2018新北师大版数学八年第一章三角形的证明

第一章检测卷时间：120分钟满分：120分一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( )A.3，4， 5 B．1，2， 3C．6，7，8 D．2，3，42．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，则∠A的度数是( )A．70° B．55°C．50° D．40°第2题图第4题图第5题图3．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设( ) A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于cC．a与b相交 D．a⊥b4．如图，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是( ) A．AC＝BD B．∠CAB＝∠DBAC．∠C＝∠D D．BC＝AD5．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B.下列结论中不一定成立的是( )A．PA＝PB B．PO平分∠APBC．AB垂直平分OP D．∠OBA＝∠OAB6．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为( ) A．8或10 B．8C．10 D．6或127．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接CF.若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF的度数为( )A．48° B．36°C．30° D．24°第7题图第8题图8．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A ＝∠ABE.若AC＝5，BC＝3，则BD的长为( )A．2.5 B．1.5C．2 D．19．如图，等边△ABC的三条角平分线相交于点O，过点O作EF∥BC，分别交AB于E，交AC于F，则图中的等腰三角形有( )A．4个 B．5个C．6个 D．7个第9题图第10题图10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则下列四个结论：①AD上任意一点到点C，B的距离相等；②AD上任意一点到AB，AC的距离相等；③BD＝CD，AD⊥BC；④∠BDE＝∠CDF.其中正确的个数是( ) A．1个 B．2个C．3个 D．4个二、填空题(每小题3分，共24分)11．等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是__________________________________________，这个逆命题是________命题．12．如图，过等边△ABC的顶点A作射线．若∠1＝20°，则∠2的度数为________．第12题图第13题图13．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是________．14．如图是某超市一层到二层电梯的示意图，其中AB、CD分别表示超市一层、二层电梯口处地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长约为12米，则乘电梯从点B到点C 上升的高度h约为________米．第14题图第15题图15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝3，AB＝12，则△ABD 的面积为________．16．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，交AB于点E，交AC 于点D.若∠ADE＝40°，则∠DBC＝________°.第16题图第17题图17．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△ABO≌△ADO.下列结论：①AC⊥BD；②CB＝CD；③△ABC≌△ADC；④DA＝DC.其中所有正确结论的序号是__________．18．若等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1∶2，则该等腰三角形顶角的度数为________．三、解答题(共66分)19．(8分)如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE＝CF，EF⊥DF，求证：BF＝CD.20.(8分)如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝125°，求∠ACB和∠BAC的度数．接EF.求证：AD垂直平分EF.22．(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF ⊥AC，垂足分别为E，F.(1)求证：△BED≌△CFD；(2)若∠A＝60°，BE＝1，求△ABC的周长．23．(10分)如图，AD是△ABC的边BC上的高，∠B＝60°，∠C＝45°，AC＝6.求：(1)AD的长；(2)△ABC的面积．24．(10分)如图，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别是AB，BC，CA上的点．(1)若AD＝BE＝CF，问△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论；(2)若△DEF是等边三角形，问AD＝BE＝CF成立吗？试证明你的结论．25．(12分)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，△AOB为等边三角形，P 是x轴上一个动点(不与原点O重合)，以线段AP为一边在其右侧作等边三角形△APQ.(1)求点B的坐标；(2)在点P的运动过程中，∠ABQ的大小是否发生改变？如不改变，求出其大小；如改变，请说明理由．(3)连接OQ，当OQ∥AB时，求点P的坐标．参考答案与解析1．B 2.D 3.C 4.A 5.C 6.C 7.A 8.D 9.D 10.D11．如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形真12．100°13.76 14.6 15.18 16.15 17.①②③18．30°或150° 解析：当高在三角形内部时，顶角是30°；当高在三角形外部时，顶角是150°.所以等腰三角形顶角的度数为30°或150°.19．证明：∵四边形ABCD 是长方形，∴∠B ＝∠C ＝90°.(1分)∵EF ⊥DF ，∴∠EFD ＝90°，∴∠EFB ＋∠CFD ＝90°.∵∠EFB ＋∠BEF ＝90°，∴∠BEF ＝∠CFD .(4分)在△BEF 和△CFD 中，⎩⎨⎧∠BEF ＝∠CFD ，BE ＝CF ，∠B ＝∠C ，∴△BEF ≌△CFD (ASA)，(7分)∴BF ＝CD .(8分)20．解：∵AB ＝AC ，AE 平分∠BAC ，∴AE ⊥BC ，∴∠DEC ＝90°.(3分)∵∠ADC ＝125°，∴∠DCE ＝∠ADC －∠DEC ＝35°.(5分)∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACB ＝2∠DCE ＝70°.(6分)又∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ＝70°，∴∠BAC ＝180°－(∠B ＋∠ACB )＝40°.(8分)21．证明：∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF ，∴点D 在线段EF 的垂直平分线上．(3分)在Rt △ADE 和Rt △ADF 中，⎩⎨⎧AD ＝AD ，DE ＝DF ，∴Rt △ADE ≌Rt △ADF (HL)，∴AE ＝AF ，(6分)∴点A 在线段EF 的垂直平分线上．∵两点确定一条直线，∴AD 垂直平分EF .(8分)22．(1)证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠DEB ＝∠DFC ＝90°.∵D 是BC 的中点，∴BD ＝CD .(4分)∴△BED ≌△CFD (AAS)．(5分)(2)解：∵AB ＝AC ，∠A ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝CA ，∠B ＝60°.(7分)又∵DE ⊥AB ，∴∠EDB ＝30°，∴BD ＝2BE ＝2，∴BC ＝2BD ＝4，(9分)∴△ABC 的周长为AB ＋BC ＋CD ＝3BC ＝12.(10分)23．解：(1)∵∠C ＝45°，AD 是△ABC 的边BC 上的高，∴∠DAC ＝45°，∴AD ＝CD .(2分)∵AC 2＝AD 2＋CD 2，∴62＝2AD 2，∴AD ＝3 2.(4分)(2)在Rt △ADB 中，∵∠B ＝60°，∴∠BAD ＝30°，∴AB ＝2BD .(6分)∵AB 2＝BD 2＋AD 2，∴(2BD )2＝BD 2＋AD 2，BD ＝ 6.(8分)∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝12(BD ＋DC )·AD ＝12×(6＋32)×32＝9＋3 3.(10分)24．解：(1)△DEF 是等边三角形．(1分)证明如下：∵△ABC 是等边三角形，∴∠A＝∠B ＝∠C ，AB ＝BC ＝CA .又∵AD ＝BE ＝CF ，∴DB ＝EC ＝FA .∴△ADF ≌△BED ≌△CFE ，(3分)∴DF ＝ED ＝FE .∴△DEF 是等边三角形．(5分)(2)AD ＝BE ＝CF 成立．(6分)证明如下：如图，∵△DEF 是等边三角形，∴DE ＝EF ＝FD ，∠FDE ＝∠DEF ＝∠EFD ＝60°.∴∠1＋∠2＝120°.(8分)∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°，∴∠2＋∠3＝120°，∴∠1＝∠3.同理∠3＝∠4，易证△ADF ≌△BED ≌△CFE (AAS)，∴AD ＝BE ＝CF .(10分)25．解：(1)如图①，过点B 作BC ⊥x 轴于点C .∵△AOB 为等边三角形，且OA ＝2，∴∠AOB ＝60°，OB ＝OA ＝2，∴∠BOC ＝30°.(2分)又∵∠OCB ＝90°，∴BC ＝12OB ＝1，由勾股定理得OC ＝3，∴点B 的坐标为(3，1)．(4分)(2)∠ABQ ＝90°，始终不变．(5分)理由如下：∵△APQ ，△AOB 均为等边三角形，∴AP ＝AQ ，AO ＝AB ，∠PAQ ＝∠OAB ，∴∠PAO ＝∠QAB .(6分)在△APO 与△AQB 中，⎩⎨⎧AP ＝AQ ，∠PAO ＝∠QAB ，AO ＝AB ，∴△APO ≌△AQB (SAS)，∴∠ABQ ＝∠AOP ＝90°.(8分) (3)当点P 在x 轴正半轴上时，点Q 在点B 上方，易知OQ 与AB 相交．当点P 在x 轴负半轴上时，点Q 在点B 的下方．∵AB ∥OQ ，∴∠BQO ＝180°－∠ABQ ＝90°，∠BOQ ＝∠ABO ＝60°.又OB ＝OA ＝2，∴OQ ＝1，可求得BQ ＝3，(10分)由(2)可知△APO ≌△AQB ，∴OP ＝BQ ＝3，∴此时点P 的坐标为(－3，0)．。