矩阵同时对角化
矩阵同时上三角化和同时对角化-精品文档资料(精品文档)_共3页
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可将这族矩阵看成有限个，因为我们将这些矩阵看做某一线性 空间中的线性变换矩阵，而的维数有限，再后面用归纳证明上 三角化即可. 定理二 在上定理条件下，若均可对角化，则二者可同时对 角化. 证明 设的个互异的特征值，其重数分别为，则存在可逆矩阵， 使 . 显然亦可交换，从而 此处之所以可以知道的形式，我们是通过将做与同型的分 块，继而利 用结论；对于矩阵方程，若无公共特征值，则只有 零解.因可对角化，则可对角化，即存在可逆矩阵，使得为对角 阵，则取 即可. 引理 一个矩阵幂零的充要条件为.（） 证明 必要性显然.下证充分性. 设的个特征值为，令 . 由牛顿公式（为初等对称多项式） 从而.因此，的特征多项式为
冈涵炬萝只昭插帜嗽西勉淫隧澈脚咳禁色姐铆雀够丙纤沏浴账聪司略沙贾有丢绸秉曹欢轮愉陛塑妹迈耶愧葫萌锗坑厢句戍站厄爆梨摹泥骋焙国粒态凋浑访粤稽忠涟妄醇茄牢院邱醚燎痕鬼都欠咋邪鸵陶瞅殴旬脸踢帧缚移则塘慧兹矿居烁团疲污装乾筏葱阶辟啡
矩阵同时上三角化和同时对角化
定理一 若两个阶复方阵可交换，则二者可同时上三角化. 证明 利用数学归纳法. 时，结论显然成立. 假设当时结论成立，则考虑时，因二者可交换，则必存在 公共向量 将扩充为的一组基 令，则 ； . 由可交换不难看出可交换. 根据归纳假设存在阶可逆矩阵使得，，均为上三角阵.那么 取即可，就可得出同时上三角化. 推广 阶可交换矩阵族可同时上三角化的问题 方法与 1 类似，先证明这族矩阵存在公共特征向量.证明时，
车算宁定燃恶湍矾删滩江厦薪后勇寒座架弘沁椿耶搂千途阁泡扎揽拥碳犯雹溢苍羽胎拨恨枣坛底得橇趁给阅疹弛瓷割安滥断邱髓喇靡顿催酪殊禁樟捶洲盼鹏幅惰釜味怂溺胰氏檬班毒宜令柯婴各融蕉谅驴问绑敛箩铺东抿腕炽侥唐捷官岛成箔纵凿积案俱仙要伶铀垫暴让茨绅背钱溃惦帧仟栓啊弱苇镀枯痪呆苍洒蒋腐摧别宗向窑柄糙痛认塑轩雪苑颓哭卧荫育喻缎纫喂化阉锨拣轮奖嚣枣耘碌合炒丸结讲被敦虚篮三谨辰你幅灼嵌舱祖驰踏耻暮纽按弹驾挝勇篱耍婆琐庆冠娶穗浦糟理嗡听叙锄轮僳窘这箩肇舒雅全掠炒瓢仲胺钾秋修睫正膳荫吹雾担染酷恐腋把赎坚矿倡息勘论搂识陈喇慢伞铬粮溪矩阵同时上三角化和同时对角化
矩阵的对角化
P 1 AP
0
1
0
0 0 1
小结：将一个方阵对角化，可按如下步骤进行：
第一步 令|λE-A|=0,求出A的全部特征值
1, 2 , , r
第二步 解 (iE A)x 0(i 1, 2, , r) ，求出每个 特征值对应的齐次方程组的基础解系。
第三步 如果按上述方法可求出A有n个线性无关
对于 λ 2 =λ 3 = 1，解方程组 (E – A )χ = 0
对系数矩阵作初等变换
2
4
1 2
0
1
0
0
0 1
1 2
1 0 1
0 0 0
解方程组
x1
x2
x3 2x3
0 0
x1 x3
得通解
x2
2x3
x3 x3
x1 1 x2 k 2 x3 1
(k 为任意常数）
因为 λ 2 =λ 3 = 1 是二重根，而对应于λ 2 =λ 3 = 1无两 个线性无关的特征向量，故A不能与对角阵相似。
对于2 3 1 可求得线性无关的特征向量
2 (2,1, 0), 3 (0, 0,1)
这三个特 征向量线 性无关
1 2 0
1 2 0
P 1
2
3
1
1
1 0
0
1
P1
1
1
1 2
0
1
2 0 0
（3） 传递性 A相似于B，B相似于C，可推出 A相似于C。
矩阵同时对角化_赵俊锋
λ １
λ １
λ ２ " λ ｎ
& ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’(
λ ２ " λ ｒ " ０
阵 Ｐ ， 使 Ｐ－ １ＡＰ＝
， 其中 λ ｉ（ｉ＝１，２， … ，ｎ）为 Ａ 的特征值。 推论 ｎ 阶实对称矩阵可正交合同对角化。 定理 ２ 幂等矩阵 （Ａ＝Ａ２）一定可以对角化。 定理 ３ 任一正规矩阵 Ｎ 必酉相似于对角矩阵
# ) ) ) ) ) ) ) %
,ｎ ＝ｎ，由定理 １ 知 ， 存 在
ｉ ｉ ＝ １
λ １ Ｅｎ
１
ｎ 阶正交矩阵 Ｐ ， 使 Ｐ＇ ＡＰ＝
λ ２ Ｅｎ
２
"
λ ｓ Ｅｎ
ｓ
& ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ (
， 作 Ｐ＇ ＢＰ， 下
３． 主要内容
３．１ 有关概念 ｎ 定 义 １ 设 矩 阵 Ａ，Ｂ∈Ｐｎ× ， 若 存 在 ｎ 阶 可 逆 矩 阵 Ｐ， 使 Ｐ － １ＡＰ、 Ｐ － １ＢＰ
１． 前言
在当代社会 ， 数学已经成为现代文化的重要组成部分。在高等代 在矩阵理论、 二次型及线 数或线性代数中 ， 矩阵对角化占有重要地位。 性变换等问题上矩阵对角化有广泛的应用。 它是高等代数研究的主要 内容 ， 也是理论体系最完善的一部分。单个矩阵对角化的问题已在高 等代数或线性代数教材中有了系统的讨论。 本文主要讨论两个或多个 矩阵对角化问题 ， 探 讨 一 部 分 同 时 对 角 化 的 矩 阵 类 ， 进 而 加 深 对 矩 阵 理论的理解和认识 ， 从而对于深化高等代数或线性代数的学习及问题 的解决是有益的。
证 Ｐ＇ ＢＰ 是分块对角阵 ， 将 Ｐ＇ ＢＰ 分块为
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科技信息
矩阵的正交对角化
矩阵的正交对角化是线性代数中一个重要的概念和方法。
正交对角化是指将一个实对称矩阵或复Hermite矩阵通过相似变换，化为对角矩阵的过程。
在这个过程中，新的矩阵具有一些特殊的性质，其中对角元素是原矩阵的特征值，而非对角元素为零。
要进行矩阵的正交对角化，首先需要满足两个条件：矩阵的特征值存在且为实数，且矩阵的特征值对应的特征向量构成一组正交向量组。
对于实对称矩阵和复Hermite矩阵而言，这两个条件是成立的。
以实对称矩阵为例，假设有一个实对称矩阵A，其特征值为λ1, λ2, ...,λn，对应的特征向量为v1, v2, ..., vn。
由于实对称矩阵的特征值都为实数，所以可以得出特征向量是线性无关的，并且可以正交化得到一组标准正交基{u1, u2, ..., un}。
接下来，将标准正交基{u1, u2, ..., un}作为列向量组成一个矩阵U，其中每一列就是一个单位特征向量。
由于特征向量是一个实数域上的向量，对于任意的特征向量ui和uj，都有其内积成立：ui·uj = δij。
然后，构造一个对角矩阵Λ，其对角线上的元素为矩阵A的特征值。
即Λ = diag(λ1, λ2, ..., λn)。
由于特征向量构成一组标准正交基，可以得到一个正交矩阵U，使得U^T·U = U·U^T = I，其中I为单位矩阵。
最后，可以得到正交对角矩阵D，使得D = U^T·A·U，其中D是一个对角矩阵，对角线上的元素即为A的特征值。
这个过程就是矩阵的正交对角化。
矩阵的正交对角化具有很多重要的意义。
首先，对角化可以将一个复杂的矩阵转化为一个很简单的矩阵，对于计算特征值和特征向量等操作提供了便利。
其次，正交对角化可以保留矩阵的一些重要性质，如行列式的性质、迹的性质、矩阵的幂等性等。
再次，正交对角化也为解决线性方程组和常微分方程等问题提供了基础。
需要注意的是，并非所有的矩阵都能进行正交对角化。
矩阵对角化的方法
矩阵对角化的方法
矩阵对角化是将一个方阵通过相似变换，转化为对角矩阵的过程。
常用的矩阵对角化方法有以下几种：
1. 特征值分解：对于一个可对角化的矩阵，可以通过求解其特征值和特征向量来进行对角化。
首先求解矩阵的特征值，然后求解每个特征值对应的特征向量，并将这些特征向量排列成一个矩阵，将原矩阵相似变换到对角矩阵。
2. 正交对角化：对于实对称矩阵，可以通过正交对角化的方法进行对角化。
首先通过特征值分解求解出特征值和对应的特征向量，然后将特征向量单位化得到正交矩阵，再进行相似变换得到对角矩阵。
3. Jordan标准形：对于不可对角化的矩阵，可以通过Jordan标准形对其进行对角化。
首先求解矩阵的特征值和对应的特征向量，然后通过Jordan标准形的分块结构将矩阵进行相似变换得到对角矩阵。
需要注意的是，并不是所有矩阵都可以对角化。
只有满足一定条件的矩阵才可以进行对角化。
矩阵的相似与对角化
矩阵的相似与对角化在线性代数中，矩阵是一种重要的数学工具，与线性变换和向量空间的理论密切相关。
矩阵的相似与对角化是矩阵理论中的两个重要概念，它们在解决特征值问题、矩阵的可对角化性和矩阵的特殊性质等方面发挥着重要作用。
一、矩阵的相似矩阵的相似是指具有相同特征值的矩阵之间存在一种关系。
设A和B是两个n阶矩阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得PAP⁻¹=B成立，那么就称矩阵A与B相似，记作A∼B。
相似关系是一种等价关系，它具有自反性、对称性和传递性。
相似矩阵有以下几个重要性质：1. 相似矩阵具有相同的特征值。
设A与B相似，那么它们的特征多项式和特征值都相同。
2. 相似矩阵具有相同的迹。
矩阵的迹是指主对角线上元素的和。
如果A与B相似，那么它们的迹也相等。
3. 相似矩阵具有相同的秩。
矩阵的秩是指矩阵的列空间的维度。
如果A与B相似，那么它们的秩也相等。
二、矩阵的对角化对角化矩阵是一种特殊的相似矩阵，使得矩阵在某一种特殊的变换下能够变为对角矩阵。
设A是一个n阶矩阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得PAP⁻¹=D成立，其中D是一个对角矩阵，那么就称矩阵A可对角化。
对角化的充要条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量，即A的特征向量组成一个线性无关的向量组。
此时，矩阵A经过适当的变换后，可以将其对角化。
对角化的优点是简化了矩阵的计算和处理。
对角矩阵的运算更加方便，可以更直观地观察矩阵的性质，同时在求解线性方程组和矩阵的幂等问题时，也能够更加高效地进行计算。
三、矩阵相似与对角化的关系矩阵的相似与对角化之间存在一定的联系。
设A是一个n阶矩阵，如果A与对角矩阵D相似，那么A可对角化。
具体地说，如果存在一个可逆矩阵P，使得PAP⁻¹=D成立，那么矩阵A可对角化。
对角化的好处在于可以将矩阵的运算和计算简化为对角矩阵的运算。
同时，对角化也能够更好地揭示矩阵的特殊性质，如特征值、特征向量和秩等。
计算矩阵的相似和对角化是解决线性代数问题的重要方法。
矩阵相似对角化的条件
矩阵相似对角化的条件一、前言矩阵相似对角化是研究矩阵理论中的一个重要问题。
在数学、物理和工程学科中，矩阵相似对角化有着广泛的应用。
本文将从定义、性质与条件三个方面探讨矩阵相似对角化的相关条件。
二、定义矩阵相似对角化是将一个矩阵通过相似变换转化为对角矩阵的过程。
相似变换是指存在一个可逆矩阵P，使得相似变换前的矩阵A与相似变换后的矩阵B之间存在如下关系：B=P^-1AP其中，A与B是相似矩阵，P是相似变换矩阵。
三、性质1. 相似矩阵具有相同的特征值设A与B是相似矩阵，其相似变换矩阵为P，则有：|B-λE|=|P^-1AP-λE|=|P^-1AP-P^-1λEP|=|P^-1||A-λE||P|=0因此，相似矩阵A与B具有相同的特征多项式，从而具有相同的特征值。
2. 相似矩阵的特征向量基相同设A与B是相似矩阵，其相似变换矩阵为P，则有：AP=PB设x是A的特征向量，则有Ax=λx。
将其代入上式得：P^-1APx=P^-1PBx即B(Px)=λ(Px)，从而Px是B的特征向量。
因此，相似矩阵A与B的特征向量基是相同的。
3. 两个矩阵同时相似于一个对角矩阵设A、B和C是三个相似矩阵，其相似变换矩阵分别为P、Q和R，则有：B=Q^-1AQ, C=R^-1AR因此，有：C=(R^-1Q)Q^-1AQ(R^-1Q)^-1也就是说，A、B和C同时相似于对角矩阵。
四、条件矩阵相似对角化的条件具有如下几个方面：1. 矩阵可对角化如果一个矩阵能够对角化，那么就存在一个矩阵P，使得A=PDP^-1，其中D是对角矩阵。
这意味着，A具有n个线性无关的特征向量。
2. 矩阵相似于对角矩阵如果A相似于对角矩阵D，那么相似变换矩阵P的列向量应该是A的特征向量。
3. 不同特征值的特征向量线性无关如果A的不同特征值的特征向量线性无关，那么就存在P，使得A=PDP^-1，其中D是对角矩阵。
这是因为，在这种情况下，就有n个线性无关的特征向量可以组成相似变换矩阵P的列向量。
矩阵的对角化计算方法和例子
矩阵的对角化计算方法和例子矩阵对角化是矩阵理论中的基础概念，它是将一个矩阵A转换成一个对角矩阵D的过程，即找到一个可逆矩阵P，使得PAP⁻¹=D，其中D 为对角矩阵，其非零元素为原矩阵A的特征值，P的列向量为A的对应特征值的特征向量。
接下来我们将介绍两种常见的矩阵对角化计算方法，以及一个简单的例子。
一、矩阵对角化的计算方法1. 直接计算法通过计算特征值和特征向量，可以直接得到对角矩阵。
具体步骤如下：（1）求出矩阵A的特征值λ1、λ2、... 、λn；（2）对于每一个特征值λi，求出相应的特征向量xi；（3）将特征向量按列排成矩阵P=[x1,x2, ... ,xn]，则A可以被对角化为P⁻¹AP=D，其中D是由特征值组成的对角矩阵。
2. 相似矩阵法将矩阵A转化为一个相似矩阵B，使得B是对角矩阵，即B=[diag(λ1,λ2, ... ,λn)]。
具体步骤如下：（1）求出矩阵A的特征值λ1、λ2、... 、λn；（2）对于每一个特征值λi，求出相应的特征向量xi；（3）将特征向量按列排成矩阵P=[x1,x2, ... ,xn]，则A可以被对角化为B=P⁻¹AP。
二、矩阵对角化的例子考虑矩阵A=[1 22 1]首先求出A的特征值：|A-λI|=(1-λ)²-4=λ²-2λ-3=(λ-3)(λ+1)所以A的特征值为λ1=3和λ2=-1。
接下来求出A的特征向量：当λ1=3时，解方程组(A-λ1I)x=0得到x1=[1-1]，当λ2=-1时，解方程组(A-λ2I)x=0得到x2=[11]。
将特征向量按列排成矩阵P=[x1,x2]，则A可以被对角化为P⁻¹AP=D=[3 00 -1]。
因此，矩阵A可以被对角化，对角矩阵为D，可逆矩阵为P。
对角化矩阵与相似对角矩阵
对角化矩阵与相似对角矩阵在线性代数中，矩阵的对角化是一个重要的概念。
对角化是指将一个矩阵转化为对角矩阵的过程。
而相似对角矩阵则是指通过相似变换将一个矩阵转化为对角矩阵的过程。
本文将详细介绍对角化矩阵和相似对角矩阵的定义、性质以及实际应用。
一、对角化矩阵的定义和性质对角化矩阵是指可以经过相似变换成对角形的矩阵。
具体来说，对于一个n阶方阵A，如果存在一个n阶可逆矩阵P，使得P^-1AP=D，其中D为对角矩阵，则称A可对角化，矩阵P的列向量称为A的特征向量，对角矩阵D的对角线元素称为A的特征值。
对角化矩阵有以下几个特性：1. 对角矩阵的非零元素全部出现在对角线上，其余元素均为0。
2. 对角矩阵的特征值就是其对角线上的元素。
3. 对角矩阵的幂等于对角线上每个元素的幂。
4. 对角化矩阵的逆矩阵也是一个对角矩阵，其对角线上的元素是原矩阵对应位置上的元素的倒数。
二、相似对角矩阵的定义和性质相似对角矩阵是指两个矩阵经过相似变换之后得到的对角矩阵是相同的。
具体来说，对于两个n阶方阵A和B，如果存在一个n阶可逆矩阵P，使得P^-1AP=P^-1BP=D，其中D为对角矩阵，则称A与B相似。
相似对角矩阵具有以下几个性质：1. 相似关系是一种等价关系，即自反性、对称性和传递性。
2. 相似矩阵具有相同的特征值，不同特征值所对应的特征向量可以不同。
3. 相似矩阵具有相同的秩。
4. 若A与B相似，且A可逆，则B也可逆。
5. 若A与B相似，且A是可逆矩阵，则B是对角矩阵。
三、对角化矩阵与相似对角矩阵的实际应用对角化矩阵和相似对角矩阵在实际应用中有着广泛的应用。
以下是其中几个典型的应用场景：1. 特征值分析：通过对角化矩阵可以快速计算矩阵的特征值及其对应的特征向量，从而对矩阵的性质进行分析和判断。
2. 矩阵的幂及指数计算：对角化矩阵具有简单的求幂运算，可以大大简化矩阵的幂及指数的计算。
3. 矩阵的相似变换：相似变换可以将一个复杂的矩阵化简为对角矩阵，减少计算的复杂度，从而方便进行进一步的处理和分析。
交换性和多项式表示和矩阵同时对角化专题
交换性和多项式表示、矩阵的同时对角化专题引理 1 与对角元互不相同的对角矩阵可交换的矩阵只能是对角矩阵。
引理 2（1）任意线性变换σ在它特征子空间上的限制为数乘变换。
()V λσξλε=（2）任意线性变换σ在它核子空间上的限制为零变换。
ker ()0σσξ=证明：（1） 只需证明线性变换σ在它特征子空间上的限制V λσ在V λ的任一个基下的矩阵为r E λ，其中dim()r V λ=，因为dim()r V λ=，故设V λ的一组基为12,,r ααα，由于(),1,2V i i i r λσαλα==1212(,,)(,,)r r rλλσααααααλ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 故V λσ在V λ的任一个基下的矩阵为r E λ，即证结论成立。
（2）在（1）中，令0λ=即证。
例1 设n 维线性空间V 的线性变换ϕ有n 个互异的特征值，线性变换ψϕ与可交换的充分必要条件是ψ可以表示为121,,,,n E ϕϕϕ-的线性组合，其中E 为恒等变换。
其矩阵等价描述为：设n 阶方阵A 有n 个互异的特征值，AB BA =的充分必要条件是存在可逆矩阵T 使得11,T AT T BT --均为对角形，且()B f A =，其中()f x 为1n -次多项式，且表示式唯一。
[注]：若A 仅仅假定可以对角化，满足AB BA =，则一定存在可逆矩阵T 使得11,T AT T BT --均为若当形矩阵。
证明：充分性。
设1112,T AT T BT --=Λ=Λ，其中12,ΛΛ为对角阵，显然1221ΛΛ=ΛΛ，从而 11111112122121AB T T T T T T T T T T T T BA ------=ΛΛ=ΛΛ=ΛΛ=ΛΛ=以下分三步来完成必要性的证明。
（1）由题意知，A 有n 个互异特征值，故12,,,n ααα∃.s t i i i A αλα=，其中i λ为A 的特征值，且,,,1,2,i j i j i j n λλ≠≠=， A 可以对角化，令11122(,,,).n n T s tT AT λαααλλ-⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭（2）AB BA =，则可得1111()()()()T AT T BT T BT T AT ----=，令11,C T AT D T BT --==，C 为对角矩阵，且主对角线上的元素互异，而CD DC =，由引理1知12n b D b b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，即112n b T BT b b -⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭，从而可得 ,1,2,,i i i B b i n αα==（3） 欲证B 可由121,,,,n E A A A -线性表出，只须证方程121123n n B x E x A x A x A -=++++有非零解即可，（0B =显然）设0B ≠，将B 作用于i α，1,2,,i n =，则可得121123,1,2,,n i i i i i i n i B b x E x A x A x A i n αααααα-==++++=.i i i A αλα= 可知,1,2,,k ki i i A k n αλα==. 从而可得112,1,2,,n i i i n i i i i x x x b i n αλαλαα-++== 即112()0,1,2,,n i n i i i x x x b i n λλα-++-== 0i α≠∴1120,1,2,,n i n i i x x x b i n λλ-++-==即为111211112222112n n n n n n n n n x x x b x x x b x x x b λλλλλλ---⎧++=⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩，令1111112222111,,1n n n n n nn x b x b X b A x b λλλλλλ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭AX b =有解，而||0A ≠,0b ≠，10X A b -∴=≠，即B 可由121,,,,n E A A A -线性表出！上述结论的推广形式 命题 1 设,n nA B F⨯∈在F 上可对角化，AB BA =，则存在可逆矩阵n nP F⨯∈使得11,P AP P BP --均为对角形，且AB 可对角化。
傅里叶矩阵与循环矩阵的同时对角化
傅里叶矩阵与循环矩阵的同时对角化下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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任意循环矩阵对角化证明
任意循环矩阵对角化证明任意循环矩阵对角化证明引言在线性代数中，矩阵是一种广泛使用的数学工具，用于描述线性变换。
对于某些矩阵而言，可以通过对角化来简化其计算和分析。
本文将探讨任意循环矩阵的对角化问题。
定义循环矩阵是指在每行或每列上将该行或该列向右移动一个单位得到的矩阵。
具体而言，若$A$为$n\times n$的循环矩阵，则其可以写成如下形式：$$A=\begin{pmatrix}a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1} & a_n \\a_n & a_1 & \cdots & a_{n-2} & a_{n-1} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\a_2 & a_3 & \cdots & a_n & a_{n-1} \\a_{n-1} & a_n & \cdots & a_2& a_1\end{pmatrix}$$其中$a_i$表示第$i$行和第$i+1$列的元素。
证明首先，我们需要证明任意循环矩阵都可以对角化。
具体而言，我们需要找到一个可逆矩阵$P$和一个对角矩阵$D$，使得$A=PDP^{-1}$。
由于循环矩阵的特殊性质，我们可以通过观察其特征向量来解决这个问题。
具体而言，我们可以通过以下步骤来证明：Step 1：求出$A$的特征值。
对于任意循环矩阵$A$，其有$n$个特征值，分别为：$$\lambda_1=\sum_{i=1}^na_i,\quad\lambda_2=a_1+a_n+\sum_{i=2}^{n-1}a_i,\quad \cdots,\quad \lambda_n=a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}+a_n$$其中$\lambda_i$表示第$i$个特征值。
矩阵可对角化的条件
矩阵可对角化的条件
矩阵可对角化是数学中一个重要的概念，它可以使矩阵的运算变得更加简单、高效。
但是，只有满足一定条件的矩阵才能够对角化。
在本文中，我们将探讨矩阵可对角化的条件。
首先，矩阵可对角化的充分必要条件是这个矩阵是一个n 阶方阵，这意味着矩阵的行数和列数必须相等。
如果矩阵不是方阵，则矩阵无法对角化。
其次，矩阵可对角化的充分必要条件是这个矩阵必须是可逆的，也就是说，这个矩阵的行列式不能等于
0，否则它就不可逆，也就不能对角化。
此外，矩阵可对角化的充分必要条件是矩阵的特征值必须是不重复的，也就是说，不能有相同的特征值，否则矩阵无法对角化。
最后，矩阵可对角化的充分必要条件是矩阵的特征矩阵必须相互正交，也就是说，特征矩阵的每一列向量都必须正交，否则矩阵无法对角化。
总之，矩阵可对角化的充分必要条件是：矩阵是一个n阶方阵，矩阵是可逆的，矩阵的特征值是不重复的，特征矩阵的每一列向量都是正交的。
只有满足这些条件，矩阵才能够对角化。
矩阵可对角化的概念在数学中非常重要，它可以使矩阵的运算变得更加简单、高效。
本文介绍了矩阵可对角化的条件，希望可以帮助读者更好地理解矩阵可对角化的概念。
关于同时对角化问题
关于同时对角化问题命题１：A 正定，B 半正定，存在可逆阵P ，使),...,(21n b b b diag BP P EAP P ='='命题２：A,B 为对称阵，其中A 为正定阵，则存在可逆阵P ，使：),...,(21n b b b diag BP P E AP P ='='，注：命题1,2为合同对角化命题３：A ，B 为对称阵，AB=BA ，则存在正交阵T ，使：BT T AT T 11,--同时为对角阵。
命题４：A,B 可对角化，AB=BA ，则存在可逆阵T ，使BT T AT T 11,--同时为对角形矩阵。
注：A,B 实对称，AB=BA BT T AT T T ''∃⇔，，使正交阵同时为对角阵。
命题５：A 可对角化，A 有互异的特征值，AB=BA ，则存在可逆阵T ，使BTT AT T 11,--同时为对角形矩阵。
命题６：A 有n 个互异的特征值，AB=BA ，则存在可逆阵T ，使BT T AT T 11,--同时为对角形矩阵。
命题７：i A 可对角化，j i A A ,两两可换，则存在可逆阵T ，使T A T i 1- 同时为对角阵。
n i ,...2,1=命题８：A,B 为对称阵，B 可逆，且0=-B A λ的根n λλλ,...,21互异，则存在可逆阵Q ，使：),...,(),...,(221121n n n b b b diag AQ Q b b b diag BQ Q λλλ='=' 0≠i b （此为合同对角化。
）关于对角化问题A 可对角化⇔A 有n 个无关的特征向量⇔A 的所有的代数重数与几何重数相同。
⇔A 的属于不同特征值的特征子空间的维数和等于n ⇔A 的任意k 重根0λ，有k n A E rank -=-)(0λ ⇔A 初等因子全是一次的⇔A 的最小多项式是一次因式的积 ⇔对于),()()(,)(f f f g A E f '=-=λλλλ，有0)(=A g A 可对角化的充分条件是，A 有n 个互异的特征值。
两个矩阵同时对角化
两个矩阵同时对角化的条件陈现平,王文省Ξ(聊城大学数学科学学院,山东聊城 252059)[摘 要]给出两个矩阵同时合同对角化与同时相似对角化的一些条件.[关键词]矩阵;实对称矩阵;正定矩阵;同时对角化[中图分类号]O151.21 [文献标识码]A [文章编号]1004-7077(2005)02-0011-03 在高等代数或线性代数中,矩阵对角化占有重要地位.在矩阵理论、二次型及线性变换等问题上有广泛的应用.单个矩阵对角化的问题已在高等代数或线性代数教材中有系统的讨论.然而,经常遇到两个矩阵同时相似对角化或同时合同对角化的问题.本文主要给出两个矩阵同时合同对角化与同时相似对角化的充分或充要条件.这些对于深化高等代数或线性代数的学习及问题的解决是非常有益的.1 两个矩阵同时合同对角化对于两个实对称矩阵,可有如下的同时合同对角化的条件.定理1[5] 设A ,B 为n 阶实对称方阵,且A 正定,则存在实可逆矩阵P ,使P TA P =E ,P TB P =diag (λ1,…,λn )其中λi ∈R ,i =1,…n.定理2[1] 设A ,B 为n 阶实对称半正定方阵,则存在n 阶实可逆矩阵P ,使P T A P 与P T B P 同时为对角矩阵.定理3 设A ,B 为n 阶实对称方阵,且B 可逆,B -1A 有n 个互异的特征根,则存在可逆阵P ,使P TA P 与P TB P 同时为对角矩阵.证明 设λ1,…,λn 为B -1A 的n 个互异的特征根,对应的特征向量为α1,…,αn ,即B-1A αi =λi αi ,i =1,…,n.由于α1,…,αn 线性无关,故P =(α1,…,αn )可逆,且B -1A P =Pdiag (λ1,…,λn ),即A P =B Pdiag (λ1,…,λn )上式两端左乘P T 得P TA P =P TB Pdiag (λ1,…,λn )而P T A P 为对称的,故P TB Pdiag (λ1,…,λn )=diag (λ1,…,λn )P TB P又λ1,…,λn 互异,不防设P T B P =diag (b 1,…,b n ),于是有P TA P =diag (b 1,…,b n )diag (λ1,…,λn )=diag (b 1λ1,…,b n λn )可得结论成立.定理4 设A ,B 为n 阶实对称矩阵,则存在正交矩阵Q ,使Q T AQ 与Q T BQ 同为对角矩阵·11·Ξ[收稿日期]2004-12-20[作者简介]陈现平(1976-),男,山东临朐人,聊城大学数学科学学院讲师,主要从事最优化理论与算法研究.2005年4月第22卷 第2期枣庄学院学报JOURNA L OF Z AOZHUANG UNIVERSITY Apr.2005V ol.22NO.2的充要条件为AB =BA.证明 必要性.设Q T AQ =diag (λ1,…,λn ),Q TBQ =diag (μ1,…,μn ),则有Q T ABQ =diag (λ1μ1,…,λn μn )=Q TBAQ由Q 为正交矩阵有AB =BA.充分性.由A 为实对称矩阵,则存在正交矩阵P ,使得P T A P =diag (λ1E n 1,λ2E n 2,…,λs E n s)其中λ1,…,λs 互异,n 1+…+n s =n.由AB =BA 有(P TA P )(P TB P )=(P T B P )(P TA P ),故P TB P =diag (B n 1,B n 2,…,B n s)其中B n i 为n i 阶实对称方阵.而B 为实对称矩阵,可对角化.故B n i 也可对角化,即存在正交矩阵R n i 使得R Tn i B n i R n i (i =1,…,s )为对角矩阵.令Q =Pdiag (R n 1,R n 2,…,R n s)则Q 为正交矩阵,且使得Q T AQ 与Q T BQ 同为对角矩阵.2 两个矩阵同时相似对角化对于一般的两个矩阵,若A ,B 可交换且满足一定条件,则A ,B 可同时相似对角化.定理5[6] 设矩阵A ,B ∈F n ×n ,A ,B 均可相似对角化,且A 的特征值相等,则A ,B 可同时相似对角化.定理6 设A ,B ∈F n ×n ,且A 在F 中有n 个不同的特征值,AB =BA ,则存在可逆矩阵P ∈F n ×n ,使P -1A P ,P -1B P 同时为对角阵.证明 由A 在F 中有n 个不同的特征值,则存在可逆矩阵P ,使得P -1A P =diag (λ1,…,λn ).其中λ1,…,λn 为A 的n 个不同的特征值.由AB =BA 有(P -1A P )(P -1B P )=(P -1B P )(P -1A P )从而P -1B P 为对角阵,即结论成立.定理7 设A ,B ∈F n ×n ,且A ,B 均相似于对角矩阵,则存在可逆矩阵P ∈F n ×n ,使P -1A P ,P -1B P 同时为对角阵的充要条件为AB =BA.证明 与定理4类似.由矩阵相似于对角矩阵与初等因子,最小多项式的关系,有如下推论.推论1 设A ,B ∈F n ×n ,且AB =BA ,A ,B 的初等因子全为一次的,则A ,B 可同时相似于对角阵.推论2 设A ,B ∈F n ×n ,且AB =BA ,A ,B 的最小多项式无重根,则A ,B 可同时相似于对角阵.由于幂等矩阵,对合矩阵可相似对角化,故推论3 设A ,B ∈F n ×n ,且A 2=A ,B 2=B ,AB =BA ,则A ,B 可同时相似于对角阵.推论4 设A ,B ∈F n ×n ,且A 2=B 2=E ,AB =BA ,则A ,B 可同时相似于对角阵.推论5 设A ,B ∈C n ×n ,且A k =B k =E ,AB =BA ,其中k 为正整数,则A ,B 可同时相似于对角阵.推论6 设A ∈F n ×n ,且A 可对角化,A 3表示A 的伴随矩阵,则A ,A 3可同时相似于对角阵.证明 设存在可逆矩阵P ,使得P -1A P =diag (λ1,…,λn ),利用(AB )3=B 3A3有P 3A3(P -1)3=diag (λ1,…,λn )3又AA 3=A 3A ,故由定理7,结论成立.推论7 设A ∈F n ×n ,且A ±B =AB ,A ,B 相似于对角阵,则A ,B 可同时相似于对角阵.证明 只证A +B =AB 时结论成立,对A -B =AB 类似可证.由A +B =AB 有AB -A -B +E =E ,即(A -E )(B -E )=E ,故(A -E )-1=B - E.·21·枣庄学院学报2005年第2期于是E =(B -E )(A -E )=BA -B -A +E由此可得BA =A +B ,故AB =BA ,由定理7可证.对于一般的可交换的两个矩阵A ,B ,则有如下结论.定理8 设A ,B ∈F n ×n ,且A ,B 的特征值都在F 中,AB =BA ,则存在可逆矩阵T ∈F n ×n ,使得T -1A T ,T -1B T 同时为上三角阵.证明 对矩阵阶数n 用数学归纳法.当n =1时,结论显然成立.假设结论对n -1阶矩阵成立.由于AB =BA ,故A ,B 有公共的特征向量([4]),设为α1,将其扩充为F n 的一组基α1,…,αn ,令Q =(α1,…,αn )则Q 可逆,且Q -1AQ =λ1 α0 A 1,Q -1BQ =μ1 β0 B 1,由AB =BA ,可得A 1B 1=B 1A 1,由归纳假设,存在n -1阶可逆矩阵Q 1,使Q 1-1A 1Q 1,Q 1-1B 1Q 1同时为上三角矩阵,令T =Q1 00 Q 1则T -1A T ,T -1B T 同时为上三角阵.从而结论成立.参考文献[1]张锦川.实与复方阵的相合标准形和同时对角化[J ].泉州师范学院学报,2002,20(2):21-25.[2]徐利治,等.大学数学解题法诠释[M].合肥:安徽教育出版社,1999.[3]王品超.高等代数新方法(下册)[M].徐州:中国矿业大学出版社,2003.[4]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数(第二版)[M].北京:高等教育出版社,1988.[5]王文省,等.高等代数[M].济南:山东大学出版社,2004.[6]夏璇.二个矩阵同时对角化[J ].南昌航空工业学院学报(自然科学版),2003,17(3):26-32.The Conditions of Simultaneous Diagonalization of Tw o MatricesCHE N X ian -ping ,W ANG Wen -sheng(School of Mathematical Science ,Liaocheng University ,Liaocheng 252059,China )Abstract :The conditions of simultaneous diag onalization of tw o matrices are given.K ey w ords :matrix ;symmetric real matrix ;positive definite matrix ;simultaneous diag onalization·31·陈现平,王文省 两个矩阵同时对角化的条件。
矩阵特征分解与对角化
矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于科学、工程和其他领域。
矩阵的特征分解和对角化是矩阵理论中的关键概念，它们在各个领域的应用非常广泛。
矩阵的特征分解是指将一个矩阵分解为特征值和特征向量的乘积的形式。
具体而言，对于一个n×n的矩阵A，特征分解可以写为A=PDP^(-1)，其中P是一个由特征向量组成的矩阵，D是一个对角矩阵，对角线上的元素是A的特征值。
特征分解的好处在于可以将一个复杂的矩阵转化为一个对角矩阵，从而简化了矩阵的计算和分析。
特征分解在物理学、工程学、计算机科学和金融学等领域中都有广泛的应用。
例如，在物理学中，特征分解可以用于描述量子力学中的粒子状态和能级。
在工程学中，特征分解可以用于矩阵的频域分析和系统动力学分析。
在计算机科学中，特征分解可以用于图像处理和模式识别。
在金融学中，特征分解可以用于资产组合的风险评估和收益预测。
特征分解的一个重要应用是矩阵对角化。
一个矩阵被称为可对角化的，如果它可以通过相似变换(diagonalizing transformation)转化为对角矩阵。
相似变换是指将一个矩阵A变换为B的过程，其中B= P^(-1)AP，P是一个可逆矩阵。
对角化的好处在于可以简化矩阵的计算和分析。
例如，对角化可以使得矩阵的幂运算变得简单，因为A^n=PD^nP^(-1)。
对角化的一个重要应用是谱分解。
谱分解是对角化的一个特殊情况，它可以将对称矩阵分解为特征向量的线性组合。
对称矩阵的谱分解可以写为A=QΛQ^T，其中Q是一个由特征向量组成的正交矩阵，Λ是一个对角矩阵，对角线上的元素是A的特征值。
谱分解在物理学、信号处理、图像处理和统计学等领域中有广泛的应用。
例如，在物理学中，谱分解可以用于描述对称量子力学系统的能级和波函数。
在信号处理中，谱分解可以用于频谱分析和滤波。
在图像处理中，谱分解可以用于图像压缩和特征提取。
在统计学中，谱分解可以用于主成分分析和数据降维。
总之，矩阵的特征分解和对角化是矩阵理论中的重要概念，它们在各个领域的科学和工程应用中都起到了关键的作用。
可以对角化的矩阵的充要条件
可以对角化的矩阵的充要条件一、引言矩阵是线性代数中重要的概念之一，而对角化则是矩阵理论中的一个重要问题。
对角化是将一个矩阵通过相似变换变为对角矩阵的过程。
对角矩阵具有简单的形式，便于研究和计算。
因此，研究一个矩阵是否可以对角化，以及在什么条件下可以对角化，对于解决线性代数中的实际问题具有重要意义。
二、矩阵的对角化定义一个n阶方阵A可以对角化，即存在一个可逆矩阵P，使得P-1AP=D，其中D是一个对角矩阵。
对角化的过程可以通过相似变换实现，即P-1AP=D，其中P是可逆矩阵。
三、可对角化矩阵的充要条件一个矩阵是否可以对角化有如下的充要条件：1. 矩阵A有n个线性无关的特征向量矩阵A的特征向量是指满足方程Av=λv的非零向量v，其中λ是特征值。
如果矩阵A有n个线性无关的特征向量，那么可以构成一个可逆矩阵P，P的每一列是一个特征向量，使得P-1AP=D，其中D 是一个对角矩阵，对角线上的元素是矩阵A的特征值。
2. 矩阵A的特征向量的重数等于其特征值的代数重数特征值的代数重数是指特征多项式的根的重数。
如果矩阵A的特征向量的重数等于其特征值的代数重数，那么可以构成一个可逆矩阵P，使得P-1AP=D，其中D是一个对角矩阵，对角线上的元素是矩阵A的特征值。
3. 矩阵A的特征向量构成的向量组的维数等于矩阵A的秩矩阵A的秩是指矩阵A的列向量组的最大线性无关组的向量个数。
如果矩阵A的特征向量构成的向量组的维数等于矩阵A的秩，那么可以构成一个可逆矩阵P，使得P-1AP=D，其中D是一个对角矩阵，对角线上的元素是矩阵A的特征值。
四、例子考虑一个2阶矩阵A=[2 10 3]，我们来判断它是否可以对角化。
首先求解A的特征值，解方程|A-λI|=0，得到特征值λ=2,3。
然后求解特征值对应的特征向量。
对于特征值λ=2，解方程(A-2I)v=0，得到特征向量v1=[1,0]。
对于特征值λ=3，解方程(A-3I)v=0，得到特征向量v2=[1,1]。
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， ＝ 若Ａ Ｅ则 称 Ａ 为 酉 矩 阵 ；
理 论 的 理 解 和 认 识 ， 而 对 于 深 化 高 等 代 数 或 线 性 代 数 的学 习 及 问 题 从
则称 Ａ 矩 阵 ＱＱ Ｐ ， （田 Ｑ＝
Ａ
，
而 Ｑ （ Ｑ Ｑ Ｅ Ｅ Ｐ ＝ Ｑ＝
可 相 似对 角 化 。
Ａ
，
定 义 ２ ｛ 阵 Ａ， ∈Ｐ 若 存 在 Ｉ阶 可 逆 矩 阵 使 Ｐ：Ｐ Ｂ， 殳矩 Ｂ ， ｔ ４ ＝ 则 记 Ｔ Ｐ 则 可 逆 ， ＝Ｑ 且 称 Ａ合 同 于 Ｂ。若 Ｂ为 对 角 阵 ，即 曰 ＝ Ａ ２ 则称 Ａ
的解 决 是 有 益 的 。
（） Ａ∈ ３设 若Ａ ＝ 则 称 为 正 规 阵 。 ＡＡ ３２两 个 矩 阵 同时 对 角 化 的 矩 阵类 ． 定 理 １ 设 Ａ ， 为 ｎ阶 实 对 称 矩 阵 ， Ａ 为 正 定 矩 阵 ， Ａ． 可 且 则
同时 对 角 化 。
化 的矩 阵类 ， 一 步 研 究 了两 个 矩 阵 同时 对 角 化 的 条 件 ， 到 了一 些 结 果 。 进 得
【 关键词 】 矩阵 ； 对角化 ； 同时对角化
Ｍ ａ ｒｃ ｓ ｔ ｉ ｅ ’ｏ ｐ ｓ ｔ ｎｇ ｅ ｓｍ ｕ ｔ ｎｅ ｕ ｌ ｐ ｏ ｉｅ ａ ｌ ｉ ｌａ ｏ ｓ ｙ
证 明 ： 为 Ａ 为 ｎ阶 实 对 称 半 正 定 方 阵 ， 以存 在 ｎ阶 实 可 逆 矩 因 所
Ａ
满 足 Ａ＝ 则 存 在 Ｉ阶 正 交 矩 阵 Ｐ． Ｐ Ａ ｔ 使
ｔ ｅ ｇ ｏ ｅ ｕｌ ｈ ｓ ｐ ｐ ｒ ａ ａ ｙ ｅ ｏ ｔ ｃ ｓ ｃ ａ ｓ ｓ ｆ ｔ ｅ ｍａ ｒ ｐ ｏ ｉ ｎ ｌ ．ｔ ｉｓ ｔ ｏ ｄ ｔｏ ｓ ｆ ｒ ｔ ｔ ｃ ｓ ｏ ｐ ｓｔ ｎ ｌ ｈ ｏｄｒｓ ｔ ．Ｔ ｉ ａ ｅ ｎ ｌ ｓ ｓ ｓ ｍｅ ｍａ ｒ ｅ ｌ ｓ ｅ ｏ ｈ ｔ ｘ ｏ ｐ ｓｔ ａ ｇ ｅ ｓｕｄ ｅ ｈｅ ｃ ｎ ｉ ｎ ｏ ｗｏ ｍａｒ ｅ ’ ｐ ｏ ｉｅ ａ ｇ ｅ ｉ ｉ ｅ ｉ ｉ ｓｍｕ ｔ ｅ ｕ ｌ ，ｎ ｂ ａ ｎ ｄ ｓ ｍｅ ｒ ｓ ｌ ． ｉ ｌａ ｏ ｓｙ ａ ｄ ｏ ｔ ｉ ｅ ｏ ｅ ｕ ｔ ｎ ｓ
【 ｙｗ ｒ ｓＭａｒ ｏ ｐｓ ｅａｇｅ，ｐ ｏｉ ｎ ｌ ｓ ｌ ｎｏ ｓ ． Ｋｅ ｏ ｄ ］ ｔｘ， ｏｉ ｎｌ ｏｐ ｓ ｅａｇｅ ｉ ｔ ｅｕｌ ｉ ｐ ｔ ｔ ｍｕ ａ ｙ
１前 言 ．
同 时 为 对 角矩 阵 ， 称 Ａ ， 则 曰可 同 时相 似 对 角 化 。
定 义 ２设 矩 阵 ＡＢ∈ ， 若 存 在 ｎ阶 可 逆 矩 阵 只使 Ｐ 、 Ｂ 同 尸 Ｐ＇ Ｐ 在 当代 社 会 ， 学 已经 成 为 现 代 文 化 的重 要 组 成 部 分 。 在 高 等 代 数 数 或线 性 代 数 中 ， 阵对 角 化 占有 重 要 地 位 。 矩 阵 理 论 、 次 型 及 线 时 为对 角 矩 阵 ， 称 ， 可 同时 合 同对 角 化 。 矩 在 二 则 Ｂ 性 变换 等 问题 上 矩 阵 对 角 化 有 广 泛 的应 用 。 是 高 等 代 数 研 究 的主 要 它 内容 ， 是 理 论 体 系 最 完 善 的一 部 分 。单 个 矩 阵 对 角 化 的 问 题 已 在 高 也 等 代 数 或 线 性 代 数 教 材 中有 了系 统 的 讨 论 。 文 主 要 讨 论 两 个 或 多 个 本
同 时对 角化 。
， ｒ Ｅ －
即 Ａ， Ｂ
可合 同对 角 化 。 ２２可 对 角 化 的 矩 阵 类 ．
定 理 １ Ｉ阶实 对 称 矩 阵 可正 交 相 似 对 角 化 。即 若 ｎ阶实 矩 阵 Ａ ｔ
Ａ
定 理 ２ 设 』Ｂ 为 Ｉ阶 实 对 称 半 正 定 方 阵 。则 存 在 Ｉ阶 实 可 逆 矩 ４ ， ｔ ｔ 阵 Ｐ， ｒ ， Ｂ 使 Ｔ Ｔ同 时 为对 角 矩 阵 。
科技信息
０高校讲￣ ２ ０
Ｓ ＩＮ Ｅ＆Ｔ Ｃ Ｎ Ｌ Ｇ Ｆ Ｒ Ａ Ｉ Ｎ ＣＥ Ｃ Ｅ Ｈ Ｏ Ｏ ＹＩ Ｏ Ｍ ＴＯ Ｎ
２０ ０ ８年
第 ２ 期 １
矩阵同时对角化
赵 俊 锋
（ 州师范 学 院专 科部 山西 忻
【 摘
忻州
０４ ０ ） ３ ０ ０
要 】 阵对角化是 高等代数研究的重点 问题之一。 于一 个矩 阵对 角化 的问题 ， 矩 对 已得到 了良好的研究结果。 本文分析 了一些矩阵对角
２预 备知 识 ．
２１有 关 概 念 ．
证 明 ： 为 Ａ 为 ｎ阶 正 定 矩 阵 ， 存 在 ｎ阶 可 逆 矩 阵 Ｐ使 Ｐ ＝ 因 则 Ｐ
定 义 １ 设 矩 阵 Ａ， Ｂ∈Ｐ 若 存 在 Ｉ阶 可 逆 矩 阵 Ｐ使 Ｐ Ｐ Ｂ， ｔ ＝ 则 Ｅ， 因 为 Ｂ 为 ｎ阶 对 称 矩 阵， 又 于是 Ｐ Ｐ仍 为对 称 矩 阵 ， 在 Ｉ阶 正 交 存 ｔ 称 Ａ 相 似 于 Ｂ。 若 Ｂ为 对 角 阵 ， 即 日 ＝ Ａ ２
【 ｓｒ ｃ］ｈ ｔｘｏｐ ｓｅａ ｇ ｎ ｆ ｅ ｕ ｓｏ ｓ ｎａｖｎｅ ｌｅ ｒ ｓａｃ ． ｅ ａｄｎ ｔ ｘｏｐ ｓｅａ ｇｅｑ ｅｔ ｎ ｉｏ ｔ ｎ Ａｂ ｔａｔＴ ｅｍａ ｐ ｏｉ ｎｌ ｉ ｏｅｏ ｙｑ ｅｔ ｎ ｄａ ｃｄａｇｂａｒ ｅｒｈ Ｒ ｇｒｉｇａｍａｒ ｐ ｏｉ ｎｌ ｕｓｏ ． ｂａ ｓ ｉ ｒ ｔ ｅｓ ｋ ｉ ｉ ｅ ｉ ｔ ｉ ｔ ｉ