态性能一定会提高； C、一定能使干扰引起的误差逐渐减小，最后完全消除； D、需要调整系统的结构参数，才能改善系统性能。

一类非线性耦合Schrodinger方程组解的存在唯一性

维普资讯
第３卷第３３期
２０年６月０７
兰
州
理
工
大
学
学
报
Ｖ０３Ｌ３Ｎ０３．
ＪｕｎｌｆａｚｏｉｒｉｆｅｈｏｏｙｏｒａｎｈｕＵｎｖｓｙｏｃｎｌｇｏＬｅｔＴ
Ａｂｔａｔｓｒｃ：Ｔｈｉｉｌｖｌｅａｄｂｕｄｒ－ａｕｒｂｅｆｌｓｆｃｕｌｄｎｎｉｅｒＳｈｏｉｇｒｅｕ－ｅｉｔａ－ａｕｎｏｎａｙｖｌｅｐｏｌｍｓｏｃａｓｏｏｐｅｏｌａｃｒｄｎｅｑａｎａｎ
式中：为复值函数，＞ｌ一，ｐ，
，一ａ，ａｔ
ａ一，，外项是 ” 里－，ｄ磬是加，Ｒ这ｎ２）（３ｐ
的有界区域，ｒＱ＝Ｏ￣［，］０Ｔ．令Ｆ一（ａ）９一（，）９ｆ，Ｉ，１＂【＂Ｕ一（，），ａＩｕＩｕ一０Ｉｍ，，则问题（）１改写为如下形式：ｔ［，］ ∈ ０Ｔ（）２
△ ＋（Ｉ＋ＩＩＩ。。）
在Ｑｒ中
＝＾一（）１
Ｕ ∈ Ｈｏ）ｎＬ）ａ（舛（
（）４
—
ｉＸ（Ｉ＋ＩＩＵ，且满足：Ｕ ∈ Ｌ０Ｔ；（（，Ｈ５）ｎＬ（）舛１）
ｍｅｈｄｔｏ．
Ｋｅｒｓｙｗｏｄ：Ｇａｅｋｎｍｅｈｄｏｐｉｇｏｌｅｒｃｒｄｎｅｑａｉｎ￣ｘｓｅｃｎｎｑｅｅｓｌｒｉｔｏ；ｃｕｌ￣ｎｎｉａｈ￣ｉｇｒｕｔｓｅｔｎｅａｄｕｉｕｎｓｎｎＳｅｏｉ

一类不定常热耦合Stokes问题解的存在性和唯一性

ｆｆ
、、、ｉ
ｆ‘
ｆ
、
ｔｎｉｅｔｂｉｅｎｅｏｏｄｔｎｙＦｅｏＧａｅｋｎｍｅｈｄＴｅｅｔｔｆｔｅｗｅｏｕｉｎｉｓｓａｌｈｄｕｄｒｓｍｅｃｎｉｏｓｂａｄ — ｌｒｉｔｏ．ｈｓｉｅｏａｓｌｔｏｓｉｍａｈｋｏ
Ｖ・Ｕ＝０．
０・（（）Ｖ０＝（）ｌＵ一Ｋ０）０Ｄ（）
，Ｌ
Ｕ＝０，０＝０，
０Ｘ０＝０，（，）ｏ
其中未知量有ＵＱ×（，）：０Ｔ一Ｒ是流体的速度，：０Ｑ×（，）０Ｔ一Ｒ是温度，： ×（，）ＰＱ０Ｔ一Ｒ是流体受到的压力。厂Ｑ ×（，）÷ ．：０Ｔ＿Ｒ是给定的流体所受外力。Ｑ是Ｒ，２或３的一个有界开子集，ｄ＝，是边界。黏性系
Ｋｅｒｓ：ｎｔａｙｐｏｌｍ；ｈｒｌｏｐｌｄＳｔｋｓｐｏｌｍ；ｘｓｅｅ；ｉｕｎｓｙｗｏｄｕｓｅｄｒｂｅｔｅｍａｌｃｕｅｏｅｒｂｅｅｉｔｎｃｕｎｑｅｅｓｙ
ｃｃＣ，厂Ｑ × × × × × 。：；；
，，，，，，
ＡｂｔａｔＴｈｓｐｐｅｔｄｉｓａｓｅｄｈｒａｌｏｐｅｏｅｏｅ．ｓｒｃ：ｉａｒｓｕｅｎｕｎｔａｙｔｅｍｌｙｃｕｌｄＳｔｋｓｐｒｂｌｍＥｘｉｔｎｅｏａｏｌｓｅｃｆａｗｅｋｓｕ

最优控制第二章研究最优控制的前提条件

第二章研究最优控制的前提条件
4
如果x(t 必须满足某种约束条件必须满足某种约束条件：如果 0)必须满足某种约束条件： ρj [x(t0)] ≤ 0 相应的始端集为
0
j = 1,2,…,m(m≤n) (2-5)
= x(t0 ) ρ [ x(t
j
{
0 )]=0
}
(2-6)
此时，此时，x(t0) ∈
则称可变始端可变始端。 0，则称可变始端。
第二章研究最优控制的前提条件
5
4. 明确终端条件类似于始端条件，固定终端是指终端时刻 f和类似于始端条件，固定终端是指终端时刻t 是指终端时刻都是给定的。终端状态 x(tf) 都是给定的。自由终端是在给定情况下，自由终端是在给定 tf 情况下，x(tf) 可以任意取值不受限制。取值不受限制。可变终端是指可变终端是指 x(tf) ∈
1 T J = x (t f )Q0 x(t f ) + 2 1 tf T T x (t )Q x(t ) + u (t )Q2u(t ) dt (2-11) 1 ∫t0 2
称为加权矩阵加权矩阵。式中 Q0 ，Q1 ，Q2 称为加权矩阵。
第二章研究最优控制的前提条件 13
[
]
f
= x(t f )
{
的情况。 f 的情况。其中
ϕ j [x(t f )]=0
}
(2-7)
是由约束条件φ 所形成的一个目标集。是由约束条件 j[x(tf)] = 0 所形成的一个目标集。
第二章研究最优控制的前提条件 6
5. 给出目标泛函，及性能指标给出目标泛函，
J = Φ x(t f ) + ∫ L[x(t ), u(t ), t]d t

最优控制的基本理论及应用

前苏联学者庞特里亚金等则在1956～1958年间创立了极小值原理, 也发展了经典变分原理,成为处理控制有闭集约束的变分问题的强有力工具。
本章在介绍解决最优控制问题3种基本方法(变分法、极小值原理和动态规划)的基础上，阐述两类典型最优反馈系统的设计,即线性二次型最优控制和最小时间控制。
6.2 最优控制问题的提出及数学描述
6.3.2 用变分法求解无约束条件的泛函极值问题
设积分型性能泛函为
Jtt0f L[x(tx)(,t)]d,tt
(6-24)
在区间[t0 ,t f ]上，被积函数 L[x(t),x(t),t]二次连续可微，轨线x(t)有连续的二阶导数，x(t)Rn ,对x(t)没有任何约束。要求确定极值轨迹 x *(t) ，使泛函J为极值。
级数 ,则
J()tt0f L x Tη(t) L x Tη (t)R dt
(6-29)
式中,R表示泰勒（Taylor）级数展开式中的高阶项。
如果定义x(t)和 x (t) 的一阶变分为 δ x εη (t),δ x εη (t)
由泛函变分的定义，泛函的一阶变分为
(6-30)
6.2.2 最优控制问题的数学描述
构成最优控制问题必须具备以下几个基本条件：
1.被控系统的数学模型，即动态系统的状态方程
状态方程在最优控制中为等式约束条件。
2.控制变量的约束条件(容许控制)
任何实际物理系统，控制变量总是受约束的，一
般可写成
u(t)U
(6-3)
式中,U表示一个封闭的点集合，称为控制域。此时称 u(t)为容许控制。
1)积分型性能泛函
Jtt0f Lx((t)u,(t),dtt)
2)终值型性能泛函
J[x(tf ),tf]

一个双曲-椭圆耦合系统解的存在唯一性

一个双曲-椭圆耦合系统解的存在唯一性师建国;周厚勇【摘要】In this paper,we study the hyperbolic - elliptic coupled system. By the energy method,we establish a priori estimates of the differential operator,construct the closed linear operator and claim the closed linear operator is the infinitesimal generator of the bounded incompressible linear operator semigroup. We prove the existence and uniqueness of the solutions to the hyperbolic-elliptic coupled system by the semigroup theory.%本文研究了一个双曲-椭圆耦合系统.通过能量方法建立了有关微分算子的一些先验估计,构造了一个闭线性算子,证明了该闭线性算子为一个有界收缩线性算子半群的无穷小生成元.在此基础上,利用半群理论具体证明了双曲-椭圆耦合系统解的存在唯一性.【期刊名称】《数学杂志》【年(卷),期】2017(037)006【总页数】8页(P1253-1260)【关键词】双曲-椭圆耦合系统;解;存在唯一性;闭算子;半群理论【作者】师建国;周厚勇【作者单位】黄淮学院数学与统计学院,河南驻马店463000;黄淮学院数学与统计学院,河南驻马店463000【正文语种】中文【中图分类】O175.28Navier-Stokes方程组反映了粘性流体流动的基本力学规律,它是流体力学、气象学、航天学、环境工程和数学中非常重要的方程组之一,可以用于水流、空气动力学的研究以及污染效应的分析[1].它是个非线性偏微分方程组,对于像这样的非线性偏微分方程组求精确解非常困难和复杂,目前只有在某些十分简单的问题上能求得精确解,在大部分情况下,只能求得近似解[2–4].对于夹在上下两壁面之间且上下两壁面可渗透的流体流动,其满足Navier-Stokes方程组系统其中为粘性流体的流速,pε 为压力,uε,pε 在x方向以L1为周期,uε,pε 在y方向以L2为周期,U(非负常数)为渗透的速率.对于像空气、水等流体的流动来说,Navier-Stokes方程组中流体的粘性系数ε往往是很小的,因此为了求得近似解,可利用奇异摄动理论使方程组简化[5–7]进而得到一致有效的近似解,也就是说可以研究上述Navier-Stokes方程组系统当ε→0时的极限问题.作为研究Navier-Stokes方程组系统极限问题的一部分,考虑它的简单一点儿的情况,研究线性化Navier-Stokes方程组系统当ε→0时的极限问题.考虑将Navier-Stokes方程组关于稳态解(0,0,−U)摄动后去掉非线性项的情况,即先令然后去掉非线性项即得其中D3vε表示vε关于z的偏导数,这是一个线性化Navier-Stokes方程组系统. 注意(0,0,−U)是Navier-Stokes方程组当外力为零时的稳态解.在研究线性化Navier-Stokes方程组系统极限问题时,利用奇异摄动理论结合解的适定性需要,得到了一个双曲-椭圆耦合系统其中v=(v1,v2,v3)为无粘性流体的流速,p为压力,v,p在x方向以L1为周期,v,p在y方向以L2为周期,U为常数,Ω=(0,L1)×(0,L2)×(0,h).为了更好地研究线性化Navier-Stokes方程的极限问题,首先必须解决上述双曲-椭圆耦合系统解的存在唯一性问题.对于双曲-椭圆耦合系统,文献[8–10]研究了双曲-椭圆耦合系统的柯西问题,文献[11]研究了双曲-椭圆耦合系统的初边值问题,但边界条件和这里的边界条件差别较大.对于这里的初边值问题除文[7]给出了证明的大概思路外,目前还没有严格的证明结果.本文利用半群理论,通过能量方法具体证明了上述双曲-椭圆耦合系统中解的存在性唯一性.为了给出弱解的定义,需要确定试验函数所在的空间以及解函数所在的空间.根据研究问题的边界条件特点和弱解对试验函数的要求取希尔伯特空间作为试验函数所在的空间.在研究线性化Navier-Stokes方程组的极限问题时,对弱解正则性是有一定要求的,比如要求D3v∈(L2(Ω))3或zD3v∈(L2(Ω))3,如果所研究的问题中没有压力项和divv=0,则在通常边界条件下,通过能量方法等,可以得到D3v的(L2(Ω))3模估计,根据解函数所在的空间对可解性和极限问题解的正则性的要求,可取作为解函数所在的空间.但目前所研究的问题中含有压力项和divv=0,由所研究问题根据问题边界条件无法得到D3v的(L2(Ω))3模估计,但能得到zD3v的(L2(Ω))3模估计,这种估计也符合在研究线性化Navier-Stokes方程组极限问题时对弱解正则性的要求,因此根据解函数所在的空间对可解性和对弱解正则性的要求,这里确定作为解函数所在的空间.为了以后使用方便,记对X赋予以下范数:对任意对H和Y分别赋予(L2(Ω))3和L2(Ω)空间的范数.为了研究问题(1.3)的解,对λ为实常数,首先给出问题的弱解定义,进而构造闭线性算子.定义若对v∈X,p∈Y有成立,则称(v,p)为问题(2.1)的弱解.定理1 对任意f∈H,对任意λ,问题(2.1)有唯一弱解v∈X,p∈Y,当λ＞0时,有其中M1是只与区域Ω和λ＞0有关的常数.注这里要求f∈H 是不失一般性的.事实上Hodge分解定理[12]告诉我们,对任意有唯一的正交分解u=w+▽q,divw=0且(i)(ii)对于一般的外力项f,由Hodge分解定理知f=f1+▽f2,divf1=0,则由得用p−f2,f1代替p,f即可.证以z为参数做v∈X和p∈Y关于变量x,y的傅里叶变换容易证明对任意f∈H,对任意λ,问题(2.1)有唯一弱解v∈X,p∈Y.下面证明当λ＞0时,有在方程−UD3v+λv+▽p=f两边分别与v∈X作内积,然后在Ω上积分并分部积分,注意到解的边界条件和不可压缩条件,有由上式并利用Holder不等式和Cauchy不等式得所以又其中C1是只与区域Ω和λ＞0有关的常数.由Magenes-Stampacchia的结果[13]得|p|L2(Ω)≤M1|f|H,证毕.由定理1,对任意f∈H,对任意λ,问题(2.1)有唯一弱解v∈X,p∈Y,为此可以利用问题(2.1)的解v∈X,f∈H,定义线性算子Aλ如下:Aλv=f,Aλ的定义域D(Aλ)=X.由定理1,对任意f∈H,λ=0,有v∈X,p∈Y是问题的弱解.对此定义算子A:Av=f,D(A)=X,显然A=Aλ−λI或Aλ=A+λI.定理2 对问题(2.1)的任意弱解v∈X,当λ＞0时,有‖v‖X≤M2|f|H,其中M2是只与区域Ω和λ有关的常数.证在方程−UD3v+λv+▽p=f两边分别与−z2D3v∈(L2(Ω))3作内积,然后在Ω上积分并分部积分,注意到解的边界条件和不可压缩条件,利用Holder不等式和Cauchy不等式得注意到v(x,y,h,t)=0,有注意到v,p在x方向以L1为周期,v,p在y方向以L2为周期,得因为v1(x,y,h)=v2(x,y,h)=0,所以v1x(x,y,h)=v2y(x,y,h)=0,又由不可压条件知v1x(x,y,h)+v2y(x,y,h)+v3z(x,y,h)=0,进而v3z(x,y,h)=0,故所以|zD3v|L2(Ω)≤C3|f|H,其中C2,C3是只与区域Ω和U,λ＞0有关的常数.注意到|UD3v−▽p|H=|f−λv|H,有‖v‖X≤M2|f|H.定理3 线性算子Aλ(λ＞0)是一个闭线性算子.证设vn∈D(Aλ),且在H 中有vn→v,Aλvn=fn→f∈H,由Aλ定义知vn∈X,pn∈Y 是问题(2.1)的解,进而满足对于f∈H,由定理1知,存在使得是问题(2.1)的解,从而是问题(2.1)的解,则由定理2有所以vn在X收敛于又X是H的子空间,所以即vn在X收敛于v,在(2.2)式和中令n→∞得且‖v‖X≤M2|f|H,即v∈D(Aλ)=X,Aλv=f,所以线性算子Aλ是闭线性算子.注容易证明若B是D(B)到H中的闭线性算子,则B+ωI是D(B)到H中的闭线性算子,其中ω为一个常数.利用定理3和上面的事实,注意到A=Aλ−λI,有定理4 线性算子A是一个D(A)=X到H中的闭线性算子.定理5 设f∈C1([0,+∞);H),v0∈H,则双曲-椭圆耦合系统(1.3)在C1(R+;D(A))∩C1(R+;H)中存在唯一解.证由定理4知线性算子A是一个D(A)=X到H中的闭线性算子,从而−A也是闭线性算子.又由定理1知从而对任意存在,且进而是显然的,所以−A是一个线性有界算子压缩半群的无穷小生成元,所以由半群理论关于抽象柯西问题的结果[14]知在中存在唯一解.即在C1(R+;D(A))∩C1(R+;H)中存在唯一解.【相关文献】[1]王言英.格林函数与纳维–斯托克斯方程及其在船舶与海洋工程中的应用[M].北京:国防工业出版社,2006.[2]Feng Yihu,MO Jiaqi.Asymptopic solution for singularly perturbed fractional order differential equation[J].J.Math.,2016,36(2):239–245.[3]水庆象,王大国.N-S方程基于投影法的特征线算子分裂有限元求解[J].力学学报,2014,46(3):369–380.[4]Wang D G,Wang H J,Xiong J H,Tham L G.Characteristic-based operator-splitting finite element method for Navier-Stokes equations[J].Sci.China(Tech.Sci.),2011,54(8):2157–2166.[5]Foias C,Manley O,Rosa R,Temam R.Navier-Stokes equations and turbulence encyclopedia of mathematics and its applications[M].Cambridge:Cambridge University Press,2001.[6]Weinan E.Boundary layer theory and the zero viscosity limit of the Navier-Stokes equation[J].Acta Math.Sin.(English Ser.),2000,16(2):207–218.[7]Temam R,Wang X.Boundary layers associated with incompressible Navier-Stokes equations:the noncharacteristic boundary case[J].J.Di ff.Equ.,2002,179(2):647–686.[8]Kawashima S,Nishibata S.A singular limit for hyperbolic-elliptic coupled systems in radiation hydrodynamics[J].Indiana Univ.Math.J.,2001,50(1):567–589[9]Ruan L Z,Zhang J.Asymptotic stability of rarefaction wave for hyperbolic-elliptic coupled system in radiating gas[J].Acta Math.Sci.,2007,27(2):347–360[10]Gao W L,Zhu C J.Asymptotic decay toward the planar rarefaction waves for a model system in radiating gas in two dimensions[J].Math.Models Meth.Appl.Sci.,2008,18(4):511–541.[11]Ruan L Z,Zhu C J.Asymptotic decay toward rarefaction wave for a hyperbolic-elliptic coupled system on half space[J].J.Part.Di ff.Eqs.,2008,21(2):173–192.[12]马天.从数学观点看物理世界:几何分析引力场与相对论[M].北京:科学出版社,2012.10[13]Magenes E,Stampacchia G.I problemi al contorno per le equazioni differenziali ditipo ellittico[J].Ann.Scuola.Norm.Sup.Pisa.,1958,12(3):247–357.[14]张恭庆,林源渠.泛函分析讲义[M].北京:北京大学出版,2008.。

N-耦合薛定谔方程组涡旋解的存在性和唯一性

N-耦合薛定谔方程组涡旋解的存在性和唯一性
毛素珍
【期刊名称】《南昌工程学院学报》
【年(卷),期】2021(40)6
【摘要】本文利用变分方法来研究非线性光学中N-耦合薛定谔方程组涡旋解的存在性和唯一性。

当耦合系数矩阵是正定的或者负定的,并且存在逆矩阵时,对该方程组的最小能量解进行了分析。

【总页数】5页(P114-118)
【作者】毛素珍
【作者单位】南昌工程学院理学院
【正文语种】中文
【中图分类】O175
【相关文献】
1.一类半线性耦合Schr(o)dinger方程组解的存在唯一性
2.R3上的一类非齐次薛定谔-泊松系统解的存在唯一性
3.一类抛物方程组解的存在唯一性及关于耦合函数的连续依赖性
4.一类非线性耦合Schr(o)dinger方程组解的存在唯一性
5.一阶微分、差分方程组解的存在唯一性及解关于参数的连续依赖性
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第 31 卷第 11 期 2015 年 11 月
科技通报
BULLETIN OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
Vol.31 No.11 Nov. 2015
一类耦合系统的最优控制解的存在性证明
（贵州省安顺学院数理学院，贵州安顺 561000）
旷雨阳，刘太河
∂Ω 的法向导数。
第 11 期
旷雨阳等. 一类耦合系统的最优控制解的存在性证明
11
自 20 世纪 60 年代以来，分布参数系统的控制问题一直是控制理论界所关注的核心论题之一，其应用背景很强，理论上也日渐成熟和丰富，由抛物型偏微分方程所描述的控制系统，按照现 [1] 代控制理论观点，它是分布参数系统的一个重要组成部分，并在现代工程中有着重要作用，对其研究不仅对数学理论提出更多的挑战，而且也能进一步加深对控制理论的认识。本文研究由 Maxwell 与抛物型偏微分方程所组成的耦合系统的最优控制解的存在性问题，从而得到的结果可以加深对分布参数系统的认识。
T and known function uT (x) ∈ L 2 (Ω) , to find an optimal control q(·) ∈ L ∞ (0, T ) meet 0 ≤ q(t) ≤ 1 ,make,
T J (q) = ∫Ω|u(x, T ) - uT (x)|2 dx + δ ∫0 |q(t)|2 dt become mininum,Where δ > 0 is a given constant, ( H , u) for the ìH t + ∇ ×[a(x, t)∇ × H ] = F (x, t) (x, t) ∈ QT (1.1) where QT = Ω ×(0, T ] ， Ω is a bounded ï 2 (x, t) ∈ QT (1.2) ïu t - ∇(k(x, u)∇u) = q(t)a(x, t)|∇ × H | í ïN × H (x, t) = N × G (x, t), u(x, t) = g(x, t) x ∈ ∂Ω,0 < t < T (1.3) ï x∈Ω (1.4) îH (x,0) = H 0 (x), u(x,0) = u 0 (x) æ ö domain, ∇ = ç ∂ , ∂ , ∂ ÷ ，H =(H1, H 2 , H 3) ， G (x, t), g(x, t) is a given function, H 0 (x), u 0 (x) for a given ∂ x ∂ x ∂ x 2 3 derivative. initial function, N
Keywords： coupling systems； optimal control； existence； convergence following equations solution of the the initial boundary value problem:
收稿日期： 2014-06-26 基金项目：贵州省科学技术厅、安顺市人民政府、安顺学院三方联合基金项目（黔科合 J 字 LKA[2012]19 号)。作者简介：旷雨阳（1978-），男，汉族，副教授，硕士。研究方向：偏微分方程与最优控制。 E-mail： yuyangkuang@。
T
摘
要：主要讨论如下最优控制解的存在性问题，即对给定的正数 T 和已知函数 uT (x) ∈ L 2 (Ω) ，寻找一个
关键词：耦合系统；最优控制；存在性；收敛中图分类号： O241.82 文献标识码： A 文章编号： 1001-7119 （2015） 11-0010-04
Existence of Solution for the Optimal Control of Coupling Systems
最优控制 q(·) ∈ L ∞ (0, T ) 满足 0 ≤ q(t) ≤ 1 ，使得 J (q) = ∫Ω|u(x, T ) - uT (x)|2 dx + δ ∫0 |q(t)|2 dt ，达到最小，其中 δ > 0 为一给定常数， ( H , u) 为下列耦合方程组初边值问题的解： ìH t + ∇ ×[a(x, t)∇ × H ] = F (x, t) (x, t) ∈ QT (1.1) ï 2 (x, t) ∈ QT (1.2) ïu t - ∇(k(x, u)∇u) = q(t)a(x, t)|∇ × H | 其中 QT = Ω ×(0, T ] ， Ω 为有界区域， í (1.3) ïN × H (x, t) = N × G (x, t), u(x, t) = g(x, t) x ∈ ∂Ω,0 < t < T ï x∈Ω (1.4) îH (x,0) = H 0 (x), u(x,0) = u 0 (x) æ ö ∇ = ç ∂ , ∂ , ∂ ÷ ，H =(H1, H 2 , H 3) ，G (x, t), g(x, t) 为给定函数， H 0 (x), u 0 (x) 为给定初始函数，N 为边界 è ∂x1 ∂x 2 ∂x 3 ø
Kuang Yuyang， Liu Taihe
（College of Mathematics and Physics Anshun University， Anshun 56100， China） Abstract： The paper mainly discussese the following optimal control problem, namely, for a given positive