3.2 状态转移矩阵计算PPT课件
现代控制理论 状态转移矩阵
= 0 = 0 − (− ) − =()() (−)
故有： + =
从- 到t的转移，可以看作是从- 转移到0，再从0转移到t的组合。
2. 可逆性
−
= −
证明： 由性质1
− = − =
再从 1 转移到 2 。
证明：由状态转移矩阵的物理意义：
2 = 2 − 0 (0 )
2 = 2 − 1 (1 ) = 2 − 1 1 − 0 (0 )
故有： 2 − 1 1 − 0 = 2 − 0
4. 倍时性 ()
状态转移矩阵实质上就是矩阵指数函数，其求解方法与矩阵指数函数相同。
例：已知线性定常系统的状态转移矩阵 为：
1 −
1
3
( + )
(− − + 3 )
4
= 2
1 −
−
3
− +
( + 3 )
2
求系统矩阵。
ሶ
解：由状态转移矩阵的定义：()
=A ， 0 = ， ≥ 0
求解矩阵微分方程可得，状态转移矩阵为： − 0 = (−0 ) ， ≥ 0
当 0 = 0时，状态转移矩阵可表示为: = ， ≥ 0
系统的零输入响应可用状态转移矩阵表示：
=
−0
0 = − 0 0 ， ≥ 0
或 = 0 = 0 ， ≥ 0
《现代控制理论》MOOC课程
2.2 状态转移矩阵
2.2 状态转移矩阵
一. 状态转移矩阵的定义
定义：对于给定的线性定常系统 ሶ =A + 其中，x为n维状态向量
马尔柯夫状态转移图与转移矩阵PPT(24张)
马尔柯夫过程
当条件概率为
P { X (tn ) x n|X (t1 ) x 1 ,X (t2 ) x 2 , ,X (tn 1 ) x n 1 } P { X (tn ) x n }
时，则称X(tn)与过去历史无关，即为独立随机过 程 当条件概率为
P { X (tn ) x n|X (t1 ) x 1 ,X (t2 ) x 2 , ,X (tn 1 ) x n 1 } P { X (tn ) x n|X (tn 1 ) x n 1 }
马尔柯夫过程
潘尔顺 副教授 上海交通大学 工业工程与管理系
22.05.2019
主要内容
基本概念 马尔柯夫过程 马尔柯夫状态转移图 马 柯夫转移矩阵
22.05.2019
基本概念
随机过程（Random Process）—随机事件的变化过程。 随机过程无确定的变化形式及必然的变化规律，因而 不可能用精确的数学关系式来表达，但可用随机函数 来描述。 随机函数X(t)在时间t1时的取值，称为X(t)在t=t1时的 状态，它也是随机变量，而t则称为过程参数。两者所 有可能值的集合，分别称为“状态空间”和“参数空 间”
已定时，则出现下一个系统状态X(tn)=xn的条件概
率为P { X (tn ) x n|X (t1 ) x 1 ,X (t2 ) x 2 , ,X (tn 1 ) x n 1 } 0 t1 t2 tn 则称 X (tn)与 X (t1)， X (t2)， ,X (tn 1)有图2所示的马尔可夫状态转移过程，也可用马尔可夫转 移矩阵或简称“转移矩阵”，“概率矩阵”来表达：
ij ij
PijP Pijii
P Pijjjij3 2//4 3
3.2 状态转移矩阵的性质与计算
I P APt
( P AP) t 2!
...
2 2 k k At At 1 P I At ... ... P 2! k!
P e P
1 At
根据上述性质, 对矩阵A, 可通过线性变换方法得到对角线矩 阵或约旦矩阵, 然后利用该类特殊矩阵的矩阵指数函数, 由 矩阵指数函数的变换关系来求原矩阵A的矩阵指数函数
约旦规范形法 (5/8)
故将A变换成对角线矩阵的变换矩阵P及其逆阵P1为
1 P 0 1 1 1 2 6 4 9 3 5/ 2 3 4 1 3/ 2 2 3 1
P
1
3. 对角线规范形及对应的转移矩阵:
0 1 0 ~ 1 A P AP 0 2 0 0 3 0
1 A P AP
则相应地有如下矩阵指数函数的变换关系
e
At
Pe
~ At
P
1
e
~ At
P e P
1 At
约旦规范形法 (3/8)
该结论可简单证明如下:
e
~ At
~ I At
1
~2 2 A t 2!
...
1
~k k A t k!
2 2
... ... ( P AP) t k!
使得有可能对各种类型系统的状态方程的解作统一描 述, 更好地刻划系统状态运动变化的规律
状态转移矩阵的定义(2/4)
当系统矩阵A为nn维方阵时, 状态转移矩阵Φ(t)亦为nn维方 阵, 且其元素为时间 t 的函数 下面讨论几种特殊形式的系统矩阵A的状态转移矩阵 (1) 对角线矩阵 当A为如下对角线矩阵: A diag{1 2 … n} 则状态转移矩阵为
状态转移矩阵计算
根据上述性质,对任何矩阵A,
可先(1)通过线性变换方法得到对角线矩阵或约旦矩阵,
然后(2)利用该类特殊矩阵的矩阵指数函数,由矩阵指数函数 的变换关系来求原矩阵A的矩阵指数函数。
约旦规范形法(4/8)—例3-5
例3-5 试求如下系统矩阵的矩阵指数函数
0 1 1
A 6
11
6
6 11 5
Ch.3 线性系统的时域分析
目录
概述 3.1 线性定常连续系统状态方程的解 3.2 状态转移矩阵及其计算 3.3 线性时变连续系统状态方程的解 3.4 线性定常连续系统的离散化 3.5 线性定常离散系统状态方程的解 3.6 Matlab问题 本章小结
目录(1/1)
状态转移矩阵计算(1/1)
解: 1. 先求A的特征值。由特征方程可求得特征值为
1=-1 2=-2 3=-3
2. 求特征值所对应的特征向量。由前述的方法可求得特征值
1,2和3所对应的特征向量分别为
p1=[1 0 1] p2=[1 2 4] p3=[1 6 9]
约旦规范形法—例3-5
故将A变换成对角线矩阵的变换矩阵P及其逆阵P-1为
矩阵或约旦矩阵,
✓ 再利用上述特殊形式矩阵的矩阵指数函数来快速
计算矩阵矩阵指数函数。 ➢ 下面讨论之。
下面首先讨论矩阵指数函数的一条性质: ➢ 对矩阵A,经变换矩阵P作线性变换后,有
A% P1AP
则相应地有如下矩阵指数函数的变换关系
约旦规范形法(2/8)
e At Pe A~t P1 e A~t P1e At P
3.2 状态转移矩阵计算
在状态方程求解中,关键是状态转移矩阵(t)的计算。
➢ 对于线性定常连续系统,该问题又归结为矩阵指数函数 eAt的计算。
《状态转移图程序设》课件
状态转移图程序设计PPT 课件
状态转移图是一种描述系统行为和状态的图形表示法，常用于软件系统的设 计和测试。
什么是状态转移图？
状态转移图由状态、转移条件和事件组成，描述系统行为和状态的图形表示法。常用于软件系统的设计和测试。
状态机模型
通过控制系统的行为和状态，实现 对系统的控制
业务流程建模
描述业务流程和业务逻辑，促进业 务改善和管理
状态转移图程序设计实例：用户登录和注册
1
用户登录状Leabharlann 机模型描述用户登录过程及其状态，包含身份验证、密码检查和授权访问等步骤
2
用户注册状态机模型
描述用户注册过程及其状态，包含身份验证、信息收集和注册确认等步骤
总结
状态转移图是一种描述系统行为和状态的图形表示法，常用于软件系统的设计和测试。状态、转移条件和事件是状 态转移图的基本元素。状态转移图可以应用于系统控制、业务流程建模和测试等方面。实现状态转移图可以使用状 态转移表、状态转移函数和代码生成工具等方法。
和管理
3
测试验证
测试系统功能和性能，保证系统正确性和 鲁棒性
状态转移图可以应用于系统控制、业务流程建模和测试等方面。
状态转移图的实现
状态转移表
状态转移函数
代码生成工具
将状态、事件和转移条件用表格表 示
将状态转移过程用程序实现
自动化生成状态转移图程序代码
实现状态转移图可以使用状态转移表、状态转移函数和代码生成工具等方法。
状态测试
测试系统功能和性能，保证系统正 确性和鲁棒性
状态转移图的基本元素
状态
描述系统或子系统的行为和状态
转移条件
触发状态之间转移的条件
状态、转移条件和事件是状态转移图的基本元素。
状态转移矩阵的计算方法
状态转移矩阵的计算方法
1. 嘿，你知道吗？状态转移矩阵的计算方法之一就是直接按照定义来呀！就像我们走路，一步一个脚印，老老实实地去计算每个状态之间的转移概率。
比如说掷骰子，从一个点数到另一个点数的概率不就是状态转移嘛，很简单吧？
2. 还有哦，通过迭代的方法也能算出状态转移矩阵。
这就好像搭积木，一层一层地往上垒，逐渐找到那个最终的结果。
比如说一个生物种群的变化，不就是这样一步步迭代着计算状态变化嘛！
3. 哇塞，竟然还能用矩阵乘法来搞定状态转移矩阵的计算呢！这就好比给不同的元素配上对，让它们相乘之后得出新的结果。
想想机器人在不同状态间的转换，是不是很神奇呢？
4. 嘿呀，通过求解线性方程组也能行呢！这就如同在迷雾中寻找出路，解出那些方程就找到了正确的路径呀。
比如在一个复杂的系统中，找到状态转移的规律就是这么厉害！
5. 你可别小看了利用马尔科夫链的性质来计算哦！这就好像抓住了事物的本质特点，一下子就把状态转移矩阵搞清楚了。
就像股票的涨落，不就可以用这个方法来分析嘛！
6. 还有一种方法是基于概率统计呀！这简直就是在数据的海洋中寻宝。
比如分析天气的变化模式，不就是从大量的数据中找出状态转移的规律吗？
7. 哇哦，根据模型假设来计算状态转移矩阵也很不错呢！就如同给一个故事设定好情节，然后顺着情节发展去计算。
想想一个游戏中的角色状态变化，是不是很有道理呀？
8. 嘿嘿，最后说说利用数值计算的方法。
这就类似用精确的工具去打造一件完美的作品。
比如模拟物理现象中的状态转移，靠的就是这个厉害的方法呢！
总之，状态转移矩阵的计算方法有很多，就看你怎么去用啦！掌握了这些，就能在各种领域大显身手啦！。
状态转移概率矩阵计算
状态转移概率矩阵计算（原创实用版）目录1.状态转移概率矩阵的概念2.状态转移概率矩阵的计算方法3.状态转移概率矩阵的应用正文一、状态转移概率矩阵的概念状态转移概率矩阵是在马尔可夫过程中，描述系统从某一状态转移到另一状态的概率矩阵。
在马尔可夫过程中，系统的状态转换是随机的，且只与当前状态有关，与过去的状态无关。
状态转移概率矩阵是一个方阵，行和列分别对应系统的所有可能状态。
矩阵中的每个元素表示从当前状态转移到对应状态的概率。
二、状态转移概率矩阵的计算方法状态转移概率矩阵的计算方法依赖于系统的具体性质。
以下是两种常见的计算方法：1.对于离散状态的马尔可夫链，可以利用统计方法估计状态转移概率。
例如，在训练数据中，可以通过计数每个状态转移的次数来估计概率。
假设训练数据包含 S 个长度相同的观测序列和对应的状态序列(O1,I1),(O2,I2),...,(O_S,I_S)，可以计算每个状态转移的概率：P(i|j) = (Σ_k O_k=i, I_k=j) / N，其中 N 为训练数据的总数。
2.对于连续状态的马尔可夫过程，可以利用数学方法计算状态转移概率矩阵。
例如，对于线性定常连续系统，可以利用矩阵指数函数 eAt 计算状态转移矩阵。
具体地，状态转移矩阵 T 可以表示为 eAt，其中 A 是系统矩阵，t 是时间步长。
三、状态转移概率矩阵的应用状态转移概率矩阵在许多领域都有广泛应用，例如机器学习、控制系统和信号处理等。
在机器学习中，状态转移概率矩阵可以用于构建隐马尔可夫模型（HMM），从而对具有时序性的数据进行建模和预测。
HMM 模型包括三个矩阵：状态转移概率矩阵、观测概率矩阵和初始状态概率分布。
通过这三个矩阵，可以计算出系统在给定观测序列下的概率，从而实现对未知状态的推测。
在控制系统中，状态转移概率矩阵可以用于分析系统的稳定性和动态性能。
根据状态转移概率矩阵，可以计算系统的稳态概率分布，从而判断系统是否稳定。
状态转移矩阵计算ppt课件
1 0 0 1 0 1 t 2 t ... 0 1 2 3 2 3 2! 3 2 2 1 t ... t t ... 2 2t 3t 2 ... 1 3t ...
3.2 状态转移矩阵计算
在状态方程求解中,关键是状态转移矩阵(t)的计算。 对于线性定常连续系统,该问题又归结为矩阵指数函数 eAt的计算。 上一节已经介绍了基于拉氏反变换技术的矩阵指数函数 eAt的计算方法,下面讲述计算矩阵指数函数的下述其他3 种常用方法。 重点推荐 级数求和法 约旦规范形法 化eAt为A的有限多项式矩阵函数法
32ppt课件a的特征值互异34例37?例37试求如下系统矩阵的矩阵指数函数??????????????6116100010a????????????????????????????????????????????????????????????????ttttttttttttttt323232321210ee2ee3e8e5e2e6e621eee931421111????解由于矩阵a的3个特征值互异并分别为12和3因此解方程组352可得33ppt课件a的特征值互异44则系统的状态转移矩阵为??????????????????????????????????????????????????tttttttttttttttttttttttttttatatatit3232323232323232322210e9e8ee3e4eee2ee27e32e5e9e12e6e9e16e5e6e12e6e3e8e5e2e6e621???e34ppt课件a有重特征值142a有重特征值?由于矩阵a与它的约旦矩阵具有相同的最小多项式??因此由前面的推导过程可知约旦矩阵也满足aa?设a与的特征值?i的代数重数为mi则由上式很容易证明?it
状态转移矩阵的性质和计算
2
约旦规范形法 (1/8)
2. 约旦规范形法
上节给出了对角线矩阵、块对角矩阵和约旦块三种特殊形 式矩阵的矩阵指数函数
由于任何矩阵都可经线性变换成为对角线矩阵或约旦 矩阵,因此
可通过线性变换将一般形式的矩阵变换成对角线矩 阵或约旦矩阵, 再利用上述特殊形式矩阵的矩阵指数函数来快速计 算矩阵矩阵指数函数
2 0 0 ~ A P 1 AP 0 1 1 0 0 1
级数求和法(1/3)
1. 级数求和法
由上一节对矩阵指数函数的定义过程中可知:
A2t 2 Ak t k e I At ... ... 2! k!
At
矩阵指数函数eAt的计算可由上述定义式直接计算 由于上述定义式是一个无穷级数, 故在用此方法计算eAt时必 须考虑级数收敛性条件和计算收敛速度问题
e t 0 0 ~ At e 0 e 2t 0 3t 0 0 e
约旦规范形法 (6/8)
4. 由系统矩阵和矩阵指数函数的变换关系, 得
e Pe P 1
At ~ At
3e t - 3e 2t e 3t 5e t / 2 - 4e 2t 3e 3t / 2 - 2e t 3e 2t - e 3t 2t 3t 2t 3t 2t 3t - 8e 9e 6e - 6e - 6e 6e 3e t - 12e 2t 9e 3t 5e t / 2 - 16e 2t 27e 3t / 2 - 2e t 12e 2t - 9e 3t
d At e Ae At e At A, (t ) A(t ) (t ) A dt
[Φ(t)]n Φ(nt) Φ(t2t1)Φ(t1t0) Φ(t2t0)
状态转移矩阵的性质和计算
状态转移矩阵的性质和计算状态转移矩阵（Transition Matrix）是概率论和随机过程中常用的一种数学工具。
它描述了一个马尔可夫链（Markov Chain）中不同状态之间的转移概率，并允许我们通过矩阵运算来计算系统的长期行为。
1.性质：（1）非负性：状态转移矩阵的所有元素都是非负数。
（2）行概率和为1：转移矩阵的每一行的元素之和等于1，即每个状态转移到其它状态的概率之和为1（3）稳定分布性：对于马尔可夫链的状态转移矩阵，存在一个稳定分布向量（Steady State Distribution Vector），使得转移矩阵作用于稳定分布向量后，得到的向量仍然等于稳定分布向量。
2.计算：（1）初等概率法：对于已知的初态概率向量（Initial Probability Vector），可以通过矩阵乘法来计算下一步的状态概率向量。
设初态概率向量为P，状态转移矩阵为T，则下一步的状态概率向量为P' = PT。
持续迭代可以得到任意步后的状态概率向量。
（2）幂法：幂法是计算稳定分布向量的一种有效算法。
设初始向量为P，状态转移矩阵为T，则稳定分布向量为P'=PT，持续迭代可以得到趋于稳定的分布向量。
（3）马尔可夫链的收敛：马尔可夫链的收敛指的是经过多次状态转移后，状态转移概率不再发生变化，系统趋于稳定。
可以通过计算状态转移矩阵的幂次来判断马尔可夫链是否收敛，若存在一个正整数n，使得T^n=T^(n+1)，则认为马尔可夫链收敛。
3.应用：（1）马尔可夫链模型：状态转移矩阵是马尔可夫链模型的核心之一，用于描述和分析系统状态的动态变化。
（2）媒体传播：状态转移矩阵可以用于描述媒体传播的行为，比如在社交网络中用户之间的关注关系、消息传播等。
（3）金融市场：状态转移矩阵可以用于描述金融市场中不同状态之间的转移，并通过矩阵运算来计算投资组合的风险和收益。
（4）自然语言处理：状态转移矩阵可以用于语言模型中，描述不同词语之间的转移概率，帮助进行语言生成和理解。
状态转移矩阵的三种求法
状态转移矩阵的三种求法一、状态转移矩阵的定义状态转移矩阵，也称为转移概率矩阵，是描述马尔可夫链中状态转移概率的一种数学工具。
在马尔可夫链中，系统的状态会随时间发生改变，而状态转移矩阵则可以描述不同状态之间的转移概率。
二、基本概念和符号定义在讨论状态转移矩阵之前，我们先来了解一些基本概念和符号定义。
1. 状态：指系统所处的特定情况或条件。
在马尔可夫链中，状态可以是离散的，也可以是连续的。
2. 状态空间：指所有可能的状态组成的集合。
3. 转移概率：指一个状态转移到另一个状态的概率。
4. 状态转移矩阵：是一个方阵，其元素表示从一个状态转移到另一个状态的概率。
下面将介绍三种常见的求解状态转移矩阵的方法。
1. 统计法统计法是最常见的求解状态转移矩阵的方法之一。
该方法基于大量的历史数据，通过统计分析来确定状态之间的转移概率。
假设有一个马尔可夫链，其状态空间为S={s1, s2, ..., sn}，观测到的历史数据为{X1, X2, ..., Xm}，其中Xi表示第i次观测到的状态。
根据统计法，可以通过计算状态转移的频率来估计状态转移概率。
具体做法是统计历史数据中每个状态之间的转移次数，然后除以总的观测次数，得到转移概率的估计值。
2. 最大似然估计法最大似然估计法是一种常用的参数估计方法，也可以用于求解状态转移矩阵。
该方法通过最大化观测数据的似然函数，估计状态转移概率。
假设有一个马尔可夫链，其状态空间为S={s1, s2, ..., sn}，观测到的历史数据为{X1, X2, ..., Xm}，其中Xi表示第i次观测到的状态。
根据最大似然估计法，可以通过最大化观测数据的似然函数来求解状态转移概率。
具体做法是构建一个似然函数，然后求解使得似然函数取得最大值时的参数值。
3. 马尔可夫链蒙特卡洛法马尔可夫链蒙特卡洛法是一种基于模拟的求解状态转移矩阵的方法。
该方法通过在马尔可夫链上进行随机游走，来估计状态之间的转移概率。
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3.2 状态转移矩阵计算
在状态方程求解中,关键是状态转移矩阵(t)的计算。
➢ 对于线性定常连续系统,该问题又归结为矩阵指数函数eAt 的计算。
➢ 上一节已经介绍了基于拉氏反变换技术的矩阵指数函数 eAt的计算方法,下面讲述计算矩阵指数函数的下述其他3 种常用方法。
✓ 级数求和法 ✓ 约旦规范形法
重点推荐
凯莱-哈密顿定理(1/4)
t 3t 2
1 3t
2 ...
...
约旦规范形法 (1/8)
3.2.2 约旦规范形法
上节给出了对角线矩阵、块对角矩阵和约旦块三种特殊形 式矩阵的矩阵指数函数。 ➢ 由于任何矩阵都可经线性变换成为对角线矩阵或约旦矩 阵,因此 ✓ 可通过线性变换将一般形式的矩阵变换成对角线矩 阵或约旦矩阵, ✓ 再利用上述特殊形式矩阵的矩阵指数函数来快速计 算矩阵矩阵指数函数。 ➢ 下面讨论之。
Ch.3 线性系统的时域分析
目录
概述 3.1 线性定常连续系统状态方程的解 3.2 状态转移矩阵及其计算 3.3 线性时变连续系统状态方程的解 3.4 线性定常连续系统的离散化 3.5 线性定常离散系统状态方程的解 3.6 Matlab问题 本章小结
目录(1/1)
状态转移矩阵计算(1/1)
约旦规范形法(2/8)
下面首先讨论矩阵指数函数的一条性质: ➢ 对矩阵A,经变换矩阵P作线性变换后,有
A%P1AP
则相应地有如下矩阵指数函数的变换关系 e A tP e A ~ tP 1 e A ~ t P 1 e A P t
约旦规范形法(3/8)
该结论可简单证明如下:
eA~t I A~t A~2t2 ... A~ktk ...
级数求和法(3/3)—例3-4
例3-4 用直接计算法求下述矩阵的矩阵指数函数: 0 1
A 2 3
解 按矩阵指数函数的展开式计算如下:
eAt I At A2t2 ... Aktk ...
2!
k!
1 0
0 1
0 2
1 3t
0 2
1 2 3
t2 2!
...
1t2 ...
2t 3t2 ...
约旦规范形法—例3-6
3et-3e2te3t eA t P eA ~tP 1 -6e2t6e3t
3et-1e2 2t9e3t
5e t/2-4e2t3e3t/2 -8e2t9e3t
5e t/2-1e6 2t2e7 3t/2
- 2et 3e2t - e3t
6e2t - 6e3t
- 2et 12e2t - 9e3t
✓ 化eAt为A的有限多项式矩阵函数法
级数求和法(1/3)
3.2.1 级数求和法
由上一节对矩阵指数函数的定义过程中可知:
eA t IAtA2t2...Aktk...
2!
k!
➢ 矩阵指数函数eAt的计算可由上述定义式直接计算。
由于上述定义式是一个无穷级数,故在用此方法计算eAt时必须 考虑级数收敛性条件和计算收敛速度问题。
22et (-23t)et 42et (5-3t)et 82et (-83t)et
e2t (-1-3t)et 22et (-23t)et 42et (5-3t)et
塞尔维斯特内插法(1/1)
3.2.3 塞尔维斯特内插法
在讨论塞尔维斯特(Sylvester)内插法计算矩阵指数函数eAt时, 需要用到关于矩阵特征多项式的凯莱-哈密顿(CayleyHamilton)定理以及最小多项式的概念。 ➢ 因此,首先给出凯莱-哈密顿定理及最小多项式的概念,再 讨论塞尔维斯特内插法。 ➢ 下面依次介绍: ✓ 凯莱-哈密顿定理 ✓ 最小多项式 ✓ 塞尔维斯特内插法计算矩阵指数函数
约旦规范形法(4/8)—例3-5
例3-5 试求如下系统矩阵的矩阵指数函数
0 1 1
A 6
11
6
6 11 5
解 1. 先求A的特征值。由特征方程可求得特征值为
1=-1 2=-2 3=-3
2. 求特征值所对应的特征向量。由前述的方法可求得特征值
1,2和3所对应的特征向量分别为
p1=[1 0 1] p2=[1 2 4] p3=[1 6 9]
➢ 类似于标量指数函数eat,对所有有限的常数矩阵A和有限 的时间t来说,矩阵指数函数eAt这个无穷级数表示收敛。
级数求和法(2/3)
显然,用此方法计算eAt一般不能写成封闭的、简洁的解析形 式,只能得到数值计算的近似计算结果。 ➢ 其计算精度取决于矩阵级数的收敛性与计算时所取的项 数的多少。 ➢ 如果级数收敛较慢,则需计算的级数项数多,人工计算是 非常麻烦的,一般只适用于计算机计算。 ➢ 因此,该方法的缺点: ✓ 计算量大 ✓ 精度低 ✓ 非解析方法,难以得到计算结果的简洁的解析表达 式。
1 2 1
P19 18 6
2 3
1 1
3. 由系统矩阵和矩阵指数函数的变换关系,分别有
2 0 0 A ~P1AP 0 1 1
0 0 1
e2t 0 0 eA ~t 0 et tet
0 0 et
约旦规范形法(8/8)--例3-6
eAtPeA ~tP1
e2t (86t)et 9 1422e2 tet-((-2466tt))ee tt
2!
k!
I
P1APt (P1AP)2t2
(P1AP)k tk ...
...
2!
k!
P1I
At
A2t2 2!
...
Aktk k!
...P
P1eAtP
根据上述性质,对矩阵A,可通过线性变换方法得到对角线矩 阵或约旦矩阵,然后利用该类特殊矩阵的矩阵指数函数,由矩 阵指数函数的变换关系来求原矩阵A的矩阵指数函数。
例3-6 试求如下系统矩阵的矩阵指数函数
0 1 0 A 0 0 1
2 3 0
约旦规范形法(7/8)—例3-6
解 1. 先求A的特征值。由特征方程可求得特征值为
1=2 2=3=-1
2. 由于矩阵A为友矩阵,故将A变换成约旦矩阵的变换矩阵P和其 逆阵P-1分别为
1 1 0 P2 1 1
4 1 2
约旦规范形法—例3-5
故将A变换成对角线矩阵的变换矩阵P及其逆阵P-1为
1 1 1 P0 2 6
1 4 9
3 5/2 2 P13 4 3
1 3/2 1
3. 由系统矩阵和矩阵指数函数的变换关系,分别有
1 0 0 A ~P1A P0 2 0
0 0 3
et 0 0 eA ~t0 e2t 0
0 0 e3t