卉新学校奥数思维训练3 分式的运算

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分式的运算知识点总结

分式的运算知识点总结一、分式的含义和性质1. 分式的定义分式是指两个整数的比例，通常用a/b表示，其中a称为分子，b称为分母，b不等于0。

分式通常表示成有理数的形式，例如1/2、3/4等。

2. 分式的性质分式有以下性质：（1）分式的分母不可以为0，因为0不能作为除数。

（2）分式可以化简，即约分，将分子与分母的公因数约掉。

（3）分式可以相互转换，即通过乘以相同的数或者分式和分数的换算，可以将分式相互转换。

二、分式的加减法1. 分式的相加分式的相加即将两个分式的分子相加，分母不变，然后化简得到最简分式。

例如：1/2 + 1/3 = (1*3+1*2)/(2*3) = 5/6。

2. 分式的相减分式的相减即将两个分式的分子相减，分母不变，然后化简得到最简分式。

例如：2/3 - 1/4 = (2*4-1*3)/(3*4) = 5/12。

三、分式的乘除法1. 分式的相乘分式的相乘即将两个分式的分子相乘作为新的分子，分母相乘作为新的分母，然后化简得到最简分式。

例如：1/2 * 2/3 = (1*2)/(2*3) = 2/6 = 1/3。

2. 分式的相除分式的相除即将两个分式的分子相除作为新的分子，分母相除作为新的分母，然后化简得到最简分式。

例如：3/4 ÷ 1/2 = (3*2)/(4*1) = 6/4 = 3/2。

四、分式的乘方和括号的运算1. 分式的乘方分式的乘方即将分式的分子和分母分别进行乘方运算，得到新的分子和分母，然后化简得到最简分式。

例如：(1/2)^2 = 1^2/2^2 = 1/4。

2. 分式的括号运算分式的括号运算即根据括号内的运算顺序进行计算，先乘除后加减，然后化简得到最简分式。

例如：(1/2 + 1/4) ÷ (1/2 - 1/4) = (2/4 + 1/4) ÷ (2/4 - 1/4) = 3/4 ÷ 1/2 = 3/4 * 2/1 = 3/2。

分式的运算练习题及答案

分式的运算练习题及答案分式的运算是数学中的基本内容之一，掌握好分式的运算方法对于提高数学水平具有重要的作用。

本文将为您提供一些分式的运算练习题及答案，帮助您巩固分式运算的知识。

一、基础练习题1. 计算：$\frac{1}{2} + \frac{3}{4}$答案：$\frac{5}{4}$2. 计算：$\frac{2}{3} \times \frac{3}{5}$答案：$\frac{2}{5}$3. 计算：$\frac{5}{6} \div \frac{1}{2}$答案：$\frac{5}{3}$4. 计算：$\frac{3}{4} + \frac{2}{9} - \frac{1}{3}$答案：$\frac{1}{36}$5. 计算：$(\frac{2}{3} + \frac{1}{4}) \times \frac{3}{5}$答案：$\frac{13}{30}$二、复杂练习题1. 计算：$\frac{3}{4} \div \frac{2}{5} \times \frac{1}{3}$答案：$\frac{15}{8}$2. 计算：$(\frac{7}{8} - \frac{3}{4}) \div (\frac{2}{3} \times\frac{5}{6})$答案：$\frac{7}{20}$3. 计算：$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \times \frac{1}{5}$答案：$\frac{2}{15}$4. 计算：$\frac{2}{3} \div \frac{3}{4} + \frac{4}{5} - \frac{5}{6}$答案：$\frac{7}{6}$5. 计算：$(\frac{3}{4} + \frac{1}{5}) \div \frac{2}{3} - \frac{5}{6}$答案：$-\frac{17}{36}$三、应用题1. 甲、乙两人一起做数学题，甲做的时间是乙的$\frac{2}{3}$，若乙做完题所需时间为1小时，问甲需要多长时间做完这些题？答案：$\frac{4}{3}$小时解析：设甲需要x小时做完这些题，则根据题意可得$\frac{x}{1}=\frac{2}{3}$，解得x=$\frac{4}{3}$。

分式运算50练(含详细解答)

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31. 先化简后求值，
32. 先化简，再求和：
33. 如果
，求代数式
34. 先化简，再求值：
35. 已知 36. 已知
，求代数式，求代数式
37. 已知 38. 已知
，求代数式，求
39. 已知：
，求代数式
40. 先化简，再求值：
41. 先化简，再求值：
49. 先化简再求值：
50. 已知
，求代数式
，其中
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的值．
的值．
，其中
．的值．
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分式运算50练
【答案】
1.

八年级数学奥术三级第二跳（思维训练）第一讲分式的运算 (1)

第一讲：分式的运算【知识梳理】一、分式的意义形如BA （B A 、为整式），其中B 中含有字母的式子叫分式。

当分子为零且分母不为零时，分式的值为零，而当分母为零时，分式没成心义。

二、分式的性质（1）分式的大体性质：MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=（其中M 是不为零的整式）。

（2）分式的符号法那么：分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。

（3）倒数的性质：1、()()011011>=⋅≠=⋅a aa a a a ，； 2、若11=⋅a a ，那么11=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅n n a a （0≠a ，n 是整数）； 3、()021>≥+a aa 。

三、分式的运算分式的运算法那么有：bdbc ad d c b a c b a c b c a ±=±±=±，； n nn ba b a bc ad d c b a bd ac d c b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛=÷=⋅，，（n 是正整数）。

四、分式的变形分式的大体性质是分式变形的理论依照之一，分式变形的经常使用方式有：设参法（要紧用于连比式或连等式），拆项法（即分离变形），因式分解法，分组通分法和换元法等。

【例题精讲】【例1】（1）当=m ___________时，分式()()23312+---m m m m 的值为零；（2）要使分式xx-11成心义，那么x 的取值范围是_______________________。

思路点拨：当分式的分母不为零时，分式成心义；当分子为零，分母不为零时，分式的值为零。

【巩固】一、假设分式2231244x x x -++的值为0，那么x 的值为_____________；二、假设使分式aa a 231142++-没成心义，那么a 的值为________________；【拓展】当x 取何值时，分式6522+--x x x 成心义？【例2】化简以下分式：（1）1221422-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛---x x x x x （2）1814121111842+-+-+-+--x x x x x （3）()()()()()()10099132121111--++--+--+-x x x x x x x 。

分式的运算技巧讲义

分式的运算技巧讲义分式是由两个整式相除而得到的结果，一般形式为$\frac{a}{b}$，其中$a$和$b$都是整式，且$b$不为零。

分式的运算技巧包括分式的加减法、乘法、除法和化简。

一、加减法：当分母相同时，可以直接将分子相加或相减，分母保持不变。

例如：$\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=\frac{3}{3}=\frac{1}{1}=1$当分母不同但存在公因式时，可以先化简再运算。

例如：$\frac{2}{4}+\frac{3}{6}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{2}{2}=1$当分母不同且无公因式时，需要通分后再计算。

例如：$\frac{2}{3}+\frac{1}{4}=\frac{8}{12}+\frac{3}{12}=\frac{11}{12} $二、乘法：将两个分式相乘时，只需要将分子相乘得到新的分子，分母相乘得到新的分母。

例如：$\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5}=\frac{8}{15}$三、除法：将一个分式除以另一个分式时，可以将两个分式的倒数相乘。

例如：$\frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{5}}=\frac{2}{3} \cdot\frac{5}{4}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$四、化简：当分式的分子和分母均存在公因式时，可以将分子和分母同时除以最大公因式，化简分式。

例如：$\frac{8}{12}=\frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 3}=\frac{2}{3}$另外，对于复杂的分式运算，可以利用因式分解等技巧进行化简。

以下是一些常用的因式分解技巧：1.提取公因式：当分子或分母中的各项均存在公因式时，可以将这些公因式提取出来，化简分式。

例如：$\frac{2x+4}{4x+8}=\frac{2(x+2)}{4(x+2)}=\frac{1}{2}$2.分子或分母的因式分解：当分子或分母中的整个式子能够因式分解时，可以进行因式分解后再化简。

分式的运算(有答案)

分式的运算一、分式的加减法1.同分母分式的加减法2.异分母分式的加减法二、分式的乘除法三、分式的混合运算一、分式的加减法1.同分母分式的加减法1. 【易】计算111x x x ---结果是（） A ．0 B ．1 C ．1- D ．x【答案】C2. 【易】化简：2111x xx x -+=++_____________．【答案】13. 【易】计算代数式ac bca b a b--- 【答案】C4. 【易】计算：211m mm m -=--_____________．【答案】m5. 【易】计算22a b a b a b-=--___________ 【答案】a b +6. 【易】化简代数式2111x x x+-- 【答案】1x +7. 【易】化简211x xx x+--的结果是（） A ．1x + B ．1x - C ．x -D ．x【答案】D 8. 【中】计算2222222x y x xy y x xy y --+-+ 【答案】解：原式()()2222x y x y x y =---()222x y x y -=-x yx y+=-9. 【中】计算222222222a ab b a b b a a b ++---【答案】10. 【中】计算251222x x xx x x-+----- 【答案】2x +11. 【中】计算2224332222x y x y x yxy y x xy +-+-- 【答案】1xy12. 【中】计算2222222233n m m n m n mm n m n m n m n -+-++----- 【答案】22nm n -13. 【中】计算：⑴2222135333x x x x x x x x +--+-++++；⑵22222621616x x x x x +-++-- 【答案】⑴2=；⑵24x =+．a ba b-=+2.异分母分式加减法14. 【易】计算11x x y --的结果是（） A ．()y x x y -- B ．2()x yx x y +- C ．()2x y x x y --D ．()yx x y -【答案】A15. 【易】2213a a a -- 【答案】263a a a -- 16. 【易】分式()1111a a a +++的计算结果是（） A ．11a + B ．1a a + C ．1aD ．1a a+ 【答案】C 17. 【易】化简代数式()()a bb a b a a b ---【答案】a bab+ 18. 【中】学完分式运算后，老师出了一道题“化简：23224x xx x +-++-” 小明的做法是：原式222222(3)(2)26284444x x x x x x x x x x x +--+----=-==----；小亮的做法是：原式()()()22322624x x x x x x x =+-+-=+-+-=-；小芳的做法是：原式32313112(2)(2)222x x x x x x x x x x +-++-=-=-==++-+++．其中正确的是（） A ．小明 B ．小亮 C ．小芳 D ．没有正确的【答案】C19. 【中】化简22124a a a -=--___________ 【答案】12a + 20. 【中】计算：218416x x ---．【答案】14x =+ 21. 【中】计算：22111x x x ---．【答案】11x =+ 22. 【中】化简：2212211x x x x -+=+++_____________．【答案】123. 【中】计算11aa a +--的结果是（）A ．11a -B ．11a --C ．211a a a ---D ．1a -【答案】C24. 【中】化简211a a a ---的结果是（）A ．B ．－C ．D ．【答案】A25. 【中】化简1a ba b b a++-- 【答案】原式=1a ba b b a ++-- =1a ba b -+- =11+ =226. 【中】()21126329xx xx +++-- 【答案】29218x =--27. 【中】（2009年大兴二模）化简：311(1)(2)x x x x ----+，并指出x 的取值范围．【答案】=12x +．x 的取值范围是2x ≠-且1x ≠的实数．28. 【中】化简：12212112a a a a +---+-+．【答案】原式421254a a =-+29. 【难】化简：2481124811111x x x x x -----++++．【答案】原式16161x =-30. 【难】计算：222111563243x x x x x x +-++++++．【答案】2143x x =++二、分式的乘除法31. 【易】计算：11m nn m +⋅=+_________．【答案】132. 【易】计算：mn m nm n m+⋅=+___________．【答案】n33. 【易】计算2324ab axcd cd-÷等于（）A ．223b x B ．232b xC ．223b x-D ．222238a b x c d-【答案】C34. 【易】计算：()()23221323m n m n ----⋅（最后结果写成正整数幂形式）=_________【答案】713427m n35. 【易】22()an m m n ⋅--的值为（） A ．2a m n + B ．a m n + C ．a m n -+D ．am n-- 【答案】C36. 【易】化简：2()n nm m m-÷-的结果是（）A ．1m --B ．1m -+C ．mn m -+D ．mn n --【答案】B37. 【易】化简：2211x x x x +-÷．【答案】1x x -38. 【中】化简：222448.244a ab abab a a -+++ 【答案】24a -39. 【中】计算下列各题①252128y xy x ⋅；②222242m n m mnm mn m n --÷-- ③22111.(1)11x x x x -÷--+；④22222(32)25549x a a b a b x a x +-⋅+- 【答案】①2154y x；②22m n m +；③1；④5(23)a b x a --．40. 【中】①389()22x y y x ⋅-=_______________；②22333x xy x y x x--+÷=_______________； ③1()a b a b ÷+=+_____________；④2222222ab b a b a ab b a ab+-⋅=++-____________．【答案】①218x -；②1-；③()21a b +；④ba．41. 【中】2221()111a a a a a a a -+÷⋅--- 【答案】11aa+-42. 【中】计算23243a a bb b a⎛⎫-÷⋅⎪⎝⎭ 【解析】原式=224233a b bb a a ⨯⨯89= 【答案】8943. 【中】计算：()234a a a b b b ⎛⎫⎛⎫-⋅-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】6ab44. 【中】2342()()()b a ba b a -⋅-÷-【答案】23423452642648()b a b b a a a a a a a b b b=⋅-÷=-⋅⋅=-45. 【中】2223()()()x y x x y xy x y -÷+⋅- 【答案】2()()x x y y x y +-46. 【中】计算：22266(3)443x x x x x x x -+-÷+⋅-+- 【答案】22(3)1(3)(2)2(2)3(3)2x x x x x x x -+-=⋅=--+---47. 【中】()23224422281xy xy x x x xy y x -+--+÷-⋅-- 【答案】解：()23224422281xy xy x x x xy y x -+--+÷-⋅-- ()()()()2221122221x y x x y y y x ---=⋅⋅+--- ()()1221x x xy -=⋅+3224x x y -=+48. 【难】化简：44xy xy x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫-+⋅+- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭【答案】原式()()2244x y xyx y xyx yx y-++-=⋅-+2342()()()b a b a b a -⋅-÷-22266(3)443x x x x x x x-+-÷+⋅-+-()()22x y x y x yx y+-=⋅-+22x y =-三、分式的混合运算49. 【易】计算的结果是（） A ． B ． C ．D ．【答案】B50. 【易】计算()a b a bb a a +-÷的结果为_________________．【答案】a bb-51. 【易】化简22(1)b a a b a b -÷+- 【答案】解：22(1)b a a b a b -÷+- ()()a b a b a b b a b a +-+-=⋅+ a b =-52. 【易】化简263393m m m m +÷+--的结果是_________________ 【答案】153. 【易】计算：22(1)b a a b a b +÷-- 【答案】a b +54. 【易】化简：231122x x x --÷++（）【答案】231122x x x --÷++（） 2322(1)(1)x x x x x +-+=⋅++-11x =+55. 【易】22()a b ab b a a b a a ⎛⎫--÷-≠ ⎪⎝⎭【答案】原式222a b a ab b a a ---=÷ =22222a b a b a ba b a b ab ⎛⎫+---⨯ ⎪-+⎝⎭1a b -1a b +a b -a b +1a b-56. 【易】化简：2224222a a a a a a ⎛⎫⋅- ⎪+--⎝⎭【答案】a57. 【易】计算：()241222a a a a -÷-⨯+- 【答案】()241222a a a a -÷-⨯+- ()()2211222a a a a a +-=⋅⨯+-- 12a =-58. 【易】计算或化简：()21111x x xx x +⎛⎫-÷ ⎪-⎝⎭- 【答案】解： 11x=-+59. 【易】计算221()a ba b a b b a-÷-+-【答案】解：原式=()()()a a b b aa b a b b ---⨯+- ()()b b aa b a b b -=⨯+- 1a b=-+60. 【中】化简：22221369x y x y x y x xy y +--÷=--+_______ 【解析】2yx y-61. 【中】计算：()222211121a a a a a a +-÷+---+．【答案】1-62. 【中】计算：2228224a a a a a a +-⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭ 【答案】原式63. 【中】化简：2211()1211a a a a a a ++÷--+-．【答案】11a -64. 【中】221121x x x x x x x+⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭【答案】()211x --65. 【中】化简：2222111x x x x x x -+⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭【答案】x66. 【中】化简：221211241x x x x x x --+÷++-- 【答案】167. 【中】化简：22222369x y x y yx y x xy y x y--÷-++++ 【答案】128(2)(2)(2)2a a a a a a a ⎡⎤+=-⨯⎢⎥-+--⎣⎦2(2)8(2)(2)2a a a a a a a +-=⨯+--2(2)(2)(2)2a a a a a a -=⨯+--12a =+68. 【中】化简22424422x x x x x x x ⎛⎫--+÷ ⎪-++-⎝⎭，其结果是（） A ．82x -- B ．82x - C ．82x -+ D ．82x + 【答案】D69. 【中】⑴222b a a b a b a b-⎛⎫++÷ ⎪-⎝⎭ ⑵222244224y x y x y x y y x +++-- 【答案】⑴a b ab+；⑵22x x y +70. 【中】化简：222211214421a a a a a a a +-⋅÷+=-+++-_________________ 【答案】11a -71. 【中】化简：2()b a b a b a b a+-+⋅+ 【答案】解：2()b a b a b a b a+-+⋅+ 222a b b a b a b a -++=⋅+ a =72. 【中】44()()ab ab a b a b a b a b-++--+ 【答案】22a b -73. 【中】化简：11n m n m m m n m m n ⎛⎫⎛⎫+-÷+- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭．【答案】原式()()()()()()22m m n n m n m m m n n m n m m m n m m n -+--+++-=÷-+ ()()222m m n n m m n mn n +-=⋅-+ 2222mn n m mn n --=--74. 【中】化简：111111a a a a ⎛⎫+÷+ ⎪+-+⎝⎭．【答案】解：原式=()()111111a a a a a a -+++⨯+-+ 2111a a a -=+-- 11a a +=-。

(完整版)分式加减乘除运算

（三）分式的运算知识点一：分式的乘法 ---分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母23bc 2a b 4、；3a 16b4b 9a 24x y2b 2a 1、； 2、； 3、； 3y 2x 3 5a 2 2b5a 2 3c 22x 2 2x 2 4；x y x y ；x y x y3a 3b 25a b 396、； 7、5、a 2b 2x 2x x 3x210ab知识点二：分式的乘方 ---要把分式的分子、分母分别乘方 23222222 y 2x y 24a b a1 b 2a 2； 2、； 3、； 4、； 5、； 6、1、3y3x3zx y知识点四：分式的除法 --分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘2y 2 3x ab 22c 23a b 223x5y 220a y 4；3x512xy 5a28x y ；2、 3xy6xy16a y 321、；3、；4、；5、 4cd2x 2 y 2xyx 1 1 x x 2 4x 4 x 2；9、 x 4y 22x 2y2y x ；7、；8、6、x 2x xx 2xy y 2 2x 2xy2 2 x 1x 1知识点五：分式的乘除混合运算322x 222322x 2 x x 2x x 21aab 2x y y 1、； 4、； 5、；2 x2b b4x2axay23232ab 3 6a 4 b 33c a b aba a ab 2；7、6、2b 22c db a1．下列各式计算结果是分式的是( )． x 37x 2 n a m bn 3m m 2n(C) 3 5x x(A)(B)(D) 3y 24y32．下列计算中正确的是()．－ 1(A)(－1)＝－ 1 (B)(－ 1)＝11 1 (C) 2a 33(D) ( a) ( a)72a 3a 43．下列各式计算正确的是()．1 (A) m ÷n · m ＝m (B) m nmn(C) 1 m m 1m (D) n ÷m · m ＝n)．4．计算 ( a b )4 (a ) 5 的结果是 (ab a 1 a (A)－1(B)1(C) (D)aa b5．下列分式中，最简分式是( )．x 2xy y 2 2x y 2 2x 2y 221xy (A)(B)(C) (D) x yx y15 y 2x y2y 2 x x 9． ( ) ( )2 __________．3 10． [(x ) ]3 2__________．y 2 y知识点六：分式的加减运算法则：①同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减②异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减x 1 1； 2、a 2a 3c117102；1、； 3、； 4、22c d 3cd 222xxabc abc abcx yz x y xyza 2a 3a3 8 11 x y y2x y ；y x； 6、； 7、 y x x y 5、 x 1 x 1 x 2 2 21b 1 b 1 b 1 1 y 1 2xy 3 2m n 8、； 9、； 10、；2x y x 2 y 222x y2m ny 2x2m n4 x 2 y 2 x 2 y 211、 a 2；12、 xy2 axy知识点 7：分式的混合运算 2x y x 2y 2 x 11x a 1 2 a ；；2、x1 ；3、 1、2x y 2 x a 2a 3 a 9 a2 2y1 1x y 1 x 2 y 21 3 x 5 4、5、x 22x 4x 2知识点 8：化简求值 ---化简求值问题的解题步骤一般都是先对式子进行化简，再将已知值代入求值 2x 2 x 2 2x 11x 2x 2 2x 2 1、先化简，再求值： (2x 3xx 9，其中 x 2．2、先化简，再求值： 1)÷x ，其中 x=．x321 x 1 x 3 5 )，其中 x ＝－ 4x 2x 3．4、先化简，再求值：2、先化简，再求值： 1，其中(x 2x 22x 4x 2a 1a 1a 1，其中aa 1 25、先化简，再求值：a 2 2a 1分式阶段水平测评（二）1．下列分式中是最简分式的是（）.2x 4 x 1 1 x （D ）x 1（A ）（B ）（C ）22x 12xx 12．用科学记数法表示 0.000078，正确的是（）.（A ）7.8×10-5 （B ）7.8×10-4 （C ）0.78×10-3（D ）0.78×10-41 3．下列计算：① ( 1)01；② ( 1) 1 1；③ 3a 35( x) ( x) 3 x 2．其；④3a 3中正确的个数是（）．（A ）4 （B ）3（C ）1（ D ）0 1 1 1(R 1 R )，则表示 R 的公式是（ 4．已知公式1）．2R R 1 R 2R 2 RRR 2RR 2 R( R R )2（A ） R 1（C ） R 1） .（D ） R 1（） R 1B RR 2RR 2R 2RR 25．下列分式的运算中，其中结果正确的是（( a ) 231a 1 b2 a 3（A ）（ B ）abaa 2b 2a 3a 2 6a 91 （C ）a b（ D ）a b a 3a a ).a 24 a 2a6．化简 ( （A ）-4的结果是（）.a 2（B ） 4 （C ）2a(D)2a+4二、填空题（每小题 4分，计 16分）27．若 (a 1)0有意义，则 a ≠． 8．纳米是非常小的长度单位， 1纳米 =0.00000000１米，那么用科学记数法表示 1纳米 =米．x y y 1 2 x y9．如果= ．，则 a b 2m dc10．若 a 、b 互为相反数， c 、d 互为倒数， m 的绝对值为 2，则．a b c三、解答题11．计算化简（每小题 5分，计 20分）x 2 4x 2(x 9)；（ 1） 2 x x 2；（2）2x 3x2 3a 4 1 a 1；（ 4） a（3） a 2 a 1.2a 4a 4 a 1 a 2 a 112．请将下面的代数式尽可能化简，再选择一个你喜欢的数（要合适哦！）代入求值：a 2 a 1 1.2a (a 1)2x 111 213.（10分）先化简，再求值,其中 x. 2x 2x 1 2x 2a x2bx 3 3 aba14．（10分）若关于 x 的方程的解是 x=2，其中 a b ≠ 0，求的值． b快速练习21.①若 9x kxy 16y 2k =是一个完全平方式，则；2②若三项式 x 8xy m 是一个完全平方式，则 m = . 2.已知 a 2 ab 5,ab b 222,那么 a b 2．2x(x y 2 xy) y(x 2 x y) 2 34、 (3x 2y) (3x y)(3x y)5、211 2 23b c 27、 2m 26、 2a b 2ab c；2mnmn4 2228.已知 x y 3， xy 2，求 x 2 y ，x y的值。

奥林匹克数学题型分式的简化与运算

奥林匹克数学题型分式的简化与运算分式是数学中常见且重要的概念，它在奥林匹克数学竞赛中也经常出现。

分式可以表示为两个整数之间的比值，通常由一个分子和一个分母组成。

本文将探讨奥林匹克数学题型中关于分式的简化和运算的方法与技巧。

一、分式的简化在奥林匹克数学竞赛中，简化分式是一个基础而又重要的步骤。

为了简化分式，我们需要找到分子和分母的最大公因数，并将其约分。

例如，考虑分式$\frac{12}{18}$。

我们可以观察到12和18都可以被2整除，因此它们的最大公因数是2。

通过将分子和分母都除以最大公因数2，我们可以得到简化后的分式$\frac{6}{9}$。

这个分式仍然存在可以约分的因子，进一步简化为$\frac{2}{3}$。

我们得到了最简形式的分式。

二、分式的乘法奥林匹克数学题型中常常涉及到多个分式的乘法运算。

在进行分式乘法时，我们需要将分式的分子与分子相乘，分母与分母相乘，并约分得到结果。

考虑以下示例：$\frac{1}{2} \times \frac{3}{4}$。

我们将分子1与分子3相乘，得到3；将分母2与分母4相乘，得到8。

最后，我们对结果$\frac{3}{8}$进行简化。

三、分式的除法除法是分式运算中的另一个常见问题。

当我们需要将两个分式相除时，可以通过将除式取倒数，再进行分式乘法来实现。

例如，考虑分式$\frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{5}}$。

我们可以将除式$\frac{4}{5}$取倒数，得到$\frac{5}{4}$。

然后，我们可以将原始分式转化为$\frac{2}{3} \times \frac{5}{4}$的形式。

最后，按照分式乘法的规则进行计算，得到结果$\frac{10}{12}$。

我们可以对结果进行简化，得到最终的答案$\frac{5}{6}$。

四、分式的加法与减法在奥林匹克数学竞赛中，有时候需要进行分式的加法和减法运算。

为了实现这些操作，我们需要找到两个分式的公共分母，并按照相应的运算法则进行计算。

分式运算练习题及答案

分式运算练习题及答案分式运算练习题及答案在数学学习过程中，分式运算是一个重要的内容。

它不仅涉及到分数的加减乘除，还包括分式的化简、分式方程的解法等等。

掌握好分式运算，对于解决实际问题以及进一步学习高等数学都具有重要意义。

下面给大家提供一些分式运算的练习题及答案，希望能够帮助大家巩固知识。

一、分式的加减乘除1. 计算：$\frac{3}{4} + \frac{2}{5}$解答：首先找到两个分数的公共分母，这里是20，然后分别乘以相应的倍数，得到$\frac{15}{20} + \frac{8}{20} = \frac{23}{20}$。

2. 计算：$\frac{5}{6} - \frac{1}{3}$解答：同样找到两个分数的公共分母，这里是6，然后分别乘以相应的倍数，得到$\frac{5}{6} - \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$。

3. 计算：$\frac{2}{3} \times \frac{4}{5}$解答：将两个分数的分子相乘，分母相乘，得到$\frac{8}{15}$。

4. 计算：$\frac{3}{4} \div \frac{2}{5}$解答：将除法转化为乘法，即$\frac{3}{4} \times \frac{5}{2} = \frac{15}{8}$。

二、分式的化简1. 化简：$\frac{4x^2 - 9}{2x^2 - 3x - 2}$解答：将分子和分母进行因式分解，得到$\frac{(2x - 3)(2x + 3)}{(2x + 1)(x - 2)}$，然后约去相同的因子，得到$\frac{2x + 3}{2x + 1}$。

2. 化简：$\frac{2a^2 + 6a + 4}{a^2 + 5a + 6}$解答：同样进行因式分解，得到$\frac{2(a + 2)(a + 1)}{(a + 2)(a + 3)}$，然后约去相同的因子，得到$\frac{2(a + 1)}{a + 3}$。

分式的运算及题型讲解

§17.2分式的运算一、分式的乘除法1、法则：〔1〕乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

〔意思就是，分式相乘，分子与分子相乘，分母与分母相乘〕。

用式子表示：bd ac d c b a =•〔2〕除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，再与被除式相乘。

用式子表示： 2、应用法则时要注意：〔1〕分式中的符号法则与有理数乘除法中的符号法则相同，即“同号得正，异号得负，多个负号出现看个数，奇负偶正”；〔2〕当分子分母是多项式时，应先进行因式分解，以便约分；〔3〕分式乘除法的结果要化简到最简的形式。

二、分式的乘方1、法则：根据乘方的意义和分式乘法法则，分式的乘方就是把将分子、分母分别乘方，然后再相除。

用式子表示：〔其中n 为正整数，a ≠0〕2、注意事项：〔1〕乘方时，一定要把分式加上括号；〔2〕在一个算式中同时含有乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有bcad c d b a d c b a =•=÷n n n b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛多项式时应先因式分解，再约分；〔3〕最后结果要化到最简。

三、分式的加减法〔一〕同分母分式的加减法1、法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。

用式子表示：2、注意事项：〔1〕“分子相加减”是所有的“分子的整体”相加减，各个分子都应有括号；当分子是单项式时括号可以省略，但分母是多项式时，括号不能省略；〔2〕分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式。

〔二〕异分母分式的加减法1、法则：异分母分式相加减，先通分，转化为同分母分式后，再加减。

用式子表示：bd bc ad bdbc bd ad d c b a ±=±=±。

2、注意事项：〔1〕在异分母分式加减法中，要先通分，这是关键，把异分母分式的加减法变成同分母分式的加减法。

〔2〕若分式加减运算中含有整式，应视其分母为1，然后进行通分。

分式运算的常用技巧与方法

分式运算的常用技巧与方法分式运算是数学中常见的运算形式，掌握一些常用的技巧和方法可以帮助我们更快、更准确地进行计算。

以下是一些分式运算的常用技巧和方法：一、化简与约分：化简和约分是分式运算的基本操作，可以简化分式，使其更容易处理。

化简分式的方法有：1.因式分解：将分子和分母同除以其最大公因数，化简为最简形式的分式。

2.合并同类项：对于分子或分母中含有多项的情况，将同类项相加或相减，化简为简单的形式。

3.分解为部分分式：一些分式可以通过分解为部分分式的形式进行化简，如等式两端分别乘以一个分子时。

二、通分：当两个分式的分母不同时，我们需要将分母化为相同的公分母，这个过程称为通分。

通分的方法有：1.找到两个分母的最小公倍数，在分子和分母同时乘上适当的倍数，使得两个分母相等。

2.当两个分式的分母为一次因式的幂指时，可以将较高次幂的分母分解为较低次幂的分母，再进行通分。

三、分式的加减运算：分式的加减运算可以通过通分和合并同类项来进行。

具体的步骤如下：1.找到两个分式的最小公倍数作为通分的分母。

2.将两个分式的分子乘以一个适当的倍数，使得它们的分母相同。

乘上的倍数可以通过最小公倍数与原分母的比值得到。

3.合并同类项，将分子进行相加或相减。

四、分式的乘除运算：分式的乘除运算可以通过相乘或相除的方式进行。

具体的步骤如下：1.乘法：将两个分式的分子相乘，分母相乘，得到新的分子和分母后化简。

2.除法：将一个分式的分子乘以另一个分式的分母，分母乘以另一个分式的分子，得到新的分子和分母后化简。

五、分式的倒数和幂运算：分式的倒数就是将分子和分母互换的操作。

分式的幂运算可以通过将分子和分母同时进行幂运算来进行。

六、一些特殊的分式运算：除了以上常见的分式运算方法，还有一些特殊的分式运算，如：1.分式的比较大小：将两个分式的分子和分母相乘后进行比较。

2.分式的求值：将分式中的变量替换为具体的数值进行计算。

(完整版)八年级奥数：分式的运算

八年级奥数：分式的运算解读课标．分式是表示具体情境中数量关系的工具，由于分式是分数的“代数化”，所以其性质与运算是完全类似的，类比分数学分式是学习分式的重要方法．分式的运算是以分式的基本性质、通分和约分的概念、运算法则为基础，以整式的变形、因式分解为工具．分式的加减运算是分式运算中的重点与难点，怎样合理地通分是化解这一难点的关键，恰当通分的基本策略与技巧有： 1．分步通分； 2．分组通分；3．先约分后再通分； 4．换元后通分等．问题解决例1 （1）若分式的值为0，则x 的值为____________．（2）如果整数a （a ≠1）使得关于x 的一元一次方程：的解是整数，则该方程所有整数解的和为____________．例2 已知实数a 、b 、c 满足那么的值（）． A ．是正数 B ．是零 C ．是负数 D ．可正可负例3 计算（1）; （2）；4412322++-x x x x a a ax ++=-232.4.0==++abc c b a cb a 111++4214121111x x x x ++++++-)100)(99(1)3)(2(1)2)(1(1)1(1+++++++++++x x x x x x x x Λ例4 分式中的欧拉公式欧拉是18世纪瑞士著名数学家，他的贡献遍及高等数学的各个领域，同时，在初等数学中也到处留下了他的足迹．下面是关于分式的欧拉公式，请证明．例5 A 、B 两个家庭同去一家粮店购买大米两次，两次大米的售价有变化，但两个家庭购买的方式不同．其中A 家庭每次购买25千克，B 家庭每次用去25元，且不问购买大米各多少，问谁的购买方式合算？数学冲浪．知识技能广场1．埃及算术古埃及人在土地丈量、产品分配等生产生活中积累了许多数学知识．整个埃及数学最特异之处，是一切分数都化为单分数，即分子为1的分数．在一部记录古埃及数学的《赖因德纸草书》中，有相当的篇幅写出了“”型分数分解成单分数的结果，如，则．更一般地，有取大于2的自然数）． 2．（1）要使分式没有意义，则a 的值为___________．（2）当m =__________时，分式的值为零．3．已知的和等于，则 a =__________，b =__________． 4．化简__________． ⎪⎩⎪⎨⎧=++===--+--+--.3211,00))(())(())((时）（时）（时）（r c b a r r b c a c c a b c b b c a b a a rrr2n 4515192,2814172,1513152+=+=+=)(1)(1112+=n n ()(1)(1122+=-aa231142++-α23)3)(1(2+---m m m m 22-+x b x a 与442-x x =+--÷-+-22229631y xy x y x yx y x5．若分式的值为零，则x 的值为（）．A ．±1B ．-1C ．8D ．-1或8 6．已知，则的值等于（）． A ．6 B ．-6 C ．D ． 7．化简，其结果是（）．8．方程的整数解有（）组． A ．1 8．2 C ．3 D ．49．若a 满足请你选取一个合适的数a ，使得代数式的值为一个奇数．10．计算：（1）；（2）．1||)1)(8(-+-x x x 411=-b a bb a b ab a α7222+---215272)22444(22-÷+-++--x x x x x x x 28.28.28.28.++----x D x C x B x A 013=-++y x x 33≤≤-a )11(12aa a -÷-443)2111(2+++÷++-+-x x x x x x x 2]244)2)(1([22-÷--+--+a aa a a a a a a11．试说明下列等式成立：（1）；（2）．思想方法天地 12．已知x 为整数，且为整数，则所有符合条件的x 值的和为_____． 13．已知abc =1，则关于x 的方程的解是___．14．设正整数m ,n ，靠满足m <n ，且则m +n 的值是______________． 15．已知则x =______________． 16．代数式的化简结果是（）． 17．设有理数a 、b 、c 都不为零，且．则的值是（）．A ．正数B 负数C ．零D ．不能确定18．甲、乙两人同时从A 地出发沿同一条路线去B 地，若甲用一半的时间以a 千米／时的2222)(1)(1)(1)111(a c c b b a a c c b b a -+-+-=-+-+-ac c b b a b c a c b a a b c b a c c a b a c b -+-+-=---+---+---222))(())(())((918232322-++-++x x x x 2004111=++++++++cac xbc b x ab a x ⋅=++++++++2311)1()1(11222nn m m mm Λ3,2,1=+=+=+xz zxz y yz y x xy 14121111432++++++-x x x x x x 18.65-x x A 18.84-x x B 14.87-x x C 18.87-x x D 0=++c b a 222222222111c b a b a c a c b -++-++-+速度行走，另一半时间以b 千米／时的速度行走；而乙用a 千米／时的速度走了一半的路程，另一半的路程以b 千米／时的速度行走（a ，b 均大于0，且a ≠b ），则（）． A ．甲先到达B 地 B ．乙先到达B 地C ．甲乙同时到达B 地D ．甲乙谁先到达B 地不确定 19．存在这样的有理数a 、b 、c 满足a <b <c ，使得分式的值等于（）． A ．-2003 B ．0 C ．2003 D ．20．太平盛世，吉祥如意，神舟“五号”，豪气冲天．若能被n +5整除（n 为正整数），则称n 为995的吉祥数．据说，中国载人飞船首飞日期恰好与995的吉祥数有关，试求n 的最大值．21．已知求下式的值：．应用探究乐园22．用水清洗蔬菜上残留的农药．设用x （x ≥1）单位量的水清洗一次后蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为． ‘现有a （a ≥2）单位的水，可以一次清洗也可以把水平均分成两份后清洗两次．试问用哪种方法清洗后蔬菜上残留的农药量较少?说明理由．ac c b b -+-+-111α2995n +xxx f +=1)(.)2004()2003()2()1()0()1()21()20031()20041(f f f f f f f f f +++++++++ΛΛ11x +23．一分为二任何一个单位分数都可以写成两个单位分数的和：（n ，p ，q 都是正整数）．显然，这里的p ，q 都大于n ．如果设p =n +a ，q =，n +b ，那么有．（1）探索上式中的正整数a ，b 与正整数n 之间存在什么样的关系（写出推理过程）；（2）写出等于两个单位分数之和的所有可能情况．1n qp n 111+=bn a n n +++=11116。

分式的运算法则

分式的运算一.通分的方法:1.分式通分的涵义和分数通分的涵义有类似的地方;(1)把异分母分式化为同分母分式;(2)同时必须使化得的分式和原来的分式分别相等;(3)通分的根据是分式的基本性质,且取各分式分母的最简公分母,否则使运算变得烦琐.2.求最简公分母是通分的关键,其法则是:(1)取各分母系数的最小公倍数;(2)凡出现的字母(或含字母的式子)为底的幂的因式都要取;(3)相同字母(或含字母的式子)的幂的因式取指数最高的.这样取出的因式的积,就是最简公分母.例1.通分:解:∵8,12,20的最小公倍数为120,字母因式x、y、z的最高次幂分别为x3、y3、z2,所以最简公分母是120x3y3z2.∴.通分过程中,如果字母的系数是负数,一般先把负号提到分式的前面.例2.通分:解:将分母分解因式:a2-b2=(a+b)(a-b);b-a=-(a-b)∴最简公分母为(a+b)(a-b)2∴[分子,分母同乘以(a-b)]=[分子作整式乘法]∴[分子,分母同乘以(a+b)]=[分子作整式乘法]∴[分子,分母同乘以(a+b)(a-b)]=-[分子作整式乘法]说明: (1)分式的通分必须注意整个分子和整个分母,分母是多项式时,必须先分解因式,分子是多项式时,要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘,而不能只同其中某一项相乘。

(2)通分是和约分相反的一种变换.约分是把分子和分母的所有公因式约去.将分式化为较简单的形式;通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式,使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式。

约分是对一个分式而言的;通分则是对两个或两个以上的分式来说的。

二.分式的乘除法:1.同分数乘除法类似,分式乘除法的法则用式子表示是：，其中a、b、c、d可以代表数也可以代表含有字母的整式.2.分式乘除法的运算.归根到底是乘法的运算,当分子和分母是多项式时,一般应先进行因式分解,再约分。

3.整式和分式进行运算时,可以把整式看成分母为1的分式。

分式的运算(进阶)

分式的运算（进阶）在分式的运算中，进阶是指更加复杂的计算方法和应用。

分式的运算可以涉及到加法、减法、乘法和除法等数学操作，通过进一步学习和理解分式的性质和规律，我们可以更灵活地进行运算，解决更多形式多样的问题。

一、加法运算加法运算是分式运算中最基础也最简单的。

要进行分数的加法运算，首先需要保证分母相同。

如果分数的分母不同，需要找到它们的最小公倍数，再进行通分，确保分母一致。

然后，只需将分子相加，并保持分母不变即可。

具体步骤如下：举例说明：计算1/4 + 2/3步骤一：找到1/4和2/3的最小公倍数为12，因此需要将两个分数通分为相同的分母。

1/4 = 3/12 （将分子乘以3，分母乘以3）2/3 = 8/12 （将分子乘以4，分母乘以4）步骤二：将通分后的分数相加，分母保持不变。

3/12 + 8/12 = 11/12因此，1/4 + 2/3 = 11/12二、减法运算减法运算与加法运算类似，也需要进行分数的通分。

具体的步骤如下：举例说明：计算5/6 - 2/5步骤一：找到5/6和2/5的最小公倍数为30，将两个分数通分为相同的分母。

5/6 = 25/30 （将分子乘以5，分母乘以5）2/5 = 12/30 （将分子乘以6，分母乘以6）步骤二：将通分后的分数相减，分母保持不变。

25/30 - 12/30 = 13/30因此，5/6 - 2/5 = 13/30三、乘法运算乘法运算是分式运算中稍微复杂一些的一种运算。

在进行分数的乘法运算时，只需要将分子和分母分别相乘即可。

具体的步骤如下：举例说明：计算2/3 × 3/5步骤一：将两个分数的分子相乘，分母相乘。

2/3 × 3/5 = (2 × 3) / (3 × 5) = 6/15步骤二：将结果化简到最简分数形式。

6/15可以化简为2/5因此，2/3 × 3/5 = 2/5四、除法运算除法运算是分式运算中相对较为复杂的一种运算。

六年级奥林匹克数学基础教程 3 分数运算的技巧

小学数学奥数基础教程分数运算的技巧
对于分数的混合运算，除了掌握常规的四则运算法则外，还应该掌握一些特殊的运算技巧，才能提高运算速度，解答较难的问题。

1.凑整法
与整数运算中的“凑整法”相同，在分数运算中，充分利用四则运算法则和运算律（如交换律、结合律、分配律），使部分的和、差、积、商成为整数、整十数……从而使运算得到简化。

2.约分法
3.裂项法
若能将每个分数都分解成两个分数之差，并且使中间的分数相互抵消，则能大大简化运算。

例7在自然数1～100中找出10个不同的数，使这10个数的倒数的和等于1。

分析与解：这道题看上去比较复杂，要求10个分子为1，而分母不同的
就非常简单了。

括号。

此题要求的是10个数的倒数和为1，于是做成：
所求的10个数是2，6，12，20，30，42，56，72，90，10。

的10和30，仍是符合题意的解。

4.代数法
5.分组法
分析与解：利用加法交换律和结合律，先将同分母的分数相加。

分母为n的分数之和为
原式中分母为2～20的分数之和依次为
练习3
8.在自然数1～60中找出8个不同的数，使这8个数的倒数之和等于1。

答案与提示练习3。

，6， 8， 12， 20， 30， 42， 56。

解：从前向后，分子与分母之和等于2的有1个，等于3的有2个，等于4的有3个人……一般地，分子与分母之和等于n的有(n-1)个。

分子与分母之和小于9+99=108的有1+2+3+…+106=5671（个），
5671+9=5680（个）。

数学思维训练分式的运算综合算式练习题

数学思维训练分式的运算综合算式练习题数学思维训练——分式的运算综合算式练习题分式作为数学中的重要概念，具有广泛的应用。

分式运算是数学思维的重要训练内容之一，它要求我们在运算中发挥灵活的思维，灵活运用分式的性质和运算法则。

下面是一些综合的分式运算题，通过解题可以帮助我们深入理解分式的运算，提高数学思维能力。

（一）综合算式1. 化简下列分式：（a）$\frac{3x^2+2x}{5x^2+3x}-\frac{2x^2-x}{2x^2-3x}$（b）$\frac{7x-4}{x^2-2x}-\frac{2}{x-2}$（c）$\frac{2x}{x^2-4}-\frac{3}{x+2}$（d）$\frac{a^2-4a+3}{a+1}-\frac{a^2-1}{2a}$（二）综合题2. 小明和小王一起做数学题。

小明做了$\frac{1}{4}$的题目，小王做了$\frac{1}{3}$的题目，他们一共做了多少题？3. 甲、乙两个工人在同一天做完一项任务。

如果甲独立工作需要6小时，乙独立工作需要8小时。

两个工人一起工作需要多少小时才能完成这项任务？4. 甲乙两个水龙头一起开，20分钟能装满一个水缸；甲单独开需要30分钟才能装满水缸。

问乙独自开需要多少分钟才能装满水缸？5. 丙丁两个儿子一起掰棍子。

丙掰8根棍子要3分钟，丁掰6根棍子要4分钟。

如果两个儿子一起掰，需要多少分钟可以掰断12根棍子？6. 甲、乙两人一起种田。

甲一天可以种完10亩地，乙一天可以种完15亩地。

如果两人一起种地，需要多少天可以种完30亩地？7. 甲、乙两个清洁工一起清洁一栋楼。

甲一天可以清洁完整个楼的$\frac{1}{12}$，乙一天可以清洁完整个楼的$\frac{1}{10}$。

如果两人一起清洁，需要多少天可以清洁完整个楼？8. 甲乙两个筹码摊牌。

甲手中有$\frac{3}{5}$的筹码，乙手中有$\frac{2}{3}$的筹码。

八年级数学奥术三级第二跳（思维训练）第三讲分式方程及其应用 (1)

第三讲：分式方程及其应用【知识梳理】1. 解分式方程的大体思想：把分式方程转化为整式方程。

2. 解分式方程的一样步骤：（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解那个整式方程；（3）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必需舍去，但关于含有字母系数的分式方程，一样不要求查验。

3. 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤大体相同，但必需注意，要查验求得的解是不是为原方程的根，和是不是符合题意。

下面咱们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。

4. 较为复杂的分式方程能够采纳换元法、约分来简化。

【例题精讲】【例1】解方程：（1）311(1)(2)x x x x -=--+ （2）x x x --+=1211 【例2】解方程：61244444402222y y y y y y y y +++---++-=2 【例3】解方程：1111210(1)(2)(2)(3)(9)(10)x x x x x x x +++=+++++++… 【例4】解方程x x x x x x x x +++++=+++++12672356【巩固】解方程：121043323489242387161945x x x x x x x x --+--=--+-- 【例5】解方程：224727218014x x x x x x+-+-=-+ 【拓展】解方程：222111011828138x x x x x x ++=+-+--- 【例6】m 为何值时，关于x 的方程22432x mx x x -+-=+2会产生增根？【巩固】假设解分式方程22111x m x x x x x ++-=++产生增根，那么m 的值是（）A. --12或B. -12或C. 12或D. 12或-【例7】甲、乙两同窗玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线l 起跑，绕过点P 跑回到起跑线(如下图)；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，历时少者胜，结果：甲同窗由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同窗那么顺利跑完，事后，乙同窗说：“我俩所用的全数时刻的和为50秒，捡球进程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍”，依照图文信息，请问哪位同窗获胜？【巩固】轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了时刻，顺流航行40千米，逆流航行70 点拨：在航行问题中的等量关系是“船实际速度＝水速＋静水速度”l。

分式奥数题

分式的化简与求值分式的有关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零时才有意义；也像分数一样，分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据．在分式运算中，主要是通过约分和通分来化简分式，从而对分式进行求值．除此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答．本讲主要介绍分式的化简与求值．例1 化简分式：分析直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多．＝［(2a+1)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2)］说明本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式．例2 当a=2时的值时,求分式分析与解先化简再求值．直接通分较复杂，注意到平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，可将分式分步通分，每一步只通分左边两项．例3 若abc=1，求分析本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂．下面介绍几种简单的解法．解法1 因为abc=1，所以a，b，c都不为零．解法2 因为abc=1，所以a≠0，b≠0，c≠0．例4 化简分式：分析与解三个分式一齐通分运算量大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简．说明互消掉的一对相反数，这种化简的方法叫“拆项相消”法，它是分式化简中常用的技巧．例5 化简计算(式中a，b，c两两不相等)：似的，对于这个分式，显然分母可以分解因式为(a-b)(a-c)，而分子又恰好凑成(a-b)+(a-c)，因此有下面的解法．解说明本例也是采取“拆项相消”法，所不同的是利用例6 已知：x+y+z=3a(a≠0，且x，y，z不全相等)，求分析本题字母多，分式复杂．若把条件写成(x-a)+(y-a)+(z-a)=0，那么题目只与x-a，y-a，z-a有关，为简化计算，可用换元法求解．解令x-a=u，y-a=v，z-a=w，则分式变为u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=0．由于x，y，z不全相等，所以u，v，w不全为零，所以u2+v2+w2≠0，从而有说明从本例中可以看出，换元法可以减少字母个数，使运算过程简化．例7 化简分式：适当变形，化简分式后再计算求值．(x-4)2=3，即x2-8x+13＝0．原式分子=(x4-8x3+13x2)+(2x3-16x2+26x)+(x2-8x+13)+10=x2(x2-8x+13)+2x(x2-8x+13)+(x2-8x+13)+10=10，原式分母=(x2-8x+13)+2=2，说明本例的解法采用的是整体代入的方法，这是代入消元法的一种特殊类型，应用得当会使问题的求解过程大大简化．解法1 利用比例的性质解决分式问题．(1)若a+b+c≠0，由等比定理有所以a+b-c=c，a-b+c=b，-a+b+c=a，于是有(2)若a+b+c=0，则a+b=-c，b+c=-a，c+a=-b，于是有说明比例有一系列重要的性质,在解决分式问题时，灵活巧妙地使用，便于问题的求解．解法2 设参数法．令则a+b=(k+1)c，①a+c=(k+1)b，②b+c=(k+1)a．③①+②+③有2(a+b+c)=(k+1)(a+b+c)，所以 (a+b+c)(k-1)=0，故有k=1或 a+b+c=0．当k=1时，当a+b+c=0时，说明引进一个参数k表示以连比形式出现的已知条件，可使已知条件便于使用．练习四1．化简分式：2．计算：3．已知：(y-z)2+(z-x)2+(x-y)2=(x+y-2z)2+(y+z-2x)2+(z+x-2y)2，的值．。

奥数之解分式方程

奥数之解分式方程解分式方程是奥数中的重要知识点，其中包含了多种解题的方法。

在本文中，我们将简要介绍解分式方程的基本方法，并且提供一些例子来帮助读者更好地理解。

一、基础概念分式方程是指方程中包含有未知数的分式，例如 1/(x-1) + 1/(x+2) = 3/(x+3) 。

分式方程的解法并不像一元方程那么简单，要具有一定的求解能力才能较好地解决这类问题。

在解分式方程时，我们需要注意以下几点：1. 对于方程中包含有多个分式的情况，可以先将它们通分，然后将方程化简为一元方程。

2. 如果方程中含有分式的分母为未知数，可以将分母提取出来，同时移项得到一元方程。

3. 对于方程中含有平方根或者其他非线性的函数，可以通过变形化简为一元方程。

二、实例解析下面，我们通过一些实例来介绍如何解决分式方程的问题。

例1：1/(x+2) + 1/(x+3) = 1/(x+4)首先，我们将这个方程的分母进行通分，得到：(x+3)(x+4)/(x+2)(x+3) + (x+2)(x+4)/(x+2)(x+3) = (x+2)(x+3)/(x+2)(x+4)然后，我们继续化简上述方程，得到：(x+3)(x+4) + (x+2)(x+4) = (x+2)(x+3)接下来，我们将这个方程化简为一元方程，得到：2x^2 + 9x + 8 = 0通过求解这个一元方程，我们可以得到：x1 = -4，x2 = -2/1因此，方程的解集为{x1, x2} = {-4, -2}。

例2：(x-1)/(x+1) - (x+1)/(x-1) = 4首先，我们将这个方程的分母进行通分，得到：(x-1)^2 - (x+1)^2 = 4(x+1)(x-1)然后，我们继续化简上述方程，得到：(x-1)^2 - (x+1)^2 - 4(x+1)(x-1) = 0接下来，我们将这个方程化简为一元方程，得到：-8x - 12 = 0通过求解这个一元方程，我们可以得到：x = -3/2因此，方程的解集为{x} = {-3/2}。

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卉新学校奥数思维训练3 分式的运算知识总结归纳： 1. 分式的乘除法法则a b c d a b d c ad bc÷=⋅=当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。

2. 分式的加减法（1）通分的根据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母。

求最简公分母是通分的关键，它的法则是： ①取各分母系数的最小公倍数；②凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取； ③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的。

（2）同分母的分式加减法法则a cbc a b c±=±（3）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减。

3. 分式乘方的法则()ab abnnn =（n 为正整数）4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重要应用。

学习时应注意以下几个问题：（1）注意运算顺序及解题步骤，把好符号关；（2）整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“1”的分式；（3）运算中及时约分、化简；（4）注意运算律的正确使用；（5）结果应为最简分式或整式。

下面我们一起来学习分式的四则运算例1：计算x x x x x x x x 22222662----÷+-+-的结果是（） A.x x --13B.x x +-19C.x x 2219-- D.x x 2213++分析：原式=-+-+÷+-+-()()()()()()()()x x x x x x x x 21323221 =-+-+⋅+-+-=+-+-=--()()()()()()()()()()()()x x x x x x x x x x x x x x 2132213211331922故选C说明：先将分子、分母分解因式，再约分。

例2：已知abc =1，求a ab a b bc b c ac c ++++++++111的值。

分析：若先通分，计算就复杂了，我们可以用a b c 替换待求式中的“1”，将三个分式化成同分母，运算就简单了。

解：原式=++++++++a ab a ababc ab a abcabc abc ab 1=++++++++=++++=aab a ab ab a abca aba ab ab a 111111例3：已知：250m n -=，求下式的值： ()()11+--÷+-+n m m m nn m m m n分析：本题先化简，然后代入求值。

化简时在每个括号内通分，除号改乘号，除式的分子、分母颠倒过来，再约分、整理。

最后将条件等式变形，用一个字母的代数式来表示另一个字母，带入化简后的式子求值。

这是解决条件求值问题的一般方法。

解：()()11+--÷+-+nm mm n n m mm n=-+---÷+++-+=--÷+-=+-m m n n m n mm m n m m n n m n m m m n n m m n m m n nm n m n()()()()()()()()25052m n m n -=∴=故原式=+-5252n nn n=÷=723273n n例4：已知a 、b 、c 为实数，且ab a bbc b cca c a+=+=+=131415，，，那么abc ab bc ca++的值是多少？分析：已知条件是一个复杂的三元二次方程组，不容易求解，可取倒数，进行简化。

解：由已知条件得：113114115a b b c c a +=+=+=，，所以211112()a b c++=即1116a b c ++=又因为ab bc ca abc cba++=++=1116所以abcab bc ca++=16例5：化简：()x x x x x x 322121241+-+-+⋅-+解一：原式=+++---+⋅--+()()()()()()()()x x x x x x x x x 32121222221=+-++=-++--+=+-++-+-+-+=+-+-+-++=+-+x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 432423222322323241311111311111133311244()()()()()()()()()()()解二：原式=+-+-⋅+-+++-+⋅+-+()()()()()()()()x x x x x x x x x x x x x 1122211122212=-+++--=-++-++-+=+-+()()()()x x x x x x x x x x x x x x x 2322232121222232244说明：解法一是一般方法，但遇到的问题是通分后分式加法的结果中分子是一个四次多项式，而它的分解需要拆、添项，比较麻烦；解法二则运用了乘法分配律，避免了上述问题。

因此，解题时注意审题，仔细观察善于抓住题目的特征，选择适当的方法。

例1（2000·北京朝阳）计算： 12442222+--÷--+n m m nm nm mn n解：原式=---⋅-+-1222m nm n m n m n m n ()()()=--+=+-++=+1223m n m n m n m n m nn m n说明：分式运算时，若分子或分母是多项式，应先因式分解。

例2（2001·内蒙呼和浩特）已知：M x yxy y x y x y x y222222-=--+-+，则M =_________。

解：2222xy y x yx y x y--+-+=-+-+-=-=-222222222222xy y x xy yx y xx yM x y∴=M x 2 说明：分式加减运算后，等式左右两边的分母相同，则其分子也必然相同，即可求出M 。

例1：计算：[()()]()111122a b a b a ba b+--÷+--解一：原式=--++-÷---+-()()()()()()a b a b a b a b a b a b a b a b 2222=-+-⋅+--=+-=-42222222ab a b a b a b a b ba ab a b aa b()()()()()()解二：原式=++-+--÷+--()()()111111a b a b a b a b a b a b=++-=-+++-=-11222a b a ba b a b a b a b a ab()()说明：在分式的运算过程中，乘法公式和因式分解的使用会简化解题过程。

此题两种方法的繁简程度一目了然。

例2：若a b ab 223+=，则()()1212333+-÷+-ba bb a b的值等于（）A.12B. 0C. 1D.23解：原式=-+-÷-+-a b b a ba b b a b3333322=+-⋅-+=+-+-++⋅-+=-+++=-+==a b a ba b a ba b a ab b a b a ab b a b a b a ab b a ab b ab ab ab abab ab333322222222332412()()()()故选A1. 已知：a b ab +==-25，，则a bb a+的值等于（）A. -25B. -145C. -195D. -2452. 已知x x 21610--=，求x x331-的值。

3. 计算：132156171219202222xx x x xx xx +++++++++++4. 若A B =++=++999919999199991999911111222222223333，，试比较A 与B 的大小。

5. 已知：a b c abc ++==08，，求证：1110a b c ++<。

【试题答案】1. 解：ab ba a bab+=+22a b ab a b a b ab a b b a +==-∴∴+=+-=∴+=-=-25214145145222，()故选B2. 解： x x 21610--=∴=+-=-=x x x x x x 222161116161，， 111111616336324234223⋅-=-=-++=++-x xx xx x x xx x x x x x()()()=+-=+-=++-=+-162161621616161216163161642222()()()()x x x xx x x xx x=+-=+⨯=⨯=16316116316161625941442[()][]x xxx说明：此题反复运用了已知条件的变形，最终达到化简求值的目的。

3. 解：原式=+++++++++++112123134145()()()()()()()()x x x x x x x x =+-+++-+++-+++-+=+-+=++111212131314141511154652x x x x x x x x x x x x说明：本题逆用了分式加减法则对分式进行拆分，简化计算。

4. 解：设a =99991111，则A a a B a a =++=++1111223，∴-=++-++=+++---++A B a a a a a a a a a a a 111112111223434223()()=-++>a a a a ()()()1110223∴>A B5. 证明： a b c ++=0∴++=()a b c 20，即a b c ab bc ac 2222220+++++= ∴++=-++ab bc ac ab c 12222()又111116222abcbc ac ababcab c ++=++=-++()abc =8∴a b c 、、均不为零∴++>∴++<a b c abc2221110。