黑龙江省大庆铁人中学2018-2019学年高二上学期第一次月考数学(理)试题-09b33b8745af4fb79fd4cfd0e2222d65

…外…………内………绝密★启用前 【全国百强校】黑龙江省大庆铁人中学2018-2019学年高二上学期第一次月考数学（理)试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．已知椭圆的一个焦点为 ，离心率 ，则椭圆的标准方程为 A ． B ． C ． D ． 2．则此双曲线的离心率为（ ） A B C D 3．已知 ， ，且 与 互相垂直，则 的值为（ ）. A ． B ． C ． D ．1 4．如图，空间四边形 的每条边和对角线长都等于1，点 ， ， 分别是 ， ， 的中点，则 （ ）. A ． B ． C ． D ． 5．曲线 与曲线 的( )…………外…………○………在※※装※※订※※线…………内…………○………6（0,0a b >>）的右焦点F 作圆222x y a +=的切线FM ，交y 轴于点P ，切圆于点M ，若2OM OF OP =+，则双曲线的离心率是（ ） A ．2 D 7．设F 1，F 2为椭圆 的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知空间三点 ， ， ，在直线 上有一点 满足 ，则点 的坐标为（ ）.A ．B ．C ．D ．9．如图，在长方体 中， ， ，点 是棱 的中点，则点 到平面 的距离为（ ）.A ．B ．C ．D ．10．已知 、 为等轴双曲线的左、右焦点，且焦距为 ，点 是 的右支上动点，过点 向 的一条渐近线作垂线，垂足为 ，则 的最小值是（ ）.A ．6B ．C ．12D ．11．如图，已知矩形 与矩形 全等，二面角 为直二面角， 为 中点， 与 所成角为 ，且 ，则（ ）.A ．1B ．C ．D ．A．6B．3C．D．…订…………○…※内※※答※※题※※…订…………○…第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．若、分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为______.14．如图，正方体中，，点、分别是，的中点，则线段的长度为______.15．已知双曲线，则以点为中点的双曲线的弦所在的直线方程为______.16．，为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在直线与，都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论：（1）当直线与成角时，与成角；（2）当直线与成角时，与成角；（3）直线与所成角的最小值为；（4）直线与所成角的最小值为；其中正确的是______（填写所有正确结论的编号）.三、解答题17．（1）已知，，求，，；（2）已知空间内三点，，.求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积.18．如图，已知平面，为矩形，，，分别为，的中点，求证：………○…订…………○…………○……：___________班级：_考号：__________………○…订…………○…………○…… （1） 平面 ； （2）求 与平面 所成角的正弦值. 19．如图，点 ， 的坐标分别为 ， ，直线 ， 相交于点 ，且直线 ， 的斜率之积是 ， （1）求点 的轨迹 的方程； （2）若经过点 且斜率为1的直线 与曲线 交于 ， 两点，求 的值. 20．如图，三棱柱 中， ， ， . （1）证明： ； （2）若平面 平面 ， ，求二面角 的余弦值. 21．已知动圆 与圆 内切，与圆 外切，记圆心 的轨迹为曲线 . （1）求曲线 的方程. （2）直线 与曲线 交于点 ， ，点 为线段 的中点，若 ，求 面积的最大值.参考答案1．C【解析】【分析】由椭圆的一个焦点为求得，根据离心率，可得的值，由可解得，从而可得结果．【详解】设椭圆的标准方程为，椭圆的一个焦点为，离心率，，解得．故椭圆的方程为．故选C．【点睛】本题主要考查待定系数求椭圆方程，属于简单题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.2．Ax轴上，∴渐近线方程为又∵渐近线方程为∵b2=c2﹣a2，故答案为：A。

3．B【解析】【分析】根据题意，易得k的坐标，结合向量垂直的性质，可得（k+1）+k+0＝0，从而得k的值，即可得答案．【详解】根据题意，易得k k（1，1，0）（﹣1，0，2）＝（k+1，k，-2），∵两向量垂直，∴，∴1（k+1）+k+0＝0．∴k，故选：B．【点睛】本题考查了空间向量数量积的应用，向量垂直的坐标表示，属于基础题．4．B【解析】【分析】由题意，将所求化为，判断相应向量的夹角，然后利用向量的数量积的定义即可求解.【详解】由题意可得，，又＜，＞120°∴，∴（），故选：B.【点睛】本题考查正四面体的结构特征，两个向量的数量积的定义，体现了数形结合的数学思想，解题的关键是准确判断向量的夹角．5．D【解析】试题分析：，而曲线 ，是焦点在轴的椭圆，且，，可求，所以两曲线的焦距相等，故选． 考点：椭圆的几何性质【方法点睛】考察圆锥曲线的方程，属于基础题型，注意曲线中，所以曲线是椭圆，那么长轴和短轴长都随的变化而变化，根据，可知焦距不变，要解决这类问题，那我们就要对圆锥曲线的基本知识熟练掌握，比如方程的形式，方程与圆锥曲线的基本性质的联系，或是关于和抛物线中的的计算． 6．D【解析】试题分析：如图，由2OM OF OP =+（平行四边形法则）知，点M 是PF 的中点，因为点M 为切点，所以OM PF ⊥，则POM FOM ∆≅∆，所以45MFO MPO ∠=∠=︒，由D 。

考点：双曲线的性质点评：解决平面几何的题目，首先是画图。

当题目出现曲线的方程时，假如不是标准形式，则需要将其变成标准形式。

7．C【解析】由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=6，由中位线定理可得PF2⊥x轴，令x=2，可得y=即有|PF2|=，|PF1|=，则故选：C．8．B【解析】【分析】根据空间向量的坐标表示与线性运算得到的坐标，利用垂直的向量满足数量积为0进行运算，求解即可．【详解】由O（0，0，0），A（﹣1，1，0），B（0，1，1），∴（﹣1，1，0），且点H在直线OA上，可设H（﹣λ，λ，0），则（﹣λ，λ﹣1，﹣1），又BH⊥OA，∴•0，即（﹣λ，λ﹣1，﹣1）•（﹣1，1，0）＝0，即λ+λ﹣1＝0，解得λ，∴点H（，，0）．故选：B．【点睛】本题考查了空间向量的坐标表示与运算问题，注意共线向量的坐标表示，是基础题．9．C【解析】【分析】先建立空间直角坐标系，再求出平面ACD1的法向量＝(2,1,2)，再求点E到平面ACD1的距离.【详解】如图，以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则D1(0,0,1)，E(1,1,0)，A(1,0,0)，C(0,2,0)．从而＝(1,1，－1)，＝(－1,2,0)，＝(－1,0,1)，设平面ACD1的法向量为n＝(a，b，c)，则即得令a＝2，则n＝(2,1,2)．所以点E到平面ACD1的距离为h＝＝＝．故答案为：C【点睛】(1)本题主要考查空间直角坐标系和点到平面的距离的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)点P到平面的距离公式为.10．A【解析】【分析】由题意可得a=b，又由双曲线定义将转化为|PF2|+4，只需P、H、共线时即可，此时|PF2|最小为=b=2，由此得结论.【详解】由双曲线的焦距为，即有2c＝，可得c，由等轴双曲线可得a=b，又a2+b2＝c2，∴a=b=2，又由双曲线定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2a=4，则|PF2|+4，要使|PF2|最小，只需P、H、共线,∴过作渐近线的垂线交右支于P，此时|PF2|最小为=b=2，∴的最小值为6，故选：A．【点睛】本题考查双曲线的定义的应用及性质，注意运用两点之间直线段最短的结论，考查分析问题的能力，属于基础题．11．C【解析】【分析】以A为原点，AF为x轴，AB为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝2a，BC＝2b，利用向量法能求出AB与BC的长度之比．【详解】以A为原点，AF为x轴，AB为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝2a，BC＝2b，则F（2b，0，0），M（0，a，0），B（0，2a，0），D（0，0，2b），（﹣2b，a，0），（0，﹣2a，2b），∵FM与BD所成角为θ，且cosθ，∴|cos＜，＞|，整理，得5a2b2+4b4﹣26a4＝0，∴﹣26×（）4+5×（）2+4＝0，解得（）2，或（）2（舍），∴故选：C．【点睛】本题考查两线段长的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．12．A【解析】【分析】通过图象可知F1F2=F2P=2c，利用椭圆、双曲线的定义及离心率公式可得的表达式，通过基本不等式即得结论．【详解】由题意可知：F1F2=F2P=2c，又∵F1P+F2P=2a1，F1P﹣F2P=2a2，∴F1P+2c=2a1，F1P﹣2c=2a2，两式相减，可得：a1﹣a2=2c，∵==，∴===4+2+，∵2+≥2=2，当且仅当时等号成立，∴的最小值为6，故选：A．【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的定义及简单的几何性质，重要不等式，属于中档题. 13．16【解析】【分析】由椭圆的定义可得的周长为|AF2|+|BF2|+|AF1|+|BF1|=4a，由此可得结果.【详解】由椭圆的定义可知|AF1|+|AF2|＝2a=|BF1|+|BF2|又∵|AB|=|AF1|+|BF1|∴的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=|AF2|+|BF2|+|AF1|+|BF1|=4a，椭圆中，a=4，∴的周长为4a=16，故答案为16．本题考查椭圆的定义及标准方程的应用，属于基础题．14．【解析】【分析】由已知可得EF的长相当于一个长，宽，高分别为1，1，2的长方体的对角线，进而得到答案．【详解】由正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，AB＝2，点E、F分别为A'D'、DC的中点，则EF的长相当于一个长，宽，高分别为1，1，2的长方体的对角线，故EF，故答案为：．【点睛】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，从图中构建长方体是解题的关键，属于基础题．15．【解析】【分析】设出以A（2，3）为中点的弦两端点为P1（x1，y1），P2（x2，y2），利用点差法可求得以A（2，3）为中点的弦所在直线的斜率，再由点斜式可求得直线方程．【详解】设以A（2，3）为中点的弦两端点为P1（x1，y1），P2（x2，y2），则x1+x2＝4，y1+y2＝6．又22，①22，②①﹣②得：2（x1+x2）（x1﹣x2）＝（y1+y2）（y1﹣y2），又由对称性知x1≠x2，∴A（2，3）为中点的弦所在直线的斜率k（），所以中点弦所在直线方程为y﹣3＝（x﹣2），即．故答案为：．本题考查直线与圆锥曲线的关系，求得直线P1P2的斜率是关键，考查点差法求斜率，考查分析与运算能力，属于中档题．16．（1）（3）【解析】【分析】由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，构建如图所示的边长为1的正方体，|AC|＝1，|AB|，斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．【详解】由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图，不妨设图中所示正方体边长为1，故|AC|＝1，|AB|，斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，则D（1，0，0），A（0，0，1），直线a的方向单位向量（0，1，0），||＝1，直线b的方向单位向量（1，0，0），||＝1，设B点在运动过程中的坐标中的坐标B′（cosθ，sinθ，0），其中θ为B′C与CD的夹角，θ∈[0，2π），∴AB′在运动过程中的向量为（cosθ，sinθ，﹣1），||，设与所成夹角为α∈[0，]，则cosα，，，，|sinθ|∈[0，]，∴α∈[，]，∴（3）正确，（4）错误．设与所成夹角为β∈[0，]，cosβ，，，，|cosθ|，当与夹角为60°时，即α，|sinθ|，∵cos2θ+sin2θ＝1，∴cosβ|cosθ|，∵β∈[0，]，∴β，此时与的夹角为60°，∴（1）正确，（2）错误．故答案为：（1）（3）．【点睛】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．17．（1），，（2）【解析】【分析】（1）根据空间向量的坐标表示与线性运算和数量积运算，求解即可．（2）由已知求出向量，的坐标，结合夹角，利用三角形面积公式，得到平行四边形的面积S；【详解】（1），，又，∴.（2）∵，，∴,又∵，∴，∴.【点睛】本题考查的知识点是空间向量的坐标表示与线性运算，考查了利用坐标求向量的模及夹角的问题，属于基础题．18．（1）详见解析（2）【解析】【分析】（1）利用三角形的中位线定理得，结合平行四边形的判定和性质得到，再用线面平行的判定定理即可得出结论；（2）建立空间直角坐标系，求出平面PMC的法向量，进而利用向量的夹角公式可求直线PD 与平面PMC成角的正弦值．【详解】（1）取中点，连接，，则，，又因为，，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面；（2）建立空间直角坐标系如图，因为，所以，，，，，，.设平面法向量为，则，，解得，，令，则.设与平面所成角为，则.【点睛】本题考查了线面平行的判定定理，考查了利用空间向量法解决立体几何问题，考查了线面角，建立坐标系，用坐标表示点与法向量是关键．19．（1）（2）【解析】【分析】（1）设（x，y），将k AM k BM用坐标表示，化简可得点的轨迹方程；（2）求出直线的方程，联立直线与曲线，通过韦达定理以及弦长公式即可求解的距离．【详解】（1）设点的坐标为，∴直线的斜率为，直线的斜率为.由已知有.化简得点的轨迹方程为.（2）由已知得直线的方程为，即.消得到，∴∴.【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，注意直线的斜率公式的合理运用，考查了直线与椭圆的关系，弦长公式的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．20．（1）详见解析（2）【解析】【分析】（1）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，由已知可证OA1⊥AB，AB⊥平面OA1C，进而可得AB⊥A1C；（2）易证OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立坐标系，求出平面及平面BB1C1C的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．【详解】（1）取中点，连接，，因为，所以；因为，，故为等边三角形，所以；因为，所以平面；所以.（2）由（1）可知，，，又因为平面平面，交线为，所以平面，故，，两两垂直.以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图，因为，所以，所以，，，.设是平面的法向量，则，，解得，同理可得，平面的法向量，，，所以二面角余弦值为.【点睛】本题考查了利用向量求二面角的方法，涉及直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的判定，属于中档题．21．（1）（2）【解析】【分析】（1）推导出|PE|+|PF|＝4＞|EF|＝2，从而圆心P的轨迹C为以E与F为焦点的椭圆，由此能求出曲线C的方程．（2）设直线l：x＝my+n，由方程组，得（4+m2）y2+2mny+n2﹣4＝0，由此利用韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出直线l的方程．【详解】（1）设动圆的半径为，由已知得，，则有，∴的轨迹是以，为焦点的椭圆，设曲线的方程为，易知，，则，∴曲线的方程为.（2）设直线，，，由得①本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。